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5
4
-
http://books.altspu.ru/files/original/72/100/_.png
a3651b119d3dad6546b5ffc4c770e657
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5fc32747dab5d5d96917fd244cf7ff6f
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Text
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ºþº
ü ü
ü
ü ÿ
þ
¾¹
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¾¼½
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þ
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½ º½ ´¼ µ
¾¾º½ ½º¿¾ ¿
½
¸ º þº
ü
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º ¾¹
ü ÿ ¸ ¾¼½ º
ÁË Æ ¹ ¹ ¾½¼¹ ¾¹¾
º º
¸
¹
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µ
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¸
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¸
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¸
º
¹
º¸
¹
º ý
¸
¸
µ
¸
º º
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¹
¹
¾ º¼ º¾¼½ º
Текстовое (символьное) электронное издание.
½º
¾º
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º
È ÒØ ÙÑ ½¿¿
Å ÖÓ×Ó Ø Ï Ò ÓÛ×
Ï Ò ÓÛ×
º
¹
½ ýº
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�Объём издания – 2 400 КБ.
Дата подписания к использованию: 13.12.2017
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования «Алтайский государственный
педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ»)
ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031
Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72
е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru
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½
ï ½º
½º½ º
¸
º
¸
A
¸
B
¸
¹
¹
A
¸
B
º
¸
BA
¹
AAº
AB
º
¹
¸
AB
AB º
¹
A
AB º
AB º
AB
Bº
¹
¹
¹
AB º
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½º¾ º
AB
µ
µ
CD
AB
º
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AB
CD ¸ M N
AB
¸
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¹
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½º¿ º
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¸
¹
º
º AB ∼ CD
ºµ
¹
¸ ¹
CD º
¹
½º½ º ´
¸
CD
¸
BC º
AD
º
º
AB CD
ABDC
AB CD
AB
AB ∼ CDº
¸
¸
º
¹
¹
¹
AD
BC º
AB
µ
¸
CD
AB
CD
¹
´ º
º¾ µ
�µ
B=C
AB
µ´
º¾ µ
µ
º ¾ µº
AB
CD
´ º
CD
¸
º
º
AD
BC º
AB
CD
ABDC
º
AB
¸
¸
µ
µ¸
AB
¸
CD
AD = BC
¸
º
AB
¸ AB ∼ CDº
º
º
¸
¹
CD
¸
AB
CD
¹
µ¸
ºþ
µ AB = AO − BO¸
AO = OD BO = OC ¸
¸
µ
¸
CD
¹
¸ AB ∼ CDº
AD > BC º
CD = DO − CO ¸
AB = CD º ü
AB = CD º
µ¸
¸
�½º¾ º
µ
½º AB ∼ AB ´
¾º AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB ´
¿º AB ∼ CD¸ CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF ´
ï ¾º
µº
º
þ
º
þ
µ
−−
→
AB
AB º
¾º½ º
¹
º
¹
º a¸ m¸ e1 ººº
a¸ m¸ e1
¸
−→
a = OA
OAº þ
¸
¸
º¿
¹
AB ¸
ººº¸
¹
¹
a
¹
a
¹
a
º
¾º¿ º þ
º
¸
Oº
¾º¾ º þ
¸
¸
º
¸
¹
a, b, p
a
b
¹
º
¸
c
r
�º
a
b
a
bº
¸
º
¹
¹
º¿
¾º º þ
¸
a
¹
¹
b
¸
º
º a ↑↑ b
b a ↑↓ b
−
−→
a = AB ¸
a
a ↑↓ aº
a
−
−→
BA
¾º º
¸
−aº
¸
a
aº
−a | = | a |.
¾º º þ
¸
º
º
¸
º
¾º º þ
¹
¹
¸
ºa=b
a
a = b ⇐⇒ | a | = | b |, a ↑↑ b.
º
¸
a
bº
¸
¸
bº
´½º¾º ½µ
¹
�º
¸
¸
¹
º
ï ¿º
¿º½ º
¸
a
¹
¹
b
a+b
A
−
−→
AB = a¸
−−→
BC = bº
−→
AC = a + b
B
´
º µº
¸
¸
A B
¿º½ º
º
A
C
´½º¿º ½µ
−
−
→ −−→ −→
AB + BC = AC º
º
º
¹
¹
¹
−
−
→
−−→
−→
AB = a¸ BC = b AC = a + bº
A1
−−−→
−−−→
−−−→
¸
¸
A1 C1
A1 B1 = a¸ B1 C1 = bº
AC A1 C1
º
ABB1 A1 ´ º
º µº þ
AB A1 B 1
¸
aº
¸
ABB1 A1
AA1 BB1
º
�º
¹
¹
¹
¹
¸
AA1
ºü
¸
BB 1
BB 1
b
A
C
CC 1
B1
º
b
AA1 ∼
CC 1 º
¸ ¹
A1
C1
ACC1 A1
º
¹
¸
AC
AC ∼ A1 C 1 º
º
¸
¸
a¸ b
º
c
¹
(a + b) + c = a + (b + c)º
a + b = b + aº
a + 0 = a¸ 0 + a = a º
a + (−a) = 0º
−
−
→
−−→
−−→
AB = a¸ BC = b CD = cº
−→
−−→
a + b = AC ¸ b + c = BDº
−→ −−→ −−→
(a + b) + c = AC + CD = AD ¸
−−
→ −−→ −−→
a + (b + c) = AB + BD = AD
¸
(a + b) + c = a + (b + c)º
−→
−
−→
−−→
a + b = AC º
AB = a¸ BC = bº
º 1◦ º
¸
A1 C1
º
¿º¾ º
1◦ º
2◦ º
3◦ º
4◦ º
b
B
2◦ º
�−−→
b = AD
A
´
º µº þ
ABCD
BC
¸
¹
¹
AD
¹
¹
b¸
¸ ABCD
−−
→ −−→
AB = DC = aº
−→
¸
b+a
AC ¸
a+ b
a b¸
a + b = b + aº
−−
→
3◦ º
AB = aº
−−
→ −−→ −−
→
a + 0 = AB + BB = AB = aº
−
−→
−−
→
4◦ º
AB = aº
BA = −aº
−−
→ −−
→ −→
a + (−a) = AB + BA = AA = 0º
º
−→ −−→
´½º¿º ½µ −
AD + DC =
b a¸
−→
¸
AC º
´½º¿º ½µ
¹
2◦
a
¸
¹
b
−−
→
−−→
A AB = a AD = b
ABCD
−→
º µ
AC = a + b ´
¸
º
3µº
¹
a1 ¸ a2 ¸º º º ¸ an
´n >
¸
a1 ·a2 ·º º º · an ¸
¸
n
º
º
½¼
¹
¹
= 5º
�¹
º
ï º
þ
x¸
º½ º
a
aº
b+x
a
º
bº
º½ º
¹
º
´ º
a
º µº
b
−→
−−→
O OA = a¸ OB = b
¹
−
−→
BAº
−−→ −−
→
´½º¿º
½µ
OB + BA =
−−
→
−→
¹
b + BA = aº
OA¸
−−
→
¸
BA
a−b
¹
a bº
º
a bº
b + x 1 = aº
´−bµº
(−b) + (b + x) = (−b) + a¸
(−b) + (b + x1 ) = (−b) + aº
1◦ ¸ 4◦ 3◦
¿º¾ µ
¹
b
º
º
º½
x
x1
b+x = a
´
(−b) + (b + x) = ((−b) + b) + x = 0 + x = x¸
(−b) + (b + x1 ) = ((−b) + b) + x1 = 0 + x1 = x1 ¸
x = (−b) + a x1 = (−b) + aº
¸ x = x1 º
½½
�º
a − b = a + (−b)
´½º º ½µ
−−
→ −−→ −→
(∀A, B, O) AB = OB − OAº
´½º º ¾µ
ï º
º½ º
½µ | α a | = |α|| a |¸
¾µ α a ↑↑ a¸
α
a ´a = 0µ
b
α¸
º
α = −
º½
¸
¸ º º
|b|
¸
|a|
þ
º½
þ
bº
þ
a
α
b ↑↓ aº
|b|
· |a| = |b|º
|a|
α¸
a b
α = 0º
b ¸
b = 0º
ºµ þ ¹
¸
b = α aº
º
º
¸ b = 0 · aº
|b|
= + ¸
|a|
b
0·a
b ↑↑ a
|α a| =
+
αa
b ↑↓ a
½¾
¹
b
¸
b ↑↑ a
α a¸
α < 0º
º½ º ´
b = α aº
º
α a ↑↓ a¸
0
¹
a
¸
α
αa
|b|
·a
|a|
a¸
|b|
− ·a
|a|
¸
¹
¹
�bº
αa
¸
b
b¸
º¾ º ´
1◦ º
2◦ º
3◦ º
4◦ º
a¸ b
1 · a = a¸ −1 · a = −aº
α(βa) = (αβ)aº
(α + β)a = αa + βaº
α(a + b) = αa + αbº
2◦
º
º
¸
¸ º º b = α aº
ºµ
α¸ β
p = α(βa)¸ q = (αβ)a
º
|p| = |α||(βa)|
|α| |(|β| |a|)|
|q| = |(α β)| |a|
(|α| |β|) |a|
a¸
º
¸
¸
1◦
º
¸
µ α > 0¸ β > 0
µ α > 0¸ β < 0
µ α < 0¸ β > 0
µ α < 0¸ β < 0
þ
µ
a
βa
¸
º
º½
ü
a
aº
α β > 0¸
¹
|α| |β| |a|º
|α| |β| |a|º
p q
ºþ
p
º
β > 0¸
βa,
α(βa)º
ü
½¿
¸
α > 0¸
º½
q
¹
¹
α(βa) ¹
α > 0 β > 0¸
º½
(αβ)a
�aº
p
q
þ
º
º
p
α(βa)
α > 0 β < 0¸
(αβ)a
α β < 0¸
¸
a
¸
ü
¸
º
¸
º
º
¸
4◦
¸
¸
b
p
aº
¹
¸
¹
q
µ
¸
p
µ
q
¹
º
p
µ
º½
q
aº
q
¸
º
a
p
º
2◦
3◦
p
βa ¸
α(βa)º
βa
q
¹
¸
β < 0¸
a
α > 0¸
º½
¸
a
µ
¸
º
a
q
º
b
µ
ºþ
¹
º
a b
º
α(a + b) = p¸
µþ
αa + αb = qº
º½
λ¸
b = λaº
p = α(a + b) α(a + λa) α([1 + λ]a) (α[1 + λ])a¸
q = αa + αb
αa + α(λa)
αa + (αλ)a
(α + αλ)a
(α[1 + λ])aº
¸ p = qº
µ þ −−→ a −−b→
º
−→
O
OA = a¸ AB = b¸ OB = a + bº
−−→
−−→
−−→
a OA ¸
OA = αa OB = α(a + b)º
−→
´a + b µ −
¸ A ∈ OA¸ B ∈ OB º
OB
½
�½µ
α > 0¸
O
¾µ
α < 0¸
O
¸
¸
´
´
A¸ B
A
º
µ
º
A
µº
A¸ B
B
B
OAB
OA B
∠AOB = ∠A OB
OB
OA
=
= |α|º
OA
OB
B
AA ¸
α < 0¸
AA
¸
´½º¿º ½µ
¸
AB
= |α|º
AB
¹
−−
→ −−→
¸
AB A B º
−−→
−−→
−−
→
A B = +|α|AB = αAB º
¹
|α|
α > 0¸
B
B
B
−
−
→ −−→
AB A B
−−
→
−−→
º
A B = −|α|AB = αAB º
−−→
−−
→
A B = αAB º
−−→ −−→
−−→
OB = OA + A B º
a b¸
α(a + b) = αa + αb¸ º
¸
¹
¸ −−→
º
½
¹
º
�ï º
º½ º
α¸
a
b = αaº
º
º
◦.
¹
a
¹
º
ºµ
α¸ β ´β = 0µ
¸
¿◦.
µ
¸
α
º½ º ´
0µ
¾◦.
a
º½ ´
¸
½◦.
º
b
b
a¸ b
c
´c =
a b a+b
+ =
º
c c
c
a αa
α =
º
c
c
βa a
= º
βc
c
a
1 a
=
º
β c
βc
º
½◦.
a
b
= k¸
= m¸
c
c
b
a
+
= k + mº
c
c
º½
a = kc
a + b = kc + mc = (k + m)c ¸
¸
b = mcº
a
b
a+b
=k+m= + º
c
c
c
a
a
αa
= k¸
= m¸
¾◦ .
α = αk º
c
c
c
½
�º½
α
a = kc
¸ αa = α(kc) = (αk)c ¸
¸
αa = mcº
αa
= αk =
c
a
º
c
βa
= m¸
βc
¿◦ .
βa = m(βc)º
βa = β(mc)º
β¸
βa
a
¸ c = m = βc º
a
a
1 a
◦.
= k¸
= m¸
c
βc
β c
m(βc)º
a = mc
=
º½
kc = m(βc)º
¸ β1
º½
a
c
=
k
º
β
a = kc
¸
c = 0¸
k
= m
β
k = mβ
¹
¸
¹
a =
¸
¹
a
º
βc
ï º
a1 ¸ a2 ¸ ººº
n
α1 ¸ α2 ¸ ººº ¸ αn º þ
α2 a2 +...+αn an
a1 ¸ a2 ¸ ººº ¸ an º ÿ
¸
a1 ¸ a2 ¸ ººº ¸ an º
º½ º
¸
an
b = α1 a1 +
b
a1 ¸ a2 ¸
ººº ¸ an ¹
¸
α1 ¸
α2 ¸ ººº ¸ αn ¸
¸
¸
α1 a1 + α2 a2 + ... + αn an = 0º
¹
α1 = α2 = ... = αn = 0¸
º
½
�½º
º½ º
¸
º
º
º
ºý
¸
º
¸
º½ µ
º
β = 0º
b||aº
a
1 · a + 0 · b = 0¸
¹
b = λaº
¹
º½ µ¸
a
b||aº
¸
a = 0º
b
a b
αa + β b = 0¸
α
β
¹
b = − αβ a
a
´
º
b
λa − b = 0¸
´
º
b
¾º
¸
º
º¾ º þ
¸
O ¸ A¸ B
a¸ b
c
−→
−−→
O a = OA¸ b = OB
C
º¾ º þ
¸
a¸ b
½
c
º
¹
¸
¹
a¸ b
−−→
c = OC ¸
º
c
¹
�º
º
c
c
º
¸
¸
º
º
º½
c = − αγ a −
c
½¼µ¸
OA CB
´
O¸ A ¸ B ¸ C
−−→ π º
α
OA ||a¸ ¸
− γ a¸
A
ü
¸
¸
B
a¸ b
c
½µ
¾µ
b
β
γ
¸
b
¹
−−→
OA =
¸
¹
OA º
−−→
OB = − βγ b
º ½¼
OB
O ¸ A¸ B ¸ C
º
º
a¸ b
º
º½
¸
¸
½
π¸
º
a¸
b = λaº
b¸
¹
º
c
º
¸
a
p = λa − b + 0 · cº
º
a¸
a + 0 · b + 0 · c = 0º
c
º
γ = 0º
¹
µº
¸
a¸ b
¹
c
−→
−−→
a = OA¸ b = OB ¸
−−→
−−→
− αγ a = OA ¸ − βγ b = OB ´ º
º
−−→ −−→
−−→
¸
OC = c = OA + OB ¸
O
−−→
c = OC ¸
a¸ b
αa + β b + γc = 0¸
α¸ β ¸ γ
¸
þ
a¸ b
a¸ b
¹
º
¸
¹
b = λa¸
p = 0º
�¸
b
¿µ
λa − b + 0 · c = 0¸
¹½º
º½
º
a¸ b c
a¸ b c
−→
−−→
−−→
a = OA¸ b = OB ¸ c = OC º
¸
O ¸ A¸ B ¸ C
πº þ
π
OA OB º þ
¸
¸
a
B ∈ OB ¸
½¸
c
¸ ¸
α
a¸ b
β¸
¸
¸
¹
−−→
−−→
OC = OA + OB ´∗µº
−−→
−−→
OA ||a OB ||bº
−−→
−−→
OA = αa OB = β bº
c = αa + β b¸
αa + β b − c = 0º
a¸ b
º
b
OA
OACB
º
−−→
A ∈ OA
¹
¸
¹
OB ¸
C
Bºþ
A
º
O
¸
c
c = αa + β b
º½
º
a¸ b
c
¹
´∗µ
¹
¸
¹
´ º ´∗µµº
¿º
º¿ º þ
º
¹
º
½µ
a ¸ b¸ c
¸
º
a+0· b+0·c+0· d = 0º
º½
¾¼
º
d
a¸
º
¹
¸
�a ¸ b¸ c
¾µ
º
d
¸
¸
a¸ b c¸
a b¸
c = αa + β bº
p = αa + β b − c + 0 · dº
c
c = αa + β b¸
αa + β b − c + 0 · d¸
d
º½
¿µ
º
´ º
d
C
πº
D
Mº
º¾
a ¸ b¸ c
c
a ¸ b¸ c
d
½º
¹
¹
a ¸ b¸
¸
π¸
º
¸
O
−→
−−→
−−→
−−→
a = OA¸ b = OB ¸ c = OC ¸ d = OD º
O¸ A B º
º ½½µ
¸
π
c
p = 0º
¸
º
¹
D
OC º
¹
C
a¸ b
−−→
OM
¹
¸
´
¹
º ½½
º ½½µº
¹
−−→
OM
a
−−→
OM D
¹
OM = αa + β bº
−−→
−−→ −−→
MD
OD = OM + M D º
−−→
OC
¸
¸ ¸
MD c
−−→
¸ M D = γc ´
º½ µº
−−→
−−→ −−→
d = OD = OM + M D = γc + (αa +
β b) = αa + β b + γc¸
αa + β b + γc − d = 0º
½¸
d
b¸
¾½
�a ¸ b¸ c
γ¸
º½
d
º
º
a¸ b
¸
c
α¸ β
m
m = αa + β b + γcº
¸
ï º
µ
µ
º½ º ý
¸
¹
¸
¹
º
¸
ße1 , e2
¸
¸
¸
ße
ï ¸
e
e1 ¸ e2
ße1 , e2 , e3
e1 ¸ e2 ¸ e3 º
º¾ º
¹
ße1 , e2 , e3
º
¹
a
a1 ¸ a2 ¸ a3
e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ º º
a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 º
º
a(a1 , a2 , a3 )
(a1 ¸ a2 ¸ a3 )
º½ º
a
a
a = (a1 , a2 , a3
ße1 , e2 , e3 º
a
º
º
¾¾
¹
¹
�¸
º
º
ße1 , e2 , e3
º
(a1 , a2 , a3 )
(a1 , a2 , a3 )
a
a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3
¸
¿º¾
a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3 º
º¾ ¸
¹
¹
(a1 − a1 )e1 + (a2 − a2 )e2 + (a3 − a3 )e3 = 0º
e1 ¸ e2 ¸ e3
¸
º½
a2 − a2 = 0¸ a3 − a3 = 0
º¾ º ´
º
¹
¸ º º a1 − a1 = 0¸
¸ a1 = a1 ¸ a2 = a2¸ a3 = a3º
¸
ºµ
1◦ º
2◦
º
º
º
3◦ º
¹
º
º
º
º
a(a1 , a2 , a3 )
b(b1 , b2 , b3 )
´
¹
µ a±b
a=
a±b =
b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 º
a1 e1 + a2 e2 + a3 e3
(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 )± (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) = (a1 e1 ± b1 e1 )+ (a2 e2 ±
b2 e2 ) + (a3 e3 ± b3 e3 ) = (a1 ± b1 )e1 + (a2 ± b2 )e2 + (a3 ± b3 )e3 ¸
¸ a ± b = (a1 ± b1, a2 ± b2, a3 ± b3 )º
1◦
◦
2
º
λ
aº
λa = λ(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) = λ(a1 e1 ) + λ(a2 e2 ) + λ(a3 e3 ) =
λa = (λa1 , λa2 , λa3 )º
(λa1 )e1 +(λa2 )e2 +(λa3 )e3 º
¾¿
�º
3◦
º
º
b(b1 , b2 , b3 )¸
a(a1 , a2 , a3 )
º¿ º ´
ºµ
¸
º
b = λaº
b = (λa1 , λa2 , λa3 )º
¸ ab ¸
λ¸ º º
b1
a1
b
2
2
´
º½ µ
º
º½
þ
¹
a = 0º
¹
¹
3◦
b1 = λa1 ¸
¸
b3
a3
¹
a
º
b1 = λa1 ¸ b2 = λa2 ¸ b3 = λa3
º½
¸
b(b1 , b2 , b3 )
b2 = λa2 ¸ b3 = λa3 º
a
¸
º
b
b
a(a1 , a2 , a3 )
ße1 , e2 , e3 ¸
¸ º º ab = ab
λº
¸
¸ b = λaº
b||aº
1
1
¾
2
2
¹
=
b3
a3
º
º
¹
¹
�b(b1 , b2 , b3 )¸
ße1 , e2 , e3 ¸
º º´
ºµ
¹
a(a1 , a2 , a3 )¸
c(c1 , c2 , c3 )¸
¸
a1 a2 a3
Δ = b1 b2 b3
c1 c2 c3
a ¸ b c¸
º
º¾
º
¹
º
º
º¾
c
c(αa1 +βb1 , αa2 +βb2 , αa3 +βb3 )º
Δ
Δ = 0º
¸
º
a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )
c = αa + β bº
¸
Δ = 0º
¸
¹
¹
¸ º º c1 = αa1 + βb1¸
¸
c = αa + β bº
º
c2 = αa2 + βb2 ¸ c3 = αa3 + βb3 º
º¾
a ¸ b¸ c
¸
ï º
a¸
º½ º
º
e
º
e
¾
a¸
ß ,e ¸
º
¹
¹
¹
�º¾ º
¹
º ¹
π1 π2 ¸
−
−→
π ´π ∦ µº
a = AB
A B
π¸
A1 = π1 ∩ ¸ B1 = π2 ∩ ´ º
−−−→
A1 B1
º ½¾µº
¹
a
−−−→
A1 B1
−
→
¸
,π a
a
e¸
AB º
º¾
ú·û¸
+|A1 B1 |,
−|A1 B1 |,
º½ º ´
πº
¹
¹
a
πº
º
,π a =
e
a
π¸
,π a
µ
¹
¹
a
º ½¾
º
πº
¸
´ ¹
¹
ú û¸
e¸
º º
−−−→
A1 B1 ↑↑ e,
−−−→
A1 B1 ↑↓ e.
−−
→
a = AB
µº
π
¾
´½º º ½µ
¹
�º
AB
½
AB
º
a||π
AB
´
º ½¿µº þ
π¸
π1 = π1 ¸
¾
A
º ½¿
π2 ¸
¿
¸
a||
´
¸
AB
πº
a
º −−º−a→=
A1 B1
¹
−−→
−−
→
AB a = A B º
¹
−−−→
a
A1 B1
−−−→ −−−→
¸ A1 B1 = A1 B1º
π1 π1 ¸
A1 B1 ¸ A1 B1
¸ A−−1−B→1 = A−−1−B→1 = 0º
π2 = π2 ´
º ½ µº
π1
B B
A1 A1 ¸ B1
−−−→ −−−→
A1 B1 = A1 B1 º
º½
B1
º ½ µº þ
º½
AB
º
AB
¾
¸
¹
¹
A
¸
�AB ¸
π1
¸
¸
π2
AB
º
´
A1 B 1
µ´
AA1
a
−
−→
−−→
A1 C = AB ¸
π2
¸
π2
CC ||
CB1 ||C B1 ,
−−−→ −−−→
−−−→
A1 B1 = A1 C + C B1 º
´½º¿º ½µ
¸
¾
C
º
CB1
¸
¸
¹
¸
¸
C B1 º
−−→ −−−→
¸
A1 C = C B1 º
−−→ −−→
−−−→
A1 B1 = A1 C + CB1
¸
þ
¹
¸
−−→ −−→
A1 C = A1 C
¸
CC B1 B1
¸
¸
π2 º
A1 CC A1
CC
¹
¹
−−−→
−−→
A1 B 1 = A1 B 1 º
A1 B 1
¸
º ½ µº
= aº
º½
C
ºü
A1 B 1
−−→
−−→
A1 A1 C = a¸ A1 C
ABCA1
BC
º
π2 º ü
A1
BB1 º
AA1
ABB1 A1
A1 B 1
AB
¹
¹
¹
¹
¹
−−−→ −−−→
A1 B1 = A1 B1 º
¹
�−−−→ −−−→
A1 B1 A1 B1
−−−→
−−−→
A1 B1
A1 B1
=
º
e
e
aº
¸
¸
a¸
´
º
¹
¸
µ
º
¹
º
º¾ º ´
ºµ
1◦ º
2◦ º
¹
º
¹
º
º 1◦ º
´µ¸
−−→
b = BC º
a
−→
AC = a + b
b
B1 C1 =
b·e
´∗µ¸
2◦
´ º
´½º º
−−−→
A1 C1 =
a·e+
b · e¸
(a + b) =
a+
º ½ µº
´ º
bº
¹
−
−→
a = AB ¸
º½ µº
a¸
´a + bµ
¹
−−−→
→ a¸
π A1 B1 = −
−−−→ −
−−−→
→
b¸ A1 C1 =
B1 C1 =
−
→
(a + b)º
=
º½
´−∗−µº−→þ
A
bº
−−−→ −−−→
−−−→
A1 C1 = A1 B1 + B1 C1
−−−→
½µ¸
a · e¸
A1 B1 =
(a + b) · eº
¹
(a + b) · e =
−−
→
a = AB º
¾
λa
�→
−
A λa = A º
−
−
−
→
−
→ a = A B
1 1
−−→
A1 C ¸
π2 ´ º
¸
C
a
B
º¾ ¸
´½º¿º ½µ
−−−→ −−→
−−→
¹
A1 C = A1 B1 + B1 C º
−−
→
−−→
λa = λAB = λA1 C =
−−−→
p1
p
λA1 B1 +
A
−−→
¹
λB 1 C º
−
→ (λa) =
1◦
−
−
→
−−−→
→ (λA
−
→ (λA C) = −
l
1
1 B1 +
−−−→
−−→
A1
e
−
→
(λA1 B1 ) +
λB1 C) =
−
−
→
−
→ (λB C)º
¹
1
A1
B1
¹
−−−→
−
→ (λA
¸
1 B1 ) =
−−−→
¸
B1 C
λA1 B1 º ü
−−→
−
→
π2 ¸
¸
(λB1 C) = 0º
−−−→
−
→
aº þ
´½º º½µ¸
λA1 B1 = λ
a) · e ¸
¸ (λa) = λ aº
e = (λ
A1 a =
B1 ¸
µº
p2’
p2 B
C’
C
.B
.
B’
B 1’
1
º½
¸
−
→ (λa) =
(λa) ·
ï ½¼º
½¼º½ º
π
¹
¸
º
π
½¼º¾ º
AOB ¸
−→
−−→
OA = a¸ OB = bº
a
O
º ´a, bµ
a
¿¼
bº
b
¹
�½¼º½ º
¸
¸ º º
´½º½¼º ½µ
a = |a| cos(e, a)º
−−
→
a = AB
º
π1
a
π2 ¸
A
a
º
½µ a
´
º ½ µº þ
AB
π1
−−→
A1 B 1
π2
ABB1 A1
A1 B1 ¸
AA1
¹
¸
Bº
¸
BB1 º
¹
¹
¸
º −−→
¸
´½º
º
½µ
a = ±|A1 B 1 |¸
−−→
−−→
¹
ú·û¸
A1 B 1 ↑↑ e ú û¸
A1 B 1 ↑↓ eº
−−→
¸
´½º½¼º
½µ
±|A1 B 1 |¸
−−→
a = A1 B 1
(e, a)
0◦ ¸ ¹
a ↑↑ e 180◦ ¸
a ↑↓ eº
¸
´½º½¼º½µ
º
¾µ a⊥ ´ º ¾¼µº þ
π1 π2
¹
A1 B1
º
º
¸
−−
→ −−→
AB = A1 B 1 º
¿½
�¸
a
a = 0º
¸
´½º½¼º ½µ
a
e
¸
¸ cos(e, a) = 0º
¸
´½º½¼º ½µ
º
¿µ (e, a) = ϕ¸
a
ºþ
µ ϕ < 90◦ −´−→ º ¾½ µ¸ µ ϕ > 90◦
´−−→º ¾½ µº
¸
µ A1 B1 ↑↑ e¸
µ
a
A1
A1 B 1 ↑↓ eº þ
−−→
a = A1 C º
90◦
ϕ¸
º
´½º º ½µ
⊥π2 ¸
⊥B1 C
A1 CB1
A1 B1 = A1 C·cos ∠CA1 B1 º þ
µ ∠CA1B1 = π − ϕº þ
a=
−−→
+|A1 B 1 |,
−−→
−|A1 B 1 |,
=
−−→
+|A1 C| · cos ϕ,
−−→
−|A1 C| · cos(π − ϕ),
=
+|a| · cos ϕ,
−|a| · (− cos ϕ),
µ ∠CA1B1 =
−−→
A1 B 1 ↑↑ e,
=
−−→
A1 B 1 ↑↓ e
−−−→
A1 B1 ↑↑ e,
=
−−→
A1 C ↑↓ e
−−−→
A1 B1 ↑↑ e,
= |a| · cos ϕ.
−−−→
A1 B1 ↑↓ e
¿¾
¹
�ï ½½º
½½º½ º
a
ab º
b
º
¹
¸
a
¸
b
´½º½½º ½µ
ab = |a| |b| cos(a, b)º
½½º½ º ´
1◦ º
2◦ º
3◦ º
4◦ º
5◦ º
6◦ º
ºµ
a b
ab = 0 ⇔ a⊥bº
a 2 = |a|2 ¸
a 2 = aa
aº
ab = |a| a b¸ ab = |b| b aº
ab = baº
(αa)b = α(ab) a(αb) = α(ab)º
(a + b)c = ac + bcº
¸
º 1◦ º
º
½½º½
ab = 0 ⇔ cos(a, b) = 0º
cos(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 90◦ ¸
ab = 0 ⇔ a⊥bº
◦
2
a
2 º
a 2 = aa = |a| |a| cos(a, a) = |a| 2 cos 0◦ = |a| 2
3◦ º
´½º½¼º ½µ
a b = |b| cos(a, b)º
ab = |b| |a| cos(a, b)
¸ ab = |a|
= |b| b aº
¿¿
b
´½º½½º ½µ
a = |a| cos(b, a)
(|b| cos(a, b) = |a|
ab
�4◦ º
ba = |b| |a|
´½º½½º ½µ
cos(b, a)º
|a| · |b| = |b| · |a|¸
5◦
3◦
a
b
´
bº
(αa)b = |b|
º
α(a b)º ü
α(ab)º
6◦ º (a + b)c = |c|
|c| c b = ac + bcº
º
5◦
º
ab = baº
6◦
¹
¹
º¾ µº
¸
a
b (α a)
¹
¹
cos(a, b) = cos(b, a)
= |b| (α
c (a + b)
= |c| (
1◦ − 3◦
¸
b a)
ca+
4◦
−
= α (|b|
c b)
¹
=
a(αb) =
b a)
ca+
= |c|
¹
¹
6◦
ï ½¾º
½º
¹
½¾º½ º ý
¸
º
º ßi, j ¸ ßi, j, k
´
½¾º½
¿
º
½½º½ µ
¸
¹
¹
�1) i j = 0, j k = 0, i k = 0
2) i 2 = 1, j 2 = 1, k 2 = 1º
´½º½¾º ½µ
¾º þ
½¾º½ º
a(a1 , a2 , a3 )
a
¸ º º
¹
b
´½º½¾º ¾µ
ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º
a = a1 i + a2 j + a3 k
¹
b(b1 , b2 , b3 )
ßi, j, k ¸
º
b = b1 i + b2 j + b3 k º þ
¸
´
¹
½½º½ µ¸
a b = (a1 i + a2 j + a3 k) (b1 i + b2 j + b3 k) = (a1 b1 ) i 2 +
(a1 b2 )(i j) + (a1 b3 )(i k) + (a2 b1 )(j i) + (a2 b2 ) j 2 + (a2 b3 )(j k) +
(a3 b1 )(k i) + (a3 b2 )(k j) + (a3 b3 ) k 2 º
´½º½¾º ½µ¸
¸
a
bº
¸
¸
1◦
¸
¹
¸
¸
¹
ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º
´½º½¾º ¾µ
¹
¿
�a
b
´½º½¾º ¿µ
a⊥b ⇔ a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 = 0.
¿º
´½º½¾º ¾µ
¸
b = a¸
¹
a
¸ a 2 = a21 + a22 + a23,
¸
a
´½º½¾º µ
a21 + a22 + a23 º
|a| =
º
½¼º¾ µ
πº
´½º½½º ½µ¸ ´½º½¾º¾µ ´½º½¾º µ¸
ab
|a|¸ |b|
cos(a, b) =
ab
´
¹
ºþ
¹
¹
a
b
´½º½¾º µ
º
|a| · |b|
þ
cos(a, b) =
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
a21 + a22 + a23
b21 + b22 + b23
º
º
α¸ β ¸ γ
i¸ j ¸ k
a
α = (a, i),
´½º½¾º µ
β = (a, j),
¿
γ = (a, k).
�½¾º¾ º
cos α¸ cos β ¸ cos γ
a ´a = 0 µ
ßi, j, k º
½¾º¾ º
a
¹
º
º
cos α =
ai
¸
|a||i|
´½º½¾º µ
cos β =
aj
|a||j|
a = a1 i + a2 j + a3 k ¸
a2 j i + a3 k iº þ
ai = a1 º ü
|a| =
a21 + a22 + a23
cos α =
cos β =
cos γ =
¸
cos γ =
ak
º
|a||k|
´½º½¾º µ
ai = (a1 i + a2 j + a3 k)ia1 i 2 +
´½º½¾º½µ¸
¹
aj = a2 ¸ ak = a3 º
ai¸ aj ¸ ak
¸
|i| = |j| = |k| = 1 ´½º½¾º½µ¸
´½º½¾º µ
α¸ β ¸ γ ´½º½¾º µ
a1
a21 + a22 + a23
a2
a21 + a22 + a23
a3
a21 + a22 + a23
¸
¸
´½º½¾º µ
º
½º
¹
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1º
¿
´½º½¾º µ
�º
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =
2
a2
a1
+
a21 + a22 + a23
a21 + a22 + a23
a21 + a22 + a23
2 = 1.
a21 + a22 + a23
¸
2
2
a3
+
a21 + a22 + a23
¾º
=
¹
¹
º
º
a
º
|a| =
a21 + a22 + a23 = 1º
´½º½¾º µ
a1 = a21 + a22 + a23 · cos α = cos α¸ a2 = a21 + a22 + a23 · cos β =
cos β a3 = a21 + a22 + a23 · cos γ = cos γ º
ï ½¿º
½¿º½ º
¸
¸
ßa, b, c ¸
¸
¸
¸ º º
¸
º
º ßa, b, c
¸
¸b
ßa, b, c
¹
¹
º
¸c
º
ßa , b , c
a
a = c11 a+c12 b+c13 c¸ b = c21 a+c22 b+c23 c¸
¿
�c = c31 a + c32 b + c33 c.
⎛
⎞
c11 c12 c13
T = ⎝c21 c22 c23 ⎠
c31 c32 c33
ßa, b, c
ßa , b , c º
½¿º¾ º
¸
¸
|T | = 0º
¸
¹
¸
¸
T
´½º½¿º ½µ
|T |
¹
º
|T |
¹
¸
¹
¸
T
½¿º½
¸
¸
º
´
¹
¹
|T | = 0º
½¿º½ º
½µ
¸
¹
¾µ
¹
º
´
º
º ¿ ºµ
¸
¸
¸
¿
¸
¸
º
¹
�º
ú
¸
º
O
û ú
û
ºþ
´
µ
º
Oab
b
´
´
ßb, c, a º
ßa, b, c
c
¸
¹
¸
¸c
c
º ¾¾
¹
º
¸
º
ßb, c, a º
¹
c
a¸ b
º ¾¾
ßc, a, b
µ
µº
a
¸b
º
´ º ¾¾¸ µ¸
º ¾¾¸ µº
½º
a¸ b
¹
a
º ¾¾
´
º
´½º½¿º ½µ
T
¼
¹
¸ º º
ßa, b, c
ßa, b, c ¸ ßb, c, a ¸
º
ßa, b, c
�⎛
|T | = 1¸
ßa, b, c ßb, c, a
⎞
0 1 0
T = ⎝0 0 1⎠º
1 0 0
¸
ßc, a, b
ßa, b, c º
¾º
º
¸
T
½¿º¾
⎛
O
ºü
Oab¸
¸
ßa, b, c º
c
ºü
¹
ßb, a, c ¸ ßa, c, b ¸ ßc, b, a
ßa, b, c º
ßa, b, c
¸ ¹
ßa, b, c
ßb, a, c
⎞
0 1 0
T = ⎝1 0 0⎠
0 0 1
|T | = −1º
ßa, b, c ßb, a, c
ßa, c, b ¸ ßc, b, a
ßa, b, c º
ßa, b, c ßa, b, c
¸
º
¿º
¹
¹
¹
¸ º º
ßb, a, c º
½¿º¾
c
¸
c = γ1 a + γ2 b + γ3 cº
c
c
½
¹
¹
c
Oab¸
º
c
¹
¹
Oab¸
c
c
º
ßa, b, c
γ3 > 0¸
�Oab¸
ßa, b, c
γ3 < 0º
ßa, b, c º
⎛
⎞
0 1 0
T = ⎝ 0 0 1 ⎠º
γ1 γ2 γ3
þ
Oab¸
|T | > 0¸
½¿º¾
c
|T | = γ3 º
¸
¹
c
Oab¸
|T | < 0º
ßa, b, c
¸
º
T
c
c
ßa, b, c
¹
¹
º
¹
¸
¸ º º
¹
ßλa, b, c ¸ ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc
λ>0
ßa, b, c
λ < 0º
ßλa, b, c º
¹
º
ßa, b, c
⎛
⎞
λ 0 0
T = ⎝ 0 1 0⎠¸
0 0 1
|T | = λº
¸
½¿º¾
ßa, b, c
λ < 0º
¸
ºü
ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc
λ>0
¾
λ < 0¸
λ > 0¸
ßa, b, c
|T | > 0
ßλa, b, c
¸
¹
�ï½ º
þ
a
½ º½ º þ
b
¸
a×b
½µ | a × b | = | a || b | sin ϕ¸ ϕ = (a, b)º
¾µ þ
a×b
bº
¿µ
a b
¸
¸
ßa, b, a × b
ßi, j, k
º
½ º½ º ´
ºµ
a
b
b(b1 , b2 , b3 )
a×b=
½º
sin ϕ =
ßi, j, k
a×b
¹
´
[ab]µ
a¸
a×b
¸ º º
¹
¹
¹
¹
a(a1 , a2 , a3 )¸
¸
¹
a2 a3
a a
a a
, − 1 3 , 1 2
b2 b3
b1 b3
b1 b2
´½º½ º ½µ
a1 a2 a3
a × b = b1 b2 b3
i j k
´½º½ º ¾µ
º
1 − cos ϕ
º
a× b = x(x1 , x2 , x3 )
|x| = |a| · |b| · sin(a, b)º
√
2
a 2 b 2 −(ab)2
ab
1−
=
¸
½ º½
2
=
ϕ = (a, b)º
|a|·|b|
¿
|a|·|b|
�a 2 b 2 − (ab)2 º
|x| =
x
a
b
(a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 .
|x| =
¹
(a1 b2 − a2 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a2 b3 − a3 b2 )2 . (∗)
|x| =
¾º
½ º½
a¸
x
bº
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = 0
x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 = 0.
(x1 , x2 , x3 )º
¸
¸
Δ=
¸
x1 =
a1 a2
,
b1 b2
Δ1 =
¹
¹
¸
¹
¸
a2 a3
,
b2 b3
Δ2 =
a1 a3
.
b1 b3
¸ Δ = 0º
−a3 x3 a2
−b3 x3 b2
a1 a2
b1 b2
a1 −a3 x3
b1 −b3 x3
x3 Δ 1
−x3 Δ2
, x2 =
.
=
=
Δ
Δ
a1 a2
b1 b2
x2
x3
x1
.
=
=
Δ1
−Δ2
Δ
λ¸
�x1 = λΔ1 ,
x2 = −λΔ2 ,
´¶¶µ
x3 = λΔ.
x
Δ21 + Δ22 + Δ2 .
(λΔ1 )2 + (−λΔ2 )2 + (λΔ)2 = |λ|
|x| =
Δ1 = a2 b3 − a3 b2 ¸ Δ2 = a1 b3 − a3 b1 ¸ Δ = a1 b2 − a2 b1 ¸
(a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 .
|x| = |λ|
¿º
ßa, b, x
ºþ
´¶µ¸
½ º½
|λ| = 1º
ßi, j, k
½¿º¾
a ¸ b¸ x
|T |¸
ßi, j, k
º
¹
¸
a1 a2 a3
a a
a a
a a
|T | = b1 b2 b3 = x1 2 3 − x2 1 3 + x3 1 2 =
b2 b3
b1 b3
b1 b2
x1 x2 x3
þ
= x1 Δ 1 − x2 Δ 2 + x3 Δ º
´¶¶µ¸
|T | = λ(Δ21 + Δ22 + Δ2 ).
|T | > 0
λ > 0
x =a×b
x1 = Δ 1 =
Δ21 +Δ22 +Δ2 > 0¸
λ = 1¸ ¸
¸
λ > 0º
|λ| = 1
a2 a3
a a
a a
, x2 = −Δ2 = − 1 3 , x3 = Δ = 1 2 .
b2 b3
b1 b3
b1 b2
¸
a×b=
´½º½ º ½µº
a2 a3
a a
a a
i− 1 3 j+ 1 2 k
b2 b3
b1 b3
b1 b2
´½º½ º ¿µ
�¸
¹
¹
¸
a1 a2 a3
a × b = b1 b2 b3 .
i j k
¸
¸
´½º½ º ¿µº
½ º¾ º ´
þ
ºµ
1◦ º
2◦ .
b¸
¹
¹
¸
´ÿ
a×b
¸
a
¸
µº
0º
ºµ
b
´
¹
¹
S
a
¹
3◦ º ´∀ a, bµ a × b
b × a.
◦
4 º ´∀ a, bµ¸ ´∀ α ∈ Rµ a × (αb) = α(a × b)¸ (αa) × b = α(a × b)º
5◦ º ´∀ a, b, cµ a×(b+c) = a× b+a×c¸ (a+ b)×c = a× b+ b×cº
º
a × b = 0 ⇔ |a × b| = 0º
¸
1◦ º
|a × b| = 0
¸
¸
½ º½
sin(a, b) = 0º
¸
¸
sin(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 0◦
(a, b) = 180◦ ¸
|a × b| = 0 ⇔
¸ a × b = 0 ⇔ a bº
a b ¸
2◦ ´ º
º ¾¿µº −−→
¹
−−→
a b
A
a = AB ¸ b = AD
�ABCD º
|a| =
−−→
−−
→
|AB| = AB ¸ |b| = |AD| = AD ¸
(a, b) = ∠A ¸
AB · AD · sin ∠Aº
ABCD
S = AB · AD · sin ∠Aº
¸ |a × b| = S º
º ¾¿
º¾ µ
|a × b| =
S
¹
¹
3◦ 5◦ º
a(a1 , a2 , a3 )¸
b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )
´
¸
º
¸
ßi, j, k ¸
¹
¹
α
αa (αa1 , αa2 , αa3 )¸ αb (αb1 , αb2 , αb3 )¸
(b + c) (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 )¸
(a + b) (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )º
¸
3◦ 5◦
¸
¸
¹
¹
¹
¸
¹
´½º½ º ¾µ
¸
º
º
´½º½ º ¾µ
4◦ º
(αa) × b α(a × b)
α a1 α a2 α a3
a1 a2 a3
b2
b3 ¸ α(a × b) = α b1 b2 b3
(αa) × b = b1
i
j
k
i j k
º
¸ (αa) × b = α(a × b)º ü
º
º
�ï½ º
½ º½ º
a ¸ b¸ c
a × b c¸
a×b
a bº
¹
abc
(abc)º
¸
´½º½ º ½µ
abc = (a × b)cº
½ º½ º
b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )¸
ßi, j, k
a ¸ b¸ c
a1 a2 a3
abc = b1 b2 b3
c1 c2 c3
º
a×b=
a(a1 , a2 , a3 )¸
.
´½º½ º ½µ
¹
´½º½ º ¾µ
¹
a2 a3
a a
a a
, − 1 3 , 1 2
b2 b3
b1 b3
b1 b2
´½º½¾º ¾µ
a×b c
a a
a a
a a
(a × b)c = 2 3 c1 − 1 3 c2 + 1 2 c3 .
b2 b3
b1 b3
b1 b2
¹
�a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
´½º½ º¾µº
¸
´½º½ º ½µ
½ º¾ º ´
¹
ºµ
¹
1◦ º abc = bca = cabº
2◦ º abc = −bac¸ abc = −cba¸ abc = −acbº
3◦ º (αa)bc = α(abc)¸ a(αb)c = α(abc)¸ ab(αc) = α(abc)º
4◦ º (a + b)cd = acd + bcd¸ a(b + c)d = abd + acd¸ ab(c + d) =
abc + abdº
5◦ º abc > 0¸
ßa, b, c
¸ º º ¹
ßi, j, k ¸ abc < 0¸
ßa, b, c
¸ º º
¹
ßi, j, k º
6◦ º
º
¹
¸
º
º
º
ßi, j, k
´ ½ º¾ µº
º
º
¸
¹
1◦ 4◦
5◦
½¿º¾
¹
¹
6◦
´½º½ º¾µ
´
¹
º µº
�¸
º
½ º¾ º
¸
−−→
OB = b¸
a ¸ b¸ c
−−→
OC = cº
¸
(OAC)
(OAB)º
(OBC)¸ (OAC) (OAB)
½ º¿ º
ºµ
V
a¸ b¸ cº
a ¸ b¸ c
−→
c = AA º H
´½º½ º ¿µ
º
ABCDA B C D
a ¸ b¸ c ¸
A
ABC
α = (c, a × b)º
º ¾ µ¸
º
¿ ´ï ½¿µ
c
¼
¹
¹
abc
¸
º
´
¸
½ º¿ º ´ÿ
abc = ±V
¸
¸
¹
ú·û
¸
±V
º
a ¸ b¸ c
−−→
b = AD
¸
¸
úû
¹
−→
OA = a¸
C
¹
(OBC)¸
A¸ B
¸
a¸ b¸ cº
ø
º
O
a×b
¹
−
−→
a = AB ¸
¸
ßa, b, c
¹
�ABC
c
ABC
V º
a ¸ b¸ c
´ º¾
a×b
α > 90◦ ´
180◦ µº
ABCDA B C D
V
º=S
AHA
º¾
c
µ¸
´½º½ º µ
· AH,
AA · cos A AH º
α < 90◦ ¸
AH =
º¾
´½º½ º ½µ¸
´½º½½º ½µ
a¸ b
¹
abc = (a × b)c = |a × b| |c| cos αº
þ
|a× b| = S ´
½ º¾ µ¸ |c| = AA ¸
cos α = cos A AH
¸
ßa, b, c
◦
¸ cos α = cos(180 − A AH) = − cos A AH ¸
a ¸ b¸ c
º
|c| cos α =
¸
AA (± cos A AH) = ±(AA cos A AH) = ±AH º
abc = ±(S
´½º½ º ¿µº
· AH).
´½º½ º µ ´½º½ º µ
½
´½º½ º µ
¹
�ÿ
¾
ï½ º
ü
½º
½ º½ º ü
¸
¸
O e1 e2 e3
¸
¹
ße1 , e2 , e3 º
O
¸
O
e1 ¸ e2 ¸ e3
º
¸
¸
¸
e1 ¸ e2
¸
e3 ¸
Ox
º
¸
Ox¸ Oy ¸ Oz ´
Oy ¸ Ox Oz ¸ Oy
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
º ¾ µº
Oz ¸
�Oxy ¸ Oxz
Oyz º
½ º¾ º
M
x¸ y ¸ z
M ´
O e1 e2 e3
−−→
OM ¸
O µ¸
M (x, y, z)
x¸ y ¸ z
´
µ
¹
¹
ße1 , e2 , e3 º
M (x, y, z)Oe1 e2 e3
O e1 e2 e3 º
M
−−→
M (x, y, z)Oe1 e2 e3 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 + ze3 º
´¾º½ º ½µ
¸
º¾
O e1 e2 e3
M (2, 4, 3).
M (x, y, z)
Oe1 e2 e3
¹
´¾º½ º ½µº
O
−−−→
OM1 = xe1 ¸ ¹
M1
¹
−−−
−→
M1 M2 =
¸
¹
y e2 ¸
M
−−−→2
M2 M = z e3 .
−−→ −−−→ −−−−→ −−−→
OM = OM1 + M1 M2 + M2 M = xe1 + y e2 + z e3 º
¸M
º
OM1 M2 M
Mº
¸
¹
º
¿
�½º
º
Bº
A
A(x1 , y1 , z1 )
Oe1 e2 e3 º
B
½ º¿
ße−1 ,→e2 , e3
´½º¿º
¾
¹
B(x2 , y2 , z2 )
−−
→
AB º
−→ −−→
OA¸ OB
¹
¸
−−→
OA(x1 , y1 , z1 )¸ OB(x2 , y2 , z2 )º
−
→ −−→ −→
AB = OB−OA
½µ −
´
½ º¿ º ý
¸
λ¸
AB
¹
λ=
´¾º½ º ¾µ
−→
AC
−
−
→
CB
º
C
¹
A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )
O e1 e2 e3
λ=
Cº
−→
AC
−
−
→
CB
º
C(x, y, z)º
→
−−→
½µ−→−
AC(x − x1 , y − y1, z − z1 )¸ CB(x2 − x, y2 −
AC
º½
y, z2 − z)º
−
−
→ = λ¸
CB
−→
−−→
¿
AC = λCB
´
º¾ µ
x − x1 = λ(x2 − x)¸ y − y1 = λ(y2 − y)¸ z − z1 = λ(z2 − z)º
x¸ y ¸ z
C
−→
AC
−−→
CB ´
x=
º
¹
º¾ µ
−−
→
AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) .
¾º
A
y1 + λy2
z1 + λz2
x1 + λx2
, y=
, z=
.
1+λ
1+λ
1+λ
´¾º½ º ¿µ
�þ
¸
x=
´λ = 1µ
AB
y1 + y2
z1 + z2
x1 + x2
, y=
, z=
.
2
2
2
´¾º½ º µ
¾º ü
½º ºü
¸
¸
O e1 e2
O
¸
ü
A B
A(x1 , y1 )
B(x2 , y2 )¸
¹
B(x2 , y2 )¸
C
B
A
x=
´¾º½ º µ
Oe1 e2 ¹
−
−→
AB
−
−
→
AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ) .
´¾º½ º µ
λº
AB
O e1 e2
C(x, y)
A(x1 , y1 )
y1 + λy2
x1 + λx2
, y=
.
1+λ
1+λ
´¾º½ º µ
¸
AB
x=
¸
´¾º½ º µº
¹
ße1 , e2 º
M
−−→
M (x, y)Oe1 e2 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 .
þ
¹
º
y1 + y2
x1 + x2
, y=
.
2
2
´¾º½ º µ
´¾º½ º µ¸ ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ
´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º¿µ
�ï½ º
ï½ º
º
¹
½ º½ º
¸ ¹
º
º
O ij k
¸
O ij
ij = ik = j k = 0º
¸
¸
x
z
µ
Mº
i¸ j
¸
i2 = j 2 = k2 = 1¸
¸
´
k,
º
y
¸
¸
¹
¹
¸
½º
½º
A(x1 , y1 , z1 ) B(x2 , y2 , z2 )
O ij k º
AB º
º
AB
−−
→
−
−→
|AB| = AB 2 º
−−
→
AB(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )¸
AB
A
AB =
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
¾º
−
−→
AB ¸
¹
B
´¾º½ º ½µ
�ABC
A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 )
Oij k º
ABC º
ABC
º
¸
¾
µ
´
¹
−
−
→
AB
−
−
→ −→
AB × AC
−−
→ −→
S = |AB × AC|.
¹
−→
AC º
½ º¾ ¸
¹
´¾º½ º ¾µ
−−
→
−→
AB(x2 −x1 , y2 −y1 , z2 −z1 )¸ AC(x3 −x1 , y3 −y1 , z3 −z1 )¸
−
−→ −→
´´ µµ
AB × AC
y2 − y1 z2 − z1
x2 − x1 z2 − z1
x2 − x1 y 2 − y 1
, −
,
.
y3 − y1 z3 − z1
x3 − x1 z3 − z1
x3 − x1 y 3 − y 1
¸
S
1
2
ABC
1 −
−
→ −→
= AB × AC =
2
y2 − y1 z2 − z1
y3 − y1 z3 − z1
¿
2
x − x1 z2 − z1
+ 2
x3 − x1 z3 − z1
2
x − x1 y 2 − y 1
+ 2
x3 − x1 y 3 − y 1
´¾º½ º ¿µ
ABCD
A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 )¸ D(x4 , y4 , z4 )
O ij k º
ABCD º
1
º
ABCD
6
−
−
→ −→
−−→
¸
AB ¸ AC AD º
¸
þ
¹
2
.
�º
¸
V
º=
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
1
mod x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 .
6
x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1
´¾º½ º µ
¹
´¾º½ º µ
A(x1 , y1 , z1 )¸
B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z4 )¸ D(x4 , y4 , z4 )
¹
¸
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 = 0.
x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1
´¾º½ º µ
¾º
½ º½
¹
O ij
−−→
M (x, y)Oij ⇐⇒ OM = xi + y j.
A B
A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸
AB =
¸
O ij
¹
AB
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
´¾º½ º ¿µ
´¾º½ º µ
ABC ¸
´¾º½ º µ
¸ ¹
¹
�A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 )
S
=
1
2
mod
x2 − x1 y 2 − y 1
=
x3 − x1 y 3 − y 1
1
2
C(x3 , y3 )¸
x1 y 1 1
mod x2 y2 1 .
x3 y 3 1
´¾º½ º µ
ï½ º
½º
½ º½ º
Oe1 e2 ´
e1 (c11 , c21 )¸ e2 (c12 , c22 )
Oe1 e2 º
´
µ
M
µ
O e1 e2
O (x0 , y0 )
(x, y)
´
µ¸
´
µ
x = c11 x + c12 y + x0 ¸
y = c21 x + c22 y + y0 .
º
(x , y )
´¾º½ º ½µ
½ º½
¹
−−→
OM = xe1 + ye2 ¸
−−−→
O M = x e1 + y e2 ¸
−−→
OO = x0 e1 + y0 e2 .
e2 º
¹
−−−→
OM
e1 = c11 e1 + c21 e2 e2 = c12 e1 + c22 e2 ¸
´¾º½ º¾µ¸
´¾º½ º ¾µ
¸
e1
¹
�−−−→
O M = x (c11 e1 + c21 e2 ) + y (c12 e1 + c22 e2 ) = (c11 x + c12 y )e1 +
(c21 x + c22 y )e2 º
−→ −−→ −−−→
´´½º¿º ½µµ −
¸
OM = OO + O M º
´¾º½ º ¾µ
−−−→
O M¸
e1
¹
¹
−−→
OM
e2
−−→
OM = (x0 e1 + y0 e2 ) + (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 =
(c11 x + c12 y + x0 )e1 + (c21 x + c22 y + y0 )e2 .
´¾º½ º ¿µ
þ
e1
e2
−−→
OM
´¾º½ º ¾µ ´¾º½ º ¿µ
´¾º½ º ½µº
¾º
x = c11 x + c12 y + c13 z + x0 ¸
y = c21 x + c22 y + c23 z + y0 ¸
z = c31 x + c32 y + c33 z + z0 ¸
(x, y, z)
¸
(x , y , z )
Oe1 e2 e3
´
µ
O e1 e2 e3
´¾º½ º µ
´
e1 (c11 , c21 , c31 )¸ e2 (c12 , c22 , c32 )¸ e2 (c13 , c23 , c33 )
O (x0 , y0 , z0 )
Oe1 e2 e3 º
´¾º½ º µ
¸
¼
M
µ ¹
´¾º½ º ½µº
�ï½ º
½ º½ º
µ¸
´
¹
¹
´
µ
º
½º
Oij
¸
Oi j
(i, i ) = ϕ
¹
O (x0 , y0 )º
(x, y) (x , y )
¹
º
M
¸
ϕº
(c12 , c22 )
¸
µ
¸
ï½¾¸
cij ´i, j = 1, 2µ
(c11 , c21 )
j
¾µº
c11 = cos(i , i)¸ c21 = cos(i , j)¸
c12 = cos(j , i)¸ c22 = cos(j , j).
¸
i
j
i¸ j º
´
i
ßi, j º
´
O ij
¹
´¾º½ º ½µ
¸
¹
¹
Oi j
º ¾ µ¸
¸
¹
(i , i) = ϕ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = 90◦ + ϕ¸ (j , i) = ϕº
Oij O i j
µ
(i , i) = ϕ¸
´
º ¾ µ¸
(i , j) = 90◦ − ϕ¸
½
(j , i) = 90◦ − ϕ¸
(j , i) =
�180◦ − ϕº
º
º¾
þ
º¾
µ
c11 = cos ϕ¸ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸
c12 = cos(90◦ + ϕ) = − sin ϕ¸ c22 = cos ϕº
þ
µ
c11 = cos ϕ¸
c12 =
cos(90◦
c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸
− ϕ) = sin ϕ¸ c22 = cos(180◦ − ϕ) = − cos ϕº
´¾º½ º ½µ¸
x = x cos ϕ − y sin ϕ + x0 ¸
y = x sin ϕ + y cos ϕ + y0 ¸
= ±1¸
þ
½µ
Ox y
O ij
ú·û¸
Oij
¸ ú û¸
º
i = i¸ j = j ¸
´
¸
Oxy
º ¾ ¸ µº þ
¾
¹
´¾º½ º ½µ
Oi j
Oi j
¹
º
¹
¹
¹
¹
´¾º½ º ½µ
�x = x + x0 ¸
y = y + y0 º
¾µ
= +1µ¸
´
O = O ´x0 = y0 = 0
Ox y
¸
º ¾ ¸ µº
´¾º½ º ½µ
´¾º½ º ¾µ
Oxy
x = x cos ϕ − y sin ϕ¸
y = x sin ϕ + y cos ϕº
´¾º½ º ¿µ
º¾
º¾
¾º
¸
”
“
c11 ¸ c12 ¸ c13 ¸ c21
º
Oij k
´
ú
µ
¸
¸ ººº ´
µ
û
M
¿
´¾º½ º µ
(x, y, z)
Oi j k
¹
¹
¹
¹
�ú
û
µ
ºþ
M
¸
´ï½¾¸
k
⎛
¸
¼º
i¸ j ¸ k
i
i¸ j ¸ k
¸j ¸k ¸ ¸
ÿ
±½º
¸
¸
¸
+1¸
−1¸
¹
¹
i
¸
¸
¼º
¸
¸
½º ÿ
¸
¸
¸
¸j ¸k
i¸ j ¸ k
¾µº
½
½
i
⎞
c11 c12 c13
T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ .
c31 c32 c33
T
º
ï ¾¼º
´ ¹
(x , y , z )
¸j ¸
¸
¹
º
¹
¹
¹
º
�´Oe1 e2
þ
º
O ij
´
¹
¸
µ
Φ
¹
¸
¹
¸
¸
¸
(x, y)
¸
¾¼º½ º
Φº
µº
¹
¸
º
¹
´
µ
¾¼º¾ º ü
2x + 3y + 5 = 0¸ x2 + y 2 = 1
¸
´
µ¸
Oxy
¹
¹
¸
¸
¸
Ò¹
¸
F (x, y)
Òº
¸
¹
Φ¸
Φº
F (x, y) = 0
¸
x¸ y ¸
Φ
º
¹
¹
¹
�Oxy º
F (x, y) = 0
F (x, y)
F1 (x, y)
F2 (x, y)¸
¸
y = −xº
y=x
½º
F1 (x, y) = 0
x2 − y 2 = 0
Φ
º
¸
¾º
º
¸
¹
¹
F2 (x, y) = 0º
¹
º
¸
¸
¹
¹
Φ
º
¸
º
¸
¹
¸ ¹
¸
½µ
¹
¸
¾µ
¹
¸
¿µ
¹
M (x, y)¸
µ
´
º
¸
´
µ
Φ
¹
µ
µ
µ
µ¸
´
º
¹
¹
�þ
º
½º
ω(C, r)
rº
¹
C
ωº
º
r¸
¹
O ij
C(a, b)º
M
Mº
CM =
(x − a)2 + (y − b)2 = r º
¹
CM =
º
(x, y)
(x − a)2 + (y − b)2 º
¹
¹
º
´¾º¾¼º ½µ
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2 º
þ
º
´¾º¾¼º½µ
(x, y)
CM 2 = r 2
M ∈ ωº
º
(x, y)
M
¸
¸ CM = rº
¸
º
¸
º
´¾º¾¼º ½µ
¸
F1 (x, y) ≥ 0,
F2 (x, y) ≤ 0.
º
M (x, y)
¸
¸
´¾º¾¼º½µ
¹
¸
´¾º¾¼º ¾µ
Φ1
´¾º¾¼º¾µº
M (x, y)
Φ2 ¸
´¾º¾¼º ¾µ¸
¸
¹
¹
¹
�º
´¾º¾¼º ¾µ¸
¸
¹
¾º
¹
Φ2 º
Φ1
¸
¹
⎧
2
2
⎪
⎨x + y ) ≤ 16,
x ≥ −1,
⎪
⎩
y ≤ 3.
º
Φ1 ¸ Φ2
Φ3 º
º
Φ1 ¸
¹
x2 + y 2 ≤ 16¸
¸
Φ2
¹
¹
¾º
x = −2¸
Φ3
¸
y = 3º
º
¹
º ¾
¹
¹
¹
¹
¹
º¾
¾º ÿ
¸
¹
¸
´Oe1 e2 e3
µº þ
Oij k
¹
(x, y, z)
º
¹
�¸
¾¼º¿ º
Φ
Φº
þ
¹
¸
¸
x¸ y ¸ z ¸
¸
Φº
½º
¾º
¿º
¹
Φ¸ ¹
¸
F (x, y, z) = 0¸
º
z = f (x, y)º
F (x, y, z) = 0º
x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v)¸
¸
M
M (u, v)º
¹
¹
º º
¹
x¸ y ¸ z
u¸ v º
¸
º
M
u
þ
¸
v¸
x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v)
r = r(u, v)¸
r
Φ
¸
¹
¹
º
½º
F (x, y, z) = 0¸
Φ(x, y, z) = 0
�F (r) = 0¸
¾º
Φ(r) = 0º
x = x(t),y = y(t),z = z(t)
º º
¸
¹
x¸ y ¸ z
º
M
M
M (t)º
x = x(t)¸ y = y(t)¸ z = z(t)
r = r(t)¸
¹
r
tº
¸
t¸
þ
¸
º
x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v)
v = v0 = const¸
x = x(u, v0 )¸ y = y(u, v0 )¸ z = z(u, v0 ),
v = constº
¸
v¹
r = r(u, v0 )¸
u
u = u0 =
ÓÒ×ظ
¹
x = x(u0 , v)¸ y = y(u0 , v)¸ z = z(u0 , v)
v¹
¸
F (x, y, z)
¸
u = constº
u = const Ú const
¸
Ò¹
´Ò¹
´
r = r(u0 , v)¸
¹
º
¸
µº
¼
¹
F (x, y, z) = 0¸
µº
¹
¹
�F (x, y, z)
ϕ(x, y, z)
¸
ψ(x, y, z) ´
ϕ(x, y, z) = 0
¸
M
O ij k
C(a, b, c)º
Mº
º
º
rº
C
Φº
º
¹
ºþ
¿º
Φ
x¸ y ¸ z µ¸
F (x, y, z) = 0
ψ(x, y, z) = 0º
(x, y, z)
CM = r ¸
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 .
CM =
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r º
¹
¹
º
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r 2 º
þ
º
´¾¼º¿µ
(x, y, z)
CM 2 = r 2
(x, y, z)
M
¸
Φº
¸ CM = rº
º
ï ¾½º
½º
½
º
¸
´¾º¾¼º ¿µ
¸
¹
´¾º¾¼º¿µ
M
´¾º¾¼º ¿µ
�¾½º½ º
¸
i¸
¸
OP º
OP
(ρ, ϕ
ρ¸
¸
O¸
O
i
OP
¹
º
¹
¹
¾½º¾ º
M
¹
ϕ
OM
´¾º¾½º ½µ
ρ = OM (ρ ≥ 0), ϕ = P OM .
A 2,
π
3
º ¿¼
¸ B 1, 3π2 ¸ C
½µ
¸
º
ϕ
k
3,
5π
4
º
O ¹
¾µ ¹
¹
¸ ¹
¹
¹
¹
¸ ϕ ± 2πk¸
¸
0 ≤ ϕ < 2π ¸
º
º ¿¼
º
¸
ϕ
¾º
Oi
(ρ, ϕ)
(x, y)
¾
º
¸
O ij
M
�º
−−→
OM
M¸
Mº
¹
−−→
−−→
x = OM cos(i, OM )¸ y = OM cos(j, OM )º
−−→
−−→
OM = ρ¸ (i, OM ) = ϕ (j, OM ) = 90◦ − ϕ¸
¹
(x, y)¸
´ º
¹
´½º½¾º µ
y = ρ sin ϕº
x = ρ cos ϕ,
º
´¾º¾½º ¾µ
(ρ sin ϕ)2 = ρ2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = ρ2 ¸
ρ=
¸
x2 + y 2 ¸
ϕ=
´¾º¾½º ¾µ
x2 +y 2 = (ρ cos ϕ)2 +
y
=Ø ϕº
x
´¾º¾½º ¿µ
Ö Ø xy º
´¾º¾½º ¿µ
º
x
y
¹
ϕ
ϕ
y ≥ 0¸ x > 0¸
0≤ϕ<
x ≤ 0¸ y > 0¸
π
2
π
≤ϕ<π
2
3π
π≤ϕ<
2
3π
< ϕ < 2π º
2
y ≤ 0¸ x < 0¸
y < 0¸ x ≥ 0¸
¿º
ρ
ϕº
F (ρ, ϕ) = 0º
¿
F (ρ, ϕ)¸
¸
Oi
¸
¹
�¸
ρ = a¸
ÓÒ×ظ
a
¸
O
aº
º
¹
¹
(ρ, ϕ)
º
(ρ, ϕ)
M (|ρ|, ϕµ
(−1, 4π
3 )
¹
ρ ≥ 0¸
ºþ
A¸
ρ, ϕ
M¸
º
¸
º
ρ < 0¸
º ¿¼
(ρ, ϕ)¸
O¸
¹
¸
¸
¸
ρ
¹
¹
(ρ, ϕ)
A (1, 4π
3 )º
º
¸
º
�ÿ
¿
ï ¾¾º
´
µ
½º
¾¾º½ º þ
¸
¸
M0
´
´¿º¾¾º½µ
M
−−−→
M0 M aº
−−−→
= {M ∈ R3 |M0 M
Oe1 e2
a¸
M0 (x0 , y0 )
µ¸ a
¹
º
¹
¸
¸
a}º
¸
º
a¸
M0
º
¸
¸
¹
º
¸
a(a1 , a2 )º
¹
�M (x, y)
(x − x0 , y − y0 )º
º
−−−→
M0 M
a¸
−−−→
M0 M
x − x0 y − y 0
=
º
a1
a2
¸
¸
´¿º¾¾º½µ¸
´¿º¾¾º ½µ
M (x, y)
º
M
´¿º¾¾º½µ
º
ºþ
¸
º
¹
y − y0 = 0º
x − x0 = 0
¾º
−−−→
M0 M
−−−→
M0 M = taº
º
¹
¹
a
¹
x − x0 = a1 t,
y − y0 = a2 t.
¹
x = x0 + a1 t,
y = y0 + a2 t.
tº
¸
´¿º¾¾º ¾µ
¹
´¿º¾¾º¾µ
�¿º
¸
M2 (x2 , y2 )¸
¸
º º
M1 (x1 , y1 )
= M1 M2 º
¹
¹
¹
M1 (x1 , y1 )
M1 M2
a = M1 M2 º
(x2 − x1 , y2 − y1 )¸
´½º¾¾º½µ
y − y1
x − x1
=
¸
x2 − x1 y 2 − y 1
´¿º¾¾º ¿µ
º
º
ú
Ox
B(0, b)º
û
A(a, 0)
Oy
¾¾º¾ º
A
º
¸
a
B
a
¸
A(a, 0)
A
B
B(0, b)º
bº
¹
¹
¹
¸
´¿º¾¾º ¿µ¸
y
x−a
= .
−a
b
bx + ay = ab,
b
¸
�ab¸
x y
+ = 1º
a b
ûº
´¿º¾¾º µ
´¿º¾¾º µ
ú
¹
º
¾¾º½ º þ
º
Ax + By + C = 0
M0 (x0 , y0 )
º ½µ
aº
´¿º¾¾º½µº
a2 (x − x0 ) − a1 (y − y0 ) = 0,
a2 x − a1 y + (−a2 x0 + a1 y0 ) = 0.
þ
A = a2 , B = −a1 , C = −a2 x0 + a1 y0
Ax + By + C = 0¸
¾µ
º
A
¸ º º
´¿º¾¾º µ
¹
B
´¿º¾¾º µ
º
º
´¿º¾¾º µ
¸
´¿º¾¾º µº
¹
�º
¸
´¿º¾¾º µ
A x+ C
A +By = 0.
y
x+ C
A
= º
−B
A
´¿º¾¾º µ
´¿º¾¾º ½µ
´¿º¾¾º µ
¸
M0 (− C
A , 0)
a(−B, A)º
´¿º¾¾º µ¸
´¿º¾¾º µ
¸
º
¿º
Ax + By + C = 0¸
º (−B, A).
´¿º¾¾º µ
´¿º¾¾º µµº þ
A
º
º
¹
¹
B
ú
û
Ax + By = −C,
C = 0¸
x
−C
A
¸
Ax + By + C = 0¸
¹
a
´
¹
ú
a=
+
¸
−C
A
y
−C
B
´¿º¾¾º µ
−C ¸
= 1.
ûa
, b=
b¸
−C
B
º
´¿º¾¾º µ
�ï ¾¿º
´
µ
¹
O ij º
½º
¾¿º½ º þ
¸
¸
n¸
º
¸
¾¿º½
¸
¸
¸
n¸
M0
−−−→
R3 |M0 M ⊥n}º
¸
M0 (x0 , y0 )
(x − x0 , y − y0 )º
−−−→
n M0 M
º
−−−→
M0 M ⊥n¸
¹
º
¹
M0
¸n
¸
º
M
−−−→
M0 M ⊥nº
¹
n(A, B)º
−−−→
M0 M
n
M (x, y)−
¹
−−−→
M0 M ¸
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0º
¸
´¿º¾¿º½µ¸
M (x, y)
M
¼
¹
¹
¹
¹
= {M ∈
º
ºþ
¹
´¿º¾¿º ½µ
º
¹
¹
�¸
þ
´¿º¾¿º½µ
º
¹
º
´¿º¾¿º ½µ
C = −Ax0 − By0 º
Ax + By + C = 0º
¹
þ
A, B
n
º
¸
Ax + By + C = 0
(A, B)º
n
þ
¸
¹
A
B
º
¾º
¾¿º¾ º
½µ
C < 0º
Ax + By + C = 0¸
x y
¾¿º¾
¹
½ ¾µ
¸
x cos ϕ + y sin ϕ − p = 0¸
p > 0¸ 0 < ϕ < π º
´¿º¾¿º ¾µ
Ax+By+C = 0º
¹
ºþ
λ = ±√
1
A2 + B 2
½
´¿º¾¿º ¿µ
�ú·û¸
C < 0¸
ú−−û¸
¸
C > 0º
Ax
By
C
±√
±√
±√
= 0¸
A2 + B 2
A2 + B 2
A2 + B 2
¾¿º¾
±√
A
2
A + B2
2
´¿º¾¿º µ
¸
B
+ ±√
2
A + B2
2
= 1.
¿º
¾¿º¿ º
Ox
α
a
i
º
0 < α < πº
α
¾¿º º
Oxº
k
¸
k = Ø αº
½º
¸
¾º
¸
Ox,
º
º
¸
´¿º¾¿º µ
¸ ¹
º
¸
M0 (x0 , y0 )
kº
a(a1 , a2 )
¹
a1 = |a| cos α¸ a2 = |a| sin α ¸
¾
�a
¸ k = tg α = a2º
a2 = k a1 º
1
¹
y − y0
x − x0
=
.
a1
k a1
y − y0 = k (x − x0 )¸
º
´¿º¾¿º µ
´¿º¾¿º µ
y = kx + b¸
b = y0 − kx0 º
´¿º¾¿º µ
´¿º¾¿º µ
º
Ax+By+C = 0º
¹
ºþ
y¸
y=−
´¿º¾¿º µ
C
A
x− ¸
B
B
´¿º¾¿º µº
´¿º¾¿º µ
C
A
k=− , b=− º
B
B
ï¾ º ÿ
Ü· Ý· ¼
¸
º
¿
M1 ¸ M2
�¾ º½ º ÿ
¸
¸
¸
M1 M2
M1 M2
,
M1 M2
º
¾ º¾ º
º
¸
¹
¸
¸
¸
¾ º½ º
º
¸
º
Ax + By + C = 0¸
Ax + By + C < 0
Ax + By + C > 0
ºþ
º
¹
¹
¸
δ(x, y) = Ax + By + C.
¾
¸ δ(x, y) = 0 ⇔ M (x, y) ∈ º
M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 )
¸
¸ δ1 = δ(x1 , y1)¸ δ2 = δ(x2 , y2)
δ
º
M1 M2 º
M1 M2
¸
º½
M1 M2
−−−−→
ºþ
M1 M2 (x2 − x1 , y2 − y1 )
a(−B, A)
º
¸
y2 − y1
x2 − x1
=
.
−B
A
¹
¹
¹
¹
�A(x2 − x1 ) = −B(y2 − y1 ).
Ax1 + By1 = Ax2 + By2 .
¸
C
Ax1 + By1 + C = Ax2 + By2 + C,
º º
´¿º¾ º ½µ
º
¹
δ1 = δ2 º
M1 M2
´¾º½ º ¾µ
M0 (x0 , y0 )
x0 =
λ =
M1 M2
´
−−−−→
M1 M0
−−−−→
M0 M2
x1 + λx2
y1 + λy2
, y0 =
¸
1+λ
1+λ
º
½µ
¸
º ¿½ µ ¸
λ > 0º
M0 ∈
A
M1
¸ λ < 0 ¾µ
M1 M2
¸
´¿º¾ º ¾µ
´
¹
M2
M0
¸
M1
º ¿½ µ
M0
y1 + λy2
x1 + λx2
+B
+ C = 0.
1+λ
1+λ
(Ax1 + By1 + C) + λ(Ax2 + By2 + C) = 0
M2
�δ1 + λδ2 = 0.
λ
λ=−
´¿º¾ º ¿µ
δ1
º
δ2
º ¿½
º ¿½
´¿º¾ º ¿µ ½µ
¸
¸
M1
¸
δ1
λ>0
δ1
¸
½µ
M1
Ax + By + C > 0
¸
M1
¸
δ2
M1
ºþ
δ2
M2
¸
M2
δ2
¾µ
δ1
δ2
λ < 0
¸
M2
λ > 0¸
½µ
λ < 0¸
º
¹
¸
¹
Ax + By + C < 0
M1 M2
´¿º¾ º ½µ ¾µ
¸
δ1
¸
M2
¸
¹
¸
¾µ
¹
¸
¹
¹
º
�¸
¸
Ax+By+C < 0º
Ax+By+C > 0
¸
º
Ax + By + C < 0
ï¾ º
¹
Ax + By + C > 0
¹
þ
1
½µ
¾µ
¿µ
º º ½µ
¾µ
1
2
1
2
1
2
1
¸
2
A1 x+B1 y +C1 = 0
1
2º ÿ
¸
A2 x+B2 y +C2 = 0
¹
¹
A1 x + B1 y + C1 = 0
A2 x + B2 y + C2 = 0
ºþ
¸
ºþ ¹
¸
¸
¿µ
º
2
´¿º¾ º ½µ
¸
º
¹
´¿º¾ º ½µ
¸
�´¿º¾ º½µ
B1 C1
B2 C2
x=
A1 B1
A2 B2
´¿º¾ º ¾µ
¾µ
B C1
Δ1 = 1
B2 C2
Δ¸ Δ1 ¸ Δ2
¸
½µ
A1
A2
=
¸
B1
B2
¸
¾µ
,
y=
C1 A1
C2 A2
A1 B1
A2 B2
¸
¸
´¿º¾ º ¾µ
.
´¿º¾ º ½µ ½µ
Δ=
Δ=0
C A1
Δ2 = 1
C2 A2
º
¿µ
¸
A1
A2
1
=
B1
B2
A1 B1
=0
A2 B2
Δ=0
1
= C
C2
Δ1 = Δ2 = 0
º
¹
¹
2
A1 B1
=
¸
A2 B2
´¿º¾ º ¿µ
A1 B1 C1
=
=
¸
A2 B2 C2
´¿º¾ º µ
¸
¿µ
¸
A1 B1 C1
=
= º
A2 B2 C2
ÿ
a1 (−B1 , A1 )
2
´¿º¾ º µ
º
´¿º¾ º¿µ
a2 (−B2 , A2 )
º
´¿º¾ º
µ
¸
´¿º¾ º µ
1
�´¿º¾ º¿µ¸ ´¿º¾ º µ
¸
º
½µ
1
¸ ¹
2
1
1
1
2
=
B1
B2
1
2
=
B1
B2
¸
¸ ¹
2
¸ º º AA
¿µ
¹
¸
¸ º º AA
¾µ
º º AA
´¿º¾ º µ
1
2
=
¸
B1
B2
=
C1
C2
¹
¸
¸
2
=
¸
C1
C2 .
ï¾ º
½º
¾ º½ º
¸
º
Oe1 e2 º
¸
¹
¹
¹
º
¾ º½ º
S(x0 , y0 )¸
α(x − x0 ) + β(y − y0 ) = 0º
¹
´¿º¾ º ½µ
�º
º
¸
a(−β, α)º
(−β, α)º
α¸ β
º
¸
º
´¾º¾ º½µ
¸
1
2
¸
A1 x + B1 y + C1 = 0
¹
S
α¸ β
¸
¹
S¸
´¾ º½µº
¾ º¾ º
¸
º
¹
¹
A2 x + B2 y + C2 = 0¸
α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0º
º
´¿º¾ º ¾µ
1
¸
2
a1 (−B1 , A1 )¸ a2 (−B2 , A2 )¸
1
¸
2
º
By + C = 0º
a1 ¸ a2 ¸ a
a = αa1 + βa2 º
¸
º
A = αA1 + βA2 ,
S(x0 , y0 )
a1 ¸ a2
a
−B = α(−B1 ) + β(−B2 ),
2
Ax +
a(−B, A)º
A = αA1 + βA2
B = αB1 + βB2 .
º
S¸
A1 x0 + B1 y0 + C1 = 0,
´¿º¾ º ¿µ
A2 x0 + B2 y0 + C2 = 0.
¼
1
�−A1 x0 − B1 y0 = C1 ,
+C = 0º
þ
´¿º¾ º¿µ¸
C
−A2 x0 − B2 y0 = C2 .
S¸
¸
Ax0 + By0 +
C = −Ax0 − By0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 =
α(−A1 x0 − B1 y0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 ) = αC1 + βC2 º
¸
C = αC1 + βC2 .
´¿º¾ º¿µ ´¿º¾ º µ
´¿º¾ º µ
(αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 ) = 0,
´¿º¾ º¾µ
α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0.
¸
¸
¸
´¿º¾ º¾µ
2
1
2
¸
¸
S(x0 , y0 )
(x0 , y0 )
α(A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0.
¸
α
βº
λ=
β
α
(A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + λ(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0º
´¿º¾ º µ
2
¹
1
¹
´¿º¾ º µ
¸
º
¾º
½
�¾ º¾ º
º
¾ º¿ º
¸
A¸ B
ºþ
º
a(−B, A)
x¸ y ¸
Cº
¸
¹
¸
A¸ B
¹
º
C
º
¹
Ax + By + C = 0¸
¸
¸
A¸ B
¹
¸
¹
¹
¹
C
¸
Ax + By + C = 0
ï¾ º
þ
¸
ºþ
¸
º
0◦
¸
º
º
º
O ij
1
2
¾
¸
¹
¹
º
¹
180◦
¹
�y = k1 x + b1 ,
´ º
º
º ¿¾µ
α1 ¸ α2
α1 + θ º þ
θ = α2 − α1
tg θ =
y = k2 x + b2 º
º
θ
1
Oxº
2
α2 =
tg α2 − tg α1
.
1 + tg α1 tg α2
tg α1 = k1 ¸ tg α2 = k2 ¸
tg θ =
k2 − k1
º
1 + k1 k2
´¿º¾ º ½µ
´¾º¾ º½µ
º ¿¾
¹
1
¸
2
º
º
º
´¿º¾ º½µ
¹
¹
⇔ k1 = k2 ¸
1
1 ⊥ 2 ⇔ k2 = − º
k1
1 || 2
1
´¿º¾ º ¾µ
2
´¿º¾ º ¿µ
k1 = − A
B ¸ k2 =
A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0.
2
−A
B2 º
´¿º¾ º½µ
tg θ =
A1 B2 − A2 B1
º
A1 A2 + B1 B2
¿
1
1
´¿º¾ º µ
�1
´¿º¾ º¿µ¸
2
¸
¹
¸
´¿º¾ º µ
A1 A2 + B1 B2 = 0º
ï¾ º
¹
O ij º
º
Ax + By + C = 0
M (x, y)º
d
º
M
º
M1
(x1 , y1 )
−−−→
M1 M (x − x1 , y − y1 )º
n(A, B)
−−−→
M1 M = λnº
º
M M1
¸
d = |M1 M |º
¹
¹
M1
λ¸
nº
−−−→
2
2
nM1 M = λn = λ(A + B 2 )
−−−→
nM1 M
λ= 2
º
A + B2
d
þ
−−−→
√
|nM1 M |
−−−→
d = |M1 M | = |λn| = |λ| · |n| = |λ| A2 + B 2 = √
º
A2 + B 2
−−−→
nM1 M
þ
−−−→
nM1 M = A(x − x1 ) + B(y − y1 ) = Ax + By + (−Ax1 − By1 ).
−Ax1 − By1 = C ¸
M1
¹
�¸
¸
¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º
−−−→
nM1 M = Ax + By + C.
d
d=
|Ax + By + C|
√
º
A2 + B 2
´¿º¾ º ½µ
ï¾ º
¹
O ij º
º
Ax + By + C = 0¸
Ax + By + C = 0º
d
º
M1 (x1 , y1 )
d
−C º
º
M1
d=
M1 ∈
º
¸
|Ax1 + By1 + C |
√
.
A2 + B 2
¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º
¸
|C − C|
d= √
º
A2 + B 2
Ax1 + By1 =
´¿º¾ º ½µ
�ï ¿¼
½º
¿¼º½ º þ
¸
¹
a
α¸
−−−→
M0 A = a¸
M0
¹
A ∈ αº
¿¼º¾ º
a
b
º
¸
π
º
M0
´
¸
¸
º
¸
¿¼º¾
M
−−−→
M0 M ¸ a¸ b
M
−−−→ 0
π = {M ∈ R3 |M0 M , a, b −
µ¸ a
α¸
¹
¹
b
¹
º
π
¸
a
}º
bº
¹
º
Oe1 e2 e3
M0 (x0 , y0 , z0 )
M (x, y, z)
a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º
−−−→
πº
M0 M
−−−→
M0 M ¸ a¸ b
z0 )º
π¸
¹
a(a1 ,
¹
(x−x0 , y −y0 , z −
¸
�x − x0 y − y0 z − z0
a1
a2
a3 = 0 º
b1
b2
b3
¸
¿º¿¼º½ ¸
¸
´¿º¿¼º ½µ
M (x, y z)
πº
M
´¿º¿¼º½µ
πº
¹
º
¾º
¹
−−−→
M0 M ¸ a
−−−→
M0 M = ua + v bº
⎧
⎪
⎨x − x0 = ua1 + vb1 ,
y − y0 = ua2 + vb2 ,
⎪
⎩
z − z0 = ua3 + vb3 .
b
¹
⎧
⎪
⎨x = x0 + ua1 + vb1 ,
y = y0 + ua2 + vb2 ,
⎪
⎩
z = z0 + ua3 + vb3 .
´¿º¿¼º ¾µ
´¿º¿¼º½µ¸
u, v º
´¿º¿¼º¾µ ¹
¿º
π
M2 (x2 , y2 , z2 ) M3 (x3 , y3 , z3 )¸
º º π = M1 M2 M3º
M1 (x1 , y1 , z1 )¸
¸
π
�º
¸
¸
M1 M2
M1 ¸ M2
M1 M3
M3
πº
¸ a = M1 M2
πº
¸ M1(x1 , y1, z1 )
b = M1 M3
M1 M2
M1 M3
(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) (x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 )¸
´¿º¿¼º½µ
x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 ¸
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
´¿º¿¼º ¿µ
º
º
B(0, b, 0)
ú
û
π
Ox¸ Oy Oz
C(0, 0, c)º
¿¼º¿ º
A¸ B
º
¸
A(a, 0, 0)¸
a¸ b
C
π
π
a¸ b
π
B(0, b, 0)
C(0, 0, c)¸
A¸ B
C
c
´¿¼º¿µº
´¿º¿¼º¿µ¸
x−a y z
−a b 0 = 0 .
−a 0 c
cº
A(a, 0, 0)¸
¹
¹
�bcx + acy + abz = abc,
¸
abc¸
´¿º¿¼º µ
x y z
+ + =1
a b c
ûº
º
´¿º¿¼º µ
π
¿¼º½ º þ
º
Ax + By + Cz + D = 0
º ½µ
M0 (x0 , y0 , z0 )
a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º
ú
¹
π
´¿º¿¼º½µº
¹
¸
a a
a a
a2 a3
(x − x0 ) − 1 3 (y − y0 ) + 1 2 (z − z0 ) = 0.
b2 b3
b1 b3
b1 b2
þ
A=
a2 a3
,
b2 b3
B=−
a1 a3
,
b1 b3
a1 a2
b1 b2
´¿º¿¼º µ
´¿º¿¼º µ
´¿º¿¼º µ
¹
C=
Ax + By + Cz + D = 0¸
D = −Ax0 − By0 − Cz0 º
A¸ B C
þ
¸
�a
¾µ
b
º
º
º
x = −B
Ay−
¸
¸
C
A
z−
D
A
´¿º¿¼º µ
¹
´¿º¿¼º µ
´¿º¿¼º ¾µ
¹
M0
C
a(− B
,
1,
0)
¸
b(−
A
A¸
º
º
´¿º¿¼º µ
¸
¹
´¿º¿¼º µ
¹
π
Ax+By +Cz +D = 0¸
a(−B, A, 0)
b(−C, 0, A)º
þ
º
D
A,
´¿º¿¼º µ
´¿º¿¼º µ¸
C
v−
¸
´¿º¿¼º µº
¹
¸
y = u¸ z = v
.
C
A
¹
¸
º
´¿º¿¼º µ A = 0
(− D
A ¸ 0, 0)
0, 1)º
B
´¿º¿¼º µ
º
⎧
B
⎪
⎨x = − A u −
y = u,
⎪
⎩
z = v.
¸
¸
A¸
¹
º
ú
Ax + By + Cz = −D,
½¼¼
û
´¿º¿¼º µ
�−D ¸
ú
x
−D
A
+
y
−D
B
¸
Ax + By + Cz + D = 0¸
a=
+
û
y
−D
C
= 1.
π
ú
D = 0¸
û
a¸ b
c¸
¸
−D
−D
−D
, b=
, b=
.
A
B
C
´¿º¿¼º µ
ï ¿½
¿½º½ º ÿ
º
¿½º¾ º
¹
¹
¹
¸
º
¸
α¸
−−
→
n = AB
AB
¸
¹
¸
¹
º
½º
π
¸n
¿½º¾
M
−−−→
M0 M ⊥nº
¸
π
½¼½
M0
¹
¸
¸
º
¹
¸
�n¸
M0
−−−→
π = {M ∈ R3 |M0 M ⊥n}º
º
M0 (x0 , y0 , z0 )
M (x, y, z)
þ
n
¹
π¸
πº
(x − x0 , y − y0 , z − z0 )º
−−−→
n M0 M
n(A, B, C)º
¹
−−−→
M0 M
−−−→
M0 M ⊥n¸
º
−−−→
M0 M ¸
A(x−x0 )+B(y−y0 )+C(z−z0 ) = 0º
¸
πº
þ
M (x, y, z)
´½º¿½º½µ¸
¸
M
´¿º¿½º½µ
þ
C
´¿º¿½º ½µ
πº
¹
¹
º
´½º¿½º½µ
D = −Ax0 − By0 − Cz0 º
Ax + By + Cz + D = 0º
A, B, C
n
πº
¸
π
Ax + By + Cz + D = 0
¸
n
(A, B, C)º
B
¹
þ
¹
¹
A¸
¹
º
½¼¾
�¾º
¿½º¿ º
¸
Ax + By + Cz + D = 0
½µ A2 + B 2 + C 2 = 1¸
¾µ D < 0º
¿½º¿
¸
x cos α + y cos β + z cos γ − ρ = 0¸
cos α¸ cos β ¸ cos γ
¸ ρ > 0º
n
π
Cz + D = 0º
´¿º¿½º ¾µ
Ax + By +
¹
¹
ºþ
λ = ±√
1
D < 0¸
ú·û¸
´¿º¿½º ¿µ
A2 + B 2 + C 2
ú û¸
(λA)x + (λB)y + (λC)z + λD = 0,
¸
¸
D > 0º
´¿º¿½º µ
(λA)2 + (λB)2 + (λC)2 = 1.
λD < 0º
ï ¿¾º ÿ
Ü· Ý· Þ·
π
πº
½¼¿
¸
M1 ¸ M2
¸
�¿¾º½ º ÿ
¸
M1
π¸
π¸
¿¾º¾ º
¸
M2
M1 M2
π¸
º
M1 M2
¹
π¸
πº
¹
º
¸
R3 ¸
º
¸
¿¾º½ º
π
Ax + By + Cz + D > 0
Ax + By + Cz + D = 0¸
Ax + By + Cz + D < 0
¸
¹
º
π
¹
¾ º½ º
ï ¿¿º
þ
π1
þ
½µ
¾µ
¿µ
º º ½µ
¹
π1
π1
π1
π2
π2
π2
π1
¸
¸
¸
π2
¸ ¾µ
º
½¼
π2 º
3)−
�A1 x+B1 y+C1 z+D1 = 0
π1 π2 º ÿ
A2 x+B2 y+C2 z+D2 = 0
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
´¿º¿¿º ½µ
¸
º
A1 B1 C1
A2 B2 C2
r
¸
µr=r
π2
r < 3¸ r < 3º
µr
µ
= 1¸ r = 2
π1 π2
r=r =1
´¿º¿¿º½µ
¹
r = rº
¸
º
º
¸
π1
¸
¹
¸
r = 2
B1 C1
,
B2 C2
º
¸
´¿º¿¿º½µ
º
´¿º¿¿º½µ
¸
¾º þ
º
Δ1 =
¸
´¿º¿¿º½µ
¸
½º
=2
¹
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
r
¹
Δ2 =
A1 C1
,
A2 C2
¸
r = 1
½¼
Δ3 =
A1 B1
A2 B2
Δ1 ¸
�Δ2 ¸ Δ3
¸
A1 B1 C1
=
=
º
A2 B2 C2
¸
´¿º¿¿º ¾µ
´¿º¿¿º¾µ¸
¸
r = 1º
A1 B1 C1
,
,
A2 B2 C2
1) π1 ∩ π2 = ⇔
¸
A1
B1
C1
D1
2) π1 π2 ⇔
=
=
=
¸
A2
B2
C2
D2
A1
B1
C1
D1
3) π1 = π2 ⇔
=
=
=
.
A2
B2
C2
D2
ï¿ º
Oe1 e2 e3 º
¿ º½ º þ
π¸
p(p1 , p2 , p3 )
Ax+By +Cz +D = 0¸
¸
Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0º
¹
pº
πº
º
º
M0 (x0 , y0 , z0 )
−−−−→
p = M0 M1 ¸
M1 (x1 , y1 , z1 )
¸
M0
M1
½¼
¹
´¿º¿ º ½µ
p||π º
þ
�þ
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º
A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 ) + C(z1 − z0 ) = 0.
−−−−→
M0 M1 = p¸
(x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 )¸
z1 − z0 = p3 º
−−−−→
M0 M1
x1 − x0 = p 1 ¸ y 1 − y 0 = p 2 ¸
´¿º¿ º½µº
º
þ
p 1 = x1 − x0 ¸
´¿º¿ º½µ
´¿º¿ º ¾µ
´¿º¿ º¾µ¸
´¿º¿ º½µº
¹
M0 (x0 , y0 , z0 )
¹
−−−−→
p
p = M0 M1 º
M1 (x1 , y1 , z1 )º
p2 = y1 − y0 ¸ p3 = z1 − z0 º
´¿ºº¿ º¾µº
(Ax1 + By1 + Cz1 ) − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0.
´¿º¿ º ¿µ
π¸
M0 (x0 , y0 , z0 )
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º
Ax0 + By0 + Cz0 = −D
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0¸
M1 (x1 , y1 , z1 )
p
πº
´¿º¿ º¿µº
πº
¸
¸
º
ï¿ º
½º
¿ º½ º
¸
º
Oe1 e2 e3 º
¹
º
½¼
�¿ º½ º
´¿º¿¿º ½µ π1
π2 ¸
α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0º
´¿º¿ º ½µ
º
Ax+By+Cz+D = 0º
π
p(p1 , p2 , p3 )−
π1 ¸ π2
p
⎧
⎪
⎨A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0,
A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0,
⎪
⎩
Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0.
π¸
´¿º¿ º ¾µ
¸
´¿º¿ º¾µ
Δ
º
A1 B1 C1
Δ = A2 B2 C2 = 0º
A B C
π1 π2
¸
¹
¸
¸
¸
¹
¸ º º
¹
´¿º¿ º ¿µ
A = αA1 + βA2 , B = αB1 + βB2 , C = αC1 + βC2 ,
α¸ β
M0 (x0 , y0 , z0 )
π1 π2
¹
A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 = 0,
½¼
M0 ¸
º
º
¸
A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 = 0.
¹
�−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 = D1 ,
π
+By0 + Cz0 + D = 0º
´¿º¿ º¿µ¸
−A2 x0 − B2 y0 − C2 z0 = D2 .
þ
D
M0 ¸
¸
Ax0 +
¹
C = −Ax0 − By0 − Cz0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 −
−(αC1 + βC2 )z0 = α(−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 −
−C2 z0 ) = αD1 + βD2 º
¸
´¿º¿ º µ
D = αD1 + βD2 .
´¿º¿ º¿µ ´¿º¿ º µ
¹
π
(αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 )z + αD1 + βD2 = 0,
´¿º¿ º¾µ
α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0.
π2 ¸
¸
¸
´¿º¿ º¾µ
¹
M0 (x0 , y0 , z0 )¸
¸
π1
¹
π1
π2 ¸
¸
α(A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 ) =
α · 0 + β · 0 = 0.
¸
α
βº
λ=
β
α
(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0.
´¿º¿ º µ
½¼
�´¿º¿ º µ
¸
π2 ¸
¹
¹
º
¾º
¹
¿ º¾ º
¸
º
¿ º¾ º
π¸
0¸
π¸
C
º
Ax + By + Cz + D =
¸
¸
A¸ B ¸
D
ºþ
a(−B, A, 0)
¿¼º½ µº
¹
b(−C, 0, A)¸
π ´
A¸ B ¸ C
D
¸
º
x¸ y ¸ z ¸
º
A¸ B ¸ C
Ax + By + Cz + D = 0
Dº
ï¿ º
¹
¹
¹
þ
π1 ¸ π2 ¸ π3 º
¸
¹
½½¼
�µº
½º
¾º
¿º
º
´
´
º ¿¿¸ µº
´
´
º ¿¿¸
º ¿¿¸ ¸ µº
º ¿¿¸ ¸ ¸ ¸ µº
º ¿¿
þ
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0¸
A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0º
¸
⎧
⎪
⎨A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,
⎪
⎩
A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0.
½½½
π1 ¸ π2 ¸ π3
´¿º¿ º ½µ
�⎛
⎞
A1 B1 C1
⎝A2 B2 C2 ⎠¸
A3 B3 C3
⎛
r
⎞
A1 B1 C1 D1
⎝A2 B2 C2 D2 ⎠º
A3 B3 C3 D3
r
¸
µr
r ≤ 3¸ r ≤ 3º
¸
´¿º¿ º½µ
¸
¼º
= r = 3
µ
π1 ¸ π2
r=r =2
µ
π1 π2
r = r = 1
π3
µr=r
¸
µ
´¿º¿ º½µ
¹
r = rº
¸
´¿º¿ º½µ
¸
½º
¸
¸
´¿º¿ º½µ
¸
¾º þ
π1 ¸ π2
¸
º
π3
⇐⇒ r = r = 3
µ
⇐⇒ r = r = 2
µ
⇐⇒ r = r = 1
µ
⇐⇒ r = r º
π1 ¸ π2
¸
º
½½¾
π3 ¸
�ï¿ º
¿ º½ º
S(x0 , y0 , z0 )¸
¿ º½ º
¸
º
º
¹
º
α(x − x0 ) + β(y − y0 ) + γ(z − z0 ) = 0¸
α¸ β ¸ γ
¸
´¿º¿ º ½µ
¹
¾ º½ º
¿ º¾ º
π1 ¸ π2 π23 ¸
¹
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0¸
α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z+
+D2 ) + γ(A3 x + B3 y + C3 z + D3 ) = 0.
º
ï¿ º
½º
½½¿
´¿º¿ º ¾µ
�¸
¸
¸
¸ ¹
¸
º
¹
¸
¹
º
¿ º½ º
º
º
n1 (A1 , B1 , C1 )
´´½º½¾º µµ
π1
¹
n2 (A2 , B2 , C2 )º
ϕ
¹
ϕº
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2
cos ϕ =
A1 x +
π1 π2
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
B1 y + C1 z + D1 = 0
¹
A21 + B12 + C12
A22 + B22 + C22
º
´¿º¿ º ½µ
π2
´¿º¿ º ¾µ
π1 ⊥π2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 º
¾º
M (x, y, z)
d
Ax + By +
Cz + D = 0
d=
|Ax + By + Cz + D|
√
A2 + B 2 + C 2
´¿º¿ º¿µ
¸
½½
º
´¿º¿ º ¿µ
´¿º¾ º ½µ
º
¹
�¿º
Ax +
d
By + Cz + D1 = 0
Ax + By + Cz + D2 = 0
d= √
|D2 − D1 |
A2 + B 2 + C 2
´¿º¿ º µ
´¿º¿ º µ
º
¸
´¿º¾ º½µ
¹
º
ï¿ º
¿ º½ º þ
¸
½º
a¸
º
¸
¸
º
¹
º
´
µ
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3
M0 (x0 , y0 , z0 )
¸
¸
¸ a(a1 , a2, a3 )
º
½½
´¿º¿ º ½µ
¹
�¾º
⎧
⎪
⎨x = x0 + a1 t,
y = y0 + a2 t,
⎪
⎩
z = z0 + a3 t,
M0 (x0 , y0 , z0 )
¸ a(a1 , a2, a3 )
º
¿º
´¿º¿ º ¾µ
¹
¸
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
M1 (x1 , y1 , z1 )
¸
´¿º¿ º ¿µ
º
M2 (x2 , y2 , z2 )
º
¸
´
µ
π1
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
π2
A2 x+B2 y +C2 z +D2 = 0¸
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
´¿º¿ º µ
´½º¿ º µ
º
π1 ¸
¹
p(p1 , p2 , p3 )
º
π2 ¸
½½
p
º
¹
¸
�A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0,
A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0
´ º ´¿º¿ º ½µµº
p3 ¸
´¿º¿ º µ
p2
p3
¸
π2
B1 C1
A C1
A B1
, Δ2 = 1
, Δ3 = 1
B2 C2
A2 C2
A2 B2
Δ1 =
p1
p3
π1
´¿º¿ º µ
´¿º¿ º µ
Δ3 = 0º
º
⎧
p1
p2
⎪
⎪
⎨A1 + B1 = −C1 ,
p3
p3
p
p
⎪
1
⎪
⎩A2 + B2 2 = −C2 .
p3
p3
´¿º¿ º µ
´¿º¿ º µ
¸
Δ1
p1
=
,
p3
Δ3
¸
p2
− Δ2
=
.
p3
Δ3
´¿º¿ º µ
p2
p3
p1
=
=
,
Δ1
Δ2
Δ3
¹
p(p1 , p2 , p3 )
a(Δ1 , − Δ2 , Δ3 )º
´¿º¿ º µ
´¿º¿ º µ
¸
z = z0
¸
A1 x + B1 y = −C1 z0 − D1 ,
A2 x + B2 y = −C2 z0 − D2 ,
½½
a
º
ºþ
¹
¹
�M0 (x0 , y0 , z0 )¸
¸ º º
¸
º
¸
¸
x − x0
B1 C1
B2 C2
y − y0
=
−
A1 C1
A2 C2
z − z0
=
A1 B1
A2 B2
º
¸
º
´¿º¿ º µ
¸ ¸
a
¹
n1 (A1 , B1 , C1 )
π1 π2 ¸ º
n2 (A2 , B2 , C2 )
a = n1 × n2 º
ï ¼º
¹
º
¹
´¿º¿ º ½¼µ
þ
¸
¹
m
½º
¾º
¿º
º
m
m
m
m
º
º
º
º
¹
m
x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2
=
=
,
=
=
.
a1
a2
a3
b1
b2
b3
´ º
½½
º¿ µ
�¸
M1 (x1 , y1 , z1 )
a(a1 , a2 , a3 )
¸
M2 (x2 , y2 , z2 )
b(b1 , b2 , b3 )
mº
º¿
(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )º
¸
¾¸ ¿
þ
−−−−→
M1 M2
½
−−−−→
M1 M2 ¸ a
Δ
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
Δ=
a1
a2
a3
.
b1
b2
b3
½ Δ = 0¸
¾¸ ¿
¸ Δ = 0º þ
¸
þ
º
b
¹
µ
µ
Δ = 0
Δ = 0º
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
a1
a2
a3
=0
b1
b2
b3
º
¹
m
¸
m
b¸
´ ½ º¿ µ
¸
m
−−−−→
M1 M2 ¸ a
´¿º ¼º ½µ
m
¾
a
b
¸ º º
ºþ
a2
a3
a1
=
= .
b1
b2
b3
½½
´
¸
¿
a1
b1
º¿ µ
¸ ab ¸
2
2
a
¸
a3
b3
b
´¿º ¼º ¾µ
�þ
−−−−→
M1 M2 ¸ a¸ b
´¿º ¼º¾µ
y2 − y1
z2 − z1
x2 − x1
=
=
.
b1
b2
b3
a2
b2
¸
þ
¸
´¿º ¼º ¿µ
µ
a3
b3
´¿º ¼º¿µ¸
¸
´¿º ¼º¾µ¸
µ
µ
º
m
¸
¸
a1
b1
´¿º ¼º¾µ
¸
m
m
m
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
⇔
a1
a2
a3
=0;
b1
b2
b3
1)
´¿º ¼º µ
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
a1
a2
a3
=0
b1
b2
b3
a1 a2 a3
,
,
b1 b2 b3
2)
⇔
´¿º ¼º µ
a1
a2
a3
=
=
b1
b2
b3
´¿º ¼º µ
a1
a2
a3
=
=
,
b1
b2
b3
y2 − y1
z2 − z1
x2 − x1
=
=
º
b1
b2
b3
´¿º ¼º µ
3)
4)
⇔
⇔
½¾¼
�ï ½º
m
x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2
=
=
,
=
=
.
a1
a2
a3
b1
b2
b3
b(b1 , b2 , b3 )º
a(a1 , a2 , a3 )
a
ϕ
m¸
a
cos ϕ =
´½º½¾º µ
b
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
a21 + a22 + a23
¹
b
b21 + b22 + b23
º
´¿º ½º ½µ
´¿º ½º½µ
´¿º ½º ¾µ
⊥m ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0º
ï ¾º
´ º
º ¿ µº
M (x, y, z)
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3
º
º
d
M
º
a(a1 , a2 , a3 )º
M0 (x0 , y0 , z0 )
−−−→
a
M0 M
½¾½
�Sº
¹
¹
¸ S = |a|·d
¸
−−−→
¸ S = |M0 M ×a| ´ º
½ º¾ ¸
¾◦ µº
¹
d
º¿
−−−→
|M0 M × a|
.
d=
|a|
þ
−−−→
M0 M
a
a
¹
M (x, y, z)
d
y − y0 z − z0
a2
a3
¸
2
d=
x − x0 z − z0
+
a1
a3
2
+
x − x0 y − y 0
a1
a2
a21 + a22 + a23
2
.
´¿º ¾º ½µ
ï ¿º
´ º
º ¿ µº
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
a1
a2
a3
´ µ¸
x − x2 y − y2 z − z2
=
=
b1
b2
b3
´Ñµ¸
mº
d
½¾¾
º
�º
a(a1 , a2 , a3 )
M2 (x2 , y2 , z2 )
Vº
¸
m
¸
¸
´ º
◦
¾ µº þ
S
¹
¹
¹
¹
¹
d
d ·S ¸
−−−−→
V = |M1 M2 a b|
b(b1 , b2 , b3 )
mº
−−−−→
M1 M2
a¸ b
½ º¿ ¸
M1 (x1 , y1 , z1 )
m
V =
¸
¹
= |a × b|¸
º¿
d
d=
−−−−→
|M1 M2 a b|
|a × b|
þ
.
−−−−→
M1 M2 ¸ a
d
b¸
m
mod
d=
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
a1
a2
a3
b1
b2
b3
a2 a3
b2 b3
2
+
a1 a3
b1 b3
½¾¿
2
+
2
a1 a2
.
b1 b2
´¿º ¿º ½µ
�ï
º
þ
þ
½º
¾º
¿º
π
π
Pº
π
¸
¸
º
πº
¸
º
π
´¿º º ½µ
´¿º º ¾µ
x = a1 t + x0 , y = a2 t + y0 , z = a3 t + z0 ,
Ax + By + Cz + D = 0.
¹
¸
´¿º º½µ¸ ´¿º º¾µ
πº
¸
¹
(Aa1 + Ba2 + Ca3 )t + (Ax0 + By0 + Cz0 + D) = 0.
´¿º º ¿µ
ºþ
º
µº
Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸
0 +By0 +Cz0 +D
t = − AxAa
º
1 +Ba2 +Ca3
t
´¿º º½µ¸
¸
´¿º º½µ
¸
πº
πº
´¿º º¾µ
½¾
¸
´¿º º¿µ
º
¹
¹
a(a1 , a2 , a3 )
n(A, B, C)
π
¸
�n
Ca3 ¸
µ´
D = 0¸
¹
a
º ¿ ºµ
na
º
na = Aa1 +Ba2 +
Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º
Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 +
´¿º º¿µ¸
º
º
¸
π¸
¸
¸ ¹
º
π
¸
¹
¸
¹
a
n
¹
π ¸
¸
¹
Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º
¸ º º
þ¹
¸
M0 (x0 , y0 , z0 )
¹
π
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º
µ ´ º ¿ ºµ
Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 +
´ º¿µ¸
¸
¹
Cz0 + D = 0¸
º
¸
πº
¸
¹
π¸ ¸ ¹
¸
a
n
¹
π ¸
¸ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º þ ¹
¸
M0 (x0 , y0 , z0 )
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º
π
¸
1) ∩ π = P ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0;
´¿º º µ
π⇔
Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0;
´¿º º µ
3) ⊂ π ⇔
Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0,
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0;
´¿º º µ
2)
½¾
�º¿
ï
º¿
º¿
º
¹
º½ º
π
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
,
a1
a2
a3
Ax + By + Cz + D = 0
a(a1 , a2 , a3 )
π
¸
¹
º
º
a
¹
πº
n
P
´ º
½¾
n(A, B, C)
π
P
πº
º¿ ¸
º ¿ µº
¹
1
�α
a
n
ϕ
1
´¿º º ½µ
α = 90◦ ± ϕ.
´¿º º½µ
cos α = ± sin ϕ
¸
¸
´¿º º ¾µ
sin ϕ = ± cos α.
α ≤ 90◦ ¸
− cos αº
¸
sin ϕ = cos α¸
90◦ < α ≤ 180◦
sin ϕ ≥ 0º
¸
´¿º º ¿µ
´½º½¾º µ
sin ϕ = | cos α|.
cos α
cos α =
sin ϕ =
Aa1 + Ba2 + Ca3
na
=√
.
|n| · |a|
A2 + B 2 + C 2 · a21 + a22 + a23
¸
´ º¿µ¸
¹
ϕ
π
sin ϕ =
a21
|Aa1 + Ba2 + Ca3 |
√
+ a22 + a23 A2 + B 2 + C 2
½¾
º
´¿º º µ
�ÿ
ï
º
½º
º½ º
¸
¸
º
F1 ¸ F2
2a
2c
µº
¸
þ
¸
¸
¸
º
O
F1 F2 = 2c¸
¹
´
º
F1
¹
¹
F2 º
¹
¹
O ij
¸ −−→
F1 F2 ¸ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº
¹
�F1 (c, 0)
M (x, y)
F2 (−c, 0)
º
´
º ¿ µº
F1 M F2 M
F1 M = (x − c)2 + y 2 ¸
F2 M = (x + c)2 + y 2 º
º º½
F1 M + F2 M = 2a,
º¿
(x − c)2 + y 2 +
¸
M (x, y)
(x + c)2 + y 2 = 2a.
M (x, y)
º
´ º º¾µ¸
¸
º
(x + c)2 + y 2 = 2a −
(x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a
a
´ º º ½µ
´ º º ¾µ
¸
´ º º¾µº þ
´ º º¾µ
º
¹
¹
(x − c)2 + y 2
(x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 .
(x − c)2 + y 2 = a2 − cx.
¹
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).
a2 (a2 − c2 )
y2
x2
+
= 1.
a2
a2 − c2
½¾
´ º º ¿µ
�F1 F2 M º
F1 M + F2 M > F1 F2 º
¸
þ
¸
a > cº
¸
¹
¹
a2 − c2 = b2 º
´º º µ
x2 y 2
+
= 1º
a2 b2
´º º µ
º¿
¸
M (x, y)
¸
´ º º¾µ
´º ºµ
º
¸
´ º º µº þ
r1 = F1 M r2 = F2 M º
y 2 = b2 1 −
x2
a2
r1 = F1 M =
x > 0º
x2
a2
´º ºµ
= a2 − c2 − x2 +
¸
¹
¹
º
¹
¹
c2 2
x º
a2
(x − c)2 + y 2 =
c2
− 2cx + 2 x2 =
a
x ≤ 0¸
M (x, y)
= (a2 − c2 ) 1 −
x2 − 2cx + c2 + a2 − c2 − x2 +
a2
´ º º µº
a−
c2 2
x =
a2
c
a− x
a
c
x>0
a
´ ºµ
½¿¼
2
= a−
c
x
a
º
a−
c
c
x = a − xº
a
a
y2
x2
=
1
−
a2
b2
¸
¸
�x2
≤ 1º
a2
|x|
≤ 1º
a
¸
a−
c
c
x ≥ a− a = a−c > 0
a
a
x
¸
x ≤ aº
x>0
a−
c
c
x = a − xº
a
a
r1 = a −
c
xº
a
´º º µ
r2 = a +
c
xº
a
´º º µ
ü
r1 + r2 = (a −
c
c
x) + (a + x) = 2aº
a
a
M (x, y)
¸
´º º µ
¸
¸
´ µ
º
º
¸
¹
y
¹
¾º
º
½º
´º ºµ
M (x, y)
º
¾º þ
º
¸
º
x
¸ ¸
(±x, ±y)
¸
ºþ
¸
½¿½
M (x, y)¸
¸
¹
¹
¹
¹
º
¹
º
�x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
¸
Ox¸
y = 0.
´º º µ
A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º
B2 (0, −b)º
a
¸
a > b¸
B1 B2
¸b
¸
¿º
¸
b¸ y = −bº
º
Oy ¸
¹
º
´º ºµ
x2
M (x, y)
≤ 1
a2
|x| ≤ a¸ |y| ≤ b
¸
¸
¹
B1 (0, b)¸
A1 A2
º
−b ≤ y ≤ bº
ü
¸
y2
≤ 1º
b2
−a ≤ x ≤ a¸
x = a¸ x = −a¸ y =
º
¸
º
¸
¸
y = kxº
¸
´º º µ
¹
º
¸
y
¹
x2 k 2 x2
+ 2 = 1.
a2
b
´º º µ
ab
x1,2 = ± √
.
2
b + k2 a2
¸
¸
C1
√
ab
b2
+
k2 a2
,√
¸
kab
b2
+
k2 a2
¸
C2
½¿¾
√
− ab
b2
+
k2 a2
,√
º
− kab
b2
+ k2 a2
¸
�º
0º
º
º
x2 y 2
+
= 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º
a2 b2
¸
A1 B1
√
y = ab a2 − x2 ¸
x
0
a¸
y
¸
ý
¸
A1 B1
þ
¹
¹
y
¹
[0, a]º
b
¸
¹
¹
º
A1 B1
´
¸
º ¼µº
º ¼
ï
º
ÿ
½º
º
F1 ¸ F2
2a
¸
º½ º ÿ
¸
¸
¹
¸
¸
½¿¿
�¹
´
2c
µº
þ
´
¹
Oij
¸
F1 F2 ¸
¹
O
F1 F2 = 2c¸
−−→
i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº
F2 (−c, 0)º
º ½µº
M (x, y)
F1 (c, 0)
¹
¹
º
F1 M F2 M
(x − c)2 + y 2 ¸
(x + c)2 + y 2 º
F1 M =
F2 M =
º½
|F1 M − F2 M | = 2a,
´ º º ½µ
| (x − c)2 + y 2 −
M (x, y)
M (x, y)
º
´ º º¾µ¸
¸
º
(x + c)2 + y 2 = ±2a +
(x + c)2 + y 2 = 4a2 ± 4a
´ º º ¾µ
(x + c)2 + y 2 | = 2a.
¸
¸
º ½
¹
´ º º¾µº þ ¹
´ º º¾µ
º
(x − c)2 + y 2
(x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 .
½¿
¹
¹
¹
�±a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx.
a2 (x − c)2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2
(c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ).
a2 (c2 − a2 )
y2
x2
−
= 1.
a2
c2 − a2
´ º º ¿µ
F1 F2 M º
¸
|F1 M − F2 M | < F1 F2 º
¸
º¿
¸
´ º º¾µ
þ
a < cº
¸
c2 − a2 = b2 º
´º º µ
x2 y 2
−
= 1º
a2 b2
´º º µ
M (x, y)
¸
´º ºµ
º
¸
r1 = F1 M
¹
¹
´ º º µº þ
r2 = F2 M º
½¿
´ º º µº
M (x, y)
´º ºµ
¸
¹
¹
º
¹
¹
�y 2 = b2
x2
−1
a2
r1 = F1 M =
x2 − 2cx + c2 +
a2
x2
−1
a2
= (c2 − a2 )
c2 2
x − x2 − c2 + a2 =
a2
x < 0¸
2
c
a− x
a
a−
¸
c
x>0
a
= a−
¸
x2
≥ 1º
a2
ü
¸
c
c
x = a − xº
a
a
c
x.
a
y2
x2
=
1
+
a2
b2
x > 0
x>0
c
xº
a
r2 = |a +
¸
x>0
a−
c
c
x ≤ a− a = a−c < 0
a
a
c
c
x = −a + xº
a
a
r1 = −a +
º
|x|
≥ 1º
a
¸
a−
c
x
a
r1 = a −
´º ºµ
x ≥ aº
a−
¸
x<0
x > 0º
¸
c2 2
x − x2 − c2 + a2 º
a2
(x − c)2 + y 2 =
c2
− 2cx + 2 x2 =
a
¸
=
´º º µ
c
x|
a
x<0
¸
r2 = −a −
r2 = a +
½¿
c
xº
a
c
x¸
a
�½µ
x < 0¸
r1 = a −
c
x,
a
c
x
a
´º º µ
r2 = a +
c
xº
a
´º º µ
x > 0¸
¾µ
r1 = −a +
½µ
¾µ
r2 = −a −
´ º º ½µ
x < 0¸
|r1 − r2 | = |(a −
x > 0¸
c
c
x) − (−a − x)| = 2a
a
a
|r1 − r2 | = |(−a +
¸
M (x, y)
¸
c
x,
a
c
c
x) − (a + x)| = 2a.
a
a
´º º µ
¸
´ º º µ¸
º
¸
M (x, y)
¸
º
¾º
½º
º
´º ºµ
º
M (x, y)
º
x
y
¸ ¸
(±x, ±y)
¹
M (x, y)¸
¸
¹
¸
º
º
½¿
¹
¹
�¾º þ
¸
ºþ
¸
¸
Ox¸
¸
x2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
º
¸
Oy
º
¿º
¸
º
b
|x| ≥ a¸
¸
¸
º
º
A1 A2
B1 B2 ¸
B1 B2
B1 (0, b)¸ B2 (0, −b)¸
a
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¸
´º ºµ
¸
º
¹
x = a¸ x = −a,
ºÿ
º
¸
´º ºµ
x2
≥ 1º
a2
x ≤ −a¸ x ≥ aº
M (x, y)
¸
´º º µ
y = 0.
A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º
x = 0¸
Oy ¸
´º ºµ
¸
¹
º
y
¸
y = kxº
¸
¹
º
¹
x2 k 2 x2
− 2 = 1,
a2
b
x2 (b2 − k2 a2 ) = a2 b2 .
½¿
´ º º ½¼µ
�½µ
b2
−
k2 a2
´ º º½¼µ¸
> 0¸ º º |k| < ab º
ab
x1,2 = ± √
.
2
b − k2 a2
þ
C1
¹
¸
kab
ab
√
,√
2
2
2
2
b −k a
b − k 2 a2
¸
C2
¸
− kab
− ab
√
,√
2
2
2
2
b −k a
b − k 2 a2
Ø α¸
Ox ´− π2 < α < π2 µ¸
Ø
k
−
y = ±b
º
´
º
α
b
α< ¸
a
¹
¹
´ º º ½½µ
¸
x = ±a¸
b
b
< tgα < .
a
a
¸
º ¾µº
º º
¸
¹
¹
¹
¹
1
2¸
¸
Oxº
OA1 = OA2 = a¸
OB1 = OB2 = b¸
Ø α1 =
b
b
¸ Ø α2 = − aº
¹
a
´ º º½½µ
tg α2 < tg α < tg α1 º
α1,2
º ¾
¸
¸
´ º º ½¾µ
¹
α2 < α < α1 .
1
½¿
¸
2
�¾µ
Ox
C1 ¸ C2 º
b2 − k2 a2 = 0¸ º º |k| =
¸
¸
k=
± ab
¸
¸
¸
¸
b
a
¹
º
´ º º½¼µ
¸
¸
º
1
¸
¸
½¸
k>
¸
k < − ab º
b
a
α1 ¸ α2
1¸
ºü
¸
¹
¹
¹
2
´ º º ½¿µ
¹
¹
α < α2 .
1
Oy ¸
y=
´ º º½¼µ
¸
ºþ
α
¸
1
¹
¹
¸
α > α1
¸
º
2
¸
º
¿µ b2 − k2 a2 < 0¸ º º |k| > ab º
¸
¸
¹
¹
¸
2
º
º¾ º ü
2¸
¹
¹
´ º º½ µ
b
y = − xº
a
b
x,
a
¾
º
½¼
¸
�¸
´
º½ º
ø
¸
¸
¹
µº
´ º
º ¿µº
¹
¸
¹
¹
¹
M (x, y) ´x > 0¸
º ¹
p¸
¹
M (x, y)¸
º
y ≥ 0µ
1
º
¸
N
´ º º½
Ox N (x, y )
p
º
M
p¸
´º º µ
º ¿
Oy ¸
¹
M
1
N
b√ 2
b
y=
x − a2 ¸ y = xº
a
a
√
y > y¸
x > x2 − a2 º þ
√
b√ 2
b
b
MN MN = x −
x − a2 = (x − x2 − a2 ) =
a √a
a
√
a2
b (x − x2 − a2 )(x + x2 − a2 ) b
√
√
·
= ·
=
a
a x + x2 − a2
x + x2 − a2
ab
√
x + x2 − a2
ab
√
= 0.
x→∞ x + x2 − a2
M
lim
¸
MN
º
M
½½
¹
�1
1
M L¸
´L
M
º
º
∞º
ý
¸
¸
µº
¸
ø
º
º
x2 y 2
−
= 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ
a2 b2
¸
√
b
2
2
y = a x −a ¸
x
a
∞¸
y
¸
¸
¸
´
º
ï
ML < MN
MN
º
½º þ
½¾
¹
¸
¹
¹
y
¹
[a, ∞)º
0
A1 ¸ A2 º
º µº
¹
�º½ º
¸
¸
F
m
p
¸
¸
¸
¸
º
þ
´ º
º µº
FK
m
Oij
O
j⊥iº
KF = p¸
F ( p2 , 0)¸
M (x, y)
º
x+ 2p = 0º
(x −
º½
y2
+
¹
¸
d = |x +
¸
p
2
2
+ y2 = x +
M (x, y)
½¿
º
p
2|
º
´ º º ½µ
F M = d,
x−
¹
¹
−−→
KF ¸ i ↑↑ OF ¸
¸
d
¹
´¿º½ º½µ ´¿º¾ º½µ ¹
p 2
2)
F
¹
¹
¹
FM
FM =
º
¹
¹
¹
p
.
2
´ º º ¾µ
´ º º¾µº þ
¸
�M (x, y)
º
´ º º¾µ¸
¸
º
x−
2
p
2
+ y2 = x +
p
2
2
.
´ º º ¿µ
y 2 = 2pxº
¸
M (x, y)
´ º º¿µº
¸
´ º º¾µ
´ º º¿µ
º
r = FMº
þ
r = FM =
x2 + px +
p2
4
M (x, y)
¸
º
¸
x−
=
¸
´ º º¿µº þ
p 2
2
x+
+ y2 =
p 2
2
´ º º¿µ¸
x2 − px +
º
´ º º½µ
= x+
º º¿
¸
p2
4
º
´ º º¿µ
º
¹
¹
+ 2px =
p
2
º
¸
º
¸ ¸
½
¸
M (x, y)
¾º
½º
¹
¹
¹
´ º º¾µ
ºþ
y
�¸
M (x, y)¸
¸
(x, −y)
M (x, y)
¾º þ
¸
Oxº
Oxº
ºþ
¸
¹
¹
¹
º
¸
Ox¸
y 2 = 2px,
y = 0.
O(0, 0)º
º
º
¿º
p
2
M (x, y)
º
¸
Fº
º
´ º
y = kxº
º
´ º º¿µ
Oy
º
OA
´ º º¿µ
¸
x ≥ 0,
Oy ¸
¹
¹
¸
º µº
´º º µ
¸
¸
¹
¸
y
¹
¹
¸
(kx)2 = 2px,
x k2 x − 2p = 0.
x1 = 0,
x2 =
½
2p
.
k2
º
´º º µ
�¸
¸
º
0
´
L( k2p2 ,
O(0, 0)
º
º
y 2 = 2px¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ
¸
√
y = 2px¸
¸
x
0
∞¸
y
∞º ý
Oy
º
Ox¸
´ º µº
¹
º
2p
k )
¸
¹
y
¹
[0, ∞)º
¹
¸
y
m
K
Oy µ¸
.
j
O
i
.
F x
º
º
ºþ ¹
y 2 = −2px,
´º º µ
x2 = 2py ¸
´º º µ
x2 = −2py º
´º º µ
½
�´º ºµ
¸
F
x−
´º ºµ
´
´
0,
º
p
2
−−→
OF
y+
º
µº
µº
º
¸
= 0º þ
º
0,
p
2
0
¸
¹
¹
¹
µº
¹
y + p2 = 0
Oy
F
¹
¸
¸
¹
´º ºµ
º
¸
´
F
F
º
ï
=0
¸
¸
j
p
2
p
2
− p2 ,
º
¸
º½ º
¸
º
c < a¸
º
´ º º µ ´ º º µ¸
½
=
¹
c
a
¸
c > a¸
¹
¸
¹
´º º µ ´º ºµ
�º
r2 = a + x.
´ º º ½µ
r2 = −a − x
´ º º ¾µ
r2 = a + xº
´ º º ¿µ
r1 = a − x,
½µ
r1 = a − x,
¾µ
r1 = −a + x,
º¾ º
x−
a
m1
= 0,
x+
´ º º½µ
Oy
a
a
¸
º
¸
º
A1
¸
m2 ¸
a
¸
2a
A1
a
A2 ,
º½ º ´
¸
¸
´º º µ
= 0.
¸
¹
¹
¹
º
A2 ,
¸
a
¸
¸
¸
ºµ
ø
½
¹
¹
¹
º
�º
¸
º
M (x, y)
µº
´ º º½ º º¿µ
´
¸
´ï ¸ ï µ¸ º ½¸
¸
r1 = |a − x|,
´º º µ
r2 = |a + x|.
M (x, y)
m1
´¿º¾ º ½µ
d1 = x −
a
=
x−a
=
µ
| x − a|
d2 =
,
¸
¹
¹
¹
¹
| x + a|
.
m2
´º º µ
´ º º µ ´ º º µ¸
|a − x|
r1
=
=
d1
| x − a|
|a + x|
r2
= .
=
d2
| x + a|
¸
¸
º º½ ¸
º
Φ
M
F
< 1¸
ï ¼º
º
¸
¸
¸
½
¹
m
Φ
= 1º
¸
>1
¸
º
¸
¸
�F
º
º
¸
Φ
´
º
FK
¸
µº
º
º
F¸
F¸
L1 F
FK
ºþ
Φº
¹
m¸ K
¸m
F
F
L1
¹
m
L2 ¸
L1 F
m
= LF2KF =
−−→
KF º
mº
L2 F
p
FK
=
´
¸
¹
F, i
F K¸
i
F
Φ
¸
¹
F Kº
¹
p
Φº
L1
L2
º½ µº
¹
F Kº
´ º ¼º ½µ
p
FK = .
Φ¸ (ρ, ϕ)
MH
M
º
E
º½
F M = M H.
½¼
m
MH
.
¹
´ º ¼º ¾µ
�FM = ρ
−−→
∠(i, F M ) =
´ º ¼º½µ¸
ϕº þ
M H = M E + EH = M E + F K = F M cos ϕ + F K = ρ cos ϕ + p
´
º
µº
M H = M E − EH = M E − F K = −F M cos ϕ − F K =
º µº
−ρ cos ϕ − p ´
¸
¸
Eº
H
F K + F M cos ϕº
µ
µ¸
´ º ¼º¾µ¸
þ
ϕ>
M
cos ϕ < 0 M H = HE − M E =
¸ M H = ρ cos ϕ + p º
ρ = (ρ cos ϕ + p ) = ρ cos ϕ + p,
ρ
úû
ú·û
¸
º
90◦ ,
ρ = − ρ cos ϕ + pº
¹
ρ=
p
¸
1 − cos ϕ
´ º ¼º ¿µ
ρ=
±p
1 − cos ϕ
´ º ¼º µ
¸
º
M
´ º ¼º µº
½½
Φ¸
´ º ¼º¿µ
º
�ï ½º
¸
½º½ º
¸
M0
M0 M ¸
M0 ´
M
º ¼µº
¸
¸
y =
M0 (x0 , y0 )
f (x0 )º
ü
M0 (x0 , y0 )
´ º ½º ½µ
¹
¹
x = g(y)¸
´ º ½º ¾µ
x − x0 = g (y0 )(y − y0 ).
º
¸
¸
¹
¹
f (x)¸
¹
y − y0 = f (x0 )(x − x0 ).
º ¼
¹
¸
¹
º
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
´ º ½º ¿µ
¸
M0 (x0 , y0 )
⎧
⎨y = b 1 − x22 ,
a
⎩y = −b 1 − x2 ,
a2
½¾
y0 = 0º
y0 > 0,
y0 < 0.
þ
¹
�y0 > 0º þ
k
k=−
x0 b
a2
1−
x20
a2
´ º ½º µ
.
M0 (x0 , y0 )
x20 y02
+ 2 = 1.
a2
b
1−
¸
¸
´ º ½º µ
x20 y02
= 2º
a2
b
k=−
¸
¸
k
´ ½º µ
x0 b2
.
y0 a2
´ º ½º µ
¸
y − y0 = −
x0 b2
(x − x0 ).
y0 a2
º
xx0 yy0
+ 2 −
a2
b
º
x20 y02
+ 2
a2
b
þ
¸
y02
b2
½¿
¹
´ º ½º µ
xx0 yy0
+ 2 = 1.
a2
b
y0 < 0¸
¸
= 0.
´ º ½º µ¸
¸
y0
b2
= − yb0 ¸
kº
�0¸
þ
M0 (x0 , y0 )¸
x = ±a
x0 < 0º
´ º ½º¾µ
ü
ú·û
1−
¸
x0 =
y2
,
b2
x0 > 0¸
ú û¸ ¹
´ º ½º µ
º
x0
¸
y0
M0 (x0 , y0 )
´ º ½º µ
xx0 yy0
+ 2 = 1º
a2
b
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
´ º ½º µ
xx0 yy0
− 2 = 1º
a2
b
´ º ½º µ
º
x=
y2
.
2p
´ º ½º ½¼µ
M0 (x0 , y0 )
´ º ½º¾µ
x − x0 =
y0
(y − y0 )
p
½
´ º ½º ½½µ
�yy0 − y02 + px0 − px = 0.
M0 (x0 , y0 )
þ
¸
¸
y02 = 2px0 º
yy0 = p (x + x0 )º
ï ¾º
µ
¸
º
¾º½ º
´
¸
´
º
´
¾º¾ º
´
¾º½ º
¹
¸
µº
¸
¸
¸
µº
µ
´
´ º ½º ½¾µ
µ
¹
¹
¸
¸
¹
º
º
´
º ½ µº
¹
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
´ º ¾º ½µ
y = kx + b,
´ º ¾º ¾µ
½
�º
¸
k
¹
¹
b
M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 )
º
¹
´ º ¾º½µ¸
M1 ¸ M2
´ º ¾º¾µ¸ º º
x21 y12
+ 2 = 1,
a2
b
x22 y22
+ 2 = 1,
a2
b
y1 = kx1 + b,
þ
y2 = kx2 + b.
´ º ¾º µ
´ ¾º µ¸
´ º ¾º ¿µ
´ º ¾º¿µ¸
x22 − x21 y22 − y12
+
=0
a2
b2
´ º ¾º µ¸
M (x, y)
´ º ¾º µ
¹
´ º ¾º µ
x1 + x2 k(y1 + y2 )
+
a2
b2
Oy º
x1 + x2 k(y1 + y2 )
+
= 0.
a2
b2
M1 M2 º
x1 + x2 = 2x,
y1 + y2 = 2y.
´ º ¾º½¼µ
ky
x
+ 2 = 0,
2
a
b
½
µ
µ
µ
µ
´ º ¾º µ
y2 − y1 = k(x2 − x1 ).
(x2 − x1 )
´ º ¾º
´ º ¾º
´ º ¾º
´ º ¾º
= 0.
x2 − x1 = 0
´ º ¾º µ
¹
´ º ¾º ½¼µ
´ º ¾º µ
¹
�y=−
b2
xº
ka2
´ º ¾º ½½µ
´ º ¾º½½µ
¸
¸ º º
¸
¹
¹
k
k
k =−
Ox
ÿ
´
º
¸
¸
b2
ka2
º
´ º ¾º ½¾µ
Oy ¸
M1 ¸ M2
¸
Oxº
¸
¹
¹
º
¸
º ½ µ
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
´ º ¾º ½¿µ
¸
k
¹
k
k =
´
b2
ka2
´ º ¾º ½ µ
¹
º ½ µºº
y 2 = 2px
´ º ¾º¾µº
º
´ º ¾º ½ µ
¹
¸ M1 (x1, y1)¸ M2 (x2, y2)
½
�¹
º
´ º ¾º½ µ¸
¹
M1 ¸ M2
´ º ¾º¾µ¸ º º
´ º ¾º ½ µ
´ º ¾º ½ µ
y12 = 2px1 ,
y22 = 2px2
´ º ¾º µ¸ ´ º ¾º µº þ
´ º ¾º½ µ
´ º ¾º½ µ
´ º ¾º µº
k(x2 − x1 )(y1 + y2 ) = 2p(x2 − x1 ).
Oy º
x2 − x1 = 0
´ º ¾º ½ µ
¹
k(y1 + y2 ) = 2p.
M1 M2 º
M (x, y)
´ º ¾º½¼µ
´ º ¾º½ µ
ky = p,
y=
´ º ¾º½ µ
Ox ´
º
Ox
º
p
=
k
´ º ¾º ½ µ
¸
µº
¸
ÓÒ×غ
Oy ¸
¸
¸
½
M1 ¸ M2
¹
�¾º¿ º
µ
y = kx
´ º ¾º ½ µº
k
´
µ¸
k
º ¾º½
´
y = kx
¸
¹
¹
¹
´ º ¾º½¾µ¸
¸
¹
¸
º
¾º º þ
¹
º
ÿ
¸
º
ï ¿º
¿º½ º
¹
¸
Oij
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0º
´ º ¿º ½µ
½
�¸
a11 ¸ a12 ¸ a22
´ º ¿º½µ
´ º ¿º½µ
º
º
º
¸
¹
½º
O ij º
Oi j
´¾º½ º ¿µ
´ º ¿º½µ
γ
¸
O ij
ϕº
x = x cos ϕ − y sin ϕ,
¹
´ º ¿º ¾µ
y = x sin ϕ + y cos ϕ,
´ ¿º½µº
a11 (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + 2a12 (x cos ϕ − y sin ϕ)(x sin ϕ+
y cos ϕ) + a22 (x sin ϕ + y cos ϕ)2 + 2a13 (x cos ϕ − y sin ϕ)+
2a23 (x sin ϕ + y cos ϕ) + a33 = 0.
aij ´i, j
¸
aij
´ º ¿º ¿µ
= 1, 2, 3µº þ ¹
−a11 cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + a22 cos ϕ sin ϕ = 0º
(a22 − a11 ) cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) = 0.
´ º ¿º µ
¸
tg 2ϕ =
2a12
.
a11 − a22
½¼
´ º ¿º µ
�¸
´ º ¿º µ
ºþ
´a12 = 0µ¸
a11 − a22
ϕ = 45◦ º
90◦ ,
¸
´ º ¿º µ¸
xy¸
2
Oi j
ϕ¸
O ij
´ º ¿º µ¸
¸
2ϕ =
¸
¹
γ
º º
´ º ¿º µ
2
a11 x + a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0.
þ
cos ϕ
sin ϕ
1
cos ϕ =
1+
tg2 2ϕ
tg 2ϕ
sin ϕ =
,
´ º ¿º µ
1 + tg2 2ϕ
º
´ º ¿º¾µ¸ ¹
¾º
¹
´ º ¿º µº þ
½º
¾º
a11
a22
a11
º
a13
¿º
a11 = 0º
þ
a11
a13
½
º
a22
¸
º
a22
´ º ¿º µ
x
yº
x¸
¸
y
2
2
(a11 x + 2a13 x ) + (a22 y + 2a23 y ) + a33 = 0º
a11 a22
º
a11 = 0º
¸
¹
¸
¸
½½
¸
�x2+2
a11
a13
(a )2
a
(a )2
x + 13 2 +a22 y 2 + 2 23 y + 23 2 +a33 −
a11
(a11 )
a22
(a22 )
(a13 )2 (a23 )2
−
=0
a11
a22
2
a
x + 13
a11
a11
+ a22
a
y + 23
a22
2
+ a33 −
(a13 )2 (a23 )2
−
= 0.
a11
a22
´ º ¿º µ
þ
x =x +
a33 = a33 −
´ º ¿º µ
a11 x
2
a13
,
a11
y =y +
(a13 )2 (a23 )2
−
.
a11
a22
+ a22 y
2
´ º ¿º ½¼µ
+ a33 = 0.
´ º ¿º½¼µ
γ
Oi j
¹
¸
´ º ¿º µº
Oi j
a
− a13 ,
11
O
þ
¾
´ º ¿º µ
a23
a22
´ º ¿º µ
º
¹
a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0.
´ º ¿º ½½µ
y¸
¹
2
þ
a22
a
− a23
22
y +
a23
a22
2
+ 2a13 x +
a22 a33 − (a23 )2
2a13 a22
½¾
= 0.
´ º ¿º ½¾µ
�þ
x =x +
a22 a33 − (a23 )2
,
2a13 a22
y =y +
a23
.
a22
´ º ¿º ½¿µ
´ º ¿º½¾µ
a22 y
2
´ º ¿º ½ µ
¹
+ 2a13 x = 0.
´ º ¿º½ µ
γ
Oi j
¸
´ º ¿º½¿µº ¹
Oi j
O
−
þ
a
a22 a33 − (a23 )2
, − 23
2a13 a22
a22
¿
.
´ º ¿º µ
2
a22 y + 2a23 y + a33 = 0.
þ
y¸
a22 y +
a23
a22
2
+ a33 −
(a23 )2
= 0.
a22
´ º ¿º ½ µ
¹
´ º ¿º ½ µ
þ
x =x,
a33 = a33 −
a22 y
y =y +
(a23 )2
º
a22
2
+ a33 = 0.
½¿
a23
.
a22
´ º ¿º ½ µ
´ º ¿º½ µ
´ º ¿º ½ µ
�´ º ¿º½ µ
γ
Oi j
¹
¸
´ ¿º½ µº
Oi j
0, −
O
ï
a23
a22
º
º
º½ º
¹
º
º
¹
¹
´ º ¿º ½¼µ¸ ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º ½ µ¸
Ax2 + By 2 + C = 0,
2
By + 2Cx = 0,
(A = 0, B = 0);
(B = 0, C = 0);
2
By + C = 0,
B
−C
¹
½º
=
1
b2
A
−C
A
−C
>0
(B = 0).
´ º º½µº
B
x2 + −C
y 2 = 1º
B
−C > 0¸
´ º º ½µ
´ º º ¾µ
´ º º ¿µ
C = 0º
A
−C
=
1
,
a2
A
−C
=
1
,
a2
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
B
−C
¾º
= − b12
A
−C
>0
B
−C
º
< 0¸
x2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
½
�−
A
−C
¿º
1
B
, −C
a2
< 0¸
A
−C
=−
B
−C
º
>0
B
−C
< 0
1
.
b2
< 0¸
A
−C
º
=
x2 y 2
+ 2 = −1.
a2
b
º
´ º º½µ
Ax2 + By 2 = 0º
A > O¸ B < O¸
º
B = − b12
C = 0¸
º º
A =
1
a2 ,
x2 y 2
− 2 = 0.
a2
b
x
a
¸
º
B=
º
º
1
b2
+
¸
¸
y
b
x2
a2
x
a
¸
−
y2
b2
−
¹
y
b.
¹
=0
A > O¸ B > O¸
A =
1
,
a2
x2 y 2
+ 2 = 0.
a2
b
¸
´ º º½µ¸
º
½
¸
º
¹
�º
C
xº
−2 B
C
B
´ º º¾µº
< O¸
C
B
y2 =
= −p
y 2 = 2px,
C
B
º
> O¸
C = 0º
´ º º¿µº
C
2
y + B = 0º
C
<
0
¸
B
º
C
B
º
= −b2
y 2 − b2 = 0.
y+b = 0
¸
º
º
º
C
B
¸
¸
y − b = 0.
¸
y 2 − b2 = 0
> 0¸
C
B
¹
¹
¹
¹
= b2
y 2 + b2 = 0.
º
´ º¿µ C
By 2 = 0º
´ º º¿µ¸
= 0¸
º
º º
º
¸
º
½
¹
B = 0¸
y 2 = 0¸
þ
¸
º
´ º º¾µ
�º
º ¾
½
�ÿ
ï
º
½º
º
¸
¹
º½ º
¸
¸
º
¹
a
γ¸
´
γ
F (x, y) = 0
k¸
F (x, y) = 0
Oij ¸
¹
¹
º ¿µº
Oxy
¹
¹
O ij k º
�γ
F (x, y, z) = 0,
Ax + By + Cz + D = 0
Oij k ¸
º º
F (x, y, z) = 0
By + Cz + D = 0¸
Ax +
a(a1 , a2 , a3 )¸
¹
¹
º
M (x, y, z)
¸
º ¿
γ
M1 (x1 , y1 , z1 )º
´¿º¿ º ¾µ
x = x1 + a1 t¸ y = y1 + a2 t¸ z = z1 + a3 tº
x1 = x − a1 t¸ y1 = y − a2 t¸ z1 = z − a3 tº
¸
M1 ∈ γ ¸
γ
¸
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º
A(x − a1 t) + B(y − a2 t) + C(z − a3 t) + D = 0º
t=
¹
º
¹
¹
¹
¸
Ax + By + Cz + D
.
Aa1 + Ba2 + Ca3
F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸
F x − a1
Ax + By + Cz + D
Ax + By + Cz + D
, y − a2
,
Aa1 + Ba2 + Ca3
Aa1 + Ba2 + Ca3
Ax + By + Cz + D
z − a3
= 0.
Aa1 + Ba2 + Ca3
½
´ º º ½µ
�º
¾º
´ º½µ
¹
º¾ º
¸ ¹
¸ ¹
¸
º
2
2
2
2
2
2
2
2
¸
Oz ¸
µ
½º xa
¾º xa
¿º xa
º xa
º xa
º
¹
´
¹
¹
Oxy
2
+ yb2 = 1
2
− yb2 = 1
2
+ yb2 = −1
2
− yb2 = 0
+ yb2 = 0
¹
º y2 = 2px
º y2 − b2 = 0
º y2 + b2 = 0
¹
2
2
2
º
º y2 = 0
ï
¹
º
½º
º
½¼
�º½ º
¸
S¸
´
¸
¸
¸
γ¸
º µº
¹
¹
º
γ
F (x, y, z) = 0,
Ax + By + Cz + D = 0
Oij k ¸
F (x, y, z) = 0
´
º º
Ax + By + Cz + D = 0¸
S(x0 , y0 , z0 )¸
º
M (x, y, z)
º µº
¸
¹
¹
¹
¹
¹
γ
M1 (x1 , y1 , z1 )º
x = x0 + (x1 − x0 )t¸
y = y0 + (y1 − y0 )t¸
z = z0 + (z1 − z0 )tº
º
x1 = x0 + 1t (x − x0 )¸
y1 = y0 + 1t (y − y0 )¸
z1 = z0 + 1t (z − z0 )º
¸
M1 ∈ γ ¸
γ¸
½½
¸
¹
¸
�Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º
A(x0 + 1t (x − x0 )) + B(y0 + 1t (y − y0 )) + C(z0 + 1t (z − z0 )) + D = 0º
Ax0 + By0 + Cz0 + D
1
=−
.
t
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 )
F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸
Ax0 + By0 + Cz0 + D
(x − x0 ),
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 )
Ax0 + By0 + Cz0 + D
(y − y0 ),
y0 −
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 )
Ax0 + By0 + Cz0 + D
(z − z0 ) = 0.
z0 −
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 )
F x0 −
´ º º ½µ
¹
´ º º½µ
º
¾º
º¾ º
¸
¸
º
S
γ
´
0¸ z − h = 0¸
½º
µ
¸
Oxy,
F (x, y) = 0
´ º ½ µº
γ
´ º º½µ
2
(− hz y)2
(− −h
z x)
+
= 1,
a2
b2
½¾
¸
º
¸
¹
¹
¹
¹
¹
π¸
F (x, y) =
�z2
x2 y 2
+
−
= 0.
a2
b2
h2
h=c
x2 y 2 z 2
+
−
= 0¸
a2 b2 c2
¾º
´ º º ¾µ
¹
¸
º
ºü
γ
x2 y 2 z 2
− 2 − 2 = 0,
a2
b
c
¿º þ
¸
¸
¸
º
γ
x2 y 2 z 2
+
+
= 0¸
a2 b2 c2
º
¸
¹
γ
¸
´º º µ
º
¸
¹
¹
x2 y 2
−
= 0º
a2 b2
º
´ º º¾µº
´ º º ¿µ
¸
º
¹
¹
γ
½¿
¸
¹
�x2 y 2
+
= 0¸
a2 b2
º
´º º µ
¹
º
¸
γ
y2
π
´ º º½µ
2
h
− y
z
= −2p
¸
¹
−h
x,
z
γ
´ º º½µ
h
− y
z
¸
¹
´ º º¾µº
º
2
y2
−
b2
= 0º
¹
þ
− b2 = 0,
z2
y2
−
= 0.
b2
h2
º
¸
¸
= 2pxº
p
y 2 = 2 xz.
h
¸
ºü
¹
¸
¸
¸
z2
y2
+
= 0.
b2
h2
½
¹
�ºþ
¹
¸
y 2 = 0º
´º º µ
¸
¸
´ º µ¸
´ º º µ¸
¸
π¸
º
º
¸
¹
º
´
´
¹
´ º º µº
¸
¸
´ º º¾µ¸
´ º º¿µ¸
µº
¹
¹
º
µ
π¸
º
½
π¸
´
º
µ
º
¹
¹
�ï
º
½º
º½ º
¸
¸
¸
´
m¸
¸
º µº
¹
¸
¸
þ
m¸
º
º
º
¸
Oxyz
Φ¸
¸
¸
m
S
º
S¸
º
Oz
½
¹
¹
¹
¹
m¸
º
º
Oxz
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
γ¸
¹
x = ϕ(z)º
�M (x, y, z)
K
Φº
π¸
¸
Φ
(0, 0, z)¸
Oz
M1 (ϕ(z), 0, z)
γº
KM1 ¸
π
´ º º ½µ
º¾ º
½º
º
Φ
γ
¸
x2
a2
x2 = a2 1 −
z2
c2
º
+
z2
c2
´
¾º þ
−
z2
c2
º
µº
γ
= 1º
¹
Oxz
= 1º
Oz ¸
x2 y 2 z 2
+
+
=1
a2 a2 c2
x2
a2
¹
¸
º
γ
¸
Oxz
¸
x2 y 2 z 2
+
−
=1
a2 a2 c2
½
¹
KM = KM1
x2 + y 2 = (ϕ(z))2 º
¾º
Oz º
´ º º ¾µ
¸
¹
¸
Oz ¸
´ º º ¿µ
�´
º
¿º
µº
¸
γ
Oxz
x2
z2
− a2 + c2 = 1¸
Oz ¸
¹
¸
x2 y 2 z 2
+
−
= −1
a2 a2 c2
´º º µ
¸
µº
º
¸
x2
a2
¸ ¹
´ º
+
z2
c2
Oxz
= −1º
Oz
¹
x2 y 2 z 2
+
+
= −1º
a2 a2 c2
2pz ¸
º
¸
Oxz ¸
´
º
º
x2 =
Oz ¸
¹
´º º µ
º
½
´º º µ
µ
x2 + y 2 = 2pz º
º
¹
¹
¹
Φ
γ
º
�º
x2
a2
Oz ¸
γ
2
− zc2
Oxz
= 0¸
¹
x2 y 2 z 2
+
−
=0
a2 a2 c2
´º º µ
º
º
x2
a2
γ
2
+ zc2 = 0
Oz ¸
¹
Oxz ¸
x2 y 2 z 2
+
+
=0
a2 a2 c2
º
¸
x2 − a2
x2 +a2 = 0¸
ï
´º º µ
º
=0
Oxz ¸
¸
¹
¹
Oz ¸ ¹
x2 + y 2 = a2 ¸
´º º µ
x2 + y 2 = −a2 º
´ º º ½¼µ
º
½º
½
�º½ º
¸
¹
¹
x2 y 2 z 2
+
+
= 1º
a2 b2 c2
º
´ º º ½µ
Oy ¸
´ º º¾µ
⎧
⎪
⎨x = x,
2
y = ab 2 y,
⎪
⎩
z = z.
´ º º ¾µ
´ º º½µ
¸
a=b=c
½º þ
a ¸ b¸ c
º
aº
a ¸ b¸ c
¸
´
´
µ
º µº
µ´
¹
º
¸
z
O
º
¾º
A1 (a, 0, 0)
A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0)
½¼
B2 (0, −b, 0)¸
�C1 (0, 0, c)
¹
º
C2 (0, 0, −c)
¿º
´ º º½µ
M (x, y, z)
¸
−a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c,
º º
−a¸ y = b
ºþ
y = −b¸ z = c
¸
x=a
z = −cº
t1 =
º
1
m2
a2
+
n2
b2
+
p2
c2
¸
´º º µ
M2 (mt2 , nt2 , pt2 ),
−1
t2 =
m2
a2
+
n2
b2
+
p2
c2
º
y2 z2
x2 z 2
x2 y 2
+
=
1,
+
=
1,
+ 2 = 1.
a2
b2
b2
c2
a2
c
Oxy
þ ´ º º½µ
z
h
h2
x2 y 2
+
=
1
−
.
a2
b2
c2
þ
µ
´º º µ
π¸
º
z = hº
x=
´ º º ¿µ
x = mt, y = nt, z = pt,
M1 (mt1 , nt1 , pt1 ),
¸
π
¸
1−
h2
c2
> 0¸
º º
½½
|h| < c
¹
¹
�µ
´
|h| = c
C2 ¸µ
C1
µ
ü
¸
¸
1−
¸
º º
ý
h2
c2
1−
< 0¸
º º
¸
¸
¸
º
h2
c2
= 0¸
|h| > cº
¹
¸
´ º º ½µ
M0 (x0 , y0 ¸z0 )
¸
º
¸
¸
º
º
½¾
¸
´º º µ
¸
¹
Ax + By + Cz + D = 0
¸
x = a2 At, y = b2 Bt, z = c2 Ct.
þ
¸
a(a1 , a2 , a3 )
a1 x a2 y a3 z
+ 2 + 2 = 0.
a2
b
c
¸
º
´º º µ
x0 x y0 y z0 z
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
¸
º º
¹
´º º µ
¹
�¾º
º¾ º
¹
¹
¸
x2 y 2 z 2
+
+
= −1º
a2 b2 c2
º
ï
º
´º º µ
´ ºµ
´ º¾µº
Oy ¸
ÿ
º½ º
x2 y 2 z 2
+
−
= 1¸
a2 b2 c2
a
b
º
º¾ º
´º ºµ
bº
¹
´ º º ½µ
¸
x2 y 2 z 2
+
−
= −1¸
a2 b2 c2
a
¹
¸
¸
Oy
´ º º¾µº
½¿
¹
´ º º ¾µ
´ º º¿µ¸
a = b¸
�º
½º
½º
»
´ º º ½µ¸
¸
´
´
µ
µº
¾º
A1 (a, 0, 0)¸ A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0)¸ B2 (0, −b, 0)¸
C1 (0, 0, c)¸ C2 (0, 0, −c)
Ox Oy
º
Oy
¿º
´ º º½µ
M (x, y, z)
Oz
º
¹
º
Ox
¸
¹
x2 y 2
+ 2 ≥ 1,
a2
b
º º
1º
2
x2
+ yb2
a2
º
¸
º
¸ º º
x = mt, y = nt, z = pt
¸
´ º¿µ ´ º½µ¸
t
t2
m2 n 2 p 2
+ 2 − 2
a2
b
c
º
½
´ º º¿µ
= 1.
=
¹
´ º º ¿µ
´ º º½µ
º
¹
¹
¹
´º º µ
�µ
m2
a2
2
+ nb2 −
> 0¸
p2
c2
M1 (mt1 , nt1 , pt1 ),
1
t1 =
µ
2
m2
+ nb2
a2
m2
n2
a2 + b2
º
µ
−
−
p2
c2
p2
c2
¸
¹
t2 =
≤ 0¸
−1
m2
a2
+
º
¸
´º º µ
M2 (mt2 , nt2 , pt2 ),
2
2
m2
+ nb2 − pc2 = 0
a2
2
2
(tm)2
+ (tn)
− (tp)
a2
b2
c2
n2
b2
p2
c2
º
t
¸
= 0,
−
¹
¸
x2 y 2 c2
+ 2 − 2 = 0,
a2
b
c
¹
º
¸
¸
¹
M1 (mt1 , nt1 , pt1 ),
t1 =
º
´º º µ
1
m2
a2
+
n2
b2
−
p2
c2
¸
´º º µ
M2 (mt2 , nt2 , pt2 ),
t2 =
−1
m2
a2
+
n2
b2
¸
º
−
p2
c2
º
¹
Oxy
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
½
´º º µ
�º
Oyz
x2 z 2
y2 z2
−
=
1,
− 2 = 1.
b2
c2
a2
c
º µ
z = h
´
Oxy
z
º µº þ ´ º º½µ
¹
´º º µ
º
Oz
Oxz
π¸
¹
h
h2
x2 y 2
+
=
1
+
.
a2
b2
c2
h
¸
π
a
µ´ º
1+
h2
c2
º
≥ a
b
µ
1+
º
h2
c2
º½µ
≥ b¸
¹
¹
¹
¹
σ¸
Oxz
y = mº þ ´ º
¸
y
m
m2
x2 z 2
−
=
1
−
.
a2
c2
b2
þ
m2
b2
¹
σ
µ
¸
> 0¸
µ
1−
Ox¸
|m| < b
º º
m2
b2
= 0¸
º º
1−
|m| = b
½
¸
º
�µ
¸
´ º µº
ü
Oz ¸
1− m
< 0¸
b2
2
¸
|m| > b
ω¸
Oyz,
Oy ¸
º º
¹
¸
¸
¸
Oz º
¾º
½º
´ º º ¾µ¸
¸
´
¾º
Oz ¸
Ox
Oy
¿º
º
M (x, y, z)
º º
º º
¸
C1 (0, 0, c)
Oz
´ º º¾µ
´
µ
µº
C2 (0, 0, −c),
¹
¸
¹
z 2 ≥ 1,
¸
º
´ º¿µ
z=c
º
¸
¹
º
¹
z = −cº
¸ º º
¸
´ º º¿µ ´ º º¾µ¸
´ º¿µ
¹
´ º¾µ
º
¹
¹
¹
t
t2
m2 n 2 p 2
+ 2 − 2
a2
b
c
½
= −1.
´ º º ½¼µ
�¸
º
´ º º µ¸
M1 (mt1 , nt1 , pt1 ),
t1 =
¹
¹
¹
1
2
n2
b2
−m
a2 −
¸
º
+
p2
c2
´ º º ½½µ
M2 (mt2 , nt2 , pt2 ),
¸
t2 =
−1
2
−m
a2 −
n2
b2
+
º
¹
º
Oxy
¹
x2 y 2
+ 2 = −1,
a2
b
º º
Oyz
p2
c2
º
´ º º ½¾µ
¹
Oxz
−
y2 z2
x2 z 2
+
=
1,
−
+ 2 = 1.
b2
c2
a2
c
´ º º ½¿µ
º
π¸
¹
Oz
º µ
z = h
þ
|h| = c
´
º ¼µº þ ´ º º½µ
Oxy
z
h
h2
x2 y 2
+
=
− 1.
a2
b2
c2
¸
´
π
h2
c2
− 1 > 0¸ º º
C1
C2 ),
¸
h2
c2
½
|h| > c
h2
− 1 = 0¸
c2
− 1 < 0¸
º º
º º
|h| < cº
�µ´
º ¼µ
¹
σ¸
y = mº
Oxz
þ ´ º º¾µ
−
y
x2 z 2
m2
+
=
1
+
.
a2
c2
b2
m
σ
¹
¹
¹
¹
¸
Oz ¸
ü
m
¸
Oxz.
¸
ω¸
º ¼
¹
Oyz,
Oz º
ý
º
M0 (x0 , y0 , z0 )
x0 x y0 y z0 z
+ 2 − 2 = ±1.
a2
b
c
¸
¸
¸
º
¸
´ º º ½µ¸ ´ º º ¾µ
´ º º½ µ
¸
a(a1 , a2 , a3 )
a1 x a2 y a3 z
+ 2 − 2 = 0.
a2
b
c
º
½
´ º º½ µ
¸
¸
�¸
¸
¸
º
Ax + By + Cz + D = 0
¸
x = a2 At, y = b2 Bt, z = −c2 Ct.
´
¸
´
µ¸
µ
þ
¸
¹
´ º º½ µ
¹
º
º
¸
¹
º
ï ¼º
¼º½ º
¸
x2 y 2
+
= 2z ¸
a2 b2
a
º
a = b¸
bº
´º ºµ
´ º º¾µº
º
½¼
¹
´ º ¼º ½µ
¹
Oy ¸
¹
�¼º¾ º ÿ
¹
¸
¹
x2 y 2
−
= 2z ¸
a2 b2
´ º ¼º ¾µ
bº
a
ºþ
¹
¹
½º
º
½º
¸
µº
¾º
Oxz
¸
º
¿º
´
¹
Ox¸ Oy ¸ Oz
O(0, 0, 0)
º
´ º ¼º½µ
M (x, y, z)
º
Oyz
Oz
¸
z
Oxy º
¸
¸ º º
º
´ º º¿µ
´´ º ¼º ½µµ
º
¸
´ º º¿µ ´ º ¼º½µ¸
0,
º º
¹
¹
¹
´ º º¿µ
t
t t
m2 n 2
+ 2
a2
b
½½
− 2p
= 0.
´ º ¼º ¿µ
�¸
Oxy ´p = 0µ¸
2mp
P
m2
a2
+
n2
b2
,
2np
m2
a2
+
n2
b2
,
¸
¸
O(0, 0, 0)
2p2
m2
a2
+
Oº
º
n2
b2
´ º ¼º µ
.
Oxy ´p = 0µ¸
P
Oyz
¹
Oxy
º
Oxz
´ º ¼º µ
´ º ¼º µ
y 2 = 2b2 z,
2
2
x = 2a z.
º ½µ
π¸
z=h´
z
h
Oxy
º ½µº þ
¹
´ º ¼º ½µ ¹
x2 y 2
+ 2 = 2h.
a2
b
þ
µ
µ
µ
¾µ
¹
¸
π
h>0
O¸
¸
h=0
h < 0º
σ¸
y = mº
´ º ¼º½µ
þ
¹
¹
Oxz
y
½¾
m
º ½
�m2
x2
=
2z
−
,
a2
b2
x2 = 2a2 z −
þ
σ
A(0, m,
m2
)
2b2
m2
2b2
a2 ¸
.
´ º ¼º µº
´ º ¼º µ ´ º µº
´ º ¼º µ
¸
´ º ¼º µ
¿µ ü
º´ ¼º µ¸
´ º ¼º µ¸
´ º ¼º µ
º
ω¸
¸
Oyz,
¹
b2 ¸
´ º ¼º µº
¾º ÿ
½º
¾º
¿º
Oxz
´
Oz
O(0, 0, 0)
Oyz
¸
µº
º
¸
º
´ º º¿µ
´ º ¼º¾µ
º
¸ º º
¸
´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ¸
½¿
¹
¹
¹
¹
¹
¹
´ º º¿µ
�t
m2 n 2
− 2
a2
b
t t
½µ
m2
a2
−
n2
b2
ºþ
= 0¸ p = 0º þ
¸
2np
2mp
2
m2
a2
−
,
n2
b2
m2
a2
−
¾µ ma2 − nb2 = 0¸ p = 0º
¸
º
m2 n 2
¿µ a2 − b2 = 0¸ p = 0º
t = 0¸
µ
pt)
´ º ¼º µ
¸
,
n2
b2
2p2
m2
a2
n2
b2
º
¹
´ º ¼º µ
¹
¹
¸
ºþ
¸ ¸
¸
¿
º
½ ¾
½
º
M (mt, nt,
´ º ¼º¾µ
x2 y 2
− 2 = 0.
a2
b
´ º ¼º µ¸
−
´ º ¼º µ
m2 n 2
−
= 0¸ p = 0º
a2 b2
¸
´ º ¼º µ
= 0.
¸
¸
2
− 2p
¹
¹
¸
¹
´ º ¼º µ
¸
�¾
Oxy º
º
¸
¹
Oxy
º
Oyz
Oxz
´ º ¼º µ
´ º ¼º ½¼µ
π¸
y 2 = −2b2 z,
2
2
x = 2a z.
º ½µ
z = h
þ
´
´ º ¼º¾µ
Oxy
º ¾µº
z
h
x2 y 2
− 2 = 2h.
a2
b
þ
π
µ
Ox¸
¸
h>0
µ
¸
µ
¾µ
¹
¹
h=0
¹
Oy ¸
¸
σ¸
y = mº
þ ´ ¼º¾µ
m2
x2
=
2z
+
,
a2
b2
½
º ¾
h| < 0º
y
Oxz
m
¹
¹
�x2 = 2a2 z +
þ
−
σ
a2 ¸
m2
)
2b2
m2
2b2
.
¹
´ º ¼º½¼µº
´ º ¼º µ ´ º ¾µº
A(0, m,
¹
¹
´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸
¸
´ º ¼º µ
´ º ¼º µ¸
´ º ¼º µ
º
¸
º
¿µ ü
¸
ý
b2 ¸
¸
¸
¹
¹
´ º ¼º µº
º
´ º ¼º½µ¸ ´ º ¼º¾µ
¹
M0 (x0 , y0 , z0 )
¸
¸
¹
ω¸
Oyz,
¸
¹
x0 x y 0 y
+ 2 = z + z0
a2
b
´ º ¼º ½½µ
x0 x y 0 y
− 2 = z + z0 .
a2
b
´ º ¼º ½¾µ
¹
¸
º
½
¸
a(a1 , a2 , a3 )
¹
¹
�a1 x a2 y
+ 2 = a3
a2
b
´ º ¼º ½¿µ
a1 x a2 y
− 2 = a3 .
a2
b
´ º ¼º ½ µ
¸
Oz ¸
¹
Oz º
¹
x y
± = 0,
a
b
¹
Oz º
¸
¸
x=−
¸
º
Ax + By + Cz + D = 0
¸
¹
Bb2
Aa2
, y=−
C
C
´ º ¼º ½ µ
Bb2
Aa2
, y=
C
C
´ º ¼º ½ µ
x=−
º
º
¸
¹
´
¹
µ¸
Oz
½
¹
�ï ½º
½º½ º
¸
º
º½ ¸
º½
¸
¹
¹
ºþ
¸
¹
º
¹
¹
º
´ º
½º
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = 1.
a2
b
c
º ¿µ
´ º ½º ½µ
y2
x2 z 2
−
=
1
−
a2
c2
b2
¹
x z
+
a c
x z
−
a c
= 1+
½
y
b
1−
y
.
b
´ º ½º ¾µ
�⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨α1
x z
+
a c
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩β1
1+
x z
−
a c
= α1
y
,
1−
b
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨α2
x z
+
a c
= β2
1−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩β2
x z
−
a c
= α2
y
,
1+
b
α1 ¸ β1
ý
¸
´ º ½º µ
´ º ½º µ
¸
¸
α1 ¸ β1
¸
¸
α2 ¸
¹
¹
º
α1 ¸ β1
¹
¹
´ º ½º¿µ
¹
½
º
º
´ º ½º¿µ¸ ´ º ½º µ
´ º ½º½µ
º
´ º ½º¿µ
¸
α2 ¸ β2
y
,
b
´ º ½º¾µ ¸
β2
¸
´ º ½º ¿µ
α2 ¸ β2
¸
´ º ½º µ¸
y
,
b
= β1
º ¿
�º
´ º ½º¿µ ´ º ½º µ
º
½º
¹
¾º
¸
¸
¿º
¸
º
º
¹
¹
º
´ º
¾º ÿ
x2 y 2
− 2 = 2z.
a2
b
x y
+
a
b
x y
−
a
b
´ º ½º µ
= 2z
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨α1
x y
+
= 2z,
a b
⎪
⎪
x y
⎪
⎩ − = α1 ,
a b
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨α2
x y
−
= 2z,
a b
⎪
⎪
x z
⎪
⎩ + = α2 ,
a c
¾¼¼
º µ
´ º ½º µ
´ º ½º µ
�º
α1
¹
α2
¸
¹
¹
¹
¸
¸
α1
α2
´ º ½º µ
´
º µº
½º
p1
´ º ½º µ
¹
¹
¹
¹
º
´´¿º¿ º µµ
p2
p1
º
´ º ½º µ ´ º ½º µ
º
⎧
α
α
⎪
⎨ 1 x + 1 y − 2z = 0,
a
b
⎪
⎩ 1 x − 1 y − α = 0,
1
a
b
´ º ½º µ
⎧
α
α
⎪
⎨ 2 x − 2 y − 2z = 0,
a
b
⎪
⎩ 2 x + 1 y − α = 0.
2
a
b
´ º ½º µ
2
2α1
2
,
− ,− ,−
b
a
ab
p2
2 2α2
2
,− ,
b
a ab
´ º ½º ½¼µ
.
α1
¸
º
¾¼½
α2
�¾º
x
a
þ
−
y
b
=0
¸
π2 º
x
a
+
y
b
π1
= 0º
α2
´ º ½º µ
¿º
¿ ï ¼¸
¸
¸
α1
π2 ¸
p1
p2
¹
¹
º
¹
¹
π1
¸
π1 ¸
´ º ½º µ
¹
π2 º
¹
¹
¸
x y
± =0
a
b
º
º
´
µº
¸
¹
¹
ï ¾º
¹
a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x+
+ 2a2 y + 2a3 z + a33 = 0.
´ º ¾º½µ
´ º ¾º ½µ
¹
¹
º
¾¼¾
�¾º½ º
x¸ y ¸ z µ
´
´
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
−
−
y2
b2
y2
b2
=1
y2
b2
=0
13.
x2
a2
+
14.
x2
a2
x2
a2
x2
a2
= 2z
x2
=0
15.
16.
17.
¸
º
2
2
x2
+ yb2 + zc2 = 1
a2
y2
x2
z2
a2 + b2 + c2 = −1
2
2
x2
+ yb2 − zc2 = 1
a2
2
2
x2
+ yb2 − zc2 = −1
a2
2
2
x2
+ yb2 + zc2 = 0 .
a2
2
2
x2
+ yb2 − zc2 = 0
a2
y2
x2
a2 + b2 = 2z
2
x2
− yb2 = 2z
a2
2
x2
+ yb2 = 1
a2
2
x2
+ yb2 = −1
a2
x2
a2
x2
a2
¸
º µ
¹
¸
¹
º
º
º
º
º
º
º
=0
º
º
º
º
º
º
º
=1
= −1
º
¾¼¿
º
�º
¾¼
�[1] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1967. – Т. I.
[2] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1970. – Т. II.
[3] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян. –
Москва : Просвещение, 1973. – Ч. I.
[4] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян,
В. Т. Базылев. – Москва : Просвещение, 1986. – Ч. I.
[5] Бахвалов, С. В. Аналитическая геометрия / С. В. Бахвалов,
Л. И. Бабушкин, В. П. Иваницкая. – Изд. 5. – Москва :
Просвещение, 1965.
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ºººººº
¾¼
¿
¿
½½
½¾
½
½
¾¾
¾
¿¼
¿¿
¿
¿
¿
¾
¾
½
½
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ï ¾¾º
ï ¾¿º
ï¾
ï¾
ï¾
ï¾
ï¾
ï¾
ºÿ
ºþ
º
º
º
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Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Львова, Людмила Викторовна
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Subject
The topic of the resource
1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. задачи (геометрия). 5. решение задач. 6. плоскость (математика). 7. прямые (математика). 8. векторная алгебра.
Description
An account of the resource
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 207 с.
Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика».
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Львова, Людмила Викторовна
Source
A related resource from which the described resource is derived
Алтайский государственный педагогический университет, 2017
Publisher
An entity responsible for making the resource available
Алтайский государственный педагогический университет
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
13.12.2017
Rights
Information about rights held in and over the resource
©Алтайский государственный педагогический университет, 2017
Format
The file format, physical medium, or dimensions of the resource
pdf
Language
A language of the resource
русский
Type
The nature or genre of the resource
Учебное пособие
Identifier
An unambiguous reference to the resource within a given context
<a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf</a>
аналитическая геометрия
векторная алгебра
Геометрия
задачи (геометрия)
Математика
плоскость (математика)
прямые (математика)
решение задач
-
http://books.altspu.ru/files/original/72/88/_.png
210728705699031fc9b258ea2e4695b2
http://books.altspu.ru/files/original/72/88/Lvova_.pdf
0027534d601c32c07ab8f98b2d62ab75
PDF Text
Text
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�УДК 514.144(075)
ББК 22.151.32я73
Л891
Львова, Л.В.
Проективная геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие /
Л.В. Львова. – 2-е изд., доп. – Барнаул : АлтГПУ, 2017.
ISBN 978-5-88210-858-7
Рецензенты:
Родионов Е.Д., доктор физико-математических наук, профессор
(Алтайский государственный университет);
Кизбикенов К.О., кандидат физико-математических наук, доцент
(Алтайский государственный педагогический университет)
Учебное пособие написано в соответствии с государственными
образовательными стандартами. Наряду с теоретическим материалом,
изложение которого сопровождается многочисленными примерами
решения задач, в пособие включен сборник задач.
____Электронное
пособие
содержит
интерактивное
оглавление,
необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п., ссылки на внешние
документы – приложения.
Приложения можно открывать так же, как вложения, при этом
происходит автоматический показ слайдов. Программа «Адобе Акробат»
позволит установить необходимое время демонстрации каждого слайда.
Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и
информатика».
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 26.01.2017 г.
Деривативное издание.
Текстовое (символьное) электронное издание.
Системные требования
1. ПК с процессором Pentium 133 или более мощным. 2. Операционная
система Microsoft Windows (для работы с русским интерфейсом
операционная система должна обеспечивать поддержку кириллицы). 3.
Требования к оперативной памяти зависят от используемой операционной
системы: для Windows – не менее 16 МБ.
© Алтайский государственный
педагогический университет, 2017
�Объём издания – 70 250 КБ.
Дата подписания к использованию: 27.04.17
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Алтайский государственный педагогический
университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ»)
ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031
Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72
е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru
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m(λx¸ λy ¸ λ)º þ ¹
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(x1 , x2 , x3 )
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m(λb, −λa, 0)º
x1 = λb¸ x2 = −λaº
m(x1 , x2 , 0)¸
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ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0,
x4 = 0.
¹
a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + d1 x4 = 0,
a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 + d2 x4 = 0.
x4 =
0¸
º
¹
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(x1 , x2 , x3 , x4 )¸
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x4 = 0º
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A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸
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µ¸
B = {e1 , e2 , e3 }
{e1 ¸ e2 ¸ e3 }
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º
¸
B = {e1 , e2 , e3 }
e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸
e3 = λe3 ¸ ´λ = 0µº
B
¸
¹
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B
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e2 = λ2 e2 ¸ e3 = λ3 e3 º
º
¸
º
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e = e1 + e2 + e3 ¸ e = e1 + e2 + e3 º
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λ
λe = λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3
e
λ2
λ3
= 1, λ = 1, λ = 1º
+ λλ2 e2 + λλ3 e3 º
B
¸
λ1 = λ2 = λ3 = λ¸ ¸
e =
λ1
e
λ 1
¸
e1 = λe1 , e2 = λe2 , e3 = λe3 .
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B B
¸
e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸
e3 = λe3 º
e1 ||e1 ¸ e2 ||e2 ¸ e3 ||e3 º
¸
e1
e1 ¸ e2
e2 ¸ e3
e3
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¸ e = e1 + e2 + e3 = λe1 + λe2 +
¸
e
λe3 = λ(e1 + e2 + e3 ) = λeº
e
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¸
B
B
º
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M
R = {A1 ¸ A2 ¸
A3 ¸ E}
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m ´m||SM µ
B = {e1 ¸ e2 ¸ e3 }¸
º
¸
M(x1 , x2 , x3 ) ⇐⇒ m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 .
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¹
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¹
¹
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º
¹
º
¸
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M
M ¸ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E º
m¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e
m ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e
¹
¹
¹
¹
º
m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ¸
e = e1 + e2 + e3 ¸
e = e1 + e2 + e3 ¸
m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ¸
e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸ e3 = λe3 ¸ ´λ = 0µ¸
m = ρm¸ ´ρ = 0µº
m = ρ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) = (ρx1 )e1 + (ρx2 )e2 + (ρx3 )e3 º
¸
m = x1 (λe1 ) + x2 (λe2 ) + x3 (λe3 ) = (x1 λ)e1 + (x2 λ)e2 +
(x3 λ)e3 º
þ
m
¹
B
ρx1 = λx1 ¸ ρx2 = λx2 ¸ ρx3 = λx3 º
x1 =
ρ
ρ
ρ
x1 , x2 = x2 , x3 = x3 .
λ
λ
λ
¾½
�(x1 ¸
¸
x2 ¸ x3 )
(x1 ¸ x2 ¸ x3 )
ρ
λ
M
´
µº
º¿
º
R ßA1 , A2 , A3 , E
R
ßA1 , A2 , A3 , E º
(x1 , x2 , x3 )
M
¹
(x1 , x2 , x3 )
ρx1 = λ1 c11 x1 + λ2 c12 x2 + λ3 c13 x3 ¸
ρx2 = λ1 c21 x1 + λ2 c22 x2 + λ3 c23 x3 ¸
ρx3 = λ1 c31 x1 + λ2 c32 x2 + λ3 c33 x3 ¸
(c11 , c21 , c31 )¸ (c12 , c22 , c32 )¸ (c13 , c23 , c33 )
A1 ¸ A2 ¸ A3
R ¸ λ1 , λ2 , λ3
λ1 c11 + λ2 c12 + λ3 c13 = b1 ¸
λ1 c21 + λ2 c22 + λ3 c23 = b2 ¸
λ1 c31 + λ2 c32 + λ3 c33 = b3
(b1 , b2 , b3 )
Rº
E
¹
¹
¹
¹
¹
º
º
¹
º
ú
û
¾¾
�ï
º
¹
¹
º
R = {A1 ¸ A2 ¸ E}
º½
¸
A1 ¸ A2 ¸ E ¸
e = e1 + e2 º
¸
¹
B = {e1 , e2 }
ý
¹
Rº
º¾
µ
¹
´
º
¹
(x1 , x2 )
M
R
E
ßA1 ¸
¹
m
B
Rº
ße1 ¸
¹
e2
´
º¾ µ
A2 ¸
¸
¹
º
¹
¸
¹
º
º½
A(1, 0)¸
º
¹
R = {A1 , A2 , E}º
B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ D(2, 0)¸ F (2, −1)º
¾¿
�º
S ∈
SE
þ
SA1 ¸ SA2 ¸ SE º
q
SA1
r¸
SA2 º
SA2 ∩ q º
P
¹
K = SA1 ∩ r ¸ L =
−→
−−→
−→
SP = e¸ SK = e1 ¸ SL = e2 º
þ
B = {e1 , e2 }
R¸
e = e1 + e2 º
¸
¹
e1
SA1 ¸ e2
SA2 ¸ e
SE
¹
ºþ
¹
a
¹
A(1, 0)
e1 ¸
A A1 º ü ¹
¸ B A2 ¸ C E º
D
¹
¹
d 2e1 º
¸ D = A1 º
¸
2e1 − e2 º
ï
º
¹
¸
f
¹
−→
f = SQº
SQ
F
f =
F
¹
º
º
º½
R = {A1 , A2 , A3 , E}º
º
A(a1 , a2 , a3 )
¸
¾
B(b1 , b2 , b3 )º
�A
Bº
º
º
x3 )
M ∈ ¸
m = αa + β b¸
M(x1 , x2 , x3 )
a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 ) m(x1 , x2 ,
A¸ B ¸ M º
a¸ b¸ m
¸
´
µ
x1 = αa1 + βb1 ,
x2 = αa2 + βb2 ,
x3 = αa3 + βb3 .
´ º½µ
¹
m¸
´ º½µ
º
a¸ b
x1 x2 x3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
= 0º
´ º¾µ
¸
´ º¾µ
º
´ º¾µ
¹
¹
A(a1 , a2 , a3 )¸
B(b1 , b2 , b3 )¸ C(c1 , c2 , c3 )
º
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
= 0.
´ º¿µ
´ º¾µ
¾
�a2 a3
a a
a a
x1 − 1 3 x2 + 1 2 x3 = 0
b2 b3
b1 b3
b1 b2
u1 =
a2 a3
a a
, u2 = − 1 3 , u3 =
b2 b3
b1 b3
a1 a2
.
b1 b2
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0.
´ º µ
´
´ º µ
º þ
u1 ¸
´ º µ¸
µ
u2 ¸ u3
¹
¹
¸
º
¹
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0
¸
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0
u1 : u2 : u3 = u1 :
¸
u2 : u3 º
º½ º
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0
´u1 ¸ u2 ¸ u3 µº
¹
¸
¹
º
º (u1 , u2, u3 )
(u1 ¸ u2 ¸ u3 )º
º½
º
¹
º
¸
A(2, 1, −3)
¾
B(0, 2, 1)º
AB
¹
�x1 x2 x3
2 1 −3
0 2 1
= 0.
7x1 − 2x2 + 4x3 = 0
ï
º
º
º
¹
R = {A1 , A2 , A3 , E}º
þ
I9 µº
´
º½
º
º
(u1 , u2, u3 ) m(v1 , v2 ,3 )º
S
º
º
S(x1 , x2 , x3 )º
m¸
S
¸
¹
¹
¸
m
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0,
v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 = 0.
x1 ¸ x2 ¸ x3
¸
S
¸
´ º½µ
x2
1
u1 x
x3 + u2 x3 = −u3 ,
v1 x1 + v2 x2 = −v3 .
x3
x3
¾
´ º½µ
¸
x3
x3 = 0º
¹
´ º¾µ
�¸
x1
∆1 x2
∆2
=
,
=
,
x3
∆3 x3
∆3
´ º¿µ
¸
∆3 =
u1 u2
, ∆1 =
v1 v2
∆2 =
u1 −u3
v1 −v3
−u3 u2
−v3 v2
u2 u3
,
v2 v3
=
u1 u3
.
v1 v3
=−
´ º µ
´ º¿µ
x1
x3 x2
x3
=
,
=
.
∆1
∆3 ∆2
∆3
x1 : x2 : x3 = ∆1 : ∆2 : ∆3 ¸ º º
S
(∆1 , ∆2 , ∆3 )º
¸ S(∆1 , ∆2 , ∆3 )
´ º µ¸
S=
u2 u3
u1 u3 u1 u2
,−
,
v2 v3
v1 v3 v1 v2
¹
¹
¹
º
´ º µ
º
º½
º
S
¹
Sº
¸
¾
�¸
º
(u1 , u2 , u3)
¹
m(v1 , v2 , v3 )º
º
¹
¸
º
S ∈ p¸
´ º µ¸
p(p1 , p2 , p3 )
S = ∩m
¹
u2 u3
u u
u u
p − 1 3 p2 + 1 2 p3 = 0,
v2 v3 1
v1 v3
v1 v2
u1 u2 u3
v1 v2 v3 = 0.
p1 p2 p3
´ º µ
´ º µ
¸
(u1, u2 , u3 )
m(v1 , v2 , v3 )º
¹
(u1 , u2 , u3)¸ m(v1 , v2 , v3 )¸ p(p1 , p2 , p3 )
S(x1 , x2 , x3 )¸
º
p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 = 0.
´ º µ
´ º µ
x1 ¸ x2 ¸ x3
º þ
p3
m¸
x3 = 0
p1 ¸ p2 ¸
º
✗
✖
¸
¸
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0
¸
º
º½
º
º
2x1 − x2 + x3 = 0
¾
x1 + x2 −
✔
✕
�º
2 −1 1
1 1 −1 = 0.
u1 u2 u3
þ
3u2 + 3u3 = 0,
¸
¸
u 2 + u 3 = 0º
S(0, 1, 1)
mº
º
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
º¾
E
¹
A1
º
¸
¹
M(1¸3¸−2)
2x1 − x2 + 5x3 = 0º
a¸
º ½µ
¸
¹
EA1 º
¹
x1 x2 x3
1 1 1 = 0.
1 0 0
þ
¸
¹
x2 − x3 = 0.
P∞
¾µ
a
´
º ´ º µ
u1 u2 u3
2 −1 5 = 0.
0 1 −1
¿¼
¹
�¸
2u1 − u2 − u3 = 0.
¸
P∞ (2, −1, −1).
b¸
M¸
¿µ
a
MP∞
¹
¹
x1 x2 x3
1 3 −2 = 0.
2 −1 −1
b
5x1 + 3x2 + 7x3 = 0.
ï
º
R = {A1 , A2 , A3 , E}º
º
¹
M(x1 , x2 , x3 ) −→ (x1 , x2 , x3 )¸
(u1 , u2 , u3) −→ M (u1, u2 , u3 )¸
º
M
º
¸
M¸
¸
M
º
¸
½µ
¹
¸
¿½
¸
¹
�¾µ
M ∈
¸
M∈
¸
º
M
¸
º
M ∈
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0.
¸
✤
✣
º
¹
¹
¹
¸
¸
º
º½
º
T¸
¸
¹
T¸
º
T
←→
←→
←→
¸
¸
¸
¸
←→
º
º¸
¸
Tº
¿¾
¹
✜
✢
�←→
½º
º
¾º
¹
I1−2 µ ←→
´
¿º
I9 µº
´
←→
¸
¸
º
º¾
º
¹
¸
¸
¹
º
º
º½
¸
º ´
¹
¹
¹
¹
¹
ºµ
T¸
¸
Tº
º
¹
¸
¹
º
¸
Tº
¹
Tº
¹
T
T
¸
¿¿
º
�º
þ
¹
¸
¹
¸
¸
←→
←→
←→
←→
¸
¸
¸
¸
¸
←→
º
ý
¹
º
½µ
¾µ
¹
º
ï
º
º½
º
¹
¸
¹
¹
¹
º
º½
º
A
¸
A¸B
´
A B ¸ BC
B C ¸ AC
ABC A B C
B¸C C
µº
AC
º
¿
¹
¹
AB
�º½
º ´
ºµ
AA ¸ BB ¸ CC ¸
ABC
ABC
¸
¹
¹
L¸
P = AB ∩
A B ¸ Q = BC ∩ B C ¸ R = AC ∩ A C
¹
º
º
þ
¸
¹
ÓÓ
¹
¹
¹
A → a¸ B → b¸
C → c¸ A → a ¸ B → b ¸
C → c¸ L → º
L ∈ AA ¸
= αa + α a º
ü
L ∈ BB
L ∈ CC
¸
= βb + β b
= γc +
¹
γ cº
º
º
αa + α a = β b + β b ¸
β b + β b = γc + γ c ¸
γc + γ c = αa + α a ¸
αa − β b = −α a + β b ¸
β b − γc = −β b + γ c ¸
γc − αa = −γ c + α a º
¿
�αa − β b
a
b¸
AB º þ
º
¸
−α a + β b
ABºü
¸
αa − β b
AB
P
−α a + β b
¸
AB
¹
Pº
¸
p = αa − β bº ü ¹
q = β b − γc¸
¸
º
¹
¸
¸
¸
º
r = γc − αa
Q¸ Rº
p + q + r = (αa − β b) + (β b − γc) +
(γc − αa) = (αa + β b + γc) − (αa + β b + γc) = 0º
¹
¸
p¸ q, r
¹
¸
¸
P ¸ Q¸ R
º
º¾
º ´
ºµ
ABC
ABC
P = AB ∩ A B ¸ Q = BC ∩ B C ¸
R = AC ∩ A C
¹
AA ¸ BB ¸ CC ¸
¸
¸
¹
L.
¸
¹
¸
º
¿
�º¾
ABC
º
ABC
¸
¹
´
¹
µ¸
L
¸
¸
¹
¸
º
½º
º
¸
º
½¼
½¼
¸
º
¹
¸
º þ
Ü
¹
º
º
¾º
º
ú
½û¸
ú
¾ûº
º
º¾
¸
¹
¸
Bº
¸
º
A P ¸ LB
B
B
CQ
¹
´
µ¸
º
A
A LC
¸
P ¸ L B¸ C
P BQ¸
¹
Qº
´
µº
¿
�º
¹
A, C, R
¸
¹
º
º¿
º
¸
¹
¸
LA º
¸
LA
º
A
L¸
A
¹
º
¹
BB
CC ¸ BP
BB P
CR¸ B P C R
L¸ A¸ A µº
CC R ´
´
¹
¸
¹
µ¸
B
¹
C¸ B
BC ¸ B C ¸ P R
CC R
C¸P
Qº
Rº
¸
BB P
Q
º
ï ½¼º
¹
º
¹
L
L
L
¿º L
º L
½º
¸
¾º
º
¸
¸
º
¸
¿
º
º
�½º AA ∩ BB ∩ CC = L ¸ AB ∩ A B = P ¸ BC ∩ B C = Q¸
AC ∩ A C = R¸ P ∈ ¸ Q ∈ ¸ R ∈ º
¾º AA ||BB ||CC = L¸ AB ∩ A B = P ¸ BC ∩ B C = Q¸
AC ∩ A C = Rº
¿º AA ∩ BB ∩ CC = L¸ AB||A B ¸ BC||B C ¸ AC||A C º
º AA ||BB ||CC = L¸ AB||A B ¸ BC||B C ¸ AC||A C º
º
º
º
º
½¼º½
ºµ
º´
¹
¸
¸
ÓÓ
¸
¸
¿
¸
¸
º
¹
¹
¹
¹
�¹
¸
½
¾¸
¿
¹
º
þ
ABC
¿
ABC
¹
¸
º
¹
º
þ
¹
¸
¹
ºþ
¸
¹
º
º þ
¹
¸
¹
º
¸
¸
¹
¸
º
½¼º½
º
a||b
C
¸
Cº
¹
¸
º
º
ü
º
¹
¸
´
º
AA = a¸
µº
BB = b¸ C
¸
CC
B ∈ bº
¸
¸
º
¹
A¸ A ∈ a B ¸
P = AB ∩ A B º
¸
Q
¾
¹
Pº
¹
R
BC
¼
�AC º
BQ
C
A Rº
¹
¸
º
½º
¾º
¿º
º
º
º
º
º
A ∈ a, A ∈ a¸ B ∈ b, B ∈ b
P = AB ∩ A B
¸ P ∈
R = AC ∩
Q = BC ∩
C =B Q∩AR
CC º
º ½¼
º
ABC A B C º þ
P = AB∩A B ¸ Q = BC∩B C ¸ R = AC∩A C
º
¸
ABC
ABC
¹
¹
´
µº
CC
CC
AA ||BB
¸
¹
º
¸
¸
º
º
¾º þ
¸
º
ú
û
¹
º
ï ½½º
ÿ
½º ÿ
º
½
¹
�½½º½
º
´
R
µ
A2 ¸ A3 ¸ E
R
ßA1 ¸
A2 ¸ A3 ¸ E
{A1 ¸
º
¹
M
¸
(x1 ¸ x2 ¸
(x1 , x2 , x3 )
M
x3 )
R
¹
¹
R¸
¹
¹
º
M(x1 , x2 , x3 )R
R
¾µ f : R → R
R Rº
M
½µ
f
A1 (1, 0, 0)R
º
º ü
E
E
º
½½º½
R¸ R
R1
M
A1 (1, 0, 0)R ¸
A1 A1
A2 A2 ¸ A3 A3 ¸
¹
º
R1
º
¹
¸
M = f (M)
M(y1 , y2, y3 )R1 ¸
M (y1 , y2, y3 )R1 ´
¹
µº
f
¸
R
f
R¸
¹
¹
¾
�R1 R1 ¸
R1 = f (R1 )
¸
R1
º
º
½½º½
¸
º ¿¾ ¿¿º
¹
º
¹
º
º
1◦ .
º
f : R → R
g : R1 → R1
º
¸
g◦ f
º
þ
R1
¹
R1
R = f (R) R = g(R )¸
M
M = f (M) M = g(M )º
f
R R¸
M (x1 , x2 , x3 )R º
g
R R = g(R )º
¸
R = (g ◦f )(R)º
¸
M(x1 , x2 , x3 )R º
¹
M = (g ◦ f )(M)º
¸
¹
ü
¸
R
¸
M (x1 , x2 , x3 )R
M
º
¾µ
M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R
g◦f
2◦ . ü
¹
R
º
¹
¸
¸
½µ
g
R→R
M(x1 , x2 , x3 )R
g◦f
´
µº
¹
º
¸
¹
º
¿
�3◦ .
º
¹
¸
¸
¹
eº
e
¸
¹
º
¸
µ
e:R→R
´
¸
º
4◦ .
º
¹
º
¹
f
¸
¸
¹
f −1
¹
º
º
M
¸
f :R→R
f −1 : R → Rº þ
M = f −1 (M )º
f
¹
¹
¸
M = f (M)º
M(x1 ¸ x2 ¸ x3 )R
M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º
f
−1
¸
R
(x1 , x2 , x3 )R
(x1 , x2 , x3 )R º
¹
R
M
M
¸
¹
f
−1
º
¹
¹
¹
º
�º
½½º¾
¹
Φ
ý
¸
¹
Φ¸
¹
Φ
¸
½½º¾
Φº
¹
º
¸
º
º
¸
¹
¸
º
º
¸
¹
¸
º
º
¹
¸
¹
º
¾º
¹
½½º¿
¸
º
º
A¸ B ¸ C ¸ D
¹
¹
�½½º½
º
þ
¹
º
½½º¿
º´
A¸ B¸ C¸ D
º
A¸ B ¸ C ¸ D
C¸ Dº
¸
ºµ
A¸ B ¸ C ¸ D
¸
¹
¹
¸
A¸ B¸
º
R
¸
Rº
¹
º
¸
º
½½º
º ´
ºµ
þ
ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,
ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,
ρx3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ,
|(aij )| = 0¸ (i, j = 1, 2, 3).
¹
¹
´½½º½µ
�º
f :R→R
M(x1 ¸ x2 ¸ x3 )R
½µ
º
x3 )R º
¸
¸
¹
M = f (M)¸
f
M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º
M (x1 ¸ x2 ¸
¹
¹
M
R
´
R
¸
µº þ
¹
¹
´
º¿ µ¸
M
ρx1 = λ1 c11 x1 + λ2 c12 x2 + λ3 c13 x3 ¸
ρx2 = λ1 c21 x1 + λ2 c22 x2 + λ3 c23 x3 ¸
ρx3 = λ1 c31 x1 + λ2 c32 x2 + λ3 a33 x3 º
λi cij = aij (i, j = 1, 2, 3)º
¹
|(aij )| = |(λi cij )| =
λ1 , λ2 , λ3
þ
´½µº
λ1 λ2 λ3 |cij | = 0,
|(cij )| = 0.
¾µ þ
¹
f
´½½º½µ¸
¹
´
½½º
µº
¹
º
º
º
f :R→R
¸
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0
¹
�Rº
¸
M¸
(x1 , x2 , x3 )R
¹
º
M
(x1 , x2 , x3 )R
M ∈
M
¸
¸
º
ï ½¾º
½¾º½
R = {A1 , A2 , E}
{A1 , A2 , E }
R
º
f
R =
º
¸
M ∈
(x1 , x2 )
¹
¹
(x1 , x2 )
M ∈
¸
¹
R¸
º
¸
¹
f
º
½¾º½
º
f
f −1
¸
¹
º
�º
½¾º¾
f
¸
¸
g◦f
¹
º
½¾º¿
g
¹
º
¹
º
½¾º½ ½¾º¿
½½º½ º
C
A¸ B ¸ C
º
½¾º
º
½¾º
¸
¸
A
A¸ B¸
A¸ B
º
ρx1 = a11 x1 + a12 x2 ¸
ρx2 = a21 x1 + a22 x2 ¸
a11 a22 − a12 a21 = 0º
¸
B¸ C
¹
¹
Cº
¹
¹
�½¾º
¸ ½¾º
¸
¹
ï ½½º
½¾º
º ´Ç
¹
ºµ
º
f
= f ( )¸
¹
¹
f¸
º
º
þ
¹
R = {A1 , A2 , A3 , E}
¸
A1 ∈ ¸ A2 ∈ ¸ A3 ∈ ¸ E ∈ º
A1 = f (A1 )¸
A2 = f (A2 )¸ A3 = f (A3 )¸ E = f (E)
= f ( )º
¸
A1 ∈ ¸ A2 ∈ ¸ A3 ∈ ¸ E ∈ º
¸
A2 ¸ A3 ¸ E}¸ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E }¸
M(x1 , x2 , x3 )R
R = {A1 ¸
M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º
E3 = A3 E ∩ A1 A2 ¸
E3 = A3 E ∩ A1 A2 º
¸ E3 = f (E3 )º
º ½½
R3 = {A1 , A2 , E3 }¸ R3 = {A1 , A2 , E3 }º
R3
R3 º
¼
f
�M∈ ¸
M
(x1 , x2 , 0)R
M
M(x1 , x2 , 0)R
(x1 , x2 )R3 º
¹
(x1 , x2 )R3 º
f
¸
M(x1 , x2 , )R3
¸
M (x1 , x2 )R3 º
½¾º½
¹
º
ï ½¿º
½º
º
¸
º ý
¹
´
µ
¹
º
¸
¹
¹
u1 x1 +u2 x2 +u3 x3 = 0º
u1 , u2 , u3
u(u1 , u2, u3 )¸
¹
¹
º
½¿º½
r = {a1 , a2 , e}
¹
º
¸
a1 ¸ a2 ¸ e
a1 ¸ a2 ¸ e
a1 + a2 = eº
½
¹
¸
¹
�½¿º¾
¹
º
m
¹
¹
¹
{a1 ¸ a2 }º
¸
¹
º
¹
º
¹
¸
½
º
¾º
º Π(L)
Lº
½¿º¿
¹
º
Π(L)
M∈
¸
LM ∈ Π(L)º
½¿º½
¹
º
Π(L)
º
º
R
E ∈
¹
þ
¹
A1 ∈
¸
º
A1 ¸ A2 ¸ E3 ¸
¾
¸
A2 ∈
E3 = LE ∩
A3 ∈ ¸
R3
¸
º
�R3
Π(L)
r3 {LA1 ¸ LA2 ¸ LE}º
M
¹
M(m1 , m2 )R3 º
M(m1 , m2 , 0)R º
M
¹
Π(L)
¹
LM º
¸
¹
LM
Π(L)
r3
(m1 , m2 )¸
M
º
º ½¾
LA1
¹
x2 = 0
Rº
LA1
¸
¹
a1 (0, 1, 0)º
LA2 x1 = 0
¹
¹
¹
a2 (1, 0, 0)º
LE
x2 x2 x3
0 0 1
1 1 1
a1
x1 − x2 = 0º
LE
a2
¸
¸
= 0,
¹
¹
e3 (1, −1, 0)
e3 = −a1 + a2 º
r3
−a1 ¸ a2 º
Π(L)
LM
LA1
Π(L)¸
LA2
LM
r3 º
x2 x2 x3
0
0 1
m1 m2 0
¿
= 0,
¹
�m2 x1 − m1 x2 = 0,
m(m2 , −m1 , 0)
¹
LM º
m
{−a1 , a2 }º
m = α(−a1 ) + βa2 ,
(m2 , −m1 , 0)
α(0, −1, 0) + β(1, 0, 0)º
m2 = β ¸ m1 = αº
¸
m = m1 (−a1 ) + m2 (a2 )º
¸
LM(m1 , m2 )r3 º
ü
¹
º
½¿º
(L)
¹
¸
M =m∩
º
m ⊂ Π(L)
¹
º
Π(L)
½¿º¾
º
¹
¸
½¿º½ º
½¿º
M ∈
¸
¹
¹
º
L
M ∈
M = LM ∩
¸
º
¹
�½¿º¿
¹
º
º
º
Lº
f
¹
¸
ϕ :
ψ : Π(L) →
ϕ
º
→ Π(L)
ψ
¹
¹
´
½¿º½¸ ½¿º¾µº
R = {A1 , A2 ¸
¸
E}
¹
¸
R
{A1 ¸ A2 ¸ E }
º ½¿
¹
r = {LA1 , LA2 , LE}
Π(L)¸
¹
M¸
(x1 , x2 )
R¸
ϕ
ψ
LM
(x1 , x2 )
LM(x1 , x2 )
M
Rº
f = ψ◦ϕ
M (x1 , x2 )R ¸
º
r¸
¹
(x1 , x2 )
¸
M(x1 , x2 )R
¹
¹
¹
¹
�Π(L)
m ∈ Π(L)
m ∈ Π(L )¸
m∩
½¿º
Π(L )
¹
¹
¸
¹
º
½¿º
L
º
¹
¹
º
Π(L)
º
Π(L )
¹
¸
½¿º¿ º
¹
¸
º
½¿º
Π(L )µ
L
´
º ´
ºµ
Π(L)
¸
Lµ
´
¸
¸
¸
¹
Π(L )µ
¹
¹
¹
º
�º
º
f :
L
→
º
½¿º¿
¹
C= ∩
º
º
f: →
¸
C =
∩
º
º½
AA ∩ BB
A¸
Lº
B
B
¹
¹
A ∈ ¸ B ∈
¹
A = f (A)¸ B = f (B)
º
L=
g
A
C
º
½¿º¿
º
g¸
¸
¹
f,
A¸ B ¸
C
A¸ B¸ C
º
¹
½¾º
¸
f
g
º
f
¸
º
½¿º
º ´
ºµ
þ
º
º
f :
→
¹
¹
¹
¹
�º
¸
¹
º
f
¹
º
A¸
B¸ C
A¸ B¸ C
¹
A = f (A)¸ B =
¸
f (B)¸ C = f (C)º
¹
0 = B0 C0 ¸
B0 = AB ∩A B ¸ C0 = AC ∩
A C¸
A0 = AA ∩ 0 º
ϕ: → 0
A¸ ψ : 0 →
ψ ◦ ϕ = fº
¸
º½
¹
Aº
¸
ϕ
A¸ B ¸ C
¹
A0 ¸ B0 ¸ C0
ψ
0¸
C0
A0 ¸ B0 ¸
A¸ B¸ C
0
º
¹
ψ ◦ ϕ¸
A¸ B ¸ C
¸
f¸
A¸ B¸ C
º
¹
¸
½¾º
º
½¿º½
¸
º þ
¹
¹
º
¹
º
�¿º
½¿º½
f :
M∈
º
→
¸
A¸ B ¸ C
º
M = f (M)º
º
º
= B0 C0 B0 = AB ∩ A B ¸
C0 = AC ∩ A C
¾µ M0 = A M ∩ 0
¿µ M = AM0 ∩ ¸ M
º
º
M = (ψ ◦ ϕ)(M) = f (M)
½µ
¹
A¸B¸C
0
½¿º¾
º
f : Π(L) → Π(L )
b¸ c
º½
Π(L )¸
m = f (m)º
¸
a¸ b¸ c
Π(L)
m ∈ Π(L)º
¸
º
a¸
¹
�ÿ
¾
þ
þ
ÿ
´
ï ½ º
½ º½
´
¸
C¸ D
µ
µ
º
A¸ B ¸ C ¸ D
a¸ b¸ c¸ d
c = λa + µb¸ d = νa + ρbº
(AB, CD)
(AB, CD) =
A¸ B
ü
º
µ ρ
: ,
λ ν
¹
¹
A¸ B ¸
´½ º½µ
C¸ D
�´
µ
º
º
A(1, 0, −1)¸ B(−2, 1, 3)¸ C(3, −1, −4)¸ D(0, −1,
− 1)º
A¸ B ¸ C ¸ D
¸
º
AB º
x1 − x2 + x3 = 0º
C ∈ AB º
¹
(AB, CD)º
x1 x2 x3
1 0 −1
−2 1 3
= 0,
¸
C ∈ AB º
C
3 − (−1) + (−4) = 0.
¸
D ∈ AB º
ü
(3, −1, 4) = λ(1, 0, −1) + µ(−2, 1, 3).
3 = λ − 2µ, −1 = µ
µ = −1¸ λ = 1º
ü
¸
(0, −1, −1) = ν(1, 0, −1) + ρ(−2, 1, 3)
´½ º½µ¸
¹
¸
ρ = −1¸ ν = −2º
þ
(AB, CD) =
¸
−1 −1
:
= −2.
1 −2
½
AB º
¸
�½ º½
´
µ
¹
¹
º
´
µº
º
(AB, CD)
º
a
½µ
b
a = αa¸ b = β b
c = λa +µb,
d = ν a +ρb.
(AB, CD) =
µ ρ
: .
λ ν
c
d
a
bº
c = (λ α)a + (µ β)b,
d = (ν α)a + (ρ β)b.
c d
λ α = λ, µ β = µ, ν α = ν, ρ β = ρº
þ
a
b
λ =
λ
,
α
µ
µ = ,
β
(AB, CD) =
ν =
ν
,
α
ρ
ρ = .
β
µ ρ
µα ρα µ ρ
: =
:
= : .
λ ν
λβ νβ λ ν
¸
´
µ
¹
¹
b
A
¹
a
B
¾
a
bº
�d
c
¾µ
¹
c = αc¸ d = β d
c
d
= λ a + µ b,
= ν a + ρ b.
λ
µ
a+
b,
α
α
ν
ρ
d=
a+
b.
β
β
c=
λ
= λ,
α
µ
= µ,
α
ν
= ν,
β
ρ
= ρ.
β
´½ º½µ
(AB, CD) =
µ ρ
µα ρβ
µ ρ
: .
: =
:
=
λ ν
λα νβ
λ ν
½ º¾
º
¹
(AB, CD)
R = {A, B, C}¸ º º
(AB, CD) =
d1 ¸ d2
D
d1
,
d2
´½ º¾µ
´
µ
D
¹
Rº
º
A¸ B ¸ C
¸
¹
c = a + bº
¿
¹
�D(d1 , d2) ⇔ d = d1 a + d2 b.
λ = 1¸ µ = 1¸ ν = d 1 ¸ ρ = d 2 º
¸
(AB, CD) =
1 d2
d1
:
= .
1 d1
d2
¸
¹
(ab, cd)
½ º¾
º
½ º¿
º ´
ºµ
¹
´
µº
f
A¸ B ¸ C ¸ D
¸
A¸ B¸ C
= f ( )º
´
¸
¸
A¸ B
B¸ C
C
D
¸
µº
¹
D
¸
A
D
¹
¸
R¸ R = f (R)¸
(AB, CD) = (A B , C D )º
½ º
º
º
¸
¹
¹
�º
½ º
¹
º
A¸ B ¸ C ¸ D ¸
B(b1 , b2 )¸ C(c1 , c2 )¸ D(d1 , d2 )º
a1
c1
(AB, CD) =
b1
c1
R = {A1 , A2 , E}
A(a1 , a2 )¸
¹
a2
a1
c2
d1
:
b2
b1
c2
d1
a2
d2
b2
d2
º
´½ º¿µ
º
c = λa + µb¸
d = νa + ρbº
(c1 , c2 ) = λ(a1 , a2 ) + µ(b1 , b2 )¸
(d1 , d2 ) = ν(a1 , a2 ) + ρ(b1 , b2 )º
c1 = λa1 + µb1
,
c2 = λa2 + µb2
d1 = νa1 + ρb1
.
d2 = νa2 + ρb2
¸
λ=
c1 b1
c2 b2
,µ =
∆
a1 c1
a2 c2
,ν =
∆
d1 b1
d2 b2
,ρ =
∆
a1 d1
a2 d2
,
∆
�∆=
a1 b1
.
a2 b2
a1
a2
c1
c2
(AB, CD) =
a=
(AB, CD)
þ
c1
c2
b1
b2
:
½ º
º
a1
a2
d1
d2
d1
d2
b1
b2
=
´½µ
a1
c1
b1
c1
a2
c2
b2
c2
:
a1
d1
b1
d1
a2
d2
.
b2
d2
A¸ B ¸ C ¸ D
a1
b1
c1
d1
, b= , c= , d=
a2
b2
c2
d2
¹
R =
{A1 , A2 , E}º
(AB, CD) =
º
a1 a2
= a2 c2
c1 c2
a).
ü
a1
a2
c1
c2
þ
c−a d−a
:
.
c−b d−b
´½ º µ
´½ º¿µº
1
a 1
= a2 c2
= a2 c2 (a−c) = −a2 c2 (c−
1
c 1
�b1 b2
= −b2 c2 (c−b),
c1 c2
a1 a2
= −a2 d2 (d−a),
d1 d2
b1 b2
=
d1 d2
−b2 d2 (d − b).
¹
´½ º¿µº
−a2 c2 (c − a) −a2 d2 (d − a)
(c − a) (d − a)
:
=
:
.
−b2 c2 (c − b) −b2 d2 (d − b)
(c − b) (d − b)
(AB, CD) =
º
¹
¸
´½ º µ¸ ´½ º µ
º
1◦ º
¸
(CD, AB) = (AB, CD).
2◦ º
´
¸
µ¸
(AB, DC) =
¹
1
.
(AB, CD)
3◦ º
¸
¹
(BA, DC) = (AB, CD).
4◦ º
¸
¹
B
C
A
D
(AC, BD) = 1 − (AB, CD); (DB, CA) = 1 − (AB, CD).
�5◦ º
A¸ B ¸ C ¸ D
α,
¹
1
1
1
α
, 1 − α,
, 1− ,
.
α
1−α
α 1−α
4◦ º þ
¹
´½ º µº
(AC, BD) =
1−
b−c+c−a d−b+b−c
b−a d−a
:
=
·
=
b−c d−c
b−c
d−a
c−a
c−b
c−b
d−b c−a d−b c−b
d−b
−
=
−
·
−
+
d−a d−a
d−a c−b d−a d−a
c−b
c−a
c−a d−a
c−a c−b
d−b
·
=
−
+
−
:
c−b d−a
d−a d−a d−a
c−b d−b
1 − (AB, CD)º
5◦ º
αº
(AB, DC) =
´
(AB, CD) =
1
α
2◦ µ
(AC, BD) = 1 − α
´
4◦ µº
4◦ ¸
(AB, DC)
(AD, BC) = 1 −
1
α−1
=
,
α
α
(AC, BD)
(AC, DB) =
1
1−α
�2◦ µº
´
2
◦
¸
¸
¹
(AD, BC)¸
¸
(AD, CB) =
1◦
3◦
¸
α
.
α−1
º
1◦ − 3◦
¹
º
¹
´½ º½µ ´½ º µº
º
¹
¹
º
º
½ º
a, b, c, d
L
A, B, C, D
(AB, CD) = (ab, cd).
º
º
þ
¹
R =
A1 = A¸
E ∈ LC º
{A1 , A2 , A3 , E}
¸
A2 = B ¸ A3 = L¸
A¸ B ¸ L
¹
A(1, 0, 0)¸ B(0, 1, 0)¸ L(0, 0, 1)¸
¸ a¸ b
¹
x3 = 0¸
x2 = 0¸ x1 = 0º
¹
a b
¹
¸
a(0, 1, 0)¸ b(1, 0, 0).
º½
�¹
(AB, CD)
(ab, cd)¸
c¸ d º
C¸ D
c = A3 E ¸
º
x1 x2 x3
1 1 1
0 0 1
x1 − x2 = 0.
C = c∩ ¸
= 0,
c(1, −1, 0)º
¸
¸
x1 − x2 = 0,
x3 = 0.
C(1, 1, 0)º
¸
D ∈ A1 A2 ¸
d = A3 D
D(d1 , d2 , 0)º
x1 x2 x3
d1 d2 0
0 0 1
d2 x1 − d1 x2 = 0º
= 0,
¸
d(d2 , −d1 , 0)º
(AB, CD)
¹
´½ º½µ¸
(1, 1, 0) = λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0),
(d1 , d2, 0) = ν(1, 0, 0) + ρ(0, 1, 0).
λ = 1, µ = 1, ν = d1 , ρ = d2 º
¼
�(AB, CD) =
µ ρ
d1
: = .
λ ν
d2
(ab, cd)
¹
(1, −1, 0) = λ(0, 1, 0) + µ(1, 0, 0),
(d2 , −d1 , 0) = ν(0, 1, 0) + ρ(1, 0, 0).
λ = −1¸ µ = 1¸ ν = −d1 ¸ ρ = d2 º
(ab, cd) =
1
d2
d1
:
=
= (AB, CD).
−1 −d1
d2
º
¹
¹
¸
´½ º½µ ´½ º µº
º
A¸ B ¸ C ¸ D
¸
b¸ c¸ d
a¸
¹
{0, e}º
−→
−−→
−→
−−→
OA = ae, OB = be, OC = ce, OD = de¸
e
¹
−→ −→ −→
º
AC = OC − OA = ce − ae =
−−→
−−→
−−→
(c − a)e, BC = (c − b)e, AD = (d − a)e, BD = (d − b)e.
−→
AC
c−a
−−→ = c − b ,
BC
−−→
AD
d−a
−−→ = d − b ,
BD
½
�´½ º µ
−→
AC
(AB, CD) = −−→ :
BC
−−→
AD
−−→
BD
´½ º µ
º
º
A¸ B ¸ C ¸
½ º¾
(AB, C)
−−→
BC ¸
º
−→
AC
¸
º
−→
AC
(AB, C) = −−→.
BC
þ
(AB, CD)
(AB, CD) =
¸
½ º
(AB, C)
.
(AB, D)
´½ º µ
A¸ B ¸ C
º
¸
D∞
(AB, C) = (AB, CD∞ )
º
¾
¸
¹
´½ º µ
�(AB, CD∞ ) =
lim (AB, CD),
D−→D∞
−−→
−→ −−→
AD
AB + BD
lim (AB, D) = lim −−→ = lim
=
−−→
D−→D∞
D−→D∞ BD
D−→D∞
BD
−→
AB
lim −−→ + 1 = 1,
D−→D∞ BD
(AB, CD∞ ) =
(AB, C)
= (AB, C).
D−→D∞ (AB, D)
lim
º
½ º
a¸ b¸ c¸ d
(ab, cd)
(ab, cd) =
k3 − k1 k4 − k1
:
,
k3 − k2 k4 − k2
´½ º µ
k1 , k2 , k3 , k4
a¸ b¸ c¸ dº
º
¸
¸
¹
¹
¹
O ij º
y = k1 x¸ y = k2 x¸ y = k3 x¸ y = k4 x
Oj
¸
S(1, 0)¸
a¸ b¸ c¸ d
C(1, k3 )¸ D(1, k4 )º
º
x = 1º
¹
A(1, k1)¸ B(1, k2)¸
Oj
¿
�A(k1 )¸ B(k2 )¸
C(k3 )¸ D(k4 )º
´½ º µ
(AB, CD) =
½ º
k3 − k1 k4 − k1
:
.
k3 − k2 k4 − k2
(ab, cd) = (AB, CD)º
´½ º µº
½º
(ab, cd)
¹
L
¹
º
¹
´½ º µ
L(x0 , y0 )º
¸
º½
¸
¾º
a¸ b¸ c¸ d
dµ
Oy ¸
´
¹
º þ
(ab, cd) = lim
k−→∞
k3 − k1 k − k1
:
.
k3 − k2 k − k2
a¸ b¸ c¸ d
(ab, cd) =
sin ∠(c, a) sin ∠(d, a)
:
.
sin ∠(c, b) sin ∠(d, b)
´½ º µ
�ï ½ º
ÿ
½ º½
º
ÿ
¸
A¸ B ¸ C ¸ D ¸
¹
¸
(AB, CD) =
¸
−1º
¹
D
A¸ B ¸ C º
ÿ
¸
C¸ D
A¸ B º
ÿ
º
½ º½
º
¸
¸
A¸ B ¸ C
Dº
º
¹
A B
¸
C
´
¸
¹
1
−1
D
= −1
D
¸
(1, −1)º
½ º¾ µ¸
(AB, CD) =
´
½ º½ µ¸
D
º
¸
C¸
D (d1 , d2)º
(AB, CD )
¹
¹
º
¸
−1¸
D
(AB, CD ) =
d2 = −d1 ¸ º
¹
A¸ B ¸
d1
d2
º
D (d1 , −d1 )º
�´
½º
D (1, −1)
D
¹
º¾ µ¸
¸
Dº
Dº
´
½µº
º
1º
A¸ B ¸ C ¸ D
C ¸ D¸ B ¸ A
2◦ º
A¸ B ¸ C ¸ D
A¸ B ¸ D ¸ C
3◦ º
A¸ B ¸ C ¸ D
B ¸ A¸ D ¸ C
◦
¸
º
¸
º
¸
º
¸
¹
º
º
�ÿ
ï ½ º
½ º½
º
XY ZW
¸
¹
X¸ Y ¸ Z¸ W
¸
º
X¸ Y ¸ Z¸ W
¸
XY
¸
YZ
XW ¸ XZ
ZW ¸
YW
º
A = XY ∩ ZW ¸ B = XW ∩ Y Z ¸ S = XZ ∩ Y W
º
AB ¸
AS ¸ BS ¸
¸
º
½ º½
ºµ þ
´
º ´
¹
º ½ µ
½µ
¹
¸
¹
¹
¹
¸
´
D = AB ∩ XZ µ
¸
A¸ B ¸ C ¸ D ¸
�¾µ
¹
¸
¸
¹
¸
´
¸
¹
X ¸ Z ¸ S ¸ Dµ
¿µ
¹
¹
¹
¸
´
¸
SA¸ SB ¸ Y W ¸ XZ µº
º
A¸ B ¸ C ¸ D ¸
AB º
AD
XD
Yº
A → X¸ B → Z¸ C →
S ¸ D → Dº
¹
»¸ (AB, CD)
(XZ, SD)º
½ º
Y A¸ Y B ¸
º½
Y C ¸ Y Dº
(AB, CD) = (XZ, SD).
Wº
XD
AD
X → B ¸ Z → A¸ S → C ¸ D → D ¸
(XZ, SD) = (BA, CD).
´½ º½µ
¹
´½ º¾µ
�´½ º½µ
´½ º¾µ
(AB, CD) = (BA, CD).
´½ º¿µ
1
.
(AB, CD)
´½ º µ
(BA, CD) =
(AB, CD)2 =
1
(AB, CD) = +1
(AB, CD) = −1º
(AB, CD) = +1º
(d1 : d2 )
D
R = {A, B, C}
½ ´
º
´½ º¾µµ
d1 = d2 D(1, 1)¸ º º
C¸
¸
C D
¹
º
(AB, CD) = −1º
´½ º¿µ
½
´½ º µ
º
(XZ, SD) = −1
(SA, SB, SC, SD) = (AB, CD)¸
(SA, SB, SC, SD) = −1
¿º
´½ º½µ
¹
¾º »¸
½º
´
½ º¾
º
º
¾µº
¸
¹
¹
¸
¸
¸
¹
x¸ y ¸ z ¸ w
¸ x∩y
z ∩ w¸ y ∩ z
x¸ y ¸ z ¸ w
w ∩ x¸ x ∩ z y ∩ w
¸
¸
¹
¹
¹
�¸
º
¹
¹
º
¸
º ´
¹
µ
º ´þ
µ
¾º
º
ï ½ º
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º
½ º½
´
º
µ
¹
M(x1 , x2 , x3 )¸
✞
✝
a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0,
º
´½ º½µ
aij xi xj = 0,
i,j
¼
¹
☎
✆
�i¸ j
aij aji ¸ º º
F (x1 , x2 , x3 ) =
½¸ ¾¸ ¿
º þ
(aij )
a
i,j ij xi xj
¹
º
º
M
(x1 , x2 , x3 )
(x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸
¸
¹
¸
¹
aij
´½ º½µº
º
¸
¹
¸
¸
º
¸
¹
¹
º
½ º½
º ´
ºµ
º
1)X1 2 + X2 2 + X3 2 = 0;
2)X1 2 + X2 2 − X3 2 = 0;
3)X1 2 + X2 2 = 0;
4)X1 2 − X2 2 = 0;
5)X1 2 = 0.
¸
¸
½
¹
¹
¹
¹
�½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
º
½¸ ¾
¿¸ ¸
º
º
¸
¹
¹
º
¹
½
F (x1 ¸ x2 ¸ x3 )º
X1 ¸ X2 ¸ X3 ¸
x1 , x2 , x3
¹
¸
¸
x1 = c11 X1 + c12 X2 + c13 X3 ¸
x2 = c21 X1 + c22 X2 + c23 X3 ¸
x3 = c31 X1 + c32 X2 + c33 X3 ¸
|(cij )| = 0.
¸
¹
(x1 , x2 , x3 )
(X1 , X2 , X3 )º
¹
¸
½
´½ º½µ
º
¹
¸
º
º
¸
½µ
¾
�¸
¹
¾µ
¸
¸
ï ½ º
¹
¹
º
þ
¹
γ¸
aij xi xj = 0, i, j = 1, 2, 3 (
)
´½ º½µ
i,j
¸
A(a1 ¸ a2 ¸ a3 )¸ B(b1 ¸ b2 ¸ b3 )º
x1 = αa1 + βb1 , x2 = αa2 + βb2 , x3 = αa3 + βb3 ,
(x1 , x2 , x3 )
´½ º¾µ
M ∈
xi = αai + βbi .
γ
¸
´½ º¿µº
´½ º¿µ
´½ º½µº
aij (αai + βbi )(αaj + βbj ) = 0.
i,j
¿
¹
´½ º¿µ
þ
´½ º½µ
º
´½ º¾µ
�α2
aij ai aj +αβ
i,j
i,j
i,j
aij bi aj º
i
aij bi aj +β 2
aij ai bj +
aij bi bj = 0.
i,j
þ
j
aij bi aj =
i,j
aji bj ai =
i,j
aji ai bj .
i,j
(aij )
(aij = aji )¸
aji ai bj =
i,j
aij ai bj .
i,j
¸
aij ai bj =
i,j
α2
aij ai bj + β 2
aij ai aj + 2αβ
i,j
aij bi aj ,
i,j
aij bi bj = 0. ´½
º µ
i,j
i,j
þ
P =
aij ai aj , Q =
i,j
aij ai bj , R =
i,j
aij bi bj .
´½ º µ
i,j
´½ º µ
P α2 + 2Qαβ + Rβ 2 = 0.
´½ º µ
�α¸ β
β 2º
´½ º µ
α
β
P
2
+ 2Q
β=
º
0º
α
+ R = 0.
β
´½ º µ
¹
α
º
β
¸
¹
γ
¸
¸
´½ º µº þ
½µP
¹
= 0º
´½ º µ
¸
µ
µ
µ
α
β
α
β
α
β
¹
α
β 2
1
α
=
β 2
1
α
,
1
β 2
,
þ
º
γ
µ
µ
γ
γº
µ
¾µ
P = 0º
´½ º µ
2
α
Q + R = 0.
β
P =0 P =
aij ai aj = 0
´½ º½µ
´½ º µ
aij ai aj
γ¸
´½ º µ
´½ º µ¸
A
A ∈ γº
¹
¸
�α
R
=− º
β
2Q
µ
Q = 0¸
µ
Q = 0¸ R = 0
¹
γº
¸
´½ º µ
¹
⊂ γº
º þ
µ
Q = 0¸ R = 0¸
´½ º µ
þ
º
A¸
¸
γº
ï ½ º
½ º½
º
A
AM
M
A
º
½ º½
¹
º
γ
i,j
aij xi xj = 0,
γ
i,j
º
aij ai xj = 0.
´½ º½µ
A(a1 , a2 , a3 )
´½ º¾µ
¸
¹
�A,
B(b1 ¸ b2 ¸ b3 µ
º
¹
x1 = αa1 + βb1 ¸ x2 = αa2 + βb2 ¸ x3 = αa3 + βb3 ¸
xi = αai + βbi .
´½ º¿µ
¹
γº
¹
´½ º¿µ
¹
´½ º½µº
aij (αai + βbi )(αaj + βbj ) = 0.
º ¾¼
i,j
º
α2
aij ai aj +αβ(
aij bi aj )+β 2
aij ai bj +
i,j
i,j
i,j
aij bi aj
þ
i
aij bi aj =
i,j
aji ai bj =
aji bj ai =
i,j
aji ai bj .
(aij = aji )¸
¸
aij ai bj =
aij bi aj .
i,j
aij ai bj + β 2
aij ai aj + 2αβ
i,j
j¸
i,j
(aij )
aij ai bj º
i,j
α2
aij bi bj = 0.
i,j
i,j
aij bi bj = 0. ´½
i,j
º µ
�A ∈ γ¸
β(2α
aij ai aj = 0º
aij ai bj + β
i,j
β
2
α
¹
aij bi bj ) = 0.
i,j
aij ai bj +
i,j
β
α
aij bi bj = 0.
´½ º µ
i,j
γº
¸
( αβ )1
=0
´½ º µº
¹
´½ º¿µº
¹
γ x1 = αa1 , x2 =
x1 : x2 : x3 = a1 : a2 : a3 ¸
Aº
¹
αa2 , x3 = αa3 º
γ¸
´½ º µ
¼
2
β
α
2
=−
aij ai bj
i,j
aij bi bj
= 0.
i,j
aij ai bj = 0º
i,j
aij ai xj =
i,j
aij ai (αaj +βbj ) = α
i,j
¼º
aij ai aj +β
i,j
aij ai bj
i,j
M
aij ai xj = 0º
¸
¸
º
x21
+
½ º½ º
2
x2 − 4x1 x2
+ 6x2 x3 = 0
(1, −1, 1).
¹
¹
�º
¹
A(a1 , a2 , a3 )
a1 x1 + a2 x2 − 2a1 x2 − 2a2 x1 + 3a2 x3 + 3a3 x2 = 0º
º
¹
x1 − x2 − 2x2 + 2x1 − 3x3 + 3x2 = 0
¸ x1 − x3 = 0º
¸
½ º¾
º
¹
A
¸
¸
¸
¹
º
ï ¾¼º
º
½º
¹
¾¼º½
º
¹
B
A
B
γ¸
A
¹
M1 ¸ M2
γ
Aº
¸
A
Bº
¸
1º
◦
º
¹
º
�¾¼º½
º
γ
aij xi xj = 0
´¾¼º½µ
i,j
A3 ¸ E}
R = {A1 ¸ A2 ¸
A(a1 ¸ a2 ¸ a3 )
¸
¹
γº
A(a1 , a2 , a3 )
γ
✞
✝
¸
i,j
aij ai bj = 0.
B(b1 , b2 , b3 )
¹
☎
✆
´¾¼º¾µ
º
AB
xi = αai + βbi .
´¾¼º¿µ
AB
γ¸
´¾¼º¿µ
α2
i,j
i,j
β
α
β
´¾¼º½µº
aij ai bj + β 2
aij ai aj + 2αβ
2
A ∈ γ¸
2
aij ai aj + 2
i,j
α1
β1
aij bi bj = 0.
i,j
β = 0º
α
β
¹
¹
aij ai bj +
i,j
aij bi bj = 0.
´¾¼º µ
i,j
´¾¼º µ
α2
¸
β2
¼
¹
M1
�M2
AB
γº
¹
M1 ¸ M2
α1 ai + β1 bi
α2 ai + β2 bi º
M1 ¸ M2 ¸ A¸ B
¹
´
(M1 M2 , AB) = −1º þ
(M1 M2 , AB) = (AB, M1 M2 ),
µ¸
¸
¹
¸
β1 β2
:
= −1.
α1 α2
β1 α2
= −1.
β2 α1
β1 α2 +α1 β2 = 0
¸
¸
β1 β2 ¸
α1 α2
+
= 0,
β1
β2
º
º
´¾¼º µ
¼º
þ
Q=
aij ai bj = 0.
i,j
A
þ
B
´¾¼º¾µ¸
¹
¹
γº
2
◦
º
º
B
γ¸
B
½
A
γº
A
¹
¹
�B
º
¹
Aº
aij ai bj = 0.
i,j
(aij )
(aij = aji )¸
aij ai bj =
i,j
aji ai bj .
´¾¼º µ
i,j
i
j¸
aji ai bj =
i,j
aij aj bi
i,j
aji ai bj =
i,j
aij bi aj .
´¾¼º µ
i,j
´¾¼º¾µ¸ ´¾¼º µ
´¾¼º µ
aij bi aj = 0,
i,j
¸
¸
A
B
γº
3◦ º
º
º
A¸
A ∈ γ¸
¹
γº
aij ai aj = 0.
i,j
¹
´¾¼º¾µ
bj = aj ¸
º
º
¾
A
�Bº
4
◦
A
¸
º
¸
¸
º
º
B
A
A ∈ γº
C
γ¸
A
A
BC
¹
¹
γº
B¸ C A
(bi )¸ (ci )¸ (ai )
BC º
xi = αbi + βci º
º
aij ai xj =
i,j
aij ai (αbj + βcj ) =
i,j
α
aij ai bj + β
i,j
B
aij ai cj .
i,j
C
A¸
aij ai bj = 0
aij ai cj = 0
i,j
i,j
aij ai xj = 0,
i,j
º
º
M
Aº
º
º
¾º
¿
¹
M(xi )
�¾¼º¾
γ
º
¹
Aº
M¸
γ¸
A
A
¹
aij xi xj = 0
¹
¹
γº
¾¼º¾
º
γ
i,j
(a1 , a2 , a3 )¸
A
A
i,j
aij ai xj = 0.
´¾¼º µ
º
γº
A
¹
M(x1 , x2 , x3 ) ∈ ¸
M
Aº
A M
´¾¼º µ
i,j aij ai xj = 0.
M
¹
¸
´¾¼º µ
º
¸
¹
´¾¼º µ
x1 , x2 , x3 º
¸
º
¾¼º½
º
γ¸
γ
¸
¹
A
Aº
γ
�A∈γ
´¾¼º µº
¹
Aº
´Á
ºµ
γ
A¸ A ∈ γ º
γº
¸
A
º
´
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
µ
½
º
º ¾½µ
m
A
{M1 , M2 } = m ∩ γ ¸
B : (M1 M2 , AB) = −1¸
p
A
{P1 , P2 } = p ∩ γ ¸
C : (P1 P2 , AC) = −1¸
BC = ¹
º
º
Aº
BC
BC
´
¸
º ¾½
B
C
¹
¹
A
Aº
º
½ ºµ
¾¼º¿
bº
¸
A
¸
º´
A ∈ b¸
º
ºµ
a¸
¹
γ
B
B ∈ aº
aij xi xj = 0
¹
γ
A¸ B
A(ai )¸ B(bi )º
a
a
x
=
0
a
b
x
=
0
¸
i,j ij i j
i,j ij i j
a bº
A ∈ b¸
ø
b
i,j aij bi aj = 0. þ
i,j
�(aij )
aij bi aj =
aij ai bj
i,j
´
º ï ½ º
i,j
ï ½ ºµº
¸
aij ai bj = 0,
i,j
B
¾¼º
AT1
T1 T2 ¸
º
γ¸
AT2
A¸
γ¸
T1
A
º
¹
T2 ¸
γº
¹
¸
AT1
γ
T1 ´
A ∈ AT1
T1
A´
T1 ∈ a¸ a
a = T1 T2 º
A
γ
a
T1 T2 ¸
º ´
¹
¸
γº
¹
¾¼º ºµ
γ
AT1
¹
¹
T2 ∈ aº
¸
¾¼º
¹
½µº
¸
µº ü
º ¾¾
¸
aº
AT2
¹
�º
t1
T1 ¸ t2
º
º
¾¼º¿ A ∈ t1 ¸
AT1 = t1 ¸ AT2 = t2
´ÁÁ
γ
a
º
½µ
¾µ
º
µº
¸
A
º
Aº
º
AT1 ¸ AT2
T1 T2 = a
γ¸
´
¸
Y Z¸
Wº
XY ZW ¸
γ
T1 ∈ a¸
A ∈ t2 ¸
T2 º
º
¾¼º
¹
A∈γ
A
¾¼º
µº
γ
º
XW
X¸ Z¸ Y ¸
γ
BC
¹
B = XZ ∩ Y W ¸ C = XY ∩ ZW ¸
A
γº
º
Q = Y Z ∩BC
´
P = XW ∩ BC ¸
º ¾¿µº
XY ZW
XW
A
¹
¹
¸
¸
P
¹
¹
XW
º ¾¿
BC ¸
2◦
º
X, W, A, P
º
P
¹
A
¹
�γ
¸
¸
Aº ü
a = P Q = BC º
´III
γ
¸
P ∈ a¸ a
Q ∈ aº
µº
A ∈ γº
¸
A
º
½µ
¾µ
¿µ
´
º
¸
´
º ¾¿µ
XW ¸ Y Z
A
B = XZ ∩ Y W ¸ C = XY ∩ W Z ¸
BC = a
´
¾¼º ºµ
º
¸
¾ ºµ
´IV
´
µº
º
¿ ºµ
γ
¹
¸
A
º
½µ
¾µ
¿µ
γº
º
A ∈ γº
´
γº
º ¾ µ
XW ¸ Y Z ¸ ST
B = XZ ∩ Y W ¸ C = Y T ∩ SZ
BC = a
º
A
º
XY ZW º
¾¼º
B∈a
ü
Aº
¹
C
º¾
Aº
¸
BC = a¸
Y ST Z
a
º
º
BC
¹
Aº
º
A ∈ γ¸
A
¸
A
º
γ¸
¹
�II µº
´
¿º
¾¼º¿
º
a
A
γº
A
aº
¾¼º½
¸
º
ºµ
´
γ
a
¹
º
A
aº
º
´
º
º¾
º ¾ µ
½µ
¾µ
¿µ
µ
B ∈ a¸ C ∈ a
b
c
A= b∩c
B∈a
¸
aº
¸
c
A= b∩c
¸
B¸
C¸
º
º
b
¸
aº
C
aº
ü
¹
�¾¼º
º
¸
¹
¹
´
µº
¸
¹
¹
º
1º
2◦ º
◦
´
µº
¹
º
3
◦
º
γ
aij xi xj = 0
¹
i,j
u1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,
u2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,
u1 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ,
(x1 ¸ x2 ¸ x3 )
¸
º
ï ¾½º
½º
ÿ
½¼¼
(u1 ¸ u2 ¸ u3 )
¹
�¾½º½
º ´
ºµ
Π(L)
¹
Π(L )¸
¸
¹
º
¸
¹
L¸ L
º
´
¸
º
µº
Π(L)
½º
Π(L )
¸
¹
LL ¸
º
¾½º¾
º
º ´Ç
ºµ
L¸ L
¸
(L )¸
º
¹
γ
M ∈ γ¸
¹
(L)
LM
L M¸
º
º
¾º
º
½¼½
¹
�¾½º½
º
¹
º
¾º
¾½º¾ º
Ai ¸ i = 1¸ 2¸ 3¸ 4¸ 5¸ 6¸
¸
¹
A1 A2 ¸ A2 A3 ¸
¸
A3 A4 ¸ A4 A5 ¸ A5 A6 ¸ A6 A1 ¸
µº
¾½º¿
¸
´
¹
º
¹
¸
º
¾½º¿
º ´
´
A1 A2 A3 A4 A5 A6
P
R
γ¸
= A1 A2 ∩ A4 A5 ¸
= A3 A4 ∩ A6 A1
Q
¹
µ
¹
A2 A3 ∩ A5 A6 ¸
¹
º
º
=
ºµ
þ
¹
½¼¾
�¸
¹
A1 ¸ A2 ¸ A3
¹
A4
º
A1 (1, 0, 0)¸
A2 (0, 1, 0)¸
A3 (0¸0, 1)¸ A4 (1, 1, 1)
A5 (a, b, c)¸ A6 (a , b , c )º
γ
º¾
a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0.
´¾½º½µ
A1 ∈ γ
a22 = 0¸ a33 = 0º
a11 = 0º
ü
´¾½º½µ
a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3 = 0,
A4 ∈ γ ¸ A5 ∈ γ ¸ A6 ∈ γ ¸
a12 + a13 + a23 = 0,
a12 ab + a13 ac + a23 bc = 0,
a12 a b + a13 a c + a23 b c = 0.
´¾½º¾µ
a12 ¸ a13 ¸ a23
¸
´¾½º¾µ¸
¹
º
¸
1
∆ = ab
ab
þ
1
ac
ac
1
bc = 0.
bc
´¾½º¿µ
¸
aa (bc − cb ) − bb (ac − ca ) + cc (ab − ba ) = 0,
½¼¿
´¾½º µ
�A5 ¸ A6 º
P ¸ R¸ Q
º
¸
¹
A1 A2 A3 A4 A5 A6 º
x3 = 0¸
x1 = 0¸
x1 x2 x3
1 1 1 = 0¸
A3 A4
x1 − x2 = 0¸
0 0 1
x1 x2 x3
1 1 1 = 0¸
A4 A5
a b c
(c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0,
x1 x2 x3
a b c = 0¸
A5 A6
a b c
(bc − cb )x1 − (ac − ca )x2 + (ab − ba )x3 = 0¸
x1 x2 x3
A6 A1
cx2 − b x3 = 0.
a b c = 0¸
1 0 0
P = A1 A2 ∩A4 A5 º
A1 A2
A2 A3
¸
A1 A2
A4 A5
x3 = 0,
(c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0.
¸
ü
P (c − a, c − b, 0)º
A2 A3 ∩A5 A6
x1 = 0,
(bc − cb )x1 − (ac − ca )x2 + (ab − ba )x3 = 0
½¼
Q =
�Q(0, ab −ba , ac −ca )º
R = A3 A4 ∩ A6 A1
º
¸
¸
º
x1 − x2 = 0,
c x2 − b x3 = 0.
¸
¸
x2 = b ¸ x3 = c º
P ¸ Q¸ R
þ
R(b , b , c )º
º
¸
¹
P ¸ Q¸ R
∆ =
c−a
c−b
0
ab − ba
b
b
0
ac − ca
c
=
= (c−a)(ab −ba )c +(c−b)(ac −ca )b −(c−a)(ac −ca )b =
(ab −ba )(cc −ac )+(ac −ca )(cb −bb )−(ac −ca )(cb −ab ) =
(ab − ba )cc − ac (ab − ba ) + (ac − ca )(ab − bb ) =
(ab −ba )cc −ac ab +ac ba +ac ab −ca ab −(ac −ca )bb =
(ab − ba )cc − (ac − ca )bb + (bc − cb )aa .
´¾½º µ
¸
¸
P ¸ Q¸ R
ºµ
¾½º
∆ = 0º
þ
º
º
´
¹
P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸
Q = A2 A3 ∩ A5 A6 ¸ R = A3 A4 ∩ A6 A1
¹
¸
º
A1 A2 A3 A4 A5 A6
½¼
¹
�º
¸
∆ =0
¸
P ¸ Q¸ R
´
∆=0´
µ¸
¹
γ µº
´
µ
¹
´
µ¸
´
µ
´
¹
µ¸
¸
¹
º
¸
¹
¸
¸
¸
¸
¹
º
¹
¸
¸
¸
¸
¹
¹
º
µ
´
º
½¼
´
¹
µ¸
¹
¹
�¾½º
º ´
¹
ºµ
¹
¸
¹
¹
¹
¹
¸
º
º
A1 A2 A3 A4 A5 ¸
γº
A5 = A6
A1 A2 A3 A4 A5 A6 º
P = A1 A2 ∩
A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩ A5 A6 =
A2 A3 ∩ p ´p
γ
A5 µ¸ R =
A3 A4 ∩ A6 A1 = A3 A4 ∩ A5 A1
º
º
¾½º
º ´
º¾
¹
ºµ
¸
¹
¹
¹
º
º
¹
A1 A2 A3 A4 ¸
γº
½¼
�µ
A1 = A5 ¸ A3 = A6
A1 A5 A2 A3 A6 A4 º
º
P = a1 ∩ a3 ¸
´a1
A3 µ¸
¹
¸
A1 ¸ a3
¹
Q = A1 A2 ∩ A3 A4 ¸ R = A2 A3 ∩ A4 A1
º
µ
A2 = A5 ¸ A4 = A6
A1 A2 A5 A3 A4 A6 º
¸
a2 ∩ a4
¹
S =
¸
´a2
A2 ¸ a4
A4 µ
º
º¾ º
º¾
¾½º
º ´
ºµ
¸
¹
¹
º
º
º
º
γ
A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ A4 ¸ A5 º
¹
½¼
�γ
´
º ¿¼µº
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
º
P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸
P
¸
A2 A3 ∩ = Q¸ A3 A4 ∩ = R¸
A6 = QA5 ∩ RA1
º
º
¹
A1 A2 A3 A4 A5 A6 º
º ¿¼
¹
P¸ Q
R
º
A6
¸
¸
º
γº
º
ý
¿º
¾½º
º
¹
¸
º
¾½º
º
¸
¹
º
¾½º
º ´
¸
ºµ
ý
¸
ý
¸
a1 a2 a3 a4 a5 a6
º
γº
½¼
º
¹
¹
¹
¹
f
�A1
A2
a1
a2
A3
q
p
a3
r
A6
L
a6
A5
f ´ai µ
Ai (i
3¸ 4¸ 5¸ 6)
2¸
A4
¸
a4
a5
γº ¹
= 1¸
¹
º
º ¿½
¹
A1 A2 A3 A4 A5 A6
P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸
Q = A2 A3 ∩A5 A6 ¸ R = A3 A4 ∩A6 A1
¹
º
º
¸
P ¸ Q¸ R
¹
p¸ q ¸ r ¸
´
µ
a1 ∩ a2
¹
a4 ∩ a5 ¸ a2 ∩ a3
a5 ∩ a6 ¸ a3 ∩ a4
L
a6 ∩ a1 ¸
º
´
ý
µ
º
´
µ
ý
¸
¹
a1
¹
¹
¸
a5
¸
p
r
¹
¹
a4
L
¹
¸
§
¸
¸
ý
↔
½½¼
q
a3
¹
¸
a2
º ¿¾
↔
¹
↔
º
�¾½º
º ´
ý
ºµ
¸
¸
¸
º ´
¹
A4
¸
´
A1
L
A3
a3
a2
A2
q
r
º ¿¾µº
a1
p
s
¹
¹
¸
ý
a4
¹
ý
ºµ
¸
a1
¸
¸
º
¾½º½¼
¹
A3
q
A1
p
L
r
a2
a3
A2
º ¿¿º
º ¿ º
½½½
¹
¹
¸
�¾½º½½
º ´
ý
ºµ
¸
¸
¹
¸
ý
´
º ¿¿µº
ý
º
ÿ
ï ¾¾º
¹
½º
¾¾º½
¹
º
¹
¸
º
¾¾º½
¹
¹
¹
º
º
ºþ ¹
¸
¹
f
g
¹
¸
¸
g◦f
½½¾
¹
�¸
¹
º þ ¹
¹
f
¸
¹
¸
¹
f −1
¹
¹
¸
¸
f¸
¹
º
º
þ
¹
º
f
¹
¹
¹
¸
A1
E
A2
ºþ
¹
R = {A1 , A2 , A3 , E}
¸
¸
f
º
A3
¹
¸
ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,
ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,
ρx3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ,
∆ = |(aij )| = 0, i, j = 1, 2, 3º
A1 (1, 0, 0)º
¸
A2 (0, 1, 0)
¸
´¾¾º½µ
A1
A1 (x1 , x2 , 0)º
A1 A1
a31 = 0º ü
A2 (x1 , x2 , 0)¸
¹
´¾¾º½µº
¸
a32 = 0º
´¾¾º½µ
ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,
ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,
ρx3 =
a33 x3 ,
½½¿
´¾¾º¾µ
�∆ = a33 (a11 a22 − a12 a21 ) = 0º
þ
º
f
¹
´¾¾º¾µ¸
¹
¹
¸
= A1 A2 º
¸
º
¾¾º¾
¸
¹
´¾¾º¾µ
º ÿ
¹
º
º þ
x=
¹
¹
¹
¹
¹
´¾¾º¾µ
x1
x
x2
x
, y = , x = 1, y = 2.
x3
x3
x3
x3
ρx1
a11 x1 a12 x2 a13
=
+
+
,
ρx3
a33 x3 a33 x3 a33
a21 x1 a22 x2 a23
ρx2
=
+
+
ρx3
a33 x3 a33 x3 a33
a1 =
a11
a12
a13
a21
a22
a23
, b1 =
, c1 =
, a2 =
, b2 =
, c2 =
.
a33
a33
a33
a33
a33
a33
´¾¾º¾µ
x = a1 x + b1 y + c1 ,
y = a2 x + b2 y + c2 ,
½½
´¾¾º¿µ
�∆ = a1 b2 − a2 b1 = 0º
´¾¾º¿µ¸
¸
x¸ y
º
¸
¹
¹
¹
º
¹
º
¾º
P2
º
¾¾º¾
P2 ¸
ºü
P2 \
A2
¸ º
º
º
º
¸
¹
A2
P2
´
µ¸
ü
º
A2
P2 ¸
¹
¹
º
¹
º
¾¾º¿
º
a¸ b
A2
P2
¸
a∩b
º
º
¸
½½
�¸
º
¾¾º¿
º ü
a¸
a¸ bº
b
f
¹
A2 a||b¸ a = f (a)¸ b = f (b)º
P2
a¸ b
¹
º
f (C ) = C º
º
a||b¸
C
¸
C
b
a
º
C ∈
P2
A2
¸
´
¹
µº
P2
¹
A¸ B
a
¸
a
¾¾º
¸
º
º
AB
A2
AB = a¸
a
P2 º
A2
A¸ B
a
¹
¸
º
½½
�º
(AB, C)
A¸ B ¸ C
(AB, CD )¸
(AB, C) = (AB, CD )º
¾¾º
¾¾º
º
a
D = a∩
¸
º
¹
C
AB ¸
¹
A¸ B ¸ D
¾¾º
ºµ ü
º
º
D =a∩
¸
¸
a = AB º
´
¹
¹
A2
f
º
A¸ B ¸ C
A2
aº ü
A¸ B ¸ C
f (a)º
a
P2
D
D
P2 ¸
º
º
¹
¹
¸
f
A¸ B¸ C
a
D
a ∩
fº
¹
(AB, CD ) = (A B , C D )º
(AB, C) = (A B , C )º
½½
¹
a =
¹
¹
A2
¹
�¾¾º
º
¹
P2
¹
A2
¹
¸
¿
´
º
º ¿
µº
µ
¹
¸
´
¹
º ¿
µ
¸
µ
´
µ
µ
º ¿ º
þ
¹
A2
º
º
ü
½º
½º
¾º
¾º
¿º
º
º
¿º
º
½½
ÿ
¹
�º
º
º
º
º
¾¾º
º
¹
A2
º
¸
¸
¹
¸
¹
¸
º
¾¾º
º
A2
¹
¸
¸
¹
º
´¾¾º µ
¾¼º¿
¸
¹
¸
º
¾¾º½¼
º ü
¹
º
¸
´
¾¼º¿ µº
½½
�ï ¾¿º
¹
¸
¸
º
¸
¸
¸
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¸
¹
º
½º
ü
º ÿ
P2
A1 ∈
¸
¸
A2 ∈
x21 + x22 − x23 = 0º
¹
¾¿º½
¸
¹
R = {A1 , A2 , A3 , E}
A3 ∈
/ ¸ E ∈
/ º
¹
x3 = 0º
γ¸
γ
I (i, 1, 0)¸ J (−i, 1, 0)º
º
¸
I¸ J¸
¹
¸
¸ I¸ J
¾¿º¾
¹
¹
º
º
¹
P2 ¸
¹
¹
¸
º
¸
¹
1◦ .
¹
½¾¼
�¹
º
2◦ .
¹
¸
º
3.
◦
½µ
I
¸
I
J
J
I
¸
J
J
Iº
þ
º
1◦
∆ = a33 (a11 a22 − a12 a21 ) = 0º
½º
I
ü
¹
¹
ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,
ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,
ρx3 =
a33 x3 ,
I
¹
¾µ
J
´¾¿º½µ
f
º
¹
I = I
´¾¿º½µº
ρi = a11 i + a12 , ρ = a21 i + a22 .
J
J =J
−ρi = −a11 i + a12 , ρ = −a21 i + a22 .
a11 = a22 ,
a12 = −a21 .
´¾¿º¾µ
ρx1 = a11 x1 − a21 x2 + a13 x3 ,
ρx2 = a21 x1 + a11 x2 + a23 x3 ,
ρx3 =
a33 x3 .
½¾½
´¾¿º¾µ
´¾¿º½µ
´¾¿º¿µ
�x=
a=
x
x1
x2
x
, y = , x = 1, y = 2
x3
x3
x3
x3
a11
a21
a13
a23
, b=
, x0 =
, y0 =
.
a33
a33
a33
a33
´¾¿º¿µ
x
y
= ax − by + x0 ,
= bx + ay + y0 ,
´¾¿º µ
∆ = a2 + b2 > 0º
þ
cos ϕ = √
a
a2 + b2
,
sin ϕ = √
b
a2 + b2
.
x = k(x cos ϕ − y sin ϕ) + x0 ,
y = k(x sin ϕ + y cos ϕ) + y0 ,
k=
√
a2 + b2 º
º
¾º ü
¸
¸
I
J
I¸
x = k(x cos ϕ + y sin ϕ) + x0 ,
y = k(x sin ϕ − y cos ϕ) + y0 ,
½¾¾
J
�k=
a2 + b2 º
¹
º
✬
✫
√
✩
¸
¸
¸
¹
¸
¹
✪
º
¾º
¾¿º¿
º
a
b
¹
¸
A = a∩
¸
B = b∩
I¸ J¸
¾¿º
¹
º
º
(II J , AB) = −1º
º
¸
¹
I¸
Jº
¸
¹
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 .
O(x0 , y0 )
r
¸
º
½¾¿
¹
�¾¿º
A
º
|AB|
B
A
¸
¹
Bº
¸
A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 )¸
|AB| =
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
þ
¹
´
µ
¾¿º
º
¸
¹
¹
º
k = 1
¸
x = x cos ϕ − εy sin ϕ + x0 ,
y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0 ,
ε = +1
−1º
´
µ
½¾
�º
ü
ü
½¾
�½º
þ
ü
þ
½º
¹
¸
½º
a
A
¹
º
¾º
º
¿º þ
º
º þ
¸
º
º
¸
´
a¸ b
º
¹
µº
¸
¸
A
¹
¸
¹
¸
A
º
a¸ bº
¸
º
½¾
�º
¸
¹
º
º
¸
¹
º
½¼º
A
α
β¸
α βº
½½º
½¾º
¸
¹
aº
a
þ
¸
¹
aº
½¿º
½ º
½ º
º
º
º
¾º
¸
½
½
a
α¸
α
ºþ
β
º
A
º
º
½
½
º
º
A
º
B
a
a
¾¼º
αº
A¸ B
¸
C¸
º
½¾
�¾½º
α¸ β
γ¸
¸
º
¾¾º
a
b
A
¸
¹
¸
a
bº
¾¿º
¹
º
¾
º þ
¸
¸
º
¾
¾
º þ
º
º
¸
¾
º
º
¸
¹
º
¸
¹
¸
¹
º
¾
¾
º
º
º
¿º
¿¼º
R = {A1 ¸A2 ¸
E}º
A(2, 3)¸ B(−2, 3)¸ C(1, −1)¸ D(1, 4)¸
F (5, −3)¸ K(−4, 1)¸ L(−3, 1)¸ M(2, 5)¸ P (3, −2)¸ H(−1, 3)¸
T (2, −1)º
¿½º
R = {A1 ¸A2 ¸
E}º
A(1, 2)¸ B(−3, 2)¸ C(−1, 1)¸ D(2, 1)¸
½¾
�F (2, −1)¸
K(2, −3)¸ L(5, −3)¸ M(1, 4)¸ N(3, −1)¸ P (5, 2)¸ T (3, −4)¸
µ A1 (1, 0)¸ µ A2 (0, 1)º
¿¾º
¹
þ
A1 (1, 0)
A2 (0, 1)
E
¹
¸
A(1, 2)¸ B(−3, 2)¸ C(−1, 1)¸
D(1, 4)¸ F (3, −4)¸ G(4, −1)¸ K(−2, 3)¸ L(−5, 2)¸ M(5, 1)¸
H(−1, 3)¸ S(4, 3)¸ T (2, 1)º
¿¿º
R = {A1 ¸ A2 ¸
E}
{O, a}º
¸
µ A1
¸ A2 = O
a=
−−→
OE
µ A2
¸ A1 = O
a=
−−→
OE
µ E
¸ A1 = O
a=
−−→
OA2 ¸
M(x1 , x2 )¸
x1 ¸ x2
º
¿ º
E(1, 1)
º
¹
A1 A2
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º
¿ º
R = {A1 , A2 ,
E}¸
E
º
¹
M¸
A1 A2
λº
¿ º
R = {A1 , A2 ,
E}¸
E
A1 A2 º
¿
µ
µ
º
º
(2, 1)¸
(3, 4)¸
A1 ¸ A2 º
E
R = {A1 , A2 , E}¸
P∞
µ (−2, 1)¸ µ (1, 3)¸ µ(−1, 3)¸ µ (1, 4)¸
µ (−3, 2)¸ µ (2, 5)º
½¾
¹
¸
µ
(−1, 2)¸
µ (3, 2)¸
�¿
A2 ¸ E
º
R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º
¹
A1 ¸
P∞
¸
¸
¹
¿ º
¿
A1 ¸ E
º
R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º
¹
A2 ¸
P∞
¸
¸
¹
¿ º
¼º
E}º
C(3, 1)
A(1, 2)
R = {A1 , A2 ,
B(−2, 1)
¸
R = {A, B, C}¸
¹
M
º
½º
A2 , E}
R = {A1 , A2 , E }¸
1) A1 = A2 ,
2) A1 = E,
3) A1 = A1 ,
4) A1 (2, −1),
5) A1 (−1, 1),
6) A1 (2, 1),
7) A1 (4, −1),
8) A1 (3, 4),
9) A1 (1, −2),
10) A1 (5, −3),
11)A1 (1, 5),
A2 = A1 ,
A2 = A1 ,
A2 = E,
A2 (−1, 1),
A2 (2, 3),
A2 (−3, 1),
A2 (2, −1),
A2 (2, 5),
A2 (3, 1),
A2 (3, −4),
A2 (5, 3),
E = E;
A1 = A2 ;
E = A2 ;
E (1, 0);
E (1, −2);
E (−1, 2);
E (−3, 1);
E (4, 3);
E (3, 8);
E (−1, 5);
E (1, 3).
½¿¼
R = {A1 ,
�º
¾º
A3 , E}º
A2 E ∩ A1 A3 ¸ E3 = A3 E ∩ A1 A2 º
R = {A1 , A2 ,
E1 = A1 E ∩ A2 A3 ¸ E2 =
¿º
R = {A1 , A2 ,
A3 , E}
P (1, 2, −1)º
P1 = A1 P ∩ A2 A3 ¸ P2 = A2 P ∩ A1 A3 ¸ P3 = A3 P ∩ A1 A2 º
º
R = {A1 , A2 ,
A3 , E}
M(x1 , x2 , x3 )º
¹
M1 = A1 M ∩ A2 A3 ¸ M2 = A2 M ∩ A1 A3 ¸ M3 = A3 M ∩
A1 A2 º
º
R = {A1 , A2 ,
A3 , E}º
A(1, 2, 0)¸ B(−3, 0, 1)¸ C(0, 1, −1)¸
D(−1,
3, 0)¸ H(2, 0, 3)¸ K(0, −1, 2)
Rº
º
R = {A1 , A2 ,
A3 , E}¸
E
º
¹
A(0¸−2¸−1)¸ B(1, 2, 0)¸ C(−1, 0, 3)¸ D(2, 1, 0)¸ H(0, 3, 4)¸
K(0, 3, −1)
Rº
º
R = {A1 , A2 ,
A3 , E}¸
A1 A2
º
¹
A(0, 2, 1)¸ B(3, 0, −2)¸ C(2, 0, −1)¸ D(0, −1, 2)
Rº
º
R = {A1 , A2 , A3 , E}
A1 A2
º
¸
¹
x1
= x,
x3
x2
= y,
x3
x, y
½¿½
�−−−→ −−−→
{A3 , A3 E2 , A3 E1 }¸ E1 = A1 E ∩ A2 A3 ¸
E2 = A2 E ∩ A1 A3 º
R = {A1 , A2 ,
º
A3 , E}¸
A1
A2
º
¹
R A(1, 4, −1)¸
B(2, 1, 3)¸ C(3, 5, 1)¸ D(−2, 3, 1)¸ H(4, 3, 1)¸ K(−5, 2, 3)º
R = {A1 , A2 ,
¼º
A3 , E}º
½µ (1, 2, −1)¸ ¾µ (2, 3, 1)¸ ¿µ (−2, 3,
1)¸ µ (2, 1, 3)¸ µ (3, 2, 1)¸ µ (−3, 2, 1)¸ µ (4, −2, 1)¸ µ (−1, 2,
3)¸ µ (−1, 3, −3)¸ ½¼µ (2, 5, −5)º
R = {A1 , A2 ,
½º
A3 , E}¸
A1 ¸ E
º
¸
¼º
¾º
A3 , E}¸
R = {A1 , A2 ,
A2 ¸ E
¸
º
¼º
¿º
A3 , E}¸
R = {A1 , A2 ,
A3 ¸ E
¸
º
¼º
º
E
A1 A2 A3
A3 , E}¸
¸
¼
R = {A1 , A2 ,
µ
µ
¹
º
R = {A1 , A2 , A3 , E}
A¸ B ¸C ¸ D
0)¸ (0, 0, 1)¸ (1, 1, 2)
º
A¸ B ¸ C ¸ D
½µ
¸
ºþ
¹
(1, 0, −1)¸ (2, 1,
º
¾µ
R
C, D}º
½¿¾
R = {A, B,
�º
R = {A1 , A2 , A3 , E }¸
A2 ¸ A3 ¸ E
1) A1 (1, 0, 0),
A2 (0, 1, 0),
2) A1 (1, 0, −1), A2 (2, 1, 0),
3) A1 (0, 1, 0),
A2 (−1, 0, 1),
4) A1 (0, 1, 0),
A2 (0, 0, 1),
5) A1 (1, 1, 1),
A2 (1, −2, 1),
6) A1 (−2, 3, 1), A2 (1, 0, −2),
7) A1 (1, −2, 1), A2 (0, 1, −3),
8) A1 (0, 0, 1),
A2 (2, 3, 1),
9) A1 (−1, 1, 0), A2 (0, 2, 3),
10)A1 (3, −1, 5), A2 (1, 0, 4),
R = {A1 , A2 , A3 , E}
R
A1 ¸
A3 (1, 2, −1),
A3 (0, 0, 1),
A3 (2, 1, 0),
A3 (1, 0, 0),
A3 (−2, 0, 1),
A3 (1, −1, 2),
A3 (1, 1, 1),
A3 (−2, 1, 5),
A3 (3, 5, 1),
A3 (−2, 1, 1),
E (0, 1, 3);
E (1, 1, 2);
E (1, 2, 1);
E (1, 1, 1);
E (0, −1, 3);
E (2, 1, 1);
E (2, −6, −1);
E (0, 4, 1);
E (−5, 3, −5);
E (−2, 1, 3).
º
º
º
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º
½µ
A1 A2 A3
A1 E ¸ A2 E ¸
¾µ
A3 E º
AB
º
AB ¸
µ
A(3, 0, −1)¸
A(−1, 2, 0)¸
A(0, 5, 1)¸
A(1, 3, 1)¸
A(−1, 1, 0)¸
A(3, 2, 1)¸
º
¸
µ
µ
µ
µ
µ
B(−1, 3, 0)
B(1, 1, 3)
B(−2, 1, 7)
B(−2, 1, 0)
B(2, 3, 5)
B(−5, 0, 1)º
A, B, C
½¿¿
¹
�¸
µ
µ
µ
µ
µ
µ
¼º
A(1, 2, −1)¸
A(0, 1, 3)¸
A(2, 1, 0)¸
A(0, −4, 1)¸
A(1, −1, 2)¸
A(−2, 0, 3)¸
B(−3, 1, 1)¸ C(−1, 5, −1)
B(−5, −1, 3)¸ C(10, 3, −3)
B(−5, 13, −3)¸ C(−3, 5, −1)
B(1, 2, 1)¸
C(3, −2, 5)
B(0, 3, −1)
C(−1, −5, 0)
B(1, 5, −2)¸
C(0, 5, 3)º
K(3, −2, 1), L(0, 1, −1), M(1,
¸
− 2, 5)
º
½º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º
¹
¸
A1 ¸ A2
A3 ¸ E º
µ
µ
µ
A2 ¸ A3
µ
A1 ¸ A3
¹
µ
A1 ¸ E
µ
A2 ¸ E
¾º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
A1 ¸ A2
º
AB ¸
µ A(−5, 2, 1)¸
µ A(2, 1, −3)¸
µ A(7, 6, 4)¸
µ A(3, 1, −1)¸
µ A(−1, 3, 1)¸
µ A(−2, 3, 3)¸
¹
B(1, 3, 3)
B(1, −2, 1)
B(3, −3, 2)
B(−1, 2, 3)
B(2, 2, 1)
B(1, −2, 5)º
¿º
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
¹
A2 ¸ A3
º
AB
¹
¹
¾º
º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
A1 ¸ A3
º
AB
¹
¹
¹
¾º
½¿
�º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
A1 ¸ E
¹
º
AB
¹
¾º
º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
A2 ¸ E
¹
º
AB
¹
¾º
º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
A3 ¸ E
¹
º
AB
¹
¾º
º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
A1 ¸ A2
º
¹
¸
¹
M
1) M(1, −2, 3),
2) M(4, 1, 1),
3) M(−1, 1, 3),
4) M(−1, 2, 2),
5) M(2, 1, −3),
6) M(3, 3, 2),
7) M(−3, 1, 2),
8) M(1, 1, 2),
9) M(1, −1, 3),
10) M(2, −1, 1),
º
µ
a¸
a : 2x1 + x2 − 3x3 = 0;
a : x1 − 7x2 + x3 = 0;
a : x1 + x2 + x3 = 0;
a : 3x1 − x2 + x3 = 0;
a : 2x1 + 2x2 − x3 = 0;
a : x1 − 4x2 + 2x3 = 0;
a : x1 + x2 − x3 = 0;
a : 2x1 − 3x2 + x3 = 0;
a : 3x1 + 3x2 − x3 = 0;
a : 5x1 − 7x2 − x3 = 0.
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
µ A2 ¸ A3
A3 ¸ E º
M
¹
¹
µ
A1 ¸ A3
µ
¸
A1 ¸ E
µ
A2 ¸ E
¹
a¸
½¿
�º
¼º
¸
½º
x1 − x2 + 2x3 = 0
2x1 + 2x2 − x3 = 0
µ x1 − x2 + x3 = 0
µ x1 − 2x2 − 2x3 = 0
µ 2x1 − x2 + x3 = 0
µ 2x1 + 3x2 − x3 = 0
µ x1 − 3x2 − 3x3 = 0
µ 3x1 + x2 + 2x3 = 0
µ 3x1 − x2 + 5x3 = 0
µ x1 + 5x2 − 3x3 = 0
2x1 + 5x2 + 4x3 = 0
3x1 − 5x2 + 2x3 = 0
2x1 − x2 + 5x3 = 0
x1 + 3x2 − x3 = 0
x1 + x2 − x3 = 0
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 + x2 + x3 = 0
x1 − x2 + 2x3 = 0
3x1 + 2x2 − 5x3 = 0
x1 + x2 + 3x3 = 0º
a, b, c
µ
µ
¾º
¸
a(5, 1, 3)¸
¾µ a(1, 1, 0)¸
¿µ a(1, −1, 2)¸
µ a(0, 2, −3)¸
µ a(−3, 1, 2)¸
µ a(−1, 2, 0)¸
µ a(1, 3, 3)¸
µ a(1, 2, 5)¸
µ a(1, −2, 3)¸
½¼µ a(2, 2, 1)¸
½µ
¿º
¹
(1, 2, −1)¸ (3, 5, −2)º
b(−2, 4, 3)¸
b(2, −1, 3)¸
b(5, 3, 0)¸
b(1, −2, 4)¸
b(2, 0, −1)¸
b(1, 1, 5)¸
b(2, −1, 2)¸
b(3, 0, 1)¸
b(1, 4, −1)¸
b(0, −2, 5)¸
c(8, 6, 9)
c(5, 2, 3)
c(3, 1, 1)
c(1, 2, −2)
c(3, −5, −4)
c(2, −7, −5)
c(3, 2, 5)
c(−1, 1, 2)
c(3, 0, 5)
c(1, 0, 3)º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º
¸
½µ (1, 2, 0) ¾µ (0, −3, 1) ¿µ (4, 0, −1)
µ (1, 2, 2) µ (1, 2, 3) µ (−1, 2, 3) µ (3, −2, 1) µ (2, −1, 4)
µ (2, 3, 1) ½¼µ (−2, 1, 1) ½½µ (3, 2, 3) ½¾µ (1, −3, 1)º
º
¹
½¿
�R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
E
º
¹
¸
¾º
º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
A1 ¸ A2
º
¹
¸
¹
¾º
º
º
¸
¹
µ
µ
¸
µ
A, B
µ
α¸
a
AB
α
µ
¸
a, b
µ
α¸
¹
a¸
¸
¹
b
µ
A
α
β¸
¹
µ
µ
a
α¸
¸
½¿
¹
�µ
¸
µ
¸
a
µ
α
a, b
µ
α¸
¸
¸
a
A
¹
¸
¹
¸
¸
A
a
b
ABC
BB ¸ CC
O¸
AB ∩A B ¸ Q = BC ∩B C ¸ R = AC ∩A C
ABC
µ
AA ¸
P =
º
º
¸
º
α
º
β¸
¹
M¸
¸
º
º
α
º
A
β
¸
α
β¸
¹
B¸
¸
m¸
A
Bº
¹
¹
º
¼º
ABC
M
AM ¸ BM
º
CM º
A0 ¸ B0
C0
A0 B0 C0 ¸
º
ABC º
þ
º
½º
´
µ
¹
¸
´
¹
µ
¸
½¿
º
�º
¾º
s
A, B, C º
¹
m¸
Y = ∩ n¸ W = m ∩ n¸
D = s ∩ XZ º þ ¹
A
C
nº
Z = BY ∩ m¸ X = BW ∩
º
¿º
α, β, γ ¸
¹
a, b, cº
º
ABC
º
p¸
AB, BC, AC
HC, KA, MB
p
º
H, K, M
º
P QRº
þ
º
a
º
α
b
A¸
α
¹
Aº
º
a
º
Pº
b
c
α
P
αº
º
º
¸
º
º
º
¹
1◦ .
¹
¸
¹
½¿
�º
◦
2.
¹
¹
¹
¸
¹
¹
º
º
¿
¹
º
º¿
¸
A1 ¸ µ A2 ¸
µ A10 º
µ
µ
A6 ¸
µ
A7 ¸
µ
A8 ¸
µ
A9 ¸
µ
A3 ¸
A4 ¸
µ
µ
A5 ¸
¹
¸
A1 A2 ¸
A3 A10 ¸
A2 A8 ¸
µ
A4 A6 ¸
µ
A1 A4 ¸ µ A1 A6 ¸
A3 A9 ¸ µ A9 A10 ¸
µ
µ
µ
A2 A6 ¸
A7 A8 º
µ
µ
¼º þ
µ
¹
¸
¹
º
¸
¹
º
½º
þ
¸
¸
º
¹
¸
º
¾º
ABCD
BC
AD
M
Pº
AM ∩ BP L = DM ∩ CP ¸
¹
þ
¹
¸
¿º þ
KL¸
K =
º
¹
¹
½ ¼
�º
¸
º
Ai Bi Ci (i = 1, 2, 3)
Ai ¸ Bi ¸ Ci
º
a¸ b¸ c¸
¹
¹
¸
º
ABC
º þ
S : A = AS ∩
¸
BC, B = BS ∩ AC, C = CS ∩ AB º
¸
BC ∩ B C ¸ AC ∩ A C ¸ AB ∩ A B
º
p
ABC
º
K = BC ∩p, L = CA∩p, M = AB ∩p, R = BL∩CM, S =
CM ∩ AK, T = AK ∩ BLº
¸
AR¸ BS
CT
º
ABCD
p q¸ ¹
º
AB p ∩ AD = M, p ∩ AC =
P, q∩BD = N, q∩BC = Qº
¸
MN ∩P Q
AB º
º
ABC DBC
¹
p q¸
AD ¸
A D
p ∩ AB = M ¸ p ∩ DB = P ¸
q ∩AC = N ¸ q ∩DC = Qº
¸
MN ¸ P Q¸
BC
º
º
ABCD º
P = AB ∩
CD
¸
BC
AD
K Mº
¸
¹
¸
¹
ABKM
MKCD
¹
º
½¼¼º
ABCD
P = AB ∩ CD º
AD
BC ¸
¹
½ ½
�AB
¸
H
Kº
CD
¸
¸
¹
AHKD
HBCK
Pº
½¼½º
ABCD E =
AB ∩ CD ¸ H = BC ∩ AD º
E
BC
¸
º
¹
AD
¸
K
M
¸
¹
ABKM
MKCD ¸
Hº
½¼¾º
ABCDE º
¹
H = AD ∩ CE ¸ O = AC ∩ BH ¸ K = AB ∩ OD ¸
M = BC ∩ OE º
µ
AC ||DE P = AC ∩ DE ¸
K¸ M ¸ P
µ
½¼¿º þ
AC||DE ¸
KM||AC º
ABCDEF
º
¸
¹
P = AB∩DE ¸ Q = BC∩EF
¹
R = AC ∩ DF
½¼
º
ABCD
M = AB ∩ CD ¸ H = BC ∩ AD ¸ K = AC ∩ BD º
MK
AD BC ¹
E Pº
¸
AP ¸
BE ¸ HK
º
½¼ º þ
ABCD
BC AD ¹
A B
a
b¸
C D
c dº
¸
H = AB ∩ CD ¸ K = b ∩ c¸ M = a ∩ d
½¼
º þ
º
ABCD º
º
½ ¾
¹
�K = AB ∩ CD ¸ H =
E = AC ∩ BD
HE KE ¸
AB
BC
P = HE ∩ AB ¸ M = KE ∩ BC º
¸
T = HK ∩ MP
CAº
½¼ º þ
ABCDEF
º
H =
BC ∩ AF ¸ K = BC ∩ DE ¸ M = DE ∩ AF ¸ P = AB ∩ CD ¸
T = AB ∩ EF ¸ O = EF ∩ CD º
¸
HO ¸
P M ¸ KT
º
ABCD
AB
½¼ º þ
a b¸
¹
Eº
¸
¸
BC ∩ AD
¸
½¼
Eº
ABC
P ¸ Q¸ R¸ ¹
aº
M = CQ ∩ AB ¸
S = CR ∩ P M ¸ Y = BS ∩ AC ¸ X = RY ∩ BC º
¸
Z = P Y ∩ QX
AB º
ABC º
¸
½½¼º
AC ¸
AB BC
H Kº
H K
a||BC ¸ b||AB
Mº
¸
BM
HC AK º
º
½½½º
¹
ABC ¸ A B C ¸ A B C
¸
¹
º
½½¾º
¸
¹
O1
O2
O1 O2 ¸
½ ¿
¸
¸
�O1 O2 º
þ
a
½½¿ ½½
a¸ b
b¸ c
c
¸
¹
a0 = (b∩)·(b ∩c )¸ b0 = (a ∩c)·(a∩c )¸ c0 = (a∩b)·(a ∩b )
¸
´
¹
µ
a1 = (a ∩ b) · (c ∩ a )¸ a2 = (a ∩ b ) · (a ∩ c )
b1 = (a ∩ b) · (c ∩ b )¸ b2 = (b ∩ c) · (a ∩ b )
c1 = (b ∩ c) · (a ∩ c )¸ c2 = (b ∩ c ) · (a ∩ c)
¸
´
µ
A= a∩a, B = b∩b, C =c∩c
A0 = a1 ∩ a2 , B0 = b1 ∩ b2 , C0 = c1 ∩ c2
A1 = b ∩ c , A2 = b1 ∩ c1 , A3 = b0 ∩ c0 , A4 = c ∩ b , A5 =
b2 ∩ c2 º
´
·
ºµ
½½¿º
a0 , b0 , c0
º
½µ
a ∦ a , b ∦ b , c1 ∦ c2 ¸
¾µ
a ∦ a , b ∦ b , c1 ||c2¸
a ∦ a , b||b , c1 ∦ c2 ¸
a||a , c1 ||c2 ¸
b||b
a||a , b||b ¸
c1 ||c2 º
¿µ
µ
µ
½µ
¾µ
¿µ
½½
º
¸
A, B, C0
AB||c1
AC0 ||b
¸
¹
a0 ¸ b0 ¸ c0
A¸ B ¸ C0
AB||c1 , c1 ||c2
b||b , AC0 ||b
¸
½
�µ
µ
µ
µ
a
a , b||b , c1 ||c2
A0 , B0 , C0
c1 ||c2 , A0 B0 ||c1
a1 ||a2 , b1 ||b2 , c1 ||c2º
½½
a0 , a, a
º
º
¹
¸
½µ
b ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ a2 ¸
¾µ
b ∦ c , c ∦ b , a1 ||a2 ¸
A1 A4 ||a1
b ∦ c , a1 ∦ a2 , c||b ¸
A1 A0 ||c
c ∦ b¸
A2 , A3 , A4
¹
c b¸
A2 A3 ||c
a1 ∦ a2 ¸
A0 , A2 , A5
¹
¿µ
µ
µ
µ
µ
½½
º
a1 ||a2 ¸
A2 A5 ||a1 º
a ∦ a¸
¸
A ∈ a0 ¸
½µ A1 , A4 , A0
a2 µ
¾µ a1 ||a2 ||A1 A4 (b ∦ c , c ∦ b )
¿µ c||b ||A0 A1 (b ∦ c , a1 ∦ a2 )
µ
A2 , A3 , A4
µ c||b ||A2 A3
µ
A0 , A2 , A5
µ a1 ||a2 ||A2 A5 º
½½
½µ
¾µ
¿µ
µ
A1 , A4 , A0
º
b ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ a2 ¸
´b
(c ∦ b )
(a1 ∦ a2 )
a||a ||a0 º
A1 , A4 , A0
b ∦ c , c ∦ b , a1 ||a2 ¸
A1 A4 ||a1
b ∦ c , a1 ∦ a2 , c||b ¸
A1 A0 ||c
c∦b¸
A2 , A3 , A4
½
∦ c , c ∦ b , a1 ∦
¸
�c b¸
A2 A3 ||c
a1 ∦ a2 ¸
µ
µ
µ
½½
½µ
a1
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
µ
º
a1 ||a2 ¸
A0 , A2 , A5
A2 A5 ||a1 º
a||a º
A1 , A4 , A0
a2 )
a1 ||a2 ||A1 A4 (b ∦ c , c ∦ b )
c||b ||A0 A1 (b ∦ c , a1 ∦ a2 )
A2 , A3 , A4
c||b ||A2 A3
A0 , A2 , A5
a1 ||a2 ||A2 A5 º
½½ º
a
L¸
¸
a0 ||a¸
(b ∦ c ¸ c ∦ b ¸
(c ∦ b )
(a1 ∦ a2 )
b¸
¹
º
C¸
º
½¾¼º
LC º
P
Q
cº
½¾½º
PQ
c¸
P Qº
A
a a¸
A¸
B
¸
½¾¾º
º
¸
¸
¹
¸
P
½¾¿º
a
Q
a¸
a
¹
Pº
a¸ b b¸
¸
P
º
PQ
cº
½
Q
�½¾
º
¸
¹
a
A
½¾
¸
¹
B
¹
Bº
A
º
¸
AB º
½¾
º þ
ABCD
E¸
¹
E¸
º
¸
½¾
¸
º
A
º
Bº
¸
AB ¸
¹
½¾
º
º
a
½¾
¹
a¸
P¸
Qº
PQ
ABCD, BC||AD
º
º
b
b¸
º
M
¸
M
¸
½¿¼º
º
¸
Mº
M
¸
¹
¸
º
þ
½¿½ ½
¸
º
½¿½º
P
½¿¾º
a∩a = P
Q
P Qº
¸
b ∩ b = Qº
¹
a||a , b||b
¸
º
a¸
¸
½
A¸
º
�½¿¿º
½¿
A
º
K¸
b
Bº
AB º
a a¸
b
b¸
¹
¹
¸
¹
M¸
º
b
½¿
KM º
ABCD º
º
¹
¹
¸
¹
º
½¿
ABCD º
º
¹
¸
¹
º
½¿
ABCD (BC||AD)
AB º
º
¸
½¿
M¸
M
¹
¹
º
ABCD
º ý
¸
º
º
½¿
ABCD ¸
º
H = AB ∩ CD, K = BC ∩ AD
¹
HK º
½ ¼º
¹
½ ½º
ABCD
º
ABCD
H = AB ∩ CD, E = AC ∩ BD ¸
HE º
¸
¹
¹
º
½ ¾º þ
ABC
½
XY Z :
�X ∈ BC, Y ∈ AC, Z ∈ AB
¸
P = XY ∩ AB, Q = Y Z ∩ BC, R = ZX ∩ CA
º
½ ¿º
ABC
P, Q, R
aº
X, Y, Z
¹
BC, CA, AB ¸
Y Z, ZX, XY
P, Q, Rº
ABCD
¹
¸
XY Z
¸
½
º þ
¸
¹
¸
¸
¸
½
¹
º
ABCD
P
º
AB º
½
AC º
ABCD º
º
CD
¸
P¸
¹
¸
E = AB ∩
¹
º
½
ABCD
AB º
AC º
º
¸
P
P
¹
º
½
µ
µ
µ
º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º
¹
T¸
A2 = T (A1 ), A1 = T (A2 ), E = T (A3 ), A3 = T (E)
A2 = T (A1 ), A3 = T (A2 ), A1 = T (A3 ), E = T (E)
A1 = T (A1 ), A2 = T (A2 ), A3 = T (A3 ), E = T (E)¸
½
�E (c1 , c2 , c3 )º
½
º
¹
x3 = 0
¸
º
½ ¼º
¸
¹
¸
¹
x3 = 0º
½ ½º
(x2 = 0)
A3 (0, 0, 1)
A3 A2 (x1 = 0)
¸
A3 A1
º
½ ¾º
¹
¸
A1 (1, 0, 0)¸ A2 (0, 1, 0)
A3 (0, 0, 1)¸
E (a, b, c)º
E
½ ¿º
ρx1 = x1 + x2 − x3 ¸ ρx2 = x1 − 4x2 ¸ ρx3 = x1 + x2 º
A1 ¸ A2 ¸ A3
½
Eº
º
ρx1 = 2x1 − 3x2 + x3 ¸ ρx2 = 3x1 − x2 + 4x3 ¸ ρx3 = 3x1 −
2x2 + 5x3 º
A(1, 2, 3)¸ B(2, −1, 4)¸ C(−1, 0, 1)¸
D(0, 2, 5)¸ E(1, −3, 4)¸ H(−2, 0, 3)¸ K(3, 1, 1)¸ M(−5, 1, 0)¸
P (2, 2, 1)¸ T (−4, 1, 3)¸ S(2, 3, 1)º
½
º
ρx1 = x1 − 2x2 + x3 , ρx2 = 4x1 − 2x2 + 3x3 , ρx3 = x1 − x2 º
a(1, 2, 3), b(−1, 2, 5), c(0, 4, −3),
d(1, −3, 1), e(2, 3, 1), h(−2, 0, 1), k(3, 3, −2), m(−4, 1, 3),
p(1, −1, 0), t(−3, 0, 1), s(1, −5, 4)º
½
½µ
¾µ
º
¹
ρx1 = x1 + x2 + x3 ¸ ρx2 = x3 ¸ ρx3 = x2
ρx1 = 2x1 − x2 ¸ ρx2 = x1 + x2 − x3 ¸ ρx3 = x2 − 2x3
½ ¼
�ρx1 = x1 − x2 ¸ ρx2 = x2 − x3 ¸ ρx3 = x1 + x3
µ ρx1 = x1 ¸ ρx2 = x2 + x3 ¸ ρx3 = x1 + x2
µ ρx1 = x1 − 2x2 ¸ ρx2 = 3x1 + x2 − 4x3 ¸ ρx3 = x3
µ ρx1 = x3 ¸ ρx2 = x1 ¸ ρx3 = x2
µ ρx1 = x1 + 2x2 − 4x3 ¸ ρx2 = 2x1 − 3x2 + 5x3 ¸
ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3
µ ρx1 = x1 + 2x2 − x3 ¸ ρx2 = x1 − 2x2 + 4x3 ¸
ρx3 = 3x1 + x2 − 2x3 º
¿µ
ρx1 =
½ º
x1 + 2x2 − 4x3 , ρx2 = 2x1 − 3x2 + 5x3 , ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3 º
A1 A2 A3 º
½
º
¹
R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸
A1 ¸ A2
º
¹
¸
¹
¹
ρx1 = x1 − 2x2 + 3x3 , ρx2 = 2x1 + x2 + 2x3 , ρx3 =
4x1 − 2x2 + 5x3 º
½
º
¸
A1 , A2 , A3
(2, 3, 8)¸
µ (2, 1, 0)¸
µ (1, 1, 0)¸
µ (1, −2, 1)¸
µ (−2, 1, 0)¸
µ (0, 2, 1)¸
µ
(3, −5, 9)¸
(0, 1, 1)¸
(−2, 1, 1)¸
(0, 3, 1)¸
(0, 2, 3)¸
(3, 3, 1)¸
E
(−7, 4, 1)¸
(1, −1, 1)¸
(0, 2, 1)¸
(1, 1, 4)¸
(−2, 3, 1)¸
(−2, 0, 3)¸
½ ¼º
C
¸
A¸
D¸
¹
(1, −1, 0)
(1, 3, 0)
(1, 0, 0)
(1, 1, 3)
(2, 5, 0)
(0, −2, 7)º
¸
B¸
C¸
D
A¸
½ ½
B¸
�A(1, 0, 1)¸
A (−1, 0, 3)¸
µ A(0, 0, 1)¸
A (1, 2, 0)¸
µ A(2, 1, 1)¸
A (2, 1, 5)¸
µ A(1, 2, 3)¸
A (−1, 13, 8)¸
µ A(2, 1, 0)¸
A (0, 6, 1)¸
µ
B(2, 1, 1)¸
B (2, 1, 3)¸
B(1, 2, 0)¸
B (1, 0, 1)¸
B(1, 2, 1)¸
B (2, −1, 3)¸
B(2, −1, 4)¸
B (1, 3, 2)¸
B(3, 1, 1)¸
B (2, 13, 2)¸
C(3, −1, 0)¸
C (2, 3, 8)¸
C(1, 0, 1)¸
C (0, 1, 0)¸
C(1, −1, 1)¸
C (−1, 2, 3)¸
C(−1, 0, 1)¸
C (−1, 1, 2)¸
C(1, 2, −1)¸
C (4, 3, 1)¸
D(2, 5, 2)¸
D (3, 0, −4)
D(0, 1, 0)¸
D (0, 0, 1)
D(−1, 1, 1)¸
D (1, 2, 1)
D(1, 0, 3)¸
D (5, 5, 8)
D(0, −3, 2)¸
D (8, 0, 3)º
½ ½º
µ
µ
µ
¹
ρx1 = 4x1 − x2 , ρx2 = 6x1 − 3x2 , ρx3 = x1 − x2 − x3
ρx1 = x2 + x3 , ρx2 = x1 + x2 , ρx3 = x1 + x2
ρx1 = x2 − x3 , ρx2 = x1 + x3 , ρx3 = 2x1 − 2x2 + 3x3 º
½ ¾º
¸
¹
º
½ ¿º
f
¹
A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E
A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E ¸
º
M = f (M) ´
M
½
µº
º
A¸ B ¸ C ¸ D
A¸B¸C¸Dº
M
M
º
½ ¾
¹
¹
�º
½
º
¹
A1 (1, 0)
A2 (0, 1)
½
A2 (1, 0)¸ E(1, 1)
º
º
¸
A, B, C
A(1, 0)¸ B(0, 1)¸ C(1, 1)¸
A(1, 2)¸ B(−1, 1)¸ C(2, 3)¸
¿µ A(−2, 1)¸ B(1, 1)¸ C(1, 2)¸
µ A(3, 2)¸ B(0, 1)¸ C(1, 1)¸
µ A(−1, 3)¸ B(2, 1)¸ C(1, 2)¸
µ A(4, 1)¸ B(1, 1)¸ C(5, 2)¸
µ A(−3, 2)¸ B(1, 2)¸ C(2, 3)¸
µ A(2, 5)¸ B(1, 4)¸ C(3, −1)¸
µ A(4, 3)¸ B(−1, 1)¸ C(3, 4)¸
½¼µA(1, 1)¸ B(−2, 3)¸ C(3, 2)¸
A, B, C
º
¹
A¸
¸
B¸ C
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
µ
µ
A¸ B¸ C
A(−1, 2), B(−2, 3), C(3, 1)¸
A(1, 2), B(1, −2), C(2, 1)¸
A(1, 1), B(3, −1), C(−1, 1)¸
A(0, 1), B(2, 1), C(4, −3)¸
A(3, 2)¸ B(1, 4)¸ C(0, 1)¸
A(1, 1)¸ B(2, −1)¸ C(1, 0)¸
A(5, 7)¸ B(9, −2)¸ C(4, −9)¸
A(2, −1)¸ B(1, 3)¸ C(4, 5)¸
½
¹
¸
A (−1, 2)¸ B (2, 1)¸ C (−1, 3)
A (0, 1)¸ B (1, 1)¸ C (1, 0)
A (1, −1)¸ B (3, 5)¸ C (1, −1)
A (1, 0)¸ B (3, −1)¸ C (4, −1)
A (2, 1)¸ B (0, 1)¸ C (3, 4)
A (3, 2)¸ B (0, 1)¸ C (2, −1)
A (2, 3)¸ B (1, 1)¸ C (1, −1)
A (1, 0)¸ B (2, −1)¸ C (1, 1)
A (0, 1)¸ B (2, −1)¸ C (5, 3)
A (−1, 2)¸ B (3, 2)¸ C (1, 2)º
½µ
¾µ
½
A1 (1, 1)¸
E (1, 3)º
º
½ ¿
A (4, 1), B (1, 0), C (3, 7)
A (0, 1), B (4, −7), C (1, 2)
A (3, 7), B (1, 9), C (1, −1)
A (−5, 1), B (1, 3), C (27, 1)
A (5, 3)¸ B (15, 11)¸ C (4, 3)
A (1, 2)¸ B (5, 1)¸ C (2, 1)
A (7, 5)¸ B (−2, 9)¸ C (−9, 4)
A (1, 3)¸ B (2, −1)¸ C (9, −1)º
¸
¹
�A1 , A2 ¸
¹
¸
º
½
º
¸
¹
= ax1 − bx2 ¸ ρx2 = bx1 + ax2 ¸ ´a2 + b2 = 0)
¾µ
= x1 + kx2 , ρx2 = x2
= x1 ¸ ρx2 = kx2
¿µ
µ
= ax1 ¸ ρx2 = bx2 ´a = 0, b = 0µ
µ
= ax1 ¸ ρx2 = bx1 + ax2 ¸ ´a = 0)º
½ ¼º
f: →
¹
A, A = f (A), B, B =
f (B), C, C = f (C)º
X= ∩ º
½ ½º
f
¹
A, B, C A = f (A), B =
f (B), C = f (C)
M ∈ º
M = f (M)º
½ ¾º
Π(L) → Π(L )
¹
a, b, c
Π(L) a = f (a)¸ b = f (b)¸ c = f (c)
Π(L )º
¹
½µ
ρx1
ρx1
ρx1
ρx1
ρx1
m = f (m)
µ
µ
m ∈ Π(L)
LL º
½ ¿º
f
a, b, c
f (b), c = f (c)º
½
(L)
a = f (a), b =
m
º
X
º
Y
f
A
M
A = f (A)º
º
½
¹
�½
(L)
º þ
x
y
¹
a
m
aº
¹
º
½
�¾º
þ
þ
´
½¼º
½
º
¸
¸
ü
ÿ
µ
A, B, C, D
(AB, CD)
A(1, 1, 2), B(3, −1, 2), (11, −1, 10), D(3, 4, 7)
A(0, −2, 3), B(1, 1, −5), C(1, −3, 1), D(−2, 12, −11)
µ A(−3, 5, 0), B(1, −1, 2), C(−1, 7, 16), D(3, −1, 12)
µ A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 4, 1), D(0, 2, 1)
µ A(3, 1, 2), B(1, 1, −2), C(5, 3, −2), D(1, −1, 6)
µ A(−2, 0, 3), B(1, 4, 1), C(3, 4, −2), D(7, 4, −8)
µ A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(−1, 4, 3), D(4, 2, −3)
µ A(−1, 5, 3), B(3, −2, −1), C(9, 7, 5), D(12, 5, 4)º
½ º
¸
a, b, c, d
¸
(ab, cd)
µ
µ
a(0, 0, 1), b(−2, 1, 3), c(6, −3, −7), d(2, −1, −2)
µ a(3, 1, 4), b(−1, 0, 2), c(11, 2, −2), d(11, 5, 28)
µ a(−2, 1, 3), b(5, −1, −7), c(3, 0, −4), d(−9, 3, 13)
µ a(−4, 1, 2), b(2, 1, 3), c(0, 3, 8), d(8, 1, 4)
µ
�a(2, 2, 3), b(0, 2, 1), c(1, 0, 1), d(5, −2, 4)
µ a(0, 1, −1), b(3, 2, 0), c(6, 7, −3), d(−3, 1, −3)
µ a(5, 1, 0), b(1, −2, 1), c(7, 8, −3), d(2, 7, −3)
µ a(2, 3, −1), b(1, 3, 0), c(0, 3, 1), d(−2, 3, 3)º
½ º
¸
A(1, −2, −1), B(1, 0, −2)¸
C(−3, −4, 8)
¸
D¸
¸
5
1
(AB, CD)
½µ − ¸ ¾µ −3¸ ¿µ −1¸ µ ¸
6
2
1
4
2
3
µ 2¸ µ − ¸ µ ¸ µ ¸ µ ¸ ½¼µ 4º
3
3
3
4
½ º
A(1, 2, 3), B(−3, 2, 4), C(−2, 4, 7)º
µ
¸
D¸
½ ¼º
¸
(AB, CD) = −1º
a(1, 2, 1), b(3, −1, 2), c(5, 3, 4)º
d¸
½ ½º
¸
−3)
3
¸
4
µ
1
¸
2
½ ¾º
µ
− 43 ¸
µ
5
¸
2
µ
(ab, cd) −1º
a(2, 1, 0)¸ b(0, 1, 3)¸ c(2, 0,
¸
d¸
¸
1
2
(ab, cd)
½µ ¸ ¾µ ¸ ¿µ −3¸ µ
3
3
2¸ µ 14 ¸ ½¼µ − 25 º
a¸ b¸ c¸
¸
d
x1 + 2x2 = 0, x1 −x3 = 0, x1 + 4x2 + x3 = 0, 2x2 + x3 = 0
¾µ 3x1 + x2 + 2x3 = 0¸ x1 + x2 − 2x3 = 0¸ 5x1 + 3x2 − 2x3 = 0¸
x1 − x2 + 6x3
¼
¿µ 2x1 − 3x3 = 0¸ x1 + 4x2 + x3 = 0¸ 3x1 + 4x2 − 2x3 = 0¸
7x1 + 4x2 − 8x3 = 0
µ x1 + 2x2 = 0, x1 − x3 = 0, x1 − 4x2 − 3x3 = 0¸
4x1 +
2x2 − 3x3 = 0
µ x1 −5x2 −3x3 = 0¸ 3x1 −2x2 −x3 = 0¸ 9x1 +7x2 +5x3 = 0¸
12x1 + 5x2 + 4x3 = 0
µ 4x1 − x2 − 2x3 = 0, 2x1 + x2 + 3x3 = 0¸ 3x2 + 8x3 =
0¸ 8x1 + x2 + 4x3 = 0
½µ
½
�µ 2x1 + 2x2 + 3x3 = 0¸
2x2 + x3 = 0¸ x1 + x3 = 0¸
5x1 − 2x2 + 4x3 = 0
µ x2 − x3 = 0, 3x1 + 2x2 = 0, 6x1 + 7x2 − 3x3 = 0, 3x1 −
x2 + 3x3 = 0
µ 5x1 + x2 = 0¸ x1 − 2x2 + x3 = 0¸ 7x1 + 8x2 − 3x3 = 0¸
2x1 + 7x2 − 3x3 = 0
½¼µ 2x1 + 3x2 − x3 = 0, x1 + 3x2 = 0, 3x2 + x3 = 0, 2x1 −
3x2 − 3x3 = 0º
¸
(ab, cd)º
½ ¿º
x2 = 0¸
¸
½
º
D¸
½
º
a, b, c¸
¹
x1 −2x3 = 0, 3x1 −x2 +4x3 = 0, 5x1 −
Lº
d¸
(ab, cd) = −2º
¸
A(1, 4, 1)¸ B(0, 1, 1)¸ C(2, 3, −3)
¸
(AB, CD) = −4º
B ¸ C ¸ Dº
(AB, CD)¸
µ A(2, 1), B(−1, 3), C(1, 4), D(3, 5)
µ A(3, 1), B(2, 5), C(1, 0), D(−2, 1)
µ A(1, 3), B(5, −2), C(1, −1), D(2, 3)
µ A(−1, 1), B(2, 3), C(7, 11), D(1, 4)
µ A(5, 7), B(2, 3), C(3, 4), D(−1, 1)
µ A(−4, 3), B(3, 2), C(−1, 5), D(2, 1)
µ A(−2, 3), B(1, 1), C(0, 1), D(3, −5)
µ A(2, 5), B(−3, 5), C(1, 15), D(1, 0)
µ A(1, 0), B(7, −3), C(0, 1), D(1, −1)º
½ º
A(2, 1), B(−1, 3)
¸
C(4, 5)
¸
D(−8, 3)º
½
A¸
¹
¹
�½
º
A(1, 3)¸ B(2, 1)¸ C(−1, 4)¸ D(3, −1)º
(AB, CD)
R
Dº
½
¹
D
{A¸ B ¸ C}º
¹
¹
A(1, 2)¸
R
º
B(−1¸ 1)¸ C(3, 5)
{A1 ¸ A2 ¸ E}º
¸
(AB, CD) =
D
1
º
2
¹
¹
Rº
½
º þ
¹
B(2, 1)
¹
(6, 1)¸
¹
A(−2)¸ B(3)¸ C(−1)º
D(5)¸ F (−7)¸ G(4)¸ H(2)¸ O(0)¸ E(1)
R {A¸ B ¸ C}º
¹
½ ¼º þ
D
C(1, 2)º
A(1, −1)
½ ½º þ
b¸ c¸ d
º
¹
a¸
¹
y = x, y = 2x, y = 3x, y = −x
y = x − 3, y = 2x − 3, y = −x − 3¸ y = 5x − 3
µ y = 3x, y = −x, y = 0, x = 0
µ 2x − y + 7 = 0, x + y + 2 = 0, 6x + 5y + 13 = 0¸
x − 3y + 6 = 0
µ y − 3 = −(x + 2), y − 3 = x + 2, y − 3 = 3(x + 2)¸
y − 3 = 5(x + 2)º
½ ¾º
A¸
B ¸ C ¸ D¸
a¸ A1 ¸ B1 ¸ C1 ¸ D1
¹
µ
µ
a1 º
¸
(AB, CD)
½
(A1 B1 , C1 D1 )º
�½ ¿º
C ¸ Dº
A¸ B ¸
þ
¹
¸
¸
A(2, −3), B(3, −1), C(4, 1), D(5, 3)
µ A(1, −1), B(2, 1), C(0, 1), D(1, 5)
µ A(5, 7), B(3, 4), C(2, 3), D(0, 1)
µ A(4, −3), B(1, 5), C(−5, 9), D(13, −4)
µ A(3, 1), B(4, −7), C(2, 9), D(7, −6)º
µ
½
Cº
A¸ B ¸
º
D(x1 , x2 )¸
A(−3, 1)¸ B(2, 11)¸ C(1, 9)¸ (AB, CD) = −2
µ A(−4, 0)¸ B(0, 8)¸ C(1, 10)¸ (AB, CD) = 3
2
µ A(1, 2)¸ B(−3, 1)¸ C(5, 3)¸ (AB, CD) =
3
5
µ A(0, 5)¸ B(1, 7)¸ C(−2, 1)¸ (AB, CD) =
2
1
µ A(4, 1)¸ B(−5, 4)¸ C(−2, 3)¸ (AB, CD) = º
2
µ
½
C ¸ Dº
º
A¸ B ¸
þ
¹
¸
¸
A(3), B(8), C(7), D(13)
µ A(−1), B(2), C(−3), D(4)
µ A(5), B(−3), C(4), D(7)
µ A(2), B(0), C(5), D(6)
µ A(4), B(−2), C(9), D(8)º
µ
½
A¸ B ¸ C ¸ D ¸
º
¹
º þ
¸
½
½
º
º
º
¸
(AB, CD∞ ) = (AB, C)º
A¸ B ¸ C ¸ D
½ ¼
¹
�(AB, CD) + (AC, DB) + (AD, BC) = 0º
¸
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a¸ b¸ c¸ dº
(ab, cd) =
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¸
4x21 + x22 + 5x23 + 4x1 x2 − 12x1 x3 − 6x2 x3 = 0
2
2
2
µ 2x1 + x2 − x3 + 3x1 x2 − x1 x3 + 2x2 x3 = 0
2
2
2
µ x1 + 4x2 + x3 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x3 = 0
2
2
2
µ 5x1 + x2 + x3 + 2x1 x2 − 4x1 x3 = 0
µ x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0
2
2
2
µ 2x1 + 6x2 + 7x3 − 4x1 x2 + 6x1 x3 + 4x2 x3 = 0º
µ
¾¾
2x21
x23
+
º
x22
¾¾
º
− x23 + 3x1 x2 − x1 x3 − 2x2 x3 = 0
µ x1 − 2x2 + x3 = 0
µ x1 = 5λ − µ, x2 = −3µ, x3 = −2λ + µ
µ 2x1 + x2 − x3 = 0
µ x1 = λ + µ, x2 = λ − µ, x3 = 2µº
+ 3x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 = 0
¾¾
¾¾
x22
−
A(1, 2, −1)º
º
x1 x3 + x2 x3 = 0
º
2x21 − x22 −
A(1, 1, −1)º
x1 x2 +
¸
3x21 +
A(3, −2, 2)
¸
+ 2x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x3 = 0º
5x23
º
¾¾
x1 x2 +
x2 x3 + x1 x3 = 0º
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A2 A3 º
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2x21 + x22 − 2x23 −
º
6x1 x2 + 4x2 x3 = 0 µ
¹
A1 (1¸ 0¸ 0)¸ A2 (0, 1, 0)¸ A3 (0, 0, 1)¸ E(1, 1, 1)¸
M(2, −1, 5) µ
7x1 +
4x2 − 10x3 = 0
º
¾¿¼º
(−4, 2, 1µ
µ (6, 4, −1µ
µ (2, 1, 1µ
µ (1, 0, 1µ
µ
¾¿½º
¹
6x21 − 4x22 − x23 − 5x1 x2 + 3x1 x3 + 2x2 x3 = 0
2x21 + 3x22 − 6x1 x3 − 2x2 x3 = 0
4x21 − x22 + 3x1 x2 = 0
3x21 + 5x22 + 10x23 − 4x1 x3 − 6x2 x3 = 0º
¹
3x1 − x2 + 6x3 = 0 x21 + x22 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 = 0
2x21 + x22 − 3x23 − 4x1 x2 − 2x1 x3 +
µ x1 − 3x3 = 0
+6x2 x3 = 0
µ x2 = 0
4x21 + 15x22 + 2x1 x2 − 6x1 x3 +
+10x2 x3 = 0
µ x1 + 3x2 + x3 = 0
3x21 + 5x22 + x23 + 7x1 x2 + 4x1 x3 +
+5x2 x3 = 0º
µ
¾¿¾º
¸
½
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¾¿¿º
P
AB
A
B¸
¾¿
¾¿
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(CP, KM) = −1¸
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P
P
P
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(AB, P P ) = −1º
¸
º
P
¹
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¸
P
¸
K
¹
P
º
P A1 , P A2
¸
M
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(P Q, MN) = −1º
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¼º
�Оглавление
Введение. Краткая историческая справка
3
ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
5
§ 1. Определение проективного пространства и
проективной плоскости
§ 2. Расширенная плоскость и расширенное пространство
как модели проективной плоскости и проективного
пространства
§ 3. Координаты точек на расширенной плоскости и в
расширенном пространстве
§ 4. Проективные координаты точки на проективной
плоскости
§ 5. Проективные координаты на проективной прямой
§ 6. Уравнение прямой на проективной плоскости
§ 7. Нахождение точки пересечения двух прямых.
Уравнение пучка прямых
§ 8. Принцип двойственности
§ 9. Теорема Дезарга
§ 10. Частные случаи теоремы Дезарга и их применение к
решению задач
§ 11. Группа проективных преобразований
§ 12. Проективные отображения и преобразования прямых
§ 13. Перспективные отображения прямых и пучков
5
9
12
18
23
24
27
31
34
38
41
48
51
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ
ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
60
§ 14. Двойное (сложное) отношение
60
178
�§ 15. Гармонические четверки точек и прямых
§ 16. Гармонические свойства четырехвершинников и
четырехсторонников
§ 17. Проективная классификация линий второго
порядка
§ 18. Взаимное расположение линии второго порядка и
прямой на проективной плоскости
§ 19. Касательная к линии второго порядка на
проективной плоскости
§ 20. Полюсы и поляры линии второго порядка. Полярное
соответствие
§ 21. Конструктивные теоремы теории линий второго
порядка
§ 22. Геометрия на плоскости с фиксированной прямой
§ 23. Евклидова геометрия с проективной точки зрения
Приложение. ЗАДАЧИ
Раздел 1. Проективное пространство
1. Определение проективного пространства и
проективной плоскости
2. Расширенная плоскость и расширенное
пространство
3. Проективные координаты точки на прямой
4. Проективные координаты точки на проективной
плоскости
5. Уравнение прямой на проективной плоскости.
Уравнение пучка прямых
6. Принцип двойственности
7. Теорема Дезарга
8. Проективные преобразования плоскости
9. Проективные отображения и преобразования
прямых и пучков
Раздел 2. Основные факты проективной геометрии
10. Двойное (сложное) отношение
75
77
80
83
86
89
100
112
120
125
126
126
127
128
131
133
137
139
149
153
156
156
�11. Гармонические четверки точек и прямых.
Гармонические свойства четырехвершинников
и четырехсторонников
12. Проективная классификация линий второго
порядка
13. Полюсы и поляры линии второго порядка
14. Конструктивные теоремы теории линий
второго порядка
15. Линии второго порядка в евклидовой
плоскости
Библиографический список
161
164
165
168
170
176
�
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Львова, Людмила Викторовна
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Проективная геометрия
Subject
The topic of the resource
1. Математика. 2. Геометрия. 3. проективная геометрия. 4. проективное пространство. 5. задачи (геометрия). 6. решение задач.
Description
An account of the resource
Проективная геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 180 с.
Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Наряду с теоретическим материалом, изложение которого сопровождается многочисленными примерами решения задач, в пособие включен сборник задач. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п., ссылки на внешние документы – приложения. Приложения можно открывать так же, как вложения, при этом происходит автоматический показ слайдов. Программа «Адобе Акробат» позволит установить необходимое время демонстрации каждого слайда. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика».
Source
A related resource from which the described resource is derived
Алтайский государственный педагогический университет, 2017
Publisher
An entity responsible for making the resource available
Алтайский государственный педагогический университет
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
27.04.17
Rights
Information about rights held in and over the resource
©Алтайский государственный педагогический университет, 2017
Format
The file format, physical medium, or dimensions of the resource
pdf
Language
A language of the resource
русский
Type
The nature or genre of the resource
Учебное пособие
Identifier
An unambiguous reference to the resource within a given context
<a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova1.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova1.pdf</a>
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Львова, Людмила Викторовна
Геометрия
задачи (геометрия)
Математика
проективная геометрия
проективное пространство
решение задач
-
http://books.altspu.ru/files/original/72/60/cover.png
6be6477521255c504ae62a8d2ecc8321
http://books.altspu.ru/files/original/72/60/lvova.pdf
a8c2bd36a603581fe53849ce7db0a2d7
PDF Text
Text
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Об издании - 1, 2, 3.
ISBN 978-5-88210-822-8
�УДК 514(075)
ББК 22.151я73
Л891
Львова, Л.В.
Геометрия. Преобразования и построения [Электронный
ресурс] : учебное пособие / Л.В. Львова. – Барнаул : АлтГПУ,
2016.
ISBN 978-5-88210-822-8
Учебное
пособие
написано
в
соответствии
с
государственными образовательными стандартами для
математических и физико-математических факультетов
педагогических институтов по разделам «Преобразования
плоскости» и «Геометрические построения на плоскости».
Изложение теоретического материала сопровождается
многочисленными
примерами
решения
задач.
Адресуется студентам, обучающимся по направлению
«Математика и информатика».
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 24.03.2016 г.
Деривативное издание
Текстовое (символьное) электронное издание
Системные требования:
1. ПК с процессором Pentium 133 или более мощным.
2. Операционная система Microsoft Windows (для работы с
русским интерфейсом операционная система должна
обеспечивать поддержку кириллицы).
3. Требования к оперативной памяти зависят от используемой
операционной системы: для Windows – не менее 16 МБ.
4. Свободное место на жестком диске: 5-10 МБ.
5. Программа Adobe Reader 5.0 – 10.0, Adobe Acrobat 6.0, 7.0.
Об издании - 1, 2, 3.
© Алтайский государственный
педагогический университет, 2016
�Объём издания - 1 174 КБ.
Дата подписания к использованию: 23.05.2016
Федеральное г осударственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Алтайский г осударственный педагогический университет»
(ФГБОУ ВО «АлтГПУ»)
ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031
Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72
е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru
Об издании - 1, 2, 3.
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M
Φ f (M) = M ¸ g(M ) =
M ¸ h(M ) = M º
(h ◦ (g ◦ f ))(M) = h((g ◦ f )(M)) =
h(g(f (M))) = h(g(M )) = h(M ) = M
((h ◦ g) ◦ f )(M) =
(h ◦ g)(f (M)) = (h ◦ g)(M ) = h(g(M )) = h(M ) = M º
¸
M ∈ Φ
(h ◦ (g ◦
f ))(M) = ((h ◦ g) ◦ f )(M) ¸
¸ h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f º
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Φ f (M) = M º
(e ◦ f )(M) = e(f (M)) =
e(M ) = M = f (M) (f ◦ e)(M) = f (e(M)) = f (M)º
¹
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f ◦ e = fº
3◦ º
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µº
¸
¹
f −1 ¸
¹
f¸
M ∈Φ
f¸ º
M
f (M) = M
¸
Φµ
º
f
´
º
f
(M ) = M ¸
f
¸
¸
¹
−1
¹
´f
−1
M1 = M2
−1
(Φ) =
Φ
�f −1 (M1 ) = f −1 (M2 )µ
Φº þ
f
º
f (M) = M ¸
G
¸
M ∈Φ¹
f ∈ G ¹
º
−1
−1
(f ◦ f )(M) = f (f (M)) =
−1
−1
f (M ) = M = e(M)¸ (f ◦f )(M ) = f (f −1 (M )) = f (M) =
−1
M = e(M ) ¸
¸ f
◦ f = e f ◦ f −1 = e¸
−1
º º f
¹
fº
¸
G
º
¾º½ º
¹
º
¾º¾ º
H
H
G
G¸
¹
¹
¸
Gº
¾º¾ º ´
µº
H
¸
G
¸
¸
2
º
1º
f ∈ H¸
f ∈ H¸ g ∈ H¸
f −1 ∈ H º
¹
g ◦ f ∈ Hº
�H
º
º
Gº
1 ¸2
¹
¹
º
º
H
G¸
¹
1
2
Gº
¸
1
¸
Hº
1◦ − 3◦ º
1◦ º ü
H¸
Gº
2◦ º
f
¹
f
H
−1
f ◦ f = e¸
e ∈ Hº
−1
Hº
2
1 f −1 ◦ f ∈ H º
¸
G¸
Hº
∈ H
e
¸
3◦ º
¸
2
º
¹
¸
H
H
¹
�
¸
¿º½ º
¹
O ij
| i | | j | | i
| j | ½º
|
Oi j
¸
¹
¸
M
¹
(x, y)
O ij
M
¹
(x, y)¸
Oi j ¸
¹
º ½
º
¹
¸
º
¸ º
M¸ N
|M N | = |MN|º
M¸N
º
¹
º
M(x1 , y1 ) N(x2 , y2 )
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 º
|M N | =
(x2 − x1
)2
O ij º
|MN| =
M¸N
M¸ N
(x1 , y1)¸ (x2 , y2 )
¹
Oi j
+ (y2 − y1 )2 = |MN|º
�½◦ º
¹
º
f
º
O ij
¸
Oi j
¹
¸
¹
Ax + By + C = 0
´¿º½µ
¸
O ij º
M ∈
´¿º½µº
M = f (M)
¸
¹
M¸
¸
f( )
M ∈
Oi j
¹
´¿º½µ¸
º
¾◦ º
=
¸
f ( )º
σ
º
¸
σ
σ
Oi j
O ij
O ij
¸
f¸
º
Ax + By + C = 0¸
σ
¸
Ax + By + C > 0
¹
Ax + By + C < 0.
σ = f (σ)
´¿º¾µ
Oi j
´¿º¾µº
= f ( )º
¹
¹
¸
σ
¹
�¿º¾ º
A¸ B ¸ C ¸
´
µ
−→
AC
º
¸
¹
¹
−−→
BC º
(AB, C)
A¸ B ¸ C º
¸
−→
AC
(AB, C) = −−→ .
BC
¿◦ º
¹
º
f
O ij
º
¸
Oi j
O ij
C
¹
¸
¹
A(x1 , y1)¸ B(x2 , y2 )¸ C(x, y)¸
−→
AC
AB
λ = −−→º
CB
¸
¹
¸
x=
x1 + λx2
,
1+λ
A¸B¸C
y=
y1 + λy2
.
1+λ
A¸ B ¸ C
Oi j
C (x, y)
AB
´¿º¿µ
λº
(A B , C ) = (AB, C)º
½¼
´¿º¿µ
¹
A (x1 , y1 )¸ B (x2 , y2 )¸
C
λ = −(AB, C)¸
�¿º¿ º ý
C
A¸ B ¸ C
AB
¸
A
B¸
C
λ > 0º
◦
º
¹
º
◦
º
¹
¸
º
þ
◦
¸
½
◦
◦
◦
¸
¿ º
◦
º
º
f
O ij O i j
m
º
O ij
A1 x + B1 y + C1 = 0,
¸
¸
A2 x + B2 y + C2 = 0.
¸
¸
tg ( , m) =
¸
m
¸
A2 B1 − A1 B2
.
A1 A2 + B1 B2
m
Oi j
tg ( , m ) = tg ( , m)º
◦
¹
¹
¸
( , m ) = ( , m)º
¸
º
º
½½
¸
�º
A1 x + B1 y + C1 = 0
A2 x + B2 y + C2 = 0¸
m
A2 B2
=
.
A1 B1
´¿º µ
= f ( )¸ m = f (m)
´¿º ºµº
¸
mº
¿º½ º
¹
º
¿º
f
¹
a
−→
A = f (A)¸ B = f (B)¸ AB = aº
º þ
−−→
a =AB¸
a
¸
AB
º
a¸
¹
a¸
¾
◦
º
◦
º
¹
¸
¹
º
½¾
�¿º½ º
f
Oi j
O ij
∠(i, i ) = ϕ
O (x0 , y0 )Oij ¸
M(x, y)Oij
¹
¸
M (x , y )Oij
x = x cos ϕ − εy sin ϕ + x0 ¸
y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0 ¸
´¿º µ
ε = ±1º
¿º½
º
M
(x, y)
M
¹
M
Oi j
O ij º
¸
þ
¹
¸
¹
O ij
Oi j
M
º þ
(x, y)
´¿º µº
M¸
¹
´¿º µ
M
M
O ij º
¿º¾ º ´
O ij
µº
¹
¹
f
º
¹
M(x, y)
M (x , y )¸
f
´¿º µ¸
º
º
½¿
�−→
i = OA¸
O = f (O)¸ A = f (A)¸
Oi j ¸
−−→
j = OB º
B = f (B)¸
º
¹
O(0, 0)¸ A(1, 0)¸
B(0, 1)
´¿º µ
O (x0 , y0)¸ A (cos ϕ+x0 , sin ϕ+
y0 )¸ B (−ε sin ϕ+x0 , ε cos ϕ)+
y0 º
−−→
−−→
i = OA¸ j = OB
i (cos ϕ, sin ϕ)¸
j (−ε sin ϕ, ε cos ϕ)º
þ
i
j
i ⊥j ¸
i j = cos ϕ(−ε sin ϕ) + sin ϕ(ε cos ϕ) = 0¸
| i |= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1¸
| j |= (−ε sin ϕ)2 + (ε cos ϕ)2 = 1º
Oi j
º ¾
M
º
Oi j
(x1 , y1 )º
¹
º
−−−→
O M = x1 i + y1 j º
¹
−−−→
OM¸ i ¸ j ¸
O ij º
¹
(x cos ϕ−εy sin ϕ, x sin ϕ+εy cos ϕ) = x1 (cos ϕ, sin ϕ)+
y1 (−ε sin ϕ, ε cos ϕ)º
¸
x1 = x¸
Oi j
º
¿º¾
½
º
º
M
(x, y)º
f
¸
¿º½
y1 = y ¸
¹
�¿º¿ º
´¿º µº
ε = +1
¸
Oi j
O ij
ε = −1
¸
º
¿º
º
¹
¸
¹
¹
´¿º µ¸
ε = +1
ε = −1º
¸
¹
¸
¹
º
ï º
º½ º
¹
´
µ
¹
¸
¸
º
º
M¸N
M¸ N
M N = MN º
¸
º
º
½
¹
�º½ º
º
º½ º
¹
º
f
º
a ¸b
a
−−→
−−→
OA¸ b = OB¸
B = f (B) ´ º
¿º
a¸ b
−→
−−→
O a = OA¸ b = OB º
b
a =
A = f (A)¸
º
¹
º
−→
AB =
−−→ −→ −−→ −−→ −−→
OB − OA¸ A B = O B − O A º
º ¿
−→ 2 −−→ 2
−−→ −→ −→
AB = OB − 2OB OA + OA 2 ,
−−→ 2 −−→ 2
−−→ −−→ −−→
A B = O B − 2O B O A + O A 2 .
¸
f
−−→
−−→
−−→
−→
−−→
−→
|A B | = |AB|¸ |O B | = |OB|³ |O A | = |OA|º
−→ 2 −−→ 2 −−→ 2 −−→ 2 −→ 2 −−→ 2
AB = A B ¸ OB = O B ¸ OA = O A º
º
¸
−−→ −→ −−→ −−→
OB OA = O B O A ¸
º ab = a b º
½
¸
�º½ º
º
f
º
º þ
−→
−−→
OA¸ j = OB º
f (B) ¹
−−→
−−→
OA¸j =OB
¹
¹
O ij
i=
O = f (O)¸ A = f (A)¸ B =
O ¸ A¸ B ¸
i =
i¸ j º
¹
¸
¹
i j
¸
|i | |j | |i| |j|
Oi j
¹
º
M(x, y)
M = f (M)
M
¹
º
Oi j
º
¹
−−−→
OM =
(x1 , y1 )º
x1 i + y1 j º
¹
−−−→
OM i =
i¸
j º
−−−→
2
2
x1 i +y1 i j ¸ O M j = x1 i j +y1 j º
i 2=j 2=
1 i j =0´
µ¸
−−−→
−−−→
O M i = x1 ¸ O M j = y1 º þ
º
−−−→
−−→
2
x1 = O M i = OM i = (xi + y j) i = x i + y ij = x¸
i 2 = 1¸ i j = 0º ü
¸
y1 =
yº
¸
f
M(x, y)Oij
M (x, y)O i j ´
µ
º
º
½
½¸
�º¾ º
¹
¸
¹
º
º
¹
º
ï º
º½ º
¹
M
¸
¹
M
½µ
¾µ
MM ⊥
KM = KM
K = MM ∩
¸
º
S
º
¹
º
º½ º
º
º
O ij
j⊥i
þ
O∈ ¸
i
¸
M(x, y)
¹
¸
M (x , y )
º
K = MM ∩ º
−−→
−−→ −−→
OM = OK + KM ¸
−−→
−−→
−−→
OK = xi¸ KM = y j º þ
OM =
−−→ −−−→
¹
OK + KM ¸
¸
½
º
�¸
−−−→
−−→
KM = −KM º
¸
−−→
OM = xi − y j
x = x,
y = −y º
´ º½µ
´ º½µ
ε = −1¸ ϕ = 0◦ ¸ x0 = y0 = 0º
´¿º µ
¸
º
º½ º
¹
¸
¹
¸
¹
¸
º
º¾ º
P
¹
f¸
º
º
f (P ) = P ¸
P
º
1◦ º
¹
º
2◦ º
¸
¸
½
¹
º
�a
¿◦ º
K¸
a
¹
K¸
¸
a
◦
´
º
¹
µº
a
º
¸
a
¸
a
¸
º
◦
º
´
º
º
µº
º
º
º
◦
º
¸
º
º¿ º
Φ¸
S
º
◦
º
¸
O
¸
º
¾¼
�◦
º þ
¸
¹
º
◦
º þ
¹
¸
º
½¼◦ º þ
¸
¹
¸
¹
¸
º
ï º
º½ º
º
º
f¸ g
M¸ N
º
M = f (M)¸ N =
f (N) M = g(M )¸ N = g(N )º
f
¸
M N = MN ¸ ¸
g
¸
M N =
MNº
M N = MN ¸
M
N
M¸ N
g ◦ fº
¸ g◦f
º
¾½
�º¾ º
¹
¸
¸
º
f
º
¸
A¸ B ¸ C º þ ¹
M = f (M)º
M
M
º
¹
M = M¸
¹
M¸
f (A) = A¸ f (B) = B ¸
¸
M = Mº
f (C) = C ¸
f
¸
AM = AM ¸ BM = BM ¸ CM = CM º
¸
A¸ B ¸ C
MM ¸ º º
º
¹
¹
¸
¸
M
¹
M = M¸
f
¸
¹
º
º¿ º
¹
¸
¹
¸
¹
º
f
º
B ¹
M ∈
/ AB
A¸
º þ
M = f (M)º
A¸ B ¸ M
f
º¾
º
º
¾¾
M = M¸
�M¸
M = Mº
f ¹
AM = AM ¸ BM = BM
MM º
A∈
¸
¸
B∈
¸
A
Sº
S (B) = B ¸
S (A) = A
¸
MM
¸
º
M
º½ µ¸
B
MM
¹
´
¹
M
¹
S ◦ fº
¹
A¸ B ¸ M
(S ◦ f )(A) = S (f (A)) =
S (A) = A¸ (S ◦f )(B) = S (f (B)) = S (B) = B ¸ (S ◦f )(M) =
S (f (M)) = S (M ) = M º
¸
A¸ B ¸
M
¸
¸
¹
S ◦f ¸
º½
º
º¾ S ◦ f = e¸ e
¹
º
S = S ◦ e = S ◦ (S ◦ f ) = (S ◦ S ) ◦ f =
e ◦ f = fº
¸
f
¹
S¸
= AB º
º
º
º
¹
¸
¹
¸
¹
¸
º
f
º
A
M¸
º þ
A¸
f (M) = M
º¿
M = M¸
fº
º
f
e
¾¿
¹
�Sm ´m = AM µº
M = Mº
f
¸ A ∈ ¸
¸
º
AM = AM ¸
¸
¹
¸
¹
MM º
S ◦f
A M (S ◦ f )(A) = S (f (A)) =
S (A) = A¸ (S ◦ f )(M) = S (f (M)) = S (M ) = M º
¹
¸
A M
S ◦ f¸
´
º½ µº
¹
º¿
¹
e
Sm ´m = AM µº
S ◦ f = e¸
S ◦ f = Sm º
f = S ´ º
º¿ µº
S ◦ (S ◦ f ) = S ◦ Sm º
¹
(S ◦ S ) ◦ f = S ◦ Sm º
S ◦S = e
f = S ◦ Sm ¸
e ◦ f = f¸
∩m=A º
º
º ´
µº þ
¹
º
f
º
¸
º
º þ
M
M = M¸
f (M) = M
f
¹
º
¹
¸
¹
¹
º
¸
MM
S ◦ f¸
M = Mº
M¸
¾
�º
¸
e ,
S ◦ f = Sm ,
Sm ◦ Sp .
S ◦ f = e¸ ¸
S ◦ f = Sm ¸
f = S ◦ Sm ´ º º µº
S ◦ f = Sm ◦ Sp ¸
f = S ◦ (Sm ◦ Sp ) ´
½º
¾º
¿º
º¿ ¸
f =S
º
µº
ï º
º½ º
¸
Ta ¸
a¸
¸
M
¹
−−−→
MM = aº
M
º
½º
aº
¸
a = 0¸
Ta
º
þ
¹
Ta ¸
a = 0º
¾
�þ
º
Ta
º þ
O ij
y − y = a2 º
a(a1 , a2 )º þ
M(x, y)
M = Ta (M)º
(x , y )
¹
−−−→
Mº
MM (x − x, y − y)º
¹
¸
x − x = a1 ¸
x = x + a1 ,
y = y + a2 º
´ º½µ
þ
¸
´ º½µ¸
¹
a(a1 , a2 )º
¸
´ º½µ
Ta º
º½ º
¹
º
º
´ º½µ
´¿º µº
´¿º µ
ε = +1¸ ϕ = 0¸ x0 = a1 ¸ y0 = a2 ¸
´ º½µº
¸
¹
¸
º
º½ º
¹
¸
¸
¹
¸
¸
º
¾
�½◦ º
´
µ
º
¾◦ º
¸
¸
º
¿◦ º
¸
¸
¹
º
Ta
º
¸
¹
¹
aº
= Ta ( )º
¹
½
º þ
K ∈
¸
K
L ∈
L
º
¹
¸
¸
¹
−−→ −−→
KK = LL
º
◦
−−→
−−→
KK = a¸ LL = aº
¹
KK L L
¸
KL||K L ¸ º º || º
º
¸
¹
º
◦
º
º
Tb ◦ Ta = Ta+b º
¾
�M
º
−−−→
−−−→
M1 = Ta (M)¸ M = Tb (M1 )¸
MM1 = a¸ M1 M = bº
−−−→
(Tb ◦ Ta )(M) = Tb (Ta (M)) = Tb (M1 ) = M
MM =
−−−→ −−−→
MM1 + M1 M = a + b¸ º º M = Ta+b (M)º
M
¸
Tb ◦ Ta = Ta+b º
◦
º
Ta −1 = T−a º
º
M = Ta (M)¸
−−−→
MM = a
Ta
M
−−−→
M M = −aº
Ta −1 (M ) = M º
º
¹
¸
¹
¸
a¸
−aº
ï º
º½ º
a
b
−→
−−→
OA = a¸ OB = bº
OA
OB
¸
º¾ º
´
a
µ
a
b¸
a
{a, b}
{a, b}
b¸
º
¾
¸
−
¸
¹
b
�a
b¸
¹
0¸
º
a ↑↓ b¸
−π º
∠(a, b)
(a, b)
a bº
¸ −π < ∠(a, b)
πº
º¿ º
ϕ
RO
¸
¸
O
¹
ϕ
¸
M
½µ
¾µ
¹
OM = OM
∠MOM = ϕ
M
´
¹
µº
þ
º
O ij
¹
¹
ϕ
RO
¹
¸
º
M
ϕ
M = RO (M)
M(x, y)¸ M (x , y )º
þ
þ
−−→
−−→
∠(i, OM)¸ α = ∠(i, OM )º
¹
α
=
º ½¼
−−→
−−→
x = |OM| cos α¸ y = |OM| sin α¸
−−→
−−→
x = |OM | cos α ¸ y = |OM | sin α º
OM = OM
−−→
−−→
∠(i, OM ) = ∠(i, OM) + ∠MOM ¸
¾
∠MOM = ϕº
α = α + ϕº
�−−→
x = |OM| cos(α + ϕ) = OM(cos α cos ϕ − sin α sin ϕ) =
= (OM cos α) cos ϕ − (OM sin α) sin ϕ = x cos ϕ − y sin ϕ¸
−−→
y = |OM| sin(α + ϕ) = OM(cos α sin ϕ + sin α cos ϕ) =
x sin ϕ + y cos ϕ¸
º
º
x = x cos ϕ − y sin ϕ,
y = x sin ϕ + y cos ϕ.
f
¸
´ º½µº
´ º½µ
¸
f
¹
ºþ
M(x, y)
M (x y )º þ
OM OM
2
2
OM = x + y
OM = x 2 + y 2 =
= (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + (x sin ϕ + y cos ϕ)2 =
¸ OM = OM º
M = f (M)¸
x2 + y 2 º
MOM
−−→ −−→
OM OM
xx + yy
−−→ −−→
cos MOM = cos (OM, OM ) = −−→ −−→ = 2
=
x + y2
|OM| |OM |
x(x cos ϕ − y sin ϕ) + y(x sin ϕ + y cos ϕ) (x2 + y 2) cos ϕ
=
=
=
x2 + y 2
x2 + y 2
= cos ϕ
∠MOM = ϕº
ϕ
M = RO
(M)
ϕ
f = RO
º
¸
M
¹
¸
¸
¸
¸
´ º½µ
ϕº
¿¼
�º½ º
º
º
´ º½µ
´¿º µº
¸
¹
ε = +1¸ x0 =
¸
y 0 = 0¸
¸
¸
¸
º
º½ º
¸
¹
¸
¹
¸
¸
º
½◦ º
º
¾◦ º
º
º
ϕ
RO
¸
º
¹
¸
=
ϕ
RO
(
OA
ϕ
A = RO
(A)º
A ∈
)
O
º
¹
´A
¸
∈
µ
¹
¹
OA = OA ¸
¿½
º ½½
�∠AOA = ϕ
∩
OA ⊥ º
OABA ¸
B =
º þ
A
¹
Aº
180 º
(180◦ − ϕ) = ϕº
◦
¿◦ º
¸
∠AOA + ∠ABA =
∠( , ) = 180 − ∠ABA = 180◦ −
◦
−1
(Rϕ
= R−ϕ
O)
O º
ϕ
M = RO
(M)
Mº
OM = OM
∠MOM = ϕº
ϕ −1
(RO
)
M¸
OM = OM
∠M OM = −∠MOM = −ϕº
¸
−ϕ
RO º
º
◦
º
M
¸
¹
ϕ
ϕ+ψ
Rψ
º
O ◦ RO = RO
M
º þ
M1 =
ϕ
RO
(M)
ψ
RO
(M1 )¸
¹
M =
OM = OM1 ¸ OM1 = OM
∠MOM1 = ϕ¸
ψ
ϕ
ψ
ϕ
∠M1 OM = ψ º
(RO ◦ RO )(M) = RO
(RO
(M)) =
ψ
RO
(M1 ) = M ¸
¸
¹
¸ OM = OM
∠MOM = ∠MOM1 + ∠M1 OM =
ψ
ϕ
ϕ+ψ
(RO ◦ RO ((M) = RO
(M)º
¸
¹
ϕ + ψ¸
O
ϕ ψ
¹
O
ϕ + ψº
¿¾
�ï º
º½ º
ZO
O
¹
M
¸
M
½µ
¾µ
M ∈ OM
OM = OM
Oº
¸
M
M
◦
180
ZO = RO
¸
¸
◦
½ ¼ º
º
º
¹
þ
º
O ij
¹
Z
¹
¸
M
¸ M = Z(M)
M(x, y)¸ M (x , y )º
¸
¹
−−→
−−→
¸
OM = −OM º
−−→
−−→
OM(x, y)¸ OM (x , y )¸
º ½¾
x = −x,
y = −y.
þ
´ º½µ
¹
´ º½µ¸
¿¿
�º
¸
´ º½µ
¹
º
S(x0 , y0)¸
¸
x − x0 = −(x − x0 ),
y − y0 = −(y − y0 ).
´ º¾µ
º½ º
¹
º
º
¸
´ º½µ
´¿º µ
ε = +1¸ ϕ = 180◦ ¸
x0 = y0 = 0º
¹
º
º½ º
¸
¸
¸
¹
¸
º
º
½ º
¹
◦
º
¿
�¾◦ º
¸
¸
º
¿◦ º
¸
¹
¸
¸
¸
¹
¹
¹
º
◦
º
¹
º
◦
º
¹
¸
º
¹
¸
º
◦
º
ZO ◦ ZO = eº
◦
º
−−→ º
ZO2 ◦ ZO1 = T2−
O1 O2
M
º þ
M1 = ZO1 (M)
M = ZO2 (M1 )º
−−−→
−−−→ −−−→
−−−→
O1 M1 = −O1 M ¸ O2 M = −O2 M1 º
−−−→ −−−→ −−−→
−−−→ −−−→
−−−→
MM = MM1 + M1 M = (MO1 + O1 M1 ) + (M1 O2 +
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
¸
O2 M ) = 2O1M1 + 2M1 O2 = 2O1 O2 ¸
Mº
¸ M = T −−−→ (M)º
2O1 O2
¸
M = (ZO2 ◦ ZO1 )(M)º
¸
¹
¿
�¹
º
ï½¼º
½¼º½ º
S ,a
Ta
S
a
º
S ,a = S ◦ Ta º
a ¸ S ◦Ta = Ta ◦S ¸
¸
ºþ
¸
¸
¹
¹
º
þ
S ,a
º
º
O ij
þ
¸
O ∈
a(a1 , 0)º
T
¸
i
º þ
M(x, y)
S
a
M(x, y) −→
M1 (x1 , y1 ) −→ M (x , y ).
º ½¿
Ta : x1 = x + a1 , y1 = y.
S : x = x1 , y = −y1 .
´½¼º½µ
¿
´½¼º½µ
´½¼º¾µ
´½¼º¾µ
�x = x + a1 ,
y = −y.
´½¼º¿µ
¸
¹
¸
´½¼º¿µ¸
¹
º
½¼º½ º
¹
º
º
¸
´½¼º¿µ
¹
ε = −1¸ ϕ = 0¸ x0 = a1 ¸ y0 = 0º
´¿º µ
½¼º½ º
¸
¸
¸
¹
¸
º
º
½◦ º
º
¾◦ º
¸
¸
¸
º
¿
�¿◦ º
¹
¸
¸
¹
¸
¹
º
◦
º
¹
¸
¹
ϕ¸
¸
ϕ¸
¹
´
µº
½
ï½½º
¹
N
½µ
¾µ
¿µ
µ
N
N
N
N
fº þ
= 0¸ f
= 1º f
=2
= 3º
¸
ï º
¸
0
N
S ◦ S = eº
¸
¿
3º
�½½º½ º
¹
¹
¸
¸
º
S
º
Sm ¸
mº
m
hº
þ
Mº
¹
M1 = S (M)¸ M = Sm (M1 )
¸ M = (Sm ◦ S )(M)º
¸
¹
MK = KM1
= MM1 ∩ µ¸ MM1 ⊥ M1 L = LM
´L = M1 M ∩ mµ¸ M1 M ⊥mº
¸
º ½
MM
−−−→ −−−→ −−→
M KL = hº
MM MM MK+
−−−→
−−→ −−→
−−−→
−−→
−−→
−−→
KL
KM1 · M1 L + LM
2KM1 + 2M1 L
2KLº þ
´K
º
¸
−
→ (M)º
M = T2−
KL
M¸
¹
¹
Sm ◦ S =
−
→º
T2−
KL
½½º¾ º þ
º
º
Ta º þ
K
⊥aº
K
þ
¿
¹
�KL
−−→
KL =
¸
m¸
½½º½
−−→
2KL = a¸
−
→º
Sm ◦ S = T2−
KL
1
2
aº
L
º
Sm ◦ S = Ta º
½½º¿ º
¹
¸
º
S
º
Sm ¸
¸
∩ m = Oº
m
αº þ ¹
Mº
M1 = S (M)¸ M = Sm (M1 )
¸ M = (Sm ◦S )(M)º
O
m¸
¸
º
¹
¸
º ½
OM =
OM1 ¸ ∠MOK = ∠KOM1 ´K = MM1 ∩ µ OM1 = OM ¸
∠M1 OL = ∠LOM ´L = M1 M ∩ mµº
¸ OM = OM ¸
MOM
∠KOL = α ´
M µº
2KOM1 + 2MOL
MOK + KOM1 · M1 OL + LOM
2α
2KOL 2αº
¸ M = RO (M)º
¹
2α
M¸
Sm ◦ S = RO º
¼
�º þ
½½º
º
ϕ
RO
º þ
º
¹
O
m
α
¸
ϕ
º
2
µ
½½º¾
Sm ◦ S =
2α
RO
2· ϕ
ϕ
= RO 2 = RO
º
N =3
½½º
º
¹
º
º
¸
¹
m¸ pº
Sm ◦ S = Ta ¸
½½º½
1
Ta
¹
¸
¸
Sp ◦Sm ◦S
e◦S
S
º
º
º
m¸
Sp ◦(Sm ◦S ) Sp ◦Ta
½½º
Ta = Sm ◦ S
º þ
¸
pº
Sp ◦(Sp ◦S ) (Sp ◦Sp )◦S
º
¹
º
º
½
�º
½½º
¹
¸
¹
¸
¸
¹
º
º
¸
m¸ pº
Sp ◦Sm ◦S
Sp ◦ Sm ◦ S = (Sp ◦ Sm ) ◦ S .
A = m ∩ p ϕ = (m, p)
m pº
A
Sp ◦ Sm
m ∩ p = A (m , p ) = ϕº
Sp ◦ Sm
´½½º½µ
m⊥
Sp ◦ Sm ¸
Sp ◦ Sm ¸
½½º¾
2ϕ
RA
º
½½º¿
¹
(Sp ◦ Sm ) ◦ S = (Sp ◦ Sm ) ◦ S = Sp ◦ (Sm ◦ S ).
´½½º¾µ
m
Bº
B
Sm ◦ S
m ⊥
º
Sm
¸
⊥p
◦S =
◦
2·90
RB
=
ZB º
Sp ◦ (Sm ◦ S ) = Sp ◦ (Sm ◦ S ).
´½½º¿µ
´½½º½ ¿µ
º ½
Sp ◦ Sm ◦ S = Sp ◦ (Sm ◦ S ) = (Sp ◦ Sm ) ◦ S .
¾
´½½º µ
�p m
¸º
Sp ◦Sm º
Sp ◦Sm = Ta ¸
¸
½½º½ µ
¸
¸
Ta ◦ S = S
a
a⊥p
⊥m
¸
´
¹
º
,a º
¹
¸
Sp ◦ Sm ◦ S = S
,a º
m p¸
º
Sm ◦ S
m
¹
Sm1 ◦ S 1 ¸
Sm ◦S = Sm1 ◦S 1 º
½½º
⊥p
1
m1 ¸
mº
¸
º
º þ
¹
º
S ,a
aº
1 Ta = Sp ◦ Sm ¸
º
Ta ◦ S ¸
Sp ◦ Sm ◦ S
º
½½º
º ´
S ,a =
S ,a =
p mº
µ
½µ
¾µ
¿µ
µ
´
µ
µ
º
¿
¸
¹
�¸
¸
´
¹
¸
¹
µ
¸
º
º
¹
º
ï½¾º
ÿ
þ コ
¸
¹
¾º½ º þ
´
e
¸
¹
f −1
fº
¹
¹
º
¸
¹
¸
½
¾
º
½¾º½ º
¸
¹
º
º
½ º
f
g
¹
º
¸
º
¸
º
¸
g◦f
f
�g
g◦f
¸
¸
´
¸
¾ º
g◦f
f
¹
¹
º½ µº
º
f
º
f −1
¸
º
½
¸
¾
f
−1
½¾º½ º ý
Φ
º
º
´
´Φ
¹
º
∼
= Φµ¸
Φ
Φ =Φ
¸
Φ
µ
f¸
Φº
¸
´
µ
¸
½µ
¾µ
¿µ
º
¹
º
Φ=Φ
Φ =Φ⇒Φ=Φ
Φ = Φ, Φ = Φ ⇒ Φ = Φ º
½¾º¾ º
¹
½µ
¾µ
¿µ
º
º
½µ
º
¸
¹
¸
º
¸
¹
�¸
º
¾µ
¿µ
´
◦
¸
º ¿¾µº
◦
¸
◦
¸
º ¾ ¸ ¾ µ
◦
´¿ ¸
�ÿ
¾
ソº
½¿º½ º
¹
O ij
| i |=| j |= k | i |= k | j |= k
¸
(x, y)
M
Oi j
´
Oi j
¸
¼µº
M
O ij
¹
(x, y)¸
¹
¸
kº
¹
¸
º
º
¹
¸
M¸ N
|M N | = k |MN|º
k¸
M¸N
º
º
¹
�O ij
º
N
M
M(x1 , y1 )¸ N(x2 , y2)º
|MN| =
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 º
M¸N
M¸ N
¹
¹
(x1 , y1 )¸ (x2 , y2 )
|M N | =
¹
Oi j º
−−−→ 2
MN =
º ½
((x2 − x1 ) i + (y2 − y1 ) j )2
(x2 − x1 )2 i
2
+ (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) i j + (y2 − y1 )2 j
k 2 (x2 − x1 )2 + k 2 (y2 − y1 )2 = k |MN|¸
k2 i j = 0 º
i
2
2
=j
2
º
½◦ º
º
¾◦ º
¹
¹
= f ( )º
¸
¿◦ º
º
◦
º
º
◦
º
¹
¸
º
=
�◦
º
¹
º
◦
º
¹
¹
º
º
º
◦
º
¹
¸
¹
º
þ
¸
º
ü
½¿º½ º
O ij
f
Oi j
k
¹
¸
∠(i, i ) = ϕ
M(x, y)Oij
O (x0 , y0 )Oij ¸
M (x , y )Oij
x = k(x cos ϕ − εy sin ϕ) + x0 ¸
y = k(x sin ϕ + εy cos ϕ) + y0 ,
ε = ±1º
´½¿º½µ
�º
M
¹
M
(x, y)
¹
Oi j
M
¸
¹
O ij º
O i1 j1 ¸
º ½
1
i1 = i ,
k
i1
þ
| i1 |=|
1
j1 = j .
k
´½¿º¾µ
j1
1
1
1
i |= | i |= k | i |=| i |,
k
k
k
| j1 |=| j | .
O ij
¸
O i1 j1
M
º
(x1 , y1 )
O i1 j1 º
þ
¹
¸
O ij
M
O i1 j1 º
þ
º
x = x1 cos ϕ − εy1 sin ϕ + x0 ,
y = x1 sin ϕ + εy1 cos ϕ + y0 ,
ε = ±1º
(x1 , y1 )
þ
´½¿º¿µ
M
¹
−−−→
OM
(x, y)º
{i1 , j1 }
{i , j }º
−−−→
1
O M = x1 i1 +y1j1 = x1
i
k
¸
+y1
¼
1
j
k
=
1
1
x1 i +
y1 j ,
k
k
�−−−→
O M = xi + y j .
−−−→
OM
{i , j }
1
x1 ,
k
x=
y=
x1 = kx,
1
y1 .
k
y1 = ky.
´½¿º µ
´½ º µ
´½ º¿µ¸
(x, y)
´½¿º½µº
M¸
´½ º½µ
¹
M
M
O ij º
½¿º¾ º ´
µº
f
¹
M(x, y)
M (x , y )
¹
O ij ¸
M
¹
M
f
´½¿º½µ¸
º
¹
¾
º
½¿º½
½¿º¾
½¿º¿ º
¹
´½¿º½µº
ε = +1
¸
Oi j
O ij
¸
º
½
ε = −1
¹
�½¿º¾ º
¹
¸
´½¿º½µ¸
ε =
+1
ε = −1º
¸
¸
¹
º
þ
º þ
½¿º
º
º
¹
¸
k > 0¸
kº
½¿º½ º
f
¹
¸
¹
¹
k > 0º
a b
a b = k 2 a bº
¸
¹
a
b
¹
½¿º
¹
¹
´
º
º½ ¸
º½ µº
¾
�½¿º
¹
¹
º
½¿º¿ º
k>0
¹
¸
¹
kº
¸
ï½ º
ÿ
½ º½ º ÿ
O
k=
0
¸
M
M
−−→
−−→
OM = k OM.
´½ º½µ
º ¾¼
º
HOk
¹
O
kº
¿
�½ º¾ º ÿ
Φ
Φ = HOk (Φ)º
M
½µ
M
¹
Oº
M
¾µ
¿µ
µ
M
k > 0¸
O¸
k < 0º
OM =| k | OM º
¸
k=1
k = −1
º
þ
ºþ
Oi j
¸
º
HOk º
M (x , y )
−−→
−−→
OM(x, y) OM (x , y )º
¹
M(x, y)
M
¹
´½ º½µ
x = kx,
y = ky.
x0 , y − y0 )
−−→
SM (x − x0 , y − y0 )º
´½ º¾µ
S(x0 , y0)¸
−−→
SM (x−
¹
�S
x − x0 = k(x − x0 ),
y − y0 = k (y − y0 ).
¸
¸
´ µ
´½ º¿µ
´½ º¿µ
x = kx + a,
y = ky + b.
ý
¹
a = x0 − kx0 ¸ b = y0 − ky0 ¸
´½ º µ
´ µ
¸
´
k = 1µº
M¸ N
M¸N
−−−→
−−→
M N = k MN .
´½ º µ
º þ
−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→
MN = ON − OM ¸ M N = ON − OM ¸
−−→
−−→ −−→
−−→
OM = k OM ¸ ON = k ON
−−−→ −−→ −−→
−−→ −−→
−−→
M N ON − OM k (ON − OM) k MN º
½ º½ º ÿ
¹
k
M N = |k| MN º
| k |¸
¹
−−−→
−−→
| M N |=| k | | MN |
�½ º¾ º
−−−→
−−→
M N ↑↑ M N ¸
−−−→
−−→
M N ↑↓ M N ¸
k > 0¸
k < 0º
½ º¿ º ÿ
¸
¹
º
½◦ º ÿ
¹
º
¾◦ º ÿ
¸
¸
¸
º
¹
¸
¹
¸
º
´k
¿◦ º ÿ
= 1µ
¹
¸
¸
¸
º
¸
º
¹
�◦
º
ÿ
¹
¸
¹
¸
¸
¹
r = | k | rº
◦
º þ
¹
¸
¸
¸
¸
º
ω(A, r)
º
º
ω
A K1 AK ¸ A K2
K K1
K K2
O1 = AA ∩KK1 ¸
O2 = AA ∩ KK2
¹
k1
k2
HO 1
HO 2 ¸
K
K
K1
K2 º
ω (A , r )
AK
AK
ω¸
AA ¸
º
¹
¹
º ¾½
A
¸
A¸
−−−→
−−→
A K1 ↑↑ AK ¸
k1 =
þ
−−−→
−−→ −−−→
−−→
A K1 = k1 AK ¸ A K2 = k2 AK
−−−→
−−→
A K2 ↑↓ AK ¸
r
,
r
r
k2 = − .
r
¸
k1
k2
´½ º µ
HOk11
HOk22 ¸
¹
´½ º µ¸
�ω
◦
º
ωº
1
k −1
(HO
) = HOk
º
HOk (M)¸
M =
−−→
−−→
OM = k OM
1
k
M = HO (M )
M
1
k
(HOk )−1
º
1
k
º
−−→
OM º
¸
M = (HOk )−1 (M )¸
¸
(HOk )−1 (M ) = HO (M )
◦
−−→
OM =
M
º
¹
1
k
= HO º
k2
k1
k1 k2
HO
◦ HO
= HO
º
HOk1
O
M
º
M1 = HOk1 (M) M = HOk2 (M1 )º
M = (HOk2 ◦ HOk1 )(M)º þ
¹
−−→
−−−→
−−→
−−→
OM = k2 OM1 k2 (k1 OM) (k2 k1 ) OM º
¸
M = HOk1 k2 (M)
M
HOk2 ◦ HOk1 (M) = HOk1 k2 (M)º
¹
º
HOk2
º
◦
º
k2
k1
HO
◦ HO
=
2
1
k1 k2
HO
,
Ta .
º
´½ º µº
¹
¸
�¸
¸
k1 k2 = 1µ
´
◦
¹
k1 k2 = 1µ¸
´
º
º ÿ
¹
º
H
º
´½ º¾µ
∆=
k 0
= k 2 > 0.
0 k
∆ > 0
º
´
µº
A¸ A
O ∈ AA
Mº
M
º
½µ
¾µ
¿µ
Mº
º
OM = ¸ AM = m
m m¸ A ∈ m
M = ∩m
º
º
H
O¸
A
M = ∩m¸
H( ) = ¸
A ∈ m A ∈ m
H(M) = H( ∩ m)
º ¾¾
Aº
¾
◦
◦
¿
O∈
H( ) ∩ H(m)
¹
´
¸
º ï½ ºµ
H(m) = m ¸
º
∩m = M
º
�º þ
B
B
M ∈ OA¸
¸
B∈
/ OA
¸
B
¸
A
¸
A¸
M
º
ï½ º
½ º½ º þ
¹
k
¹
º
Pk
º
O
ºþ
H
O
º
H
−1
¹
k¸
H
¹
¹
1
º
k
f = P k ◦ H −1
¹
¸
M N
−1
M1 = H (M)¸ N1 = H −1 (N) M = P k (M1 )¸
º
N = P k (N1 )º
¹
M1 N1 =
1
MN,
k
¸
N = f (N)
º
M
M N = k M1 N1 .
M N = MN º
N
f ◦H
(P k ◦H −1 )◦H
¼
M = f (M)¸
¸
f
k
−1
P ◦(H ◦H)
�Pk ◦ e
P kº
ï½ º
ÿ
½ º½ º
¹
¹
¸
º
º
k1
P
k1
½ º
P
k2 ¸
k2
¹
P k2 ◦ P k1
k1 k2 º
¹
¸
´
º
P
k2
k1
¹
¾º½ µº
¹
◦P
M
N
k2
k1
k2
k1
M = (P ◦ P )(M)¸ N = (P ◦ P )(N)
¹
k1
M N = k2 k1 MN º
M1 = P (M)
N1 = P k1 (N)¸
M = P k2 (M1 )¸ N = P k2 (N1 )º
¹
M1 N1 = k1 MN ¸
M N = k2 M1 N1 º
M N = k2 k1 MN
P k2 ◦ P k1
º
k
¾ º
P
º
Pk
k¸
¹
k −1
(P )
1
k −1
º
¸ (P )
¹
k
¸
1
º
k
½
¾
º
¸
¸
º
½
¸
¸
¹
¹
�½ º½ º ý
Φ
¸
Φ¸
Φ ∼ Φ¸
¸
Φ
¹
Φº
½ º¾ º
¹
º
º
½µ
¾µ
¿µ
¸
Φ∼Φ´
µ
Φ ∼Φ ⇒ Φ∼Φ ´
Φ ∼ Φ¸ Φ ∼ Φ ⇒ Φ ∼ Φ
¹
µ
´
µº
¸
¸
¸
¸
¹
¸
¹
º
½ º¾ º
º
¾
�½ º¿ º
½µ
¾µ
¿µ
µ
º
º ½µ
´
¸
½¾º¾ µ
º
¾µ
¿µ
◦
◦
´
¸
º ¾ µ¸
´
◦
º
´
µ¸
½
◦
¸
¾
◦
´
º
º ¾ µ
¸
¸
¸
◦
¸
µ
◦
´½ º µ
ï½ º
¿
´ º½µ
µ
�ÿ
¿
ü
ï½ º
ü
½ º½ º
O e1 e2
O e1 e2
º
¹
M
¸
(x, y)
M
O e1 e2 ¸
¹
O e1 e2
(x, y)¸
¹
¹
º
º ¾¿
¸
¹
º
¹
�º
¸
´
¹
º コµ
º
½◦ º ü
º
¾◦ º ü
¹
¹
= f ( )º
¸
¿◦ º ü
¹
º
◦
ºü
¹
¸
◦
º
ºü
¹
¹
º
½ º½ º ü
¹
¹
º
�◦
ºü
¹
¸
¹
º
þ
½
◦
¸
◦
◦
¸
º
º ü
¹
¸
º
¸
º
f
AB ¸ CD
AB¸ C D
A = f (A)¸ B = f (B)¸ C = f (C)¸ D = f (D)º
◦
¹
¸
◦
½
¸
¸
º
º
AB
µ
CD
º
D
C
BD ¸
AB
−−→ −−→
F B = CD ¸
¹
B
¹
¸
¹
Fº
¹
º ¾
¹
CF BD º
◦
F = f (F )º
¹
�−−→ −−→
F B =CDº
CFBD
þ
¹
¿º¾
−−→
AB
(A F , B ) = −−→ .
FB
−→
AB
(AF, B) = −−→ ,
FB
¹
´
(AF, B)º
¸
−−→
−−→
AB
AB
−−→ = −−→ = (A F , B ) = (AF, B) =
CD
FB
µ
A¸ B ¸ C ¸ D
A¸ B¸ C ¸ D
þ
(A F , B ) =
µ¸
−→
−→
AB
AB
−−→ = −−→ .
FB
CD
º
º
¹
E∈
/
¹
m
m
E
−−
→
−−→
EG = CD º
¹
E = f (E)¸ G = f (G)¸
m = f (m)º
E ∈ m¸
G ∈ m¸ m
¸
−−→
−−→
º ¾
¹
EG = CDº
µ ´ = mµ
−−→
−→
AB
AB
−−→ = −−→ .
EG
EG
−−→ −−→ −−→
EG CD ¸ E G
º
−−→
−−→
AB
AB
−−→ = −−→ .
CD
CD
−−→
CD
¹
�½ º¾ º ü
¹
º
½ º½ º
¹
´
A¸ B ¸ C
µº
A¸B¸C
º
A
¸
º
−−→ −−→
{A , A B , A C }º
¹
A¸ B
B¸C
C
º
º
−→ −→
R = {A, AB, AC}
R =
¹
fº
f
¹
A A¸ B B¸ C C ¸
A(0, 0)R A (0, 0)R ¸
B(1, 0)R B (1, 0)R ¸ C(0, 1)R
C (0, 1)R º
º ¾
º
º
¹
f
g¸
¹
A
A¸ B B¸ C Cº þ ¹
M
−−→
M = f (M)
M = g(M)º
M(x, y)R º
AM
−→
−→
−→ −−→
−→ −−→
xAB + y AC º
xAB = AM1 ¸ y AC = AM2 º
¹
AM1 MM2
º
◦
A M1 M M2
�g¸
g(M2 )¸
M1 = g(M1 )¸ M2 =
◦
¸
−−−→
−−−→
−−→
−−→
A M1
AM1
A M2
AM2
−−→ = −→ = x, −−→ = −→ = y.
AB
AC
AB
AC
−−−→
−−→ −−→
A M = xA B +y A C ¸ º º
M (x, y)R º
f
R R¸
M (x, y)R
¸
¹
¸
M
M
f (M) =
M
¹
f = gº
Mº
g(M)º
¸
½ º¿ º
¹
f
R
R¸
¹
R1
R1 ¸
R1
¸
R1 = f (R1 )
º
½ º¾ º
¹
f
O e1 e2
O e1 e2 ¸
e1 = a1 e1 + a2 e2 ¸ e2 = b1 e1 +
b2 e2
O (x0 , y0 )Oe1 e2 ¸
M(x, y)Oe1 e2
M (x , y )Oe1 e2
¹
x = a1 x + b1 y + x0 ,
y = a2 x + b2 y + y0 ,
∆
a1 b2 − a2 b1 = 0º
´½ º½µ
�º
¹
M
(x, y)
M ¹
M
O e1 e2 ¸
O e1 e2 º
þ
¸
O e1 e2
O e1 e2
¹
M
º þ
(x, y)
´½ º½µº
M¸
¹
´½ º½µ
M
M
¹
O e1 e2 º
½ º¿ º
´
µº
¹
f
M(x, y)
M (x , y )
¹
O e1 e2 ¸
M
M
´½ º½µ¸
f
¹
º
¸
½ º¾
½ º
º
½ º¿
º ü
´½ º½µº
¸
∆>0
O e1 e2
¸
º
¼
O e1 e2
∆<0
¹
�½ º¾ º ü
¸
´½º½ º½µ¸
¹
∆>0
¹
∆ < 0º
º ü
¸
¹
¹
º
ï½ º
½ º½ º
¹
´
µ
¹
´
µ
xx¸
´
xxµ
k
M
¸
M
½µ
¾µ
MM
−−−→
−−→
XM = k XM ¸
¹
X = MM ∩ xxº
º ¾
½
�k > 0¸
½µ
xx¸
¸
M
M
k < 0¸
M
¾µ
M
¹
´
⊥xx
k = −1µº
þ
º
¹
O e1 e2
xx¸ e2
e1
¸
¸
O ∈ xx¸
M(x, y)
M (x , y )
¹
−−→
rº
OM = xe1 + y e2 =
−−→ −−→ −−→
−−→ −−−→
OX + XM ¸ OM = OX + XM =
−−→ −−−→
OX + k XM = xe1 + kye2 º
−−→
¸ OM = x e1 + y e2 º
º ¾
x = x,
y = ky.
´½ º½µ
þ
¹
´½ º½µ¸
¹
´
µº
½ º½ º
¹
º
º
¸
´½ º½µ
¹
¹
´½ º½µ
¾
¸
�´½ º½µ
b2 = k ¸
a1 = 1¸ b1 = a2 = 0¸ x0 = y0 = 0
´½ º½µº
½ º½ º
¹
¸
¹
¸
¹
¸
¸
¹
º
º
½◦ º
¹
¹
º
¾◦ º
¹
¸
¸
º
¿◦ º
¹
¸
¸
¹
º
½ º¾ º
Φ
º
¿
Φ
�◦
º
¸
◦
º
º
¸
¸
º
½ º¿ º ÿ
a
¸
¹
b
¹
a
a
¸
b
b
º
º
◦
º þ
¹
º
º
r
¹
xx
¹
¸M
M = r(M)
º
p
¹
MM
ω(O, OM)º þ
xx
X Yº
a = XM ¸ b = Y M
a = XM ¸ b = Y M
º ¾
¸
¹
¸
º
�a = r(a)
º
º
b = r(b)º
ω¸
a ⊥b º
a⊥b
¸
XY
∠XMY = 90◦
¸
∠XM Y = 90◦ ¸
p
xx
p xx¸
MM ⊥xxº þ
a b
a = MM ¸
b
M
xx
a = a b bº
xx¸ M M
r
ºþ
Oº
p
þ
¸
¹
¹
xxº
º
´
º
µº
xx
Mº
¸
º
M
¾µ
¿µ
µ
µ
¸
Mº
º
AM
X = AM ∩ xx
XA
m AA ¸ M ∈ m
M = XA ∩ mº
º
¸
º ¿¼
M¸
¸
¸
XA¸
¸
º
A
¸
º
½µ
A
º mº
AM xxº
¸
M
¸
º
º
XA ¸ ¸
M
Mº
¹
¹
¸
AM
AA ¸
xx¸
�ï½ º
ÿ
½ º½ º
º
º
f
½ º
g
¸
¹
R
R ¸ R1
R1
R1 º
½ º¿
R1
R R º ¹
R = f (R) R = g(R )¸
R = (g ◦ f )(R)º
¹
¸
M
M(x, y)R º
M = f (M) M = g(M )¸
¸
f g
¸
M (x, y)R M (x, y)R º
M = (g ◦ f )(M)
¸
¹
Mº
¸ g ◦ f
¸
R R º
¾ º
f
¸
¹
R Rº
¹
f −1
R
Rº þ
M
M =
M = f (M)º
f
¹
f −1 (M )º
¸
M(x, y)R
M (x, y)R º
¸
¹
−1
f
¸
f¸
f −1
º
º
¸
¹
¹
º
�½ º½ º ý
Φ
¸
Φ¸
¹
¹
¸
Φ
¹
Φº
½ º¾ º ü
¸
º
º
¸
¹
º
ü
¹
¸
¸
º
º
¹
¹
¸
¹
¸
º
º
¸
¸
¸
¸
º
¸
¸
¸
¸
¸
º
½ º¿ º
¹
½µ
¾µ
¸
¹
�¿µ
¹
´
µº
º
ï¾¼º
¹
º
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¹
º
f
Ψ
´Ψ = Φ1 ∩ Φ2 µ
Φ1 ¸ Φ2
Ψ = f(Ψ)¸ Φ1 = f(Φ1 )¸ Φ2 = f(Φ2 )¸
f(Ψ) = f(Φ1 ∩ Φ2 ) = f(Φ1 ) ∩ f(Φ2 ) = Φ1 ∩ Φ2 = Ψ .
º
½º
AB
¸
¸
O
¹
¹
º
º
¸
¹
O
AB º
A
m⊥
M =m∩ ¸
¹
¹
º ¿½
¹
�B
p⊥
Z
¾
¸
P = p∩
Oº
= Z( )º
◦
m
º
¹
O∈
AO = OB ¸
B = Z(A)
p
¹
A Bº
p = Z(m)º
Z(M) = Z(m ∩ ) = Z(m) ∩ Z( ) = p ∩ = P º
¸ M
P
O
º
Z(AM) = BP º
¹
¸
AM = BP º
¾º
BA BC
ABC
a a ¸ K = a ∩ BA¸ L = a ∩ BC ¸
L = a ∩ BC ¸ K = a ∩ BA¸
L = a ∩ BC º
K
K
b b¸
L L
¹
◦
¿
c cº
PP ¸
¸
P = b∩c
P = b ∩c ¸
Bº
º
K
º ¿¾
H
K = H(K)º
B
¹
◦
¾
º
b = H(b)¸
K K
H(L) = H(a ∩ BA) H(a) ∩ H(BA)
Lº
c c
L L¸
¸
◦
¿ ¸
c = H(c)º
¸
H(P ) H(b ∩ c) H(b) ∩ H(c) b ∩ c P ¸ º º
B ∈ PP º
¿
◦
¹
a = H(a)
º
¹
a ∩ BA =
P
P
�¿º
¸
¹
¸
¸
¹
¸
¹
º
f¸
º
ABCD
ABC Dº
¹
¹
þ
º ¿¿
¹
ADE
´E = AB ∩ CD ¸ E = A B ∩ C D µº
¸
ADE
¹
¸
S¸
ADE¸ º
K
BC
ADº
¹
EK
º
AD
´
K
BC
AD
¸
ADº
ABC Dµ
ABCD º
AD¸
EK¸
¹
º
S(B ) = S(A E ∩B C ) = S(A E ) ∩
B
C
¹
S(B C ) = D E ∩ B C = C ¸ º º
EKº
¸
L =
B C ∩E K
BC¸ ¸
¸
L
BC
ABCD ¸
¼
�L ∈ EK º
¹
S(B ) = C
º
S(D ) = A ¸
BD
CA
F = BD ∩CA
F = BD ∩ CA¸
f
EK º
¸
¸
E = AB ∩ CD ¸ F = BD ∩ AC ¸ K
BC
º
½
EK
º þ
¹
F
¸
¹
AD
L
�ÿ
ÿ
ï¾½º
º ü
þ
¸
¹
¸
º
¹
¸
¹
º
1◦ º
2◦
º
´
µ
¸
¹
º
3◦ º
¸
¹
¸
º
4
◦
5
◦
º
¸
º
º
¸
¹
¸
º
6
◦
º
¹
¸
7◦ º
º
¸
º
8◦ º
¸
º
¾
¹
�7◦
ü
¸
8◦
¸
¹
¸
¹
º
¸
¹
¸
¹
¸
¸
¸
¸
¹
º
¹
¸
º
¹
¸
º
ü
1◦ µ
¸
2◦ µ
¸
3◦ µ
¹
¸
¹
º
º þ
1
4◦
◦
¸
3◦
ü
2◦
2◦ º
º
1◦ µ
¸
¹
¸
´
µ
2
◦
µ
¹
¸
º
º ü
¹
¸
¿
ï¾ º
�½º
¸
º
¾º
¸
¹
º
¿º
¸
º
º
¸
¹
¸
º
º
¹
¸
º
º
¸
¸
¹
º
º
º
º
º
º
¸
¸
¹
¸
¸
¸
º
½¼º
¸
º
ï¾¾º
º
¸
¹
¹
¸
¹
¸
´
¹
¸
µº
¸
º
¹
�¸
¸
¹
¸
¸
º
¹
¹
¸
¸
º þ
¸
¹
º
¸
º
¹
¸
¹
¹
º
¹
º
¹
¸
º
º
¹
¸
¸
¹
º
¸
½º
¸
¾º
º
¸
º
¿º
¸
º
º
´
¹
µº
º
¸
¹
¸
º
º
¸
¹
�¸
º
º
¸
¸
¹
º
º
µ
µ
µ
º
º
¹
µ
µ
µ
µ
µ
º
½¼º
¹
º
½½º
¸
¸
¹
¹
º
½¾º
¹
º
½¿º
¹
º
﾿º
º
�Φ10
ω(O, r)¸
´
aµ
O
¸
¹
¹
r
a
º
2
a¸ ω(O, r)º
¸
Φ10 º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
A∈ω
ω (A, a)
B ∈ (ω ∩ ω )
C ∈ AB ¸ AC = CB
ω1 (O, OC) = Φ10 ¸
r2 −
OC =
Φ12
º ¿
a2
º
4
´
¸
¹
¸
ω¸
O
r
√
aµ
a2 + r 2 º
¹
a¸ ω(O, r)º
Φ12 º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
P ∈ω
P E⊥P O
Q ∈ P E¸ P Q = a
ω (O, r )¸ r = OQº
ω = Φ12 ¸
r
Φ13 ´
ω(O, r)
√
r 2 + a2 º
º ¿
¸
¹
ϕµ
O
r¸
r
¹
�ϕ
2
¸
´r
= r/ sin
ϕ
µº
2
ω(O, r)¸ ϕº
Φ13 º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
P ∈ω
P E⊥P O
ϕ
ϕ
◦
µ 90 −
2
2
∠P OF = 90◦ −
ϕ
2
Q = P E ∩ OF
ω (O, r )¸ r = OQº
ω = Φ13 ¸
r =
r
º
sin ϕ2
º ¿
ϕ
∠P QO =
2
Φ14 ´
AB
¸
¹
ϕµ
´
¹
µ
r=
a
º
2 sin ϕ
ϕ¸ AB = aº
Φ14 º
º
∠BAC = ϕ
¾µ AD⊥AC
¿µ S ∈ AB ¸ AS =
SB ¸ SE⊥AB
µ O = AD ∩ SE
½µ
º ¿
¹
�µ
µ
µ
µ
O = SAB (O)
ω(O, r)¸ r = OA
ω (O , r)
AGB∪
AG B
´G ∈ ω ¸ G
C
G = SAB (G)µº
AGB∪
AB ¸
AG B = Φ14 ¸
r=
a
º
2 sin ϕ
Φ15
´
a
: cos(90◦ − ϕ) =
2
¸
¹
A
m¸ nµ
B
ü
º
AB º m¸ nº
Φ15 º
º
AX
¾µ C ∈ AX ¸ AC = m
¿µ {D, E} = AX∩ ω (C, n)
µ p BE ¸ C ∈ p
µP = p ∩ AB
µ q BD ¸ C ∈ q
µ Q = q ∩ AB
µ S ∈ P Q¸ P S = SQ
µ ω(S, SP ) = Φ15 ¸
AP
AC
m
AQ
AC
m
=
= ¸
=
=
.
P B CE
n
QB CD
n
½µ
Φ16
´
¸
¹
A
pµ
¹
¸
º ¿
B
¹
�AB
K
AB ¸
p2 + a2
AK =
º
2a
AB ¸ pº
Φ16 º
º
BE⊥AB
X ∈ BE ¸ BX = p
¿µ AX
µ Y ∈ (AB ∩ ω(A, AX))
µ Y F ⊥AY
º ¿
µ G = Y F ∩ AX
µ H ∈ AG¸ AH = HG
µ K ∈ (AB ∩ ω (A, AH))
µ KL⊥AB º
ºþ
ABX
º KL = Φ16 º
◦
∠B = 90 ¸ AB = a¸ BX = pº
¸ AX =
2
2
2
2
a +p º
Y ∈ ω¸
AY = a + p º
¹
BX⊥AB ¸ GY ⊥AY
BX Y G
AB
AX
AX · AY
p2 + a2
=
º
AG =
=
º
¹
AY
AG
AB
a
1
p2 + a2
AH = AG¸
¸ AH =
º
K ∈ ω¸
2
2a
p2 + a2
AK =
¸
¸
KL⊥AB º
2a
½µ
¾µ
Φ17
´
¸
¹
A
qµ
AB
B
¹
S
¹
a ´r =
r¸
1
2q 2 − a2 µº
2
¼
√
q 2
�AB = a¸ q º
Φ17 º
º
P ∈ AB ¸ AP = q
¾µ AE⊥AB
¿µ Q ∈ AE ¸ AQ = q
µ ω (B, P Q)
µ C ∈ (ω ∩ AE)
µ S ∈ AB ¸ AS = SB ¸ SF ⊥AB
µ M = SF ∩ BC
µ ω(S, r)¸ r = SM º
½µ
º
ω(S, r) = Φ17 º
º
º
¼
AP Q
¸
¹
√
P Q = q 2 + q 2 = q 2º þ
ABC
¹
√
∠A = 90◦ ¸ AB = a¸ BC = P Q = q 2º
√
AC = (q 2)2 − a2 = 2q 2 − a2 º
¸
SF AC
´
AB µ S
¹
AB ¸
¸
M
BC º
1
SM = AC
ABC º
¹
2
1
¸ r = SM =
2q 2 − a2 º
2
ï¾ º
¸
¸
¸
¹
¸
¹
º
º ü
¸
ºþ
´
½
¹
�¸
¸
µ¸
¸
¹
º
¹
Φ1
Φ2
Φ3
¸
Φ1 ¸
Φ2 ¸
º
º¸
¸
¹
º
º
¹
´
µ¸
¹
º
¹
¸
º
¸
¹
º
¸
º
º
¹
¸
º
¹
¸
¹
¸
¸
º
¸
¸
¹
¸
º
º
¸
¸
º
α¸ b¸ hº
¾
�ABC
∠A = α¸
¾µ b = AD ¸ ∠BAD = ∠DAC
¿µh = AH ¸ AH⊥BC º
½µ
º
ü
ABC
º
¸
ºþ
α¸
hº
b
AHD
¸
¹
AH
AD º
¸
´ º º
B
µº
C
¹
HD ¸
AB
AC
AD
¸
º
αº
B
¸
½
¹
C
¹
HD º
ü
º
b hº
b > h¸
AHD
º
º
AHD ∠H = 90◦ ¸
AH = h¸ AD = b
α
¾µ
2
α
¿µ ∠DAE =
¸
2
α
∠DAF = ¸
E
2
½µ
¹
µ
µ
F
AD
º
HD
B = AE ∩ HD C = AF ∩ HD
¿
¾
�ABC º
µ
º
ü
¸
∠DAC =
½µ
α
2
∠BAD = ∠EAD =
α
º
2
´ º ¿µº
∠A = ∠BAD + ∠DAC =
α
α
+
αº ¾µ AD = b ´ º
2
2
¿µ AH = h¸ AH⊥BC ´ º ½µ ´
HD ´ º µµº
½µ¸
º
AD
¹
B
´ º ¿µº
C
AHD µ
´
b>h
¹
º
b = h¸
º þ
º
¹
¹
AD º
D
´b
¸
H = Dº
¹
¸
B
H
= hµ¸
⊥AD ¸
¸
º
º
α < 180◦
¹
¸
b = h¸
¹
C
AE
AF º þ
α < 180◦ ¸ b
hº
ý
º
¿ ´ º ¾
¹¾
µº
ï¾ º
¸
¹
º
¹
´
µ¸
¸
º
¹
�º
¸
¹
¹
º þ
¸
º
Φ
Φ
º
Φ
Φ
¸
¸
º
Φ = Φ ∩Φ
¹
¸
¸
¸
º
½º
¸
¹
¹
º
r ¸ A¸
º
º
ω(O, r) A ∈ ω ¸ ω∩ = {B} ´
ü
º
µº
¸
ω
ω
º
O
¸
OB
º
¹
ω
º
¹
OB⊥
¸
¸
B
rº
¸
Oº
¸
O
A
¸
º
Oº
¸
Φ
¿
r
Φ
º
Φ
¸
¸
rº
º
¹
º
Φ6
¸
¹
¸
¹
�rº Φ
¸
º
r
¹
¸
ω1 (A, r)º
O¸
O ∈ (Φ6 ∩ ω1 )º
Φ6 ω1
¹
A
º
¸
º ü
º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
ω1 (A, r)
Φ6
µ M ∈ ¸
µ m⊥ ¸ M ∈ m¸
µ{E, F } = m∩ω2 (M, r)¸
µ a ¸ E ∈ a¸
µ b ¸ F ∈ b¸
µ Φ6 = a ∪ b
O ∈ (Φ6 ∩ ω1 )
ω(O, r)º
º
O ∈ ω1 ´
¿µ¸
OA = r
¸ A ∈ ωº
O
´ º¿µ¸
OB = r
OB = r ¸
¸
Bº
¹
¸
¹
º
OB
B ∈ ωº
ω
º
ω1
¸
¸
Φ6 º
º
h
AB
OA + OB
¸
¸
A
º
h AB º
OA + OB = r + r = 2r ¸
h 2r º
h 2r º
º
h = 2r ¸
¸
¸
O ∈ Φ6
OB⊥
º
º þ
h < 2r ¸
¹
¹
�A
¸
b
r¸
a
r
ω1
º
¾º
¸
¸
¸
¸
¹
¸
º
a¸ hº
ABC
½µ
¾µ
¿µ
BC = a
AD = h¸ AD
∠(BE, CF ) = 90◦ ¸ BE
CF
º
º
ü
º
¹
¸
O = BE ∩CF º
¸
½µ
¾µ
∠BOC = 90◦ º
Φ6
BC
º
ABC
O
BC
¸ O
Φ1 º Φ6
º
¹
1
3
¸
h¸
¹
¸
BC º
1
h¸
3
º
ü
Φ1
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
µ
º
µ
º
BC = a
BC = a
S ∈ BC ¸ BS = SC
ω(S, SB)
m BC
O ∈ω∩m
SO
A ∈ SO ¸ OA = 2SO
ABC º
º
1
3
h
�O
A
OK AD
BC ¸
h
O∈m ¸
¸ OK = º
¹
3
SOK SAD
SO : SA = OK : AD =
AD = 3OK = 3 · h3 = hº
O
AS
2 : 1¸
A
1 : 3º
´ º µ¸
BE
CF
∠BOC = 90◦
ω ´O ∈ ω ¸
BE⊥CF ¸
¸
¸
º µº
º
º
ï¾ º
¹
º
¹
¸
¹
¸
º þ
¹
º
º
º
¹
¸
¸
¸
¹
¸
¸
º þ
º
´
´
¸
¸
µ¸
¸
¸
¹
�µ
¾ º½
º
º
¹
º
a, b, c, d, ; αº
ABCD AB =
a¸ BC = b¸ CD = c¸ DA = d¸
∠(AB, DC) = αº
º
ü
º
¹
¸
¹
ABCD
AB
E
º
Aº
B
EC = AB = a ´
¹
−−→
BC ¸
º
¹
Cº þ
ECD
CD = c¸
¹
µ
∠ECD
(AB, CD) α
EC AB µº
ECD
AED
´
º
B
ABCE º
¹
ü
º
º
ECD ∠ECD = α¸
EC = a¸ CD = c
¾µ A ∈ (ω1 (E, b)∩
ω2 (D, d))¸ AE ¸ AD
¿µ p AE ¸ C ∈ p
µ q EC ¸ A ∈ q
µ B = p∩q
µ ABCD º
º
º EC = a¸ AE = b¸ CD = c¸ DA = d
º
ABCE
´
½µ
¹
µ¸
�AB = EC = a¸ BC = AE = b
∠(BA, CD) = ∠ECD = αº
º
AD + ED ¸
º
¹
ω1 ∩ ω2
A
º
¸
|AD − AE| ED <
|b − d| ED
ECD
¹
√ < b + dº
2
2
ED = a + c − 2ac cos αº
¹
º
¸
´
µ¸
a¸ b¸√c¸ d¸ α
|b − d|
a2 + c2 − 2ac cos α < b + d.
þ
º
þ
º
¹
¸
º þ
¸
¸
¹
Φ1 ∩ Φ2
Φ2 ¸
Φ1
Φ2
¸
¹
º þ
¹
¹
º
´
¸
¸
¸
¹
¹
µ¸
¹
¹
¹
´
º
µ¸
´
¸
µ
¾ º¾
º
º
º
¸
¹
¸
º
ω(O, r)¸ P º
½¼¼
�ABCD
AC ∩ BD º
º
ü
½µ
¾µ
º
ABCD
∠AP B = 90◦
¸
A
P
¿µ
µ
µ
µ
=
P A = P B¸
¸
B
¸
◦
R90
P
90◦ º
¹
B
ω
ω
B¸
C
C
¾µ
¿µP
¸
º
º þ
½µω
A ∈ ω¸ B ∈ ω
¹
ω¸
D
º
º
90◦
= RP (ω)
90◦
µ O = RP (O)¸
µ ω (O , r)
B ∈ω∩ω
◦
A = R−90
(B)
P
90◦
C = RP (B)
◦
D = R90
P (C)
ABCD º
º
ABCD
P
¸
º
¼
∠AP B =
◦
∠BP C = ∠CP D = 90
P A = P B = P C = P Dº B ∈ ω
◦
¾º
B ∈ ω ´ º¾µ A = R−90
(B) ´ º¿µ
P
A ∈ ωº
¸
º
º
¸
¸
¹
¹
º
¸
½¼½
¸
¸
¹
�¸
¸
º
¹
¸
¸
¹
º
¸
¸
¸
¹
¸
º
¾ º¿
º
ABC ¸
AB : BC = m : n ´m¸ n
AC º
∠A¸
µ
¹
α¸ m¸ n¸ aº
ABC
∠A = α¸
¾µ AB : BC = m : n¸
¿µ BM = a¸ M ∈ AC ¸ AM = MC º
½µ
º
º
½
ü
º
ABC
¸
º
¸
¸
¸
¸
º
¸
¸
µ
µ
¸
¸
AB C ∠A = α¸ AB = m¸ B C = n
M ∈AC¸ AM =M C
BM
E∈BM¸BE=a
p AB ¸ E ∈ p
½¼¾
¹
¹
º
º
¿µ
¸
AB C
¸
¾µ
¹
º
¸
½µ
¹
�µ
µ
µ
M = p ∩ AC
MB EB ¸ B ∈ AB
BC B C ¸ C ∈ AC º
º ½µ
º
¹
∠A = α
¹
½
BC B C ´ º µ AB =
m¸ B C = n ´ º ½µ
¸
AB : BC = m : n
º
¾µ
¾
¿µ
B BME
B M BM
´ º
´ º
µ
¸
B C BC
AB
AM
=
,
AB
AM
´ º
º
µ¸
BM = B E = aº
µ
AB
AC
=
.
AB
AC
AM
AC
=
AM
AC
AM = 1/2 AC ¸
AM = 1/2 AC ¸
AC BM
º
º
º
M
¹
¹
º
º þ
¾ º
HKLM
¸
AC º
ABC
K ∈ AB ¸ L ∈ BC ¸ M ∈ AC ¸ H ∈
ABC º
HKLM
½µ
¾µ
¿µ
µ
¸
K ∈ AB ¸
L ∈ BC ¸
M ∈ AC ¸ H ∈ AC º
½¼¿
¹
�ü
º
º
¿µ
¸
¸
º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
µ
µ
K ∈ AB
K H ⊥AC
H K LM ¹
L = AL ∩ BC
LK L K ¸ K ∈ AB
LM L M ¸ M ∈ AC
KH K H ¸ H ∈ AC
KLMH
º
¿
º
A
º
L
LK L K
K
Lº
K
AB ¸
¸
º ü
M
¸
º
HKLM
¹
M¸ H
H
¹
¸
¹
H KLM
HKLM
º
º
º
ï¾ º
ü
¸
º
a¸ b¸
¸
x = f (a, b, ..., )¸
x
xº
½¼
ººº
¹
º
¹
�º
º
¹
¹
º
´
½º
¾º
¿º
º
º
º
º
º
º
½¼º
µ
x=a+b
x = a − b ´a > bµ
x = ma ´m ∈ Nµ
a
x=
´n ∈ Nµ
n
ma
x=
´m ∈ N, n ∈ Nµ
n
ab
x=
c
a2
x=
c
√
x = √ab
x = √a2 + b2
x = a2 − b2 ´a > bµ
¹
º
½º
√
3a b2 + c2
x=
5c
º
x
º
¸
¹
¹
½µ
º
¾µ
½¼
√
b2 + c2
ay
z=
º µ
c
y=
´ º
µ
�¿µ
x=
3z
5
´ º
µº
º
º
¾ º½ º
¹
´
µ n
f (a, b, . . . , )
¸
f (ka, kb, . . . , k ) = k n f (a, b, . . . , )º
k>0
¸
½ ½¼
½º
¾ º½ º
½¸
x=
a1 a2 . . . an
,
b1 b2 . . . bn−1
a1 ¸ a2 ¸ . . .¸ an ¸ b1 ¸ b2 ¸ . . .¸ bn−1
¹
º
º
¹
¹
½¼
�x1 =
a1 a2
x1 a3
xn−2 an
, x2 =
,..., x =
.
b‘1
b2
bn−1
¾ º½ º
½µ
x=
¾µ
x=
¹
an
bn−1
αk
2
a1α1 aα
2 . . . ak
bn−1
´α1
+ α2 + . . . αk = nµº
¾ º¾ º
¹
x=
Pn+1
Pn+1 (a1 a2 . . . ak )
Pn (b1 b2 . . . bm )
,
Pn
´
¹
¹
µ
n+1
n¸
a1 ¸ a2 ¸
ººº¸
ak ¸ b 1 ¸ b 2 ¸
ººº¸
bm
º
Pn+1
º
¹
n + 1¸
¹
´α1 + α2 + . . . αk = n + 1¸
A∈
Aaα1 1 aα2 2 . . . aαk k
Rµ¸
Pn
Bbβ1 1 bβ2 2 . . . bβmm ´β1 + β2 + . . . + βm = n¸ B ∈ Rµ
nº
þ
a1 ¸ a2 ¸ . . .¸ ak ¸ b1 ¸ b2 ¸
½¼
c ´
. . .¸ bm µ
x
�Pn+1 /cn
x=c
.
Pn /cn−1
x1 = Pn+1 /cn
α1 α2
a1 a2 . . . aαk k
A
cn
þ
x1
½¸ ¾¸
½
¸
¸
¾ º½ ¸
´
µº ü
¸
¹
½º
¹
¸
x2 = Pn /cn−1¸
B
x
bβ1 1 bβ2 2 . . . bβmm
cn−1
c¸ x1 ¸ x2
x=
cx1
º
x2
¾ º¿ º
¹
¸
x=
R2 (a, b, . . . , ),
R2
º
º
d
þ
a¸ b¸ º º º ¸
R2
d ºþ
d
´
x=
a¸ b¸
ººº¸
¾
x=
¸
√
½¼
µ
y =
R2
d
¹
d
¹
º
dy
º
�º
¹
¸
¸
¸
½ ¿¸
¹
¸
¸
º
¾º
º
¹
¸
º
¸
√
4
x = a4 + b4 º
º
x=
√
4
a4 + b4 =
¹
√
a4 + b4 =
a
b4
2
a + 2=
a
a
b2
a
a2 +
¸
½µ
¾µ
¿µ
b2
y=
´ º µ
a
z = √ a2 + y 2 ´
x = az ´ º µº
º
¹
µ
¸
¹
eº
y = f (a, b, . . . , )
¹
¸
a¸ b¸
º
ººº¸
º
¹
a b
x = ef , , . . . ,
e e
e
e
yº
e
¸
½¸
¸
¸
¹
a¸ b¸ º º º ¸
½¼
¸
eº
2
º
�x
¸
¹
yº
eº
¿º
¸
y
½µ
¾µ
¿µ
µ
¹
y = a2
y = ab
b
y=
a
√
y= a
þ
º
¹
¸
½µ
y
¾µ
y
¿µ
y
µ
y
a2 a2
=a =e 2=
´ º µ
e
e
a b ab
=
= ab = e
´ º µ
ee
e
b
b/e eb
= =e
=
´ º µ
a
a/e
a
a
a √
√
= a=e
= e2 = ea
e
e
2
´ º
µº
¸
¹
º
¸
¹
¸
º
¹
¸
¹
¸
º
¸
¹
º
º þ
¸
¹
½½¼
�¸
º
þ ï¾ º ´
¾ º
µ
¹
º
º
ABC º
KLMH
½µ
H ∈ AC ¸ M ∈ AC
¿µK ∈ AB
µ L ∈ BC º
¾µ
º
ü
º
¸
ABC
KLMH º
AC = a¸
h¸ E = BD ∩KL x
BD =
¹
º
KL||AC ¸
ABC ∼
AC
KBL ¸
¸
º
= BD
KL
BE
AC · BE = KL · BD º þ
¹
¹
¸
x=
ah
º
a+h
a(h − x) = xhº
º
º
BD⊥AC ¸ D ∈ AC
y =a+h
½µ
¾µ
½½½
º
�¿µ
µ
µ
µ
µ
µ
ah
y
DE = x¸ E ∈ BD
m AC ¸ E ∈ m¸ K = m ∩ AB ¸ L = m ∩ BC
KH⊥AC ¸ H ∈ AC
LM⊥AC ¸ M ∈ AC
HKLM ¹
º
x=
HKLM ¹
¹
HK = KLº
¸
KL AC ¸ KH⊥AC ¸ LM⊥AC DE = x¸ DE⊥AC ¸
BD
AC
KH = LM = xº
ABC ∼ KBL
=
KL
BE
ah
ah
a h−
KL =
= KL · hº
=
a+h
a+h
x = KH º
º
º
¸
º
¸
¹
ah
x=
¸
a+h
ah
ah + h2 − ah
h2
x < h ´h−x = h−
=
=
> 0µº
a+h
a+h
a+h
ï¾ º
¸
º
º
½½¾
�¹
¾ º½ º ´
µº
¸
¸
¹
¸
¸
¹
¹
¹
¸
¸
¸
¸
¹
º
´
º ¿ ¸
º ¿¼ ¹¿½¾µº
¾ º½ º
¹
¹
¸
e
¸
º
º
¹
º
¸
º
¹
¹
¸
¸
¹
¸
¹
º
þ
¹
¸
½½¿
�º
¸
º
¹
¸
º
º
º
½º
¸
¹
º
R
¸
S
S
º
x=
√
πR2 =
2πR ·
º
=S
R
º
2
º¸
2
2πR¸
R=1
º
2π º
S º
x = πR2
¸
º
º
º
¹
¸
πº
π
¸
¸ º
þ ½
¾
¹
º
¹
º
¹
º
π
º
¹
¸
´
º
µº
º
´
¾º
´
º º
µº
¹
µ¸
¹
º
a
¸
º
½¸
¸
x
x3 − 2a3 = 0.
¹
3
x − 2 = 0.
¹
¸
¾º
¾
½½
¹
�±1¸ ±2¸
¸
¸
º
x3 − 2 = 0
¸
¸
¸
º
º
¿º
1
3
ϕ
ϕº
¸
1
ϕ
¸ α =
ϕ
3
º
cos ϕ = cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α −
sin 2α sin α = (cos2 α−sin2 α) cos α−2 sin α cos α sin α = cos3 α−
3 sin2 α cos α = cos3 α − (3 − 3 cos2 α) cos α = 4 cos3 α − 3 cos αº
x
b
cos α = ¸ cos ϕ =
2
2
x b
¸
¹
2 2
¸
½¸ ¸
¸
α ϕ º
ϕ < 90
◦
º
x3 − 3x − b = 0º
b = 1
x3 − 3x − 1 = 0º
±½
´
ϕ = 60◦ µ
¹
¸
º
´
60◦
µ¸
º
¹
¹
¸
º
ï¾ º
ÿ
º
½½
�¹
º
º
¸
¸
¸
¹
¸
º
¸
¹
¸
º
¹
º
¾ º½ º ´
¹
þ
µº
¸
¸
¹
¸
¹
º
½ ¾
º
¾ ´ º ¿¾¿¹¿¾ µ
º
¸
¹
º
¸
¹
¸
º
¸
´
¹
¸
¸
¹
µ¸
º
AB
º
½ ÿº
¾ º
´½
¹
ºµº
¹
¸
¸
½½
ÿ
´½
¾ ºµº
¹
�Oº
M
¸
º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
º
C∈
/
CA¸ CB ¸ CO
D = MB ∩ CO
N = AD ∩ CB
MN
¸
¹
º
´
¹
µ
¹
º
¸
¹
¸
º
¹
¸
º
º
½
¿µ
´½
ÿ
¸
¹
´½ ¿¿µº
º
¾ º¾ º ´
¹
µº
¸
¹
¸
¹
¸
º
º ¾ ´ º ¾ ½ ¾
¿
º
´
¸
´½
µ
½½
¿
µº
½
µ¸
�º
þ
¹
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¹
º
¹
¸
¸
º
ü
µ
¸
µ
¹
¸
¸
h¸
¸
h
¹
¸
¹
A
µ
AB > h
¸
¹
¸
B¸
AB > h¸
¹
¸
¹
B
hº
¹
A
ü
´½ ¾¾µº
½½
¹
�µ
¸
¹
µ
¹
¸
AB
µ
Φ¸
¹
Φ
¸
¹
¸
¸
¸
¹
º
º
¸
¹
º
º
¹
¸
º
º
º
¹
º
þ½
¼ ºü
º
ü
º
¾ º¿ º þ
¸
¸
´ ¸
¸
µº
º
¾ º
½½
¹
�¸
¹
º þ
¸
¸
¸
¹
¸
º
º¸
¸
¹
½ º
½¾¼
�» üº ü ¹
º
¾
¸ ½
ü
¸ ýº
¸
¿
ýº
º
» ýº
ºýº ý
ü
º
¸ ýº
¸ ½
−
º
º ü
¸
º
º
¸ ½
ü
¸
º
þº º ý
¸
»
þ
º
º
¸ þº
º
º
º ÿ
¾
º »
º
¸ ½
º »
º
º
¸
º Áº
¸
º
»
ÿ
º ü
¹
º ü
º
¹
º
º
¸
º ü
º
»
º
ü
½
¼º
º
º þº
º þ
º
½¾½
¸
º
¸ ½
º
º
�ÿ
º
¸
½
ºýº
º
º »
º
º ü
¹
º
¸
¼º
¸ ýºÿº
ýºÿº
½½
º
ü
ø ¸ üº
º
º ÿ
º
» üº
¸ ½
½¼
¸ ½
º »
º
ø ¸
ºüº
¹
º
º
¸ þºþº
» þºþº
º
¹
¸ ¾¼¼¼º
½½
¸ üºþº ÿ
½¾
¸ ½
¿º
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Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Львова, Людмила Викторовна
Dublin Core
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Title
A name given to the resource
Геометрия. Преобразования и построения
Subject
The topic of the resource
1. Математика. 2. Геометрия. 3. преобразования. 4. плоскости. 5. преобразования плоскости. 6. аффинные преобразования. 7. геометрические построения.
Description
An account of the resource
Геометрия. Преобразования и построения [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 1.18 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 124 с.
Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов по разделам «Преобразования плоскости» и «Геометрические построения на плоскости». Изложение теоретического материала сопровождается многочисленными примерами решения задач. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика».
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Львова, Людмила Викторовна
Source
A related resource from which the described resource is derived
Алтайский государственный педагогический университет, 2016
Publisher
An entity responsible for making the resource available
Алтайский государственный педагогический университет
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
23.05.2016
Rights
Information about rights held in and over the resource
©Алтайский государственный педагогический университет, 2016
Format
The file format, physical medium, or dimensions of the resource
pdf
Language
A language of the resource
русский
Type
The nature or genre of the resource
Учебное пособие
Identifier
An unambiguous reference to the resource within a given context
<a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova.pdf</a>
аффинные преобразования
геометрические построения
Геометрия
Математика
плоскости
преобразования
преобразования плоскости
-
http://books.altspu.ru/files/original/36/30/_[650].png
38dcfe45f8e480527a90fff792786e6a
http://books.altspu.ru/files/original/36/30/_.1.pdf
58a0c03d5985ae1e5525b06de3e4da18
PDF Text
Text
Содержание
�Содержание
Об издании
Основной титульный экран
Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1
Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2
�Содержание
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Алтайский государственный педагогический университет»
А.А. Коваленко
Аналитическая геометрия
Задачник
Барнаул
ФГБОУ ВО "АлтГПУ"
2015
Об издании - 1, 2, 3.
�Содержание
УДК 514.74(075)
ББК 22.151.54я73
К56
Коваленко, А.А.
Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : задачник / А.А. Коваленко. – Барнаул : АлтГПУ,
2015.
Рецензент:
Мальцев Ю.Н., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГПУ)
Задачник содержит набор типовых задач по 5 ключевым темам аналитической геометрии (с элементами
линейной алгебры): определители и системы линейных уравнений; векторная алгебра; прямые на
плоскости; плоскости и прямые в пространстве; кривые второго порядка. Задачник представлен в 28
вариантах, может быть использован в качестве сборника индивидуальных заданий при организации
самостоятельной работы студентов. Кроме того, он содержит общие требования и рекомендации по
выполнению индивидуальных заданий, а также образцы решения некоторых задач. Отбор содержания
был продиктован целевой аудиторией (будущие преподаватели физики) и личным опытом автора в
преподавании этой учебной дисциплины.
Соответствует учебной программе курса «Аналитическая геометрия» для студентов, обучающихся по
направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» по профилю «Физика и
информатика». Кроме того, материалы задачника могут полностью или частично использоваться в
педагогических и технических вузах при изучении соответствующих разделов высшей математики.
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 22.10.2015 г.
Текстовое (символьное) электронное издание.
Системные требования:
Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768.
Об издании - 1, 2, 3.
�Содержание
Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice.
Объём издания - 3 786 КБ.
Размещено на сайте: 26.11.2015
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский
государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ»)
ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел.
(385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 еmail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru
Об издании - 1, 2, 3.
�Содержание
Содержание
Общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных
заданий Тема 1. Определители и системы линейных уравнений
Примеры решения задач
Индивидуальное задание №1
Тема 2. Векторная алгебра
Примеры решения задач
Индивидуальное задание №2
Тема 3. Прямые на плоскости
Примеры решения задач
Индивидуальное задание №3
Тема 4. Плоскости и прямые в пространстве
Примеры решения задач
Индивидуальное задание №4
Тема 5. Кривые второго порядка
Примеры решения задач
Индивидуальное задание №5
Библиографический список
�Содержание
Общие требования и рекомендации по выполнению
индивидуальных заданий
Перед выполнением индивидуального задания рекомендуется внимательно проработать
соответствующий теоретический материал по учебнику либо учебному пособию. Для
преодоления затруднений полезно обратиться к материалам практических занятий,
примерам, рассмотренным в данном издании, а также к источникам, содержащим
образцы решения типовых задач (некоторые из них перечислены в библиографическом
списке). Наконец, при необходимости можно получить консультацию преподавателя.
Для индивидуальных заданий необходимо иметь отдельную тонкую (не более 18 листов)
тетрадь «в клеточку» для удобства выполнения рисунков. Каждое из заданий
выполняется студентом в строгом соответствии с номером варианта, который
указывается преподавателем. При несовпадении номера варианта сданной на проверку
работы с номером, указанным преподавателем, выполненная работа не засчитывается!
Перед текстом работы обязательно указывается заголовок (например, «Индивидуальное
задание №3») и номер варианта. Каждая из решённых задач также должна снабжаться
номером, указанным в тексте данного издания. Решение задач должно сопровождаться
краткими пояснениями. Рисунки выполняются аккуратно и с обязательным
соблюдением масштаба. Ответы выделяются в тексте с помощью рамок, подчёркивания,
либо оформляются для каждой задачи отдельно под заголовком «Ответ».
Сдача индивидуальных заданий на проверку осуществляется в сроки, указанные в
технологической карте дисциплины. Информация об этих сроках доводится до студентов
в начале семестра преподавателем. При этом возможно досрочное выполнение работы.
Нарушение сроков сдачи индивидуальных заданий (опоздание) ведёт к тому, что
выполненная работа засчитывается с понижающим коэффициентом.
Индивидуальное задание считается выполненным только при условии правильного
решения всех задач. Ошибки и недочёты, указанные преподавателем, должны быть
исправлены в той же тетради после текста проверенной работы. Новые решения
обязательно должны иметь заголовок «Работа над ошибками». Помните, что внесение
исправлений в уже проверенную работу не допускается!
Вариант следующего индивидуального задания может быть получен студентом только
при условии полной правильности выполнения предыдущего. Его номер сообщается
студенту преподавателем и, как правило, не совпадает с номером варианта предыдущего
задания.
�Содержание
Библиографический список
1. Ильин В. А., Аналитическая геометрия : учебник для студентов физических
специальностей и специальности «Прикладная математика» / В. А. Ильин, Э. Г.
Позняк ; МГУ им. М. В. Ломоносова. – Изд. 7-е, стер. – Москва : ФИЗМАТЛИТ,
2007. – 223 с.
2. Привалов, И. И. Аналитическая геометрия : учебник для студентов техн. вузов /И.
И. Привалов. – 32-е изд. – Санкт-Петербург : Лань, 2003. – 299 с.
3. Коваленко, А. А. Основы линейной алгебры : учебное пособие / А. А. Коваленко.
–Барнаул : Изд-во БГПУ, 2010. – 118 с.
4. Данко, П. А. Высшая математика в упражнениях и задачах: с решениями : учебное
пособие для студентов вузов / П. А. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – 6-е
изд. – Москва : ОНИКС : Мир и образование, 2007. – Ч. 1. – 304 с.
5. Практическое руководство к решению задач по высшей математике: линейная
алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический
анализ, производная и ее приложения : учебное пособие для студентов вузов /И. А.
Соловьев [и др.]. – Изд. 2-е, испр. – Санкт-Петербург : Лань, 2009. – 319 с.
6. Гусак, А. А. Справочное пособие по решению задач: Аналитическая геометрия и
линейная алгебра : учебное пособие / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 1998. –
288 с.
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Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Коваленко, Андрей Андреевич
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Аналитическая геометрия
Subject
The topic of the resource
1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. линейные уравнения. 5. системы линейных уравнений. 6. векторная алгебра. 7. прямые (математика). 8. плоскость (математика). 9. кривые второго порядка. 10. решение задач.
Description
An account of the resource
Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : задачник / А. А. Коваленко ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 3.48 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2015. — 89 с.
Задачник содержит набор типовых задач по 5 ключевым темам аналитической геометрии (с элементами линейной алгебры): определители и системы линейных уравнений; векторная алгебра; прямые на плоскости; плоскости и прямые в пространстве; кривые второго порядка. Задачник представлен в 28 вариантах, может быть использован в качестве сборника индивидуальных заданий при организации самостоятельной работы студентов. Кроме того, он содержит общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий, а также образцы решения некоторых задач. Отбор содержания был продиктован целевой аудиторией (будущие преподаватели физики) и личным опытом автора в преподавании этой учебной дисциплины. Соответствует учебной программе курса «Аналитическая геометрия» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» по профилю «Физика и информатика». Кроме того, материалы задачника могут полностью или частично использоваться в педагогических и технических вузах при изучении соответствующих разделов высшей математики.
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Коваленко, Андрей Андреевич
Source
A related resource from which the described resource is derived
Алтайский государственный педагогический университет, 2015
Publisher
An entity responsible for making the resource available
Алтайский государственный педагогический университет
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
26.11.2015
Rights
Information about rights held in and over the resource
©Алтайский государственный педагогический университет, 2015
Format
The file format, physical medium, or dimensions of the resource
pdf, exe
Language
A language of the resource
русский
Type
The nature or genre of the resource
Задачник
Identifier
An unambiguous reference to the resource within a given context
<a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/kovalenko.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/kovalenko.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/kovalenko.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/kovalenko.exe</a>
аналитическая геометрия
векторная алгебра
Геометрия
кривые второго порядка
линейные уравнения
Математика
плоскость (математика)
прямые (математика)
решение задач
системы линейных уравнений