6 5 190 http://books.altspu.ru/files/original/36/30/_[650].png 38dcfe45f8e480527a90fff792786e6a http://books.altspu.ru/files/original/36/30/_.1.pdf 58a0c03d5985ae1e5525b06de3e4da18 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» А.А. Коваленко Аналитическая геометрия Задачник Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2015 Об издании - 1, 2, 3. �Содержание УДК 514.74(075) ББК 22.151.54я73 К56 Коваленко, А.А. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : задачник / А.А. Коваленко. – Барнаул : АлтГПУ, 2015. Рецензент: Мальцев Ю.Н., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГПУ) Задачник содержит набор типовых задач по 5 ключевым темам аналитической геометрии (с элементами линейной алгебры): определители и системы линейных уравнений; векторная алгебра; прямые на плоскости; плоскости и прямые в пространстве; кривые второго порядка. Задачник представлен в 28 вариантах, может быть использован в качестве сборника индивидуальных заданий при организации самостоятельной работы студентов. Кроме того, он содержит общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий, а также образцы решения некоторых задач. Отбор содержания был продиктован целевой аудиторией (будущие преподаватели физики) и личным опытом автора в преподавании этой учебной дисциплины. Соответствует учебной программе курса «Аналитическая геометрия» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» по профилю «Физика и информатика». Кроме того, материалы задачника могут полностью или частично использоваться в педагогических и технических вузах при изучении соответствующих разделов высшей математики. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 22.10.2015 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 3 786 КБ. Размещено на сайте: 26.11.2015 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 еmail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий Тема 1. Определители и системы линейных уравнений Примеры решения задач Индивидуальное задание №1 Тема 2. Векторная алгебра Примеры решения задач Индивидуальное задание №2 Тема 3. Прямые на плоскости Примеры решения задач Индивидуальное задание №3 Тема 4. Плоскости и прямые в пространстве Примеры решения задач Индивидуальное задание №4 Тема 5. Кривые второго порядка Примеры решения задач Индивидуальное задание №5 Библиографический список �Содержание Общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий Перед выполнением индивидуального задания рекомендуется внимательно проработать соответствующий теоретический материал по учебнику либо учебному пособию. Для преодоления затруднений полезно обратиться к материалам практических занятий, примерам, рассмотренным в данном издании, а также к источникам, содержащим образцы решения типовых задач (некоторые из них перечислены в библиографическом списке). Наконец, при необходимости можно получить консультацию преподавателя. Для индивидуальных заданий необходимо иметь отдельную тонкую (не более 18 листов) тетрадь «в клеточку» для удобства выполнения рисунков. Каждое из заданий выполняется студентом в строгом соответствии с номером варианта, который указывается преподавателем. При несовпадении номера варианта сданной на проверку работы с номером, указанным преподавателем, выполненная работа не засчитывается! Перед текстом работы обязательно указывается заголовок (например, «Индивидуальное задание №3») и номер варианта. Каждая из решённых задач также должна снабжаться номером, указанным в тексте данного издания. Решение задач должно сопровождаться краткими пояснениями. Рисунки выполняются аккуратно и с обязательным соблюдением масштаба. Ответы выделяются в тексте с помощью рамок, подчёркивания, либо оформляются для каждой задачи отдельно под заголовком «Ответ». Сдача индивидуальных заданий на проверку осуществляется в сроки, указанные в технологической карте дисциплины. Информация об этих сроках доводится до студентов в начале семестра преподавателем. При этом возможно досрочное выполнение работы. Нарушение сроков сдачи индивидуальных заданий (опоздание) ведёт к тому, что выполненная работа засчитывается с понижающим коэффициентом. Индивидуальное задание считается выполненным только при условии правильного решения всех задач. Ошибки и недочёты, указанные преподавателем, должны быть исправлены в той же тетради после текста проверенной работы. Новые решения обязательно должны иметь заголовок «Работа над ошибками». Помните, что внесение исправлений в уже проверенную работу не допускается! Вариант следующего индивидуального задания может быть получен студентом только при условии полной правильности выполнения предыдущего. Его номер сообщается студенту преподавателем и, как правило, не совпадает с номером варианта предыдущего задания. �Содержание Библиографический список 1. Ильин В. А., Аналитическая геометрия : учебник для студентов физических специальностей и специальности «Прикладная математика» / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк ; МГУ им. М. В. Ломоносова. – Изд. 7-е, стер. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 223 с. 2. Привалов, И. И. Аналитическая геометрия : учебник для студентов техн. вузов /И. И. Привалов. – 32-е изд. – Санкт-Петербург : Лань, 2003. – 299 с. 3. Коваленко, А. А. Основы линейной алгебры : учебное пособие / А. А. Коваленко. –Барнаул : Изд-во БГПУ, 2010. – 118 с. 4. Данко, П. А. Высшая математика в упражнениях и задачах: с решениями : учебное пособие для студентов вузов / П. А. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – 6-е изд. – Москва : ОНИКС : Мир и образование, 2007. – Ч. 1. – 304 с. 5. Практическое руководство к решению задач по высшей математике: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и ее приложения : учебное пособие для студентов вузов /И. А. Соловьев [и др.]. – Изд. 2-е, испр. – Санкт-Петербург : Лань, 2009. – 319 с. 6. Гусак, А. А. Справочное пособие по решению задач: Аналитическая геометрия и линейная алгебра : учебное пособие / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 1998. – 288 с. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Коваленко, Андрей Андреевич Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Аналитическая геометрия Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. линейные уравнения. 5. системы линейных уравнений. 6. векторная алгебра. 7. прямые (математика). 8. плоскость (математика). 9. кривые второго порядка. 10. решение задач. Description An account of the resource Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : задачник / А. А. Коваленко ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 3.48 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2015. — 89 с. Задачник содержит набор типовых задач по 5 ключевым темам аналитической геометрии (с элементами линейной алгебры): определители и системы линейных уравнений; векторная алгебра; прямые на плоскости; плоскости и прямые в пространстве; кривые второго порядка. Задачник представлен в 28 вариантах, может быть использован в качестве сборника индивидуальных заданий при организации самостоятельной работы студентов. Кроме того, он содержит общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий, а также образцы решения некоторых задач. Отбор содержания был продиктован целевой аудиторией (будущие преподаватели физики) и личным опытом автора в преподавании этой учебной дисциплины. Соответствует учебной программе курса «Аналитическая геометрия» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» по профилю «Физика и информатика». Кроме того, материалы задачника могут полностью или частично использоваться в педагогических и технических вузах при изучении соответствующих разделов высшей математики. Creator An entity primarily responsible for making the resource Коваленко, Андрей Андреевич Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 26.11.2015 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Задачник Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/kovalenko.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/kovalenko.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/kovalenko.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/kovalenko.exe</a> аналитическая геометрия векторная алгебра Геометрия кривые второго порядка линейные уравнения Математика плоскость (математика) прямые (математика) решение задач системы линейных уравнений http://books.altspu.ru/files/original/72/100/_.png a3651b119d3dad6546b5ffc4c770e657 http://books.altspu.ru/files/original/72/100/_7.11.pdf 5fc32747dab5d5d96917fd244cf7ff6f PDF Text Text �ü ºþº ü ü ü ü ÿ þ ¾¹ ¸ ý ¾¼½ ü þ �ýý ½ º½ ´¼ µ ¾¾º½ ½º¿¾ ¿ ½ ¸ º þº ü » º þº º ¾¹ ü ÿ ¸ ¾¼½ º ÁË Æ ¹ ¹ ¾½¼¹ ¾¹¾ º º ¸ ¹ ´ü µ º º ¸ ¹ ´ü º ¸ ¸ ü ¸ º ¹ º¸ ¹ º ý ¸ ¸ µ ¸ º º ü ÿ ¹ ¹ ¾ º¼ º¾¼½ º Текстовое (символьное) электронное издание. ½º ¾º ¿º º È ÒØ ÙÑ ½¿¿ Å ÖÓ×Ó Ø Ï Ò ÓÛ× Ï Ò ÓÛ× º ¹ ½ ýº ü ¸ ¾¼½ �Объём издания – 2 400 КБ. Дата подписания к использованию: 13.12.2017 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru �ÿ ½ ï ½º ½º½ º ¸ º ¸ A ¸ B ¸ ¹ ¹ A ¸ B º ¸ BA ¹ AAº AB º ¹ ¸ AB AB º ¹ A AB º AB º AB Bº ¹ ¹ ¹ AB º �´ ´ ½º¾ º AB µ µ CD AB º º½ AB CD ¸ M N AB ¸ GH ¸ ¹ KL º ¹ º½ ½º¿ º ¸ ¸ ¹ º º AB ∼ CD ºµ ¹ ¸ ¹ CD º ¹ ½º½ º ´ ¸ CD ¸ BC º AD º º AB CD ABDC AB CD AB AB ∼ CDº ¸ ¸ º ¹ ¹ ¹ AD BC º AB µ ¸ CD AB CD ¹ ´ º º¾ µ �µ B=C AB µ´ º¾ µ µ º ¾ µº AB CD ´ º CD ¸ º º AD BC º AB CD ABDC º AB ¸ ¸ µ µ¸ AB ¸ CD AD = BC ¸ º AB ¸ AB ∼ CDº º º ¸ ¹ CD ¸ AB CD ¹ µ¸ ºþ µ AB = AO − BO¸ AO = OD BO = OC ¸ ¸ µ ¸ CD ¹ ¸ AB ∼ CDº AD > BC º CD = DO − CO ¸ AB = CD º ü AB = CD º µ¸ ¸ �½º¾ º µ ½º AB ∼ AB ´ ¾º AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB ´ ¿º AB ∼ CD¸ CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF ´ ï ¾º µº º þ º þ µ −− → AB AB º ¾º½ º ¹ º ¹ º a¸ m¸ e1 ººº a¸ m¸ e1 ¸ −→ a = OA OAº þ ¸ ¸ º¿ ¹ AB ¸ ººº¸ ¹ ¹ a ¹ a ¹ a º ¾º¿ º þ º ¸ Oº ¾º¾ º þ ¸ ¸ º ¸ ¹ a, b, p a b ¹ º ¸ c r �º a b a bº ¸ º ¹ ¹ º¿ ¾º º þ ¸ a ¹ ¹ b ¸ º º a ↑↑ b b a ↑↓ b − −→ a = AB ¸ a a ↑↓ aº a − −→ BA ¾º º ¸ −aº ¸ a aº −a | = | a |. ¾º º þ ¸ º º ¸ º ¾º º þ ¹ ¹ ¸ ºa=b a a = b ⇐⇒ | a | = | b |, a ↑↑ b. º ¸ a bº ¸ ¸ bº ´½º¾º ½µ ¹ �º ¸ ¸ ¹ º ï ¿º ¿º½ º ¸ a ¹ ¹ b a+b A − −→ AB = a¸ −−→ BC = bº −→ AC = a + b B ´ º µº ¸ ¸ A B ¿º½ º º A C ´½º¿º ½µ − − → −−→ −→ AB + BC = AC º º º ¹ ¹ ¹ − − → −−→ −→ AB = a¸ BC = b AC = a + bº A1 −−−→ −−−→ −−−→ ¸ ¸ A1 C1 A1 B1 = a¸ B1 C1 = bº AC A1 C1 º ABB1 A1 ´ º º µº þ AB A1 B 1 ¸ aº ¸ ABB1 A1 AA1 BB1 º �º ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ AA1 ºü ¸ BB 1 BB 1 b A C CC 1 B1 º b AA1 ∼ CC 1 º ¸ ¹ A1 C1 ACC1 A1 º ¹ ¸ AC AC ∼ A1 C 1 º º ¸ ¸ a¸ b º c ¹ (a + b) + c = a + (b + c)º a + b = b + aº a + 0 = a¸ 0 + a = a º a + (−a) = 0º − − → −−→ −−→ AB = a¸ BC = b CD = cº −→ −−→ a + b = AC ¸ b + c = BDº −→ −−→ −−→ (a + b) + c = AC + CD = AD ¸ −− → −−→ −−→ a + (b + c) = AB + BD = AD ¸ (a + b) + c = a + (b + c)º −→ − −→ −−→ a + b = AC º AB = a¸ BC = bº º 1◦ º ¸ A1 C1 º ¿º¾ º 1◦ º 2◦ º 3◦ º 4◦ º b B 2◦ º �−−→ b = AD A ´ º µº þ ABCD BC ¸ ¹ ¹ AD ¹ ¹ b¸ ¸ ABCD −− → −−→ AB = DC = aº −→ ¸ b+a AC ¸ a+ b a b¸ a + b = b + aº −− → 3◦ º AB = aº −− → −−→ −− → a + 0 = AB + BB = AB = aº − −→ −− → 4◦ º AB = aº BA = −aº −− → −− → −→ a + (−a) = AB + BA = AA = 0º º −→ −−→ ´½º¿º ½µ − AD + DC = b a¸ −→ ¸ AC º ´½º¿º ½µ ¹ 2◦ a ¸ ¹ b −− → −−→ A AB = a AD = b ABCD −→ º µ AC = a + b ´ ¸ º 3µº ¹ a1 ¸ a2 ¸º º º ¸ an ´n > ¸ a1 ·a2 ·º º º · an ¸ ¸ n º º ½¼ ¹ ¹ = 5º �¹ º ï º þ x¸ º½ º a aº b+x a º bº º½ º ¹ º ´ º a º µº b −→ −−→ O OA = a¸ OB = b ¹ − −→ BAº −−→ −− → ´½º¿º ½µ OB + BA = −− → −→ ¹ b + BA = aº OA¸ −− → ¸ BA a−b ¹ a bº º a bº b + x 1 = aº ´−bµº (−b) + (b + x) = (−b) + a¸ (−b) + (b + x1 ) = (−b) + aº 1◦ ¸ 4◦ 3◦ ¿º¾ µ ¹ b º º º½ x x1 b+x = a ´ (−b) + (b + x) = ((−b) + b) + x = 0 + x = x¸ (−b) + (b + x1 ) = ((−b) + b) + x1 = 0 + x1 = x1 ¸ x = (−b) + a x1 = (−b) + aº ¸ x = x1 º ½½ �º a − b = a + (−b) ´½º º ½µ −− → −−→ −→ (∀A, B, O) AB = OB − OAº ´½º º ¾µ ï º º½ º ½µ | α a | = |α|| a |¸ ¾µ α a ↑↑ a¸ α a ´a = 0µ b α¸ º α = − º½ ¸ ¸ º º |b| ¸ |a| þ º½ þ bº þ a α b ↑↓ aº |b| · |a| = |b|º |a| α¸ a b α = 0º b ¸ b = 0º ºµ þ ¹ ¸ b = α aº º º ¸ b = 0 · aº |b| = + ¸ |a| b 0·a b ↑↑ a |α a| = + αa b ↑↓ a ½¾ ¹ b ¸ b ↑↑ a α a¸ α < 0º º½ º ´ b = α aº º α a ↑↓ a¸ 0 ¹ a ¸ α αa |b| ·a |a| a¸ |b| − ·a |a| ¸ ¹ ¹ �bº αa ¸ b b¸ º¾ º ´ 1◦ º 2◦ º 3◦ º 4◦ º a¸ b 1 · a = a¸ −1 · a = −aº α(βa) = (αβ)aº (α + β)a = αa + βaº α(a + b) = αa + αbº 2◦ º º ¸ ¸ º º b = α aº ºµ α¸ β p = α(βa)¸ q = (αβ)a º |p| = |α||(βa)| |α| |(|β| |a|)| |q| = |(α β)| |a| (|α| |β|) |a| a¸ º ¸ ¸ 1◦ º ¸ µ α > 0¸ β > 0 µ α > 0¸ β < 0 µ α < 0¸ β > 0 µ α < 0¸ β < 0 þ µ a βa ¸ º º½ ü a aº α β > 0¸ ¹ |α| |β| |a|º |α| |β| |a|º p q ºþ p º β > 0¸ βa, α(βa)º ü ½¿ ¸ α > 0¸ º½ q ¹ ¹ α(βa) ¹ α > 0 β > 0¸ º½ (αβ)a �aº p q þ º º p α(βa) α > 0 β < 0¸ (αβ)a α β < 0¸ ¸ a ¸ ü ¸ º ¸ º º ¸ 4◦ ¸ ¸ b p aº ¹ ¸ ¹ q µ ¸ p µ q ¹ º p µ º½ q aº q ¸ º a p º 2◦ 3◦ p βa ¸ α(βa)º βa q ¹ ¸ β < 0¸ a α > 0¸ º½ ¸ a µ ¸ º a q º b µ ºþ ¹ º a b º α(a + b) = p¸ µþ αa + αb = qº º½ λ¸ b = λaº p = α(a + b) α(a + λa) α([1 + λ]a) (α[1 + λ])a¸ q = αa + αb αa + α(λa) αa + (αλ)a (α + αλ)a (α[1 + λ])aº ¸ p = qº µ þ −−→ a −−b→ º −→ O OA = a¸ AB = b¸ OB = a + bº −−→ −−→ −−→ a OA ¸ OA = αa OB = α(a + b)º −→ ´a + b µ − ¸ A ∈ OA¸ B ∈ OB º OB ½ �½µ α > 0¸ O ¾µ α < 0¸ O ¸ ¸ ´ ´ A¸ B A º µ º A µº A¸ B B B OAB OA B ∠AOB = ∠A OB OB OA = = |α|º OA OB B AA ¸ α < 0¸ AA ¸ ´½º¿º ½µ ¸ AB = |α|º AB ¹ −− → −−→ ¸ AB A B º −−→ −−→ −− → A B = +|α|AB = αAB º ¹ |α| α > 0¸ B B B − − → −−→ AB A B −− → −−→ º A B = −|α|AB = αAB º −−→ −− → A B = αAB º −−→ −−→ −−→ OB = OA + A B º a b¸ α(a + b) = αa + αb¸ º ¸ ¹ ¸ −−→ º ½ ¹ º �ï º º½ º α¸ a b = αaº º º ◦. ¹ a ¹ º ºµ α¸ β ´β = 0µ ¸ ¿◦. µ ¸ α º½ º ´ 0µ ¾◦. a º½ ´ ¸ ½◦. º b b a¸ b c ´c = a b a+b + = º c c c a αa α = º c c βa a = º βc c a 1 a = º β c βc º ½◦. a b = k¸ = m¸ c c b a + = k + mº c c º½ a = kc a + b = kc + mc = (k + m)c ¸ ¸ b = mcº a b a+b =k+m= + º c c c a a αa = k¸ = m¸ ¾◦ . α = αk º c c c ½ �º½ α a = kc ¸ αa = α(kc) = (αk)c ¸ ¸ αa = mcº αa = αk = c a º c βa = m¸ βc ¿◦ . βa = m(βc)º βa = β(mc)º β¸ βa a ¸ c = m = βc º a a 1 a ◦. = k¸ = m¸ c βc β c m(βc)º a = mc = º½ kc = m(βc)º ¸ β1 º½ a c = k º β a = kc ¸ c = 0¸ k = m β k = mβ ¹ ¸ ¹ a = ¸ ¹ a º βc ï º a1 ¸ a2 ¸ ººº n α1 ¸ α2 ¸ ººº ¸ αn º þ α2 a2 +...+αn an a1 ¸ a2 ¸ ººº ¸ an º ÿ ¸ a1 ¸ a2 ¸ ººº ¸ an º º½ º ¸ an b = α1 a1 + b a1 ¸ a2 ¸ ººº ¸ an ¹ ¸ α1 ¸ α2 ¸ ººº ¸ αn ¸ ¸ ¸ α1 a1 + α2 a2 + ... + αn an = 0º ¹ α1 = α2 = ... = αn = 0¸ º ½ �½º º½ º ¸ º º º ºý ¸ º ¸ º½ µ º β = 0º b||aº a 1 · a + 0 · b = 0¸ ¹ b = λaº ¹ º½ µ¸ a b||aº ¸ a = 0º b a b αa + β b = 0¸ α β ¹ b = − αβ a a ´ º b λa − b = 0¸ ´ º b ¾º ¸ º º¾ º þ ¸ O ¸ A¸ B a¸ b c −→ −−→ O a = OA¸ b = OB C º¾ º þ ¸ a¸ b ½ c º ¹ ¸ ¹ a¸ b −−→ c = OC ¸ º c ¹ �º º c c º ¸ ¸ º º º½ c = − αγ a − c ½¼µ¸ OA CB ´ O¸ A ¸ B ¸ C −−→ π º α OA ||a¸ ¸ − γ a¸ A ü ¸ ¸ B a¸ b c ½µ ¾µ b β γ ¸ b ¹ −−→ OA = ¸ ¹ OA º −−→ OB = − βγ b º ½¼ OB O ¸ A¸ B ¸ C º º a¸ b º º½ ¸ ¸ ½ π¸ º a¸ b = λaº b¸ ¹ º c º ¸ a p = λa − b + 0 · cº º a¸ a + 0 · b + 0 · c = 0º c º γ = 0º ¹ µº ¸ a¸ b ¹ c −→ −−→ a = OA¸ b = OB ¸ −−→ −−→ − αγ a = OA ¸ − βγ b = OB ´ º º −−→ −−→ −−→ ¸ OC = c = OA + OB ¸ O −−→ c = OC ¸ a¸ b αa + β b + γc = 0¸ α¸ β ¸ γ ¸ þ a¸ b a¸ b ¹ º ¸ ¹ b = λa¸ p = 0º �¸ b ¿µ λa − b + 0 · c = 0¸ ¹½º º½ º a¸ b c a¸ b c −→ −−→ −−→ a = OA¸ b = OB ¸ c = OC º ¸ O ¸ A¸ B ¸ C πº þ π OA OB º þ ¸ ¸ a B ∈ OB ¸ ½¸ c ¸ ¸ α a¸ b β¸ ¸ ¸ ¹ −−→ −−→ OC = OA + OB ´∗µº −−→ −−→ OA ||a OB ||bº −−→ −−→ OA = αa OB = β bº c = αa + β b¸ αa + β b − c = 0º a¸ b º b OA OACB º −−→ A ∈ OA ¹ ¸ ¹ OB ¸ C Bºþ A º O ¸ c c = αa + β b º½ º a¸ b c ¹ ´∗µ ¹ ¸ ¹ ´ º ´∗µµº ¿º º¿ º þ º ¹ º ½µ a ¸ b¸ c ¸ º a+0· b+0·c+0· d = 0º º½ ¾¼ º d a¸ º ¹ ¸ �a ¸ b¸ c ¾µ º d ¸ ¸ a¸ b c¸ a b¸ c = αa + β bº p = αa + β b − c + 0 · dº c c = αa + β b¸ αa + β b − c + 0 · d¸ d º½ ¿µ º ´ º d C πº D Mº º¾ a ¸ b¸ c c a ¸ b¸ c d ½º ¹ ¹ a ¸ b¸ ¸ π¸ º ¸ O −→ −−→ −−→ −−→ a = OA¸ b = OB ¸ c = OC ¸ d = OD º O¸ A B º º ½½µ ¸ π c p = 0º ¸ º ¹ D OC º ¹ C a¸ b −−→ OM ¹ ¸ ´ ¹ º ½½ º ½½µº ¹ −−→ OM a −−→ OM D ¹ OM = αa + β bº −−→ −−→ −−→ MD OD = OM + M D º −−→ OC ¸ ¸ ¸ MD c −−→ ¸ M D = γc ´ º½ µº −−→ −−→ −−→ d = OD = OM + M D = γc + (αa + β b) = αa + β b + γc¸ αa + β b + γc − d = 0º ½¸ d b¸ ¾½ �a ¸ b¸ c γ¸ º½ d º º a¸ b ¸ c α¸ β m m = αa + β b + γcº ¸ ï º µ µ º½ º ý ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ße1 , e2 ¸ ¸ ¸ ße ï ¸ e e1 ¸ e2 ße1 , e2 , e3 e1 ¸ e2 ¸ e3 º º¾ º ¹ ße1 , e2 , e3 º ¹ a a1 ¸ a2 ¸ a3 e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ º º a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 º º a(a1 , a2 , a3 ) (a1 ¸ a2 ¸ a3 ) º½ º a a a = (a1 , a2 , a3 ße1 , e2 , e3 º a º º ¾¾ ¹ ¹ �¸ º º ße1 , e2 , e3 º (a1 , a2 , a3 ) (a1 , a2 , a3 ) a a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3 ¸ ¿º¾ a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3 º º¾ ¸ ¹ ¹ (a1 − a1 )e1 + (a2 − a2 )e2 + (a3 − a3 )e3 = 0º e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ º½ a2 − a2 = 0¸ a3 − a3 = 0 º¾ º ´ º ¹ ¸ º º a1 − a1 = 0¸ ¸ a1 = a1 ¸ a2 = a2¸ a3 = a3º ¸ ºµ 1◦ º 2◦ º º º 3◦ º ¹ º º º º a(a1 , a2 , a3 ) b(b1 , b2 , b3 ) ´ ¹ µ a±b a= a±b = b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 º a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 )± (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) = (a1 e1 ± b1 e1 )+ (a2 e2 ± b2 e2 ) + (a3 e3 ± b3 e3 ) = (a1 ± b1 )e1 + (a2 ± b2 )e2 + (a3 ± b3 )e3 ¸ ¸ a ± b = (a1 ± b1, a2 ± b2, a3 ± b3 )º 1◦ ◦ 2 º λ aº λa = λ(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) = λ(a1 e1 ) + λ(a2 e2 ) + λ(a3 e3 ) = λa = (λa1 , λa2 , λa3 )º (λa1 )e1 +(λa2 )e2 +(λa3 )e3 º ¾¿ �º 3◦ º º b(b1 , b2 , b3 )¸ a(a1 , a2 , a3 ) º¿ º ´ ºµ ¸ º b = λaº b = (λa1 , λa2 , λa3 )º ¸ ab ¸ λ¸ º º b1 a1 b 2 2 ´ º½ µ º º½ þ ¹ a = 0º ¹ ¹ 3◦ b1 = λa1 ¸ ¸ b3 a3 ¹ a º b1 = λa1 ¸ b2 = λa2 ¸ b3 = λa3 º½ ¸ b(b1 , b2 , b3 ) b2 = λa2 ¸ b3 = λa3 º a ¸ º b b a(a1 , a2 , a3 ) ße1 , e2 , e3 ¸ ¸ º º ab = ab λº ¸ ¸ b = λaº b||aº 1 1 ¾ 2 2 ¹ = b3 a3 º º ¹ ¹ �b(b1 , b2 , b3 )¸ ße1 , e2 , e3 ¸ º º´ ºµ ¹ a(a1 , a2 , a3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )¸ ¸ a1 a2 a3 Δ = b1 b2 b3 c1 c2 c3 a ¸ b c¸ º º¾ º ¹ º º º¾ c c(αa1 +βb1 , αa2 +βb2 , αa3 +βb3 )º Δ Δ = 0º ¸ º a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 ) c = αa + β bº ¸ Δ = 0º ¸ ¹ ¹ ¸ º º c1 = αa1 + βb1¸ ¸ c = αa + β bº º c2 = αa2 + βb2 ¸ c3 = αa3 + βb3 º º¾ a ¸ b¸ c ¸ ï º a¸ º½ º º e º e ¾ a¸ ß ,e ¸ º ¹ ¹ ¹ �º¾ º ¹ º ¹ π1 π2 ¸ − −→ π ´π ∦ µº a = AB A B π¸ A1 = π1 ∩ ¸ B1 = π2 ∩ ´ º −−−→ A1 B1 º ½¾µº ¹ a −−−→ A1 B1 − → ¸ ,π a a e¸ AB º º¾ ú·û¸ +|A1 B1 |, −|A1 B1 |, º½ º ´ πº ¹ ¹ a πº º ,π a = e a π¸ ,π a µ ¹ ¹ a º ½¾ º πº ¸ ´ ¹ ¹ ú û¸ e¸ º º −−−→ A1 B1 ↑↑ e, −−−→ A1 B1 ↑↓ e. −− → a = AB µº π ¾ ´½º º ½µ ¹ �º AB ½ AB º a||π AB ´ º ½¿µº þ π¸ π1 = π1 ¸ ¾ A º ½¿ π2 ¸ ¿ ¸ a|| ´ ¸ AB πº a º −−º−a→= A1 B1 ¹ −−→ −− → AB a = A B º ¹ −−−→ a A1 B1 −−−→ −−−→ ¸ A1 B1 = A1 B1º π1 π1 ¸ A1 B1 ¸ A1 B1 ¸ A−−1−B→1 = A−−1−B→1 = 0º π2 = π2 ´ º ½ µº π1 B B A1 A1 ¸ B1 −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 B1 º º½ B1 º ½ µº þ º½ AB º AB ¾ ¸ ¹ ¹ A ¸ �AB ¸ π1 ¸ ¸ π2 AB º ´ A1 B 1 µ´ AA1 a − −→ −−→ A1 C = AB ¸ π2 ¸ π2 CC || CB1 ||C B1 , −−−→ −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 C + C B1 º ´½º¿º ½µ ¸ ¾ C º CB1 ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ C B1 º −−→ −−−→ ¸ A1 C = C B1 º −−→ −−→ −−−→ A1 B1 = A1 C + CB1 ¸ þ ¹ ¸ −−→ −−→ A1 C = A1 C ¸ CC B1 B1 ¸ ¸ π2 º A1 CC A1 CC ¹ ¹ −−−→ −−→ A1 B 1 = A1 B 1 º A1 B 1 ¸ º ½ µº = aº º½ C ºü A1 B 1 −−→ −−→ A1 A1 C = a¸ A1 C ABCA1 BC º π2 º ü A1 BB1 º AA1 ABB1 A1 A1 B 1 AB ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 B1 º ¹ �−−−→ −−−→ A1 B1 A1 B1 −−−→ −−−→ A1 B1 A1 B1 = º e e aº ¸ ¸ a¸ ´ º ¹ ¸ µ º ¹ º º¾ º ´ ºµ 1◦ º 2◦ º ¹ º ¹ º º 1◦ º ´µ¸ −−→ b = BC º a −→ AC = a + b b B1 C1 = b·e ´∗µ¸ 2◦ ´ º ´½º º −−−→ A1 C1 = a·e+ b · e¸ (a + b) = a+ º ½ µº ´ º bº ¹ − −→ a = AB ¸ º½ µº a¸ ´a + bµ ¹ −−−→ → a¸ π A1 B1 = − −−−→ − −−−→ → b¸ A1 C1 = B1 C1 = − → (a + b)º = º½ ´−∗−µº−→þ A bº −−−→ −−−→ −−−→ A1 C1 = A1 B1 + B1 C1 −−−→ ½µ¸ a · e¸ A1 B1 = (a + b) · eº ¹ (a + b) · e = −− → a = AB º ¾ λa �→ − A λa = A º − − − → − → a = A B 1 1 −−→ A1 C ¸ π2 ´ º ¸ C a B º¾ ¸ ´½º¿º ½µ −−−→ −−→ −−→ ¹ A1 C = A1 B1 + B1 C º −− → −−→ λa = λAB = λA1 C = −−−→ p1 p λA1 B1 + A −−→ ¹ λB 1 C º − → (λa) = 1◦ − − → −−−→ → (λA − → (λA C) = − l 1 1 B1 + −−−→ −−→ A1 e − → (λA1 B1 ) + λB1 C) = − − → − → (λB C)º ¹ 1 A1 B1 ¹ −−−→ − → (λA ¸ 1 B1 ) = −−−→ ¸ B1 C λA1 B1 º ü −−→ − → π2 ¸ ¸ (λB1 C) = 0º −−−→ − → aº þ ´½º º½µ¸ λA1 B1 = λ a) · e ¸ ¸ (λa) = λ aº e = (λ A1 a = B1 ¸ µº p2’ p2 B C’ C .B . B’ B 1’ 1 º½ ¸ − → (λa) = (λa) · ï ½¼º ½¼º½ º π ¹ ¸ º π ½¼º¾ º AOB ¸ −→ −−→ OA = a¸ OB = bº a O º ´a, bµ a ¿¼ bº b ¹ �½¼º½ º ¸ ¸ º º ´½º½¼º ½µ a = |a| cos(e, a)º −− → a = AB º π1 a π2 ¸ A a º ½µ a ´ º ½ µº þ AB π1 −−→ A1 B 1 π2 ABB1 A1 A1 B1 ¸ AA1 ¹ ¸ Bº ¸ BB1 º ¹ ¹ ¸ º −−→ ¸ ´½º º ½µ a = ±|A1 B 1 |¸ −−→ −−→ ¹ ú·û¸ A1 B 1 ↑↑ e ú û¸ A1 B 1 ↑↓ eº −−→ ¸ ´½º½¼º ½µ ±|A1 B 1 |¸ −−→ a = A1 B 1 (e, a) 0◦ ¸ ¹ a ↑↑ e 180◦ ¸ a ↑↓ eº ¸ ´½º½¼º½µ º ¾µ a⊥ ´ º ¾¼µº þ π1 π2 ¹ A1 B1 º º ¸ −− → −−→ AB = A1 B 1 º ¿½ �¸ a a = 0º ¸ ´½º½¼º ½µ a e ¸ ¸ cos(e, a) = 0º ¸ ´½º½¼º ½µ º ¿µ (e, a) = ϕ¸ a ºþ µ ϕ < 90◦ −´−→ º ¾½ µ¸ µ ϕ > 90◦ ´−−→º ¾½ µº ¸ µ A1 B1 ↑↑ e¸ µ a A1 A1 B 1 ↑↓ eº þ −−→ a = A1 C º 90◦ ϕ¸ º ´½º º ½µ ⊥π2 ¸ ⊥B1 C A1 CB1 A1 B1 = A1 C·cos ∠CA1 B1 º þ µ ∠CA1B1 = π − ϕº þ a= −−→ +|A1 B 1 |, −−→ −|A1 B 1 |, = −−→ +|A1 C| · cos ϕ, −−→ −|A1 C| · cos(π − ϕ), = +|a| · cos ϕ, −|a| · (− cos ϕ), µ ∠CA1B1 = −−→ A1 B 1 ↑↑ e, = −−→ A1 B 1 ↑↓ e −−−→ A1 B1 ↑↑ e, = −−→ A1 C ↑↓ e −−−→ A1 B1 ↑↑ e, = |a| · cos ϕ. −−−→ A1 B1 ↑↓ e ¿¾ ¹ �ï ½½º ½½º½ º a ab º b º ¹ ¸ a ¸ b ´½º½½º ½µ ab = |a| |b| cos(a, b)º ½½º½ º ´ 1◦ º 2◦ º 3◦ º 4◦ º 5◦ º 6◦ º ºµ a b ab = 0 ⇔ a⊥bº a 2 = |a|2 ¸ a 2 = aa aº ab = |a| a b¸ ab = |b| b aº ab = baº (αa)b = α(ab) a(αb) = α(ab)º (a + b)c = ac + bcº ¸ º 1◦ º º ½½º½ ab = 0 ⇔ cos(a, b) = 0º cos(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 90◦ ¸ ab = 0 ⇔ a⊥bº ◦ 2 a 2 º a 2 = aa = |a| |a| cos(a, a) = |a| 2 cos 0◦ = |a| 2 3◦ º ´½º½¼º ½µ a b = |b| cos(a, b)º ab = |b| |a| cos(a, b) ¸ ab = |a| = |b| b aº ¿¿ b ´½º½½º ½µ a = |a| cos(b, a) (|b| cos(a, b) = |a| ab �4◦ º ba = |b| |a| ´½º½½º ½µ cos(b, a)º |a| · |b| = |b| · |a|¸ 5◦ 3◦ a b ´ bº (αa)b = |b| º α(a b)º ü α(ab)º 6◦ º (a + b)c = |c| |c| c b = ac + bcº º 5◦ º ab = baº 6◦ ¹ ¹ º¾ µº ¸ a b (α a) ¹ ¹ cos(a, b) = cos(b, a) = |b| (α c (a + b) = |c| ( 1◦ − 3◦ ¸ b a) ca+ 4◦ − = α (|b| c b) ¹ = a(αb) = b a) ca+ = |c| ¹ ¹ 6◦ ï ½¾º ½º ¹ ½¾º½ º ý ¸ º º ßi, j ¸ ßi, j, k ´ ½¾º½ ¿ º ½½º½ µ ¸ ¹ ¹ �1) i j = 0, j k = 0, i k = 0 2) i 2 = 1, j 2 = 1, k 2 = 1º ´½º½¾º ½µ ¾º þ ½¾º½ º a(a1 , a2 , a3 ) a ¸ º º ¹ b ´½º½¾º ¾µ ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º a = a1 i + a2 j + a3 k ¹ b(b1 , b2 , b3 ) ßi, j, k ¸ º b = b1 i + b2 j + b3 k º þ ¸ ´ ¹ ½½º½ µ¸ a b = (a1 i + a2 j + a3 k) (b1 i + b2 j + b3 k) = (a1 b1 ) i 2 + (a1 b2 )(i j) + (a1 b3 )(i k) + (a2 b1 )(j i) + (a2 b2 ) j 2 + (a2 b3 )(j k) + (a3 b1 )(k i) + (a3 b2 )(k j) + (a3 b3 ) k 2 º ´½º½¾º ½µ¸ ¸ a bº ¸ ¸ 1◦ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º ´½º½¾º ¾µ ¹ ¿ �a b ´½º½¾º ¿µ a⊥b ⇔ a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 = 0. ¿º ´½º½¾º ¾µ ¸ b = a¸ ¹ a ¸ a 2 = a21 + a22 + a23, ¸ a ´½º½¾º µ a21 + a22 + a23 º |a| = º ½¼º¾ µ πº ´½º½½º ½µ¸ ´½º½¾º¾µ ´½º½¾º µ¸ ab |a|¸ |b| cos(a, b) = ab ´ ¹ ºþ ¹ ¹ a b ´½º½¾º µ º |a| · |b| þ cos(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 º º α¸ β ¸ γ i¸ j ¸ k a α = (a, i), ´½º½¾º µ β = (a, j), ¿ γ = (a, k). �½¾º¾ º cos α¸ cos β ¸ cos γ a ´a = 0 µ ßi, j, k º ½¾º¾ º a ¹ º º cos α = ai ¸ |a||i| ´½º½¾º µ cos β = aj |a||j| a = a1 i + a2 j + a3 k ¸ a2 j i + a3 k iº þ ai = a1 º ü |a| = a21 + a22 + a23 cos α = cos β = cos γ = ¸ cos γ = ak º |a||k| ´½º½¾º µ ai = (a1 i + a2 j + a3 k)ia1 i 2 + ´½º½¾º½µ¸ ¹ aj = a2 ¸ ak = a3 º ai¸ aj ¸ ak ¸ |i| = |j| = |k| = 1 ´½º½¾º½µ¸ ´½º½¾º µ α¸ β ¸ γ ´½º½¾º µ a1 a21 + a22 + a23 a2 a21 + a22 + a23 a3 a21 + a22 + a23 ¸ ¸ ´½º½¾º µ º ½º ¹ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1º ¿ ´½º½¾º µ �º cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2 a2 a1 + a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 2 = 1. a21 + a22 + a23 ¸ 2 2 a3 + a21 + a22 + a23 ¾º = ¹ ¹ º º a º |a| = a21 + a22 + a23 = 1º ´½º½¾º µ a1 = a21 + a22 + a23 · cos α = cos α¸ a2 = a21 + a22 + a23 · cos β = cos β a3 = a21 + a22 + a23 · cos γ = cos γ º ï ½¿º ½¿º½ º ¸ ¸ ßa, b, c ¸ ¸ ¸ ¸ º º ¸ º º ßa, b, c ¸ ¸b ßa, b, c ¹ ¹ º ¸c º ßa , b , c a a = c11 a+c12 b+c13 c¸ b = c21 a+c22 b+c23 c¸ ¿ �c = c31 a + c32 b + c33 c. ⎛ ⎞ c11 c12 c13 T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ c31 c32 c33 ßa, b, c ßa , b , c º ½¿º¾ º ¸ ¸ |T | = 0º ¸ ¹ ¸ ¸ T ´½º½¿º ½µ |T | ¹ º |T | ¹ ¸ ¹ ¸ T ½¿º½ ¸ ¸ º ´ ¹ ¹ |T | = 0º ½¿º½ º ½µ ¸ ¹ ¾µ ¹ º ´ º º ¿ ºµ ¸ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ º ¹ �º ú ¸ º O û ú û ºþ ´ µ º Oab b ´ ´ ßb, c, a º ßa, b, c c ¸ ¹ ¸ ¸c c º ¾¾ ¹ º ¸ º ßb, c, a º ¹ c a¸ b º ¾¾ ßc, a, b µ µº a ¸b º ´ º ¾¾¸ µ¸ º ¾¾¸ µº ½º a¸ b ¹ a º ¾¾ ´ º ´½º½¿º ½µ T ¼ ¹ ¸ º º ßa, b, c ßa, b, c ¸ ßb, c, a ¸ º ßa, b, c �⎛ |T | = 1¸ ßa, b, c ßb, c, a ⎞ 0 1 0 T = ⎝0 0 1⎠º 1 0 0 ¸ ßc, a, b ßa, b, c º ¾º º ¸ T ½¿º¾ ⎛ O ºü Oab¸ ¸ ßa, b, c º c ºü ¹ ßb, a, c ¸ ßa, c, b ¸ ßc, b, a ßa, b, c º ßa, b, c ¸ ¹ ßa, b, c ßb, a, c ⎞ 0 1 0 T = ⎝1 0 0⎠ 0 0 1 |T | = −1º ßa, b, c ßb, a, c ßa, c, b ¸ ßc, b, a ßa, b, c º ßa, b, c ßa, b, c ¸ º ¿º ¹ ¹ ¹ ¸ º º ßb, a, c º ½¿º¾ c ¸ c = γ1 a + γ2 b + γ3 cº c c ½ ¹ ¹ c Oab¸ º c ¹ ¹ Oab¸ c c º ßa, b, c γ3 > 0¸ �Oab¸ ßa, b, c γ3 < 0º ßa, b, c º ⎛ ⎞ 0 1 0 T = ⎝ 0 0 1 ⎠º γ1 γ2 γ3 þ Oab¸ |T | > 0¸ ½¿º¾ c |T | = γ3 º ¸ ¹ c Oab¸ |T | < 0º ßa, b, c ¸ º T c c ßa, b, c ¹ ¹ º ¹ ¸ ¸ º º ¹ ßλa, b, c ¸ ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc λ>0 ßa, b, c λ < 0º ßλa, b, c º ¹ º ßa, b, c ⎛ ⎞ λ 0 0 T = ⎝ 0 1 0⎠¸ 0 0 1 |T | = λº ¸ ½¿º¾ ßa, b, c λ < 0º ¸ ºü ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc λ>0 ¾ λ < 0¸ λ > 0¸ ßa, b, c |T | > 0 ßλa, b, c ¸ ¹ �ï½ º þ a ½ º½ º þ b ¸ a×b ½µ | a × b | = | a || b | sin ϕ¸ ϕ = (a, b)º ¾µ þ a×b bº ¿µ a b ¸ ¸ ßa, b, a × b ßi, j, k º ½ º½ º ´ ºµ a b b(b1 , b2 , b3 ) a×b= ½º sin ϕ = ßi, j, k a×b ¹ ´ [ab]µ a¸ a×b ¸ º º ¹ ¹ ¹ ¹ a(a1 , a2 , a3 )¸ ¸ ¹ a2 a3 a a a a , − 1 3 , 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½ º ½µ a1 a2 a3 a × b = b1 b2 b3 i j k ´½º½ º ¾µ º 1 − cos ϕ º a× b = x(x1 , x2 , x3 ) |x| = |a| · |b| · sin(a, b)º √ 2 a 2 b 2 −(ab)2 ab 1− = ¸ ½ º½ 2 = ϕ = (a, b)º |a|·|b| ¿ |a|·|b| �a 2 b 2 − (ab)2 º |x| = x a b (a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 . |x| = ¹ (a1 b2 − a2 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a2 b3 − a3 b2 )2 . (∗) |x| = ¾º ½ º½ a¸ x bº x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = 0 x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 = 0. (x1 , x2 , x3 )º ¸ ¸ Δ= ¸ x1 = a1 a2 , b1 b2 Δ1 = ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ a2 a3 , b2 b3 Δ2 = a1 a3 . b1 b3 ¸ Δ = 0º −a3 x3 a2 −b3 x3 b2 a1 a2 b1 b2 a1 −a3 x3 b1 −b3 x3 x3 Δ 1 −x3 Δ2 , x2 = . = = Δ Δ a1 a2 b1 b2 x2 x3 x1 . = = Δ1 −Δ2 Δ λ¸ �x1 = λΔ1 , x2 = −λΔ2 , ´¶¶µ x3 = λΔ. x Δ21 + Δ22 + Δ2 . (λΔ1 )2 + (−λΔ2 )2 + (λΔ)2 = |λ| |x| = Δ1 = a2 b3 − a3 b2 ¸ Δ2 = a1 b3 − a3 b1 ¸ Δ = a1 b2 − a2 b1 ¸ (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 . |x| = |λ| ¿º ßa, b, x ºþ ´¶µ¸ ½ º½ |λ| = 1º ßi, j, k ½¿º¾ a ¸ b¸ x |T |¸ ßi, j, k º ¹ ¸ a1 a2 a3 a a a a a a |T | = b1 b2 b3 = x1 2 3 − x2 1 3 + x3 1 2 = b2 b3 b1 b3 b1 b2 x1 x2 x3 þ = x1 Δ 1 − x2 Δ 2 + x3 Δ º ´¶¶µ¸ |T | = λ(Δ21 + Δ22 + Δ2 ). |T | > 0 λ > 0 x =a×b x1 = Δ 1 = Δ21 +Δ22 +Δ2 > 0¸ λ = 1¸ ¸ ¸ λ > 0º |λ| = 1 a2 a3 a a a a , x2 = −Δ2 = − 1 3 , x3 = Δ = 1 2 . b2 b3 b1 b3 b1 b2 ¸ a×b= ´½º½ º ½µº a2 a3 a a a a i− 1 3 j+ 1 2 k b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½ º ¿µ �¸ ¹ ¹ ¸ a1 a2 a3 a × b = b1 b2 b3 . i j k ¸ ¸ ´½º½ º ¿µº ½ º¾ º ´ þ ºµ 1◦ º 2◦ . b¸ ¹ ¹ ¸ ´ÿ a×b ¸ a ¸ µº 0º ºµ b ´ ¹ ¹ S a ¹ 3◦ º ´∀ a, bµ a × b b × a. ◦ 4 º ´∀ a, bµ¸ ´∀ α ∈ Rµ a × (αb) = α(a × b)¸ (αa) × b = α(a × b)º 5◦ º ´∀ a, b, cµ a×(b+c) = a× b+a×c¸ (a+ b)×c = a× b+ b×cº º a × b = 0 ⇔ |a × b| = 0º ¸ 1◦ º |a × b| = 0 ¸ ¸ ½ º½ sin(a, b) = 0º ¸ ¸ sin(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 0◦ (a, b) = 180◦ ¸ |a × b| = 0 ⇔ ¸ a × b = 0 ⇔ a bº a b ¸ 2◦ ´ º º ¾¿µº −−→ ¹ −−→ a b A a = AB ¸ b = AD �ABCD º |a| = −−→ −− → |AB| = AB ¸ |b| = |AD| = AD ¸ (a, b) = ∠A ¸ AB · AD · sin ∠Aº ABCD S = AB · AD · sin ∠Aº ¸ |a × b| = S º º ¾¿ º¾ µ |a × b| = S ¹ ¹ 3◦ 5◦ º a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 ) ´ ¸ º ¸ ßi, j, k ¸ ¹ ¹ α αa (αa1 , αa2 , αa3 )¸ αb (αb1 , αb2 , αb3 )¸ (b + c) (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 )¸ (a + b) (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )º ¸ 3◦ 5◦ ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ´½º½ º ¾µ ¸ º º ´½º½ º ¾µ 4◦ º (αa) × b α(a × b) α a1 α a2 α a3 a1 a2 a3 b2 b3 ¸ α(a × b) = α b1 b2 b3 (αa) × b = b1 i j k i j k º ¸ (αa) × b = α(a × b)º ü º º �ï½ º ½ º½ º a ¸ b¸ c a × b c¸ a×b a bº ¹ abc (abc)º ¸ ´½º½ º ½µ abc = (a × b)cº ½ º½ º b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )¸ ßi, j, k a ¸ b¸ c a1 a2 a3 abc = b1 b2 b3 c1 c2 c3 º a×b= a(a1 , a2 , a3 )¸ . ´½º½ º ½µ ¹ ´½º½ º ¾µ ¹ a2 a3 a a a a , − 1 3 , 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½¾º ¾µ a×b c a a a a a a (a × b)c = 2 3 c1 − 1 3 c2 + 1 2 c3 . b2 b3 b1 b3 b1 b2 ¹ �a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ´½º½ º¾µº ¸ ´½º½ º ½µ ½ º¾ º ´ ¹ ºµ ¹ 1◦ º abc = bca = cabº 2◦ º abc = −bac¸ abc = −cba¸ abc = −acbº 3◦ º (αa)bc = α(abc)¸ a(αb)c = α(abc)¸ ab(αc) = α(abc)º 4◦ º (a + b)cd = acd + bcd¸ a(b + c)d = abd + acd¸ ab(c + d) = abc + abdº 5◦ º abc > 0¸ ßa, b, c ¸ º º ¹ ßi, j, k ¸ abc < 0¸ ßa, b, c ¸ º º ¹ ßi, j, k º 6◦ º º ¹ ¸ º º º ßi, j, k ´ ½ º¾ µº º º ¸ ¹ 1◦ 4◦ 5◦ ½¿º¾ ¹ ¹ 6◦ ´½º½ º¾µ ´ ¹ º µº �¸ º ½ º¾ º ¸ −−→ OB = b¸ a ¸ b¸ c −−→ OC = cº ¸ (OAC) (OAB)º (OBC)¸ (OAC) (OAB) ½ º¿ º ºµ V a¸ b¸ cº a ¸ b¸ c −→ c = AA º H ´½º½ º ¿µ º ABCDA B C D a ¸ b¸ c ¸ A ABC α = (c, a × b)º º ¾ µ¸ º ¿ ´ï ½¿µ c ¼ ¹ ¹ abc ¸ º ´ ¸ ½ º¿ º ´ÿ abc = ±V ¸ ¸ ¹ ú·û ¸ ±V º a ¸ b¸ c −−→ b = AD ¸ ¸ úû ¹ −→ OA = a¸ C ¹ (OBC)¸ A¸ B ¸ a¸ b¸ cº ø º O a×b ¹ − −→ a = AB ¸ ¸ ßa, b, c ¹ �ABC c ABC V º a ¸ b¸ c ´ º¾ a×b α > 90◦ ´ 180◦ µº ABCDA B C D V º=S AHA º¾ c µ¸ ´½º½ º µ · AH, AA · cos A AH º α < 90◦ ¸ AH = º¾ ´½º½ º ½µ¸ ´½º½½º ½µ a¸ b ¹ abc = (a × b)c = |a × b| |c| cos αº þ |a× b| = S ´ ½ º¾ µ¸ |c| = AA ¸ cos α = cos A AH ¸ ßa, b, c ◦ ¸ cos α = cos(180 − A AH) = − cos A AH ¸ a ¸ b¸ c º |c| cos α = ¸ AA (± cos A AH) = ±(AA cos A AH) = ±AH º abc = ±(S ´½º½ º ¿µº · AH). ´½º½ º µ ´½º½ º µ ½ ´½º½ º µ ¹ �ÿ ¾ ï½ º ü ½º ½ º½ º ü ¸ ¸ O e1 e2 e3 ¸ ¹ ße1 , e2 , e3 º O ¸ O e1 ¸ e2 ¸ e3 º ¸ ¸ ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ Ox º ¸ Ox¸ Oy ¸ Oz ´ Oy ¸ Ox Oz ¸ Oy ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º ¾ µº Oz ¸ �Oxy ¸ Oxz Oyz º ½ º¾ º M x¸ y ¸ z M ´ O e1 e2 e3 −−→ OM ¸ O µ¸ M (x, y, z) x¸ y ¸ z ´ µ ¹ ¹ ße1 , e2 , e3 º M (x, y, z)Oe1 e2 e3 O e1 e2 e3 º M −−→ M (x, y, z)Oe1 e2 e3 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 + ze3 º ´¾º½ º ½µ ¸ º¾ O e1 e2 e3 M (2, 4, 3). M (x, y, z) Oe1 e2 e3 ¹ ´¾º½ º ½µº O −−−→ OM1 = xe1 ¸ ¹ M1 ¹ −−− −→ M1 M2 = ¸ ¹ y e2 ¸ M −−−→2 M2 M = z e3 . −−→ −−−→ −−−−→ −−−→ OM = OM1 + M1 M2 + M2 M = xe1 + y e2 + z e3 º ¸M º OM1 M2 M Mº ¸ ¹ º ¿ �½º º Bº A A(x1 , y1 , z1 ) Oe1 e2 e3 º B ½ º¿ ße−1 ,→e2 , e3 ´½º¿º ¾ ¹ B(x2 , y2 , z2 ) −− → AB º −→ −−→ OA¸ OB ¹ ¸ −−→ OA(x1 , y1 , z1 )¸ OB(x2 , y2 , z2 )º − → −−→ −→ AB = OB−OA ½µ − ´ ½ º¿ º ý ¸ λ¸ AB ¹ λ= ´¾º½ º ¾µ −→ AC − − → CB º C ¹ A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 ) O e1 e2 e3 λ= Cº −→ AC − − → CB º C(x, y, z)º → −−→ ½µ−→− AC(x − x1 , y − y1, z − z1 )¸ CB(x2 − x, y2 − AC º½ y, z2 − z)º − − → = λ¸ CB −→ −−→ ¿ AC = λCB ´ º¾ µ x − x1 = λ(x2 − x)¸ y − y1 = λ(y2 − y)¸ z − z1 = λ(z2 − z)º x¸ y ¸ z C −→ AC −−→ CB ´ x= º ¹ º¾ µ −− → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) . ¾º A y1 + λy2 z1 + λz2 x1 + λx2 , y= , z= . 1+λ 1+λ 1+λ ´¾º½ º ¿µ �þ ¸ x= ´λ = 1µ AB y1 + y2 z1 + z2 x1 + x2 , y= , z= . 2 2 2 ´¾º½ º µ ¾º ü ½º ºü ¸ ¸ O e1 e2 O ¸ ü A B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸ ¹ B(x2 , y2 )¸ C B A x= ´¾º½ º µ Oe1 e2 ¹ − −→ AB − − → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ) . ´¾º½ º µ λº AB O e1 e2 C(x, y) A(x1 , y1 ) y1 + λy2 x1 + λx2 , y= . 1+λ 1+λ ´¾º½ º µ ¸ AB x= ¸ ´¾º½ º µº ¹ ße1 , e2 º M −−→ M (x, y)Oe1 e2 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 . þ ¹ º y1 + y2 x1 + x2 , y= . 2 2 ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ¸ ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ ´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º¿µ �ï½ º ï½ º º ¹ ½ º½ º ¸ ¹ º º O ij k ¸ O ij ij = ik = j k = 0º ¸ ¸ x z µ Mº i¸ j ¸ i2 = j 2 = k2 = 1¸ ¸ ´ k, º y ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ½º ½º A(x1 , y1 , z1 ) B(x2 , y2 , z2 ) O ij k º AB º º AB −− → − −→ |AB| = AB 2 º −− → AB(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )¸ AB A AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . ¾º − −→ AB ¸ ¹ B ´¾º½ º ½µ �ABC A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 ) Oij k º ABC º ABC º ¸ ¾ µ ´ ¹ − − → AB − − → −→ AB × AC −− → −→ S = |AB × AC|. ¹ −→ AC º ½ º¾ ¸ ¹ ´¾º½ º ¾µ −− → −→ AB(x2 −x1 , y2 −y1 , z2 −z1 )¸ AC(x3 −x1 , y3 −y1 , z3 −z1 )¸ − −→ −→ ´´ µµ AB × AC y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 z2 − z1 x2 − x1 y 2 − y 1 , − , . y3 − y1 z3 − z1 x3 − x1 z3 − z1 x3 − x1 y 3 − y 1 ¸ S 1 2 ABC 1 − − → −→ = AB × AC = 2 y2 − y1 z2 − z1 y3 − y1 z3 − z1 ¿ 2 x − x1 z2 − z1 + 2 x3 − x1 z3 − z1 2 x − x1 y 2 − y 1 + 2 x3 − x1 y 3 − y 1 ´¾º½ º ¿µ ABCD A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 )¸ D(x4 , y4 , z4 ) O ij k º ABCD º 1 º ABCD 6 − − → −→ −−→ ¸ AB ¸ AC AD º ¸ þ ¹ 2 . �º ¸ V º= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 1 mod x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 . 6 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 ´¾º½ º µ ¹ ´¾º½ º µ A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z4 )¸ D(x4 , y4 , z4 ) ¹ ¸ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 = 0. x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 ´¾º½ º µ ¾º ½ º½ ¹ O ij −−→ M (x, y)Oij ⇐⇒ OM = xi + y j. A B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸ AB = ¸ O ij ¹ AB (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . ´¾º½ º ¿µ ´¾º½ º µ ABC ¸ ´¾º½ º µ ¸ ¹ ¹ �A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 ) S = 1 2 mod x2 − x1 y 2 − y 1 = x3 − x1 y 3 − y 1 1 2 C(x3 , y3 )¸ x1 y 1 1 mod x2 y2 1 . x3 y 3 1 ´¾º½ º µ ï½ º ½º ½ º½ º Oe1 e2 ´ e1 (c11 , c21 )¸ e2 (c12 , c22 ) Oe1 e2 º ´ µ M µ O e1 e2 O (x0 , y0 ) (x, y) ´ µ¸ ´ µ x = c11 x + c12 y + x0 ¸ y = c21 x + c22 y + y0 . º (x , y ) ´¾º½ º ½µ ½ º½ ¹ −−→ OM = xe1 + ye2 ¸ −−−→ O M = x e1 + y e2 ¸ −−→ OO = x0 e1 + y0 e2 . e2 º ¹ −−−→ OM e1 = c11 e1 + c21 e2 e2 = c12 e1 + c22 e2 ¸ ´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º ¾µ ¸ e1 ¹ �−−−→ O M = x (c11 e1 + c21 e2 ) + y (c12 e1 + c22 e2 ) = (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 º −→ −−→ −−−→ ´´½º¿º ½µµ − ¸ OM = OO + O M º ´¾º½ º ¾µ −−−→ O M¸ e1 ¹ ¹ −−→ OM e2 −−→ OM = (x0 e1 + y0 e2 ) + (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 = (c11 x + c12 y + x0 )e1 + (c21 x + c22 y + y0 )e2 . ´¾º½ º ¿µ þ e1 e2 −−→ OM ´¾º½ º ¾µ ´¾º½ º ¿µ ´¾º½ º ½µº ¾º x = c11 x + c12 y + c13 z + x0 ¸ y = c21 x + c22 y + c23 z + y0 ¸ z = c31 x + c32 y + c33 z + z0 ¸ (x, y, z) ¸ (x , y , z ) Oe1 e2 e3 ´ µ O e1 e2 e3 ´¾º½ º µ ´ e1 (c11 , c21 , c31 )¸ e2 (c12 , c22 , c32 )¸ e2 (c13 , c23 , c33 ) O (x0 , y0 , z0 ) Oe1 e2 e3 º ´¾º½ º µ ¸ ¼ M µ ¹ ´¾º½ º ½µº �ï½ º ½ º½ º µ¸ ´ ¹ ¹ ´ µ º ½º Oij ¸ Oi j (i, i ) = ϕ ¹ O (x0 , y0 )º (x, y) (x , y ) ¹ º M ¸ ϕº (c12 , c22 ) ¸ µ ¸ ï½¾¸ cij ´i, j = 1, 2µ (c11 , c21 ) j ¾µº c11 = cos(i , i)¸ c21 = cos(i , j)¸ c12 = cos(j , i)¸ c22 = cos(j , j). ¸ i j i¸ j º ´ i ßi, j º ´ O ij ¹ ´¾º½ º ½µ ¸ ¹ ¹ Oi j º ¾ µ¸ ¸ ¹ (i , i) = ϕ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = 90◦ + ϕ¸ (j , i) = ϕº Oij O i j µ (i , i) = ϕ¸ ´ º ¾ µ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ ½ (j , i) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = �180◦ − ϕº º º¾ þ º¾ µ c11 = cos ϕ¸ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸ c12 = cos(90◦ + ϕ) = − sin ϕ¸ c22 = cos ϕº þ µ c11 = cos ϕ¸ c12 = cos(90◦ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸ − ϕ) = sin ϕ¸ c22 = cos(180◦ − ϕ) = − cos ϕº ´¾º½ º ½µ¸ x = x cos ϕ − y sin ϕ + x0 ¸ y = x sin ϕ + y cos ϕ + y0 ¸ = ±1¸ þ ½µ Ox y O ij ú·û¸ Oij ¸ ú û¸ º i = i¸ j = j ¸ ´ ¸ Oxy º ¾ ¸ µº þ ¾ ¹ ´¾º½ º ½µ Oi j Oi j ¹ º ¹ ¹ ¹ ¹ ´¾º½ º ½µ �x = x + x0 ¸ y = y + y0 º ¾µ = +1µ¸ ´ O = O ´x0 = y0 = 0 Ox y ¸ º ¾ ¸ µº ´¾º½ º ½µ ´¾º½ º ¾µ Oxy x = x cos ϕ − y sin ϕ¸ y = x sin ϕ + y cos ϕº ´¾º½ º ¿µ º¾ º¾ ¾º ¸ ” “ c11 ¸ c12 ¸ c13 ¸ c21 º Oij k ´ ú µ ¸ ¸ ººº ´ µ û M ¿ ´¾º½ º µ (x, y, z) Oi j k ¹ ¹ ¹ ¹ �ú û µ ºþ M ¸ ´ï½¾¸ k ⎛ ¸ ¼º i¸ j ¸ k i i¸ j ¸ k ¸j ¸k ¸ ¸ ÿ ±½º ¸ ¸ ¸ +1¸ −1¸ ¹ ¹ i ¸ ¸ ¼º ¸ ¸ ½º ÿ ¸ ¸ ¸ ¸j ¸k i¸ j ¸ k ¾µº ½ ½ i ⎞ c11 c12 c13 T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ . c31 c32 c33 T º ï ¾¼º ´ ¹ (x , y , z ) ¸j ¸ ¸ ¹ º ¹ ¹ ¹ º �´Oe1 e2 þ º O ij ´ ¹ ¸ µ Φ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ (x, y) ¸ ¾¼º½ º Φº µº ¹ ¸ º ¹ ´ µ ¾¼º¾ º ü 2x + 3y + 5 = 0¸ x2 + y 2 = 1 ¸ ´ µ¸ Oxy ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ Ò¹ ¸ F (x, y) Òº ¸ ¹ Φ¸ Φº F (x, y) = 0 ¸ x¸ y ¸ Φ º ¹ ¹ ¹ �Oxy º F (x, y) = 0 F (x, y) F1 (x, y) F2 (x, y)¸ ¸ y = −xº y=x ½º F1 (x, y) = 0 x2 − y 2 = 0 Φ º ¸ ¾º º ¸ ¹ ¹ F2 (x, y) = 0º ¹ º ¸ ¸ ¹ ¹ Φ º ¸ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ½µ ¹ ¸ ¾µ ¹ ¸ ¿µ ¹ M (x, y)¸ µ ´ º ¸ ´ µ Φ ¹ µ µ µ µ¸ ´ º ¹ ¹ �þ º ½º ω(C, r) rº ¹ C ωº º r¸ ¹ O ij C(a, b)º M Mº CM = (x − a)2 + (y − b)2 = r º ¹ CM = º (x, y) (x − a)2 + (y − b)2 º ¹ ¹ º ´¾º¾¼º ½µ (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 º þ º ´¾º¾¼º½µ (x, y) CM 2 = r 2 M ∈ ωº º (x, y) M ¸ ¸ CM = rº ¸ º ¸ º ´¾º¾¼º ½µ ¸ F1 (x, y) ≥ 0, F2 (x, y) ≤ 0. º M (x, y) ¸ ¸ ´¾º¾¼º½µ ¹ ¸ ´¾º¾¼º ¾µ Φ1 ´¾º¾¼º¾µº M (x, y) Φ2 ¸ ´¾º¾¼º ¾µ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ �º ´¾º¾¼º ¾µ¸ ¸ ¹ ¾º ¹ Φ2 º Φ1 ¸ ¹ ⎧ 2 2 ⎪ ⎨x + y ) ≤ 16, x ≥ −1, ⎪ ⎩ y ≤ 3. º Φ1 ¸ Φ2 Φ3 º º Φ1 ¸ ¹ x2 + y 2 ≤ 16¸ ¸ Φ2 ¹ ¹ ¾º x = −2¸ Φ3 ¸ y = 3º º ¹ º ¾ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º¾ ¾º ÿ ¸ ¹ ¸ ´Oe1 e2 e3 µº þ Oij k ¹ (x, y, z) º ¹ �¸ ¾¼º¿ º Φ Φº þ ¹ ¸ ¸ x¸ y ¸ z ¸ ¸ Φº ½º ¾º ¿º ¹ Φ¸ ¹ ¸ F (x, y, z) = 0¸ º z = f (x, y)º F (x, y, z) = 0º x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v)¸ ¸ M M (u, v)º ¹ ¹ º º ¹ x¸ y ¸ z u¸ v º ¸ º M u þ ¸ v¸ x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v) r = r(u, v)¸ r Φ ¸ ¹ ¹ º ½º F (x, y, z) = 0¸ Φ(x, y, z) = 0 �F (r) = 0¸ ¾º Φ(r) = 0º x = x(t),y = y(t),z = z(t) º º ¸ ¹ x¸ y ¸ z º M M M (t)º x = x(t)¸ y = y(t)¸ z = z(t) r = r(t)¸ ¹ r tº ¸ t¸ þ ¸ º x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v) v = v0 = const¸ x = x(u, v0 )¸ y = y(u, v0 )¸ z = z(u, v0 ), v = constº ¸ v¹ r = r(u, v0 )¸ u u = u0 = ÓÒ×ظ ¹ x = x(u0 , v)¸ y = y(u0 , v)¸ z = z(u0 , v) v¹ ¸ F (x, y, z) ¸ u = constº u = const Ú const ¸ Ò¹ ´Ò¹ ´ r = r(u0 , v)¸ ¹ º ¸ µº ¼ ¹ F (x, y, z) = 0¸ µº ¹ ¹ �F (x, y, z) ϕ(x, y, z) ¸ ψ(x, y, z) ´ ϕ(x, y, z) = 0 ¸ M O ij k C(a, b, c)º Mº º º rº C Φº º ¹ ºþ ¿º Φ x¸ y ¸ z µ¸ F (x, y, z) = 0 ψ(x, y, z) = 0º (x, y, z) CM = r ¸ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 . CM = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r º ¹ ¹ º (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r 2 º þ º ´¾¼º¿µ (x, y, z) CM 2 = r 2 (x, y, z) M ¸ Φº ¸ CM = rº º ï ¾½º ½º ½ º ¸ ´¾º¾¼º ¿µ ¸ ¹ ´¾º¾¼º¿µ M ´¾º¾¼º ¿µ �¾½º½ º ¸ i¸ ¸ OP º OP (ρ, ϕ ρ¸ ¸ O¸ O i OP ¹ º ¹ ¹ ¾½º¾ º M ¹ ϕ OM ´¾º¾½º ½µ ρ = OM (ρ ≥ 0), ϕ = P OM . A 2, π 3 º ¿¼ ¸ B 1, 3π2 ¸ C ½µ ¸ º ϕ k 3, 5π 4 º O ¹ ¾µ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ϕ ± 2πk¸ ¸ 0 ≤ ϕ < 2π ¸ º º ¿¼ º ¸ ϕ ¾º Oi (ρ, ϕ) (x, y) ¾ º ¸ O ij M �º −−→ OM M¸ Mº ¹ −−→ −−→ x = OM cos(i, OM )¸ y = OM cos(j, OM )º −−→ −−→ OM = ρ¸ (i, OM ) = ϕ (j, OM ) = 90◦ − ϕ¸ ¹ (x, y)¸ ´ º ¹ ´½º½¾º µ y = ρ sin ϕº x = ρ cos ϕ, º ´¾º¾½º ¾µ (ρ sin ϕ)2 = ρ2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = ρ2 ¸ ρ= ¸ x2 + y 2 ¸ ϕ= ´¾º¾½º ¾µ x2 +y 2 = (ρ cos ϕ)2 + y =Ø ϕº x ´¾º¾½º ¿µ Ö Ø xy º ´¾º¾½º ¿µ º x y ¹ ϕ ϕ y ≥ 0¸ x > 0¸ 0≤ϕ< x ≤ 0¸ y > 0¸ π 2 π ≤ϕ<π 2 3π π≤ϕ< 2 3π < ϕ < 2π º 2 y ≤ 0¸ x < 0¸ y < 0¸ x ≥ 0¸ ¿º ρ ϕº F (ρ, ϕ) = 0º ¿ F (ρ, ϕ)¸ ¸ Oi ¸ ¹ �¸ ρ = a¸ ÓÒ×ظ a ¸ O aº º ¹ ¹ (ρ, ϕ) º (ρ, ϕ) M (|ρ|, ϕµ (−1, 4π 3 ) ¹ ρ ≥ 0¸ ºþ A¸ ρ, ϕ M¸ º ¸ º ρ < 0¸ º ¿¼ (ρ, ϕ)¸ O¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ρ ¹ ¹ (ρ, ϕ) A (1, 4π 3 )º º ¸ º �ÿ ¿ ï ¾¾º ´ µ ½º ¾¾º½ º þ ¸ ¸ M0 ´ ´¿º¾¾º½µ M −−−→ M0 M aº −−−→ = {M ∈ R3 |M0 M Oe1 e2 a¸ M0 (x0 , y0 ) µ¸ a ¹ º ¹ ¸ ¸ a}º ¸ º a¸ M0 º ¸ ¸ ¹ º ¸ a(a1 , a2 )º ¹ �M (x, y) (x − x0 , y − y0 )º º −−−→ M0 M a¸ −−−→ M0 M x − x0 y − y 0 = º a1 a2 ¸ ¸ ´¿º¾¾º½µ¸ ´¿º¾¾º ½µ M (x, y) º M ´¿º¾¾º½µ º ºþ ¸ º ¹ y − y0 = 0º x − x0 = 0 ¾º −−−→ M0 M −−−→ M0 M = taº º ¹ ¹ a ¹ x − x0 = a1 t, y − y0 = a2 t. ¹ x = x0 + a1 t, y = y0 + a2 t. tº ¸ ´¿º¾¾º ¾µ ¹ ´¿º¾¾º¾µ �¿º ¸ M2 (x2 , y2 )¸ ¸ º º M1 (x1 , y1 ) = M1 M2 º ¹ ¹ ¹ M1 (x1 , y1 ) M1 M2 a = M1 M2 º (x2 − x1 , y2 − y1 )¸ ´½º¾¾º½µ y − y1 x − x1 = ¸ x2 − x1 y 2 − y 1 ´¿º¾¾º ¿µ º º ú Ox B(0, b)º û A(a, 0) Oy ¾¾º¾ º A º ¸ a B a ¸ A(a, 0) A B B(0, b)º bº ¹ ¹ ¹ ¸ ´¿º¾¾º ¿µ¸ y x−a = . −a b bx + ay = ab, b ¸ �ab¸ x y + = 1º a b ûº ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º µ ú ¹ º ¾¾º½ º þ º Ax + By + C = 0 M0 (x0 , y0 ) º ½µ aº ´¿º¾¾º½µº a2 (x − x0 ) − a1 (y − y0 ) = 0, a2 x − a1 y + (−a2 x0 + a1 y0 ) = 0. þ A = a2 , B = −a1 , C = −a2 x0 + a1 y0 Ax + By + C = 0¸ ¾µ º A ¸ º º ´¿º¾¾º µ ¹ B ´¿º¾¾º µ º º ´¿º¾¾º µ ¸ ´¿º¾¾º µº ¹ �º ¸ ´¿º¾¾º µ A x+ C A +By = 0. y x+ C A = º −B A ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º ½µ ´¿º¾¾º µ ¸ M0 (− C A , 0) a(−B, A)º ´¿º¾¾º µ¸ ´¿º¾¾º µ ¸ º ¿º Ax + By + C = 0¸ º (−B, A). ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º µµº þ A º º ¹ ¹ B ú û Ax + By = −C, C = 0¸ x −C A ¸ Ax + By + C = 0¸ ¹ a ´ ¹ ú a= + ¸ −C A y −C B ´¿º¾¾º µ −C ¸ = 1. ûa , b= b¸ −C B º ´¿º¾¾º µ �ï ¾¿º ´ µ ¹ O ij º ½º ¾¿º½ º þ ¸ ¸ n¸ º ¸ ¾¿º½ ¸ ¸ ¸ n¸ M0 −−−→ R3 |M0 M ⊥n}º ¸ M0 (x0 , y0 ) (x − x0 , y − y0 )º −−−→ n M0 M º −−−→ M0 M ⊥n¸ ¹ º ¹ M0 ¸n ¸ º M −−−→ M0 M ⊥nº ¹ n(A, B)º −−−→ M0 M n M (x, y)− ¹ −−−→ M0 M ¸ A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0º ¸ ´¿º¾¿º½µ¸ M (x, y) M ¼ ¹ ¹ ¹ ¹ = {M ∈ º ºþ ¹ ´¿º¾¿º ½µ º ¹ ¹ �¸ þ ´¿º¾¿º½µ º ¹ º ´¿º¾¿º ½µ C = −Ax0 − By0 º Ax + By + C = 0º ¹ þ A, B n º ¸ Ax + By + C = 0 (A, B)º n þ ¸ ¹ A B º ¾º ¾¿º¾ º ½µ C < 0º Ax + By + C = 0¸ x y ¾¿º¾ ¹ ½ ¾µ ¸ x cos ϕ + y sin ϕ − p = 0¸ p > 0¸ 0 < ϕ < π º ´¿º¾¿º ¾µ Ax+By+C = 0º ¹ ºþ λ = ±√ 1 A2 + B 2 ½ ´¿º¾¿º ¿µ �ú·û¸ C < 0¸ ú−−û¸ ¸ C > 0º Ax By C ±√ ±√ ±√ = 0¸ A2 + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2 ¾¿º¾ ±√ A 2 A + B2 2 ´¿º¾¿º µ ¸ B + ±√ 2 A + B2 2 = 1. ¿º ¾¿º¿ º Ox α a i º 0 < α < πº α ¾¿º º Oxº k ¸ k = Ø αº ½º ¸ ¾º ¸ Ox, º º ¸ ´¿º¾¿º µ ¸ ¹ º ¸ M0 (x0 , y0 ) kº a(a1 , a2 ) ¹ a1 = |a| cos α¸ a2 = |a| sin α ¸ ¾ �a ¸ k = tg α = a2º a2 = k a1 º 1 ¹ y − y0 x − x0 = . a1 k a1 y − y0 = k (x − x0 )¸ º ´¿º¾¿º µ ´¿º¾¿º µ y = kx + b¸ b = y0 − kx0 º ´¿º¾¿º µ ´¿º¾¿º µ º Ax+By+C = 0º ¹ ºþ y¸ y=− ´¿º¾¿º µ C A x− ¸ B B ´¿º¾¿º µº ´¿º¾¿º µ C A k=− , b=− º B B ï¾ º ÿ Ü· Ý· ¼ ¸ º ¿ M1 ¸ M2 �¾ º½ º ÿ ¸ ¸ ¸ M1 M2 M1 M2 , M1 M2 º ¾ º¾ º º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¾ º½ º º ¸ º Ax + By + C = 0¸ Ax + By + C < 0 Ax + By + C > 0 ºþ º ¹ ¹ ¸ δ(x, y) = Ax + By + C. ¾ ¸ δ(x, y) = 0 ⇔ M (x, y) ∈ º M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 ) ¸ ¸ δ1 = δ(x1 , y1)¸ δ2 = δ(x2 , y2) δ º M1 M2 º M1 M2 ¸ º½ M1 M2 −−−−→ ºþ M1 M2 (x2 − x1 , y2 − y1 ) a(−B, A) º ¸ y2 − y1 x2 − x1 = . −B A ¹ ¹ ¹ ¹ �A(x2 − x1 ) = −B(y2 − y1 ). Ax1 + By1 = Ax2 + By2 . ¸ C Ax1 + By1 + C = Ax2 + By2 + C, º º ´¿º¾ º ½µ º ¹ δ1 = δ2 º M1 M2 ´¾º½ º ¾µ M0 (x0 , y0 ) x0 = λ = M1 M2 ´ −−−−→ M1 M0 −−−−→ M0 M2 x1 + λx2 y1 + λy2 , y0 = ¸ 1+λ 1+λ º ½µ ¸ º ¿½ µ ¸ λ > 0º M0 ∈ A M1 ¸ λ < 0 ¾µ M1 M2 ¸ ´¿º¾ º ¾µ ´ ¹ M2 M0 ¸ M1 º ¿½ µ M0 y1 + λy2 x1 + λx2 +B + C = 0. 1+λ 1+λ (Ax1 + By1 + C) + λ(Ax2 + By2 + C) = 0 M2 �δ1 + λδ2 = 0. λ λ=− ´¿º¾ º ¿µ δ1 º δ2 º ¿½ º ¿½ ´¿º¾ º ¿µ ½µ ¸ ¸ M1 ¸ δ1 λ>0 δ1 ¸ ½µ M1 Ax + By + C > 0 ¸ M1 ¸ δ2 M1 ºþ δ2 M2 ¸ M2 δ2 ¾µ δ1 δ2 λ < 0 ¸ M2 λ > 0¸ ½µ λ < 0¸ º ¹ ¸ ¹ Ax + By + C < 0 M1 M2 ´¿º¾ º ½µ ¾µ ¸ δ1 ¸ M2 ¸ ¹ ¸ ¾µ ¹ ¸ ¹ ¹ º �¸ ¸ Ax+By+C < 0º Ax+By+C > 0 ¸ º Ax + By + C < 0 ï¾ º ¹ Ax + By + C > 0 ¹ þ 1 ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ ¾µ 1 2 1 2 1 2 1 ¸ 2 A1 x+B1 y +C1 = 0 1 2º ÿ ¸ A2 x+B2 y +C2 = 0 ¹ ¹ A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 ºþ ¸ ºþ ¹ ¸ ¸ ¿µ º 2 ´¿º¾ º ½µ ¸ º ¹ ´¿º¾ º ½µ ¸ �´¿º¾ º½µ B1 C1 B2 C2 x= A1 B1 A2 B2 ´¿º¾ º ¾µ ¾µ B C1 Δ1 = 1 B2 C2 Δ¸ Δ1 ¸ Δ2 ¸ ½µ A1 A2 = ¸ B1 B2 ¸ ¾µ , y= C1 A1 C2 A2 A1 B1 A2 B2 ¸ ¸ ´¿º¾ º ¾µ . ´¿º¾ º ½µ ½µ Δ= Δ=0 C A1 Δ2 = 1 C2 A2 º ¿µ ¸ A1 A2 1 = B1 B2 A1 B1 =0 A2 B2 Δ=0 1 = C C2 Δ1 = Δ2 = 0 º ¹ ¹ 2 A1 B1 = ¸ A2 B2 ´¿º¾ º ¿µ A1 B1 C1 = = ¸ A2 B2 C2 ´¿º¾ º µ ¸ ¿µ ¸ A1 B1 C1 = = º A2 B2 C2 ÿ a1 (−B1 , A1 ) 2 ´¿º¾ º µ º ´¿º¾ º¿µ a2 (−B2 , A2 ) º ´¿º¾ º µ ¸ ´¿º¾ º µ 1 �´¿º¾ º¿µ¸ ´¿º¾ º µ ¸ º ½µ 1 ¸ ¹ 2 1 1 1 2 = B1 B2 1 2 = B1 B2 ¸ ¸ ¹ 2 ¸ º º AA ¿µ ¹ ¸ ¸ º º AA ¾µ º º AA ´¿º¾ º µ 1 2 = ¸ B1 B2 = C1 C2 ¹ ¸ ¸ 2 = ¸ C1 C2 . ï¾ º ½º ¾ º½ º ¸ º Oe1 e2 º ¸ ¹ ¹ ¹ º ¾ º½ º S(x0 , y0 )¸ α(x − x0 ) + β(y − y0 ) = 0º ¹ ´¿º¾ º ½µ �º º ¸ a(−β, α)º (−β, α)º α¸ β º ¸ º ´¾º¾ º½µ ¸ 1 2 ¸ A1 x + B1 y + C1 = 0 ¹ S α¸ β ¸ ¹ S¸ ´¾ º½µº ¾ º¾ º ¸ º ¹ ¹ A2 x + B2 y + C2 = 0¸ α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0º º ´¿º¾ º ¾µ 1 ¸ 2 a1 (−B1 , A1 )¸ a2 (−B2 , A2 )¸ 1 ¸ 2 º By + C = 0º a1 ¸ a2 ¸ a a = αa1 + βa2 º ¸ º A = αA1 + βA2 , S(x0 , y0 ) a1 ¸ a2 a −B = α(−B1 ) + β(−B2 ), 2 Ax + a(−B, A)º A = αA1 + βA2 B = αB1 + βB2 . º S¸ A1 x0 + B1 y0 + C1 = 0, ´¿º¾ º ¿µ A2 x0 + B2 y0 + C2 = 0. ¼ 1 �−A1 x0 − B1 y0 = C1 , +C = 0º þ ´¿º¾ º¿µ¸ C −A2 x0 − B2 y0 = C2 . S¸ ¸ Ax0 + By0 + C = −Ax0 − By0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 = α(−A1 x0 − B1 y0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 ) = αC1 + βC2 º ¸ C = αC1 + βC2 . ´¿º¾ º¿µ ´¿º¾ º µ ´¿º¾ º µ (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 ) = 0, ´¿º¾ º¾µ α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0. ¸ ¸ ¸ ´¿º¾ º¾µ 2 1 2 ¸ ¸ S(x0 , y0 ) (x0 , y0 ) α(A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0. ¸ α βº λ= β α (A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + λ(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0º ´¿º¾ º µ 2 ¹ 1 ¹ ´¿º¾ º µ ¸ º ¾º ½ �¾ º¾ º º ¾ º¿ º ¸ A¸ B ºþ º a(−B, A) x¸ y ¸ Cº ¸ ¹ ¸ A¸ B ¹ º C º ¹ Ax + By + C = 0¸ ¸ ¸ A¸ B ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ C ¸ Ax + By + C = 0 ï¾ º þ ¸ ºþ ¸ º 0◦ ¸ º º º O ij 1 2 ¾ ¸ ¹ ¹ º ¹ 180◦ ¹ �y = k1 x + b1 , ´ º º º ¿¾µ α1 ¸ α2 α1 + θ º þ θ = α2 − α1 tg θ = y = k2 x + b2 º º θ 1 Oxº 2 α2 = tg α2 − tg α1 . 1 + tg α1 tg α2 tg α1 = k1 ¸ tg α2 = k2 ¸ tg θ = k2 − k1 º 1 + k1 k2 ´¿º¾ º ½µ ´¾º¾ º½µ º ¿¾ ¹ 1 ¸ 2 º º º ´¿º¾ º½µ ¹ ¹ ⇔ k1 = k2 ¸ 1 1 ⊥ 2 ⇔ k2 = − º k1 1 || 2 1 ´¿º¾ º ¾µ 2 ´¿º¾ º ¿µ k1 = − A B ¸ k2 = A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0. 2 −A B2 º ´¿º¾ º½µ tg θ = A1 B2 − A2 B1 º A1 A2 + B1 B2 ¿ 1 1 ´¿º¾ º µ �1 ´¿º¾ º¿µ¸ 2 ¸ ¹ ¸ ´¿º¾ º µ A1 A2 + B1 B2 = 0º ï¾ º ¹ O ij º º Ax + By + C = 0 M (x, y)º d º M º M1 (x1 , y1 ) −−−→ M1 M (x − x1 , y − y1 )º n(A, B) −−−→ M1 M = λnº º M M1 ¸ d = |M1 M |º ¹ ¹ M1 λ¸ nº −−−→ 2 2 nM1 M = λn = λ(A + B 2 ) −−−→ nM1 M λ= 2 º A + B2 d þ −−−→ √ |nM1 M | −−−→ d = |M1 M | = |λn| = |λ| · |n| = |λ| A2 + B 2 = √ º A2 + B 2 −−−→ nM1 M þ −−−→ nM1 M = A(x − x1 ) + B(y − y1 ) = Ax + By + (−Ax1 − By1 ). −Ax1 − By1 = C ¸ M1 ¹ �¸ ¸ ¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º −−−→ nM1 M = Ax + By + C. d d= |Ax + By + C| √ º A2 + B 2 ´¿º¾ º ½µ ï¾ º ¹ O ij º º Ax + By + C = 0¸ Ax + By + C = 0º d º M1 (x1 , y1 ) d −C º º M1 d= M1 ∈ º ¸ |Ax1 + By1 + C | √ . A2 + B 2 ¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º ¸ |C − C| d= √ º A2 + B 2 Ax1 + By1 = ´¿º¾ º ½µ �ï ¿¼ ½º ¿¼º½ º þ ¸ ¹ a α¸ −−−→ M0 A = a¸ M0 ¹ A ∈ αº ¿¼º¾ º a b º ¸ π º M0 ´ ¸ ¸ º ¸ ¿¼º¾ M −−−→ M0 M ¸ a¸ b M −−−→ 0 π = {M ∈ R3 |M0 M , a, b − µ¸ a α¸ ¹ ¹ b ¹ º π ¸ a }º bº ¹ º Oe1 e2 e3 M0 (x0 , y0 , z0 ) M (x, y, z) a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º −−−→ πº M0 M −−−→ M0 M ¸ a¸ b z0 )º π¸ ¹ a(a1 , ¹ (x−x0 , y −y0 , z − ¸ �x − x0 y − y0 z − z0 a1 a2 a3 = 0 º b1 b2 b3 ¸ ¿º¿¼º½ ¸ ¸ ´¿º¿¼º ½µ M (x, y z) πº M ´¿º¿¼º½µ πº ¹ º ¾º ¹ −−−→ M0 M ¸ a −−−→ M0 M = ua + v bº ⎧ ⎪ ⎨x − x0 = ua1 + vb1 , y − y0 = ua2 + vb2 , ⎪ ⎩ z − z0 = ua3 + vb3 . b ¹ ⎧ ⎪ ⎨x = x0 + ua1 + vb1 , y = y0 + ua2 + vb2 , ⎪ ⎩ z = z0 + ua3 + vb3 . ´¿º¿¼º ¾µ ´¿º¿¼º½µ¸ u, v º ´¿º¿¼º¾µ ¹ ¿º π M2 (x2 , y2 , z2 ) M3 (x3 , y3 , z3 )¸ º º π = M1 M2 M3º M1 (x1 , y1 , z1 )¸ ¸ π �º ¸ ¸ M1 M2 M1 ¸ M2 M1 M3 M3 πº ¸ a = M1 M2 πº ¸ M1(x1 , y1, z1 ) b = M1 M3 M1 M2 M1 M3 (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) (x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 )¸ ´¿º¿¼º½µ x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 ¸ x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 ´¿º¿¼º ¿µ º º B(0, b, 0) ú û π Ox¸ Oy Oz C(0, 0, c)º ¿¼º¿ º A¸ B º ¸ A(a, 0, 0)¸ a¸ b C π π a¸ b π B(0, b, 0) C(0, 0, c)¸ A¸ B C c ´¿¼º¿µº ´¿º¿¼º¿µ¸ x−a y z −a b 0 = 0 . −a 0 c cº A(a, 0, 0)¸ ¹ ¹ �bcx + acy + abz = abc, ¸ abc¸ ´¿º¿¼º µ x y z + + =1 a b c ûº º ´¿º¿¼º µ π ¿¼º½ º þ º Ax + By + Cz + D = 0 º ½µ M0 (x0 , y0 , z0 ) a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º ú ¹ π ´¿º¿¼º½µº ¹ ¸ a a a a a2 a3 (x − x0 ) − 1 3 (y − y0 ) + 1 2 (z − z0 ) = 0. b2 b3 b1 b3 b1 b2 þ A= a2 a3 , b2 b3 B=− a1 a3 , b1 b3 a1 a2 b1 b2 ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ ¹ C= Ax + By + Cz + D = 0¸ D = −Ax0 − By0 − Cz0 º A¸ B C þ ¸ �a ¾µ b º º º x = −B Ay− ¸ ¸ C A z− D A ´¿º¿¼º µ ¹ ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º ¾µ ¹ M0 C a(− B , 1, 0) ¸ b(− A A¸ º º ´¿º¿¼º µ ¸ ¹ ´¿º¿¼º µ ¹ π Ax+By +Cz +D = 0¸ a(−B, A, 0) b(−C, 0, A)º þ º D A, ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ¸ C v− ¸ ´¿º¿¼º µº ¹ ¸ y = u¸ z = v . C A ¹ ¸ º ´¿º¿¼º µ A = 0 (− D A ¸ 0, 0) 0, 1)º B ´¿º¿¼º µ º ⎧ B ⎪ ⎨x = − A u − y = u, ⎪ ⎩ z = v. ¸ ¸ A¸ ¹ º ú Ax + By + Cz = −D, ½¼¼ û ´¿º¿¼º µ �−D ¸ ú x −D A + y −D B ¸ Ax + By + Cz + D = 0¸ a= + û y −D C = 1. π ú D = 0¸ û a¸ b c¸ ¸ −D −D −D , b= , b= . A B C ´¿º¿¼º µ ï ¿½ ¿½º½ º ÿ º ¿½º¾ º ¹ ¹ ¹ ¸ º ¸ α¸ −− → n = AB AB ¸ ¹ ¸ ¹ º ½º π ¸n ¿½º¾ M −−−→ M0 M ⊥nº ¸ π ½¼½ M0 ¹ ¸ ¸ º ¹ ¸ �n¸ M0 −−−→ π = {M ∈ R3 |M0 M ⊥n}º º M0 (x0 , y0 , z0 ) M (x, y, z) þ n ¹ π¸ πº (x − x0 , y − y0 , z − z0 )º −−−→ n M0 M n(A, B, C)º ¹ −−−→ M0 M −−−→ M0 M ⊥n¸ º −−−→ M0 M ¸ A(x−x0 )+B(y−y0 )+C(z−z0 ) = 0º ¸ πº þ M (x, y, z) ´½º¿½º½µ¸ ¸ M ´¿º¿½º½µ þ C ´¿º¿½º ½µ πº ¹ ¹ º ´½º¿½º½µ D = −Ax0 − By0 − Cz0 º Ax + By + Cz + D = 0º A, B, C n πº ¸ π Ax + By + Cz + D = 0 ¸ n (A, B, C)º B ¹ þ ¹ ¹ A¸ ¹ º ½¼¾ �¾º ¿½º¿ º ¸ Ax + By + Cz + D = 0 ½µ A2 + B 2 + C 2 = 1¸ ¾µ D < 0º ¿½º¿ ¸ x cos α + y cos β + z cos γ − ρ = 0¸ cos α¸ cos β ¸ cos γ ¸ ρ > 0º n π Cz + D = 0º ´¿º¿½º ¾µ Ax + By + ¹ ¹ ºþ λ = ±√ 1 D < 0¸ ú·û¸ ´¿º¿½º ¿µ A2 + B 2 + C 2 ú û¸ (λA)x + (λB)y + (λC)z + λD = 0, ¸ ¸ D > 0º ´¿º¿½º µ (λA)2 + (λB)2 + (λC)2 = 1. λD < 0º ï ¿¾º ÿ Ü· Ý· Þ· π πº ½¼¿ ¸ M1 ¸ M2 ¸ �¿¾º½ º ÿ ¸ M1 π¸ π¸ ¿¾º¾ º ¸ M2 M1 M2 π¸ º M1 M2 ¹ π¸ πº ¹ º ¸ R3 ¸ º ¸ ¿¾º½ º π Ax + By + Cz + D > 0 Ax + By + Cz + D = 0¸ Ax + By + Cz + D < 0 ¸ ¹ º π ¹ ¾ º½ º ï ¿¿º þ π1 þ ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ ¹ π1 π1 π1 π2 π2 π2 π1 ¸ ¸ ¸ π2 ¸ ¾µ º ½¼ π2 º 3)− �A1 x+B1 y+C1 z+D1 = 0 π1 π2 º ÿ A2 x+B2 y+C2 z+D2 = 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ´¿º¿¿º ½µ ¸ º A1 B1 C1 A2 B2 C2 r ¸ µr=r π2 r < 3¸ r < 3º µr µ = 1¸ r = 2 π1 π2 r=r =1 ´¿º¿¿º½µ ¹ r = rº ¸ º º ¸ π1 ¸ ¹ ¸ r = 2 B1 C1 , B2 C2 º ¸ ´¿º¿¿º½µ º ´¿º¿¿º½µ ¸ ¾º þ º Δ1 = ¸ ´¿º¿¿º½µ ¸ ½º =2 ¹ A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 r ¹ Δ2 = A1 C1 , A2 C2 ¸ r = 1 ½¼ Δ3 = A1 B1 A2 B2 Δ1 ¸ �Δ2 ¸ Δ3 ¸ A1 B1 C1 = = º A2 B2 C2 ¸ ´¿º¿¿º ¾µ ´¿º¿¿º¾µ¸ ¸ r = 1º A1 B1 C1 , , A2 B2 C2 1) π1 ∩ π2 = ⇔ ¸ A1 B1 C1 D1 2) π1 π2 ⇔ = = = ¸ A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 3) π1 = π2 ⇔ = = = . A2 B2 C2 D2 ï¿ º Oe1 e2 e3 º ¿ º½ º þ π¸ p(p1 , p2 , p3 ) Ax+By +Cz +D = 0¸ ¸ Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0º ¹ pº πº º º M0 (x0 , y0 , z0 ) −−−−→ p = M0 M1 ¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) ¸ M0 M1 ½¼ ¹ ´¿º¿ º ½µ p||π º þ �þ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 ) + C(z1 − z0 ) = 0. −−−−→ M0 M1 = p¸ (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 )¸ z1 − z0 = p3 º −−−−→ M0 M1 x1 − x0 = p 1 ¸ y 1 − y 0 = p 2 ¸ ´¿º¿ º½µº º þ p 1 = x1 − x0 ¸ ´¿º¿ º½µ ´¿º¿ º ¾µ ´¿º¿ º¾µ¸ ´¿º¿ º½µº ¹ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¹ −−−−→ p p = M0 M1 º M1 (x1 , y1 , z1 )º p2 = y1 − y0 ¸ p3 = z1 − z0 º ´¿ºº¿ º¾µº (Ax1 + By1 + Cz1 ) − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0. ´¿º¿ º ¿µ π¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º Ax0 + By0 + Cz0 = −D Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) p πº ´¿º¿ º¿µº πº ¸ ¸ º ï¿ º ½º ¿ º½ º ¸ º Oe1 e2 e3 º ¹ º ½¼ �¿ º½ º ´¿º¿¿º ½µ π1 π2 ¸ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0º ´¿º¿ º ½µ º Ax+By+Cz+D = 0º π p(p1 , p2 , p3 )− π1 ¸ π2 p ⎧ ⎪ ⎨A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0, A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0, ⎪ ⎩ Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0. π¸ ´¿º¿ º ¾µ ¸ ´¿º¿ º¾µ Δ º A1 B1 C1 Δ = A2 B2 C2 = 0º A B C π1 π2 ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º ¹ ´¿º¿ º ¿µ A = αA1 + βA2 , B = αB1 + βB2 , C = αC1 + βC2 , α¸ β M0 (x0 , y0 , z0 ) π1 π2 ¹ A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 = 0, ½¼ M0 ¸ º º ¸ A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 = 0. ¹ �−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 = D1 , π +By0 + Cz0 + D = 0º ´¿º¿ º¿µ¸ −A2 x0 − B2 y0 − C2 z0 = D2 . þ D M0 ¸ ¸ Ax0 + ¹ C = −Ax0 − By0 − Cz0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 − −(αC1 + βC2 )z0 = α(−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 − −C2 z0 ) = αD1 + βD2 º ¸ ´¿º¿ º µ D = αD1 + βD2 . ´¿º¿ º¿µ ´¿º¿ º µ ¹ π (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 )z + αD1 + βD2 = 0, ´¿º¿ º¾µ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0. π2 ¸ ¸ ¸ ´¿º¿ º¾µ ¹ M0 (x0 , y0 , z0 )¸ ¸ π1 ¹ π1 π2 ¸ ¸ α(A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 ) = α · 0 + β · 0 = 0. ¸ α βº λ= β α (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0. ´¿º¿ º µ ½¼ �´¿º¿ º µ ¸ π2 ¸ ¹ ¹ º ¾º ¹ ¿ º¾ º ¸ º ¿ º¾ º π¸ 0¸ π¸ C º Ax + By + Cz + D = ¸ ¸ A¸ B ¸ D ºþ a(−B, A, 0) ¿¼º½ µº ¹ b(−C, 0, A)¸ π ´ A¸ B ¸ C D ¸ º x¸ y ¸ z ¸ º A¸ B ¸ C Ax + By + Cz + D = 0 Dº ï¿ º ¹ ¹ ¹ þ π1 ¸ π2 ¸ π3 º ¸ ¹ ½½¼ �µº ½º ¾º ¿º º ´ ´ º ¿¿¸ µº ´ ´ º ¿¿¸ º ¿¿¸ ¸ µº º ¿¿¸ ¸ ¸ ¸ µº º ¿¿ þ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0¸ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0º ¸ ⎧ ⎪ ⎨A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, ⎪ ⎩ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0. ½½½ π1 ¸ π2 ¸ π3 ´¿º¿ º ½µ �⎛ ⎞ A1 B1 C1 ⎝A2 B2 C2 ⎠¸ A3 B3 C3 ⎛ r ⎞ A1 B1 C1 D1 ⎝A2 B2 C2 D2 ⎠º A3 B3 C3 D3 r ¸ µr r ≤ 3¸ r ≤ 3º ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ¼º = r = 3 µ π1 ¸ π2 r=r =2 µ π1 π2 r = r = 1 π3 µr=r ¸ µ ´¿º¿ º½µ ¹ r = rº ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ½º ¸ ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ¾º þ π1 ¸ π2 ¸ º π3 ⇐⇒ r = r = 3 µ ⇐⇒ r = r = 2 µ ⇐⇒ r = r = 1 µ ⇐⇒ r = r º π1 ¸ π2 ¸ º ½½¾ π3 ¸ �ï¿ º ¿ º½ º S(x0 , y0 , z0 )¸ ¿ º½ º ¸ º º ¹ º α(x − x0 ) + β(y − y0 ) + γ(z − z0 ) = 0¸ α¸ β ¸ γ ¸ ´¿º¿ º ½µ ¹ ¾ º½ º ¿ º¾ º π1 ¸ π2 π23 ¸ ¹ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0¸ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z+ +D2 ) + γ(A3 x + B3 y + C3 z + D3 ) = 0. º ï¿ º ½º ½½¿ ´¿º¿ º ¾µ �¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ º ¿ º½ º º º n1 (A1 , B1 , C1 ) ´´½º½¾º µµ π1 ¹ n2 (A2 , B2 , C2 )º ϕ ¹ ϕº A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 cos ϕ = A1 x + π1 π2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 B1 y + C1 z + D1 = 0 ¹ A21 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 º ´¿º¿ º ½µ π2 ´¿º¿ º ¾µ π1 ⊥π2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 º ¾º M (x, y, z) d Ax + By + Cz + D = 0 d= |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B 2 + C 2 ´¿º¿ º¿µ ¸ ½½ º ´¿º¿ º ¿µ ´¿º¾ º ½µ º ¹ �¿º Ax + d By + Cz + D1 = 0 Ax + By + Cz + D2 = 0 d= √ |D2 − D1 | A2 + B 2 + C 2 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ º ¸ ´¿º¾ º½µ ¹ º ï¿ º ¿ º½ º þ ¸ ½º a¸ º ¸ ¸ º ¹ º ´ µ x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ ¸ ¸ a(a1 , a2, a3 ) º ½½ ´¿º¿ º ½µ ¹ �¾º ⎧ ⎪ ⎨x = x0 + a1 t, y = y0 + a2 t, ⎪ ⎩ z = z0 + a3 t, M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ a(a1 , a2, a3 ) º ¿º ´¿º¿ º ¾µ ¹ ¸ y − y1 z − z1 x − x1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 M1 (x1 , y1 , z1 ) ¸ ´¿º¿ º ¿µ º M2 (x2 , y2 , z2 ) º ¸ ´ µ π1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 π2 A2 x+B2 y +C2 z +D2 = 0¸ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. ´¿º¿ º µ ´½º¿ º µ º π1 ¸ ¹ p(p1 , p2 , p3 ) º π2 ¸ ½½ p º ¹ ¸ �A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0, A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0 ´ º ´¿º¿ º ½µµº p3 ¸ ´¿º¿ º µ p2 p3 ¸ π2 B1 C1 A C1 A B1 , Δ2 = 1 , Δ3 = 1 B2 C2 A2 C2 A2 B2 Δ1 = p1 p3 π1 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ Δ3 = 0º º ⎧ p1 p2 ⎪ ⎪ ⎨A1 + B1 = −C1 , p3 p3 p p ⎪ 1 ⎪ ⎩A2 + B2 2 = −C2 . p3 p3 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ ¸ Δ1 p1 = , p3 Δ3 ¸ p2 − Δ2 = . p3 Δ3 ´¿º¿ º µ p2 p3 p1 = = , Δ1 Δ2 Δ3 ¹ p(p1 , p2 , p3 ) a(Δ1 , − Δ2 , Δ3 )º ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ ¸ z = z0 ¸ A1 x + B1 y = −C1 z0 − D1 , A2 x + B2 y = −C2 z0 − D2 , ½½ a º ºþ ¹ ¹ �M0 (x0 , y0 , z0 )¸ ¸ º º ¸ º ¸ ¸ x − x0 B1 C1 B2 C2 y − y0 = − A1 C1 A2 C2 z − z0 = A1 B1 A2 B2 º ¸ º ´¿º¿ º µ ¸ ¸ a ¹ n1 (A1 , B1 , C1 ) π1 π2 ¸ º n2 (A2 , B2 , C2 ) a = n1 × n2 º ï ¼º ¹ º ¹ ´¿º¿ º ½¼µ þ ¸ ¹ m ½º ¾º ¿º º m m m m º º º º ¹ m x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , = = . a1 a2 a3 b1 b2 b3 ´ º ½½ º¿ µ �¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) a(a1 , a2 , a3 ) ¸ M2 (x2 , y2 , z2 ) b(b1 , b2 , b3 ) mº º¿ (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )º ¸ ¾¸ ¿ þ −−−−→ M1 M2 ½ −−−−→ M1 M2 ¸ a Δ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Δ= a1 a2 a3 . b1 b2 b3 ½ Δ = 0¸ ¾¸ ¿ ¸ Δ = 0º þ ¸ þ º b ¹ µ µ Δ = 0 Δ = 0º x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 =0 b1 b2 b3 º ¹ m ¸ m b¸ ´ ½ º¿ µ ¸ m −−−−→ M1 M2 ¸ a ´¿º ¼º ½µ m ¾ a b ¸ º º ºþ a2 a3 a1 = = . b1 b2 b3 ½½ ´ ¸ ¿ a1 b1 º¿ µ ¸ ab ¸ 2 2 a ¸ a3 b3 b ´¿º ¼º ¾µ �þ −−−−→ M1 M2 ¸ a¸ b ´¿º ¼º¾µ y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 = = . b1 b2 b3 a2 b2 ¸ þ ¸ ´¿º ¼º ¿µ µ a3 b3 ´¿º ¼º¿µ¸ ¸ ´¿º ¼º¾µ¸ µ µ º m ¸ ¸ a1 b1 ´¿º ¼º¾µ ¸ m m m x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 ⇔ a1 a2 a3 =0; b1 b2 b3 1) ´¿º ¼º µ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 =0 b1 b2 b3 a1 a2 a3 , , b1 b2 b3 2) ⇔ ´¿º ¼º µ a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 ´¿º ¼º µ a1 a2 a3 = = , b1 b2 b3 y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 = = º b1 b2 b3 ´¿º ¼º µ 3) 4) ⇔ ⇔ ½¾¼ �ï ½º m x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , = = . a1 a2 a3 b1 b2 b3 b(b1 , b2 , b3 )º a(a1 , a2 , a3 ) a ϕ m¸ a cos ϕ = ´½º½¾º µ b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 ¹ b b21 + b22 + b23 º ´¿º ½º ½µ ´¿º ½º½µ ´¿º ½º ¾µ ⊥m ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0º ï ¾º ´ º º ¿ µº M (x, y, z) x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 º º d M º a(a1 , a2 , a3 )º M0 (x0 , y0 , z0 ) −−−→ a M0 M ½¾½ �Sº ¹ ¹ ¸ S = |a|·d ¸ −−−→ ¸ S = |M0 M ×a| ´ º ½ º¾ ¸ ¾◦ µº ¹ d º¿ −−−→ |M0 M × a| . d= |a| þ −−−→ M0 M a a ¹ M (x, y, z) d y − y0 z − z0 a2 a3 ¸ 2 d= x − x0 z − z0 + a1 a3 2 + x − x0 y − y 0 a1 a2 a21 + a22 + a23 2 . ´¿º ¾º ½µ ï ¿º ´ º º ¿ µº x − x1 y − y1 z − z1 = = a1 a2 a3 ´ µ¸ x − x2 y − y2 z − z2 = = b1 b2 b3 ´Ñµ¸ mº d ½¾¾ º �º a(a1 , a2 , a3 ) M2 (x2 , y2 , z2 ) Vº ¸ m ¸ ¸ ´ º ◦ ¾ µº þ S ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ d d ·S ¸ −−−−→ V = |M1 M2 a b| b(b1 , b2 , b3 ) mº −−−−→ M1 M2 a¸ b ½ º¿ ¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) m V = ¸ ¹ = |a × b|¸ º¿ d d= −−−−→ |M1 M2 a b| |a × b| þ . −−−−→ M1 M2 ¸ a d b¸ m mod d= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a2 a3 b2 b3 2 + a1 a3 b1 b3 ½¾¿ 2 + 2 a1 a2 . b1 b2 ´¿º ¿º ½µ �ï º þ þ ½º ¾º ¿º π π Pº π ¸ ¸ º πº ¸ º π ´¿º º ½µ ´¿º º ¾µ x = a1 t + x0 , y = a2 t + y0 , z = a3 t + z0 , Ax + By + Cz + D = 0. ¹ ¸ ´¿º º½µ¸ ´¿º º¾µ πº ¸ ¹ (Aa1 + Ba2 + Ca3 )t + (Ax0 + By0 + Cz0 + D) = 0. ´¿º º ¿µ ºþ º µº Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ 0 +By0 +Cz0 +D t = − AxAa º 1 +Ba2 +Ca3 t ´¿º º½µ¸ ¸ ´¿º º½µ ¸ πº πº ´¿º º¾µ ½¾ ¸ ´¿º º¿µ º ¹ ¹ a(a1 , a2 , a3 ) n(A, B, C) π ¸ �n Ca3 ¸ µ´ D = 0¸ ¹ a º ¿ ºµ na º na = Aa1 +Ba2 + Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 + ´¿º º¿µ¸ º º ¸ π¸ ¸ ¸ ¹ º π ¸ ¹ ¸ ¹ a n ¹ π ¸ ¸ ¹ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º ¸ º º þ¹ ¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¹ π Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º µ ´ º ¿ ºµ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + ´ º¿µ¸ ¸ ¹ Cz0 + D = 0¸ º ¸ πº ¸ ¹ π¸ ¸ ¹ ¸ a n ¹ π ¸ ¸ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º þ ¹ ¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º π ¸ 1) ∩ π = P ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0; ´¿º º µ π⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; ´¿º º µ 3) ⊂ π ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; ´¿º º µ 2) ½¾ �º¿ ï º¿ º¿ º ¹ º½ º π x − x1 y − y1 z − z1 = = , a1 a2 a3 Ax + By + Cz + D = 0 a(a1 , a2 , a3 ) π ¸ ¹ º º a ¹ πº n P ´ º ½¾ n(A, B, C) π P πº º¿ ¸ º ¿ µº ¹ 1 �α a n ϕ 1 ´¿º º ½µ α = 90◦ ± ϕ. ´¿º º½µ cos α = ± sin ϕ ¸ ¸ ´¿º º ¾µ sin ϕ = ± cos α. α ≤ 90◦ ¸ − cos αº ¸ sin ϕ = cos α¸ 90◦ < α ≤ 180◦ sin ϕ ≥ 0º ¸ ´¿º º ¿µ ´½º½¾º µ sin ϕ = | cos α|. cos α cos α = sin ϕ = Aa1 + Ba2 + Ca3 na =√ . |n| · |a| A2 + B 2 + C 2 · a21 + a22 + a23 ¸ ´ º¿µ¸ ¹ ϕ π sin ϕ = a21 |Aa1 + Ba2 + Ca3 | √ + a22 + a23 A2 + B 2 + C 2 ½¾ º ´¿º º µ �ÿ ï º ½º º½ º ¸ ¸ º F1 ¸ F2 2a 2c µº ¸ þ ¸ ¸ ¸ º O F1 F2 = 2c¸ ¹ ´ º F1 ¹ ¹ F2 º ¹ ¹ O ij ¸ −−→ F1 F2 ¸ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº ¹ �F1 (c, 0) M (x, y) F2 (−c, 0) º ´ º ¿ µº F1 M F2 M F1 M = (x − c)2 + y 2 ¸ F2 M = (x + c)2 + y 2 º º º½ F1 M + F2 M = 2a, º¿ (x − c)2 + y 2 + ¸ M (x, y) (x + c)2 + y 2 = 2a. M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º (x + c)2 + y 2 = 2a − (x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a a ´ º º ½µ ´ º º ¾µ ¸ ´ º º¾µº þ ´ º º¾µ º ¹ ¹ (x − c)2 + y 2 (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 . (x − c)2 + y 2 = a2 − cx. ¹ (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ). a2 (a2 − c2 ) y2 x2 + = 1. a2 a2 − c2 ½¾ ´ º º ¿µ �F1 F2 M º F1 M + F2 M > F1 F2 º ¸ þ ¸ a > cº ¸ ¹ ¹ a2 − c2 = b2 º ´º º µ x2 y 2 + = 1º a2 b2 ´º º µ º¿ ¸ M (x, y) ¸ ´ º º¾µ ´º ºµ º ¸ ´ º º µº þ r1 = F1 M r2 = F2 M º y 2 = b2 1 − x2 a2 r1 = F1 M = x > 0º x2 a2 ´º ºµ = a2 − c2 − x2 + ¸ ¹ ¹ º ¹ ¹ c2 2 x º a2 (x − c)2 + y 2 = c2 − 2cx + 2 x2 = a x ≤ 0¸ M (x, y) = (a2 − c2 ) 1 − x2 − 2cx + c2 + a2 − c2 − x2 + a2 ´ º º µº a− c2 2 x = a2 c a− x a c x>0 a ´ ºµ ½¿¼ 2 = a− c x a º a− c c x = a − xº a a y2 x2 = 1 − a2 b2 ¸ ¸ �x2 ≤ 1º a2 |x| ≤ 1º a ¸ a− c c x ≥ a− a = a−c > 0 a a x ¸ x ≤ aº x>0 a− c c x = a − xº a a r1 = a − c xº a ´º º µ r2 = a + c xº a ´º º µ ü r1 + r2 = (a − c c x) + (a + x) = 2aº a a M (x, y) ¸ ´º º µ ¸ ¸ ´ µ º º ¸ ¹ y ¹ ¾º º ½º ´º ºµ M (x, y) º ¾º þ º ¸ º x ¸ ¸ (±x, ±y) ¸ ºþ ¸ ½¿½ M (x, y)¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ º ¹ º �x2 y 2 + 2 = 1, a2 b ¸ Ox¸ y = 0. ´º º µ A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º B2 (0, −b)º a ¸ a > b¸ B1 B2 ¸b ¸ ¿º ¸ b¸ y = −bº º Oy ¸ ¹ º ´º ºµ x2 M (x, y) ≤ 1 a2 |x| ≤ a¸ |y| ≤ b ¸ ¸ ¹ B1 (0, b)¸ A1 A2 º −b ≤ y ≤ bº ü ¸ y2 ≤ 1º b2 −a ≤ x ≤ a¸ x = a¸ x = −a¸ y = º ¸ º ¸ ¸ y = kxº ¸ ´º º µ ¹ º ¸ y ¹ x2 k 2 x2 + 2 = 1. a2 b ´º º µ ab x1,2 = ± √ . 2 b + k2 a2 ¸ ¸ C1 √ ab b2 + k2 a2 ,√ ¸ kab b2 + k2 a2 ¸ C2 ½¿¾ √ − ab b2 + k2 a2 ,√ º − kab b2 + k2 a2 ¸ �º 0º º º x2 y 2 + = 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º a2 b2 ¸ A1 B1 √ y = ab a2 − x2 ¸ x 0 a¸ y ¸ ý ¸ A1 B1 þ ¹ ¹ y ¹ [0, a]º b ¸ ¹ ¹ º A1 B1 ´ ¸ º ¼µº º ¼ ï º ÿ ½º º F1 ¸ F2 2a ¸ º½ º ÿ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ½¿¿ �¹ ´ 2c µº þ ´ ¹ Oij ¸ F1 F2 ¸ ¹ O F1 F2 = 2c¸ −−→ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº F2 (−c, 0)º º ½µº M (x, y) F1 (c, 0) ¹ ¹ º F1 M F2 M (x − c)2 + y 2 ¸ (x + c)2 + y 2 º F1 M = F2 M = º½ |F1 M − F2 M | = 2a, ´ º º ½µ | (x − c)2 + y 2 − M (x, y) M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º (x + c)2 + y 2 = ±2a + (x + c)2 + y 2 = 4a2 ± 4a ´ º º ¾µ (x + c)2 + y 2 | = 2a. ¸ ¸ º ½ ¹ ´ º º¾µº þ ¹ ´ º º¾µ º (x − c)2 + y 2 (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 . ½¿ ¹ ¹ ¹ �±a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx. a2 (x − c)2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2 (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ). a2 (c2 − a2 ) y2 x2 − = 1. a2 c2 − a2 ´ º º ¿µ F1 F2 M º ¸ |F1 M − F2 M | < F1 F2 º ¸ º¿ ¸ ´ º º¾µ þ a < cº ¸ c2 − a2 = b2 º ´º º µ x2 y 2 − = 1º a2 b2 ´º º µ M (x, y) ¸ ´º ºµ º ¸ r1 = F1 M ¹ ¹ ´ º º µº þ r2 = F2 M º ½¿ ´ º º µº M (x, y) ´º ºµ ¸ ¹ ¹ º ¹ ¹ �y 2 = b2 x2 −1 a2 r1 = F1 M = x2 − 2cx + c2 + a2 x2 −1 a2 = (c2 − a2 ) c2 2 x − x2 − c2 + a2 = a2 x < 0¸ 2 c a− x a a− ¸ c x>0 a = a− ¸ x2 ≥ 1º a2 ü ¸ c c x = a − xº a a c x. a y2 x2 = 1 + a2 b2 x > 0 x>0 c xº a r2 = |a + ¸ x>0 a− c c x ≤ a− a = a−c < 0 a a c c x = −a + xº a a r1 = −a + º |x| ≥ 1º a ¸ a− c x a r1 = a − ´º ºµ x ≥ aº a− ¸ x<0 x > 0º ¸ c2 2 x − x2 − c2 + a2 º a2 (x − c)2 + y 2 = c2 − 2cx + 2 x2 = a ¸ = ´º º µ c x| a x<0 ¸ r2 = −a − r2 = a + ½¿ c xº a c x¸ a �½µ x < 0¸ r1 = a − c x, a c x a ´º º µ r2 = a + c xº a ´º º µ x > 0¸ ¾µ r1 = −a + ½µ ¾µ r2 = −a − ´ º º ½µ x < 0¸ |r1 − r2 | = |(a − x > 0¸ c c x) − (−a − x)| = 2a a a |r1 − r2 | = |(−a + ¸ M (x, y) ¸ c x, a c c x) − (a + x)| = 2a. a a ´º º µ ¸ ´ º º µ¸ º ¸ M (x, y) ¸ º ¾º ½º º ´º ºµ º M (x, y) º x y ¸ ¸ (±x, ±y) ¹ M (x, y)¸ ¸ ¹ ¸ º º ½¿ ¹ ¹ �¾º þ ¸ ºþ ¸ ¸ Ox¸ ¸ x2 y 2 − 2 = 1, a2 b º ¸ Oy º ¿º ¸ º b |x| ≥ a¸ ¸ ¸ º º A1 A2 B1 B2 ¸ B1 B2 B1 (0, b)¸ B2 (0, −b)¸ a ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ ´º ºµ ¸ º ¹ x = a¸ x = −a, ºÿ º ¸ ´º ºµ x2 ≥ 1º a2 x ≤ −a¸ x ≥ aº M (x, y) ¸ ´º º µ y = 0. A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º x = 0¸ Oy ¸ ´º ºµ ¸ ¹ º y ¸ y = kxº ¸ ¹ º ¹ x2 k 2 x2 − 2 = 1, a2 b x2 (b2 − k2 a2 ) = a2 b2 . ½¿ ´ º º ½¼µ �½µ b2 − k2 a2 ´ º º½¼µ¸ > 0¸ º º |k| < ab º ab x1,2 = ± √ . 2 b − k2 a2 þ C1 ¹ ¸ kab ab √ ,√ 2 2 2 2 b −k a b − k 2 a2 ¸ C2 ¸ − kab − ab √ ,√ 2 2 2 2 b −k a b − k 2 a2 Ø α¸ Ox ´− π2 < α < π2 µ¸ Ø k − y = ±b º ´ º α b α< ¸ a ¹ ¹ ´ º º ½½µ ¸ x = ±a¸ b b < tgα < . a a ¸ º ¾µº º º ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ 1 2¸ ¸ Oxº OA1 = OA2 = a¸ OB1 = OB2 = b¸ Ø α1 = b b ¸ Ø α2 = − aº ¹ a ´ º º½½µ tg α2 < tg α < tg α1 º α1,2 º ¾ ¸ ¸ ´ º º ½¾µ ¹ α2 < α < α1 . 1 ½¿ ¸ 2 �¾µ Ox C1 ¸ C2 º b2 − k2 a2 = 0¸ º º |k| = ¸ ¸ k= ± ab ¸ ¸ ¸ ¸ b a ¹ º ´ º º½¼µ ¸ ¸ º 1 ¸ ¸ ½¸ k> ¸ k < − ab º b a α1 ¸ α2 1¸ ºü ¸ ¹ ¹ ¹ 2 ´ º º ½¿µ ¹ ¹ α < α2 . 1 Oy ¸ y= ´ º º½¼µ ¸ ºþ α ¸ 1 ¹ ¹ ¸ α > α1 ¸ º 2 ¸ º ¿µ b2 − k2 a2 < 0¸ º º |k| > ab º ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ 2 º º¾ º ü 2¸ ¹ ¹ ´ º º½ µ b y = − xº a b x, a ¾ º ½¼ ¸ �¸ ´ º½ º ø ¸ ¸ ¹ µº ´ º º ¿µº ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ M (x, y) ´x > 0¸ º ¹ p¸ ¹ M (x, y)¸ º y ≥ 0µ 1 º ¸ N ´ º º½ Ox N (x, y ) p º M p¸ ´º º µ º ¿ Oy ¸ ¹ M 1 N b√ 2 b y= x − a2 ¸ y = xº a a √ y > y¸ x > x2 − a2 º þ √ b√ 2 b b MN MN = x − x − a2 = (x − x2 − a2 ) = a √a a √ a2 b (x − x2 − a2 )(x + x2 − a2 ) b √ √ · = · = a a x + x2 − a2 x + x2 − a2 ab √ x + x2 − a2 ab √ = 0. x→∞ x + x2 − a2 M lim ¸ MN º M ½½ ¹ �1 1 M L¸ ´L M º º ∞º ý ¸ ¸ µº ¸ ø º º x2 y 2 − = 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ a2 b2 ¸ √ b 2 2 y = a x −a ¸ x a ∞¸ y ¸ ¸ ¸ ´ º ï ML < MN MN º ½º þ ½¾ ¹ ¸ ¹ ¹ y ¹ [a, ∞)º 0 A1 ¸ A2 º º µº ¹ �º½ º ¸ ¸ F m p ¸ ¸ ¸ ¸ º þ ´ º º µº FK m Oij O j⊥iº KF = p¸ F ( p2 , 0)¸ M (x, y) º x+ 2p = 0º (x − º½ y2 + ¹ ¸ d = |x + ¸ p 2 2 + y2 = x + M (x, y) ½¿ º p 2| º ´ º º ½µ F M = d, x− ¹ ¹ −−→ KF ¸ i ↑↑ OF ¸ ¸ d ¹ ´¿º½ º½µ ´¿º¾ º½µ ¹ p 2 2) F ¹ ¹ ¹ FM FM = º ¹ ¹ ¹ p . 2 ´ º º ¾µ ´ º º¾µº þ ¸ �M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º x− 2 p 2 + y2 = x + p 2 2 . ´ º º ¿µ y 2 = 2pxº ¸ M (x, y) ´ º º¿µº ¸ ´ º º¾µ ´ º º¿µ º r = FMº þ r = FM = x2 + px + p2 4 M (x, y) ¸ º ¸ x− = ¸ ´ º º¿µº þ p 2 2 x+ + y2 = p 2 2 ´ º º¿µ¸ x2 − px + º ´ º º½µ = x+ º º¿ ¸ p2 4 º ´ º º¿µ º ¹ ¹ + 2px = p 2 º ¸ º ¸ ¸ ½ ¸ M (x, y) ¾º ½º ¹ ¹ ¹ ´ º º¾µ ºþ y �¸ M (x, y)¸ ¸ (x, −y) M (x, y) ¾º þ ¸ Oxº Oxº ºþ ¸ ¹ ¹ ¹ º ¸ Ox¸ y 2 = 2px, y = 0. O(0, 0)º º º ¿º p 2 M (x, y) º ¸ Fº º ´ º y = kxº º ´ º º¿µ Oy º OA ´ º º¿µ ¸ x ≥ 0, Oy ¸ ¹ ¹ ¸ º µº ´º º µ ¸ ¸ ¹ ¸ y ¹ ¹ ¸ (kx)2 = 2px, x k2 x − 2p = 0. x1 = 0, x2 = ½ 2p . k2 º ´º º µ �¸ ¸ º 0 ´ L( k2p2 , O(0, 0) º º y 2 = 2px¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ ¸ √ y = 2px¸ ¸ x 0 ∞¸ y ∞º ý Oy º Ox¸ ´ º µº ¹ º 2p k ) ¸ ¹ y ¹ [0, ∞)º ¹ ¸ y m K Oy µ¸ . j O i . F x º º ºþ ¹ y 2 = −2px, ´º º µ x2 = 2py ¸ ´º º µ x2 = −2py º ´º º µ ½ �´º ºµ ¸ F x− ´º ºµ ´ ´ 0, º p 2 −−→ OF y+ º µº µº º ¸ = 0º þ º 0, p 2 0 ¸ ¹ ¹ ¹ µº ¹ y + p2 = 0 Oy F ¹ ¸ ¸ ¹ ´º ºµ º ¸ ´ F F º ï =0 ¸ ¸ j p 2 p 2 − p2 , º ¸ º½ º ¸ º c < a¸ º ´ º º µ ´ º º µ¸ ½ = ¹ c a ¸ c > a¸ ¹ ¸ ¹ ´º º µ ´º ºµ �º r2 = a + x. ´ º º ½µ r2 = −a − x ´ º º ¾µ r2 = a + xº ´ º º ¿µ r1 = a − x, ½µ r1 = a − x, ¾µ r1 = −a + x, º¾ º x− a m1 = 0, x+ ´ º º½µ Oy a a ¸ º ¸ º A1 ¸ m2 ¸ a ¸ 2a A1 a A2 , º½ º ´ ¸ ¸ ´º º µ = 0. ¸ ¹ ¹ ¹ º A2 , ¸ a ¸ ¸ ¸ ºµ ø ½ ¹ ¹ ¹ º �º ¸ º M (x, y) µº ´ º º½ º º¿µ ´ ¸ ´ï ¸ ï µ¸ º ½¸ ¸ r1 = |a − x|, ´º º µ r2 = |a + x|. M (x, y) m1 ´¿º¾ º ½µ d1 = x − a = x−a = µ | x − a| d2 = , ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ | x + a| . m2 ´º º µ ´ º º µ ´ º º µ¸ |a − x| r1 = = d1 | x − a| |a + x| r2 = . = d2 | x + a| ¸ ¸ º º½ ¸ º Φ M F < 1¸ ï ¼º º ¸ ¸ ¸ ½ ¹ m Φ = 1º ¸ >1 ¸ º ¸ ¸ �F º º ¸ Φ ´ º FK ¸ µº º º F¸ F¸ L1 F FK ºþ Φº ¹ m¸ K ¸m F F L1 ¹ m L2 ¸ L1 F m = LF2KF = −−→ KF º mº L2 F p FK = ´ ¸ ¹ F, i F K¸ i F Φ ¸ ¹ F Kº ¹ p Φº L1 L2 º½ µº ¹ F Kº ´ º ¼º ½µ p FK = . Φ¸ (ρ, ϕ) MH M º E º½ F M = M H. ½¼ m MH . ¹ ´ º ¼º ¾µ �FM = ρ −−→ ∠(i, F M ) = ´ º ¼º½µ¸ ϕº þ M H = M E + EH = M E + F K = F M cos ϕ + F K = ρ cos ϕ + p ´ º µº M H = M E − EH = M E − F K = −F M cos ϕ − F K = º µº −ρ cos ϕ − p ´ ¸ ¸ Eº H F K + F M cos ϕº µ µ¸ ´ º ¼º¾µ¸ þ ϕ> M cos ϕ < 0 M H = HE − M E = ¸ M H = ρ cos ϕ + p º ρ = (ρ cos ϕ + p ) = ρ cos ϕ + p, ρ úû ú·û ¸ º 90◦ , ρ = − ρ cos ϕ + pº ¹ ρ= p ¸ 1 − cos ϕ ´ º ¼º ¿µ ρ= ±p 1 − cos ϕ ´ º ¼º µ ¸ º M ´ º ¼º µº ½½ Φ¸ ´ º ¼º¿µ º �ï ½º ¸ ½º½ º ¸ M0 M0 M ¸ M0 ´ M º ¼µº ¸ ¸ y = M0 (x0 , y0 ) f (x0 )º ü M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º ½µ ¹ ¹ x = g(y)¸ ´ º ½º ¾µ x − x0 = g (y0 )(y − y0 ). º ¸ ¸ ¹ ¹ f (x)¸ ¹ y − y0 = f (x0 )(x − x0 ). º ¼ ¹ ¸ ¹ º x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ´ º ½º ¿µ ¸ M0 (x0 , y0 ) ⎧ ⎨y = b 1 − x22 , a ⎩y = −b 1 − x2 , a2 ½¾ y0 = 0º y0 > 0, y0 < 0. þ ¹ �y0 > 0º þ k k=− x0 b a2 1− x20 a2 ´ º ½º µ . M0 (x0 , y0 ) x20 y02 + 2 = 1. a2 b 1− ¸ ¸ ´ º ½º µ x20 y02 = 2º a2 b k=− ¸ ¸ k ´ ½º µ x0 b2 . y0 a2 ´ º ½º µ ¸ y − y0 = − x0 b2 (x − x0 ). y0 a2 º xx0 yy0 + 2 − a2 b º x20 y02 + 2 a2 b þ ¸ y02 b2 ½¿ ¹ ´ º ½º µ xx0 yy0 + 2 = 1. a2 b y0 < 0¸ ¸ = 0. ´ º ½º µ¸ ¸ y0 b2 = − yb0 ¸ kº �0¸ þ M0 (x0 , y0 )¸ x = ±a x0 < 0º ´ º ½º¾µ ü ú·û 1− ¸ x0 = y2 , b2 x0 > 0¸ ú û¸ ¹ ´ º ½º µ º x0 ¸ y0 M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º µ xx0 yy0 + 2 = 1º a2 b x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´ º ½º µ xx0 yy0 − 2 = 1º a2 b ´ º ½º µ º x= y2 . 2p ´ º ½º ½¼µ M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º¾µ x − x0 = y0 (y − y0 ) p ½ ´ º ½º ½½µ �yy0 − y02 + px0 − px = 0. M0 (x0 , y0 ) þ ¸ ¸ y02 = 2px0 º yy0 = p (x + x0 )º ï ¾º µ ¸ º ¾º½ º ´ ¸ ´ º ´ ¾º¾ º ´ ¾º½ º ¹ ¸ µº ¸ ¸ ¸ µº µ ´ ´ º ½º ½¾µ µ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ º º ´ º ½ µº ¹ x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ´ º ¾º ½µ y = kx + b, ´ º ¾º ¾µ ½ �º ¸ k ¹ ¹ b M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 ) º ¹ ´ º ¾º½µ¸ M1 ¸ M2 ´ º ¾º¾µ¸ º º x21 y12 + 2 = 1, a2 b x22 y22 + 2 = 1, a2 b y1 = kx1 + b, þ y2 = kx2 + b. ´ º ¾º µ ´ ¾º µ¸ ´ º ¾º ¿µ ´ º ¾º¿µ¸ x22 − x21 y22 − y12 + =0 a2 b2 ´ º ¾º µ¸ M (x, y) ´ º ¾º µ ¹ ´ º ¾º µ x1 + x2 k(y1 + y2 ) + a2 b2 Oy º x1 + x2 k(y1 + y2 ) + = 0. a2 b2 M1 M2 º x1 + x2 = 2x, y1 + y2 = 2y. ´ º ¾º½¼µ ky x + 2 = 0, 2 a b ½ µ µ µ µ ´ º ¾º µ y2 − y1 = k(x2 − x1 ). (x2 − x1 ) ´ º ¾º ´ º ¾º ´ º ¾º ´ º ¾º = 0. x2 − x1 = 0 ´ º ¾º µ ¹ ´ º ¾º ½¼µ ´ º ¾º µ ¹ �y=− b2 xº ka2 ´ º ¾º ½½µ ´ º ¾º½½µ ¸ ¸ º º ¸ ¹ ¹ k k k =− Ox ÿ ´ º ¸ ¸ b2 ka2 º ´ º ¾º ½¾µ Oy ¸ M1 ¸ M2 ¸ Oxº ¸ ¹ ¹ º ¸ º ½ µ x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´ º ¾º ½¿µ ¸ k ¹ k k = ´ b2 ka2 ´ º ¾º ½ µ ¹ º ½ µºº y 2 = 2px ´ º ¾º¾µº º ´ º ¾º ½ µ ¹ ¸ M1 (x1, y1)¸ M2 (x2, y2) ½ �¹ º ´ º ¾º½ µ¸ ¹ M1 ¸ M2 ´ º ¾º¾µ¸ º º ´ º ¾º ½ µ ´ º ¾º ½ µ y12 = 2px1 , y22 = 2px2 ´ º ¾º µ¸ ´ º ¾º µº þ ´ º ¾º½ µ ´ º ¾º½ µ ´ º ¾º µº k(x2 − x1 )(y1 + y2 ) = 2p(x2 − x1 ). Oy º x2 − x1 = 0 ´ º ¾º ½ µ ¹ k(y1 + y2 ) = 2p. M1 M2 º M (x, y) ´ º ¾º½¼µ ´ º ¾º½ µ ky = p, y= ´ º ¾º½ µ Ox ´ º Ox º p = k ´ º ¾º ½ µ ¸ µº ¸ ÓÒ×غ Oy ¸ ¸ ¸ ½ M1 ¸ M2 ¹ �¾º¿ º µ y = kx ´ º ¾º ½ µº k ´ µ¸ k º ¾º½ ´ y = kx ¸ ¹ ¹ ¹ ´ º ¾º½¾µ¸ ¸ ¹ ¸ º ¾º º þ ¹ º ÿ ¸ º ï ¿º ¿º½ º ¹ ¸ Oij a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0º ´ º ¿º ½µ ½ �¸ a11 ¸ a12 ¸ a22 ´ º ¿º½µ ´ º ¿º½µ º º º ¸ ¹ ½º O ij º Oi j ´¾º½ º ¿µ ´ º ¿º½µ γ ¸ O ij ϕº x = x cos ϕ − y sin ϕ, ¹ ´ º ¿º ¾µ y = x sin ϕ + y cos ϕ, ´ ¿º½µº a11 (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + 2a12 (x cos ϕ − y sin ϕ)(x sin ϕ+ y cos ϕ) + a22 (x sin ϕ + y cos ϕ)2 + 2a13 (x cos ϕ − y sin ϕ)+ 2a23 (x sin ϕ + y cos ϕ) + a33 = 0. aij ´i, j ¸ aij ´ º ¿º ¿µ = 1, 2, 3µº þ ¹ −a11 cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + a22 cos ϕ sin ϕ = 0º (a22 − a11 ) cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) = 0. ´ º ¿º µ ¸ tg 2ϕ = 2a12 . a11 − a22 ½¼ ´ º ¿º µ �¸ ´ º ¿º µ ºþ ´a12 = 0µ¸ a11 − a22 ϕ = 45◦ º 90◦ , ¸ ´ º ¿º µ¸ xy¸ 2 Oi j ϕ¸ O ij ´ º ¿º µ¸ ¸ 2ϕ = ¸ ¹ γ º º ´ º ¿º µ 2 a11 x + a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0. þ cos ϕ sin ϕ 1 cos ϕ = 1+ tg2 2ϕ tg 2ϕ sin ϕ = , ´ º ¿º µ 1 + tg2 2ϕ º ´ º ¿º¾µ¸ ¹ ¾º ¹ ´ º ¿º µº þ ½º ¾º a11 a22 a11 º a13 ¿º a11 = 0º þ a11 a13 ½ º a22 ¸ º a22 ´ º ¿º µ x yº x¸ ¸ y 2 2 (a11 x + 2a13 x ) + (a22 y + 2a23 y ) + a33 = 0º a11 a22 º a11 = 0º ¸ ¹ ¸ ¸ ½½ ¸ �x2+2 a11 a13 (a )2 a (a )2 x + 13 2 +a22 y 2 + 2 23 y + 23 2 +a33 − a11 (a11 ) a22 (a22 ) (a13 )2 (a23 )2 − =0 a11 a22 2 a x + 13 a11 a11 + a22 a y + 23 a22 2 + a33 − (a13 )2 (a23 )2 − = 0. a11 a22 ´ º ¿º µ þ x =x + a33 = a33 − ´ º ¿º µ a11 x 2 a13 , a11 y =y + (a13 )2 (a23 )2 − . a11 a22 + a22 y 2 ´ º ¿º ½¼µ + a33 = 0. ´ º ¿º½¼µ γ Oi j ¹ ¸ ´ º ¿º µº Oi j a − a13 , 11 O þ ¾ ´ º ¿º µ a23 a22 ´ º ¿º µ º ¹ a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0. ´ º ¿º ½½µ y¸ ¹ 2 þ a22 a − a23 22 y + a23 a22 2 + 2a13 x + a22 a33 − (a23 )2 2a13 a22 ½¾ = 0. ´ º ¿º ½¾µ �þ x =x + a22 a33 − (a23 )2 , 2a13 a22 y =y + a23 . a22 ´ º ¿º ½¿µ ´ º ¿º½¾µ a22 y 2 ´ º ¿º ½ µ ¹ + 2a13 x = 0. ´ º ¿º½ µ γ Oi j ¸ ´ º ¿º½¿µº ¹ Oi j O − þ a a22 a33 − (a23 )2 , − 23 2a13 a22 a22 ¿ . ´ º ¿º µ 2 a22 y + 2a23 y + a33 = 0. þ y¸ a22 y + a23 a22 2 + a33 − (a23 )2 = 0. a22 ´ º ¿º ½ µ ¹ ´ º ¿º ½ µ þ x =x, a33 = a33 − a22 y y =y + (a23 )2 º a22 2 + a33 = 0. ½¿ a23 . a22 ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º½ µ ´ º ¿º ½ µ �´ º ¿º½ µ γ Oi j ¹ ¸ ´ ¿º½ µº Oi j 0, − O ï a23 a22 º º º½ º ¹ º º ¹ ¹ ´ º ¿º ½¼µ¸ ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º ½ µ¸ Ax2 + By 2 + C = 0, 2 By + 2Cx = 0, (A = 0, B = 0); (B = 0, C = 0); 2 By + C = 0, B −C ¹ ½º = 1 b2 A −C A −C >0 (B = 0). ´ º º½µº B x2 + −C y 2 = 1º B −C > 0¸ ´ º º ½µ ´ º º ¾µ ´ º º ¿µ C = 0º A −C = 1 , a2 A −C = 1 , a2 x2 y 2 + 2 = 1. a2 b B −C ¾º = − b12 A −C >0 B −C º < 0¸ x2 y 2 − 2 = 1, a2 b ½ �− A −C ¿º 1 B , −C a2 < 0¸ A −C =− B −C º >0 B −C < 0 1 . b2 < 0¸ A −C º = x2 y 2 + 2 = −1. a2 b º ´ º º½µ Ax2 + By 2 = 0º A > O¸ B < O¸ º B = − b12 C = 0¸ º º A = 1 a2 , x2 y 2 − 2 = 0. a2 b x a ¸ º B= º º 1 b2 + ¸ ¸ y b x2 a2 x a ¸ − y2 b2 − ¹ y b. ¹ =0 A > O¸ B > O¸ A = 1 , a2 x2 y 2 + 2 = 0. a2 b ¸ ´ º º½µ¸ º ½ ¸ º ¹ �º C xº −2 B C B ´ º º¾µº < O¸ C B y2 = = −p y 2 = 2px, C B º > O¸ C = 0º ´ º º¿µº C 2 y + B = 0º C < 0 ¸ B º C B º = −b2 y 2 − b2 = 0. y+b = 0 ¸ º º º C B ¸ ¸ y − b = 0. ¸ y 2 − b2 = 0 > 0¸ C B ¹ ¹ ¹ ¹ = b2 y 2 + b2 = 0. º ´ º¿µ C By 2 = 0º ´ º º¿µ¸ = 0¸ º º º º ¸ º ½ ¹ B = 0¸ y 2 = 0¸ þ ¸ º ´ º º¾µ �º º ¾ ½ �ÿ ï º ½º º ¸ ¹ º½ º ¸ ¸ º ¹ a γ¸ ´ γ F (x, y) = 0 k¸ F (x, y) = 0 Oij ¸ ¹ ¹ º ¿µº Oxy ¹ ¹ O ij k º �γ F (x, y, z) = 0, Ax + By + Cz + D = 0 Oij k ¸ º º F (x, y, z) = 0 By + Cz + D = 0¸ Ax + a(a1 , a2 , a3 )¸ ¹ ¹ º M (x, y, z) ¸ º ¿ γ M1 (x1 , y1 , z1 )º ´¿º¿ º ¾µ x = x1 + a1 t¸ y = y1 + a2 t¸ z = z1 + a3 tº x1 = x − a1 t¸ y1 = y − a2 t¸ z1 = z − a3 tº ¸ M1 ∈ γ ¸ γ ¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x − a1 t) + B(y − a2 t) + C(z − a3 t) + D = 0º t= ¹ º ¹ ¹ ¹ ¸ Ax + By + Cz + D . Aa1 + Ba2 + Ca3 F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸ F x − a1 Ax + By + Cz + D Ax + By + Cz + D , y − a2 , Aa1 + Ba2 + Ca3 Aa1 + Ba2 + Ca3 Ax + By + Cz + D z − a3 = 0. Aa1 + Ba2 + Ca3 ½ ´ º º ½µ �º ¾º ´ º½µ ¹ º¾ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º 2 2 2 2 2 2 2 2 ¸ Oz ¸ µ ½º xa ¾º xa ¿º xa º xa º xa º ¹ ´ ¹ ¹ Oxy 2 + yb2 = 1 2 − yb2 = 1 2 + yb2 = −1 2 − yb2 = 0 + yb2 = 0 ¹ º y2 = 2px º y2 − b2 = 0 º y2 + b2 = 0 ¹ 2 2 2 º º y2 = 0 ï ¹ º ½º º ½¼ �º½ º ¸ S¸ ´ ¸ ¸ ¸ γ¸ º µº ¹ ¹ º γ F (x, y, z) = 0, Ax + By + Cz + D = 0 Oij k ¸ F (x, y, z) = 0 ´ º º Ax + By + Cz + D = 0¸ S(x0 , y0 , z0 )¸ º M (x, y, z) º µº ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ γ M1 (x1 , y1 , z1 )º x = x0 + (x1 − x0 )t¸ y = y0 + (y1 − y0 )t¸ z = z0 + (z1 − z0 )tº º x1 = x0 + 1t (x − x0 )¸ y1 = y0 + 1t (y − y0 )¸ z1 = z0 + 1t (z − z0 )º ¸ M1 ∈ γ ¸ γ¸ ½½ ¸ ¹ ¸ �Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x0 + 1t (x − x0 )) + B(y0 + 1t (y − y0 )) + C(z0 + 1t (z − z0 )) + D = 0º Ax0 + By0 + Cz0 + D 1 =− . t A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 + D (x − x0 ), A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D (y − y0 ), y0 − A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D (z − z0 ) = 0. z0 − A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) F x0 − ´ º º ½µ ¹ ´ º º½µ º ¾º º¾ º ¸ ¸ º S γ ´ 0¸ z − h = 0¸ ½º µ ¸ Oxy, F (x, y) = 0 ´ º ½ µº γ ´ º º½µ 2 (− hz y)2 (− −h z x) + = 1, a2 b2 ½¾ ¸ º ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ π¸ F (x, y) = �z2 x2 y 2 + − = 0. a2 b2 h2 h=c x2 y 2 z 2 + − = 0¸ a2 b2 c2 ¾º ´ º º ¾µ ¹ ¸ º ºü γ x2 y 2 z 2 − 2 − 2 = 0, a2 b c ¿º þ ¸ ¸ ¸ º γ x2 y 2 z 2 + + = 0¸ a2 b2 c2 º ¸ ¹ γ ¸ ´º º µ º ¸ ¹ ¹ x2 y 2 − = 0º a2 b2 º ´ º º¾µº ´ º º ¿µ ¸ º ¹ ¹ γ ½¿ ¸ ¹ �x2 y 2 + = 0¸ a2 b2 º ´º º µ ¹ º ¸ γ y2 π ´ º º½µ 2 h − y z = −2p ¸ ¹ −h x, z γ ´ º º½µ h − y z ¸ ¹ ´ º º¾µº º 2 y2 − b2 = 0º ¹ þ − b2 = 0, z2 y2 − = 0. b2 h2 º ¸ ¸ = 2pxº p y 2 = 2 xz. h ¸ ºü ¹ ¸ ¸ ¸ z2 y2 + = 0. b2 h2 ½ ¹ �ºþ ¹ ¸ y 2 = 0º ´º º µ ¸ ¸ ´ º µ¸ ´ º º µ¸ ¸ π¸ º º ¸ ¹ º ´ ´ ¹ ´ º º µº ¸ ¸ ´ º º¾µ¸ ´ º º¿µ¸ µº ¹ ¹ º µ π¸ º ½ π¸ ´ º µ º ¹ ¹ �ï º ½º º½ º ¸ ¸ ¸ ´ m¸ ¸ º µº ¹ ¸ ¸ þ m¸ º º º ¸ Oxyz Φ¸ ¸ ¸ m S º S¸ º Oz ½ ¹ ¹ ¹ ¹ m¸ º º Oxz ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ γ¸ ¹ x = ϕ(z)º �M (x, y, z) K Φº π¸ ¸ Φ (0, 0, z)¸ Oz M1 (ϕ(z), 0, z) γº KM1 ¸ π ´ º º ½µ º¾ º ½º º Φ γ ¸ x2 a2 x2 = a2 1 − z2 c2 º + z2 c2 ´ ¾º þ − z2 c2 º µº γ = 1º ¹ Oxz = 1º Oz ¸ x2 y 2 z 2 + + =1 a2 a2 c2 x2 a2 ¹ ¸ º γ ¸ Oxz ¸ x2 y 2 z 2 + − =1 a2 a2 c2 ½ ¹ KM = KM1 x2 + y 2 = (ϕ(z))2 º ¾º Oz º ´ º º ¾µ ¸ ¹ ¸ Oz ¸ ´ º º ¿µ �´ º ¿º µº ¸ γ Oxz x2 z2 − a2 + c2 = 1¸ Oz ¸ ¹ ¸ x2 y 2 z 2 + − = −1 a2 a2 c2 ´º º µ ¸ µº º ¸ x2 a2 ¸ ¹ ´ º + z2 c2 Oxz = −1º Oz ¹ x2 y 2 z 2 + + = −1º a2 a2 c2 2pz ¸ º ¸ Oxz ¸ ´ º º x2 = Oz ¸ ¹ ´º º µ º ½ ´º º µ µ x2 + y 2 = 2pz º º ¹ ¹ ¹ Φ γ º �º x2 a2 Oz ¸ γ 2 − zc2 Oxz = 0¸ ¹ x2 y 2 z 2 + − =0 a2 a2 c2 ´º º µ º º x2 a2 γ 2 + zc2 = 0 Oz ¸ ¹ Oxz ¸ x2 y 2 z 2 + + =0 a2 a2 c2 º ¸ x2 − a2 x2 +a2 = 0¸ ï ´º º µ º =0 Oxz ¸ ¸ ¹ ¹ Oz ¸ ¹ x2 + y 2 = a2 ¸ ´º º µ x2 + y 2 = −a2 º ´ º º ½¼µ º ½º ½ �º½ º ¸ ¹ ¹ x2 y 2 z 2 + + = 1º a2 b2 c2 º ´ º º ½µ Oy ¸ ´ º º¾µ ⎧ ⎪ ⎨x = x, 2 y = ab 2 y, ⎪ ⎩ z = z. ´ º º ¾µ ´ º º½µ ¸ a=b=c ½º þ a ¸ b¸ c º aº a ¸ b¸ c ¸ ´ ´ µ º µº µ´ ¹ º ¸ z O º ¾º A1 (a, 0, 0) A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0) ½¼ B2 (0, −b, 0)¸ �C1 (0, 0, c) ¹ º C2 (0, 0, −c) ¿º ´ º º½µ M (x, y, z) ¸ −a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c, º º −a¸ y = b ºþ y = −b¸ z = c ¸ x=a z = −cº t1 = º 1 m2 a2 + n2 b2 + p2 c2 ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), −1 t2 = m2 a2 + n2 b2 + p2 c2 º y2 z2 x2 z 2 x2 y 2 + = 1, + = 1, + 2 = 1. a2 b2 b2 c2 a2 c Oxy þ ´ º º½µ z h h2 x2 y 2 + = 1 − . a2 b2 c2 þ µ ´º º µ π¸ º z = hº x= ´ º º ¿µ x = mt, y = nt, z = pt, M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), ¸ π ¸ 1− h2 c2 > 0¸ º º ½½ |h| < c ¹ ¹ �µ ´ |h| = c C2 ¸µ C1 µ ü ¸ ¸ 1− ¸ º º ý h2 c2 1− < 0¸ º º ¸ ¸ ¸ º h2 c2 = 0¸ |h| > cº ¹ ¸ ´ º º ½µ M0 (x0 , y0 ¸z0 ) ¸ º ¸ ¸ º º ½¾ ¸ ´º º µ ¸ ¹ Ax + By + Cz + D = 0 ¸ x = a2 At, y = b2 Bt, z = c2 Ct. þ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) a1 x a2 y a3 z + 2 + 2 = 0. a2 b c ¸ º ´º º µ x0 x y0 y z0 z + 2 + 2 = 1. a2 b c ¸ º º ¹ ´º º µ ¹ �¾º º¾ º ¹ ¹ ¸ x2 y 2 z 2 + + = −1º a2 b2 c2 º ï º ´º º µ ´ ºµ ´ º¾µº Oy ¸ ÿ º½ º x2 y 2 z 2 + − = 1¸ a2 b2 c2 a b º º¾ º ´º ºµ bº ¹ ´ º º ½µ ¸ x2 y 2 z 2 + − = −1¸ a2 b2 c2 a ¹ ¸ ¸ Oy ´ º º¾µº ½¿ ¹ ´ º º ¾µ ´ º º¿µ¸ a = b¸ �º ½º ½º » ´ º º ½µ¸ ¸ ´ ´ µ µº ¾º A1 (a, 0, 0)¸ A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0)¸ B2 (0, −b, 0)¸ C1 (0, 0, c)¸ C2 (0, 0, −c) Ox Oy º Oy ¿º ´ º º½µ M (x, y, z) Oz º ¹ º Ox ¸ ¹ x2 y 2 + 2 ≥ 1, a2 b º º 1º 2 x2 + yb2 a2 º ¸ º ¸ º º x = mt, y = nt, z = pt ¸ ´ º¿µ ´ º½µ¸ t t2 m2 n 2 p 2 + 2 − 2 a2 b c º ½ ´ º º¿µ = 1. = ¹ ´ º º ¿µ ´ º º½µ º ¹ ¹ ¹ ´º º µ �µ m2 a2 2 + nb2 − > 0¸ p2 c2 M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), 1 t1 = µ 2 m2 + nb2 a2 m2 n2 a2 + b2 º µ − − p2 c2 p2 c2 ¸ ¹ t2 = ≤ 0¸ −1 m2 a2 + º ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), 2 2 m2 + nb2 − pc2 = 0 a2 2 2 (tm)2 + (tn) − (tp) a2 b2 c2 n2 b2 p2 c2 º t ¸ = 0, − ¹ ¸ x2 y 2 c2 + 2 − 2 = 0, a2 b c ¹ º ¸ ¸ ¹ M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), t1 = º ´º º µ 1 m2 a2 + n2 b2 − p2 c2 ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), t2 = −1 m2 a2 + n2 b2 ¸ º − p2 c2 º ¹ Oxy x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ½ ´º º µ �º Oyz x2 z 2 y2 z2 − = 1, − 2 = 1. b2 c2 a2 c º µ z = h ´ Oxy z º µº þ ´ º º½µ ¹ ´º º µ º Oz Oxz π¸ ¹ h h2 x2 y 2 + = 1 + . a2 b2 c2 h ¸ π a µ´ º 1+ h2 c2 º ≥ a b µ 1+ º h2 c2 º½µ ≥ b¸ ¹ ¹ ¹ ¹ σ¸ Oxz y = mº þ ´ º ¸ y m m2 x2 z 2 − = 1 − . a2 c2 b2 þ m2 b2 ¹ σ µ ¸ > 0¸ µ 1− Ox¸ |m| < b º º m2 b2 = 0¸ º º 1− |m| = b ½ ¸ º �µ ¸ ´ º µº ü Oz ¸ 1− m < 0¸ b2 2 ¸ |m| > b ω¸ Oyz, Oy ¸ º º ¹ ¸ ¸ ¸ Oz º ¾º ½º ´ º º ¾µ¸ ¸ ´ ¾º Oz ¸ Ox Oy ¿º º M (x, y, z) º º º º ¸ C1 (0, 0, c) Oz ´ º º¾µ ´ µ µº C2 (0, 0, −c), ¹ ¸ ¹ z 2 ≥ 1, ¸ º ´ º¿µ z=c º ¸ ¹ º ¹ z = −cº ¸ º º ¸ ´ º º¿µ ´ º º¾µ¸ ´ º¿µ ¹ ´ º¾µ º ¹ ¹ ¹ t t2 m2 n 2 p 2 + 2 − 2 a2 b c ½ = −1. ´ º º ½¼µ �¸ º ´ º º µ¸ M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), t1 = ¹ ¹ ¹ 1 2 n2 b2 −m a2 − ¸ º + p2 c2 ´ º º ½½µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), ¸ t2 = −1 2 −m a2 − n2 b2 + º ¹ º Oxy ¹ x2 y 2 + 2 = −1, a2 b º º Oyz p2 c2 º ´ º º ½¾µ ¹ Oxz − y2 z2 x2 z 2 + = 1, − + 2 = 1. b2 c2 a2 c ´ º º ½¿µ º π¸ ¹ Oz º µ z = h þ |h| = c ´ º ¼µº þ ´ º º½µ Oxy z h h2 x2 y 2 + = − 1. a2 b2 c2 ¸ ´ π h2 c2 − 1 > 0¸ º º C1 C2 ), ¸ h2 c2 ½ |h| > c h2 − 1 = 0¸ c2 − 1 < 0¸ º º º º |h| < cº �µ´ º ¼µ ¹ σ¸ y = mº Oxz þ ´ º º¾µ − y x2 z 2 m2 + = 1 + . a2 c2 b2 m σ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ Oz ¸ ü m ¸ Oxz. ¸ ω¸ º ¼ ¹ Oyz, Oz º ý º M0 (x0 , y0 , z0 ) x0 x y0 y z0 z + 2 − 2 = ±1. a2 b c ¸ ¸ ¸ º ¸ ´ º º ½µ¸ ´ º º ¾µ ´ º º½ µ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) a1 x a2 y a3 z + 2 − 2 = 0. a2 b c º ½ ´ º º½ µ ¸ ¸ �¸ ¸ ¸ º Ax + By + Cz + D = 0 ¸ x = a2 At, y = b2 Bt, z = −c2 Ct. ´ ¸ ´ µ¸ µ þ ¸ ¹ ´ º º½ µ ¹ º º ¸ ¹ º ï ¼º ¼º½ º ¸ x2 y 2 + = 2z ¸ a2 b2 a º a = b¸ bº ´º ºµ ´ º º¾µº º ½¼ ¹ ´ º ¼º ½µ ¹ Oy ¸ ¹ �¼º¾ º ÿ ¹ ¸ ¹ x2 y 2 − = 2z ¸ a2 b2 ´ º ¼º ¾µ bº a ºþ ¹ ¹ ½º º ½º ¸ µº ¾º Oxz ¸ º ¿º ´ ¹ Ox¸ Oy ¸ Oz O(0, 0, 0) º ´ º ¼º½µ M (x, y, z) º Oyz Oz ¸ z Oxy º ¸ ¸ º º º ´ º º¿µ ´´ º ¼º ½µµ º ¸ ´ º º¿µ ´ º ¼º½µ¸ 0, º º ¹ ¹ ¹ ´ º º¿µ t t t m2 n 2 + 2 a2 b ½½ − 2p = 0. ´ º ¼º ¿µ �¸ Oxy ´p = 0µ¸ 2mp P m2 a2 + n2 b2 , 2np m2 a2 + n2 b2 , ¸ ¸ O(0, 0, 0) 2p2 m2 a2 + Oº º n2 b2 ´ º ¼º µ . Oxy ´p = 0µ¸ P Oyz ¹ Oxy º Oxz ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ y 2 = 2b2 z, 2 2 x = 2a z. º ½µ π¸ z=h´ z h Oxy º ½µº þ ¹ ´ º ¼º ½µ ¹ x2 y 2 + 2 = 2h. a2 b þ µ µ µ ¾µ ¹ ¸ π h>0 O¸ ¸ h=0 h < 0º σ¸ y = mº ´ º ¼º½µ þ ¹ ¹ Oxz y ½¾ m º ½ �m2 x2 = 2z − , a2 b2 x2 = 2a2 z − þ σ A(0, m, m2 ) 2b2 m2 2b2 a2 ¸ . ´ º ¼º µº ´ º ¼º µ ´ º µº ´ º ¼º µ ¸ ´ º ¼º µ ¿µ ü º´ ¼º µ¸ ´ º ¼º µ¸ ´ º ¼º µ º ω¸ ¸ Oyz, ¹ b2 ¸ ´ º ¼º µº ¾º ÿ ½º ¾º ¿º Oxz ´ Oz O(0, 0, 0) Oyz ¸ µº º ¸ º ´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ º ¸ º º ¸ ´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ¸ ½¿ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ´ º º¿µ �t m2 n 2 − 2 a2 b t t ½µ m2 a2 − n2 b2 ºþ = 0¸ p = 0º þ ¸ 2np 2mp 2 m2 a2 − , n2 b2 m2 a2 − ¾µ ma2 − nb2 = 0¸ p = 0º ¸ º m2 n 2 ¿µ a2 − b2 = 0¸ p = 0º t = 0¸ µ pt) ´ º ¼º µ ¸ , n2 b2 2p2 m2 a2 n2 b2 º ¹ ´ º ¼º µ ¹ ¹ ¸ ºþ ¸ ¸ ¸ ¿ º ½ ¾ ½ º M (mt, nt, ´ º ¼º¾µ x2 y 2 − 2 = 0. a2 b ´ º ¼º µ¸ − ´ º ¼º µ m2 n 2 − = 0¸ p = 0º a2 b2 ¸ ´ º ¼º µ = 0. ¸ ¸ 2 − 2p ¹ ¹ ¸ ¹ ´ º ¼º µ ¸ �¾ Oxy º º ¸ ¹ Oxy º Oyz Oxz ´ º ¼º µ ´ º ¼º ½¼µ π¸ y 2 = −2b2 z, 2 2 x = 2a z. º ½µ z = h þ ´ ´ º ¼º¾µ Oxy º ¾µº z h x2 y 2 − 2 = 2h. a2 b þ π µ Ox¸ ¸ h>0 µ ¸ µ ¾µ ¹ ¹ h=0 ¹ Oy ¸ ¸ σ¸ y = mº þ ´ ¼º¾µ m2 x2 = 2z + , a2 b2 ½ º ¾ h| < 0º y Oxz m ¹ ¹ �x2 = 2a2 z + þ − σ a2 ¸ m2 ) 2b2 m2 2b2 . ¹ ´ º ¼º½¼µº ´ º ¼º µ ´ º ¾µº A(0, m, ¹ ¹ ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸ ¸ ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸ ´ º ¼º µ º ¸ º ¿µ ü ¸ ý b2 ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ´ º ¼º µº º ´ º ¼º½µ¸ ´ º ¼º¾µ ¹ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ ¸ ¹ ω¸ Oyz, ¸ ¹ x0 x y 0 y + 2 = z + z0 a2 b ´ º ¼º ½½µ x0 x y 0 y − 2 = z + z0 . a2 b ´ º ¼º ½¾µ ¹ ¸ º ½ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) ¹ ¹ �a1 x a2 y + 2 = a3 a2 b ´ º ¼º ½¿µ a1 x a2 y − 2 = a3 . a2 b ´ º ¼º ½ µ ¸ Oz ¸ ¹ Oz º ¹ x y ± = 0, a b ¹ Oz º ¸ ¸ x=− ¸ º Ax + By + Cz + D = 0 ¸ ¹ Bb2 Aa2 , y=− C C ´ º ¼º ½ µ Bb2 Aa2 , y= C C ´ º ¼º ½ µ x=− º º ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ Oz ½ ¹ �ï ½º ½º½ º ¸ º º½ ¸ º½ ¸ ¹ ¹ ºþ ¸ ¹ º ¹ ¹ º ´ º ½º x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1. a2 b c º ¿µ ´ º ½º ½µ y2 x2 z 2 − = 1 − a2 c2 b2 ¹ x z + a c x z − a c = 1+ ½ y b 1− y . b ´ º ½º ¾µ �⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α1 x z + a c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β1 1+ x z − a c = α1 y , 1− b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α2 x z + a c = β2 1− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β2 x z − a c = α2 y , 1+ b α1 ¸ β1 ý ¸ ´ º ½º µ ´ º ½º µ ¸ ¸ α1 ¸ β1 ¸ ¸ α2 ¸ ¹ ¹ º α1 ¸ β1 ¹ ¹ ´ º ½º¿µ ¹ ½ º º ´ º ½º¿µ¸ ´ º ½º µ ´ º ½º½µ º ´ º ½º¿µ ¸ α2 ¸ β2 y , b ´ º ½º¾µ ¸ β2 ¸ ´ º ½º ¿µ α2 ¸ β2 ¸ ´ º ½º µ¸ y , b = β1 º ¿ �º ´ º ½º¿µ ´ º ½º µ º ½º ¹ ¾º ¸ ¸ ¿º ¸ º º ¹ ¹ º ´ º ¾º ÿ x2 y 2 − 2 = 2z. a2 b x y + a b x y − a b ´ º ½º µ = 2z ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α1 x y + = 2z, a b ⎪ ⎪ x y ⎪ ⎩ − = α1 , a b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α2 x y − = 2z, a b ⎪ ⎪ x z ⎪ ⎩ + = α2 , a c ¾¼¼ º µ ´ º ½º µ ´ º ½º µ �º α1 ¹ α2 ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ α1 α2 ´ º ½º µ ´ º µº ½º p1 ´ º ½º µ ¹ ¹ ¹ ¹ º ´´¿º¿ º µµ p2 p1 º ´ º ½º µ ´ º ½º µ º ⎧ α α ⎪ ⎨ 1 x + 1 y − 2z = 0, a b ⎪ ⎩ 1 x − 1 y − α = 0, 1 a b ´ º ½º µ ⎧ α α ⎪ ⎨ 2 x − 2 y − 2z = 0, a b ⎪ ⎩ 2 x + 1 y − α = 0. 2 a b ´ º ½º µ 2 2α1 2 , − ,− ,− b a ab p2 2 2α2 2 ,− , b a ab ´ º ½º ½¼µ . α1 ¸ º ¾¼½ α2 �¾º x a þ − y b =0 ¸ π2 º x a + y b π1 = 0º α2 ´ º ½º µ ¿º ¿ ï ¼¸ ¸ ¸ α1 π2 ¸ p1 p2 ¹ ¹ º ¹ ¹ π1 ¸ π1 ¸ ´ º ½º µ ¹ π2 º ¹ ¹ ¸ x y ± =0 a b º º ´ µº ¸ ¹ ¹ ï ¾º ¹ a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x+ + 2a2 y + 2a3 z + a33 = 0. ´ º ¾º½µ ´ º ¾º ½µ ¹ ¹ º ¾¼¾ �¾º½ º x¸ y ¸ z µ ´ ´ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. − − y2 b2 y2 b2 =1 y2 b2 =0 13. x2 a2 + 14. x2 a2 x2 a2 x2 a2 = 2z x2 =0 15. 16. 17. ¸ º 2 2 x2 + yb2 + zc2 = 1 a2 y2 x2 z2 a2 + b2 + c2 = −1 2 2 x2 + yb2 − zc2 = 1 a2 2 2 x2 + yb2 − zc2 = −1 a2 2 2 x2 + yb2 + zc2 = 0 . a2 2 2 x2 + yb2 − zc2 = 0 a2 y2 x2 a2 + b2 = 2z 2 x2 − yb2 = 2z a2 2 x2 + yb2 = 1 a2 2 x2 + yb2 = −1 a2 x2 a2 x2 a2 ¸ º µ ¹ ¸ ¹ º º º º º º º =0 º º º º º º º =1 = −1 º ¾¼¿ º �º ¾¼ �[1] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1967. – Т. I. [2] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1970. – Т. II. [3] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1973. – Ч. I. [4] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – Москва : Просвещение, 1986. – Ч. I. [5] Бахвалов, С. В. Аналитическая геометрия / С. В. Бахвалов, Л. И. Бабушкин, В. П. Иваницкая. – Изд. 5. – Москва : Просвещение, 1965. ¾¼ �½ ¾ ï ½º ï ¾º þ ï ¿º ï º þ ï º ï º ï º ï º ï º ï ½¼º ï ½½º ï ½¾º ï ½¿º ï½ ºþ ï½ º º ºººººººººº ººº ºº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº ºººººººº ºººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº ººº ººººººººº ººººººººº ï½ ºü ï½ º ï½ º ï½ º ï ¾¼º ÿ ï ¾½º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºººººººººººººº ºººº ºººº º ºººººº ¾¼ ¿ ¿ ½½ ½¾ ½ ½ ¾¾ ¾ ¿¼ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¾ ¾ ½ ½ �¿ ï ¾¾º ï ¾¿º ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ºÿ ºþ º º º º ï ¿¼º ï ¿½º ï ¿¾º ÿ ´ µ ´ µ ºººººººººººººººººººººººººººº ¼ Ü· Ý· º ººººººººººººººººººººººº ºººººº ººººº ¾ ººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ Ü· Ý· Þ· º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¿ ï ¿¿º þ ï¿ º ï¿ º ï¿ ºþ ï¿ º ï¿ º ï¿ º ï ¼º þ ï ½º ï ¾º ï ¿º ï ºþ ï º ï ï ï ï º ºÿ º º ï ¼º ººº º ºººººººº ººº ººººººº ºººº º º º º º º º º ºº º ºº ºººººººº ºººººººººººººººººº ºººººººººººººººº ººººººººººººººººº ¸ ºººººººººººººººººººº ¸ ¸ ººººººººººº º º º º º º º º º º º º º ººººººº ººººººº ººººººº ¸ ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼ ½¼ ½½¼ ½½¿ ½½¿ ½½ ½½ ½¾½ ½¾½ ½¾¾ ½¾ ½¾ ½¾ º º ½¾ º º ½¿¿ ºº ½¾ ºº ½ ººººººººº ½ �ï ½º ï ¾º ï ¿º ¸ ¸ º º º º ºÿ ¼º ½º ï ¾º ºººº ½¾ ºººº ½ º ºººººººººººººººº ½ ºººººººº ½ ï º ï ï ï ï ï ï ï ¸ ¸ º ººººººº ºººººº ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½¼ ½ ½ ½¿ ½¼ ººººººººººººººººººººººººº ½ º º º º ¾¼¾ º º º º º º º º º º ¾¼ � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. задачи (геометрия). 5. решение задач. 6. плоскость (математика). 7. прямые (математика). 8. векторная алгебра. Description An account of the resource Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 207 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 13.12.2017 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf</a> аналитическая геометрия векторная алгебра Геометрия задачи (геометрия) Математика плоскость (математика) прямые (математика) решение задач http://books.altspu.ru/files/original/110/128/_[650].png 66c1ca9be84938ed6a0f79a23a63b37b http://books.altspu.ru/files/original/110/128/abusova[cut].pdf a0e66b66b3287449e03c504ce3e1c5f1 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО « АлтГПУ» ) Н.Ю. Абузова Античная литература Учебно-методическое пособие Барнаул ФГБОУ ВО « АлтГПУ» 2019 Об издании - 1, 2, 3. �Содержание УДК 82(091)(075) ББК 83.3(0)32я73 А177 Абузова, Н.Ю. Античная литература [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Н.Ю. Абузова. – Барнаул : АлтГПУ, 2019. – Систем. требования: PC не ниже класса Intel Celeron 2 ГГц ; 512 Мb RAM ; Windows XP/Vista/7/8/10 ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA монитор с разрешением 1024х768 ; мышь. Рецензент: Худенко Е.А., доктор филологических наук, профессор Алтайского государственного педагогического университета Основу учебно-методического пособия составляет учебно-методический комплекс, включающий в себя организацию самостоятельной работы студентов по освоению дисциплины «Античная литература». Система самостоятельной работы студентов, представленная в виде заданий к практическим занятиям, нацелена на формирование профессиональных компетенций. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов-филологов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров 44.03.05. «Педагогическое образование» с двумя профилями подготовки. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 30.05.2019 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: PC не ниже класса Intel Celeron 2 ГГц ; 512 Мb RAM ; Windows XP/Vista/7/8/10 ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA монитор с разрешением 1024х768 ; мышь. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 2 950 КБ. Дата подписания к использованию: 12.08.2019 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Введение Программа по курсу «Античная литература» Cписок текстов для обязательного чтения Издания античной художественной литературы Учебники, учебные пособия и хрестоматии Список научных работ по курсу «Античная литература» Справочная литература Фрагменты для заучивания наизусть Темы практических занятий ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 1 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 2–3 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 4 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 5 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 6 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 7–8 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 9 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 10 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 11 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 12 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 13 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 14–15 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 16 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 17–18 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 19–20 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 21 ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 22–23 Темы для самостоятельного изучения Вопросы к экзамену (дневное отделение) Темы докладов Читательский дневник �Содержание Терминологический словарь Словарь крылатых слов и выражений Таблица соответствия греческих и римских богов Музы Генеалогическое древо греческих богов Тематические задания для самостоятельной работы студентов ОЗО Вопросы к экзамену по курсу «Античная литература» (ОЗО) Приложение. Материалы к практическим занятиям �Содержание Введение Будущий филолог приобщается к истории литературы обычно с Античности – словесного искусства древности. Изучению античной литературы посвящен первый семестр. Курс состоит из двух разделов: литература Древней Греции и литература Древнего Рима. Учебный курс «Античная литература» не только обладает научной ценностью, но и содержит большой нравственный, эстетический, воспитательный потенциал. Данный курс, являясь синтетичным, помогает в овладении гуманитарными дисциплинами: теорией литературы, фольклора, риторики, эстетики, религиоведения, педагогики, философии, других наук. Древние греки и римляне, по сути, заложили основу европейской культуры и, в частности, литературы. Общечеловеческой значимостью обладают сюжеты, образы, мотивы античных литературных произведений. Они многократно перерабатывались, получали отзвук у многих великих художников слова вплоть до современности, создавая литературную традицию. Достижения антиковедения, включая труды С.И. Соболевского, С.И. Радцига, Н.Ф. Дератани, С.С. Аверинцева, К.П. Полонской, М.Л. Гаспарова и др., составляют гордость отечественной науки. Имеются значительные по охвату материала словари Античности, апробированные учебники по античной литературе С.И. Радцига, И.М. Тронского, А.Ф. Лосева и А.А. Тахо-Годи. Примечательны и современные учебные пособия Б.А. Гиленсона (в 2 т.), М.И. Никола, Д. Дилите. Основной целью учебного курса «Античная литература» является формирование представления о художественном своеобразии античной литературы, условиях ее возникновения и развития, подготовка основы для понимания последующего мирового литературного (в целом – культурного) процесса. Курс строится исходя из того, что античная литература объединяет три крупные литературные эпохи, которые представляют собой три стадии единого литературного процесса (греческий, эллинистический, римский). Задача курса – показать особенности каждого литературного периода и их органическую связь, выражающуюся в развитии литературных жанров, образов, сюжетов. Учебный курс излагается лекционно; изложение курса дополняют практические занятия, снабженные развернутыми заданиями, с необходимыми методическими указаниями и комментариями. Кроме того, пособие содержит фрагменты научных исследований, которые целенаправленно усиливают усвоение элементов литературного процесса, учат студентов работать с научной литературой. В процессе изучения античной литературы студенты должны освоить терминологический минимум (лирика, драма, эпос, комедия, трагедия, антропоморфизм, фабула, катарсис, перипетии, «гомерический хохот», архетип, мифологическое время и др.), изучить закономерности возникновения и развития трех литературных родов и их основных жанровых разновидностей, овладеть навыками литературоведческого анализа на разных уровнях (проблемно-тематическом, структурнокомпозиционном), выработать у себя навыки работы со словарями-справочниками. Итогом освоения данного курса с его особой спецификой является усвоение студентом главных фактов и закономерностей древнего литературного процесса, творческих индивидуальностей писателей и художественных текстов. Полученные знания по античной литературе студенту следует использовать при изучении последующих историко-литературных курсов, пользоваться знаниями в будущей педагогической деятельности. Следует взять на вооружение полезный нравственный опыт и духовные ценности, заключенные в античной литературе, в процессе самовоспитания личности студентафилолога, будущего педагога. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Абузова, Наталья Юрьевна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Античная литература Subject The topic of the resource 1. Литературоведение. 2. Литература Древнего мира. 3. античная литература. 4. античная художественная литература. 5. литература Древнего Рима. 6. литература Древней Греции. Description An account of the resource Античная литература [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Н. Ю. Абузова ; Алтайский государственный педагогический университет. — Барнаул : АлтГПУ, 2019. — 157 с. Основу учебно-методического пособия составляет учебно-методический комплекс, включающий в себя организацию самостоятельной работы студентов по освоению дисциплины «Античная литература». Система самостоятельной работы студентов, представленная в виде заданий к практическим занятиям, нацелена на формирование профессиональных компетенций. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов-филологов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров 44.03.05. «Педагогическое образование» с двумя профилями подготовки. Creator An entity primarily responsible for making the resource <strong><a href="http://library.altspu.ru/ecat/zgate?ACTION=follow&amp;SESSION_ID=37131&amp;TERM=%D0%90%D0%B1%D1%83%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0,%20%D0%9D%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%8F%20%D0%AE%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0%5B1,1004,4,6%5D&amp;LANG=rus">Абузова, Наталья Юрьевна</a></strong> Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2019 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 12.08.2019 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2019 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебно-методическое пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context &lt;URL:<a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/abusova.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/abusova.pdf</a>&gt;<br />&lt;URL:<a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/abusova.exe" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/exe/abusova.exe</a>&gt; античная литература античная художественная литература Литература Древнего мира литература Древнего Рима литература Древней Греции Литературоведение http://books.altspu.ru/files/original/30/26/Sheenko[650].png 8740e62f296a393c5819dff71f0baaf7 http://books.altspu.ru/files/original/30/26/_.pdf d61313efc528d61173c3dc835d8da3c4 PDF Text Text Памяти моих близких: Алексенко Ивана Николаевича и Шеенко Павла Григорьевича, сложивших голову в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками; вернувшегося с фронта Шеенко Дмитрия Григорьевича и ветеранов труда – моих родных: бабушки Шеенко Федоры Николаевны и дедушки Шеенко Ивана Григорьевича, а также всех тех, кто не вернулся с войны, всех, дошедших до Победы и приближавших ее ПОСВЯЩАЕТСЯ �Награда тебе будет больше, когда ты станешь делать должное, не надеясь на награды. Иоанн Златоуст �Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Документально-художественное мультимедийное электронное издание Барнаул – 2015 ФГБОУ ВО «АлтГПУ» © Алтайский государственный педагогический университет, 2015 ISBN 978–5–88210–775–7 �УДК 94(470)(075) ББК 63.3(2)622я7 Б759 Боевые награды СССР в годы Великой Отечественной войны [Электронный ресурс] : документальнохудожественное издание / сост. Е.И. Шеенко ; Алтайский гос. пед. ун-т. – Электрон. мультимедийн. дан. (334 файла: 3,65 ГБ). – Барнаул : АлтГПУ, 2015. – 1 электрон. опт. диск (DVD-R) : зв., цв. ; 12 см. – Систем. требования: ПК с процессором Pentium (или аналогичным) ; IBM PC ; 512 Мб ОЗУ ; Microsoft Windows 2000/XP/2003 ; DVD-ROM дисковод ; мышь. – Загл. с экрана. – № гос. регистрации 0321504471. ISBN 978–5–88210–775–7 Рецензенты: Еремин И.А., доктор исторических наук, профессор (АлтГПУ); Скопа В.А., кандидат исторических наук, доцент (АлтГПУ) Документально-художественное мультимедийное электронное издание подготовлено в соответствии с программными требованиями двух учебных дисциплин средней общеобразовательной школы: «Основы безопасности жизнедеятельности» и «История». В издании рассматривается история возникновения боевых наград СССР периода Великой Отечественной войны. Раскрывается их сущность и требования к награждению. К каждой боевой награде в форме гиперссылок приведены примеры награждений, представленные через биографии героев войны и тружеников тыла. Издание будет полезно обучающимся и учителям, а также всем, кто интересуется историей нашей страны, ее героическим прошлым и настоящим. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 15 апреля 2015 г. © Алтайский государственный педагогический университет, 2015 �Издание разработано в программе Microsoft PowerPoint. Техническая подготовка издания: Е.И. Шеенко. Подписано к использованию 10.05.2015 г. Объем данных 3,65 Гб. Продолжительность звуковых и видеофрагментов 8 часов 34 мин. 1 электрон. опт. диск (DVD-R). Издатель: ФГБОУ ВО «АлтГПУ» (656031, г. Барнаул, ул. Молодежная, 55, e-mail: rector@altspu.ru; psl@altspu.ru). �Предисловие Введение Глава 1. Боевые ордена СССР Глава 2. Боевые медали СССР Список использованного музыкального сопровождения Список использованных электронных ресурсов Список использованных видеоматериалов Список использованной литературы � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Шеенко Евгений Иванович Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Боевые награды СССР в годы Великой Отечественной войны Subject The topic of the resource 1. История. 2. Нумизматика. 3. История России и СССР (октябрь 1917 - 1991 г.). 4. Великая Отечественная война (1941-1945). 5. боевые награды. 6. ордена. 7. медали. 8. участники Великой Отечественной войны. 9. труженики тыла. Description An account of the resource Боевые награды СССР в годы Великой Отечественной войны [Электронный ресурс] : документально-художественное мультимедийное электронное издание / Алтайский государственный педагогический университет ; [сост. Е. И. Шеенко]. — 333 компьютерных файла (3,66 ГБ). — Барнаул : АлтГПУ, 2015. — Заглавие с экрана. — Библиогр. в тексте. Документально-художественное мультимедийное электронное издание подготовлено в соответствии с программными требованиями двух учебных дисциплин средней общеобразовательной школы: «Основы безопасности жизнедеятельности» и «История». В издании рассматривается история возникновения боевых наград СССР периода Великой Отечественной войны. Раскрывается их сущность и требования к награждению. К каждой боевой награде в форме гиперссылок приведены примеры награждений, представленные через биографии героев войны и тружеников тыла. Издание будет полезно обучающимся и учителям, а также всем, кто интересуется историей нашей страны, ее героическим прошлым и настоящим. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 15 апреля 2015 г. Creator An entity primarily responsible for making the resource Шеенко Евгений Иванович Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 10.05.2015 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource 1 электрон. опт. диск (DVD-R), 3,66 Гб Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource документально-художественное мультимедийное электронное издание Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://obs.uni-altai.ru/unibook/sheenko/BOEVYE_NAGRADY_SSSR.iso">http://obs.uni-altai.ru/unibook/sheenko/BOEVYE_NAGRADY_SSSR.iso</a> боевые награды Великая Отечественная война (1941-1945) История История России и СССР (октябрь 1917 - 1991 г.) медали Нумизматика ордена труженики тыла участники Великой Отечественной войны http://books.altspu.ru/files/original/20/22/_[650].png 984b50dd65f580b6d058636b57636ca4 http://books.altspu.ru/files/original/20/22/_._.Foundations_of_Intercultural_Communication.2.pdf 07b8e3f3cef562eb5a2f07c5fccf3d0a PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ж. А. Коротких FOUNDATIONS OF INTERCULTURAL COMMUNICATION Введение в теорию межкультурной коммуникации Учебное пособие Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2015 Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–773–3 �Содержание УДК 811.111(075) ББК 81.432.1я73 К687 Коротких, Ж.А. Foundations of Intercultural Communication [Электронный ресурс] = Введение в теорию межкультурной коммуникации) : учебное пособие / Ж.А. Коротких. – Барнаул : АлтГПУ, 2015. ISBN 978–5–88210–773–3 Рецензенты: Колесов И.Ю., доктор филологических наук, доцент (АлтГПУ); Рогозина И.В., доктор филологических наук, доцент (АлтГТУ) В пособии излагаются базовые теоретические сведения по проблемам межкультурной коммуникации. Определяется специфика межкультурной коммуникации как коммуникации особого типа; раскрываются особенности процесса коммуникации в зависимости от типа культур; описывается процесс восприятия «чужого»; анализируются причины возникновения стереотипов и предрассудков; рассматривается связь языка и культуры; характеризуются факторы, влияющие на процесс адаптации к инокультурной среде. Содержащиеся в пособии примеры и практические задания позволяют глубже и полнее освоить темы. Учебное пособие предназначено для студентов лингвистических институтов и факультетов иностранных языков, а также для всех, интересующихся проблемами межкультурной коммуникации. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 13 мая 2015 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Деривативное издание Системные требования: Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768. Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–773–3 �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 12 925 КБ Размещено на сайте: 29.09.2015 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–773–3 �Содержание Contents Preface Методические рекомендации Unit 1 Intercultural Learning: Definition and Main Objectives Different Contexts for Intercultural Learning Viewpoints for IL Cultural Relativism History of the Study of Intercultural Communication Development of Intercultural Communication Studies in the USA Development of Intercultural Education in Europe Interdisciplinary Approach to the Study of Intercultural Communication Questions, Exercises and Activities Unit 2 Views on the Communication Process Ingredients of Communication Breadth of the Communication Field Forms of Intercultural Communication Questions, Exercises and Activities Unit 3 Defining the Term "Culture" Dominant culture, mainstream culture, subculture/co-culture, counterculture, idioculture Concepts of Culture Metaphors of U.S. Cultural Diversity Questions, Exercises and Activities Unit 4 Kluckhohn and Strodtbeck Framework E. Stewart’s Cultural Patterns G. Hofstede’s Cultural Patterns E.T. Hall’s Cultural Patterns H.C. Triandis’ Cultural Patterns �Содержание Questions, Exercises and Activities Unit 5 Beliefs Values Norms Attitudes World View Questions, Exercises and Activities Unit 6 Perception Attribution Theory Ethnocentrism Stereotypes Prejudice The Fear of the Foreign Causes of Xenophobia Consequences of Xenophobia Questions, Exercises and Activities Unit 7 Language and Culture Language and Perception Cultural Attitudes toward Verbal Messages Verbal Communication Styles and Culture Turn-taking Overlapping and Interrupting Code Switching Questions, Exercises and Activities Unit 8 Problems of Communication Causes of Miscommunication in Intercultural Encounters Pronunciation �Содержание Words and meanings Grammar Pragmatics Speech Acts Intercultural Pragmatic Failure Questions, Exercises and Activities Unit 9 Culture Shock Cultural Adaptation Developmental Approaches to Cultural Adaptation Ucurve and W-curve Models of Cultural Adaptation Reverse Culture Shock Critique of "Curves" Models Individual Influences on Adaptation Context and Adaptation Modes of Adaptation Questions, Exercises and Activities Glossary Selected Bibliography �Содержание Preface People from different cultures increasingly and inevitably encounter each other during travel, study, and business interaction. Today, knowledge and skills in intercultural communication are critical in meeting the demands of an integrated society. Our book presents a comprehensive overview of intercultural communication that explains the need to understand communication among culturally diverse persons at a theoretical level, while simultaneously addressing the need for application of theoretical principles. Students usually come to the field of intercultural communication with some knowledge about many different cultural groups, including their own. Their understanding is often based on observations drawn from television, movies, the Internet, books, personal experiences, news media, and other sources. In this book, we try to encourage students to think critically about intercultural communication issues. Unit 1 explores the history of the field of intercultural communication and presents various approaches to this area of study. It analyses the essence of intercultural learning and major contexts in which intercultural learning is relevant. It emphasizes the importance of self-awareness as a starting point for enhanced intercultural effectiveness. Unit 2 addresses intercultural communication as a multidimensional form of interaction between members of national, ethnic, racial, and cultural groups. Three models of communication are analyzed: linear, interactional, and transactional. The Unit also explores specific ingredients of communication and forms of intercultural communication. In Unit 3, we focus on one of the basic intercultural communication components—culture. We present the most common approaches to defining culture and discuss various concepts of culture and metaphors that visualize American culture as being a melting pot, a salad bowl, a pot of stew, a tapestry, and a huge cultural watershed, providing numerous paths in which the many tributary cultures can flow. Unit 4 reviews some major frameworks and cultural patterns that have been devised for categorizing and comparing cultures. Unit 5 focuses on the importance of belief and value systems in intercultural communication because they are at the core of people’s thoughts and actions. Unit 6 establishes the factors that contribute to the dynamics of other groups’ perception. The way we behave is dictated by the way we perceive the world. Our social environment largely determines what we perceive and defines the ways in which we cognitively process that information. The Unit focuses on such notions as attribution, ethnocentrism, stereotypes, and prejudice. It analyzes the reasons for increased appearance of fear for the foreign and describes possible consequences of xenophobia. Unit 7 addresses language issues, including relationships between language and culture, discussions of verbal communication styles and code switching. Unit 8 explores communication problems that occur in intercultural context. Based on the assumption that language and culture are interrelated, we argue that miscommunication occurs because of various combinations of language and cultural differences working together. Unit 9 addresses intercultural transitions. �Содержание Selected Bibliography 1. Abramson, P.R., & Inglehart, R.F. (1995). Value change in global perspective. Ann Arbor: The University of Michigan Press. 2. Adler, P. (1975). The transitional experience: an alternative view of culture shock. Journal of Humanistic Psychology 15, 4:13–23. 3. Agar, M. (1995). Language shock: Understanding the culture of conversation. New York, William Morrow. 4. Allen, B. (2004). Difference matters: Communicating social identity. Long Grove, IL: Waveland Press. 5. Allport, G.W. (1979). The Nature of Prejudice. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, 25th Ed. 6. Ashford, S., & Timms, N. (1992). What Europe thinks: A study of Western European values. Aldershot: Dartmouth. 7. Barker, L.C., & Robert, K.J. (eds) (1971). Speech communication behaviour: Perspective and principles. New Jersey. Prentice-Hall, Inc. Englewood. 8. Benedict, R. (1961). Patterns of cultures. London. Routledge and Kegan Paul. 9. Bennett, J.M. (1977). Transition shock: Putting culture shock in perspective. International and Intercultural Communication Annual 4:45–52. 10. Bennett, M.J. (1993). Towards ethnorelativism: A developmental model of intercultural sensitivity (revised). In R.M. Paige (Ed.). Education for the Intercultural Experience. Yarmouth, Me: Intercultural Press. 11. Bennett, M.J. (1986). A developmental approach to training intercultural sensitivity. In J. Martin (Guest Ed.), Special Issue on Intercultural Training, International Journal of Intercultural Relations. Vol 10, No.2. 179186. 12. Berardo, K. (2006). The U-Curve of Adjustment: A Study in the Evolution and Evaluation of a 50-year old Model. MA thesis, Luton Business School: University of Bedfordshire, UK. 13. Black, J.S., & Mendenhall M. (1991). The U-Curve adjustment hypothesis revisited: A Review and theoretical framework. Journal of International Business Studies 22, 2:225–247. 14. Bonvillain, N. (2003). Language, culture, and communication. Fourth edition. Prentice Hall. 15. Brugman, C. (1995). Communication and context: A guide to issues in the interactional and transactional uses of language. University of Otago Press. 16. Byram, M., Nichols, A. & Stevens, D. (2001). Developing intercultural competence in practice. Clevedon: Multilingual Matters. 17. Chaika, E. (1989). Language: The social mirror. Second edition. Newbury House Publishers. 18. Calloway-Thomas, C., Cooper, P.J., & Blake, C. (1999). Intercultural communication: Roots and routes. Allyn and Bacon. 19. Cargile, A. (2005). Describing culture dialectically. In W. J. Starosta & G.-M. Chen (Eds.), Taking stock in intercultural communication: Where to now? (pp. 99–123). Washington, DC: National Communication Association. �Содержание 20. Chen, G-M. & Starosta, W.J. (1998). Foundations of intercultural communication. Allyn and Bacon. 21. Chordia, G. (2009). How does culture influence communication in multicultural teams in China and India. Cross-cultural communication. http://en.wikipedia.org/wiki/cross-cultural_communication 22. Church, A.T. (1982). Sojourner Adjustment. Psychological Bulletin 91, 3:540–572. 23. Croucher, R. and Others (2003). Communication and Culture. 24. http://jmm.aaa.net.au/articles/85htm Accessed 11/12/10). 25. Daryl, B.J. (1970). Beliefs, attitude, and human affairs. California: Brooks Cole Pub. Co. Inc. 26. Dekker, P., & Halman, L. (Eds.). (2003). The values of volunteering. Cross-cultural perspectives. New York: Kluwer academic/Plenum publishers. 27. De Moor, R. (1995). Values in western societies. Tilburg: Tilburg University Press. 28. DeVito, J.A. (1999). Messages. Longman. 29. Dodd, C.H. (1998). Dynamics of intercultural communication. Fifth edition. McGraw-Hill. 30. Eisenstein, M. & Bodman, J. (1993). Expressing Gratitude in American English. In: (eds.) Kasper G., Blum-Kulka S. Interlanguage Pragmatics. Oxford University Press. 31. Fennes, H. and Hapgood, K. (1997). Intercultural learning in the classroom. London: Cassell 32. Gudykunst, W.B., & Ting-Toomey, S. (2003). Communicating with strangers: An approach to intercultural communication (4th ed.). New York: McGraw-Hill. 33. Gullahorn, Jeanne E., & J.T. Gullahorn. (1963). An extension of the U-curve hypothesis. Journal of Social Issues 19:33–47. 34. Hall, B.‘J’ (2002). Among cultures: the challenge of communication. Harcourt College Publishers. 35. Hall E.T. & Hall M.R. (1987). Understanding cultural differences. Intercultural Press, INC. 36. Hall, E.T. (1976). Beyond culture. Garden City, NY: Doubleday. 37. Hallowell, A.I. (1972). Cultural Factors in the Structuralization of Perception. In Intercultural Communication: A Reader. (ed) by Larry A. Samovar and Richard E. Porter. Wadsworth Publishing Company. Inc. Belmonth California. 38. Handbook of prejudice, stereotyping, and discrimination. (2009). (ed.) Nelson, T.D. Psychology Press. 39. Hauben, M. Culture and Communication: The Interplay in the New Public Commons-Usenet and Community Networks. http://www.columbia.edu/-hauben/CS/usenet-culture.txt 40. Hiebert, Paul G. (2008). Transforming worldviews: an anthropological understanding of how people change. Grand Rapids, Mich.: Baker Academic. 41. Hofstede, G. (2001). Culture’s consequences: Comparing values, behaviors, institutions, and organizations across nations. Second edition. Sage Publication. 42. Inglehart, R. (Ed.). (2003). Human values and social change: Findings from the values surveys. Leiden: Brill. 43. Jandt, F.E. (1995). Intercultural Communication: An Introduction. SAGE Publications. �Содержание 44. Kim, Y.Y. (2001). Becoming intercultural: An integrative theory of communication and cross-cultural adaptation. Thousand Oaks, CA: Sage. 45. Kluckhohn, F., & Strodtbeck, F. (1961). Variations in Value Orientations. Evanston, Ill.: Row and Peterson. 46. Knapp, M.L. & Vangelisti, A.L. (2000). Interpersonal Communication and Human Relationships. Fourth edition. Allyn and Bacon. 47. Kramsch, C. (1993). Context and culture in language teaching Oxford: Oxford University Press. 48. La Brack, B. The Emergence of culture shock as a theoretical category.http://www.nafsa.org/_/file/ _/theory_connections_adjustment.pdf 49. Lachman, G. (2009). How Culture can affect communication. 50. http://www.hurriyefdailynews.com/n.php?n=how-culture-can-affect-... 51. Larcher, D. (2000). Intercultural education in a European context. In: Nagy, Èva B./Kaposvàri, A. (ed.): Strengthening Intercultural Education in Central and Eastern Europe. International Conference in the Context of Human Rights. Budapest, 3-4. December 1998. Budapest: Foundation for Human Rights and Peace Education (EJBO), pp. 23 - 33. 52. Lebaron, M. (2003). Cross-cultural communication. http://www.beyondintractability.org/essay/ cross-cultural_com. 53. Liddicoat, A.J. and Crozet, C. (2000). Teaching languages, teaching cultures. Melbourne: Language Australia. 54. Lustig, M.W. & Koester, J. (1993). Intercultural competence: Interpersonal communication across cultures. Harper Collins College Publishers. 55. Martin, J.& Nakayama, Th. (2010). Intercultural communication in contexts. 5th ed. McGraw Hill: Higher Education. 56. Martin, J.& Nakayama, Th. (1997). Intercultural Communication in Contexts. Mayfield Publishing Company. 57. Neuliep, J.W. (2003). Intercultural communication : a contextual approach. Boston : Houghton Mifflin 58. Nisbett, R.E. (2003). The Geography of thought: How Asians and Westerners think differently…and why. New York, NY: The Free Press. 59. Novinger, T. (2001). Intercultural Communication: A Practical Guide. University of Texas Press, Austin. 60. Oberg, K. (1954). Culture Shock. Retrieved from 61. http://www.smcm.edu/Academics/internationaled/Pdf/cultureshockarticle.pdf . 62. Orbe, M. (1998). Constructing co-cultural theory: An explication of culture, power and communication. Thousand Oaks, CA: Sage. 63. Paige, R.M. (ed). (1993). Education for the intercultural experience. Yarmouth, ME: Intercultural Press. 64. Philipsen, G. (2002). Cultural communication. In W. B. Gudykunst & B. Mody (Eds.), Handbook of international and intercultural communication (2nd ed., pp. 51–67). Thousand Oaks, CA: Sage. 65. Picard, M. (1963). Man and Language. A Gateway Edition. 66. Pinker, S. (2007). The stuff of thought: Language as a window into human nature. New York: Viking. �Содержание 67. Risager, K. (2007). Language and culture pedagogy. From a national to a transnational paradigm. Clevedon: Multilingual Matters. 68. Rosenau, J.N. (2004). Emergent spaces, new places, and old faces: Proliferating identities in a globalizing world. In J. Friedman & S. Randeria (Eds.), Worlds on the move: Globalization, migration and cultural security (pp. 23–62). New York: Tauris. 69. Rothwell, L. (2001). Intercultural competence: Theories into practice. In: Relative Points of View: Linguistic Representations of Culture. (Ed.) Magda Stroinska. Berghahn Books. 70. Samovar, L.A. & Porter, R.E. (2003). Intercultural communication: A Reader. Tenth edition. Thomson, Wadsworth. 71. Samovar, L.A., Porter, R.E., & Jain, N.C. (1981). Understanding intercultural communication. Wadsworth Publishing Company. Belmont, California. 72. Schirato, T. & Yell, S. (2000). Communication and culture: An introduction. SAGE Publications. 73. Smart, R.N. (1981). Worldviews: Cross-cultural explorations of human belief. New Jersey: Prentice Hall. 74. Sumner, W. G. (1906). Folkways. New York: Ginn. 75. Thomas, J. (1983). Cross-cultural pragmatic failure. Applied Linguistics 4/2: 91-112. 76. Ting-Toomey, S., Chung, L.C. (2005). Understanding Intercultural communication. 1st ed. Oxford University Press. 77. Triandis, H.C. (2003). Culture and conflict. In: Samovar L. A., Porter R. E. Intercultural Communication. A Reader. 10th Edition. Wordsworth. 78. Trompenaars, F. & Hampden-Turner, C. (2006). Riding the waves of culture: Understanding cultural diversity in business. London: Nicholas Brealey Publishing. 79. Varner, I. & Beamer, L. (1995). Intercultural Communication in the Global Workplace. IRWIN. 80. Ward, C. (2003). Psychological theories of culture contact and their implications for intercultural training and interventions. In Handbook of Intercultural Training, 3rd edition, (eds.) D. Landis, Janet M. Bennett, and M. J. Bennett. (pp. 185–216). Thousand Oaks, CA: Sage. 81. Ward, C., Bochner S., & Furnham, A. (2001). The Psychology of culture shock. 2nd Edition. Philadelphia, PA: Routledge. 82. Ward, C. (1996). Acculturation. In Handbook of Intercultural Training. 2nd Edition, (eds.) D. Landis and R. S. Bhadat. (pp. 124–147). Thousand Oaks, CA: Sage. 83. Wolfson, N. (1989). Perspectives : Sociolinguistics and TESOL. Newbury House Publishers. 84. Wood, J.T. (2000). Communication theories in action: An introduction. Second edition. Wadsworth. 85. White, R. (1993). Saying please: pragmalinguistic failure in English interaction. ELT Journal Volume 47/3, July 1993. Oxford University Press. http://203.72.145.166/ELT/files/47-3-1.pdf. 86. Zeller, W.J. & Mosier, R. (1993). Culture shock and the first year journal of college and university student housing. Volume 23, No. 2. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Коротких Жанна Александровна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Введение в теорию межкультурной коммуникации Subject The topic of the resource 1. Языкознание. 2. Германские языки. 3. Культурология. 4. Теоретическая культурология. 5. английский язык. 6. межкультурные коммуникации. 7. инокультурная среда. 8. межкультурные взаимодействия. Description An account of the resource Введение в теорию межкультурной коммуникации [Электронный ресурс] = Foundations of Intercultural Communication : учебное пособие / Ж. А. Коротких ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 3.73 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2015. — 197 с. В пособии излагаются базовые теоретические сведения по проблемам межкультурной коммуникации. Определяется специфика межкультурной коммуникации как коммуникации особого типа; раскрываются особенности процесса коммуникации в зависимости от типа культур; описывается процесс восприятия «чужого»; анализируются причины возникновения стереотипов и предрассудков; рассматривается связь языка и культуры; характеризуются факторы, влияющие на процесс адаптации кинокультурной среде. Содержащиеся в пособии примеры и практические задания позволяют глубже и полнее освоить темы. Учебное пособие предназначено для студентов лингвистических институтов и факультетов иностранных языков, а также для всех, интересующихся проблемами межкультурной коммуникации. Creator An entity primarily responsible for making the resource Коротких, Жанна Александровна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 29.09.2015 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/korotkih.pdf%20">http://library.altspu.ru/dc/pdf/korotkih.pdf<br /></a><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/korotkih.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/korotkih.exe</a> английский язык Германские языки инокультурная среда Культурология межкультурные взаимодействия межкультурные коммуникации Теоретическая культурология Языкознание