1
5
1
-
http://books.altspu.ru/files/original/72/60/cover.png
6be6477521255c504ae62a8d2ecc8321
http://books.altspu.ru/files/original/72/60/lvova.pdf
a8c2bd36a603581fe53849ce7db0a2d7
PDF Text
Text
�þ
ý ü
þü
ü
ü
“
ü
”
ºþº
ÿ
ý
¾¼½
Об издании - 1, 2, 3.
ISBN 978-5-88210-822-8
�УДК 514(075)
ББК 22.151я73
Л891
Львова, Л.В.
Геометрия. Преобразования и построения [Электронный
ресурс] : учебное пособие / Л.В. Львова. – Барнаул : АлтГПУ,
2016.
ISBN 978-5-88210-822-8
Учебное
пособие
написано
в
соответствии
с
государственными образовательными стандартами для
математических и физико-математических факультетов
педагогических институтов по разделам «Преобразования
плоскости» и «Геометрические построения на плоскости».
Изложение теоретического материала сопровождается
многочисленными
примерами
решения
задач.
Адресуется студентам, обучающимся по направлению
«Математика и информатика».
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 24.03.2016 г.
Деривативное издание
Текстовое (символьное) электронное издание
Системные требования:
1. ПК с процессором Pentium 133 или более мощным.
2. Операционная система Microsoft Windows (для работы с
русским интерфейсом операционная система должна
обеспечивать поддержку кириллицы).
3. Требования к оперативной памяти зависят от используемой
операционной системы: для Windows – не менее 16 МБ.
4. Свободное место на жестком диске: 5-10 МБ.
5. Программа Adobe Reader 5.0 – 10.0, Adobe Acrobat 6.0, 7.0.
Об издании - 1, 2, 3.
© Алтайский государственный
педагогический университет, 2016
�Объём издания - 1 174 КБ.
Дата подписания к использованию: 23.05.2016
Федеральное г осударственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Алтайский г осударственный педагогический университет»
(ФГБОУ ВО «АлтГПУ»)
ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031
Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72
е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru
Об издании - 1, 2, 3.
�ÿ
½
コ
þ
¸
¹
º
½º½ º ÿ
f
´
¹
¸
X
µ
Y¸
x
X
¹
y
º
Yº
Yº
f :X→Y −
X
f (X)
y = f (x)
x
f
X
x∈X
y ∈Yº
½º¾ º
f :X →Y
´
½µ
¹
µ¸
X
Y
´
¾µ
º
µ¸
f (X) = Y ¸
Y
º
X
¿µ
¹
¿
�´
µ¸
¹
º
þ
¹
¸
¹
º
ᄎ
ÿ
º
¾º½ º
Φ
Φ
º
¾º½ º ´
µº
G
¹
Φ
¹
º
G
º þ
¹
º
f
¸
g◦f
g
g◦f
¹
f g¸
¸
(g ◦ f )(M) = g(f (M))º
M ∈Φ
¸
¹
f¸
gº
º
1 ºü
◦
¹
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
¹
�f ∈ G¸ g ∈ G¸ h ∈ Gº
M
Φ f (M) = M ¸ g(M ) =
M ¸ h(M ) = M º
(h ◦ (g ◦ f ))(M) = h((g ◦ f )(M)) =
h(g(f (M))) = h(g(M )) = h(M ) = M
((h ◦ g) ◦ f )(M) =
(h ◦ g)(f (M)) = (h ◦ g)(M ) = h(g(M )) = h(M ) = M º
¸
M ∈ Φ
(h ◦ (g ◦
f ))(M) = ((h ◦ g) ◦ f )(M) ¸
¸ h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f º
◦
2 º
G
º
Φ
¸
¹
M ∈Φ
Mº
¸
¸ º º
¹
Φº
e
¹
Φº
¸
M ∈Φ
e(M) = M e ∈ Gº
¹
e
G
¹
¸
e◦f = f f ◦e = f
¹
f ∈ Gº
¸
M
Φ f (M) = M º
(e ◦ f )(M) = e(f (M)) =
e(M ) = M = f (M) (f ◦ e)(M) = f (e(M)) = f (M)º
¹
¸ e◦f = f
f ◦ e = fº
3◦ º
G
º
f
Φº
f
¸
Φ
f
¸
´
f
µº
¸
¹
f −1 ¸
¹
f¸
M ∈Φ
f¸ º
M
f (M) = M
¸
Φµ
º
f
´
º
f
(M ) = M ¸
f
¸
¸
¹
−1
¹
´f
−1
M1 = M2
−1
(Φ) =
Φ
�f −1 (M1 ) = f −1 (M2 )µ
Φº þ
f
º
f (M) = M ¸
G
¸
M ∈Φ¹
f ∈ G ¹
º
−1
−1
(f ◦ f )(M) = f (f (M)) =
−1
−1
f (M ) = M = e(M)¸ (f ◦f )(M ) = f (f −1 (M )) = f (M) =
−1
M = e(M ) ¸
¸ f
◦ f = e f ◦ f −1 = e¸
−1
º º f
¹
fº
¸
G
º
¾º½ º
¹
º
¾º¾ º
H
H
G
G¸
¹
¹
¸
Gº
¾º¾ º ´
µº
H
¸
G
¸
¸
2
º
1º
f ∈ H¸
f ∈ H¸ g ∈ H¸
f −1 ∈ H º
¹
g ◦ f ∈ Hº
�H
º
º
Gº
1 ¸2
¹
¹
º
º
H
G¸
¹
1
2
Gº
¸
1
¸
Hº
1◦ − 3◦ º
1◦ º ü
H¸
Gº
2◦ º
f
¹
f
H
−1
f ◦ f = e¸
e ∈ Hº
−1
Hº
2
1 f −1 ◦ f ∈ H º
¸
G¸
Hº
∈ H
e
¸
3◦ º
¸
2
º
¹
¸
H
H
¹
�
¸
¿º½ º
¹
O ij
| i | | j | | i
| j | ½º
|
Oi j
¸
¹
¸
M
¹
(x, y)
O ij
M
¹
(x, y)¸
Oi j ¸
¹
º ½
º
¹
¸
º
¸ º
M¸ N
|M N | = |MN|º
M¸N
º
¹
º
M(x1 , y1 ) N(x2 , y2 )
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 º
|M N | =
(x2 − x1
)2
O ij º
|MN| =
M¸N
M¸ N
(x1 , y1)¸ (x2 , y2 )
¹
Oi j
+ (y2 − y1 )2 = |MN|º
�½◦ º
¹
º
f
º
O ij
¸
Oi j
¹
¸
¹
Ax + By + C = 0
´¿º½µ
¸
O ij º
M ∈
´¿º½µº
M = f (M)
¸
¹
M¸
¸
f( )
M ∈
Oi j
¹
´¿º½µ¸
º
¾◦ º
=
¸
f ( )º
σ
º
¸
σ
σ
Oi j
O ij
O ij
¸
f¸
º
Ax + By + C = 0¸
σ
¸
Ax + By + C > 0
¹
Ax + By + C < 0.
σ = f (σ)
´¿º¾µ
Oi j
´¿º¾µº
= f ( )º
¹
¹
¸
σ
¹
�¿º¾ º
A¸ B ¸ C ¸
´
µ
−→
AC
º
¸
¹
¹
−−→
BC º
(AB, C)
A¸ B ¸ C º
¸
−→
AC
(AB, C) = −−→ .
BC
¿◦ º
¹
º
f
O ij
º
¸
Oi j
O ij
C
¹
¸
¹
A(x1 , y1)¸ B(x2 , y2 )¸ C(x, y)¸
−→
AC
AB
λ = −−→º
CB
¸
¹
¸
x=
x1 + λx2
,
1+λ
A¸B¸C
y=
y1 + λy2
.
1+λ
A¸ B ¸ C
Oi j
C (x, y)
AB
´¿º¿µ
λº
(A B , C ) = (AB, C)º
½¼
´¿º¿µ
¹
A (x1 , y1 )¸ B (x2 , y2 )¸
C
λ = −(AB, C)¸
�¿º¿ º ý
C
A¸ B ¸ C
AB
¸
A
B¸
C
λ > 0º
◦
º
¹
º
◦
º
¹
¸
º
þ
◦
¸
½
◦
◦
◦
¸
¿ º
◦
º
º
f
O ij O i j
m
º
O ij
A1 x + B1 y + C1 = 0,
¸
¸
A2 x + B2 y + C2 = 0.
¸
¸
tg ( , m) =
¸
m
¸
A2 B1 − A1 B2
.
A1 A2 + B1 B2
m
Oi j
tg ( , m ) = tg ( , m)º
◦
¹
¹
¸
( , m ) = ( , m)º
¸
º
º
½½
¸
�º
A1 x + B1 y + C1 = 0
A2 x + B2 y + C2 = 0¸
m
A2 B2
=
.
A1 B1
´¿º µ
= f ( )¸ m = f (m)
´¿º ºµº
¸
mº
¿º½ º
¹
º
¿º
f
¹
a
−→
A = f (A)¸ B = f (B)¸ AB = aº
º þ
−−→
a =AB¸
a
¸
AB
º
a¸
¹
a¸
¾
◦
º
◦
º
¹
¸
¹
º
½¾
�¿º½ º
f
Oi j
O ij
∠(i, i ) = ϕ
O (x0 , y0 )Oij ¸
M(x, y)Oij
¹
¸
M (x , y )Oij
x = x cos ϕ − εy sin ϕ + x0 ¸
y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0 ¸
´¿º µ
ε = ±1º
¿º½
º
M
(x, y)
M
¹
M
Oi j
O ij º
¸
þ
¹
¸
¹
O ij
Oi j
M
º þ
(x, y)
´¿º µº
M¸
¹
´¿º µ
M
M
O ij º
¿º¾ º ´
O ij
µº
¹
¹
f
º
¹
M(x, y)
M (x , y )¸
f
´¿º µ¸
º
º
½¿
�−→
i = OA¸
O = f (O)¸ A = f (A)¸
Oi j ¸
−−→
j = OB º
B = f (B)¸
º
¹
O(0, 0)¸ A(1, 0)¸
B(0, 1)
´¿º µ
O (x0 , y0)¸ A (cos ϕ+x0 , sin ϕ+
y0 )¸ B (−ε sin ϕ+x0 , ε cos ϕ)+
y0 º
−−→
−−→
i = OA¸ j = OB
i (cos ϕ, sin ϕ)¸
j (−ε sin ϕ, ε cos ϕ)º
þ
i
j
i ⊥j ¸
i j = cos ϕ(−ε sin ϕ) + sin ϕ(ε cos ϕ) = 0¸
| i |= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1¸
| j |= (−ε sin ϕ)2 + (ε cos ϕ)2 = 1º
Oi j
º ¾
M
º
Oi j
(x1 , y1 )º
¹
º
−−−→
O M = x1 i + y1 j º
¹
−−−→
OM¸ i ¸ j ¸
O ij º
¹
(x cos ϕ−εy sin ϕ, x sin ϕ+εy cos ϕ) = x1 (cos ϕ, sin ϕ)+
y1 (−ε sin ϕ, ε cos ϕ)º
¸
x1 = x¸
Oi j
º
¿º¾
½
º
º
M
(x, y)º
f
¸
¿º½
y1 = y ¸
¹
�¿º¿ º
´¿º µº
ε = +1
¸
Oi j
O ij
ε = −1
¸
º
¿º
º
¹
¸
¹
¹
´¿º µ¸
ε = +1
ε = −1º
¸
¹
¸
¹
º
ï º
º½ º
¹
´
µ
¹
¸
¸
º
º
M¸N
M¸ N
M N = MN º
¸
º
º
½
¹
�º½ º
º
º½ º
¹
º
f
º
a ¸b
a
−−→
−−→
OA¸ b = OB¸
B = f (B) ´ º
¿º
a¸ b
−→
−−→
O a = OA¸ b = OB º
b
a =
A = f (A)¸
º
¹
º
−→
AB =
−−→ −→ −−→ −−→ −−→
OB − OA¸ A B = O B − O A º
º ¿
−→ 2 −−→ 2
−−→ −→ −→
AB = OB − 2OB OA + OA 2 ,
−−→ 2 −−→ 2
−−→ −−→ −−→
A B = O B − 2O B O A + O A 2 .
¸
f
−−→
−−→
−−→
−→
−−→
−→
|A B | = |AB|¸ |O B | = |OB|³ |O A | = |OA|º
−→ 2 −−→ 2 −−→ 2 −−→ 2 −→ 2 −−→ 2
AB = A B ¸ OB = O B ¸ OA = O A º
º
¸
−−→ −→ −−→ −−→
OB OA = O B O A ¸
º ab = a b º
½
¸
�º½ º
º
f
º
º þ
−→
−−→
OA¸ j = OB º
f (B) ¹
−−→
−−→
OA¸j =OB
¹
¹
O ij
i=
O = f (O)¸ A = f (A)¸ B =
O ¸ A¸ B ¸
i =
i¸ j º
¹
¸
¹
i j
¸
|i | |j | |i| |j|
Oi j
¹
º
M(x, y)
M = f (M)
M
¹
º
Oi j
º
¹
−−−→
OM =
(x1 , y1 )º
x1 i + y1 j º
¹
−−−→
OM i =
i¸
j º
−−−→
2
2
x1 i +y1 i j ¸ O M j = x1 i j +y1 j º
i 2=j 2=
1 i j =0´
µ¸
−−−→
−−−→
O M i = x1 ¸ O M j = y1 º þ
º
−−−→
−−→
2
x1 = O M i = OM i = (xi + y j) i = x i + y ij = x¸
i 2 = 1¸ i j = 0º ü
¸
y1 =
yº
¸
f
M(x, y)Oij
M (x, y)O i j ´
µ
º
º
½
½¸
�º¾ º
¹
¸
¹
º
º
¹
º
ï º
º½ º
¹
M
¸
¹
M
½µ
¾µ
MM ⊥
KM = KM
K = MM ∩
¸
º
S
º
¹
º
º½ º
º
º
O ij
j⊥i
þ
O∈ ¸
i
¸
M(x, y)
¹
¸
M (x , y )
º
K = MM ∩ º
−−→
−−→ −−→
OM = OK + KM ¸
−−→
−−→
−−→
OK = xi¸ KM = y j º þ
OM =
−−→ −−−→
¹
OK + KM ¸
¸
½
º
�¸
−−−→
−−→
KM = −KM º
¸
−−→
OM = xi − y j
x = x,
y = −y º
´ º½µ
´ º½µ
ε = −1¸ ϕ = 0◦ ¸ x0 = y0 = 0º
´¿º µ
¸
º
º½ º
¹
¸
¹
¸
¹
¸
º
º¾ º
P
¹
f¸
º
º
f (P ) = P ¸
P
º
1◦ º
¹
º
2◦ º
¸
¸
½
¹
º
�a
¿◦ º
K¸
a
¹
K¸
¸
a
◦
´
º
¹
µº
a
º
¸
a
¸
a
¸
º
◦
º
´
º
º
µº
º
º
º
◦
º
¸
º
º¿ º
Φ¸
S
º
◦
º
¸
O
¸
º
¾¼
�◦
º þ
¸
¹
º
◦
º þ
¹
¸
º
½¼◦ º þ
¸
¹
¸
¹
¸
º
ï º
º½ º
º
º
f¸ g
M¸ N
º
M = f (M)¸ N =
f (N) M = g(M )¸ N = g(N )º
f
¸
M N = MN ¸ ¸
g
¸
M N =
MNº
M N = MN ¸
M
N
M¸ N
g ◦ fº
¸ g◦f
º
¾½
�º¾ º
¹
¸
¸
º
f
º
¸
A¸ B ¸ C º þ ¹
M = f (M)º
M
M
º
¹
M = M¸
¹
M¸
f (A) = A¸ f (B) = B ¸
¸
M = Mº
f (C) = C ¸
f
¸
AM = AM ¸ BM = BM ¸ CM = CM º
¸
A¸ B ¸ C
MM ¸ º º
º
¹
¹
¸
¸
M
¹
M = M¸
f
¸
¹
º
º¿ º
¹
¸
¹
¸
¹
º
f
º
B ¹
M ∈
/ AB
A¸
º þ
M = f (M)º
A¸ B ¸ M
f
º¾
º
º
¾¾
M = M¸
�M¸
M = Mº
f ¹
AM = AM ¸ BM = BM
MM º
A∈
¸
¸
B∈
¸
A
Sº
S (B) = B ¸
S (A) = A
¸
MM
¸
º
M
º½ µ¸
B
MM
¹
´
¹
M
¹
S ◦ fº
¹
A¸ B ¸ M
(S ◦ f )(A) = S (f (A)) =
S (A) = A¸ (S ◦f )(B) = S (f (B)) = S (B) = B ¸ (S ◦f )(M) =
S (f (M)) = S (M ) = M º
¸
A¸ B ¸
M
¸
¸
¹
S ◦f ¸
º½
º
º¾ S ◦ f = e¸ e
¹
º
S = S ◦ e = S ◦ (S ◦ f ) = (S ◦ S ) ◦ f =
e ◦ f = fº
¸
f
¹
S¸
= AB º
º
º
º
¹
¸
¹
¸
¹
¸
º
f
º
A
M¸
º þ
A¸
f (M) = M
º¿
M = M¸
fº
º
f
e
¾¿
¹
�Sm ´m = AM µº
M = Mº
f
¸ A ∈ ¸
¸
º
AM = AM ¸
¸
¹
¸
¹
MM º
S ◦f
A M (S ◦ f )(A) = S (f (A)) =
S (A) = A¸ (S ◦ f )(M) = S (f (M)) = S (M ) = M º
¹
¸
A M
S ◦ f¸
´
º½ µº
¹
º¿
¹
e
Sm ´m = AM µº
S ◦ f = e¸
S ◦ f = Sm º
f = S ´ º
º¿ µº
S ◦ (S ◦ f ) = S ◦ Sm º
¹
(S ◦ S ) ◦ f = S ◦ Sm º
S ◦S = e
f = S ◦ Sm ¸
e ◦ f = f¸
∩m=A º
º
º ´
µº þ
¹
º
f
º
¸
º
º þ
M
M = M¸
f (M) = M
f
¹
º
¹
¸
¹
¹
º
¸
MM
S ◦ f¸
M = Mº
M¸
¾
�º
¸
e ,
S ◦ f = Sm ,
Sm ◦ Sp .
S ◦ f = e¸ ¸
S ◦ f = Sm ¸
f = S ◦ Sm ´ º º µº
S ◦ f = Sm ◦ Sp ¸
f = S ◦ (Sm ◦ Sp ) ´
½º
¾º
¿º
º¿ ¸
f =S
º
µº
ï º
º½ º
¸
Ta ¸
a¸
¸
M
¹
−−−→
MM = aº
M
º
½º
aº
¸
a = 0¸
Ta
º
þ
¹
Ta ¸
a = 0º
¾
�þ
º
Ta
º þ
O ij
y − y = a2 º
a(a1 , a2 )º þ
M(x, y)
M = Ta (M)º
(x , y )
¹
−−−→
Mº
MM (x − x, y − y)º
¹
¸
x − x = a1 ¸
x = x + a1 ,
y = y + a2 º
´ º½µ
þ
¸
´ º½µ¸
¹
a(a1 , a2 )º
¸
´ º½µ
Ta º
º½ º
¹
º
º
´ º½µ
´¿º µº
´¿º µ
ε = +1¸ ϕ = 0¸ x0 = a1 ¸ y0 = a2 ¸
´ º½µº
¸
¹
¸
º
º½ º
¹
¸
¸
¹
¸
¸
º
¾
�½◦ º
´
µ
º
¾◦ º
¸
¸
º
¿◦ º
¸
¸
¹
º
Ta
º
¸
¹
¹
aº
= Ta ( )º
¹
½
º þ
K ∈
¸
K
L ∈
L
º
¹
¸
¸
¹
−−→ −−→
KK = LL
º
◦
−−→
−−→
KK = a¸ LL = aº
¹
KK L L
¸
KL||K L ¸ º º || º
º
¸
¹
º
◦
º
º
Tb ◦ Ta = Ta+b º
¾
�M
º
−−−→
−−−→
M1 = Ta (M)¸ M = Tb (M1 )¸
MM1 = a¸ M1 M = bº
−−−→
(Tb ◦ Ta )(M) = Tb (Ta (M)) = Tb (M1 ) = M
MM =
−−−→ −−−→
MM1 + M1 M = a + b¸ º º M = Ta+b (M)º
M
¸
Tb ◦ Ta = Ta+b º
◦
º
Ta −1 = T−a º
º
M = Ta (M)¸
−−−→
MM = a
Ta
M
−−−→
M M = −aº
Ta −1 (M ) = M º
º
¹
¸
¹
¸
a¸
−aº
ï º
º½ º
a
b
−→
−−→
OA = a¸ OB = bº
OA
OB
¸
º¾ º
´
a
µ
a
b¸
a
{a, b}
{a, b}
b¸
º
¾
¸
−
¸
¹
b
�a
b¸
¹
0¸
º
a ↑↓ b¸
−π º
∠(a, b)
(a, b)
a bº
¸ −π < ∠(a, b)
πº
º¿ º
ϕ
RO
¸
¸
O
¹
ϕ
¸
M
½µ
¾µ
¹
OM = OM
∠MOM = ϕ
M
´
¹
µº
þ
º
O ij
¹
¹
ϕ
RO
¹
¸
º
M
ϕ
M = RO (M)
M(x, y)¸ M (x , y )º
þ
þ
−−→
−−→
∠(i, OM)¸ α = ∠(i, OM )º
¹
α
=
º ½¼
−−→
−−→
x = |OM| cos α¸ y = |OM| sin α¸
−−→
−−→
x = |OM | cos α ¸ y = |OM | sin α º
OM = OM
−−→
−−→
∠(i, OM ) = ∠(i, OM) + ∠MOM ¸
¾
∠MOM = ϕº
α = α + ϕº
�−−→
x = |OM| cos(α + ϕ) = OM(cos α cos ϕ − sin α sin ϕ) =
= (OM cos α) cos ϕ − (OM sin α) sin ϕ = x cos ϕ − y sin ϕ¸
−−→
y = |OM| sin(α + ϕ) = OM(cos α sin ϕ + sin α cos ϕ) =
x sin ϕ + y cos ϕ¸
º
º
x = x cos ϕ − y sin ϕ,
y = x sin ϕ + y cos ϕ.
f
¸
´ º½µº
´ º½µ
¸
f
¹
ºþ
M(x, y)
M (x y )º þ
OM OM
2
2
OM = x + y
OM = x 2 + y 2 =
= (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + (x sin ϕ + y cos ϕ)2 =
¸ OM = OM º
M = f (M)¸
x2 + y 2 º
MOM
−−→ −−→
OM OM
xx + yy
−−→ −−→
cos MOM = cos (OM, OM ) = −−→ −−→ = 2
=
x + y2
|OM| |OM |
x(x cos ϕ − y sin ϕ) + y(x sin ϕ + y cos ϕ) (x2 + y 2) cos ϕ
=
=
=
x2 + y 2
x2 + y 2
= cos ϕ
∠MOM = ϕº
ϕ
M = RO
(M)
ϕ
f = RO
º
¸
M
¹
¸
¸
¸
¸
´ º½µ
ϕº
¿¼
�º½ º
º
º
´ º½µ
´¿º µº
¸
¹
ε = +1¸ x0 =
¸
y 0 = 0¸
¸
¸
¸
º
º½ º
¸
¹
¸
¹
¸
¸
º
½◦ º
º
¾◦ º
º
º
ϕ
RO
¸
º
¹
¸
=
ϕ
RO
(
OA
ϕ
A = RO
(A)º
A ∈
)
O
º
¹
´A
¸
∈
µ
¹
¹
OA = OA ¸
¿½
º ½½
�∠AOA = ϕ
∩
OA ⊥ º
OABA ¸
B =
º þ
A
¹
Aº
180 º
(180◦ − ϕ) = ϕº
◦
¿◦ º
¸
∠AOA + ∠ABA =
∠( , ) = 180 − ∠ABA = 180◦ −
◦
−1
(Rϕ
= R−ϕ
O)
O º
ϕ
M = RO
(M)
Mº
OM = OM
∠MOM = ϕº
ϕ −1
(RO
)
M¸
OM = OM
∠M OM = −∠MOM = −ϕº
¸
−ϕ
RO º
º
◦
º
M
¸
¹
ϕ
ϕ+ψ
Rψ
º
O ◦ RO = RO
M
º þ
M1 =
ϕ
RO
(M)
ψ
RO
(M1 )¸
¹
M =
OM = OM1 ¸ OM1 = OM
∠MOM1 = ϕ¸
ψ
ϕ
ψ
ϕ
∠M1 OM = ψ º
(RO ◦ RO )(M) = RO
(RO
(M)) =
ψ
RO
(M1 ) = M ¸
¸
¹
¸ OM = OM
∠MOM = ∠MOM1 + ∠M1 OM =
ψ
ϕ
ϕ+ψ
(RO ◦ RO ((M) = RO
(M)º
¸
¹
ϕ + ψ¸
O
ϕ ψ
¹
O
ϕ + ψº
¿¾
�ï º
º½ º
ZO
O
¹
M
¸
M
½µ
¾µ
M ∈ OM
OM = OM
Oº
¸
M
M
◦
180
ZO = RO
¸
¸
◦
½ ¼ º
º
º
¹
þ
º
O ij
¹
Z
¹
¸
M
¸ M = Z(M)
M(x, y)¸ M (x , y )º
¸
¹
−−→
−−→
¸
OM = −OM º
−−→
−−→
OM(x, y)¸ OM (x , y )¸
º ½¾
x = −x,
y = −y.
þ
´ º½µ
¹
´ º½µ¸
¿¿
�º
¸
´ º½µ
¹
º
S(x0 , y0)¸
¸
x − x0 = −(x − x0 ),
y − y0 = −(y − y0 ).
´ º¾µ
º½ º
¹
º
º
¸
´ º½µ
´¿º µ
ε = +1¸ ϕ = 180◦ ¸
x0 = y0 = 0º
¹
º
º½ º
¸
¸
¸
¹
¸
º
º
½ º
¹
◦
º
¿
�¾◦ º
¸
¸
º
¿◦ º
¸
¹
¸
¸
¸
¹
¹
¹
º
◦
º
¹
º
◦
º
¹
¸
º
¹
¸
º
◦
º
ZO ◦ ZO = eº
◦
º
−−→ º
ZO2 ◦ ZO1 = T2−
O1 O2
M
º þ
M1 = ZO1 (M)
M = ZO2 (M1 )º
−−−→
−−−→ −−−→
−−−→
O1 M1 = −O1 M ¸ O2 M = −O2 M1 º
−−−→ −−−→ −−−→
−−−→ −−−→
−−−→
MM = MM1 + M1 M = (MO1 + O1 M1 ) + (M1 O2 +
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
¸
O2 M ) = 2O1M1 + 2M1 O2 = 2O1 O2 ¸
Mº
¸ M = T −−−→ (M)º
2O1 O2
¸
M = (ZO2 ◦ ZO1 )(M)º
¸
¹
¿
�¹
º
ï½¼º
½¼º½ º
S ,a
Ta
S
a
º
S ,a = S ◦ Ta º
a ¸ S ◦Ta = Ta ◦S ¸
¸
ºþ
¸
¸
¹
¹
º
þ
S ,a
º
º
O ij
þ
¸
O ∈
a(a1 , 0)º
T
¸
i
º þ
M(x, y)
S
a
M(x, y) −→
M1 (x1 , y1 ) −→ M (x , y ).
º ½¿
Ta : x1 = x + a1 , y1 = y.
S : x = x1 , y = −y1 .
´½¼º½µ
¿
´½¼º½µ
´½¼º¾µ
´½¼º¾µ
�x = x + a1 ,
y = −y.
´½¼º¿µ
¸
¹
¸
´½¼º¿µ¸
¹
º
½¼º½ º
¹
º
º
¸
´½¼º¿µ
¹
ε = −1¸ ϕ = 0¸ x0 = a1 ¸ y0 = 0º
´¿º µ
½¼º½ º
¸
¸
¸
¹
¸
º
º
½◦ º
º
¾◦ º
¸
¸
¸
º
¿
�¿◦ º
¹
¸
¸
¹
¸
¹
º
◦
º
¹
¸
¹
ϕ¸
¸
ϕ¸
¹
´
µº
½
ï½½º
¹
N
½µ
¾µ
¿µ
µ
N
N
N
N
fº þ
= 0¸ f
= 1º f
=2
= 3º
¸
ï º
¸
0
N
S ◦ S = eº
¸
¿
3º
�½½º½ º
¹
¹
¸
¸
º
S
º
Sm ¸
mº
m
hº
þ
Mº
¹
M1 = S (M)¸ M = Sm (M1 )
¸ M = (Sm ◦ S )(M)º
¸
¹
MK = KM1
= MM1 ∩ µ¸ MM1 ⊥ M1 L = LM
´L = M1 M ∩ mµ¸ M1 M ⊥mº
¸
º ½
MM
−−−→ −−−→ −−→
M KL = hº
MM MM MK+
−−−→
−−→ −−→
−−−→
−−→
−−→
−−→
KL
KM1 · M1 L + LM
2KM1 + 2M1 L
2KLº þ
´K
º
¸
−
→ (M)º
M = T2−
KL
M¸
¹
¹
Sm ◦ S =
−
→º
T2−
KL
½½º¾ º þ
º
º
Ta º þ
K
⊥aº
K
þ
¿
¹
�KL
−−→
KL =
¸
m¸
½½º½
−−→
2KL = a¸
−
→º
Sm ◦ S = T2−
KL
1
2
aº
L
º
Sm ◦ S = Ta º
½½º¿ º
¹
¸
º
S
º
Sm ¸
¸
∩ m = Oº
m
αº þ ¹
Mº
M1 = S (M)¸ M = Sm (M1 )
¸ M = (Sm ◦S )(M)º
O
m¸
¸
º
¹
¸
º ½
OM =
OM1 ¸ ∠MOK = ∠KOM1 ´K = MM1 ∩ µ OM1 = OM ¸
∠M1 OL = ∠LOM ´L = M1 M ∩ mµº
¸ OM = OM ¸
MOM
∠KOL = α ´
M µº
2KOM1 + 2MOL
MOK + KOM1 · M1 OL + LOM
2α
2KOL 2αº
¸ M = RO (M)º
¹
2α
M¸
Sm ◦ S = RO º
¼
�º þ
½½º
º
ϕ
RO
º þ
º
¹
O
m
α
¸
ϕ
º
2
µ
½½º¾
Sm ◦ S =
2α
RO
2· ϕ
ϕ
= RO 2 = RO
º
N =3
½½º
º
¹
º
º
¸
¹
m¸ pº
Sm ◦ S = Ta ¸
½½º½
1
Ta
¹
¸
¸
Sp ◦Sm ◦S
e◦S
S
º
º
º
m¸
Sp ◦(Sm ◦S ) Sp ◦Ta
½½º
Ta = Sm ◦ S
º þ
¸
pº
Sp ◦(Sp ◦S ) (Sp ◦Sp )◦S
º
¹
º
º
½
�º
½½º
¹
¸
¹
¸
¸
¹
º
º
¸
m¸ pº
Sp ◦Sm ◦S
Sp ◦ Sm ◦ S = (Sp ◦ Sm ) ◦ S .
A = m ∩ p ϕ = (m, p)
m pº
A
Sp ◦ Sm
m ∩ p = A (m , p ) = ϕº
Sp ◦ Sm
´½½º½µ
m⊥
Sp ◦ Sm ¸
Sp ◦ Sm ¸
½½º¾
2ϕ
RA
º
½½º¿
¹
(Sp ◦ Sm ) ◦ S = (Sp ◦ Sm ) ◦ S = Sp ◦ (Sm ◦ S ).
´½½º¾µ
m
Bº
B
Sm ◦ S
m ⊥
º
Sm
¸
⊥p
◦S =
◦
2·90
RB
=
ZB º
Sp ◦ (Sm ◦ S ) = Sp ◦ (Sm ◦ S ).
´½½º¿µ
´½½º½ ¿µ
º ½
Sp ◦ Sm ◦ S = Sp ◦ (Sm ◦ S ) = (Sp ◦ Sm ) ◦ S .
¾
´½½º µ
�p m
¸º
Sp ◦Sm º
Sp ◦Sm = Ta ¸
¸
½½º½ µ
¸
¸
Ta ◦ S = S
a
a⊥p
⊥m
¸
´
¹
º
,a º
¹
¸
Sp ◦ Sm ◦ S = S
,a º
m p¸
º
Sm ◦ S
m
¹
Sm1 ◦ S 1 ¸
Sm ◦S = Sm1 ◦S 1 º
½½º
⊥p
1
m1 ¸
mº
¸
º
º þ
¹
º
S ,a
aº
1 Ta = Sp ◦ Sm ¸
º
Ta ◦ S ¸
Sp ◦ Sm ◦ S
º
½½º
º ´
S ,a =
S ,a =
p mº
µ
½µ
¾µ
¿µ
µ
´
µ
µ
º
¿
¸
¹
�¸
¸
´
¹
¸
¹
µ
¸
º
º
¹
º
ï½¾º
ÿ
þ コ
¸
¹
¾º½ º þ
´
e
¸
¹
f −1
fº
¹
¹
º
¸
¹
¸
½
¾
º
½¾º½ º
¸
¹
º
º
½ º
f
g
¹
º
¸
º
¸
º
¸
g◦f
f
�g
g◦f
¸
¸
´
¸
¾ º
g◦f
f
¹
¹
º½ µº
º
f
º
f −1
¸
º
½
¸
¾
f
−1
½¾º½ º ý
Φ
º
º
´
´Φ
¹
º
∼
= Φµ¸
Φ
Φ =Φ
¸
Φ
µ
f¸
Φº
¸
´
µ
¸
½µ
¾µ
¿µ
º
¹
º
Φ=Φ
Φ =Φ⇒Φ=Φ
Φ = Φ, Φ = Φ ⇒ Φ = Φ º
½¾º¾ º
¹
½µ
¾µ
¿µ
º
º
½µ
º
¸
¹
¸
º
¸
¹
�¸
º
¾µ
¿µ
´
◦
¸
º ¿¾µº
◦
¸
◦
¸
º ¾ ¸ ¾ µ
◦
´¿ ¸
�ÿ
¾
ソº
½¿º½ º
¹
O ij
| i |=| j |= k | i |= k | j |= k
¸
(x, y)
M
Oi j
´
Oi j
¸
¼µº
M
O ij
¹
(x, y)¸
¹
¸
kº
¹
¸
º
º
¹
¸
M¸ N
|M N | = k |MN|º
k¸
M¸N
º
º
¹
�O ij
º
N
M
M(x1 , y1 )¸ N(x2 , y2)º
|MN| =
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 º
M¸N
M¸ N
¹
¹
(x1 , y1 )¸ (x2 , y2 )
|M N | =
¹
Oi j º
−−−→ 2
MN =
º ½
((x2 − x1 ) i + (y2 − y1 ) j )2
(x2 − x1 )2 i
2
+ (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) i j + (y2 − y1 )2 j
k 2 (x2 − x1 )2 + k 2 (y2 − y1 )2 = k |MN|¸
k2 i j = 0 º
i
2
2
=j
2
º
½◦ º
º
¾◦ º
¹
¹
= f ( )º
¸
¿◦ º
º
◦
º
º
◦
º
¹
¸
º
=
�◦
º
¹
º
◦
º
¹
¹
º
º
º
◦
º
¹
¸
¹
º
þ
¸
º
ü
½¿º½ º
O ij
f
Oi j
k
¹
¸
∠(i, i ) = ϕ
M(x, y)Oij
O (x0 , y0 )Oij ¸
M (x , y )Oij
x = k(x cos ϕ − εy sin ϕ) + x0 ¸
y = k(x sin ϕ + εy cos ϕ) + y0 ,
ε = ±1º
´½¿º½µ
�º
M
¹
M
(x, y)
¹
Oi j
M
¸
¹
O ij º
O i1 j1 ¸
º ½
1
i1 = i ,
k
i1
þ
| i1 |=|
1
j1 = j .
k
´½¿º¾µ
j1
1
1
1
i |= | i |= k | i |=| i |,
k
k
k
| j1 |=| j | .
O ij
¸
O i1 j1
M
º
(x1 , y1 )
O i1 j1 º
þ
¹
¸
O ij
M
O i1 j1 º
þ
º
x = x1 cos ϕ − εy1 sin ϕ + x0 ,
y = x1 sin ϕ + εy1 cos ϕ + y0 ,
ε = ±1º
(x1 , y1 )
þ
´½¿º¿µ
M
¹
−−−→
OM
(x, y)º
{i1 , j1 }
{i , j }º
−−−→
1
O M = x1 i1 +y1j1 = x1
i
k
¸
+y1
¼
1
j
k
=
1
1
x1 i +
y1 j ,
k
k
�−−−→
O M = xi + y j .
−−−→
OM
{i , j }
1
x1 ,
k
x=
y=
x1 = kx,
1
y1 .
k
y1 = ky.
´½¿º µ
´½ º µ
´½ º¿µ¸
(x, y)
´½¿º½µº
M¸
´½ º½µ
¹
M
M
O ij º
½¿º¾ º ´
µº
f
¹
M(x, y)
M (x , y )
¹
O ij ¸
M
¹
M
f
´½¿º½µ¸
º
¹
¾
º
½¿º½
½¿º¾
½¿º¿ º
¹
´½¿º½µº
ε = +1
¸
Oi j
O ij
¸
º
½
ε = −1
¹
�½¿º¾ º
¹
¸
´½¿º½µ¸
ε =
+1
ε = −1º
¸
¸
¹
º
þ
º þ
½¿º
º
º
¹
¸
k > 0¸
kº
½¿º½ º
f
¹
¸
¹
¹
k > 0º
a b
a b = k 2 a bº
¸
¹
a
b
¹
½¿º
¹
¹
´
º
º½ ¸
º½ µº
¾
�½¿º
¹
¹
º
½¿º¿ º
k>0
¹
¸
¹
kº
¸
ï½ º
ÿ
½ º½ º ÿ
O
k=
0
¸
M
M
−−→
−−→
OM = k OM.
´½ º½µ
º ¾¼
º
HOk
¹
O
kº
¿
�½ º¾ º ÿ
Φ
Φ = HOk (Φ)º
M
½µ
M
¹
Oº
M
¾µ
¿µ
µ
M
k > 0¸
O¸
k < 0º
OM =| k | OM º
¸
k=1
k = −1
º
þ
ºþ
Oi j
¸
º
HOk º
M (x , y )
−−→
−−→
OM(x, y) OM (x , y )º
¹
M(x, y)
M
¹
´½ º½µ
x = kx,
y = ky.
x0 , y − y0 )
−−→
SM (x − x0 , y − y0 )º
´½ º¾µ
S(x0 , y0)¸
−−→
SM (x−
¹
�S
x − x0 = k(x − x0 ),
y − y0 = k (y − y0 ).
¸
¸
´ µ
´½ º¿µ
´½ º¿µ
x = kx + a,
y = ky + b.
ý
¹
a = x0 − kx0 ¸ b = y0 − ky0 ¸
´½ º µ
´ µ
¸
´
k = 1µº
M¸ N
M¸N
−−−→
−−→
M N = k MN .
´½ º µ
º þ
−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→
MN = ON − OM ¸ M N = ON − OM ¸
−−→
−−→ −−→
−−→
OM = k OM ¸ ON = k ON
−−−→ −−→ −−→
−−→ −−→
−−→
M N ON − OM k (ON − OM) k MN º
½ º½ º ÿ
¹
k
M N = |k| MN º
| k |¸
¹
−−−→
−−→
| M N |=| k | | MN |
�½ º¾ º
−−−→
−−→
M N ↑↑ M N ¸
−−−→
−−→
M N ↑↓ M N ¸
k > 0¸
k < 0º
½ º¿ º ÿ
¸
¹
º
½◦ º ÿ
¹
º
¾◦ º ÿ
¸
¸
¸
º
¹
¸
¹
¸
º
´k
¿◦ º ÿ
= 1µ
¹
¸
¸
¸
º
¸
º
¹
�◦
º
ÿ
¹
¸
¹
¸
¸
¹
r = | k | rº
◦
º þ
¹
¸
¸
¸
¸
º
ω(A, r)
º
º
ω
A K1 AK ¸ A K2
K K1
K K2
O1 = AA ∩KK1 ¸
O2 = AA ∩ KK2
¹
k1
k2
HO 1
HO 2 ¸
K
K
K1
K2 º
ω (A , r )
AK
AK
ω¸
AA ¸
º
¹
¹
º ¾½
A
¸
A¸
−−−→
−−→
A K1 ↑↑ AK ¸
k1 =
þ
−−−→
−−→ −−−→
−−→
A K1 = k1 AK ¸ A K2 = k2 AK
−−−→
−−→
A K2 ↑↓ AK ¸
r
,
r
r
k2 = − .
r
¸
k1
k2
´½ º µ
HOk11
HOk22 ¸
¹
´½ º µ¸
�ω
◦
º
ωº
1
k −1
(HO
) = HOk
º
HOk (M)¸
M =
−−→
−−→
OM = k OM
1
k
M = HO (M )
M
1
k
(HOk )−1
º
1
k
º
−−→
OM º
¸
M = (HOk )−1 (M )¸
¸
(HOk )−1 (M ) = HO (M )
◦
−−→
OM =
M
º
¹
1
k
= HO º
k2
k1
k1 k2
HO
◦ HO
= HO
º
HOk1
O
M
º
M1 = HOk1 (M) M = HOk2 (M1 )º
M = (HOk2 ◦ HOk1 )(M)º þ
¹
−−→
−−−→
−−→
−−→
OM = k2 OM1 k2 (k1 OM) (k2 k1 ) OM º
¸
M = HOk1 k2 (M)
M
HOk2 ◦ HOk1 (M) = HOk1 k2 (M)º
¹
º
HOk2
º
◦
º
k2
k1
HO
◦ HO
=
2
1
k1 k2
HO
,
Ta .
º
´½ º µº
¹
¸
�¸
¸
k1 k2 = 1µ
´
◦
¹
k1 k2 = 1µ¸
´
º
º ÿ
¹
º
H
º
´½ º¾µ
∆=
k 0
= k 2 > 0.
0 k
∆ > 0
º
´
µº
A¸ A
O ∈ AA
Mº
M
º
½µ
¾µ
¿µ
Mº
º
OM = ¸ AM = m
m m¸ A ∈ m
M = ∩m
º
º
H
O¸
A
M = ∩m¸
H( ) = ¸
A ∈ m A ∈ m
H(M) = H( ∩ m)
º ¾¾
Aº
¾
◦
◦
¿
O∈
H( ) ∩ H(m)
¹
´
¸
º ï½ ºµ
H(m) = m ¸
º
∩m = M
º
�º þ
B
B
M ∈ OA¸
¸
B∈
/ OA
¸
B
¸
A
¸
A¸
M
º
ï½ º
½ º½ º þ
¹
k
¹
º
Pk
º
O
ºþ
H
O
º
H
−1
¹
k¸
H
¹
¹
1
º
k
f = P k ◦ H −1
¹
¸
M N
−1
M1 = H (M)¸ N1 = H −1 (N) M = P k (M1 )¸
º
N = P k (N1 )º
¹
M1 N1 =
1
MN,
k
¸
N = f (N)
º
M
M N = k M1 N1 .
M N = MN º
N
f ◦H
(P k ◦H −1 )◦H
¼
M = f (M)¸
¸
f
k
−1
P ◦(H ◦H)
�Pk ◦ e
P kº
ï½ º
ÿ
½ º½ º
¹
¹
¸
º
º
k1
P
k1
½ º
P
k2 ¸
k2
¹
P k2 ◦ P k1
k1 k2 º
¹
¸
´
º
P
k2
k1
¹
¾º½ µº
¹
◦P
M
N
k2
k1
k2
k1
M = (P ◦ P )(M)¸ N = (P ◦ P )(N)
¹
k1
M N = k2 k1 MN º
M1 = P (M)
N1 = P k1 (N)¸
M = P k2 (M1 )¸ N = P k2 (N1 )º
¹
M1 N1 = k1 MN ¸
M N = k2 M1 N1 º
M N = k2 k1 MN
P k2 ◦ P k1
º
k
¾ º
P
º
Pk
k¸
¹
k −1
(P )
1
k −1
º
¸ (P )
¹
k
¸
1
º
k
½
¾
º
¸
¸
º
½
¸
¸
¹
¹
�½ º½ º ý
Φ
¸
Φ¸
Φ ∼ Φ¸
¸
Φ
¹
Φº
½ º¾ º
¹
º
º
½µ
¾µ
¿µ
¸
Φ∼Φ´
µ
Φ ∼Φ ⇒ Φ∼Φ ´
Φ ∼ Φ¸ Φ ∼ Φ ⇒ Φ ∼ Φ
¹
µ
´
µº
¸
¸
¸
¸
¹
¸
¹
º
½ º¾ º
º
¾
�½ º¿ º
½µ
¾µ
¿µ
µ
º
º ½µ
´
¸
½¾º¾ µ
º
¾µ
¿µ
◦
◦
´
¸
º ¾ µ¸
´
◦
º
´
µ¸
½
◦
¸
¾
◦
´
º
º ¾ µ
¸
¸
¸
◦
¸
µ
◦
´½ º µ
ï½ º
¿
´ º½µ
µ
�ÿ
¿
ü
ï½ º
ü
½ º½ º
O e1 e2
O e1 e2
º
¹
M
¸
(x, y)
M
O e1 e2 ¸
¹
O e1 e2
(x, y)¸
¹
¹
º
º ¾¿
¸
¹
º
¹
�º
¸
´
¹
º コµ
º
½◦ º ü
º
¾◦ º ü
¹
¹
= f ( )º
¸
¿◦ º ü
¹
º
◦
ºü
¹
¸
◦
º
ºü
¹
¹
º
½ º½ º ü
¹
¹
º
�◦
ºü
¹
¸
¹
º
þ
½
◦
¸
◦
◦
¸
º
º ü
¹
¸
º
¸
º
f
AB ¸ CD
AB¸ C D
A = f (A)¸ B = f (B)¸ C = f (C)¸ D = f (D)º
◦
¹
¸
◦
½
¸
¸
º
º
AB
µ
CD
º
D
C
BD ¸
AB
−−→ −−→
F B = CD ¸
¹
B
¹
¸
¹
Fº
¹
º ¾
¹
CF BD º
◦
F = f (F )º
¹
�−−→ −−→
F B =CDº
CFBD
þ
¹
¿º¾
−−→
AB
(A F , B ) = −−→ .
FB
−→
AB
(AF, B) = −−→ ,
FB
¹
´
(AF, B)º
¸
−−→
−−→
AB
AB
−−→ = −−→ = (A F , B ) = (AF, B) =
CD
FB
µ
A¸ B ¸ C ¸ D
A¸ B¸ C ¸ D
þ
(A F , B ) =
µ¸
−→
−→
AB
AB
−−→ = −−→ .
FB
CD
º
º
¹
E∈
/
¹
m
m
E
−−
→
−−→
EG = CD º
¹
E = f (E)¸ G = f (G)¸
m = f (m)º
E ∈ m¸
G ∈ m¸ m
¸
−−→
−−→
º ¾
¹
EG = CDº
µ ´ = mµ
−−→
−→
AB
AB
−−→ = −−→ .
EG
EG
−−→ −−→ −−→
EG CD ¸ E G
º
−−→
−−→
AB
AB
−−→ = −−→ .
CD
CD
−−→
CD
¹
�½ º¾ º ü
¹
º
½ º½ º
¹
´
A¸ B ¸ C
µº
A¸B¸C
º
A
¸
º
−−→ −−→
{A , A B , A C }º
¹
A¸ B
B¸C
C
º
º
−→ −→
R = {A, AB, AC}
R =
¹
fº
f
¹
A A¸ B B¸ C C ¸
A(0, 0)R A (0, 0)R ¸
B(1, 0)R B (1, 0)R ¸ C(0, 1)R
C (0, 1)R º
º ¾
º
º
¹
f
g¸
¹
A
A¸ B B¸ C Cº þ ¹
M
−−→
M = f (M)
M = g(M)º
M(x, y)R º
AM
−→
−→
−→ −−→
−→ −−→
xAB + y AC º
xAB = AM1 ¸ y AC = AM2 º
¹
AM1 MM2
º
◦
A M1 M M2
�g¸
g(M2 )¸
M1 = g(M1 )¸ M2 =
◦
¸
−−−→
−−−→
−−→
−−→
A M1
AM1
A M2
AM2
−−→ = −→ = x, −−→ = −→ = y.
AB
AC
AB
AC
−−−→
−−→ −−→
A M = xA B +y A C ¸ º º
M (x, y)R º
f
R R¸
M (x, y)R
¸
¹
¸
M
M
f (M) =
M
¹
f = gº
Mº
g(M)º
¸
½ º¿ º
¹
f
R
R¸
¹
R1
R1 ¸
R1
¸
R1 = f (R1 )
º
½ º¾ º
¹
f
O e1 e2
O e1 e2 ¸
e1 = a1 e1 + a2 e2 ¸ e2 = b1 e1 +
b2 e2
O (x0 , y0 )Oe1 e2 ¸
M(x, y)Oe1 e2
M (x , y )Oe1 e2
¹
x = a1 x + b1 y + x0 ,
y = a2 x + b2 y + y0 ,
∆
a1 b2 − a2 b1 = 0º
´½ º½µ
�º
¹
M
(x, y)
M ¹
M
O e1 e2 ¸
O e1 e2 º
þ
¸
O e1 e2
O e1 e2
¹
M
º þ
(x, y)
´½ º½µº
M¸
¹
´½ º½µ
M
M
¹
O e1 e2 º
½ º¿ º
´
µº
¹
f
M(x, y)
M (x , y )
¹
O e1 e2 ¸
M
M
´½ º½µ¸
f
¹
º
¸
½ º¾
½ º
º
½ º¿
º ü
´½ º½µº
¸
∆>0
O e1 e2
¸
º
¼
O e1 e2
∆<0
¹
�½ º¾ º ü
¸
´½º½ º½µ¸
¹
∆>0
¹
∆ < 0º
º ü
¸
¹
¹
º
ï½ º
½ º½ º
¹
´
µ
¹
´
µ
xx¸
´
xxµ
k
M
¸
M
½µ
¾µ
MM
−−−→
−−→
XM = k XM ¸
¹
X = MM ∩ xxº
º ¾
½
�k > 0¸
½µ
xx¸
¸
M
M
k < 0¸
M
¾µ
M
¹
´
⊥xx
k = −1µº
þ
º
¹
O e1 e2
xx¸ e2
e1
¸
¸
O ∈ xx¸
M(x, y)
M (x , y )
¹
−−→
rº
OM = xe1 + y e2 =
−−→ −−→ −−→
−−→ −−−→
OX + XM ¸ OM = OX + XM =
−−→ −−−→
OX + k XM = xe1 + kye2 º
−−→
¸ OM = x e1 + y e2 º
º ¾
x = x,
y = ky.
´½ º½µ
þ
¹
´½ º½µ¸
¹
´
µº
½ º½ º
¹
º
º
¸
´½ º½µ
¹
¹
´½ º½µ
¾
¸
�´½ º½µ
b2 = k ¸
a1 = 1¸ b1 = a2 = 0¸ x0 = y0 = 0
´½ º½µº
½ º½ º
¹
¸
¹
¸
¹
¸
¸
¹
º
º
½◦ º
¹
¹
º
¾◦ º
¹
¸
¸
º
¿◦ º
¹
¸
¸
¹
º
½ º¾ º
Φ
º
¿
Φ
�◦
º
¸
◦
º
º
¸
¸
º
½ º¿ º ÿ
a
¸
¹
b
¹
a
a
¸
b
b
º
º
◦
º þ
¹
º
º
r
¹
xx
¹
¸M
M = r(M)
º
p
¹
MM
ω(O, OM)º þ
xx
X Yº
a = XM ¸ b = Y M
a = XM ¸ b = Y M
º ¾
¸
¹
¸
º
�a = r(a)
º
º
b = r(b)º
ω¸
a ⊥b º
a⊥b
¸
XY
∠XMY = 90◦
¸
∠XM Y = 90◦ ¸
p
xx
p xx¸
MM ⊥xxº þ
a b
a = MM ¸
b
M
xx
a = a b bº
xx¸ M M
r
ºþ
Oº
p
þ
¸
¹
¹
xxº
º
´
º
µº
xx
Mº
¸
º
M
¾µ
¿µ
µ
µ
¸
Mº
º
AM
X = AM ∩ xx
XA
m AA ¸ M ∈ m
M = XA ∩ mº
º
¸
º ¿¼
M¸
¸
¸
XA¸
¸
º
A
¸
º
½µ
A
º mº
AM xxº
¸
M
¸
º
º
XA ¸ ¸
M
Mº
¹
¹
¸
AM
AA ¸
xx¸
�ï½ º
ÿ
½ º½ º
º
º
f
½ º
g
¸
¹
R
R ¸ R1
R1
R1 º
½ º¿
R1
R R º ¹
R = f (R) R = g(R )¸
R = (g ◦ f )(R)º
¹
¸
M
M(x, y)R º
M = f (M) M = g(M )¸
¸
f g
¸
M (x, y)R M (x, y)R º
M = (g ◦ f )(M)
¸
¹
Mº
¸ g ◦ f
¸
R R º
¾ º
f
¸
¹
R Rº
¹
f −1
R
Rº þ
M
M =
M = f (M)º
f
¹
f −1 (M )º
¸
M(x, y)R
M (x, y)R º
¸
¹
−1
f
¸
f¸
f −1
º
º
¸
¹
¹
º
�½ º½ º ý
Φ
¸
Φ¸
¹
¹
¸
Φ
¹
Φº
½ º¾ º ü
¸
º
º
¸
¹
º
ü
¹
¸
¸
º
º
¹
¹
¸
¹
¸
º
º
¸
¸
¸
¸
º
¸
¸
¸
¸
¸
º
½ º¿ º
¹
½µ
¾µ
¸
¹
�¿µ
¹
´
µº
º
ï¾¼º
¹
º
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¹
º
f
Ψ
´Ψ = Φ1 ∩ Φ2 µ
Φ1 ¸ Φ2
Ψ = f(Ψ)¸ Φ1 = f(Φ1 )¸ Φ2 = f(Φ2 )¸
f(Ψ) = f(Φ1 ∩ Φ2 ) = f(Φ1 ) ∩ f(Φ2 ) = Φ1 ∩ Φ2 = Ψ .
º
½º
AB
¸
¸
O
¹
¹
º
º
¸
¹
O
AB º
A
m⊥
M =m∩ ¸
¹
¹
º ¿½
¹
�B
p⊥
Z
¾
¸
P = p∩
Oº
= Z( )º
◦
m
º
¹
O∈
AO = OB ¸
B = Z(A)
p
¹
A Bº
p = Z(m)º
Z(M) = Z(m ∩ ) = Z(m) ∩ Z( ) = p ∩ = P º
¸ M
P
O
º
Z(AM) = BP º
¹
¸
AM = BP º
¾º
BA BC
ABC
a a ¸ K = a ∩ BA¸ L = a ∩ BC ¸
L = a ∩ BC ¸ K = a ∩ BA¸
L = a ∩ BC º
K
K
b b¸
L L
¹
◦
¿
c cº
PP ¸
¸
P = b∩c
P = b ∩c ¸
Bº
º
K
º ¿¾
H
K = H(K)º
B
¹
◦
¾
º
b = H(b)¸
K K
H(L) = H(a ∩ BA) H(a) ∩ H(BA)
Lº
c c
L L¸
¸
◦
¿ ¸
c = H(c)º
¸
H(P ) H(b ∩ c) H(b) ∩ H(c) b ∩ c P ¸ º º
B ∈ PP º
¿
◦
¹
a = H(a)
º
¹
a ∩ BA =
P
P
�¿º
¸
¹
¸
¸
¹
¸
¹
º
f¸
º
ABCD
ABC Dº
¹
¹
þ
º ¿¿
¹
ADE
´E = AB ∩ CD ¸ E = A B ∩ C D µº
¸
ADE
¹
¸
S¸
ADE¸ º
K
BC
ADº
¹
EK
º
AD
´
K
BC
AD
¸
ADº
ABC Dµ
ABCD º
AD¸
EK¸
¹
º
S(B ) = S(A E ∩B C ) = S(A E ) ∩
B
C
¹
S(B C ) = D E ∩ B C = C ¸ º º
EKº
¸
L =
B C ∩E K
BC¸ ¸
¸
L
BC
ABCD ¸
¼
�L ∈ EK º
¹
S(B ) = C
º
S(D ) = A ¸
BD
CA
F = BD ∩CA
F = BD ∩ CA¸
f
EK º
¸
¸
E = AB ∩ CD ¸ F = BD ∩ AC ¸ K
BC
º
½
EK
º þ
¹
F
¸
¹
AD
L
�ÿ
ÿ
ï¾½º
º ü
þ
¸
¹
¸
º
¹
¸
¹
º
1◦ º
2◦
º
´
µ
¸
¹
º
3◦ º
¸
¹
¸
º
4
◦
5
◦
º
¸
º
º
¸
¹
¸
º
6
◦
º
¹
¸
7◦ º
º
¸
º
8◦ º
¸
º
¾
¹
�7◦
ü
¸
8◦
¸
¹
¸
¹
º
¸
¹
¸
¹
¸
¸
¸
¸
¹
º
¹
¸
º
¹
¸
º
ü
1◦ µ
¸
2◦ µ
¸
3◦ µ
¹
¸
¹
º
º þ
1
4◦
◦
¸
3◦
ü
2◦
2◦ º
º
1◦ µ
¸
¹
¸
´
µ
2
◦
µ
¹
¸
º
º ü
¹
¸
¿
ï¾ º
�½º
¸
º
¾º
¸
¹
º
¿º
¸
º
º
¸
¹
¸
º
º
¹
¸
º
º
¸
¸
¹
º
º
º
º
º
º
¸
¸
¹
¸
¸
¸
º
½¼º
¸
º
ï¾¾º
º
¸
¹
¹
¸
¹
¸
´
¹
¸
µº
¸
º
¹
�¸
¸
¹
¸
¸
º
¹
¹
¸
¸
º þ
¸
¹
º
¸
º
¹
¸
¹
¹
º
¹
º
¹
¸
º
º
¹
¸
¸
¹
º
¸
½º
¸
¾º
º
¸
º
¿º
¸
º
º
´
¹
µº
º
¸
¹
¸
º
º
¸
¹
�¸
º
º
¸
¸
¹
º
º
µ
µ
µ
º
º
¹
µ
µ
µ
µ
µ
º
½¼º
¹
º
½½º
¸
¸
¹
¹
º
½¾º
¹
º
½¿º
¹
º
﾿º
º
�Φ10
ω(O, r)¸
´
aµ
O
¸
¹
¹
r
a
º
2
a¸ ω(O, r)º
¸
Φ10 º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
A∈ω
ω (A, a)
B ∈ (ω ∩ ω )
C ∈ AB ¸ AC = CB
ω1 (O, OC) = Φ10 ¸
r2 −
OC =
Φ12
º ¿
a2
º
4
´
¸
¹
¸
ω¸
O
r
√
aµ
a2 + r 2 º
¹
a¸ ω(O, r)º
Φ12 º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
P ∈ω
P E⊥P O
Q ∈ P E¸ P Q = a
ω (O, r )¸ r = OQº
ω = Φ12 ¸
r
Φ13 ´
ω(O, r)
√
r 2 + a2 º
º ¿
¸
¹
ϕµ
O
r¸
r
¹
�ϕ
2
¸
´r
= r/ sin
ϕ
µº
2
ω(O, r)¸ ϕº
Φ13 º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
P ∈ω
P E⊥P O
ϕ
ϕ
◦
µ 90 −
2
2
∠P OF = 90◦ −
ϕ
2
Q = P E ∩ OF
ω (O, r )¸ r = OQº
ω = Φ13 ¸
r =
r
º
sin ϕ2
º ¿
ϕ
∠P QO =
2
Φ14 ´
AB
¸
¹
ϕµ
´
¹
µ
r=
a
º
2 sin ϕ
ϕ¸ AB = aº
Φ14 º
º
∠BAC = ϕ
¾µ AD⊥AC
¿µ S ∈ AB ¸ AS =
SB ¸ SE⊥AB
µ O = AD ∩ SE
½µ
º ¿
¹
�µ
µ
µ
µ
O = SAB (O)
ω(O, r)¸ r = OA
ω (O , r)
AGB∪
AG B
´G ∈ ω ¸ G
C
G = SAB (G)µº
AGB∪
AB ¸
AG B = Φ14 ¸
r=
a
º
2 sin ϕ
Φ15
´
a
: cos(90◦ − ϕ) =
2
¸
¹
A
m¸ nµ
B
ü
º
AB º m¸ nº
Φ15 º
º
AX
¾µ C ∈ AX ¸ AC = m
¿µ {D, E} = AX∩ ω (C, n)
µ p BE ¸ C ∈ p
µP = p ∩ AB
µ q BD ¸ C ∈ q
µ Q = q ∩ AB
µ S ∈ P Q¸ P S = SQ
µ ω(S, SP ) = Φ15 ¸
AP
AC
m
AQ
AC
m
=
= ¸
=
=
.
P B CE
n
QB CD
n
½µ
Φ16
´
¸
¹
A
pµ
¹
¸
º ¿
B
¹
�AB
K
AB ¸
p2 + a2
AK =
º
2a
AB ¸ pº
Φ16 º
º
BE⊥AB
X ∈ BE ¸ BX = p
¿µ AX
µ Y ∈ (AB ∩ ω(A, AX))
µ Y F ⊥AY
º ¿
µ G = Y F ∩ AX
µ H ∈ AG¸ AH = HG
µ K ∈ (AB ∩ ω (A, AH))
µ KL⊥AB º
ºþ
ABX
º KL = Φ16 º
◦
∠B = 90 ¸ AB = a¸ BX = pº
¸ AX =
2
2
2
2
a +p º
Y ∈ ω¸
AY = a + p º
¹
BX⊥AB ¸ GY ⊥AY
BX Y G
AB
AX
AX · AY
p2 + a2
=
º
AG =
=
º
¹
AY
AG
AB
a
1
p2 + a2
AH = AG¸
¸ AH =
º
K ∈ ω¸
2
2a
p2 + a2
AK =
¸
¸
KL⊥AB º
2a
½µ
¾µ
Φ17
´
¸
¹
A
qµ
AB
B
¹
S
¹
a ´r =
r¸
1
2q 2 − a2 µº
2
¼
√
q 2
�AB = a¸ q º
Φ17 º
º
P ∈ AB ¸ AP = q
¾µ AE⊥AB
¿µ Q ∈ AE ¸ AQ = q
µ ω (B, P Q)
µ C ∈ (ω ∩ AE)
µ S ∈ AB ¸ AS = SB ¸ SF ⊥AB
µ M = SF ∩ BC
µ ω(S, r)¸ r = SM º
½µ
º
ω(S, r) = Φ17 º
º
º
¼
AP Q
¸
¹
√
P Q = q 2 + q 2 = q 2º þ
ABC
¹
√
∠A = 90◦ ¸ AB = a¸ BC = P Q = q 2º
√
AC = (q 2)2 − a2 = 2q 2 − a2 º
¸
SF AC
´
AB µ S
¹
AB ¸
¸
M
BC º
1
SM = AC
ABC º
¹
2
1
¸ r = SM =
2q 2 − a2 º
2
ï¾ º
¸
¸
¸
¹
¸
¹
º
º ü
¸
ºþ
´
½
¹
�¸
¸
µ¸
¸
¹
º
¹
Φ1
Φ2
Φ3
¸
Φ1 ¸
Φ2 ¸
º
º¸
¸
¹
º
º
¹
´
µ¸
¹
º
¹
¸
º
¸
¹
º
¸
º
º
¹
¸
º
¹
¸
¹
¸
¸
º
¸
¸
¹
¸
º
º
¸
¸
º
α¸ b¸ hº
¾
�ABC
∠A = α¸
¾µ b = AD ¸ ∠BAD = ∠DAC
¿µh = AH ¸ AH⊥BC º
½µ
º
ü
ABC
º
¸
ºþ
α¸
hº
b
AHD
¸
¹
AH
AD º
¸
´ º º
B
µº
C
¹
HD ¸
AB
AC
AD
¸
º
αº
B
¸
½
¹
C
¹
HD º
ü
º
b hº
b > h¸
AHD
º
º
AHD ∠H = 90◦ ¸
AH = h¸ AD = b
α
¾µ
2
α
¿µ ∠DAE =
¸
2
α
∠DAF = ¸
E
2
½µ
¹
µ
µ
F
AD
º
HD
B = AE ∩ HD C = AF ∩ HD
¿
¾
�ABC º
µ
º
ü
¸
∠DAC =
½µ
α
2
∠BAD = ∠EAD =
α
º
2
´ º ¿µº
∠A = ∠BAD + ∠DAC =
α
α
+
αº ¾µ AD = b ´ º
2
2
¿µ AH = h¸ AH⊥BC ´ º ½µ ´
HD ´ º µµº
½µ¸
º
AD
¹
B
´ º ¿µº
C
AHD µ
´
b>h
¹
º
b = h¸
º þ
º
¹
¹
AD º
D
´b
¸
H = Dº
¹
¸
B
H
= hµ¸
⊥AD ¸
¸
º
º
α < 180◦
¹
¸
b = h¸
¹
C
AE
AF º þ
α < 180◦ ¸ b
hº
ý
º
¿ ´ º ¾
¹¾
µº
ï¾ º
¸
¹
º
¹
´
µ¸
¸
º
¹
�º
¸
¹
¹
º þ
¸
º
Φ
Φ
º
Φ
Φ
¸
¸
º
Φ = Φ ∩Φ
¹
¸
¸
¸
º
½º
¸
¹
¹
º
r ¸ A¸
º
º
ω(O, r) A ∈ ω ¸ ω∩ = {B} ´
ü
º
µº
¸
ω
ω
º
O
¸
OB
º
¹
ω
º
¹
OB⊥
¸
¸
B
rº
¸
Oº
¸
O
A
¸
º
Oº
¸
Φ
¿
r
Φ
º
Φ
¸
¸
rº
º
¹
º
Φ6
¸
¹
¸
¹
�rº Φ
¸
º
r
¹
¸
ω1 (A, r)º
O¸
O ∈ (Φ6 ∩ ω1 )º
Φ6 ω1
¹
A
º
¸
º ü
º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
ω1 (A, r)
Φ6
µ M ∈ ¸
µ m⊥ ¸ M ∈ m¸
µ{E, F } = m∩ω2 (M, r)¸
µ a ¸ E ∈ a¸
µ b ¸ F ∈ b¸
µ Φ6 = a ∪ b
O ∈ (Φ6 ∩ ω1 )
ω(O, r)º
º
O ∈ ω1 ´
¿µ¸
OA = r
¸ A ∈ ωº
O
´ º¿µ¸
OB = r
OB = r ¸
¸
Bº
¹
¸
¹
º
OB
B ∈ ωº
ω
º
ω1
¸
¸
Φ6 º
º
h
AB
OA + OB
¸
¸
A
º
h AB º
OA + OB = r + r = 2r ¸
h 2r º
h 2r º
º
h = 2r ¸
¸
¸
O ∈ Φ6
OB⊥
º
º þ
h < 2r ¸
¹
¹
�A
¸
b
r¸
a
r
ω1
º
¾º
¸
¸
¸
¸
¹
¸
º
a¸ hº
ABC
½µ
¾µ
¿µ
BC = a
AD = h¸ AD
∠(BE, CF ) = 90◦ ¸ BE
CF
º
º
ü
º
¹
¸
O = BE ∩CF º
¸
½µ
¾µ
∠BOC = 90◦ º
Φ6
BC
º
ABC
O
BC
¸ O
Φ1 º Φ6
º
¹
1
3
¸
h¸
¹
¸
BC º
1
h¸
3
º
ü
Φ1
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
µ
º
µ
º
BC = a
BC = a
S ∈ BC ¸ BS = SC
ω(S, SB)
m BC
O ∈ω∩m
SO
A ∈ SO ¸ OA = 2SO
ABC º
º
1
3
h
�O
A
OK AD
BC ¸
h
O∈m ¸
¸ OK = º
¹
3
SOK SAD
SO : SA = OK : AD =
AD = 3OK = 3 · h3 = hº
O
AS
2 : 1¸
A
1 : 3º
´ º µ¸
BE
CF
∠BOC = 90◦
ω ´O ∈ ω ¸
BE⊥CF ¸
¸
¸
º µº
º
º
ï¾ º
¹
º
¹
¸
¹
¸
º þ
¹
º
º
º
¹
¸
¸
¸
¹
¸
¸
º þ
º
´
´
¸
¸
µ¸
¸
¸
¹
�µ
¾ º½
º
º
¹
º
a, b, c, d, ; αº
ABCD AB =
a¸ BC = b¸ CD = c¸ DA = d¸
∠(AB, DC) = αº
º
ü
º
¹
¸
¹
ABCD
AB
E
º
Aº
B
EC = AB = a ´
¹
−−→
BC ¸
º
¹
Cº þ
ECD
CD = c¸
¹
µ
∠ECD
(AB, CD) α
EC AB µº
ECD
AED
´
º
B
ABCE º
¹
ü
º
º
ECD ∠ECD = α¸
EC = a¸ CD = c
¾µ A ∈ (ω1 (E, b)∩
ω2 (D, d))¸ AE ¸ AD
¿µ p AE ¸ C ∈ p
µ q EC ¸ A ∈ q
µ B = p∩q
µ ABCD º
º
º EC = a¸ AE = b¸ CD = c¸ DA = d
º
ABCE
´
½µ
¹
µ¸
�AB = EC = a¸ BC = AE = b
∠(BA, CD) = ∠ECD = αº
º
AD + ED ¸
º
¹
ω1 ∩ ω2
A
º
¸
|AD − AE| ED <
|b − d| ED
ECD
¹
√ < b + dº
2
2
ED = a + c − 2ac cos αº
¹
º
¸
´
µ¸
a¸ b¸√c¸ d¸ α
|b − d|
a2 + c2 − 2ac cos α < b + d.
þ
º
þ
º
¹
¸
º þ
¸
¸
¹
Φ1 ∩ Φ2
Φ2 ¸
Φ1
Φ2
¸
¹
º þ
¹
¹
º
´
¸
¸
¸
¹
¹
µ¸
¹
¹
¹
´
º
µ¸
´
¸
µ
¾ º¾
º
º
º
¸
¹
¸
º
ω(O, r)¸ P º
½¼¼
�ABCD
AC ∩ BD º
º
ü
½µ
¾µ
º
ABCD
∠AP B = 90◦
¸
A
P
¿µ
µ
µ
µ
=
P A = P B¸
¸
B
¸
◦
R90
P
90◦ º
¹
B
ω
ω
B¸
C
C
¾µ
¿µP
¸
º
º þ
½µω
A ∈ ω¸ B ∈ ω
¹
ω¸
D
º
º
90◦
= RP (ω)
90◦
µ O = RP (O)¸
µ ω (O , r)
B ∈ω∩ω
◦
A = R−90
(B)
P
90◦
C = RP (B)
◦
D = R90
P (C)
ABCD º
º
ABCD
P
¸
º
¼
∠AP B =
◦
∠BP C = ∠CP D = 90
P A = P B = P C = P Dº B ∈ ω
◦
¾º
B ∈ ω ´ º¾µ A = R−90
(B) ´ º¿µ
P
A ∈ ωº
¸
º
º
¸
¸
¹
¹
º
¸
½¼½
¸
¸
¹
�¸
¸
º
¹
¸
¸
¹
º
¸
¸
¸
¹
¸
º
¾ º¿
º
ABC ¸
AB : BC = m : n ´m¸ n
AC º
∠A¸
µ
¹
α¸ m¸ n¸ aº
ABC
∠A = α¸
¾µ AB : BC = m : n¸
¿µ BM = a¸ M ∈ AC ¸ AM = MC º
½µ
º
º
½
ü
º
ABC
¸
º
¸
¸
¸
¸
º
¸
¸
µ
µ
¸
¸
AB C ∠A = α¸ AB = m¸ B C = n
M ∈AC¸ AM =M C
BM
E∈BM¸BE=a
p AB ¸ E ∈ p
½¼¾
¹
¹
º
º
¿µ
¸
AB C
¸
¾µ
¹
º
¸
½µ
¹
�µ
µ
µ
M = p ∩ AC
MB EB ¸ B ∈ AB
BC B C ¸ C ∈ AC º
º ½µ
º
¹
∠A = α
¹
½
BC B C ´ º µ AB =
m¸ B C = n ´ º ½µ
¸
AB : BC = m : n
º
¾µ
¾
¿µ
B BME
B M BM
´ º
´ º
µ
¸
B C BC
AB
AM
=
,
AB
AM
´ º
º
µ¸
BM = B E = aº
µ
AB
AC
=
.
AB
AC
AM
AC
=
AM
AC
AM = 1/2 AC ¸
AM = 1/2 AC ¸
AC BM
º
º
º
M
¹
¹
º
º þ
¾ º
HKLM
¸
AC º
ABC
K ∈ AB ¸ L ∈ BC ¸ M ∈ AC ¸ H ∈
ABC º
HKLM
½µ
¾µ
¿µ
µ
¸
K ∈ AB ¸
L ∈ BC ¸
M ∈ AC ¸ H ∈ AC º
½¼¿
¹
�ü
º
º
¿µ
¸
¸
º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
µ
µ
µ
K ∈ AB
K H ⊥AC
H K LM ¹
L = AL ∩ BC
LK L K ¸ K ∈ AB
LM L M ¸ M ∈ AC
KH K H ¸ H ∈ AC
KLMH
º
¿
º
A
º
L
LK L K
K
Lº
K
AB ¸
¸
º ü
M
¸
º
HKLM
¹
M¸ H
H
¹
¸
¹
H KLM
HKLM
º
º
º
ï¾ º
ü
¸
º
a¸ b¸
¸
x = f (a, b, ..., )¸
x
xº
½¼
ººº
¹
º
¹
�º
º
¹
¹
º
´
½º
¾º
¿º
º
º
º
º
º
º
½¼º
µ
x=a+b
x = a − b ´a > bµ
x = ma ´m ∈ Nµ
a
x=
´n ∈ Nµ
n
ma
x=
´m ∈ N, n ∈ Nµ
n
ab
x=
c
a2
x=
c
√
x = √ab
x = √a2 + b2
x = a2 − b2 ´a > bµ
¹
º
½º
√
3a b2 + c2
x=
5c
º
x
º
¸
¹
¹
½µ
º
¾µ
½¼
√
b2 + c2
ay
z=
º µ
c
y=
´ º
µ
�¿µ
x=
3z
5
´ º
µº
º
º
¾ º½ º
¹
´
µ n
f (a, b, . . . , )
¸
f (ka, kb, . . . , k ) = k n f (a, b, . . . , )º
k>0
¸
½ ½¼
½º
¾ º½ º
½¸
x=
a1 a2 . . . an
,
b1 b2 . . . bn−1
a1 ¸ a2 ¸ . . .¸ an ¸ b1 ¸ b2 ¸ . . .¸ bn−1
¹
º
º
¹
¹
½¼
�x1 =
a1 a2
x1 a3
xn−2 an
, x2 =
,..., x =
.
b‘1
b2
bn−1
¾ º½ º
½µ
x=
¾µ
x=
¹
an
bn−1
αk
2
a1α1 aα
2 . . . ak
bn−1
´α1
+ α2 + . . . αk = nµº
¾ º¾ º
¹
x=
Pn+1
Pn+1 (a1 a2 . . . ak )
Pn (b1 b2 . . . bm )
,
Pn
´
¹
¹
µ
n+1
n¸
a1 ¸ a2 ¸
ººº¸
ak ¸ b 1 ¸ b 2 ¸
ººº¸
bm
º
Pn+1
º
¹
n + 1¸
¹
´α1 + α2 + . . . αk = n + 1¸
A∈
Aaα1 1 aα2 2 . . . aαk k
Rµ¸
Pn
Bbβ1 1 bβ2 2 . . . bβmm ´β1 + β2 + . . . + βm = n¸ B ∈ Rµ
nº
þ
a1 ¸ a2 ¸ . . .¸ ak ¸ b1 ¸ b2 ¸
½¼
c ´
. . .¸ bm µ
x
�Pn+1 /cn
x=c
.
Pn /cn−1
x1 = Pn+1 /cn
α1 α2
a1 a2 . . . aαk k
A
cn
þ
x1
½¸ ¾¸
½
¸
¸
¾ º½ ¸
´
µº ü
¸
¹
½º
¹
¸
x2 = Pn /cn−1¸
B
x
bβ1 1 bβ2 2 . . . bβmm
cn−1
c¸ x1 ¸ x2
x=
cx1
º
x2
¾ º¿ º
¹
¸
x=
R2 (a, b, . . . , ),
R2
º
º
d
þ
a¸ b¸ º º º ¸
R2
d ºþ
d
´
x=
a¸ b¸
ººº¸
¾
x=
¸
√
½¼
µ
y =
R2
d
¹
d
¹
º
dy
º
�º
¹
¸
¸
¸
½ ¿¸
¹
¸
¸
º
¾º
º
¹
¸
º
¸
√
4
x = a4 + b4 º
º
x=
√
4
a4 + b4 =
¹
√
a4 + b4 =
a
b4
2
a + 2=
a
a
b2
a
a2 +
¸
½µ
¾µ
¿µ
b2
y=
´ º µ
a
z = √ a2 + y 2 ´
x = az ´ º µº
º
¹
µ
¸
¹
eº
y = f (a, b, . . . , )
¹
¸
a¸ b¸
º
ººº¸
º
¹
a b
x = ef , , . . . ,
e e
e
e
yº
e
¸
½¸
¸
¸
¹
a¸ b¸ º º º ¸
½¼
¸
eº
2
º
�x
¸
¹
yº
eº
¿º
¸
y
½µ
¾µ
¿µ
µ
¹
y = a2
y = ab
b
y=
a
√
y= a
þ
º
¹
¸
½µ
y
¾µ
y
¿µ
y
µ
y
a2 a2
=a =e 2=
´ º µ
e
e
a b ab
=
= ab = e
´ º µ
ee
e
b
b/e eb
= =e
=
´ º µ
a
a/e
a
a
a √
√
= a=e
= e2 = ea
e
e
2
´ º
µº
¸
¹
º
¸
¹
¸
º
¹
¸
¹
¸
º
¸
¹
º
º þ
¸
¹
½½¼
�¸
º
þ ï¾ º ´
¾ º
µ
¹
º
º
ABC º
KLMH
½µ
H ∈ AC ¸ M ∈ AC
¿µK ∈ AB
µ L ∈ BC º
¾µ
º
ü
º
¸
ABC
KLMH º
AC = a¸
h¸ E = BD ∩KL x
BD =
¹
º
KL||AC ¸
ABC ∼
AC
KBL ¸
¸
º
= BD
KL
BE
AC · BE = KL · BD º þ
¹
¹
¸
x=
ah
º
a+h
a(h − x) = xhº
º
º
BD⊥AC ¸ D ∈ AC
y =a+h
½µ
¾µ
½½½
º
�¿µ
µ
µ
µ
µ
µ
ah
y
DE = x¸ E ∈ BD
m AC ¸ E ∈ m¸ K = m ∩ AB ¸ L = m ∩ BC
KH⊥AC ¸ H ∈ AC
LM⊥AC ¸ M ∈ AC
HKLM ¹
º
x=
HKLM ¹
¹
HK = KLº
¸
KL AC ¸ KH⊥AC ¸ LM⊥AC DE = x¸ DE⊥AC ¸
BD
AC
KH = LM = xº
ABC ∼ KBL
=
KL
BE
ah
ah
a h−
KL =
= KL · hº
=
a+h
a+h
x = KH º
º
º
¸
º
¸
¹
ah
x=
¸
a+h
ah
ah + h2 − ah
h2
x < h ´h−x = h−
=
=
> 0µº
a+h
a+h
a+h
ï¾ º
¸
º
º
½½¾
�¹
¾ º½ º ´
µº
¸
¸
¹
¸
¸
¹
¹
¹
¸
¸
¸
¸
¹
º
´
º ¿ ¸
º ¿¼ ¹¿½¾µº
¾ º½ º
¹
¹
¸
e
¸
º
º
¹
º
¸
º
¹
¹
¸
¸
¹
¸
¹
º
þ
¹
¸
½½¿
�º
¸
º
¹
¸
º
º
º
½º
¸
¹
º
R
¸
S
S
º
x=
√
πR2 =
2πR ·
º
=S
R
º
2
º¸
2
2πR¸
R=1
º
2π º
S º
x = πR2
¸
º
º
º
¹
¸
πº
π
¸
¸ º
þ ½
¾
¹
º
¹
º
¹
º
π
º
¹
¸
´
º
µº
º
´
¾º
´
º º
µº
¹
µ¸
¹
º
a
¸
º
½¸
¸
x
x3 − 2a3 = 0.
¹
3
x − 2 = 0.
¹
¸
¾º
¾
½½
¹
�±1¸ ±2¸
¸
¸
º
x3 − 2 = 0
¸
¸
¸
º
º
¿º
1
3
ϕ
ϕº
¸
1
ϕ
¸ α =
ϕ
3
º
cos ϕ = cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α −
sin 2α sin α = (cos2 α−sin2 α) cos α−2 sin α cos α sin α = cos3 α−
3 sin2 α cos α = cos3 α − (3 − 3 cos2 α) cos α = 4 cos3 α − 3 cos αº
x
b
cos α = ¸ cos ϕ =
2
2
x b
¸
¹
2 2
¸
½¸ ¸
¸
α ϕ º
ϕ < 90
◦
º
x3 − 3x − b = 0º
b = 1
x3 − 3x − 1 = 0º
±½
´
ϕ = 60◦ µ
¹
¸
º
´
60◦
µ¸
º
¹
¹
¸
º
ï¾ º
ÿ
º
½½
�¹
º
º
¸
¸
¸
¹
¸
º
¸
¹
¸
º
¹
º
¾ º½ º ´
¹
þ
µº
¸
¸
¹
¸
¹
º
½ ¾
º
¾ ´ º ¿¾¿¹¿¾ µ
º
¸
¹
º
¸
¹
¸
º
¸
´
¹
¸
¸
¹
µ¸
º
AB
º
½ ÿº
¾ º
´½
¹
ºµº
¹
¸
¸
½½
ÿ
´½
¾ ºµº
¹
�Oº
M
¸
º
º
½µ
¾µ
¿µ
µ
µ
º
C∈
/
CA¸ CB ¸ CO
D = MB ∩ CO
N = AD ∩ CB
MN
¸
¹
º
´
¹
µ
¹
º
¸
¹
¸
º
¹
¸
º
º
½
¿µ
´½
ÿ
¸
¹
´½ ¿¿µº
º
¾ º¾ º ´
¹
µº
¸
¹
¸
¹
¸
º
º ¾ ´ º ¾ ½ ¾
¿
º
´
¸
´½
µ
½½
¿
µº
½
µ¸
�º
þ
¹
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¹
º
¹
¸
¸
º
ü
µ
¸
µ
¹
¸
¸
h¸
¸
h
¹
¸
¹
A
µ
AB > h
¸
¹
¸
B¸
AB > h¸
¹
¸
¹
B
hº
¹
A
ü
´½ ¾¾µº
½½
¹
�µ
¸
¹
µ
¹
¸
AB
µ
Φ¸
¹
Φ
¸
¹
¸
¸
¸
¹
º
º
¸
¹
º
º
¹
¸
º
º
º
¹
º
þ½
¼ ºü
º
ü
º
¾ º¿ º þ
¸
¸
´ ¸
¸
µº
º
¾ º
½½
¹
�¸
¹
º þ
¸
¸
¸
¹
¸
º
º¸
¸
¹
½ º
½¾¼
�» üº ü ¹
º
¾
¸ ½
ü
¸ ýº
¸
¿
ýº
º
» ýº
ºýº ý
ü
º
¸ ýº
¸ ½
−
º
º ü
¸
º
º
¸ ½
ü
¸
º
þº º ý
¸
»
þ
º
º
¸ þº
º
º
º ÿ
¾
º »
º
¸ ½
º »
º
º
¸
º Áº
¸
º
»
ÿ
º ü
¹
º ü
º
¹
º
º
¸
º ü
º
»
º
ü
½
¼º
º
º þº
º þ
º
½¾½
¸
º
¸ ½
º
º
�ÿ
º
¸
½
ºýº
º
º »
º
º ü
¹
º
¸
¼º
¸ ýºÿº
ýºÿº
½½
º
ü
ø ¸ üº
º
º ÿ
º
» üº
¸ ½
½¼
¸ ½
º »
º
ø ¸
ºüº
¹
º
º
¸ þºþº
» þºþº
º
¹
¸ ¾¼¼¼º
½½
¸ üºþº ÿ
½¾
¸ ½
¿º
¸
º
º ÿ
¸ ½
½¿
¸
º
º
º
º
½
º
º
¹
º
º »
º
º
º
º
º ÿ
º
¸
» üºþº
¾
ÿ
¸ ½
º
º Áº
ÿ
¸ ½
º
º ÁÁº
º ÿ
º
¾
½¾¾
º »
º »
�ÿ
½º
コ
ᄎ
º º º º º º º º º º º º
¿
º º º º º º º º º º º º º º º º
¿
ÿ
º
º º º º º º º º º º º º

¸
º º º º º º º º º º º º º
ï º
ï º
º º º º º º º º º º
½
º º º º º º º º
½
ï º
º º º º º º º º º º º º º º º
ÿ
¾½
ï º
º º º º º º
¾
ï º
º º º º º º º º º º º º º º
¾
ï º
º º º º º
¿¿
ï½¼º
º º º º º
¿
ï½½º
º º º º
¿
ï½¾º
ÿ
º º º º º º
¾º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ソº
ï½ º
º º º º º
ÿ
º º º º º º º º º º º º º
¿
º º º º º
¼
ï½ º
½¾¿
�ï½ º
ÿ
ÿ
º º º º º º º º º º º
½
¿º ü
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ï½ º
ü
º º º
ï½ º
ï½ º
º º
½
ÿ
º º º º º º º º º º
ï¾¼º
ÿ
º º º º º º º º º º º º º º º
º ÿ
º º º º º º º º
¾
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾
ï¾½º
º ü
ï¾¾º
º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
﾿º
º º º º º º º º º º
ï¾ º
º º º
ï¾ º
º º
½
ï¾ º
º º º º º º º º º º º º º º
ï¾ º
ü
º º º º º º º º º º º º º º
ý
ï¾ º
º º º
ï¾ º
º º
º º º º º º º º º º º º º º
½¼
½½¾
½½
½¾½
�
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Львова, Людмила Викторовна
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Геометрия. Преобразования и построения
Subject
The topic of the resource
1. Математика. 2. Геометрия. 3. преобразования. 4. плоскости. 5. преобразования плоскости. 6. аффинные преобразования. 7. геометрические построения.
Description
An account of the resource
Геометрия. Преобразования и построения [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 1.18 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 124 с.
Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов по разделам «Преобразования плоскости» и «Геометрические построения на плоскости». Изложение теоретического материала сопровождается многочисленными примерами решения задач. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика».
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Львова, Людмила Викторовна
Source
A related resource from which the described resource is derived
Алтайский государственный педагогический университет, 2016
Publisher
An entity responsible for making the resource available
Алтайский государственный педагогический университет
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
23.05.2016
Rights
Information about rights held in and over the resource
©Алтайский государственный педагогический университет, 2016
Format
The file format, physical medium, or dimensions of the resource
pdf
Language
A language of the resource
русский
Type
The nature or genre of the resource
Учебное пособие
Identifier
An unambiguous reference to the resource within a given context
<a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova.pdf</a>
аффинные преобразования
геометрические построения
Геометрия
Математика
плоскости
преобразования
преобразования плоскости