1 5 4 http://books.altspu.ru/files/original/59/190/_[650].png 407bc0c60581a1aa24224e461b3a8198 http://books.altspu.ru/files/original/59/190/bronnikova.pdf d71ecf0f980c20d704acf144a00c74f0 Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Бронникова, Лариса Михайловна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Теория и методика преподавания математики в условиях реализации ФГОС основного общего образования Subject The topic of the resource 1. Образование. Педагогика. 2. Методика преподавания учебных предметов. 3. преподавание математики. 4. обучение в школе. 5. обучение математике. 6. дидактика математики. 7. курс математики. 8. образовательные технологии. 9. математическое образование. 10. ФГОС. 11. основное общее образование. Description An account of the resource Теория и методика преподавания математики в условиях реализации ФГОС основного общего образования : учебное пособие / Л. М. Бронникова, И. В. Кисельников, И. Г. Кулешова, Г. М. Малиновская ; Алтайский государственный педагогический университет. — Барнаул : АлтГПУ, 2023. — 135 с. В учебном пособии рассматриваются вопросы общей и частной методики обучения математике. Необходимость прочной психолого-педагогической базы, соответствующей системному и целостному подходу к усвоению курса «Методика обучения математике» учитывалась авторами при написании данного учебного пособия. Помимо теоретического материала в пособии представлены практические задания, а также материалы для самостоятельной работы студентов. Учебное пособие предназначено бакалаврам и магистрантам математических специальностей педвузов, а также преподавателям методики обучения математике и учителям. Creator An entity primarily responsible for making the resource <em>Л. М. Бронникова, </em><br /><em>И. В. Кисельников, </em><br /><em>И. Г. Кулешова, </em><br /><em>Г. М. Малиновская</em> Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2023 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 13.04.2023 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2023 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context URL: <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova3.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova3.pdf<br /></a>URL: <a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova3.exe" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova3.exe</a> дидактика математики курс математики математическое образование Методика преподавания учебных предметов Образование. Педагогика образовательные технологии обучение в школе обучение математике основное общее образование преподавание математики ФГОС http://books.altspu.ru/files/original/59/173/_[650].png b0eecfced08031252a5fb7015eda7ffb http://books.altspu.ru/files/original/59/173/integral.pdf b546b09128690c804fa3cc63f801a4dc Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Бронникова, Лариса Михайловна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Определенный интеграл и его приложения Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Математический анализ. 3. определенный интеграл. 4. практические занятия. 5. контрольно-оценочные средства. 6. методические рекомендации. Description An account of the resource Определенный интеграл и его приложения : учебно-методическое пособие / Л. А. Одинцова, Л. М. Бронникова ; Алтайский государственный педагогический университет. — Барнаул : АлтГПУ, 2021. — 164 с. В учебно-методическом пособии рассматривается один из основных разделов математического анализа «Определенный интеграл». Пособие содержит лекционный курс, материалы для практических занятий, контрольно-оценочные средства, методические рекомендации для организации самообразовательной деятельности студентов по усвоению теоретических знаний и способов деятельности по разделу «Определенный интеграл». В пособии подробно описаны приложения определенного интеграла в геометрии, физике, механике, биологии, медицине, экономике. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов вузов, может оказаться полезным преподавателям и обучающимся других образовательных организаций. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 25.11.2021 г. Creator An entity primarily responsible for making the resource <strong><a href="http://library.altspu.ru/ecat/zgate?ACTION=follow&amp;SESSION_ID=9420&amp;TERM=%D0%9E%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%BE%D0%B2%D0%B0,%20%D0%9B%D1%8E%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D1%8C%20%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0%5B1,1004,4,6%5D&amp;LANG=rus">Одинцова, Любовь Алексеевна</a></strong> Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2021 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 17.12.2021 Contributor An entity responsible for making contributions to the resource Л. М. Бронникова Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2021 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource учебно-методическое пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context URL: <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/integral.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/integral.pdf<br /></a>URL: <a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/integral.exe" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/exe/integral.exe</a> контрольно-оценочные средства Математика Математический анализ методические рекомендации определенный интеграл практические занятия http://books.altspu.ru/files/original/59/47/_[650].png 340d4d90dc31bf288930b32bcf4c4f17 http://books.altspu.ru/files/original/59/47/bronnikova1.pdf 726803c824e3e55517e7471125e22316 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» Л.М. Бронникова ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2016 Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–810–5 �Содержание УДК 51(091)(075) ББК 22.1г.я73 Б885 Бронникова, Л.М. История математики [Электронный ресурс] : учебное пособие. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. ISBN 978–5–88210–810–5 Рецензенты: Пышнограй Г.В., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГПУ); Гончарова М.А., кандидат педагогических наук, доцент (АКИПКРО) В учебном пособии рассматриваются основные разделы дисциплины «История математики»: предмет истории математики, периоды развития математики, история математики древних цивилизаций, историческое развитие некоторых содержательно-методических линий школьного курса математики, история развития отечественной математики. По каждому разделу предложены контрольные вопросы, теоретические сведения и задания для самостоятельной работы обучающихся. Пособие содержит вариант теста для итогового контроля знаний по изложенному материалу, примерный план семинарских занятий по курсу. Учебное пособие предназначено для студентов педагогических вузов, может оказаться полезным учителям математики и учащимся средних школ. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 28.01.2016 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 7 227 КБ. Дата подписания к использованию: 16.03.2016 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Введение Глава 1. Предмет истории математики. Периоды в развитии математики 1.1. Предмет истории математики 1.2. Период зарождения математики 1.3. Период элементарной математики 1.4. Период математики переменных величин 1.5. Период современной математики Задания для самостоятельной работы по главе 1 Глава 2. История математики древних цивилизаций 2.1. Математика Древнего Египта 2.2. Математика Древнего Вавилона 2.3. Математика Древней Греции 2.4. Математика стран Востока Задания для самостоятельной работы по главе 2 Глава 3. Историческое развитие школьного курса математики некоторых 3.1. Развитие понятия числа 3.2. Формирование понятия «функция» 3.3. История возникновения и развития уравнений Задания для самостоятельной работы по главе 3 Глава 4. История развития отечественной математики Библиографический список Приложения Приложение 1 Семинар 1 Семинар 2 Семинар 3 Семинар 4 Семинар 5 Семинар 6 содержательно-методических линий �Содержание Семинар 7 Семинар 8 Приложение 2 Приложение 3 �Содержание Введение История математики – одна из математических наук. Все отрасли математики, какими бы они разными не казались, объединены общностью предмета. Целью освоения дисциплины «История математики» является формирование представления студентов о математике как непрерывно развивающейся науке, приобретение знаний о зарождении и развитии математики, осознание причин возникновения одних математических фактов и отмирания других, формирование умений использования исторических сведений при обучении математике. Задачи курса: познакомить студентов с основными периодами развития математики и математического – образования; раскрыть значение различных цивилизаций в развитии математической науки; – рассмотреть биографии наиболее выдающихся ученых-математиков и их роль в развитии математики; – продемонстрировать историческое развитие каждой содержательно-методической линии школьного курса математики; – сформировать умения использовать исторические сведения при обучении математике. – В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: – объективные закономерности развития математической науки; – основные этапы становления и развития математики, периодизацию развития математики; – персоналии ведущих ученых-математиков; – вклад отечественных математиков в развитие математического знания; – воспитательные аспекты изучения исторических сведений. Уметь: – охарактеризовать важнейшие факты истории математики в свете исторических событий той или иной эпохи; охарактеризовать вклад различных цивилизаций (Древний Египет, Вавилон, Древняя – Греция, Индия, Китай и др.) в развитие математики; использовать исторические сведения в процессе обучения математике; – самостоятельно работать с литературой по истории математики: выделять главное, обобщать, делать выводы. – Владеть: методическими приемами использования исторических сведений в процессе обучения – математике; – способами взаимодействия с другими субъектами образовательного процесса; �Содержание способами совершенствования профессиональных знаний и умений путём использования возможностей информационной среды. – История развития математики – это не только история развития математических идей, понятий и направлений, но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью, социальноэкономическими условиями различных эпох. Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много… Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. В Европе сложилось разделение на гуманитарные и естественные науки по степени влияния математики на эти части. При поверхностном наблюдении математика представляется плодом многих тысяч мало связанных индивидуальностей, разбросанных по континентам, векам и тысячелетиям. Но внутренняя логика ее развития гораздо больше напоминает работу одного интеллекта, непрерывно и систематически развивающего свою мысль, лишь использующего как средство многообразие человеческих личностей. Настоящее пособие призвано помочь студентам очертить круг изучаемых вопросов по дисциплине «История математики». В пособии представлены 4 темы курса. По каждой теме приведены теоретические сведения, контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы. Для итогового контроля предложен примерный вариант теста по всему курсу изучения дисциплины «История математики». �Содержание Глава 1. Предмет истории математики. Периоды в развитии математики 1.1. Предмет истории математики 1.2. Период зарождения математики 1.3. Период элементарной математики 1.4. Период математики переменных величин 1.5. Период современной математики Задания для самостоятельной работы по главе 1 �Содержание 1.1. Предмет истории математики Контрольные вопросы 1. Что такое математика? 2. Почему (из каких потребностей) возникла математика? 3. Из чего состоит математика? 4. Что является предметом истории математики? 5. В чем состоит значение истории математики? 6. Какие существуют направления историко-математических исследований? 7. Какие периоды в истории математики выделяют? Теоретические сведения Математика, как и другие науки, ведет свое начало с весьма отдаленных от наших дней времен жизни человечества, от которых не осталось никаких письменных памятников, т. к. основные ее понятия зародились задолго до изобретения человеком знаков для записи своих мыслей. Напряженным трудом в течение тысячелетий человечество вырабатывало основные понятия математики. Математика, в переводе с греческого, – знание, наука. Ее содержание и характер менялись на протяжении всей истории и продолжают меняться теперь. От первичных предметных представлений о целом положительном числе, а также от представлений об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками математика прошла длительный курс развития, прежде чем стала абстрактной наукой со специфическими методами исследования. Имеется большое число попыток дать определение математики. Наиболее удачное определение, способное в значительной степени учитывать изменения содержания математики в прошлом, так же, как и ее дальнейшее развитие, было дано Ф. Энгельсом. «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть – весьма реальный материал» (Ф. Энгельс). Чувство формы выражается воспроизведением объекта в рисунке, то есть в фигуре. Количественное отношение выражается числом. Таким образом, число и фигура – первоначальные математические понятия. Современное понимание пространственных форм весьма широко. Оно включает в себя наряду с геометрическими объектами трехмерного пространства (прямая, круг, треугольник, конус, цилиндр, шар и пр.) также многочисленные обобщения – понятия многомерного пространства и бесконечномерного пространства, а также геометрических объектов в них и многое другое. Точно так же количественные отношения выражаются теперь не только целыми положительными или рациональными числами, но и при помощи комплексных чисел и гиперкомплексных чисел, векторов, функций и т. д. Развитие науки и техники заставляет математику непрерывно расширять представления о пространственных формах и количественных отношениях. Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для данного круга явлений и �Содержание предметов. Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 2 не связано неразрывно с каким-либо определенным предметным содержанием. Оно может относиться и к двум яблокам, и к двум книгам, и к двум мыслям. Оно одинаково хорошо относится ко всем этим и бесчисленному множеству других объектов. Также геометрические свойства шара не меняются от того, что он сделал из стекла, стали и пр. Абстрагирование от свойств предмета обедняет наши знания о данном предмете, его характерных материальных особенностях. В то же время именно это отвлечение от особых свойств индивидуальных объектов придает общность понятиям, делает возможным применение математики к самым разнообразным по материальной природе явлениям. Таким образом, одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут удовлетворительно применяться к описанию явлений природы, технических, экономических и социальных явлений. Современное понятие математики – наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения). Математика – одна из самых древних наук. Математические познания приобретались людьми уже на самой ранней стадии развития под влиянием даже самой несовершенной трудовой деятельности. По мере усложнения этой деятельности изменялась и разрасталась совокупность факторов, влияющих на развитие математики. Со времени возникновения математики как особой науки со своим собственным предметом наибольшее влияние на формирование новых понятий и методов математики оказывало математическое естествознание. Под математическим естествознанием мы понимаем комплекс наук о природе, для которых на данной ступени развития оказывается возможным приложение математических методов. На прогресс математики ранее других наук оказали влияние астрономия, механика, физика. Непосредственное воздействие задач математического естествознания на развитие математики можно проследить на протяжении всей ее истории. Так, например, дифференциальное и интегральное исчисление в его наиболее ранней форме исчисления флюксий возникло как наиболее общий в то время метод решения задач механики, в том числе и небесной механики. Теория полиномов, наименее уклоняющихся от нуля, была разработана русским академиком П.Л. Чебышевым в связи с исследованием паровой машины. Метод наименьших квадратов возник в связи с большими геодезическими работами, проводившимися под руководством К.Ф. Гаусса. В настоящее время под непосредственным влиянием запросов новых областей техники получают бурное развитие многие области математики: комбинаторный анализ, методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, теория конечных групп и т. д. Примеры подобного рода можно продолжать неограниченно в отношении любой области математики. Все они показывают, что математика возникла из трудовой деятельности людей и формулировала новые понятия и методы в основном под влиянием математического естествознания. Выход математики в естествознание происходит в результате приложения существующих математических теорий к практическим проблемам и разработки новых методов их решения. Вопрос о приложимости к практике той или иной математической теории не всегда получает сразу удовлетворительное разрешение. До его решения проходят зачастую годы и десятилетия. В свою очередь, практика, и, в частности, техника, входит в математику как незаменимое вспомогательное средство научного исследования, во многом: меняющее лицо математики. Электронные вычислительные устройства открыли неограниченные возможности для расширения класса задач, решаемых средствами математики, и изменили соотношение между методами нахождения точного и приближенного решения их. Однако, как велика ни была бы роль вычислительной техники, неизменным остается ее вспомогательный характер. Никакая, даже самая �Содержание совершенная вычислительная электронная машина не может приобрести всех свойств мыслящей материи – человеческого мозга, и существенно заменить его. Состав (содержание) математики, как и всякой другой науки, следующий: а) факты, накопленные в ходе ее развития; б) гипотезы, т. е. основанные на фактах научные предположения, подвергающиеся в дальнейшем проверке опытом; в) результаты обобщения фактического материала, выраженные в математических теориях и законах; г) методология математики, общетеоретические истолкования математических теорий и законов, характеризующие общий подход к изучению предмета математики. Все эти элементы взаимосвязаны и постоянно находятся в развитии. Выяснение того, как происходит это развитие в изучаемый исторический период и куда оно ведет и является предметом истории математики. История математики – есть наука об объективных законах развития математики. Значение истории математики состоит в следующем: 1. История математики помогает понять, как возникли и развивались понятия, идеи математики, как формировалась математика как наука и ее главные направления; 2. Исторические экскурсы «оживляют» изложение систематического курса математики; 3. Примерами из истории математики педагог может пробудить интерес обучающихся к изучению математики, углублению ими понимания изучаемого фактического материала; 4. Расширение умственного кругозора обучающихся и повышение их общей культуры. Сообщение сведений из истории математики на занятии необходимо заранее продумывать и планомерно использовать факты из истории математики в тесном органичном сплетении всего программного курса математики. Возможные формы сообщения сведений по истории математики – краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задач, показ и разъяснение рисунка и др. Остановимся кратко исследований. на суммарных характеристиках направлений историко-математических Во-первых, в работах историко-математического характера воссоздается богатство фактического содержания исторического развития математики. В них освещается, как возникли математические методы, понятия и идеи, как исторически складывались отдельные математические теории. Выясняются характер и особенности развития математики у отдельных народов в определенные исторические периоды, вклад, внесенный в математику великими учеными прошлого. Во-вторых, историко-математические работы раскрывают многообразные связи математики. Среди них: связи математики с практическими потребностями и деятельностью людей, с развитием других наук, влияние экономической и социальной структуры общества и классовой борьбы (особенно в области идеологии) на содержание и характер развития математики, роль народа, личности ученых и коллективов ученых и т. п. В-третьих, историко-математические исследования вскрывают историческую обусловленность логической структуры современной математики, диалектику ее развития, помогают правильно понять соотношение частей математики и до известной степени ее перспективы. �Содержание Существует много попыток периодизации истории математики (по странам, по социальноисторическим формациям, по выдающимся открытиям и т. п.). Общепризнанна периодизация основных этапов развития математики (как целостной науки), представленная А.Н. Колмогоровым1, в основу которой положена оценка содержания математики: ее важнейших методов, идей и результатов. Он выделяет четыре периода развития математики: 1. Период зарождения математики. 2. Период элементарной математики. 3. Период создания математики переменных величин. 4. Период современной математики. О характеристике этих периодов пойдет речь в следующих параграфах. 1 Колмогоров А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. – М., 1954. – Т . 26. �Содержание 1.2. Период зарождения математики Контрольные вопросы 1. Как назывался первый период истории математики? 2. Какова протяженность первого периода истории математики? На какие эпохи его условно можно разделить? 3. Охарактеризуйте первый этап развития математики. Теоретические сведения Первый период развития математики называют зарождением математики. Его протяженность – до VI–V веков до н. э. Период зарождения математики условно можно разделить на две эпохи: а) предыстория математики; б) эпоха накопления первых математических знаний. Предыстория математики – это те времена, когда человечество вырабатывало первые основные математические понятия, но от которых не осталось никаких следов: ни записей, ни архитектурных и скульптурных памятников и пр. В этот период, самый большой в истории развития математики, человечество постепенно выработало понятие о натуральном числе, приемы счета и познакомились с простейшими геометрическими образами. Первые представления о математических объектах относятся к эпохе древнего каменного века – палеолита, начало которого относят ко времени около 3 млн лет назад. К концу палеолита (около 25– 15 тысяч лет назад) появляются наскальные рисунки, найденные, например, в пещерах Франции, Испании. Археологические данные подтверждают, что к этому времени люди научились рисовать, писать, считать. На Кипре найден глиняный диск овальной формы с письменностью минойцев, древнего населения острова. В Моравии найдена кость волка с делениями. Всем этим документам примерно 15 тысяч лет. Около 20 тысяч лет назад началось потепление, климат, близкий к современному, установился около 12 тысяч лет назад. Отступают ледники, появляется возможность обрабатывать землю. На Ближнем Востоке 15–12 тысяч лет назад зарождается земледелие. Происходит переход от простого собирания пищи к активному ее производству. Примерно 10 тысяч лет назад земледелие становится основным занятием человека, а чуть позже появляется скотоводство. Начинается новая эра в развитии человечества – неолит, или новый каменный век. В эпоху палеолита люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. В эпоху неолита появляются условия для их развития. Прекращаются странствования в поисках пищи. Строятся жилища, хранилища для урожая, изготавливается посуда. Появляются ремесла: гончарное, плотницкое, ткацкое. Возникает обмен – зачатки торговли. Развитие человечества в эпоху неолита делает значительный скачок. Люди научились плавить металл. Каменный век сменяется бронзовым, а затем железным веком. Совершенствуются орудия труда, повышается производительность. Деревенские поселения с развитым ремеслом и торговлей вырастают в первые �Содержание города. Общество расслаивается на классы. Возникает рабовладельческое общество. Образуются государства. К эпохе накопления первых математических знаний относят те времена, когда у человечества уже сформировались определенные общественные группировки, которые можно рассматривать как древнейшие государства. К таким государствам относят Вавилон, Египет и др. В этот период появляются записи чисел, арифметические действия над ними, устанавливаются некоторые практические сведения из геометрии и решаются простейшие задачи алгебраического характера, но все математические записи не сопровождаются широкими обобщениями и не имеют строго теоретического обоснования. К концу IV тысячелетия до н. э. родовой строй был изжит в наиболее развитых обществах, и первобытные общества подошли к эпохе цивилизаций. На таком фоне исторического развития народов и возникли первоначальные математические понятия числа и фигуры. Непосредственных свидетельств их возникновения и развития не сохранилось. Поэтому мы обращаемся к косвенным свидетельствам. Для составления полной картины математической культуры любого народа следует изучить все этапы ее развития, начиная с дописьменного периода. Для этого используются материалы археологии, этнографии, сравнительного языкознания, фольклора. С возникновением живописи и письменности появляется возможность передать при помощи картины или знаков то или иное содержание. До нас дошли древние папирусы (Египет), глиняные таблички (Вавилон), дощечки из бамбука (Индия, Китай) с древними текстами и др. Бумага была изобретена в I веке до н. э. в Китае. Сопоставляя сведения, полученные из этих источников, можно приблизительно восстановить картину того, как считали наши далекие предки, как они оценивали величины при помощи чисел. Первоначальные математические понятия взяты из практики, из наблюдений за окружающими предметами. Ф. Энгельс пишет: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло в голове из чистого мышления». С конкретными геометрическими фигурами человек столкнулся в своей трудовой деятельности. Еще в эпоху, когда люди пользовались каменными орудиями труда, они придавали им некоторую форму: треугольников, трапеций. Художники земледельческих обществ уже не только копировали природу, а изображали ее в символах и орнаменте. Ломаная или волнистая линия обозначала воду, треугольник – плодородие, окружающий мир представлялся в виде ромба, ориентированного по сторонам света. Дальнейший толчок развитию геометрических представлений дали ремесла: изготовление сосудов, одежды, постройка зданий и др. Особенно сильное влияние оказало земледелие. Тогда задачи проведения границ участков, определения длин и площадей сделались жизненно востребованными. «Число» и «фигура», исторически первые понятия математики, и в наше время лежат в основе всех математических знаний. Другие математические понятия – «площадь», «объем» и другие абстракции пространственных свойств предметов – сформировались аналогично в результате длительного исторического развития и возникли из повседневной практической деятельности людей. Таким образом, в период зарождения математики происходит накопление фактического материала математики в рамках общей неразделенной науки. Формируются первичные представления о натуральных и дробных числах, геометрических фигурах и телах. Вырабатываются методы решения простейших прикладных задач. Период включает в себя математику Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Индии и Китая. Заканчивается в Древней Греции. �Содержание 1.3. Период элементарной математики Контрольные вопросы 1. Какова протяженность периода элементарной математики в истории математики? 2. Охарактеризуйте период элементарной математики. Теоретические сведения От VI–V вв. до н. э. до конца XVI в. н. э. длился период элементарной математики или период математики постоянных величин. Как известно, математика условно может быть разделена на две части: элементарную и высшую. В переводе с английского языка словосочетание «Elementary mathematics» означает «Fundamental mathematics». Из чего следует понимание словосочетания «элементарная математика» как названия той части математики, которая изучает исходные, первичные, фундаментальные понятия математики. То есть «элементарная математика» рассматривается как некоторый «математический фундамент», на котором и построено здание всей математики. Начало рассматриваемого периода развития математики (греческая, эллинистическая и римская математика) относится к эпохе рабовладельческого общества, вторая же половина – к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Западной Европе); впрочем, как известно, феодализм в разных регионах приобретает существенно различные формы и развивается неравномерно (сказанное относится и к рабовладению). После бурного расцвета греческой и эллинистической математики в условиях краха Римской империи приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехническими сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных геодезических работах и более практическими тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона математики. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений, способов определения площадей и объемов возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создаётся систематическое учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у Диофанта (вероятно, III в.) и более систематически – в Индии в VII в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в XVI в. Ф. Виетом. Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической. �Содержание В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской математики оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (XV–XVI вв.) быстро возрастают запросы к математике со стороны инженеров, строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми задач и более смелое развитие теории. Период элементарной математики заканчивается в Западной Европе в начале XVII в., когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин. Естественно, что этот переход был подготовлен предшествующим развитием математики. Еще в математике древнего мира на материале изучения тригонометрических функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Таким образом, в период элементарной математики математика превращается в строгую дедуктивную науку. Включает в себя математику Древней Греции, эллинистических стран, средневекового Китая и Индии, стран ислама, средневековой Европы и Эпохи Возрождения. Характерной особенностью этого периода является то, что добытые человечеством практические сведения из области математики получают свое теоретическое обоснование. В этот период постепенно оформляются основные разделы элементарной математики: арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия. �Содержание 1.4. Период математики переменных величин Контрольные вопросы 1. Какова протяженность периода математики переменных величин в истории математики? 2. Охарактеризуйте период математики переменных величин. 3. Вклад каких ученых наиболее значим для становления периода математики переменных величин? Теоретические сведения Период математики переменных величин длился от начала XVII в. до середины XIX в. Он отличается введением в математику функций и их изучением. Введение переменных величин в геометрию приводит к созданию аналитической геометрии. Для изучения функциональных зависимостей создается дифференциальное и интегральное исчисление. В этот период складываются почти все научные дисциплины в качестве классической основы современной математики. Поэтому его называют также «периодом высшей математики». Условно XVII–XVIII века называют Новым временем. В Европе в это время укреплялся новый общественный строй – капитализм. Новое время было и эпохой научной революции. Прежде всего, изменилась концепция мира в целом. В трудах Коперника, Кеплера утвердилась и усовершенствовалась гелиоцентрическая система мира. Благодаря Галилею оформилась новая механика. Наиболее заметных достижений достигла оптика благодаря открытию зрительной трубы, телескопа, микроскопа. Были изобретены часы с маятником, барометр, термометр. Открытие научных приборов и их совершенствование расширило возможности и точность научных измерений. В XVII веке в развитии математики было сделано столько, сколько не было сделано со времен античности. Математические исследования расширились, возникли новые разделы науки. Создание аналитической геометрии и анализа произвело в математике подлинную революцию. К концу XVI в. математика складывалась из арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Была введена удобная десятичная запись чисел, до высокой степени доведена техника вычислений. Но это была по преимуществу математикой постоянных величин. В XVII веке в физико-математической картине мира на первое место выдвигались законы, которые представляли собой аналитически выраженные функциональные зависимости между совместно изменяющимися величинами. Вспомним открытую Кеплером зависимость интенсивности света от расстояния до его источника, закон Галилея о движении тел в пустоте, закон Торричелли, закон Бойля-Мариотта, закон Гука о растяжении пружины и др. Таким образом, преобладающее значение в разработке физики приобрело измерение величин, поиск законов, выражающихся формулами алгебры. Отныне математика переходит к исследованию переменных величин и функций, как аналогов механического движения и любого количественного изменения вообще. Ф. Энгельс характеризовал революцию в математике XVII в. следующим образом: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и, благодаря этому же, стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление». Построение нового анализа функций как системы алгоритмов оказалось главной целью и главным достижением новой математики. Развитие математики происходило неравномерно в различных странах. �Содержание В Италии, где работали Галилей, Кавальери, Торричелли, из-за разгула религиозной реакции, произошел спад научных исследований. Наиболее передовыми стали страны: Англия (где работали Непер, Валлис, Барроу, Ньютон), Франция (Декарт, Ферма, Паскаль, Дезарг), Голландия (Стевин, Жирар, Гюйгенс). В тесном взаимодействии математики и смежных наук вырабатывались методы бесконечно малых (инфинитезималъные методы). Для создания исчисления бесконечно малых в математике XVII в, сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры, введение в математику переменных величин, усвоение метода неделимых древних греков, идей Архимеда, накопление методов решения задач на вычисление площадей и объемов, нахождения касательных и экстремумов. В создании анализа бесконечно малых принимали участие многие ученые, начиная от Кеплера и Галилея. Новый мощный толчок развитию всей математики сообщил Рене Декарт (1596–1650), выдающийся французский философ, математик, физик и физиолог. Декарт искал общий метод мышления, который позволял бы делать открытия и выявлять истину в науках. Единственной наукой о природе, обладавшей систематическим изложением, была тогда механика, которая основывалась на математике. Все явления природы Декарт трактовал как перемещения делимых и подвижных частей трехмерно протяженной материи. По мнению Декарта, математика должна была стать наиболее важным средством для понимания мира. Свою новую математику Декарт называл всеобщей. Ее изложение содержится в единственном печатном труде по математике – «Геометрия» (1637). «Геометрия» являлась настольной книгой всех творческих математиков. Тем не менее, она не является трактатом по геометрии. Значительную ее часть составляет теория алгебраических уравнений. Заслуга Декарта в том, что он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала XVII в. к геометрии греков. Это явилось началом современной аналитической геометрии. В «Геометрии» Декарт впервые ввел понятие переменной величины и функции. Для представления общей непрерывной величины Декарт пользовался геометрией. Он построил исчисление отрезков: представлял любые величины и составленные из них выражения отрезками, в отличие от геометрической алгебры греков. Отрезки обозначались буквами: данные – начальными буквами алфавита a, b, c и т. д. неопределенные количества – последними буквами х, у, z и т. д. Все задачи математики, по Декарту, могут быть выражены с помощью уравнений. Единственный общий метод решения уравнений – построение их корней, как отрезков – координат точек пересечения некоторых плоских кривых. Координаты появились еще в древности, например, широта и долгота в «Географии» Птолемея. Другой вид координат – отрезки, зависимости между которыми («симптомы») выражали определяющие свойства этих кривых. Слово «координаты» ввел Лейбниц только в 1692 г. В «Геометрии» Декарта нет «декартовых осей», не выведены уравнения прямой линии и конических сечений. Он чертил только одну ось с начальной точкой и указывал направление других координат; вообще говоря, наклонных. Отрицательные абсциссы не рассматривались. Хотя Декарт их истолковывал как противоположно направленные отрезки. «Истинные» (действительные) корни он подразделял на «явные» (положительные) и «неявные» или «ложные» (отрицательные). Также у него существовали «воображаемые» корни, как недействительные корни, которые можно вообразить себе в числе, требуемом для справедливости основной теоремы алгебры. Декарт также первым описал алгебраический способ построения касательных и нормалей к кривым. �Содержание При этом он пользовался еще одним важным методом – «методом неопределенных коэффициентов» для многочленов. Среди открытий Декарта заслуживают внимания также вычисление площади циклоиды по методу неделимых и построение к ней касательных. Он знал также открытое позднее Эйлером соотношение между числами граней, вершин и ребер выпуклых многогранников. С именем Декарта связаны такие понятия, как декартовы координаты, произведение, парабола, лист, овал и др. Его «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики, и около 150 лет алгебра и геометрия развивались в направлениях, указанных Декартом. Несколько ближе к современной аналитической геометрии подошел Пьер Ферма (1601–1665), юрист из Тулузы. Он стал разносторонним математиком: вместе с Декартом явился создателем аналитической геометрии, вместе с Паскалем заложил основы теории вероятностей, создал новый метод касательных и экстремумов. Ферма может считаться основоположником алгебраической теории чисел. Его результаты дошли до нас в разрозненном виде. Он писал мало и сжато, не публиковался. Некоторые теоретико-числовые результаты дошли лишь в виде проблем, без доказательств. Трактат «Введение в изучение плоских и телесных мест» (1636) содержит начала аналитической геометрии Ферма. Он формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место, и конец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для установления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин». Во «Введении» впервые встречаются уравнения для прямых линий и конических сечений относительно системы перпендикулярных осей. Ферма возродил метод интегральных сумм. Вычислял также кубатуры и определял центры тяжести тел вращения. Большое значение для становления дифференциального исчисления имело предложенное Ферма правило нахождения экстремумов. В сочинении «Метод отыскания максимумов и минимумов» (1638) Ферма изобрел прием, пригодный для нахождения экстремумов и касательных. Это правило совпадает с известным теперь необходимым условием экстремума дифференцируемой функции: f '(x) = 0. В XVII в. перед естествознанием возникла новая проблема – найти законы движения. Для этого аппарат математики постоянных величин был недостаточным. Работы Кавальери, Декарта, Валлиса, Гюйгенса, Паскаля и др. подготовили все для построения дифференциального и интегрального исчисления. Они действительно появились в работах Ньютона и Лейбница и стали могучим средством решения новых задач. О том, что они опирались на труды предыдущих поколений математиков, Ньютон сказал: «Я сделал так много потому, что стоял на плечах гигантов». Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия. Установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл свои методы анализа (1665–1666), а Лейбниц позже (1673–1676), но Лейбниц первым выступил в печати (Лейбниц в 1684–1686 гг., Ньютон в 1704–1736 гг.). Гениальный английский ученый, основоположник современной механики, создатель математики непрерывных процессов Исаак Ньютон (1643–1727) в 1665–1666 гг. открыл свой общий метод анализа, который назвал «теорией флюксий». Первое систематическое изложение этой теории дано в рукописи «Следующие предложения достаточны, чтобы решать задачи с помощью движения» (1666). Данный Ньютоном метод флюксий имел впоследствии огромное значение для всего анализа. К 1665– �Содержание 1666 годам относится открытие дифференцирования и интегрирования. Ньютоном взаимно обратного характера операций В понятиях и терминологии метода флюксий с полной отчётливостью отразилась глубокая связь математических и механических исследований Ньютона. Понятие непрерывной математической величины Ньютон вводит как абстракцию от различных видов непрерывного механического движения. Линии производятся движением точек, поверхности – движением линий, тела – поверхностей, углы – вращением сторон и т. д. Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo – теку). Общим аргументом текущих величин – флюент – является у Ньютона «абсолютное время», к которому отнесены прочие, зависимые переменные. Скорости изменения флюент Ньютон назвал флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – «моментами» (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла). Изложение анализа Ньютона имеет механическую основу. Текущие переменные величины изменяются в зависимости от времени – «флюенты». Скорости, с которыми каждая флюента изменяется при движении – «флюксии». Ньютоном были поставлены в терминах метода флюксий две главные проблемы анализа: – по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями (задача дифференцирования функций, зависящих от «времени»); – по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами (задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка). Однако его способ не был вполне определенным. Бесконечно малое количество было определено нестрого: в одних случаях им пренебрегали, отбрасывали, в других случаях на него делили, то есть считали ненулевым. Разработанная Ньютоном теория флюксий дала начало дифференциальному и интегральному исчислениям в том виде, в котором мы их знаем сегодня. С именем Ньютона связано решение многих взаимосвязанных задач математики и физики. Он рассматривал математику только как способ для физических исследований. Его основной труд «Математические начала натуральной философии» (1687) насквозь проникнут духом новых исчислений, он показывает все могущество этих исчислений в изучении законов природы. В этой работе он свел все известные до него и все найденные им самим сведения о движении и силе в одну дедуктивную систему земной и небесной механики. В этом же труде Ньютон впервые разработал общую теорию предельных переходов под названием «метода первых и последних отношений». Здесь вводится и сам термин «предел» (limes). Определение понятию предела не дается, метод пределов излагается в 12 леммах. Вклад Ньютона в математику не исчерпывается созданием анализа. Его «Универсальная арифметика» становится одним из первых учебников Нового времени по арифметике, алгебре и применению алгебры к геометрическим задачам. В алгебре ему принадлежат метод численного решения алгебраических уравнений (метод Ньютона), важные теоремы о симметрических функциях корней алгебраических уравнений (формулы Ньютона), об отделении корней. В сочинении «Всеобщая арифметика» (1707) Ньютон развил учение о числе, дал определение числа: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какойнибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной �Содержание долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей». Недостатки аналитических методов Ньютона вызывали нападки на теорию флюксий. Эти недоразумения были устранены лишь после четкого установления современного понятия предела. Великий немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) – один из основоположников математического анализа. Родился в Лейпциге. Окончил юридический факультет Лейпцигского университета. Состоял на юридической и дипломатической службе и выезжал в Париж. Творческая математическая деятельность началась тогда, когда он познакомился с Гюйгенсом и под его руководством изучал работы Галилея, Декарта, Ферма, Паскаля и самого Гюйгенса. В 1700 г. организовал Академию наук в Берлине и стал ее первым президентом. Способствовал открытию академий наук в Вене и Петербурге. Встречался с Петром I, работал над проектом организации образования в России. Лейбниц нашел свое новое исчисление в 1673–1676 гг. под влиянием Гюйгенса, в ходе изучения работ Декарта и Паскаля. Он знал, что Ньютон обладал подобным методом. Но подход Ньютона был механическим, а подход Лейбница – геометрическим. При этом он исходил не из квадратуры кривых, как Ньютон, а из проблемы касательных. Рассматривал «характеристический треугольник» (dx, dy, dz), который уже встречался у Паскаля. Прежние частные и разрозненные приемы Лейбниц свел в единую систему взаимосвязанных понятий анализа, что позволило производить действия с бесконечно малыми по определенному алгоритму. Впервые анализ в форме Лейбница изложен им в печати в 1684 г. в статье «Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого». В этой статье впервые вводилась современная символика dx, dy, правила дифференцирования произведения и частного, условие dy=0 для точек экстремума, d 2 y  0 для точек перегиба. Разъяснения анализа Лейбница страдали той же неопределенностью, что и у Ньютона. Иногда dx, dy были конечными величинами, иногда меньше любого определенного количества и все-таки не нули. В 1686 г. вышла следующая статья «О скрытой геометрии ...» с правилами интегрального исчисления. В ней содержался символ  , который Лейбниц называл «суммой» (термин «интеграл» позже ввел Я. Бернулли). Лейбниц был одним из самых плодовитых изобретателей современных математических символов. Немногие математики так хорошо понимали единство формы и содержания символики. Название «дифференциальное и интегральное исчисление» принадлежит Лейбницу. Он же ввел термины: «функция», «переменная величина», «координаты», «абсцисса», «ордината», «дифференциал», «алгоритм». Благодаря его влиянию стали пользоваться знаками равенства «=» и умножения «•», логической символикой. Математические работы Лейбница не ограничиваются областью анализа. Ученый занимался поиском всеобщего метода для овладения науками. Он искал «всеобщий язык», в котором все ошибки мысли выявились бы как ошибки вычислений. Это привело его к символической логике. Таким образом, Лейбниц считается одним из основоположников математической логики. Лейбниц решил представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Идея построения логики по образцу математических исчислений оказалась исключительно плодотворной. После того как Галилей (1564–1642) ввел в научный оборот понятие о гипотетикодедуктивном методе, Р. Декарт обосновал важность логической дедукции как основного метода научного познания, а картезианцы (сторонники философии Декарта) А. Арно и П. Николь в сочинении �Содержание «Логика, или Искусство мыслить» в систематической форме сформулировали представление о логике как необходимом инструменте всех других наук, Лейбниц обосновал необходимость создания универсального логического языка, который в отличие от естественного языка мог бы точно и однозначно выражать различные понятия и отношения, быть своего рода алгеброй человеческого мышления, позволяющей получать из уже известных истин новые истины путем точных вычислений. Лейбниц сказал: «Единственное средство улучшить наши умозаключения – сделать их, как у математиков, наглядными, так, чтобы свои ошибки находить глазами, и, если среди людей возникнет спор, нужно будет сказать: «Посчитаем, тогда без особых формальностей можно будет увидеть, кто прав». О практическом значении формальной логики Лейбниц говорил так: плохая голова, обладая вспомогательными преимуществами и упражняя их, может перещеголять самую лучшую, подобно тому, как ребенок может провести по линейке линию лучше, чем величайший мастер от руки. По Лейбницу, гениальные умы пошли бы неизмеримо дальше, если бы им придать эти преимущества. Однако вплоть до середины XIX века программа Лейбница не находила признания. Лейбница можно считать идейным вдохновителем современной машинной математики. Он одним из первых сконструировал счетную машину, которая выполняла не только сложение и вычитание, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет Лейбниц посвятил усовершенствованию своего изобретения. Изобрел он и первый интегрирующий механизм. Лейбниц ввел понятие определителя и выдвинул некоторые идеи, касающиеся теории определителей, которые далее развивали Вандермонд, Коши, Гаусс и окончательно разработал К. Якоби. Влияние работ Лейбница на современников оказалось огромным. Он создал собственную математическую школу, в которую входили братья Бернулли, Лопиталь, Эйлер и др. Главным итогом развития математики XVII столетия является создание аппарата математики переменных величин: понятия функции как аналитического выражения и главного средства, исследования функций – алгоритмов исчисления бесконечно малых, развитых до дифференциального и интегрального исчисления. Созданы новые разделы математики: аналитическая геометрия, теория вероятностей, проективная геометрия. Поставлены и решены ряд важных задач теории чисел. Развиты численные методы. Сформулирована основная теорема алгебры. Таким образом, XVIII в. начался новым кризисом в развитии математики. Было создано исчисление, дающее прекрасные результаты в вычислениях, но оно не было подкреплено прочным логическим фундаментом. Одно из названий XVIII века – «Век Просвещения». Научная деятельность в основном сосредоточилась в Парижской, Берлинской, и Петербургской академиях (организована в 1725 г.). Восемнадцатый век характеризуется в математике в основном развитием анализа и его приложений. Крупнейшие математики XVII–XVIII веков после Лейбница вышли из швейцарского города Базеля. В первую очередь, это братья Бернулли, Якоб и Иоганн. Они стали первыми выдающимися учениками Лейбница, совместно с ним создали основы современного дифференциального и интегрального исчисления. Оставили свой след в развитии математики два сына Иоганна: Николай Бернулли (1695– 1726) и Даниил Бернулли (1700–1784). Они некоторое время работали в Петербурге по приглашению Петра I. Гениальный математик, механик, физик, астроном Леонард Эйлер (1707–1783) тоже вышел из Базеля. Его отец, пастор, был учеником Я. Бернулли. Леонард учился у отца и И. Бернулли. Окончил Базельский университет. Был приглашен для работы в недавно организованной Петербургской Академии наук и долгое время работал в ней (1727–1741, 1766–1783), был украшением и славой �Содержание Академии более 50 лет. В 1741–1766 гг. работал в Берлине, но не порвал связи с Петербургом. Он продолжал помогать в подготовке русских математиков. Его статьи на латинском языке появлялись без перерыва в печатном органе Академии («Комментарии Петербургской Академии наук»), начиная со 2го тома за 1727 г. до самой смерти и еще 43 года спустя. Россия стала его второй родиной. Похоронен в Санкт-Петербурге. Эйлеру принадлежат заметные результаты во всех областях математики и ее приложений, существовавших в его время. Он заложил основы многих математических дисциплин. Среди всех ученых Эйлер выделялся фантастической продуктивностью и невероятной интуицией. В 1735 г. он ослеп на один глаз, в 1766 г. почти полностью потерял зрение, но ничто не могло ослабить его трудоспособность. Слепой Эйлер, пользуясь феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. Написал 886 работ. 550 его книг и статей опубликованы при жизни, остальные в течение 47 лет после смерти. В 1909–1975 гг. в Швейцарии издавалось Полное собрание сочинений Эйлера, состоящее из 72 томов. Многочисленные открытия Эйлера по математическому анализу, сделанные им за 30 лет и напечатанные в различных академических изданиях, были объединены в одном произведении – двухтомном «Введении в анализ бесконечных» (1748). Оно было посвящено свойствам рациональных и трансцендентных функций, исследованию кривых и поверхностей. В этом труде содержится изложение нынешней тригонометрии с ее определениями и обозначениями и теории рядов. Впервые вводится понятие функции комплексного переменного. Приводится известная формула Эйлера, связывающая показательные и тригонометрические функции e ix  cos x  i sin x , разложения в степенной ряд функций eх, sinx, cosx. Здесь впервые вводятся углы Эйлера, играющие в математике и механике важную роль. Затем вышел трактат в 4-х томах. Первый том, «Дифференциальное исчисление» (1755), был издан в Берлине, остальные три тома «Интегрального исчисления» (1768–1770) – в Петербурге. В последнем томе рассматривалось вариационное исчисление, созданное Эйлером и Лагранжем. Все эти книги служили основными руководствами для математиков. Они выгодно отличались от «Начал» Евклида и от «Принципов» Ньютона. Возведя стройное здание математического анализа от самого фундамента, Эйлер не убрал те леса и лестницы, по которым он сам карабкался к своим открытиям. Многие красивые догадки и начальные идеи доказательств сохранены в тексте, несмотря на содержащиеся в них ошибки – в поучение всем наследникам эйлеровой мысли. «Изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить», – сказал великий немецкий математик Гаусс. Эйлер посвятил ряд работ алгебре и теории чисел. Работа «Элементы алгебры» (1768) вышла на русском, немецком и французском языках. Ученый положил начало аналитическому методу в теории чисел. Всего теории чисел посвящены более 140 его работ: известны функция Эйлера, закон квадратичной взаимности Эйлера и др. Эйлер был одним из творцов современной дифференциальной геометрии. Ему же принадлежит доказательство топологической теоремы о соотношении между числом вершин, граней и ребер многогранника: V+F=E+2. Почти во всех областях математики и ее приложений встречается имя Эйлера: теоремы, тождества, постоянные, углы, функции, интегралы, формулы, уравнения, подстановки. Большая часть работ Эйлера посвящена вопросам приложений математики в физике, механике, астрономии. Ученый оказал огромное влияние на развитие математического образования в России. �Содержание Эйлер считается основоположником не только Петербургской математической школы, но также первой в России методико-математической школы. Первые учебники математики, изданные на русском языке, были написаны Эйлером. Первые русские академики по математике были учениками Эйлера (С.К. Котельников, С.Я. Румовский, Н.И. Фусс, М.Е. Головин и др.). Математическая школа Эйлера под его руководством провела огромную просветительскую работу, создала замечательную для своего времени учебную литературу. Влияние Эйлера на все дальнейшее развитие математики бесспорно, «Читайте Эйлера, это наш общий учитель», – скачал великий французский математик Лаплас. Ведущим математиком французских энциклопедистов был Жан Лерон Даламбер (1717–1783), математик, механик, философ, член Парижской Академии наук. Основные работы относятся к динамике, статике, гидродинамике, аэродинамике. Усовершенствованием исчисления бесконечно малых занимался Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), французский математик и механик. Он пытался обосновать строго теорию пределов, исключить недостатки анализа Ньютона, Лейбница и Даламбера. Но его алгебраический метод обоснований анализа оказался неудовлетворительным. Работы Лагранжа и Эйлера легли в основу нового раздела математического анализа – вариационного исчисления. Причем Эйлер часто признавал преимущества методов Лагранжа над своими. В «Размышлениях об алгебраическом решении уравнений» (1770) Лагранж исследовал проблему о возможности решения уравнений выше четвертой степени. Они повлияли в дальнейшем на Галуа и Абеля, которые решили эти проблемы. В Париже Лагранж издал свои курсы математического анализа в двух частях: «Теория аналитических функций» (1797) и «Лекции по исчислению функций» (1801–1806). Дал формулу остаточного члена ряда Тейлора, формулу конечных приращений и интерполяционную формулу. Ввел тройные интегралы. Разработал метод вариации произвольных постоянных. Использовал функции комплексной переменной для решения задач гидродинамики. В 1788 г. опубликовал «Аналитическую механику», в которой создал классическую механику в виде учения об общих дифференциальных уравнениях движения материальных систем. Таким образом, Лагранж заменил геометрический подход Ньютона к механике аналитическим подходом. Пьер Симон Лаплас (1749–1827), французский математик, физик и астроном, – последний ведущий математик XVIII века. Ему принадлежат фундаментальные работы по математике, экспериментальной и математической физике, небесной механике. Основная математическая работа Лапласа – «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Она включает все то, что составляет современный курс теории вероятностей. К концу XVIII века некоторые ведущие математики высказывались, что область математических исследований истощена, что все уже открыто и изложено. �Содержание 1.5. Период современной математики Контрольные вопросы 1. Какова протяженность периода современной математики в истории математики? 2. Охарактеризуйте период современной математики. 3. Вклад каких ученых наиболее значим для становления периода современной математики? 4. Какие современные награды выдающихся математиков существуют? Теоретические сведения Период современной математики отсчитывается примерно с середины XIX века по настоящее время. Начало этому периоду положило открытие неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевским (1826), которое радикально изменило существовавшие воззрения на характер геометрических понятий математического пространства вообще, что привело к неограниченному разнообразию геометрических пространств. Создание функционального пространства, изучающего пространства функций. Качественно изменилась и алгебра: стали рассматриваться различные операции не только над числами, но и над объектами другой природы (векторами, кватернионами, матрицами, логическими высказываниями и т. д.), что привело к необходимости исследовать общие свойства алгебраических операций в произвольных множествах. Возникают алгебраические структуры, ставшие в дальнейшем основным предметом изучения алгебры. Глубокие сдвиги произошли и в области математического анализа, что выразилось в критическом пересмотре основных понятий анализа, начиная с понятия действительного числа, понятий «предел функции», «непрерывность», «производная», «интеграл». Появилась теория точечных множеств, охватившая в дальнейшем с единой точки зрения области математики, казавшиеся весьма отдаленными друг от друга. Все эти изменения привели математику к современному ее состоянию. К нему привел критический пересмотр проблем оснований математики. Появляются многие новые математические теории и расширяются ее приложения. Создаются теоретико-групповые методы в алгебре, неевклидовы геометрии. Математический анализ перестраивается на основе строгого определения действительного числа и предела. Накопленный в XVII–XVIII вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрической интерпретации комплексных чисел, доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени, создание французским математиком Коши основ теории функций комплексного переменного, работы Коши по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание русским математиком Н.И. Лобачевским (1826, опубликовано в 1829–30) неевклидовой геометрии, работы немецкого математика Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей – вот типичные примеры наметившихся на рубеже XVIII и XIX вв. новых тенденций в развитии математики. Связь математики с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего �Содержание развития самой математики, явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского. Самому Н.И. Лобачевскому удалось применить свою геометрию лишь к вычислению некоторых интегралов. Только в XX в. с созданием теории относительности получило осуществление предположение Н.И. Лобачевского о возможности применения его геометрических идей к исследованию реального физического пространства. Таким образом, как в результате внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания, круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых в математике, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. Такое широкое понимание терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» применимо и на новом современном этапе её развития. В начале XX века происходит качественный скачок в развитии логики и он связан с именем Г. Фреге (1848–1925), который в работе «Исчисление понятий» впервые построил строгое аксиоматическое исчисление высказываний и предикатов, в котором содержались все основные элементы современных логических исчислений, а в своем главном труде «Основные законы арифметики» заложил основы современной логической семантики. С этого времени интенсивно развивается математическая или символическая логика, связанная с именами Дж. Буля, Г. Фреге, П.С. Порецкого и других. В частности, Платоном Сергеевичем Порецким (1846–1907), автором первых в России трудов по математической логике, первым из русских ученых прочитан курс лекций по математической логике. Он занимался проблематикой алгебры высказываний. В 80–90-е годы ХХ века логика находит все более широкое применение в информатике, программировании, исследованиях в области искусственного интеллекта. Основная тема логики – анализ правильных рассуждений, формализация законов и принципов, соблюдение которых является необходимым условием получения в процессе логического вывода истинных заключений из истинных посылок. Правильность рассуждения определяется только его логической формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него символов. В таком рассуждении заключение вытекает из посылок в силу некоторого общего правила, логического закона. Современная логика как единая наука слагается из множества более или менее общих логических теорий. В этом аспекте единство логики проявляется в том, что входящие в нее отдельные «логики» имеют ряд общих принципиальных особенностей. Для каждого конкретного исчисления важное значение имеет вопрос о его непротиворечивости, полноте, разрешимости и т. д. Основными разделами современной логики являются: логика высказываний, логика предикатов, металогика (разделяющаяся в свою очередь на три части: логическую семантику, логический синтаксис, логическую прагматику). В зависимости от признания или отрицания тех или иных фундаментальных логических принципов (принципа исключенного третьего, принципа взаимозаменимости и др.) в каждом разделе имеются логические теории классического направления, в своей совокупности образующих современную классическую логику, и теории неклассического направления (многозначная логика, интуиционистская логика, паранепротиворечивая логика и др.), в своей совокупности образующие современную неклассическую логику. Многие вопросы, которыми занималась традиционная логика, получили новое – более глубокое и точное освещение в символической логике. Символическая логика значительно расширила сферу логического, открыв новые формы рассуждений и новые виды логических связей. Вместе с тем, �Содержание существует принципиальное различие между традиционной и символической логикой в подходе к анализу человеческого рассуждения: традиционная логика анализирует мышление, а символическая логика исследует язык, его смысловое содержание. Именно поэтому традиционная логика описывает понятия и суждения как формы мысли, а символическая логика предпочитает говорить о терминах и высказываниях языка. В настоящее время в качестве самостоятельных логических дисциплин развиваются: формальная логика; математическая или символическая логика; диалектическая логика. Важная сфера применения логики – создание новых систем искусственного интеллекта. На протяжении своей многовековой истории логика выполняла важные мировоззренческие, методологические и практические функции. Таковой она остается и поныне, оказывая явное или скрытое влияние на самые разнообразные сферы человеческой деятельности. Изучение логики развивает ясность и четкость мышления, способность предельно уточнять предмет мысли, внимательность, аккуратность, обстоятельность, убедительность в суждениях. Овладевший знанием и навыками логического мышления всегда понятен в изложении своих мыслей окружающим, исключает всякую расплывчатость в деловом разговоре, неоднозначность в составлении деловых бумаг, бессистемность в обработке информации. Он способен быстро находить рациональное зерно даже в сбивчивой чужой речи, оценивать доказательную силу высказываний в споре, дискуссии, находить кратчайшие и правильные пути исправления ошибок. Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в XIX в. усиленное внимание к вопросам её «обоснования», т. е. критического пересмотра её исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических приёмов, употребляемых при этих доказательствах. Важность такого рода работы становится особенно понятной, если учесть то, что было выше сказано об изменившемся характере взаимоотношений между развитием математической теории и её проверкой на практическом материале, доставляемом естествознанием и техникой. При построении обширных и иногда весьма абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных случаев, которые привели к их созданию, огромный материал, получающий конкретные применения лишь в перспективе десятилетий, ждать непосредственных сигналов о недостаточной корректности теории в форме зарегистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого приходится обратиться ко всему накопленному опыту работы человеческой мысли, который как раз и суммируется в вырабатываемых постепенно наукой требованиях к «строгости» доказательств. В соответствии с этим работы по строгому обоснованию тех или иных отделов математики справедливо занимают значительное место в математике XIX и XX вв. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приемов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников (даже чисто практического характера). Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практических потребностей математической теории запаздывает. Так в течение долгого времени уже на рубеже XIX и XX вв. было с операционным исчислением, получившим весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически безупречное изложение математической теории вероятностей. Только к концу XIX в. сложился стандарт требований к логической строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой некоторыми отношениями. Все �Содержание формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при ее развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах, свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние. Из указанных требований, в частности, вытекает, что математическая теория, применимая к какой-либо системе объектов, применима автоматически и к любой «изоморфной» системе. Заметим по этому поводу, что кажущееся иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является просто математическим выражением идеи «моделирования» физических явлений из какой-либо одной области физическими явлениями иной природы. Таким образом, в первой половине XX в. возникла концепция аксиоматического построения всей математики. Была аксиоматизирована алгебра, элементарная геометрия, теория вероятностей, топология, теория меры и др. В конце тридцатых годов группа французских математиков объединилась, чтобы построить всю математику на аксиоматической основе. Результатом их деятельности стал многотомный трактат «Элементы математики», изданный под псевдонимом Никола Бурбаки. Фундаментом являлась теория множеств. Эта попытка осталась незавершенной. Тем не менее, их работа имела большое значение для развития математики. По крайней мере, был создан язык, на котором математики понимают друг друга. Войны XX века разорвали международные научные связи. После 1945 г. они быстро восстановились. В 1950 г. собрался первый послевоенный Международный математический конгресс в США (Гарвард). С тех пор конгрессы собирались регулярно. Во второй половине XX столетия математика приобрела характер истинно интернациональной науки. Начала осуществляться мысль Гильберта о том, что для математика весь культурный мир представляет собой единую страну. Процесс математизации различных наук идет в нарастающем темпе. Теперь можно указать и на нетрадиционные области ее применения: химия, биология, лингвистика, психология, медицина, геология и др. Происходит качественное изменение самой математики. Понятие предмета математики приобретает все более глубокое содержание. В настоящее время одной из самых престижных наград в математике является Филдсовская премия (и медаль). Премия и медаль названы в честь Джона Филдса, который будучи президентом VII международного математического конгресса, проходившего в 1924 году в Торонто, предложил на каждом следующем конгрессе награждать двух математиков золотой медалью в знак признания их выдающихся заслуг. Как известно, Нобелевская премия математикам не вручается, поэтому Филдсовскую премию часто называют «Нобелевской премией для математиков». С другой стороны, между двумя премиями есть и существенные различия: Филдсовская премия присуждается раз в 4 года, а Нобелевская – в каждой области ежегодно; Филдсовская премия присуждается только математикам не старше 40 лет (точнее, математик должен достигать своего 40-летия не раньше 1 января того года, когда вручается премия), а Нобелевская – лауреатам любого возраста; Филдсовская премия присуждается за общий вклад в математику, а Нобелевские премии – за конкретные результаты; �Содержание Филдсовская премия предполагает выплату денежной премии на несколько порядков ниже, чем Нобелевская премия. Возрастное ограничение продиктовано пожеланием Филдса: помимо того, что отмечает проделанную работу, она (премия), в то же время, должна служить поощрением к дальнейшим достижениям удостоившихся премии и стимулом к новым усилиям остальных. Филдсовская медаль изготовляется из 14-картного золота (583 пробы). На лицевой стороне – надпись на латыни: «Transire suum pectus mundoque potiri» («Превзойти свою человеческую ограниченность и покорить Вселенную») и изображение Архимеда. А на обороте: «Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere» («Математики, собравшиеся со всего света, вручили [эту награду] за выдающиеся труды») (см. рис. 1.). Рис.1. Филдсовская медаль Первые две медали были вручены в 1936 году на X Конгрессе в Осло. С 1966 года (конгресс в Москве) максимальное число медалей увеличено до четырех за конгресс. В 2002 году (Конгресс в Пекине) было вручено две медали. Среди лауреатов Филдсовской премии большое количество советских и российских математиков: Сергей Петрович Новиков (1970 г.); Григорий Александрович Маргулис (1978 г.); Владимир Гершонович Дринфельд (1990 г.); Ефим Исаакович Зельманов (1994 г.); Максим Львович Концевич (1998 г.); Владимир Александрович Воеводский (2002 г.); Григорий Яковлевич Перельман (2006 г., от медали отказался, за доказательство гипотезы Пуанкаре); �Содержание Андрей Юрьевич Окуньков (2006 г., за достижения, соединяющие теорию вероятностей, теорию представлений и алгебраическую геометрию); Станислав Константинович Смирнов (2010 г., за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике). Ближе к Нобелевской премии по формальным критериям находится учрежденная в 2002 году Абелевская премия, присуждаемая ежегодно и без возрастных ограничений и имеющая размер денежной премии, более близкий к размеру Нобелевской премии. Незадолго до своей смерти норвежский математик Софус Ли, узнав, что Альфред Нобель не планирует присуждать свою премию в области математики, предложил учредить Абелевскую премию. Предполагалось, что первое вручение премии состоится в 1902 году в рамках празднования 100-летия со дня рождения Абеля. Финансировать премию собирался король Норвегии Оскар II. Статус премии и правила награждения составили норвежские математики Людвиг Силов и Карл Штермер. После смерти Ли процесс учреждения премии был приостановлен, а распад союза между Швецией и Норвегией в 1905 году завершил первую попытку создания Абелевской премии. В конце XX–начале XXI веков интерес к концепции премии для выдающихся математиков современности вырос, что привело к созданию рабочей группы по разработке предложений, которые были представлены премьер-министру Норвегии в мае 2001 года. В августе 2001 года правительство Норвегии объявило, что вручение Абелевской премии начнется с 2002 года, когда будет отмечено двухсотлетие со дня рождения Абеля. Впервые премия была вручена 3 июня 2003 года. Среди российский математиков, награжденный Абелевской премией: Михаил Леонидович Громов (2009 г., за революционный вклад в геометрию); Яков Григорьевич Синай (2014 г., за фундаментальный вклад в изучение динамических систем, эргодическую теорию и математическую физику). Имеют место и другие награды выдающихся математиков современности (Премия Пуанкаре, Премия Неванлинны, Премия Гаусса и др.). Во второй половине прошлого века, на фоне бурного развития вычислительной техники и проникновения компьютерных технологий во все области практической и теоретической деятельности людей, ими стали пользоваться и математики. Использование компьютеров налагает отпечаток и на математику. Но пока нет оснований считать его началом нового периода развития математики. Вообще, Н.Я. Виленкин1 говорит о правомерности рассмотрения пятого периода в истории математики, который начинается с середины XX в. Он пишет: «Серьезный толчок расширению области применения математики дало создание во второй половине XX в. быстродействующих вычислительных машин… С помощью таких машин можно решать задачи, о которых раньше невозможно было и мечтать, настолько большой вычислительной работы они. ЭВМ во много раз ускоряет формирование, поиск и обработку информации… Создание быстродействующих вычислительных машин сделало «прикладными» области математики, которые казались раньше весьма далекими от практики. В частности, весьма важно для приложений оказалась математическая логика, возникли новые отрасли математики (теория кодирования, теория информации, теория алгоритмов, теория автоматов), так или иначе связанных с вычислительными машинами. Бурное развитие получила конечная математика, связанная с изучением конечных множеств, почти заново была создана 1 Виленкин Н.Я. Методологические основы математики. Современные основы школьного курса математики. – М., 1980. – С. 19–20. �Содержание вычислительная математика. На многие классические разделы математики пришлось смотреть под иным углом зрения. Все это позволяет говорить о начале нового, пятого периода в развитии математики, периода машинной математики». Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. �Содержание Задания для самостоятельной работы по главе 1 1. Составьте мини-тест для контроля знаний по главе 1. 2. Создайте презентацию по материалу главы 1. 3. Составьте глоссарий по главе 1. 4. Подготовьте исторический экскурс «Периоды в развитии математики». 5. Составьте кроссворд по материалу главы 1. �Содержание Глава 2. История математики древних цивилизаций 2.1. Математика Древнего Египта 2.2. Математика Древнего Вавилона 2.3. Математика Древней Греции 2.4. Математика стран Востока Задания для самостоятельной работы по главе 2 �Содержание 2.1. Математика Древнего Египта Контрольные вопросы 1. Охарактеризуйте основные достижения математики Древнего Египта. 2. По каким памятникам истории мы можем судить об уровне развития математики в Древнем Египте? Опишите их. 3. Какой была система счисления в Древнем Египте? 4. Как записывали числа в Древнем Египте? 5. Как в Древнем Египте производили операции умножения и деления? Приведите примеры. 6. Какие операции египтяне умели выполнять с дробями? Теоретические сведения Первыми древними цивилизациями, от которых до нас дошли истоки, позволяющие судить об их математических познаниях, были египетская и вавилонская. К концу IV тысячелетия до н. э. образуется единое государство Египет во главе с фараоном. В разное время столицами были города Тис, Мемфис, Фивы, Саис. Наиболее известные фараоны Менес (Мина), Хеопс, Эхнатон, Тутмос, Рамсес. Последнее самостоятельное древнеегипетское царство – при фараоне Псамметихе, который в 655 г. до н. э. при помощи греков изгоняет захвативших их ассирийцев и позволяет грекам организовать колонию в Египте. Дальнейшая история Египта – время упадка страны. В 525 г. до н. э. был завоеван персидским царем Камбизом, в 332 г. до н. э. – Александром Македонским. Знаковыми достижениями древнеегипетской цивилизации являются: – изобретение иероглифической письменности (в IV тысячелетии до н. э.); – строительство пирамид (например, пирамида Хеопса, построенная в XXVI в. до н. э., высотой в 146 м., причислялась древними к семи чудесам света); – первый календарь (принятый еще в V тысячелетии до н. э., с продолжительностью года в 365 дней). Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. О состоянии математики в Древнем Египте позволяют судить два дошедших до нас папируса (бумага, сделанная из одноименного растения). Первый папирус известен в истории математики как «папирус Райнда», или «папирус Ахмеса» (рис. 2.). Одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. Найден в 1858 г. и приобретен англичанином Райндом. Расшифрован в 1870 г. Имеет размеры: длина 525 см, ширина 33 см. Содержит 84 задачи. Написан в XVII в. до н. э., но содержит более старый материал. Назван «Наставление, как достигнуть знания всех темных..., всех тайн, которые содержат в себе вещи. Сочинение написано в 33 году в 4 месяце времени вод в царствовании царя Ра-аус. Со старых рукописей времени царя ... Писец Ахмес написал это». �Содержание Рис. 2. Папирус Райнда Второй папирус называют «московским папирусом», он хранится в московском Музее изобразительных искусств имени А.С. Пушкина. Имеет размеры: длина 544 см, ширина 8 см. Содержит 25 задач. Написан XIX в. до н. э. Приобретен в 1888 г. в Луксоре русским египтологом В.С. Голенищевым. Расшифрован в 1927 г. Папирусы были предназначены для преподавания в школе писцов. Роль египетского писца может быть сравнена с ролью бухгалтера в крупной хозяйственной единице. Это был и законовед, и статистик, и вычислитель. Он занимал привилегированное общественное положение. Математика в папирусах излагается как решение задач. Все задачи имеют практическое содержание: о количестве хлеба, о емкости хранилищ, о площади поля и т. п. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна и др. Они группируются не по методам решений, а по темам. Каждая задача решается заново, без каких-либо пояснений, в числах. Числа как таковые, а также методы решения задач еще не являются предметом рассмотрения. Числа записывались в десятичной непозиционной системе счисления. Каждый знак в записи числа повторяется столько раз, сколько в данном числе единиц соответствующего разряда. Записи выполняются справа налево. Единицу обозначали одной вертикальной чертой (мерной палкой), а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели символ, напоминающий по своим очертаниям подкову (путы для стреноживания коров). Множество из десяти подковообразных символов, т. е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки (мерительная веревка для обмера полей); десять силков, т. е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов, т. е. 10000 согнутым пальцем, десять согнутых пальцев, т. е. 100000 – лягушкой и десять лягушек, т. е. 1000000 – фигуркой удивленного человека, число 10000000 обозначалось Солнцем. В итоге древние египтяне могли представлять числа до десятков миллионов. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как . Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, т. к. дало возможность существенно сократить записи. Основные недостатки непозиционных систем нумерации – трудности с изображением произвольно больших чисел и, главное, более сложный, чем в позиционных системах, процесс вычислений. �Содержание (Последнее, правда, облегчалось употреблением счетных досок – абаков, так что изображение чисел было необходимо лишь для конечного результата). Из математических папирусов узнали, как египтяне выполняли четыре арифметических действий над числами (положительными, целыми). Сложение и вычитание (всегда меньшего числа из большего) не представляло для них трудностей. Оно облегчалось из десятичной системой нумерации и проводилось тем же способом, который применяем мы сейчас. Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции – многократного удвоения или раздвоения чисел. Видимо, это связано с сохранением навыков, имевших свои корни в далеком прошлом, когда египтяне пользовались двоичной системой счисления. Выглядели такие расчёты довольно громоздко. Например, для вычисления 13×17 выполнялись операции удвоения и сложения. В первой строке записывали «1» и один из множителей. Во второй и в каждой последующей сроках происходило удвоение элементов предыдущей строки и так происходило до тех пор, пока элемент на первом месте не превосходит второго множителя. 1 13 2 26 4 52 8 104 16 208 Затем суммируют те элементы во втором столбце, которые находятся в одной строке с элементами первого столбца, в сумме равные второму множителю: 13+208=221. Таким образом, 13×17=221. Аналогично выполняли операцию деления: 182:14. В первой строке «1» и делитель. Удвоение происходит до тех пор, пока элемент во втором столбце не начнет превосходить делимое. 1 14 2 28 4 56 8 112 Затем суммируют те элементы в первом столбце, которые находятся в одной строке с элементами второго столбца, в сумме равные делимому: 1+4+8=13. Таким образом, 182:14=13. Отметим, что удвоение и деление пополам как особые арифметические действия сохранялись в западноевропейских учебниках еще в XVIII в. Египтяне умели работать и с дробями. Это были дроби с числителем, равным 1 – аликвотные. Все остальные дроби сводились к суммам аликвотных дробей. Самые простые разложения писцы должны были знать наизусть. Задача разложения дроби в сумму единичных дробей неоднозначна. Каждое такое разложение было найдено эмпирически, а потом канонизировано. Папирус Райнда содержит таблицу, �Содержание в которой приведены разложения дроби вида 2 на основные дроби для всех нечетных n от 5 до 331, n 2 1 1   . Из чего исходили при таком сведении к основным дробям, не ясно (например, 7 4 28 2 1 1 1 1 1 1     ) заменяли суммой , а не суммой ). почему 19 12 76 114 12 57 228 например: В практической жизни такое разложение зачастую играет положительную роль. Например, при решении задачи, в которой требуется разделить 7 хлебов на 8 человек, египтяне использовали 7 1 1 1 1    . Тем самым подразумевая, что каждому достанется хлеба (т. е. нужно 4 8 2 4 8 2 1 хлеба (т.е. нужно 2 хлеба разрезать на 4 части, хлеба разрезать пополам, сделав при этом 4 разреза), 4 1 хлеба (т. е. нужно 1 хлеб разрезать на 8 частей, сделав при этом 7 сделав при этом 6 разрезов) и 8 разложение: разрезов). Таким образом, древнеегипетское решение предполагает 17 разрезов. Если пользоваться современным решением, то, чтобы каждому дать 7 хлеба, нужно каждый из 7 хлебов разрезать 8 8 частей, т.е. сделать 49 разрезов, что является менее рациональным в сравнении с решением древних египтян. Разложение дробей на сумму аликвотных дробей применялось в математике очень долго, даже в средние века. С такими дробями египтяне производили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычислений оставалась очень громоздкой и тяжеловесной. Для записи дробей 1 1 1 2 , , , в Древнем Египте использовали специальные знаки. Для записи дробей 2 3 4 3 египтяне использовали знак , по сути обозначающий часть. Например, . Греческий математик Прокл писал в V в. н. э., что согласно большинству мнений геометрия была впервые открыта в Египте, имела свое происхождение в измерении площадей. Действительно, некоторые задачи египтян имеют геометрическую природу и касаются преимущественно измерений земельных участков соответствующей формы. Площадь треугольника вычислялась правильно: половина произведения основания на высоту. Вычисляются объемы тел, как произведение площади основания на высоту: куба, параллелепипеда, цилиндра. Все они рассматриваются как сосуды для зерна. В папирусе Райнда имеется ряд задач, посвященных вычислению «четырехугольных» и «круглых» амбаров для хлеба. Круглые амбары были близки к цилиндру, покрытому куполом параболической формы. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была правильная формула для объема усеченной пирамиды с квадратным основанием. Важным достижением геометрической науки египтян было относительно точное приближение числа 2 8 1 2 d  π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d S   d   или S  1  d . 9 9 9  d2 . Этому правилу из 50-ой задачи папируса Райнда 4 соответствует значение π 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. Структура самой формулы позволяет лишь предположить, что она была найдена путем Можно сравнить эту формулу с S  r 2   �Содержание  1 эмпирического подбора квадрата со стороной 1  d , приблизительно равновеликого данному  9 кругу. Заметим, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение π=3. Следовательно, в этом отношении египтяне намного опередили другие народы. Формулу площади круга египтяне остроумно применяли к вычислению боковой поверхности конуса. «Египетские треугольники», прямоугольные треугольники с соотношениями сторон 3:4:5, в середине І тысячелетия до н. э. использовались в землемерной практике. С помощью веревки с завязанными на ней на равном расстоянии 12 узлами размечали прямые углы земельных участков. Концы верёвки связывали и затем натягивали её на 3 колышка, оставляя на одной стороне 3 узла, на другой – 4 узла, на третьей – 5 узлов. Гарпедонапты (натягивающие веревку) применяли свои сведения и в строительном деле. Кроме того, египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Рассматривают египтяне и алгебраические задачи, сводящиеся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Пример. Некое количество и его четвертая часть вместе дают 15. Каково количество? Приведем решение египтян: «Считай с 4. От них ты должен взять четверть, а именно 1. Вместе 5». Затем производится деление 15:5=3. И в заключение 4*3=12. Требуемое «количество» равно 12. В этом решении применяется метод, получивший позднее название «правила ложного положения». Он заключается в том, что первоначально в качестве «количества» берут произвольное число. В нашем случае – число 4, для которого легко вычислить четвертую часть. Четыре и четвертая часть 4 вместе дают 5, однако, результат должен равняться 15, следовательно, взятое «количество» нужно еще умножить на 15:5=3. Встречаются задачи, в которых отыскивается отвлеченное число, не связанное с определенным объектом. Оно обозначается специальным иероглифом, обозначающим «кучу» – читается «хау» или «аха» (количество, множество). Поэтому египетскую алгебру иногда называют хау- исчислением. В задачах про "кучу", решаемых единым методом, можно усмотреть зачатки алгебры как науки об уравнениях. Главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Таким образом, математика Древнего Египта представляла собой совокупность знаний, между которыми ещё не существовало чётких границ и они еще не расчленялись на арифметику, алгебру, геометрию. Это были правила для решения конкретных задач, имевших практическое значение. Египетская математика не располагала общими методами. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Многие решения находили методом проб, ощупью, эмпирически. Геометрия у египтян сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной. Однако она сыграла немаловажную роль в становлении математики как науки, хотя уровень развития математики в �Содержание Древнем Египте уступал ее развитию в Вавилоне. �Содержание 2.2. Математика Древнего Вавилона Контрольные вопросы 1. Охарактеризуйте основные достижения в математике Древнего Вавилона. 2. По каким памятникам истории мы можем судить об уровне развития математики в Древнем Вавилоне? 3. Какой была система счисления в Древнем Вавилоне? 4. Как записывали числа в Древнем Вавилоне? 5. Какие операции с числами умели выполнять вавилоняне? Теоретические сведения Культура древнего Двуречья, образованного Тигром и Евфратом, называется вавилонской по имени одного из крупнейших городов этой области. В IV тысячелетии до н. э. на дельтах этих рек возникли шумерские города Ур, Урук, Лагаш. Основа культуры Двуречья была заложена шумерами. Позднее с северо-запада пришли семитские племена, главным городом которых стал Аккад. В середине IV тысячелетия произошло крупное наводнение с большими жертвами, которое послужила основой мифа о Всемирном потопе. В XXIV веке до н. э. шумеры были завоеваны аккадянами, образуется единое государство. Его история знала много раз периоды подъема и упадка. Шумеры как народ исчезают в XVIII в. до н. э. Их история была восстановлена только в новейшее время. В XVIII в. новое царство со столицей в Вавилоне, вблизи нынешнего Багдада, достигает своего расцвета. Царь Хаммурапи присоединяет соседние земли. При нем был разработан свод законов, которые действовали на его территории на протяжении тысячи лет. Этот свод был образцом для законодателей. Однако войны ослабили вавилонское государство и оно было завоевано племенами горцев. Наступил длительный период застоя. В 729 г. Вавилон захватили ассирийцы. Восстановление могущества Вавилона состоялось в VII в. до н .э. при царе Навуходоносоре. Затем в 538 г. до н. э. он был захвачен персами, в 336 г. – Александром Македонским. После его смерти Двуречье становится одной из областей эллинистического государства Селевкидов. В это время усиливается взаимное проникновение и развитие восточной и греческой математики. Известность Вавилона как центра торговли, ремесел и искусств связана с тем, что через него шли водные пути от Персидского залива к предгорьям Кавказа и караванная дорога из Ирана в Египет. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы. Необходимость путешествий заставила наблюдать за небесным сводом. Эти наблюдения привели к первым систематизированным знаниям по астрологии и астрономии. Вавилоняне составили подробную карту звездного неба, первыми установили продолжительность года в 365 дней. Шумеры изобрели клинописное письмо. Основным материалом для письма служили глиняные плитки. На пластинку из мягкой глины наносили знаки, после чего их обжигали, или просто высушивали. Полученные дощечки при бережном обращении могли храниться веками. Много их найдено при археологических раскопках. Датируются они разными веками с XX в. до н. э. по I в. до н. э. Сейчас такие плитки находятся в разных музеях мира. Известно примерно 150 фрагментов с текстами �Содержание математических задач и 200 с числовыми таблицами. Анализ этих математических текстов проводился в 30-х годах ХХ века. Математика на клинописных таблицах в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и т. д. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Много клинописных текстов представляют собой задачи на проценты, на прогрессии, на извлечение квадратного корня, на системы уравнений с двумя неизвестными. Вавилонские тексты задач не содержат каких-либо общих правил, по которым следует решать те или иные задачи. Дело ограничивается показом решений большого количества однотипных задач. То обстоятельство, что вавилонские задачи подобраны по типам, говорит о том, что вавилонский вычислитель владел арифметическими рассуждениями и пытался придать им вид системы. В Вавилоне мы впервые встречаемся с последовательной позиционной нумерацией. Числовое значение одного и того же знака определялось не только его формой, но и положением, которое он занимал в записи числа. Вавилонская система счисления является комбинацией шестидесятеричной и десятичной систем с применением позиционного принципа. Нумерация использует только два клинописных знака: вертикальный клин ▼– для обозначения 1 и горизонтальный клин ◄ – для 10. Числа от 1 до 59 записываются при помощи этих знаков, повторяя необходимое количество соответствующих клиньев. Например, число 23 записывалось как ◄◄▼▼▼. Число 60 снова записывалось с помощью вертикального клина ▼. Например, 83 записывали как ▼◄◄▼▼▼. Но эта же запись могла 23 обозначать 1  23  60 1  1 или, например, 60 2  23  3623 и вообще 60 k  23  60 k1 , k1  k – целые 60 числа. Такая неоднозначность записи объяснялась тем, что у вавилонян не было нуля. Около 1700 г. до н. э. не встречается никакого символа для обозначения нуля; таким образом, численное значение, которое придавалось символу, зависело от условий задачи (предполагалось в зависимости от контекста), и один и тот же символ мог обозначать 1, 60, 3600 или даже 1/60, 1/3600. Хотя в эпоху Селиквидов появился специальный разделительный знак , который ставился, если в середине числа был пропущен шестидесятеричный разряд, но в конце числа этот знак никогда не ставился. Концевой нуль, который позволял различать, например, обозначения для 1 и 60, у вавилонян отсутствовал. Только Птолемей во II в. н. э. при вычислениях в шестидесятеричной системе пользуется знаком «0» для обозначения отсутствующих разрядов как в середине, так и в конце числа (0, омикрон – первая буква греческого слова ovden – ничто). Неудобства, связанные с отсутствием нуля, искупались до некоторой степени тем, что вавилоняне имели возможность сразу единообразным способом записывать и целые числа и шестидесятеричные 1 дроби – дроби вида , где n – натуральное число. 60n Шестидесятеричные дроби удобны для использования на практике, т. к. число 60 имеет много делителей: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, т. е. легче находятся различные доли от числа. Удобство вычислений в шестидесятеричной системе сделало ее популярной у греческих астрономов. �Содержание Как шестидесятеричная система, так и позиционность системы счисления оказались прочным достоянием человечества. Наше современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к шумерам, ровно как и наше деление окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Есть основания полагать, что выбор в качестве основания числа 60 вместо 10 появился при попытке унифицировать системы измерения, а также то, что число 60 имеет много делителей и несложно находить половину, третью, четвертую, пятую, шестую, десятую, двенадцатую, пятнадцатую, двадцатую, тридцатую части от целого. Операции сложения и вычитания производились так же, как это делается в десятичной позиционной системе счисления. Для умножения существовал обширный набор таблиц. Однако умножение шестидесятеричных чисел представлялось громоздкими таблицами умножения. Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения, таблицы обратных величин, при помощи которых деление чисел сводилось к умножению. Чтобы разделить число М на N, вавилоняне 1 брали число, обратное числу N, т. е. N ' , и умножали М на N ' . N Кроме того, имели место таблицы квадратов, кубов чисел, квадратных корней из чисел и др. В простейших случаях при извлечении квадратного корня вавилонские вычислители прибегали к таким  таблицам, а в более сложных случаях использовали правило a 2    a  . Это, разумеется, лишь 2a грубо приближенная формула. Возможно, она была выведена эмпирическим путем для случаев, когда   мало. Видимо, вавилонянам была известна и приближенная формула a 2    a  . 2a a Количество таких таблиц позволяет сделать предположение, что они применялись для преподавания, в Вавилоне должны были быть школы. Наличие таблиц чисел вида n 3  n 2 говорит нам о том, что вавилоняне умели решать кубические 3 2 уравнения вида x  x  c . Таких таблиц было гораздо меньше, видимо, их применяли уже только в специальных случаях. Вавилоняне умели решать квадратные уравнения около 2000 лет до н. э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неясно, каким образом вавилоняне дошли до этого правила. Почти все известные клинописные тексты содержат только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. В клинописных текстах встречаются задачи, приводящиеся к системе двух уравнений, из которых одно линейное, а другое – второй степени. Например, «Площадь фигуры, состоящая из суммы двух 2 квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, 3  x 2  y 2  1000,  уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?». Задача сводится к системе  Также 2  y  x  10. 3  в клинописных текстах содержатся задачи, решение которых предполагает до десяти уравнений с десятью неизвестными. �Содержание Вавилоняне могли решать задачи на проценты, в которых требуется узнать либо «прибавочные деньги» (начисление) по капиталу, либо капитал по «прибавочным деньгам». То, что в Вавилоне знали 2 арифметическую прогрессию, констатирует задача: «Десять братьев и 1 мины серебра. Брат богаче 3 брата. На сколько он богаче, я не знаю. Доля восьмого – шесть шеклей. На сколько брат богаче брата?». Буквенной символики у вавилонян не было, но они знали, что a  b   a  b   a 2  b 2 , знали общие законы операций сложения и умножения и пользовались ими, применяли эти законы для получения формулы решения квадратного уравнения, для преобразования более сложных уравнений к каноническим. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. Основной чертой вавилонской геометрии был ее арифметико-алгебраический характер. Приводятся формулы площадей и объемов. В частности, имеются правила для вычисления площадей треугольника, прямоугольника, трапеции, некоторых правильных многоугольников. Считается, что вавилонянам к середине второго тысячелетия до н. э. было известно свойство сторон прямоугольного треугольника (теорема Пифагора). В одной из глиняных табличек имеется список прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, т. е. пифагоровых троек чисел x, y, z таких, что x 2  y 2  z 2 . Вавилонянам также был известен факт, что угол, вписанный в полуокружность, прямой; пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников. Вавилоняне первыми проводили систематические наблюдения звездного неба, составляли календарь, вычисляли периоды обращения Луны и планет, могли предсказывать солнечные и лунные затмения. Солнце, Луна и пять ярких «блуждающих» звезд (планет) стали отождествляться с богами. В честь них вавилоняне стали именовать дни недели. Следы соответствующих наименований и в настоящее время присутствуют во французском, немецком и английском языках. Наблюдения за солнцем, луной, планетами и звездами позволили вавилонянам установить длину года (360 дней) и выработать календарь. Обычный год состоял из 12 месяцев по 30 дней в каждом, а каждый шестой год был високосным и состоял из 13 месяцев по 30 дней. Соответственно 12 месяцам и 360 дням обычного года небесный свод был подразделен на 12 зон, которые были обозначены знаками зодиака. Этот обычай через греков и римлян был унаследован и европейской наукой. Вавилонские астрономы путем многолетних записей установили периодичность лунных затмений. Период состоял из 223 лунных месяцев или 19 лет и назывался «сарос». Астрономические знания вавилонян переплетались с религией. Обязанности производить астрономические наблюдения и следить за календарем возлагались на особых жрецов и государственных чиновников. Они же должны были производить различные вычисления и обучать этой науке молодых жрецов. Таким образом, местом хранения астрономической и математической науки были храмы и придворные обсерватории. Однако, было бы ошибкой считать, что развитие вавилонской математики обязано только жрецам. Математические познания появлялись в результате всевозможных хозяйственных и сельскохозяйственных расчетов. Немалую роль в развитии математики играли и торговцы. К математике прибегали и строители каналов и зданий. Экономические и политические условия рабовладельческого общества определили и характер развивающейся в ней математики. Здесь она была в первую очередь практической наукой, создаваемой для производства вычислений и измерений, для удовлетворения хозяйственных потребностей государства. Только этим и можно объяснить в основном эмпирический характер математики. Ее �Содержание положения были в значительной части получены путем проб. Математика излагалась преимущественно в виде конкретных задач, а не общих правил и преподносилась догматически: задачи, которые мы назвали бы типовыми, нужно было запомнить, лишь изредка давались пояснения, представляющие своего рода зародышевое доказательство. Со временем в математике постепенно стали развиваться признаки абстрактной науки. Например, вместо именованных чисел предметом изучения становились числа отвлеченные, стали осознаваться общие правила действий. В дальнейшем, наряду с установившимися арифметическими правилами, зародились общие приемы решения задач определенного типа. Хотя и не употреблялись формулы, как это делается в современной математике, но в этих приемах содержались зачатки алгебраического метода. Аналогично из конкретных измерительных задач постепенно появлялись зачатки теоретической геометрии. Вообще, своего наивысшего расцвета вавилонская математика достигла в XIX в. до н. э. и в дальнейшем развивалась крайне медленно. Это объясняется тем, что, во-первых, техника и астрономия, слившаяся наполовину с религией, застыли на одном уровне и не выдвигали каких-либо новых задач. Во-вторых, сама система применения математики, заключавшаяся в использовании готовых таблиц и образцов задач, не стимулировала работу мысли. Вавилонского жреца или рабовладельца-торговца интересовало не доказательство, а только конечный результат, практическая сторона дела. Так, рабовладельческий строй явился причиной, из-за которой вавилонская математика, достигнув определенного уровня, в дальнейшем почти не эволюционировала. Таким образом, математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями производственной деятельности, поскольку решались задачи, связанные с нуждами орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Впервые вырабатываются абстрактные понятия, носящие на себе следы конкретности, но рассуждений в целом виде египтяне и вавилоняне не знали. Они умели выполнять все четыре арифметические операции, возводить числа в квадрат и извлекать квадратные корни, но техника этих действий была крайне несовершенна и громоздка. Однако вавилонская и египетская математика оказали существенное влияние как на греческую математику, так и на математику других народов, находившихся в политических и экономических связях с Вавилоном. �Содержание 2.3. Математика Древней Греции Контрольные вопросы 1. В чем состоял вклад Древней Греции в развитие математики? 2. Перечислите и охарактеризуйте три кризиса в истории развития математики. 3. Какие известные задачи древности неразрешимы с помощью циркуля и линейки? 4. Назовите основные периоды в истории развития логики. 5. Как записывали числа в Древней Греции? 6. Какие школы имели место в Древней Греции? Охарактеризуйте их деятельность. Теоретические сведения Считается, что греки заимствовали первые сведения по геометрии у египтян, по алгебре – у вавилонян. Однако ни в Древнем Вавилоне, ни в Древнем Египте математики как науки в нашем современном понимании, т. е. развитой дедуктивной системы предложений, не существовало. Рождение такой науки, основанной на строгих доказательствах, произошло в Древней Греции. Выясним, как это происходило. В VII–VI вв. до н. э. возникли новые самоуправляющиеся города-государства с зачатками демократического управления. В этих городах вместо единовластного землевладельца управление осуществлялось Народным Собранием. Каждый имел право на собрании высказать свои пожелания, но также при этом должен был обосновать их. В VII–VI веках до н. э. ведущее место среди новых городов занимал город Милет, находящийся в Ионии, на анатолийском берегу. Позже стали значительны и другие города: Коринф, Афины в Греции, Кротон в Италии, Сиракузы в Сицилии. Но в VI в. появился общий враг греческих государств – персы. Они завоевали Ионию. На первое место выдвигается Аттика в материковой Греции и ее столица Афины. Позже греки, объединившись, разбили персов дважды (в 490 г. при Марафоне и в 480 г. при Саламине). После этих побед Афины становятся политическим и культурным центром всей Греции. Вначале древнегреческая математика не отличалась принципиально от египетской и вавилонской. С развитием рабовладельческого строя, начиная с VI в. до н. э. в математическом мышлении греков все больше усиливается теоретическая сторона. Рабам стали поручать «черную» умственную работу – переписывание книг, производство вычислений, что, в конце концов, привело к отделению теоретической математики от практической. От практической арифметики, называвшейся «логистикой», и прикладной геометрии, получившей у Архимеда название «геодезия», начинают отделяться теоретическая арифметика и теоретическая геометрия. Хотя они, подобно другим наукам, не являлись тогда еще самостоятельными дисциплинами, а входили как составные части в философию. В отличие от практической, теоретическая арифметика и геометрия не только содержали предписания, как решать задачи, но и давали обоснование, почему верно решение. Это введение в математику доказательств давало возможность обобщать получаемые частные результаты, получать верные выводы. В математике, как и в политических и судебных спорах, становилось нужным давать точные �Содержание определения понятий, развивать строгие доказательства. Не случайно, греческие философские школы состояли большой частью из представителей политических партий реакционной рабовладельческой аристократии. Освобождение теоретической математики от ее подчинения узко прикладным задачам, создание в ней вместо простых рецептов строго логических методов, дающих возможность широких обобщений и новых выводов без прямого обращения к действительности, и являлось непосредственной причиной чрезвычайного ускорения ее развития, обусловленного материальными потребностями общества. Занимавшиеся математикой философы стали понимать значение математики как науки, которая, как и другие науки, должна объяснять явления человеку для того, чтобы он мог использовать их в своих целях. Окончательное выделение математики в самостоятельную теоретическую науку произошло в Греции в середине V века до н. э., найдя свое завершение уже в эллинистическую эпоху в «Началах» Евклида, примерно 300 г. до н. э. На протяжении трех предшествующих веков, в классический период развития, оно подготавливалось накоплением элементарных знаний, а главное – возрастающим усилением теоретических, логических моментов в греческой математике. Первоначально разрозненные доказательства лишь отдельных теорем стали общим правилом. Отчетливо начали выделять исходные понятия и положения, по возможности стали избегать обращения к наглядности, заменяя ее логическими выводами. Все полученные знания приводили в стройную систему. Греческая нумерация была аддитивной. Первый её вариант (аттическая) содержала буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ ∆, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X – 1000 (хилиои), символ M – 10000 (мириои или мириада). Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus – камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль. Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная – первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв – десятки, остальные – сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000. Греки строго придерживались требования: все геометрические построения должны выполняться с помощью циркуля и линейки, то есть с помощью совершенных линий – прямых и окружностей. Однако для некоторых задач найти решение не удавалось. Алгебраически это означало, что не всякое число можно получить с помощью 4 арифметических операций и извлечения квадратного корня. К таким знаменитым древним задачам относят: – задача о квадратуре круга; – задача о трисекции угла; – задача об удвоении куба. Задача о квадратуре круга состоит в отыскании квадрата, равновеликого данному кругу. История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия. Как известно, отношение длины �Содержание окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается . Задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что 3,1408< <3,1429. В наши дни с помощью ЭВМ число вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес. Все уточнения значения производились методами, указанными Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. Но при этом оставалось неясным, является число рациональным или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик Иоган Генрих Ламберт (1728–1777) доказал, что число иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик – Карл Луис Линдеман (1852–1939) доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу. В V в. до н. э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой). Усилия античных математиков, стремившихся теоретически точно решить задачу о квадратуре круга, принесли развитию математики большую пользу, обогатив ее новыми фактами и методами. Так, например, был изобретен метод исчерпывания (предшественник метода пределов), были введены различные трансцендентные кривые и, наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями (луночки Гиппократа Хиосского (V в. до н. э.), образованные дугами окружностей). Квадратриса Динострата решает и вторую из знаменитых задач древности – задачу о трисекции угла. Возникла эта задача в Древней Греции примерно в V веке до н. э. Делить угол пополам древние греки умели (например, решение этой задачи знал Фалес), а вот разделить угол на три равные части оказалось не всегда возможно. Пифагорейцы умели решать только частную задачу: разделить на три равные части прямой угол. Однако в общем виде задача не поддавалась решению. В 1837 г. французский математик Пьер Лоран Ванцель (1814–1848) доказал, что в общем виде задача не имеет решения, такое деление возможно лишь в нескольких исключительных случаях, в частности для угла α= /2 и всех углов вида /2n. Решение задачи о трисекции угла сводится к кубическому уравнению. К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. В этой задаче требуется построить циркулем и линейкой куб вдвое большего объёма, чем заданный. Ребро искомого куба равно а 3 2 , где а – ребро исходного куба. Если принять, что а =1, то искомое ребро х есть корень уравнения x 3–2=0. У данного уравнения нет рациональных корней, следовательно, удвоение куба нельзя осуществить циркулем и линейкой. Примерно такое рассуждение было применено в начале XIX в., когда был подготовлен необходимый для этого алгебраический аппарат. Считают, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорейцев, около 540 г. до н. э. Возможно, она возникла из задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора, – надо построить квадрат на диагонали данного квадрата. Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. Ответ был таков: «Удвойте жертвенник храма Аполлона, и чума прекратится». Жертвенник имел кубическую форму. Афиняне решили, что задание простое, и построили новый жертвенник, с вдвое большим ребром. Однако чума только усилилась. Вторично обратились к оракулу и получили ответ: «Получше изучайте геометрию». �Содержание История умалчивает о том, как удалось умилостивить богов, но чума в конце концов покинула город. А задачу об удвоении куба стали называть делосской задачей. Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём – в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу. Сомнения в возможности решения этой задачи с помощью циркуля и линейки впервые высказал Рене Декарт в 1637 году. Но только еще через 200 лет, в 1837 г. П. Ванцель дал первое строгое доказательство невозможности удвоения куба с помощью циркуля и линейки. Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. Доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой, но уже сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» – была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Одними из распространителей восточной математики были греческие купцы. Они познакомились с ней, когда прокладывали свои торговые пути. Основывая колонии на доступных территориях, греки изучали культуру и науку соседних народов. Греки обнаружили, что на Востоке теорией не занимались. Там ставился только один практический вопрос «как?», но не ставился научный вопрос «почему?». Но древних греков начали интересовать философские вопросы, позволяющие понять, какое место занимает человек в рамках некоторой рациональной схемы. Также их интересовала не математика в чистом виде, а ее место в этой схеме, ее возможности для выражения законов природы. Возникли первые философские школы, которые стали логически обосновывать свое миропонимание. Начали разрабатываться методы научного мышления. И математика стала неким универсальным языком для выражения этих методов. Греческая наука выделяется в первую очередь тем, что только один раз в истории человечества и только в одном месте – в Греции – возникла та математика, которую называют аксиоматикодедуктивной. Именно такой подход к построению математических теорий используется в настоящее время. Кроме того, в Греции впервые стали известны авторы древних научных открытий, в том числе и математических, и их сочинения. Период времени с VII–VI вв. до н. э., времени возникновения греческой цивилизации, до второй половины V в. н. э., когда под ударами варваров пала Римская империя, в истории науки называют античностью. Таким образом, античная наука включает науку Древней Греции, эллинистического мира и Древнего Рима. Дошедшие до нас естественнонаучные и философские труды античных ученых и сведения о них показали, что в Древней Греции сложились основные школы. Ведущее место среди греческих натурфилософских школ последовательно занимали: – ионийская (VII–VI в. до н. э.); – пифагорейская (VI–V в. до н. э.); – афинская (со второй половины V в. до н. э.). �Содержание В Милете в VI в. до н .э. возникла первая математическая, точнее, натурфилософская, школа. Она называлась ионийской школой, по названию местности Иония. Согласно преданию, отцом греческой математики является милетский купец Фалес (около 624–547 г. до н. э.), политический деятель, философ, астроном и математик. К его школе принадлежали ученики Фалеса – Анаксимен, Анаксимандр, Анаксагор. Школа просуществовала около ста лет, до падения Милета, завоеванного персами в 494 г. Философы ионийской школы впервые стали заниматься геометрией теоретически. Однако строгой логической геометрической системы они не создали. Были лишь собраны правила, найденные эмпирическим путем, которыми они руководствовались при конкретных построениях. Тем не менее, считается, что в этой школе был введен процесс обоснования как необходимый компонент математической деятельности. Фалесу приписывают первые доказательства (объяснения правильности) следующих утверждений: – вертикальные углы равны; – углы при основании равнобедренного треугольника равны; – треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам; – диаметр делит круг на равные части; – вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой; – сумма углов прямоугольного треугольника равна двум прямым; – если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Последнее утверждение теперь носит название теоремы Фалеса. Фалесу же приписывается первое применение угломера для определения расстояния от удаленного предмета (например, корабля) с башни или со скалы: измеряя угол между отвесом и направлением луча к предмету, зная высоту башни и угол, в уменьшенном масштабе строился треугольник и производились вычисления (рис. 3.). Таким образом, еще при жизни Фалеса греки умели строить треугольник по стороне и двум прилежащим углам, прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему углу. Рис. 3. Определение расстояния от удаленного предмета Ионийская система счисления была алфавитной. Таким образом, ионийская школа положила начало дедуктивному изложению геометрии и предприняла попытки изучения свойств абстрактных фигур. С VI в. до н. э. существовала так называемая пифагорейская школа, названная в честь основателя этой школы Пифагора. Пифагор (около 570–473 гг. до н. э.) был великим философом, сравнимым с его современниками Конфуцием, Буддой, Заратуштрой. Пифагор Самосскин – легендарная личность. Было время, например, в начале XX в., когда его объявили вымышленным, а все научные достижения той �Содержание эпохи стали приписывать школе пифагорейцев. Конечно, вся биография Пифагора является знаком вопроса. Родился он на богатом торговом острове Самос в Эгейском море рядом с Ионией. Учился у Фалеса и Анаксимандра. Был призером Олимпийских игр по кулачному бою. По совету Фалеса отправился для усовершенствования знаний в Египет, учился математике у египетских жрецов. В то время Египет был завоеван персами (525 г. до н. э.). Пифагор попал в плен и был отправлен в Вавилон. В настоящее время невозможно отделить сделанное самим Пифагором, от работ его учеников. Поэтому обычно говорят о математике пифагорейцев. Они занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). Около 530 г. до н. э. Пифагор основал нечто вроде тайного духовного ордена. Пифагорейцы занимались теоретической и практической арифметикой, последняя называлась логистикой или счетным искусством. Таблица умножения на обложках ученических тетрадей называется таблицей Пифагора в его честь. Особенностью школы Пифагора является то, что отдельным числам и числовым соотношениям приписываются таинственные, магические свойства, а само занятие теорией чисел рассматривалось как удел «избранных» и «посвященных». Числовой мистицизм пифагорейцев имел не естественнонаучное, а социально-политическое происхождение. Пифагорейцы выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировал эту же мысль Галилей два тысячелетия спустя: «Книга природы написана на языке математики». Греки относили этот тезис к астрономии, оптике, музыке, геометрии, позже – механике. Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2, согласно их воззрению, означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей. Любовь и дружба отождествляются с восьмеркой. Особую важность Пифагор придавал числу «7». Состоящее из трех и четырех, семь означает соединения человека с божеством, т. е. 4 олицетворяет человека, как тело, а 3 обозначает божество, как один из трех миров. Основу пифагорейской математики составляет учение о декаде: 1+2+3+4=10. Пифагор говорил, что единице соответствует точка, двойке – две точки, но через две точки уже можно провести прямую, получается, что числу два соответствует прямая; тройке – три точки, но если их соединить, то получается уже плоскость; через четыре точки строится пространство, которое, соответствует четверке. Оно делится на четыре стихии: воду, землю, воздух и огонь, а затем каждая из них делится на разные предметы, взаимодействующие между собой. Это взаимодействие и приводит к бесконечному разнообразию вещей. Эти четыре числа описывают все процессы, происходящие в мире. В частности, декада отображает законы музыкальной гармонии: через нее выражаются основные музыкальные интервалы – октава (2:1), квинта (3:2), кварта (4:3). Математические знания пифагорейцев строго оберегались от посторонних, но после распада их союза сделались общим достоянием. Многие достижения, приписываемые Пифагору, вероятно, на самом деле являются заслугой его учеников. Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, арифметикой и др. Геометрия пифагорейцев в основном ограничивалась планиметрией, хотя изучались и правильные многогранники. Была построена математическая теория музыки, рассматривалась зависимость музыкальной гармонии от отношений целых чисел (длин струн). Пифагорейцы увлекались «треугольными», «квадратными», «совершенными» и другими числами. Числа 3, 6, 10 и т. д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т. д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата. Пифагорейцы обнаружили, что сумма двух �Содержание последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Теория наибольших общих делителей и наименьших общих кратных тоже пифагорейского происхождения. Они построили общую теорию дробей, научились выполнять с дробями сравнение (приведением к общему знаменателю) и все 4 арифметические операции. Нумерологическая мистика пифагорейцев нередко приводила к произвольным выводам. Например, они были уверены в существовании невидимой Антиземли, так как без неё число небесных сфер (нижнее небо, Солнце, Луна и 6 планет) не составляет совершенного числа 10. В целом, несмотря на обилие мистики заслуги пифагорейцев в развитии и систематизации античных математических знаний неоценимы. Пифагорейцы изучали также пропорции, но определить отношение величин а:b в общем случае они не смогли. Они рассматривали вопрос делимости; арифметическую, геометрическую и гармоническую  n a  пропорции; среднее арифметическое   k  , среднее геометрическое n a1  a2    an .  k 1 n    В пифагорейской школе геометрия из собрания рецептов решения различных задач на измерение площадей и объемов превратилась в абстрактную науку. Пифагор в геометрии первым пришел к следующим мыслям: – должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты: точка – «то, что не имеет частей», линия – «длина без ширины» и т. д.; – свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов, т. е. должны быть доказаны. Эти рассуждения должны сводить неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам; – в геометрии можно выбрать конечное число первоначальных истин, из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число геометрических предложений. Эти отправные недоказуемые положения были названы аксиомами. Таким образом, в VI–V вв. до н. э. в школе Пифагора возник аксиоматический метод построения науки. Принято считать, что Пифагор дал первое доказательство самой популярной геометрической теоремы, носящей теперь его имя. Существует много различных доказательств этой теоремы: геометрических, алгебраических, тригонометрических, механических. Доказательство самого Пифагора осталось нам неизвестным. Кроме того, пифагорейцами был найден способ отыскания неограниченного ряда троек «пифагоровых» чисел, т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению a 2  b 2  c 2 и имеющих вид n2  1 n2  1 , где нечетное n  3 . В более позднее время у Платона можно увидеть другое правило n, , 2 2 2 2 n n n,    1,    1, где четное n  4 . 2 2 Первой трещиной в пифагорейской модели мира стало ими же полученное доказательство иррациональности, сформулированное геометрически как несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной (V в. до н. э.). Невозможность выразить длину отрезка числом ставила под сомнение главный принцип пифагорейства. Даже Аристотель, не разделявший их взгляды, выражал своё �Содержание изумление по поводу того, что есть вещи, которые «нельзя измерить самою малою мерою». Открытие несоизмеримости, т. е. обнаружение таких величин, которые не могут быть выражены с помощью отношения целых чисел, является наивысшим достижением пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики. Впервые кризис в математике возник в Древней Греции именно в этот период. Вообще в развитии математики традиционно выделяют три кризиса: античности, Нового времени и XIX века. Остановимся на их краткой характеристике. Как было сказано ранее, первый кризис в математике возник в Древней Греции во времена Пифагора после обнаружения несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Пифагорейское учение о целочисленной основе всего существующего больше нельзя было признавать истинным. Впервые понятие бесконечности рассматривалось как математическая категория (Анаксимен, Анаксогор, Аристотель, Зенон и др.). Рассуждения о бесконечности подвергались серьезной критике, обосновывалась их противоречивость. Еще одним важным аспектом, как было сказано выше, являлась неразрешимость с помощью циркуля и линейки трех знаменитых задач древности: задача о квадратуре круга, задача об удвоении куба и задача о трисекции угла. О выходе из этого кризиса будет сказано ниже. Второй кризис связан с выдвижением на первое место понятий бесконечности, движения и функциональной зависимости, которые становятся основой новых методов математики. В конце XVII и в XVIII веке в математике были получены классические результаты фундаментального значения. В рассматриваемый период основные понятия и законы, установленные в одной математической теории, часто переносились в новые области исследования, совершенно формально, т. е. без обоснования. Математики пытались сначала решать новые задачи старыми методами, которых было недостаточно. Требовалось развивать новые, более общие и сильные методы. Новая постановка задач обоснования математического анализа ясно показывала, что дело не только в признании и применении бесконечно малых, но, прежде всего, в научном истолковании их содержания и основанном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы это сделать, надо было разработать общую теорию пределов. Получение этих основополагающих результатов связано с именем Коши, который смог подвести научный фундамент под учение о непрерывности и разрывах функций, обосновать дифференциальное и интегральное исчисления. В процессе таких исследований Больцано, Коши, Лобачевский, Дирихле по-новому подошли к истолкованию строгости математических доказательств, в первую очередь доказательств утверждений математического анализа. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса её основ и создала для неё широкие перспективы дальнейшего развития. Третий кризис начался с обнаружения парадоксов в теории множеств Кантора в конце XIX века. Кантор и Рассел открывают целую серию парадоксов (т. е. неразрешимых противоречий), связанных именно с актуализацией бесконечных множеств. Парадоксы теории множеств оказались имеющими не только математическую, но и логическую природу; в этой связи естественно возник вопрос о средствах логики, допустимых в математике. Вернемся к первому кризису в развитии математики, точнее, к попыткам выхода из него. Открытие несоизмеримости заставило математиков начать поиски путей выхода из кризиса. Греки начали строить математику не на основе арифметики рациональных чисел, а на основе геометрии. Была создана так называемая «геометрическая алгебра». Исчисление, определенное в геометрической алгебре, было ступенчатым. Все правила, теоремы и задачи формулировались в терминах отношений между длинами отрезков и площадями �Содержание прямолинейных фигур. Геометрические построения выполнялись с помощью прямых и окружностей, то есть греческая математика стала теорией построений с помощью циркуля и линейки. Все задачи, связанные с решением квадратных уравнений, решались тоже с помощью построений. В качестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение уравнения х 2+ax=b2. Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так, как показано на рисунке 4. Рис. 4. Решение уравнения х2+ax=b2 средствами геометрической алгебры На заданном отрезке АВ (равном a) строили прямоугольник ADME со сторонами (а+х) и x, равновеликий данному квадрату (b2), таким образом, чтобы избыточная над прямоугольником ABLE (равная ах) площадь ВDМL была квадратом, по площади равным х 2. Сторона этого квадрата и давала искомую величину х. Такое построение называли гиперболическим приложением площади. Далее, полагая задачу решенной, делили АВ пополам точкой С, на отрезке LM строили прямоугольник MLGK, равный прямоугольнику ЕAСN. Тогда прямоугольник ADME будет разностью квадратов DKFC и LGFN. Эта разность и квадрат LGFN известны, поэтому по теореме Пифагора можно получить квадрат DKFC. После этого находили величину DC (равную ½a+x) и DB (равную х). Геометрическое построение в точности соответствует преобразованию, с помощью которого в современных обозначениях решается уравнение указанного типа: 2 2  a a b  ax  x    x     .  2 2 2 2 При таких построениях отыскивались только положительные корни уравнений: отрицательные числа появились в математике значительно позже. С помощью геометрии древним удавалось также доказывать многие алгебраические тождества. Эти доказательства безупречны в отношении логики, но иногда громоздки. Вот как формулирует Евклид теорему, выражающую тождество (а+b)2=a2+2аb+b2. Если отрезок ( ) разделен в точке ( ) на два отрезка, то квадрат, построенный на ( ), равен двум квадратам на отрезках ( , ) вместе с удвоенным прямоугольником на ( , ). Естественно, связывая число с геометрическим образом (линией, поверхностью, телом), древние оперировали только однородными величинами; так, равенство было возможно для величин одинакового измерения. Такое построение математики позволило античным ученым достигнуть существенных результатов в �Содержание обосновании теорем и правил алгебры, но в дальнейшем оно стало сковывать развитие науки. Принято считать, что Платон (429–348 гг. до н. э.) является одним из основателей идеалистического направления в мировой философии. Во многих сочинениях философа проводится мысль о том, что бытием в подлинном смысле слова можно назвать только абсолютные сущности, сохраняющие своё бытие безотносительно пространства и времени. Такие абсолютные сущности называются в сочинениях Платона идеями, или эйдосами. Платон в Афинах организовал свою Академию, там занимались миром идей. Математика рассматривалась как условие для занятия философией. Известно, что при входе висела надпись: «Не войдет сюда тот, кто не знает геометрии». Учеником Платона является Аристотель (384–322 гг. до н. э.). Он является общепризнанным основателем логики. Именно ее не хватало для дедуктивного построения математики. Вообще, история логики насчитывает более двух с половиной тысячелетий и разделяется на три следующих основных этапа: 1. Античная логика (500 до н. э. – нач. н. э.), в становление и развитие которой внесли вклад Парменид, Сократ, Платон, Аристотель, Теофраст и другие античные философы. 2. Схоластическая логика (нач. н. э. – первая половина XIX века), в развитие которой на основе античной логики внесли вклад М. Пселл, Рене Декарт, П. Николь, А. Арно, Вильгельм Лейбниц, М.В. Ломоносов и др. 3. Современная логика (вторая половина XIX–XX вв.), в становление и развитие которой внесли вклад Дж. Буль, П.С. Порецкий, Г. Фреге, Дж. Пеано, Б. Рассел и другие. Античную и схоластическую логики обычно объединяют под общим названием «традиционная формальная логика», «аристотелевская логика», в то время как современную логику часто называют «символической логикой». Хотя и до Аристотеля ряд логических проблем рассматривался философами, но именно Аристотель явился создателем формальной логики, которую мы и называем часто аристотелевской, традиционной логикой. Во-первых, Аристотель оставил первые крупные произведения по логике, объединенные позднее под общим названием «Органон» (правила). Во-вторых, он первый начал оперировать логическими формами высказываний. Не предложения «Все ели есть растения», а словесные выражения вида « Все S есть Р» и отношения между такими выражениями. В-третьих, Аристотелю мы обязаны первым систематическим исследованием возможных форм умозаключений, а также сравнительно точной теорией доказательств. В-четвертых, логика Аристотеля, не считая внесенных в нее незначительных изменений, пользовалась непререкаемым авторитетом вплоть до XIX столетия. Аристотель разработал так называемую логику предикатов. Философы стоической школы разработали другую отрасль, отдел логики, в которой используемые суждения не расчленяются на S и P, а рассматриваются как единое целое. Такую логику мы в настоящее время называем логикой высказываний. Логика Аристотеля в основном дедуктивная, где вывод осуществляется от общего к частному. Математическая школа, связанная с Академией Платона, представлена следующими математиками: Архит Тарентский, Теэтет Афинский, Евдокс Киидский. Архит (428–365 гг. до н. э.) известен стереометрическим решением задачи об удвоении куба. Теэтет (IV в. до н. э.) установил пять правильных многогранников и изучал иррациональности. Итог афинской школы – это наметившиеся пути выхода греческой математики из возникшего кризиса: дедуктивное построение математики Аристотеля и теория отношений Евдокса. Остановимся на них �Содержание подробнее. Аристотель подчеркивал, что истинность аксиом познается посредством интуиции, аксиомы необходимы в качестве основы для последующих рассуждений и определение должно описывать определяемое понятие через другие, ранее определенные понятия. В качестве исходных принимал так называемые неопределяемые понятия. Рассуждая об аксиомах, Аристотель выделяет общие понятия и постулаты. Общие понятия истинны во всех областях мысли (например, «если от равных отнять равные, то останутся опять же равные»). Постулаты применимы к более специфической области, как геометрия («две точки определяют прямую, и притом только одну»). Из аксиом, с помощью логически строгих рассуждений, выводятся заключения (леммы и теоремы). Аристотель настаивал на том, что самые строгие заключения – дедуктивные (от общего утверждения – к частному) и только они гарантируют истинность заключения. Как сказано выше, теория отношений Евдокса способствовала выходу из кризиса греческой математики. Развивая то, что было сделано другими учеными в области теории пропорций, Евдокс построил общую теорию отношений, основанную на новом определении величины. В дополнение к числам Евдокс ввел более широкое понятие геометрической величины, т. е. длины отрезка, площади или объёма. Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса – это геометрическая модель вещественных чисел. Признание иррациональностей как особого вида чисел произошло много позднее. До Евдокса теоремы теории отношений приходилось доказывать отдельно для чисел, отрезков и площадей. Он же ввел понятие величины, включавшее в себя как числа, так и любые непрерывные величины. Данное понятие определялось с помощью общих аксиом равенства и неравенства, к которым Евдокс добавил еще одну, теперь обычно называемую аксиомой Архимеда: «Две величины находятся между собой в определенном отношении, если любая из них, взятая кратно, может превзойти другую». Исходя из этих аксиом, Евдокс разработал строгую теорию отношений, изложенную Евклидом в его знаменитых «Началах». Глубину этой теории смогли по-настоящему оценить лишь во второй половине XIX столетия. Рихард Дедекинд (1831–1916) проделал для современной математики то, что сделал Евдокс для греческой. Существует большое сходство между дедекиндовым сечением, с помощью которого современные математики определяют иррациональные числа, и античной теорией Евдокса, как она изложена в пятой книге «Начал» Евклида. Другим важнейшим вкладом Евдокса в математику являлось обоснование так называемого «метода исчерпывания», заложившего основы теории пределов и подготовившего почву для развития математического анализа. В основе «метода исчерпывания» лежит следующее положение: если от какой-либо величины отнять половину или более, затем ту же операцию проделать с остатком, и так поступать дальше и дальше, то через конечное число действий можно дойти до величины, которая будет меньше наперед заданного числа. С помощью данного метода Евдокс впервые строго доказал, что: площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров (само это положение было известно ранее); объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с теми же основанием и высотой; объем конуса равен 1/3 объема цилиндра с теми же основанием и высотой. В дальнейшем «метод исчерпывания» был развит Архимедом. Он изложен в «Началах» Евклида. Греческие математики, как сказано выше, уделяли большое внимание задачам на построение, и уже в IV в. до н. э. разработали общую схему решения задач на построение: анализ – построение – доказательство – исследование. С VI в. до н. э. существовала александрийская школа. Одним из первых александрийских ученых был Евклид (около 340–287 гг. до н. э.). Он является одним из наиболее влиятельных математиков всех �Содержание времен. Имя Евклида почти всегда упоминается в связи с наиболее известным его сочинением «Начала», выдающимся произведением математики. В них он систематизирует достижения предшествующей математики, они уступают по популярности, по числу изданий только Библии. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст «Начал» Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в XIX в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, как неосознанное использование несформулированных в явном виде допущений. «Начала» были основой для изучения геометрии более 2000 лет. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована из первых шести книг «Начал». На геометрии Евклида базировалась классическая механика. В VIII–IX вв. появились первые переводы «Начал» на арабский язык, в XII в. – на латинский язык. Первое издание на русском языке вышло в 1739 г. С именем Евклида связана известная крылатая фраза: «В геометрии даже для царей нет другой дороги». Египетский царь Птолемей I, наслышавшись о необыкновенной мудрости Евклида, пожелал лично познакомиться с ним. Он попросил Евклида изложить ему содержание его книг. Выслушав доказательства первых теорем, он спросил, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем изучение «Начал». Так ответ Евклида вошел в историю. Зенон Элейский предложил тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 апорий (парадоксов). Парадо́кс (от древнегреческого παράδοξος – неожиданный, странный; от παραδοκέω – кажусь) – ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. В более узком смысле, парадокс – два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы. Парадокс и апория – синонимы. Близким к понятию парадокса и апории является понятие софизма. Софи́зм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») – намеренно запутанное в целях демонстрации интеллектуального превосходства или введения в заблуждение рассуждение, может быть основано на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Это отличает его от парадокса и апории, которые могут содержать непреднамеренную ошибку либо вообще не иметь логических ошибок, но приводить к явно неверному выводу. Остановимся на апориях Зенона. Вопреки многократным попыткам их опровергнуть они до сих пор служат предметом серьезного анализа. Здесь затронуты самые деликатные вопросы оснований математики – конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Приведем примеры некоторых из них. Ахиллес и черепаха. Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху. Эта апория демонстрирует отсутствие у греков понятия мгновенной скорости, с появлением которого и начнется эпоха современной физики. Если скорость это отношение пути ко времени его прохождения, �Содержание то как можно говорить о скорости в данный момент времени, когда ни пути, ни времени его прохождения нет? Дихотомия. Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся. Название «Дихотомия» (по-гречески: деление пополам) дано Аристотелем. Эта апория основывается на двух постулатах: во-первых, пространство континуально; во-вторых, движение есть процесс перехода тела из одной точки пространства в другую, соседнюю. Однако эти два условия несовместимы. В континуальном пространстве для данной точки не существует непосредственно следующей, ведь между любыми двумя сколь угодно близкими точками всегда расположено бесконечное число точек. Поэтому движение, если его понимать как переход из одной точки пространства к следующей, в принципе невозможно. Летящая стрела. Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда. Стрела в каждый момент времени занимает некоторое место, которое равно своему объему (так как стрела в противном случае была бы «нигде»). Однако занимать место, равное себе, – значит, находиться в покое. Отсюда можно сделать вывод о том, что можно мыслить движение только как сумму различных состояний покоя. Это невозможно, так как не бывает из ничего ничего. Апории «Дихотомия» и «Стрела» напоминают следующие парадоксальные афоризмы, приписываемые представителю древнекитайской школы (середина IV в. до н. э. – середина III в. до н. э.): «В стремительном полёте стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки». «Если от палки длиной в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений». Медимн зерна. Каждое отдельное зерно падает на землю бесшумно. Тогда отчего медимн (большой мешок) зерна падает с шумом? Куча. Одно зерно – не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча? Аристотелем предприняты попытки опровергнуть аргументы апорий, но они были неудачными по той причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно. Греческая математика поражает красотой и богатством содержания. Греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики. Они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели – ключ к их познанию. В 630 г. Александрию взяли арабы. Центр научной деятельности перемещается на восток: Китай, Индию, Среднюю Азию. Таким образом, завершилась эпоха античной математики. Ее значение в истории математики огромно. Она определила дальнейшее развитие науки в течение многих веков. Накопленные в странах Древнего Востока знания состояли из набора разрозненных математических фактов, рецептур для решения некоторых конкретных задач и не могли обладать достаточной строгостью и достоверностью. Таким образом, первоначальный период развития математики древних греков охватывает VII–V вв. до н. э. и характеризуется, в основном, накоплением отдельных фактов из области геометрии и арифметики. Стимулами развития математики в этот период были, с одной стороны, хозяйственные потребности, строительное дело и расчеты календаря и часов, а с другой стороны – чисто �Содержание математические проблемы, возникшие уже в V в. до н. э. Создание основ математики в том виде, к которому мы привыкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится к VI– V вв. до н. э. С этого времени начала развиваться дедуктивная математика, построенная на строгих логических доказательствах. Греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, показывающий, как из известных истин выводить новые, причём логика вывода гарантирует истинность новых результатов. Дедуктивный метод также позволяет выявить неочевидные связи между понятиями, научными фактами и областями математики. �Содержание 2.4. Математика стран Востока Контрольные вопросы 1. Охарактеризуйте достижения древнекитайской математики. 2. Охарактеризуйте достижения древнеиндийской математики. 3. Охарактеризуйте достижения в математике арабов. Теоретические сведения Китайская культура, включая и математику, – древнейшего происхождения. Китайская цивилизация возникла в начале II тысячелетия до н. э. на берегах реки Хуанхэ, а затем распространилась на бассейн реки Янцзы. Считается, что в эпоху Инь (XVIII–XII вв. до н. э.) – появления первого китайского государства – в Китае возникла математика и астрономия. В VII в. до н. э. китайские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Астрономы составили первый звездный каталог (IV в. до н. э.). Великими открытиями китайцев являются компас, сейсмограф, порох, бумага, шелк, лак, рис и чай. Появились первые математические книги, которые до нас не дошли. Но они легли в основу известных классических математических трудов, дошедших до нас: «Трактат об измерительном шесте» и самая известная «Математика в девяти книгах» (окончательную редакцию которой сделал Чжан Цан во II в. до н. э.). Она была предназначена для чиновников, торговцев, землемеров, строителей. В ней помещено 246 задач с указаниями для их решения. Они являются итогом достижения Китая до начала нашей эры. В VII–X вв. н. э. она стала основным учебником для чиновников. В это время появились сочинения «Трактат о морском острове» и «Математический трактат» Сунь-цзы (III в.). Китайские иероглифические цифры возникли во II тысячелетии до н. э. и установились к III в. н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Система счисления – десятичная. В научных записях числа изображались различно расположенными, горизонтальными и вертикальными, палочками и кружочками. Арифметические действия производились на счетной доске – суан-пан – с помощью палочек. Обыкновенные дроби появились почти одновременно с целыми числами. Операции над дробями выполнялись по правилам, незначительно отличающимся от современных. На счетной доске дроби изображались парой чисел, и действия над дробями сводились к действиям над ними. В Китае уже ко II в. до н. э. имелась развитая система десятичных мер длины, а чуть позже и объема, веса. Они привели к первому появлению десятичных дробей (III в. н. э.). Некоторые задачи сводились к системам линейных уравнений с двумя неизвестными, которые решались с помощью «правила ложных положений». При их решении возникали таблицы в виде матриц, которые преобразовывались методом «фан-чэн», схожим с методом Гаусса. При этом приходилось иногда вычитать из меньшего числа большее. Здесь впервые в истории математики появились отрицательные числа. Они выделялись на счетной доске палочками другого цвета или другой формы, а при письме записывались чернилами другого цвета. Позже их назвали «фу» и стали толковать как «долг», в отличие от положительных чисел «чжен» («имущество»). Девятая книга «Математики в девяти книгах» была посвящена геометрическим задачам. При решении �Содержание некоторых из них применялась теорема Пифагора. Вычислялись площади многоугольников, круга и его частей, кругового кольца, объемы прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, пирамиды с квадратным основанием. Из Китая до нас дошел первый магический квадрат «Ло-шу», связанный со многими легендами. Таким образом, математика Китая являлась совокупностью вычислительных алгоритмов, предназначенных для решения на счетной доске некоторых классов задач арифметики, алгебры и геометрии. Но она имела мало общего с дедуктивной наукой греческого образца. Китайская математика не была изолирована от развития математики в других странах. Имеются факты влияния математики Китая, Индии и стран ислама. Например, появление отрицательных чисел в Индии, десятичных дробей в Средней Азии, близость китайской и индийской нумераций и др. В долине Инда существовала развитая цивилизация еще в середине III тысячелетия до н. э. В XII в до н. э. стала заселяться долина Ганга. Индийцы сооружали оросительные каналы, городские водосточные системы, применяли гончарный круг. В I тысячелетии до н. э. появились священные книги брахманов «Веды» («Знания»). К VII–V вв. до н. э. относятся первые индийские письменные математические памятники. Большинство трактатов индийцев написаны на санскрите – языке религиозных книг. Одна из них – «Сульва сутра» («Правила веревки»), относящаяся к VI–V вв. до н. э. В ней излагаются способы построения культовых сооружений и связанные с ними математические правила: построение прямого угла, квадрата, прямоугольника, деление отрезка пополам. Величайшим достижением древнеиндийской математики является наша современная десятичная позиционная система счисления. Установлено, что с VI в. до н. э. в Индии была распространена десятичная непозиционная система счисления – числа «брахми». Каждая единица, десятка, сотня, тысяча имела свой символ. Эта система позже была вытеснена позиционной записью, заимствованной у вавилонян и переделанной на десятичную. Первое ее применение относится к источнику 595 г. Еще раньше был введен нуль, обозначаемый словом «сунья» («пустое»). Он изображался точкой, позднее знаком 0, возможно, от греческого слова «juden» («ничто»). В отличие от вавилонян, нуль ставился и в конце числа. Отныне любое число стало записываться с помощью десяти знаков. Десятичная система счисления была заимствована арабами (VII–VIII вв.) и начала свое продвижение на Запад. Эволюция написания индийских цифр представлена на рис. 5. Очевидно, что используемые нами цифры, которые мы называем арабскими, берут начало в индийской математике. �Содержание Рис. 5. Эволюция написания индийских цифр Индусы рассматривали числа безотносительно к геометрии. Они распространили правила действия над рациональными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки, а не прибегая к построениям, как это делали греки. Например, им было известно, что 2 3 5 6 . 16  120  72  60  48  40  24  Математические школы существовали в центральной и южной Индии. Наиболее известные индийские математики: Ариабхата (конец I в), Брамагупта (VII в.) и Бхаскара (XII в.). Для их работ характерны арифметико-алгебраические разделы и вопросы астрономии. Отметим своеобразие индийских трактатов: некоторые из них написаны в стихах, чтобы математические правила можно было заучивать наизусть. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмевает славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи»1. Пример одной из задач Бхаскары из его книги «Видиса Ганита» (вычисление корней): «Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась. А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратного уравнения. 2  x Соответствующее задаче уравнение    12  x Бхаскара пишет в виде x 2  64 x  768 и с целью 8 дополнения левой части уравнения до полного квадрата прибавляет к обеим частям 322 , получая 1 Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII кл. – М. : Просвещение, 1982. – С. 22. �Содержание 2 x 2  64 x  32 2  768  1024 , ( x  32 )  256 . Тогда x  32  16 , значит x  16 или x  48 . Считается, что наша арифметика имеет индийское происхождение. В арифметике индийцы рассматривали 8 действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корня. Существовало свыше десятка способов умножения. Вычисления древние индийцы производили на счетной доске, покрытой песком или пылью. Поэтому арифметические вычисления назывались «дхули-карма» – «работа с пылью». При этом приходилось стирать промежуточные выкладки. Древнеиндийцы работали с дробями. Они записывали дроби так, как это делается в настоящее время: числитель над знаменателем, только без дробной черты. Правила действий над дробями почти не отличаются от современных. Начиная с Брахмагупты, индийские математики пользовались отрицательными числами, трактуя их как долг, а положительные числа – как имущество. Брамагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Например, сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов – долг, имущества и долга – их разность и т. д. Выдающимся достижением индийской математики было создание развитой алгебраической символики. Большинство символов представляют собой первые слоги соответствующих санскритских терминов. Например, неизвестную величину индийцы называли «йа-ват-тават» («столько, сколько»), а для обозначения неизвестной служила буква, означающая слог «йа». Квадратный корень обозначался слогом «му», от слова «мула» – «основание». «Мула» по-индийски также «корень растения». Арабские переводчики индийских сиддхант в VIII в. перевели этот термин словом «джизр» («корень растения»). Латинские переводчики в XII в. перевели это слово «radix», откуда происходят наши термины «корень», «радикал». Индийцы решали задачи на линейные, квадратные уравнения и их системы. Рассматривались также неопределенные уравнения первой степени ax  by  c . Индийцы допускали для них только целочисленные, в том числе отрицательные решения. Знания и открытия индийских математиков в геометрии менее значимы. Геометрические доказательства крайне лаконичны, но весьма наглядны. Например, для обоснования правила вычисления площади треугольника приводится рисунок, в котором высота прямоугольника равна половине высоты треугольника. В индийской астрономии вопросы тригонометрии хорд александрийских астрономов развились в теорию тригонометрических величин. Используемые при вычислениях хорды и полухорды (линия синуса), индийцы называли «джива» («тетива»). Арабы произносили его «джайб» («впадина»), при переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики использовали слово «sinus» с тем же значением. Для вычислений замена хорд синусами несущественна, так как хорда дуги равна удвоенному синусу половины дуги. Таблицы синусов приводятся у Ариабхаты. Кроме линии синуса, индийцы пользовались линией косинуса и линией синуса-версуса, т. е. разностью между радиусом и линией косинуса. Для определения высоты объекта в Древней Индии пользовались тенью, отбрасываемой вертикальным шестом – гномоном. Эти вычисления впоследствии привели математиков стран ислама к тангенсам и котангенсам. Линии синуса, косинуса, тени применялись для решения астрономических задач. �Содержание Таким образом, в Индии математика является очень древней наукой, составляющей часть старинной культуры. В ней так же, как и в Китае, преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем. История так распорядилась, что наиболее значительным источником знаний для европейских ученых в Средние века и Эпоху Возрождения стала не античная математика, а арабская. Научные труды математиков стран ислама написаны на арабском языке, некоторые – на персидском. Ведущая наука арабской эпохи – астрономия, поэтому она в первую очередь разрабатывала вычислительно-алгоритмические проблемы и методы. Эти методы стояли на первом месте во всей восточной математике, но в Китае и Индии развивались менее строго и медленно. В математике стран ислама алгебра и тригонометрия впервые сформировались в самостоятельные науки. В исламской математике были распространены два типа нумерации: сначала буквенная, затем десятичная, заимствованная у индийцев. Понятие отрицательного числа не нашло заметного применения в арабской науке. Тем не менее, встречаются термины «мусбат» и «манфи», имеющие тот же смысл, что и китайские «чжен» и «фу». Математики Западной Европы их перевели на латынь как positivus и negativus и стали обозначать ими положительные и отрицательные числа. Дроби записывали на индийский манер: знаменатель под числителем. Разделительная черта появилась в XII в. В деловой математике в ходу было египетское представление дробей в виде суммы аликвотных дробей. Арабские астрономы пользовались сначала только шестидесятеричными дробями – по традиции, восходящей через александрийских астрономов к Древнему Вавилону. Проследим далее историю математики стран ислама через труды, выдающихся мусульманских ученых. Первым в этом ряду стоит Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (787–850 гг.). Он был хорошо знаком с индийской математикой и наукой эллинистических стран. Написал несколько книг по математике и астрономии. В своей книге «Об индийском счете» впервые разъяснил индийскую систему записи чисел. Книга была переведена на латынь и стала одним из источников, через которые Европа познакомилась с десятичной позиционной нумерацией. Автора в переводах называли Aigorizmi, Algorithmus, что ввело в наш математический язык термин «алгоритм». В другой книге «Хисаб аль-джабр ва-л-мукабала» («Исчисление восполнения и противопоставления») он рассматривал вопросы решения уравнений. Эта алгебра стала известна тоже в латинском переводе, и слово «аль-джабр» стало употребляться как синоним всей науки «алгебры», которая до XIX в. была наукой о решении уравнений. Название трактата соответствует операциям при решении уравнений: «ал-джабр» (восстанавливать) означает восстановление отрицательного члена в одной части уравнения в виде положительного в другой. Например, преобразовав уравнение 2х 2+3х–2=2х к виду 2х 2+3х=2х+2, мы произвели операцию ал-джабр. «Ал-мукабала» означает сопоставление подобных членов, приведение их к одному; в нашем уравнении подобные члены 3х и 2х, поэтому получим 2x 2+x=2. Кроме того, в алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1) «Квадраты равны корням», т. е. ax 2  bx ; �Содержание 2) «Квадраты равны числу», т. е. ax 2  c ; 3) «Корни равны числу», т. е. bx  c ; 4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ax 2  c  bx ; 5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax 2  bx  c ; 6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx  c  ax 2 . Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений – слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с современным. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывали нулевого решения, вероятно потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Рассмотрим пример. Задача. Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения x 2  21  10 x ). Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. Ал-Хорезми высказывает правила решения вышеуказанных видов уравнений, дающие только положительные решения уравнений, определяет условия, при которых эти решения существуют. Обоснование правил ал-Хорезми дает в духе геометрической алгебры древних. Например, от арабов Европа получила следующий способ присутствующий в работе ал-Хорезми. решения уравнения х 2+ах=b, Рис. 6. Геометрическая интерпретация решения уравнения х2+ах=b Построим квадрат х 2, к его сторонам приложим четырехугольники длины x  2 2 . Тогда площадь 2 полученного квадрата 2 a a a  x  и ширины 4 2 4 2 a a  2 .  x    x  ax  2 4  Значит, a2  a a2 a a2  , тогда . Величины b и а известны, поэтому можно x  ax  x  b x   b 2 4 4  2 4  2 �Содержание построить b a 2 , откуда a2 a . x b  4 2 4 В трактате ал-Хорезми приведены некоторые сведения о действиях над алгебраическими выражениями, примеры решения треугольников, много задач о разделе наследства, приводящих к уравнениям первой степени. Таким образом, трактат ал-Хорезми не содержал ничего нового по сравнению с тем, что было у греческих авторов и индусов, но он заслуживает внимания потому, что в течение длительного времени был руководством, по которому велось обучение в Европе. Заметим, что трактат ал-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы для их решений. Во всех исламских странах пользовались учением ал-Хорезми об имущественных расчетах по мусульманскому наследственному праву. Большим недостатком алгебры во времена ал-Хорезми было отсутствие символики, словесное описание операций. Это задерживало развитие алгебры. Тем не менее, его труды сыграли важную роль в истории математики. До середины XIX в. в алгебре сказывалось ее восточное происхождение – ей не хватало аксиоматического обоснования. В наших школьных учебниках алгебры и геометрии до сих пор сохранились эти признаки их различного происхождения. В VIII–Х вв., в начальный период развития математики стран ислама, арабские ученые перевели на свой язык индийские сиддханты и сочинения греческих математиков – Евклида, Архимеда, Аполлония, Птолемея, Диофанта и др. Удивительно то, что со многими работами греков Европа позже познакомилась через арабские переводы. В этом отношении особо выделяется Сабит ибн Корра (836– 901). Этот математик, астроном, механик, переводчик работал в Багдаде. Именно в его переводах сохранились не дошедшие до нас мемуары Аполлония и Архимеда. Все позднейшие ученые пользовались его переводами «Начал» Евклида, «Альмагеста» Птолемея. Многие арабские математики пытались решить классические задачи древности. В частности, в работе «Деление прямолинейного угла на три равные части» Сабит ибн Корра решал задачи трисекции угла и удвоения куба. Он занимался также исследованиями по теории параллельных прямых, посвященных V постулату, а также Омар Хайям, ат-Туси. На протяжении X в. уравнениями были выражены многие геометрические, тригонометрические, физические задачи: трисекция угла, построение вписанных многоугольников и др. Омар Хайям (1048–1131) – персидский поэт, философ, астроном и математик. Больше известен как поэт, автор «Рубайят». Он составил «Маликшахские астрономические таблицы», работал над реформой солнечного календаря. Она была осуществлена в 1079 г. Этот календарь действовал в Иране почти 900 лет и был отменен только в 1976 г. Известно, что календарь Хайяма «Джалали» точнее григорианского календаря. Хайям первым среди математиков создал теорию решения уравнений до третьей степени включительно и дал общую классификацию всех уравнений в трактате «О доказательствах задач альджабры и аль-мукабалы» (1069). В этом труде он определил и предмет алгебры – нахождение неизвестных величин, отнесенных к другим известным величинам с помощью уравнений. Тем самым, алгебра рассматривается как наука об уравнениях. Хайям берется и за изучение проблемы V постулата Евклида, которую безуспешно пытались решить ученые уже тысячу лет. В 1077 г. он завершил работу над трактатом «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида». Сам того не зная, Хайям близко подошел к проблемам, которые решил гениальный русский геометр Н.И. Лобачевский. Предвосхитил он и Декарта, создавшего �Содержание аналитическую геометрию, изучая геометрию в числах. Занимался Хайям и географией, естествознанием, философией. Поэтому весь мир признает его теперь ученым-энциклопедистом. Ат-Туси (1201–1274) – ученый-знциклопедист и государственный деятель. Ат-туси перевел на арабский язык важные работы древних ученых и написал к ним комментарии и приложения. Написал ряд трактатов по математике, астрономии, философии, медицине. Развивал связанные с астрономией разделы математики, в первую очередь тригонометрию. Благодаря ему тригонометрия отделилась от астрономии. В его «Трактате о полном четырехстороннике» (1260) плоская и сферическая тригонометрия выступают как самостоятельные предметы. В них стал преобладать материал об алгебраических зависимостях. Большое значение имела также его работа «Изложение Евклида», в которой он сформулировал новый постулат, которым предложил заменить пятый постулат Евклида. Таким образом, тригонометрия, возникшая в трудах александрийских и индийских ученых, существенно продвинулась вперед в работах математиков и астрономов исламских стран (Сабит ибн Корра, аль-Бируни, аль-Баттани, ат-Туси, аль-Каши). Из совокупности вспомогательных средств астрономии она преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических треугольниках и о способах решения этих треугольников. Арабские математики применяли уже линии синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Линии тангенса и котангенса рассматривались как тени: горизонтального гномона – на вертикальную плоскость и вертикального гномона – на горизонтальную плоскость. Линии синуса и косинуса измеряли как александрийские и индийские астрономы – в 60-х долях радиуса. Последним крупным ученым исламской математики считается аль-Каши – математик и астроном, работавший в Самаркандской обсерватории Улугбека. Последним произведением аль-Каши было «Ключ арифметики» – энциклопедия элементарной математики своего времени, приспособленная к нуждам практиков-вычислителей. Книга выделялась среди средневековой математической литературы богатством материала, ясностью и стройностью изложения. В этом трактате аль-Каши впервые более точно, чем ранее в Китае, изложил и применил теорию десятичных дробей, описал правила действий над ними. Отделял дробную часть от целой части вертикальной чертой или писал другим цветом. В этой же работе аль-Каши изложил приемы извлечения корней любой степени, один из которых был основан на применении формулы бинома Ньютона для натурального показателя. Аль-Каши также дал правила приближенного решения уравнений высших степеней, усовершенствовал тригонометрические вычисления. Начиная с XIV в. основным путем влияния математики стран Востока на Европу становится Византия. Примерно с середины XV в. развитие восточной математики замедляется. Математика стран ислама оказала исключительное влияние на развитие математики и на Востоке, и на Западе. Значительная ее часть создавалась в алгоритмически-алгебраическом духе, но существенно продвинулась по отношению к античным методам. Западная Европа достигла того же уровня только в XVI в. �Содержание Задания для самостоятельной работы по главе 2 1. Предложите список задач для решения на занятии математического кружка по теме «Математика Древней Греции: от Фалеса до Евклида». 2. Разработайте фрагмент урока по теме «Теорема Пифагора». 3. Разработайте фрагмент внеклассного мероприятия по теме «Практическая геометрия у разных народов». 4. Подготовьте исторический экскурс «Устный счёт и различные системы счисления у древних народов». 5. Подберите историко-математические задачи в стихотворной форме. 6. Напишите синквейн на одну из тем «Древний Вавилон», «Древний Египет», «Древняя Греция», «Древняя Индия» или «Древний Китай». �Содержание Глава 3. Историческое развитие некоторых содержательнометодических линий школьного курса математики 3.1. Развитие понятия числа 3.2. Формирование понятия «функция» 3.3. История возникновения и развития уравнений Задания для самостоятельной работы по главе 3 �Содержание 3.1. Развитие понятия числа Контрольные вопросы 1. Когда, как и почему возник счет предметов? 2. Как появились натуральные числа? 3. Где, когда и почему появились отрицательные числа? 4. Какова история развития рациональных чисел? 5. Когда людям стали известны иррациональные числа? С чем это связано? 6. Какова история развития действительных чисел? 7. Когда и почему возникли комплексные числа? Теоретические сведения Понятие о числе – одно из основных понятий математики. Древнейшая наука о числах – арифметика – была создана ни в одной какой-либо стране и не одним человеком, а родилась из практики, из трудовой деятельности всего человечества. На протяжении тысячелетий все страны и народы вносили свой вклад в развитие арифметики. Уже в очень отдаленные времена людям приходилось считать окружающие их предметы: членов своей семьи, домашних животных, оружие, убитых или пойманных на охоте зверей и т. д. Считается, что понятие числа возникло вследствие практической необходимости пересчета предметов. Полагают, что первые числа – один и много – имеют качественный, а не количественный характер. Запас чисел на ранних стадиях весьма ограничен. Ряд известных и используемых чисел конечен и удлиняется лишь постепенно. Сначала появляется число 2, которое отождествляется с реальными объектами: у индейцев – глаза, у тибетцев – крылья и т. п. Большие числа сначала образуются с помощью сложения, т. е. одновременно с получением новых чисел вводится и основное действие над ними – сложение. Эти выводы делаются также из наблюдения за развитием счета у малоразвитых народов. Например, ко времени прихода европейцев в XVII в. коренные племена Австралии имели крайне бедный запас чисел. Одно из племен использовало для выражения малых чисел такие слова: 1 – энэа, 2 – петчевал, 3 – петчевал-энэа, 4 – петчевал-петчевал и т. д. Миклухо-Маклай в XIX в. так описывал счет папуасов Новой Гвинеи: загибая пальцы руки они издавали определенный звук, например, «бе»: бе, бе, бе, бе, ибон-бе, потом на другой руке – бе, бе, бе, бе, ибон-али, на ноге – самба-бе, на другой ноге – самба-али. Можно понять, что али – это два, но в сочетании с другим словом, обозначающим конкретный предмет. �Содержание Наличие многих общих черт позволяет предположить, что аналогично было возникновение счета и у других народов. Вообще, каждое натуральное число есть свойство, общее для всех совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному, и разное у совокупностей, для которых такое сопоставление невозможно. Естественно, такое понимание о нем возникло в результате очень длительного и сложного исторического процесса развития способности к абстрактному мышлению. В возникновении первоначального представления о числе можно выделить три основных этапа: 1. Установление случайного взаимнооднозначного соответствия между двумя сравниваемыми множествами. 2. Появление различных эталонов счета, вначале естественных: луна – 1, глаза – 2, рука – 5 и т. п., затем искусственных – счетные палочки, камешки и т. п. 3. Переход к единому, наиболее удобному эталону счета: руки – двоичная, пальцы руки – пятеричная, пальцы обеих рук – десятеричная системы счисления. Счет предметов с помощью эталонов сопровождался образованием числительных и возникновением числовых обозначений. Изображение и наименование чисел у разных народов и в разные времена были основаны на следующих общих принципах. Вводятся основные знаки, с помощью которых записываются и называются остальные числа. Обычно используется сочетание трех принципов: аддитивного, субтрактивного и мультипликативного, когда стоящие рядом знаки означают соответственно сумму, разность и произведение значений этих знаков. В более поздних нумерациях значение знака стало зависеть еще от его позиции. Таким образом, по мере совершенствования счета появляются различные системы счисления. Следы древних систем счисления сохраняются и в наши дни, например, пятеричной, двадцатеричной, шестидесятеричной. Когда количество предметов превышало количество пальцев рук и ног, люди стали пользоваться для числовых записей камешками, зарубками на палках, пучками, узлами на веревках и т. п. Для перехода от таких приемов к специальным символам оставался только один шаг. И такие символы мы обнаруживаем в начале писаной истории. Сознание неограниченного ряда чисел является признаком высокого уровня знаний и культуры. В разное время у разных народов предельными числами были 2, 3, 5, 7, 10, 40, 60, 100 и др. Многие из них попали в категорию «мистических чисел». Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Евклид (III в. до н. э.), определял число (натуральное) как множество, составленное из единиц; такого рода определения можно найти и во многих нынешних учебниках. Но понятие «множество» (или «совокупность» и т. п.) также не определено в математике, как и «число». Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены дробные числа. Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Бывало и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Понятие об отрицательных числах возникло в практике решения алгебраических уравнений, когда приходилось производить вычитание большего числа из меньшего. Не только египтяне и вавилоняне, но и древние греки не знали отрицательных чисел. Для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Знаков «+» и «–» в то время еще не было, палочками �Содержание красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же – палочками черного цвета. Отрицательные числа долгое время называли словами, которые означали «долг», «недостача». Даже в VII в. в Индии положительные числа толковались как имущество, а отрицательные – как долг. В древнем Китае были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись. Алгебра возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Чтобы решать уравнения, необходимо иметь помимо натуральных чисел еще и дробные, отрицательные числа, т. е. востребованы все рациональные числа. Таким образом, практика решения уравнений первой степени породила необходимость расширения понятия числа от множества положительных целых чисел до множества рациональных чисел. Решение уравнений второй степени требует дальнейшего расширения множества чисел, введения новых чисел, сначала иррациональных (объединение всех рациональных и иррациональных чисел дает множество действительных чисел), а затем и комплексных. Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби. Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и действительные (выражающиеся в виде конечной или бесконечной десятичной дроби). В связи с решением уравнений были открыты мнимые числа, которые долгое время не признавали за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745–1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые «мнимые числа» получили свое место во множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически. Эйлер стал записывать это число в виде а +bi. Говоря об эволюции понятия числа, отметим, что не всегда первым толчком к расширению понятия числа были непосредственные практические потребности людей в узком смысле слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практики решения алгебраических уравнений. Однако и на этом развитие понятия числа не завершилось. �Содержание 3.2. Формирование понятия «функция» Контрольные вопросы 1. Когда и почему возникла идея функциональной зависимости? 2. Кто внес больший вклад в становление понятия функции? 3. Какие идеи в разные времена и кем были положены в основу понятия функции? Теоретические сведения Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий в математике становится понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев и др. Путь к появлению понятия функции заложили в XVII веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение неизвестных последними буквами латинского алфавита х, у, z, …; известных – начальными буквами того же алфавита: а b, с, … В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции как изменения ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения – формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени. В «Геометрии» Декарта, в работах Ферма, Ньютона и Лейбница, понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых – функция от абсцисс (х); путь и скорость – функция от времени (t) и т. п. В XVIII веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли – Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». В 1837 году немецкий математик П.Л. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке a  x  b ), если каждому значению х на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей, либо, даже, просто словами». �Содержание Во второй половине XIX века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества A поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y  f (x ) , или, что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы из множества В – значениями функции; во втором случае х – прообразы, у – образы. Дальнейшее развитие математической науки в XIX веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. �Содержание 3.3. История возникновения и развития уравнений Контрольные вопросы 1. С какого времени человечество умеет решать линейные уравнения? 2. Где и когда научились решать квадратные уравнения? 3. Как были получены способы решения уравнений старше второй степени? 4. Какая символика в разные времена и в разных странах использовалась для записи уравнений? Теоретические сведения В связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений возникла алгебра. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Это было обусловлено потребностью решать практические задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера. Немало свойств, правил действий над величинами, алгебраических приемов знали ученые Древней Греции. Однако они выражали их в геометрической форме. Например, Евклид (ок. 300 г. до н. э.) занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. В «Началах» решается задача о построении квадрата, равновеликого любому данному многоугольнику. При этом Евклид оперирует самими площадями, а не числами, которые выражают эти площади. То, что мы получаем с помощью алгебры, Евклид получал геометрическим путем. Извлечение квадратного корня из числа означало для Евклида построение стороны квадрата, площадь которого равна площади данного многоугольника. Следы геометрической алгебры мы встречаем и сейчас в терминах «квадрат» числа, «куб» числа. Процесс освобождения алгебры от геометрической формы и создание буквенной символики начался в Древней Греции, в трудах Диофанта (III в. до н. э.), и продолжился в Индии и в средние века в арабских странах и в Европе. Однако только после того, как Виет (1540–1603) ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для обозначения известных величин и коэффициентов, после появления трудов Декарта (1596–1650), Ньютона (1643–1727) и других ученых этот длительный исторический процесс был в основном завершен. Именно благодаря введению буквенных коэффициентов стало возможным исследование алгебраических уравнений в общем виде и применение общих формул. Задачи, сформулированные в общем виде, без конкретных числовых данных, встречаются уже в древности и в средние века. Например, в астрономическом трактате «Ариабхаттиам» индийского ученого Ариабхатты (род. в 476 г.) имеется следующая задача: «Два лица имеют равные имущества, причем каждое состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. �Содержание Однако число вещей, как и сумма денег, у них различны. Какова стоимость вещи?»1. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, но содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Рассмотрим в качестве примера одну из этих задач: «Найти два числа, зная, что сумма их равна 20, а произведение – 96»2. Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. (10+x), другое же меньше, т. е. (10–x). Разность между ними 2x. Отсюда уравнение 10  x 10  x   96 , 100  x 2  96 или x 2  4 . Отсюда x=2.Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x=–2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Современный школьник, решая эту задачу, выберет в качестве неизвестной одно из искомых чисел, и 2 придет к решению уравнения y  y  20   96 или y  20 y  96  0 . Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в упомянутом выше астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой (I в.). Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax 2  bx  c , a  0 . В этом уравнении коэффициенты, кроме a, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с тем, которым пользуемся мы в настоящее время. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных алгебраических задач, формулируемых часто в стихотворной форме. В начале IX века выдающийся математик восточного средневековья Мухаммед ибн-Муса ал-Хорезми, родившийся во второй половине VIII в. и умерший между 830 и 840 гг. написал учебник, ставший родоначальником европейских учебников алгебры и давший этой науке не только название, но и совершенно новый характер. Евклид решает вопросы алгебры геометрически. Диофант, которого называют «отцом греческой алгебры», искусственными приемами находит числа, удовлетворяющие заданным условиям, выражаемым уравнениями. Ал-Хорезми же пишет в предисловии к своей книге «Китаб ал-джабр ва-лмукабала» («Книга противоположения и восстановления»), что он «составил это небольшое сочинение из наиболее легкого и полезного в науке счисления и притом такого, что требуется постоянно людям в делах о наследовании, наследственных пошлинах, при разделах имущества, в судебных процессах, в торговле и во всех их деловых взаимоотношениях, случаях измерения земель, проведения каналов, в геометрических вычислениях и других предметах различного рода и сорта…». «Алгебра» Хорезми, сохранившаяся до нашего времени в арабской рукописи, переведена на разные языки. В теоретической части сочинения изложены правила алгебраических преобразований, дана 1 Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII кл. – М. : Просвещение, 1982. – С. 12. 2 Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII кл. – М. : Просвещение, 1982. – С. 21. �Содержание классификация уравнений 2-й степени и приводятся правила их решения, доказанные геометрическим способом. Вторая часть содержит приложения алгебраических методов к решению задач практики. Как было сказано выше, ал-Хорезми рассматривает шесть видов линейных и квадратных уравнений: ax 2  bx , ax 2  c , bx  c , ax 2  c  bx , ax 2  bx  c , bx  c  ax 2 , и формулирует правила их решения (выраженные в словесной форме); правила сопровождаются многочисленными примерами. Такая классификация объясняется тем, что Хорезми, как и другие ученые его времени, требовал, чтобы все члены уравнения были положительными. Для приведения к одному из этих видов Хорезми вводит два действия: ал-джабр (т. е. восполнение) и ал-мукабала (т. е. противопоставление). Первое состоит в перенесении отрицательного члена из одной части уравнения в другую, второе – в приведении подобных членов. От термина «ал-джабр», с которым европейские математики познакомились по латинским переводам восточных алгебраических сочинений, возникло современное слово «алгебра». Большая часть книги отведена решению практических задач, чего совершенно избегали греческие математики. Крупнейший математик средневековья Абу Райхан Беруни (973–1048) в сочинении «Книга вразумления начаткам науки о звездах», один из разделов посвятил рассмотрению понятий алгебры. Беруни дает определение неизвестной и ее степеней, формулирует правило знаков, разъясняет алгебраические операции, в том числе действия «ал-джабр» (т. е. перенесение отрицательного члена уравнения в противоположную часть для получения в обеих частях положительных членов), и «алмукабала» (т. е. приведение подобных членов уравнения), приводит традиционную классификацию квадратных уравнений, впервые введенную Хорезми. Здесь же разъясняется так называемое «правило двух ложных положений», или «правило двух ошибок», широко применявшееся в средневековой математике для решения задач на линейные уравнения: если требуется решить уравнение ax  b  c , придаем неизвестной x произвольное значение («ложные положения») x 1 и x 2; тогда, подставляя, x1  x d1  получим: ax1  b  c  d1 и ax 2  b  c  d 2 , где d1 и d2 – первая и вторая «ошибки»; отсюда x2  x d 2 и x x1d 2  x2 d1 . Таким образом находится истинное значение неизвестной. d 2  d1 В XII–XIII вв. в Европе интенсивно переводились с арабского языка как труды самих арабов, так и работы древних греков, переведенные на арабский язык. В Европе формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок. 1180 – ок. 1240). Это объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI–XVII вв. и частично XVIII в. В «Книге абака» рассмотрены различные задачи, указаны методы их решения, причем арифметика и алгебра линейных и квадратных уравнений изложены с небывалой до этого времени точностью и полнотой. Существо задачи Леонардо излагает словесно; неизвестную он называет res (вещь) или radix (корень); квадрат неизвестной – census (имущество) или quadratus (квадрат); данное число – numerus. Все это латинские переводы соответствующих латинских слов. Современник Леонардо, Иордан Неморарий (XIII в.), употреблял буквенные обозначения более �Содержание систематично и решал задачи с применением линейных и квадратных уравнений, сначала в общем виде, а затем иллюстрировал их числовыми примерами. Выдающимся алгебраистом своего времени стал монах Лука Пачоли (ок. 1445 – ок. 1514), близкий друг Леонардо да Винчи, работавший профессором математики в университетах и различных учебных заведениях Рима, Болоньи, Неаполя, Флоренции, Милана и других городов. Он ввел «алгебраические буквы» (caratteri algebraici), дал обозначения квадратному и кубическому корням, корню четвертой степени. В уравнениях Пачоли использовал следующие обозначения: – неизвестная х – со (cosa – вещь); – х 2 – се (censo – квадрат, от латинского census); – х 3 – cu (cubo); – x 4 – се.се. (censo de censo); – x 5 – р°r° (primo relato – «первое relato»); – x 6 – р°r°х – се.cu. (censo de «второе relato»); – х 8 – ce.ce.ce. (de censo); – x 9 – cu.cu. (cubo de cubo); – x 10 – ce.p°r° (censo de primo relato) и т. д.; – свободный член уравнения – n (numero – число). Как видим, некоторые степени Пачоли получал мультипликативным способом с помощью показателей 2 и 3 (х 4=х 2 2, х 6=х 2 3, х 9=х 3 3 и т. д.), а в случаях, когда так не получалось, пользовался словом relato (например, при образовании х 5, х 7 и т. д.). Специальными символами Пачоли обозначил вторую неизвестную и ее степени. Для обозначения операции сложения он воспользовался знаком ~p (plus – ~ (minus – меньше). Он сформулировал правила больше), для обозначения вычитания – знаком m ~ . умножения чисел, перед которыми стоят знаки ~p и m Раздел «Суммы», посвященный алгебраическим уравнениям, Пачоли закончил замечанием о том, что для решения кубических уравнений х 3+ах=b и х 3+b=ах «искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга». Некоторый шаг в совершенствовании алгебраической символики сделал бакалавр медицины Н. Шюке (ум. ок. 1500 г.), который в книге «Наука о числах в трех частях» изложил правила действий с рациональными и иррациональными числами и теорию уравнений. Для сложения и вычитания он ~ , причем, знак m ~ служил и для обозначения вслед за Пачоли пользовался знаками ~p и m отрицательного числа. Неизвестную величину он называл premier («первое число»), а ее степени – вторыми, третьими и т. д. числами. Записи степеней неизвестной у Шюке лаконичны. Например, современные символы 5, 5х, 5х 2, 5х 3 у него выглядели бы так: 5°, 51, 52, 53. Вместо равенства 8х 3 7х -1 = ~ , дает 562». Таким образом, он рассматривал и 56х 2 Шюке писал: «83, умноженное на 71 m отрицательные показатели. Относительно свободных членов уравнения Шюке указывал, что эти числа «имеют имя нуль». Значительного успеха в совершенствовании «алгебраических букв» Луки Пачоли достигли немецкие �Содержание ~ ввели знаки + и –, знаки для неизвестной, и ее алгебраисты – «коссисты», которые вместо ~p и m степеней, свободного члена. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x 2  bx  c , при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем (ок. 1496–1567). Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. XVI в. в алгебре ознаменовался величайшим открытием – решением в общем виде уравнений третьей и четвертой степеней. Спицион дель Ферро в 1506 г. нашел решение кубического уравнения вида x 3  ax  b , a,b > 0. (1) 2 a 3 3 Чуть позже Тарталья указал решение этого же уравнения в виде x  u  v , где u  v  b , uv   3  ,   откуда u и v находятся как корни квадратного уравнения. 2 a Также он нашел решение уравнения x 3  ax  b , a,b > 0 (2) в виде x  3 u  3 v , где u  v  b , uv    . 3 Уравнение же x 3  b  ax , a,b > 0 можно решить с помощью уравнения (2). Чтобы получить представление о символике Кардано, приведем пример записи корня кубического уравнения x 3  6 x  20 . Выражение 3 108  10  3 108  10 записывалось так: ~ ~ R .u.cu.R .108 m ~ 10. Rx.u.cu.Rx.108 p 10 m x x Здесь Rx – знак корня (Radix), Rx.u.cu означает корень кубический из всего выражения до вертикальной ~ – сокращения слов plus и minus. черты или после нее, ~p и m Открыл метод решения уравнений четвертой степени 23-летний ученик Кардано – Луиджи Феррари. После того, как были исследованы уравнения третьей степени, задача об уравнениях четвертой степени стала более легкой. Феррари рассматривал уравнение, не содержащее члена с x 3, т. е. уравнение вида x 4  ax 2  bx  c  0 . Он преобразовывал его так, чтобы в левой части был полный квадрат, а в правой – выражение не выше второй степени относительно x. 2 a2 a2  2 a Выделением полного квадрата получалось  x    x 4  ax  .  bx  c  2 4 4  Теперь следовало выполнить такие преобразования, чтобы из левой и правой частей можно было извлечь корень. С этой целью Феррари вводил новую переменную t и прибавлял к обеим частям  2 a 2 выражение 2 x    t  t . Это дает 2   2 a2 2  2 a  2 x t  2 tx  bx  (  c  at  t ) .     2  4  �Содержание Нужно, чтобы правая часть была полным квадратом. Выделим полный квадрат в трехчлене:  b c b b2 b2 c    2  2    ax 2  bx  c  a x 2  x    a x 2  2 x 2a 4a a a a 4a   2  2 b b 2 4ac  b 2  4ac  b 2 b     a x  2 x    a x  .   2a 4a 2 2a  4a  4a 2   Трехчлен будет полным квадратом, когда 4ac–b2=0. В нашем случае роль коэффициента при x 2 играет 2t, а роль свободного члена – выражение в скобках правой части уравнения. Тогда выражению  2 4ac–b=0 соответствует b  4  2t    c  at   a2   t 2   0 , т. е. b 2  2t  4t 2  4 at  a 2  4 c  . 4  Таким образом, нахождение t свелось к решению кубического уравнения, а x находится из квадратного уравнения после извлечения корня из левой и правой частей, т. е. из уравнения x2   a b  .  t0   2t0  x  2 4t0   Кардано отмечает, что таким же приемом можно решать уравнения, в которых отсутствует член не с третьей степенью х, а с первой. В этом случае делается подстановка х=k/y. Открытия, сделанные итальянцами в алгебре и систематически изложенные Кардано, стали доступны математикам других стран и дали импульс развитию науки. Дальнейшее развитие алгебры было связано с совершенствованием символики и разработкой общих методов решения уравнений. �Содержание Задания для самостоятельной работы по главе 3 1. Разработайте сценарий внеклассного мероприятия математического характера по теме «Уравнения». с использованием задач историко- 2. Составьте фрагмент факультативного занятия по теме «Числа» с использованием историкоматематического материала. 3. Подготовьте исторический экскурс по теме «Функция». �Содержание Глава 4. История развития отечественной математики Контрольные вопросы 1. Охарактеризуйте кратко основные достижения древнерусской математики. 2. Великие русские математики. Их вклад в развитие отечественной математики. Теоретические сведения Предки русского народа – славяне – с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Х веке нашей эры на Руси появилась письменность. Из первых известных письменных источников мы узнаем о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X–XI веках. Они были связаны, естественно, с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д. Первые сведения о развитии математики на Руси относятся к IX–XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). Феодальная раздробленность и иноземное нашествие сыграли роковую роль в исторической судьбе, и надолго задержали культурное и научное развитие Киевской и Новгородской Руси. Поэтому вновь математика начинает развиваться на Руси только в XVI в. после освобождения от татарского ига. В первых рукописях создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVI в. «Книга сошному письму», содержащая «статью», посвященную вычислению налога с земельной площади в «сохах». Для расчетов «сошного письма» применялись русские счеты. Строки взяты из статьи «О полбе немолоченой» одного из ранних рукописных исторических документов – «Русской Правды» – первого из дошедших до нашего времени сборника русских законов: «А полбы немолоченые 15 копен, а на то прибытка на одно лето 7 копен, а на всю 12 лет в той полбе прибытка 1000, 700 и 50 копен». Судя по всему, подсчет «прибытка» в этой статье основан на предположении, что каждый год в течение 12 лет вся собранная в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3/2 посеянной полбы, и что все вычисления ведутся в целых числах. Другое дошедшее до нас наиболее древнее русское математическое произведение «Учение им же ведати человеку числа всех лет» принадлежит новгородскому монаху Кирику и посвящено календарным расчетам. В XVI–XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). В настоящее время известно значительное количество математических рукописей XVII века. В основном они предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила �Содержание пояснялись разнообразными примерами и задачами. Монголо-татарское и ливонское нашествие надолго прервали развитие математики па Руси. Торговый путь из варяг в греки перестал существовать, с ним прекратился и обмен информацией. Новые способы счета могли быть получены разве что от татарских сборщиков дани. В конце XV века татарское иго было свергнуто. На Руси, хотя и с отставанием, развивалась торговля, строительство, оружейное дело. В XVI–XVII веках появились многочисленные руководства, которые содержали необходимые для практических нужд математические сведения. Однако Россия, лишенная выходов к морям, не имела того мощнейшего стимула развития математики, каким в странах Западной Европы стало мореплавание. Математическое отставание России усугублялось вплоть до начала XVIII века – до реформ Петра Великого. Перестройка государственной, общественной и культурной жизни страны, начатая Петром I, подняла и вопросы образования. Требовались специалисты для создания новой регулярной армии, для постройки торгового и военного флота, для развития промышленности и т. д. Для подготовки таких кадров, для распространения в стране математических зданий нужны были учебники. В 1703 году такой учебник был издан типографским способом необычайно большим по тем временам тиражом – в количестве 2400 экземпляров. Назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная...». Автором его был выдающийся педагог-математик – Леонтий Филиппович Магницкий. Взяв за основу имевшуюся рукописную математическую литературу, Л.Ф. Магницкий создал книгу, которая на протяжении 50 лет была основным учебником по математике для почти всех учебных заведений России. Она сыграла большую роль в распространении математических знаний, в подготовке кадров для государственных учреждений страны. В 1725 году в Петербурге открылась Академия наук с университетом и гимназией. Вначале для работы «Академии были приглашены ученые из-за границы. Среди них приехал в Россию двадцатилетний швейцарец Леонард Эйлер, будущий великий математик. Русский народ изобрел идеальный прибор – счеты – для облегчения счисления по десятичной системе. Эти счеты по справедливости называются русскими. В книгах можно встретить указание, что счеты были изобретены китайцами, что они от китайцев перешли к сибирским народам и что известные в русской истории купцы и промышленники Строгановы привезли их в Россию. Указывается и время, когда якобы появились счеты в России: по одним источникам – при Дмитрии Донском (XIV век), по другим – при Петре Первом (на рубеже XVII и XVIII веков). Эти рассказы лишены основания в той же мере, как и предания о том, что предок Строгановых был татарским королевичем. К сожалению, рассказы о восточном происхождении русских счетов попали в «Историю государства Российского» Н.М. Карамзина и отсюда в большинство учебников. Одно из самых ранних описаний русских счетов, сделанное датским математиком – богословом Петером ванн Хавеном в 1743 году, как и некоторые другие старые источники, совершенно отчетливо указывает на то, что у счетов на каждой проволоке имеется по девяти шариков. Таким образом, можно утверждать, что этот русский народный счетный прибор самим народом был доведен до совершенства. Лишний десятый шарик появился позднее и сохранился до сих пор, хотя авторы XIX столетия неоднократно указывали, что он является лишним и мешающим. Первоначальная форма счетов на Руси называлась «дощатый счет». «Дощатый счет» представлял собой доску или раму с чётками (шариками), надетыми на шнуры или веревки. Счет на этом приборе производится почти так, как на современных конторских счетах. Многие обороты нашей речи свидетельствуют о том, что счеты русским народом употребляются с очень давних пор. «Сбрасывать со счета», «прикидывать», «накидка», «скидка», «сводить счеты», «скостить» и много аналогичных выражений в народном языке появилось в результате пользования счетами в течение долгого времени. Чаще всего на счетах приходится считать деньги. Широкое распространение русских �Содержание десятичных счетов находится в связи с тем, что в России раньше, чем в других странах, возникла десятичная денежная система: рубль равен десяти гривенникам, гривенник – десяти копейкам, червонец – десяти рублям. Основной предпосылкой для всех математических знаний служит нумерация, которая у разных древних народов имела различный вид. По-видимому, все народы вначале обозначали числа зарубками на палочках, которые у русских назывались бирками. Такой способ записей долговых обязательств или налогов применялся малограмотным населением разных стран. На палочке делали нарезы, соответствующие сумме долга, или налога. Палочку раскалывали пополам: одну половину оставляли у должника или у плательщика, другую хранили у заимодавца или в казначействе. При расплате обе половинки проверяли складыванием. С появлением письменности, появились и цифры для записи чисел. Сначала эти цифры напоминали зарубки на палках, затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10. В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Однако за несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. В одной из русских рукописей XVII века читаем мы следующее: «...знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тьма, и что есть легион, и что есть леодр...», «...сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тьма есть десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть десять легионов...». В то время как в странах Западной Европы пользовались римской нумерацией, в древней России, находившейся подобно другим славянским странам в тесном культурном общении с Византией, получила распространение алфавитная нумерация, сходная с греческой. В древнерусской нумерации числа от 1 до 9, затем десятки и сотни изображались последовательными буквами славянского алфавита (именно так называемой кириллицы, введенной в IX в.). Из этого общего правила были некоторые исключения: 2 обозначалось не второй по счету буквой «буки», а третьей «веди». «Фита», стоящая на конце славянского алфавита, обозначала, как греческая 0 (древняя тэта, византийская фита), число 9, а 90 обозначалось буквой «червь» (у греков использовалась для этой цели буква «копиа», отсутствовавшая в живом греческом алфавите). Не использовались отдельные буквы. Для указания же того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ним ставили специальный знак «~», называемый титло. Десятки тысяч назывались «тьмы», отсюда и произошло название «Тьма народу», т. е. очень много народу. Сотни тысяч назывались «легионами». Миллионы назывались «леодрами». Сотни миллионов назывались «колодами». При рассмотрении чисел не дальше тысяч миллионов использовали «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет» и говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумети». Таким образом, древнерусская нумерация была основана на принципах ионийской нумерации. Она применялась до конца XVII в., далее начала вытесняться индийской нумерацией. Современная математика использует индийскую нумерацию. На Руси индийские цифры стали известны в начале XVII в. Простейшие дроби были известны давно. Сначала возникли 1/2 и 1/3, потом их последовательные половинки: 1/4 (четь), 1/8 (полчети), 1/6 (полтрети), 1/12 (пол-полтрети) и т. д. Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления – особенно последнее. «Умножение – мое мучение, а с делением – беда», – говорили в старину. В глубокой древности и почти до восемнадцатого века русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления: они применяли лишь два арифметических действия – сложение и вычитание, да ещё так называемые «удвоения» и «раздвоение». Сущность русского старинного способа умножения состоит в том, что �Содержание умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам (последовательное раздвоение) при одновременном удвоении другого числа. Если в произведении, например, 24∙5, множимое уменьшить в 2 раза («раздвоить»), а множитель увеличить в 2 раза («удвоить»), то произведение не изменится: 24∙5=12∙10=120. Пример: 32∙17=16∙34=8∙68=4∙136=2∙272=1∙544. Деление множимого продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, одновременно удваивая множитель. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. В ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. И все эти приемы умножения – «шахматный», «загибанием», «задом наперед», «алмазом» и прочие, а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Во времена М.В. Ломоносова действие умножения уже записывали почти так, как и в наше время. Только множимое называли «еличество», а произведение – «продукт» и, кроме того, не писали знак умножения. Известно, что М.В. Ломоносов знал наизусть всю «Арифметику» Л.Ф. Магницкого. О применении дробей в России XVII века мы читаем в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики». При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников. Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним. Учение о дробях всегда оставалось труднейшим разделом арифметики, но, в то же время, в любую из предшествующих эпох люди сознавали важность изучения дробей. В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого обыкновенные дроби излагаются подробно, десятичные же дроби – в специальной главе, как некоторый вид счисления, не имевший при тогдашней системе мер большого практического значения. Только с введением метрической (десятичной) системы мер, десятичные дроби заняли подобающее место. Запросы практической жизни продолжали подталкивать развитие геометрии. Уже в самых старинных памятниках русской истории мы встречаем начальные сведения по геометрии. Исконно русским руководством, излагавшим приемы измерения площадей, является «Книга сошного письма», самый древний экземпляр которой относится к 1629 году, хотя имеются указания, что оригинал был составлен при Иване Грозном в 1556 году. При вычислении площадей фигур рекомендуется разбивать их на квадраты, прямоугольники, треугольники, трапеции. Возможно, что русская землемерная практика имела дело только с треугольниками и трапециями, прямоугольными или почти прямоугольными. В 1607 и 1621 годах издается «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до воинской науки». В этой книге между прочими сведениями даются и геометрические знания. Вот как определяется расстояние от точки наблюдения А до другой, недоступной точки В. В точке А нужно вбить шест AD, примерно в рост человека. К верхнему концу шеста прилагается угольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с концом шеста D, а продолжение одного из катеров проходило через точку В. Отмечается точка С на земле, через которую проходит продолжение другого катета. Если измерить расстояние АС, то искомое расстояние относится к длине шеста так, как последняя длина относится к расстоянию АС. При Иване Грозном, в 1556 году, было составлено первое русское руководство по землемерию под названием: «Книга, именуемая геометрия или землемерие радиксом и циркулем, глубокомудрая, �Содержание дающая легкий способ измерять места самые недоступные, плоскости, дебри». В рукописи начала XVII века мы встречаем такие, например, задачи: «Хошь узнати промежь какими местами, не ходя и не меревь, что будет промежь верст, или сажен, или аршин. И ты познавай: как ходил будто к Троице в Сергиев монастырь и тут 32 версты. Ходил же в Воскресенский монастырь, и тут будто 24 версты, Что будет промежь теми монастырями, скажи не меревь? И те числы с таких же чисел умножь. И те оба перечня, сложи вместе и раздели на радикс [то есть извлекай квадратный корень]. И что из делу выдет, столько будет промежь теми местами верст». Вторая задача такого же рода: «Ходил с Москвы в Новгород и тут 600 верст. Ходил в Шуйский город и тут 500 верст. Что будет промежь теми городами: зри 781 верста». Большую роль в развитии арифметики играли различные системы мер: длины, площади сыпучих тел, весовой и денежной единиц. За единицу площади на Руси принимали десятину (первоначально это площадь квадрата со стороной, равной 1/10 версты), равную площади прямоугольника со сторонами 80 и 30 саженей, и четь – 0,5 десятины. Существовало еще много других местных единиц, узаконенных и неузаконенных, принятых в одной части России и неизвестных в другой (четверть, копна, выть, соха и т. д.). Меры жидкостей были окончательно установлены лишь в первой половине XIX столетия: 1 бочка = 40 ведрам (т. е. ≈ 5 гектолитрам), 1 ведро = 10 штофам (т. е. ≈ 12,3 литра), 1 штоф = 2 бутылкам = 10 соткам (чаркам) (т. е. ≈ 1,23 литра), 1 сотка (чарка) = 2 шкаликам (т. е. ≈ 0,12 литра) и др. Наиболее древней мерой веса являлась «гривна» (или «гривенка»), равная примерно 410 граммам. Значительно позднее появились фунты, пуды, золотники и к концу XVII столетия система мер веса приняла такой вид: 1 ласт = 72 пудам (т. е. ≈ 1,179 тонны), 1 берковец = 10 пудам (т. е. ≈ 164 килограммам), 1 пуд = 40 большим гривенкам или фунтам = 80 малым гривенкам =16 безменам (т. е. ≈ 16,38 кг), 1 фунт = 96 золотникам (т. е. ≈ 410 г). Древнейшая русская математическая рукопись, сохранившаяся до наших дней, датируется 1136 годом – временем, когда единая Киевская Русь стала неудержимо разваливаться на мелкие, враждующие княжества. Автором рукописи «Учение им же ведати человеку числа всех лет» был новгородский дьякон и «числолюбец» по имени Кирик Новгородец (родился в 1110 г.), первый русский математик, известный нам по имени. Этот труд посвящен хронологическим расчетам. Счет годам велся не от рождества Христова, а от сотворения мира. Кирик вычислил не только число годов, но и число месяцев, недель и дней. Например, задача Кирика Новгородца: Сколько месяцев, недель, дней и часов прожил человек, которому в 1136 г. исполнилось 26 лет? Благодаря запискам Кирика, мы можем судить, что уровень математических знаний в ХII веке был на Руси не ниже, чем в Западной Европе. Записки содержат Значки на суммирование прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев, недель и дней, прошедших со дня сотворения мира; вычисление размеров Солнца и Луны по астрономическим данным. А самой сложной задачей было вычисление дат празднования Пасхи. Как известно, даты ряда церковных праздников непостоянны. От года к году они определяются по довольно сложным правилам, связанным с движением солнца и луны. Вычисление дня Пасхи (с этим церковным праздником жестко связаны даты других праздников церковного календаря) представляет поэтому непростую математическую задачу. По православным канонам этот праздник приходится на первое воскресенье после первого весеннего полнолуния. Таковым считается полнолуние, наступившее между 21 марта и 18 апреля (по старому стилю). Последовательность дат зацикливается только через 532 года. Чтобы �Содержание вычислить даты Пасхи на много лет вперед, надо сопоставить периодичность солнечных и лунных движений, обладать основательными знаниями и навыками в астрономии и математике. В начале «Учения» указывается, что написано оно в 6644 г. от «сотворения мира» (в 1136 г. по принятому сейчас у нас летоисчислению), и что от «сотворения мира» прошло 79728 месяцев или 346673 недели, или 2426721 день, или 29120652 дневных часов и столько же ночных. После этого сообщается как вычислить так называемый «солнечный», «лунный» и «великий» круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник пасхи в текущем году. Таким образом, в начале истории русского государства ход развития ее математической культуры был общим со всеми государствами Европы. Далее на Западе знакомятся с арабской математикой. В России, больше связанной с Византией, чем со странами ислама, развитие математики пошло иным путем. Сближение с Европой насильственно прервалось в XIII веке из-за нашествия монголо-татар (1240) и крестоносцев (1242). К началу Нового времени Россия отстала от Европы по уровню науки вообще и математики в частности. Первые логические сочинения на Руси появились в Х веке в виде переводов некоторых трудов Аристотеля и его комментаторов. Первая оригинальная система логики, принадлежащая М.В. Ломоносову, изложена в его руководстве по теории красноречия. К XVII веку в КиевоМогилянской и Славяно-греко-латинской Академии курсы логики становятся одним из обязательных элементов образования. В это же время издан первый самостоятельный учебник по логике в России Макарием Петровичем. Значительный вклад в развитие логико-философской проблематики в XVIII веке внесли, кроме М.В. Ломоносова, В.Н. Татищев, А.Н. Радищев. Ценный вклад в развитие логики сделал современник М.В. Ломоносова академик математики Леонард Эйлер – ввел в логику наглядный прием изображения отношения между объемами понятий в виде наглядных геометрических фигур – так называемые «эйлеровы круги». Единой системы образования в России до XVIII в. не было. В 1687 г. открыта Славяно-греколатинская академия в Москве, из которой вышли Л.Ф. Магницкий, М.В. Ломоносов и др. В первой четверти XVIII в. математическое просвещение становится одной из задач государства. За спешную подготовку военных и технических специалистов принимается царь Петр I. Реформы, начатые им, потребовали и организации широкого светского обучения. Посылка людей за границу для обучения не дала эффекта. В 1701 г. в Москве начала работу Навигацкая школа. Oт нее в 1715 г. отделилась Морская академия, переведенная и Петербург. В Навигацкой школе готовили специалистов во все роды военной, морской и гражданской службы. Преподавание математики включало арифметику, геометрию, тригонометрию, пользование таблицами логарифмов, счетными линейками. Основными преподавателями были А.Д. Фархварсон и Л.Ф. Магницкий, известные российские просветители. Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739) – один из выдающихся людей петровского времени по образованности и математическим познаниям. В 1703 г. он напечатал в Москве первое руководство – энциклопедическую «Арифметику», которая сразу же стала основным учебником математики в России на многие годы. Прослужила она до середины XVIII в., оказав немалое влияние на все учебные руководства русских авторов. Полное название книги – «Арифметика сиречь наука числительная». Это большой том, разделенный на две книги. Первая книга посвящена арифметике, вторая включает алгебру с геометрическими приложениями, начала тригонометрии, географию и навигацию. Поворотным пунктом в развитии математики в России явилось основание Петербургской Академии �Содержание наук (1725), которая дала мощный толчок в подготовке русских математиков. Среди 23 академиков, приглашенных на работу в течение первых лет, семь являлись математиками. Были приглашены Яков Герман, Христиан Гольдбах, Николай и Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и др. Начиная с 1728 г. выходили «Записки Императорской Петербургской Академии наук» на латинском языке, в которых печатались оригинальные математические труды академиков, среди них 400 трудов Эйлера. На академиков возлагались также преподавание в университете и гимназии и занятия с наиболее способными студентами. Некоторые студенты направлялись для усовершенствования знаний в Германию. Таким образом, педагогические и методические идеи Европы проникали в Россию через представителей первой российской научно-методической школы Эйлера. Академические учебные заведения сыграли важную роль в развитии науки и просвещении. Они дали гениального ученого М.В. Ломоносова, а также первых русских академиков-математиков. Большую заслугу имеет академия в создании учебной математической литературы. Ведущими учебниками были руководства Эйлера, оказавшие влияние на все создававшиеся учебники: «Руководство к арифметике, для употребления в гимназии при Императорской Академии наук» и «Универсальная арифметика» Эйлера, «Универсальная арифметика» (1757) и «Арифметика или числовник» (1771) Н.Г. Курганова и др. В 1755 г. был основан Московский университет. В нем почти полстолетия преподавалась только элементарная математика. Для трех его факультетов готовили студентов две гимназии. Первая половина XIX века характеризуется постепенным повышением уровня преподавания и ростом квалификации преподавателей. Из выпускников того периода вышло немало выдающихся ученых, в том числе академик П.Л. Чебышёв. Университеты организовались в Дерпте (Тарту) (1802), Вильнюсе (1803), Казани и Харькове (1804), Петербурге (1819). Позже они были открыты в Киеве (1834), Одессе (1865), Варшаве (1869), Томске (1888). Важной особенностью новой системы учебных заведений была ее непрерывность. Окончив уездное училище, можно было перейти в гимназию, а гимназическая подготовка считалась достаточной для поступления в университет. С 1808 г. никто не мог поступить на государственную службу без диплома училища. Преподаватели училищ готовились в университетах. В каждом университете учреждались физико-математические факультеты и кафедры математики. В них обучали алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислению, читали повторительный курс элементарной математики. Сначала срок обучения был трехгодичным, потом –четырехгодичным (1835). После смерти Эйлера (1783) уровень математического творчества в Академии снизился. Новый подъем начался в 20-е годы XIX века в период плодотворной работы молодых академиков М.В. Остроградского и В.Я. Буняковского. Остановимся на их деятельности. Михаил Васильевич Остроградский (1801–1861) российский математик и механик, признанный лидер математиков Российской империи в 1830–1860 гг. Основные работы Остроградского относятся к прикладным аспектам математического анализа, механики, теории магнетизма, теории вероятностей. Он внёс также вклад в алгебру и теорию чисел. Хорошо известен метод Остроградского для интегрирования рациональных функций (1844). В физике чрезвычайно полезна формула Остроградского для преобразования объемного интеграла в поверхностный. В последние годы жизни Остроградский опубликовал исследования по интегрированию уравнений динамики. Его работы продолжили Н.Д. Брашман и Н.Е. Жуковский. �Содержание М.В. Остроградский предпочитал математическую работу, способную принести практическую пользу. Так, например, с целью облегчить работу по проверке товаров, поставляемых армии, он занялся математическим исследованием, посвященным статистическим методам браковки и основанным на применении теории вероятностей. Кроме научных исследований, М.В. Остроградский написал ряд замечательных учебников по высшей и элементарной математике («Программа и конспект тригонометрии», «Руководство начальной геометрии» и др.). В систематическом и собранном виде общие педагогические взгляды М.В. Остроградского были изложены в сочинении «Размышления о преподавании». Педагогическая деятельность М.В. Остроградского была очень разнообразна. Он читал публичные лекции по высшей алгебре, небесной и аналитической механике, преподавал в Главном педагогическом институте (1832–1861), институте корпуса инженеров путей сообщения (1832–1860), морском кадетском корпусе (1828–1860), инженерной академии и училище (1836–1860), артиллерийской академии и училище (1841–1860). Кроме этого, М.В. Остроградский долгое время (1847–1860) состоял главным наблюдателем за преподаванием математики в военно-учебных заведениях и оказал прямое влияние на постановку и методику этого преподавания своими руководствами по начальной геометрии и тригонометрии, а также в качестве председателя комиссии по составлению новых программ элементарной математики для кадетских корпусов. Педагогическую деятельность в морском кадетском корпусе М.В. Остроградский начал в 1828 году в только что учрежденных тогда офицерских классах. В начале зимы 1836 года, по просьбе нескольких своих слушателей, больших любителей математики, М.В. Остроградский начал чтение в морском корпусе публичных лекций по высшей алгебре. Эти лекции продолжались всю зиму по два раза в неделю и собирали широкую аудиторию новизною содержания, ясностью и изяществом изложения. Преподавание в морском кадетском корпусе М.В. Остроградский вел почти до последних дней своей жизни и воспитал не одно поколение русских морских офицеров. Виктор Яковлевич Буняковский (1804–1889) – русский математик, вице-президент Академии наук (1864–1889). В.Я. Буняковским изобретены планиметр (прибор, служащий для простого механического определения площадей (интегрирования) замкнутых контуров, прорисованных на плоской поверхности), самосчёты Буняковского (вычислительный механизм, основанный на принципе действия русских счетов, для сложения большого числа двузначных чисел) и др. Большая часть работ В.Я. Буняковского связана с теорией чисел и теорией вероятностей. Ещё с самого начала своей педагогической деятельности, В.Я. Буняковский помещал статьи на французском языке в специальных изданиях, затем сделал перевод сочинений Коши о дифференциальном и интегральном исчислениях, причём присоединил к этому переводу свои примечания, а также составил, по поручению Министерства народного просвещения, несколько учебных руководств по разным отраслям математики. В 1846 году появился труд В.Я. Буняковского, послуживший началом его всемирной известности, – «Основания математической теории вероятностей». Этот обширный трактат, кроме теории, заключал в себя и историю возникновения и развития теория вероятностей; в нём впервые сведено вместе всё то, что было выработано по этой теории трудами известных математиков, начиная с Паскаля и Ферма, даны объяснения относительно новых решений самых трудных вопросов, указано много практических приложений теории вероятностей, например, к определению достоверности свидетельств и преданий, к определению погрешностей при наблюдениях, к вычислению вероятностных потерь в войске и т. д. А в 1853 году В.Я. Буняковский издал монографию «Параллельные линии»; в ней он приводил �Содержание главнейшие из существовавших в то время доказательств теории параллельных линий, делая их критический разбор, обнаруживал их несостоятельность и излагал собственные соображения и исследования по этому предмету. Все работы В.Я. Буняковского, ставящие его в число величайших европейских математиков, помимо ценности в научном отношении – по богатству, новизне и оригинальной разработке научноматематических материалов, – отличаются ясностью и изяществом изложения. Многие из них переведены на иностранные языки. Важнейшим событием в истории отечественной математики этого периода явилось открытие Н.И. Лобачевским первой системы неевклидовой геометрии (1826). Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) – русский математик, деятель университетского образования и народного просвещения. Н.И. Лобачевский в течение 40 лет преподавал в Казанском университете, в том числе 19 лет руководил им в должности ректора; его активность и умелое руководство вывели университет в число передовых российских учебных заведений. Н.И. Лобачевский получил ряд ценных результатов и в таких разделах математики, как: алгебра (разработал метод приближенного решения уравнений), математический анализ (получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции, дал признак сходимости рядов) и др. В разные годы он опубликовал несколько содержательных статей по алгебре, теории вероятностей, механике, физике, астрономии и проблемам образования. Однако, несомненно, основным достижением Н.И. Лобачевского, как сказано выше, является обоснование новой неевклидовой геометрии. Сохранились студенческие записи лекций Н.И. Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822–23 и 1824–25 годы Н.И. Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятий, непосредственно приобретаемые из природы. 7 (19) февраля 1826 года Н.И. Лобачевский представил для напечатания в «Записках физикоматематического отделения» сочинение «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Н.И. Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829–1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского. Н.И. Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жесткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы Н.И. Лобачевский предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. �Содержание Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. Уже в первой публикации Н.И. Лобачевский детально разработал тригонометрию неевклидова пространства, дифференциальную геометрию (включая вычисление длин, площадей и объёмов) и смежные аналитические вопросы. Однако научные идеи Н.И. Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году Советом университета в Академию наук, получил у М.В. Остроградского отрицательную оценку. В иронически-язвительном отзыве на книгу М.В. Остроградский откровенно признался, что он ничего в ней не понял, кроме двух интегралов, один из которых, по его мнению, был вычислен неверно (на самом деле ошибся сам М.В. Остроградский). Среди других коллег также почти никто Лобачевского не поддержал, росли непонимание и невежественные насмешки. Попытка Н.И. Лобачевского напечатать в том же журнале ответ на пасквиль была проигнорирована редакцией. Несмотря на осложнения, Н.И. Лобачевский, уверенный в своей правоте, продолжал работу. В 1835–1838 гг. он опубликовал в «Ученых записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем вышла наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных». Н.И. Лобачевский умер непризнанным, не дожив до торжества своих идей всего 10–12 лет. Геометрия Лобачевского оказала решающее влияние на появление римановой геометрии, общей теории теории аксиоматических систем и др. Начиная с 1828 г. все наши академики-математики вышли из русских университетов. В середине века в Петербурге начал складываться творческий коллектив математиков, ведущее место в котором занял П.Л. Чебышёв. Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894) – русский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, академик петербургской Академии наук и еще 24–академий мира. П.Л. Чебышёв получил фундаментальные результаты в теории чисел (распределение простых чисел) и теории вероятностей (центральная предельная теорема, закон больших чисел), построил общую теорию ортогональных многочленов, теорию равномерных приближений и многие другие. Основал математическую теорию синтеза механизмов и разработал ряд практически важных концепций механизмов. Творческий метод П.Л. Чебышёва отличало стремление к увязке проблем математики с вопросами естествознания и техники и к соединению абстрактной теории с практикой. Остановимся на теории равномерных приближений. Хотя теория приближения функций имеет достаточно богатую предысторию, собственно историю этого раздела математики принято исчислять с 1854 года, когда была опубликована статья П.Л. Чебышёва «Теория механизмов, известных под �Содержание названием параллелограммов». Она стала первой из серии работ учёного по функциям, наименее уклоняющимся от нуля (исследованиям в данной области Чебышёв посвятил сорок лет). В упомянутой статье П.Л. Чебышёв пришел к выводу, что для приближения аналитической функции f на некотором отрезке a; b алгебраическим многочленом заданной степени формула Тейлора недостаточно эффективна, и поставил общую задачу о нахождении для заданной непрерывной функции многочлена наилучшего равномерного приближения. За меру уклонения функции f от нуля он max f ( x ) ; сейчас её называют либо (следуя Чебышёву) уклонением от нуля, либо принял величину x a;b  чебышёвской нормой функции f. Фактически речь идёт о равномерной метрике в пространстве C a; b непрерывных функций на отрезке X  a; b  ; в этой метрике за меру различия между функциями f и g принимается величина d ( f , g )  max | f ( x )  g ( x ) | . x В соответствии с этим среди многочленов степени, не превышающей n многочленом наилучшего равномерного приближения для функции f является такой многочлен U, для которого чебышёвская норма разности f – U минимальна. П.Л. Чебышёв установил характеристическое свойство такого многочлена: многочлен U будет многочленом наилучшего равномерного приближения тогда и только тогда, когда на отрезке a; b  найдутся такие n+2 точки xi , что в них разность f – U поочерёдно принимает свои максимальное и минимальное значения, равные по модулю (точки чебышёвского альтернанса). Позднее, в 1905 году, Э. Борель доказал существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения. С середины XX века многочлены наилучшего приближения весьма часто используют в стандартных компьютерных программах для вычисления элементарных и специальных функций. Аналогичный результат П.Л. Чебышёв получил и для наилучшего равномерного приближения непрерывной функции рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. Эта и последующие работы П.Л. Чебышёва были весьма оригинальными – как по постановке задач, так и по предложенным методам их решения. В начале XX века развитая в работах П.Л. Чебышёва и его школы теория наилучшего приближения функций переросла в конструктивную теорию функций. П.Л. Чебышёв занимался также и классическим способом приближения функций – интерполированием. Научная и педагогическая работа П.Л. Чебышёва оказала решающее влияние на создание Петербургской математической школы. Петербургские математики, в свою очередь, оказали большое влияние на формирование научных школ и в других городах, например, A.M. Ляпунов и В.А. Стеклов в Харькове, Д.А. Граве в Киеве и т. д. С течением времени развитие математики в каждом университете приобретало свои особенности. Особо следует отметить первую научную алгебраическую школу, созданную Д.А. Граве в 10-е годы XX века в Киевском университете, куда он переехал в 1902 г. Граве в Киеве отошел от прежней тематики и сосредоточился на новой алгебре и теории чисел. Славу русской науки составляет научная деятельность первой в мире женщины-профессора математики Софьи Васильевны Ковалевской. В 70–80-х годах она получила замечательные результаты в аналитической теории дифференциальных уравнений. Кроме занятия преподавательской деятельностью, она была одним из редакторов известного математического журнала под латинским �Содержание названием «Акта математика» (Математические ведомости), занималась серьезными научными исследованиями, увлекалась литературной деятельностью, писала романы, стихи, драмы. Для многих казалось странным, как она сочетает математику с поэзией. По этому поводу С.В. Ковалевская писала: «Многие, которым никогда не представлялось случая более глубоко узнать математику, смешивают ее с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе». В 1882 г. Виктор Викторович Бобынин (1849–1919) впервые в России стал читать в МГУ факультативный курс истории математики. Новый этап движения за реформу математического образования начался в конце XIX в. История формирования Московской математической школы непосредственно связана с Московским университетом. В Московском университете на рубеже XIX–XX вв. общепризнанным лидером математиков-прикладников стал Николай Егорович Жуковский (1847–1921). Другая научная школа московских математиков, по классической дифференциальной геометрии, ведет начало от работ Карла Михайловича Петерсона (1828–1881). После них геометрическую школу возглавил Дмитрий Федорович Егоров (1869–1931), он же положил начало Московской школе теории функций действительного аргумента. К началу советского периода развития отечественная математика имела выдающиеся достижения, которые явились базой, на основе которой в короткое время после Октябрьской революции оказалось возможным создать новые научные школы, основать новые направления, обеспечившие успехи отечественной математики. Необходимо отметить, что ряд новых математических школ был создан в городах, бывших до революции глухими окраинами России. Советская математическая школа занимала одно из передовых мест в мировой математической науке. Выдающийся математик, основоположник московской школы теории функций Николай Николаевич Лузин (1883–1950) является одним из связующих звеньев между дореволюционной российской и советской математикой. Он обучался в Московском университете, в Сорбонне, стажировался в Геттингене; учился у Бореля, Пуанкаре, Адамара, Дарбу, Лебега. Его знаменитый труд «Интеграл и тригонометрический ряд» (1915) определил на многие годы вперед линию развития теории функций. Лузин с 1922 г. работал в МГУ, после избрания академиком (1929) руководил отделом теории функций Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. Учениками Н.Н. Лузина были П.С. Александров, Н.К. Бари, Л.В. Келдыш, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, Л.А. Люстерник, Д.Е. Меньшов, МЛ. Суслин, А.Я. Хинчин, Л.Г. Шнирельман и др. Они составили основу Московской математической школы. Павел Сергеевич Александров (1896–1982) – выдающийся советский математик, академик (1953), создатель советской топологической школы, имеющей мировое признание. Многие понятия и теоремы общей топологии носят имя Александрова. Долгие годы он руководил деятельностью Московского математического общества в качестве его президента. Был членом многих иностранных академий наук и научных обществ. Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987) – выдающийся советский математик, академик (1939), член АПН СССР (1968), с 1930 г. – профессор МГУ, внес основополагающий вклад во многие области современной математики: теорию функций действительного переменного, теорию вероятностей, теорию марковских случайных процессов, топологию, конструктивную логику, функциональный анализ, механику, прикладную математику, статистику, теорию информации. Принято считать, что основные этапы развития современной математики – это время работы пяти великих математиков – �Содержание Ньютона, Эйлера, Гаусса, Пуанкаре и А.Н. Колмогорова. Важнейшим научным вкладом Колмогорова является аксиоматическое построение теории вероятностей. Эта аксиоматика связала воедино теорию множеств, теорию функций и теорию вероятностей. На ее основе стало возможным развитие теории случайных непрерывных процессов, например, точное математическое описание броуновского движения. А.Н. Колмогоров создал большие школы теории функций и теории вероятностей. Многие его ученики стали известными во всем мире математиками (например, академик В.И. Арнольд). Много сил и времени А.Н. Колмогоров отдал реформе школьного математического образования. Он является автором и редактором школьных учебников, программ и учебных планов. По его инициативе при МГУ была создана школа-интернат для одаренных детей. Александр Яковлевич Хинчин (1894–1959) имеет первоклассные труды по теории функций и теории чисел. Он является одним из основоположников советской школы теории вероятностей. Преподавал в МГУ член-корреспондент АН СССР (1939), действительный член АПН РСФСР (1944). Значителен его вклад в математическое образование в высшей и средней школе. Он является автором известных книг «Краткий курс математического анализа», «Теорема Ферма», «Три жемчужины теории чисел» и др. После революции алгебраическая школа Д.А. Граве продолжала работать успешно. Он сам принял активное участие в строительстве советской науки и в реформе высшей школы. В 1920 г. был избран членом АН УССР, в 1929 г. – почетным членом АН СССР. Еще до революции начали свои исследования по алгебре и теории чисел ученики Д.А. Граве – О.Ю. Шмидт, Б.Н. Делоне, Н.Г. Чеботарев и др. Отто Юльевич Шмидт (1891–1956, академик с 1935) еще в 1916 г. опубликовал монографию «Абстрактная теория групп». С 1923 г. Шмидт работал в Московском университете, руководил кафедрой алгебры. Он известен также как полярный исследователь и геофизик, астроном, общественный деятель, Герой Советского Союза, главный редактор БСЭ. Борис Николаевич Делоне (1890–1980) успешно занимался вопросами новой алгебры и теорией алгебраических чисел, стал членом-корреспондентом АН СССР (1929). Николай Григорьевич Чеботарев (1894–1947) – крупнейший советский алгебраист, членкорреспондент АН СССР (1929). Занимался вопросами теории алгебраических чисел, теории Галуа, групп Ли. Работал в Киеве, Одессе, с 1927 г. в Казани, заведовал кафедрой алгебры КГУ. Был директором Научно-исследовательского института математики и механики, теперь носящего его имя, председателем Казанского физико-математического общества. Создал известную Казанскую алгебраическую школу. Автор известных монографий «Теория Галуа», «Теория групп Ли». Важные результаты были получены в теории чисел. В аналитической теории чисел основные достижения связаны с работами академика Ивана Матвеевича Виноградова (1891–1983), с 1929 г. – действительный член Академии наук СССР, с 1932 г. руководил Математическим институтом АН СССР. В начале XX в. создавалась школа, занимавшаяся проблемами теории интегральных уравнений, ярким представителем которой был В.И. Смирнов. Владимир Иванович Смирнов (1887–1974) окончил Петербургский университет (1910), ученик В.А. Стеклова. Академик (1943). Профессор Петербургского (Ленинградского) университета, возглавлял Институт математики и механики Ленинградского университета, теперь носящего его имя. Основные работы относятся к теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений, математической физике, истории математики. Возглавлял Комиссию АН СССР по истории физико-математических наук. Был президентом Ленинградского математического общества. Автор энциклопедического пятитомного труда «Курс высшей математики», который многократно переиздавался и был базовым вузовским учебником более 50 лет. За этот фундаментальный труд был �Содержание удостоен Государственной премии (1948). В 1941–1944 гг. в составе научного филиала ЛГУ был в эвакуации в Елабуге, работал заведующим кафедрой физики и математики Елабужского государственного учительского института. В 1934 г. Академия наук СССР была переведена в Москву. Переехал также и Математический институт АН СССР. Ленинградская (Петербургская) и Московская математические школы стали работать вместе. Этот сплав крупнейших специалистов стал одной из мощнейших научных школ в мире – советской математической школой. Эта школа вплоть до распада СССР была ведущей в мире. Росли научные кадры и на периферии СССР. Во время Великой Отечественной войны многие отечественные математики переключились на решение задач, связанных с обороной страны (А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко, Л.С. Понтрягин и др.). Замечательные достижения советской математики выдвинули ее в первые ряды мировой науки. Ее результаты описаны в обзорах «Математика в СССР за 15 лет» (1933), «Математика в СССР за 30 лет» (1948), «Математика в СССР за 40 лет» (1959), «Математика в СССР, 1958–1967» (1970) и др. �Содержание Задания для самостоятельной работы по главе 4 1. Предложите сценарий занятия математического кружка по теме «Старинные русские меры». 2. Предложите сценарий факультативного занятия по теме «Русские счёты и десятичная система счисления» с описанием возможных наглядных пособий. 3. Проанализируйте содержание школьного учебника на предмет наличия сведений об отечественных математиках. Дополните его адаптированным историко-математическим материалом, который целесообразно, на ваш взгляд, включить в содержание этого учебника. �Содержание Библиографический список 1. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2008 [Электронный ресурс]. – 12 изд., с изм. и доп. – Москва : Нью Медиа Дженерейшн, 2007. 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе : пособие для учителей / под ред. В.Н. Молодшего. – Москва, 1964. – 462 с. 3. Глейзер, Г.И. История математики в школе VII–VIII кл. / Г.И. Глейзер. – Москва : Просвещение, 1982. – 368 с. 4. Гнеденко, Б.В. Очерки по истории математики в России / Б.В. Гнеденко. – Москва ; Лениград : Гостехиздат, 1946. – 248 с. 5. Гнеденко, Б.В. Очерки по истории математики в России / Б.В. Гнеденко. – Изд. 4-е. – Москва : URSS : ЛИБРОКОМ, 2009. – 292 с. 6. Гнеденко, Б.В. Роль математики в развитии современного естествознания / Б.В. Гнеденко. – Москва, 1964. 7. Дорофеева, А.В. Страницы истории на уроках математики : книга для учителя / А.В. Дорофеев. – Москва : Просвещение, 2007.–96 с. 8. Зеленов, Л.А. История и философия науки / Л.А. Зеленов. – Москва : Флинта, 2011. – 472 с. 9. История отечественной математики. – Киев : Наукова думка, 1966 – 1970. 10. Колмогоров, А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия / А.Н. Колмогоров. – Москва, 1954. – Т. 26. 11. Кольман, Э. История математики в древности / Э. Кольман. – Москва : Гостехиздат, 1961. – 236 с. 12. Математика XIX века / под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. – Москва : Наука, 1978. – 256 с.; 1981. – 370 с. 13. Математика, ее содержание, методы и значение / под ред. А.Д. Александрова. – Москва : АН СССР, 1956. – 296 с. 14. Нейгебауэр, О. Точные науки в древности / О. Нейгебауэр. – Изд. 5-е. – Москва : URSS : Едиториал УРСС, 2011. – 224 с. 15. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : МГУ, 1960. – 190 с. 16. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – Москва : Наука, 1984. – 286 с. 17. Филинова, О.Е. Математика в истории мировой культуры / О.Е. Филинова. – Москва : Гелиос АРВ, 2006. – 223 с. 18. Фридман, Л.М. Что такое математика / Л.М. Фридман. – Изд. 2-е. – Москва : URSS : КомКнига, 2010. – 191 с. 19. Шереметевский, В.П. Очерки по истории математики / В.П. Шереметовский. – Москва : Учпедгиз, 1940. – 180 с. �Содержание Приложения Приложение 1 Семинар 1 Семинар 2 Семинар 3 Семинар 4 Семинар 5 Семинар 6 Семинар 7 Семинар 8 Приложение 2 Приложение 3 �Содержание Приложение 1 Планы семинарских занятий по курсу «История математики» Семинар 1 Семинар 2 Семинар 3 Семинар 4 Семинар 5 Семинар 6 Семинар 7 Семинар 8 �Содержание Семинар 1 Эпоха накопления первых математических знаний. Первые математические теории. 1. Развитие математики в древних государствах Востока. а) математика в Древнем Вавилоне; б) математика в Древнем Египте. 2. Зарождение и развитие математики в Древней Греции. Первые математические теории: а) ионийская школа Фалеса; б) школа Пифагора; геометрическая алгебра; в) математика в Афинах в V веке до н. э.; д) александрийские школы. 3. Преобразование математики в абстрактную дедуктивную математику. Рекомендуемая литература 1. Болгарский, Б.В. Очерки по истории математики / Б.В. Болгарский. – Минск, 1974. 2. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – Москва, 1986. 3. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – Москва : Наука, 1984. 4. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва, 1987. 5. Энциклопедический словарь юного математика. – Москва : Педагогика, 1989. – С. 9–12, 109–110, 289–290. 6. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – Москва, 1978. 7. Математический энциклопедический словарь. – Москва : Советская энциклопедия, 1988. – С. 9–16. 8. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. университета, 1994. – Москва : Изд-во Московского �Содержание Семинар 2 Развитие понятия числа 1. Натуральные числа: а) возникновение и развитие счета предметов; б) устная нумерация; в) пальцевый счет; г) письменная нумерация: вавилонская, египетская, греческая, славянская, индийская; д) позиционные системы счисления; е) Ал-Хорезми и его роль в развитии современной системы счисления. 2. Дробные числа: а) происхождение дробей; б) единичные дроби; в) десятичные дроби. 3. Отрицательные и положительные числа: а) отрицательные числа в индийской математике; б) отрицательные числа в трудах европейских математиков. 4. Действительные числа: а) открытие иррациональностей в школе Пифагора; б) развитие теории действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор). 5. Комплексные числа: а) происхождение комплексного числа; его развитие в XVI–XVII в.; б) комплексные числа в работах Л. Эйлера и Ж. Даламбера; в) геометрическое истолкование комплексных чисел в XIX в. Рекомендуемая литература 1. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер. – Москва, 1980–1982. 2. Депман, И.Я. История математики / И.Я. Депман. – Москва, 1965. 3. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва, 1987. 4. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – Москва, 1987. �Содержание 5. Сираждинов, С.Х. Ал-Хорезми – выдающийся математик средневековья / С.Х. Сираждинов, Г.П. Матвиевская. – Москва : Просвещение, 1983. и астроном 6. Математический энциклопедический словарь. – Москва : Советская энциклопедия, 1988. – С. 9–16. 7. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – М. : Высшая школа, 1978. 8. Математическая энциклопедия. – Москва : Советская энциклопедия, 1979, 1985. – Т 2, 5 (ст. «Число», «Действительное число»). �Содержание Семинар 3 Развитие алгебраической символики 1. Первые математические знаки: а) обозначение цифр; б) зачатки обозначения величин у Диофанта; возможности алгебраической символики Диофанта. 2. Создание буквенного исчисления: а) символика в странах арабского Востока; б) буквенные обозначения в Европе; в) построение первого буквенного исчисления Виетом; возможности алгебраической символики Виета. 3. Важнейшие символы математики XVIII–XX вв. Значение символики в прогрессе математики. 4. Важнейшие математические символы школьного курса математики. Рекомендуемая литература 1. Энциклопедический словарь юного математика. – Москва : Педагогика, 1989 (ст. «Знаки математические», «Цифры», «Число»). 2. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – Москва, 1978. 3. Депман, И.Я. Первое знакомство с математической логикой / И.Я. Депман. – Ленинград, 1963. 4. Математическая энциклопедия. – Москва, 1979. – Т. 2 (ст. «Знаки математические». – С. 457–463. 5. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва, 1987. 6. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – Москва : Наука, 1984. 7. Никифоровский, В.А. Из истории алгебры XVI–XVII вв. / В.А. Никифоровский. – Москва : Наука, 1979. �Содержание Семинар 4 Алгебра уравнений. Элементы алгебры в Древнем Востоке и Древней Греции. Развитие учения об уравнениях в Европе ХII–ХХ вв. 1. Первоначальные представления об уравнениях: а) сведения об уравнениях в папирусах Древнего Египта; б) сведения об уравнениях в клинописных текстах Древнего Вавилона; в) «Арифметика» Диофанта; г) алгебра в Индии; д) алгебра Ал-Хорезми и его приемников в арабских странах. 2. Уравнения в работах Леонардо Пизанского (Фиббоначи). 3. Решение в радикалах уравнений третьей степени (Сципион Дель Ферро, Николо Тарталья, Кордано). 4. Решение уравнений 4-ой степени Л. Феррари. 5. Учение об уравнениях в работах Виета, Декарта, Ньютона и др. математиков. 6. Решение проблемы общей теории алгебраических уравнений: а) Н.Х. Абель; б) Э. Галуа; в) К.Ф. Гаусс. Рекомендуемая литература 1. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : Изд-во МГУ, 1974. 2. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва : Просвещение, 1987. 3. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты. (Очерки по истории математики) / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – М. : Мир, 1986. 4. Никифоровский, В.А. В мире уравнений / В.А. Никифоровский. – М. : Наука, 1987. 5. Кванцов, Н.И. Математики и романтика / Н.И. Кванцов. – Киев : Вища школа, 1976. 6. Колосов, А.А. Книга для чтения по математике в старших классах / А.А. Колосов. – М. : Учпедгиз, 1968. �Содержание 7. Белл, Э.Т. Творцы математики / Э.Т. Белл. – М. : Просвещение, 1979. 8. Чистяков, В.Д. Рассказы о математиках / В.Д. Чистяков. – Минск : Асвета, 1983; или М. : Учпедгиз, 1978. 9. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер. – М. : Просвещение, 1981–1983. 10. Депман, И. Рассказы о новой и старой алгебре / И. Депман. – Л. : Детская литература, 1967. 11. Инфельд, Л. Эварист Галуа / Л. Инфельд. – М., 1966. 12. Дальма, А. Эварист Галуа – революционер-математик / А. Дальма. – М., 1960. 13. Розенфельд, Б. Омар Хайям / Б. Розенфельд, А.П. Юшкевич. – М. : Наука, 1965. 14. Матвиевская, Г.П. Ал-Хорезми / Г.П. Матвиевская. – М. : Просвещение, 1985. 15. Гиджикин, С.А. Гаусс К.Ф. / С.А. Гиджикин // Квант. – 1977. – № 8. 16. Энциклопедия элементарной математики. – М., 1958. – Т. 11. 17. Никифоровский, В.А. Из истории алгебры XVI–XVII вв. / В.А. Никифоровский. – М. : Наука, 1979. 18. Математический энциклопедический словарь. – М. : Советская энциклопедия, 1982. С. 45–51, 603. �Содержание Семинар 5 Координаты и векторы. Аналитическая геометрия. Геометрические построения и преобразования 1. Первоначальное появление координат у древних математиков. 2. Аналитическая геометрия Декарта и Ферма. 3. Развитие метода координат в работах Дж. Валисса, Ф. Де Лагира, П.Ф. Лопиталя, Я. Германа. Л. Эйлер, его вклад в развитие аналитической геометрии. 4. Из истории векторного исчисления. 5. Геометрические построения у древнейших египтян, вавилонян и в Древней Греции. 6. Теории геометрических построений в XVII–XX вв. (Развитие теории конических сечений, возникновение теорий построений различными инструментами, построение одним циркулем, о разрешимости циркулем и линейкой задач на построение правильных n-угольников Т. Гаусса). 7. Из истории симметрии. 8. История развития проективных преобразований. Создание проективной геометрии Рекомендуемая литература 1. Математика XIX в. (геометрия) / под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. – Москва, 1980. 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер. – Москва, 1980–1982. 3. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : МГУ, 1974; или 1994. 4. Математический энциклопедический словарь. – Москва : Советская энциклопедия. – С. 67–68, 107, 292. 5. Розенфельд, Б.А. Из истории неевклидовой геометрии / Б.А. Розенфельд. – Москва : Наука, 1976. 6. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – Москва, 1978. 7. Математическая энциклопедия. – Москва, 1977.– Т. 1. 8. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер. – Москва, 1966. 9. Кольман, Э. История математики в древности / Э. Кольман. – Москва, 1961. 10. Энциклопедия элементарной математики. – Москва, 1963. – Т. 1. 11. Математика XIX в. (геометрия) / под ред. А.П. Юшкевича, А.Н. Колмогорова. – Москва, 1981. 12. Энциклопедический словарь юного математика. – М. : Педагогика, 1989. (ст. «Геометрические построения», «Геометрические преобразования»). �Содержание 13. Костовский, А.Н. Геометрические построения одной линейкой (популярные лекции по математике) / А.Н. Костовский. – М. : Наука, 1989. 14. Костовский, А.Н. Геометрические построения одним циркулем / А.Н. Костовский. – М. : Наука, 1989. 15. Адлер, А. Теория геометрических построений / А. Адлер. – М., 1940. 16. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – Москва : Мир, 1986. – (гл. 4). 17. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / под ред. А.П. Юшкевича. – Москва : 1970–1972. – Т. 1–3. �Содержание Семинар 6 История развития тригонометрии 1. Возникновение и развитие тригонометрии в древности. (Древняя Греция и Индия). 2. Развитие учения о тригонометрических величинах в странах Среднего и Ближнего Востока в IX– XV вв. 3. Возникновение в тригонометрии нового аналитического направления на пороге XVII в. и его развитие. 4. Методика сообщения исторических сведений в школьном курсе математики при изучении: а) теоремы сложения; тригонометрические функции суммы и разности аргументов; б) тригонометрические функции двойного и половинного аргументов; формулы преобразования; в) теорема тангенсов, формулы площади треугольников и некоторые другие формулы. Рекомендуемая литература 1. Глейзер, Г.И. История математики в школе 7–8 кл. / Г.И. Глейзер. – Москва : Просвещение, 1982. – (§ 14–15). 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе 9–10 кл. / Г.И. Глейзер. – Москва : Просвещение, 1982. – (§ 3). 3. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва : Просвещение, 1987. 4. Матвиевская, Г.П. Становление плоской и сферической тригонометрии / Г.П. Матвиевская // Математики и кибернетика. – 1982. – № 5. 5. Березкина, Э.И. Математика древнего Китая / Э.И. Березкина. – Москва, 1980. 6. Володарский, А.И. Очерки истории средневековой индийской математики / А.И. Володарский. – Москва, 1977. �Содержание Семинар 7 Зарождение и создание исчисления бесконечно малых 1. Возникновение и применение идеи бесконечности, предела и непрерывности в древности. 2. Метод неделимых. 3. Задача о квадратурах. 4. Задача о касательных. 5. Метод флюксий И. Ньютона и исчисление бесконечно малых Г.В. Лейбница. 6. Понятие предела в XVIII–XIX вв. 7. Разработка и обоснование дифференциального и интегрального исчисления в XVIII в. 8. Развитие дифференциального и интегрального исчисления в XIX в. Рекомендуемая литература 1. Математический энциклопедический словарь. – Москва : Советская энциклопедия, 1988. – С. 24– 27, 89–91, 197–203, 230–236. 2. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – Москва : Мир, 1986. 3. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – Москва : Наука, 1984. 4. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва , 1994. 5. Никифоровский, К.А. Великие математики – Бернулли / К.А.. Никифоровский. – Москва : Наука, 1984. 6. Дорофеева, А.В. Карл Вейерштрасс / А.В. Дорофеева, М.А. Чернова // Новое в жизни, науке и технике. Серия «Математика и кибернетика». – Москва : Знание, 1985. – № 7. 7. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / под ред. А.П. Юшкевича. – Москва : Просвещение, 1977. 8. Коледько, В.И. Бернард Больцано / В.И. Коледько. – Москва : Мысль, 1982. 9. 9. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX в. / Ф. Клейн. – Mосква, 1989. – T. I. 10. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – Москва, 1978. 11. Юшкевич, А.П. Из истории возникновения математического анализа / А.П. Юшкевич // Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Математика и кибернетика». – Москва : Знание, 1985. – № 11. �Содержание Семинар 8 Математика в России 1. Состояние математических знаний Древней Руси. Кирик Новгородец. 2. Развитие математики в России в XVIII в. а) Л.Ф. Магницкий и его «Арифметика»; б) Л. Эйлер и создание первой математической школы в Петербурге. 3. Развитие математики в России в первой половине XIX в. а) Н.И. Лобачевский; б) М.В. Остроградский. 4. Математика в России во второй половине XIX в. и в начале XX в. а) П.Л. Чебышев и Петербургская математическая школа; б) С.В. Ковалевская; в) А.М. Ляпунов; г) А.А. Марков (старший). 5. Возникновение новых научных центров. В.А. Стеклов и реорганизация Академии наук. 6. Н.Н. Лузин и московская математическая школа. Рекомендуемая литература 1. История отечественной математики. – Киев ; Москва : АН СССР и Укр.АН, 1965–1969. – T. I–IV. 2. Юшкевич, А.П. История математики в России / А.П. Юшкевич. – Москва, 1968. 3. Люди русской науки :математика, механика, астрономия, физика, химия / под ред. И.В. Кузнецова. – Москва, 1961. 4. Чистяков, В.Д. Рассказы о математиках / В.Д. Чистяков. – Минск, 1983; Москва, 1978. 5. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : МГУ, 1974. 6. Энциклопедия элементарной математики. – Москва, 1958. – Т. 1. 7. Симонов, Р.А. Математическая мысль Древней Руси / Р.А. Симонов. – Москва, 1977. 8. Симонов, Р.А. Кирик Новгородец / Р.А. Симонов. – Москва, 1982. 9. Денисов, А.П. Леонтий Филиппович Магницкий / А.П. Денисов. – Москва, 1967. 10. Болгарский, Б.В. Очерки о истории математики / Б.В. Болгарский. – Минск, 1974. �Содержание 11. Гнеденко, Б.В. О развитии математики в нашей стране за 60 лет Советской власти / Б.В. Гнеденко // Математика в школе. – 1977. – № 5. 12. Александров, П.С. Лузинская математическая школа / П.С. Александров // Математика в школе. – 1977. – № 5. 13. Александров, П.С. Лузинская математическая школа / П.С. Александров // Квант. – 1977. – № 10. 14. Гнеденко, Б.В. О математике страны Советов / Б.В. Гнеденко // Квант. – 1977. – № 11. 15. Математический энциклопедический словарь. – М. : Советская энциклопедия, 1982. – С. 27–38. �Содержание Приложение 2 Задания для самостоятельной работы 1. Изложите задачи и особенности использования историко-математического материала на уроках математики. 2. Составьте историческую справку по теме «Абак и другие приборы для счёта». 3. Предложите сценарий занятия математического кружка по теме «Пифагор и музыка» (или «Фигурные числа»). 4. Предложите сценарий занятия математического кружка по решению одной из трёх знаменитых задач древности. 5. Предложите сценарий занятия математического кружка по теме «Биографии великих математиков». 6. Составьте фрагмент урока математики в 5 классе с использованием историко-математического материала по арифметике. 7. Проведите сравнительный анализ содержания нескольких (по крайней мере, трех) школьных учебников разных авторов и выясните, какая информация о великих математиках в них присутствует и в каком виде. 8. Составьте глоссарий персоналий математиков. 9. На картине «Урок арифметики» Н.П. Богданова-Бельского изображён «урок устного счёта» в школе для крестьянских детей второй половины XIX века. На доске записан пример, поясните его решение. 10. Проведите анализ содержания историко-математического материала в учебнике/учебниках и результаты представьте в виде методических рекомендаций для учителей. �Содержание Приложение 3 Тест для самоконтроля 1. А.Н. Колмогоров различает _____ периода(ов) в истории математики. 2. Первый период в истории математики (по А.Н. Колмогорову) _________________________________ и делят на _____________________________________________________________. называют эпохи: 3. Характерными особенностями второго периода истории математики (по А.Н. Колмогорову) являются (выделить нужное знаком « » ): • Теоретическое обоснование математических сведений • Развитие теории пределов • Оформление арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии • Решение уравнений третьей степени в радикалах 4. Период истории математики, называемый периодом переменных величин длился с _____ века до ______ века. 5. Клинья для записи чисел использовались в… • Древнем Китае • Древнем Египте • Древнем Вавилоне • Римской империи • Древней Индии 6. Позиционная запись числа впервые введена в … • Древней Индии • Древней Греции • Древнем Вавилоне • Римской Империи 7. Примером непозиционной записи чисел является ______________________________________ нумерация. �Содержание 8. Первые доказательства теорем дал … • Пифагор • Фалес • Анаксогор • Евдокс 9. Основоположником ионийской школы был … • Пифагор • Фалес • Анаксогор • Евдокс 10. Основоположником метода исчерпывания был … • Пифагор • Фалес • Анаксогор • Евдокс 11. Главный труд Евклида – «_________________» 12. Четные и нечетные, простые и составные, дружественные, пространственные многогранные числа рассматривали в школе … • элейской • ионийской • софистов • пифагорейской 13. Основоположником логики является… • Аристотель • Гиппократ • Евдокс совершенные, плоские, �Содержание • Анаксогор 14. Термин «математика» произошел от греческого слова «матема», означающего… • Вычисления, измерения • Знания, наука • Учить считать • Грамотность, ум 15. Пифагор родился в первой половине ________ века до н. э. в ______________ 16. Общий метод дифференцирования и интегрирования во второй половине 17 века открыт … • Бернулли • Ньютоном • Эйлером • Лейбницем 17. Основоположником неевклидовой геометрии является … • Евклид • Лобачевский • Декарт • Эйлер 18. Термин «цифра» впервые употребили математики … • Древней Индии • Древнего Вавилона • Древнего Китая • Древнего Египта 19. Впервые в 5 веке до н. э. стали выполнять операции с отрицательными числами в …. • Древнем Китае • Древнем Вавилоне �Содержание • Древней Индии • Древней Греции 20. Шестидесятеричный нуль впервые появился в ____________ 21. Установите соответствие между древними цивилизациями и их знаниями различных дробей… • Египет • Единичные • Вавилон • Шестидесятеричные • Китай • Обыкновенные • Греция • Подходящие • Десятичные 22. Хронологическая последовательность развития понятия «дроби» (поставьте нумерацию) … • Непрерывные • Единичные • Десятичные • Обыкновенные • Шестидесятеричные • Подходящие 23. Числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, еще в древности были названы _______________________________ 24. Хронологическая последовательность развития понятия числа (поставьте нумерацию) … • комплексные • натуральные • нуль • дробные • иррациональные • отрицательные • кватернионы • гиперкомплексные �Содержание 25. Первые математические теории появились в … • Древнем Вавилоне • Древней Греции • Древнем Египте • Древнем Китае 26. Греки доказали формулу для квадрата суммы двух чисел методом … • алгебраическим • геометрическим • геометрической алгебры • алгебраической геометрии 27. Классификацию квадратных уравнений в 9 веке дал … • Ал-Хорезми • Диофант • Бхаскара • Кардано 28. В работе «Книга абака» Фибоначчи дано первое в Европе… • полное изложение арифметики и алгебры линейных и квадратных уравнений • употребление терминов «плюс» и «минус» • употребление дробной черты • численное решение кубических уравнений 29. Установил зависимость между _____________________________ коэффициентами и корнями 30. Три классические задачи древности: 1. __________________________________________________________ 2. __________________________________________________________ 3. __________________________________________________________ уравнений n-ой степени �Содержание 31. Валлис установил, что в виде бесконечной непериодической десятичной дроби выражается… • иррациональное число • рациональное число • комплексное число • любое действительное число 32. В Европе с середины 17 века до 18 века термин «глухой» употребляли относительно … • подходящих дробей • несоизмеримых величин • комплексных чисел • периодических дробей 33. Комплексные числа возникли из практики … • решения уравнений • геометрических построений • решения неравенств • опытных экспериментов 34. «Арифметика» Л.Ф. Магницкого содержала сведения из … • арифметики • геометрии • тригонометрии • алгебры 35. Полная потеря зрения не помешала создать 865 научных сочинений…. • Эйлеру • Лейбницу • Бернулли • Ньютону �Содержание 36. Решение уравнений четвертой степени в радикалах в 16 веке дал ________________________ 37. Первое доказательство основной теоремы алгебры дал ______________________________ 38. ____________________ назвал функции флюентами, т. е. текущими, зависящими от времени, переменными величинами. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Бронникова, Лариса Михайловна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource История математики Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. История математики. 3. древние цивилизации. 4. отечественная математика. 5. переменные величины. Description An account of the resource История математики [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. М. Бронникова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 7.11 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 120 с. В учебном пособии рассматриваются основные разделы дисциплины «История математики»: предмет истории математики, периоды развития математики, история математики древних цивилизаций, историческое развитие некоторых содержательно-методических линий школьного курса математики, история развития отечественной математики. По каждому разделу предложены контрольные вопросы, теоретические сведения и задания для самостоятельной работы обучающихся. Пособие содержит вариант теста для итогового контроля знаний по изложенному материалу, примерный план семинарских занятий по курсу. Учебное пособие предназначено для студентов педагогических вузов, может оказаться полезным учителям математики и учащимся средних школ. Creator An entity primarily responsible for making the resource Бронникова, Лариса Михайловна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 16.03.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova1.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova1.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova1.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova1.exe</a> древние цивилизации История математики Математика отечественная математика переменные величины http://books.altspu.ru/files/original/59/49/_[650].png 13d8d3d9327b210ed9af9504f32f496b http://books.altspu.ru/files/original/59/49/Osnovy_informatcionnoi_kultury[pdf].pdf f3bca32b7d06668c75984ddb76ee5a32 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» Л.М. Бронникова ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ Учебное пособие Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2016 Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–811–2 �Содержание УДК 37.031.2 ББК 70/79я73 Б885 Бронникова, Л.М. Основы информационной культуры [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л.М. Бронникова. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. – Систем. требования: ПК с Intel® x86-совместимый процессором, Pentium® 4 или новее ; 512 Мб ОЗУ ; Windows XP и более поздние ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA видеоплата и монитор (1024х768, 16 млн цв.) ; мышь. ISBN 978–5–88210–811–2 Рецензенты: Пышнограй Г.В., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГПУ); Решетникова Н.В., кандидат педагогических наук, доцент (АКИПКРО) В учебном пособии рассматриваются основные разделы дисциплины «Основы информационной культуры»: информация в современном мире, информационная культура, информационные ресурсы и услуги, виды и типы библиотек, возможности глобальной сети Интернет, аналитико-синтетическая переработка информации, описание студенческих учебно-исследовательских работ. По каждому разделу предложены теоретические сведения и задания для самоконтроля обучающихся. Учебное пособие предназначено для студентов вузов, может оказаться полезным преподавателям и обучающимся других образовательных организаций. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 28.01.2016 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: ПК с Intel® x86-совместимый процессором, Pentium® 4 или новее ; 512 Мб ОЗУ ; Windows XP и более поздние ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA видеоплата и монитор (1024х768, 16 млн цв.) ; мышь. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 7 389 КБ. Дата подписания к использованию: 28.03.2016 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Введение 1. Информация в современном мире 2. Информационная культура: понятие, сущность 3. Информационные ресурсы и услуги 4. Виды и типы библиотек 5. Глобальная сеть Интернет 6. Аналитико-синтетическая переработка информации 7. Студенческие учебно-исследовательские работы Библиографический список �Содержание Введение В современном мире в реальной и в виртуальной среде ежедневно появляется огромное количество новой информации, и вместе с ней растет объем и уровень сложности навыков ее поиска, сбора, обработки, анализа и синтеза. Поэтому сегодня жизненно необходимым становится умение ориентироваться в информационном потоке, используя при этом различные информационные ресурсы и методики поиска. Современные образовательные стандарты делают акцент на использование в учебном процессе электронного обучения, дистанционных образовательных технологий. Все больше часов (зачетных единиц) отводится на самостоятельную работу, часть материала отводится на самостоятельное изучение. Это существенно активизирует самостоятельную работу обучающихся с информационными источниками, требует от них определенного уровня информационной культуры. В целях формирования информационной культуры будущего специалиста в вузе изучается курс «Основы информационной культуры». Курс «Основы информационной культуры» направлен на воспитание информационной культуры бакалавров, обучение доступу к информации, формирование навыков работы с информацией и применение их на практике. Данное пособие дополняет серию изданий в помощь изучению названной дисциплины. Цель изучения курса: приобрести знания, умения и навыки работы с информацией, информационного самообеспечения образовательной деятельности. Достижение этой цели осуществляется в ходе решения следующих задач: 1) формирование информационного мировоззрения личности; 2) освоение рациональных приемов и способов самостоятельного поиска информации в соответствии с задачами учебного процесса; 3) отработка алгоритмов поиска по разным типам запросов, возникающим у студентов в ходе их учебной деятельности; 4) обучение методам поиска всех типов и видов документов по различным источникам и базам данных; 5) формирование навыков информационного самообслуживания как в условиях традиционной библиотеки, так и в Интернете; 6) освоение технологии подготовки и оформления результатов самостоятельной учебной и научно-исследовательской деятельности (подготовка рефератов, докладов и т. п.). В структуре общей образовательной программы вуза курс «Основы информационной культуры» строится на синтезе достижений нескольких дисциплин: информатики, библиотековедения, библиографии, документоведения, делопроизводства. Для его овладения бакалаврам необходимы среднее образование в области истории, науки, культуры и навыки компьютерной грамотности. В результате изучения курса «Основы информационной культуры» обучающийся должен знать: – основную миссию библиотек в процессе развития человеческой цивилизации – собирание, сохранение и предоставление для общественного использования всевозможных источников полезной информации, как «общей памяти человечества», необходимой для передачи знаний из поколения в поколение, для научно-технического прогресса; �Содержание – систему научных библиотек и их современное состояние России (национальных, региональных, вузовских); – основные правила пользования библиотекой; – справочно-правовые системы; – отраслевые ресурсы Интернет по избранной специальности; – систему научной литературы, типы и виды научных документов; – разные виды чтения (сплошное и выборочное, ознакомительное и изучающее); – правила библиографического описания печатных и электронных документов; – разные виды библиографических ссылок и правила их оформления; – требования к списку использованной литературы; – необходимость непрерывного образования, совершенствования профессионализма информационной компетентности, а также личной информационной культуры. и В результате изучения курса «Основы информационной культуры» обучающийся должен уметь: – вести поиск информации в различных ресурсах; – составлять список опубликованных по теме документов; искать о них информацию в электронном и карточном каталогах библиотеки; – изучать тексты научных книг и статей, находить в них главные идеи, аргументы, факты, выводы; читать тексты изучающим чтением с выписками, тезисами, конспектами; – составлять аналитический обзор литературы по теме со своими выводами; – грамотно заимствовать у других авторов цитаты, идеи, таблицы, схемы, иллюстрации; оформлять на все заимствования библиографические ссылки; выбирать и использовать разные виды ссылок; – правильно оформлять список использованной литературы; – соблюдать правовые и этические нормы при использовании найденной и сгенерированной информации для достижения желаемых результатов. В результате изучения курса «Основы информационной культуры» обучающийся должен владеть: – информационной культурой, навыками самостоятельного и грамотного поиска информации в различных источниках; – культурой чтения изучаемых научных текстов, гипертекстов, навыками их аналитико-синтетической переработки: составления библиографических описаний, аннотаций, рефератов, обзоров научной литературы; – культурой мышления и навыками анализа, осмысления, систематизации, интерпретации, обобщения изученных фактов; – культурой оформления учебно-исследовательских и научно-исследовательских работ на основе соблюдения общих требований стандартов организаций, государственных стандартов и норм авторского права. �Содержание Успешное формирование перечисленных знаний, умений и навыков происходит, в том числе, и в рамках выполнения лабораторных работ, примерное содержание которых предлагается в Приложении. Выполнение цикла лабораторных работ предполагает приобретение навыков составления поисковых запросов, проведения самостоятельного поиска по различным информационным ресурсам и др. �Содержание Библиографический список 1. Аверченков, В.И. Основы научного творчества [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.И. Аверченков, Ю.А. Малахов. – Москва : Флинта, 2011 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 2. Биктимиров, М.Р. Перспективные аналитические исследования в глобальных сетях: методология и технология [Текст] / М.Р. Биктимиров, А.Ю. Щербаков. – Казань : Казанский ун-т, 2012. – 334 с. 3. Блюменау, Д.И. Информационный анализ/синтез для формирования вторичного потока документов [Текст] : учеб.-практ. пособие / Д.И. Блюменау. – Санкт-Петербург, 2002. – 226 с. 4. Блюмин, А.М. Мировые информационные ресурсы [Текст] : учеб. пособие / А.М. Блюмин, Н.А. Феоктистов. – Москва : Дашков и К°, 2012. – 212 с. 5. Блюмин, А.М. Мировые информационные ресурсы [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.М. Блюмин, Н.А. Феоктистов. – Москва : Дашков и К°, 2010. // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 6. Бурлачков, В.К. Энергия. Время. Информация: эволюция научных представлений [Текст] / В.К. Бурлачков. – Москва : ЛИБРОКОМ, 2012. – 132 с. 7. Голубцов, С.Б. Поиск информации: в вопросах и ответах [Текст] : учеб. пособие / С.Б. Голубцов. – Санкт-Петербург : ИВЭСЭП, Знание, 2011. – 122 с. 8. Городнова, А.А. Информационная культура и информационное общество [Текст] : учеб.-метод. пособие / А.А. Городнова. – Нижний Новгород : Изд-во Волго-Вятской академии гос. службы, 2010. – 134 с. 9. Груздева, М.Л. Концепция формирования информационной культуры студентов вуза [Текст] : монография / М.Л. Груздева.– Нижний Новгород : ВГИПУ, 2011. – 242 с. 10. Костров, А.В. Основы информационного менеджмента [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.В. Костров. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Финансы и статистика, 2009 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 11. Лукашевич, Н.В. Тезаурусы в задачах информационного поиска [Электронный ресурс] / Н.В. Лукашевич. – Москва : Изд-во Московского университета, 2011 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 12. Монахова, Г.А. Инструментальная модель формирования информационной культуры: элективный курс "Современные педагогические технологии" [Текст] / Г.А. Монахова, Д.Н. Монахов, Н.В. Монахов ; МГУ им. М.В. Ломоносова. – Москва : МАКС Пресс, 2010. – 98 с. 13. Рощин, С.М. Как быстро найти нужную информацию в Интернете [Электронный ресурс] / С.М. Рощин. – Москва : Изд-во: ДМК Пресс, 2010 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 14. Сапаров, В.Е. Дипломный проект от А до Я [Электронный ресурс] / В.Е. Сапаров. – Москва : СОЛОН-ПРЕСС, 2009 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 15. Скворцов, Л.В. Информационная культура и цельное знание [Текст] / Л.В. Скворцов. – Москва : МБА, 2011. – 102 с. �Содержание 16. Соловьев, В.П. Безопасность коммуникационных сетей [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.П. Соловьев, Н.Н. Пуцко, А.Е. Шубарев. – Москва : Миит, 2007// ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 17. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования. Уровень высшего образования: бакалавриат. Направление подготовки: 44.03.01 Педагогическое образование. Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 04.12.2015 г., № 1426 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: www.fgosvo.ru (Дата обращения: 17.01.2016). 18. Хохлова, Н.М Информационные технологии. Телекоммуникации [Электронный ресурс] : конспект лекций / Н.М. Хохлова. – Москва : Приор-издат, 2010 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 19. Чеверева, С. А. Формирование информационной культуры экономиста-менеджера АПК [Текст] : монография / С.А. Чеверева. – Самара : Изд-во Самарского гос. экономического ун-та, 2010. – 202 с. 20. Шарков, Ф.И. Интерактивные электронные коммуникации (возникновение "Четвертой волны") [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Ф.И. Шарков. – Москва : Дашков и К°, 2009// ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 21. Шкляр, М.Ф. Основы научных исследований [Электронный ресурс] : учеб. пособие для бакалавров / М.Ф. Шкляр. – Москва : Дашков и К°, 2012 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Бронникова, Лариса Михайловна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Основы информационной культуры Subject The topic of the resource 1. Библиотечное дело. 2. Общие вопросы библиотечного дела. 3. информационная культура. 4. информационные ресурсы. 5. информационные услуги. 6. Интернет. 7. студенческие исследования. 8. учебно-исследовательские работы. 9. студенческие работы. 10. аналитико-синтетическая переработка информации (АСПИ). 11. библиотеки Description An account of the resource Основы информационной культуры [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. М. Бронникова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 7.28 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 69 с. В учебном пособии рассматриваются основные разделы дисциплины «Основы информационной культуры»: информация в современном мире, информационная культура, информационные ресурсы и услуги, виды и типы библиотек, возможности глобальной сети Интернет, аналитико-синтетическая переработка информации, описание студенческих учебно-исследовательских работ. По каждому разделу предложены теоретические сведения и задания для самоконтроля обучающихся. Учебное пособие предназначено для студентов вузов, может оказаться полезным преподавателям и обучающимся других образовательных организаций. Creator An entity primarily responsible for making the resource Бронникова, Лариса Михайловна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 28.03.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova2.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova2.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova2.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova2.exe</a> аналитико-синтетическая переработка информации (АСПИ) библиотеки Библиотечное дело Интернет информационная культура информационные ресурсы информационные услуги Общие вопросы библиотечного дела студенческие исследования студенческие работы учебно-исследовательские работы