1
5
1
-
http://books.altspu.ru/files/original/31/27/_[650].png
5d74059882ff0f063b6a4ccf401e4c98
http://books.altspu.ru/files/original/31/27/Matematicheskoe_modelirovanie.pdf
b1f30ef98878918082a3e401b4175387
PDF Text
Text
�Об издании
Основной титульный экран
Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1
Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2
�Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Г.В. Пышнограй, Л.М. Бронникова
Математическое моделирование
Учебное пособие
Барнаул
ФГБОУ ВО "АлтГПУ"
2015
Об издании - 1, 2, 3.
ISBN: 978-5-88210-780-1
�УДК 519.711.3(075)
ББК 22.181я73
П959
Пышнограй, Г.В.
Математическое моделирование [Электронный ресурс] : учебное пособие / Г.В. Пышнограй,
Л.М. Бронникова. – Барнаул : АлтГПУ, 2015.
ISBN: 978-5-88210-780-1
Рецензенты:
А.В. Овчаров, доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук (АлтГПУ);
А.А. Папин, доктор физико-математических наук (АлтГУ)
Настоящее учебное пособие содержит четыре главы: элементы макроэкономического подхода,
линейная алгебра, системы линейных неравенств, элементы теории устойчивости. Главы разбиты на
разделы, каждый из которых включает необходимый лекционный материал, сопровождаемый
примерами. Широко представлены задания для индивидуальной самостоятельной работы студентов.
Сочетание необходимого теоретического материала с широким использованием методов решения
основных типов задач будет полезным для студентов бакалавриата по направлению «Прикладная
математика».
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 15.06.2015 г.
Текстовое (символьное) электронное издание.
Системные требования:
Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768.
Об издании - 1, 2, 3.
�Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice.
Объём издания - 16 636 КБ.
Дата подписания к использованию: 23.11.2015
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ»)
ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031
Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72
е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru
Об издании - 1, 2, 3.
�Оглавление
Глава 1. Основные понятия математического моделирования. элементы макроэкономического
подхода
1.1. Классификация основных методов моделирования
1.1.1. Материальное моделирование
1.1.2. Идеальное моделирование
1.1.3. Области применения моделирования
1.2. Элементы теории систем
1.2.1. Система и ее структура
1.2.2. Большие и сложные системы
1.2.3. Иерархические структуры
1.2.4. Модули
1.3. Основные понятия математического моделирования
1.3.1. Основные виды и формы представления математических моделей
1.3.2. Системный подход при математическом моделировании
1.3.3. Виды численного моделирования
1.4. Модель Леонтьева
1.4.1. Отраслевая структура народного хозяйства
1.4.2. Балансовые соотношения
1.4.3. Валовой национальный продукт
1.4.4. Уравнение Леонтьева
1.4.5. Прогноз и планирование валового выпуска
1.4.6. Преобразование матрицы затрат
1.5. Линейная модель обмена
Глава 2. Линейная алгебра
2.1. Понятие вещественного линейного пространства
2.2. Базис и размерность линейного пространства
2.2.1. Линейная зависимость элементов линейного пространства
2.2.2. Базис и координаты
2.2.3. Размерность линейного пространства
2.3. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису
2.4. Линейные операторы
2.4.1. Понятие линейного оператора
2.4.2. Матрица линейного оператора
2.5. Собственные векторы и собственные значения
2.6. Симметрические матрицы
2.7. Квадратичные формы и их преобразования
2.7.1. Понятие квадратичной формы
2.7.2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Лагранжа
2.7.3. Ортогональные преобразования
2.7.4. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов с помощью ортогонального
преобразования
2.8. Задачи для самостоятельного решения
Глава 3. Системы линейных неравенств
3.1. Линейные неравенства и их область решений
3.1.1. Область решений системы неравенств с двумя неизвестными
3.1.2. Область решений системы неравенств с тремя неизвестными
�3.2. Основная задача линейного программирования
3.3. Задачи для самостоятельного решения
Глава 4. Элементы теории устойчивости
4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
4.2.1. Метод исключения (сведение системы к одному уравнению)
4.2.2. Метод Эйлера
4.3. Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову
4.4. Классификация точек покоя
4.5. Задачи для самостоятельного решения
Индивидуальные задания
Вариант № 1
Вариант № 2
Вариант № 3
Вариант № 4
Вариант № 5
Вариант № 6
Вариант № 7
Вариант № 8
Вариант № 9
Вариант № 10
Вариант № 11
Вариант № 12
Вариант № 13
Вариант № 14
Вариант № 15
Вариант № 16
Вариант № 17
Вариант № 18
Вариант № 19
Вариант № 20
Вариант № 21
Вариант № 22
Вариант № 23
Вариант № 24
Вариант № 25
Вариант № 26
Вариант № 27
Вариант № 28
Вариант № 29
Вариант № 30
Список рекомендуемой литературы
Приложения
Приложение 1
Приложение 2
�Список рекомендуемой литературы
1. Боревич, З.И. Определители и матрицы / З.И. Боревич. – М. : Наука, 1970. – 200 с.
2. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
Функции комплексного переменного : учебник для вузов / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – 4-е изд. –
Ростов н/Д : Феникс, 1998. – 512 с.
3. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч. : учебное пособие для вузов / П.Е. Данко,
А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М. : Издательский дом «ОНИКС 21 век» : Мир и
Образование, 2002. – Ч. 1.– 304 с.
4. Киркинский, А.С.
Линейная
алгебра
и
аналитическая
пособие / А.С. Киркинский. – М. : Академический Проект, 2006. – 256 с.
геометрия :
учебное
5. Киселев, А.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А.И. Киселев,
М.Л. Краснов, Г.И. Макаренко. – М. : Высшая школа, 1965. – 236 с.
6. Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчеты) : учебное пособие для
ВТУЗов / Л.А. Кузнецов. – М. : Высшая школа, 1994. – 202 с.
7. Монахов, В.М. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике : пособие
для учителей / В.М. Монахов, Э.С. Беляева, Н.Я. Краснер. – М. : Просвещение, 1978. – 175 с.
8. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : в 2 т. / Н.С. Пискунов. – М. : Наука,
1970. – Т. 2. – 576 с.
9. Покровский, В.Н. Линейные модели в экономике / В.Н. Покровский. – М. : Изд-во МЭСИ, 1990. –
85 с.
10. Солодовников, А.С. Системы линейных неравенств / А.С. Солодовников. – М. : Наука, 1969. – 80 с.
11. Ставский, М.Ш. Арифметические векторные пространства : методическая разработка по алгебре
для студентов-заочников 1-го курса математического факультета / М.Ш. Ставский. – Барнаул : Изд-во
БГПУ, 1989. – 76 с.
12. Филиппов, А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А.Ф. Филиппов. – Ижевск :
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176 с.
�Приложения
Приложение 1
Приложение 2
�Приложение 1
Иерархическая структура моделей ГХТС (гибкой химико-технологической системы)
Модели сложных систем иерархического типа формируются в соответствии с принципом
модульности, заключающимся в том, что моделирование химико-технологических систем основано на
относительной самостоятельности и независимости их подсистем, допускающих декомпозицию
анализируемой системы на составляющие ее подсистемы и формирование их моделей.
В соответствии с принципом модульности моделирования сложных систем модель подсистемы
каждого уровня иерархии формируется как объединение моделей нижележащего уровня, а процесс
взаимодействия подсистем взаимодействующих уровней моделируется с использованием
координирующего соотношения. На рисунке 1 представлена иерархическая структура моделей ГХТС.
Согласно классическому модульному принципу моделирование сложных систем, предполагает
формирование моделей подсистем каждого уровня иерархии как объединение модулей нижележащих
уровней. Обобщенная модель гибкой ХТС должна включать в себя модели отдельных аппаратов и
дополнительные условия, определяющие функционирования ХТС как целостной системы.
В свою очередь, модель аппарата представляется как совокупность моделей отдельных операций и
координирующих условий.
Модель каждой операции – это система уравнений, описывающих множество физико-химических
процессов, протекающих в системе в пределах каждой элементарной операции. Модель
произвольного уровня L j .
Рисунок 1. Иерархическая структура моделей гибких ХТС
�иерархии является объединением моделей M i нижележащего уровня L j 1 и пересечением с
j
координирующим соотношением C j 1, j : M ( L j ) [U i 1 M i ( L j 1 )] C j 1, j ,
(1)
где I – число моделей нижележащего уровня иерархии.
Элементом гибкой ХТС является технологический аппарат периодического, непрерывного или
полунепрерывного действия. Технологическая стадия в АПД есть упорядоченная последовательность
технологических операций, каждая из которых представляет собой совокупность типовых
физико-химических процессов.
Графически структуру модели технологической операции можно представить следующим образом
(рисунок 2).
Рисунок 2. Структурное представление модели технологической операции
�Здесь: M k - модель технологической операции k;
M 1k - уравнения гидродинамики;
M 2 k - уравнения теплопередачи;
M 3k - уравнения массопередачи;
M 4 k - уравнения химической кинетики.
Таким образом, модель M k технологической операции k есть замкнутая система уравнений типовых
P
процессов, что можно записать: M k U p 1M pk , k 1,..., K
(2)
где M pk - уравнение типового процесса p (гидродинамического, теплового, диффузионного,
химического);
P – число процессов, образующих данную технологическую операцию;
K – число технологических операций, образующих цикл АПД.
Модель любой типовой технологической операции – это система дифференциальных и алгебраических
уравнений с заданными начальными условиями, которые описывают гидродинамику, теплопередачу,
массопередачу, химическую кинетику.
dy
f ( x, y , t ), y (0) y0
dt
g ( x, y , t ) 0, x (0) x0
(3)
где y y1 , y 2 ,..., y N ; x x1 , x2 ,..., x N - векторы зависимых переменных t - время, f, g - известные
векторные функции.
Например, математическая модель химической реакции в аппарате периодического действия (АПД)
имеет вид системы уравнений:
dCi
d f i (r ), i 1,..., k
dT
f 0 (C , r , H , T0 )
dt
r F (C , T ) 0
(4)
�где Ci , i 1,..., k - концентрация реагентов и продуктов реакции
k - число компонентов реакции
r - скорость реакции
H - тепловой эффект
T0 - температура теплоносителя (или хладоагента)
f 0 , f i (i 1,..., k ), F - известные функции
Из моделей технологических операций M kj , имеющих конечную временную продолжительность и
заканчивающихся некоторым состоянием аппарата, а также моделей j процесса их смены (т.е. смены
состояний) и отображения, ставящего в соответствие множеству операций множество их моделей,
формируется модель M j технологического аппарата j периодического действия:
M j U kK 0 M kj j kj ; j 1,..., J 1 ;
kj : k j M kj
(5)
где J1 - число АПД.
Модели аппаратов непрерывного и полунепрерывного действия, которые могут входить в состав
гибкой ХТС наряду с аппаратами периодического действия, совпадают с моделями реализуемых в них
процессов, которые в этом случае могут рассматриваться как единственная операция бесконечной
продолжительности в АПД или продолжительности, равной технологическому циклу в АПНД.
Для -ой ХТС, образованной J1 аппаратами периодического действия, J 2 - АНД и J 3 - АПНД модель
3
M i ХТС формируется из моделей этих аппаратов M j , j 1,..., J , где J J s , моделей их
s 1
взаимодействия vi и отображения i , ставящего в соответствие множеству технологических
аппаратов множество их моделей. А т.к. работа технологических аппаратов в системе должна быть
согласована по времени, то в обобщенной модели системы должна содержаться модель расписания
работы составляющих ее аппаратов pi :
M i U jJ1M ji vi pi i ; i 1,..., I ;
где
i : ji M
ji
,
I
(6)
– число ХТС.
Здесь проявляется свойство эмерджентности системы, заключающееся в том, что модель системы не
является простой совокупностью моделей образующих ее технологических аппаратов, а содержит
также модели взаимодействия аппаратов, расписания их работы и отображения множества
технологических аппаратов во множество их моделей. Таким образом, система приобретает новое
качество, отсутствующее у отдельных аппаратов.
Гибкая ХТС многократно изменяет технологическую и организационную структуру, что обусловлено
изменением номенклатуры и количества, производимых ею продуктов; каждый раз, когда
номенклатура и количество продуктов фиксируются, фиксируется и структура гибкой системы, которая
в течение некоторого интервала времени, равного продолжительности производства продуктов этой
номенклатуры, функционирует как индивидуальная или совмещенная с жесткой структурой.
�Следовательно, модель гибкой системы M i формируется из моделей M il подсистем, на которые она
декомпозируется при фиксации номенклатуры продукции. Модели подсистем дополняются моделями
модификации ее технологической l и организационной l структур и отображением l , ставящим в
соответствие каждой индивидуальной (или совмещенной) системе il , ее модель M il :
M l U iI1 M il l l l ;
где
l : i l M il
(7)
.
В общем случае существует не единственный способ организации технологических процессов в гибкой
системе, а множество вариантов ее технологической структуры, поэтому M l , l , l и функция l
являются переменными, как и число моделей l.
�Приложение 2
Оптимальное распределение инвестиций в системе с иерархической структурой
Содержательная постановка задачи. Пусть задано некоторое объединение N промышленных
предприятий (акционерное общество, трест, синдикат и т.п.), выпускающих однотипную продукцию.
Известно, что в данном объединении принята система управления в виде двухступенчатой веерной
иерархической структуры (рисунок 1). Во главе объединения находится Совет директоров, которой
принимает решения и который в дальнейшем будем называть центром. В распоряжении центра
находится инвестиционный фонд, объем средств которого равен U. Требуется найти такое
оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, при котором общий объем
продукции, выпускаемой всем объединением, будет максимальным.
Рисунок 1. Двухступенчатая веерная структурная схема
Концептуальная постановка задачи. В данном случае система представляет собой
совокупность N+1 неравноправных элементов. При заданной схеме управления центр является
привилегированным элементом, хотя сам продукции не производит и результат его деятельности
определяется результатом производственной деятельности производителей i , i 1, N . Обозначим
через Pi
объем продукции, выпускаемой i-м предприятием. В соответствии с содержательной
постановкой задачи, целевая функция центра имеет вид:
N
J 0 i 1 Pi
(1)
При данной схеме управления центр не может назначать объемы производства Pi , i 1, N , он
лишь косвенно влияет на них, учитывая цели производителей. Будем считать, что объем производства
Pi зависит от основных фондов производителей xi и численности рабочих l i , т.е.
Pi f i ( x i , l i ), i 1, N
(2)
Существует несколько моделей, описывающих производство с помощью производственных
функций
f i . Используем
функцию Кобба-Дугласа, получившую широкое распространение в
экономических моделях производства. Она имеет вид
ki 1 ki
Pi i ( x i u i ) l i
где i , k i
, k i ( 0 ;1), i 1, N
(3)
– характеристики i-го предприятия; u i – количество инвестиций, выдаваемых i-му
предприятию центром на развитие основных фондов.
Будем считать, что целью производителей является максимизация прибыли J i , которая равна
стоимости произведенной продукции за вычетом затрат на ее производство. При этом затраты состоят
�только из фонда оплаты труда. Тогда доход i-го предприятия можно представить в виде
(4)
J i c i Pi i l i
где ci - цена единицы продукта; i - средняя ставка заработной платы.
Положим также, что величина фондов i-го предприятия xi фиксирована, а выделяемые
центром инвестиции u i направляются на увеличение объема производства. Тогда объем продукции
Pi зависит только от величины l i , которая является управляющим параметром i-го производителя.
Отметим, что в данном случае выбор li зависит от u i , а величина u i , выделяемая центром,
зависит от Pi . В этой взаимосвязи и заключается сложность поставленной задачи. Структурная схема
системы показана на рисунке 2. С помощью этой схемы можно значительно упростить исходную
задачу, разбив ее на N+1 подзадачу на этапе концептуальной постановки.
Рисунок 2. Иерархическая структурная схема системы неравноправных элементов
Математическая постановка задачи. Найти такие ui , li , i 1, N ,
максимальные значения целевым функциям центра и производителей:
N
J 0 i 1 Pi ( u i ,li ) max u ,
i
k
J i ci i ( xi u i ) i l
при ограничении
N
i 1 ui U
1 k i
i l i max l ,
i
которые
сообщают
(5)
i 1, N ,
(6)
(7)
Задача (5) – (7) представляет собой многокритериальную задачу оптимизации, которая в общем
случае может не иметь решения. Однако в данном случае благодаря приятной структурной схеме
управления можно разделить эту задачу на совокупность N+1 однокритериальных задач.
Будем считать, что центр некоторым образом (пока неоптимальным) осуществил распределение
инвестиций между предприятиями. Тогда при фиксированных значениях u i нетрудно найти решения
N задач (6) из условия
J i
0, i 1, N .
li
Оптимальное число рабочей силы для i-го предприятия определяется соотношением
1
k
) i
~ ci i (1 k i
li
i
xi u i
(8)
�Отметим, что в решении (8) неизвестной величиной является оптимальный объем инвестиций,
для определения которого центр должен решить следующую задачу оптимизации:
J 0 (u i ) iN1 Pi (u i , l i ) max ui , iN1 u i U
Подставив решение (8) в целевую функцию
(9)
J 0 , получим
1 k i
1 k i
J 0 iN1 i ( xi u i ) ki l i
1
k
c
(
1
k
)
i
i
iN1 i ( xi u i ) ki i i
( xi u i )
i
1 k i
ki
iN1 i ( xi u i )ci i (1 k i ) / i
(10)
Из (10) видно, что целевая функция центра
J 0 (u i ) линейна относительно
u i . Тогда решение
задачи (9) очевидно. Необходимо вычислить все коэффициенты перед u i , i 1, N , в формуле (10) и
отдать весь инвестиционный фонд тому предприятию, у которого этот коэффициент будет больше.
Если целевая функция J 0 будет иметь более сложный вид или в качестве модели производства
выбраны более сложные функции, такое постое решение задачи (9) получить не удается. Тогда,
используя решения для li (u i ) , можно найти оптимальные значения инвестиций uˆi , рассматривая
данную систему как имитационную.
Имитируя действия центра, можно направлять различные объемы инвестиций в предприятия,
вычисляя при этом значения
~
li , Pi и
j0
по соответствующим формулам. То распределение
инвестиций, которое даст наибольшее значение целевой функции j 0 , можно считать оптимальным.
Конечно, при таком имитационном подходе можно перебрать только ограниченное число
распределение инвестиций. Однако при наличии современной вычислительной техники это число
может быть достаточно большим, особенно если необходимо удостовериться в правильности
принятого решения.
�
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Пышнограй, Григорий Владимирович
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Title
A name given to the resource
Математическое моделирование
Subject
The topic of the resource
1. Математика. 2. Математическая кибернетика. 3. математическое моделирование. 4. линейная алгебра. 5. линейные неравенства. 6. теория устойчивости.
Description
An account of the resource
Математическое моделирование [Электронный ресурс] : учебное пособие / Г. В. Пышнограй, Л. М. Бронникова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 6.7 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2015. — 187 с.
Настоящее учебное пособие содержит четыре главы: элементы макроэкономического подхода, линейная алгебра, системы линейных неравенств, элементы теории устойчивости. Главы разбиты на разделы, каждый из которых включает необходимый лекционный материал, сопровождаемый примерами. Широко представлены задания для индивидуальной самостоятельной работы студентов. Сочетание необходимого теоретического материала с широким использованием методов решения основных типов задач будет полезным для студентов бакалавриата по направлению «Прикладная математика».
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Пышнограй, Григорий Владимирович
Source
A related resource from which the described resource is derived
Алтайский государственный педагогический университет, 2015
Publisher
An entity responsible for making the resource available
Алтайский государственный педагогический университет
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
23.11.2015
Contributor
An entity responsible for making contributions to the resource
Бронникова, Лариса Михайловна
Rights
Information about rights held in and over the resource
©Алтайский государственный педагогический университет, 2015
Format
The file format, physical medium, or dimensions of the resource
pdf, exe
Language
A language of the resource
русский
Type
The nature or genre of the resource
Учебное пособие
Identifier
An unambiguous reference to the resource within a given context
<p><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova.exe</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova.pdf</a></p>
линейная алгебра
линейные неравенства
Математика
Математическая кибернетика
математическое моделирование
теория устойчивости