8 5 190 http://books.altspu.ru/files/original/58/46/_[650].png e353fb8c66661e1e8b1e798563753541 http://books.altspu.ru/files/original/58/46/rubtsov.pdf d097ffdb25a39bc9f0f6c737defd5746 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» РИМ И ВАРВАРЫ Учебно-методическое пособие Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2016 Об издании - 1, 2, 3. �Содержание УДК 94(37)(075) ББК 63.3(0)323я73 Р51 Рим и варвары [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / сост. С.М. Рубцов. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. Рецензент: Лыдин Н.Н., кандидат исторических наук, старший преподаватель АлтГПУ Издание содержит источниковедческий материал по истории внешней политики Римской империи в период принципата (1–2 вв. н. э.). В пособии характеризуются различного вида источники: письменные (нарративные), археологические памятники, эпиграфические материалы. Пособие предназначено для студентов 1 курса исторического факультета, а также может служить пособием для студентов, обучающихся по специальности «Туризм». Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 28.01.2016 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 11 322 КБ. Дата подписания к использованию: 15.03.2016 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Введение Тематика и содержание лекционного курса Лекция № 1. Римская империя в 1–2 вв. н. э. Лекция № 2. Римская императорская армия 1–2 вв. н. э. Лекция № 3. Основные направления внешней политики императора Августа (27 г. до н. э. – 14 г. н. э.) Лекция № 4. Внешняя политика Римской империи в период правления Тиберия (14–37 гг. н. э.) и Калигулы (37–41 гг. н. э.) Лекция № 5. Внешняя политика Римской империи во время принципата Клавдия (41–54 гг. н. э.) и Нерона (54–68 гг. н. э.) Лекция № 6. Основные направления внешней политики императоров из династии Флавиев (69–96 гг. н. э.) Лекция № 7. Активизация внешней политики империи во время правления императора Марка Ульпия Траяна (98–117 гг. н. э.) Лекция № 8. Изменение внешней политики империи при Адриане (117–138 гг. н. э.) и Антонине Пие (138–161 гг. н. э.) Лекция № 9. Внешняя политика империи при последних Антонинах Методические рекомендации к спецкурсу Основные источники по истории внешней политики Римской империи в период принципата (1–2 вв. н. э.) Источники и литература Приложение (документальный материал) АВГУСТ ТИБЕРИЙ �Содержание Введение В 1–2 вв. н. э. Рим вступил на путь ранней империи или принципата. В это время его могущество достигло своего высшего апогея. Границы государства простирались от Дуная и Рейна на севере до песков Сахары на юге, от Евфрата на востоке до берегов Атлантического океана на западе, а Средиземное море практически превратилось во внутреннее «озеро». За свою предыдущую историю римляне сумели покорить сотни племён и народов, далеко шагнув за пределы Италии. Инструментом завоеваний являлась совершенная для своего времени армия, вооружённая и оснащённая по последнему слову античной техники. Однако за пределами империи продолжало жить огромное количество варварских племён различного этнического происхождения, а на востоке непримиримым противником ещё со времён Республики оставалась Парфянская держава, в военном отношении во многом не уступающая «покорителям мира». Властителям Рима приходилось почти постоянно сдерживать напор своих внешнеполитических противников: проводить тонкую дипломатическую работу, совершать военные походы за лимес, завоёвывая новые территории. Этому аспекту истории императорского Рима и посвящены материалы данного пособия. �Содержание Тематика и содержание лекционного курса (Общий объём 18 час.) Лекция № 1. Римская империя в 1–2 вв. н. э. Лекция № 2. Римская императорская армия 1–2 вв. н. э. Лекция № 3. Основные направления внешней политики императора Августа (27 г. до н. э. – 14 г. н. э.) Лекция № 4. Внешняя политика Римской империи в период правления Тиберия (14–37 гг. н. э.) и Калигулы (37–41 гг. н. э.) Лекция № 5. Внешняя политика Римской империи во время принципата Клавдия (41–54 гг. н. э.) и Нерона (54–68 гг. н. э.) Лекция № 6. Основные направления внешней политики императоров из династии Флавиев (69–96 гг. н. э.) Лекция № 7. Активизация внешней политики империи во время правления императора Марка Ульпия Траяна (98–117 гг. н. э.) Лекция № 8. Изменение внешней политики империи при Адриане (117–138 гг. н. э.) и Антонине Пие (138–161 гг. н. э.) Лекция № 9. Внешняя политика империи при последних Антонинах �Содержание Лекция № 1. Римская империя в 1–2 вв. н. э. (2 час.) План лекции: 1. Хронология спецкурса. 2. Основные источники по истории Римской империи периода раннего принципата. 3. Краткая историография по проблеме. 4. Племена и народы, окружающие Римскую империю. Их военно-политическое развитие. �Содержание Лекция № 2. Римская императорская армия 1–2 вв. н. э. (2 час.) План лекции: 1. Организация и состав. 2. Наступательное и оборонительное оснащение. 3. Римская армия в бою (тактика и стратегия). 4. Влияние римской армии на романизацию провинций. �Содержание Лекция № 3. Основные направления внешней политики императора Августа (27 г. до н. э. – 14 г. н. э.) (2 час.) План лекции: 1. Римско-парфянские отношения. 2. Положение дел в Африке. 3. Германская граница. 4. Продвижение к берегам Дуная. �Содержание Лекция № 4. Внешняя политика Римской империи в период правления Тиберия (14–37 гг. н. э.) и Калигулы (37–41 гг. н. э.) (2 час.) План лекции: 1. Политика Тиберия в Германии и её итоги. 2. Восстания в Паннонии, Фракии и Африке. 3. Парфянская политика Тиберия. 4. Внешнеполитические акции Калигулы. �Содержание Лекция № 5. Внешняя политика Римской империи во время принципата Клавдия (41–54 гг. н. э.) и Нерона (54–68 гг. н. э.) (2 час) План лекции: 1. Расширение границ империи и организация новых провинций при Клавдии. 2. Походы в Британию и их результаты. 3. Военное строительство на дунайском и рейнском лимесах. 4. Основные направления авантюрной внешней политики Нерона и её итоги. �Содержание Лекция № 6. Основные направления внешней политики императоров из династии Флавиев (69–96 гг. н. э.) (2 час.) План лекции: 1. Подавление восстания в Иудее. 2. Реорганизация обороны империи при Флавии Веспасиане (69–79 гг. н. э.). 3. Войны императора Домициана Флавия (81–96 гг. н. э.) с германцами. 4. Дакийские войны второй половины 80-х гг. 1 в. н.э. �Содержание Лекция № 7. Активизация внешней политики империи во время правления императора Марка Ульпия Траяна (98–117 гг. н. э.) (2 час.) План лекции: 1. Приход к власти новой династии. Подготовка к походу на восток. 2. Первая дакийская война Траяна (101–103 гг. н. э.). 3. Вторая дакийская война Траяна и её итоги (105–106 гг. н.э.). 4. Парфянская война (114–117 гг. н.э.). �Содержание Лекция № 8. Изменение внешней политики империи при Адриане (117–138 гг. н. э.) и Антонине Пие (138–161 гг. н. э.) (2 час.) План лекции: 1. Переход к политике обороны. Возведение лимеса. 2. Провинциальная политика. Подавление восстаний. 3. Расширение романизации. Строительство городов. 4. Римское военное присутствие на северном причерноморье. �Содержание Лекция № 9. Внешняя политика империи при последних Антонинах (2 час.) План лекции: 1. Нарастание кризиса империи. Римско-парфянская война (161–165 гг. н. э.). 2. Первая маркоманнская война (166–175 гг. н. э.) императора Марка Аврелия (161–180 гг. н. э.). 3. Вторая маркоманнская война (178–180 гг. н. э.). 4. Внешняя политика императора Коммода (180–192 гг. н. э.). �Содержание Методические рекомендации к спецкурсу Для успешного усвоения материала спецкурса студенты должны обладать базой данных о внешней политике Римской империи в период принципата. Для этого им необходимо ознакомиться с основными источниками и литературой по теме изучаемой дисциплины, овладеть содержанием дисциплины. Основной базовый материал содержится в учебных пособиях по истории Древнего мира, указанных в списке. Хронологическая последовательность событий, краткое, компактное изложение хода военных кампаний и дипломатических отношений позволит войти учащемуся в круг тех вопросов, которые волновали римское общество в первые века новой эры. Дополнительную информацию по внешнеполитическим акциям империи в период раннего принципата студентам позволит получить монографическая литература отечественных и зарубежных авторов. На практических занятиях по программе спецкурса учащимся рекомендуется использовать документальный материал, содержащийся в хрестоматиях по истории древнего мира, а кроме того, в приложении к данному пособию. При его изучении необходимо учитывать субъективизм историков раннего принципата, связанный с комплексом причин личного и общественного положения автора. Тем не менее, обсуждение отдельных внешнеполитических событий через призму ряда авторитетных источников позволит реконструировать стратегию римских императоров в период раннего принципата. Исторические источники имеют значение и для усвоения материала по дисциплине «Туристические объекты Древнего мира». Учитывая особенности преподаваемого предмета, необходимо обратить внимание на их специфику. Туристические объекты древнего мира прежде всего связаны с археологическими памятниками. Поэтому наглядность представляемых источников, позволяющая рассмотреть их характерные признаки, представляет значительный интерес. В этом отношении полезно будет использовать фото- и видеоматериалы, презентации. Тем не менее, нельзя рассматривать археологические памятники в отрыве от исторического контекста. Поэтому одновременно важно использовать в содержании дисциплины письменные источники. Прежде всего, это сведения античных авторов, связанные с туристическими объектами. Так, например, туристические объекты, связанные с историей древней Греции полезно было бы рассматривать, исходя из сочетания археологических памятников и сведений, сообщаемых автором 2 в. н. э. Павсанием («Описание Эллады»). Таким образом, комплексное использование различного рода источников позволит успешно осуществлять поставленные в процессе обучения задачи, причем преобладающее значение необходимо отводить именно вещественным свидетельствам. Приложение содержит документальный материал, освещающий основные направления внешней политики Римской империи с момента установления принципата Августа (27 г. до н. э.) до конца правления императора Тиберия (37 г. н. э.). Наряду со сведениями знаменитых римских историков (Корнелия Тацита, Диона Кассия и др.) в издании приводятся данные так называемых «малых авторов»: Веллея Патеркула, Аннея Флора и др., а также эпиграфические памятники, малоизвестные для студентов. Кроме прямого назначения по теме спецкурса, материалы пособия могут быть использованы преподавателями в ходе лекций по истории Древнего Рима, а также студентами при подготовке к практическим занятиям, для написания курсовых и дипломных работ �Содержание Основные источники по истории внешней политики Римской империи в период принципата (1–2 вв. н. э.) 1. Хронология спецкурса. Особенности географических рамок. 2. Письменные источники и вещественные памятники. А) Свидетельства античных авторов. Б) Данные археологии. Рис. 1. Римская империя эпохи принципата Нижней хронологической границей спецкурса являются январские иды 27 года до новой эры, когда, милостиво соглашаясь на просьбы сената не бросать на произвол судьбы государство, только что пережившее ужасы гражданской войны, Октавиан шаг за шагом захватил бразды правления в Риме в свои руки. Видимость политического строя республики сохранялась, однако пожизненным принцепсом – дословно «первым» во всех магистратурах, а также императором, не считая почётных наименований, дарованных ему льстивыми сенаторами, становится именно он. Так появилась, по выражению специалистов, так называемая «скрытая монархия» или новый политический строй, получивший название «принципат». Эпоха раннего принципата охватывает период 1–2 веков новой эры, включая в себя по традиции правление собственно Октавиана Августа, фактически находившегося у власти с момента окончания гражданских войн в 30 г. до н. э. до самой смерти в 14 г. н. э., и нескольких династий, первая из которых получила название «династия Юлиев – Клавдиев» (14–68 гг. н. э.), вторая – Флавиев (69–96 гг. н. э.), третья – Антонинов (96–192 гг. н. э.). Время правления последнего из Антонинов – Коммода �Содержание (180–192 гг. н. э.) является верхней границей спецкурса. Однако, чтобы понять сущность внешнеполитических проблем, возникавших у Римской империи с тем или иным народом или государством, нам придётся время от времени обращаться к событиям более ранних времён 2–1 вв. до н. э. Выбор именно таких хронологических рамок спецкурса не случаен. Вместе с изменением политического, социального строя, как подчёркивают специалисты, изменилась и внешнеполитическая доктрина Рима. Он уже не ведёт, как раньше в период Республики, широкомасштабных глобальных войн. Тем не менее, границы империи значительно раздвигаются. Появляются новые провинции, где дислоцируются римские легионы. На месте стоянок воинских частей возникают колонии ветеранов и муниципии римских граждан. Идёт активное расширение римского мира далеко за пределы Италии. Романизация достигает своего апогея. Военное могущество империи ещё непоколебимо, но, тем не менее, «машина подавления» уже начинает пробуксовывать, давая время от времени сбои. Рим постепенно переходит к защите своих рубежей, возводя на границах целую систему оборонительных сооружений – «лимес». Таким образом, на наш взгляд, период раннего принципата имеет свой собственный, характерный только для него, специфический исторический оттенок, в том числе и во внешней политике, который представляется возможным рассмотреть на основании имеющихся в нашем распоряжении источников. Территориальные рамки спецкурса широки. К концу правления императоров из династии Антонинов географические познания римлян значительно увеличились. Западная граница упиралась в Атлантический океан. В эпоху Августа Иберия окончательно вошла в состав Рима. В Британии легионы и вспомогательные части – ауксилии – к концу 2 в. н. э. дислоцировались на рубежах современной Шотландии (древняя Каледония). Самая протяжённая северная граница проходила по Рейну и Дунаю, служившими по замыслу Августа естественными преградами на пути вторжения варваров. Тем не менее, преследуя своих противников, легаты Августа и Тиберия доходили до Эльбы. На верхнем и среднем Дунае во время маркоманнских войн в семидесятых годах 2 в. н. э. Марк Аврелий добрался до границ современных Моравии и Чехии. Низовья Дуная стали известны римлянам ещё со 2 в. до н. э., когда ряд воинственных нижнедунайских племён стал угрожать провинции Македония. Однако продвижение в этом направлении шло сравнительно медленно. Лишь в начале 2 в. н. э., благодаря победоносным походам Марка Ульпия Траяна, римляне достигли северных Карпат и верховий Тисы. Это в значительной мере облегчило проникновение римлян на территорию северного причерноморья. Греческие колонии под напором неспокойных соседей ещё с эпохи гражданских войн сами искали защиты под высокой рукой Рима. Восточная граница, также как и северная, прикрывалась естественными рубежами. К концу периода раннего принципата легионы и ауксилии дислоцировались в основном по верхнему и среднему Евфрату на территории провинции Сирия, но военно-политические интересы римлян простирались порой и дальше: победоносная армия Траяна в 117 г. н. э., продвигаясь вдоль Тигра, достигла Персидского залива. Далее восточная граница тянулась вдоль труднопроходимой аравийской пустыни, прикрывающей вошедшие в состав империи в 1 в. н. э. страны Леванта. Такая же суровая пустыня Сахара, а также отдельные форпосты с расквартированными в них воинскими частями охраняли южные пределы империи в северной Африке. Таким образом, в рассматриваемый период Средиземное море со всех сторон было окружено владениями Рима, превратившись фактически во внутреннее озеро империи. (Рис. 1) Источники по истории внешней политики Римской империи в период раннего принципата можно традиционно разделить по видам на три части. Во-первых, это нарративные или письменные источники, оставленные античным историческим наследием, во-вторых, немаловажное значение имеют археологические данные – немые свидетели некогда кипевших вокруг них бурных событий прошлого и, в-третьих, это материалы вспомогательных исторических дисциплин, как бы �Содержание соединяющие в себе качества первых двух, прежде всего – это эпиграфика, ставшая за последнее время очень популярной среди исследователей, и нумизматика. В начале, опять же по традиции, обратимся к трудам греческих и римских авторов. Наибольшее значение для изучения внешней политики Римской империи в 1 в. н. э. имеют сохранившиеся работы Корнелия Тацита (ок. 58 – после 117 г. н. э.). Провинциал из Нарбонской Галлии, выходец из всаднического сословия, при Флавиях и Антонинах он занимал достаточно высокие административные должности в государстве, видимо, имея доступ к официальным документам, но в своём творчестве, как полагают его биографы, не обходил стороной также источники другого рода: свидетельства очевидцев событий, мемуары, географические и исторические трактаты предшественников. Хотя Тацит, естественно, как и все люди, пишущие историю, не избежал определённого субъективизма, можно сказать, что сообщаемые им сведения отличаются достоверностью и подтверждаются источниками иного происхождения. В интересующем нас плане наибольший интерес представляют его «Анналы», написанные после 111 г. н. э. и не законченные, возможно, в связи со смертью автора. К сожалению, полностью эта историческая монументальная летопись до нас не дошла (утеряны, например, все книги, освещающие принципат Калигулы), но и то, что сохранилось, представляет огромный интерес для исследования внешней политики империи в период правления Юлиев – Клавдиев. Наряду с подробным описанием событий, происходящих в самом Риме, Тацит не скупится на информацию о внешнеполитических акциях на границах, а также дипломатии в клиентских государствах, обращает внимание на дислокацию легионов, на вторжения варваров, не забывая упомянуть о восстаниях в провинциях. Из так называемых «малых произведений» знаменитого римского историка, на наш взгляд, заслуживают внимание: «Жизнеописание Агриколы» и «Германия». Это во многом историко-географические труды. В первом, посвящённом наместнику Британии (77–84 гг. н. э.) и тестю автора, есть сведения не только о народах, населяющих страну, но и о её завоевании, а во втором рассматривается в основном социально-экономический уклад жизни германских племён – одних из самых упорных противников Рима на северо-западных рубежах империи. Хронологические лакуны, имеющиеся в дошедших до нас произведениях Корнелия Тацита, могут быть заполнены сведениями из литературно- исторического труда Гая Светония Транквилла «Жизнь двенадцати цезарей». По своему характеру это несколько иное сочинение, напоминающее отчасти знаменитые биографии Плутарха. Но в качестве исследуемого объекта у Светония выступают императоры из династии Юлиев-Клавдиев и Флавиев. Субъективизм писателя, жившего примерно в эти же годы, что и Тацит, на наш взгляд, несомненен. Ярый приверженец Антонинов, а Адриан сделал его в 119 г. н. э. заведующим императорской канцелярией, Светоний порой очень негативно отзывается о предшествующих династиях, излишне сгущая краски. Однако, имея доступ к государственному архиву, он, в целом, рисует, хоть и достаточно кратко, правдивую картину внешней политики Римской империи в 1 в. н. э. Что касается истории принципата 2 в. н. э., то в её изучении важное место занимает монументальная эпопея «Римская история», созданная в начале 3 в. н. э. крупным политическим деятелем эпохи Северов (193–235 гг. н. э.) Кассием Дионом Коккейаном. Его громадный труд, начинающийся с момента основания Рима, к сожалению, полностью до настоящего времени не дошёл, а некоторые книги по истории империи сохранились лишь в пересказе византийских хронистов. Особую ценность «Римской истории» в интересующем нас аспекте представляет её военно-политическая направленность. Автор, подробно останавливаясь на внешней политике империи в эпоху правления Августа, что, несомненно, в совокупности с трудом Тацита значительно расширяет представление об этом вопросе, доносит до нас порой уникальную информацию о походах Антонинов во 2 в. н. э. Только у Кассия Диона имеются описания дакийских и парфянских кампаний Траяна, хоть и в �Содержание эпитомах, дошли до нас эпизоды маркоманских войн Марка Аврелия. Автор, видимо, имея собственный опыт, хорошо разбирается в военном деле, что делает его описание ярким и реалистичным. Трудно говорить о субъективизме историка, за образец подражания он выбрал Фукидида, тем не менее, как отмечают специалисты, если исходить из содержания передаваемых им пропагандистских речей друзей Августа: Агриппы и Мецената, Кассий Дион являлся твёрдым сторонником принципата. Наконец, из более поздних письменных источников, дополняющих сведения по внешней политике Римской империи во 2 в. н. э., можно обратить внимание на труд нескольких авторов конца 3 – начала 4 века новой эры под условным названием «Писатели истории Августов». Произведение носит биографический характер, напоминающий отчасти жанр Светония. Происхождение и авторство этого источника вызывает до сих пор споры среди исследователей. Несомненен его субъективизм. В тексте обнаружены шероховатости и неточности, касающиеся правления многих так называемых «солдатских» императоров. Но преимущественно это касается 3 в. н. э. Таким образом, фактическому материалу, освещающему события предшествующего века можно в определённой степени доверять. Вещественные памятники некогда военно-политического могущества Рима эпохи принципата находятся как в самой столице империи, так и за пределами Италии в различных провинциях. Многочисленные триумфальные арки, далеко не все сохранившиеся до настоящего времени, свидетельствовали о победах римского оружия. Одна из них – арка Тита, 15,4 метра высотой, была воздвигнута в 81 г. н. э при Флавиях в честь победы над иудеями и находится у подножия Палатина. Сравнительно простая по своему архитектурному исполнению, она в то же время не лишена монументальности и величия. На внутренних стенах сооружения, как слева, так и справа, имеются рельефные изображения торжественного въезда императора в Рим, в определённой степени ценные своей реалистичностью. Император изображён на квадриге, в окружении победоносных легионов. Рис. 2 �Содержание Рис. 3 Рис. 4 �Содержание Пленные иудеи несут трофеи, захваченные в покорённом Иерусалиме, в том числе знаменитый канделябр с семью рожками из храма Яхве (рис. 2–4). В честь наиболее выдающихся побед над варварами в Риме воздвигали гордо устремлённые к небу колонны. Одной из наиболее известных и хорошо сохранившихся сооружений подобного типа является знаменитая колонна Траяна, до сих пор украшающая форум этого императора в центре столицы Италии. Её открытие состоялось в 113 г. н. э. и было приурочено к очередной годовщине победы над одним из самых опасных противников империи на нижнем и среднем Дунае – фракийским племенем даков, живших на территории современной Румынии. Строительство монументального сооружения потребовало значительных средств, а также нескольких лет упорного труда строителей-зодчих под руководством личного архитектора Траяна Аполлодора из Дамаска. Восемнадцать пятидесятитонных кубов превосходного каррарского мрамора доставили в Рим, где с помощью роликов провезли по улицам города к заранее подготовленной площадке на Квиринальском холме, часть которого была срыта на высоту будущего памятника. После этого кубы распилили на тридцать два блока. Восемь из них положили в четыре ряда, создав цоколь колонны высотой в 5,37 метра. Позднее в него поместили золотые урны с прахом императора и его жены Плотины. Три стороны пьедестала были украшены скульптурами, а в четвёртой сделали дверь, ведущую к винтовой лестнице из ста восьмидесяти пяти мраморных ступеней (рис. 5). Рис. 5 Современные исследования показали, что стержень, сложенный из семнадцати цилиндрических блоков, имеет у основания диаметр в 3,5 метра, а его длина достигает 26,5 метра. Общая высота сооружения – 38 метров. В своём первозданном виде колонна увенчивалась статуей победоносного императора, держащего в руках глобус. Однако после смерти Траяна она была заменена орлом, а затем �Содержание в 1587 г. по указу папы Секста V его сменила статуя святого Петра. Несмотря на все изменения, колонна сохранила важнейшее наглядное свидетельство событий, связанных с её появлением на одном из красивейших форумов древнего Рима. Её ствол опоясывают рельефные изображения дакийских войн начала 2 в. н. э. Они образуют беспрерывную, расширяющуюся по мере восхождения ленту из 23 витков длиной 200 метров, которая содержит более чем две с половиной тысячи высеченных фигур. Если учесть, что в древности рельеф был раскрашен и имел позолоту, то можно согласиться с восхищёнными отзывами современников о величии и красоте воздвигнутого Траяном сооружения. Имя мастера, работавшего над сценами, изображёнными на колонне, неизвестно. Однако эпизоды военных маршей и переправ, грандиозные сражения и ожесточённые осады городов, посольства и переговоры воюющих сторон показаны, по мнению большинства исследователей, достаточно реалистично, что позволяет думать о нём, как о живом свидетеле событий (рис. 6). Рис. 6 Существует предположение, что это был сам Аполлодор Дамасский, сопровождавший Траяна во время его дакийской кампании, выдвигались даже гипотезы о дакийском происхождении резчика. Однако, более вероятно, что автором рельефа является кто-то из свиты императора. Сооружение выполнено в чисто античном, римском монументальном стиле. Легионам в победах сопутствуют римские божества: Нептун и Фортуна, Марс и Виктория. Ваятель прекрасно разбирался в военном костюме личного состава легионов и вспомогательных частей – ауксилий. Менее известна и менее изучена другая колонна, воздвигнутая на одной из площадей Рима (так в настоящее время и называется «Площадь колонны») в конце 60-х годов второго века нашей эры в честь побед над варварами императора Марка Аврелия (161–180 гг. н. э.) (рис. 7). По своей �Содержание информативности рельефы памятника не уступают творению Траяна. Рис. 7 Римские легионеры форсируют по понтонному мосту, собранному из судов речной флотилии (Паннонская эскадра), Дунай. Победно развеваются знамёна и горделиво восседают на своих пьедесталах символы военного могущества империи – расправившие крылья орлы. Вот и сам император в окружении гвардии преторианцев. Войны продвигаются вглубь варварской территории. Показаны сражения и форсированные марши. Легионеры грабят убогие хижины германцев, угоняют в плен женщин и детей (рис. 8). Эпическая картина действий римской армии на верхнем и среднем Дунае также, как на колонне Траяна, освящается покровительством богов. В целом, как полагают специалисты, на основе изучения рельефов архитектурного памятника можно восстановить картину знаменитых маркоманнских войн, эпизод из которых реконструирован американскими кинографистами в историческом боевике «Гладиатор». �Содержание Рис. 8 Непосредственными немыми свидетелями пребывания римских воинских частей на территории варварской периферии являются останки фортификационных сооружений, возведённых в целях защиты мирного населения провинций от набегов воинственных незамирённых соседей. Против кочевых племён на равнинах современной Молдавии и южной Украины в начале 2 в. н. э. легионеры возвели ряд земляных валов, которые до сих пор называют «Траяновыми», хотя далеко не все они, как показали археологические исследования, были сооружены в начале второго столетия. Валы задерживали на какое-то время продвижение конных лавин противника и давали возможность римским гарнизонам в городах подготовиться к отражению врага. На южных границах империи в Африке с целью предотвращения внезапных нападений бедуинов на расстоянии всего лишь в несколько километров друг от друга были построены отдельные форты – кастеллы, где располагались отдельные сторожевые отряды – «вексилляции», состоящие из соединений отдельных воинских частей. В случае нападения врага они оповещали друг друга, а также гражданское население с помощью столбов дыма от зажигаемых на башнях костров, световых сигналов, передаваемых системой зеркал. Но на Рейне и в Британии, где варвары предпочитали скрываться в чащобах и действовать из засады, подобная тактика обороны не годилась. Приходилось воздвигать целую систему обороны, получившую название «лимес» (дословно – «сторожевая тропа»). Классической частью лимеса являлась стена со �Содержание сторожевыми башнями и воротами, а лес перед стеной обязательно вырубался. Наиболее типичные останки подобной фортификационной системы сохранились в Англии на границе с Шотландией. Это знаменитые «валы» императоров Адриана (117–138 гг. н. э.) и севернее – Антонина Пия (138–161 гг. н. э.). Рис. 9 Строительство оборонительной системы в Британии началось вскоре после прихода Адриана к власти. В 122 г. н. э. усилиями личного состава расквартированных на острове легионов из местных пород камня стали вырезаться каменные четырёхугольные блоки, необходимые для возведения стены, которая, по мысли императора, должна была соединить два моря: Ирландское и Северное (см. карту, рис. 9). Предназначалась она для защиты романизированного населения центральной и южной Англии от нападений воинственных северных племён, населявших территорию современной Шотландии. Стена укреплялась также забутовкой из местного булыжника, скреплённого раствором появившегося в 1 в. н. э. бетона, и отличалась надёжностью, достигая толщины 2,4 метра. Возведение стены потребовало пяти лет упорного труда. Окончательное завершение строительных работ произошло лишь в 126 г. н. э. К этому времени, как полагают специалисты, длина оборонительных сооружений, пересекающих остров, достигла 117 км. Окончательно оформилась и остальная система дополнительных фортификационных построек. По всей длине стены на расстоянии 1300 метров были возведены небольшие башни с бойницами, а для попадания на римскую территорию – 16 внешних фортов с воротами (рис. 10). �Содержание Рис. 10 В находящихся здесь караульных помещениях несли службу подразделения легионов и вспомогательных частей, отвечающие за сбор подорожной подати, за безопасность провозимых в населённые пункты грузов. Удачная, на наш взгляд, реконструкция пропускного форта представлена на рис. 11. Кроме того, с внешней северной стороны стены римскими легионерами был возведён вал из вырезанных из местных торфяников блоков толщиной в 3,5 и высотой 6 метров, под прикрытием которого по всем классическим правилам римского военно-инженерного искусства находился глубокий ров. Как и на большинстве европейских лимесов в систему оборонительных сооружений вала Адриана, о чём свидетельствуют данные археологии, входили сигнальные деревянные вышки, расположенные на расстоянии 500 метров друг от друга. Редьярд Киплинг, посвятивший этому археологическому памятнику несколько своих рассказов, вот как описывает мнение современников о его достоинствах: «Нет, нет; другой такой стены нет в мире. На ней – сторожевые башни; между ними – башни мелкие. Даже в самом узком её месте по ней могут идти рядом трое людей со своими щитами. Маленькая ограда, всего до шеи человека, бежит по её краю, так что издали видишь только, как шлемы часовых скользят вперёд и назад, точно блестящие бусы. Стена имеет тридцать футов высоты; с пиктской стороны, то есть с северной, – ров, усеянный лезвиями старых мечей и наконечников копий, вделанных в древки, и соединённые цепями ободья колёс. Низкорослые пикты приходят сюда красть железо для своих стрел» (Цит. по: Р. Киплинг. На большой стене / Р. Киплинг. Собр. соч. в 5 т. Т. 2. М., 1991. С. 513). �Содержание Рис. 11 Другая оборонительная линия лимеса, расположенная уже на территории современной Шотландии, появилась в 142–144 гг. н. э. во время правления императора Антонина Пия (138–161 гг. н. э.) в 160 км севернее вала Адриана. Она также протянулась от моря до моря на 40,5 римских миль (около 63 км), пересекая равнины и обширные болота Каледонии. Как показывают археологические данные, строилась она, в основном, по тем же принципам фортификационного искусства древних римлян, но с некоторыми изменениями, связанными с особенностями погодных условий, а также ландшафтом окружающей местности. Немаловажное значение при относительно низких температурах воздуха, высокой влажности, сырости имела дренажная система, умело вделанная военными инженерами в основание стены. Её основание также состояло из каменных плит с забутовкой, достигая в ширину приблизительно 5 метров (4,25–4,9 м), на котором легионеры и воины вспомогательных частей установили, скрепив их раствором, прямоугольные блоки, вырезанные из местного дёрна. К настоящему времени сохранился лишь фундамент стены, возвышавшейся когда-то почти на 4 метра (рис. 12). На расстоянии от 2,4–4,8 км друг от друга располагалось около 26 фортов с дислоцировавшими в них гарнизонами, состоящими из вексиляций (соединений) британских легионов и ауксилий. Закутавшись в тёплые шерстяные военные плащи «каракаллы», солдаты империи несли сторожевую службу, патрулируя стену по деревянному настилу шириной 1,85 метра, оснащённому сделанным всё из того же дерева парапетом. Они внимательно вглядывались в зелёные дали унылых каледонских долин, простиравшиеся за ограждающим стену с севера шестиметровым рвом. Английскими археологами обнаружены руины 17 кастеллов, ещё в двух ведутся исследовательские работы. Вал Антонина на протяжении более чем полувека служил ощутимой �Содержание преградой на пути варварских вторжений, пока Септимий Север – основатель уже новой династии, получившей название от его имени – в 208 г. н. э., видимо, не надеясь удержать достигнутые когда-то рубежи, не оставил его, эвакуировав гарнизоны на стену Адриана. Рис. 12 Важным дополнением к археологическим памятникам, как бы соединяя два вида источников – письменных и вещественных, – служат многочисленные эпиграфические документы: надписи солдат и офицеров римской армии, оставленные на надгробных плитах, алтарях, строительных материалах. Они обнаружены повсеместно в регионе средиземноморья, а также далеко за его пределами, где ступала кожаная калига легионера. Они непредвзято сообщают нам о суровой жизни защитников империи и их семей в военных лагерях, а порой и о кровопролитных сражениях с враждебным Риму варварским миром (рис. 13). �Содержание Рис. 13 �Содержание Источники и литература 1. Страбон. География в 17 книгах [Текст] / Страбон. – Москва : Ладомир, 1994. – 943 с. 2. Малые римские историки: Веллей Патеркул. Римская история. Анней Флор. Две книги римских войн. Луций Ампелий. Памятная книжица ; пер. с лат. В. Н. Белоногова [Текст] / [изд. подгот. А. И. Немировский]. – Москва : Ладомир, 1996. – 387 с. 3. Кассий Дион Коккейан. Римская история [Текст] / Кассий Дион Коккейан. – Санкт-Петербург : Нестор-История, 2011. – 456 с. 4. Властелины Рима. Биографии римских императоров от Адриана до Диоклетиана [Текст] / под ред. А. И. Доватура. – Москва : Наука, 1992. – 384 с. 5. Античная география [Текст] : книга для чтения / сост. проф. М. С. Боднарский. – Москва : Государственное издательство географической литературы, 1953. – 374 с. 6. История древнего Рима [Текст] : учебник / под ред. В. И. Кузищина. – Москва : Высшая школа, 2013. – 336 с. 7. Бокщанин, А. Г. Источниковедение Древнего Рима [Текст] / А. Г. Бокщанин. – Москва : Изд-во Московского университета, 1981. – 160 с. 8. Фёдорова, Е. В. Знаменитые города Италии [Текст] / Е. В. Московского университета, 1985. – 320 с. Фёдорова. – Москва : Изд-во 9. Пенроз, Дж. Рим и его враги [Текст] / Дж. Пенроз ; пер. с англ. О. Шмелёвой. – Москва : Эксмо, 2008. – 296 с. 10. Нефёдкин, А. К. Под знаменем дракона [Текст] / А. К. Нефёдкин. – Санкт-Петербург : Петербургское Востоковедение, 2004. – 192 с. 11. Колосовская, Ю. К. Рим и мир племён на Дунае 1–4 вв. н. э. [Текст] / Ю. К. Колосовская. – Москва : Наука, 2000. – 288 с. 12. Джонс, Т. Варвары против Рима [Текст] / Т. Джонс, А. Эрейра ; пер. с англ. В. Шарапова. – Москва : Эксмо, 2010. – 352 с. 13. Рубцов, С. М. Легионы Рима на нижнем Дунае [Текст] / С. М. Рубцов. – Санкт-Петербург : Петербургское Востоковедение, 2003. – 256 с. �Содержание Приложение (документальный материал) АВГУСТ ТИБЕРИЙ �Содержание АВГУСТ Гай Октавий 29 сентября 63 г. до н. э. – 19 августа 14 г. н. э. С 44 г. до н. э. носил имя Гай Юлий Цезарь (Октавиан). Правил с 16 января 27 г. до н. э. до смерти под именем император Цезарь Август. После смерти был обожествлён под именем Божественный Август. Деяния Божественного Августа Обширная надпись, обнаруженная в 1555 г. на стенах античного храма богини Ромы и Августа близ турецкого города Анкара, где в первых веках новой эры находился город Анкира. Отсюда другое название надписи – Анкирская. Своеобразное политическое завещание Августа. Отрывок приводится по изданию: Хрестоматия по истории древнего мира / под ред. В. Г. Боруховича, С. Ю. Монахова, В. Н. Парфёнова. М., 1998. С. 403–408. XXVI. (1). Я расширил пределы всех провинций римского народа, которые граничили с племенами, не изъявившими покорность нашему государству. (2). Галльские и испанские провинции, а также Германию, которая ограничена Океаном от Гадиса до устья реки Альбиса, я усмирил. (3). Альпы, от той области, что ближе всего к Адриатическому морю, и до Этрурии, я умиротворил, не открывая военных действий против какого-либо народа без справедливого повода. (4). Мой флот переплыл Океан от устья Рейна в направлении восточных областей до территории кимвров, куда прежде не проникал ни один римлянин ни по суше, ни по морю. Кимвры, хариды, семноны и другие племена германцев этой же области отправили послов, добиваясь дружбы моей и народа римского. (5). По моему приказу и под моим верховным командованием почти в это же время были отправлены два войска в Эфиопию и Аравию, называемую Счастливой, и огромные полчища врагов были уничтожены в сражении, а многочисленные города захвачены. В Эфиопии наше войско достигло города Набаты, вблизи Мероэ, в Аравии наше войско достигло пределов Сабеев, у города Мариба. XXVII. (1). Египет я подчинил власти римского народа. (2). Великую Армению, которую я мог превратить в провинцию после того, как был убит её царь Артакс, я предпочёл по примеру наших предков передать Тиграну, сыну царя Артавазда, внуку царя Тиграна. Посредником в этом деле выступил Тиберий Нерон, который был тогда моим пасынком. После того, как этот же народ, возмутившийся и начавший мятеж, был укрощён моим сыном Гаем, я передал власть над этим народом царю Ариобарзану, сыну царя мидян Артавазда, и после его смерти сыну его Артавазду, а затем, когда он был убит, я отправил на это царство Тиграна, который происходил из царского рода армян. (3). Все восточные провинции, находящиеся по ту сторону Адриатического моря, и Кирену, которыми по большей части завладели цари, а до этого Сицилию и Сардинию, захваченную во время рабской войны, я вновь завоевал. XXIX. (1). Многочисленные знамёна легионов, утерянные другими предводителями войск, я, одержав победы над врагами, возвратил из Испании, Галлии и от далматов. (2). Я принудил парфян вернуть мне трофеи и знамёна, захваченные у трёх римских армий, заставив их при этом умолять римский народ заключить с ними дружбу. Эти знамёна я поместил во внутреннее святилище храма Марса Мстителя. XXX. (1). Племена паннонцев, которых до моего принципата войско римского народа никогда не достигало, я подчинил власти римского народа после того, как они были побеждены Тиберием �Содержание Нероном, тогда моим пасынком и моим легатом. Границы Иллирика я расширил до берегов реки Данувия. (2). Войско даков, вторгшееся на территорию по эту сторону реки Данувия, было при моём верховном командовании побеждено и рассеяно, после чего моё войско, форсировавшее Данувий, заставило племена даков подчиниться власти римского народа. XXXI. (1). Ко мне неоднократно прибывали посольства царей из Индии, которых до этого времени никто никогда не видел у кого-либо из римских вождей. (2). Бастарны, скифы и цари сарматов, обитающих по обе стороны реки Танаис, а также царь альбанов, иберов и медов – все добивались нашей дружбы, отправляя к нам послов. XXXII. (1). Ко мне с мольбой о защите обращались цари парфян Тиридат и позже Фраат, сын царя Фраата, царь медов Артавазд, царь адиабенов Артаксар, цари британцев Думнобеллавн и Тинкомий, царь сигамбров Мэлон, царь маркоманнов – свевов …рус. (2). Ко мне в Италию послал своих сыновей и всех внуков царь парфян Фраат, сын Орода, не потому, что был побеждён в войне, но добиваясь нашей дружбы, посылая в качестве заложников своих детей. Также многочисленные другие народы, которые прежде никогда не обменивались посольствами и не были связаны узами дружбы с римским народом, испытали на себе значение доверия римского народа. XXXIII. Народы парфян и медов, отправив ко мне послами знатных людей своих государств с просьбой прислать им царей, получили их: парфяне получили Вонона, сына Фраата, внука царя Орода, меды – Ариобарзана, сына царя Артавазда, внука царя Ариобарзана. Луций Анней Флор. Две книги римских войн Римский историк II в. н. э. Во время правления императора Адриана (между 117 и 138 гг. н. э. написал краткий очерк истории древнего Рима, начиная от основания города до времени Августа, основываясь на труде Тита Ливия. Главное внимание уделял истории войн, которые Рим вёл сначала на территории Италии, а затем за её пределами. Отрывок приводится по изданию: Малые римские историки. Веллей Патеркул. Римская история. Анней Флор. Две книги Римских войн. Луций Ампелий. Памятная книжица / пер. с лат.; изд. подгот. А. Немировским. М., 1995. С. 184–189. XXII. Норикская война. (4). Альпы возвышали (боевой) дух нориков: будто война не могла подняться на их скалы и снега! Цезарь с помощью своего пасынка Друза покорил племена этой страны: бревков, уценнов и винделиков. (5). Какова была дикость альпийских племён, легко показать на примере их женщин: за нехваткой метательных орудий они разбивали о землю головы своим младенцам и швыряли их в лица воинам. XXIII. Иллирийская война. (6). Иллирийцы живут у подножия Альп. Их словно бы охраняют теснины, образованные водопадами. Против них Цезарь предпринял поход сам и приказал возвести мосты. (7). Увидев растерянность своего войска, вызванную водами рек и врагом, он вырвал щит из рук замешкавшегося при переходе воина и первым проложил дорогу. Авангард последовал за ним, и мост обрушился под тяжестью массы людей. Раненный в руки и ноги, окровавленный и освящённый опасностью, он положил врагов на лопатки. XXIV. Паннонская война. �Содержание (8). Две быстрые реки – Драва и Сава – защищают паннонцев. Опустошив соседей, они прячутся за их берегами. Для покорения паннонцев Цезарь послал Винния /1/. Они были разбиты на обеих реках. (9). Оружие побеждённых, вопреки военному обычаю, было не сожжено, а сломано и брошено в поток, чтобы о славе Цезаря могли узнать те, кто ещё сопротивлялся. 1. Легат Октавиана Августа Т. Винний Руф. XXV. Далматинская война. (10). Далматы по большей части жили в лесах. Оттого они наиболее склонны к грабежам. (11). Ещё консул Марций как бы обезглавил их, предав огню город Дельминий. Затем Азиний Поллион, второй по таланту оратор, лишил их стад, оружия, земель. Но окончательное их покорение Август поручил Вибию/2/. (12). Тот заставил этот глупый народ копать землю и добывать в рудниках золото. Самый неразвитый из народов делал это с таким усердием и старанием, будто золото шло на его собственные нужды. 2. Г. Вибий Постум, консул 5 г. до н. э., наместник Далмации в 6–9 гг. до н. э. XXVI. Мезийская война. (13). Страшно вспомнить, сколь дикими, сколь свирепыми были мезийцы, варвары из варваров. (14). Один из вождей в наступившей перед сражением тишине воскликнул: «Кто вы есть?» С другой стороны ответили: «Римляне – владыки народов».(15). Тот в ответ: «Так будет, если вы нас победите». Условие принял Марк Красс /3/. Тотчас же перед строем мезийцы заклали коня, потом дали обет – внутренности убитых вражеских вождей принести в жертву и съесть. (16). Я могу поверить, что это услышали боги, так как нельзя было заглушить звуки труб (римлян). Не меньший страх нагнал на варваров центурион Корнидий. Его выходка была достойна варвара, но произвела впечатление на столь глупых людей: насадив на свой шлем горшок с углями, разгоравшимися при движении, он словно исторгал пламя из головы. 3. Марк Лициний Красс, наместник Македонии в 29 г. до н. э. XXVIII. Дакийская война. (18). Даки засели за горами. При царе Котисоне, когда Данувий, затвердев от стужи, соединял берега, они обычно совершали набеги и опустошали окрестности. (19). Цезарь Август задумал отбросить этот неуловимый народ. Отправив Лентула /4/, он прогнал их на другой берег реки. По эту сторону были установлены сторожевые посты. Дакия, таким образом, не была побеждена, вернее, победа над ней отодвинута, отложена. 4. Гней Корнелий Лентул, консул 14 г. до н. э. XXX. Германская война. (21). И разве [Август] не посчитал важной победу над Германией? Позор утраты этой страны был намного большим, чем слава её приобретения. (22). Но он знал, что его отец Цезарь дважды переводил через Рен войну в Германию, и он намеревался превратить эту страну в его честь в провинцию. И это ему бы удалось, если бы варвары выносили наши пороки столь же легко, как и наше господство. (23). Итак, в ту область был отправлен Друз, поначалу он покорил узипетов, затем прошёл через тенктеров и хаттов. Трофеями и сверкающим оружием маркоманнов он украсил высокий холм наподобие победного памятника. (24). После этого он победил исключительно сильные народности херусков, свевов и сугамбров, которые распяли на крестах двадцать римских центурионов и этим самым открыли против нас войну. Все они были преисполнены надежд на победу и уже заранее �Содержание оговорили себе добычу. (25). Херуски притязали на коней, свевы – на золото и серебро, сугамбры – на пленных. Но вышло наоборот. Победителем стал Друз, и он повелел продать коней, стада, ожерелья и их самих как добычу. (26). Помимо того, для охраны провинции он поставил гарнизоны и укреплённые пункты на реках Мозе, Альбе и Визурге. По берегу Рена тогда появилось более пятидесяти укреплённых мест. Борм и Гезориак он связал мостами и дал им для охраны флот. (27). Также достиг он Герцинских гор, чего ещё не удавалось сделать никому (из римлян). Так в Германии воцарился, наконец, такой мир, что казалось, будто изменились люди, другой стала страна и даже климат сделался мягче. (28). Наконец, и сам сенат вопреки своему обыкновению, без промедления в признание заслуг дал победителю почётное имя по провинции. (29). Однако труднее удержать провинцию, чем завоевать: добытое силой удерживается законностью. (30). Мир был недолгим. Германцы скорее были побеждены, чем усмирены и, познакомившись с нами при победоносном полководце Друзе, возненавидели не столько наше оружие, сколько наши пороки. (31). После смерти Друза распущенность и надменность Квинтилия Вара им претила не менее, чем его суровость. Он осмелился собирать их на сходки и отдал неосмотрительный приказ. Будто розга ликтора и голос глашатая могут смягчить необузданность варваров! (32). Германцы, давно уже сокрушавшиеся, что ржавеют их мечи и бездействуют кони, решили, что мир с римлянами и римские законы хуже войны, и под командованием Арминия взялись за оружие. (33). Вар настолько был уверен в прочности мира, что не двинулся с места, когда один из вождей, некий Сегест, выдал ему заговор. (34). Итак, они неожиданно обрушились со всех сторон на неподготовленного и не опасавшегося нападения полководца в то время, когда он – какая беспечность! – улаживал споры со своего трибунала. Они разграбили лагерь, разбили три легиона. (35). Вар встретил удар судьбы и своё поражение с той же силой духа, что и Павел в день Канн. (36). Нельзя себе представить что-либо страшнее этого побоища в болотах и лесах, что-либо невыносимее издевательств варваров, особенно по отношению к законникам. (37). Одним они выкололи глаза, другим отрубили руки, у одного зашили рот, предварительно вырезав язык. Держа его в руках, один из варваров воскликнул: «Наконец-то ты перестал шипеть, змея!». (38). Они даже вырыли тело консула, преданное земле благочестивыми воинами. Что касается легионных орлов, то двумя из них варвары владеют до сих пор, а третьего орла, чтобы он не попал в руки врагов, знаменосец сорвал [c древка], спрятал под пояс и укрыл в окрасившемся кровью болоте. (39). Результатом этого поражения было то, что империя, которую не задержало побережье Океана, была остановлена на берегу реки Рен. XXXIII. Война с кантабрами и астурами. (46) На западе была уже покорена почти вся Испания, не считая той части, которая примыкает к Пиренейским скалам и омывается ближайшим к нам Океаном. Здесь пришли в волнение два упорнейших независимых от нашей власти народа – кантабры и астуры. (47) Первыми с наибольшей решимостью и упорством проявили свой мятежный дух кантабры. Не довольствуясь защитой собственной свободы, они пытались подчинить соседей и утомили частыми нападениями ваккеев, турмогов и аутригонов. (48) Поэтому, когда стало известно об усилении их активности, экспедицию против них Август не поручил никому, а оставил для себя. Он сам прибыл в Сегисаму, поставил лагерь, после чего войском, разделённым на три части, охватил всю Кантабрию и обложил одичавший народ, словно зверей. (49) Не было им покоя и со стороны Океана, откуда он ударил в тыл врагам сильным флотом. Впервые схватились с кантабрами у стен Бергиды. Оттуда они бежали на высочайшую гору Виндий, которую, как они полагали, скорее достигнут воды Океана, чем римское оружие. (50) Сильное сопротивление оказал город Арацелий, однако, он был взят. Последней операцией была осада города Медуллы. Когда римляне окружили её сплошным рвом в 18 милях и одновременно подошли со всех сторон, варвары осознали, что им пришёл конец. Они устроили �Содержание погребальный пир, соревнуясь в выборе смерти – от меча, огня или яда, который они обычно добывают из тисового дерева. Большая их часть предпочла смерть, освободившись, таким образом от плена, который им в то время ещё не покорённым, казался тяжелее смерти. (51) Цезарь, зимовавший в Тарраконе у моря, узнал об этом от легатов Антистия и Фурния и от Агриппы. (52) Прибыв к месту боёв, он одних свёл с гор, других привязал к себе с помощью заложников, третьих продал под венком по праву войны. (53) Сенат счёл всё это достойным лавра и триумфальной колесницы, но Цезарь в то время был уже столь могущественным, что мог пренебречь триумфом. (54) Тем временем со снежных гор спустилось огромное полчище астуров. Вопреки обыкновению эта атака варваров была продуманной. Они поставили свой лагерь у реки Астура и разделили войско на три части, подготавливая нападение одновременно на три лагеря римлян. (55) Исход сражения с таким сильным и, против ожидания, подготовленным к войне врагом был бы неясен и, как я полагаю, чреват потерями для обеих сторон, если бы не предали бригецины. (56) и не прибыл предупреждённый ими Каризий [легат]. Победа, хотя и не бескровная, разрушила планы астуров. (57) Остатки разбитого вражеского воинства принял сильно укреплённый город Ланцея, защищавшийся столь яростно, что воины потребовали предать его после захвата огню. (58) Полководец с трудом отстоял его, сказав, что нетронутый город будет более значительным памятником римской победы, чем сожжённый. (59) Здесь – конец боевым действиям Августа, как и сопротивлению Испании … Страбон. География Выдающийся греческий географ I в. до н. э. – I в. н. э. (точные годы жизни неизвестны). Уроженец города Амасии Понтийской. На склоне лет написал обширный труд «География в 17 книгах». Современник Юлия Цезаря, Августа, Тиберия. Много путешествовал. Был на Востоке, посещал все страны вплоть до Италии, добирался до Эфиопии. Ценность его труда заключается не только в детальных географических экскурсах, но и достоверности исторических сведений, которые он попутно сообщает. Отрывок приводится по изданию: Страбон. География в 17 книгах / пер. Г.А. Стратановского. М., 1994. С. 721–723. Кн. XVI. IV. 22. Много своеобразных особенностей Аравии стало известно нам благодаря недавнему походу римлян против арабов, который был совершён в наше время под предводительством Элия Галла. Август Цезарь послал Галла для изучения этих племён и мест не только в Аравии, но и в Эфиопии. Август видел, что смежная с Египтом Троглодитика находится по соседству с арабами и что Аравийский залив, отделяющий арабов от троглотидов, совсем узок. Поэтому он возымел намерение сделать арабов друзьями или же покорить их. Было у него, впрочем, ещё одно важное соображение: распространённая с давних пор молва об их огромных богатствах, так как они де обменивали свои благовония и драгоценнейшие камни на серебро и золото, но сами никогда ничего не тратили из полученного в обмен. Таким образом, Август рассчитывал приобрести богатых друзей или же одолеть богатых врагов. Кроме того, решимости придала Августу ожидаемая помощь набатеев, так как они были «друзьями» и обещали всемерное содействие римлянам. 23. При таких обстоятельствах Галл предпринял поход. Однако правитель набатеев Силлей обманул его. Силлей, хотя и обещал Галлу быть проводником в походе, снабжать войско всем необходимым и во всём помогать, между тем всюду действовал изменнически: он не указывал ни безопасного морского пути вдоль берега, ни сухопутной дороги; например, на суше он вёл римлян по бездорожной местности, окольными путями через совершенно бесплодные местности, а по морю – вдоль скалистых �Содержание берегов, лишённых гаваней, по мелководью или среди подводных камней. Однако особенный вред в таких местах причиняли римлянам морские приливы и отливы. Первой ошибкой Галла было то, что он приказал построить военные корабли, хотя не было и не ожидалось никакой морской войны. Да и на суше арабы не были особенно храбрыми воинами, будучи скорее торгашами и купцами, а тем более – на море. Между тем, Галл велел построить не менее 80 судов – бирем, трирем и лёгких судов – в Клеопатриде около древнего канала из Нила в залив. Как только Галл понял обман, он построил 130 грузовых кораблей и отплыл на них с 10 000 пехотинцев из числа римлян, находившихся в Египте, а также союзников; среди последних было 500 иудеев и 1000 набатеев под предводительством Силлея. Претерпев много мук и лишений, Галл на пятнадцатый день прибыл к Левке Коме, большому торговому центру в земле набатеев. Из-за несчастного плавания, а не от какого-нибудь врага, он потерял много судов, причём несколько даже погибло вместе с экипажем. Это бедствие было вызвано вероломством Силлея, который объявил, что по суше нет дороги к Левке Коме, хотя купцы с верблюжьими караванами туда и оттуда – из Петры и в Петру – легко и безопасно ходят с таким количеством людей и верблюдов, что эти караваны ничем не отличаются от войска. Впрочем, это произошло потому, что царь Обода не слишком усердно занимался общественными делами и в особенности военными (в этом общая слабость аравийских царей), но всё предоставлял на произвол правителя Силлея. Последний во всём действовал коварно и, как я думаю, старался разведать эту страну, чтобы покорить вместе с римлянами несколько их городов и племён, а затем самому сделаться владыкой над всеми после гибели римлян от голода, утомления, болезней и прочих бедствий, которые он изменнически им подстроил. Тем не менее, Галл высадился в Левке Коме, причём его войско уже страдало двумя местными болезнями – цынгой и слабостью в ногах; первая проявлялась в виде паралича рта, а вторая – в параличе ног вследствие губительных свойств местной воды и трав. Во всяком случае он был вынужден провести там лето и зиму в ожидании выздоровления больных. Из Левке Коме грузы благовоний доставляют в Петру, а оттуда в Риноколуры, что в Финикии близ Египта, а затем к другим народам. Теперь, однако, эти грузы идут большей частью по Нилу в Александрию; из Аравии и Индии их везут в Миос Гормос, затем переправляют на верблюдах в Копт в Фиваиде, расположенный на нильском канале, а потом – в Александрию. Выступив снова из Левке Коме, Галл шёл по таким местностям, что из-за вероломства проводников даже воду приходилось подвозить на верблюдах. Поэтому ему удалось только спустя много дней прибыть в землю Ареты, родственника Ободы. Арета, правда, оказал ему дружественный приём и поднёс подарки, но из-за измены Силлея переход через эту страну оказался также затруднительным. Во всяком случае Галлу пришлось потратить 30 дней, чтобы пройти через страну, где можно было достать только полбу, немного фиников и коровьего масла вместо оливкового, так как они шли по местности, лишённой дорог. Следующую область, куда прибыл римский полководец, занимали кочевники, но на самом деле большая её часть представляла настоящую пустыню. Она называлась Арареной; царём её был Саб. Через эту землю Галлу пришлось пробираться непроходимыми путями, потратив 50 дней, до города Негран в стране мирной и плодородной. Царь страны бежал, и город был взят приступом. Отсюда войско через 6 дней прибыло к реке, где и произошла битва римлян с варварами, причём последних пало около 10 000, а со стороны римлян только 2 человека. Будучи совершенно невоинственными, варвары не умели обращаться с оружием, именно луками, копьями, мечами и пращами; большинство их было вооружено обоюдоострыми секирами. Тотчас после сражения был взят город под названием Аска, покинутый царём. Отсюда Галл прибыл в город Афрулы; овладев им без боя, он оставил там охранительный отряд. Затем, заготовив хлеба и фиников на дорогу, он достиг Марсиабы, который принадлежал племени рамманитов, подвластному Иласару. Напав на город, Галл 6 дней вёл осаду, но вынужден был отступить из-за недостатка воды. Он находился, по сообщениям пленников, на расстоянии двухдневного пути от страны, производящей благовония, а ему пришлось потратить 6 месяцев на переходы из-за скверных проводников. Слишком поздно, лишь на возвратном пути, он �Содержание понял, что стал жертвой злого умысла и пошёл назад по другим дорогам. На девятый день он прибыл в Неграны, где произошла битва, а отсюда на одиннадцатый день в Гепта Фреата – место, названное так, потому что там 7 колодцев. Отсюда, двигаясь по мирной стране, он прибыл в селение Хааллы и затем в другое селение – Малофа, лежащее у реки. Дальнейший путь шёл через пустынную местность, где было мало водоёмов, до селения Эгры. Это селение находится в стране Ободы у моря. На обратный путь Галл затратил 60 дней, употребив на первое путешествие 6 месяцев. Отсюда он переправил своё войско в Миос Гормос за 11 дней; затем, переложив багаж на вьючных животных, прошёл сухим путём в Копт, и со всеми, кому досталось счастье выжить, прибыл в Александрию. Остальных воинов он потерял, но не от руки врагов, а от болезней, голода и бездорожья; от войны погибло только 7 человек. По этим причинам этот поход не принёс большой пользы для познания этих областей, хотя всё же оказал этому некоторое содействие. Виновник неудач похода – Силлей – понёс наказание в Риме; хотя он прикидывался другом, но, кроме этой измены, был уличён ещё и в других преступлениях и обезглавлен. Кассий Дион Коккейан. Римская история Греческий историк второй половины II – первой трети III вв. н. э., выходец из богатой семьи из г. Никеи в Малой Азии. Дважды был консулом и сенатором. 12 лет работал над Римской историей, начинающейся с прибытия Энея в Италию до 229 г. н. э. Полностью этот монументальный труд до настоящего времени не дошёл. Значительная его часть сохранилась в изложении более поздних византийских хронистов. Занимая в разное время высокие административные и военные посты, Дион Кассий обращает внимание, главным образом, на внутреннюю и внешнюю политику Римской империи, причём германцев, живущих за Рейном он называет кельтами, а провинцию по левому берегу реки – Германией. Отрывок приводится по изданию: Древние германцы. Сборник документов / сост.: Б.Н. Граков, С.П. Моравский и А.И. Неусыхин. М., 1937. С. 154–161. Кн. LIV, гл. 20, 4–6 [16 г. до н. э.]. Самою большою из выпавших тогда на долю римлян войн, которая заставила даже самого Августа приехать из города, оказалась война с кельтами. Сугамбры, узипеты и тенктеры начали с того, что захватили на своей земле и распяли нескольких римлян. Потом они, перейдя Рейн, разграбили Германию и Галлию, поймали в засаду выступившую на них римскую конницу, во время её преследования наткнулись на её начальника Лоллия и одержали над ним победу. Узнав об этом, Август двинулся на них, однако ему совсем не пришлось воевать, так как варвары, разведав о новых приготовлениях Лоллия и о выступлении Августа, возвратились в свою страну и, дав заложников, заключили мир. Кн. LIV, гл. 32 [12 г. до н. э.]. То же самое произошло и с Друзом. Когда сугамбры и их союзники начали проявлять враждебность, благодаря отсутствию Августа и желанию галлов освободиться, он предупредил это стремление покорённых тем, что пригласил их аристократию к себе под предлогом празднества, которое и до настоящего времени справляется у алтаря Августа в Лугдуне. А кельтов он подстерёг и заставил отступить при их переходе через Рейн. После этого он переправился в страну узипетов как раз против острова батавов, а оттуда вторгся в землю сугамбров и разорил её всю сплошь. Проплыв вниз по Рейну в Океан, он вошёл в дружеские отношения с фризами. Вторгнувшись в страну хавков по озеру, он подвергся опасности, потому что его суда сели на мель во время отлива Океана. Тогда он был спасён фризами, вышедшими с ним вместе в поход по суше, и вернулся обратно. Кн. LIV, гл. 33 [11 г. до н. э.]. С началом весны он опять двинулся на войну, перешёл на ту сторону Рейна, подчинил узипетов, построил мост через Лупию и вторгся в страну сугамбров. Через неё он �Содержание прошёл в землю херусков до самого Визургиса. Он смог это сделать, потому что сугамбры были недовольны хатами, единственными из всех соседей, не пожелавшими вступить с ними в союз, и всем народом ушли на них в поход. Как раз вовремя он тайно прошёл через их страну. Пожалуй, он перешёл бы и Визургис, но стал испытывать недостаток в продовольствии, и к тому же наступила зима. Кроме того, в его лагере показался пчелиный рой. Поэтому он не пошёл дальше за эту реку. На обратном пути в дружественную страну он подвергся страшной опасности. Враги особенно много причинили ему вреда засадами, а однажды, заперев римлян в узкой долине, едва их не уничтожили и могли погубить его со своим войском, но пренебрегли римлянами, считая их чуть ли не взятыми в плен и готовыми пасть от одного удара, и в полном беспорядке вступили с ними в бой. Они были побеждены и с тех пор больше не осмеливались на такие поступки, а беспокоили римлян издали и не подходили близко, так как Друз стал сам в ответ относиться к ним с презрением, и там, где сливаются Лупия и Элизон, основал против них сторожевое укрепление, а другое поставил в земле хаттов у самого Рейна. Кн. LIV, гл. 36 [10 г. до н. э.]. Друз частью опустошил, частью подчинил себе область хаттов и остальных кельтов, так как они соединились с сугамбрами и вышли вновь из своей земли, которую получили от римлян для заселения. После этого они [т. е. Друз и Тиберий, временно уходивший из Галлии на Дунай и затем вернувшийся туда] возвратились в Рим с Августом (он большую часть времени провёл в лугдунской области, поджидая на близком расстоянии возможность вторжения кельтов). Кн. LV, гл. 1. [9 г. до н. э., следует за событиями предыдущего отрывка]. Это произошло при консулах Юлии Антонии и Фабии Максиме. В следующем году Друз вступил в консульство вместе с Титом Криспином, но для него не было хороших предзнаменований. Напротив, было много бурь, ударов молний и других дурных знамений: разрушились даже многие храмы Зевса Капитолийского и богов, почитаемых совместно с ним. Впрочем, Друз нисколько об этом не беспокоился, а вторгся в землю хаттов и прошёл до самой страны свевов. Он с трудом подчинил себе лежащий на пути край и с кровавыми потерями одолевал вступивших с ним в борьбу. Оттуда он перешёл в землю херусков и после переправы через Визургис, всё опустошая, достиг до Альбиса. Эту реку (она течёт с Вандальских гор и впадает великим потоком в Северный океан) он попытался перейти, но не смог этого сделать и ушёл назад, поставив на её берегу трофей. Ему повстречалась какая-то женщина, бывшая выше природного человеческого роста и сказала: «Куда же, наконец, ты спешишь, ненасытный Друз? Не всё тебе здесь суждено увидать. Уходи же [скорее]: уже приходит для тебя конец и делам и жизни». Конечно, удивительно, когда такой глас от божества выпадает кому-либо на долю; однако я этому вполне доверяю. Тотчас сказались последствия [этой встречи]: он стал спешить назад и по дороге, ещё не дойдя до Рейна, скончался от какой-то болезни. Для меня доказательством рассказанного служит то, что даже волки с воем блуждали вокруг лагеря во время его смерти, что показались два юноши, ехавшие на конях посредине рва, что был слышен женский плач и по небу стали пробегать звёзды. Это так произошло: Август, узнав о его болезни (он в это время был недалеко), спешно послал туда Тиберия. Этот последний застал Друза ещё в живых и после смерти повёз в Рим. По пути, до того как войско стало на зимнюю стоянку, он позволил нести покойника центурионам и военным трибунам, а с этого места – первым гражданам каждого проходимого города. Когда тело Друза было выставлено на форуме, было произнесено две похоронные речи: Тиберий воздал ему похвалу здесь, и Август – на Фламиновом ристалище. Его тело было отнесено на Марсово поле всадниками, действительно входившими во всадническое сословие, и лицами сенаторского ценза; там оно было предано огню и водворено в августовой гробнице. Друз вместе с детьми получил имя Германика и удостоился почестей в виде статуй и арки, а у самого Рейна – кенотафия. �Содержание Кн. LV, гл. 6 [8 г. до н. э.]. … [Август] предпринял поход против кельтов. Сам он остался на своей земле, а Тиберий перешёл Рейн. Испугавшись римлян, варвары, кроме сугамбров, отправили к нему послов, но ничего не добились ни тогда, ни позднее, так как Август отказался заключать с ними договор без участия тех. Сугамбры тоже отправили послов, но те ничего не смогли добиться, а все в большом числе и знатные по происхождению погибли. Август приказал их схватить и сослать в разные города; они не перенесли этого и покончили самоубийством. Некоторое время после этого сугамбры оставались в покое; потом они отплатили римлянам за свои страдания. Кн. LV, гл. 10а, 2 [3 и 1 гг. до н. э.]. Вместе с тем произошли следующие изменения у кельтов. Уже прежде Домиций, пока он ещё правил придунайскими местностями, принял гермундуров, выселившихся по неизвестной мне причине с родины и блуждавших в поисках другой земли, и отдал им для поселения часть страны маркоманнов. Он перешёл тогда Альбис без препятствия с чей бы то ни было стороны, заключив дружбу с жившими в тех краях варварами и водрузив там алтарь Августу. Тогда же он пошёл к Рейну и попытался вернуть на родину при помощи других племён некоторых изгнанников из херусков, но потерпел в этом неудачу, и поэтому другие варвары стали пренебрежительно относиться к римлянам. Впрочем, он ничего больше и не предпринял в этот год. Кн. LV, гл. 28, 5–7. [6 г. н. э.]. Против кельтов ходили походом несколько лиц, в том числе и Тиберий. Сначала он дошёл до реки Визургис, а после этого даже до Альбия; однако тогда не было совершено ничего достойного упоминания. Несмотря на это, в честь этого похода не только Август, но и Тиберий получили императорский титул, а Гай Сентин, управитель Германии, удостоился почестей как победитель, так как кельты в страхе перед ними заключили мир уже не в первый, а во второй раз. Причина этого заключалась в следующем: хотя кельты недавно нарушили договор, но им опять был дарован мир: у далматов и паннонцев произошли события, более тревожные и нуждающиеся в большем внимании. Кн. LVI, гл. 18–23 [9 г. н. э. Здесь описывается поражение Вара в Тевтобурском лесу. События развёртываются в то время, когда после побед Тиберия и Германика на Дунае в Риме готовились торжества]. Едва это было решено, как из Германии пришла страшная весть и помешала римлянам закончить празднества. В это самое время в Кельтике случилось следующее. Римляне владели в ней не сплошными пространствами, а отдельными пунктами, которые им удалось захватить. Поэтому такие пункты и не упомянуты в исторических исследованиях. Их воины там зимовали и заселяли города, а варвары перестраивались на их образец, привыкли к их рынкам и там мирно с ними встречались. Впрочем, их не удалось заставить забыть отчих нравов, своего природного характера, своего самостоятельного образа жизни и своей свободы, основывавшейся на силе оружия. Поэтому, приучаясь мало-помалу и методически при надзоре со стороны римлян к их нравам, они не тяготились переменою своего быта и незаметно изменялись. Квинтилий Вар, получив в управление Германию и распоряжаясь их делами в силу своей власти, стал стремиться к тому, чтобы их сразу переделать. Он и в остальном отдавал им приказания, как порабощённым, и взыскивал с них деньги, как с подданных. Они этого не стерпели; их предводители стремились к прежней власти, а массы предпочитали привычное состояние иноплеменному владычеству. Они не отложились открыто, зная, как много римлян и у Рейна и в их собственной стране. Приняв Вара к себе так, как будто они собираются исполнить все его предписания, они завлекли его далеко от Рейна в землю херусков и к Визургису. Здесь они обошлись с ним самым мирным и дружеским образом и возбудили в нём уверенность, что их можно поработить без применения военной силы. Поэтому он не держал своего войска вместе, как следовало делать во вражеской стране, а постоянно предоставлял их тем из германцев, кто просил их, не имея сам сил, как будто для охраны поселений или для поимки разбойников и для доставки �Содержание провианта. Главными заговорщиками и зачинщиками происков и войны против него оказались, помимо прочих, Арминий и Сегимер, его постоянные спутники и обычные сотрапезники. Таким образом, он был спокоен и не ожидал ничего страшного. Он не только не верил тем, кто подозревал происходящее на деле и уговаривал его быть настороже, но даже укорял их в том, что они напрасно беспокоятся и наговаривают на этих людей. В это время восстают по плану первыми некоторые из живущих вдали от него, чтобы им легче было захватить Вара, когда он двинется в поход, на пути через земли, которые он считал за дружественные, и чтобы он не принял мер к самозащите, если бы вдруг все сразу стали его врагами. Так и случилось: они послали его двинуться вперёд, оставили его под предлогом приготовления для него вспомогательных войск и скорейшей помощи, а сами подняли стоявшие где-то наготове силы, перебили каждого из находившихся у них воинов, которых раньше выпросили [у Вара], и напали на него, когда он был в труднопроходимых лесах. Здесь они сразу оказались врагами вместо подданных и совершили много страшного. Там были обильные ущелья и неровные горы, а также густые и очень высокие деревья. Поэтому римляне ещё до того, как на них напали враги, были измучены трудом, так как приходилось рубить деревья, строить дороги и мосты, где это было нужно. За ними шло много возов, и они несли много груза на себе, как в мирной обстановке. С ними следовало немало детей и женщин и много всякой прислуги; сообразно с этим движение происходило разобщённой вереницей. При этом поднялся ещё сильный дождь и ветер и ещё больше их разделил. Почва около корней и пней сделалась скользкой, и им стало неустойчиво передвигаться по ней. Вершины деревьев, ломаясь и падая вниз, вызывали смятение. И так как римляне поэтому находились в очень трудном положении, то варвары вдруг сразу отовсюду окружили их сквозь чащу (они отлично знали все тропинки) и сначала поражали издалека, а потом, так как никто из римлян не защищался и многие были ранены, они двинулись на них в рукопашную. Так как римляне шли не в строю, а вперемешку с возами и безоружными людьми, не могли нигде легко объединиться и были по отдельности слабее непрерывно нападающих на них врагов, то они сильно пострадали, а в ответ ничего не предпринимали. Они устроили там себе лагерь, заняв какое-то удобное место, насколько это было возможно на лесистой горе. После этого они сожгли большую часть повозок и всё остальное, что им было не очень необходимо, а кое-что побросали, и собравшись кое-как в одну колонну, на другой день тронулись в путь, так что даже выбрались на какое-то чистое место. Конечно, их отступление не обошлось без кровопролития. Снявшись оттуда, они снова попали в леса и защищались против нападавших на них врагов, и, конечно, от этого терпели очень большую неудачу. Собираясь вместе на узком пространстве, чтобы и всадники, и легионеры совокупными усилиями могли нападать на врагов, они часто спотыкались то друг о друга, то о деревья. Был четвёртый день их похода, когда поднялись сильный дождь и большой ветер. Он не позволял им двигаться вперёд, ни твёрдо стоять на ногах, но и лишил их возможности пользоваться оружием. Они не могли как следует пустить в дело намокшие стрелы, дротики и щиты. Напротив, для врагов, которые по большей части были легко вооружены и безопасно могли наступать и отступать, это было не так плохо. К тому же их стало гораздо больше (так как даже из остальных варваров те, кто раньше колебался, сошлись толпой прежде всего ради добычи). Римлян было уже меньше (многие погибли в прежних битвах). Поэтому их легче окружали и убивали. Тогда Вар и остальные главные начальники, боясь быть взятыми живыми в плен и убитыми руками своих злейших врагов (к тому же они все были уже ранены), решились на страшный, но неизбежный шаг: они покончили самоубийством. Когда это стало известно, то из остальных никто больше не стал защищаться, даже те, кто ещё был в силах. Одни поступили по примеру своего начальника, а другие бросали оружие и поручали себя убить тому, кто согласится, так как, если бы кто-нибудь даже особенно хотел бежать, он этого не мог сделать. Враги безбоязненно убивали всех: и людей, и коней, и … [здесь у Диона Кассия значится пробел. Византийский историк Зонара сохранил около четверти текста]. Текст Зонары: … Варвары захватили все укрепления кроме одного. Задержавшись около него, они не �Содержание перешли Рейна и не вторглись в Галлию. Впрочем, они не смогли им овладеть, так как не умели вести осаду, а римляне очень много пользовались против них стрелками, которые их оттесняли и очень многих убивали. После этого, узнав о том, что римляне учредили охрану Рейна и что Тиберий приближается с сильным войском, многие из врагов совсем ушли от этого укрепления, а оставшиеся отошли от него, чтобы не терпеть урона от неожиданных вылазок со стороны гарнизона, и охраняли дороги, надеясь взять его измором. Римляне, составлявшие гарнизон, пока у них было достаточно продовольствия, оставались на посту в ожидании помощи. Но так как никто не приходил к ним на подмогу и их мучил голод, то они ушли из укрепления, выбрав для этого зимнюю ночь (воинов было мало, а много безоружных). [Здесь снова начинается сохранившийся текст Диона Кассия]. Они уже было прошли первый и второй сторожевые посты врагов, но, подойдя к третьему, были замечены, так как женщины и дети от усталости, страха темноты и холода не переставали просить мужчин вернуться. Пожалуй, все бы они погибли или попали бы в плен, если бы варвары не замешкались за разграблением добычи. В результате те из римлян, кто были посильнее, многое отняли, а бывшие с ними трубачи, сразу затрубив трохей [сигнал к наступлению], ввели противника в заблуждение, что это идут посланные от Аспрэна. Из-за этого они прекратили преследование. А Аспрэн, узнав о происходящем, действительно пришёл к тем на помощь. После этого также возвратились некоторые из попавших в плен; их выкупили те, кто был на родине. Им было позволено это сделать под тем условием, чтобы выкупленные не возвращались в Италию. Позднее случилось следующее. Тогда Август, узнав о том, что произошло с Варом, как говорят некоторые, разорвал на себе одежду. Его охватили великая скорбь о погибших и страх за Германию и Галлию. Особенно [его пугало] то, что он предположил, как бы враги не двинулись на Италию и на самый Рим. К тому же у него уже не осталось войска из граждан цветущего возраста в достойном внимания числе, да и союзные войска, могущие быть полезными, понесли большой урон. Всё-таки он стал подготовлять новое войско из наличных сил, и так как никто из бывших в призывном возрасте не захотел быть призванным, то он произвёл жеребьёвку и отнял имущество и гражданские права у каждого пятого из не достигших 35 лет и каждого десятого из более старших, на кого пал жребий. Наконец, так как и при таком положении многие ему не подчинились, он казнил некоторых. Отобрав по жребию из тех, кто уже отслужил свой срок, и из вольноотпущенников столько людей, сколько смог, он закончил набор и тот час же поспешно послал их в Германию с Тиберием во главе. Так как в Риме было много галлов и кельтов, или просто там проживавших, или служивших в страже, то он побоялся, как бы они не замыслили чего-нибудь дурного, и последних выслал на разные острова, а безоружным приказал выселиться из города. Тогда он поступил так: никакие из обычных празднеств не были совершены, и не были справлены всенародные игры. После этого он услыхал, что некоторые из воинов спаслись, что обе Германии приведены в оборонительное состояние и что вражеское войско не отважилось прийти на Рейн. Тогда он освободился от ужаса и принял определённое решение. Ему казалось, что такая великая и чрезмерная беда случилась с ним, очевидно, вследствие гнева какого-то божества … [По Зонаре] – [10 г. н. э.]. Тиберий не решался переправиться через Рейн, а довольствовался тем, что стоял на стороже, чтобы не дать варварам это сделать. Но и они не отважились на переправу, зная о его присутствии. Кн. LVI, гл. 25, 2–3 [11 г. н. э.]. По вступлении в консульство Марка Эмилия и Статилия Тавра, Тиберий и Германик [сын Друза], бывший в сане проконсула, вторглись в Кельтику и частично её опустошили; впрочем, они не победили ни в одном сражении, так как никто не шёл к ним навстречу, и �Содержание не покорили ни одного племени. Боясь снова попасть в беду, они зашли не очень далеко от Рейна, остались там до осени и ушли обратно, справив день рождения Августа и устроив по этому поводу для центурионов скачки. Веллей Патеркул. Римская история Римский историк последней четверти I в. до н. э. – первой четверти I в. н. э. Сын префекта конницы. Его обширный труд охватывает период от высадки Энея в Италии до принципата Тиберия. Ценность сведений, сообщаемых Патеркулом заключается в том, что, находясь на военной службе во время правления Августа, он сам был непосредственным свидетелем внешнеполитических акций империи в это время. Текст приводится по изданию: Малые римские историки. Веллей Патеркул. Римская история. Анней Флор. Две книги Римских войн. Луций Ампелий. Памятная книжица. Пер. с лат. М., 1995. С. 83–87. Кн. II. CX. Судьба ломает планы людей, а иногда замедляет их исполнение. Цезарь уже подготовил зимние лагеря у Данубия, подвёл войска и находился не более чем в пятидневном переходе от вражеских постов; (2) легионы, которые предстояло повести Сатурнину, были удалены от врага почти на равное расстояние и через несколько дней должны были соединиться с Цезарем в указанном месте, как вдруг взялась за оружие вся непривычная к благам мира, окрепшая Паннония, а также Далмация, по всей территории которой племена были втянуты в заговор. (3). Тогда пришлось предпочесть славе необходимость: казалось небезопасным направиться с войском внутрь страны и оставить Италию беззащитной перед лицом столь близкого врага. Общая численность племён и народов, которые восстали, превышала восемьсот тысяч. Они выставили почти двести тысяч пехотинцев, годных к несению оружия, и девять тысяч всадников – (4) огромную массу, покорную свирепейшим и опытнейшим вождям. Часть их решила напасть на Италию, с которой они граничили у Наупорта и Тергесте; часть хлынула в Македонию, часть должна была защищать свои земли. Верховное командование было в руках двух Батонов и Пиннета. (5) Все паннонцы знали не только дисциплину, но и язык римлян; многие были даже грамотны и знакомы с литературой. Итак, клянусь Геркулесом, никогда ни один народ не переходил так скоропалительно от подготовки войны к самой войне, приведя в исполнение свои планы (6). Римские граждане были уничтожены, торговцы перебиты; в области, наиболее удалённой от полководца, было истреблено большое количество знаменосцев, военными силами занята Македония; всё и повсюду было опустошено огнём и мечом. Мало того, вызванный этой войной страх был настолько велик, что поколебался и ужаснулся даже стойкий, укреплённый опытом стольких войн дух Цезаря Августа. CXI. Ввиду этого был произведён набор войска, а также повсюду и полностью призваны все ветераны. Мужчины и женщины в соответствии с имущественным цензом должны были выставить в качестве воинов вольноотпущенников. В сенате прозвучал голос принцепса: «Через десять дней, если не быть настороже, враг может оказаться на виду у города». Для войны потребовались услуги сенаторов и римских всадников – они обещали без колебания. (2) Всё это готовилось бы напрасно, если бы не было того, кто бы это направлял. Поэтому государство потребовало от Августа послать под защитой воинов Тиберия. (3) Во время этой войны моя скромная персона получила блестящее назначение. По окончании службы в коннице я стал квестором – десигнатом и, ещё не будучи сенатором, поставлен наравне с сенаторами и даже с народными трибунами – десигнатами. Я повёл часть войска, доверенного мне Августом из Рима к его сыну. (4) Далее во время квестуры я отказался от провинции и был направлен легатом Августа к самому Тиберию. Какие вражеские войска мы увидели в первый �Содержание год! Как целесообразно, благодаря предвиденью военачальника, мы избегали крупных соединений вражеских сил и одолевали их по частям! Мы видели, как соразмерно и в то же время с высшей пользой для авторитета полководца ведутся операции, с каким благоразумием расположены зимние лагеря, как надёжно заперто караулами войско нашего врага! Они нигде не давали ему прорваться, и он, лишённый подкрепления, терял силы, исходя яростью против самого себя. CXII. Достойна упоминания счастливая своим исходом, смелая по замыслу первая летняя кампания Мессалина. (2) Этот человек, более славный и достойный умом, чем происхождением (ибо отцом его был Корвин, а свой когномен он оставил брату Котте), был поставлен над Иллириком, когда внезапно разразился мятеж. Он с двенадцатым легионом половинного состава, будучи окружён неприятельским войском, рассеял и обратил в бегство более двадцати тысяч врагов, за что был почтен знаками отличия триумфатора. (3) Варвары, как бы ни радовались они своему численному превосходству, как бы ни была велика их уверенность в своих силах, не могли положиться на себя там, где находился Цезарь. Часть их войска, непосредственно противостоявшая нашему военачальнику, в соответствии с нашими планами и к нашей выгоде ослабленная и доведённая до гибельного голода, не осмелилась ответить на наш приступ, отказалась принять битву, которую предложили ей наши воины, ставшие в строй, а захватили Клавдиеву гору и укрепились на ней. (4) Что касается той части, которая двинулась навстречу войску, приведённому консулярами А. Цециной и Сильваном Плавцием из заморских провинций, то она окружила пять наших легионов вместе со вспомогательными отрядами и царской конницей (ведь царь Фракии Реметалк, соединившись с вышеназванными военачальниками, привёл для подкрепления большой отряд фракийцев) и нанесла всем едва ли не полное поражение. (5) Рассеян строй царских всадников, обращены в бегство конные подразделения, вспять обратились когорты, охвачены трепетом находившиеся у знамён легионов. Но в это время доблесть римского воина завоевала себе больше славы, чем оставила на долю военачальников: разительно отличаясь своими обычаями от главнокомандующего, они ринулись на врага прежде, чем узнали от разведчиков, где он. (6) Итак, хотя легионы находились в трудных обстоятельствах, сражены врагом некоторые военные трибуны, погибли префекты лагерей и предводители когорт, залиты кровью центурионы и даже погибли люди высокого положения, воины, не довольствуясь тем, что задержали врагов, обратились на них, сломали их строй и добыли в бою победу, в которой уже отчаялись … CXIII. Узнай теперь, М. Виниций, что Тиберий был столь же великим вождём на войне, каким принцепсом ты видишь его в мирное время. Соединились войска – и те, которые были при Цезаре, и те, которые пришли к нему, – в один лагерь было стянуто десять легионов, более семидесяти когорт, четырнадцать … и более десяти тысяч ветеранов, к тому же большое число добровольцев, множество царских всадников, так что всё войско приняло такие размеры, каких оно не имело нигде и никогда после гражданских войн. Все испытывали радость, связывая с численностью надежду на победу. (2) Но император, будучи верен поведению, которому, как я видел, он следовал во время любой войны, лучший судья своих дел, предпочёл полезное внушительному, сделав то, что достойно одобрения, а не то, что в любых обстоятельствах одобряется. Он подождал несколько дней, чтобы прибывшее войско восстановило силы, ослабленные дорогой, и решил его распустить, поняв, что им невозможно командовать из-за его величины. (3) Он сам сопровождал его во время очень трудного и утомительного перехода, о тяготах которого едва ли можно рассказать, чтобы кто-либо не посмел напасть на наше войско и чтобы враги, опасаясь за свои владения, не могли бы напасть на отдельные части отходящих. Он отпустил их туда, откуда они пришли, а сам в начале очень трудной зимы вернулся в Сисцию и разместил свои войска в разных зимних лагерях, поручив их легатам, среди которых были и мы. CXIV. (4) Зимой война была успешно завершена, и с наступлением лета вся Паннония запросила мира, �Содержание тогда как в Далмации сохранялись очаги войны. О том, как эта столь многочисленная необузданная молодёжь, незадолго до этого угрожавшая Италии рабством, снесла оружие, которым сражалась, к реке под названием Батин и вся простёрлась у ног императора, и как один из её выдающихся вождей, Батон, был взят в плен, а другой Пиннет, сдался сам, я, надеюсь, расскажу в главном своём труде по порядку. (5) Осенью победоносная армия возвратилась в зимние лагеря, и Цезарь поставил во главе всех войск М. Лепида, человека очень близкого к цезарям и по имени, и по судьбе, вызывавшего уважение и восхищение в той мере, в какой каждый мог его знать или понимать, и, как считалось, добавившего новый блеск к великому имени, от которого происходил. CXV. Цезарь перенёс своё внимание и свою армию к другому обременительному предприятию – к Далматинской войне … (2) В начале лета Лепид снялся с войском с зимних квартир, направляясь к своему командующему Тиберию через территорию племён, ранее не затронутых бедствиями войны и поэтому неукротимых и неистовых, и, преодолев препятствия местности и вражеские силы с большими потерями для тех, кто ему сопротивлялся, разорив поля, предав огню постройки, вырезав население, прибыл к Цезарю, радуясь победе и отягощённый добычей. (3) Будь это осуществлено под его собственными ауспициями, ему полагался бы триумф: сенат в согласии с мнением выдающихся граждан наградил его триумфаторским облачением. (4) Эта летняя кампания подвела итог великой войне: ведь далматские племена – перусты и десидиаты, почти неодолимые благодаря обитанию в горах, неукротимости нрава, а также исключительным навыкам боя и главным образом узости лесистых ущелий, были усмирены лишь тогда, когда их почти полностью перебили не только под общим руководством Цезаря, но его собственным участием и оружием… �Содержание ТИБЕРИЙ Тиберий Клавдий Нерон 16 ноября 42 г. до н. э. – 16 марта 37 г. н. э. Правил с 14 г. н. э. до смерти под именем Тиберий Цезарь Август. После смерти не был причислен к сонму богов. Публий Корнелий Тацит. «Анналы» Великий римский историк середины 1 в. н. э. – первой четверти 2 в. н. э. (приблизительные годы жизни: ок 55 – ок 120 г. н. э.). «Анналы» являются одним из самых крупных его произведений в 16 книгах, хотя далеко не все из них дошли до нас полностью. В них излагались события с момента смерти Августа до 1 января 69 г. н. э. Ценность передаваемых в труде сведений состоит в их достоверности, основанной на свидетельствах участников событий, а также на личных воспоминаниях автора. Тацит о положении дел в Германии Текст приводится по изданию: Корнелий Тацит. Анналы : сочинения в 2 т. Л., 1969. Т. 1. С. 30–41, 47–55, 64–65, 71–72, 81–82, 148–149. Комментарии С.П. Моравского / Древние германцы. Сборник документов / сост. Б.Н. Граков, С.П. Моравский, А.И. Неусыхин. М., 1937. С. 83–103. [В 14 г. н. э. римский полководец Германик после усмирения мятежа в легионах Нижней Германии сделал продвижение в область германского племени марсов, обитавшего по течению реки Рур, правого притока Рейна. Это продвижение должно было подготовить почву для дальнейших, более крупных походов римлян в глубь Германии, состоявшихся в 15 и 16 гг. н. э. Тацит рассказывает о набегах на марсов в 49–51 главах книги 1 «Анналов»]. КНИГА 1 50. Пока нас задерживали сначала траур по случаю смерти Августа, а затем междоусобица, обитавших невдалеке германцев никто не тревожил. Между тем римляне, двигаясь с большой быстротой, пересекают Цезийский лес и линию пограничных укреплений, начатую Тиберием; на этой линии они располагаются лагерем, защищённым с фронта и тыла валами, а с флангов – засеками. Отсюда они устремляются в глухие, поросшие лесом горы и здесь обсуждают, избрать ли из двух возможных путей короткий и хорошо знакомый или более трудный и неизведанный и потому не охраняемый неприятелем. Отдав предпочтение более длинной дороге, они идут, возможно, быстрее, так как поступает сообщение от разведчиков, что этой ночью германцы справляют праздник с торжественными пирами и игрищами. Цецина получает от Германика приказание двигаться вперёд с когортами налегке и расчищать дорогу в лесу; следом за ним на небольшом расстоянии идут легионы. Помогала ясная лунная ночь; подошли к селениям марсов, расположили вокруг них заслоны, а марсы безо всякого опасения продолжали спать или бражничать, не расставив даже дозорных, – до того всё было у них в расстройстве из-за беспечности и настолько они не ждали нападения неприятеля; впрочем, не было у них и подобающего в мирное время порядка, а повсюду – лишь безобразие и распущенность, как это водится между пьяными. 51. Чтобы разорить возможно большую площадь, Цезарь [Германик] разделил рвавшиеся вперёд �Содержание легионы на четыре отряда и построил их клиньями; огнём и мечом опустошил он местность на пятьдесят миль в окружности. Не было снисхождения ни к полу, ни к возрасту; наряду со всем остальным сравнивается с землёю и то, что почиталось этими племенами священным, и прославленное у них святилище богини Танфаны, как они его называли. Среди воинов, истреблявших полусонных, безоружных, беспорядочно разбегавшихся в разные стороны, ни один не был ранен. Эта резня возмутила бруктеров, тубантов и узипетов, и они засели в лесистых ущельях, по которым пролегал обратный путь войска. Полководец узнал об этом и, выступая в поход, приготовился к отражению неприятеля. Впереди шла часть конницы и когорты вспомогательных войск, за ними первый легион; воины двадцать первого легиона прикрывали левый фланг находившихся посередине обозов, воины пятого – правый, двадцатый легион обеспечивал тыл, позади него двигались остальные союзники. Враги, пока войско не втянулось в ущелье, оставались в бездействии, но затем, слегка беспокоя головные части и фланги, обрушились всеми силами на двигавшихся последними. Под напором густо наседавших врагов когорты легковооружённых начали было приходить в замешательство, но Цезарь [Германик], подскакав к воинам двадцатого легиона, стал зычным голосом восклицать, что пришла пора искупить участие в мятеже; пусть они постараются, пусть торопятся покрыть свою вину воинскими заслугами. И сердца воинов распалились; прорвав боевые порядки врагов стремительным натиском, они гонят их на открытое место и там разбивают наголову; одновременно передовые отряды вышли из леса и укрепили лагерь. В дальнейшем поход протекал спокойно, и воины, ободрённые настоящим и забыв о прошлом, размещаются на зимовку... 55. В консульство Друза и Гая Норбана Германику назначается триумф, несмотря на то, что война ещё не закончилась. Хотя он деятельно готовился к тому, чтобы развернуть её с наступлением лета, он выступил раньше и в начале весны внезапным набегом устремился на хаттов. Дело в том, что появилась надежда на разделение врагов на два стана – приверженцев Арминия и Сегеста, из котрых один был примечателен своим коварством по отношению к нам, другой – верностью. Арминий – возмутитель Германии; а Сегест неоднократно извещал нас о том, что идёт подготовка к восстанию, и в последний раз он говорил об этом на пиршестве, после которого германцы взялись за оружие; больше того он советовал Вару, чтобы тот бросил в оковы его самого, Арминия, и других видных вождей; простой народ ни на что не осмелится, если будут изъяты его предводители; а вместе с тем будет время разобрать, на чьей стороне вина и кто ни в чём не повинен. Но Вар пал по воле судьбы и сломленный силой Арминия. Сегест, хоть и был вовлечён в войну общим движением племени, всё же оставался в разладе с Арминием; к тому же между ними усилилась личная вражда, так как Арминий похитил у него дочь, обещанную другому; зять был ненавистен тестю, и то, что у живущих в согласии скрепляет узы любви, у них, исполненных неприязни друг к другу, возбуждало взаимное озлобление. 56. Итак, Германик отдаёт под начало Цецине четыре легиона, пять тысяч воинов из вспомогательных войск и наспех собранные отряды германцев, обитавших по эту сторону Рейна; сам он ведёт на врага столько же легионов и двойное число союзников. Построив крепостцу на развалинах оборонительных сооружений, возведённых его отцом на горе Тавне, он устремляется ускоренным походом на хаттов, оставив Луция Апрония для прокладки дорог и постройки мостов. Ибо, двигаясь благодаря сухости почвы и низкому уровню вод (что бывает в этих краях очень редко) быстро и беспрепятственно, он опасался дождей и подъёма рек на обратном пути. К хаттам он подошёл настолько внезапно, что все, кто из-за возраста или пола не мог спастись бегством, были либо захвачены в плен, либо перебиты на месте. Мужчины зрелого возраста, переправившись вплавь через реку Адрану, мешали римлянам приступить к наведению моста. Отогнанные затем метательными снарядами и стрелами лучников и тщетно попытавшись начать переговоры о мире, некоторые из них перебежали к Германику, а остальные, покинув свои поселения и деревни, рассеиваются в лесах. Предав огню Маттий (главный город этого племени) и опустошив открытую местность, Цезарь [Германик] повернул к Рейну; враги не �Содержание осмеливались тревожить тыл отходящих, что у них было в обыкновении, когда они отступали больше из хитрости, чем из страха. У херусков было намерение оказать помощь хаттам, но их устрашил Цецина, то здесь, то там появлявшийся с войском; и марсов, отважившихся напасть на него, он обуздал удачно проведённой битвой. 57. Немного спустя прибыли послы от Сегеста с просьбой о помощи против насилия соплеменников, которые его осаждали; Арминий был влиятельнее, так как настаивал на войне; ведь у варваров в ком больше дерзости, тот и пользуется большим доверием и, когда поднимается народное движение, берёт верх над всеми другими. Вместе с послами Сегест направил и своего сына по имени Сегимунд; но тот медлил, зная за собою вину перед нами. Ибо назначенный жрецом при святилище убиев в том же году, когда восстала Германия, он, сорвав с себя жреческие повязки, перебежал в лагерь восставших. Всё же, положившись на милость римлян, он доставил письмо отца и, принятый благосклонно, был переправлен с охраной на галльский берег. Германик решил, что ради этого дела стоит повернуть войско; произошёл бой с державшими в осаде Сегеста, и он был вызволен с большим числом родичей и клиентов. Здесь были и знатные женщины, и среди них жена Арминия, она же – дочь Сегеста, более приверженная устремлениям мужа, чем отца, и не унизившая себя до слёз или мольбы, со скрещенными на груди руками и глазами, опущенными к своему отягощённому бременем чреву. Тут же несли доспехи, захваченные при поражении Вара и в качестве военной добычи розданные многим из тех, кто теперь передался римлянам; вместе со всеми был тут и Сегест, выделявшийся ростом и осанкою и спокойный от сознания, что всегда безупречно соблюдал союз с нами. 58. Он сказал следующее: «Сегодня я не впервые приношу доказательства моей верности и преданности народу римскому; с той поры как божественный Август даровал мне права гражданства, я избрал себе друзей и врагов, помышляя только о вашем благе, и не из ненависти к родной стране (ведь предатели омерзительны даже тем, кому они отдают предпочтение), а потому, что считал одно и то же полезным для римлян и германцев и мир мне был дороже войны. Итак, похитителя моей дочери и нарушителя договора, заключённого с вами, я обвинил перед Варом, который тогда начальствовал вашим войском. Встретив равнодушие со стороны полководца и не находя достаточной защиты в правосудии, я просил бросить в оковы меня самого, Арминия и остальных заговорщиков; свидетельница – та ночь, – о, если б она была для меня последнею! Всё случившееся в дальнейшем позволительнее оплакивать, чем оправдывать; и Арминий был закован мною в цепи, и я сам претерпел их от его приверженцев. И когда явилась возможность обратиться к тебе, я предпочёл старое новому и покой – волнениям, и не ради награды, но чтобы снять с себя подозрение в вероломстве и стать полезным германскому народу посредником, если он предпочтёт раскаяние гибели. Прошу снисходительно отнестись к юношеским заблуждениям сына; о дочери скажу откровенно, что она прибыла не по своей воле: тебе дано рассудить, что перевешивает: то ли, что она зачала от Арминия или что порождена мною». Цезарь [Германик] в милостивом ответе обещает его детям и родичам безнаказанность, а ему самому – пребывание в прежней провинции. После этого он отвёл назад войско и по внесённому Тиберием предложению получил титул императора. Жена Арминия родила ребёнка мужского пола, который был воспитан в Равенне; о том, как над мальчиком насмеялась судьба, я расскажу в своём месте. 59. Слух о том, что Сегест передался римлянам и ему оказан благосклонный приём, воспринимается одними с надеждой, другими – с горечью, смотря по тому, были ли они против войны или стремились к ней. Похищение жены и то, что её будущее дитя обречено рабству, приводили Арминия, гневливого и от природы, в безудержную ярость, и он носился среди херусков, требуя, чтобы они подняли оружие на Сегеста, оружие на Цезаря. Не воздерживался он и от поношений: превосходный отец, выдающийся полководец, храброе войско, столько рук, которыми увезена одна женщина! Перед ним полегли три легиона и столько же легатов; он ведёт войну не предательски и не против беременных женщин, но �Содержание открыто и против вооружённых врагов. В священных рощах германцев ещё можно видеть значки римского войска, которые он там развесил в дар отечественным богам. Пусть Сегест живёт на покорённом берегу, пусть его сын снова станет жрецом у алтаря смертному, – германцы вовек не простят, что между Альбисом и Рейном им пришлось увидеть розги, и секиру, и тогу. Другие народы, не знакомые с римским владычеством, не испытали казней, не знают податей. Германцы же избавились от всего этого, и с пустыми руками ушёл от них этот причисленный к богам Август, этот его избранник Тиберий; так неужели они станут бояться неопытного юнца и мятежного войска? Если они предпочитают родину, предков и старину господам над собою и новым колониям, пусть лучше пойдут за Арминием, который ведёт их к свободе и славе, чем за Сегестом, ведущим к постыдному рабству. 60. Эти речи подняли не только херусков, но и соседние племена; примкнул к Арминию и его дядя со стороны отца Ингвиомер, издавна пользовавшийся у римлян большим уважением, и это ещё больше озаботило Цезаря [Германика]. Чтобы не встретиться с объединёнными силами неприятеля, он посылает Цецину с сорока когортами римлян пройти через земли бруктеров к реке Амизии и отвлечь врага, а конницу ведёт в область фризов префект Педон. Сам Цезарь [Германик] перевозит на кораблях по озёрам четыре легиона; пехота, конница и корабли одновременно прибыли к названной реке. Нашими союзниками в этой войне стали и хавки, предложившие выставить вспомогательные отряды. Бруктеров, поджегших свои селения, рассеял Луций Стертиний, посланный Германиком с отрядом легковооружённых; истребляя неприятеля, он среди добычи обнаруживает орла девятнадцатого легиона, захваченного врагами при поражении Вара. Затем войско проследовало до наиболее отдалённых границ бруктеров и опустошило земли между реками Амизией и Лупией, неподалёку от Тевтобургского леса, в котором, как говорили, всё ещё лежали непогребёнными останки Вара и его легионов. 61. Тогда Цезаря [Германика] охватывает желание отдать последний долг воинам и полководцу; и всё находившееся с ним войско было взволновано скорбью о родственниках и близких и мыслями о превратностях войн и судьбе человеческой. Выслав вперёд Цецину, чтобы обследовать чащи горных лесов, навести мосты и проложить гати через трясины и заболоченные луга, они вступают в унылую местность, угнетавшую и своим видом, и печальными воспоминаниями. Первый лагерь Вара большими размерами и величиной главной площади свидетельствовал о том, что его строили три легиона; далее полуразрушенный вал и неполной глубины ров указывали на то, что тут оборонялись уже остатки разбитых легионов: посреди поля белели скелеты, где одинокие, где наваленные грудами, смотря по тому, бежали ли воины или оказывали сопротивление. Были здесь и обломки оружия, и конские кости, и человеческие черепа, пригвождённые к древесным стволам. В ближних лесах обнаружились жертвенники, у которых варвары принесли в жертву трибунов и центурионов первых центурий. И пережившие этот разгром, уцелев в бою или избежав плена, рассказывали, что тут погибли легаты, а там попали в руки врагов орлы; где именно Вару была нанесена первая рана, а где он нашёл смерть от своей злосчастной руки и обрушенного ею удара; с какого возвышения произнёс речь Арминий, сколько виселиц для расправы с пленными и сколько ям для них было приготовлено, и как, в своём высокомерии, издевался он над значками и орлами римского войска. 62. Итак, присутствовавшее здесь войско на шестой год после поражения Вара предало погребению останки трёх легионов, и хотя никто не мог распознать, прикрывает ли он землёй кости чужих или своих, их всех хоронили как близких, как кровных родственников, с возросшей ненавистью к врагам, проникнутые и печалью, и гневом. В основании насыпанного затем над их могилой холма первую дернину положил Цезарь [Германик]… 63. Германик, следуя за Арминием, отступавшим в непроходимые дебри, при первой представившейся �Содержание возможности приказывает коннице захватить стремительным натиском поле, на котором расположились враги. Арминий, повелев своим сомкнуться как можно теснее и направиться к лесу, внезапно поворачивает назад, а затем спрятанному им в лесистом ущелье отряду подаёт знак устремиться на римлян. Свежими силами неприятеля наша конница была приведена в замешательство, а посланные ей на подмогу вспомогательные когорты, смятые толпой беглецов, усугубили смятение; и они были загнаны в топь, хорошо известную одолевающим и гибельную для ничего не знавших о ней, если бы Цезарь [Германик] не подоспел с легионами и не построил их в боевые порядки; это испугало врагов и вселило уверенность в наших: противники разошлись без перевеса на чьей-нибудь стороне. Затем снова, приведя войско к Амизии, Цезарь [Германик] переправляет легионы на кораблях, точно так же, как их доставил; части конницы было приказано следовать вдоль берега Океана до Рейна: Цецине, который вёл старый отряд, было дано указание миновать как можно скорее, несмотря на то что он возвращался уже известным путём, длинные гати. Это узкая тропа среди расстилавшихся на большом пространстве болот, которая была когда-то проложена Луцием Домицием; вдоль неё всё было илистым, вязким от густой грязи и ненадёжным из-за обильных ручьёв. Вокруг – леса, подымавшиеся на пологих склонах и занятые Арминием, который двигаясь кратчайшей дорогой и с предельной поспешностью, опередил наших обременённых поклажей и оружием воинов. Цецина, будучи неуверен, сможет ли он одновременно чинить обветшавшие гати и отражать неприятеля, решил расположиться лагерем тут же на месте, чтобы одни принялись за работу, а другие вступили в бой. 64. Варвары, стараясь прорвать выставленные заслоны и ринуться на ведущих работы, затевают стычки, обходят, наступают с разных сторон; смешиваются крики работающих и сражающихся. Всё было неблагоприятно для римлян: топкая почва, засасывающая остановившихся и скользкая для пытавшихся двигаться, тела, стеснённые панцирями; и воины, увязавшие в жидкой грязи, не могли как следует метать дротики. Херуски, напротив, привыкли сражаться в болотах, отличались большим ростом и своими огромными копьями могли разить с очень далёкого расстояния. Только ночь избавила от разгрома дрогнувшие уже легионы. Но германцы, воодушевлённые успехом, и тут не дали себе отдыха, и всю воду, рождавшуюся на окрестных возвышенностях, отвели в низину; она залила её и смыла то, что уже было сделано, удвоив работу воинам. Сороковой год служил в рядах войска Цецина и как подчинённый, и как начальник; повидав и хорошее и плохое, он был благодаря этому неустрашим. Обдумав, как могут в дальнейшем обернуться дела, он не нашёл лучшего выхода, как удерживать в лесах неприятеля, пока не продвинутся вперёд раненые и весь громоздкий обоз; ибо между горной цепью и болотами расстилалась долина, на которой можно было обороняться, построив войско неглубокими боевыми порядками. Итак, назначаются легионы: пятый на правом фланг, двадцать первый – на левый, первый – чтобы вести за собой остальных, двадцатый – отражать преследующего врага. 65. Ночь и в том, и в другом лагере прошла неспокойно: варвары праздничным пиршеством, радостным пением или грозными кликами оглашали разбросанные внизу долины и отвечавшие эхом ущелья, а у римлян – тусклые огни, заглушённые голоса, воины, здесь и там прикорнувшие возле вала или бродившие между палаток, скорее, бессонные нежели бдительные. И военачальника устрашил тревожный сон, ибо он видел и слышал Квинтилия Вара, поднявшегося из болотной пучины и залитого кровью и как бы его призывавшего, но не последовал за ним и оттолкнул его протянутую руку. На рассвете легионы, посланные на фланги, покинули отведённые им участки, то ли из страха, то ли из своеволия, и поспешно расположились на поле за заболоченной долиной. Арминий, однако, напал не сразу, хотя и мог это сделать, не встретив сопротивления; и лишь когда обозы увязли в грязи и рытвинах, пришли в смятение находившиеся возле них воины, был нарушен порядок движения, все сбились в кучу, и, как это бывает в подобных обстоятельствах, каждый думал более всего о себе, и уши стали плохо воспринимать приказания, лишь тогда он велит германцам броситься в бой, воскликнув: �Содержание «Вот он Вар и вторично скованные той же судьбой легионы!». И он тотчас же с отборными воинами врезается в ряды римского войска, поражая по преимуществу лошадей. Те, скользя в своей крови и в болотной топи, стряхивают с себя всадников, опрокидывают встречных, топчут упавших. Особенное смятение возникло вокруг орлов: не было возможности ни нести их под градом копий и стрел, ни воткнуть в топкую почву. Цецину, пытавшегося навести порядок в рядах, сбросил подколотый снизу конь, и он был бы окружён неприятелем, если б к нему не пришли на выручку воины первого легиона. Нашим помогла жадность врага, ради грабежа добычи прекратившего битву, и под вечер легионы выбрались наконец на ровное место и на твёрдую почву. Но и здесь их бедствиям ещё не пришёл конец. Нужно было насыпать вал и таскать для него землю, но многое из того, на чём её носят и чем вырезают дёрн, было потеряно; манипулы не имели палаток, нечем было перевязывать раненых; деля между собою забрызганные грязью и кровью припасы, воины горестно сетовали на надвигавшуюся гробовую тьму и на то, что для стольких тысяч людей пришёл последний день. 66. Случилось, что сорвавшаяся с привязи лошадь, испугавшись какого-то крика, бросилась бежать и сбила с ног нескольких оказавшихся на её пути воинов. Из-за этого среди римлян, решивших, что в лагерь вторглись германцы, возникло такое смятение, что все устремились к воротам, и особенно к задним, так как, находясь с противоположной от врага стороны, они сулили спасавшимся большую безопасность. Цецина, установив, что обуявший их ужас порождён ложной тревогой, тщетно пытался, приказывая, прося и даже хватая за руки, остановить или задержать воинов и, наконец, лёг в самом проходе ворот, преградив таким образом дорогу бегущим, которые посовестились пройти по телу легата; к тому же центурионам и трибунам удалось разъяснить толпе, что её страх ложен. 67. Затем, собрав всех на главной лагерной площади, он призвал их к молчанию и разъяснил, чего требуют сложившиеся обстоятельства. Единственное спасение в оружии, но применять его нужно обдуманно и оставаться внутри укреплённого лагеря, пока неприятель, рассчитывая захватить его приступом, не подойдёт вплотную к нему; а тогда необходимо со всех сторон обрушиться на врага; благодаря этой вылазке они смогут достигнуть Рейна. Если они предпочтут бежать, их ожидают ещё более глухие леса, ещё более глубокие топи, свирепый и беспощадный враг; если одержат победу – почёт и слава. Он напоминает им и о том, что каждому из них дорого на родине, и об их воинской чести; о трудностях их положения он умолчал. После этого он раздаёт коней, начав со своих и не делая исключения ни для легатов, ни для трибунов, наиболее доблестным воинам, чтобы они первыми ринулись на врага, увлекая за собой пехотинцев. 68. Не менее беспокойно было и у германцев, возбуждённых надеждами, нетерпением и разногласием между вождями: Арминий советовал не препятствовать римлянам выйти из лагеря и затем снова загнать их в болота и непроходимые топи, тогда как Ингвиомер склонял к более решительным и желанным для варваров действиям, предлагая пойти на укрепления приступом: так как они быстро захватят лагерь, им достанется больше пленных и добыча будет в полной сохранности, Итак, с первым светом они принимаются засыпать рвы, заваливать их валежником, расшатывать частокол на валу, на котором, словно оцепенев от страха, неподвижно стояли редкие воины. И когда враги сгрудились у вала, когортам был подан знак к выступлению и раздаются звуки рожков и труб. Римляне с громкими кликами бросаются на германцев, заходя на них с тыла и крича, что тут им не леса и болота, и что на ровном месте все равны пред богами. Врагов, надеявшихся на то, что они с лёгкостью разгромят римлян и что биться придётся с немногочисленным и кое-как вооружённым противником, звуки труб и сверкающее оружие приводят в тем большее замешательство, чем неожиданнее они для них были, и они гибнут, столь же беспомощные при неудаче, насколько бывают дерзкими при успехе. Арминий вышел из боя целый и невредимый. Ингвиомер – с тяжёлою раной; остальных римляне истребляли, пока длился день и не была утолена жажда мщения. Легионы вернулись в лагерь лишь ночью, и, хотя раненых было больше, чем накануне, и по-прежнему не хватало продовольствия, в одержанной победе �Содержание для них было всё – и сила, и здоровье, и изобилие. 69. Между тем распространилась молва об окружении римского войска и о том, что несметные силы германцев идут с намерением вторгнуться в Галлию, и если бы не вмешательство Агриппины, был бы разобран наведённый на Рейне мост, ибо нашлись такие, которые в страхе были готовы на столь позорное дело. Но эта сильная духом женщина взяла на себя в те дни обязанности военачальника и, если кто из воинов нуждался в одежде или в перевязке для раны, оказывала необходимую помощь. Гай Плиний, описавший германские войны, рассказывает, что при возвращении легионов она стояла в головной части моста и встречала их похвалами и благодарностями… 70. Германик, между тем, из перевезённых на судах легионов второй и четырнадцатый передаёт Публию Вителлию и приказывает ему вести их дальше сухим путём; это было сделано ради того, чтобы облегчённые корабли свободнее плавали в обильных мелями водах и с меньшей опасностью садились на них при отливе. Вителлий сначала беспрепятственно двигался по суше, лишь слегка увлажняемой во время прилива; вскоре, однако, северный ветер и созвездие равноденствия, от которого особенно сильно вздувается Океан, обрушились на войско тяжёлыми ударами. И земля была залита: море, берег, поля – всё стало одинаковым с виду и нельзя было отличить трясину от твёрдой земли, мелководье от глубокой пучины. Воинов опрокидывают волны, поглощают водовороты; лошади, грузы, трупы плавают между ними и преграждают им путь. Перемешиваются между собою манипулы; воины бредут в воде то по грудь, то по шею и порою, когда теряют дно под ногами, отрываются друг от друга или тонут. Ни крики, ни взаимные ободрения не помогают против набегающих волн; исчезло различие между проворным и вялым, рассудительным и неразумным, между предусмотрительностью и случайностью: всё с одинаковой яростью сокрушается волнами. Наконец, Вителлий, добравшись до более высокого места, вывел туда своё войско. Ночевали без необходимой утвари, без огня, многие раздетые и израненные, едва ли не более жалкие, нежели те, кто окружён врагом: ибо там смерть, по крайней мере, почётна, тогда как здесь их ожидала лишь бесславная гибель. Рассвет возвратил им сушу, и они дошли до реки, куда с флотом направился Цезарь [Германик]. Легионы были посажены на суда, между тем как распространился слух, что они утонули: и никто не верил в их спасение, пока люди не увидели своими глазами Цезаря [Германика] и вернувшееся с ним войско. 71. Между тем Стертиний, высланный навстречу пожелавшему передаться нам Сегимеру, брату Сегеста, доставил его вместе с сыном в город убиев. Обоим было дано прощение; Сегимеру – легко, сыну – после некоторых колебаний, так как говорили о том, что он глумился над трупом Квинтилия Вара… КНИГА 2 5. [Вырабатывая план предстоящего летнего похода против херусков в 16 г. н. э., Германик следующим образом расценивал трудности борьбы с германцами]: … Он видел, что германцы не могут устоять в правильных битвах на подходящей для этого местности; им помогают леса, болота, короткое лето и ранняя зима; в действиях против германцев воины не столько страдают от ран, сколько от больших расстояний, которые им приходится проходить, и от убыли вооружения; Галлия более не в состоянии поставлять лошадей; длинная вереница обозов уязвима для засад, и охранять её трудно… 6. [Германик решил предпринять поход в Германию морским путём, с тем чтобы римская конница могла, поднимаясь вверх по рекам, проникнуть в глубь Германии. С этой целью он приказал построить флот в тысячу судов…]. �Содержание Местом сбора был назначен Батавский остров, так как тут было легко причалить и погрузить войско, с тем чтобы переправить его туда, где намечались военные действия… 7. Между тем Цезарь [Германик] в ожидании подхода судов приказал легату Силию с налегке снаряжённым отрядом сделать набег на хаттов; сам же, узнав, что поставленные на реке Лупии укрепления осаждены неприятелем, ведёт туда шесть легионов. Но ни Силию из-за внезапно разразившихся ливней не удалось сделать что-либо большее, чем захватить незначительную добычу, а также жену и дочь вождя хаттов Арпа, ни Цезарю [Германику] – дать сражение осаждающим, так как прослышав о его приближении, они сняли осаду и рассеялись. Всё же враги разметали могильный холм, недавно насыпанный над останками воинов Вара, и разрушили старый жертвенник, некогда поставленный Друзу. Полководец восстановил этот жертвенник и торжественно провёл мимо него свои легионы, воздавая отцу эту почесть. Насыпать ещё раз могильный холм он счёл излишним. И всё пространство между укреплением Ализоном и Рейном было ограждено новыми пограничными сооружениями и валами. 8. Между тем прибыл флот; выслав заранее продовольствие и распределив суда между легионами и союзниками, Германик, войдя в канал, носивший имя Друза, обратился с мольбой к отцу Друзу, чтобы тот благосклонно и милостиво отнёсся к сыну, дерзнувшего пойти по его следам, и помог ему своим примером и напоминанием о своих замыслах и деяниях; затем он в благополучном плавании прошёл озера и Океан вплоть до Амизии. Войско высадилось с судов у устья Амизии, у левого её берега, и это было ошибкой, так как воинов, направлявшихся в земли, лежащие по правую руку от этой реки, не подвезли и не переправили куда следовало; из-за этого было потеряно много дней, потраченных на наводку мостов. И конница и легионы бесстрашно перешли первые затопленные низины, так как они ещё не были залиты приливной водой, но шедшие последними вспомогательные отряды союзников, и среди них батавы, желая показать своё умение плавать и бросившись в воду, смешались, и некоторые были ею поглощены. Цезарь [Германик] был занят разбивкой лагеря, когда пришло известие об отпадении у него в тылу ангривариев: посланный против них с конницей и легковооружёнными воинами Стертиний огнём и мечом покарал их вероломство. 9. Между римлянами и херусками протекала река Визургий. На её берег пришёл Арминий с другими вождями. Осведомившись, прибыл ли Цезарь [Германик], и получив утвердительный ответ, он попросил разрешение переговорить с братом. Этот брат, находившийся в нашем войске, носил имя Флава; отличаясь безупречной преданностью, Флав, служа под начальством Тиберия, за несколько лет до этого был ранен и потерял глаз. Получив дозволение на свидание, Флав вышел вперёд, и Арминий обратился к нему с приветствием; затем он отослал своих спутников, и потребовал, чтобы ушли и наши лучники, которые были расставлены на берегу. После того, как это было исполнено, Арминий спрашивает брата, откуда у него на лице увечье. Когда тот назвал место и битву, Арминий допытывается, какую награду он за неё получил. Флав ответил, что ему увеличили жалованье и дали ожерелье, венец и другие воинские награды, и Арминий стал насмехаться над ним, говоря, что это дешёвая плата за рабство. 10. После этого между ними разгорается спор; один говорит о римском величие, о мощи Цезаря, о суровом возмездии, ожидающем побеждённых, о милости, обеспеченной всякому, кто покорится, о том, что с женою и сыном Арминия не обращаются как с врагами; другой – о долге перед родиной, об унаследованной от предков свободе, об исконных германских богах, о том, что и мать даже призывает Флава вернуться и быть не перебежчиком и предателем в отношении родственников и близких, наконец, всего племени, а его предводителем. Понемногу дело дошло до ссоры, и даже разделявшая их река не помешала бы им схватиться друг с другом, если бы подскакавший Стертиний не удержал распалённого гневом Флава, требовавшего оружия и коня. На другом берегу был виден Арминий, �Содержание который разражался угрозами и вызывал римлян на бой; в свою речь он вставлял многое на латинском языке, так как когда-то служил в римском войске, начальствуя над своими соотечественниками. 11. На следующий день германцы построились в боевом порядке на той стороне Визургия. Сочтя, что долг полководца возбраняет ему подвергнуть легионы величайшей опасности, когда мосты не наведены и надёжные заслоны не выставлены, Цезарь [Германик] переправляет вброд только конницу. Возглавляли её Стертиний и центурион первого манипула Эмилий, которые бросились в воду на некотором расстоянии друг от друга, чтобы разъединить силы врага. Там, где поток был особенно бурным, пробился к тому берегу Хариовальда, вождь батавов. Херуски притворным бегством завлекли его на поляну, окружённую поросшими лесом холмами; здесь, снова появившись перед ним и высыпав отовсюду, они теснят противников, преследуют отходящих и поражают собравшихся в круг батавов, кто, вступая с ними в рукопашную схватку, кто – издали. Хариовальда, долгое время сдерживавший яростный натиск врагов, призвав своих сплотиться и прорвать напирающие на них толпы херусков, пробивается вперёд и оказывается в самой их гуще; там, осыпаемый дротиками и стрелами, он падает с раненого коня, и рядом с ним – многие из знатных батавов. Других спасли от гибели собственная их сила и подоспевшие к ним на помощь всадники со Стертинием и Эмилием. 12. Переправившись через Визургий, Цезарь [Германик] узнал из показания перебежчика, какое поле сражения выбрал Арминий и что другие племена собрались в посвящённом Геркулесу лесу и решили произвести ночные нападения на римский лагерь. Это показание внушало доверие, да и были видны неприятельские костры; к тому же разведчики, пробравшиеся поближе к врагам, донесли, что слышно конское ржание и смутный шум, поднимаемый огромным и беспорядочным людским скопищем. Итак, сочтя, что перед решающей битвой следует ознакомиться с настроением воинов, Германик принялся размышлять, каким образом получить о нём неискажённые сведения… 13. [В ночь перед происшедшей в долине Идиставизо битвой возле римского вала разыгрался следующий инцидент…]. И в это самое время один из врагов, знавший латинский язык, подскакав к валу, громко объявил, что Арминий обещает каждому, кто перейдёт в войско германцев, жён и поля и по сто сестерциев в день, пока не закончатся военные действия. Это оскорбление разбудило гнев легионеров: пусть только наступит срок и начнётся сражение; они захватят земли германцев и завладеют их жёнами… Около третьей стражи на лагерь пытались совершить набег, но неприятелем не было брошено ни одного дротика, так как он обнаружил, что на укреплениях плотно стоят когорты и всё надёжно защищено. 14. [На следующее утро, перед самой битвой, Германик в своей речи к римским легионерам посвящает их в свои планы, даёт им ряд ободряющих советов и в то же делает сравнительную оценку римской и германской военной тактики и вооружения]. 15. Речь полководца воспламенила воинов, и был подан знак к началу сражения. Арминий и остальные вожди германцев также не переставали убеждать своих соплеменников, что это те самые римляне – наиболее быстрые в бегстве, какие были в войске у Вара – которые, чтобы больше не воевать, подняли возмущение; они предстанут перед ожесточившимся снова врагом, пред разгневанными ими богами, часть – заклеймённые ранами в спину, часть – с перебитыми в морских бурях членами, без малейшей надежды на спасение. Они прибегли к кораблям и окольному переходу по Океану, чтобы, направляясь сюда, не встретиться с теми, кто стал бы на их пути, кто, нанеся им поражение, преследовал бы их по пятам; но где сходятся врукопашную, там побеждённые не найдут помощи у ветров и вёсел: « Вспомним о римской алчности, жестокости и надменности; есть ли у нас другой выход, как только отстоять свою независимость или погибнуть, не давшись в рабство?». 16. Распалённых такими речами и требующих боя воинов они выводят на равнину, носящую название �Содержание Идиставизо. Расположенная между Визургием и холмами, она имеет неровные очертания и различную ширину, смотря по тому, отступают ли берега реки или этому препятствуют выступы гор. В тылу у германцев поднимался высокоствольный лес с голой землёй между деревьями. Равнины и опушки лесов занимали отряды варваров; только херуски засели на вершинах холмов, чтобы во время сражения обрушиться сверху на римлян… [ Описывая в конце этой главы расположение разных боевых единиц римского войска, Тацит в следующей главе подробно изображает ход битвы в долине Идиставизо ]. 17. Увидев яростно устремившиеся вперёд толпы херусков, Германик приказывает наиболее доблестным всадникам напасть на них с фланга, а Стертинию с остальной конницей обойти врага и ударить на него с тыла; сам он должен был в подходящий момент оказать им поддержку. Между тем внимание полководца привлекло прекрасное предзнаменование: восемь орлов пролетели по направлению к лесу и там опустились. Увидев это, он воскликнул, обращаясь к воинам, чтобы они последовали за римскими птицами, исконными святынями легионов. Навстречу херускам устремляются пехотинцы, и одновременно их тыл и фланги теснит высланная заранее конница. И удивительное дело! Два отряда врагов пускаются бежать в противоположные стороны, те, что были в лесу, - на открытое поле, а те, что стояли на поле – в лес. Находившихся между ними херусков римляне теснили с холмов; среди врагов виднелся Арминий, который словом, примером в бою, стойкостью в перенесении ран побуждал их держаться. И он опрокинул бы лучников и прорвался, если бы ему не преградили пути когорты ретов, винделиков и галлов. Употребив всю свою силу и быстроту коня, он всё же пробился, измазав себе лицо своею кровью, чтобы остаться неузнанным. Некоторые передают, что хавки, сражавшиеся среди римских вспомогательных войск, узнали его, но дали ему ускользнуть. Такая же доблесть или хитрость спасла и Ингвиомера: остальные были перебиты. Большинство пытавшихся переплыть Визургий погибло от пущенных в них стрел и дротиков или в стремнинах реки, наконец, – в потоке бегущих или от обвалов под их тяжестью берегов. Некоторые, в позорном бегстве взобравшиеся на верхушки деревьев и спрятавшиеся там среди ветвей, расстреливались забавы ради подоспевшими лучниками, другие были раздавлены сваленными под ними деревьями. 18. Это была большая победа и почти не стоившая нам крови. С пятого часа дня и до ночи наши рубили врагов: на протяжении десяти тысяч шагов всё было усеяно их трупами и оружием, причём среди доставшейся нам добычи были обнаружены цепи, которые, не сомневаясь в исходе битвы, запасли для римлян германцы. Воины тут же на поле сражения провозгласили Тиберия императором и, выложив насыпь, водрузили на неё в виде трофея оружие с надписью, в которой были поименованы побеждённые племена. 19. Не столько раны, потери и поражения, сколько вид этой насыпи наполнил германцев скорбью и яростью. Только что собиравшиеся покинуть свои селения и уйти за Альбис, они теперь жаждут боя, хватаются за оружие; простые и знатные, молодёжь, старики – все совершают внезапные набеги на продвигавшееся римское войско и приводят его в расстройство. Наконец, они выбирают поле сражения… 20. [Германику были известны намерения неприятеля, и он принял соответствующие меры, которые должны были обратить военную хитрость германцев против них самих. Дальнейший ход событий Тацит излагает в 20 – 21 главах]. …У врагов в тылу примыкало болото, у римлян – река и горы; и тем и другим некуда было податься; они могли рассчитывать только на свою доблесть, их спасение было только в победе. 21. Германцы дрались с не меньшей отвагой, чем римляне, но условия боя и их оружие были неблагоприятны для них: стиснутые во множестве на узком пространстве, они не могли ни наносить �Содержание ударов своими чрезмерно длинными копьями, ни быстро отводить их назад, ни применять выпады, используя свою подвижность и ловкость; напротив, римские воины, у которых щит был прижат к груди, а рука крепко держала рукоятку меча, пронзали огромные тела варваров и их ничем не защищённые лица, пробивая себе дорогу в гущу повергаемых ими врагов; да и Арминий действовал с меньшей стремительностью, чем прежде, то ли потому, что был утомлён непрерывными битвами, или, может быть, свежая рана сковывала его движения. И Ингвиомера, который носился по всему полю боя, скорее покинуло военное счастье, чем личная доблесть, Германик, чтобы его легче могли узнать в рядах римлян, снял шлем с головы и призывал своих не прекращать сечу: не нужны пленные, только уничтожение племени положит конец войне. Уже на исходе дня он вывел из боя один легион, чтобы разбить лагерь; прочие легионы лишь с наступлением темноты пресытились вражеской кровью. Всадники сражались с переменным успехом. 22. Созвав сходку воинов и воздав на ней хвалу победителям, Цезарь [Германик] повелел сложить в груду захваченное оружие с гордой надписью: «Одолев народы между Рейном и Альбисом, войско Тиберия Цезаря посвятило этот памятник Марсу, Юпитеру и Августу». О самом себе Германик ничего не добавил, опасаясь ли зависти или довольствуясь сознанием выполненного им дела. Вслед за тем он поручает Стертинию пойти походом на ангривариев, если они не поторопятся изъявить покорность. Те смиренно попросили пощады на любых условиях и получили прощение за всё прошлое. 23. Но так как первая половина лета уже миновала, Цезарь [Германик], отправив сухим путём несколько легионов в зимние лагеря, посадил остальную большую часть своего войска на корабли и провёл их по реке Амизии в Океан. Сначала спокойствие морской глади нарушалось только движением тысячи кораблей, шедших на вёслах или под парусами; но вскоре из клубящихся чёрных туч посыпался град; от налетевших со всех сторон вихрей поднялось беспорядочное волнение: пропала всякая видимость, и стало трудно управлять кораблями; перепуганные, не изведавшие превратностей моря воины или мешали морякам в их работе, или помогали им несвоевременно и неумело, делали бесплодными усилия самых опытных кормчих. Затем и небом, и морем безраздельно завладел южный ветер, который, набравшись силы от влажных земель Германии, её полноводных рек и проносящегося над нею нескончаемого потока туч и став ещё свирепее от стужи близкого севера, подхватил корабли и раскидал их по открытому Океану или повлёк к островам, опасным своими отвесными скалами или неведомыми мелями. Лишь с большим трудом удалось немного от них отойти, но, когда прилив сменился отливом, который понёс корабли в ту же сторону, куда их относил ветер, стало невозможно держаться на якоре и вычерпывать беспрерывно врывающуюся воду; тогда, чтобы облегчить корабли, протекавшие по бокам и захлёстываемые волнами, стали выбрасывать в море лошадей, вьючный скот, снаряжение воинов и даже оружие. 24. Насколько Океан яростнее прочих морей и климат в Германии суровее, чем где бы то ни было, настолько и это бедствие выдавалось небывалыми размерами. Кругом были враждебные берега или такое бесконечное и глубокое море, что казалось, будто оно на краю света и земли больше не будет. Часть кораблей поглотила пучина, большинство было отброшено к лежащим вдалеке островам; и так как они были необитаемы, воины, за исключением тех, кого поддержали выкинутые прибоем конские трупы, погибли от голода. Только трирема Германика причалила к земле хавком; дни и ночи проводил он на прибрежных утёсах или вдававшихся в море мысах, называя себя виновником этого бедствия, и приближённые с большим трудом удержали его от того, чтобы он не нашёл себе смерть в том же море. Наконец, вместе с приливом и попутным ветром вернулись разбитые корабли с немногочисленными гребцами и одеждой, натянутой взамен парусов, иные – влекомые менее пострадавшими. Поспешно починив корабли, Германик отправил их обойти острова; благодаря этой его заботливости было подобрано немало воинов; многие были возвращены недавно принятыми под нашу власть ангривариями, выкупившими их у жителей внутренних областей; некоторые были увезены в �Содержание Британию и отпущены тамошними царьками. И каждый, вернувшись из далёких краёв, рассказывал чудеса о невероятной силе вихрей, невиданных птицах, морских чудовищах, полулюдях – полузверях – обо всём, что он видел или во что со страху уверовал. 25. Слух о гибели флота возродил в германцах воинственный пыл, и это заставило Цезаря [ Германика ] принять необходимые меры. Он велел Гаю Силию с тридцатью тысячами пехотинцев и тремя тысячами всадников выступить в поход против хаттов; сам он с ещё большим войском нападает на марсов, недавно передавшийся вождь которых Малловенд сообщил, что зарытый в находящейся поблизости роще орёл одного из легионов Квинтилия Вара охраняется ничтожными силами. Туда немедленно был выслан отряд с предписанием отвлечь неприятеля на себя, и другой – чтобы, обойдя его с тыла, выкопать орла из земли; и тем и другим сопутствовала удача. Тем решительнее Цезарь [Германик] устремляется внутрь страны, опустошает её, истребляет врага, не смевшего сойтись в открытом бою или если кое – где и оказывавшего сопротивление, тотчас же разбиваемого и никогда, как стало известно от пленных, не трепетавшего так перед римлянами. Ибо они, как утверждали марсы, непобедимы и не могут быть сломлены никакими превратностями: ведь потеряв флот, лишившись оружия, усеяв берега трупами лошадей и людей, они с той же доблестью и тем же упорством и как будто в ещё большем числе вторглись в их земли. 26. После этого воины были отведены в зимние лагеря, и у них было радостно на душе оттого, что несчастье на море они уравновесили удачным походом. Воодушевил их и Цезарь [Германик] своею щедростью, возместив каждому заявленный им урон. Было очевидно, что неприятель пал духом и склоняется к решению просить мира и что нужно ещё одно лето, и тогда можно будет закончить войну. Но Тиберий в частых письмах напоминал Германику, чтобы тот прибыл в Рим и отпраздновал дарованный ему сенатом триумф. Довольно уже успехов, довольно случайностей. Он дал счастливые и большие сражения, но не должен забывать, что ветры и бури, без вины полководца, причинили жестокий и тяжёлый ущерб. Божественный Август девять раз посылал самого Тиберия в Германию, и благоразумием он добился там большего, нежели силою. Именно так им были подчинены отдавшиеся под власть римлян сугамбры и укрощены мирным договором свебы и царь Маробод. И херусков, и остальные непокорные племена, после того как римляне им должным образом отмстили, можно предоставить их собственным междоусобицам и раздорам. В ответ на просьбу Германика дать ему год для завершения начатого, Тиберий ещё настойчивее пытается разжечь в нём тщеславие, предлагая ему консульство на второй срок, с тем чтобы свои обязанности он отправлял лично и находясь в Риме. К этому Тиберий добавлял, что если всё ещё необходимо вести войну, то пусть Германик оставит и своему брату Друзу возможность покрыть себя славою, так как при отсутствии в то время других врагов он только в Германии может получить императорский титул и лавровый венок. И Германик не стал больше медлить, хотя ему было ясно, что всё это вымышленные предлоги и что его желают лишить уже добытой им славы только из зависти. Гл. 44 – 46. [В этих главах Тацит рассказывает о решительном столкновении друг с другом двух групп германских племён – свевов и маркоманов с их союзниками под начальством Маробода и херусков и их союзниками под предводительством Арминия. Это столкновение произошло после отозвания Германика Тиберием с театра военных действий и имело место около 17 г. н. э.]. 62. Пока для Германика это лето [18 г. н. э.] проходило во многих провинциях, Друз, подстрекая германцев к раздорам, чтобы довести уже разбитого Маробода до полного поражения, добился немалой для себя славы. Был между готонами знатный молодой человек по имени Катуальда, в своё время бежавший от чинимых Марободом насилий и, когда тот оказался в бедственных обстоятельствах, решившийся ему отомстить. С сильным отрядом он вторгся в пределы маркоманов и, соблазнив подкупом их вождей, вступает с ними в союз, после чего врывается в столицу царя и �Содержание расположенное близ неё укрепление. Тут были обнаружены захваченная свебами в давние времена добыча, а также маркитанты и купцы из наших провинций, которых – каждого из своего края – занесли во вражескую страну свобода торговли, жажда наживы и, наконец, забвение родины. 63. Для Маробода, всеми покинутого, не было другого прибежища, кроме милосердия Цезаря. Переправившись через Дунай там, где он протекает вдоль провинции Норик, он написал Тиберию, – однако, не как изгнанник или смиренный проситель, но как тот, кто всё ещё помнит о своём былом положении и достоинстве: хотя его, некогда прославленного властителя, призывают к себе многие племена, он предпочёл дружбу римлян. На что Цезарь ответил, что пребывание в Италии, если он пожелает в ней остаться, будет для него почётным и безопасным; если же его обстоятельства сложатся по-иному, он сможет покинуть её так же свободно, как прибыл… И Маробода поселили в Равенне, всячески давая понять, что ему будет возвращена царская власть, если свебы начнут своевольничать; но он в течение восемнадцати лет не покидал пределов Италии и состарился там, немало омрачив свою славу чрезмерной привязанностью к жизни. Сходной оказалась и судьба Кутуальды, и убежище он искал там же, где Маробод. Изгнанный несколько позже силами гермундуров, во главе которых стоял Вибилий, и принятый римлянами, он был отправлен в Форум Юлия, город в Нарбоннской Галлии. Сопровождавшие того и другого варвары, дабы их присутствие не нарушило спокойствие мирных провинций, размещаются за Дунаем между реками Маром и Кузом, и в цари им даётся Ванний из племени квадов. 88. У историков и сенаторов того времени я нахожу сообщение о письме предводителя хаттов Адгандестрия, которое было оглашено в сенате и в котором он предлагал умертвить Арминия, если ему пришлют яду, чтобы он мог осуществить это убийство; Адгандестрию было отвечено, что римский народ отмщает врагам, не прибегая к обману, и не тайными средствами, но открыто и силой оружия.. . Впрочем, притязая после ухода римлян и изгнания Маробода на царский престол, Арминий столкнулся со свободолюбием соплеменников; подвергшись с их стороны преследованию, он сражался с переменным успехом и пал от коварства своих приближённых. Это был, бесспорно, освободитель Германии, который выступил против римского народа не в пору его младенчества, как другие цари и вожди, но в пору высшего расцвета его могущества, и хотя терпел иногда поражения, но не был побеждён в войне. Тридцать семь лет он прожил, двенадцать держал в своих руках власть; у варварских племён его воспевают и сейчас… КНИГА 4 72. В том же году [28 г. н. э.] зарейнский народ фризы нарушил мир больше вследствие нашей жадности, чем из нежелания оказывать нам повиновение. По причине бедности фризов Друз обложил их умеренной податью, повелев сдавать бычьи шкуры для нужд нашего войска, причём никто не следил за тем, какой они прочности и какого размера, пока Оленний, центурион примипилов, назначенный правителем фризов не отобрал турьи шкуры в качестве образца для приёмщиков подати. Выполнить это требование было бы затруднительно и другим народам, а германцам тем более тяжело, что, хотя в их лесах водится много крупного зверя, домашний скот у них малорослый. И вот вместо шкур они стали сначала рассчитываться с нами быками, потом землями и, наконец, отдавать нам в рабство жён и детей. Отсюда – волнения и жалобы, и так как им не пошли в этом навстречу, у них не осталось другого выхода, кроме войны. Явившихся за получением подати воинов они схватили и распяли на крестах; Оленний, предупредив нападение разъярённых врагов, спасся бегством и укрылся в укреплении, носившем название Флев; в нём стоял довольно сильный отряд римских воинов и союзников, охранявших океанское побережье. 73. Как только это стало известно пропретору Нижней Германии Луцию Апронию, он вызвал из �Содержание Верхней провинции подразделения легионов и отборные отряды пехоты и конницы вспомогательных войск и, перевезя на судах вниз по Рейну и то и другое войско, двинулся на взбунтовавшихся фризов, которые, сняв осаду с римского укрепления, ушли защищать свои земли. Тогда Апроний принимается укреплять в затопляемых приливом местах насыпи и мосты, чтобы провести по ним войско с тяжёлым обозом, и между тем, отыскав броды, велит конному подразделению каннинефатов и пехотинцам из служивших в наших рядах германцев обойти с тыла врагов; но те, успев изготовиться к бою, опрокидывают конные отряды союзников и присланную к ним на помощь конницу легионов. В дальнейшем туда же были направлены три легковооружённые когорты, затем ещё две и спустя некоторое время – вся конница вспомогательных войск: этих сил было бы совершенно достаточно, если бы они одновременно бросились на врага, но подходя с промежутками, они не добавили стойкости уже приведённым в расстройство частям и сами заразились страхом бегущих. Всё, что осталось от вспомогательных войск, Луций Апроний отдаёт в подчинение легату пятого легиона Цетегу Лабеону, но и тот, попав в трудное положение, вследствие разгрома отданных ему под начало частей, посылает гонцов, умоляя поддержать его силою легионов. Раньше других к нему на выручку устремляются воины пятого легиона и после ожесточённой схватки отбрасывают фризов и спасают истомлённые ранами когорты и отряды всадников. Римский военачальник не пустился, однако, в погоню за неприятелем и не предал погребению труппы, хотя пало большое число трибунов, префектов и лучших центурионов. Впоследствии, узнали от перебежчиков, что близ леса, называемого рощею Бадугенны, в затянувшейся до следующего дня битве было истреблено девятьсот римлян и что воины другого отряда из четырёхсот человек, заняв усадьбу некогда служившего в нашем войске Крупторига и опасаясь измены, по взаимному договору поразили друг друга насмерть. 74. Это прославило фризов среди германцев, тогда как Тиберий скрывал потери, чтобы не оказаться в необходимости назначить главнокомандующего для ведения войны с ними… Тацит о римско-парфянских отношениях. Текст приводится по изданию: Корнелий Тацит. Анналы. / Сочинения в 2 т. Л., 1969. Т. 1. С. 45–46, 69–70, 74, 168–172. КНИГА 2 1. В консульство Сизенны Статилия (Тавра) и Луция Либона было нарушено спокойствие в царствах Востока и в римских провинциях. Началось с парфян, которые, испросив у Рима и получив оттуда царя, гнушались им, как чужестранцем, невзирая на то, что он принадлежал к роду Арсакидов. Это был Вонон, отданный Фраатом в заложники Августу. Ибо Фраат, хотя он и изгнал римское войско и его полководцев, всё же оказывал Августу всяческое почтение и ради укрепления дружбы отослал к нему часть своего потомства не столько из страха пред нами, сколько из недоверия к своим соплеменникам. 2. После смерти Фраата и следовавших за ним царей парфянская знать вследствие кровавых междоусобиц направила в Рим послов, призвавших на царство старшего из детей Фраата – Вонона. Цезарь (имеется ввиду Август) воспринял это как дань высокого уважения к себе и возвысил Вонона богатыми дарами. Варвары встретили его ликованием, как это чаще всего бывает при воцарении новых властителей. Вскоре, однако, их охватил стыд: выродились парфяне; на другом конце света вымолили они себе царя, отравленного воспитанием во вражеском стане; трон Арсакидов уже предоставляется наравне с римскими провинциями. Где слава тех, кто умертвил Красса, изгнал Антония, если раб Цезаря, на протяжении стольких лет прозябавший в неволе, повелевает парфянами? Да и сам Вонон давал пищу этой враждебности: чуждый обычаям предков, он редко охотился и был равнодушен к конным забавам; на улицах городов появлялся не иначе как на носилках и пренебрегал �Содержание такими пирами, какими они были на его родине. Вызывали насмешки и его приближённые греки, и то, что любая безделица из его утвари хранилась под замком и опечатанной. Его доступность, ласковость и доброжелательность – добродетели, неведомые у парфян, - были, на их взгляд, не более чем пороками; и поскольку всё это было несходно с их нравами, они питали равную ненависть и к дурному, и к хорошему в нём. 3. Итак, они вызывают Артабана, по крови Арсакида, выросшего среди дагов; разбитый в первом сражении, он собирает новые силы и овладевает Парфянским царством. Побеждённый Вонон укрылся в Армении, которая тогда оставалась без государя и, находясь между могущественными державами парфян и римлян, была в отношении нас ненадёжна вследствие бесчестного поступка Антония, завлекшего под личиною дружбы, затем бросившего в оковы и, наконец, предавшего смерти армянского царя Артавазда. Его сын Артаксий был предательски убит родичами. Цезарь дал армянам Тиграна, которого возвёл на престол Тиберий Нерон. Но ни царствование Тиграна, ни царствование его детей, соединившихся по чужеземному обычаю в браке и правивших сообща, не были длительными. 4. Потом по приказанию Августа власть над армянами получил Артавазд, который спустя короткое время был свергнут ими не без ущерба для нас. Тогда, чтобы навести порядок в Армении, туда был направлен Гай Цезарь. С согласия и одобрения армян он поставил царём над ними Ариобарзана, родом мидянина, отличавшегося телесной красотою и выдающимися душевными качествами. После того как его постигла смерть от несчастного случая, армяне не пожелали терпеть царями его детей; испытали они и правление женщины, которую звали Эрато, но и она была вскоре низложена; и вот растерянные и скорее потому, что были лишены государя, чем по свободному выбору, они принимают на царство бежавшего к ним Вонона. Но так как ему начал угрожать Артабан, а если б мы стали его защищать, нам пришлось бы вступить в войну с парфянами, правитель Сирии Кретик Силан вызвал Вонона к себе и, сохранив ему прежнюю роскошь и царский титул, окружил его стражею. Как поступил Вонон, чтобы снять с себя это бесчестье, мы сообщим в своё время. 56. Этот народ (армяне) испокон века был ненадёжен и вследствие своего душевного склада, и вследствие занимаемого им положения, так как земли его, гранича на большом протяжении с нашими провинциями, глубоко вклиниваются во владения мидян; находясь между могущественнейшими державами, армяне по этой причине часто вступают с ними в раздоры, ненавидя римлян и завидуя парфянам. Царя в то время, по устранению Вонона, они не имели; впрочем благоволение народа склонялось к сыну понтийского царя Полемона Зенону, так как, усвоив с раннего детства обычаи и образ жизни армян, он своими охотами, пиршествами и всем, что в особой чести у варваров, пленил в равной мере и придворных, и простолюдинов. Итак, Германик в городе Артаксате, с полного одобрения знатных и при стечении огромной толпы, возложил на его голову знаки царского достоинства. Присутствовавшие, величие царя, нарекли его Артаксием, каковое имя они дали ему по названию города… 58. Между тем явились послы от парфянского царя Артабана. Он направил их ради того, чтобы они напомнили римскому полководцу о дружбе и договоре и заявили о его, Артабана, желании возобновить прежние связи: стремясь оказать Германику честь, он прибудет, помимо того, к берегам Евфрата; а пока он просит о том, чтобы Вонон не оставался более в Сирии и не подстрекал к смуте вождей парфянских племён, посылая своих людей в близлежащие местности. Германик в достойных словах отозвался о союзе римлян с парфянами, а на сообщение о приезде царя и о воздании ему, Германику, почестей, ответил любезно и скромно. Вонон был удалён в Помпейополь, приморский город Киликии… 68. В это самое время Вонон, об удалении которого в Киликию я упоминал выше, предпринял попытку �Содержание перебежать в Армению, чтобы перебраться оттуда к альбанам и гениохам и далее к своему родичу царю скифов. Отдалившись под предлогом охоты от моря, он укрылся в чаще горных лесов, а затем, используя резвость своего коня, примчался к реке Пираму; но на реке не оказалось мостов так как, прослышав о бегстве царя, их разрушили местные жители, а переправа через неё вброд была невозможна. На берегу этой реки он и был схвачен Вибием Фронтоном, префектом всадников, и здесь же ветеран Ремий, который прежде был приставлен к царю, чтобы за ним надзирать, якобы придя в ярость, пронзил его насмерть мечом. Принимая во внимание все обстоятельства, более вероятно, однако, что, будучи пособником этого преступления, он умертвил Вонона, страшась его показаний. КНИГА 6 31. В консульство Гая Цестия и Марка Сервилия (35 г. н. э.) в Рим прибыли знатные парфяне без ведома царя Артабана. Из страха перед Германиком он некоторое время сохранял верность римлянам и справедливо правил своими, но потом стал заноситься пред нами и свирепствовать над соотечественниками, так как преисполнился самоуверенности, проведя удачные войны с окружающими народами. Он пренебрежительно относился к Тиберию, считая, что тот по старости не способен к войне, и жадно добивался Армении, властителем которой после смерти Артаксия поставил старшего из своих сыновей, Арсака; более того, он нанёс римлянам оскорбление, послав своих людей с требованием выдать сокровищницу, оставленную Вононом в Сирии и Киликии, говорил о старых границах персов и македонян, бахвалясь и угрожая вторгнуться во владения Кира и Александра. На отправлении тайного посольства к Тиберию настояли один из наиболее родовитых и богатых парфян Синнак и близкий к нему евнух Абд. Быть евнухом у варваров совсем не позорно, больше того, это ведёт к могуществу. Итак, вместе с примкнувшими к ним другими сановниками, не имея у себя ни одного Арсакида, чтобы провозгласить его своим верховным владыкой, ибо большинство из них было истреблено Артабаном, а остальные не достигли ещё возмужалости, они просили отпустить к ним из Рима Фраата, сына царя Фраата: необходимы лишь имя и поддержка – пусть потомок Арсака с согласия Цезаря покажется на берегу Евфрата. 32. Это пришлось Тиберию по душе: он снаряжает Фраата и предоставляет ему необходимую помощь для овладения отцовским престолом, верный принятому им правилу – вести дела с чужеземными государствами посредством уловок и хитростей, избегая оружия. Между тем, Артабан, проведав о подстроенных ему кознях, то медлит, охваченный страхом, то возгорается жаждою мщения. У варваров медлительность считается рабской чертой, поспешность в действиях – царственной; однако в нём победило благоразумие, и он решил, что для него будет полезнее, прикрывшись личиною дружелюбия, пригласить Абда на пир и обезвредить его медленно действующим ядом, а Синнака связать притворной благосклонностью, подарками и вместе с тем деловыми поручениями. Тем временем Фраат, сменив в Сирии образ жизни, усвоенный за долгие годы пребывания в Риме, на непривычный парфянский уклад, заболел и умер. Но Тиберий не отказался от начатого: теперь он избирает в соперники Артабану Тиридата, происходившего от той же крови, что и Фраат, а для отвоевания Армении – ибера Митридата, которого мирит с царствовавшим в своей стране братом его Фарасманом; во главе всего, что затевалось им на Востоке, он ставит Луция Вителлия… 33. Первым из этих царьков начал действовать Митридат, побудив Фарасмана помочь его замыслам при помощи вероломства и военной силы, и подысканные люди, соблазнив золотом приближённых Арсака, склоняли их к измене. Одновременно иберы вторгаются с большим войском в Армению и овладевают городом Артаксатой. Узнав об этом, Артабан поручает своему сыну Ороду отмстить неприятелю; он даёт ему войско парфян и рассылает людей для набора отрядов наёмников; Фарасман со своей стороны получает поддержку альбанов и поднимает сарматов, скептухи (жезлоносцы) которых, приняв подарки от обеих сторон, по обычаю своего племени отправились на помощь и к той, �Содержание и к другой. Но иберы – хозяева этой страны – быстро пропустили по каспийской дороге сарматов, двинувшихся против армян, между тем как сарматы, направлявшиеся к парфянам, были легко отрезаны, так как враг запер все проходы, кроме единственного – между морем и оконечностями альбанских гор, воспользоваться которым, однако, препятствовало летнее время, ибо из-за постоянно дующих в одном направлении ветров вода в эту пору заливает низкие берега, тогда как зимой южный ветер гонит её назад, и, после того как она уйдёт в море, обнажается береговая полоса мелководья. 34. Между тем усиленный отрядами союзников Фарасман вызывает на битву не имевшего вспомогательных войск Орода, и так как тот от неё уклоняется, тревожит его, кидается с конницей на его лагерь, препятствует заготовке корма для лошадей; и не раз он окружал вражеский стан заставами, как бы облагая его осадой, пока парфяне, не привыкшие к такому бесчестью, не обступили своего царевича и не потребовали, чтобы он повёл их в сражение. Но они были сильны только конницей, а Фарасман располагал и хорошей пехотой. Ибо иберы и альбаны, обитая в лесистых горах, привыкли к тяжёлым условиям существования и поэтому гораздо выносливее парфян… Итак, после того как оба войска изготовились к бою, парфянский полководец в речи к войнам напомнил о владычестве на Востоке, о славе Арсакидов, о том, что их враг – безвестный ибер с войском наёмников; Фарасман же говорил, что, не зная над собой парфянского ига, чем к большему они будут стремиться, тем большую славу им принесёт победа, а если обратятся в бегство, то тем больше позора и опасностей навлекут на себя; он указывал при этом на грозный боевой строй своих и на раззолоченные отряды мидян, говоря, что здесь мужи, там добыча. 35. Но сарматов воодушевила не только речь полководца: они сами убеждают друг друга не допустить, чтобы их осыпали стрелами: это необходимо предупредить стремительным натиском и рукопашною схваткой. Отсюда – несхожая картина в войсках обоих противников: парфянин, приученный с одинаковой ловкостью наскакивать и обращать вспять, рассыпая свои конные части, дабы можно было беспрепятственно поражать врага стрелами, а сарматы, не используя луков, которыми владеют слабее парфян, устремляются на них с длинными копьями и мечами, и враги то сшибаются и откатываются назад, как это обычно в конном бою, то, как в рукопашной схватке теснят друг друга напором тел и оружия. И вот уже альбаны и иберы хватают парфян, стаскивают их с коней, заставляют биться в неравных условиях, ибо сверху на них обрушивали удары всадники, а снизу поражали не отстававшие от них пехотинцы. В разгаре боя Фарасман и Ород, которые сражались среди передовых и бросались на помощь дрогнувшим и поэтому были заметны, узнают друг друга; с громким боевым кличем они устремляются с оружием один на другого, и Фарасман, упредив противника, рассёк шлем Орода и нанёс ему рану. Но, увлечённый вперёд конём, он не смог повторить удар, и храбрейшие из воинов успели заслонить раненого; поверив, однако, ложной вести о его гибели, парфяне пришли в замешательство и уступили победу врагу. 36. После этого Артабан со всеми силами своего царства выступил отомстить противнику. Благодаря знанию местности иберы сражались успешнее парфян, но он не отстал бы от них, если бы не Вителлий, который, стянув легионы и распространив слух, что собирается вторгнуться в Месопотамию, устрашил его угрозою войны с римлянами. С оставлением Артабаном Армении пришёл конец и его могуществу, так как Вителлий подстрекал парфян покинуть царя, свирепствующего над ними в мирное время и неудачными битвами обрекающего их на гибель. И вот Синнак, о враждебности которого к Артабану я упоминал выше, склоняет к измене ему своего отца Абдагеза и некоторых других, затаивших и ранее такой умысел и теперь решившихся осуществить его вследствие непрерывных поражений царя: понемногу к ним примыкают все, кто повиновался царю больше из страха, чем из привязанности, и, после того как нашлись зачинщики, набрался решимости. И у Артабана никого не осталось, кроме телохранителей-чужеземцев, утративших родину, у которых не существует ни понимания добра, ни отвращения к злу, которые кормятся тем, что им платят, и за плату �Содержание готовы на преступление. Взяв их с собою, он поспешно бежал в отдалённые и сопредельные Скифии места в надежде на то, что там ему будет оказана помощь, так как был связан родством и гирканами и карманиями, а также и на то, что парфяне, воздающие справедливость только своим отсутствующим властителям и мятежные, когда те рядом с ними, ещё обратятся к раскаянию. 37. Между тем Вителлий, так как Артабан бежал из страны и народ проявлял готовность заменить его новым царём, убеждает Тиридата использовать представившиеся возможности и ведёт к берегу Евфрата отборную силу легионов и союзников. Когда они совершали жертвоприношение, причём один по римскому обычаю предал закланию свинью, овцу и быка, а другой, чтобы умилостивить реку, обрядил ей в жертву коня, прибрежные жители сообщают, что в Евфрате сама по себе, ибо никаких ливней не было, значительно прибывает вода и, вздуваясь белой пеной, образует похожие на диадемы круги – предзнаменование, возвещающее им благополучную переправу. Иные истолковали его с большею проницательностью, утверждая, что их предприятие начнётся удачно, но плоды его будут недолговечны, ибо предвещания земли и неба более надёжны, а реки по своей природе непостоянны и, открыв знамения, немедля уносят их прочь. Как бы то ни было, навели мост на судах и войско переправилось через реку. Первым явился в лагерь со многими тысячами всадников Орноспад, некогда изгнанный с родины, потом отнюдь не бесславный сподвижник Тиберия при завершении им военных действий в Далмации, награждённый за это римским гражданством, и, наконец, снова достигший царского благоволения и почёта и поставленный правителем тех земель, которые орошаются знаменитыми реками Евфратом и Тигром и носят название Месопотамии. Немного спустя войско Тиридата усиливает также Синнак, и столп партии Абдагез, добавляет к этому царские сокровищницу и облачение. Вителлий, сочтя, что он достаточно показал внушительность римской мощи, обращается с увещеванием к Тиридату постоянно помнить о своём деде Фраате и воспитавшем его Цезаре, о доблестных деяниях того и другого, и к парфянским сановникам – неуклонно соблюдать покорность царю, почтение к нам, собственную честь и верность. Затем он с легионами возвратился в Сирию. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Рубцов Сергей Михайлович Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Рим и варвары Subject The topic of the resource 1. Август (римский император) , 63 до н. э. - 14 н. э. 2. Тиберий (римский император) , 42 до н. э. - 37 н. э. 3. Клавдий (римский император) , 10 до н. э.- 54 н. э. 4. Траян (римский император с 98, из династии Антонинов) , 53 - 117. 5. Адриан, Публий Элий (римский император (с 117)) , 76-138. 6. Антонин Пий (римский император (с 138)) , 86-161. 7. Флавии (династия римских императоров), 69-96. 8. История. 9. Древний мир — Древний Рим — 1 в. н. э. — 2 в. н. э. 10. варвары. 11. Римская империя. 12. римские императоры. Description An account of the resource Рим и варвары [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Алтайский государственный педагогический университет ; [сост. С. М. Рубцов]. — 1 компьютерный файл (pdf; 7.44 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 66 с. Издание содержит источниковедческий материал по истории внешней политики Римской империи в период принципата (1–2 вв. н. э.). В пособии характеризуются различного вида источники:письменные (нарративные), археологические памятники, эпиграфические материалы. Пособие предназначено для студентов 1 курса исторического факультета, а также может служить пособием для студентов, обучающихся по специальности «Туризм». Creator An entity primarily responsible for making the resource Рубцов, Сергей Михайлович Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 15.03.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебно-методическое пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/rubtsov.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/rubtsov.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/rubtsov.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/rubtsov.exe</a> Август (римский император) Адриан Антонин Пий (римский император (с 138)) варвары Древний мир — Древний Рим История Клавдий (римский император) Публий Элий (римский император (с 117)) Римская империя римские императоры Тиберий (римский император) Траян (римский император) Флавии (династия римских императоров) http://books.altspu.ru/files/original/59/47/_[650].png 340d4d90dc31bf288930b32bcf4c4f17 http://books.altspu.ru/files/original/59/47/bronnikova1.pdf 726803c824e3e55517e7471125e22316 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» Л.М. Бронникова ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2016 Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–810–5 �Содержание УДК 51(091)(075) ББК 22.1г.я73 Б885 Бронникова, Л.М. История математики [Электронный ресурс] : учебное пособие. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. ISBN 978–5–88210–810–5 Рецензенты: Пышнограй Г.В., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГПУ); Гончарова М.А., кандидат педагогических наук, доцент (АКИПКРО) В учебном пособии рассматриваются основные разделы дисциплины «История математики»: предмет истории математики, периоды развития математики, история математики древних цивилизаций, историческое развитие некоторых содержательно-методических линий школьного курса математики, история развития отечественной математики. По каждому разделу предложены контрольные вопросы, теоретические сведения и задания для самостоятельной работы обучающихся. Пособие содержит вариант теста для итогового контроля знаний по изложенному материалу, примерный план семинарских занятий по курсу. Учебное пособие предназначено для студентов педагогических вузов, может оказаться полезным учителям математики и учащимся средних школ. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 28.01.2016 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 7 227 КБ. Дата подписания к использованию: 16.03.2016 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Введение Глава 1. Предмет истории математики. Периоды в развитии математики 1.1. Предмет истории математики 1.2. Период зарождения математики 1.3. Период элементарной математики 1.4. Период математики переменных величин 1.5. Период современной математики Задания для самостоятельной работы по главе 1 Глава 2. История математики древних цивилизаций 2.1. Математика Древнего Египта 2.2. Математика Древнего Вавилона 2.3. Математика Древней Греции 2.4. Математика стран Востока Задания для самостоятельной работы по главе 2 Глава 3. Историческое развитие школьного курса математики некоторых 3.1. Развитие понятия числа 3.2. Формирование понятия «функция» 3.3. История возникновения и развития уравнений Задания для самостоятельной работы по главе 3 Глава 4. История развития отечественной математики Библиографический список Приложения Приложение 1 Семинар 1 Семинар 2 Семинар 3 Семинар 4 Семинар 5 Семинар 6 содержательно-методических линий �Содержание Семинар 7 Семинар 8 Приложение 2 Приложение 3 �Содержание Введение История математики – одна из математических наук. Все отрасли математики, какими бы они разными не казались, объединены общностью предмета. Целью освоения дисциплины «История математики» является формирование представления студентов о математике как непрерывно развивающейся науке, приобретение знаний о зарождении и развитии математики, осознание причин возникновения одних математических фактов и отмирания других, формирование умений использования исторических сведений при обучении математике. Задачи курса: познакомить студентов с основными периодами развития математики и математического – образования; раскрыть значение различных цивилизаций в развитии математической науки; – рассмотреть биографии наиболее выдающихся ученых-математиков и их роль в развитии математики; – продемонстрировать историческое развитие каждой содержательно-методической линии школьного курса математики; – сформировать умения использовать исторические сведения при обучении математике. – В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: – объективные закономерности развития математической науки; – основные этапы становления и развития математики, периодизацию развития математики; – персоналии ведущих ученых-математиков; – вклад отечественных математиков в развитие математического знания; – воспитательные аспекты изучения исторических сведений. Уметь: – охарактеризовать важнейшие факты истории математики в свете исторических событий той или иной эпохи; охарактеризовать вклад различных цивилизаций (Древний Египет, Вавилон, Древняя – Греция, Индия, Китай и др.) в развитие математики; использовать исторические сведения в процессе обучения математике; – самостоятельно работать с литературой по истории математики: выделять главное, обобщать, делать выводы. – Владеть: методическими приемами использования исторических сведений в процессе обучения – математике; – способами взаимодействия с другими субъектами образовательного процесса; �Содержание способами совершенствования профессиональных знаний и умений путём использования возможностей информационной среды. – История развития математики – это не только история развития математических идей, понятий и направлений, но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью, социальноэкономическими условиями различных эпох. Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много… Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. В Европе сложилось разделение на гуманитарные и естественные науки по степени влияния математики на эти части. При поверхностном наблюдении математика представляется плодом многих тысяч мало связанных индивидуальностей, разбросанных по континентам, векам и тысячелетиям. Но внутренняя логика ее развития гораздо больше напоминает работу одного интеллекта, непрерывно и систематически развивающего свою мысль, лишь использующего как средство многообразие человеческих личностей. Настоящее пособие призвано помочь студентам очертить круг изучаемых вопросов по дисциплине «История математики». В пособии представлены 4 темы курса. По каждой теме приведены теоретические сведения, контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы. Для итогового контроля предложен примерный вариант теста по всему курсу изучения дисциплины «История математики». �Содержание Глава 1. Предмет истории математики. Периоды в развитии математики 1.1. Предмет истории математики 1.2. Период зарождения математики 1.3. Период элементарной математики 1.4. Период математики переменных величин 1.5. Период современной математики Задания для самостоятельной работы по главе 1 �Содержание 1.1. Предмет истории математики Контрольные вопросы 1. Что такое математика? 2. Почему (из каких потребностей) возникла математика? 3. Из чего состоит математика? 4. Что является предметом истории математики? 5. В чем состоит значение истории математики? 6. Какие существуют направления историко-математических исследований? 7. Какие периоды в истории математики выделяют? Теоретические сведения Математика, как и другие науки, ведет свое начало с весьма отдаленных от наших дней времен жизни человечества, от которых не осталось никаких письменных памятников, т. к. основные ее понятия зародились задолго до изобретения человеком знаков для записи своих мыслей. Напряженным трудом в течение тысячелетий человечество вырабатывало основные понятия математики. Математика, в переводе с греческого, – знание, наука. Ее содержание и характер менялись на протяжении всей истории и продолжают меняться теперь. От первичных предметных представлений о целом положительном числе, а также от представлений об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками математика прошла длительный курс развития, прежде чем стала абстрактной наукой со специфическими методами исследования. Имеется большое число попыток дать определение математики. Наиболее удачное определение, способное в значительной степени учитывать изменения содержания математики в прошлом, так же, как и ее дальнейшее развитие, было дано Ф. Энгельсом. «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть – весьма реальный материал» (Ф. Энгельс). Чувство формы выражается воспроизведением объекта в рисунке, то есть в фигуре. Количественное отношение выражается числом. Таким образом, число и фигура – первоначальные математические понятия. Современное понимание пространственных форм весьма широко. Оно включает в себя наряду с геометрическими объектами трехмерного пространства (прямая, круг, треугольник, конус, цилиндр, шар и пр.) также многочисленные обобщения – понятия многомерного пространства и бесконечномерного пространства, а также геометрических объектов в них и многое другое. Точно так же количественные отношения выражаются теперь не только целыми положительными или рациональными числами, но и при помощи комплексных чисел и гиперкомплексных чисел, векторов, функций и т. д. Развитие науки и техники заставляет математику непрерывно расширять представления о пространственных формах и количественных отношениях. Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для данного круга явлений и �Содержание предметов. Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 2 не связано неразрывно с каким-либо определенным предметным содержанием. Оно может относиться и к двум яблокам, и к двум книгам, и к двум мыслям. Оно одинаково хорошо относится ко всем этим и бесчисленному множеству других объектов. Также геометрические свойства шара не меняются от того, что он сделал из стекла, стали и пр. Абстрагирование от свойств предмета обедняет наши знания о данном предмете, его характерных материальных особенностях. В то же время именно это отвлечение от особых свойств индивидуальных объектов придает общность понятиям, делает возможным применение математики к самым разнообразным по материальной природе явлениям. Таким образом, одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут удовлетворительно применяться к описанию явлений природы, технических, экономических и социальных явлений. Современное понятие математики – наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения). Математика – одна из самых древних наук. Математические познания приобретались людьми уже на самой ранней стадии развития под влиянием даже самой несовершенной трудовой деятельности. По мере усложнения этой деятельности изменялась и разрасталась совокупность факторов, влияющих на развитие математики. Со времени возникновения математики как особой науки со своим собственным предметом наибольшее влияние на формирование новых понятий и методов математики оказывало математическое естествознание. Под математическим естествознанием мы понимаем комплекс наук о природе, для которых на данной ступени развития оказывается возможным приложение математических методов. На прогресс математики ранее других наук оказали влияние астрономия, механика, физика. Непосредственное воздействие задач математического естествознания на развитие математики можно проследить на протяжении всей ее истории. Так, например, дифференциальное и интегральное исчисление в его наиболее ранней форме исчисления флюксий возникло как наиболее общий в то время метод решения задач механики, в том числе и небесной механики. Теория полиномов, наименее уклоняющихся от нуля, была разработана русским академиком П.Л. Чебышевым в связи с исследованием паровой машины. Метод наименьших квадратов возник в связи с большими геодезическими работами, проводившимися под руководством К.Ф. Гаусса. В настоящее время под непосредственным влиянием запросов новых областей техники получают бурное развитие многие области математики: комбинаторный анализ, методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, теория конечных групп и т. д. Примеры подобного рода можно продолжать неограниченно в отношении любой области математики. Все они показывают, что математика возникла из трудовой деятельности людей и формулировала новые понятия и методы в основном под влиянием математического естествознания. Выход математики в естествознание происходит в результате приложения существующих математических теорий к практическим проблемам и разработки новых методов их решения. Вопрос о приложимости к практике той или иной математической теории не всегда получает сразу удовлетворительное разрешение. До его решения проходят зачастую годы и десятилетия. В свою очередь, практика, и, в частности, техника, входит в математику как незаменимое вспомогательное средство научного исследования, во многом: меняющее лицо математики. Электронные вычислительные устройства открыли неограниченные возможности для расширения класса задач, решаемых средствами математики, и изменили соотношение между методами нахождения точного и приближенного решения их. Однако, как велика ни была бы роль вычислительной техники, неизменным остается ее вспомогательный характер. Никакая, даже самая �Содержание совершенная вычислительная электронная машина не может приобрести всех свойств мыслящей материи – человеческого мозга, и существенно заменить его. Состав (содержание) математики, как и всякой другой науки, следующий: а) факты, накопленные в ходе ее развития; б) гипотезы, т. е. основанные на фактах научные предположения, подвергающиеся в дальнейшем проверке опытом; в) результаты обобщения фактического материала, выраженные в математических теориях и законах; г) методология математики, общетеоретические истолкования математических теорий и законов, характеризующие общий подход к изучению предмета математики. Все эти элементы взаимосвязаны и постоянно находятся в развитии. Выяснение того, как происходит это развитие в изучаемый исторический период и куда оно ведет и является предметом истории математики. История математики – есть наука об объективных законах развития математики. Значение истории математики состоит в следующем: 1. История математики помогает понять, как возникли и развивались понятия, идеи математики, как формировалась математика как наука и ее главные направления; 2. Исторические экскурсы «оживляют» изложение систематического курса математики; 3. Примерами из истории математики педагог может пробудить интерес обучающихся к изучению математики, углублению ими понимания изучаемого фактического материала; 4. Расширение умственного кругозора обучающихся и повышение их общей культуры. Сообщение сведений из истории математики на занятии необходимо заранее продумывать и планомерно использовать факты из истории математики в тесном органичном сплетении всего программного курса математики. Возможные формы сообщения сведений по истории математики – краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задач, показ и разъяснение рисунка и др. Остановимся кратко исследований. на суммарных характеристиках направлений историко-математических Во-первых, в работах историко-математического характера воссоздается богатство фактического содержания исторического развития математики. В них освещается, как возникли математические методы, понятия и идеи, как исторически складывались отдельные математические теории. Выясняются характер и особенности развития математики у отдельных народов в определенные исторические периоды, вклад, внесенный в математику великими учеными прошлого. Во-вторых, историко-математические работы раскрывают многообразные связи математики. Среди них: связи математики с практическими потребностями и деятельностью людей, с развитием других наук, влияние экономической и социальной структуры общества и классовой борьбы (особенно в области идеологии) на содержание и характер развития математики, роль народа, личности ученых и коллективов ученых и т. п. В-третьих, историко-математические исследования вскрывают историческую обусловленность логической структуры современной математики, диалектику ее развития, помогают правильно понять соотношение частей математики и до известной степени ее перспективы. �Содержание Существует много попыток периодизации истории математики (по странам, по социальноисторическим формациям, по выдающимся открытиям и т. п.). Общепризнанна периодизация основных этапов развития математики (как целостной науки), представленная А.Н. Колмогоровым1, в основу которой положена оценка содержания математики: ее важнейших методов, идей и результатов. Он выделяет четыре периода развития математики: 1. Период зарождения математики. 2. Период элементарной математики. 3. Период создания математики переменных величин. 4. Период современной математики. О характеристике этих периодов пойдет речь в следующих параграфах. 1 Колмогоров А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. – М., 1954. – Т . 26. �Содержание 1.2. Период зарождения математики Контрольные вопросы 1. Как назывался первый период истории математики? 2. Какова протяженность первого периода истории математики? На какие эпохи его условно можно разделить? 3. Охарактеризуйте первый этап развития математики. Теоретические сведения Первый период развития математики называют зарождением математики. Его протяженность – до VI–V веков до н. э. Период зарождения математики условно можно разделить на две эпохи: а) предыстория математики; б) эпоха накопления первых математических знаний. Предыстория математики – это те времена, когда человечество вырабатывало первые основные математические понятия, но от которых не осталось никаких следов: ни записей, ни архитектурных и скульптурных памятников и пр. В этот период, самый большой в истории развития математики, человечество постепенно выработало понятие о натуральном числе, приемы счета и познакомились с простейшими геометрическими образами. Первые представления о математических объектах относятся к эпохе древнего каменного века – палеолита, начало которого относят ко времени около 3 млн лет назад. К концу палеолита (около 25– 15 тысяч лет назад) появляются наскальные рисунки, найденные, например, в пещерах Франции, Испании. Археологические данные подтверждают, что к этому времени люди научились рисовать, писать, считать. На Кипре найден глиняный диск овальной формы с письменностью минойцев, древнего населения острова. В Моравии найдена кость волка с делениями. Всем этим документам примерно 15 тысяч лет. Около 20 тысяч лет назад началось потепление, климат, близкий к современному, установился около 12 тысяч лет назад. Отступают ледники, появляется возможность обрабатывать землю. На Ближнем Востоке 15–12 тысяч лет назад зарождается земледелие. Происходит переход от простого собирания пищи к активному ее производству. Примерно 10 тысяч лет назад земледелие становится основным занятием человека, а чуть позже появляется скотоводство. Начинается новая эра в развитии человечества – неолит, или новый каменный век. В эпоху палеолита люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. В эпоху неолита появляются условия для их развития. Прекращаются странствования в поисках пищи. Строятся жилища, хранилища для урожая, изготавливается посуда. Появляются ремесла: гончарное, плотницкое, ткацкое. Возникает обмен – зачатки торговли. Развитие человечества в эпоху неолита делает значительный скачок. Люди научились плавить металл. Каменный век сменяется бронзовым, а затем железным веком. Совершенствуются орудия труда, повышается производительность. Деревенские поселения с развитым ремеслом и торговлей вырастают в первые �Содержание города. Общество расслаивается на классы. Возникает рабовладельческое общество. Образуются государства. К эпохе накопления первых математических знаний относят те времена, когда у человечества уже сформировались определенные общественные группировки, которые можно рассматривать как древнейшие государства. К таким государствам относят Вавилон, Египет и др. В этот период появляются записи чисел, арифметические действия над ними, устанавливаются некоторые практические сведения из геометрии и решаются простейшие задачи алгебраического характера, но все математические записи не сопровождаются широкими обобщениями и не имеют строго теоретического обоснования. К концу IV тысячелетия до н. э. родовой строй был изжит в наиболее развитых обществах, и первобытные общества подошли к эпохе цивилизаций. На таком фоне исторического развития народов и возникли первоначальные математические понятия числа и фигуры. Непосредственных свидетельств их возникновения и развития не сохранилось. Поэтому мы обращаемся к косвенным свидетельствам. Для составления полной картины математической культуры любого народа следует изучить все этапы ее развития, начиная с дописьменного периода. Для этого используются материалы археологии, этнографии, сравнительного языкознания, фольклора. С возникновением живописи и письменности появляется возможность передать при помощи картины или знаков то или иное содержание. До нас дошли древние папирусы (Египет), глиняные таблички (Вавилон), дощечки из бамбука (Индия, Китай) с древними текстами и др. Бумага была изобретена в I веке до н. э. в Китае. Сопоставляя сведения, полученные из этих источников, можно приблизительно восстановить картину того, как считали наши далекие предки, как они оценивали величины при помощи чисел. Первоначальные математические понятия взяты из практики, из наблюдений за окружающими предметами. Ф. Энгельс пишет: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло в голове из чистого мышления». С конкретными геометрическими фигурами человек столкнулся в своей трудовой деятельности. Еще в эпоху, когда люди пользовались каменными орудиями труда, они придавали им некоторую форму: треугольников, трапеций. Художники земледельческих обществ уже не только копировали природу, а изображали ее в символах и орнаменте. Ломаная или волнистая линия обозначала воду, треугольник – плодородие, окружающий мир представлялся в виде ромба, ориентированного по сторонам света. Дальнейший толчок развитию геометрических представлений дали ремесла: изготовление сосудов, одежды, постройка зданий и др. Особенно сильное влияние оказало земледелие. Тогда задачи проведения границ участков, определения длин и площадей сделались жизненно востребованными. «Число» и «фигура», исторически первые понятия математики, и в наше время лежат в основе всех математических знаний. Другие математические понятия – «площадь», «объем» и другие абстракции пространственных свойств предметов – сформировались аналогично в результате длительного исторического развития и возникли из повседневной практической деятельности людей. Таким образом, в период зарождения математики происходит накопление фактического материала математики в рамках общей неразделенной науки. Формируются первичные представления о натуральных и дробных числах, геометрических фигурах и телах. Вырабатываются методы решения простейших прикладных задач. Период включает в себя математику Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Индии и Китая. Заканчивается в Древней Греции. �Содержание 1.3. Период элементарной математики Контрольные вопросы 1. Какова протяженность периода элементарной математики в истории математики? 2. Охарактеризуйте период элементарной математики. Теоретические сведения От VI–V вв. до н. э. до конца XVI в. н. э. длился период элементарной математики или период математики постоянных величин. Как известно, математика условно может быть разделена на две части: элементарную и высшую. В переводе с английского языка словосочетание «Elementary mathematics» означает «Fundamental mathematics». Из чего следует понимание словосочетания «элементарная математика» как названия той части математики, которая изучает исходные, первичные, фундаментальные понятия математики. То есть «элементарная математика» рассматривается как некоторый «математический фундамент», на котором и построено здание всей математики. Начало рассматриваемого периода развития математики (греческая, эллинистическая и римская математика) относится к эпохе рабовладельческого общества, вторая же половина – к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Западной Европе); впрочем, как известно, феодализм в разных регионах приобретает существенно различные формы и развивается неравномерно (сказанное относится и к рабовладению). После бурного расцвета греческой и эллинистической математики в условиях краха Римской империи приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехническими сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных геодезических работах и более практическими тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона математики. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений, способов определения площадей и объемов возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создаётся систематическое учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у Диофанта (вероятно, III в.) и более систематически – в Индии в VII в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в XVI в. Ф. Виетом. Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической. �Содержание В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской математики оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (XV–XVI вв.) быстро возрастают запросы к математике со стороны инженеров, строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми задач и более смелое развитие теории. Период элементарной математики заканчивается в Западной Европе в начале XVII в., когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин. Естественно, что этот переход был подготовлен предшествующим развитием математики. Еще в математике древнего мира на материале изучения тригонометрических функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Таким образом, в период элементарной математики математика превращается в строгую дедуктивную науку. Включает в себя математику Древней Греции, эллинистических стран, средневекового Китая и Индии, стран ислама, средневековой Европы и Эпохи Возрождения. Характерной особенностью этого периода является то, что добытые человечеством практические сведения из области математики получают свое теоретическое обоснование. В этот период постепенно оформляются основные разделы элементарной математики: арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия. �Содержание 1.4. Период математики переменных величин Контрольные вопросы 1. Какова протяженность периода математики переменных величин в истории математики? 2. Охарактеризуйте период математики переменных величин. 3. Вклад каких ученых наиболее значим для становления периода математики переменных величин? Теоретические сведения Период математики переменных величин длился от начала XVII в. до середины XIX в. Он отличается введением в математику функций и их изучением. Введение переменных величин в геометрию приводит к созданию аналитической геометрии. Для изучения функциональных зависимостей создается дифференциальное и интегральное исчисление. В этот период складываются почти все научные дисциплины в качестве классической основы современной математики. Поэтому его называют также «периодом высшей математики». Условно XVII–XVIII века называют Новым временем. В Европе в это время укреплялся новый общественный строй – капитализм. Новое время было и эпохой научной революции. Прежде всего, изменилась концепция мира в целом. В трудах Коперника, Кеплера утвердилась и усовершенствовалась гелиоцентрическая система мира. Благодаря Галилею оформилась новая механика. Наиболее заметных достижений достигла оптика благодаря открытию зрительной трубы, телескопа, микроскопа. Были изобретены часы с маятником, барометр, термометр. Открытие научных приборов и их совершенствование расширило возможности и точность научных измерений. В XVII веке в развитии математики было сделано столько, сколько не было сделано со времен античности. Математические исследования расширились, возникли новые разделы науки. Создание аналитической геометрии и анализа произвело в математике подлинную революцию. К концу XVI в. математика складывалась из арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Была введена удобная десятичная запись чисел, до высокой степени доведена техника вычислений. Но это была по преимуществу математикой постоянных величин. В XVII веке в физико-математической картине мира на первое место выдвигались законы, которые представляли собой аналитически выраженные функциональные зависимости между совместно изменяющимися величинами. Вспомним открытую Кеплером зависимость интенсивности света от расстояния до его источника, закон Галилея о движении тел в пустоте, закон Торричелли, закон Бойля-Мариотта, закон Гука о растяжении пружины и др. Таким образом, преобладающее значение в разработке физики приобрело измерение величин, поиск законов, выражающихся формулами алгебры. Отныне математика переходит к исследованию переменных величин и функций, как аналогов механического движения и любого количественного изменения вообще. Ф. Энгельс характеризовал революцию в математике XVII в. следующим образом: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и, благодаря этому же, стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление». Построение нового анализа функций как системы алгоритмов оказалось главной целью и главным достижением новой математики. Развитие математики происходило неравномерно в различных странах. �Содержание В Италии, где работали Галилей, Кавальери, Торричелли, из-за разгула религиозной реакции, произошел спад научных исследований. Наиболее передовыми стали страны: Англия (где работали Непер, Валлис, Барроу, Ньютон), Франция (Декарт, Ферма, Паскаль, Дезарг), Голландия (Стевин, Жирар, Гюйгенс). В тесном взаимодействии математики и смежных наук вырабатывались методы бесконечно малых (инфинитезималъные методы). Для создания исчисления бесконечно малых в математике XVII в, сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры, введение в математику переменных величин, усвоение метода неделимых древних греков, идей Архимеда, накопление методов решения задач на вычисление площадей и объемов, нахождения касательных и экстремумов. В создании анализа бесконечно малых принимали участие многие ученые, начиная от Кеплера и Галилея. Новый мощный толчок развитию всей математики сообщил Рене Декарт (1596–1650), выдающийся французский философ, математик, физик и физиолог. Декарт искал общий метод мышления, который позволял бы делать открытия и выявлять истину в науках. Единственной наукой о природе, обладавшей систематическим изложением, была тогда механика, которая основывалась на математике. Все явления природы Декарт трактовал как перемещения делимых и подвижных частей трехмерно протяженной материи. По мнению Декарта, математика должна была стать наиболее важным средством для понимания мира. Свою новую математику Декарт называл всеобщей. Ее изложение содержится в единственном печатном труде по математике – «Геометрия» (1637). «Геометрия» являлась настольной книгой всех творческих математиков. Тем не менее, она не является трактатом по геометрии. Значительную ее часть составляет теория алгебраических уравнений. Заслуга Декарта в том, что он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала XVII в. к геометрии греков. Это явилось началом современной аналитической геометрии. В «Геометрии» Декарт впервые ввел понятие переменной величины и функции. Для представления общей непрерывной величины Декарт пользовался геометрией. Он построил исчисление отрезков: представлял любые величины и составленные из них выражения отрезками, в отличие от геометрической алгебры греков. Отрезки обозначались буквами: данные – начальными буквами алфавита a, b, c и т. д. неопределенные количества – последними буквами х, у, z и т. д. Все задачи математики, по Декарту, могут быть выражены с помощью уравнений. Единственный общий метод решения уравнений – построение их корней, как отрезков – координат точек пересечения некоторых плоских кривых. Координаты появились еще в древности, например, широта и долгота в «Географии» Птолемея. Другой вид координат – отрезки, зависимости между которыми («симптомы») выражали определяющие свойства этих кривых. Слово «координаты» ввел Лейбниц только в 1692 г. В «Геометрии» Декарта нет «декартовых осей», не выведены уравнения прямой линии и конических сечений. Он чертил только одну ось с начальной точкой и указывал направление других координат; вообще говоря, наклонных. Отрицательные абсциссы не рассматривались. Хотя Декарт их истолковывал как противоположно направленные отрезки. «Истинные» (действительные) корни он подразделял на «явные» (положительные) и «неявные» или «ложные» (отрицательные). Также у него существовали «воображаемые» корни, как недействительные корни, которые можно вообразить себе в числе, требуемом для справедливости основной теоремы алгебры. Декарт также первым описал алгебраический способ построения касательных и нормалей к кривым. �Содержание При этом он пользовался еще одним важным методом – «методом неопределенных коэффициентов» для многочленов. Среди открытий Декарта заслуживают внимания также вычисление площади циклоиды по методу неделимых и построение к ней касательных. Он знал также открытое позднее Эйлером соотношение между числами граней, вершин и ребер выпуклых многогранников. С именем Декарта связаны такие понятия, как декартовы координаты, произведение, парабола, лист, овал и др. Его «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики, и около 150 лет алгебра и геометрия развивались в направлениях, указанных Декартом. Несколько ближе к современной аналитической геометрии подошел Пьер Ферма (1601–1665), юрист из Тулузы. Он стал разносторонним математиком: вместе с Декартом явился создателем аналитической геометрии, вместе с Паскалем заложил основы теории вероятностей, создал новый метод касательных и экстремумов. Ферма может считаться основоположником алгебраической теории чисел. Его результаты дошли до нас в разрозненном виде. Он писал мало и сжато, не публиковался. Некоторые теоретико-числовые результаты дошли лишь в виде проблем, без доказательств. Трактат «Введение в изучение плоских и телесных мест» (1636) содержит начала аналитической геометрии Ферма. Он формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место, и конец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для установления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин». Во «Введении» впервые встречаются уравнения для прямых линий и конических сечений относительно системы перпендикулярных осей. Ферма возродил метод интегральных сумм. Вычислял также кубатуры и определял центры тяжести тел вращения. Большое значение для становления дифференциального исчисления имело предложенное Ферма правило нахождения экстремумов. В сочинении «Метод отыскания максимумов и минимумов» (1638) Ферма изобрел прием, пригодный для нахождения экстремумов и касательных. Это правило совпадает с известным теперь необходимым условием экстремума дифференцируемой функции: f '(x) = 0. В XVII в. перед естествознанием возникла новая проблема – найти законы движения. Для этого аппарат математики постоянных величин был недостаточным. Работы Кавальери, Декарта, Валлиса, Гюйгенса, Паскаля и др. подготовили все для построения дифференциального и интегрального исчисления. Они действительно появились в работах Ньютона и Лейбница и стали могучим средством решения новых задач. О том, что они опирались на труды предыдущих поколений математиков, Ньютон сказал: «Я сделал так много потому, что стоял на плечах гигантов». Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия. Установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл свои методы анализа (1665–1666), а Лейбниц позже (1673–1676), но Лейбниц первым выступил в печати (Лейбниц в 1684–1686 гг., Ньютон в 1704–1736 гг.). Гениальный английский ученый, основоположник современной механики, создатель математики непрерывных процессов Исаак Ньютон (1643–1727) в 1665–1666 гг. открыл свой общий метод анализа, который назвал «теорией флюксий». Первое систематическое изложение этой теории дано в рукописи «Следующие предложения достаточны, чтобы решать задачи с помощью движения» (1666). Данный Ньютоном метод флюксий имел впоследствии огромное значение для всего анализа. К 1665– �Содержание 1666 годам относится открытие дифференцирования и интегрирования. Ньютоном взаимно обратного характера операций В понятиях и терминологии метода флюксий с полной отчётливостью отразилась глубокая связь математических и механических исследований Ньютона. Понятие непрерывной математической величины Ньютон вводит как абстракцию от различных видов непрерывного механического движения. Линии производятся движением точек, поверхности – движением линий, тела – поверхностей, углы – вращением сторон и т. д. Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo – теку). Общим аргументом текущих величин – флюент – является у Ньютона «абсолютное время», к которому отнесены прочие, зависимые переменные. Скорости изменения флюент Ньютон назвал флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – «моментами» (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла). Изложение анализа Ньютона имеет механическую основу. Текущие переменные величины изменяются в зависимости от времени – «флюенты». Скорости, с которыми каждая флюента изменяется при движении – «флюксии». Ньютоном были поставлены в терминах метода флюксий две главные проблемы анализа: – по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями (задача дифференцирования функций, зависящих от «времени»); – по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами (задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка). Однако его способ не был вполне определенным. Бесконечно малое количество было определено нестрого: в одних случаях им пренебрегали, отбрасывали, в других случаях на него делили, то есть считали ненулевым. Разработанная Ньютоном теория флюксий дала начало дифференциальному и интегральному исчислениям в том виде, в котором мы их знаем сегодня. С именем Ньютона связано решение многих взаимосвязанных задач математики и физики. Он рассматривал математику только как способ для физических исследований. Его основной труд «Математические начала натуральной философии» (1687) насквозь проникнут духом новых исчислений, он показывает все могущество этих исчислений в изучении законов природы. В этой работе он свел все известные до него и все найденные им самим сведения о движении и силе в одну дедуктивную систему земной и небесной механики. В этом же труде Ньютон впервые разработал общую теорию предельных переходов под названием «метода первых и последних отношений». Здесь вводится и сам термин «предел» (limes). Определение понятию предела не дается, метод пределов излагается в 12 леммах. Вклад Ньютона в математику не исчерпывается созданием анализа. Его «Универсальная арифметика» становится одним из первых учебников Нового времени по арифметике, алгебре и применению алгебры к геометрическим задачам. В алгебре ему принадлежат метод численного решения алгебраических уравнений (метод Ньютона), важные теоремы о симметрических функциях корней алгебраических уравнений (формулы Ньютона), об отделении корней. В сочинении «Всеобщая арифметика» (1707) Ньютон развил учение о числе, дал определение числа: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какойнибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной �Содержание долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей». Недостатки аналитических методов Ньютона вызывали нападки на теорию флюксий. Эти недоразумения были устранены лишь после четкого установления современного понятия предела. Великий немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) – один из основоположников математического анализа. Родился в Лейпциге. Окончил юридический факультет Лейпцигского университета. Состоял на юридической и дипломатической службе и выезжал в Париж. Творческая математическая деятельность началась тогда, когда он познакомился с Гюйгенсом и под его руководством изучал работы Галилея, Декарта, Ферма, Паскаля и самого Гюйгенса. В 1700 г. организовал Академию наук в Берлине и стал ее первым президентом. Способствовал открытию академий наук в Вене и Петербурге. Встречался с Петром I, работал над проектом организации образования в России. Лейбниц нашел свое новое исчисление в 1673–1676 гг. под влиянием Гюйгенса, в ходе изучения работ Декарта и Паскаля. Он знал, что Ньютон обладал подобным методом. Но подход Ньютона был механическим, а подход Лейбница – геометрическим. При этом он исходил не из квадратуры кривых, как Ньютон, а из проблемы касательных. Рассматривал «характеристический треугольник» (dx, dy, dz), который уже встречался у Паскаля. Прежние частные и разрозненные приемы Лейбниц свел в единую систему взаимосвязанных понятий анализа, что позволило производить действия с бесконечно малыми по определенному алгоритму. Впервые анализ в форме Лейбница изложен им в печати в 1684 г. в статье «Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого». В этой статье впервые вводилась современная символика dx, dy, правила дифференцирования произведения и частного, условие dy=0 для точек экстремума, d 2 y  0 для точек перегиба. Разъяснения анализа Лейбница страдали той же неопределенностью, что и у Ньютона. Иногда dx, dy были конечными величинами, иногда меньше любого определенного количества и все-таки не нули. В 1686 г. вышла следующая статья «О скрытой геометрии ...» с правилами интегрального исчисления. В ней содержался символ  , который Лейбниц называл «суммой» (термин «интеграл» позже ввел Я. Бернулли). Лейбниц был одним из самых плодовитых изобретателей современных математических символов. Немногие математики так хорошо понимали единство формы и содержания символики. Название «дифференциальное и интегральное исчисление» принадлежит Лейбницу. Он же ввел термины: «функция», «переменная величина», «координаты», «абсцисса», «ордината», «дифференциал», «алгоритм». Благодаря его влиянию стали пользоваться знаками равенства «=» и умножения «•», логической символикой. Математические работы Лейбница не ограничиваются областью анализа. Ученый занимался поиском всеобщего метода для овладения науками. Он искал «всеобщий язык», в котором все ошибки мысли выявились бы как ошибки вычислений. Это привело его к символической логике. Таким образом, Лейбниц считается одним из основоположников математической логики. Лейбниц решил представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Идея построения логики по образцу математических исчислений оказалась исключительно плодотворной. После того как Галилей (1564–1642) ввел в научный оборот понятие о гипотетикодедуктивном методе, Р. Декарт обосновал важность логической дедукции как основного метода научного познания, а картезианцы (сторонники философии Декарта) А. Арно и П. Николь в сочинении �Содержание «Логика, или Искусство мыслить» в систематической форме сформулировали представление о логике как необходимом инструменте всех других наук, Лейбниц обосновал необходимость создания универсального логического языка, который в отличие от естественного языка мог бы точно и однозначно выражать различные понятия и отношения, быть своего рода алгеброй человеческого мышления, позволяющей получать из уже известных истин новые истины путем точных вычислений. Лейбниц сказал: «Единственное средство улучшить наши умозаключения – сделать их, как у математиков, наглядными, так, чтобы свои ошибки находить глазами, и, если среди людей возникнет спор, нужно будет сказать: «Посчитаем, тогда без особых формальностей можно будет увидеть, кто прав». О практическом значении формальной логики Лейбниц говорил так: плохая голова, обладая вспомогательными преимуществами и упражняя их, может перещеголять самую лучшую, подобно тому, как ребенок может провести по линейке линию лучше, чем величайший мастер от руки. По Лейбницу, гениальные умы пошли бы неизмеримо дальше, если бы им придать эти преимущества. Однако вплоть до середины XIX века программа Лейбница не находила признания. Лейбница можно считать идейным вдохновителем современной машинной математики. Он одним из первых сконструировал счетную машину, которая выполняла не только сложение и вычитание, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет Лейбниц посвятил усовершенствованию своего изобретения. Изобрел он и первый интегрирующий механизм. Лейбниц ввел понятие определителя и выдвинул некоторые идеи, касающиеся теории определителей, которые далее развивали Вандермонд, Коши, Гаусс и окончательно разработал К. Якоби. Влияние работ Лейбница на современников оказалось огромным. Он создал собственную математическую школу, в которую входили братья Бернулли, Лопиталь, Эйлер и др. Главным итогом развития математики XVII столетия является создание аппарата математики переменных величин: понятия функции как аналитического выражения и главного средства, исследования функций – алгоритмов исчисления бесконечно малых, развитых до дифференциального и интегрального исчисления. Созданы новые разделы математики: аналитическая геометрия, теория вероятностей, проективная геометрия. Поставлены и решены ряд важных задач теории чисел. Развиты численные методы. Сформулирована основная теорема алгебры. Таким образом, XVIII в. начался новым кризисом в развитии математики. Было создано исчисление, дающее прекрасные результаты в вычислениях, но оно не было подкреплено прочным логическим фундаментом. Одно из названий XVIII века – «Век Просвещения». Научная деятельность в основном сосредоточилась в Парижской, Берлинской, и Петербургской академиях (организована в 1725 г.). Восемнадцатый век характеризуется в математике в основном развитием анализа и его приложений. Крупнейшие математики XVII–XVIII веков после Лейбница вышли из швейцарского города Базеля. В первую очередь, это братья Бернулли, Якоб и Иоганн. Они стали первыми выдающимися учениками Лейбница, совместно с ним создали основы современного дифференциального и интегрального исчисления. Оставили свой след в развитии математики два сына Иоганна: Николай Бернулли (1695– 1726) и Даниил Бернулли (1700–1784). Они некоторое время работали в Петербурге по приглашению Петра I. Гениальный математик, механик, физик, астроном Леонард Эйлер (1707–1783) тоже вышел из Базеля. Его отец, пастор, был учеником Я. Бернулли. Леонард учился у отца и И. Бернулли. Окончил Базельский университет. Был приглашен для работы в недавно организованной Петербургской Академии наук и долгое время работал в ней (1727–1741, 1766–1783), был украшением и славой �Содержание Академии более 50 лет. В 1741–1766 гг. работал в Берлине, но не порвал связи с Петербургом. Он продолжал помогать в подготовке русских математиков. Его статьи на латинском языке появлялись без перерыва в печатном органе Академии («Комментарии Петербургской Академии наук»), начиная со 2го тома за 1727 г. до самой смерти и еще 43 года спустя. Россия стала его второй родиной. Похоронен в Санкт-Петербурге. Эйлеру принадлежат заметные результаты во всех областях математики и ее приложений, существовавших в его время. Он заложил основы многих математических дисциплин. Среди всех ученых Эйлер выделялся фантастической продуктивностью и невероятной интуицией. В 1735 г. он ослеп на один глаз, в 1766 г. почти полностью потерял зрение, но ничто не могло ослабить его трудоспособность. Слепой Эйлер, пользуясь феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. Написал 886 работ. 550 его книг и статей опубликованы при жизни, остальные в течение 47 лет после смерти. В 1909–1975 гг. в Швейцарии издавалось Полное собрание сочинений Эйлера, состоящее из 72 томов. Многочисленные открытия Эйлера по математическому анализу, сделанные им за 30 лет и напечатанные в различных академических изданиях, были объединены в одном произведении – двухтомном «Введении в анализ бесконечных» (1748). Оно было посвящено свойствам рациональных и трансцендентных функций, исследованию кривых и поверхностей. В этом труде содержится изложение нынешней тригонометрии с ее определениями и обозначениями и теории рядов. Впервые вводится понятие функции комплексного переменного. Приводится известная формула Эйлера, связывающая показательные и тригонометрические функции e ix  cos x  i sin x , разложения в степенной ряд функций eх, sinx, cosx. Здесь впервые вводятся углы Эйлера, играющие в математике и механике важную роль. Затем вышел трактат в 4-х томах. Первый том, «Дифференциальное исчисление» (1755), был издан в Берлине, остальные три тома «Интегрального исчисления» (1768–1770) – в Петербурге. В последнем томе рассматривалось вариационное исчисление, созданное Эйлером и Лагранжем. Все эти книги служили основными руководствами для математиков. Они выгодно отличались от «Начал» Евклида и от «Принципов» Ньютона. Возведя стройное здание математического анализа от самого фундамента, Эйлер не убрал те леса и лестницы, по которым он сам карабкался к своим открытиям. Многие красивые догадки и начальные идеи доказательств сохранены в тексте, несмотря на содержащиеся в них ошибки – в поучение всем наследникам эйлеровой мысли. «Изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить», – сказал великий немецкий математик Гаусс. Эйлер посвятил ряд работ алгебре и теории чисел. Работа «Элементы алгебры» (1768) вышла на русском, немецком и французском языках. Ученый положил начало аналитическому методу в теории чисел. Всего теории чисел посвящены более 140 его работ: известны функция Эйлера, закон квадратичной взаимности Эйлера и др. Эйлер был одним из творцов современной дифференциальной геометрии. Ему же принадлежит доказательство топологической теоремы о соотношении между числом вершин, граней и ребер многогранника: V+F=E+2. Почти во всех областях математики и ее приложений встречается имя Эйлера: теоремы, тождества, постоянные, углы, функции, интегралы, формулы, уравнения, подстановки. Большая часть работ Эйлера посвящена вопросам приложений математики в физике, механике, астрономии. Ученый оказал огромное влияние на развитие математического образования в России. �Содержание Эйлер считается основоположником не только Петербургской математической школы, но также первой в России методико-математической школы. Первые учебники математики, изданные на русском языке, были написаны Эйлером. Первые русские академики по математике были учениками Эйлера (С.К. Котельников, С.Я. Румовский, Н.И. Фусс, М.Е. Головин и др.). Математическая школа Эйлера под его руководством провела огромную просветительскую работу, создала замечательную для своего времени учебную литературу. Влияние Эйлера на все дальнейшее развитие математики бесспорно, «Читайте Эйлера, это наш общий учитель», – скачал великий французский математик Лаплас. Ведущим математиком французских энциклопедистов был Жан Лерон Даламбер (1717–1783), математик, механик, философ, член Парижской Академии наук. Основные работы относятся к динамике, статике, гидродинамике, аэродинамике. Усовершенствованием исчисления бесконечно малых занимался Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), французский математик и механик. Он пытался обосновать строго теорию пределов, исключить недостатки анализа Ньютона, Лейбница и Даламбера. Но его алгебраический метод обоснований анализа оказался неудовлетворительным. Работы Лагранжа и Эйлера легли в основу нового раздела математического анализа – вариационного исчисления. Причем Эйлер часто признавал преимущества методов Лагранжа над своими. В «Размышлениях об алгебраическом решении уравнений» (1770) Лагранж исследовал проблему о возможности решения уравнений выше четвертой степени. Они повлияли в дальнейшем на Галуа и Абеля, которые решили эти проблемы. В Париже Лагранж издал свои курсы математического анализа в двух частях: «Теория аналитических функций» (1797) и «Лекции по исчислению функций» (1801–1806). Дал формулу остаточного члена ряда Тейлора, формулу конечных приращений и интерполяционную формулу. Ввел тройные интегралы. Разработал метод вариации произвольных постоянных. Использовал функции комплексной переменной для решения задач гидродинамики. В 1788 г. опубликовал «Аналитическую механику», в которой создал классическую механику в виде учения об общих дифференциальных уравнениях движения материальных систем. Таким образом, Лагранж заменил геометрический подход Ньютона к механике аналитическим подходом. Пьер Симон Лаплас (1749–1827), французский математик, физик и астроном, – последний ведущий математик XVIII века. Ему принадлежат фундаментальные работы по математике, экспериментальной и математической физике, небесной механике. Основная математическая работа Лапласа – «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Она включает все то, что составляет современный курс теории вероятностей. К концу XVIII века некоторые ведущие математики высказывались, что область математических исследований истощена, что все уже открыто и изложено. �Содержание 1.5. Период современной математики Контрольные вопросы 1. Какова протяженность периода современной математики в истории математики? 2. Охарактеризуйте период современной математики. 3. Вклад каких ученых наиболее значим для становления периода современной математики? 4. Какие современные награды выдающихся математиков существуют? Теоретические сведения Период современной математики отсчитывается примерно с середины XIX века по настоящее время. Начало этому периоду положило открытие неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевским (1826), которое радикально изменило существовавшие воззрения на характер геометрических понятий математического пространства вообще, что привело к неограниченному разнообразию геометрических пространств. Создание функционального пространства, изучающего пространства функций. Качественно изменилась и алгебра: стали рассматриваться различные операции не только над числами, но и над объектами другой природы (векторами, кватернионами, матрицами, логическими высказываниями и т. д.), что привело к необходимости исследовать общие свойства алгебраических операций в произвольных множествах. Возникают алгебраические структуры, ставшие в дальнейшем основным предметом изучения алгебры. Глубокие сдвиги произошли и в области математического анализа, что выразилось в критическом пересмотре основных понятий анализа, начиная с понятия действительного числа, понятий «предел функции», «непрерывность», «производная», «интеграл». Появилась теория точечных множеств, охватившая в дальнейшем с единой точки зрения области математики, казавшиеся весьма отдаленными друг от друга. Все эти изменения привели математику к современному ее состоянию. К нему привел критический пересмотр проблем оснований математики. Появляются многие новые математические теории и расширяются ее приложения. Создаются теоретико-групповые методы в алгебре, неевклидовы геометрии. Математический анализ перестраивается на основе строгого определения действительного числа и предела. Накопленный в XVII–XVIII вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрической интерпретации комплексных чисел, доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени, создание французским математиком Коши основ теории функций комплексного переменного, работы Коши по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание русским математиком Н.И. Лобачевским (1826, опубликовано в 1829–30) неевклидовой геометрии, работы немецкого математика Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей – вот типичные примеры наметившихся на рубеже XVIII и XIX вв. новых тенденций в развитии математики. Связь математики с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего �Содержание развития самой математики, явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского. Самому Н.И. Лобачевскому удалось применить свою геометрию лишь к вычислению некоторых интегралов. Только в XX в. с созданием теории относительности получило осуществление предположение Н.И. Лобачевского о возможности применения его геометрических идей к исследованию реального физического пространства. Таким образом, как в результате внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания, круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых в математике, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. Такое широкое понимание терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» применимо и на новом современном этапе её развития. В начале XX века происходит качественный скачок в развитии логики и он связан с именем Г. Фреге (1848–1925), который в работе «Исчисление понятий» впервые построил строгое аксиоматическое исчисление высказываний и предикатов, в котором содержались все основные элементы современных логических исчислений, а в своем главном труде «Основные законы арифметики» заложил основы современной логической семантики. С этого времени интенсивно развивается математическая или символическая логика, связанная с именами Дж. Буля, Г. Фреге, П.С. Порецкого и других. В частности, Платоном Сергеевичем Порецким (1846–1907), автором первых в России трудов по математической логике, первым из русских ученых прочитан курс лекций по математической логике. Он занимался проблематикой алгебры высказываний. В 80–90-е годы ХХ века логика находит все более широкое применение в информатике, программировании, исследованиях в области искусственного интеллекта. Основная тема логики – анализ правильных рассуждений, формализация законов и принципов, соблюдение которых является необходимым условием получения в процессе логического вывода истинных заключений из истинных посылок. Правильность рассуждения определяется только его логической формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него символов. В таком рассуждении заключение вытекает из посылок в силу некоторого общего правила, логического закона. Современная логика как единая наука слагается из множества более или менее общих логических теорий. В этом аспекте единство логики проявляется в том, что входящие в нее отдельные «логики» имеют ряд общих принципиальных особенностей. Для каждого конкретного исчисления важное значение имеет вопрос о его непротиворечивости, полноте, разрешимости и т. д. Основными разделами современной логики являются: логика высказываний, логика предикатов, металогика (разделяющаяся в свою очередь на три части: логическую семантику, логический синтаксис, логическую прагматику). В зависимости от признания или отрицания тех или иных фундаментальных логических принципов (принципа исключенного третьего, принципа взаимозаменимости и др.) в каждом разделе имеются логические теории классического направления, в своей совокупности образующих современную классическую логику, и теории неклассического направления (многозначная логика, интуиционистская логика, паранепротиворечивая логика и др.), в своей совокупности образующие современную неклассическую логику. Многие вопросы, которыми занималась традиционная логика, получили новое – более глубокое и точное освещение в символической логике. Символическая логика значительно расширила сферу логического, открыв новые формы рассуждений и новые виды логических связей. Вместе с тем, �Содержание существует принципиальное различие между традиционной и символической логикой в подходе к анализу человеческого рассуждения: традиционная логика анализирует мышление, а символическая логика исследует язык, его смысловое содержание. Именно поэтому традиционная логика описывает понятия и суждения как формы мысли, а символическая логика предпочитает говорить о терминах и высказываниях языка. В настоящее время в качестве самостоятельных логических дисциплин развиваются: формальная логика; математическая или символическая логика; диалектическая логика. Важная сфера применения логики – создание новых систем искусственного интеллекта. На протяжении своей многовековой истории логика выполняла важные мировоззренческие, методологические и практические функции. Таковой она остается и поныне, оказывая явное или скрытое влияние на самые разнообразные сферы человеческой деятельности. Изучение логики развивает ясность и четкость мышления, способность предельно уточнять предмет мысли, внимательность, аккуратность, обстоятельность, убедительность в суждениях. Овладевший знанием и навыками логического мышления всегда понятен в изложении своих мыслей окружающим, исключает всякую расплывчатость в деловом разговоре, неоднозначность в составлении деловых бумаг, бессистемность в обработке информации. Он способен быстро находить рациональное зерно даже в сбивчивой чужой речи, оценивать доказательную силу высказываний в споре, дискуссии, находить кратчайшие и правильные пути исправления ошибок. Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в XIX в. усиленное внимание к вопросам её «обоснования», т. е. критического пересмотра её исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических приёмов, употребляемых при этих доказательствах. Важность такого рода работы становится особенно понятной, если учесть то, что было выше сказано об изменившемся характере взаимоотношений между развитием математической теории и её проверкой на практическом материале, доставляемом естествознанием и техникой. При построении обширных и иногда весьма абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных случаев, которые привели к их созданию, огромный материал, получающий конкретные применения лишь в перспективе десятилетий, ждать непосредственных сигналов о недостаточной корректности теории в форме зарегистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого приходится обратиться ко всему накопленному опыту работы человеческой мысли, который как раз и суммируется в вырабатываемых постепенно наукой требованиях к «строгости» доказательств. В соответствии с этим работы по строгому обоснованию тех или иных отделов математики справедливо занимают значительное место в математике XIX и XX вв. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приемов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников (даже чисто практического характера). Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практических потребностей математической теории запаздывает. Так в течение долгого времени уже на рубеже XIX и XX вв. было с операционным исчислением, получившим весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически безупречное изложение математической теории вероятностей. Только к концу XIX в. сложился стандарт требований к логической строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой некоторыми отношениями. Все �Содержание формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при ее развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах, свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние. Из указанных требований, в частности, вытекает, что математическая теория, применимая к какой-либо системе объектов, применима автоматически и к любой «изоморфной» системе. Заметим по этому поводу, что кажущееся иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является просто математическим выражением идеи «моделирования» физических явлений из какой-либо одной области физическими явлениями иной природы. Таким образом, в первой половине XX в. возникла концепция аксиоматического построения всей математики. Была аксиоматизирована алгебра, элементарная геометрия, теория вероятностей, топология, теория меры и др. В конце тридцатых годов группа французских математиков объединилась, чтобы построить всю математику на аксиоматической основе. Результатом их деятельности стал многотомный трактат «Элементы математики», изданный под псевдонимом Никола Бурбаки. Фундаментом являлась теория множеств. Эта попытка осталась незавершенной. Тем не менее, их работа имела большое значение для развития математики. По крайней мере, был создан язык, на котором математики понимают друг друга. Войны XX века разорвали международные научные связи. После 1945 г. они быстро восстановились. В 1950 г. собрался первый послевоенный Международный математический конгресс в США (Гарвард). С тех пор конгрессы собирались регулярно. Во второй половине XX столетия математика приобрела характер истинно интернациональной науки. Начала осуществляться мысль Гильберта о том, что для математика весь культурный мир представляет собой единую страну. Процесс математизации различных наук идет в нарастающем темпе. Теперь можно указать и на нетрадиционные области ее применения: химия, биология, лингвистика, психология, медицина, геология и др. Происходит качественное изменение самой математики. Понятие предмета математики приобретает все более глубокое содержание. В настоящее время одной из самых престижных наград в математике является Филдсовская премия (и медаль). Премия и медаль названы в честь Джона Филдса, который будучи президентом VII международного математического конгресса, проходившего в 1924 году в Торонто, предложил на каждом следующем конгрессе награждать двух математиков золотой медалью в знак признания их выдающихся заслуг. Как известно, Нобелевская премия математикам не вручается, поэтому Филдсовскую премию часто называют «Нобелевской премией для математиков». С другой стороны, между двумя премиями есть и существенные различия: Филдсовская премия присуждается раз в 4 года, а Нобелевская – в каждой области ежегодно; Филдсовская премия присуждается только математикам не старше 40 лет (точнее, математик должен достигать своего 40-летия не раньше 1 января того года, когда вручается премия), а Нобелевская – лауреатам любого возраста; Филдсовская премия присуждается за общий вклад в математику, а Нобелевские премии – за конкретные результаты; �Содержание Филдсовская премия предполагает выплату денежной премии на несколько порядков ниже, чем Нобелевская премия. Возрастное ограничение продиктовано пожеланием Филдса: помимо того, что отмечает проделанную работу, она (премия), в то же время, должна служить поощрением к дальнейшим достижениям удостоившихся премии и стимулом к новым усилиям остальных. Филдсовская медаль изготовляется из 14-картного золота (583 пробы). На лицевой стороне – надпись на латыни: «Transire suum pectus mundoque potiri» («Превзойти свою человеческую ограниченность и покорить Вселенную») и изображение Архимеда. А на обороте: «Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere» («Математики, собравшиеся со всего света, вручили [эту награду] за выдающиеся труды») (см. рис. 1.). Рис.1. Филдсовская медаль Первые две медали были вручены в 1936 году на X Конгрессе в Осло. С 1966 года (конгресс в Москве) максимальное число медалей увеличено до четырех за конгресс. В 2002 году (Конгресс в Пекине) было вручено две медали. Среди лауреатов Филдсовской премии большое количество советских и российских математиков: Сергей Петрович Новиков (1970 г.); Григорий Александрович Маргулис (1978 г.); Владимир Гершонович Дринфельд (1990 г.); Ефим Исаакович Зельманов (1994 г.); Максим Львович Концевич (1998 г.); Владимир Александрович Воеводский (2002 г.); Григорий Яковлевич Перельман (2006 г., от медали отказался, за доказательство гипотезы Пуанкаре); �Содержание Андрей Юрьевич Окуньков (2006 г., за достижения, соединяющие теорию вероятностей, теорию представлений и алгебраическую геометрию); Станислав Константинович Смирнов (2010 г., за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике). Ближе к Нобелевской премии по формальным критериям находится учрежденная в 2002 году Абелевская премия, присуждаемая ежегодно и без возрастных ограничений и имеющая размер денежной премии, более близкий к размеру Нобелевской премии. Незадолго до своей смерти норвежский математик Софус Ли, узнав, что Альфред Нобель не планирует присуждать свою премию в области математики, предложил учредить Абелевскую премию. Предполагалось, что первое вручение премии состоится в 1902 году в рамках празднования 100-летия со дня рождения Абеля. Финансировать премию собирался король Норвегии Оскар II. Статус премии и правила награждения составили норвежские математики Людвиг Силов и Карл Штермер. После смерти Ли процесс учреждения премии был приостановлен, а распад союза между Швецией и Норвегией в 1905 году завершил первую попытку создания Абелевской премии. В конце XX–начале XXI веков интерес к концепции премии для выдающихся математиков современности вырос, что привело к созданию рабочей группы по разработке предложений, которые были представлены премьер-министру Норвегии в мае 2001 года. В августе 2001 года правительство Норвегии объявило, что вручение Абелевской премии начнется с 2002 года, когда будет отмечено двухсотлетие со дня рождения Абеля. Впервые премия была вручена 3 июня 2003 года. Среди российский математиков, награжденный Абелевской премией: Михаил Леонидович Громов (2009 г., за революционный вклад в геометрию); Яков Григорьевич Синай (2014 г., за фундаментальный вклад в изучение динамических систем, эргодическую теорию и математическую физику). Имеют место и другие награды выдающихся математиков современности (Премия Пуанкаре, Премия Неванлинны, Премия Гаусса и др.). Во второй половине прошлого века, на фоне бурного развития вычислительной техники и проникновения компьютерных технологий во все области практической и теоретической деятельности людей, ими стали пользоваться и математики. Использование компьютеров налагает отпечаток и на математику. Но пока нет оснований считать его началом нового периода развития математики. Вообще, Н.Я. Виленкин1 говорит о правомерности рассмотрения пятого периода в истории математики, который начинается с середины XX в. Он пишет: «Серьезный толчок расширению области применения математики дало создание во второй половине XX в. быстродействующих вычислительных машин… С помощью таких машин можно решать задачи, о которых раньше невозможно было и мечтать, настолько большой вычислительной работы они. ЭВМ во много раз ускоряет формирование, поиск и обработку информации… Создание быстродействующих вычислительных машин сделало «прикладными» области математики, которые казались раньше весьма далекими от практики. В частности, весьма важно для приложений оказалась математическая логика, возникли новые отрасли математики (теория кодирования, теория информации, теория алгоритмов, теория автоматов), так или иначе связанных с вычислительными машинами. Бурное развитие получила конечная математика, связанная с изучением конечных множеств, почти заново была создана 1 Виленкин Н.Я. Методологические основы математики. Современные основы школьного курса математики. – М., 1980. – С. 19–20. �Содержание вычислительная математика. На многие классические разделы математики пришлось смотреть под иным углом зрения. Все это позволяет говорить о начале нового, пятого периода в развитии математики, периода машинной математики». Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. �Содержание Задания для самостоятельной работы по главе 1 1. Составьте мини-тест для контроля знаний по главе 1. 2. Создайте презентацию по материалу главы 1. 3. Составьте глоссарий по главе 1. 4. Подготовьте исторический экскурс «Периоды в развитии математики». 5. Составьте кроссворд по материалу главы 1. �Содержание Глава 2. История математики древних цивилизаций 2.1. Математика Древнего Египта 2.2. Математика Древнего Вавилона 2.3. Математика Древней Греции 2.4. Математика стран Востока Задания для самостоятельной работы по главе 2 �Содержание 2.1. Математика Древнего Египта Контрольные вопросы 1. Охарактеризуйте основные достижения математики Древнего Египта. 2. По каким памятникам истории мы можем судить об уровне развития математики в Древнем Египте? Опишите их. 3. Какой была система счисления в Древнем Египте? 4. Как записывали числа в Древнем Египте? 5. Как в Древнем Египте производили операции умножения и деления? Приведите примеры. 6. Какие операции египтяне умели выполнять с дробями? Теоретические сведения Первыми древними цивилизациями, от которых до нас дошли истоки, позволяющие судить об их математических познаниях, были египетская и вавилонская. К концу IV тысячелетия до н. э. образуется единое государство Египет во главе с фараоном. В разное время столицами были города Тис, Мемфис, Фивы, Саис. Наиболее известные фараоны Менес (Мина), Хеопс, Эхнатон, Тутмос, Рамсес. Последнее самостоятельное древнеегипетское царство – при фараоне Псамметихе, который в 655 г. до н. э. при помощи греков изгоняет захвативших их ассирийцев и позволяет грекам организовать колонию в Египте. Дальнейшая история Египта – время упадка страны. В 525 г. до н. э. был завоеван персидским царем Камбизом, в 332 г. до н. э. – Александром Македонским. Знаковыми достижениями древнеегипетской цивилизации являются: – изобретение иероглифической письменности (в IV тысячелетии до н. э.); – строительство пирамид (например, пирамида Хеопса, построенная в XXVI в. до н. э., высотой в 146 м., причислялась древними к семи чудесам света); – первый календарь (принятый еще в V тысячелетии до н. э., с продолжительностью года в 365 дней). Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. О состоянии математики в Древнем Египте позволяют судить два дошедших до нас папируса (бумага, сделанная из одноименного растения). Первый папирус известен в истории математики как «папирус Райнда», или «папирус Ахмеса» (рис. 2.). Одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. Найден в 1858 г. и приобретен англичанином Райндом. Расшифрован в 1870 г. Имеет размеры: длина 525 см, ширина 33 см. Содержит 84 задачи. Написан в XVII в. до н. э., но содержит более старый материал. Назван «Наставление, как достигнуть знания всех темных..., всех тайн, которые содержат в себе вещи. Сочинение написано в 33 году в 4 месяце времени вод в царствовании царя Ра-аус. Со старых рукописей времени царя ... Писец Ахмес написал это». �Содержание Рис. 2. Папирус Райнда Второй папирус называют «московским папирусом», он хранится в московском Музее изобразительных искусств имени А.С. Пушкина. Имеет размеры: длина 544 см, ширина 8 см. Содержит 25 задач. Написан XIX в. до н. э. Приобретен в 1888 г. в Луксоре русским египтологом В.С. Голенищевым. Расшифрован в 1927 г. Папирусы были предназначены для преподавания в школе писцов. Роль египетского писца может быть сравнена с ролью бухгалтера в крупной хозяйственной единице. Это был и законовед, и статистик, и вычислитель. Он занимал привилегированное общественное положение. Математика в папирусах излагается как решение задач. Все задачи имеют практическое содержание: о количестве хлеба, о емкости хранилищ, о площади поля и т. п. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна и др. Они группируются не по методам решений, а по темам. Каждая задача решается заново, без каких-либо пояснений, в числах. Числа как таковые, а также методы решения задач еще не являются предметом рассмотрения. Числа записывались в десятичной непозиционной системе счисления. Каждый знак в записи числа повторяется столько раз, сколько в данном числе единиц соответствующего разряда. Записи выполняются справа налево. Единицу обозначали одной вертикальной чертой (мерной палкой), а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели символ, напоминающий по своим очертаниям подкову (путы для стреноживания коров). Множество из десяти подковообразных символов, т. е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки (мерительная веревка для обмера полей); десять силков, т. е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов, т. е. 10000 согнутым пальцем, десять согнутых пальцев, т. е. 100000 – лягушкой и десять лягушек, т. е. 1000000 – фигуркой удивленного человека, число 10000000 обозначалось Солнцем. В итоге древние египтяне могли представлять числа до десятков миллионов. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как . Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, т. к. дало возможность существенно сократить записи. Основные недостатки непозиционных систем нумерации – трудности с изображением произвольно больших чисел и, главное, более сложный, чем в позиционных системах, процесс вычислений. �Содержание (Последнее, правда, облегчалось употреблением счетных досок – абаков, так что изображение чисел было необходимо лишь для конечного результата). Из математических папирусов узнали, как египтяне выполняли четыре арифметических действий над числами (положительными, целыми). Сложение и вычитание (всегда меньшего числа из большего) не представляло для них трудностей. Оно облегчалось из десятичной системой нумерации и проводилось тем же способом, который применяем мы сейчас. Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции – многократного удвоения или раздвоения чисел. Видимо, это связано с сохранением навыков, имевших свои корни в далеком прошлом, когда египтяне пользовались двоичной системой счисления. Выглядели такие расчёты довольно громоздко. Например, для вычисления 13×17 выполнялись операции удвоения и сложения. В первой строке записывали «1» и один из множителей. Во второй и в каждой последующей сроках происходило удвоение элементов предыдущей строки и так происходило до тех пор, пока элемент на первом месте не превосходит второго множителя. 1 13 2 26 4 52 8 104 16 208 Затем суммируют те элементы во втором столбце, которые находятся в одной строке с элементами первого столбца, в сумме равные второму множителю: 13+208=221. Таким образом, 13×17=221. Аналогично выполняли операцию деления: 182:14. В первой строке «1» и делитель. Удвоение происходит до тех пор, пока элемент во втором столбце не начнет превосходить делимое. 1 14 2 28 4 56 8 112 Затем суммируют те элементы в первом столбце, которые находятся в одной строке с элементами второго столбца, в сумме равные делимому: 1+4+8=13. Таким образом, 182:14=13. Отметим, что удвоение и деление пополам как особые арифметические действия сохранялись в западноевропейских учебниках еще в XVIII в. Египтяне умели работать и с дробями. Это были дроби с числителем, равным 1 – аликвотные. Все остальные дроби сводились к суммам аликвотных дробей. Самые простые разложения писцы должны были знать наизусть. Задача разложения дроби в сумму единичных дробей неоднозначна. Каждое такое разложение было найдено эмпирически, а потом канонизировано. Папирус Райнда содержит таблицу, �Содержание в которой приведены разложения дроби вида 2 на основные дроби для всех нечетных n от 5 до 331, n 2 1 1   . Из чего исходили при таком сведении к основным дробям, не ясно (например, 7 4 28 2 1 1 1 1 1 1     ) заменяли суммой , а не суммой ). почему 19 12 76 114 12 57 228 например: В практической жизни такое разложение зачастую играет положительную роль. Например, при решении задачи, в которой требуется разделить 7 хлебов на 8 человек, египтяне использовали 7 1 1 1 1    . Тем самым подразумевая, что каждому достанется хлеба (т. е. нужно 4 8 2 4 8 2 1 хлеба (т.е. нужно 2 хлеба разрезать на 4 части, хлеба разрезать пополам, сделав при этом 4 разреза), 4 1 хлеба (т. е. нужно 1 хлеб разрезать на 8 частей, сделав при этом 7 сделав при этом 6 разрезов) и 8 разложение: разрезов). Таким образом, древнеегипетское решение предполагает 17 разрезов. Если пользоваться современным решением, то, чтобы каждому дать 7 хлеба, нужно каждый из 7 хлебов разрезать 8 8 частей, т.е. сделать 49 разрезов, что является менее рациональным в сравнении с решением древних египтян. Разложение дробей на сумму аликвотных дробей применялось в математике очень долго, даже в средние века. С такими дробями египтяне производили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычислений оставалась очень громоздкой и тяжеловесной. Для записи дробей 1 1 1 2 , , , в Древнем Египте использовали специальные знаки. Для записи дробей 2 3 4 3 египтяне использовали знак , по сути обозначающий часть. Например, . Греческий математик Прокл писал в V в. н. э., что согласно большинству мнений геометрия была впервые открыта в Египте, имела свое происхождение в измерении площадей. Действительно, некоторые задачи египтян имеют геометрическую природу и касаются преимущественно измерений земельных участков соответствующей формы. Площадь треугольника вычислялась правильно: половина произведения основания на высоту. Вычисляются объемы тел, как произведение площади основания на высоту: куба, параллелепипеда, цилиндра. Все они рассматриваются как сосуды для зерна. В папирусе Райнда имеется ряд задач, посвященных вычислению «четырехугольных» и «круглых» амбаров для хлеба. Круглые амбары были близки к цилиндру, покрытому куполом параболической формы. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была правильная формула для объема усеченной пирамиды с квадратным основанием. Важным достижением геометрической науки египтян было относительно точное приближение числа 2 8 1 2 d  π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d S   d   или S  1  d . 9 9 9  d2 . Этому правилу из 50-ой задачи папируса Райнда 4 соответствует значение π 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. Структура самой формулы позволяет лишь предположить, что она была найдена путем Можно сравнить эту формулу с S  r 2   �Содержание  1 эмпирического подбора квадрата со стороной 1  d , приблизительно равновеликого данному  9 кругу. Заметим, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение π=3. Следовательно, в этом отношении египтяне намного опередили другие народы. Формулу площади круга египтяне остроумно применяли к вычислению боковой поверхности конуса. «Египетские треугольники», прямоугольные треугольники с соотношениями сторон 3:4:5, в середине І тысячелетия до н. э. использовались в землемерной практике. С помощью веревки с завязанными на ней на равном расстоянии 12 узлами размечали прямые углы земельных участков. Концы верёвки связывали и затем натягивали её на 3 колышка, оставляя на одной стороне 3 узла, на другой – 4 узла, на третьей – 5 узлов. Гарпедонапты (натягивающие веревку) применяли свои сведения и в строительном деле. Кроме того, египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Рассматривают египтяне и алгебраические задачи, сводящиеся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Пример. Некое количество и его четвертая часть вместе дают 15. Каково количество? Приведем решение египтян: «Считай с 4. От них ты должен взять четверть, а именно 1. Вместе 5». Затем производится деление 15:5=3. И в заключение 4*3=12. Требуемое «количество» равно 12. В этом решении применяется метод, получивший позднее название «правила ложного положения». Он заключается в том, что первоначально в качестве «количества» берут произвольное число. В нашем случае – число 4, для которого легко вычислить четвертую часть. Четыре и четвертая часть 4 вместе дают 5, однако, результат должен равняться 15, следовательно, взятое «количество» нужно еще умножить на 15:5=3. Встречаются задачи, в которых отыскивается отвлеченное число, не связанное с определенным объектом. Оно обозначается специальным иероглифом, обозначающим «кучу» – читается «хау» или «аха» (количество, множество). Поэтому египетскую алгебру иногда называют хау- исчислением. В задачах про "кучу", решаемых единым методом, можно усмотреть зачатки алгебры как науки об уравнениях. Главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Таким образом, математика Древнего Египта представляла собой совокупность знаний, между которыми ещё не существовало чётких границ и они еще не расчленялись на арифметику, алгебру, геометрию. Это были правила для решения конкретных задач, имевших практическое значение. Египетская математика не располагала общими методами. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Многие решения находили методом проб, ощупью, эмпирически. Геометрия у египтян сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной. Однако она сыграла немаловажную роль в становлении математики как науки, хотя уровень развития математики в �Содержание Древнем Египте уступал ее развитию в Вавилоне. �Содержание 2.2. Математика Древнего Вавилона Контрольные вопросы 1. Охарактеризуйте основные достижения в математике Древнего Вавилона. 2. По каким памятникам истории мы можем судить об уровне развития математики в Древнем Вавилоне? 3. Какой была система счисления в Древнем Вавилоне? 4. Как записывали числа в Древнем Вавилоне? 5. Какие операции с числами умели выполнять вавилоняне? Теоретические сведения Культура древнего Двуречья, образованного Тигром и Евфратом, называется вавилонской по имени одного из крупнейших городов этой области. В IV тысячелетии до н. э. на дельтах этих рек возникли шумерские города Ур, Урук, Лагаш. Основа культуры Двуречья была заложена шумерами. Позднее с северо-запада пришли семитские племена, главным городом которых стал Аккад. В середине IV тысячелетия произошло крупное наводнение с большими жертвами, которое послужила основой мифа о Всемирном потопе. В XXIV веке до н. э. шумеры были завоеваны аккадянами, образуется единое государство. Его история знала много раз периоды подъема и упадка. Шумеры как народ исчезают в XVIII в. до н. э. Их история была восстановлена только в новейшее время. В XVIII в. новое царство со столицей в Вавилоне, вблизи нынешнего Багдада, достигает своего расцвета. Царь Хаммурапи присоединяет соседние земли. При нем был разработан свод законов, которые действовали на его территории на протяжении тысячи лет. Этот свод был образцом для законодателей. Однако войны ослабили вавилонское государство и оно было завоевано племенами горцев. Наступил длительный период застоя. В 729 г. Вавилон захватили ассирийцы. Восстановление могущества Вавилона состоялось в VII в. до н .э. при царе Навуходоносоре. Затем в 538 г. до н. э. он был захвачен персами, в 336 г. – Александром Македонским. После его смерти Двуречье становится одной из областей эллинистического государства Селевкидов. В это время усиливается взаимное проникновение и развитие восточной и греческой математики. Известность Вавилона как центра торговли, ремесел и искусств связана с тем, что через него шли водные пути от Персидского залива к предгорьям Кавказа и караванная дорога из Ирана в Египет. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы. Необходимость путешествий заставила наблюдать за небесным сводом. Эти наблюдения привели к первым систематизированным знаниям по астрологии и астрономии. Вавилоняне составили подробную карту звездного неба, первыми установили продолжительность года в 365 дней. Шумеры изобрели клинописное письмо. Основным материалом для письма служили глиняные плитки. На пластинку из мягкой глины наносили знаки, после чего их обжигали, или просто высушивали. Полученные дощечки при бережном обращении могли храниться веками. Много их найдено при археологических раскопках. Датируются они разными веками с XX в. до н. э. по I в. до н. э. Сейчас такие плитки находятся в разных музеях мира. Известно примерно 150 фрагментов с текстами �Содержание математических задач и 200 с числовыми таблицами. Анализ этих математических текстов проводился в 30-х годах ХХ века. Математика на клинописных таблицах в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и т. д. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Много клинописных текстов представляют собой задачи на проценты, на прогрессии, на извлечение квадратного корня, на системы уравнений с двумя неизвестными. Вавилонские тексты задач не содержат каких-либо общих правил, по которым следует решать те или иные задачи. Дело ограничивается показом решений большого количества однотипных задач. То обстоятельство, что вавилонские задачи подобраны по типам, говорит о том, что вавилонский вычислитель владел арифметическими рассуждениями и пытался придать им вид системы. В Вавилоне мы впервые встречаемся с последовательной позиционной нумерацией. Числовое значение одного и того же знака определялось не только его формой, но и положением, которое он занимал в записи числа. Вавилонская система счисления является комбинацией шестидесятеричной и десятичной систем с применением позиционного принципа. Нумерация использует только два клинописных знака: вертикальный клин ▼– для обозначения 1 и горизонтальный клин ◄ – для 10. Числа от 1 до 59 записываются при помощи этих знаков, повторяя необходимое количество соответствующих клиньев. Например, число 23 записывалось как ◄◄▼▼▼. Число 60 снова записывалось с помощью вертикального клина ▼. Например, 83 записывали как ▼◄◄▼▼▼. Но эта же запись могла 23 обозначать 1  23  60 1  1 или, например, 60 2  23  3623 и вообще 60 k  23  60 k1 , k1  k – целые 60 числа. Такая неоднозначность записи объяснялась тем, что у вавилонян не было нуля. Около 1700 г. до н. э. не встречается никакого символа для обозначения нуля; таким образом, численное значение, которое придавалось символу, зависело от условий задачи (предполагалось в зависимости от контекста), и один и тот же символ мог обозначать 1, 60, 3600 или даже 1/60, 1/3600. Хотя в эпоху Селиквидов появился специальный разделительный знак , который ставился, если в середине числа был пропущен шестидесятеричный разряд, но в конце числа этот знак никогда не ставился. Концевой нуль, который позволял различать, например, обозначения для 1 и 60, у вавилонян отсутствовал. Только Птолемей во II в. н. э. при вычислениях в шестидесятеричной системе пользуется знаком «0» для обозначения отсутствующих разрядов как в середине, так и в конце числа (0, омикрон – первая буква греческого слова ovden – ничто). Неудобства, связанные с отсутствием нуля, искупались до некоторой степени тем, что вавилоняне имели возможность сразу единообразным способом записывать и целые числа и шестидесятеричные 1 дроби – дроби вида , где n – натуральное число. 60n Шестидесятеричные дроби удобны для использования на практике, т. к. число 60 имеет много делителей: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, т. е. легче находятся различные доли от числа. Удобство вычислений в шестидесятеричной системе сделало ее популярной у греческих астрономов. �Содержание Как шестидесятеричная система, так и позиционность системы счисления оказались прочным достоянием человечества. Наше современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к шумерам, ровно как и наше деление окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Есть основания полагать, что выбор в качестве основания числа 60 вместо 10 появился при попытке унифицировать системы измерения, а также то, что число 60 имеет много делителей и несложно находить половину, третью, четвертую, пятую, шестую, десятую, двенадцатую, пятнадцатую, двадцатую, тридцатую части от целого. Операции сложения и вычитания производились так же, как это делается в десятичной позиционной системе счисления. Для умножения существовал обширный набор таблиц. Однако умножение шестидесятеричных чисел представлялось громоздкими таблицами умножения. Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения, таблицы обратных величин, при помощи которых деление чисел сводилось к умножению. Чтобы разделить число М на N, вавилоняне 1 брали число, обратное числу N, т. е. N ' , и умножали М на N ' . N Кроме того, имели место таблицы квадратов, кубов чисел, квадратных корней из чисел и др. В простейших случаях при извлечении квадратного корня вавилонские вычислители прибегали к таким  таблицам, а в более сложных случаях использовали правило a 2    a  . Это, разумеется, лишь 2a грубо приближенная формула. Возможно, она была выведена эмпирическим путем для случаев, когда   мало. Видимо, вавилонянам была известна и приближенная формула a 2    a  . 2a a Количество таких таблиц позволяет сделать предположение, что они применялись для преподавания, в Вавилоне должны были быть школы. Наличие таблиц чисел вида n 3  n 2 говорит нам о том, что вавилоняне умели решать кубические 3 2 уравнения вида x  x  c . Таких таблиц было гораздо меньше, видимо, их применяли уже только в специальных случаях. Вавилоняне умели решать квадратные уравнения около 2000 лет до н. э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неясно, каким образом вавилоняне дошли до этого правила. Почти все известные клинописные тексты содержат только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. В клинописных текстах встречаются задачи, приводящиеся к системе двух уравнений, из которых одно линейное, а другое – второй степени. Например, «Площадь фигуры, состоящая из суммы двух 2 квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, 3  x 2  y 2  1000,  уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?». Задача сводится к системе  Также 2  y  x  10. 3  в клинописных текстах содержатся задачи, решение которых предполагает до десяти уравнений с десятью неизвестными. �Содержание Вавилоняне могли решать задачи на проценты, в которых требуется узнать либо «прибавочные деньги» (начисление) по капиталу, либо капитал по «прибавочным деньгам». То, что в Вавилоне знали 2 арифметическую прогрессию, констатирует задача: «Десять братьев и 1 мины серебра. Брат богаче 3 брата. На сколько он богаче, я не знаю. Доля восьмого – шесть шеклей. На сколько брат богаче брата?». Буквенной символики у вавилонян не было, но они знали, что a  b   a  b   a 2  b 2 , знали общие законы операций сложения и умножения и пользовались ими, применяли эти законы для получения формулы решения квадратного уравнения, для преобразования более сложных уравнений к каноническим. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. Основной чертой вавилонской геометрии был ее арифметико-алгебраический характер. Приводятся формулы площадей и объемов. В частности, имеются правила для вычисления площадей треугольника, прямоугольника, трапеции, некоторых правильных многоугольников. Считается, что вавилонянам к середине второго тысячелетия до н. э. было известно свойство сторон прямоугольного треугольника (теорема Пифагора). В одной из глиняных табличек имеется список прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, т. е. пифагоровых троек чисел x, y, z таких, что x 2  y 2  z 2 . Вавилонянам также был известен факт, что угол, вписанный в полуокружность, прямой; пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников. Вавилоняне первыми проводили систематические наблюдения звездного неба, составляли календарь, вычисляли периоды обращения Луны и планет, могли предсказывать солнечные и лунные затмения. Солнце, Луна и пять ярких «блуждающих» звезд (планет) стали отождествляться с богами. В честь них вавилоняне стали именовать дни недели. Следы соответствующих наименований и в настоящее время присутствуют во французском, немецком и английском языках. Наблюдения за солнцем, луной, планетами и звездами позволили вавилонянам установить длину года (360 дней) и выработать календарь. Обычный год состоял из 12 месяцев по 30 дней в каждом, а каждый шестой год был високосным и состоял из 13 месяцев по 30 дней. Соответственно 12 месяцам и 360 дням обычного года небесный свод был подразделен на 12 зон, которые были обозначены знаками зодиака. Этот обычай через греков и римлян был унаследован и европейской наукой. Вавилонские астрономы путем многолетних записей установили периодичность лунных затмений. Период состоял из 223 лунных месяцев или 19 лет и назывался «сарос». Астрономические знания вавилонян переплетались с религией. Обязанности производить астрономические наблюдения и следить за календарем возлагались на особых жрецов и государственных чиновников. Они же должны были производить различные вычисления и обучать этой науке молодых жрецов. Таким образом, местом хранения астрономической и математической науки были храмы и придворные обсерватории. Однако, было бы ошибкой считать, что развитие вавилонской математики обязано только жрецам. Математические познания появлялись в результате всевозможных хозяйственных и сельскохозяйственных расчетов. Немалую роль в развитии математики играли и торговцы. К математике прибегали и строители каналов и зданий. Экономические и политические условия рабовладельческого общества определили и характер развивающейся в ней математики. Здесь она была в первую очередь практической наукой, создаваемой для производства вычислений и измерений, для удовлетворения хозяйственных потребностей государства. Только этим и можно объяснить в основном эмпирический характер математики. Ее �Содержание положения были в значительной части получены путем проб. Математика излагалась преимущественно в виде конкретных задач, а не общих правил и преподносилась догматически: задачи, которые мы назвали бы типовыми, нужно было запомнить, лишь изредка давались пояснения, представляющие своего рода зародышевое доказательство. Со временем в математике постепенно стали развиваться признаки абстрактной науки. Например, вместо именованных чисел предметом изучения становились числа отвлеченные, стали осознаваться общие правила действий. В дальнейшем, наряду с установившимися арифметическими правилами, зародились общие приемы решения задач определенного типа. Хотя и не употреблялись формулы, как это делается в современной математике, но в этих приемах содержались зачатки алгебраического метода. Аналогично из конкретных измерительных задач постепенно появлялись зачатки теоретической геометрии. Вообще, своего наивысшего расцвета вавилонская математика достигла в XIX в. до н. э. и в дальнейшем развивалась крайне медленно. Это объясняется тем, что, во-первых, техника и астрономия, слившаяся наполовину с религией, застыли на одном уровне и не выдвигали каких-либо новых задач. Во-вторых, сама система применения математики, заключавшаяся в использовании готовых таблиц и образцов задач, не стимулировала работу мысли. Вавилонского жреца или рабовладельца-торговца интересовало не доказательство, а только конечный результат, практическая сторона дела. Так, рабовладельческий строй явился причиной, из-за которой вавилонская математика, достигнув определенного уровня, в дальнейшем почти не эволюционировала. Таким образом, математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями производственной деятельности, поскольку решались задачи, связанные с нуждами орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Впервые вырабатываются абстрактные понятия, носящие на себе следы конкретности, но рассуждений в целом виде египтяне и вавилоняне не знали. Они умели выполнять все четыре арифметические операции, возводить числа в квадрат и извлекать квадратные корни, но техника этих действий была крайне несовершенна и громоздка. Однако вавилонская и египетская математика оказали существенное влияние как на греческую математику, так и на математику других народов, находившихся в политических и экономических связях с Вавилоном. �Содержание 2.3. Математика Древней Греции Контрольные вопросы 1. В чем состоял вклад Древней Греции в развитие математики? 2. Перечислите и охарактеризуйте три кризиса в истории развития математики. 3. Какие известные задачи древности неразрешимы с помощью циркуля и линейки? 4. Назовите основные периоды в истории развития логики. 5. Как записывали числа в Древней Греции? 6. Какие школы имели место в Древней Греции? Охарактеризуйте их деятельность. Теоретические сведения Считается, что греки заимствовали первые сведения по геометрии у египтян, по алгебре – у вавилонян. Однако ни в Древнем Вавилоне, ни в Древнем Египте математики как науки в нашем современном понимании, т. е. развитой дедуктивной системы предложений, не существовало. Рождение такой науки, основанной на строгих доказательствах, произошло в Древней Греции. Выясним, как это происходило. В VII–VI вв. до н. э. возникли новые самоуправляющиеся города-государства с зачатками демократического управления. В этих городах вместо единовластного землевладельца управление осуществлялось Народным Собранием. Каждый имел право на собрании высказать свои пожелания, но также при этом должен был обосновать их. В VII–VI веках до н. э. ведущее место среди новых городов занимал город Милет, находящийся в Ионии, на анатолийском берегу. Позже стали значительны и другие города: Коринф, Афины в Греции, Кротон в Италии, Сиракузы в Сицилии. Но в VI в. появился общий враг греческих государств – персы. Они завоевали Ионию. На первое место выдвигается Аттика в материковой Греции и ее столица Афины. Позже греки, объединившись, разбили персов дважды (в 490 г. при Марафоне и в 480 г. при Саламине). После этих побед Афины становятся политическим и культурным центром всей Греции. Вначале древнегреческая математика не отличалась принципиально от египетской и вавилонской. С развитием рабовладельческого строя, начиная с VI в. до н. э. в математическом мышлении греков все больше усиливается теоретическая сторона. Рабам стали поручать «черную» умственную работу – переписывание книг, производство вычислений, что, в конце концов, привело к отделению теоретической математики от практической. От практической арифметики, называвшейся «логистикой», и прикладной геометрии, получившей у Архимеда название «геодезия», начинают отделяться теоретическая арифметика и теоретическая геометрия. Хотя они, подобно другим наукам, не являлись тогда еще самостоятельными дисциплинами, а входили как составные части в философию. В отличие от практической, теоретическая арифметика и геометрия не только содержали предписания, как решать задачи, но и давали обоснование, почему верно решение. Это введение в математику доказательств давало возможность обобщать получаемые частные результаты, получать верные выводы. В математике, как и в политических и судебных спорах, становилось нужным давать точные �Содержание определения понятий, развивать строгие доказательства. Не случайно, греческие философские школы состояли большой частью из представителей политических партий реакционной рабовладельческой аристократии. Освобождение теоретической математики от ее подчинения узко прикладным задачам, создание в ней вместо простых рецептов строго логических методов, дающих возможность широких обобщений и новых выводов без прямого обращения к действительности, и являлось непосредственной причиной чрезвычайного ускорения ее развития, обусловленного материальными потребностями общества. Занимавшиеся математикой философы стали понимать значение математики как науки, которая, как и другие науки, должна объяснять явления человеку для того, чтобы он мог использовать их в своих целях. Окончательное выделение математики в самостоятельную теоретическую науку произошло в Греции в середине V века до н. э., найдя свое завершение уже в эллинистическую эпоху в «Началах» Евклида, примерно 300 г. до н. э. На протяжении трех предшествующих веков, в классический период развития, оно подготавливалось накоплением элементарных знаний, а главное – возрастающим усилением теоретических, логических моментов в греческой математике. Первоначально разрозненные доказательства лишь отдельных теорем стали общим правилом. Отчетливо начали выделять исходные понятия и положения, по возможности стали избегать обращения к наглядности, заменяя ее логическими выводами. Все полученные знания приводили в стройную систему. Греческая нумерация была аддитивной. Первый её вариант (аттическая) содержала буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ ∆, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X – 1000 (хилиои), символ M – 10000 (мириои или мириада). Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus – камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль. Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная – первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв – десятки, остальные – сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000. Греки строго придерживались требования: все геометрические построения должны выполняться с помощью циркуля и линейки, то есть с помощью совершенных линий – прямых и окружностей. Однако для некоторых задач найти решение не удавалось. Алгебраически это означало, что не всякое число можно получить с помощью 4 арифметических операций и извлечения квадратного корня. К таким знаменитым древним задачам относят: – задача о квадратуре круга; – задача о трисекции угла; – задача об удвоении куба. Задача о квадратуре круга состоит в отыскании квадрата, равновеликого данному кругу. История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия. Как известно, отношение длины �Содержание окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается . Задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что 3,1408< <3,1429. В наши дни с помощью ЭВМ число вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес. Все уточнения значения производились методами, указанными Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. Но при этом оставалось неясным, является число рациональным или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик Иоган Генрих Ламберт (1728–1777) доказал, что число иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик – Карл Луис Линдеман (1852–1939) доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу. В V в. до н. э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой). Усилия античных математиков, стремившихся теоретически точно решить задачу о квадратуре круга, принесли развитию математики большую пользу, обогатив ее новыми фактами и методами. Так, например, был изобретен метод исчерпывания (предшественник метода пределов), были введены различные трансцендентные кривые и, наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями (луночки Гиппократа Хиосского (V в. до н. э.), образованные дугами окружностей). Квадратриса Динострата решает и вторую из знаменитых задач древности – задачу о трисекции угла. Возникла эта задача в Древней Греции примерно в V веке до н. э. Делить угол пополам древние греки умели (например, решение этой задачи знал Фалес), а вот разделить угол на три равные части оказалось не всегда возможно. Пифагорейцы умели решать только частную задачу: разделить на три равные части прямой угол. Однако в общем виде задача не поддавалась решению. В 1837 г. французский математик Пьер Лоран Ванцель (1814–1848) доказал, что в общем виде задача не имеет решения, такое деление возможно лишь в нескольких исключительных случаях, в частности для угла α= /2 и всех углов вида /2n. Решение задачи о трисекции угла сводится к кубическому уравнению. К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. В этой задаче требуется построить циркулем и линейкой куб вдвое большего объёма, чем заданный. Ребро искомого куба равно а 3 2 , где а – ребро исходного куба. Если принять, что а =1, то искомое ребро х есть корень уравнения x 3–2=0. У данного уравнения нет рациональных корней, следовательно, удвоение куба нельзя осуществить циркулем и линейкой. Примерно такое рассуждение было применено в начале XIX в., когда был подготовлен необходимый для этого алгебраический аппарат. Считают, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорейцев, около 540 г. до н. э. Возможно, она возникла из задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора, – надо построить квадрат на диагонали данного квадрата. Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. Ответ был таков: «Удвойте жертвенник храма Аполлона, и чума прекратится». Жертвенник имел кубическую форму. Афиняне решили, что задание простое, и построили новый жертвенник, с вдвое большим ребром. Однако чума только усилилась. Вторично обратились к оракулу и получили ответ: «Получше изучайте геометрию». �Содержание История умалчивает о том, как удалось умилостивить богов, но чума в конце концов покинула город. А задачу об удвоении куба стали называть делосской задачей. Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём – в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу. Сомнения в возможности решения этой задачи с помощью циркуля и линейки впервые высказал Рене Декарт в 1637 году. Но только еще через 200 лет, в 1837 г. П. Ванцель дал первое строгое доказательство невозможности удвоения куба с помощью циркуля и линейки. Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. Доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой, но уже сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» – была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Одними из распространителей восточной математики были греческие купцы. Они познакомились с ней, когда прокладывали свои торговые пути. Основывая колонии на доступных территориях, греки изучали культуру и науку соседних народов. Греки обнаружили, что на Востоке теорией не занимались. Там ставился только один практический вопрос «как?», но не ставился научный вопрос «почему?». Но древних греков начали интересовать философские вопросы, позволяющие понять, какое место занимает человек в рамках некоторой рациональной схемы. Также их интересовала не математика в чистом виде, а ее место в этой схеме, ее возможности для выражения законов природы. Возникли первые философские школы, которые стали логически обосновывать свое миропонимание. Начали разрабатываться методы научного мышления. И математика стала неким универсальным языком для выражения этих методов. Греческая наука выделяется в первую очередь тем, что только один раз в истории человечества и только в одном месте – в Греции – возникла та математика, которую называют аксиоматикодедуктивной. Именно такой подход к построению математических теорий используется в настоящее время. Кроме того, в Греции впервые стали известны авторы древних научных открытий, в том числе и математических, и их сочинения. Период времени с VII–VI вв. до н. э., времени возникновения греческой цивилизации, до второй половины V в. н. э., когда под ударами варваров пала Римская империя, в истории науки называют античностью. Таким образом, античная наука включает науку Древней Греции, эллинистического мира и Древнего Рима. Дошедшие до нас естественнонаучные и философские труды античных ученых и сведения о них показали, что в Древней Греции сложились основные школы. Ведущее место среди греческих натурфилософских школ последовательно занимали: – ионийская (VII–VI в. до н. э.); – пифагорейская (VI–V в. до н. э.); – афинская (со второй половины V в. до н. э.). �Содержание В Милете в VI в. до н .э. возникла первая математическая, точнее, натурфилософская, школа. Она называлась ионийской школой, по названию местности Иония. Согласно преданию, отцом греческой математики является милетский купец Фалес (около 624–547 г. до н. э.), политический деятель, философ, астроном и математик. К его школе принадлежали ученики Фалеса – Анаксимен, Анаксимандр, Анаксагор. Школа просуществовала около ста лет, до падения Милета, завоеванного персами в 494 г. Философы ионийской школы впервые стали заниматься геометрией теоретически. Однако строгой логической геометрической системы они не создали. Были лишь собраны правила, найденные эмпирическим путем, которыми они руководствовались при конкретных построениях. Тем не менее, считается, что в этой школе был введен процесс обоснования как необходимый компонент математической деятельности. Фалесу приписывают первые доказательства (объяснения правильности) следующих утверждений: – вертикальные углы равны; – углы при основании равнобедренного треугольника равны; – треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам; – диаметр делит круг на равные части; – вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой; – сумма углов прямоугольного треугольника равна двум прямым; – если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Последнее утверждение теперь носит название теоремы Фалеса. Фалесу же приписывается первое применение угломера для определения расстояния от удаленного предмета (например, корабля) с башни или со скалы: измеряя угол между отвесом и направлением луча к предмету, зная высоту башни и угол, в уменьшенном масштабе строился треугольник и производились вычисления (рис. 3.). Таким образом, еще при жизни Фалеса греки умели строить треугольник по стороне и двум прилежащим углам, прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему углу. Рис. 3. Определение расстояния от удаленного предмета Ионийская система счисления была алфавитной. Таким образом, ионийская школа положила начало дедуктивному изложению геометрии и предприняла попытки изучения свойств абстрактных фигур. С VI в. до н. э. существовала так называемая пифагорейская школа, названная в честь основателя этой школы Пифагора. Пифагор (около 570–473 гг. до н. э.) был великим философом, сравнимым с его современниками Конфуцием, Буддой, Заратуштрой. Пифагор Самосскин – легендарная личность. Было время, например, в начале XX в., когда его объявили вымышленным, а все научные достижения той �Содержание эпохи стали приписывать школе пифагорейцев. Конечно, вся биография Пифагора является знаком вопроса. Родился он на богатом торговом острове Самос в Эгейском море рядом с Ионией. Учился у Фалеса и Анаксимандра. Был призером Олимпийских игр по кулачному бою. По совету Фалеса отправился для усовершенствования знаний в Египет, учился математике у египетских жрецов. В то время Египет был завоеван персами (525 г. до н. э.). Пифагор попал в плен и был отправлен в Вавилон. В настоящее время невозможно отделить сделанное самим Пифагором, от работ его учеников. Поэтому обычно говорят о математике пифагорейцев. Они занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). Около 530 г. до н. э. Пифагор основал нечто вроде тайного духовного ордена. Пифагорейцы занимались теоретической и практической арифметикой, последняя называлась логистикой или счетным искусством. Таблица умножения на обложках ученических тетрадей называется таблицей Пифагора в его честь. Особенностью школы Пифагора является то, что отдельным числам и числовым соотношениям приписываются таинственные, магические свойства, а само занятие теорией чисел рассматривалось как удел «избранных» и «посвященных». Числовой мистицизм пифагорейцев имел не естественнонаучное, а социально-политическое происхождение. Пифагорейцы выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировал эту же мысль Галилей два тысячелетия спустя: «Книга природы написана на языке математики». Греки относили этот тезис к астрономии, оптике, музыке, геометрии, позже – механике. Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2, согласно их воззрению, означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей. Любовь и дружба отождествляются с восьмеркой. Особую важность Пифагор придавал числу «7». Состоящее из трех и четырех, семь означает соединения человека с божеством, т. е. 4 олицетворяет человека, как тело, а 3 обозначает божество, как один из трех миров. Основу пифагорейской математики составляет учение о декаде: 1+2+3+4=10. Пифагор говорил, что единице соответствует точка, двойке – две точки, но через две точки уже можно провести прямую, получается, что числу два соответствует прямая; тройке – три точки, но если их соединить, то получается уже плоскость; через четыре точки строится пространство, которое, соответствует четверке. Оно делится на четыре стихии: воду, землю, воздух и огонь, а затем каждая из них делится на разные предметы, взаимодействующие между собой. Это взаимодействие и приводит к бесконечному разнообразию вещей. Эти четыре числа описывают все процессы, происходящие в мире. В частности, декада отображает законы музыкальной гармонии: через нее выражаются основные музыкальные интервалы – октава (2:1), квинта (3:2), кварта (4:3). Математические знания пифагорейцев строго оберегались от посторонних, но после распада их союза сделались общим достоянием. Многие достижения, приписываемые Пифагору, вероятно, на самом деле являются заслугой его учеников. Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, арифметикой и др. Геометрия пифагорейцев в основном ограничивалась планиметрией, хотя изучались и правильные многогранники. Была построена математическая теория музыки, рассматривалась зависимость музыкальной гармонии от отношений целых чисел (длин струн). Пифагорейцы увлекались «треугольными», «квадратными», «совершенными» и другими числами. Числа 3, 6, 10 и т. д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т. д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата. Пифагорейцы обнаружили, что сумма двух �Содержание последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Теория наибольших общих делителей и наименьших общих кратных тоже пифагорейского происхождения. Они построили общую теорию дробей, научились выполнять с дробями сравнение (приведением к общему знаменателю) и все 4 арифметические операции. Нумерологическая мистика пифагорейцев нередко приводила к произвольным выводам. Например, они были уверены в существовании невидимой Антиземли, так как без неё число небесных сфер (нижнее небо, Солнце, Луна и 6 планет) не составляет совершенного числа 10. В целом, несмотря на обилие мистики заслуги пифагорейцев в развитии и систематизации античных математических знаний неоценимы. Пифагорейцы изучали также пропорции, но определить отношение величин а:b в общем случае они не смогли. Они рассматривали вопрос делимости; арифметическую, геометрическую и гармоническую  n a  пропорции; среднее арифметическое   k  , среднее геометрическое n a1  a2    an .  k 1 n    В пифагорейской школе геометрия из собрания рецептов решения различных задач на измерение площадей и объемов превратилась в абстрактную науку. Пифагор в геометрии первым пришел к следующим мыслям: – должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты: точка – «то, что не имеет частей», линия – «длина без ширины» и т. д.; – свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов, т. е. должны быть доказаны. Эти рассуждения должны сводить неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам; – в геометрии можно выбрать конечное число первоначальных истин, из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число геометрических предложений. Эти отправные недоказуемые положения были названы аксиомами. Таким образом, в VI–V вв. до н. э. в школе Пифагора возник аксиоматический метод построения науки. Принято считать, что Пифагор дал первое доказательство самой популярной геометрической теоремы, носящей теперь его имя. Существует много различных доказательств этой теоремы: геометрических, алгебраических, тригонометрических, механических. Доказательство самого Пифагора осталось нам неизвестным. Кроме того, пифагорейцами был найден способ отыскания неограниченного ряда троек «пифагоровых» чисел, т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению a 2  b 2  c 2 и имеющих вид n2  1 n2  1 , где нечетное n  3 . В более позднее время у Платона можно увидеть другое правило n, , 2 2 2 2 n n n,    1,    1, где четное n  4 . 2 2 Первой трещиной в пифагорейской модели мира стало ими же полученное доказательство иррациональности, сформулированное геометрически как несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной (V в. до н. э.). Невозможность выразить длину отрезка числом ставила под сомнение главный принцип пифагорейства. Даже Аристотель, не разделявший их взгляды, выражал своё �Содержание изумление по поводу того, что есть вещи, которые «нельзя измерить самою малою мерою». Открытие несоизмеримости, т. е. обнаружение таких величин, которые не могут быть выражены с помощью отношения целых чисел, является наивысшим достижением пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики. Впервые кризис в математике возник в Древней Греции именно в этот период. Вообще в развитии математики традиционно выделяют три кризиса: античности, Нового времени и XIX века. Остановимся на их краткой характеристике. Как было сказано ранее, первый кризис в математике возник в Древней Греции во времена Пифагора после обнаружения несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Пифагорейское учение о целочисленной основе всего существующего больше нельзя было признавать истинным. Впервые понятие бесконечности рассматривалось как математическая категория (Анаксимен, Анаксогор, Аристотель, Зенон и др.). Рассуждения о бесконечности подвергались серьезной критике, обосновывалась их противоречивость. Еще одним важным аспектом, как было сказано выше, являлась неразрешимость с помощью циркуля и линейки трех знаменитых задач древности: задача о квадратуре круга, задача об удвоении куба и задача о трисекции угла. О выходе из этого кризиса будет сказано ниже. Второй кризис связан с выдвижением на первое место понятий бесконечности, движения и функциональной зависимости, которые становятся основой новых методов математики. В конце XVII и в XVIII веке в математике были получены классические результаты фундаментального значения. В рассматриваемый период основные понятия и законы, установленные в одной математической теории, часто переносились в новые области исследования, совершенно формально, т. е. без обоснования. Математики пытались сначала решать новые задачи старыми методами, которых было недостаточно. Требовалось развивать новые, более общие и сильные методы. Новая постановка задач обоснования математического анализа ясно показывала, что дело не только в признании и применении бесконечно малых, но, прежде всего, в научном истолковании их содержания и основанном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы это сделать, надо было разработать общую теорию пределов. Получение этих основополагающих результатов связано с именем Коши, который смог подвести научный фундамент под учение о непрерывности и разрывах функций, обосновать дифференциальное и интегральное исчисления. В процессе таких исследований Больцано, Коши, Лобачевский, Дирихле по-новому подошли к истолкованию строгости математических доказательств, в первую очередь доказательств утверждений математического анализа. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса её основ и создала для неё широкие перспективы дальнейшего развития. Третий кризис начался с обнаружения парадоксов в теории множеств Кантора в конце XIX века. Кантор и Рассел открывают целую серию парадоксов (т. е. неразрешимых противоречий), связанных именно с актуализацией бесконечных множеств. Парадоксы теории множеств оказались имеющими не только математическую, но и логическую природу; в этой связи естественно возник вопрос о средствах логики, допустимых в математике. Вернемся к первому кризису в развитии математики, точнее, к попыткам выхода из него. Открытие несоизмеримости заставило математиков начать поиски путей выхода из кризиса. Греки начали строить математику не на основе арифметики рациональных чисел, а на основе геометрии. Была создана так называемая «геометрическая алгебра». Исчисление, определенное в геометрической алгебре, было ступенчатым. Все правила, теоремы и задачи формулировались в терминах отношений между длинами отрезков и площадями �Содержание прямолинейных фигур. Геометрические построения выполнялись с помощью прямых и окружностей, то есть греческая математика стала теорией построений с помощью циркуля и линейки. Все задачи, связанные с решением квадратных уравнений, решались тоже с помощью построений. В качестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение уравнения х 2+ax=b2. Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так, как показано на рисунке 4. Рис. 4. Решение уравнения х2+ax=b2 средствами геометрической алгебры На заданном отрезке АВ (равном a) строили прямоугольник ADME со сторонами (а+х) и x, равновеликий данному квадрату (b2), таким образом, чтобы избыточная над прямоугольником ABLE (равная ах) площадь ВDМL была квадратом, по площади равным х 2. Сторона этого квадрата и давала искомую величину х. Такое построение называли гиперболическим приложением площади. Далее, полагая задачу решенной, делили АВ пополам точкой С, на отрезке LM строили прямоугольник MLGK, равный прямоугольнику ЕAСN. Тогда прямоугольник ADME будет разностью квадратов DKFC и LGFN. Эта разность и квадрат LGFN известны, поэтому по теореме Пифагора можно получить квадрат DKFC. После этого находили величину DC (равную ½a+x) и DB (равную х). Геометрическое построение в точности соответствует преобразованию, с помощью которого в современных обозначениях решается уравнение указанного типа: 2 2  a a b  ax  x    x     .  2 2 2 2 При таких построениях отыскивались только положительные корни уравнений: отрицательные числа появились в математике значительно позже. С помощью геометрии древним удавалось также доказывать многие алгебраические тождества. Эти доказательства безупречны в отношении логики, но иногда громоздки. Вот как формулирует Евклид теорему, выражающую тождество (а+b)2=a2+2аb+b2. Если отрезок ( ) разделен в точке ( ) на два отрезка, то квадрат, построенный на ( ), равен двум квадратам на отрезках ( , ) вместе с удвоенным прямоугольником на ( , ). Естественно, связывая число с геометрическим образом (линией, поверхностью, телом), древние оперировали только однородными величинами; так, равенство было возможно для величин одинакового измерения. Такое построение математики позволило античным ученым достигнуть существенных результатов в �Содержание обосновании теорем и правил алгебры, но в дальнейшем оно стало сковывать развитие науки. Принято считать, что Платон (429–348 гг. до н. э.) является одним из основателей идеалистического направления в мировой философии. Во многих сочинениях философа проводится мысль о том, что бытием в подлинном смысле слова можно назвать только абсолютные сущности, сохраняющие своё бытие безотносительно пространства и времени. Такие абсолютные сущности называются в сочинениях Платона идеями, или эйдосами. Платон в Афинах организовал свою Академию, там занимались миром идей. Математика рассматривалась как условие для занятия философией. Известно, что при входе висела надпись: «Не войдет сюда тот, кто не знает геометрии». Учеником Платона является Аристотель (384–322 гг. до н. э.). Он является общепризнанным основателем логики. Именно ее не хватало для дедуктивного построения математики. Вообще, история логики насчитывает более двух с половиной тысячелетий и разделяется на три следующих основных этапа: 1. Античная логика (500 до н. э. – нач. н. э.), в становление и развитие которой внесли вклад Парменид, Сократ, Платон, Аристотель, Теофраст и другие античные философы. 2. Схоластическая логика (нач. н. э. – первая половина XIX века), в развитие которой на основе античной логики внесли вклад М. Пселл, Рене Декарт, П. Николь, А. Арно, Вильгельм Лейбниц, М.В. Ломоносов и др. 3. Современная логика (вторая половина XIX–XX вв.), в становление и развитие которой внесли вклад Дж. Буль, П.С. Порецкий, Г. Фреге, Дж. Пеано, Б. Рассел и другие. Античную и схоластическую логики обычно объединяют под общим названием «традиционная формальная логика», «аристотелевская логика», в то время как современную логику часто называют «символической логикой». Хотя и до Аристотеля ряд логических проблем рассматривался философами, но именно Аристотель явился создателем формальной логики, которую мы и называем часто аристотелевской, традиционной логикой. Во-первых, Аристотель оставил первые крупные произведения по логике, объединенные позднее под общим названием «Органон» (правила). Во-вторых, он первый начал оперировать логическими формами высказываний. Не предложения «Все ели есть растения», а словесные выражения вида « Все S есть Р» и отношения между такими выражениями. В-третьих, Аристотелю мы обязаны первым систематическим исследованием возможных форм умозаключений, а также сравнительно точной теорией доказательств. В-четвертых, логика Аристотеля, не считая внесенных в нее незначительных изменений, пользовалась непререкаемым авторитетом вплоть до XIX столетия. Аристотель разработал так называемую логику предикатов. Философы стоической школы разработали другую отрасль, отдел логики, в которой используемые суждения не расчленяются на S и P, а рассматриваются как единое целое. Такую логику мы в настоящее время называем логикой высказываний. Логика Аристотеля в основном дедуктивная, где вывод осуществляется от общего к частному. Математическая школа, связанная с Академией Платона, представлена следующими математиками: Архит Тарентский, Теэтет Афинский, Евдокс Киидский. Архит (428–365 гг. до н. э.) известен стереометрическим решением задачи об удвоении куба. Теэтет (IV в. до н. э.) установил пять правильных многогранников и изучал иррациональности. Итог афинской школы – это наметившиеся пути выхода греческой математики из возникшего кризиса: дедуктивное построение математики Аристотеля и теория отношений Евдокса. Остановимся на них �Содержание подробнее. Аристотель подчеркивал, что истинность аксиом познается посредством интуиции, аксиомы необходимы в качестве основы для последующих рассуждений и определение должно описывать определяемое понятие через другие, ранее определенные понятия. В качестве исходных принимал так называемые неопределяемые понятия. Рассуждая об аксиомах, Аристотель выделяет общие понятия и постулаты. Общие понятия истинны во всех областях мысли (например, «если от равных отнять равные, то останутся опять же равные»). Постулаты применимы к более специфической области, как геометрия («две точки определяют прямую, и притом только одну»). Из аксиом, с помощью логически строгих рассуждений, выводятся заключения (леммы и теоремы). Аристотель настаивал на том, что самые строгие заключения – дедуктивные (от общего утверждения – к частному) и только они гарантируют истинность заключения. Как сказано выше, теория отношений Евдокса способствовала выходу из кризиса греческой математики. Развивая то, что было сделано другими учеными в области теории пропорций, Евдокс построил общую теорию отношений, основанную на новом определении величины. В дополнение к числам Евдокс ввел более широкое понятие геометрической величины, т. е. длины отрезка, площади или объёма. Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса – это геометрическая модель вещественных чисел. Признание иррациональностей как особого вида чисел произошло много позднее. До Евдокса теоремы теории отношений приходилось доказывать отдельно для чисел, отрезков и площадей. Он же ввел понятие величины, включавшее в себя как числа, так и любые непрерывные величины. Данное понятие определялось с помощью общих аксиом равенства и неравенства, к которым Евдокс добавил еще одну, теперь обычно называемую аксиомой Архимеда: «Две величины находятся между собой в определенном отношении, если любая из них, взятая кратно, может превзойти другую». Исходя из этих аксиом, Евдокс разработал строгую теорию отношений, изложенную Евклидом в его знаменитых «Началах». Глубину этой теории смогли по-настоящему оценить лишь во второй половине XIX столетия. Рихард Дедекинд (1831–1916) проделал для современной математики то, что сделал Евдокс для греческой. Существует большое сходство между дедекиндовым сечением, с помощью которого современные математики определяют иррациональные числа, и античной теорией Евдокса, как она изложена в пятой книге «Начал» Евклида. Другим важнейшим вкладом Евдокса в математику являлось обоснование так называемого «метода исчерпывания», заложившего основы теории пределов и подготовившего почву для развития математического анализа. В основе «метода исчерпывания» лежит следующее положение: если от какой-либо величины отнять половину или более, затем ту же операцию проделать с остатком, и так поступать дальше и дальше, то через конечное число действий можно дойти до величины, которая будет меньше наперед заданного числа. С помощью данного метода Евдокс впервые строго доказал, что: площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров (само это положение было известно ранее); объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с теми же основанием и высотой; объем конуса равен 1/3 объема цилиндра с теми же основанием и высотой. В дальнейшем «метод исчерпывания» был развит Архимедом. Он изложен в «Началах» Евклида. Греческие математики, как сказано выше, уделяли большое внимание задачам на построение, и уже в IV в. до н. э. разработали общую схему решения задач на построение: анализ – построение – доказательство – исследование. С VI в. до н. э. существовала александрийская школа. Одним из первых александрийских ученых был Евклид (около 340–287 гг. до н. э.). Он является одним из наиболее влиятельных математиков всех �Содержание времен. Имя Евклида почти всегда упоминается в связи с наиболее известным его сочинением «Начала», выдающимся произведением математики. В них он систематизирует достижения предшествующей математики, они уступают по популярности, по числу изданий только Библии. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст «Начал» Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в XIX в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, как неосознанное использование несформулированных в явном виде допущений. «Начала» были основой для изучения геометрии более 2000 лет. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована из первых шести книг «Начал». На геометрии Евклида базировалась классическая механика. В VIII–IX вв. появились первые переводы «Начал» на арабский язык, в XII в. – на латинский язык. Первое издание на русском языке вышло в 1739 г. С именем Евклида связана известная крылатая фраза: «В геометрии даже для царей нет другой дороги». Египетский царь Птолемей I, наслышавшись о необыкновенной мудрости Евклида, пожелал лично познакомиться с ним. Он попросил Евклида изложить ему содержание его книг. Выслушав доказательства первых теорем, он спросил, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем изучение «Начал». Так ответ Евклида вошел в историю. Зенон Элейский предложил тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 апорий (парадоксов). Парадо́кс (от древнегреческого παράδοξος – неожиданный, странный; от παραδοκέω – кажусь) – ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. В более узком смысле, парадокс – два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы. Парадокс и апория – синонимы. Близким к понятию парадокса и апории является понятие софизма. Софи́зм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») – намеренно запутанное в целях демонстрации интеллектуального превосходства или введения в заблуждение рассуждение, может быть основано на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Это отличает его от парадокса и апории, которые могут содержать непреднамеренную ошибку либо вообще не иметь логических ошибок, но приводить к явно неверному выводу. Остановимся на апориях Зенона. Вопреки многократным попыткам их опровергнуть они до сих пор служат предметом серьезного анализа. Здесь затронуты самые деликатные вопросы оснований математики – конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Приведем примеры некоторых из них. Ахиллес и черепаха. Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху. Эта апория демонстрирует отсутствие у греков понятия мгновенной скорости, с появлением которого и начнется эпоха современной физики. Если скорость это отношение пути ко времени его прохождения, �Содержание то как можно говорить о скорости в данный момент времени, когда ни пути, ни времени его прохождения нет? Дихотомия. Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся. Название «Дихотомия» (по-гречески: деление пополам) дано Аристотелем. Эта апория основывается на двух постулатах: во-первых, пространство континуально; во-вторых, движение есть процесс перехода тела из одной точки пространства в другую, соседнюю. Однако эти два условия несовместимы. В континуальном пространстве для данной точки не существует непосредственно следующей, ведь между любыми двумя сколь угодно близкими точками всегда расположено бесконечное число точек. Поэтому движение, если его понимать как переход из одной точки пространства к следующей, в принципе невозможно. Летящая стрела. Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда. Стрела в каждый момент времени занимает некоторое место, которое равно своему объему (так как стрела в противном случае была бы «нигде»). Однако занимать место, равное себе, – значит, находиться в покое. Отсюда можно сделать вывод о том, что можно мыслить движение только как сумму различных состояний покоя. Это невозможно, так как не бывает из ничего ничего. Апории «Дихотомия» и «Стрела» напоминают следующие парадоксальные афоризмы, приписываемые представителю древнекитайской школы (середина IV в. до н. э. – середина III в. до н. э.): «В стремительном полёте стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки». «Если от палки длиной в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений». Медимн зерна. Каждое отдельное зерно падает на землю бесшумно. Тогда отчего медимн (большой мешок) зерна падает с шумом? Куча. Одно зерно – не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча? Аристотелем предприняты попытки опровергнуть аргументы апорий, но они были неудачными по той причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно. Греческая математика поражает красотой и богатством содержания. Греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики. Они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели – ключ к их познанию. В 630 г. Александрию взяли арабы. Центр научной деятельности перемещается на восток: Китай, Индию, Среднюю Азию. Таким образом, завершилась эпоха античной математики. Ее значение в истории математики огромно. Она определила дальнейшее развитие науки в течение многих веков. Накопленные в странах Древнего Востока знания состояли из набора разрозненных математических фактов, рецептур для решения некоторых конкретных задач и не могли обладать достаточной строгостью и достоверностью. Таким образом, первоначальный период развития математики древних греков охватывает VII–V вв. до н. э. и характеризуется, в основном, накоплением отдельных фактов из области геометрии и арифметики. Стимулами развития математики в этот период были, с одной стороны, хозяйственные потребности, строительное дело и расчеты календаря и часов, а с другой стороны – чисто �Содержание математические проблемы, возникшие уже в V в. до н. э. Создание основ математики в том виде, к которому мы привыкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится к VI– V вв. до н. э. С этого времени начала развиваться дедуктивная математика, построенная на строгих логических доказательствах. Греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, показывающий, как из известных истин выводить новые, причём логика вывода гарантирует истинность новых результатов. Дедуктивный метод также позволяет выявить неочевидные связи между понятиями, научными фактами и областями математики. �Содержание 2.4. Математика стран Востока Контрольные вопросы 1. Охарактеризуйте достижения древнекитайской математики. 2. Охарактеризуйте достижения древнеиндийской математики. 3. Охарактеризуйте достижения в математике арабов. Теоретические сведения Китайская культура, включая и математику, – древнейшего происхождения. Китайская цивилизация возникла в начале II тысячелетия до н. э. на берегах реки Хуанхэ, а затем распространилась на бассейн реки Янцзы. Считается, что в эпоху Инь (XVIII–XII вв. до н. э.) – появления первого китайского государства – в Китае возникла математика и астрономия. В VII в. до н. э. китайские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Астрономы составили первый звездный каталог (IV в. до н. э.). Великими открытиями китайцев являются компас, сейсмограф, порох, бумага, шелк, лак, рис и чай. Появились первые математические книги, которые до нас не дошли. Но они легли в основу известных классических математических трудов, дошедших до нас: «Трактат об измерительном шесте» и самая известная «Математика в девяти книгах» (окончательную редакцию которой сделал Чжан Цан во II в. до н. э.). Она была предназначена для чиновников, торговцев, землемеров, строителей. В ней помещено 246 задач с указаниями для их решения. Они являются итогом достижения Китая до начала нашей эры. В VII–X вв. н. э. она стала основным учебником для чиновников. В это время появились сочинения «Трактат о морском острове» и «Математический трактат» Сунь-цзы (III в.). Китайские иероглифические цифры возникли во II тысячелетии до н. э. и установились к III в. н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Система счисления – десятичная. В научных записях числа изображались различно расположенными, горизонтальными и вертикальными, палочками и кружочками. Арифметические действия производились на счетной доске – суан-пан – с помощью палочек. Обыкновенные дроби появились почти одновременно с целыми числами. Операции над дробями выполнялись по правилам, незначительно отличающимся от современных. На счетной доске дроби изображались парой чисел, и действия над дробями сводились к действиям над ними. В Китае уже ко II в. до н. э. имелась развитая система десятичных мер длины, а чуть позже и объема, веса. Они привели к первому появлению десятичных дробей (III в. н. э.). Некоторые задачи сводились к системам линейных уравнений с двумя неизвестными, которые решались с помощью «правила ложных положений». При их решении возникали таблицы в виде матриц, которые преобразовывались методом «фан-чэн», схожим с методом Гаусса. При этом приходилось иногда вычитать из меньшего числа большее. Здесь впервые в истории математики появились отрицательные числа. Они выделялись на счетной доске палочками другого цвета или другой формы, а при письме записывались чернилами другого цвета. Позже их назвали «фу» и стали толковать как «долг», в отличие от положительных чисел «чжен» («имущество»). Девятая книга «Математики в девяти книгах» была посвящена геометрическим задачам. При решении �Содержание некоторых из них применялась теорема Пифагора. Вычислялись площади многоугольников, круга и его частей, кругового кольца, объемы прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, пирамиды с квадратным основанием. Из Китая до нас дошел первый магический квадрат «Ло-шу», связанный со многими легендами. Таким образом, математика Китая являлась совокупностью вычислительных алгоритмов, предназначенных для решения на счетной доске некоторых классов задач арифметики, алгебры и геометрии. Но она имела мало общего с дедуктивной наукой греческого образца. Китайская математика не была изолирована от развития математики в других странах. Имеются факты влияния математики Китая, Индии и стран ислама. Например, появление отрицательных чисел в Индии, десятичных дробей в Средней Азии, близость китайской и индийской нумераций и др. В долине Инда существовала развитая цивилизация еще в середине III тысячелетия до н. э. В XII в до н. э. стала заселяться долина Ганга. Индийцы сооружали оросительные каналы, городские водосточные системы, применяли гончарный круг. В I тысячелетии до н. э. появились священные книги брахманов «Веды» («Знания»). К VII–V вв. до н. э. относятся первые индийские письменные математические памятники. Большинство трактатов индийцев написаны на санскрите – языке религиозных книг. Одна из них – «Сульва сутра» («Правила веревки»), относящаяся к VI–V вв. до н. э. В ней излагаются способы построения культовых сооружений и связанные с ними математические правила: построение прямого угла, квадрата, прямоугольника, деление отрезка пополам. Величайшим достижением древнеиндийской математики является наша современная десятичная позиционная система счисления. Установлено, что с VI в. до н. э. в Индии была распространена десятичная непозиционная система счисления – числа «брахми». Каждая единица, десятка, сотня, тысяча имела свой символ. Эта система позже была вытеснена позиционной записью, заимствованной у вавилонян и переделанной на десятичную. Первое ее применение относится к источнику 595 г. Еще раньше был введен нуль, обозначаемый словом «сунья» («пустое»). Он изображался точкой, позднее знаком 0, возможно, от греческого слова «juden» («ничто»). В отличие от вавилонян, нуль ставился и в конце числа. Отныне любое число стало записываться с помощью десяти знаков. Десятичная система счисления была заимствована арабами (VII–VIII вв.) и начала свое продвижение на Запад. Эволюция написания индийских цифр представлена на рис. 5. Очевидно, что используемые нами цифры, которые мы называем арабскими, берут начало в индийской математике. �Содержание Рис. 5. Эволюция написания индийских цифр Индусы рассматривали числа безотносительно к геометрии. Они распространили правила действия над рациональными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки, а не прибегая к построениям, как это делали греки. Например, им было известно, что 2 3 5 6 . 16  120  72  60  48  40  24  Математические школы существовали в центральной и южной Индии. Наиболее известные индийские математики: Ариабхата (конец I в), Брамагупта (VII в.) и Бхаскара (XII в.). Для их работ характерны арифметико-алгебраические разделы и вопросы астрономии. Отметим своеобразие индийских трактатов: некоторые из них написаны в стихах, чтобы математические правила можно было заучивать наизусть. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмевает славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи»1. Пример одной из задач Бхаскары из его книги «Видиса Ганита» (вычисление корней): «Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась. А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратного уравнения. 2  x Соответствующее задаче уравнение    12  x Бхаскара пишет в виде x 2  64 x  768 и с целью 8 дополнения левой части уравнения до полного квадрата прибавляет к обеим частям 322 , получая 1 Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII кл. – М. : Просвещение, 1982. – С. 22. �Содержание 2 x 2  64 x  32 2  768  1024 , ( x  32 )  256 . Тогда x  32  16 , значит x  16 или x  48 . Считается, что наша арифметика имеет индийское происхождение. В арифметике индийцы рассматривали 8 действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корня. Существовало свыше десятка способов умножения. Вычисления древние индийцы производили на счетной доске, покрытой песком или пылью. Поэтому арифметические вычисления назывались «дхули-карма» – «работа с пылью». При этом приходилось стирать промежуточные выкладки. Древнеиндийцы работали с дробями. Они записывали дроби так, как это делается в настоящее время: числитель над знаменателем, только без дробной черты. Правила действий над дробями почти не отличаются от современных. Начиная с Брахмагупты, индийские математики пользовались отрицательными числами, трактуя их как долг, а положительные числа – как имущество. Брамагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Например, сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов – долг, имущества и долга – их разность и т. д. Выдающимся достижением индийской математики было создание развитой алгебраической символики. Большинство символов представляют собой первые слоги соответствующих санскритских терминов. Например, неизвестную величину индийцы называли «йа-ват-тават» («столько, сколько»), а для обозначения неизвестной служила буква, означающая слог «йа». Квадратный корень обозначался слогом «му», от слова «мула» – «основание». «Мула» по-индийски также «корень растения». Арабские переводчики индийских сиддхант в VIII в. перевели этот термин словом «джизр» («корень растения»). Латинские переводчики в XII в. перевели это слово «radix», откуда происходят наши термины «корень», «радикал». Индийцы решали задачи на линейные, квадратные уравнения и их системы. Рассматривались также неопределенные уравнения первой степени ax  by  c . Индийцы допускали для них только целочисленные, в том числе отрицательные решения. Знания и открытия индийских математиков в геометрии менее значимы. Геометрические доказательства крайне лаконичны, но весьма наглядны. Например, для обоснования правила вычисления площади треугольника приводится рисунок, в котором высота прямоугольника равна половине высоты треугольника. В индийской астрономии вопросы тригонометрии хорд александрийских астрономов развились в теорию тригонометрических величин. Используемые при вычислениях хорды и полухорды (линия синуса), индийцы называли «джива» («тетива»). Арабы произносили его «джайб» («впадина»), при переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики использовали слово «sinus» с тем же значением. Для вычислений замена хорд синусами несущественна, так как хорда дуги равна удвоенному синусу половины дуги. Таблицы синусов приводятся у Ариабхаты. Кроме линии синуса, индийцы пользовались линией косинуса и линией синуса-версуса, т. е. разностью между радиусом и линией косинуса. Для определения высоты объекта в Древней Индии пользовались тенью, отбрасываемой вертикальным шестом – гномоном. Эти вычисления впоследствии привели математиков стран ислама к тангенсам и котангенсам. Линии синуса, косинуса, тени применялись для решения астрономических задач. �Содержание Таким образом, в Индии математика является очень древней наукой, составляющей часть старинной культуры. В ней так же, как и в Китае, преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем. История так распорядилась, что наиболее значительным источником знаний для европейских ученых в Средние века и Эпоху Возрождения стала не античная математика, а арабская. Научные труды математиков стран ислама написаны на арабском языке, некоторые – на персидском. Ведущая наука арабской эпохи – астрономия, поэтому она в первую очередь разрабатывала вычислительно-алгоритмические проблемы и методы. Эти методы стояли на первом месте во всей восточной математике, но в Китае и Индии развивались менее строго и медленно. В математике стран ислама алгебра и тригонометрия впервые сформировались в самостоятельные науки. В исламской математике были распространены два типа нумерации: сначала буквенная, затем десятичная, заимствованная у индийцев. Понятие отрицательного числа не нашло заметного применения в арабской науке. Тем не менее, встречаются термины «мусбат» и «манфи», имеющие тот же смысл, что и китайские «чжен» и «фу». Математики Западной Европы их перевели на латынь как positivus и negativus и стали обозначать ими положительные и отрицательные числа. Дроби записывали на индийский манер: знаменатель под числителем. Разделительная черта появилась в XII в. В деловой математике в ходу было египетское представление дробей в виде суммы аликвотных дробей. Арабские астрономы пользовались сначала только шестидесятеричными дробями – по традиции, восходящей через александрийских астрономов к Древнему Вавилону. Проследим далее историю математики стран ислама через труды, выдающихся мусульманских ученых. Первым в этом ряду стоит Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (787–850 гг.). Он был хорошо знаком с индийской математикой и наукой эллинистических стран. Написал несколько книг по математике и астрономии. В своей книге «Об индийском счете» впервые разъяснил индийскую систему записи чисел. Книга была переведена на латынь и стала одним из источников, через которые Европа познакомилась с десятичной позиционной нумерацией. Автора в переводах называли Aigorizmi, Algorithmus, что ввело в наш математический язык термин «алгоритм». В другой книге «Хисаб аль-джабр ва-л-мукабала» («Исчисление восполнения и противопоставления») он рассматривал вопросы решения уравнений. Эта алгебра стала известна тоже в латинском переводе, и слово «аль-джабр» стало употребляться как синоним всей науки «алгебры», которая до XIX в. была наукой о решении уравнений. Название трактата соответствует операциям при решении уравнений: «ал-джабр» (восстанавливать) означает восстановление отрицательного члена в одной части уравнения в виде положительного в другой. Например, преобразовав уравнение 2х 2+3х–2=2х к виду 2х 2+3х=2х+2, мы произвели операцию ал-джабр. «Ал-мукабала» означает сопоставление подобных членов, приведение их к одному; в нашем уравнении подобные члены 3х и 2х, поэтому получим 2x 2+x=2. Кроме того, в алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1) «Квадраты равны корням», т. е. ax 2  bx ; �Содержание 2) «Квадраты равны числу», т. е. ax 2  c ; 3) «Корни равны числу», т. е. bx  c ; 4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ax 2  c  bx ; 5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax 2  bx  c ; 6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx  c  ax 2 . Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений – слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с современным. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывали нулевого решения, вероятно потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Рассмотрим пример. Задача. Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения x 2  21  10 x ). Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. Ал-Хорезми высказывает правила решения вышеуказанных видов уравнений, дающие только положительные решения уравнений, определяет условия, при которых эти решения существуют. Обоснование правил ал-Хорезми дает в духе геометрической алгебры древних. Например, от арабов Европа получила следующий способ присутствующий в работе ал-Хорезми. решения уравнения х 2+ах=b, Рис. 6. Геометрическая интерпретация решения уравнения х2+ах=b Построим квадрат х 2, к его сторонам приложим четырехугольники длины x  2 2 . Тогда площадь 2 полученного квадрата 2 a a a  x  и ширины 4 2 4 2 a a  2 .  x    x  ax  2 4  Значит, a2  a a2 a a2  , тогда . Величины b и а известны, поэтому можно x  ax  x  b x   b 2 4 4  2 4  2 �Содержание построить b a 2 , откуда a2 a . x b  4 2 4 В трактате ал-Хорезми приведены некоторые сведения о действиях над алгебраическими выражениями, примеры решения треугольников, много задач о разделе наследства, приводящих к уравнениям первой степени. Таким образом, трактат ал-Хорезми не содержал ничего нового по сравнению с тем, что было у греческих авторов и индусов, но он заслуживает внимания потому, что в течение длительного времени был руководством, по которому велось обучение в Европе. Заметим, что трактат ал-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы для их решений. Во всех исламских странах пользовались учением ал-Хорезми об имущественных расчетах по мусульманскому наследственному праву. Большим недостатком алгебры во времена ал-Хорезми было отсутствие символики, словесное описание операций. Это задерживало развитие алгебры. Тем не менее, его труды сыграли важную роль в истории математики. До середины XIX в. в алгебре сказывалось ее восточное происхождение – ей не хватало аксиоматического обоснования. В наших школьных учебниках алгебры и геометрии до сих пор сохранились эти признаки их различного происхождения. В VIII–Х вв., в начальный период развития математики стран ислама, арабские ученые перевели на свой язык индийские сиддханты и сочинения греческих математиков – Евклида, Архимеда, Аполлония, Птолемея, Диофанта и др. Удивительно то, что со многими работами греков Европа позже познакомилась через арабские переводы. В этом отношении особо выделяется Сабит ибн Корра (836– 901). Этот математик, астроном, механик, переводчик работал в Багдаде. Именно в его переводах сохранились не дошедшие до нас мемуары Аполлония и Архимеда. Все позднейшие ученые пользовались его переводами «Начал» Евклида, «Альмагеста» Птолемея. Многие арабские математики пытались решить классические задачи древности. В частности, в работе «Деление прямолинейного угла на три равные части» Сабит ибн Корра решал задачи трисекции угла и удвоения куба. Он занимался также исследованиями по теории параллельных прямых, посвященных V постулату, а также Омар Хайям, ат-Туси. На протяжении X в. уравнениями были выражены многие геометрические, тригонометрические, физические задачи: трисекция угла, построение вписанных многоугольников и др. Омар Хайям (1048–1131) – персидский поэт, философ, астроном и математик. Больше известен как поэт, автор «Рубайят». Он составил «Маликшахские астрономические таблицы», работал над реформой солнечного календаря. Она была осуществлена в 1079 г. Этот календарь действовал в Иране почти 900 лет и был отменен только в 1976 г. Известно, что календарь Хайяма «Джалали» точнее григорианского календаря. Хайям первым среди математиков создал теорию решения уравнений до третьей степени включительно и дал общую классификацию всех уравнений в трактате «О доказательствах задач альджабры и аль-мукабалы» (1069). В этом труде он определил и предмет алгебры – нахождение неизвестных величин, отнесенных к другим известным величинам с помощью уравнений. Тем самым, алгебра рассматривается как наука об уравнениях. Хайям берется и за изучение проблемы V постулата Евклида, которую безуспешно пытались решить ученые уже тысячу лет. В 1077 г. он завершил работу над трактатом «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида». Сам того не зная, Хайям близко подошел к проблемам, которые решил гениальный русский геометр Н.И. Лобачевский. Предвосхитил он и Декарта, создавшего �Содержание аналитическую геометрию, изучая геометрию в числах. Занимался Хайям и географией, естествознанием, философией. Поэтому весь мир признает его теперь ученым-энциклопедистом. Ат-Туси (1201–1274) – ученый-знциклопедист и государственный деятель. Ат-туси перевел на арабский язык важные работы древних ученых и написал к ним комментарии и приложения. Написал ряд трактатов по математике, астрономии, философии, медицине. Развивал связанные с астрономией разделы математики, в первую очередь тригонометрию. Благодаря ему тригонометрия отделилась от астрономии. В его «Трактате о полном четырехстороннике» (1260) плоская и сферическая тригонометрия выступают как самостоятельные предметы. В них стал преобладать материал об алгебраических зависимостях. Большое значение имела также его работа «Изложение Евклида», в которой он сформулировал новый постулат, которым предложил заменить пятый постулат Евклида. Таким образом, тригонометрия, возникшая в трудах александрийских и индийских ученых, существенно продвинулась вперед в работах математиков и астрономов исламских стран (Сабит ибн Корра, аль-Бируни, аль-Баттани, ат-Туси, аль-Каши). Из совокупности вспомогательных средств астрономии она преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических треугольниках и о способах решения этих треугольников. Арабские математики применяли уже линии синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Линии тангенса и котангенса рассматривались как тени: горизонтального гномона – на вертикальную плоскость и вертикального гномона – на горизонтальную плоскость. Линии синуса и косинуса измеряли как александрийские и индийские астрономы – в 60-х долях радиуса. Последним крупным ученым исламской математики считается аль-Каши – математик и астроном, работавший в Самаркандской обсерватории Улугбека. Последним произведением аль-Каши было «Ключ арифметики» – энциклопедия элементарной математики своего времени, приспособленная к нуждам практиков-вычислителей. Книга выделялась среди средневековой математической литературы богатством материала, ясностью и стройностью изложения. В этом трактате аль-Каши впервые более точно, чем ранее в Китае, изложил и применил теорию десятичных дробей, описал правила действий над ними. Отделял дробную часть от целой части вертикальной чертой или писал другим цветом. В этой же работе аль-Каши изложил приемы извлечения корней любой степени, один из которых был основан на применении формулы бинома Ньютона для натурального показателя. Аль-Каши также дал правила приближенного решения уравнений высших степеней, усовершенствовал тригонометрические вычисления. Начиная с XIV в. основным путем влияния математики стран Востока на Европу становится Византия. Примерно с середины XV в. развитие восточной математики замедляется. Математика стран ислама оказала исключительное влияние на развитие математики и на Востоке, и на Западе. Значительная ее часть создавалась в алгоритмически-алгебраическом духе, но существенно продвинулась по отношению к античным методам. Западная Европа достигла того же уровня только в XVI в. �Содержание Задания для самостоятельной работы по главе 2 1. Предложите список задач для решения на занятии математического кружка по теме «Математика Древней Греции: от Фалеса до Евклида». 2. Разработайте фрагмент урока по теме «Теорема Пифагора». 3. Разработайте фрагмент внеклассного мероприятия по теме «Практическая геометрия у разных народов». 4. Подготовьте исторический экскурс «Устный счёт и различные системы счисления у древних народов». 5. Подберите историко-математические задачи в стихотворной форме. 6. Напишите синквейн на одну из тем «Древний Вавилон», «Древний Египет», «Древняя Греция», «Древняя Индия» или «Древний Китай». �Содержание Глава 3. Историческое развитие некоторых содержательнометодических линий школьного курса математики 3.1. Развитие понятия числа 3.2. Формирование понятия «функция» 3.3. История возникновения и развития уравнений Задания для самостоятельной работы по главе 3 �Содержание 3.1. Развитие понятия числа Контрольные вопросы 1. Когда, как и почему возник счет предметов? 2. Как появились натуральные числа? 3. Где, когда и почему появились отрицательные числа? 4. Какова история развития рациональных чисел? 5. Когда людям стали известны иррациональные числа? С чем это связано? 6. Какова история развития действительных чисел? 7. Когда и почему возникли комплексные числа? Теоретические сведения Понятие о числе – одно из основных понятий математики. Древнейшая наука о числах – арифметика – была создана ни в одной какой-либо стране и не одним человеком, а родилась из практики, из трудовой деятельности всего человечества. На протяжении тысячелетий все страны и народы вносили свой вклад в развитие арифметики. Уже в очень отдаленные времена людям приходилось считать окружающие их предметы: членов своей семьи, домашних животных, оружие, убитых или пойманных на охоте зверей и т. д. Считается, что понятие числа возникло вследствие практической необходимости пересчета предметов. Полагают, что первые числа – один и много – имеют качественный, а не количественный характер. Запас чисел на ранних стадиях весьма ограничен. Ряд известных и используемых чисел конечен и удлиняется лишь постепенно. Сначала появляется число 2, которое отождествляется с реальными объектами: у индейцев – глаза, у тибетцев – крылья и т. п. Большие числа сначала образуются с помощью сложения, т. е. одновременно с получением новых чисел вводится и основное действие над ними – сложение. Эти выводы делаются также из наблюдения за развитием счета у малоразвитых народов. Например, ко времени прихода европейцев в XVII в. коренные племена Австралии имели крайне бедный запас чисел. Одно из племен использовало для выражения малых чисел такие слова: 1 – энэа, 2 – петчевал, 3 – петчевал-энэа, 4 – петчевал-петчевал и т. д. Миклухо-Маклай в XIX в. так описывал счет папуасов Новой Гвинеи: загибая пальцы руки они издавали определенный звук, например, «бе»: бе, бе, бе, бе, ибон-бе, потом на другой руке – бе, бе, бе, бе, ибон-али, на ноге – самба-бе, на другой ноге – самба-али. Можно понять, что али – это два, но в сочетании с другим словом, обозначающим конкретный предмет. �Содержание Наличие многих общих черт позволяет предположить, что аналогично было возникновение счета и у других народов. Вообще, каждое натуральное число есть свойство, общее для всех совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному, и разное у совокупностей, для которых такое сопоставление невозможно. Естественно, такое понимание о нем возникло в результате очень длительного и сложного исторического процесса развития способности к абстрактному мышлению. В возникновении первоначального представления о числе можно выделить три основных этапа: 1. Установление случайного взаимнооднозначного соответствия между двумя сравниваемыми множествами. 2. Появление различных эталонов счета, вначале естественных: луна – 1, глаза – 2, рука – 5 и т. п., затем искусственных – счетные палочки, камешки и т. п. 3. Переход к единому, наиболее удобному эталону счета: руки – двоичная, пальцы руки – пятеричная, пальцы обеих рук – десятеричная системы счисления. Счет предметов с помощью эталонов сопровождался образованием числительных и возникновением числовых обозначений. Изображение и наименование чисел у разных народов и в разные времена были основаны на следующих общих принципах. Вводятся основные знаки, с помощью которых записываются и называются остальные числа. Обычно используется сочетание трех принципов: аддитивного, субтрактивного и мультипликативного, когда стоящие рядом знаки означают соответственно сумму, разность и произведение значений этих знаков. В более поздних нумерациях значение знака стало зависеть еще от его позиции. Таким образом, по мере совершенствования счета появляются различные системы счисления. Следы древних систем счисления сохраняются и в наши дни, например, пятеричной, двадцатеричной, шестидесятеричной. Когда количество предметов превышало количество пальцев рук и ног, люди стали пользоваться для числовых записей камешками, зарубками на палках, пучками, узлами на веревках и т. п. Для перехода от таких приемов к специальным символам оставался только один шаг. И такие символы мы обнаруживаем в начале писаной истории. Сознание неограниченного ряда чисел является признаком высокого уровня знаний и культуры. В разное время у разных народов предельными числами были 2, 3, 5, 7, 10, 40, 60, 100 и др. Многие из них попали в категорию «мистических чисел». Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Евклид (III в. до н. э.), определял число (натуральное) как множество, составленное из единиц; такого рода определения можно найти и во многих нынешних учебниках. Но понятие «множество» (или «совокупность» и т. п.) также не определено в математике, как и «число». Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены дробные числа. Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Бывало и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Понятие об отрицательных числах возникло в практике решения алгебраических уравнений, когда приходилось производить вычитание большего числа из меньшего. Не только египтяне и вавилоняне, но и древние греки не знали отрицательных чисел. Для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Знаков «+» и «–» в то время еще не было, палочками �Содержание красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же – палочками черного цвета. Отрицательные числа долгое время называли словами, которые означали «долг», «недостача». Даже в VII в. в Индии положительные числа толковались как имущество, а отрицательные – как долг. В древнем Китае были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись. Алгебра возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Чтобы решать уравнения, необходимо иметь помимо натуральных чисел еще и дробные, отрицательные числа, т. е. востребованы все рациональные числа. Таким образом, практика решения уравнений первой степени породила необходимость расширения понятия числа от множества положительных целых чисел до множества рациональных чисел. Решение уравнений второй степени требует дальнейшего расширения множества чисел, введения новых чисел, сначала иррациональных (объединение всех рациональных и иррациональных чисел дает множество действительных чисел), а затем и комплексных. Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби. Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и действительные (выражающиеся в виде конечной или бесконечной десятичной дроби). В связи с решением уравнений были открыты мнимые числа, которые долгое время не признавали за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745–1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые «мнимые числа» получили свое место во множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически. Эйлер стал записывать это число в виде а +bi. Говоря об эволюции понятия числа, отметим, что не всегда первым толчком к расширению понятия числа были непосредственные практические потребности людей в узком смысле слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практики решения алгебраических уравнений. Однако и на этом развитие понятия числа не завершилось. �Содержание 3.2. Формирование понятия «функция» Контрольные вопросы 1. Когда и почему возникла идея функциональной зависимости? 2. Кто внес больший вклад в становление понятия функции? 3. Какие идеи в разные времена и кем были положены в основу понятия функции? Теоретические сведения Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий в математике становится понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев и др. Путь к появлению понятия функции заложили в XVII веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение неизвестных последними буквами латинского алфавита х, у, z, …; известных – начальными буквами того же алфавита: а b, с, … В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции как изменения ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения – формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени. В «Геометрии» Декарта, в работах Ферма, Ньютона и Лейбница, понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых – функция от абсцисс (х); путь и скорость – функция от времени (t) и т. п. В XVIII веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли – Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». В 1837 году немецкий математик П.Л. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке a  x  b ), если каждому значению х на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей, либо, даже, просто словами». �Содержание Во второй половине XIX века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества A поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y  f (x ) , или, что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы из множества В – значениями функции; во втором случае х – прообразы, у – образы. Дальнейшее развитие математической науки в XIX веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. �Содержание 3.3. История возникновения и развития уравнений Контрольные вопросы 1. С какого времени человечество умеет решать линейные уравнения? 2. Где и когда научились решать квадратные уравнения? 3. Как были получены способы решения уравнений старше второй степени? 4. Какая символика в разные времена и в разных странах использовалась для записи уравнений? Теоретические сведения В связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений возникла алгебра. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Это было обусловлено потребностью решать практические задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера. Немало свойств, правил действий над величинами, алгебраических приемов знали ученые Древней Греции. Однако они выражали их в геометрической форме. Например, Евклид (ок. 300 г. до н. э.) занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. В «Началах» решается задача о построении квадрата, равновеликого любому данному многоугольнику. При этом Евклид оперирует самими площадями, а не числами, которые выражают эти площади. То, что мы получаем с помощью алгебры, Евклид получал геометрическим путем. Извлечение квадратного корня из числа означало для Евклида построение стороны квадрата, площадь которого равна площади данного многоугольника. Следы геометрической алгебры мы встречаем и сейчас в терминах «квадрат» числа, «куб» числа. Процесс освобождения алгебры от геометрической формы и создание буквенной символики начался в Древней Греции, в трудах Диофанта (III в. до н. э.), и продолжился в Индии и в средние века в арабских странах и в Европе. Однако только после того, как Виет (1540–1603) ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для обозначения известных величин и коэффициентов, после появления трудов Декарта (1596–1650), Ньютона (1643–1727) и других ученых этот длительный исторический процесс был в основном завершен. Именно благодаря введению буквенных коэффициентов стало возможным исследование алгебраических уравнений в общем виде и применение общих формул. Задачи, сформулированные в общем виде, без конкретных числовых данных, встречаются уже в древности и в средние века. Например, в астрономическом трактате «Ариабхаттиам» индийского ученого Ариабхатты (род. в 476 г.) имеется следующая задача: «Два лица имеют равные имущества, причем каждое состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. �Содержание Однако число вещей, как и сумма денег, у них различны. Какова стоимость вещи?»1. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, но содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Рассмотрим в качестве примера одну из этих задач: «Найти два числа, зная, что сумма их равна 20, а произведение – 96»2. Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. (10+x), другое же меньше, т. е. (10–x). Разность между ними 2x. Отсюда уравнение 10  x 10  x   96 , 100  x 2  96 или x 2  4 . Отсюда x=2.Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x=–2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Современный школьник, решая эту задачу, выберет в качестве неизвестной одно из искомых чисел, и 2 придет к решению уравнения y  y  20   96 или y  20 y  96  0 . Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в упомянутом выше астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой (I в.). Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax 2  bx  c , a  0 . В этом уравнении коэффициенты, кроме a, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с тем, которым пользуемся мы в настоящее время. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных алгебраических задач, формулируемых часто в стихотворной форме. В начале IX века выдающийся математик восточного средневековья Мухаммед ибн-Муса ал-Хорезми, родившийся во второй половине VIII в. и умерший между 830 и 840 гг. написал учебник, ставший родоначальником европейских учебников алгебры и давший этой науке не только название, но и совершенно новый характер. Евклид решает вопросы алгебры геометрически. Диофант, которого называют «отцом греческой алгебры», искусственными приемами находит числа, удовлетворяющие заданным условиям, выражаемым уравнениями. Ал-Хорезми же пишет в предисловии к своей книге «Китаб ал-джабр ва-лмукабала» («Книга противоположения и восстановления»), что он «составил это небольшое сочинение из наиболее легкого и полезного в науке счисления и притом такого, что требуется постоянно людям в делах о наследовании, наследственных пошлинах, при разделах имущества, в судебных процессах, в торговле и во всех их деловых взаимоотношениях, случаях измерения земель, проведения каналов, в геометрических вычислениях и других предметах различного рода и сорта…». «Алгебра» Хорезми, сохранившаяся до нашего времени в арабской рукописи, переведена на разные языки. В теоретической части сочинения изложены правила алгебраических преобразований, дана 1 Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII кл. – М. : Просвещение, 1982. – С. 12. 2 Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII кл. – М. : Просвещение, 1982. – С. 21. �Содержание классификация уравнений 2-й степени и приводятся правила их решения, доказанные геометрическим способом. Вторая часть содержит приложения алгебраических методов к решению задач практики. Как было сказано выше, ал-Хорезми рассматривает шесть видов линейных и квадратных уравнений: ax 2  bx , ax 2  c , bx  c , ax 2  c  bx , ax 2  bx  c , bx  c  ax 2 , и формулирует правила их решения (выраженные в словесной форме); правила сопровождаются многочисленными примерами. Такая классификация объясняется тем, что Хорезми, как и другие ученые его времени, требовал, чтобы все члены уравнения были положительными. Для приведения к одному из этих видов Хорезми вводит два действия: ал-джабр (т. е. восполнение) и ал-мукабала (т. е. противопоставление). Первое состоит в перенесении отрицательного члена из одной части уравнения в другую, второе – в приведении подобных членов. От термина «ал-джабр», с которым европейские математики познакомились по латинским переводам восточных алгебраических сочинений, возникло современное слово «алгебра». Большая часть книги отведена решению практических задач, чего совершенно избегали греческие математики. Крупнейший математик средневековья Абу Райхан Беруни (973–1048) в сочинении «Книга вразумления начаткам науки о звездах», один из разделов посвятил рассмотрению понятий алгебры. Беруни дает определение неизвестной и ее степеней, формулирует правило знаков, разъясняет алгебраические операции, в том числе действия «ал-джабр» (т. е. перенесение отрицательного члена уравнения в противоположную часть для получения в обеих частях положительных членов), и «алмукабала» (т. е. приведение подобных членов уравнения), приводит традиционную классификацию квадратных уравнений, впервые введенную Хорезми. Здесь же разъясняется так называемое «правило двух ложных положений», или «правило двух ошибок», широко применявшееся в средневековой математике для решения задач на линейные уравнения: если требуется решить уравнение ax  b  c , придаем неизвестной x произвольное значение («ложные положения») x 1 и x 2; тогда, подставляя, x1  x d1  получим: ax1  b  c  d1 и ax 2  b  c  d 2 , где d1 и d2 – первая и вторая «ошибки»; отсюда x2  x d 2 и x x1d 2  x2 d1 . Таким образом находится истинное значение неизвестной. d 2  d1 В XII–XIII вв. в Европе интенсивно переводились с арабского языка как труды самих арабов, так и работы древних греков, переведенные на арабский язык. В Европе формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок. 1180 – ок. 1240). Это объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI–XVII вв. и частично XVIII в. В «Книге абака» рассмотрены различные задачи, указаны методы их решения, причем арифметика и алгебра линейных и квадратных уравнений изложены с небывалой до этого времени точностью и полнотой. Существо задачи Леонардо излагает словесно; неизвестную он называет res (вещь) или radix (корень); квадрат неизвестной – census (имущество) или quadratus (квадрат); данное число – numerus. Все это латинские переводы соответствующих латинских слов. Современник Леонардо, Иордан Неморарий (XIII в.), употреблял буквенные обозначения более �Содержание систематично и решал задачи с применением линейных и квадратных уравнений, сначала в общем виде, а затем иллюстрировал их числовыми примерами. Выдающимся алгебраистом своего времени стал монах Лука Пачоли (ок. 1445 – ок. 1514), близкий друг Леонардо да Винчи, работавший профессором математики в университетах и различных учебных заведениях Рима, Болоньи, Неаполя, Флоренции, Милана и других городов. Он ввел «алгебраические буквы» (caratteri algebraici), дал обозначения квадратному и кубическому корням, корню четвертой степени. В уравнениях Пачоли использовал следующие обозначения: – неизвестная х – со (cosa – вещь); – х 2 – се (censo – квадрат, от латинского census); – х 3 – cu (cubo); – x 4 – се.се. (censo de censo); – x 5 – р°r° (primo relato – «первое relato»); – x 6 – р°r°х – се.cu. (censo de «второе relato»); – х 8 – ce.ce.ce. (de censo); – x 9 – cu.cu. (cubo de cubo); – x 10 – ce.p°r° (censo de primo relato) и т. д.; – свободный член уравнения – n (numero – число). Как видим, некоторые степени Пачоли получал мультипликативным способом с помощью показателей 2 и 3 (х 4=х 2 2, х 6=х 2 3, х 9=х 3 3 и т. д.), а в случаях, когда так не получалось, пользовался словом relato (например, при образовании х 5, х 7 и т. д.). Специальными символами Пачоли обозначил вторую неизвестную и ее степени. Для обозначения операции сложения он воспользовался знаком ~p (plus – ~ (minus – меньше). Он сформулировал правила больше), для обозначения вычитания – знаком m ~ . умножения чисел, перед которыми стоят знаки ~p и m Раздел «Суммы», посвященный алгебраическим уравнениям, Пачоли закончил замечанием о том, что для решения кубических уравнений х 3+ах=b и х 3+b=ах «искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга». Некоторый шаг в совершенствовании алгебраической символики сделал бакалавр медицины Н. Шюке (ум. ок. 1500 г.), который в книге «Наука о числах в трех частях» изложил правила действий с рациональными и иррациональными числами и теорию уравнений. Для сложения и вычитания он ~ , причем, знак m ~ служил и для обозначения вслед за Пачоли пользовался знаками ~p и m отрицательного числа. Неизвестную величину он называл premier («первое число»), а ее степени – вторыми, третьими и т. д. числами. Записи степеней неизвестной у Шюке лаконичны. Например, современные символы 5, 5х, 5х 2, 5х 3 у него выглядели бы так: 5°, 51, 52, 53. Вместо равенства 8х 3 7х -1 = ~ , дает 562». Таким образом, он рассматривал и 56х 2 Шюке писал: «83, умноженное на 71 m отрицательные показатели. Относительно свободных членов уравнения Шюке указывал, что эти числа «имеют имя нуль». Значительного успеха в совершенствовании «алгебраических букв» Луки Пачоли достигли немецкие �Содержание ~ ввели знаки + и –, знаки для неизвестной, и ее алгебраисты – «коссисты», которые вместо ~p и m степеней, свободного члена. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x 2  bx  c , при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем (ок. 1496–1567). Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. XVI в. в алгебре ознаменовался величайшим открытием – решением в общем виде уравнений третьей и четвертой степеней. Спицион дель Ферро в 1506 г. нашел решение кубического уравнения вида x 3  ax  b , a,b > 0. (1) 2 a 3 3 Чуть позже Тарталья указал решение этого же уравнения в виде x  u  v , где u  v  b , uv   3  ,   откуда u и v находятся как корни квадратного уравнения. 2 a Также он нашел решение уравнения x 3  ax  b , a,b > 0 (2) в виде x  3 u  3 v , где u  v  b , uv    . 3 Уравнение же x 3  b  ax , a,b > 0 можно решить с помощью уравнения (2). Чтобы получить представление о символике Кардано, приведем пример записи корня кубического уравнения x 3  6 x  20 . Выражение 3 108  10  3 108  10 записывалось так: ~ ~ R .u.cu.R .108 m ~ 10. Rx.u.cu.Rx.108 p 10 m x x Здесь Rx – знак корня (Radix), Rx.u.cu означает корень кубический из всего выражения до вертикальной ~ – сокращения слов plus и minus. черты или после нее, ~p и m Открыл метод решения уравнений четвертой степени 23-летний ученик Кардано – Луиджи Феррари. После того, как были исследованы уравнения третьей степени, задача об уравнениях четвертой степени стала более легкой. Феррари рассматривал уравнение, не содержащее члена с x 3, т. е. уравнение вида x 4  ax 2  bx  c  0 . Он преобразовывал его так, чтобы в левой части был полный квадрат, а в правой – выражение не выше второй степени относительно x. 2 a2 a2  2 a Выделением полного квадрата получалось  x    x 4  ax  .  bx  c  2 4 4  Теперь следовало выполнить такие преобразования, чтобы из левой и правой частей можно было извлечь корень. С этой целью Феррари вводил новую переменную t и прибавлял к обеим частям  2 a 2 выражение 2 x    t  t . Это дает 2   2 a2 2  2 a  2 x t  2 tx  bx  (  c  at  t ) .     2  4  �Содержание Нужно, чтобы правая часть была полным квадратом. Выделим полный квадрат в трехчлене:  b c b b2 b2 c    2  2    ax 2  bx  c  a x 2  x    a x 2  2 x 2a 4a a a a 4a   2  2 b b 2 4ac  b 2  4ac  b 2 b     a x  2 x    a x  .   2a 4a 2 2a  4a  4a 2   Трехчлен будет полным квадратом, когда 4ac–b2=0. В нашем случае роль коэффициента при x 2 играет 2t, а роль свободного члена – выражение в скобках правой части уравнения. Тогда выражению  2 4ac–b=0 соответствует b  4  2t    c  at   a2   t 2   0 , т. е. b 2  2t  4t 2  4 at  a 2  4 c  . 4  Таким образом, нахождение t свелось к решению кубического уравнения, а x находится из квадратного уравнения после извлечения корня из левой и правой частей, т. е. из уравнения x2   a b  .  t0   2t0  x  2 4t0   Кардано отмечает, что таким же приемом можно решать уравнения, в которых отсутствует член не с третьей степенью х, а с первой. В этом случае делается подстановка х=k/y. Открытия, сделанные итальянцами в алгебре и систематически изложенные Кардано, стали доступны математикам других стран и дали импульс развитию науки. Дальнейшее развитие алгебры было связано с совершенствованием символики и разработкой общих методов решения уравнений. �Содержание Задания для самостоятельной работы по главе 3 1. Разработайте сценарий внеклассного мероприятия математического характера по теме «Уравнения». с использованием задач историко- 2. Составьте фрагмент факультативного занятия по теме «Числа» с использованием историкоматематического материала. 3. Подготовьте исторический экскурс по теме «Функция». �Содержание Глава 4. История развития отечественной математики Контрольные вопросы 1. Охарактеризуйте кратко основные достижения древнерусской математики. 2. Великие русские математики. Их вклад в развитие отечественной математики. Теоретические сведения Предки русского народа – славяне – с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Х веке нашей эры на Руси появилась письменность. Из первых известных письменных источников мы узнаем о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X–XI веках. Они были связаны, естественно, с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д. Первые сведения о развитии математики на Руси относятся к IX–XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). Феодальная раздробленность и иноземное нашествие сыграли роковую роль в исторической судьбе, и надолго задержали культурное и научное развитие Киевской и Новгородской Руси. Поэтому вновь математика начинает развиваться на Руси только в XVI в. после освобождения от татарского ига. В первых рукописях создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVI в. «Книга сошному письму», содержащая «статью», посвященную вычислению налога с земельной площади в «сохах». Для расчетов «сошного письма» применялись русские счеты. Строки взяты из статьи «О полбе немолоченой» одного из ранних рукописных исторических документов – «Русской Правды» – первого из дошедших до нашего времени сборника русских законов: «А полбы немолоченые 15 копен, а на то прибытка на одно лето 7 копен, а на всю 12 лет в той полбе прибытка 1000, 700 и 50 копен». Судя по всему, подсчет «прибытка» в этой статье основан на предположении, что каждый год в течение 12 лет вся собранная в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3/2 посеянной полбы, и что все вычисления ведутся в целых числах. Другое дошедшее до нас наиболее древнее русское математическое произведение «Учение им же ведати человеку числа всех лет» принадлежит новгородскому монаху Кирику и посвящено календарным расчетам. В XVI–XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). В настоящее время известно значительное количество математических рукописей XVII века. В основном они предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила �Содержание пояснялись разнообразными примерами и задачами. Монголо-татарское и ливонское нашествие надолго прервали развитие математики па Руси. Торговый путь из варяг в греки перестал существовать, с ним прекратился и обмен информацией. Новые способы счета могли быть получены разве что от татарских сборщиков дани. В конце XV века татарское иго было свергнуто. На Руси, хотя и с отставанием, развивалась торговля, строительство, оружейное дело. В XVI–XVII веках появились многочисленные руководства, которые содержали необходимые для практических нужд математические сведения. Однако Россия, лишенная выходов к морям, не имела того мощнейшего стимула развития математики, каким в странах Западной Европы стало мореплавание. Математическое отставание России усугублялось вплоть до начала XVIII века – до реформ Петра Великого. Перестройка государственной, общественной и культурной жизни страны, начатая Петром I, подняла и вопросы образования. Требовались специалисты для создания новой регулярной армии, для постройки торгового и военного флота, для развития промышленности и т. д. Для подготовки таких кадров, для распространения в стране математических зданий нужны были учебники. В 1703 году такой учебник был издан типографским способом необычайно большим по тем временам тиражом – в количестве 2400 экземпляров. Назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная...». Автором его был выдающийся педагог-математик – Леонтий Филиппович Магницкий. Взяв за основу имевшуюся рукописную математическую литературу, Л.Ф. Магницкий создал книгу, которая на протяжении 50 лет была основным учебником по математике для почти всех учебных заведений России. Она сыграла большую роль в распространении математических знаний, в подготовке кадров для государственных учреждений страны. В 1725 году в Петербурге открылась Академия наук с университетом и гимназией. Вначале для работы «Академии были приглашены ученые из-за границы. Среди них приехал в Россию двадцатилетний швейцарец Леонард Эйлер, будущий великий математик. Русский народ изобрел идеальный прибор – счеты – для облегчения счисления по десятичной системе. Эти счеты по справедливости называются русскими. В книгах можно встретить указание, что счеты были изобретены китайцами, что они от китайцев перешли к сибирским народам и что известные в русской истории купцы и промышленники Строгановы привезли их в Россию. Указывается и время, когда якобы появились счеты в России: по одним источникам – при Дмитрии Донском (XIV век), по другим – при Петре Первом (на рубеже XVII и XVIII веков). Эти рассказы лишены основания в той же мере, как и предания о том, что предок Строгановых был татарским королевичем. К сожалению, рассказы о восточном происхождении русских счетов попали в «Историю государства Российского» Н.М. Карамзина и отсюда в большинство учебников. Одно из самых ранних описаний русских счетов, сделанное датским математиком – богословом Петером ванн Хавеном в 1743 году, как и некоторые другие старые источники, совершенно отчетливо указывает на то, что у счетов на каждой проволоке имеется по девяти шариков. Таким образом, можно утверждать, что этот русский народный счетный прибор самим народом был доведен до совершенства. Лишний десятый шарик появился позднее и сохранился до сих пор, хотя авторы XIX столетия неоднократно указывали, что он является лишним и мешающим. Первоначальная форма счетов на Руси называлась «дощатый счет». «Дощатый счет» представлял собой доску или раму с чётками (шариками), надетыми на шнуры или веревки. Счет на этом приборе производится почти так, как на современных конторских счетах. Многие обороты нашей речи свидетельствуют о том, что счеты русским народом употребляются с очень давних пор. «Сбрасывать со счета», «прикидывать», «накидка», «скидка», «сводить счеты», «скостить» и много аналогичных выражений в народном языке появилось в результате пользования счетами в течение долгого времени. Чаще всего на счетах приходится считать деньги. Широкое распространение русских �Содержание десятичных счетов находится в связи с тем, что в России раньше, чем в других странах, возникла десятичная денежная система: рубль равен десяти гривенникам, гривенник – десяти копейкам, червонец – десяти рублям. Основной предпосылкой для всех математических знаний служит нумерация, которая у разных древних народов имела различный вид. По-видимому, все народы вначале обозначали числа зарубками на палочках, которые у русских назывались бирками. Такой способ записей долговых обязательств или налогов применялся малограмотным населением разных стран. На палочке делали нарезы, соответствующие сумме долга, или налога. Палочку раскалывали пополам: одну половину оставляли у должника или у плательщика, другую хранили у заимодавца или в казначействе. При расплате обе половинки проверяли складыванием. С появлением письменности, появились и цифры для записи чисел. Сначала эти цифры напоминали зарубки на палках, затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10. В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Однако за несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. В одной из русских рукописей XVII века читаем мы следующее: «...знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тьма, и что есть легион, и что есть леодр...», «...сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тьма есть десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть десять легионов...». В то время как в странах Западной Европы пользовались римской нумерацией, в древней России, находившейся подобно другим славянским странам в тесном культурном общении с Византией, получила распространение алфавитная нумерация, сходная с греческой. В древнерусской нумерации числа от 1 до 9, затем десятки и сотни изображались последовательными буквами славянского алфавита (именно так называемой кириллицы, введенной в IX в.). Из этого общего правила были некоторые исключения: 2 обозначалось не второй по счету буквой «буки», а третьей «веди». «Фита», стоящая на конце славянского алфавита, обозначала, как греческая 0 (древняя тэта, византийская фита), число 9, а 90 обозначалось буквой «червь» (у греков использовалась для этой цели буква «копиа», отсутствовавшая в живом греческом алфавите). Не использовались отдельные буквы. Для указания же того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ним ставили специальный знак «~», называемый титло. Десятки тысяч назывались «тьмы», отсюда и произошло название «Тьма народу», т. е. очень много народу. Сотни тысяч назывались «легионами». Миллионы назывались «леодрами». Сотни миллионов назывались «колодами». При рассмотрении чисел не дальше тысяч миллионов использовали «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет» и говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумети». Таким образом, древнерусская нумерация была основана на принципах ионийской нумерации. Она применялась до конца XVII в., далее начала вытесняться индийской нумерацией. Современная математика использует индийскую нумерацию. На Руси индийские цифры стали известны в начале XVII в. Простейшие дроби были известны давно. Сначала возникли 1/2 и 1/3, потом их последовательные половинки: 1/4 (четь), 1/8 (полчети), 1/6 (полтрети), 1/12 (пол-полтрети) и т. д. Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления – особенно последнее. «Умножение – мое мучение, а с делением – беда», – говорили в старину. В глубокой древности и почти до восемнадцатого века русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления: они применяли лишь два арифметических действия – сложение и вычитание, да ещё так называемые «удвоения» и «раздвоение». Сущность русского старинного способа умножения состоит в том, что �Содержание умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам (последовательное раздвоение) при одновременном удвоении другого числа. Если в произведении, например, 24∙5, множимое уменьшить в 2 раза («раздвоить»), а множитель увеличить в 2 раза («удвоить»), то произведение не изменится: 24∙5=12∙10=120. Пример: 32∙17=16∙34=8∙68=4∙136=2∙272=1∙544. Деление множимого продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, одновременно удваивая множитель. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. В ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. И все эти приемы умножения – «шахматный», «загибанием», «задом наперед», «алмазом» и прочие, а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Во времена М.В. Ломоносова действие умножения уже записывали почти так, как и в наше время. Только множимое называли «еличество», а произведение – «продукт» и, кроме того, не писали знак умножения. Известно, что М.В. Ломоносов знал наизусть всю «Арифметику» Л.Ф. Магницкого. О применении дробей в России XVII века мы читаем в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики». При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников. Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним. Учение о дробях всегда оставалось труднейшим разделом арифметики, но, в то же время, в любую из предшествующих эпох люди сознавали важность изучения дробей. В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого обыкновенные дроби излагаются подробно, десятичные же дроби – в специальной главе, как некоторый вид счисления, не имевший при тогдашней системе мер большого практического значения. Только с введением метрической (десятичной) системы мер, десятичные дроби заняли подобающее место. Запросы практической жизни продолжали подталкивать развитие геометрии. Уже в самых старинных памятниках русской истории мы встречаем начальные сведения по геометрии. Исконно русским руководством, излагавшим приемы измерения площадей, является «Книга сошного письма», самый древний экземпляр которой относится к 1629 году, хотя имеются указания, что оригинал был составлен при Иване Грозном в 1556 году. При вычислении площадей фигур рекомендуется разбивать их на квадраты, прямоугольники, треугольники, трапеции. Возможно, что русская землемерная практика имела дело только с треугольниками и трапециями, прямоугольными или почти прямоугольными. В 1607 и 1621 годах издается «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до воинской науки». В этой книге между прочими сведениями даются и геометрические знания. Вот как определяется расстояние от точки наблюдения А до другой, недоступной точки В. В точке А нужно вбить шест AD, примерно в рост человека. К верхнему концу шеста прилагается угольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с концом шеста D, а продолжение одного из катеров проходило через точку В. Отмечается точка С на земле, через которую проходит продолжение другого катета. Если измерить расстояние АС, то искомое расстояние относится к длине шеста так, как последняя длина относится к расстоянию АС. При Иване Грозном, в 1556 году, было составлено первое русское руководство по землемерию под названием: «Книга, именуемая геометрия или землемерие радиксом и циркулем, глубокомудрая, �Содержание дающая легкий способ измерять места самые недоступные, плоскости, дебри». В рукописи начала XVII века мы встречаем такие, например, задачи: «Хошь узнати промежь какими местами, не ходя и не меревь, что будет промежь верст, или сажен, или аршин. И ты познавай: как ходил будто к Троице в Сергиев монастырь и тут 32 версты. Ходил же в Воскресенский монастырь, и тут будто 24 версты, Что будет промежь теми монастырями, скажи не меревь? И те числы с таких же чисел умножь. И те оба перечня, сложи вместе и раздели на радикс [то есть извлекай квадратный корень]. И что из делу выдет, столько будет промежь теми местами верст». Вторая задача такого же рода: «Ходил с Москвы в Новгород и тут 600 верст. Ходил в Шуйский город и тут 500 верст. Что будет промежь теми городами: зри 781 верста». Большую роль в развитии арифметики играли различные системы мер: длины, площади сыпучих тел, весовой и денежной единиц. За единицу площади на Руси принимали десятину (первоначально это площадь квадрата со стороной, равной 1/10 версты), равную площади прямоугольника со сторонами 80 и 30 саженей, и четь – 0,5 десятины. Существовало еще много других местных единиц, узаконенных и неузаконенных, принятых в одной части России и неизвестных в другой (четверть, копна, выть, соха и т. д.). Меры жидкостей были окончательно установлены лишь в первой половине XIX столетия: 1 бочка = 40 ведрам (т. е. ≈ 5 гектолитрам), 1 ведро = 10 штофам (т. е. ≈ 12,3 литра), 1 штоф = 2 бутылкам = 10 соткам (чаркам) (т. е. ≈ 1,23 литра), 1 сотка (чарка) = 2 шкаликам (т. е. ≈ 0,12 литра) и др. Наиболее древней мерой веса являлась «гривна» (или «гривенка»), равная примерно 410 граммам. Значительно позднее появились фунты, пуды, золотники и к концу XVII столетия система мер веса приняла такой вид: 1 ласт = 72 пудам (т. е. ≈ 1,179 тонны), 1 берковец = 10 пудам (т. е. ≈ 164 килограммам), 1 пуд = 40 большим гривенкам или фунтам = 80 малым гривенкам =16 безменам (т. е. ≈ 16,38 кг), 1 фунт = 96 золотникам (т. е. ≈ 410 г). Древнейшая русская математическая рукопись, сохранившаяся до наших дней, датируется 1136 годом – временем, когда единая Киевская Русь стала неудержимо разваливаться на мелкие, враждующие княжества. Автором рукописи «Учение им же ведати человеку числа всех лет» был новгородский дьякон и «числолюбец» по имени Кирик Новгородец (родился в 1110 г.), первый русский математик, известный нам по имени. Этот труд посвящен хронологическим расчетам. Счет годам велся не от рождества Христова, а от сотворения мира. Кирик вычислил не только число годов, но и число месяцев, недель и дней. Например, задача Кирика Новгородца: Сколько месяцев, недель, дней и часов прожил человек, которому в 1136 г. исполнилось 26 лет? Благодаря запискам Кирика, мы можем судить, что уровень математических знаний в ХII веке был на Руси не ниже, чем в Западной Европе. Записки содержат Значки на суммирование прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев, недель и дней, прошедших со дня сотворения мира; вычисление размеров Солнца и Луны по астрономическим данным. А самой сложной задачей было вычисление дат празднования Пасхи. Как известно, даты ряда церковных праздников непостоянны. От года к году они определяются по довольно сложным правилам, связанным с движением солнца и луны. Вычисление дня Пасхи (с этим церковным праздником жестко связаны даты других праздников церковного календаря) представляет поэтому непростую математическую задачу. По православным канонам этот праздник приходится на первое воскресенье после первого весеннего полнолуния. Таковым считается полнолуние, наступившее между 21 марта и 18 апреля (по старому стилю). Последовательность дат зацикливается только через 532 года. Чтобы �Содержание вычислить даты Пасхи на много лет вперед, надо сопоставить периодичность солнечных и лунных движений, обладать основательными знаниями и навыками в астрономии и математике. В начале «Учения» указывается, что написано оно в 6644 г. от «сотворения мира» (в 1136 г. по принятому сейчас у нас летоисчислению), и что от «сотворения мира» прошло 79728 месяцев или 346673 недели, или 2426721 день, или 29120652 дневных часов и столько же ночных. После этого сообщается как вычислить так называемый «солнечный», «лунный» и «великий» круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник пасхи в текущем году. Таким образом, в начале истории русского государства ход развития ее математической культуры был общим со всеми государствами Европы. Далее на Западе знакомятся с арабской математикой. В России, больше связанной с Византией, чем со странами ислама, развитие математики пошло иным путем. Сближение с Европой насильственно прервалось в XIII веке из-за нашествия монголо-татар (1240) и крестоносцев (1242). К началу Нового времени Россия отстала от Европы по уровню науки вообще и математики в частности. Первые логические сочинения на Руси появились в Х веке в виде переводов некоторых трудов Аристотеля и его комментаторов. Первая оригинальная система логики, принадлежащая М.В. Ломоносову, изложена в его руководстве по теории красноречия. К XVII веку в КиевоМогилянской и Славяно-греко-латинской Академии курсы логики становятся одним из обязательных элементов образования. В это же время издан первый самостоятельный учебник по логике в России Макарием Петровичем. Значительный вклад в развитие логико-философской проблематики в XVIII веке внесли, кроме М.В. Ломоносова, В.Н. Татищев, А.Н. Радищев. Ценный вклад в развитие логики сделал современник М.В. Ломоносова академик математики Леонард Эйлер – ввел в логику наглядный прием изображения отношения между объемами понятий в виде наглядных геометрических фигур – так называемые «эйлеровы круги». Единой системы образования в России до XVIII в. не было. В 1687 г. открыта Славяно-греколатинская академия в Москве, из которой вышли Л.Ф. Магницкий, М.В. Ломоносов и др. В первой четверти XVIII в. математическое просвещение становится одной из задач государства. За спешную подготовку военных и технических специалистов принимается царь Петр I. Реформы, начатые им, потребовали и организации широкого светского обучения. Посылка людей за границу для обучения не дала эффекта. В 1701 г. в Москве начала работу Навигацкая школа. Oт нее в 1715 г. отделилась Морская академия, переведенная и Петербург. В Навигацкой школе готовили специалистов во все роды военной, морской и гражданской службы. Преподавание математики включало арифметику, геометрию, тригонометрию, пользование таблицами логарифмов, счетными линейками. Основными преподавателями были А.Д. Фархварсон и Л.Ф. Магницкий, известные российские просветители. Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739) – один из выдающихся людей петровского времени по образованности и математическим познаниям. В 1703 г. он напечатал в Москве первое руководство – энциклопедическую «Арифметику», которая сразу же стала основным учебником математики в России на многие годы. Прослужила она до середины XVIII в., оказав немалое влияние на все учебные руководства русских авторов. Полное название книги – «Арифметика сиречь наука числительная». Это большой том, разделенный на две книги. Первая книга посвящена арифметике, вторая включает алгебру с геометрическими приложениями, начала тригонометрии, географию и навигацию. Поворотным пунктом в развитии математики в России явилось основание Петербургской Академии �Содержание наук (1725), которая дала мощный толчок в подготовке русских математиков. Среди 23 академиков, приглашенных на работу в течение первых лет, семь являлись математиками. Были приглашены Яков Герман, Христиан Гольдбах, Николай и Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и др. Начиная с 1728 г. выходили «Записки Императорской Петербургской Академии наук» на латинском языке, в которых печатались оригинальные математические труды академиков, среди них 400 трудов Эйлера. На академиков возлагались также преподавание в университете и гимназии и занятия с наиболее способными студентами. Некоторые студенты направлялись для усовершенствования знаний в Германию. Таким образом, педагогические и методические идеи Европы проникали в Россию через представителей первой российской научно-методической школы Эйлера. Академические учебные заведения сыграли важную роль в развитии науки и просвещении. Они дали гениального ученого М.В. Ломоносова, а также первых русских академиков-математиков. Большую заслугу имеет академия в создании учебной математической литературы. Ведущими учебниками были руководства Эйлера, оказавшие влияние на все создававшиеся учебники: «Руководство к арифметике, для употребления в гимназии при Императорской Академии наук» и «Универсальная арифметика» Эйлера, «Универсальная арифметика» (1757) и «Арифметика или числовник» (1771) Н.Г. Курганова и др. В 1755 г. был основан Московский университет. В нем почти полстолетия преподавалась только элементарная математика. Для трех его факультетов готовили студентов две гимназии. Первая половина XIX века характеризуется постепенным повышением уровня преподавания и ростом квалификации преподавателей. Из выпускников того периода вышло немало выдающихся ученых, в том числе академик П.Л. Чебышёв. Университеты организовались в Дерпте (Тарту) (1802), Вильнюсе (1803), Казани и Харькове (1804), Петербурге (1819). Позже они были открыты в Киеве (1834), Одессе (1865), Варшаве (1869), Томске (1888). Важной особенностью новой системы учебных заведений была ее непрерывность. Окончив уездное училище, можно было перейти в гимназию, а гимназическая подготовка считалась достаточной для поступления в университет. С 1808 г. никто не мог поступить на государственную службу без диплома училища. Преподаватели училищ готовились в университетах. В каждом университете учреждались физико-математические факультеты и кафедры математики. В них обучали алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислению, читали повторительный курс элементарной математики. Сначала срок обучения был трехгодичным, потом –четырехгодичным (1835). После смерти Эйлера (1783) уровень математического творчества в Академии снизился. Новый подъем начался в 20-е годы XIX века в период плодотворной работы молодых академиков М.В. Остроградского и В.Я. Буняковского. Остановимся на их деятельности. Михаил Васильевич Остроградский (1801–1861) российский математик и механик, признанный лидер математиков Российской империи в 1830–1860 гг. Основные работы Остроградского относятся к прикладным аспектам математического анализа, механики, теории магнетизма, теории вероятностей. Он внёс также вклад в алгебру и теорию чисел. Хорошо известен метод Остроградского для интегрирования рациональных функций (1844). В физике чрезвычайно полезна формула Остроградского для преобразования объемного интеграла в поверхностный. В последние годы жизни Остроградский опубликовал исследования по интегрированию уравнений динамики. Его работы продолжили Н.Д. Брашман и Н.Е. Жуковский. �Содержание М.В. Остроградский предпочитал математическую работу, способную принести практическую пользу. Так, например, с целью облегчить работу по проверке товаров, поставляемых армии, он занялся математическим исследованием, посвященным статистическим методам браковки и основанным на применении теории вероятностей. Кроме научных исследований, М.В. Остроградский написал ряд замечательных учебников по высшей и элементарной математике («Программа и конспект тригонометрии», «Руководство начальной геометрии» и др.). В систематическом и собранном виде общие педагогические взгляды М.В. Остроградского были изложены в сочинении «Размышления о преподавании». Педагогическая деятельность М.В. Остроградского была очень разнообразна. Он читал публичные лекции по высшей алгебре, небесной и аналитической механике, преподавал в Главном педагогическом институте (1832–1861), институте корпуса инженеров путей сообщения (1832–1860), морском кадетском корпусе (1828–1860), инженерной академии и училище (1836–1860), артиллерийской академии и училище (1841–1860). Кроме этого, М.В. Остроградский долгое время (1847–1860) состоял главным наблюдателем за преподаванием математики в военно-учебных заведениях и оказал прямое влияние на постановку и методику этого преподавания своими руководствами по начальной геометрии и тригонометрии, а также в качестве председателя комиссии по составлению новых программ элементарной математики для кадетских корпусов. Педагогическую деятельность в морском кадетском корпусе М.В. Остроградский начал в 1828 году в только что учрежденных тогда офицерских классах. В начале зимы 1836 года, по просьбе нескольких своих слушателей, больших любителей математики, М.В. Остроградский начал чтение в морском корпусе публичных лекций по высшей алгебре. Эти лекции продолжались всю зиму по два раза в неделю и собирали широкую аудиторию новизною содержания, ясностью и изяществом изложения. Преподавание в морском кадетском корпусе М.В. Остроградский вел почти до последних дней своей жизни и воспитал не одно поколение русских морских офицеров. Виктор Яковлевич Буняковский (1804–1889) – русский математик, вице-президент Академии наук (1864–1889). В.Я. Буняковским изобретены планиметр (прибор, служащий для простого механического определения площадей (интегрирования) замкнутых контуров, прорисованных на плоской поверхности), самосчёты Буняковского (вычислительный механизм, основанный на принципе действия русских счетов, для сложения большого числа двузначных чисел) и др. Большая часть работ В.Я. Буняковского связана с теорией чисел и теорией вероятностей. Ещё с самого начала своей педагогической деятельности, В.Я. Буняковский помещал статьи на французском языке в специальных изданиях, затем сделал перевод сочинений Коши о дифференциальном и интегральном исчислениях, причём присоединил к этому переводу свои примечания, а также составил, по поручению Министерства народного просвещения, несколько учебных руководств по разным отраслям математики. В 1846 году появился труд В.Я. Буняковского, послуживший началом его всемирной известности, – «Основания математической теории вероятностей». Этот обширный трактат, кроме теории, заключал в себя и историю возникновения и развития теория вероятностей; в нём впервые сведено вместе всё то, что было выработано по этой теории трудами известных математиков, начиная с Паскаля и Ферма, даны объяснения относительно новых решений самых трудных вопросов, указано много практических приложений теории вероятностей, например, к определению достоверности свидетельств и преданий, к определению погрешностей при наблюдениях, к вычислению вероятностных потерь в войске и т. д. А в 1853 году В.Я. Буняковский издал монографию «Параллельные линии»; в ней он приводил �Содержание главнейшие из существовавших в то время доказательств теории параллельных линий, делая их критический разбор, обнаруживал их несостоятельность и излагал собственные соображения и исследования по этому предмету. Все работы В.Я. Буняковского, ставящие его в число величайших европейских математиков, помимо ценности в научном отношении – по богатству, новизне и оригинальной разработке научноматематических материалов, – отличаются ясностью и изяществом изложения. Многие из них переведены на иностранные языки. Важнейшим событием в истории отечественной математики этого периода явилось открытие Н.И. Лобачевским первой системы неевклидовой геометрии (1826). Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) – русский математик, деятель университетского образования и народного просвещения. Н.И. Лобачевский в течение 40 лет преподавал в Казанском университете, в том числе 19 лет руководил им в должности ректора; его активность и умелое руководство вывели университет в число передовых российских учебных заведений. Н.И. Лобачевский получил ряд ценных результатов и в таких разделах математики, как: алгебра (разработал метод приближенного решения уравнений), математический анализ (получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции, дал признак сходимости рядов) и др. В разные годы он опубликовал несколько содержательных статей по алгебре, теории вероятностей, механике, физике, астрономии и проблемам образования. Однако, несомненно, основным достижением Н.И. Лобачевского, как сказано выше, является обоснование новой неевклидовой геометрии. Сохранились студенческие записи лекций Н.И. Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822–23 и 1824–25 годы Н.И. Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятий, непосредственно приобретаемые из природы. 7 (19) февраля 1826 года Н.И. Лобачевский представил для напечатания в «Записках физикоматематического отделения» сочинение «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Н.И. Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829–1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского. Н.И. Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жесткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы Н.И. Лобачевский предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. �Содержание Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. Уже в первой публикации Н.И. Лобачевский детально разработал тригонометрию неевклидова пространства, дифференциальную геометрию (включая вычисление длин, площадей и объёмов) и смежные аналитические вопросы. Однако научные идеи Н.И. Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году Советом университета в Академию наук, получил у М.В. Остроградского отрицательную оценку. В иронически-язвительном отзыве на книгу М.В. Остроградский откровенно признался, что он ничего в ней не понял, кроме двух интегралов, один из которых, по его мнению, был вычислен неверно (на самом деле ошибся сам М.В. Остроградский). Среди других коллег также почти никто Лобачевского не поддержал, росли непонимание и невежественные насмешки. Попытка Н.И. Лобачевского напечатать в том же журнале ответ на пасквиль была проигнорирована редакцией. Несмотря на осложнения, Н.И. Лобачевский, уверенный в своей правоте, продолжал работу. В 1835–1838 гг. он опубликовал в «Ученых записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем вышла наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных». Н.И. Лобачевский умер непризнанным, не дожив до торжества своих идей всего 10–12 лет. Геометрия Лобачевского оказала решающее влияние на появление римановой геометрии, общей теории теории аксиоматических систем и др. Начиная с 1828 г. все наши академики-математики вышли из русских университетов. В середине века в Петербурге начал складываться творческий коллектив математиков, ведущее место в котором занял П.Л. Чебышёв. Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894) – русский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, академик петербургской Академии наук и еще 24–академий мира. П.Л. Чебышёв получил фундаментальные результаты в теории чисел (распределение простых чисел) и теории вероятностей (центральная предельная теорема, закон больших чисел), построил общую теорию ортогональных многочленов, теорию равномерных приближений и многие другие. Основал математическую теорию синтеза механизмов и разработал ряд практически важных концепций механизмов. Творческий метод П.Л. Чебышёва отличало стремление к увязке проблем математики с вопросами естествознания и техники и к соединению абстрактной теории с практикой. Остановимся на теории равномерных приближений. Хотя теория приближения функций имеет достаточно богатую предысторию, собственно историю этого раздела математики принято исчислять с 1854 года, когда была опубликована статья П.Л. Чебышёва «Теория механизмов, известных под �Содержание названием параллелограммов». Она стала первой из серии работ учёного по функциям, наименее уклоняющимся от нуля (исследованиям в данной области Чебышёв посвятил сорок лет). В упомянутой статье П.Л. Чебышёв пришел к выводу, что для приближения аналитической функции f на некотором отрезке a; b алгебраическим многочленом заданной степени формула Тейлора недостаточно эффективна, и поставил общую задачу о нахождении для заданной непрерывной функции многочлена наилучшего равномерного приближения. За меру уклонения функции f от нуля он max f ( x ) ; сейчас её называют либо (следуя Чебышёву) уклонением от нуля, либо принял величину x a;b  чебышёвской нормой функции f. Фактически речь идёт о равномерной метрике в пространстве C a; b непрерывных функций на отрезке X  a; b  ; в этой метрике за меру различия между функциями f и g принимается величина d ( f , g )  max | f ( x )  g ( x ) | . x В соответствии с этим среди многочленов степени, не превышающей n многочленом наилучшего равномерного приближения для функции f является такой многочлен U, для которого чебышёвская норма разности f – U минимальна. П.Л. Чебышёв установил характеристическое свойство такого многочлена: многочлен U будет многочленом наилучшего равномерного приближения тогда и только тогда, когда на отрезке a; b  найдутся такие n+2 точки xi , что в них разность f – U поочерёдно принимает свои максимальное и минимальное значения, равные по модулю (точки чебышёвского альтернанса). Позднее, в 1905 году, Э. Борель доказал существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения. С середины XX века многочлены наилучшего приближения весьма часто используют в стандартных компьютерных программах для вычисления элементарных и специальных функций. Аналогичный результат П.Л. Чебышёв получил и для наилучшего равномерного приближения непрерывной функции рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. Эта и последующие работы П.Л. Чебышёва были весьма оригинальными – как по постановке задач, так и по предложенным методам их решения. В начале XX века развитая в работах П.Л. Чебышёва и его школы теория наилучшего приближения функций переросла в конструктивную теорию функций. П.Л. Чебышёв занимался также и классическим способом приближения функций – интерполированием. Научная и педагогическая работа П.Л. Чебышёва оказала решающее влияние на создание Петербургской математической школы. Петербургские математики, в свою очередь, оказали большое влияние на формирование научных школ и в других городах, например, A.M. Ляпунов и В.А. Стеклов в Харькове, Д.А. Граве в Киеве и т. д. С течением времени развитие математики в каждом университете приобретало свои особенности. Особо следует отметить первую научную алгебраическую школу, созданную Д.А. Граве в 10-е годы XX века в Киевском университете, куда он переехал в 1902 г. Граве в Киеве отошел от прежней тематики и сосредоточился на новой алгебре и теории чисел. Славу русской науки составляет научная деятельность первой в мире женщины-профессора математики Софьи Васильевны Ковалевской. В 70–80-х годах она получила замечательные результаты в аналитической теории дифференциальных уравнений. Кроме занятия преподавательской деятельностью, она была одним из редакторов известного математического журнала под латинским �Содержание названием «Акта математика» (Математические ведомости), занималась серьезными научными исследованиями, увлекалась литературной деятельностью, писала романы, стихи, драмы. Для многих казалось странным, как она сочетает математику с поэзией. По этому поводу С.В. Ковалевская писала: «Многие, которым никогда не представлялось случая более глубоко узнать математику, смешивают ее с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе». В 1882 г. Виктор Викторович Бобынин (1849–1919) впервые в России стал читать в МГУ факультативный курс истории математики. Новый этап движения за реформу математического образования начался в конце XIX в. История формирования Московской математической школы непосредственно связана с Московским университетом. В Московском университете на рубеже XIX–XX вв. общепризнанным лидером математиков-прикладников стал Николай Егорович Жуковский (1847–1921). Другая научная школа московских математиков, по классической дифференциальной геометрии, ведет начало от работ Карла Михайловича Петерсона (1828–1881). После них геометрическую школу возглавил Дмитрий Федорович Егоров (1869–1931), он же положил начало Московской школе теории функций действительного аргумента. К началу советского периода развития отечественная математика имела выдающиеся достижения, которые явились базой, на основе которой в короткое время после Октябрьской революции оказалось возможным создать новые научные школы, основать новые направления, обеспечившие успехи отечественной математики. Необходимо отметить, что ряд новых математических школ был создан в городах, бывших до революции глухими окраинами России. Советская математическая школа занимала одно из передовых мест в мировой математической науке. Выдающийся математик, основоположник московской школы теории функций Николай Николаевич Лузин (1883–1950) является одним из связующих звеньев между дореволюционной российской и советской математикой. Он обучался в Московском университете, в Сорбонне, стажировался в Геттингене; учился у Бореля, Пуанкаре, Адамара, Дарбу, Лебега. Его знаменитый труд «Интеграл и тригонометрический ряд» (1915) определил на многие годы вперед линию развития теории функций. Лузин с 1922 г. работал в МГУ, после избрания академиком (1929) руководил отделом теории функций Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. Учениками Н.Н. Лузина были П.С. Александров, Н.К. Бари, Л.В. Келдыш, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, Л.А. Люстерник, Д.Е. Меньшов, МЛ. Суслин, А.Я. Хинчин, Л.Г. Шнирельман и др. Они составили основу Московской математической школы. Павел Сергеевич Александров (1896–1982) – выдающийся советский математик, академик (1953), создатель советской топологической школы, имеющей мировое признание. Многие понятия и теоремы общей топологии носят имя Александрова. Долгие годы он руководил деятельностью Московского математического общества в качестве его президента. Был членом многих иностранных академий наук и научных обществ. Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987) – выдающийся советский математик, академик (1939), член АПН СССР (1968), с 1930 г. – профессор МГУ, внес основополагающий вклад во многие области современной математики: теорию функций действительного переменного, теорию вероятностей, теорию марковских случайных процессов, топологию, конструктивную логику, функциональный анализ, механику, прикладную математику, статистику, теорию информации. Принято считать, что основные этапы развития современной математики – это время работы пяти великих математиков – �Содержание Ньютона, Эйлера, Гаусса, Пуанкаре и А.Н. Колмогорова. Важнейшим научным вкладом Колмогорова является аксиоматическое построение теории вероятностей. Эта аксиоматика связала воедино теорию множеств, теорию функций и теорию вероятностей. На ее основе стало возможным развитие теории случайных непрерывных процессов, например, точное математическое описание броуновского движения. А.Н. Колмогоров создал большие школы теории функций и теории вероятностей. Многие его ученики стали известными во всем мире математиками (например, академик В.И. Арнольд). Много сил и времени А.Н. Колмогоров отдал реформе школьного математического образования. Он является автором и редактором школьных учебников, программ и учебных планов. По его инициативе при МГУ была создана школа-интернат для одаренных детей. Александр Яковлевич Хинчин (1894–1959) имеет первоклассные труды по теории функций и теории чисел. Он является одним из основоположников советской школы теории вероятностей. Преподавал в МГУ член-корреспондент АН СССР (1939), действительный член АПН РСФСР (1944). Значителен его вклад в математическое образование в высшей и средней школе. Он является автором известных книг «Краткий курс математического анализа», «Теорема Ферма», «Три жемчужины теории чисел» и др. После революции алгебраическая школа Д.А. Граве продолжала работать успешно. Он сам принял активное участие в строительстве советской науки и в реформе высшей школы. В 1920 г. был избран членом АН УССР, в 1929 г. – почетным членом АН СССР. Еще до революции начали свои исследования по алгебре и теории чисел ученики Д.А. Граве – О.Ю. Шмидт, Б.Н. Делоне, Н.Г. Чеботарев и др. Отто Юльевич Шмидт (1891–1956, академик с 1935) еще в 1916 г. опубликовал монографию «Абстрактная теория групп». С 1923 г. Шмидт работал в Московском университете, руководил кафедрой алгебры. Он известен также как полярный исследователь и геофизик, астроном, общественный деятель, Герой Советского Союза, главный редактор БСЭ. Борис Николаевич Делоне (1890–1980) успешно занимался вопросами новой алгебры и теорией алгебраических чисел, стал членом-корреспондентом АН СССР (1929). Николай Григорьевич Чеботарев (1894–1947) – крупнейший советский алгебраист, членкорреспондент АН СССР (1929). Занимался вопросами теории алгебраических чисел, теории Галуа, групп Ли. Работал в Киеве, Одессе, с 1927 г. в Казани, заведовал кафедрой алгебры КГУ. Был директором Научно-исследовательского института математики и механики, теперь носящего его имя, председателем Казанского физико-математического общества. Создал известную Казанскую алгебраическую школу. Автор известных монографий «Теория Галуа», «Теория групп Ли». Важные результаты были получены в теории чисел. В аналитической теории чисел основные достижения связаны с работами академика Ивана Матвеевича Виноградова (1891–1983), с 1929 г. – действительный член Академии наук СССР, с 1932 г. руководил Математическим институтом АН СССР. В начале XX в. создавалась школа, занимавшаяся проблемами теории интегральных уравнений, ярким представителем которой был В.И. Смирнов. Владимир Иванович Смирнов (1887–1974) окончил Петербургский университет (1910), ученик В.А. Стеклова. Академик (1943). Профессор Петербургского (Ленинградского) университета, возглавлял Институт математики и механики Ленинградского университета, теперь носящего его имя. Основные работы относятся к теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений, математической физике, истории математики. Возглавлял Комиссию АН СССР по истории физико-математических наук. Был президентом Ленинградского математического общества. Автор энциклопедического пятитомного труда «Курс высшей математики», который многократно переиздавался и был базовым вузовским учебником более 50 лет. За этот фундаментальный труд был �Содержание удостоен Государственной премии (1948). В 1941–1944 гг. в составе научного филиала ЛГУ был в эвакуации в Елабуге, работал заведующим кафедрой физики и математики Елабужского государственного учительского института. В 1934 г. Академия наук СССР была переведена в Москву. Переехал также и Математический институт АН СССР. Ленинградская (Петербургская) и Московская математические школы стали работать вместе. Этот сплав крупнейших специалистов стал одной из мощнейших научных школ в мире – советской математической школой. Эта школа вплоть до распада СССР была ведущей в мире. Росли научные кадры и на периферии СССР. Во время Великой Отечественной войны многие отечественные математики переключились на решение задач, связанных с обороной страны (А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко, Л.С. Понтрягин и др.). Замечательные достижения советской математики выдвинули ее в первые ряды мировой науки. Ее результаты описаны в обзорах «Математика в СССР за 15 лет» (1933), «Математика в СССР за 30 лет» (1948), «Математика в СССР за 40 лет» (1959), «Математика в СССР, 1958–1967» (1970) и др. �Содержание Задания для самостоятельной работы по главе 4 1. Предложите сценарий занятия математического кружка по теме «Старинные русские меры». 2. Предложите сценарий факультативного занятия по теме «Русские счёты и десятичная система счисления» с описанием возможных наглядных пособий. 3. Проанализируйте содержание школьного учебника на предмет наличия сведений об отечественных математиках. Дополните его адаптированным историко-математическим материалом, который целесообразно, на ваш взгляд, включить в содержание этого учебника. �Содержание Библиографический список 1. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2008 [Электронный ресурс]. – 12 изд., с изм. и доп. – Москва : Нью Медиа Дженерейшн, 2007. 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе : пособие для учителей / под ред. В.Н. Молодшего. – Москва, 1964. – 462 с. 3. Глейзер, Г.И. История математики в школе VII–VIII кл. / Г.И. Глейзер. – Москва : Просвещение, 1982. – 368 с. 4. Гнеденко, Б.В. Очерки по истории математики в России / Б.В. Гнеденко. – Москва ; Лениград : Гостехиздат, 1946. – 248 с. 5. Гнеденко, Б.В. Очерки по истории математики в России / Б.В. Гнеденко. – Изд. 4-е. – Москва : URSS : ЛИБРОКОМ, 2009. – 292 с. 6. Гнеденко, Б.В. Роль математики в развитии современного естествознания / Б.В. Гнеденко. – Москва, 1964. 7. Дорофеева, А.В. Страницы истории на уроках математики : книга для учителя / А.В. Дорофеев. – Москва : Просвещение, 2007.–96 с. 8. Зеленов, Л.А. История и философия науки / Л.А. Зеленов. – Москва : Флинта, 2011. – 472 с. 9. История отечественной математики. – Киев : Наукова думка, 1966 – 1970. 10. Колмогоров, А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия / А.Н. Колмогоров. – Москва, 1954. – Т. 26. 11. Кольман, Э. История математики в древности / Э. Кольман. – Москва : Гостехиздат, 1961. – 236 с. 12. Математика XIX века / под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. – Москва : Наука, 1978. – 256 с.; 1981. – 370 с. 13. Математика, ее содержание, методы и значение / под ред. А.Д. Александрова. – Москва : АН СССР, 1956. – 296 с. 14. Нейгебауэр, О. Точные науки в древности / О. Нейгебауэр. – Изд. 5-е. – Москва : URSS : Едиториал УРСС, 2011. – 224 с. 15. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : МГУ, 1960. – 190 с. 16. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – Москва : Наука, 1984. – 286 с. 17. Филинова, О.Е. Математика в истории мировой культуры / О.Е. Филинова. – Москва : Гелиос АРВ, 2006. – 223 с. 18. Фридман, Л.М. Что такое математика / Л.М. Фридман. – Изд. 2-е. – Москва : URSS : КомКнига, 2010. – 191 с. 19. Шереметевский, В.П. Очерки по истории математики / В.П. Шереметовский. – Москва : Учпедгиз, 1940. – 180 с. �Содержание Приложения Приложение 1 Семинар 1 Семинар 2 Семинар 3 Семинар 4 Семинар 5 Семинар 6 Семинар 7 Семинар 8 Приложение 2 Приложение 3 �Содержание Приложение 1 Планы семинарских занятий по курсу «История математики» Семинар 1 Семинар 2 Семинар 3 Семинар 4 Семинар 5 Семинар 6 Семинар 7 Семинар 8 �Содержание Семинар 1 Эпоха накопления первых математических знаний. Первые математические теории. 1. Развитие математики в древних государствах Востока. а) математика в Древнем Вавилоне; б) математика в Древнем Египте. 2. Зарождение и развитие математики в Древней Греции. Первые математические теории: а) ионийская школа Фалеса; б) школа Пифагора; геометрическая алгебра; в) математика в Афинах в V веке до н. э.; д) александрийские школы. 3. Преобразование математики в абстрактную дедуктивную математику. Рекомендуемая литература 1. Болгарский, Б.В. Очерки по истории математики / Б.В. Болгарский. – Минск, 1974. 2. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – Москва, 1986. 3. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – Москва : Наука, 1984. 4. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва, 1987. 5. Энциклопедический словарь юного математика. – Москва : Педагогика, 1989. – С. 9–12, 109–110, 289–290. 6. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – Москва, 1978. 7. Математический энциклопедический словарь. – Москва : Советская энциклопедия, 1988. – С. 9–16. 8. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. университета, 1994. – Москва : Изд-во Московского �Содержание Семинар 2 Развитие понятия числа 1. Натуральные числа: а) возникновение и развитие счета предметов; б) устная нумерация; в) пальцевый счет; г) письменная нумерация: вавилонская, египетская, греческая, славянская, индийская; д) позиционные системы счисления; е) Ал-Хорезми и его роль в развитии современной системы счисления. 2. Дробные числа: а) происхождение дробей; б) единичные дроби; в) десятичные дроби. 3. Отрицательные и положительные числа: а) отрицательные числа в индийской математике; б) отрицательные числа в трудах европейских математиков. 4. Действительные числа: а) открытие иррациональностей в школе Пифагора; б) развитие теории действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор). 5. Комплексные числа: а) происхождение комплексного числа; его развитие в XVI–XVII в.; б) комплексные числа в работах Л. Эйлера и Ж. Даламбера; в) геометрическое истолкование комплексных чисел в XIX в. Рекомендуемая литература 1. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер. – Москва, 1980–1982. 2. Депман, И.Я. История математики / И.Я. Депман. – Москва, 1965. 3. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва, 1987. 4. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – Москва, 1987. �Содержание 5. Сираждинов, С.Х. Ал-Хорезми – выдающийся математик средневековья / С.Х. Сираждинов, Г.П. Матвиевская. – Москва : Просвещение, 1983. и астроном 6. Математический энциклопедический словарь. – Москва : Советская энциклопедия, 1988. – С. 9–16. 7. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – М. : Высшая школа, 1978. 8. Математическая энциклопедия. – Москва : Советская энциклопедия, 1979, 1985. – Т 2, 5 (ст. «Число», «Действительное число»). �Содержание Семинар 3 Развитие алгебраической символики 1. Первые математические знаки: а) обозначение цифр; б) зачатки обозначения величин у Диофанта; возможности алгебраической символики Диофанта. 2. Создание буквенного исчисления: а) символика в странах арабского Востока; б) буквенные обозначения в Европе; в) построение первого буквенного исчисления Виетом; возможности алгебраической символики Виета. 3. Важнейшие символы математики XVIII–XX вв. Значение символики в прогрессе математики. 4. Важнейшие математические символы школьного курса математики. Рекомендуемая литература 1. Энциклопедический словарь юного математика. – Москва : Педагогика, 1989 (ст. «Знаки математические», «Цифры», «Число»). 2. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – Москва, 1978. 3. Депман, И.Я. Первое знакомство с математической логикой / И.Я. Депман. – Ленинград, 1963. 4. Математическая энциклопедия. – Москва, 1979. – Т. 2 (ст. «Знаки математические». – С. 457–463. 5. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва, 1987. 6. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – Москва : Наука, 1984. 7. Никифоровский, В.А. Из истории алгебры XVI–XVII вв. / В.А. Никифоровский. – Москва : Наука, 1979. �Содержание Семинар 4 Алгебра уравнений. Элементы алгебры в Древнем Востоке и Древней Греции. Развитие учения об уравнениях в Европе ХII–ХХ вв. 1. Первоначальные представления об уравнениях: а) сведения об уравнениях в папирусах Древнего Египта; б) сведения об уравнениях в клинописных текстах Древнего Вавилона; в) «Арифметика» Диофанта; г) алгебра в Индии; д) алгебра Ал-Хорезми и его приемников в арабских странах. 2. Уравнения в работах Леонардо Пизанского (Фиббоначи). 3. Решение в радикалах уравнений третьей степени (Сципион Дель Ферро, Николо Тарталья, Кордано). 4. Решение уравнений 4-ой степени Л. Феррари. 5. Учение об уравнениях в работах Виета, Декарта, Ньютона и др. математиков. 6. Решение проблемы общей теории алгебраических уравнений: а) Н.Х. Абель; б) Э. Галуа; в) К.Ф. Гаусс. Рекомендуемая литература 1. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : Изд-во МГУ, 1974. 2. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва : Просвещение, 1987. 3. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты. (Очерки по истории математики) / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – М. : Мир, 1986. 4. Никифоровский, В.А. В мире уравнений / В.А. Никифоровский. – М. : Наука, 1987. 5. Кванцов, Н.И. Математики и романтика / Н.И. Кванцов. – Киев : Вища школа, 1976. 6. Колосов, А.А. Книга для чтения по математике в старших классах / А.А. Колосов. – М. : Учпедгиз, 1968. �Содержание 7. Белл, Э.Т. Творцы математики / Э.Т. Белл. – М. : Просвещение, 1979. 8. Чистяков, В.Д. Рассказы о математиках / В.Д. Чистяков. – Минск : Асвета, 1983; или М. : Учпедгиз, 1978. 9. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер. – М. : Просвещение, 1981–1983. 10. Депман, И. Рассказы о новой и старой алгебре / И. Депман. – Л. : Детская литература, 1967. 11. Инфельд, Л. Эварист Галуа / Л. Инфельд. – М., 1966. 12. Дальма, А. Эварист Галуа – революционер-математик / А. Дальма. – М., 1960. 13. Розенфельд, Б. Омар Хайям / Б. Розенфельд, А.П. Юшкевич. – М. : Наука, 1965. 14. Матвиевская, Г.П. Ал-Хорезми / Г.П. Матвиевская. – М. : Просвещение, 1985. 15. Гиджикин, С.А. Гаусс К.Ф. / С.А. Гиджикин // Квант. – 1977. – № 8. 16. Энциклопедия элементарной математики. – М., 1958. – Т. 11. 17. Никифоровский, В.А. Из истории алгебры XVI–XVII вв. / В.А. Никифоровский. – М. : Наука, 1979. 18. Математический энциклопедический словарь. – М. : Советская энциклопедия, 1982. С. 45–51, 603. �Содержание Семинар 5 Координаты и векторы. Аналитическая геометрия. Геометрические построения и преобразования 1. Первоначальное появление координат у древних математиков. 2. Аналитическая геометрия Декарта и Ферма. 3. Развитие метода координат в работах Дж. Валисса, Ф. Де Лагира, П.Ф. Лопиталя, Я. Германа. Л. Эйлер, его вклад в развитие аналитической геометрии. 4. Из истории векторного исчисления. 5. Геометрические построения у древнейших египтян, вавилонян и в Древней Греции. 6. Теории геометрических построений в XVII–XX вв. (Развитие теории конических сечений, возникновение теорий построений различными инструментами, построение одним циркулем, о разрешимости циркулем и линейкой задач на построение правильных n-угольников Т. Гаусса). 7. Из истории симметрии. 8. История развития проективных преобразований. Создание проективной геометрии Рекомендуемая литература 1. Математика XIX в. (геометрия) / под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. – Москва, 1980. 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер. – Москва, 1980–1982. 3. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : МГУ, 1974; или 1994. 4. Математический энциклопедический словарь. – Москва : Советская энциклопедия. – С. 67–68, 107, 292. 5. Розенфельд, Б.А. Из истории неевклидовой геометрии / Б.А. Розенфельд. – Москва : Наука, 1976. 6. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – Москва, 1978. 7. Математическая энциклопедия. – Москва, 1977.– Т. 1. 8. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер. – Москва, 1966. 9. Кольман, Э. История математики в древности / Э. Кольман. – Москва, 1961. 10. Энциклопедия элементарной математики. – Москва, 1963. – Т. 1. 11. Математика XIX в. (геометрия) / под ред. А.П. Юшкевича, А.Н. Колмогорова. – Москва, 1981. 12. Энциклопедический словарь юного математика. – М. : Педагогика, 1989. (ст. «Геометрические построения», «Геометрические преобразования»). �Содержание 13. Костовский, А.Н. Геометрические построения одной линейкой (популярные лекции по математике) / А.Н. Костовский. – М. : Наука, 1989. 14. Костовский, А.Н. Геометрические построения одним циркулем / А.Н. Костовский. – М. : Наука, 1989. 15. Адлер, А. Теория геометрических построений / А. Адлер. – М., 1940. 16. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – Москва : Мир, 1986. – (гл. 4). 17. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / под ред. А.П. Юшкевича. – Москва : 1970–1972. – Т. 1–3. �Содержание Семинар 6 История развития тригонометрии 1. Возникновение и развитие тригонометрии в древности. (Древняя Греция и Индия). 2. Развитие учения о тригонометрических величинах в странах Среднего и Ближнего Востока в IX– XV вв. 3. Возникновение в тригонометрии нового аналитического направления на пороге XVII в. и его развитие. 4. Методика сообщения исторических сведений в школьном курсе математики при изучении: а) теоремы сложения; тригонометрические функции суммы и разности аргументов; б) тригонометрические функции двойного и половинного аргументов; формулы преобразования; в) теорема тангенсов, формулы площади треугольников и некоторые другие формулы. Рекомендуемая литература 1. Глейзер, Г.И. История математики в школе 7–8 кл. / Г.И. Глейзер. – Москва : Просвещение, 1982. – (§ 14–15). 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе 9–10 кл. / Г.И. Глейзер. – Москва : Просвещение, 1982. – (§ 3). 3. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – Москва : Просвещение, 1987. 4. Матвиевская, Г.П. Становление плоской и сферической тригонометрии / Г.П. Матвиевская // Математики и кибернетика. – 1982. – № 5. 5. Березкина, Э.И. Математика древнего Китая / Э.И. Березкина. – Москва, 1980. 6. Володарский, А.И. Очерки истории средневековой индийской математики / А.И. Володарский. – Москва, 1977. �Содержание Семинар 7 Зарождение и создание исчисления бесконечно малых 1. Возникновение и применение идеи бесконечности, предела и непрерывности в древности. 2. Метод неделимых. 3. Задача о квадратурах. 4. Задача о касательных. 5. Метод флюксий И. Ньютона и исчисление бесконечно малых Г.В. Лейбница. 6. Понятие предела в XVIII–XIX вв. 7. Разработка и обоснование дифференциального и интегрального исчисления в XVIII в. 8. Развитие дифференциального и интегрального исчисления в XIX в. Рекомендуемая литература 1. Математический энциклопедический словарь. – Москва : Советская энциклопедия, 1988. – С. 24– 27, 89–91, 197–203, 230–236. 2. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – Москва : Мир, 1986. 3. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – Москва : Наука, 1984. 4. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва , 1994. 5. Никифоровский, К.А. Великие математики – Бернулли / К.А.. Никифоровский. – Москва : Наука, 1984. 6. Дорофеева, А.В. Карл Вейерштрасс / А.В. Дорофеева, М.А. Чернова // Новое в жизни, науке и технике. Серия «Математика и кибернетика». – Москва : Знание, 1985. – № 7. 7. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / под ред. А.П. Юшкевича. – Москва : Просвещение, 1977. 8. Коледько, В.И. Бернард Больцано / В.И. Коледько. – Москва : Мысль, 1982. 9. 9. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX в. / Ф. Клейн. – Mосква, 1989. – T. I. 10. Александрова, Н.В. Математические термины / Н.В. Александрова. – Москва, 1978. 11. Юшкевич, А.П. Из истории возникновения математического анализа / А.П. Юшкевич // Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Математика и кибернетика». – Москва : Знание, 1985. – № 11. �Содержание Семинар 8 Математика в России 1. Состояние математических знаний Древней Руси. Кирик Новгородец. 2. Развитие математики в России в XVIII в. а) Л.Ф. Магницкий и его «Арифметика»; б) Л. Эйлер и создание первой математической школы в Петербурге. 3. Развитие математики в России в первой половине XIX в. а) Н.И. Лобачевский; б) М.В. Остроградский. 4. Математика в России во второй половине XIX в. и в начале XX в. а) П.Л. Чебышев и Петербургская математическая школа; б) С.В. Ковалевская; в) А.М. Ляпунов; г) А.А. Марков (старший). 5. Возникновение новых научных центров. В.А. Стеклов и реорганизация Академии наук. 6. Н.Н. Лузин и московская математическая школа. Рекомендуемая литература 1. История отечественной математики. – Киев ; Москва : АН СССР и Укр.АН, 1965–1969. – T. I–IV. 2. Юшкевич, А.П. История математики в России / А.П. Юшкевич. – Москва, 1968. 3. Люди русской науки :математика, механика, астрономия, физика, химия / под ред. И.В. Кузнецова. – Москва, 1961. 4. Чистяков, В.Д. Рассказы о математиках / В.Д. Чистяков. – Минск, 1983; Москва, 1978. 5. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : МГУ, 1974. 6. Энциклопедия элементарной математики. – Москва, 1958. – Т. 1. 7. Симонов, Р.А. Математическая мысль Древней Руси / Р.А. Симонов. – Москва, 1977. 8. Симонов, Р.А. Кирик Новгородец / Р.А. Симонов. – Москва, 1982. 9. Денисов, А.П. Леонтий Филиппович Магницкий / А.П. Денисов. – Москва, 1967. 10. Болгарский, Б.В. Очерки о истории математики / Б.В. Болгарский. – Минск, 1974. �Содержание 11. Гнеденко, Б.В. О развитии математики в нашей стране за 60 лет Советской власти / Б.В. Гнеденко // Математика в школе. – 1977. – № 5. 12. Александров, П.С. Лузинская математическая школа / П.С. Александров // Математика в школе. – 1977. – № 5. 13. Александров, П.С. Лузинская математическая школа / П.С. Александров // Квант. – 1977. – № 10. 14. Гнеденко, Б.В. О математике страны Советов / Б.В. Гнеденко // Квант. – 1977. – № 11. 15. Математический энциклопедический словарь. – М. : Советская энциклопедия, 1982. – С. 27–38. �Содержание Приложение 2 Задания для самостоятельной работы 1. Изложите задачи и особенности использования историко-математического материала на уроках математики. 2. Составьте историческую справку по теме «Абак и другие приборы для счёта». 3. Предложите сценарий занятия математического кружка по теме «Пифагор и музыка» (или «Фигурные числа»). 4. Предложите сценарий занятия математического кружка по решению одной из трёх знаменитых задач древности. 5. Предложите сценарий занятия математического кружка по теме «Биографии великих математиков». 6. Составьте фрагмент урока математики в 5 классе с использованием историко-математического материала по арифметике. 7. Проведите сравнительный анализ содержания нескольких (по крайней мере, трех) школьных учебников разных авторов и выясните, какая информация о великих математиках в них присутствует и в каком виде. 8. Составьте глоссарий персоналий математиков. 9. На картине «Урок арифметики» Н.П. Богданова-Бельского изображён «урок устного счёта» в школе для крестьянских детей второй половины XIX века. На доске записан пример, поясните его решение. 10. Проведите анализ содержания историко-математического материала в учебнике/учебниках и результаты представьте в виде методических рекомендаций для учителей. �Содержание Приложение 3 Тест для самоконтроля 1. А.Н. Колмогоров различает _____ периода(ов) в истории математики. 2. Первый период в истории математики (по А.Н. Колмогорову) _________________________________ и делят на _____________________________________________________________. называют эпохи: 3. Характерными особенностями второго периода истории математики (по А.Н. Колмогорову) являются (выделить нужное знаком « » ): • Теоретическое обоснование математических сведений • Развитие теории пределов • Оформление арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии • Решение уравнений третьей степени в радикалах 4. Период истории математики, называемый периодом переменных величин длился с _____ века до ______ века. 5. Клинья для записи чисел использовались в… • Древнем Китае • Древнем Египте • Древнем Вавилоне • Римской империи • Древней Индии 6. Позиционная запись числа впервые введена в … • Древней Индии • Древней Греции • Древнем Вавилоне • Римской Империи 7. Примером непозиционной записи чисел является ______________________________________ нумерация. �Содержание 8. Первые доказательства теорем дал … • Пифагор • Фалес • Анаксогор • Евдокс 9. Основоположником ионийской школы был … • Пифагор • Фалес • Анаксогор • Евдокс 10. Основоположником метода исчерпывания был … • Пифагор • Фалес • Анаксогор • Евдокс 11. Главный труд Евклида – «_________________» 12. Четные и нечетные, простые и составные, дружественные, пространственные многогранные числа рассматривали в школе … • элейской • ионийской • софистов • пифагорейской 13. Основоположником логики является… • Аристотель • Гиппократ • Евдокс совершенные, плоские, �Содержание • Анаксогор 14. Термин «математика» произошел от греческого слова «матема», означающего… • Вычисления, измерения • Знания, наука • Учить считать • Грамотность, ум 15. Пифагор родился в первой половине ________ века до н. э. в ______________ 16. Общий метод дифференцирования и интегрирования во второй половине 17 века открыт … • Бернулли • Ньютоном • Эйлером • Лейбницем 17. Основоположником неевклидовой геометрии является … • Евклид • Лобачевский • Декарт • Эйлер 18. Термин «цифра» впервые употребили математики … • Древней Индии • Древнего Вавилона • Древнего Китая • Древнего Египта 19. Впервые в 5 веке до н. э. стали выполнять операции с отрицательными числами в …. • Древнем Китае • Древнем Вавилоне �Содержание • Древней Индии • Древней Греции 20. Шестидесятеричный нуль впервые появился в ____________ 21. Установите соответствие между древними цивилизациями и их знаниями различных дробей… • Египет • Единичные • Вавилон • Шестидесятеричные • Китай • Обыкновенные • Греция • Подходящие • Десятичные 22. Хронологическая последовательность развития понятия «дроби» (поставьте нумерацию) … • Непрерывные • Единичные • Десятичные • Обыкновенные • Шестидесятеричные • Подходящие 23. Числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, еще в древности были названы _______________________________ 24. Хронологическая последовательность развития понятия числа (поставьте нумерацию) … • комплексные • натуральные • нуль • дробные • иррациональные • отрицательные • кватернионы • гиперкомплексные �Содержание 25. Первые математические теории появились в … • Древнем Вавилоне • Древней Греции • Древнем Египте • Древнем Китае 26. Греки доказали формулу для квадрата суммы двух чисел методом … • алгебраическим • геометрическим • геометрической алгебры • алгебраической геометрии 27. Классификацию квадратных уравнений в 9 веке дал … • Ал-Хорезми • Диофант • Бхаскара • Кардано 28. В работе «Книга абака» Фибоначчи дано первое в Европе… • полное изложение арифметики и алгебры линейных и квадратных уравнений • употребление терминов «плюс» и «минус» • употребление дробной черты • численное решение кубических уравнений 29. Установил зависимость между _____________________________ коэффициентами и корнями 30. Три классические задачи древности: 1. __________________________________________________________ 2. __________________________________________________________ 3. __________________________________________________________ уравнений n-ой степени �Содержание 31. Валлис установил, что в виде бесконечной непериодической десятичной дроби выражается… • иррациональное число • рациональное число • комплексное число • любое действительное число 32. В Европе с середины 17 века до 18 века термин «глухой» употребляли относительно … • подходящих дробей • несоизмеримых величин • комплексных чисел • периодических дробей 33. Комплексные числа возникли из практики … • решения уравнений • геометрических построений • решения неравенств • опытных экспериментов 34. «Арифметика» Л.Ф. Магницкого содержала сведения из … • арифметики • геометрии • тригонометрии • алгебры 35. Полная потеря зрения не помешала создать 865 научных сочинений…. • Эйлеру • Лейбницу • Бернулли • Ньютону �Содержание 36. Решение уравнений четвертой степени в радикалах в 16 веке дал ________________________ 37. Первое доказательство основной теоремы алгебры дал ______________________________ 38. ____________________ назвал функции флюентами, т. е. текущими, зависящими от времени, переменными величинами. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Бронникова, Лариса Михайловна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource История математики Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. История математики. 3. древние цивилизации. 4. отечественная математика. 5. переменные величины. Description An account of the resource История математики [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. М. Бронникова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 7.11 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 120 с. В учебном пособии рассматриваются основные разделы дисциплины «История математики»: предмет истории математики, периоды развития математики, история математики древних цивилизаций, историческое развитие некоторых содержательно-методических линий школьного курса математики, история развития отечественной математики. По каждому разделу предложены контрольные вопросы, теоретические сведения и задания для самостоятельной работы обучающихся. Пособие содержит вариант теста для итогового контроля знаний по изложенному материалу, примерный план семинарских занятий по курсу. Учебное пособие предназначено для студентов педагогических вузов, может оказаться полезным учителям математики и учащимся средних школ. Creator An entity primarily responsible for making the resource Бронникова, Лариса Михайловна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 16.03.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova1.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova1.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova1.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova1.exe</a> древние цивилизации История математики Математика отечественная математика переменные величины http://books.altspu.ru/files/original/61/48/cover_new[650].png bccec395cab07d957f31c5cf374612ae http://books.altspu.ru/files/original/61/48/bazhenova.pdf 6c4ff04008b20ff6d9cfbd74f5c8a46b PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» Н.А. Баженова Гимнастическая терминология Учебное пособие Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2016 Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–813–6 �Содержание ББК 75.6я73+74.267.5я73 УДК 796.015(075) Б163 Баженова, Н.А. Гимнастическая терминология [Электронный ресурс] : учебное пособие / Н.А. Баженова. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. Рецензенты: Крайник В.Л., доктор педагогических наук, профессор АлтГПУ; Шеенко Е.И., кандидат педагогических наук, доцент АлтГТУ В данном пособии раскрывается содержание основного раздела учебного курса «Гимнастика и методика преподавания», который призван дать студентам необходимые знания, умения и навыки по гимнастической терминологии. В учебном пособии предлагается теоретический материал, контрольные вопросы, задания для самостоятельной работы, учебной практики, текущего и итогового контроля. Данное пособие ориентирует на самостоятельные занятия по овладению знаниями и умением применять правила гимнастической терминологии. Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, направление 050100.62 «Педагогическое образование», профиль подготовки «Физическая культура», а также может представлять интерес для преподавателей высших, средних и общеобразовательных учебных заведений физической культуры. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 28 января 2016 г. Деривативное издание Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 19 573 КБ. Дата подписания к использованию: 21.03.2016 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Введение Глава 1. Характеристика гимнастической терминологии 1.1. Значение гимнастической терминологии 1.2. Основные требования к гимнастической терминологии 1.3. Правила применения терминов 1.4. Формы и типы записи упражнений 1.5. Правила сокращения описания упражнений Контрольные вопросы Глава 2. Основные термины и запись строевых упражнений 2.1. Терминологический словарь строевых упражнений 2.2. Запись строевых упражнений Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 3. Основные термины и запись общеразвивающих упражнений без предмета 3.1. Терминологический словарь общеразвивающих упражнений без предмета 3.2. Термины положения рук и ног, движения ими 3.3. Запись общеразвивающих упражнений без предмета Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 4. Основные термины и запись общеразвивающих упражнений с предметами 4.1. Терминологический словарь общеразвивающих упражнений с палкой 4.2. Запись общеразвивающих упражнений с предметами Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 5. Основные термины скамейке запись общеразвивающих упражнений на гимнастической 5.1. Термины общеразвивающих упражнений на гимнастической скамейке 5.2. Запись упражнений на гимнастической скамейке Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание Глава 6. Основные термины и запись общеразвивающих упражнений на гимнастической стенке 6.1. Термины общеразвивающих упражнений на гимнастической стенке 6.2. Запись упражнений у гимнастической стенки Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 7. Основные термины и запись общеразвивающих упражнений в парах 7.1. Термины общеразвивающих упражнений в парах 7.2. Запись общеразвивающих упражнений в парах Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 8. Термины и запись акробатических упражнений 8.1. Терминологический словарь акробатических упражнений 8.2. Запись акробатических упражнений Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 9. Термины и запись упражнений на гимнастических снарядах 9.1. Терминологический словарь упражнений на гимнастических снарядах 9.2. Запись упражнений на гимнастических снарядах Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 10. Термины и запись вольных и танцевальных упражнений 10.1. Терминологический словарь вольных и танцевальных упражнений 10.2. Запись вольных и танцевальных упражнений Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Рубежные проверочные задания Задание 1. Разгадайте кроссворд. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 �Содержание Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12 Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21 Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24 Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27 Вариант 28 Краткий словарь гимнастических терминов Библиографический список �Содержание Введение Согласно Болонской декларации и в соответствии с компетентностным подходом к обучению увеличивается объем самостоятельной работы студентов (70 %). Отсюда возникает необходимость изменения методики преподавания, структуры и содержания учебного пособия, ориентированного на самостоятельную подготовку студентов. Данное пособие содержит: теоретический материал, контрольные вопросы, задания для самоподготовки, учебной практики, материал текущего и итогового контроля. Студентам предложены четыре типа заданий на каждую тему. Первый тип формирует базовые знания и основные положения дисциплины; второй – ориентирует на их четкое воспроизведение; третий – демонстрирует понимание и владение знаниями; четвертый – оценивает самостоятельную работу студента. Поэтапное выполнение заданий приводит к полному овладению студентами учебного материала. В ходе работы с учебным пособием реализуются «субъект-субъектные» отношения между преподавателем и студентом. Студент занимает позицию: исполнителя – заинтересованного – целеустремленного – лидера – творца. Преподаватель исполняет роль: организатора – помощника – сотрудника – координатора – консультанта. Самостоятельная деятельность студентов приобретает черты самообразования и самосовершенствования. Теоретический материал студенты прорабатывают самостоятельно, выполняя тестовые задания и решая кроссворды. На практических занятиях ведется текущий контроль самостоятельной подготовки, выполняются задания на понимание и владение знаниями, совершенствуются исполнительские и профессиональные навыки студентов. Учебное пособие позволяет студентам свободно ориентироваться при подготовке к текущему и итоговому контролю знаний, умений и навыков. �Содержание Глава 1. Характеристика гимнастической терминологии 1.1. Значение гимнастической терминологии 1.2. Основные требования к гимнастической терминологии 1.3. Правила применения терминов 1.4. Формы и типы записи упражнений 1.5. Правила сокращения описания упражнений Контрольные вопросы �Содержание 1.1. Значение гимнастической терминологии Гимнастика охватывает безграничное множество движений, положений, упражнений, включая такие, которые совсем не характерны для повседневной жизни человека, поэтому у нее своя специальная терминология, свой язык. Система специальных, но понятных и доступных, гимнастических терминов облегчает общение между преподавателем и учениками во время занятия, увеличивает плотность учебно-тренировочных занятий, облегчает описание и понимание техники упражнений. Гимнастическая терминология – это система терминов для краткого и точного обозначения используемых в гимнастике понятий, предметов и упражнений, а также правила образования и применения терминов, установленных сокращений и формы записи упражнений. Термином в гимнастике принято называть краткое условное наименование какого-либо двигательного действия или понятия из этой области человеческой деятельности. �Содержание 1.2. Основные требования к гимнастической терминологии К гимнастическим терминам предъявляются следующие требования: 1) краткость – позволяет заменить длинное словесное описание, указать не все, а только необходимые характеристики упражнения; 2) точность – способствует созданию отчетливого представления об изучаемом упражнении, дает однозначное определение его сущности или указанной особенности; 3) доступность – достигается использованием словесного запаса и законов родного языка, терминов из практики и интернациональных терминов в данной области. Приведенные требования взаимно противоречивы, максимальное удовлетворение одного из них мешает выполнению остальных. Доступность достигается введением общеизвестных слов и выражений, применяемых в радиопередачах гигиенической и производственной гимнастики. Например: вместо термина «стойка ноги врозь» могут употреблять выражение «ноги на ширине плеч», вместо термина «сед» – «положение сидя», в общении с детьми применяют образные выражения: «как самолет», «как зайчик», «гусеница», «насос» и т. д. Более сложные упражнения уже невозможно описать бытовыми выражениями. Запись гимнастического упражнения должна содержать минимум слов, понятных без дополнительной расшифровки. Краткость обозначений вызывает необходимость в создании словарей гимнастических терминов. Например, наиболее часто встречающиеся положения занимающихся перед началом упражнений: стойки, седы, приседы, выпады, упоры, положения лежа и т. д. �Содержание 1.3. Правила применения терминов Гимнастические термины применяются с учетом классификации занимающихся, делятся на две основные группы: общие и конкретные термины. Общие термины используются для обозначения: а) общих понятий, например: элемент, соединение, комбинация; б) групп упражнений, например: строевые упражнения, смешанные упоры, разноименные перемахи. Конкретные термины определяют признаки конкретных упражнений и делятся, в свою очередь, на основные и дополнительные: а) основные термины отражают структурные признаки определяемых действий, принадлежность к той или иной группе упражнений: стойка, упор, сед, вис, оборот, кувырок и т. д. б) дополнительные термины уточняют информацию о конкретном двигательном действии, указывая: – направление движения, например: вперед, назад, наружу; – способ выполнения, например: махом, переворотом; – условия опоры, например: на лопатках, на предплечьях, на животе, на правой (ноге); – характер исполнения, например: медленный (переворот), расслаблено, упруго; – некоторые количественные характеристики, например: двойное сальто, прыжок с поворотом на 360°. Наглядно правила применения терминов представлены на рисунке 1. Рис. 1. Правила применения терминологии �Содержание Предлоги: «На» – указывает, какой частью тела выполняется опора, на голове, на предплечьях, на спине, на животе и т. д. «В» – указывает конечное положение, например: в стойку на руках, в упор сзади. «С» – ставится между элементами, выполняемыми одновременно, например выпад вправо с наклоном вперед. Союз «И» – ставится между элементами, выполняемыми слитно в указанной последовательности. Конкретные термины описываются сочетанием основного и одного или нескольких дополнительных терминов, например: Присед на левой, правую вперед, руки вперед Сед на пятках, руки на пояс Упор стоя на левом колене, правую назад �Содержание 1.4. Формы и типы записи упражнений Существует две формы записи гимнастических упражнений: текстовая и графическая, каждая из них, в свою очередь, подразделяется на типы. Так, текстовая запись может быть развернутой и сокращенной. Текстовая сокращенная запись подразделяется на условную и знаковую: а) условная запись предполагает сокращение всех или почти всех терминов, при этом сокращенные обозначения могут соответствовать не только одному, но и двум-трем терминам развернутой записи, исходное положение (и.п.) – основная стойка (о.с.); б) знаковая запись используется для обозначения элементов или соединений символы (крестики, кружки, прямые и волнистые линии и т. д.), что удобно для ведения записи упражнений на соревнованиях и тренировках, при планировании в конспектах. На практике, чаще всего, используется смешанная текстовая, частично сокращенная запись, например: гимн. – гимнастический, упр. – упражнение, эл. – элемент и общепринятые сокращения, как и.п. – исходное положение; в/ж – верхняя жердь, н/ж – нижняя жердь разновысоких брусьев. Графическая запись представляет собой изображение в виде рисунков поз гимнаста. Графическая запись подразделяется на три типа: а) штриховая запись, как наиболее простая и доступная, удобная для повседневной работы; б) полуконтурная запись предполагает более детальное изображение отдельных звеньев тела, в том числе и кистей рук; в) контурная запись требует навыков рисования. Наглядно формы и типы записи представлены на рисунке 2. Рис. 2. Формы и типы записи упражнений �Содержание 1.5. Правила сокращения описания упражнений В большинстве случаев сокращение терминов подчиняется определенным правилам. При названии и записи упражнений исключаются следующие термины: 1. Положение звеньев тела, предусмотренные гимнастическим стилем исполнения: • ноги вместе и прямые – в исходных положениях; в ходе упражнения, например: соединить ноги; прыжком стойка ноги вместе; • руки вниз и прямые – не указывается в исходных положениях, а руки прямые – в процессе выполнения упражнения; • носки оттянуты – когда ноги в безопорном положении; • пальцы рук вытянуты и прижаты; • положение ладоней. 2. Положения и направления, наиболее удобные, естественные и обычные: • спереди – для упоров и висов, например: упор, упор лежа, вис стоя; • вперед и в одноименную сторону – при выпадах и перемахах, например: выпад правой, выпад правой в сторону и т. д.; • дугами вперед – при движениях рук из положения внизу в положение руки вверх и обратно. 3. Некоторые звенья тела: • туловище – при наклонах, но указывается при его поворотах, например: наклон вправо, но поворот туловища налево; • нога – при махах, выставлениях, стойках, например: мах левой в сторону, левую вперед на носок, стойка на правой. 4. Способы, предусмотренные техникой исполнения упражнения: • в группировке – для акробатических упражнений, например: кувырок вперед, сальто назад, сальто боком; • прогнувшись, например: соскок махом назад, наклон вперед, переворот вперед. 5. Некоторые основные термины: • поднять, опустить, выставить – при движениях рук или ног относительно туловища, например: руки в стороны, правую назад на носок, руки вниз; • соскок или прыжок – если по названию снаряда это очевидно, например: переворот вперед (опорный прыжок), сальто назад с поворотом на 360° (соскок с перекладины). �Содержание Контрольные вопросы 1. Объясните, какое значение имеет гимнастическая терминология. 2. Назовите требования, предъявляемые к гимнастической терминологии. 3. Объясните, какое влияние гимнастической терминологии. оказывает квалификация занимающихся на использование 4. Дайте характеристику общим терминам. 5. Дайте характеристику конкретным терминам. 6. Расскажите правило описания конкретного термина. 7. Назовите формы записи упражнений. 8. Назовите типы записи упражнений. 9. Назовите термины, которые исключаются при названии и записи упражнений, определяющих положение звеньев тела. 10. Назовите термины, которые исключаются при названии и записи упражнений, предусмотренных гимнастическим стилем исполнения? 11. Назовите положения и направления, наиболее удобные, естественные, которые исключаются при названии и записи упражнений? 12. Назовите звенья тела, которые исключаются при названии и записи упражнений? 13. Назовите способы, предусмотренные техникой исполнения упражнения, которые исключаются при названии и записи упражнений? 14. Назовите основные термины, которые исключаются при движениях рук или ног относительно туловища? �Содержание Глава 2. Основные термины и запись строевых упражнений 2.1. Терминологический словарь строевых упражнений 2.2. Запись строевых упражнений Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 2.1. Терминологический словарь строевых упражнений Строевые упражнения – совместное действие в строю. Строй – размещение занимающихся для совместных действий. Построение – первоначальное размещение занимающихся в строю. Шеренга – строй, в котором занимающиеся размещены один возле другого на одной линии. Колонна – строй, в котором занимающиеся размещены в затылок друг другу. Фланг – правая и левая оконечности строя. Фронт – сторона строя, в которую занимающиеся обращены лицом. Тыл – сторона строя, противоположная фронту. Интервал – расстояние по фронту между занимающимися. Дистанция – расстояние между занимающимися в глубину строя в колонне. Ширина строя – расстояние между флангами. Глубина строя – расстояние между первой и последней шеренгой или между направляющим и замыкающим в колонне. Разомкнутый строй – строй, в котором занимающиеся в шеренгах расположены по фронту один от другого на интервалах в один шаг или на интервалах, указанных преподавателем. Сомкнутый строй – строй, в котором занимающиеся в шеренгах расположены по фронту один от другого на интервал, равный ширине ладони. Перестроение – действия учащихся по команде или распоряжению учителя, связанные с переменой вида строя. Направляющий – занимающийся, двигающийся в колонне первым в указанном направлении. Замыкающий – занимающийся, двигающийся в колонне последним. Основная стойка – термин, принятый в физическом воспитании, является синонимом строевой стойки и подразумевает положение, при котором учащийся стоит прямо; пятки вместе, носки врозь на ширину стопы, ноги выпрямлены; плечи развернуты, живот подтянут; руки опущены; кисти со сжатыми и согнутыми пальцами прижаты к средней линии бедра; голову держит прямо; смотрит вперед. Размыкание – действия учащихся, связанные с увеличением интервала и дистанции. Смыкание – уплотнение разомкнутого строя. Дробление – деление колонны на две (или более). Сведение – соединение двух колонн (или больше) в одну. Предварительная команда – команда, подаваемая преподавателям отчетливо, громко и протяжно, чтобы сообщить занимающимся, какие действия им придется выполнять. Исполнительная команда – команда, подаваемая преподавателем после паузы, громко, отрывисто и �Содержание энергично. Распоряжение подается для приемов (действий), не связанных с немедленным и одновременным исполнением. Походный шаг – шаг, при котором нога выносится свободно, ставится на пол без акцента, руки производят свободные движения. Строевой шаг – шаг, при котором нога выносится прямая, с оттянутым носком и ставится твердо на всю ступню. Обход – передвижение вдоль границ зала. Поворот – вращательное движение тела вокруг вертикальной оси. �Содержание 2.2. Запись строевых упражнений Запись строевых упражнений предусматривает знание основ и названия строевых упражнений, использование условных обозначений и четкое представление схемы спортивного зала, например: Рис. 3. Схема спортивного зала и примеры условных обозначений Запись строевых упражнений используется для составления учебных карт, планов-сценариев массовых выступлений с применением различных перестроений и построений (фигурной маршировки), наглядных пособий. Пример составления учебной карты строевых упражнений, предложенных Соколовым, Н.Л. Яковлевым. А.С. Гречко, Г.Я. �Содержание Контрольные вопросы 1. Назовите основные термины строевых упражнений. 2. Объясните, для чего используется запись строевых упражнений. 3. Расскажите, что необходимо знать для записи строевых упражнений? �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Разгадайте кроссворд «терминология строевых упражнений». По горизонтали: 1. Сторона строя, в которую занимающиеся обращены лицом. 2. Стойка, при которой учащийся стоит прямо; пятки вместе, носки врозь на ширину стопы, ноги выпрямлены; плечи развернуты, живот подтянут; руки опущены; кисти со сжатыми и согнутыми пальцами прижаты к средней линии бедра; голову держит прямо; смотрит вперед. 3. Шаг, при котором нога выносится прямая, с оттянутым носком и ставится твердо на всю ступню. 4. Строй, в котором занимающиеся размещены в затылок друг другу. 5. Действия учащихся, связанные с увеличением интервала и дистанции. 6. Первоначальное размещение занимающихся в строю. 7. Команда, подаваемая преподавателям отчетливо, громко и протяжно, чтобы сообщить занимающимся, какие действия им придется выполнять. 8. Строй, в котором занимающиеся в шеренгах расположены по фронту один от другого на интервалах в один шаг или на интервалах, указанных преподавателем. 9. Строй, в котором занимающиеся размещены один возле другого на одной линии. 10. Передвижение вдоль границ зала. 11. Расстояние между первой и последней шеренгой или между направляющим и замыкающим в колонне. 12. Вращательное движение тела вокруг вертикальной оси. 13. Соединение двух колонн (или больше) в одну. 14. Уплотнение разомкнутого строя. 15. Расстояние по фронту между занимающимися. 16. Правая и левая оконечности строя. 17. В строю расстояние между флангами. 18. Расстояние между занимающимися в глубину строя в колонне. По вертикали: 1. Шаг, при котором нога выносится свободно, ставится на пол без акцента, руки производят свободные движения. 2. Подается для приемов (действий), не связанных с немедленным и одновременным исполнением. 3. Размещение занимающихся для совместных действий. �Содержание 4. Команда, подаваемая преподавателем после паузы, громко, отрывисто и энергично. 5. Строй, в котором занимающиеся в шеренгах расположены по фронту один от другого на интервал, равный ширине ладони. 6. Действия учащихся по команде или распоряжению учителя, связанные с переменой вида строя. 7. Занимающийся, двигающийся в колонне первым в указанном направлении. 8. Деление колонны на две (или более). 9. Сторона строя, противоположная фронту. 10. Занимающийся, двигающийся в колонне последним. Применение полученных знаний 2. Запишите условные обозначения, используя термины строевых упражнений. 3. Составьте учебную карту строевых упражнений и изобразите схему графически. Понимание и владение знаниями 4. Выполните строевые упражнения по схеме. Оценка результатов самостоятельной работы 5. Взаимоконтроль студентов по теме «Основные термины и запись строевых упражнений», максимальное количество баллов 43. Регистрационный бланк �Содержание Задание Балл Оценка Базовые знания Кроссворд Применение полученных знаний Запись условных обозначений Составление учебной карты Сумма баллов и оценка Понимание и владение знаниями Выполнение упражнений по схеме Общая сумма баллов и оценка Ключ к обработке результатов: Задание 1 – за каждый правильный ответ – 1 балл (максимальное количество баллов 28). 25–28 баллов – оценка 5 21–24 – оценка 4 17–20 – оценка 3 Менее 17 баллов – вам нужно еще работать. Задание 2–4 – за каждое правильно выполненное задание 5 баллов (максимальное количество баллов 15). Оценка освоения темы в целом: 39–43 балла – оценка 5 32–38 – оценка 4 26–31 – оценка 3. Менее 26 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Глава 3. Основные термины и запись общеразвивающих упражнений без предмета 3.1. Терминологический словарь общеразвивающих упражнений без предмета 3.2. Термины положения рук и ног, движения ими 3.3. Запись общеразвивающих упражнений без предмета Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 3.1. Терминологический словарь общеразвивающих упражнений без предмета Основные термины общеразвивающих упражнений: Стойка Выпад Присед Сед Упор Наклон Полуприсед Лежа Стойка – вертикальное положение занимающегося, когда он стоит прямо. Стойки могут быть на руках, голове, лопатках и т. п. Названия более распространенных стоек общеразвивающих упражнений: Основная стойка (о.с.) Узкая стойка ноги врозь Стойка ноги врозь, руки на пояс Широкая стойка ноги врозь, руки на пояс Стойка скрестно правой, руки на пояс Стойка ноги врозь правой, руки на пояс Стойка на правом колене Стойка на коленях, руки на пояс Выпад – положение или движение с выставлением ноги в любом направлении с одновременным ее сгибанием. Разновидность выпада: Выпад правой руки на пояс Наклонный выпад вправо, руки вверх Выпад вправо с наклонном, руки перед собой Глубокий выпад, руки в стороны �Содержание Лежа – горизонтальное положение лицом вниз, с прямыми ногами. Различают положение лежа на спине, на боку, лежа с различными положениями рук и ног (лежа на спине руки вперед, лежа прогнувшись). Любое положение лежа, кроме лицом вниз, требует при названии дополнительного термина: Лежа Лежа на спине Лежа прогнувшись Прогнувшись – прямое туловище, слегка отведенные назад плечи, прямые ноги, приподнята голова. Присед – положение занимающегося на согнутых ногах, его разновидности: Присед, руки на пояс Присед на левой, правую вперед, руки вперед Полуприсед – положение занимающихся на полусогнутых ногах, его разновидности: Полуприсед, руки вперед Круглый полуприсед, руки вверх Наклонный полуприсед, руки вперед Полуприсед с наклоном, руки назад Сед – положение сидя без выраженной дополнительной опоры, его разновидности: Сед Сед ноги врозь, руки на пояс Сед на пятках, руки на пояс Сед на пятках с наклоном, руки вверх Сед с захватом Хват – способ, с помощью которого учащийся держит предмет, снаряд, партнера. С захватом – удержание руками прямых ног, максимально приведенных к туловищу. Упор – положение занимающегося с опорой руками, при котором плечи находятся выше точек опоры. Упор сидя – смешанный упор, сочетающий положение сидя и существенную опору руками, его разновидности: �Содержание Упор сидя Упор сидя согнувшись Упор сидя высоким углом Согнувшись – тело согнуто в тазобедренных суставах почти максимально. Углом – прямые ноги образуют с туловищем прямой угол. Высоким углом – прямые ноги максимально приведены к туловищу и находятся в положении, близком к вертикальному. Упор называется смешанным, если опора выполняется руками и другой частью тела, например: Упор присев Упор присев на правой, левая назад на носок Упор стоя на коленях Упор стоя согнувшись Упор лежа на бедрах Упор лежа Упор стоя на левом колене, правую назад Упор лежа на предплечьях и бедрах Упор лежа сзади Упор стоя на правом колене боком, левая в сторону Упор лежа сзади на предплечьях Наклон – отведение туловища или головы относительно вертикального положения. Разновидности наклона: Наклон, руки на пояс Наклон прогнувшись, руки на пояс Наклон с захватом Наклон, руки вперед до касания пола �Содержание 3.2. Термины положения рук и ног, движения ими Положения прямых рук могут быть основными и промежуточными. При названии основных положений рук: вперед, назад, вверх – ладонь обращена внутрь, в стороны – ладонь направлена книзу. К основным симметричным положениям рук относятся: Руки вперед Руки в стороны Руки вверх Положение рук и ног рассматривается относительно туловища, независимо от положения тела в пространстве, например: И.п. – лежа на спине, руки вперед (а не вверх) Лежа на спине, руки вперед К симметричным промежуточным положениям рук относятся положения рук под углом в 45 основным: Руки вперед-книзу Руки вперед-кверху к Руки назад-книзу Промежуточные положения рук описываются составным термином, указывающим: основное положение рук и направление, в котором руки начинают двигаться для выведения в описанное положение, например: Руки вверх-наружу Руки в сторону-кверху Руки вниз-наружу Руки в сторону-книзу Положения согнутых рук делятся на стандартные, производные и сложные. Стандартные: Руки за спину Руки к плечам Руки перед грудью Руки перед собой Руки за голову Руки на пояс �Содержание Производные называются от положений прямых рук с добавлением в начале термина «согнуть» и образуются путем выведения прямых рук в указанном направлении и сгибания их в локтевых суставах. Например: Согнуть руки в стороны Согнуть руки назад Согнуть руки вперед Сложные положения: указывается, куда выводятся прямые руки и затем сгибаются, например: Руки в стороны, предплечья вверх Руки вверх, предплечья назад Несимметричные положения рук. При их названии необходимо объяснять положение каждой руки: Правую руку вверх, левую перед грудью Левую руку назад-книзу, правую руку вперед Руки влево Левую руку в сторону, правую за Правую руку к плечу, левую Левую руку в сторону, голову вверх правую вверх При определении положения ноги называется, какой ногой выполняется положение и направление движения, например положение ноги: Вперед Вперед на носок В сторону на носок В сторону Вверх Названия промежуточных положений ноги: Вперед-книзу Вперед-кверху Название одноименных движений ноги: Назад-книзу В сторону-книзу В сторону-кверху �Содержание Правую в сторону-кверху Левую в сторону Левую в сторону-вверх Название разноименных движений ноги: Правую влево на носок Правую влево-книзу Название движений руками и ногами определяется направлением его начала. Например: Внутрь Наружу Вперед Назад Кверху Книзу Одноименные движения – совпадающие по направлению со стороной конечности (например, одноименные круги правой). Разноименные движения – противоположные по направлению со стороной конечности (например: разноименные круги левой). Одновременные движения – выполняемые руками или ногами в одно и то же время (одновременные круги руками назад). Поочередные движения – выполняемые конечностями по очереди, вначале одной, затем другой (поочередные круги руками вперед). Последовательные движения – выполняемые одно за другим с отставанием на половину амплитуды (последовательные круги руками назад). Волнообразные движения – соединения одновременных и последовательных движений в нескольких суставах, сгибание и разгибание в суставах ног, туловища и рук, которое совершается последовательно от одного сустава, к другому. Пружинное движение – выполняется несколькими движениями с неполным возвращением в исходное положение. Взмах – движение ногой в любом направлении с возвращением в и.п. Круг – движение по окружности на 360°. Круговое движение можно выполнять руками, кистью, предплечьем, например: �Содержание Круг руками назад Круг кистью во внутрь Круг предплечьем во внутрь Дугообразные движения рук – угол перемещения рук более 90°, но менее 360°. При дугообразных движениях рук называется термин «дугами», указывается направление начального движения и конечное положение, например: Дугами назад, руки вперед Дугами вовнутрь, руки в стороны Дугой вовнутрь, правую руку в сторону Дугами вовнутрь, руки вверх Дугами книзу, руки вверх Шаг – выставление ноги в любом направлении с перенесением тяжести на выставляемую ногу (например, шаг левой назад). Если движение выполняется несколькими звеньями тела одновременно, то его принято называть в следующей последовательности: движения ног, туловища, рук, головы, например: «шаг правой вперед, руки к плечам, поворот головы направо». Правую (левую) на шаг – выставление ноги с равномерным распределением тяжести тела на обе ноги (например, правую на шаг в сторону). В некоторых случаях бывает необходимо указать способ выполнения движения, например: 1. 2. 1. «Шагом вправо стойка ноги врозь, руки вниз» 2. «Прыжком стойка ноги вместе, руки в сторону Бег – передвижение шагом с фазой полета. Согнуть правую (левую) – поднимание согнутой ноги с одновременным сгибанием ее (например, согнуть правую вперед, согнуть правую назад). �Содержание Согнуть правую вперед Согнуть правую назад Прыжок – свободный полет после толчка ногами или одной ногой. Подскок – небольшое подпрыгивание на месте или с продвижением в указанном направлении. Перескок – прыжок через скакалку или небольшой прыжок с одной ноги на другую. �Содержание 3.3. Запись общеразвивающих упражнений без предмета При записи комплекса общеразвивающих упражнений каждое упражнение нумеруется римской цифрой. В этой же строчке записывается и и.п. (основной термин и дополнительный). С каждой новой строки – счет арабскими цифрами и выполняемые под этот счет действия. Например: I. И.п. – стойка ноги врозь, руки на поясе: 1 – Поворот туловища направо, руки в стороны 2 – поворот в и.п. 3 – Поворот туловища налево, руки за голову 4 – поворот в и.п. 5 – Присед, руки перед собой 6 – встать в и.п. 7 – Наклон назад, руки за спину 8 – выпрямиться, руки на пояс II. И.п. – стойка, руки вверх: 1 – присед, руки вперед 2 – разгибая ноги, наклон руки вперед, коснуться ладонями пола 3 – присед руки в стороны 4 – встать, руки вверх Общеразвивающие упражнения заканчиваются возвращением в и.п. Если упражнение составлено, например на 4 счета, то последний счет записывается: 4 – и.п. Но чтобы уметь правильно описать принятие конечного положения, необходимо знать, прежде всего, следующие термины: выпрямиться – после наклонов; разогнуть руки – после сгибания рук; встать – из седов, приседов, упоров; опуститься – на всю стопу из стойки на носках; приставить – после отставления ноги в различные положения. Общеразвивающие упражнения заканчиваются возвращением в и.п. Другой вариант, пример как можно сократить запись упражнения, если вторая его половина выполняется симметрично первой. И.п. – стойка ноги врозь, руки на поясе 1 – поворот туловища направо, руки в стороны �Содержание 2 – поворот в и.п. 3–4 – то же в другую сторону. Вариант, как можно объединить запись нескольких одинаковых движений, например: И.п.– стойка ноги врозь, руки на поясе 1 – руки вверх 2–3 – два пружинящих наклона вперед 4 – выпрямиться в и.п. Можно объединить запись одного движения, длящегося более чем один счет, например: И.п. – о.с. 1–2 – встать на носки, руки вверх 3–4 – опуститься на всю стопу, и.п. Если движение выполняется несколькими звеньями тела одновременно, то его принято записывать в следующей последовательности: движения ног, туловища, рук, головы. Пример записи общеразвивающих упражнений с выполнением движения несколькими звеньями тела одновременно: І. И.п. – о.с. 1 – полуприсед, руки перед грудью, наклон головы влево 2 – встать в и.п. 3–4 – то же в другую сторону. ІІ. И.п. – о.с. 1 – правую на шаг в сторону с наклоном вперед, руки в стороны, повернуть голову налево; 2 – приставить правую, выпрямиться в и.п. 3–4 – то же в другую сторону. Если два движения выполняются одновременно (на один счет), то при записи они соединяются предлогом «с». Например: наклон прогнувшись с поворотом туловища налево. Если два движения выполняются поочередно (на один счет), то при записи они соединяются союзом «и». Например: наклон прогнувшись и поворот туловища налево. Эта запись означает, что поворот туловища надо выполнять только после окончания наклона. При записи общеразвивающих упражнений указываются только изменяемые положения звеньев тела, при этом могут отсутствовать основные термины. �Содержание Правильно Неправильно И.п. – стойка, ноги врозь 1. Стойка, ноги врозь, руки к плечам 1 – руки к плечам 2 – наклон вперед 3 – руки в стороны 4 – И.п. 2. Стойка, ноги врозь с наклоном вперед, руки к плечам 3. Стойка, ноги врозь с наклоном вперед, руки в стороны 4. Стойка, ноги врозь На примере неправильной записи каждое действие выглядит так, будто всякий раз указывается новое исходное положение. Для записи ОРУ характерен динамический стиль. При записи положений рук и ног следует помнить, что отдельные звенья тела одинаково располагаются относительно туловища независимо от его положения в пространстве. Например: И.п. – лежа на спине, руки вперед (а не вверх). Положения прямых рук могут быть основными и промежуточными. При записи основных положений рук: вперед, назад, вверх – ладонь обращена внутрь, в стороны – ладонь направлена книзу. Направление ладоней указывается только тогда, когда оно отличается от принятого положения рук. Промежуточные положения рук описываются составным термином, указывающим: основное положение рук; направление, в котором руки начинают двигаться для выведения в описанное положение. Например: руки вниз-наружу; руки вперед-в стороны-кверху. Разные промежуточные положения рук могут отличаться только положением ладоней: руки вверх – наружу и в стороны – кверху; вперед – наружу и в стороны – вперед. Положения согнутых рук делятся на стандартные, производные и сложные. Стандартные: руки на пояс, к плечам, за голову, на голову, за спину, перед грудью, перед собой. Производные от положений прямых рук записываются с добавлением в начале термина «согнуть» и образуются путем выведения прямых рук в указанном направлении и сгибания их до отказа в локтевых суставах. Например: согнуть руки вперед, согнуть руки в стороны, согнуть руки назад. Сложные положения: указывается, куда выводятся прямые руки и куда затем сгибаются, например: руки вперед, предплечья вверх; руки в стороны, предплечья вперед, ладони внутрь. Движения руками делятся на простые, дугообразные и круги. Эти движения могут выполняться прямыми и согнутыми руками, а также предплечьями и кистями. Простые – это переведение рук из одного основного или промежуточного положения в другое, при этом записывается только следующее положение рук, например: И.п. – о.с. 1 – руки вперед �Содержание 2 – руки в стороны 3 – руки вверх-наружу 4 – руки вниз При дугообразных движениях рук записывается сначала термин «дугами», далее направление начального движения и конечное положение, например: І. И.п. – о.с. 1–2 – дугами назад руки вверх 3–4 – обратное движение в и.п. ІІ. И.п. – стойка, руки вправо 1–2 – дугами кверху руки вниз 3–4 – обратное движение в и.п. ІІІ. И.п. – о.с. 1–2 – руки вверх (согласно правилу сокращения термин «дугами вперед» не указывается). 3–4 – и.п. Круги – могут выполняться в лицевой (фронтальной) и боковых плоскостях, название они получают по начальному движению, например: І. И.п. – о.с. 1–2 – круг руками наружу 3–4 – круг руками внутрь ІІ. И.п. – стойка, руки в стороны 1–2 – круг предплечьями книзу 3–4 – круг предплечьями кверху ІІІ. И.п. – о.с. 1–2 – круг правой рукой внутрь 3–4 – круг левой рукой внутрь Как видно из последнего примера, движения могут выполняться не только двумя руками, но и одной, а также поочередно. Одновременно двумя руками можно выполнять симметричные и асимметричные, последовательные, одноименные и разноименные движения. Положения и движения ног записываются на основе тех же принципов, что и для рук, и имеют свои особенности. Слово «нога» указывается лишь тогда, когда нельзя определить о руке или ноге идет речь. Прямую ногу можно: - ставить на носок, например: правую в сторону на носок, левую вправо на носок; - выставить на шаг, (приняв стойку ноги врозь), например: правую на шаг в сторону, левую на шаг вперед; �Содержание - выполнить шаг, например: шаг правой вперед, шаг левой вперед-внутрь. Положение согнутых ног описываются аналогично положениям рук, только нога, в отличие от рук, сгибается под прямым углом. Например: согнуть правую вперед; согнуть правую в сторону; согнуть правую назад, колено в сторону. Головой и туловищем можно выполнять наклоны, повороты, дуговые и круговые движения: • При записи наклонов не пишется слово «туловище», например: наклон вперед, наклон вправо. Для наклонов головы слово голова указывается, например: наклон головы вправо. • При записи поворотов головы и туловища эти части тела указываются, например: поворот головы направо, поворот туловища налево. • Дуговые движения не характерны для головы и туловища, при их записи указывается начальное движение и конечное положение, например: дугой вправо наклон головы влево, дугой вперед наклон влево. • Круговые движения головой и туловищем выполняются из и.п. с наклоном (голова) вперед или без наклона, например: круговое движение туловищем вправо, круговое движение головой влево в плоскости, близкой к вертикальной. Общеразвивающие упражнения могут записываться построчной или непрерывной записью. Пример построчной записи общеразвивающих упражнений: И.п. – упор стоя на коленях 1 – левую руку вверх, правую ногу назад 2 – и. п. 3–4 – то же с другой руки и ноги Пример непрерывной записи общеразвивающих упражнений: И.п. – стойка ноги врозь, руки на пояс. 1 – поворот туловища налево, руки в стороны; 2 – и.п.; 3 – наклон вперед, руками коснуться пола; 4 – и.п.; 5–8 – то же в другую сторону. �Содержание Контрольные вопросы 1. Назовите основные термины общеразвивающих упражнений. 2. Назовите, чем отличаются термины «присед» и «сед». 3. Назовите разновидности упоров. 4. Назовите разновидности седа. 5. Назовите разновидности стоек. 6. Назовите основные движения рук и ног. 7. Расскажите правило определения положения рук и ног. 8. Расскажите правило дугообразных движений рук. 9. Назовите возможные варианты записи общеразвивающих упражнений. 10. Назовите предлог, который ставится в записи общеразвивающих упражнений, если два движения выполняются поочередно. 11. Назовите предлог, который ставится в записи общеразвивающих упражнений, если два движения выполняются одновременно. 12. Назовите особенности записи движений руками, ногами, головой и туловищем. 13. Назовите последовательность записи движений выполняемых несколькими звеньями тела одновременно. 14. Назовите особенность построчной и непрерывной записи упражнений. �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Разгадайте кроссворд «Основные термины общеразвивающих упражнений». По горизонтали: 1. Положение занимающегося на согнутых ногах. 2. Способ, с помощью которого учащийся держит предмет, снаряд, партнера. 3. Прямое туловище, слегка отведенные назад плечи, прямые ноги, приподнята голова. 4. Горизонтальное положение лицом вниз, с прямыми ногами. 5. Положение занимающегося с опорой руками, при котором плечи находятся выше точек опоры. 6. Тело согнуто в тазобедренных суставах почти максимально. 7. Удержание руками прямых ног максимально приведенных к туловищу. 8. Положение сидя без выраженной дополнительной опоры. По вертикали: 1. Положение занимающихся на полусогнутых ногах. 2. Положение или движение с выставлением ноги в любом направлении с одновременным ее сгибанием. 3. Вертикальное положение занимающегося, когда он стоит прямо. 4. Положение тела, когда прямые ноги образуют с туловищем прямой угол. 5. Отведение туловища или головы относительно вертикального положения. �Содержание 2. Разгадайте кроссворд «Термины движения рук и ног». По горизонтали: 1. Движение по окружности на 360°. 2. Движения, выполняемые конечностями по очереди, вначале одной, затем другой. 3. Небольшое подпрыгивание на месте или с продвижением в указанном направлении. 4. Движения, совпадающие по направлению со стороной конечности. 5. Движение ногой в любом направлении с возвращением в и.п. 6. Движения, выполняемые одно за другим с отставанием на половину амплитуды. По вертикали: 1. Движения, при котором угол перемещения рук более 90°, но менее 360°. 2. Несколько движений с неполным возвращением в исходное положение. 3. Свободный полет после толчка ногами или одной ногой. 4. Прыжок через скакалку или небольшой прыжок с одной ноги на другую. 5. Движения, противоположные по направлению со стороной конечности. 6. Передвижение шагом с фазой полета. �Содержание 7. Движения, выполняемые руками или ногами в одно и то же время. 8. Выставление ноги в любом направлении с перенесением тяжести на выставляемую ногу. 3. Назовите положение ног, используя таблицу-матрицу. а б в г 1 2 3 4. Назовите положение рук, используя таблицу-матрицу. а 1 2 б в г д �Содержание 3 4 5 5. Назовите конкретные термины, используя таблицу-матрицу. а 1 2 3 4 5 6 7 8 б в г �Содержание 9 10 11 6. Назовите движение рук, используя таблицу-матрицу. а б в г 1 2 3 Применение полученных знаний 7. Найдите ошибки в записи ОРУ. 7.1. И.п. – стойка ноги вместе и прямые, руки за голову. 1 – поворот направо, правую руку вверх, левую вперед; 2 – и.п.; 3-4 – то же налево. 7.2. И.п. – о.с. 1–2 – шаг левой назад, опуститься на левое колено, руки дугами поднять вперед; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же на правое колено. 7.3. И.п. – стойка ноги врозь, руки на пояс. 1–2 – передавая вес тела на правую ногу, наклон туловища влево; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же вправо. 7.4. И.п. – широкая стойка ноги врозь, руки в стороны. 1 – наклон туловища вперед, расслабленные руки скрестно вниз; 2 – и.п. 7.5. И.п. – стойка ноги врозь, левая рука в сторону, правая перед грудью. 1 – поворот направо; 2 – и.п.; 3 – поворот туловища налево со сменой положения рук; 4 – и.п. 7.6. И.п. – стойка ноги врозь, руки вверх, пальцы в сцеплении, слегка прогнуться. 1 – наклон туловища вперед, руки вниз; 2–4 – и.п. 8. Запишите на карточку комплекс ОРУ краткой и графической записью. �Содержание 1. И.п. – стойка ноги врозь, руки прижаты к груди, пальцы в кулак; 1–2 – руки вверх – наружу, разжать пальцы; 3–4 – и.п. 2. И.п. – о.с. 1–2 – шаг левой назад, опуститься на левое колено, руки вперед, 3–4 – и.п., 5–8 – то же на правое колено. 3. И.п. – стойка, руки вверх. 1 – наклон вперед, руки вниз и назад; 2 – и.п. 4. И.п. – упор лежа на согнутых руках. 1–2 – разгибая руки встать на левое колено, правую назад; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же на правое колено. 5. И.п. – стойка ноги врозь, руки в стороны. 1 – наклон влево, левую руку за спину, правую за голову; 2 – и.п.; 3–4 – то же в другую сторону. 6. И.п. – стойка ноги врозь, руки за голову. 1 – поворот туловища направо, правую руку вверх, левую вперед; 2 – и.п.; 3-4 – то же налево. 7. И.п. – стойка на левой, правую в сторону – книзу, руки на пояс. Прыжки на каждый счет со сменой положения ног. 9. Запишите ОРУ, используя таблицу-матрицу. Понимание и владение знаниями 10. Выполните комплекс ОРУ в движении по записи. �Содержание I И.п. – Руки вверх, пальцы переплетены ладонями кверху 1–4 – на каждый шаг рывковые движения назад II И.п. – Руки к плечам 1–4 – ходьба перекатом с пятки на носок, на каждый шаг вращение в плечевых суставах вперед 5– 8 – то же с вращением назад И.п. – Руки на пояс 1–4 – ходьба в полуприседе 5–8 – ходьба на носках И.П. – Руки вперед 1–4 – на каждый шаг наклоны вперед, касаясь руками пола И.п. – О.с. 1– выпад правой вперед, поворот туловища вправо руки вправо 2– то же с левой И.п. – Упор лежа сзади, согнув ноги 1–4 – передвижение вперед, переступая руками и ногами И.п. – Руки за голову 1– шаг левой, правая согнута вперед 2– то же правой III IV V VI VII VIII И.п. – IX Руки на пояс 1–4 – прыжки в стойку ноги врозь – ноги вместе с продвижением вперед И.п. – Ходьба 1– руки вперед 2– вверх 3– в стороны 4– вниз 11. Выполните комплекс ОРУ в кругу в сцеплении по записи. I И.п. – Стойка, взявшись за руки 1– руки вперед 2– встать на носки, руки вверх 3– руки вперед 4– и.п. �Содержание II III IV V VI VII VIII И.п. – То же 1– присед, руки вперед 2– разгибая ноги, наклон вперед, руки назад 3– присед, руки вперед 4– и.п. И.п. – Стойка ноги врозь, руки на плечи рядом стоящим 1–3– три пружинящих наклона вперед 4– и.п. 5–7– три пружинящих наклона назад 8– и.п. И.п.– Стойка, правая рука на плечо рядом стоящего, левая на пояс 1– упор присев с опорой левой рукой 2– упор лежа 3– упор присев 4– встать, поменять и.п. для выполнения с другой руки 5–8 – то же с другой рукой И.п.– Стойка ноги врозь, в затылок друг другу, руки на плечи впереди стоящему 1–3 – три пружинящих наклона вправо 4– и.п. 5–8 – то же в другую сторону. И.п.– Сед, взявшись за руки 1–2– лечь на спину, руки вверх 3–4– и.п. И.п.– то же 1– наклон вперед, руки вверх 2– сед, руки вверх 3– согнуть ноги, руки вперед 4– и.п. И.п. – лежа на животе, взявшись за руки, руки вверх 1–2 – прогнуться 3–4 – и.п. �Содержание IX X И.п. – Стойка, взявшись за руки 1– мах правой вперед 2– мах правой назад 3– мах правой вперед 4– и.п. 5–8– то же с другой ноги И.п. – Стойка, взявшись за руки 1–4– четыре прыжка с продвижением вправо 5–8– то же влево Оценка результатов самостоятельной работы 12. Взаимоконтроль студентов по теме «Основные термины и запись общеразвивающих упражнений без предмета», максимальное количество баллов 270. Регистрационный бланк Задание Базовый блок Кроссворд Положение рук Положение ног Конкретные термины Движения рук Сумма баллов и оценка Применение полученных знаний Ошибки в записи Карточка комплекса ОРУ с краткой и графической записью Запись ОРУ Сумма баллов и оценка Понимание и владение знаниями Выполнение комплекса ОРУ по записи Сумма баллов и оценка Общая сумма баллов и оценка Балл Оценка �Содержание Ключ к обработке результатов: Базовые знания (максимальное количество баллов 120). Задание 1–6 за каждый правильный ответ – 1 балл 108–120 баллов – оценка 5 90–107 – оценка 4 72–89 – оценка 3 Менее 72 баллов – вам нужно еще работать. Применение полученных знаний (максимальное количество баллов 87). Задание 7–9 за каждое правильно выполненное задание – 3 балла 78–87 баллов – оценка 5 65–77 – оценка 4 52–64 – оценка 3 Менее 37 баллов – вам нужно еще работать. Понимание и владение знаниями (максимальное количество баллов 63). Задание 10–11 за каждое правильно выполненное задание – 3 балла. 57–63 баллов – оценка 5 47–56 – оценка 4 38–46 – оценка 3 Менее 38 баллов – вам нужно еще работать. Оценка освоения темы в целом 243–270 баллов – оценка 5 203–242 – оценка 4 162–202 – оценка 3 Менее 162 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Глава 4. Основные термины и запись общеразвивающих упражнений с предметами 4.1. Терминологический словарь общеразвивающих упражнений с палкой 4.2. Запись общеразвивающих упражнений с предметами Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 4.1. Терминологический словарь общеразвивающих упражнений с палкой Различают горизонтальное, вертикальное и наклонное положения палки. Положение палки возможно: хватом за оба конца и со свободным концом или концами (хват за середину). Положения палки, удерживаемой за оба конца, может быть симметричным и асимметричным. При симметричном положении палки указывается только положение центра палки относительно туловища, например: • симметричные горизонтальные положения палки: Палку вниз Палку вниз-сзади Палку вперед-книзу Палку вперед-кверху Палку вверх Палку вверх-назад Палку на лопатки Палку перед грудью При наклонах и поворотах положение палки определяется по отношению к туловищу в его вертикальном положении. Сед палку перед грудью Лежа на спине палку вверх Наклонный выпад в вправо, палку вперед Наклон прогнувшись, палку на лопатки При асимметричном (руки находятся в разных положениях) положении палки указывается положение центра палки и в чем состоит отклонение от симметрии, например: • асимметричные положения палки вертикальные: �Содержание Палку вертикально вперед, правая сверху • Палку вертикально перед грудью, правая сверху Палку вертикально за спиной, правая сверху Палку вертикально влево, левая сверху асимметричные положения палки наклонные: Палку вперед наклонно, правая сверху Палку перед грудью наклонно, правая сверху Палку влево наклонно, правая сверху Палку за спиной, правая сверху Положения палки со свободным концом или концами. • стандартные положения палки: Палку к плечу • Палку к ноге С палкой вольно положения хватом за один конец палки: При положении палки хватом за один конец – указывается положение руки и направление палки, например: Правую с палкой вперед Правую вперед, палку вверх Правую с палкой в сторону • Правую в сторону, палку вверх Руки вверх, палку вправо Правую с палкой вверх Левую с палкой вперед-книзу Положения палки со свободным концом хватом двумя руками. При положении палки со свободным концом хватом двумя руками – указывается удерживаемый конец и направление свободного конца, например: �Содержание Палку к правому плечу и вверх • Палку на голову и вправо Положения палки со свободными концами хватом одной за середину. При положении палки со свободными концами хватом одной за середину - указывается положение руки и направление палки, например: Палку в правой вперед вертикально Палку в левой вверх поперек Палку в левой в сторону поперек Палку в правой вниз поперек �Содержание 4.2. Запись общеразвивающих упражнений с предметами Запись упражнений с предметами имеет свои особенности и подчиняется определенным правилам. При записи исходных положений с предметами вначале указывается положение тела, а затем предмета, например: и.п. – полуприсед, палку вперед; и.п. – стойка ноги врозь, мяч вверх и т. д. Исключение может составлять стойка ноги вместе – как самое распространенное исходное положение. При записи исходных положений с предметами из стойки ноги вместе, термин «стойка» может не указываться и записывается только положение предмета, например: и.п. – мяч вверх; и.п. – гантели вперед; и.п. – палку вниз-сзади. При записи упражнений с предметом записывается путь предмета, а не рук, его держащих, например: мяч (гантели, палка) вверх; левую руку перед грудью, мяч вправо. Если движение предметом выполняется не одновременно с другими движениями, а позже, то и указывается оно также в конце, например: приставить правую, палку вниз. Пример записи упражнения с мячом: И.п. – стойка, мяч вниз. 1 – шагом левой вперед, мяч вверх, прогнуться; 2 – приставляя левую, и.п.; 3 – бросить мяч вверх; 4 – поймать мяч, и.п. Пример записи упражнения с гантелями: И.п. – стойка ноги врозь, гантели вниз. 1–2 – присед, гантели вверх; 3–4 – и.п. Пример записи упражнения со скакалкой: И.п. – стойка, скакалка сложенная вчетверо, вверху. 1 – согнуть левую вперед, скакалку вниз, обхватив голень, подтянуть ногу к груди; 2 – и.п.; 3–4 – то же с правой ноги; �Содержание 5 – присед, скакалку вперед; 6 – и.п.; 7–8 – повторить 5–6. Пример записи упражнений с гимнастической палкой: І. И.п. – палку вниз. 1 – подняться на носки, палку вверх; 2 – опуститься, палку на лопатки; 3 – подняться на носки, палку вверх; 4 – опуститься в и.п. ІІ. И.п. – палка вертикально свободным концом на пол. 1 – отпуская палку, перемах левой над палкой; 2 – и.п. 3–4 – то же правой ногой. ІІІ. И.п. – стойка ноги врозь, палку вниз, хватом снизу. 1 – подбросить палку вверх; 2 – присесть и поймать палку; 3 – встать палку вперед; 4 – и.п. При записи упражнений с обручем необходимо знать его основные плоскости – горизонтальная, фронтальная и боковая. В упражнениях с обручем указываются положение его плоскости и направление движения. Например, обруч горизонтально вверх, обруч вертикально (фронтально) вперед. Пример записи упражнения с обручем: І. И.п. – о.с., внутри, обруч вниз горизонтально, хватом изнутри. 1–2 – шагом вправо, стойка на носках, ноги врозь, обруч вверх горизонтально; 3–4 – приставляя правую и.п. 5–8 – то же влево. �Содержание ІІ. И.п. – стойка ноги врозь, обруч вертикально вперед. 1–2 – выпад вправо, поворот обруча книзу-налево с наклоном влево; 3–4 – вернуться в и.п. 5–8 – то же в другую сторону. �Содержание Контрольные вопросы 1. Назовите возможные положения палки. 2. Назовите особенности записи симметричных горизонтальных положений палки. 3. Назовите особенности записи асимметричных вертикальных положений палки. 4. Назовите особенности записи асимметричных наклонных положений палки. 5. Назовите особенности записи положения палки со свободным концом или концами: стандартные и положения хватом за один конец палки. 6. Назовите особенности записи положения палки со свободным концом хватом двумя руками. 7. Назовите особенности записи положения палки со свободными концами хватом одной за середину. 8. Расскажите правило записи общеразвивающих упражнений с мячом, гантелями, скакалкой. 9. Расскажите правило записи общеразвивающих упражнений с обручем. �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Назовите конкретные термины с палкой, используя таблицу матрицу: а б в г 1 2 3 4 5 6 7 8 Применение полученных знаний 2. Найдите ошибки в записи ОРУ с предметами. 2.1. И.п. – о.с, мяч вниз. 1 – шагом левой вперед, мяч дугой спереди вверх, прогнуться; 2 – приставляя левую, и.п.; 3 – бросить мяч вверх; 4 – поймать мяч, и.п. 2.2. И.п. – стойка мяч вверх. 1 – мяч вперед, мах левой ногой вперед; 2 – и.п.; 3 – наклон туловища вперед, коснуться мячом пола; 4 – и.п.; 5–8 – то же махом правой. 2.3. И.п. – стойка, палка внизу сзади. 1 – стойка с наклоном, палку опустить, вниз к пяткам; 2–3 в �Содержание стойке с наклоном прижать палку к ногам и, сгибая руки, подтянуть грудь и голову к ногам; 4 – и.п. 2.4. И.п. – о.с. ноги врозь, гантели вниз. 1–2 – дугами через стороны гантели вверх; 3–4 – и.п. 2.5. И.п. – стойка гантели прижаты к затылку. 1 – наклон туловища вперед; 2 – и.п. 2.6. И.п. – стойка ноги на ширине плеч, гантели в стороны. 1 – поворот рук назад; 2 – и.п.; 3 – поворот рук вперед; 4 – и.п. 3. Запишите на карточку комплекс ОРУ с набивным мячом краткой и графической записью. 1. И.п. – стойка, мяч вниз. 1 – шагом левой вперед, мяч вверх, прогнуться; 2 – приставляя левую, и.п.; 3 – бросить мяч вверх; 4 – поймать мяч, и.п. 2. И.п. – стойка мяч сзади. 1 – выпад правой, мяч назад; 2 – и.п.; 3–4 – то же левой. 3. И.п. – наклон вперед, мяч касается пола. 1–2 – выпрямляясь, подбросить мяч вверх; 3–4 – поймать мяч и и.п. 4. И.п. – стойка мяч вверх. 1 – мяч вперед, мах левой вперед; 2 – и.п.; 3 – наклон вперед, коснуться мячом пола; 4 – и.п.; 5–8 – то же махом правой. 5. И.п. – сед, упор сзади, мяч зажат между ступнями. 1 – согнуть ноги; 2 – разогнуть ноги в сед углом; 3 – согнуть ноги; 4 – и.п. 6. И.п. – упор присев, руки на мяч. 1 – упор лежа; 2 – мах левой назад; 3 – упор лежа; 4 – и.п.; 5–8 – то же махом правой. 7. И.п. – стойка ноги врозь, мяч за головой, локти вертикально вверх. 1 – мяч вверх; 2 – и.п. 8. И.п. – стойка ноги врозь, мяч вниз. 1–2 – с поворотом туловища налево присед и положить мяч сзади на пол; 3–4 – встать, руки на пояс; 5–6 – с поворотом туловища налево присед и взять мяч; 7–8 – и.п.; 9–16 – то же в другую сторону. 9. И.п. – стойка, мяч вниз. 1 – прыжок ноги врозь, мяч вперед; 2 – прыжок правая скрестно, мяч на грудь; 3 прыжок ноги врозь, мяч вперед; 4 – прыжок, и.п.; 5–8 – то же, но прыжком левая скрестно. 4. Запишите на карточку комплекс ОРУ с гимнастической палкой краткой и графической записью. 1. И.п. – стойка, палку вниз. 1 – левую назад на носок, палку на грудь; 2 – палку вверх, прогнуться; 3 – палку на грудь; 4 – приставляя левую, и. п. 5–8 – то же с правой. 2. И.п. – стойка, палку свободным концом на пол, руками опираться на палку. 1–3 – пружинящие приседания; 4 – и.п. 3. И.п. – стойка, палку к левой ноге. 1 – опираясь на палку, при-сед на левой, правую вперед; 2 – и.п.; 3–4 – повторить, 5–8 – то же на правой ноге, палка справа. 4. И.п. – стойка, палка внизу сзади. 1 – наклон вперед, палку опустить, вниз к пяткам; 2–3 прижать палку к ногам и, сгибая руки, подтянуть грудь и голову к ногам; 4 – и.п. 5. И.п. – сед, палку вверх. 1 – сед углом, палку вперед до касания носков ног; 2 – и.п.; 3–4 повторить; 5–6 – сгибая ноги, перемах в сед, палку под ногами; 7–8 – перемах назад в и.п. 6. И.п. – лежа на спине, палку вверх. 1–2 – лежа на спине перемах согнув ноги, палку за спину, руки согнуть в локтях, стойка на лопатках; 3–6 – держать; 7–8 – и.п. �Содержание 7. И.п. – сед ноги врозь, палку вперед. 1–2 – выкрутом вперед палку назад; 3–4 – выкрутом назад и.п.; 5 – поворот направо; 6 – и.п.; 7–8 – то же направо. 8. И.п. – стойка, палку вниз. 1 – прыжок на месте, палку на грудь; 2 – прыжок в стойку ноги врозь, палку вверх; 3 – пры-жок ноги вместе, палку на грудь; 4 – прыжок ноги вместе, палку вниз; 5 – прыжок в стойку ноги врозь, палку вверх; 6 – пры-жок ноги вместе, палку вниз; 7–8 – повторить прыжки на счет «5» и «6». 5. Запишите ОРУ с палкой, используя таблицу матрицу: 6. Запишите упражнение с мячом, используя таблицу матрицу: �Содержание Понимание и владение знаниями 7. Выполните комплекс ОРУ с гантелями по записи. 1. И.п. – стойка, ноги врозь, гантели вниз. 1–2 – дугами через стороны гантели вверх; 3–4 – и.п. 2. И.п. – стойка ноги врозь, гантели вниз. 1–2 – присед, гантели вверх; 3–4 – и.п. 3. И.п. – стойка гантели прижаты к затылку. 1 – наклон вперед; 2 – и.п. 4. И.п. – сед, гантели в стороны. 1 – сед в группировке, гантели вперед; 2 – и.п. 5. И.п. – сед, руки вверх, предплечья с гантелями вниз назад. 1 – разогнуть руки, не опуская локти вперед, гантели вверх; 2 – согнуть руки в локтях, и.п. 6. И.п. – стойка ноги врозь, гантели в стороны. 1 – поворот рук назад; 2 – и.п.; 3 – поворот рук вперед; 4 – и.п. 7. И.п. – о.с, гантели вниз. 1 – наклон влево; 2 – и.п.; 3–4 – то же вправо. 8. И.п. – стойка гантели к плечам. 1 – прыжок ноги врозь, гантели вверх; 2 – и.п. �Содержание 8. Выполните комплекс ОРУ с обручем по записи. 1. И.п. – стойка обруч вертикально вперед. 1–2 – правую в сторону на носок, обруч горизонтально вверх; 3 – мах правой ногой в сторону; 4 – и.п.; 5–8 – то же с левой ноги. 2. И.п. – стойка обруч справа на полу вертикально, держать за верхний край. 1–2 – махом правой ногой и толчком левой, наклоняя обруч вправо, прыжок в обруч в полу-присед, левую руку в сторону – вверх; 3–4 – вставая, ма-хом левой ногой в сторону и толчком правой прыжок из обруча в и. п.; 5–8 – то же в другую сторону. 3. И.п. – стойка ноги врозь, обруч вниз. 1–2 – прогибаясь в грудном отделе, небольшой наклон назад, обруч вверх горизонтально; 3–4 – сохраняя прогнутое положение, наклон вперед, до касания обручем пола; 5–6 – выпрямиться, обруч вверх горизонтально; 7–8 – и.п. 4. И.п. – сед, обруч вверх, хватом изнутри за середину. 1–2 – опуская обруч, согнуть ноги и передним краем обруча коснуться пола; 3–4 – и.п. 5. И.п. – стойка ноги врозь, обруч удерживается руками горизонтально на пояснице. 1–8 – вращение обруча на бедрах. 6. И.п. – стойка ноги врозь, обруч вертикально вперед. 1–2 – передавая тяжесть на правую, левую в сторону на носок, поворот обруча книзу-налево с наклоном влево; 3–4 – и. п.; 5–8 – то же в другую сторону. 7. И.п. – стойка обруч вертикально перед грудью, держать за нижний край. Прыжки на двух через обруч, как через скакалку, вращая его назад. 9. Выполните комплекс ОРУ со скакалкой по записи. 1. И.п. – стойка, скакалка, сложенная вдвое, внизу. 1–2 – растягивая скакалку влево-вверх, правую назад на носок, прогнуться вправо; 3–4 – и. п.; 5–8 – то же с другой ноги. 2. И.п. – стойка, скакалка сложенная вчетверо, вверху. 1– согнуть левую вперед, скакалку вниз, обхватив голень, подтянуть ногу к груди; 2 – и.п.; 3–4 – то же с правой ноги; 5 – присед, скакалку вперед; 6 – и.п.; 7–8 – повто-рить 5–6. 3. И.п. – стойка ноги врозь, скакалка под стопой левой ноги, концы в согнутых вперед руках. 1 – натягивая ска-калку, поднять левую, согнутую ногу вперед; 2–3 – разгибая левую вперед, равновесие; 4 – и.п.; 5–8 – то же с правой ноги. 4. И.п. – стойка ноги врозь на скакалке, концы ее в руках. 1 – наклон вперед, растягивая скакалку, левым кулаком коснуться правой ноги, правую руку в сторону; 2 – и.п.; 3–4 – то же правым кулаком. 5. И.п. – сед, скакалка, сложенная вчетверо, вверху. 1 – сед углом, скакалку вперед, до касания носков; 2 – и.п.; 3–4 – повторить; 5–6 – сгибая ноги, перемах в сед, скакалка под коленями; 7–8 – перемах назад в и.п. 6. И.п. – лежа на спине, скакалка, сложенная вдвое, вверху, 1–2 – сгибая ноги, перемах в стойку на лопатках; 3–6 – держать; 7–8 – и.п. 7. И.п. – стойка ноги врозь, скакалка, сложенная вчетверо, вверху. 1 – наклон влево; 2 – наклон вперед, руки скрестно, правая сверху; 3 – наклон вправо; 4 – и.п.; 5–8 – то же, начиная с наклона вправо, при наклоне вперед руки скрестно, левая сверху. �Содержание 8. И.п. – стойка, скакалка сзади. 1–2 – два прыжка на левой с вращением скакалки вперед; 3–4 – то же на пра-вой; 5–8 – прыжки на двух. Оценка результатов самостоятельной работы 9. Взаимоконтроль студентов по теме «Основные термины и запись общеразвивающих упражнений с предметами», максимальный балл 230. Регистрационный бланк Задание Базовые знания Конкретные термины Применение полученных знаний Ошибки в записи Карточка комплекса ОРУ с краткой и графической записью Запись ОРУ Сумма баллов и оценка Понимание и владение знаниями Выполнение комплекса ОРУ по записи Сумма баллов и оценка Общая сумма баллов и оценка Ключ к обработке результатов: Базовые знания (максимальное количество баллов 32) Задание 1 – за каждый правильный ответ – 1 балл 29–32 балла – оценка 5 24–28 – оценка 4 19–23 – оценка 3 Менее 19 баллов – вам нужно еще работать. Применение полученных знаний (максимальное количество баллов 129). Задание 2–6 за каждое правильно выполненное задание – 3 балла. 116–129 баллов – оценка 5 97–115 – оценка 4 Баллы Оценка �Содержание 77–96 – оценка 3 Менее 77 баллов – вам нужно еще работать. Понимание и владение знаниями (максимальное количество баллов 69). Задание 8–9 за каждое правильно выполненное упражнение – 3 балла. 62–69 баллов – оценка 5 52–61 – оценка 4 41–51 – оценка 3 Менее 41 балла – вам нужно еще работать. Оценка освоения темы в целом 207–230 баллов – оценка 5 173–206 – оценка 4 138–172 – оценка 3 Менее 138 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Глава 5. Основные термины запись общеразвивающих упражнений на гимнастической скамейке 5.1. Термины общеразвивающих упражнений на гимнастической скамейке 5.2. Запись упражнений на гимнастической скамейке Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 5.1. Термины общеразвивающих упражнений на гимнастической скамейке При точном терминологическом обозначении отдельных положений занимающихся следует учитывать, что относительно скамейки учащийся может располагаться продольно, поперек, лицом, спиной, боком, на скамейке. Название основных положений на скамейке аналогично общеразвивающим упражнениям без предмета, с указанием положения занимающегося относительно скамейки, например: Сед ноги врозь на скамейке поперек Упор лежа руки на скамейке продольно Упор лежа на скамейке поперек Сед углом продольно хватом за дальний край скамейки Упор присев на скамейке продольно Стойка ноги врозь, руки вверх, над скамейкой Стойка руки на пояс на скамейке поперек Сед ноги врозь с согнутыми ногами поперек Наклон вперед стоя на скамейке, руки касаются скамейки, продольно Положения у скамейки и со скамейкой: Стойка ноги врозь правым боком к скамейке Стойка ноги врозь, скамейка над головой Стойка ноги врозь, скамейку на голову Присед, согнутыми руками скамейку хватом снизу за дальний край �Содержание Иногда положение относительно скамейки можно определить и без специального указания на это, например: Стойка на левой, правую вперед на скамейку Стойка на правой, левую в сторону на скамейку, руки за голову Упор лежа ноги на скамейку �Содержание 5.2. Запись упражнений на гимнастической скамейке Запись упражнений на гимнастической скамейке имеет свои особенности и зависит от упражнений, которые можно выполнять на скамейке, у скамейки, над скамейкой и со скамейкой.. Упражнения на скамейке по положению относительно нее подразделяются на три группы: собственно на скамейке, у скамейки и над скамейкой. В упражнениях на скамейке, кроме названия положения, всегда необходимо указывать ориентацию относительно скамейки: продольно или поперек, например: лежа на животе продольно; сед в группировке поперек. Пример записи упражнения на гимнастической скамейке: И.п. – сед продольно, держась руками за дальний край скамейки; 1–2 – сгибая ноги, коснуться переднего края скамейки; 3–4 – разогнуть ноги, и.п. Для положений на скамейке используются термины «стоя» и «сидя», если указанные положения мало отличаются от обыденных. В других случаях употребляется гимнастический термин, например: сед на пятках поперек; стойка на коленях, руки на пояс продольно. Хват за скамейку при расположении поперек может выполняться двумя руками за края, за правый или левый край скамейки. В положении на скамейке продольно руки могут просто опираться на скамейку или держаться хватом за ее передний или задний край. В продольном положении у скамейки эти края обозначаются соответственно как ближний или дальний. При выполнении упражнений в движении по скамейке не оговаривается положение поперек, так как большая часть таких упражнений выполняется в продвижении лицом вперед. Для передвижений боком исходное положение – тем или иным боком продольно. В положениях у скамейки занимающиеся могут находиться лицом, спиной, тем или иным боком к скамейке – стоя (в той или иной стойке), сидя или присев. В положениях у скамейки не указывается положение лицом к скамейке, если оно очевидно. Другие положения необходимо указывать: спиной, тем или иным боком. Пример записи упражнения у гимнастической скамейки: И.п. – стоя на левой, правую вперед на скамейку, руки на пояс; 1–7 – прыжки на левой, опираясь правой о скамейку; 8 – прыжком сменить положение ног; 9–16 – то же на правой. Для положений у скамейки чаще используются термины «стоя» вместо «стойка» и «сидя» вместо «сед». Например: стоя правым боком к скамейке, сидя спиной к скамейке и т. д. Но если стойка отличается от обычной, то используется гимнастический термин: стойка на коленях, руки на пояс, лицом к скамейке; сед на пятках спиной к скамейке. �Содержание Переход с пола на скамейку или обратно прыжком записывается как вскок или соскок. Переход с одной ноги на другую, это шаг на скамейку или со скамейки. Если шаг выполняется переносом веса на уже выставленную ногу (например, правую на скамейку), то такое движение называется встать на правой. Движение выпад правой на скамейку означает выставление правой ноги на скамейку и ее сгибание с переносом большей части веса на нее. Если занимающиеся стоят боком к скамейке с обеих сторон, используются термины, указывающие ближнюю или дальнюю ногу или руку, а также направление – внутрь или наружу. Например: стоя боком, ближнюю ногу на носок на скамейку с наклоном наружу, руки к плечам. В положении над скамейкой ничего, кроме указания этого факта и названия положения, указывать не нужно: стойка ноги врозь над скамейкой. Упражнения в положении над скамейкой могут выполняться с хватом за края. В упражнениях со скамейкой движения всех участников одинаковы, поэтому описываются действия одного участника упражнения. В исходном положении скамейка может располагаться на полу при этом указывается, с какой стороны по отношению к занимающимся стоит скамейка: спереди, сзади, справа и т. д. Для упражнений со скамейкой указывается хват, например: ближней рукой за ближний край, а другой рукой за дальний; за ближний или дальний край скамейки; хватом снизу или сверху; под скамейку. При выполнении движений со скамейкой указываются только ее движения, а не движения рук, если другие звенья тела не меняют положения, например: скамейку к правому плечу, скамейку вверх и т. п. При движении скамейки с помощью ног указываются и движения ног. Пример записи упражнения со скамейкой: И.п. – сидя, согнув ноги, зацепив скамейку ногами; 1–2 – разгибая ноги, скамейку вперед; 3–4 – сгибая ноги, скамейку на пол. Если скамейка движется, не меняя своего положения относительно тела, то указываются только движения тела. �Содержание Пример записи упражнения со скамейкой: И.п. – стойка ноги врозь, скамейку на голову, удерживая руками за края; 1–2 – присед; 3–4 – встать и.п. Термин скамейку к полу означает опускание скамейки, не касаясь ею пола. Если ее необходимо отпустить, то записывается: скамейку на пол. �Содержание Контрольные вопросы 1. Назовите возможные положения занимающихся по отношению к скамейке. 2. Расскажите правило записи упражнений на гимнастической скамейке. �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Назовите конкретные термины на скамейке, используя таблицу матрицу: Применение полученных знаний 2. Найдите ошибки в записи упражнений с использованием гимнастической скамейки. 2.1. И.п. – стойка скамейка впереди, руки на пояс. 1 – поставить на скамейку правую согнутую ногу; 2 – разгибая правую, толчком левой встать на скамейку; 3 – шагом пра-вой назад согнуть левую на скамейку; 4 – поставить левую в и. п.; 5–8 – то же, начиная с левой ноги. 2.2. И.п. – стойка на скамейке, руки на пояс. 1–3 – опуская руки вниз, пружинящие наклоны; 4 – и.п. 2.3. И.п. – сед ноги врозь поперек, руки в стороны. 1 – поворот направо, руки за голову; 2 – и.п.; 3–4. То же, поворот налево. 2.4. И.п. – стойка ноги врозь поперек, скамейка между ног. 1 – наклон вперед, взяться руками за края скамейки; 2 – оттолкнувшись ногами, упор присев на скамейке; 3 – соскок в упор стоя согнувшись, ноги врозь; 4 – и.п. 3. Запишите на карточку комплекс ОРУ краткой и графической записью. 1. И.п. – стоя на правой, левую, согнутую, на скамейку, руки вперед. 1 – встать левой на скамейку, мах правой назад, руки вверх; 2 – приставить правую, дугами вперед руки назад; 3 – махом левой назад прогнуться, дугами вперед руки вверх; 4 – шагом левой назад и.п., правая, согнутая, на скамейке; 5–8 – повторить с правой ноги. 2. И.п. – стоя на правой, левая в сторону согнута на скамейке. 1 – махом правой в сторону встать на скамейку, руки вверх, хлопок над головой; 2 – приставляя правую, присед на скамей-ке, руки в стороны; 3 – встать, мах левой в сторону, руки вверх, хлопок над головой; 4 – шагом влево, и. п., правая сог-нута на скамейке; 5–8 – то же в другую сторону. 3. И.п. – стойка ноги врозь над скамейкой; 1 – наклон вперед, взяться руками за края скамейки; 2 – �Содержание оттолкнувшись ногами, упор присев на скамейке; 3 – соскок в упор стоя согнувшись, ноги врозь; 4 – и.п. 4. И.п. – сед, упор сзади лицом к скамейке, ноги на скамейке. 1 – упор лежа сзади; 2 – поворот налево в упор лежа; 3 – поворот направо в упор лежа сзади, 4 – и.п. 5. И.п. – стойка скамейка впереди, руки на пояс. 1 – по-ставить на скамейку правую согнутую ногу; 2 – толчком левой встать на скамейку; 3 – шаг пра-вой назад; 4 – поставить левую в и.п.; 5–8 – то же, начиная с левой ноги. 6. И.п. – стоя на скамейке продольно, руки на пояс. 1–3 – пружинящие наклоны, руками коснуться скамейки; 4 – вернуться в и.п. 7. И.п. – сед продольно хватом за дальний край ска-мейки. 1–2 – поднять прямые ноги в положение сед углом; 3–4 – медленно опустить в и.п. 8. И.п. – сед ноги врозь поперек, руки в стороны. 1 – поворот туловища направо, руки за голову; 2 – и.п.; 3–4. То же, поворот налево. 9. И.п. – стойка ноги врозь над скамейкой у конца. Прыжки на двух ногах вдоль скамейки, закончив прыжки, двигаться шагом в и.п. 4. Запишите упражнения на гимнастической скамейке, используя таблицу матрицу: Понимание и владение знаниями 5. Выполните комплекс ОРУ с использованием гимнастической скамейки по записи (групповые упражнения). I. И.п. – стоя, скамейку на голову. 1. – скамейку вверх. �Содержание 2. – и.п. II И.п. – стоя, скамейку на ладонях предплечьями вперед. 1. – скамейку вперед кверху на высоту плеч. 2. – и.п. III И.п. – сидя лицом, зацепом ногами под скамейку. 1. – разгибая ноги, скамейку вперед. 2. – и.п. IV И.п. – стоя, скамейку на голову. 1. – присед, скамейку вверх. 2. – и.п. V И.п. – стоя, скамейку на голову. 1–2 – наклоном вперед скамейку на спину. 3–4 – и.п. VI И.п. – стоя лицом к скамейке, руки на плечи партнеров, зацепить правую ногу под скамейку. 1–2 – правой ногой скамейку вперед книзу. 3–4 – и.п. VII И.п. – стоя ноги врозь правым боком к скамейке. 1. – наклон вперед вправо, взять скамейку за края. 2. – скамейку вверх. 3. – скамейку влево на пол. 4. – и.п. 5–8 – то же обратно. VIII И.п. – полуприсед, согнутыми руками скамейку хватом снизу за ближний край. 1. – выпад правой, разгибая руки, скамейку вперед. 2. – толчком правой в и.п. 3–4 – то же другой ногой. IX И. п. – стоя ноги врозь, скамейку вниз хватом за края. 1–4 – прыжки с продвижением вперед. 5–8 – то же назад. Оценка результатов самостоятельной работы 4. Взаимоконтроль студентов по теме «Основные термины общеразвивающих упражнений на �Содержание гимнастической скамейке» максимальный бал 112. Регистрационный бланк Задание Базовые знания Конкретные термины Применение полученных знаний Ошибки в записи Карточка комплекса ОРУ с краткой и графической записью Запись ОРУ Сумма баллов и оценка Понимание и владение знаниями Выполнение комплекса ОРУ по записи Общая сумма баллов и оценка Ключ к обработке результатов: Базовые знания (максимальное количество баллов 16) Задание 1 за каждый правильный ответ – 1 балл 14–16 баллов – оценка 5 12–13 – оценка 4 10–11 – оценка 3 Менее 10 баллов – вам нужно еще работать. Применение полученных знаний (максимальное количество баллов 69). Задание 2–4 за каждое правильно выполненное задание – 3 балла. 62–69 баллов – оценка 5 52–61 – оценка 4 41–51 – оценка 3 Менее 41 балла – вам нужно еще работать. Понимание и владение знаниями (максимальное количество баллов 27) Задание 9 за каждое правильно выполненное упражнение – 3 балла. 24–27 баллов – оценка 5 20–23 – оценка 4 Баллы Оценка �Содержание 16–19 – оценка 3 Менее 16 баллов – вам нужно еще работать. Оценка освоения темы в целом 101–112 баллов – оценка 5 84–100 – оценка 4 67–83 – оценка 3 Менее 67 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Глава 6. Основные термины и запись общеразвивающих упражнений на гимнастической стенке 6.1. Термины общеразвивающих упражнений на гимнастической стенке 6.2. Запись упражнений у гимнастической стенки Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 6.1. Термины общеразвивающих упражнений на гимнастической стенке Относительно гимнастической стенки занимающиеся могут располагаться лицом, спиной, боком. При терминологическом определении положения у гимнастической стенки применяются: основные и дополнительные термины положения тела с уточнением положения относительно стенки и уровня хвата или опоры, например: стойка лицом к стенке, хват руками на уровне груди. Примеры названия терминов у гимнастической стенки: Примеры названия терминов с хватом за стенку: При терминологическом определении положения у гимнастической стенки применяются термины упражнений на снарядах «вис» и «упор», например: вис присев спиной к стенке. При выполнении упражнения непосредственно на стенке, всегда применяются термины «вис» и «упор», например: вис стоя на пятой рейке снизу. Примеры названия терминов в висах: Примеры названия терминов в смешанных висах и упорах у гимнастической стенки: �Содержание Примеры названия терминов в смешанных висах на гимнастической стенке: �Содержание 6.2. Запись упражнений у гимнастической стенки Упражнения на гимнастической стенке делятся на следующие группы: упражнения в простых и смешанных висах; упражнения в различных положениях около стенки (стоя, сидя, лежа – держась или не держась за стенку); переходы (прыжком или шагом) с пола на стенку и обратно. Занимающиеся относительно стенки могут располагаться лицом, спиной, тем или иным боком. Для исходных положений в упражнениях около стенки при необходимости указывается расстояние от нее (в шаге от стенки и т. п.), а также высота хвата или постановки ноги (ног) на стенку: на третью рейку снизу, на нижнюю рейку, на уровне головы (груди) и т. д. Хват за рейку может выполняться сверху (не указывается как наиболее распространенный), снизу (большие пальцы наружу). В записи и.п. на стенке указывается положение тела относительно нее и особенности хвата, например: вис стоя сзади на третьей рейке снизу; вис стоя лицом к стенке, хват на уровне плеч. Общеразвивающие упражнения, выполняемые на гимнастической стенке, записываются по правилам общеразвивающих упражнений. Пример записи упражнения на гимнастической стенке: I. И.п. – вис сидя спиной к стенке, ноги согнуты в коленях. 1–2 – встать, опираясь руками о стенку, в вис стоя прогнувшись; 3–4 – сгибая ноги, опуститься в и.п. II. И.п. – стоя ноги врозь, лицом к стенке, на первой рейке, хват согнутыми руками на уровне плеч. 1–2 – разгибая руки, мах левой рукой в сторону с поворотом туловища налево; 3–4 – и.п. 5–8 – то же в другую сторону. III. И.п. – упор стоя лицом к стенке, хват на уровне плеч. 1 – прыжок на третью рейку в вис присев; 2 – соскок в и.п. IV. И.п. – вис спиной к стенке. 1 – вис углом; 2–3 – держать 4 – и.п. �Содержание Контрольные вопросы 1. Назовите термины, которые могут использоваться при терминологическом определении положений на гимнастической стенке. 2. Расскажите правило записи упражнений на гимнастической стенке. �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Назовите конкретные термины на гимнастической стенке, используя таблицу матрицу: Применение полученных знаний 2. Найдите ошибки в записи упражнений на гимнастической стенке. 1. И.п. – стоя на полшага от стенки, хват согнутыми руками на высоте плеч. 1–2 – разогнуть руки, спина прямая; 3–4 – и. п.; 5–6 – вис присев; 7–8 – и.п. 2. И.п. – стоя ноги врозь на первой рейке, хват согну-тыми руками на высоте плеч. 1–2 – разгибая руки, мах левой рукой в сторону с поворотом налево; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же в другую сторону. 3. И.п. – о.с. спиной к стенке, руки хватом за рейку за головой. 1–2 – разгибая руки, прогнуться; 3–4 – и.п. 3. Запишите на карточку комплекс ОРУ на гимнастической стенке краткой и графической записью. 1. И.п. – стоя спиной к стенке, руки хватом за рейку за головой. 1–2 – разгибая руки, прогнуться; 3–4 – и.п. 2. И.п. – стоя лицом к стенке на третьей рейке, хват руками на уровне груди. 1–2 – разгибая руки и сгибая левую ногу, коснуться правой ногой пола; 3–4 – отталкиваясь правой ногой и сгибая руки, и.п. �Содержание 3. И.п. – стоя на полшага от стенки, хват согнутыми ру-ками на уровне плеч. 1–2 – разогнуть руки, спина прямая; 3–4 – и.п.; 5–6 – вис присев; 7–8 – и.п. 4. И.п. – стоя лицом к стенке. 1–2 – наклоняясь вперед, принять вис стоя сзади согнувшись; 3–4 – толчком двумя, сгибая ноги, вис прогнувшись; 5–6 – опуститься в вис стоя сзади согнувшись; 7–8 – и.п. 5. И.п. – лежа на спине ногами к стенке, ноги слегка согнуть, носки под первой рейкой, руки на пояс, 1–2 – наклон вперед до прямого угла; 3–4 – и.п. 6. И.п. – вис стоя спиной к стенке. 1 – вис с согнутыми ногами; 2 – вис углом; 3 – вис с согнутыми ногами; 4 – и.п. 7. И.п. – вис сидя спиной к стенке, ноги немного согнуты в коленях. 1–2 – разгибая ноги и опираясь руками о стенку, вис стоя прогнувшись; 3–4 – и.п. 8. И.п. – о.с, лицом к стенке на расстоянии одного шага. 1–2 – падая вперед, упор стоя на согнутых руках; 3–4 – отталкиваясь, и.п. 9. И.п. – стоя ноги врозь на первой рейке, хват согну-тыми руками на высоте плеч. 1–2 – разгибая руки, мах левой рукой в сторону с поворотом туловища налево; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же в другую сторону. 10. И.п. – упор стоя, руки на уровне плеч. Бег на месте, высоко поднимая колени. 4. Запишите упражнения на гимнастической стенке, используя таблицу матрицу: Понимание и владение знаниями 5. Выполните комплекс ОРУ на гимнастической стенке по записи: I. И. п. – стоя спиной к стенке хватом на уровне головы. 1–2 – разгибая руки, прогнуться. 3–4 – и.п. �Содержание II. И.п. – стоя с полунаклоном вперед хватом на уровне пояса. 1–3 – пружинящие наклоны вперед. 4 – и.п. III. И.п. – вис стоя на рейке, хватом на уровне груди. 1–2 – отпуская левую руку и ногу, вис стоя правым боком ноги врозь, левую руку в сторону. 3–4 – и.п. 5–8 – то же в другую сторону. IV. И.п. – стоя правым боком, хват правой рукой у плеча, левой – над головой. 1–2 – разгибая руки, прогнуться влево. 3–4 – и. п. Выполнить упражнение в другую сторону. V. И.п. – вис стоя хватом на уровне груди. 1. – вис присев на правой, левую вниз. 2. – и.п. 3–4 – то же другой ногой. VI. И.п. – вис присев. 1. – встать на правой, мах левой назад. 2. – и.п. 3–4 – то же другой ногой. VII. И.п. – упор стоя согнувшись на левой, правую назад на рейку. 1. – выпрямиться, руки вверх наружу. 2. – и.п. Выполнить упражнение с другой ноги. VIII. И.п. – вис спиной к стенке. 1. – ноги вперед. 2. – согнуть ноги. 3. – разогнуть ноги вперед. 4. – и.п. IX. И. п. – стоя спиной к стенке хватом на уровне таза. 1-3 – пружинящие наклоны вперед книзу, сгибая руки. 4 – и. п. �Содержание X. И. п. – стоя на левой правым боком к стенке, правую на рейку на уровне пояса, руки в стороны. 1. – наклон вправо, руки вверх. 2. – и.п. 3. – наклон к левой ноге, коснуться пола. 4. – и.п. Выполнить упражнение с другой ноги. XI. И.п. – вис стоя на левой, согнув правую на рейку на уровне пояса. 1 – прыжком сменить положение ног. 2 – прыжком, и. п. Оценка результатов самостоятельной работы 6. Взаимоконтроль студентов по теме «Термины и запись общеразвивающих упражнений на гимнастической стенке», максимальный бал 116. Регистрационный бланк Задание Базовые знания Конкретные термины Применение полученных знаний Ошибки в записи Карточка комплекса ОРУ с краткой и графической записью Запись ОРУ Сумма баллов и оценка Понимание и владение знаниями Выполнение комплекса ОРУ по записи Общая сумма баллов и оценка Ключ к обработке результатов: Базовые знания (максимальное количество баллов 20) Задание 1 – за каждый правильный ответ – 1 балл. 18–20 баллов – оценка 5 15–17 – оценка 4 12–14 – оценка 3 Менее 12 баллов – вам нужно еще работать. Балл Оценка �Содержание Применение полученных знаний (максимальное количество баллов 63). Задание 2–4 – за каждое правильно выполненное задание – 3 балла. 57–63 баллов – оценка 5 47–56 – оценка 4 38–46 – оценка 3 Менее 38 баллов – вам нужно еще работать. Понимание и владение знаниями (максимальное количество баллов 33). Задание 5 – за каждое правильно выполненное упражнение – 3 балла. 30–33 баллов – оценка 5 25–29 – оценка 4 20–24 – оценка 3 Менее 20 баллов – вам нужно еще работать. Оценка освоения темы в целом 104–116 баллов – оценка 5 87–103 – оценка 4 70–86 – оценка 3 Менее 70 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Глава 7. Основные термины и запись общеразвивающих упражнений в парах 7.1. Термины общеразвивающих упражнений в парах 7.2. Запись общеразвивающих упражнений в парах Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 7.1. Термины общеразвивающих упражнений в парах Для точного названия ОРУ в парах следует знать варианты сцеплений (хватов): взявшись за руки; согнутыми пальцами; за лучезапястные суставы; упираясь ладонями друг в друга, пальцы разведены; за большие пальцы; руки на плечи партнеру; за локти. Общеразвивающие упражнения в парах могут выполняться партнерами несимметрично, с использованием гимнастической стенки и скамейки. симметрично Для выполнения несимметричных парных упражнений занимающихся рассчитывают по двое, при этом называется положение каждого партнера. Например: и �Содержание Положение вторых номеров не уточняется, так как они здесь играют вспомогательную роль. Вид хвата называется, если возможны его варианты. Например, И.п.: 1-е – лежа на животе, руки вверх, 2-е – захват рук партнера изнутри выше локтей. �Содержание 7.2. Запись общеразвивающих упражнений в парах Общеразвивающие упражнений в парах могут выполняться на полу, гимнастической стенке и скамейке симметрично двумя партнерами и несимметрично. Для выполнения симметричных парных упражнений записывается взаимное положение партнеров относительно друг друга, а далее описывается совместное действие, выполняемое партнерами, например: I. И.п. – стоя спиной на расстоянии шага друг от друга с захватом под локти. 1–2 – присесть; 3–4 – встать в и.п. Для выполнения несимметричных парных упражнений занимающихся рассчитывают по двое, при этом называется положение каждого партнера. Положение вторых номеров не уточняется, так как они здесь играют вспомогательную роль. Вид хвата называется, если возможны его варианты. В несимметричных парных упражнений описывается действие партнера, выполняющего активную или основную роль, например: И.п.: 1-е – лежа на животе, руки вверх, 2-е – захват рук партнера изнутри выше локтей. 1–2 – дугами наружу, приподнять руки партнера вверх; 3–4 – то же в обратном направлении. При необходимости называются действия обоих партнеров, например: И.п.: 1-е – упор лежа на согнутых руках, 2-е – захватить голени партнера. 1–2: 1-е – разогнуть руки, 2-е – выпрямиться 3–4: 1-е – согнуть руки, 2-е – наклониться, опустить ноги партнера на пол, и.п. При записи упражнений в парах на гимнастической стенке и скамейке учитываются правила записи упражнений в парах и особенности описания упражнений на гимнастической стенке и скамейке. Пример записи симметричных упражнений в паре на гимнастической стенке: И.п.: 1-е – стоя лицом к стенке хватом на уровне груди; 2-е – сидя на плечах партнера хватом на уровне пояса. 1: 1-е – присед. �Содержание 2: 1-е – встать. Пример записи симметричных упражнений в паре на гимнастической скамейке: И. п. – стоя спиной, сцепление под локти над скамейкой. 1–2 – сесть на скамейку. 3–4 – и. п. Пример записи несимметричных упражнений в паре на гимнастической стенке: И.п.: 1-е – стоя спиной к стенке с наклоном вперед, хватом на уровне таза; 2-е – лежа головой к стенке, хватом за шею партнера. 1: 1-е – выпрямиться; 2-е – вис лежа. 2 – и.п. Пример записи несимметричных упражнений в паре на гимнастической скамейке: И.п.: 1-е – сидя поперек, руки за голову; 2-е – стоя сзади ноги врозь, хватом за локти партнера. 1–3: 1-е – пружинящие повороты туловища с помощью партнера. 4 – и.п. 5–8 – то же в другую сторону. �Содержание Контрольные вопросы 1. Назовите возможные варианты сцеплений (хватов) при выполнении ОРУ в парах. 2. Назовите особенности терминологии симметричных парных упражнений. 3. Назовите особенности терминологии несимметричных парных упражнений. 4. Расскажите правило записи упражнений в парах. 5. Назовите особенности записи упражнений в парах на гимнастической стенке и скамейке. �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Назовите конкретные термины в парах, используя таблицу матрицу: Применение полученных знаний 2. Найдите ошибки в записи упражнений в парах. 1. И.п.: первый – лицом к стенке на верхней рейке, согнув ноги, руки выше головы; второй – хват снаружи за голени партнера. 1–2 – первый – упор; второй – разогнуть руки вверх. 3–4 – и.п. 2. И.п.: первый – стоя лицом к стенке руками держится на уровне груди; второй – сидя на плечах партнера руками держится на уровне пояса. 3 – первый: присед. 4 – первый: встать. 3. И.п. – стоя, хватом за руки над скамейкой. 1–2 – поворачиваясь направо, приставной шаг с пра-вой ноги на скамейку. 3–4 – шагом вправо встать на пол, поворачиваясь направо, и.п. 5–8 – то же в обратную сторону. 4. И.п. – первый: сидя на скамейке, руки вверх; второй: стоя сзади, одну ногу на скамейку, коленом к спине партнера, хватом за локти партнера. 1–3 – первый три движения руками назад с помощью партнера 4 – и.п. 3. Запишите на карточку комплекс ОРУ в парах на гимнастической стенке краткой и графической записью. 1. И.п.: 1-е – вис лицом к стенке; 2-е – стоя сзади, хватом за ноги партнера. 1–2 – первый: прогибается с помощью партнера. 3–4 – и.п. 2. И.п.: 1-е – вис стоя лицом к стенке, согнув руки на уровне груди; 2-е – стоя сзади, хватом за правую ногу партнера. 1–3 – первый – разгибая руки, правую назад с помощью партнера. 4 – и.п., 2-е – перехватить за другую ногу партнера. 5–8 – то же с другой ноги. �Содержание 3. И. п.: 1-е – вис лицом к стенке на верхней рейке, согнув ноги; 2-е – хват снаружи за голени партнера. 1-2 – 1-е – упор; 2-е – разогнуть руки вверх. 3-4 – и. п. 4. И.п.: 1-е – стоя лицом к стенке хватом на уровне груди; 2-е – сидя на плечах партнера хватом на уровне пояса. 1 – 1-е –присед. 2 – 1-е – встать. 5. И.п.: 1-е – лежа на спине головой к стенке, согнув руки ладонями кверху; 2-е – вис стоя лицом к стенке на ладонях партнера. 1 – 1-е – разогнуть руки вперед. 2 – и.п. 6. И.п.: 1-е – стоя спиной к стенке с наклоном вперед, хватом на уровне таза; 2-е – лежа головой к стенке, хватом за шею партнера. 1 – 1-е – выпрямиться; 2-е – вис лежа. 2 – и.п. 7. И.п.: 1-е – вис присев лицом к стенке; 2-е – вис спиной к стенке опорой верхней частью спины о спину партнера. 1–2 – 1-е – разогнуть ноги. 3–4 – и.п. 8. И.п.: 1-е – стоя правым боком, хватом правой рукой за рейку, левую в сторону; 2-е – стоя слева, хватом за левую ногу партнера. 1–3 – 1-е – пружинящие движения левой ногой кверху с помощью партнера. 4 – и.п. Выполнить упражнение с другой ноги. 9. И.п.: 1-е – вис спиной к стенке, правую ногу вперед; второй – стоя лицом, хватом за левую ногу партнера. 1–2 – 1-е – поворот туловища налево опорой левой ногой на партнера. 3–4 – и.п. Выполнить упражнение с другой ноги. 10. И.п.: 1-е – стоя лицом к стенке, хватом за рейку на уровне плеч; 2-е – стоя сзади, руки на плечи партнера 1–4 – прыжки на месте, опираясь руками. 5–8 – руки на пояс и прыжками против часовой стрелки поменяться местами. 9–16 – то же, поменявшись ролями. 4. Запишите упражнения в парах, используя таблицу матрицу: �Содержание Понимание и владение знаниями 5. Выполните комплекс ОРУ в парах с использованием гимнастической скамейки по записи: 1. И.п. – стоя спиной к скамейке. 1–2 – руки вверх, коснуться рук партнера. 3–4 – и.п. 2. И.п. – стоя спиной, в сцеплении за руки над скамейкой. 1–2 – сесть на скамейку. 3–4 – и.п. 3. И.п. – стоя лицом друг к другу, хватом за руки над скамейкой. 1–2 – поворачиваясь направо, приставной шаг с правой ноги на скамейку. 3–4 – шагом вправо на пол, поворачиваясь направо, и.п. 5–8 – то же в обратную сторону. 4. И.п.: 1-е – сидя на скамейке, руки вверх; 2-е – стоя сзади, одну ногу на скамейку, коленом к спине партнера, хватом за локти партнера. 1–3: 1-е – пружинящие движения руками назад с помощью партнера 4 – и.п. 5. И.п.: 1-е – сидя на скамейке, руки назад; 2-е – стоя сзади, одну ногу на скамейку, коленом к спине партнера, хватом под локти партнера. 1–3: 1-е – пружинящие движения руками назад с помощью партнера. 4 – и.п. 6. И.п. – стоя лицом друг к другу, хватом за руки над скамейкой. 1 – правую в сторону на скамейку. 2 – присед на левой. 3 – встать на левой. 4 – и.п. 5–8 – то же с другой ноги. 7. И. п.: 1-е – упор лежа, руки на скамейке, 2-е – стоя сзади, хватом за голени партнера. 1 – 1-е – согнуть руки. 2 – 1-е – разогнуть руки. 8. И.п.: 1-е – сидя поперек, руки за голову; 2-е – стоя сзади ноги врозь, хватом за локти партнера. 1–3 – 1-е – пружинящие повороты туловища с по-мощью партнера. 4 – и.п. 5–8 – то же в другую сторону. 9. И.п.: 1-е – сидя продольно; 2-е – стоя сзади, руки на плечи партнера. 1–3 – 1-е – пружинящие наклоны вперед с помощью партнеров. 4 – и.п. 10. И.п.: 1-е – сед с наклоном назад, руки вперед кверху; 2-е – стоя сзади, колено под спину и хватом за руки партнера. 1–2 – 1-е – ноги вперед кверху до касания рук. 3–4 – и.п. Оценка результатов самостоятельной работы 6. Взаимоконтроль студентов по теме «Термины и запись общеразвивающих упражнений в парах», максимальный бал 114. Регистрационный бланк Задание Базовые знания Конкретные термины Применение полученных знаний Ошибки в записи Карточка комплекса ОРУ с краткой и графической записью Запись ОРУ Баллы Оценка �Содержание Сумма баллов и оценка Понимание и владение знаниями Выполнение комплекса ОРУ по записи Общая сумма баллов и оценка Ключ к обработке результатов: Базовые знания (максимальное количество баллов 12) Задание 1 – за каждый правильный ответ – 1 балл. 11–12 баллов – оценка 5 9–10 – оценка 4 7–8 – оценка 3 Менее 7 баллов – вам нужно еще работать. Применение полученных знаний (максимальное количество баллов 72). Задание 2–4 – за каждое правильно выполненное задание – 3 балла. 65–72 баллов – оценка 5 54–64 – оценка 4 43–53 – оценка 3 Менее 43 баллов – вам нужно еще работать. Понимание и владение знаниями (максимальное количество баллов 30). Задание 5 – за каждое правильно выполненное упражнение – 3 балла. 27–30 баллов – оценка 5 23–26 – оценка 4 18–22 – оценка 3 Менее 18 баллов – вам нужно еще работать. Оценка освоения темы в целом 103–114 баллов – оценка 5 86–102 – оценка 4 68–85 – оценка 3 Менее 68 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Глава 8. Термины и запись акробатических упражнений 8.1 Терминологический словарь акробатических упражнений 8.2. Запись акробатических упражнений Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 8.1. Терминологический словарь акробатических упражнений Основные термины акробатических упражнений: Группировка – положение согнувшись с захватом согнутых ног. Разновидности группировки: Перекат – движение вперед, назад или в сторону с последовательным касанием частей тела об опору без переворачивания через голову. Разновидности переката: �Содержание Кувырок – вращательное движение тела с последовательным касанием опоры и переворачиванием через голову. Разновидности кувырка: Стойка – вертикальное положение тела (голова вверх или вниз). Разновидности стоек: �Содержание Курбет – из стойки прыжок с рук на ноги. Переворот – круговое движение тела через голову с промежуточной опорой. Разновидности переворота: Рондат – переворот вперед с последовательной опорой руками и поворотом кругом с приземлением на две ноги. Сальто – переворачивание занимающегося через голову в безопорном положении. �Содержание Мост – максимально прогнутое положение тела с опорой ногами и поднятыми вверх руками. Разновидности моста: Шпагат – сед с предельно разведенными ногами. Разновидности шпагата: Равновесие – стойка на одной ноге с отведением другой ноги и наклоном. Разновидности равновесия: �Содержание Прыжок – свободный полет после толчка ногами или одной ногой. Подскок – небольшое подпрыгивание на месте или с продвижением в указанном направлении. �Содержание 8.2. Запись акробатических упражнений Акробатические упражнения состоят из статических и динамических элементов. Основными статическими элементами являются стойки, упоры, равновесия, мосты и шпагаты. Динамические элементы выполняются с полным, неполным переворачиванием и без него. К элементам с полным переворачиванием относятся кувырки, перевороты и сальто. Динамические акробатические элементы выполняются тремя основными способами: в группировке, согнувшись и прогнувшись. Если вращательные элементы выполняются в группировке, то это не записывается, например: кувырок вперед. Другие способы указываются, например: кувырок назад согнувшись. При записи отдельного акробатического упражнения указывается исходное положение, терминологическое название движения, направление движения, способ выполнения и конечное положение, например: из о.с. кувырок назад согнувшись в упор стоя ноги врозь. При записи акробатических комбинаций статические элементы, выполняемые после динамических, записываются как конечные положения, например: перекат назад в стойку на лопатках. Некоторые стандартные исходные и конечные положения не указываются, например: кувырок вперед (не указ. в упор присев или из упора присев), переворот вперед (не указ. в стойку, руки вверх). При записи акробатических комбинаций не указывается очевидный способ перехода от одного стандартного элемента к другому, например: равновесие на правой – стойка на руках (не указ. махом левой, толчком правой). При описании учебных комбинаций нужно разделить отдельные элементы знаком «–». Акробатические комбинации записываются непрерывно, сплошным текстом, например: стойка на руках и кувырок вперед – силой стойка на голове и руках – опускаясь в упор присев, кувырок назад через стойку на руках и о.с. Упражнения для контрольного урока записываются так, чтобы каждый элемент, соединение начинался с новой строки с указанием принятой трудности в баллах. Если необходимо указать стоимость элементов или соединений, применяется построчная запись, например: 1. Стойка на руках и кувырок вперед – 3,0 2. Силой стойка на голове и руках – 3,5 3. Опускаясь в упор присев, кувырок назад через стойку на руках – 3,5 �Содержание Контрольные вопросы 1. Назовите динамические акробатические упражнения. 2. Назовите статические акробатические упражнения. 3. Расскажите правило записи акробатических упражнений. 4. Назовите особенности непрерывной записи акробатических упражнений. 5. Назовите особенности построчной записи акробатических упражнений. 6. Назовите, чем отличаются акробатические элементы «кувырок» и «сальто». 7. Назовите, чем отличаются «прыжок» и «подскок». 8. Назовите, чем отличаются акробатические элементы «кувырок» и «переворот». 9. Назовите, чем отличаются акробатические элементы «переворот боком» и «рондат». �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Разгадайте кроссворд «Термины акробатических упражнений». По горизонтали: 1 – свободный полет после толчка ногами или одной ногой. 2 – из стойки прыжок с рук на ноги. 3 – переворот вперед с последовательной опорой руками и поворотом кругом с приземлением на две ноги. 4 – положение согнувшись с захватом согнутых ног. 5 – переворачивание занимающегося через голову в безопорном положении. 6 – вращательное движение тела с последовательным касанием опоры и переворачиванием через голову. 7 – вертикальное положение тела (голова вверх или вниз). По вертикали: 1 – сед с предельно разведенными ногами. 2 – небольшое подпрыгивание на месте или с продвижением в указанном направлении. 3 – движение вперед, назад или в сторону с последовательным касанием частей тела об опору без переворачивания через голову. 4 – стойка на одной ноге с отведением другой ноги и наклоном. 5 – круговое движение тела через голову с промежуточной опо-рой. 6 – максимально прогнутое положение тела с опорой ногами и поднятыми вверх руками. �Содержание 2. Назовите акробатические элементы, используя таблицу матрицу: �Содержание �Содержание Применение полученных знаний 3. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: 3.1. Из упора присев два кувырка вперед в группировке – перекатом назад стойка на лопатках (держать) – перекатом вперед в группировке лечь и подняться в мост – лечь, перекат назад с опорой руками за головой – перекатом вперед упор присев и о.с. 3.2. Из упора присев кувырок назад и перекатом назад в группировке стойка на лопатках; перекатом вперед лечь и «мост»; опуститься в положение лежа на спине; сесть, руки в стороны; опираясь слева поворот в упор присев; кувырок вперед; прыжок вверх прогибаясь и о.с. 3.3. Кувырок вперед, правая скрестно перед левой и поворот кругом в упор присев (3,5б) – кувырок назад (3б) – перекатом назад стойка на лопатках (2,5б) – перекатом вперед упор присев и о.с. (1б) 4. Запишите акробатическое упражнение непрерывной записью. 4.1 Упор присев, кувырок, перекат, стойка на лопатках, «мост», поворот в упор стоя на правом колене, левую назад, прыжок вверх прогибаясь, о.с. 4.2. 2–3 шага разбега; кувырок прыжком; кувырок; силой стойка на голове и руках; упор присев; �Содержание кувырок назад в упор стоя согнувшись; переворот в сторону. 4.3. Опускание на колени; наклон назад, руки на пояс; поворот налево, сед, угол держать, руки в стороны; стойка на лопатках; кувырок назад в полушпагат; упор присев; перекидной прыжок в выпад правой руки в стороны. 5. Запишите акробатическое упражнение построчной записью. 5.1. Кувырок вперед в сед с наклоном; сед углом, руки в стороны; перекат; стойка на лопатках; «мост»; поворот в упор присев; равновесие на одной, руки в стороны; выпад вперед; кувырок вперед, о.с. 5.2. 2–3 шага разбег, кувырок вперед прыжком, силой стойка на голове и руках согнув ноги, упор присев, кувырок назад, прыжок вверх прогибаясь с поворотом кругом, полуприсед, руки назад; длинный кувырок вперед, прыжок вверх прогибаясь ноги врозь, о.с. 5.3. Стойка на руках и кувырок вперед, силой стойка на голове и руках; упор присев, кувырок назад через стойку на руках. Понимание и владение знаниями 6. Выполните акробатическое упражнение по записи. 6.1. Два кувырка вперед – перекатом назад стойка на лопатках (держать) – перекатом вперед лечь и «мост» – лечь, перекат назад с опорой руками за головой – перекатом вперед упор присев и о.с. (3 класс). 6.2. Кувырок назад и перекатом назад стойка на лопатках – перекатом вперед лечь и «мост» – опуститься в положение лежа на спине – сесть, руки в стороны – опираясь слева поворот в упор присев – кувырок вперед – прыжок вверх прогибаясь и о.с. (4 класс). 6.3. Кувырок вперед, правая скрестно перед левой и поворот кругом в упор присев – кувырок назад – перекатом назад стойка на лопатках – перекатом вперед упор присев и о.с. (5 класс). 6.4. Из стойки ноги врозь, руки вверх, наклоном назад «мост» с помощью – лечь и, поднимая туловище, упор сидя сзади, перекатом назад стойка на лопатках (держать) – перекатом вперед упор присев – кувырок назад в упор присев – кувырок вперед и прыжок вверх прогибаясь. (6 класс, мальчики). 6.5. Два кувырка вперед и, выпрямиться – опуститься в «мост» – лечь и стойка на лопатках – перекат вперед в упор присев и прыжок прогибаясь ноги врозь. (6 класс, девочки). 6.6. Из упора присев кувырком вперед стойка на лопатках – перекат вперед в сед с наклоном – кувырок назад в упор присев – стойка на голове и руках согнув ноги – опуститься в упор присев, прыжок вверх прогибаясь. (7 класс, мальчики). 6.7. Кувырок вперед – кувырок вперед в сед с наклоном – лечь и «мост» – лечь и стойка на лопатках – перекатом назад сед с наклоном – кувырок назад в полушпагат (7 класс, девочки). 6.8. Кувырок назад в упор стоя ноги врозь – наклон вперед прогнувшись, руки в стороны – упор присев и стойка на голове и руках толчком двумя – опускание в упор присев и кувырок вперед – длинный кувырок и прыжок вверх прогнувшись (8 класс, мальчики). 6.9. Кувырок назад – перекатом назад стойка на лопатках – перекатом вперед лечь и «мост» – поворот в упор стоя на правом колене, левую назад – махом левой упор присев и кувырок вперед – �Содержание прыжок вверх прогибаясь и о.с.(8 класс, девочки). 6.10. С 2–3 шагов разбега кувырок вперед прыжком – силой стойка на голове и руках согнув ноги – опускаясь в упор присев, кувырок назад и прыжок вверх прогибаясь с поворотом кругом – полуприсед, руки назад и длинный кувырок вперед и прыжок вверх прогибаясь ноги врозь и о.с. (9 класс, мальчики). 6.11. Шагом левой равновесие – выпад правой, руки в стороны – кувырок вперед толчком одной в сед и наклон вперед – кувырок назад – прыжок вверх с поворотом кругом (9 класс, девочки). 6.12. Стойка на руках и кувырок вперед – силой стойка на голове и руках – опускание в упор присев – кувырок назад через стойку на руках. (10 класс, мальчики). 6.13. Опускаясь на колени, наклон назад, руки на пояс – выпрямляясь с поворотом налево, сед и угол держать, руки в стороны – лечь и стойка на лопатках – кувырок назад в полушпагат – упор присев и шагом левой перекидной прыжок в выпад правой руки в стороны. (10 класс, девочки). 6.14. С 2–3 шагов разбега кувырок прыжком вперед – кувырок вперед – силой стойка на голове и руках – опускаясь в упор присев, кувырок назад в упор стоя согнувшись – выпрямляясь переворот в сторону. (11 класс, юноши). 6.15. Кувырок вперед в сед с наклоном – выпрямляясь, сед углом, руки в стороны – перекатом назад стойка на лопатках – перекатом вперед лечь и «мост» – поворот в упор присев – встать в равновесие на одной, руки в стороны, выпад вперед и кувырок вперед и о.с. (11 класс, девушки). 7. Составьте акробатическое упражнение, запишите его и выполните на оценку. Оценка результатов самостоятельной работы 8. Взаимоконтроль студентов по теме «Термины и запись акробатических упражнений», максимальный балл 123. Регистрационный бланк Задание Базовые знания Кроссворд Конкретные термины Применение полученных знаний Ошибки в записи Запись акробатического упражнения Сумма баллов и оценка Понимание и владение знаниями Выполнение акробатического упражнения по записи Сумма баллов и оценка Общая сумма баллов и оценка Балл Оценка �Содержание Ключ к обработке результатов: Базовые знания (максимальное количество баллов 41) Задание 1–2 – за каждый правильный ответ – 1 балл. 37–41 баллов – оценка 5 31–36 баллов – оценка 4 25–30 баллов – оценка 3 Менее 25 баллов – вам нужно еще работать. Применение полученных знаний (максимальное количество баллов 27). Задание 3–5 – за каждое правильно выполненное задание – 3 балла. 24–27 баллов – оценка 5 20–23 – оценка 4 16–19 – оценка 3 Менее 16 баллов – вам нужно еще работать. Понимание и владение знаниями (максимальное количество баллов 55). Задание 6 – за каждое правильно выполненное упражнение – 3 балла. Задание 7 – за правильно выполненное задание 10 баллов. 50–55 баллов – оценка 5 41–49 – оценка 4 33–40 – оценка 3 Менее 33 баллов – вам нужно еще работать. Оценка освоения темы в целом 111–123 баллов – оценка 5 92–110 – оценка 4 74–91 – оценка 3 Менее 74 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Глава 9. Термины и запись упражнений на гимнастических снарядах 9.1. Терминологический словарь упражнений на гимнастических снарядах 9.2. Запись упражнений на гимнастических снарядах Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 9.1. Терминологический словарь упражнений на гимнастических снарядах Основные термины на снарядах: Ось – линия длинны, проходящая через рабочую часть снаряда (длину жерди, грифа, коня и т.д.). Хват – способ, с помощью которого учащийся держит предмет или снаряд. Хват сверху – хват, при котором большие пальцы обращены внутрь (друг другу) Хват снизу – хват, при котором большие пальцы обращены наружу. Обратный хват – хват, при котором руки повернуты внутрь, а большие пальцы обращены наружу. Разный хват – хват, при котором одна рука хватом сверху, другая – снизу Скрестный хват – хват, при котором правая рука будет в хвате с левой стороны над левой рукой или под ней. Узкий хват – хват, при котором руки размещены уже плеч. �Содержание Широкий хват – хват, при котором руки размешены шире плеч. Глубокий хват – хват, при котором кисти рук согнуты и лежат на снаряде сверху. Спереди – положение снаряда, когда гимнаст стоит лицом к нему. Сзади – положение снаряда, когда гимнаст стоит спиной к нему. Боком – положение гимнаста правым или левым боком к снаряду. Продольно – положение, когда плечевая ось гимнаста параллельна оси снаряда. Поперек – положение, когда плечевая ось гимнаста перпендикулярна оси снаряда. Вис – положение гимнаста на снаряде, при котором его плечи ниже оси снаряда. Разновидности висов: Смешанный вис – разновидность виса, при котором гимнаст имеет дополнительную опору какой-либо частью тела, например: �Содержание Вне – положение ноги (ног) с внешней стороны руки (рук). Внутри – положение ноги (ног) между опорными руками. Упор – положение с опорой руками, при котором плечи находятся выше или на одном уровне с точками опоры. Разновидности упора: Смешанный упор – разновидность упора, при котором гимнаст имеет дополнительную опору о снаряд какой-либо частью тела, чаще ногами. Сед – положение гимнаста, когда нет опоры руками о снаряд, при этом гимнаст держится руками за снаряд, например: �Содержание На снарядах можно принимать положение стойки, например: В названии упражнения на снаряде статические элементы указываются как исходные в начале упражнения или конечные положения, принимаемые в результате выполнения предыдущего динамического элемента, например: Из упора на предплечьях подъем махом назад в сед ноги врозь. Подъем – переход гимнаста из более низкой опоры или из виса в упор. Разновидности подъемов: Спад – переход гимнаста из упора в вис или в более низкий упор. �Содержание Опускание – спад, выполненный медленно, силой. Мах – колебательное движение тела, отдельных частей тела относительно других или всего тела относительно снаряда в одном направлении. Размахивание – колебательное движение отдельных частей тела или всего тела относительно снаряда. Раскачивание – колебательное движение тела вместе со снарядом. Перемах – перемещение одной или обеих ног через снаряд. Скрещение – два перемаха, исполненные навстречу друг другу. Выкрут – переход из виса сзади в вис и, наоборот, вследствие вращательного движения в плечевых суставах. Оборот – вращательное движение вокруг оси снаряда. �Содержание Вскок – прыжок на снаряд с указанием положения, в которое он выполняется. Соскок – прыжок со снаряда. Прыжки опорные – выполняются с дополнительной опорой (толчком) руками при полете над снарядом. Название прыжка определяется способом выполнения, например: �Содержание �Содержание 9.2. Запись упражнений на гимнастических снарядах Для записи любого отдельно взятого движения надо определить: – и.п., из какого положения начинается движение, например: из виса стоя, из размахивания в висе, с прыжка и т. д.; – название движения, например: подъем, спад, перемах и т. д.; – способ выполнения, например: разгибом, махом, согнув ноги и т. д.; – направление движения, например, вперед, назад; – конечное положение, если это необходимо. Запись любого отдельно взятого движения включает: исходное положение (и.п.) – название движения – способ выполнения - направление движения – конечное положение, например: из упора на в/ж спад назад в вис стоя согнувшись с опорой ступнями о н/ж. Если два элемента комбинации выполняются друг за другом последовательно, слитно, взаимосвязаны, то в записи они соединяются союзом «и», например: спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь. Если элементы выполняются одновременно, то в записи они соединяются предлогом «с», например: поворот направо с перемахом левой. К динамическим упражнениям на снарядах относятся подъемы, спады и опускания, вскок и соскок, обороты, перевороты, маховые упражнения и их разнообразные сочетания. Подъемы выполняются в упор, спады и опускания в вис. В этих случаях конечные положения не указываются. Во всех иных случаях необходимо указывать, в какое конечное положение выполняется спад, подъем или опускание, например, подъем махом вперед в упор углом, подъем переворотом в упор прогнувшись, спад в вис лежа на бедра на н/ж, спад назад в вис согнувшись. В названии упражнения на снаряде статические элементы указываются как исходные в начале упражнения или конечные положения, принимаемые в результате выполнения предыдущего динамического элемента, например: кувырок вперед в сед ноги врозь (параллельные брусья), опускание вперед в вис присев (брусья р/в), из виса присев на н/ж подъем толчком двумя в упор на в/ж. Динамический элемент может записываться как способ выполнения следующего за ним элемента, например: махом назад стойка на плечах (параллельные брусья). Упражнения на гимнастическом бревне записываются по правилам общеразвивающих упражнений выполняемых на скамейке. В записи и.п. указывается положение относительно снаряда, например: стоя продольно у правой трети бревна; стоя под углом к бревну левым боком; упор стоя продольно с правой стороны бревна. В упражнениях на бревне используются различные виды ходьбы и бега, прыжки, повороты, танцевальные шаги, а также плавные движения тела и его звеньев. Запись движений на бревне обозначается одинаковыми терминами, что и на полу, например: виды шагов: мягкий, острый, высокий и т. д. Танцевальные шаги: шаги польки, вальса, галопа. �Содержание Упражнения на снарядах записываются построчно или непрерывно. При непрерывной записи элементы разделяются знаком «–». Пример непрерывной записи упражнений на снарядах: Перекладина высокая: из виса подъем переворотом силой – перемах правой в упор ноги врозь – спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь – поворот налево кругом с перемахом левой назад в упор – спад назад в вис согнувшись и соскок махом назад. Гимнастическое бревно: И.п.– стоя под углом к бревну левым боком. С косого разбега толчком двух вскок в упор присев, левая спереди – встать, руки в стороны – шаг польки с левой, руки на пояс – шаг правой вперед и, приставляя левую сзади, поворот налево кругом, руки вверх и в стороны – шаг правой и мах левой вперед – шаг левой и мах правой вперед – выпад на правой, руки на пояс – упор стоя на правом колене, левую назад – соскок махом левой назад в стойку правым боком к бревну. Брусья разной высоты: Из виса согнув ноги на в/ж – вис присев на н/ж – толчком ног, вис лежа ноги врозь правой – перемах левой в вис лежа на н/ж – перехватом рук упор сзади – махом вперед соскок с поворотом налево. Брусья параллельные: На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев – мах вперед в сед ноги врозь – перемах правой сед на правом бедре, держась правой рукой, левую в сторону – хватом левой впереди правой ноги и толчком правой руки соскок с поворотом направо кругом, приземлиться левым боком к брусьям. Если необходимо указать стоимость элементов или соединений, применяется построчная запись, справа цифрами записывается стоимость элемента в баллах, например: 1. Из виса подъем переворотом силой в упор – 3,0 2. Перемах правой в упор ноги врозь – 1,0 3. Спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь – 3,0 4. Поворот налево кругом с перемахом левой назад в упор – 1,0 5. Спад назад в вис согнувшись и соскок махом назад – 2,0 Упражнения для контрольного урока записываются построчной записью так, чтобы каждый элемент начинался с новой строки с указанием принятой трудности в баллах. �Содержание Контрольные вопросы 1. Расскажите правило записи отдельного движения на снаряде. 2. Назовите динамические упражнения на снарядах. 3. Назовите статические упражнения на снарядах. 4. Расскажите правило записи упражнения на снарядах. 5. Назовите особенности непрерывной записи упражнений на снарядах. 6. Назовите особенности построчной записи упражнений на снарядах. 7. Назовите разновидности хватов. 8. Назовите отличие положения гимнаста в упоре и висе. 9. Назовите, чем отличаются термины «поворот» и «оборот». 10. Назовите, чем отличаются термины «спад» и «опускание». 11. Назовите, чем отличаются термины «вскок» и «соскок». �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Разгадайте кроссворд «Термины гимнастических упражнений на снаряде». По горизонтали: 1 – хват, при котором кисти рук согнуты и лежат на снаряде сверху. 2 – прыжок на снаряд с указанием положения, в которое он выполняется. 3 – положение гимнаста на снаряде, при котором его плечи ниже оси снаряда. 4 – колебательное движение отдельных частей тела или всего тела относительно снаряда. 5 – хват, при котором большие пальцы обращены внутрь (друг другу). 6 – положение, когда плечевая ось гимнаста перпендикулярна оси снаряда. 7 – колебательное движение тела, отдельных частей тела отно-сительно других или всего тела относительно снаряда в одном направлении. 8 – прыжок со снаряда. 9 – хват, при котором руки повернуты внутрь, а большие пальцы обращены наружу. 10 – хват, при котором большие пальцы обращены наружу. 11 – хват, при котором правая рука будет в хвате с левой стороны над левой рукой или под ней. 12 – переход гимнаста из более низкой опоры или из виса в упор. 13 – линия длины, проходящая через рабочую часть снаряда (длину жерди, грифа, коня и т.д.). 14 – положение гимнаста лицом к снаряду или полу. 15 – прыжки с дополнительной опорой (толчком) руками при полете над снарядом. 16 – хват, при котором руки размешены шире плеч. По вертикали: 1 – два перемаха, исполненные навстречу друг другу. 2 – переход из виса сзади в вис и, наоборот, вследствие вра-щательного движения в плечевых суставах. 3 – положение гимнаста правым или левым боком к снаряду. 4 – положение гимнаста спиной к снаряду или полу. 5 – разновидность упора, при котором гимнаст имеет дополнительную опору о снаряд какой-либо частью тела, чаще ногами. 6 – положение, когда плечевая ось гимнаста параллельна оси снаряда. 7 – колебательное движение тела вместе со снарядом. �Содержание 8 – переход гимнаста из упора в вис или в более низкий упор. 9 – способ, с помощью которого учащийся держит предмет или снаряд. 10 – положение гимнаста, когда нет опоры руками о снаряд, при этом гимнаст держится руками за снаряд. 11 – хват, при котором руки размещены уже плеч. 12 – перемещение одной или обеих ног через снаряд. 13 – спад, выполненный медленно, силой. 14 – хват, при котором одна рука хватом сверху, другая – снизу. 15 – вращательное движение вокруг оси снаряда. 2. Назовите положение на снаряде, используя таблицу матрицу: �Содержание 3. Назовите гимнастические элементы, используя таблицу матрицу: �Содержание 4. Назовите опорные прыжки, используя таблицу матрицу: �Содержание Применение полученных знаний 5. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах: 5.1. Брусья параллельные: На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев – (3,0 б); мах вперед в сед ноги врозь – (1,0 б); перемах правой в сед на правом бедре, держась правой рукой, левую в сторону – (1,0 б); хватом левой впереди правой ноги и толчком правой руки соскок с поворотом направо кругом, приземлиться левым боком к брусьям – (5,0 б). 5.2. Брусья разной высоты: Из виса согнув ноги на в/ж; вис присев на н/ж; толчком ног, вис лежа ноги врозь правой; перемах левой в вис лежа на н/ж; перехватом рук упор сзади; махом вперед соскок с поворотом налево. 5.3. Гимнастическое бревно: И.п.: стоя под углом к бревну левым боком. С косого разбега толчком двух вскок в упор присев, левая спереди; встать, руки в стороны; шаг польки с левой, руки на пояс; шаг правой вперед и, приставляя левую сзади, поворот налево кругом, руки вверх и в стороны; шаг правой и мах левой вперед; шаг левой и мах правой вперед; выпад на правой, руки на пояс; упор стоя на правом колене, левую назад; соскок махом левой назад в стойку правым боком к бревну. 5.4. Перекладина высокая: Из виса подъем переворотом силой в упор (3,0 б) – Перемах правой в упор ноги врозь (1,0 б) – Спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь (3,0 б) – Поворот налево кругом с перемахом левой назад в упор (1,0 б) – Спад назад в вис согнувшись и соскок махом назад (2,0 б). Понимание и владение знаниями 6. Выполните упражнения в висах и упорах по записи. 6.1. Перекладина 6.1. Из виса стоя сзади толчком двумя ногами вис согнувшись – вис прогнувшись – вис согнувшись и перемахом согнув ноги опускание в вис присев – вис стоя и прыжком упор – перемах правой в упор ноги врозь – соскок перемахом левой с поворотом направо (перекладина низкая, 5 класс). 6.2. Из виса стоя на согнутых руках махом одной, толчком другой подъем переворотом – перемах правой в упор ноги врозь – перемах левой в упор сзади – поворот налево кругом в упор – махом �Содержание назад соскок (перекладина низкая, 6 класс). 6.3. Из виса стоя подъем переворотом толчком двумя – перемах правой в упор ноги врозь правой – поворот на лево кругом с перемахом левой назад в упор – опускание вперед через вис углом (держать) в вис лежа согнувшись – разгибаясь в тазобедренных суставах и отводя руки назад, оттолкнуться ими от перекладины и перейти в о.с. (средняя перекладина, 7 класс). 6.4. Из виса стоя подъем переворотом толчком двумя в упор – перемах правой в упор ноги врозь вне – спад назад и подъем на правой вне (завесом вне) в упор ноги врозь правой вне – перехватом правой в упор ноги врозь правой и перемах левой вперед в упор сзади – медленное опускание назад в вис на согнутых ногах и руках (вис завесом двумя) – вис на согнутых ногах, руки в стороны – через стойку на руках опускание в упор присев и, выпрямляясь, о.с. (средняя перекладина, 8 класс). 6.5. Из виса подъем переворотом силой – перемах правой в упор ноги врозь правой (левой) – спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь правой – поворот налево кругом в упор с перемахом левой назад – спад назад в вис согнувшись и соскок махом назад (перекладина высокая, 9 класс). 6.6. Из виса подъем силой – перемах в упор ноги врозь правой – перемах левой в упор сзади – перехват левой в хват снизу и поворот кругом в упор – опускание вперед в вис согнувшись и соскок махом назад (перекладина высокая, 10 класс). 6.7. Из виса подъем силой в упор – перемах правой в упор ноги врозь правой – поворот направо кругом с перемахом левой вперед в упор – опускание в вис и подъем переворотом силой в упор – опускание вперед в вис согнувшись и мах назад – мах вперед и соскок махом назад с поворотом на 90° (высокая перекладина, 11 класс). Брусья р/в 6.8. Из виса на в/ж вис согнув ноги – вис присев на н/ж – толчком ног вис лежа ноги врозь правой – перемах левой в вис лежа на н/ж – перехватом рук упор сзади – махом вперед соскок с поворотом налево (5 класс). 6.9. Из виса стоя лицом к верхней жерди прыжком упор на н/ж – перемах правой в упор ноги врозь – перехватом левой за в/ж поворот налево кругом в вис лежа ноги врозь левой (верхом) разным хватом (левая снизу, правая сверху) – перехват левой в хват сверху и перемах правой в вис лежа на н/ж – махом вперед вис присев на н/ж и опускание в вис – размахивание изгибами и соскок махом назад (6 класс). 6.10. Из виса стоя на согнутых руках лицом к в/ж махом одной и толчком другой подъем переворотом в упор на н/ж – перемахом правой упор ноги врозь правой – перехватом левой за в/ж поворот налево кругом в вис лежа ноги врозь левой разным хватом (левая снизу, правая сверху) – перехват левой в хват сверху и перемах правой в вис лежа на н/ж – поворотом направо сед на правом бедре, правая хватом за в/ж, левая в сторону – хватом левой спереди, отталкиваясь правой рукой, соскок с поворотом направо лицом к брусьям (7 класс). 6.11. Из размахивания изгибами в висе на в/ж вис присев на н/ж – толчком двумя вис лежа – перехват руками в упор сзади и поворот налево кругом в упор – опускание вперед в вис присев и вис стоя на согнутых руках на н/ж – махом одной, толчком другой подъем переворотом на н/ж – соскок махом назад (8 класс). �Содержание 6.12. Из виса стоя на согнутых руках на н/ж снаружи лицом к верхней жерди махом одной и толчком другой вис прогнувшись на н/ж с опорой ступнями о в/ж – переворот в упор на н/ж – перемах правой в упор ноги врозь правой – перехватом правой за в/ж поворот налево кругом с перемахом правой в вис лежа на н/ж – поворот налево в сед на левом бедре, правую руку в сторону – хватом правой сзади соскок с поворотом направо кругом (9 класс). 6.13. Из размахивания изгибами в висе на в/ж вис присев на н/ж – толчком двух ног подъем в упор на в/ж – спад назад в вис стоя согнувшись с опорой ступнями о н/ж – толчком ног вис углом и вис лежа на н/ж – перехват руками в упор сзади и соскок махом вперед с поворотом налево (направо) (10 класс). 6.14. Из виса стоя лицом к в/ж подъем переворотом махом одной, толчком другой в упор на н/ж – перемах левой с перехватом левой за в/ж и поворот направо с перемахом левой в сед на левом бедре снаружи, правую руку в сторону – хватом правой сзади сед углом – сгибая правую ногу, встать и равновесие на ней – хватом правой за н/ж упор присев, левую ногу вперед и соскок, прогнувшись, махом левой назад и толчком правой (11 класс). Брусья параллельные 6.15. На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев – мах ногами вперед сед ноги врозь – перемахом правой сед на правом бедре, держась правой рукой, левую в сторону – хватом левой впереди правой ноги толчком правой руки соскок с поворотом направо кругом, приземлиться левым боком к брусьям (5 класс). 6.16. На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев, перехватом рук поворот кругом – упор согнув ноги и сед ноги врозь – опускание в упор лежа ноги врозь на предплечьях – перемах внутрь и мах назад – мах вперед и соскок махом назад внутрь брусьев (6 класс). 6.17. На середине брусьев прыжком упор и махом вперед сед ноги врозь – перемах внутрь и мах назад – мах вперед – махом назад развести ноги над жердями – сводя ноги, мах вперед – соскок махом назад прогнувшись влево (7 класс). 6.18. На середине брусьев прыжком упор на предплечьях – подъем махом назад в сед ноги врозь – кувырок вперед в сед ноги врозь – перемах внутрь и мах назад – мах вперед – соскок махом назад прогнувшись вправо (влево) (8 класс). 6.19. На концах жердей прыжком упор и одновременными толчками рук передвинуться вперед до стоек – опуститься в упор на предплечьях и размахивание – подъем махом вперед в сед ноги врозь – перехват руками вперед и кувырок вперед в сед ноги врозь – перемах внутрь и мах назад – в начале маха вперед согнуть руки и в конце маха разогнуть, махом назад соскок прогнувшись вправо (влево) (9 класс). 6.20. Из размахивания в упоре на руках подъем махом вперед в сед ноги врозь – перемахом внутрь упор углом (держать) – махом назад перемах в сед ноги врозь – силой согнувшись, стойка на плечах (держать) – опускание в сед ноги врозь – перехват сзади, перемах внутрь и мах назад – соскок махом вперед (углом) вправо (влево) (10 класс). 6.21. Из размахивания в упоре на руках махом вперед упор согнувшись на руках и подъем разгибом в сед ноги врозь – перемах внутрь и упор углом (держать) махом назад сед ноги врозь – силой согнувшись стойка на плечах (держать) – разгибая руки, опуститься в упор и мах вперед – мах назад и махом вперед соскок углом вправо (влево) (11 класс). �Содержание 7. Выполните упражнения в равновесии по записи. 7.1. Стоя на правой, левая назад (до 30?), руки в стороны, глаза закрыты (5с) – открыв глаза, передвижение на носках до середины бревна – останавливаясь, поворот кругом переступаниями – стойка на левой, правую вперед – приставить правую и поворот кругом на носках, руки в стороны – передвижение до конца бревна и соскок в глубину в обруч, лежащий на полу, с удержанием равновесия (2 класс, высота 60 см). 7.2. И.п. – стойка ноги врозь правой, руки в стороны. Шагом левой опуститься на правое колено, руки вверх – выпрямляясь, два приставных шага с левой ноги – два приставных шага с правой ноги, руки в стороны – шагом левой поворот на носках кругом, руки дугами книзу-вверх – махом левой поворот кругом в стойку на правой, левая сзади на носке – 3–4 шага на носках и упор присев – опираясь на руки, сесть на правое бедро, руки в стороны – с опорой левой сзади соскок с поворотом кругом (3 класс, бревно высотой от 80 до 1 метра). 7.3. И.п. – стойка на левой, правую назад (до 45°), руки вверх. 3–4 быстрых шага на носках, руки в стороны и выпад правой – выпрямляясь, поворот кругом в выпад на левой – приставляя правую сзади, прыжок с поворотом кругом – два приставных шага с правой ноги, руки дугами книзу-вперед – шагом левой равновесие (до 60°) – опускание на правое колено, упор стоя на правом колене, левую назад – опуститься в сед на правое бедро, руки в стороны – с опорой руками спереди соскок с поворотом лицом к бревну (4 класс). 7.4. И.п. – стойка правая перед левой, руки вверх. 2 приставных шага с левой ноги – 2 приставных шага с правой ноги – шаг правой и поворот налево кругом, руки в стороны – шаг правой и, приставляя правую, поворот налево кругом на носках, руки вниз – упор присев – соскок прогибаясь вправо (5 класс). 7.5. И.п. – стоя продольно у правой трети бревна. Вскок в упор, правую в сторону на носок – поворачиваясь налево, стойка на правом колене, руки в стороны – взявшись руками спереди, поставить левую согнутую ногу впереди правого колена и, вставая, три шага на носках – полуприседая, опуская руки вниз, поворот кругом – шаг левой, мах правой и хлопок под ногой – выпад правой, руки в стороны – с поворотом налево, приставляя левую, «старт пловца» – соскок прогибаясь (6 класс). 7.6. И.п. – стойка продольно перед бревном у правого конца. С разбега махом одной и толчком другой упор присев – вставая, поворот налево в стойку поперек, левая перед правой, руки в стороны – шаг правой и, сгибая ногу в положение выпада, пружинистый наклон вперед, дугами книзу руки перед грудью скрестно, выпрямляясь, встать на правой, левую назад, руки в стороны – то же с левой ноги – переменными шагами дойти до конца бревна, руки на пояс – соскок, прогибаясь, с конца бревна толчком двумя (7 класс). 7.7. И.п. – стоя под углом к бревну левым боком. С косого разбега толчком двух вскок в упор присев, левая спереди – встать, руки в стороны – шаг польки с левой, руки на пояс – шаг правой вперед и, приставляя левую сзади, поворот налево кругом, руки вверх и в стороны – шаг правой и мах левой вперед – шаг левой и мах правой вперед – выпад на правой, руки на пояс – упор стоя на правом колене, левую назад – соскок махом левой назад в стойку правым боком к бревну (8 класс). 7.8. И.п. – упор стоя продольно с правой стороны бревна. С прыжка упор, правую в сторону на носок, с поворотом налево упор стоя на левом колене и полушпагат, руки в стороны – опираясь руками впереди, упор лежа – толчком ног упор присев – встать на носки, руки в стороны – шагом правой равновесие на ней – выпрямляясь и приставляя левую, полуприсед, руки назад, соскок, �Содержание прогибаясь, вперед – в сторону (9 класс). 7.9. И.п. – упор стоя продольно с правой стороны бревна. Вскок в сед на правом бедре, руки в стороны – упор сзади и сед углом – разводя ноги махом назад упор лежа на согнутых руках – толчком ног упор присев и встать – два прыжка на левой, правую назад, руки на пояс – два прыжка на правой, левую назад, руки на пояс – приставляя левую, полуприсед и поворот кругом, руки в стороны – шагом правой равновесие – выпрямляясь, шагом левой и махом правой соскок влево (10 класс). 7.10. И.п. – упор стоя продольно. С прыжка упор, правую в сторону на носок, поворотом налево стойка на левом колене, правую назад и полушпагат, руки в стороны – через стойку на левом колене, махом правой вперед встать на правую, левую назад на носок, руки в стороны, «волна» руками – вальсовый шаг вперед с левой, круг правой книзу в лицевой плоскости – шаг правой, левую согнутую вперед, руки: левую назад-вверх, правую вперед-книзу – левую ногу назад и равновесие на правой, руки в стороны – выпрямляясь, шаг левой вперед и стойка на носке, руки дугами вперед – вверх-наружу и дугами наружу вниз – присесть, поворот кругом направо, встать на носки, руки в стороны – два шага польки с правой, руки в стороны, шагом правой выпад, руки: левая вперед-книзу, правая вверх-назад, стойка на левом колене, правую согнуть вперед – упор на левом колене, правую назад, соскок, прогнувшись, с опорой на руки, левым боком к бревну (11 класс). 8. Выполните опорные прыжки по записи. 8.1. Вскок в упор присев и соскок прогибаясь. 8.2. Вскок в упор стоя на коленях и соскок махом руками вперед. 8.3. Прыжок ноги врозь. 8.4. Прыжок боком. 8.5. Прыжок согнув ноги. 8.6. Прыжок углом с косого разбега толчком одной. Оценка результатов самостоятельной работы 9. Взаимоконтроль студентов по теме «Термины и запись упражнений на гимнастических снарядах», максимальный балл – 204. Регистрационный бланк Задание Базовые знания Кроссворд Конкретные термины Сумма баллов и оценка Применение полученных знаний Ошибки в записи Балл Оценка �Содержание Сумма баллов и оценка Выполнение упражнений на снарядах по записи Сумма баллов и оценка Общая сумма баллов и оценка Ключ к обработке результатов: Базовые знания (максимальное количество баллов 81) Задание 1–4 – за каждый правильный ответ – 1 балл. 73–81 баллов – оценка 5 61–72 – оценка 4 49–60 – оценка 3 Менее 49 баллов – вам нужно еще работать. Применение полученных знаний (максимальное количество баллов 12). Задание 5 – за правильно выполненное задание – 3 балла. 11–12 баллов – оценка 5 9–10 – оценка 4 7–8 – оценка 3 Менее 7 баллов – вам нужно еще работать. Понимание и владение знаниями (максимальное количество баллов 111). Задание 6–8 – за каждое правильно выполненное упражнение – 3 балла. Оценка освоения темы в целом 184–204 баллов – оценка 5 153–183 – оценка 4 122–152 – оценка 3 Менее 122 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Глава 10. Термины и запись вольных и танцевальных упражнений 10.1. Терминологический словарь вольных и танцевальных упражнений 10.2. Запись вольных и танцевальных упражнений Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы �Содержание 10.1. Терминологический словарь вольных и танцевальных упражнений Вольные упражнения включают в себя элементы акробатических, общеразвивающих упражнений, разновидности шагов и бега, прыжки, повороты и танцевальные шаги. Виды шагов и бега обозначаются одинаковыми терминами, например: мягкий, перекатный, пружинный, острый, высокий и т. д. Виды бега отличаются от одноименных шагов наличием фазы полета и характером движений. В вольных упражнениях часто используются простейшие разновидности шагов и бега: шаг с носка и на носках, приставной шаг, шаг выпадами, высокий бег. Острый шаг – сгибая ногу, сделать небольшой шаг вперед, на сильно оттянутый носок, выпрямляя ногу энергично поставить пятку на пол, и одновременно вывести другую ногу вперед. Мягкий шаг выполняется перекатом с носка на всю стопу при незначительном сгибании опорной ноги. Перекатный шаг – мягкий шаг с правой ноги, подняться на носок с одновременным скольжением носком левой ноги по полу. Высокий шаг – шаг с высоко поднятой согнутой ногой вперед с одновременным подниманием на носок опорной ноги. Приставной шаг – шаг с носка одной ноги с последующим приставлением другой ноги. Подскок – небольшое подпрыгивание на месте или с продвижением в указанном направлении. Шаг с подскоком – шаг вперед с последующим подскоком вверх, другую ногу энергично согнуть вперед, аналогично высокому шагу. Танцевальные шаги кратко обозначаются по принадлежности к соответствующему танцу или группе танцев, например: шаги польки, шаги галопа вправо, шаг вальса вперед, (в сторону, вальсовый поворот). �Содержание Шаг галопа – шаг правой в сторону, подскок, соединить ноги и приземлиться на левую ногу, а правую в сторону на носок. Переменный шаг – приставной шаг с правой ноги вперед – шаг правой вперед, левая сзади на носок – левую скользящим движением по полу разогнуть вперед-книзу. То же с другой ноги. Переменный шаг с притопом – шаг правой, шаг левой, небольшим шагом топнуть правой, затем левой, скользя по полу, вынести вперед правую. Шаг польки – небольшой подскок на левой, правую вперед – книзу и приставной шаг с правой с чуть заметным подскоком, небольшой шаг вперед правой, подскок на правой, левую вперед – книзу. То же с другой ноги. Шаг вальса – один мягкий шаг и два небольших шага с носка, то же с другой ноги. Шаг вальса в сторону – мягкий шаг в сторону, шаг скрестно назад на носок, приставить ногу, с которой начиналось движение, то же в другую сторону. Каблучный шаг – шаг правой вперед с пятки перекатом на всю стопу, руки вправо, то же с другой ноги. Подбивной шаг – правую ногу в сторону – книзу, толчком левой прыжок вправо, подбить левой ногой правую, приземлиться на левую, правую в сторону – книзу. Прыжки в вольных упражнениях различают в зависимости от амплитуды движения, положения тела и рук в полете. Дополнительные термины часто определяют положение туловища в полете: прыжок прогнувшись, согнувшись, в группировке, шагом, выпадом, шпагатом, кольцом. Популярны в вольных упражнениях перекидной прыжок и подбивной подскок, перескок и скачек – прыжок вверх толчком одной со сгибанием другой ноги вперед и взмахом рук. �Содержание Повороты выполняются на месте и в движении, различными способами, из различных и.п. поворот из стойки скрестно, поворот в приседе, полуприседе, на коленях. Большинство поворотов выполняется в положении стоя: поворот на носках, переступанием, махом, скрестный, одноименный, разноименный и круговой. �Содержание 10.2. Запись вольных и танцевальных упражнений В названии вольных упражнений указывается, для кого оно предназначено, например: вольные упражнения третьего взрослого разряда, юноши. Даются сведения о музыкальном сопровождении, например: музыкальный размер 4/4, 3/4, 2/4. При записи и.п. указывается место расположения спортсмена. Например, в левом нижнем углу, в верхней середине или в центре и т. д. Вольные упражнения записываются в построчной форме в соответствии со структурой музыкального сопровождения – как правило, по «восьмеркам». Начало каждой «восьмерки» обозначается римской цифрой с левой стороны. Счет записывается арабскими цифрами, и каждая новая «восьмерка» начинается с первого счета, например: И.п. – о.с. в левом нижнем углу. I. 1 – выпад правой, руки в стороны; 2 – вставая на правой, круг руками кверху и махом левой вперед; 3–4 – шагом левой кувырок вперед; (1,0) 5–7 – толчком двух ног стойка на голове – держать; (2,0) 8 – упор присев; II. 1 – темповой подскок; 2–3 – переворот боком вправо; (1,5) 4 – приставить левую; 5–6 – шаг галопа вправо, руки в стороны; 7–8 – приставляя ногу прыжок вверх прогнувшись ноги врозь, и о.с. Для записи упражнения можно использовать графическую запись перемещений. Перемещения могут выполняться по диагонали, кругу, квадрату, вперед, назад, в сторону, по дуге, зигзагу. Начало комбинации обозначается кружком с буквой «Х», конец упражнения с буквой «К». Например: вольные упражнения третьего взрослого разряда, юноши, муз. размер 4/4. И.п. – о.с. в верхнем левом углу. I. 1–4 – два шага разбега и толчком двумя прыжок вверх прогнувшись; 5–8 – два кувырка вперед. �Содержание II. 1–4 – силой стойка на голове и руках; 5–6 – силой прогнувшись опускание в упор лежа; 7–8 – упор присев, встать. III. 1–2 – шаги галопа вправо, руки в стороны; 3–4 – прыжок со сменой прямых ног с поворотом на 90º; 5–8 – равновесие на одной ноге, руки в стороны, держать. IV. 1–2 – выпрямиться и махом одной ноги вперед поворот в стойку по диагонали, руки вверх; 3–4 – шаг, вальсет; 5–8 – два переворота в сторону и приставляя ногу о.с. В названии вольных упражнений указывается, для кого оно предназначено, например: вольные упражнения третьего взрослого разряда, юноши. Даются сведения о музыкальном сопровождении, например: музыкальный размер 4/4. При записи и.п. указывается место расположения спортсмена. Например, в левом нижнем углу. Вольные упражнения записываются в построчной форме в соответствии со структурой музыкального сопровождения – как правило, по «восьмеркам». Счет записывается арабскими цифрами, и каждая новая «восьмерка» начинается с первого счета, например: И.п. – о.с. в левом нижнем углу I. 1 – выпад правой, руки, руки в стороны; 2 – вставая на правой, круг руками кверху и махом левой вперед; и т. д. Танцевальные упражнения включают танцевальные шаги, сочетающие разнообразные виды перемещений и построений. В названии танцевальных упражнений указывается название танца, и даются сведения о музыкальном сопровождении, например: «Школьная полька», муз. размер 2/4, темп умеренный или «Полька», муз. размер 2/4, темп умеренно быстрый. Д. Львов – Компанеец «Веселая полька». При записи и.п. указывается расположение танцующих, позиция ног и положение рук, например: И.п. – стоя парами по кругу, левым боком к центру, III позиция ног, правая впереди, руки скрестно, хват за кисти или и.п. – стоя парами по кругу, лицом друг к другу, 1-е – спиной к центру, 2-е – лицом к центру, руки в стороны, хват за кисти. Танцевальное упражнения записываются в построчной форме в соответствии со структурой музыкального сопровождения по тактам или под счет, как правило, по «восьмеркам», аналогично записи вольных упражнений, например: Танец – игра «Хлопки», Музыка: любая полька или М. Филиппенко «Веселый музыкант», муз. размер 2/4. Вариант 1. Запись упражнения по «восьмеркам». И.п. – стоя парами по кругу, левым боком к центру, III позиция ног, правая впереди, хват за кисти руки скрестно. I. 1–8 – восемь подскоков; II. 1–6 – шесть подскоков; 7–8 – остановиться, повернуться лицом друг к другу, освободив руки. III. 1–2 – три хлопка справа на уровне уха; �Содержание 3–4 – три притопа, руки на пояс; 5–6 – три хлопка слева на уровне уха; 7–8 – три притопа, руки на пояс и т. д. Вариант 2. Запись упражнения по тактам. Фигурный вальс, муз. размер ¾. И.п. – стоя парами по кругу, лицом друг к другу 1-е – спиной к центру, 2-е – лицом к центру, хват за кисти руки в стороны. I такт – вальсовый шаг в сторону 1-е – с левой ноги, 2-е – с правой ноги, небольшой наклон туловища в сторону; II такт – повторить движение I такта в другую сторону; III–IV такт – вальсовый шаг в сторону с поворотом на 360º, 1-е – с левой ноги, 2-е – с правой ноги, руки разъединить и т. д. В названии танцевальных упражнений указывается название танца, и даются сведения о музыкальном сопровождении, например: «Школьная полька», муз. размер 2/4, темп умеренный. При записи и.п. указывается расположение танцующих, позиция ног и положение рук, например: И.п. – стоя парами по кругу, левым боком к центру, III позиция ног, правая впереди, руки скрестно, хват за кисти. Танцевальное упражнения записываются в построчной форме в соответствии со структурой музыкального сопровождения по тактам или под счет, как правило, по «восьмеркам». �Содержание Контрольные вопросы 1. Назовите средства, входящие в содержание вольных упражнений. 2. Расскажите правило записи вольных упражнений. 3. Назовите, что входит в танцевальные упражнения. 4. Расскажите правило записи танцевального упражнения. �Содержание Задания для самостоятельной работы Базовые знания 1. Разгадайте кроссворд «Термины вольных и танцевальных упражнений». По вертикали: 1. Шаг с высоко поднятой согнутой ногой вперед с одновременным подниманием на носок опорной ноги называется ______шаг. 2. Мягкий шаг с правой ноги, подняться на носок с одновременным скольжением носком левой ноги по полу называется _____ шаг. 3. Движение вперед, назад или в сторону с последовательным касанием ча-стей тела об опору без переворачивания через голову называется ____. 4. Сед с предельно разведенными ногами называется ____. 5. Небольшое подпрыгивание на месте или с продвижением в указанном направлении называется ____. 6. Приставной шаг с правой вперед – шаг правой вперед, левая сзади на носок – левую скользящим движением по полу разогнуть вперед-книзу, называется _____ шаг. 7. Вертикальное положение тела (голова вверх или вниз) называется ____. 8. Шаг с носка одной ноги с последующим пристав-лением другой ноги называется _____ шаг. 9. Правую ногу в сторону–книзу, толчком левой прыжок вправо, подбить левой ногой правую, приземлиться на левую, правую в сторону – книзу, называется _______ шаг. 10. Максимально прогнутое положение тела с опорой ногами и поднятыми вверх руками называется ____. По горизонтали: 1. Шаг правой в сторону, подскок, соединить ноги и приземлиться на левую ногу, а правую в сторону на носок, называется шаг ____. 2. Свободный полет после толчка ногами или одной ногой называется ____. 3. Стойка на одной ноге с отведением другой ноги и наклоном называется ____. 4. Сгибая ногу, сделать небольшой шаг вперед, на сильно оттянутый носок, выпрямляя ногу энергично поставить пятку на пол, и одновременно вывести другую ногу вперед, называется ____ шаг. 5. Круговое движение тела через голову с промежуточной опо-рой называется ____. 6. Вращательное движение тела вокруг вертикальной оси называется ____. 7. Выполняется перекатом с носка на всю стопу при незначительном сгибании опорной ноги, называется____шаг. 8. Вращательное движение тела с последовательным касанием опоры и переворачиванием через голову называется ____. �Содержание 9. Один мягкий шаг и два небольших шага с носка, то же с другой ноги называется____шаг. 10. Небольшой подскок на левой, правую вперед – книзу и приставной шаг с правой с чуть заметным подскоком, небольшой шаг вперед правой, подскок на правой, левую вперед – книзу называется____шаг. 11. Шаг правой вперед с пятки перекатом на всю стопу, руки вправо, то же с другой ноги, называется____шаг. 2. Назовите термины вольных и танцевальных упражнений, используя таблицу матрицу: �Содержание Применение полученных знаний 3. Запишите вольное упражнение, используя нижеперечисленные акробатические упражнения, разновидности ходьбы и бега, повороты, прыжки и танцевальные шаги: Акробатическое упражнение – кувырок, правая скрестно перед левой; кувырок назад; поворот кругом; перекат; стойка на лопатках; упор присев; о.с.; кувырком вперед стойка на лопатках; сед с наклоном, стойка на голове и руках согнув ноги; прыжок вверх прогибаясь. Виды шагов: мягкий, перекатный, шаг с носка и на носках, приставной шаг, шаг выпадами, пружинный, острый, высокий, шаг с носка и на носках, приставной шаг, шаг выпадами, высокий бег и др. Прыжки: прогнувшись, в группировке, подбивной подскок, перескок и скачек – прыжок вверх толчком одной со сгибанием другой ноги вперед и взмахом рук, согнувшись, шагом, шпагатом, кольцом, перекидной прыжок. Повороты: поворот из стойки скрестно, поворот в приседе, полуприседе, на коленях, поворот на носках, переступанием, махом, скрестный, одноименный, разноименный и круговой. Танцевальные шаги: шаг польки, шаги галопа вправо, лево, вперед, назад, вальса (вправо, влево, вперед, назад, в сторону, с поворотом). Понимание и владение знаниями 4. Выполните вольные упражнения по записи: 4.1. И.п. – о.с. в левом нижнем углу. I. 1 – выпад правой, руки в стороны; 2 – вставая на правой, круг руками кверху и махом левой вперед; �Содержание 3–4 – шагом левой кувырок вперед; (1,0) 5–7 – толчком двух ног стойка на голове – держать; (2,0) 8 – упор присев; II. 1 – темповой подскок; 2–3 – переворот боком вправо; (1,5) 4 – приставить левую; 5–6 – шаг галопа вправо, руки в стороны; 7–8 – приставляя ногу прыжок вверх прогнувшись ноги врозь, и о.с. 4.2. И.п. – о.с. в верхнем левом углу. I. 1–4 – два шага разбега и толчком двумя прыжок вверх прогнувшись; 5–8 – два кувырка вперед. II. 1–4 – силой стойка на голове и руках; 5–6 – силой прогнувшись, опускание в упор лежа; 7–8 – упор присев, встать. III. 1–2 – шаги галопа вправо, руки в стороны; 3–4 – прыжок со сменой прямых ног с поворотом на 90º; 5–8 – равновесие на одной ноге, руки в стороны, держать. IV. 1–2 – выпрямиться и махом одной ноги вперед поворот в стойку по диагонали, руки вверх; 3–4 – шаг, вальсет; 5–8 – два переворота в сторону и приставляя ногу о.с. 5. Выполните танцевальные упражнения по записи: 5.1. Выполните шаг с подскоком в сочетании с другими шагами, муз. размер 2/4. И.п. – стойка, руки на пояс I. 1–4 – 4 шага с носка; 5–8 – 4 шага с подскоком. II. 1–4 – 4 высоких шага; 5–8 – 4 шага с подскоком. III. 1–4 – 2 шага польки; 5–8 – 4 шага с подскоком. IV. 1–4 – 4 шага галопа в сторону; 5–8 – 4 шага с подскоком. �Содержание 5.2. Выполните танцевальное упражнение «Хлопки», муз. размер 2/4, любая полька или М. Филиппенко «Веселый музыкант». И.п. – стоя парами по кругу, левым боком к центру, III позиция ног, правая впереди, хват за кисти руки скрестно. I. 1–8 – восемь подскоков; II. 1–6 – шесть подскоков; 7–8 – остановиться, повернуться лицом друг к другу, освободив руки. III. 1–2 – три хлопка справа на уровне уха; 3–4 – три притопа, руки на пояс; 5–6 – три хлопка слева на уровне уха; 7–8 – три притопа, руки на пояс и т. д. IV. 1–6 –мелкими и быстрыми шагами на носках, пары кружатся вправо, взявшись за правые руки 7–8 – принимают и.п. Весь танец можно повторить сначала. 5.3. Выполните танцевальное упражнение «Попрыгушка», муз. размер 2/4, живая, веселая полька. И.п. – И.п. – стоя парами по кругу, левым боком к центру, III позиция ног, правая впереди, хват за кисти руки скрестно. I. 1–6 – шесть шагов с подскоком, стремительно двигаться вперед по кругу; 7–8 – останавливаясь, повернуться лицом друг к другу, хват за кисти, руки вперед – в стороны; II. 1–6 – пары кружатся на месте вправо; 7–8 – принимают и.п. III–IV – повторить I, II. 7–8 – 1е – останавливаются спиной к центру круга, 2-е – лицом к центру круга. V. 1–8:1-е – двигаются назад к центру круга, выполняя 6 шагов с подскоком, руки на пояс и останавливаясь, приставляют левую ногу к правой; 2-е – стоят на месте и хлопают в ладоши. VI. 1–8: 1-е – стоят на месте, хлопают в ладоши; 2-е – двигаются вперед к центру круга, выполняя 6 шагов с подскоком, руки на пояс и останавливаясь, пары берутся за руки. VII. 1–8 – пары подскоками отходят от центра: 1-е – двигаются назад; 2-е – вперед. VIII. 1–6 – пары кружатся на месте в правую сторону; 7–8 – возвращаются в и.п. Весь танец можно повторить сначала. �Содержание 5.4. Выполните танцевальное упражнение «Галоп по кругу», муз. размер 2/4, темп умеренно быстрый. И.п. – стоя парами по кругу, лицом друг к другу, боком к центру, руки вперед – в стороны, хват за кисти. I. 1–4 – 3 шага галопа от центра, притоп; 5–8 – 3 шага галопа к центру, притоп. II – повторить I. III. 1 – шаг правой вперед в сторону; 2 – полуприсед, приставить левую к правой; 3 – шаг левой назад в сторону; 4 – полуприсед, приставить правую к левой; 5–8 – то же с левой ноги. IV. 1–4 – подскоками поворот на 360º по часовой стрелке 5–8 – подскоками проходя мимо своего партнера, встретиться с партнером впереди стоящей пары. Танец начинается с новым партнером. 5.5. Выполните танцевальное упражнение «Галоп с хлопками», муз. размер 2/4, полька. И.п. – и.п. – стоя парами по кругу, лицом друг к другу: 1е – спиной к центру, руки согнуты в локтях, ладонь вверх; 2-е – лицом к центру, руки согнуты в локтях, ладонь вниз. I. 1–4 – 2-е – выполняют 4 прыжка вверх, хлопая об ладонь партнера; 5–8 – то же выполняют 1-е. II. – повторить I. III. 1–4 – 3 шага галопа в парах против часовой стрелки, хват за кисти, руки вниз в сторону и притоп; 5–8 – то же в другую сторону. IV. 1 – полуприсед, хлопок в ладоши перед грудью; 2 – выпрямляя ноги, хлопок правой рукой с партнером; 3 – повторить счет 1; 4 – повторить счет 2 с левой руки; 5 – повторить счет 1; 6 – выпрямляя ноги, хлопок двумя руками с партнером перед собой; 7 – опустить руки вниз, полуприсед; 8 – прыжок вверх вправо, руки вниз. �Содержание Танец начинается сначала с другим партнером. 5.6. Выполните танцевальное упражнение «Школьная полька», муз. размер 2/4, темп умеренный. И.п. – стоя парами по кругу, левым боком к центру, III позиция ног, правая впереди, хват за кисти, руки скрестно. I. 1–8 – 4 шага польки; II. 1–6 – 2 шага польки; 7–8 – останавливаясь, повернуться лицом друг к другу, руки в стороны к низу. III. 1 – шаг в сторону по ходу движения; 2 – скрестный шаг назад, по ходу движения; 3 – шаг в сторону по ходу движения; 4 – ногу вперед на носок; 5 – 8 – то же в другую сторону. IV. 1–4 – 1-е – 4 шага назад с правой ноги; 2-е – 4 шага вперед с левой ноги; 5–8 – тоже в обратном направлении. V. 1–8 – шаги галопа в сторону с поворотом кругом в парах, хват за пояс. VI. 1–6 – шаги галопа в сторону с поворотом кругом в парах, хват за пояс. 7–8 – останавливаясь, руки в стороны книзу, хват за кисти. VII. 1 – шаг правой вперед в сторону; 2 – шаг левой приставляя к правой, полуприсед; 3 – шаг левой назад в сторону; 4 – шаг правой приставляя к левой, полуприсед; 5–8 – 4 шага с подскоком, смена мест партнеров. VIII. Повторить VII с другой ноги. 7–8 вернуться в и.п. Весь танец можно повторить еще раз. 5.7. Выполните танцевальное упражнение «Фигурный вальс», муз. размер ¾. И.п. – стоя парами по кругу, лицом друг к другу: 1-е – спиной к центру круга, 2-е – лицом к центру круга, руки в стороны, хват за кисти. I такт – вальсовый шаг в сторону: 1-е – с левой ноги; 2-е – с правой. Небольшой наклон туловища в сторону. II такт – повторить I такт в другую сторону; III–IV такт – вальсовый поворот, руки отпустить; V–VIII такт – повторить I–IVтакт; �Содержание IX такт – вальсовый шаг вперед с правой ноги, руки правая вверх-вперед, хват за кисть, левая в сторону X такт – вальсовый шаг назад; XI такт – первая половина вальсового поворота вправо; XII такт – вальсовый шаг назад с левой ноги; XIII–XVI такт – повторить IX–XII такт; XVII–XXIV такт правая рука вверх, хват за кисть: 1-е – вальсовый шаг вперед с правой ноги, 2-е – вальсовый поворот вправо, по ходу движения; XXV–XXXII такт – вальсовый поворот в парах по ходу движения. Оценка результатов самостоятельной работы 6. Взаимоконтроль студентов по теме «Термины и запись вольных и танцевальных упражнений», максимальный балл 73. Регистрационный бланк Задание Базовые знания Кроссворд Конкретные термины Сумма баллов и оценка Применение полученных знаний Запись вольных упражнений Понимание и владение знаниями Выполнение вольных и танцевальных упражнений по записи Сумма баллов Общая сумма баллов и оценка Ключ к обработке результатов: Базовые знания (максимальное количество баллов 36) Задание 1–2 – за каждый правильный ответ – 1 балл. 32–36 баллов – оценка 5 27–31 – оценка 4 21–26 – оценка 3 Менее 21 балла – вам нужно еще работать. Баллы Оценка �Содержание Применение полученных знаний (максимальное количество баллов 10). Задание 2 – за правильно выполненное задание – 10 баллов. Понимание и владение знаниями (максимальное количество баллов 27). Задание 5 – за каждое правильно выполненное упражнение – 3 балла. 24–27 баллов – оценка 5 20–23 – оценка 4 16–19 – оценка 3 Менее 16 баллов – вам нужно еще работать. Оценка освоения темы в целом 66–73 балла – оценка 5 55–64 – оценка 4 44–54 – оценка 3 Менее 44 баллов – вам нужно еще работать. �Содержание Рубежные проверочные задания Задание 1. Разгадайте кроссворд. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12 Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21 Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24 Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27 Вариант 28 �Содержание Задание 1. Разгадайте кроссворд. По горизонтали: 1 – хват, при котором кисти рук согнуты и лежат на снаряде сверху. 2 – колебательное движение отдельных частей тела или всего тела относительно снаряда. 3 – положение снаряда, когда гимнаст стоит лицом к нему. 4 – прыжок со снаряда. 5 – движение ногой в любом направлении с возвращением в и.п. 6 – первоначальное размещение занимающихся в строю. 7 – движения, выполняемые сначала одной конечностью (рукой или ногой), а затем другой. 8 – положение занимающегося на согнутых ногах. 9 – выставление ноги в любом направлении с перенесением тяжести тела на выставляемую ногу. 10 – переход из виса сзади в вис и, наоборот, вследствие вра-щательного движения в плечевых суставах. 11 – движение по замкнутой кривой. 12 – вращательное движение тела с последовательным касанием опоры и переворачиванием через голову. 13 – вертикальное положение тела (голова вверх или вниз). 14 – переворачивание занимающегося через голову в безопорном положении. 15 – сторона строя, в которую занимающиеся обращены лицом. 16 – сторона строя, противоположная фронту. 17 – положение с опорой руками, при котором плечи находятся выше или на одном уровне с точками опоры. 18 – занимающийся, двигающийся в колонне первым в указанном направлении. 19 – строй, в котором занимающиеся размещены один возле другого на одной линии. 20 – переход гимнаста из упора в вис или в более низкий упор. 21 – горизонтальное положение на полу или снаряде лицом вниз, с прямыми ногами. 22 – колебательное движение тела, отдельных частей тела отно-сительно других или всего тела относительно снаряда в одном направлении. 23 – движение вперед или назад с последовательным касанием частей тела об опору без переворачивания через голову. 24 – хват, при котором большие пальцы обращены внутрь (друг другу). 25 – хват, при котором руки повернуты внутрь, а большие пальцы обращены наружу 26 – положение снаряда, когда гимнаст стоит спиной к нему. �Содержание 27 – вращательное движение вокруг оси снаряда. 28 – движения, выполняемые конечностями в одно и то же время. По вертикали: 1 – переход гимнаста из более низкой опоры или из виса в упор. 2 – движения, совпадающие со стороной конечности. 3 – положение, когда плечевая ось гимнаста параллельна оси снаряда. 4 – хват, при котором правая рука будет в хвате с левой стороны над левой рукой или под ней. 5 – колебательное движение тела вместе со снарядом. 6 – размещение занимающихся для совместных действий. 7 – положение, сидя на полу или снаряде. 8 – круговое движение тела через голову с промежуточной опо-рой. 9 – движения, выполняемые одно амплитуды. за другим с отставанием одной конечности на половину 10 – хват, при котором руки размещены шире плеч. 11 – строй, в котором занимающиеся размещены в затылок друг другу. 12 – два перемаха, исполненные навстречу друг другу. 13 – линия длины, проходящая через рабочую часть снаряда (длину жерди, грифа, коня и т.д.). 14 – правая и левая оконечности строя. 15 – вертикальное положение тела (голова вверх или вниз). 16 – перемещение одной или обеих ног через снаряд. 17 – соединения одновременных и последовательных движений в нескольких суставах, сгибание и разгибание в суставах ног, туловища и рук, которое совершается последовательно от одного сустава, к другому. 18 – вращательное движение тела вокруг вертикальной оси независимо от положения гимнаста. 19 – положение или движение с выставлением ноги в любом направлении с одновременным ее сгибанием. 20 – движения, не совпадающие по направлению со стороной конечности. 21 – хват, при котором одна рука хватом сверху, другая – снизу. 22 – положение, когда плечевая ось гимнаста перпендикулярна оси снаряда. 23 – положение гимнаста правым или левым боком к снаряду. 24 – хват, при котором большие пальцы обращены наружу. 25 – хват, при котором руки размещены уже плеч. �Содержание 26 – положение гимнаста на снаряде, при котором его плечи ниже оси снаряда. �Содержание Вариант 1 1. Назовите конкретные термины ОРУ. 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите опорный прыжок. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ. И.п. – стойка ноги врозь, руки вверх, пальцы в сцеплении, слегка прогнуться. 1 – наклон туловища вперед, руки вниз; 2–4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ на гимнастической стенке. 9. Запишите ОРУ с гимнастической палкой. �Содержание 10. Запишите ОРУ графической записью. И.п. – стойка на левой, правую в сторону – книзу, руки на пояс. Прыжки на каждый счет со сменой положения ног. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на перекладине высокой: Из виса подъем переворотом силой в упор (3,0б) – Перемах правой в упор ноги врозь (1,0б) – Спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь (3,0б) – Поворот налево кругом с перемахом левой назад в упор (1,0б) – Спад назад в вис согнувшись и соскок махом назад (2,0б). 12. Запишите акробатическое упражнение непрерывной записью и выполните его. 2-3 шага разбега; кувырок прыжком; кувырок; силой стойка на голове и руках; упор присев; кувырок назад в упор стоя согнувшись; переворот в сторону. �Содержание Вариант 2 1. Назовите конкретные термины ОРУ. 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите акробатический элемент. 5. Назовите гимнастический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ. И.п. – стойка ноги вместе и прямые, руки за голову. 1 – поворот направо, правую руку вверх, левую вперед; 2 – и.п.; 3–4 – то же налево. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ у гимнастической стенки. 9. Запишите ОРУ с мячом. �Содержание 10. Запишите ОРУ графической записью И. п. – стойка ноги врозь, руки за голову. 1 – поворот туловища направо, правую руку вверх, левую вперед; 2 – и.п.; 3–4 – то же налево. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на брусьях параллельных: На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев – (3,0б); мах вперед в сед ноги врозь – (1,0б); перемах правой сед на правом бедре, держась правой рукой, левую в сторону – (1,0б); хватом левой впереди правой ноги и толчком правой руки соскок с поворотом направо кругом, приземлиться левым боком к брусьям – (5,0б). 12. Запишите вольное упражнение, выбирая нижеперечисленные акробатические упражнения, разновидности ходьбы и бега, повороты, прыжки, танцевальные шаги и выполните его: Акробатическое упражнение – кувырок вперед, правая скрестно перед левой; кувырок назад; поворот кругом. Виды шагов – мягкий, перекатный, шаг с носка и на носках. Повороты – поворот из стойки скрестно, поворот в приседе, полуприседе. Прыжки: прогнувшись, в группировке, подбивной подскок. Танцевальные шаги: шаг польки, шаги галопа вправо. �Содержание Вариант 3 1. Назовите конкретные термины ОРУ. 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ. И.п. – о. с. 1–2 – шаг левой назад, опуститься на левое колено, руки дугами поднять вперед; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же на правое колено. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с гимнастической скамейкой. 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите ОРУ графической записью �Содержание И.п. – стойка ноги врозь, руки в стороны. 1 – наклон влево, левую руку за спину, правую за голову; 2 – и.п.; 3–4 – то же в другую сторону. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Из упора присев кувырок назад и перекатом назад в группировке стойка на лопатках; перекатом вперед лечь и «мост»; опуститься в положение лежа на спине; сесть, руки в стороны; опираясь слева поворот в упор присев; кувырок вперед; прыжок вверх прогибаясь и о.с. 12. Запишите построчной записью комбинацию для контрольного урока (средняя перекладина), используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах и выполните его: Вис стоя; подъем переворотом толчком двумя; упор; перемах; поворот кругом; перемах назад; опускание вперед через вис углом (держать); вис лежа согнувшись; о.с. �Содержание Вариант 4 1. Назовите конкретные термины ОРУ. 2. Укажите направление движения: 3. Назовите положение на снаряде: 4. Назовите гимнастический элемент: 5. Назовите акробатический элемент 6. Найдите ошибки в записи ОРУ И.п. – стойка ноги врозь, руки на пояс. 1–2 – передавая вес тела на правую ногу, наклон туловища влево; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же вправо. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ на гимнастической стенке. 9. Запишите ОРУ с мячом. �Содержание 10. Запишите ОРУ графической записью. И. п. – упор лежа на согнутых руках. 1–2 – разгибая руки встать на левое колено, правую назад; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же на правое колено. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на брусьях разной высоты: Из виса согнув ноги на в/ж; вис присев на н/ж; толчком ног, вис лежа ноги врозь правой; перемах левой в вис лежа на н/ж; перехватом рук упор сзади; махом вперед соскок с поворотом налево. 12. Запишите вольное упражнение, выбирая нижеперечисленные акробатические упражнения, разновидности ходьбы и бега, повороты, прыжки, танцевальные шаги и выполните его: Акробатическое упражнение перекат; стойка на лопатках; упор присев; о.с. Виды шагов: приставной шаг, шаг выпадами, пружинный, острый, высокий. Прыжки: шагом, кольцом. Повороты на коленях, поворот на носках, переступанием. Танцевальные шаги: шаги галопа вправо, влево, вперед, назад. �Содержание Вариант 5 1. Назовите конкретные термины ОРУ. 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите опорный прыжок. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ И.п. – широкая стойка ноги врозь, руки в стороны. 1 – наклон туловища вперед, расслабленные руки скрестно вниз; 2 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета: 8. Запишите ОРУ у гимнастической стенки. 9. Запишите ОРУ с мячом. �Содержание 10. Запишите ОРУ графической записью. И.п. – стойка, руки вверх. 1 – наклон вперед, руки вниз и назад; 2 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Кувырок вперед, правая скрестно перед левой и поворот кругом в упор присев (3,5б) – кувырок назад (3б) – перекатом назад стойка на лопатках (2,5б) – перекатом вперед упор присев и о.с. (1б) 12. Запишите непрерывной записью комбинацию на брусьях, используя ниже перечисленные упражнения в висах и упорах и выполните его: Упор; мах; сед ноги врозь; перемах внутрь; махом назад развести ноги над жердями; соскок махом назад прогнувшись влево. �Содержание Вариант 6 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 1 2 3 4 5 2. Укажите направление движения: 3. Назовите положение на снаряде: 4. Назовите опорный прыжок: 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ. И.п. – стойка ноги врозь, левая рука в сторону, правая перед грудью. 1 – поворот направо; 2 – и.п.; 3 – поворот туловища налево со сменой положения рук; 4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ у гимнастической стенки. �Содержание 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите ОРУ графической записью И.п. – о.с. 1–2 – шаг левой назад, опуститься на левое колено, руки вперед, 3–4 – и.п., 5–8 – то же на правое колено. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на гимнастическом бревне: И.п.: стоя под углом к бревну левым боком. С косого разбега толчком двух вскок в упор присев, левая спереди; встать, руки в стороны; шаг польки с левой, руки на пояс; шаг правой вперед и, приставляя левую сзади, поворот налево кругом, руки вверх и в стороны; шаг правой и мах левой вперед; шаг левой и мах правой вперед; выпад на правой, руки на пояс; упор стоя на правом колене, левую назад; соскок махом левой назад в стойку правым боком к бревну. 12. Запишите акробатическое упражнение построчной записью и выполните его: 2–3 шага разбег, кувырок вперед прыжком, силой стойка на голове и руках согнув ноги, упор присев, кувырок назад, прыжок вверх прогибаясь с поворотом кругом, полуприсед, руки назад; длинный кувырок вперед, прыжок вверх прогибаясь ноги врозь, о.с. �Содержание Вариант 7 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ. И. п. – стойка ноги врозь, руки вверх, пальцы в сцеплении, слегка прогнуться. 1 – наклон туловища вперед, руки вниз; 2–4 – и. п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с мячом. �Содержание 9. Запишите ОРУ с палкой. 10. Запишите ОРУ графической записью. И.п. – стойка ноги врозь, руки прижаты к груди, пальцы в кулак; 1–2 – руки вверх – наружу, разжать пальцы; 3–4 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на перекладине высокой: Из виса подъем переворотом силой в упор (3,0б) – Перемах правой в упор ноги врозь (1,0б) – Спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь (3,0б) – Поворот налево кругом с перемахом левой назад в упор (1,0б) – Спад назад в вис согнувшись и соскок махом назад (2,0б). 12. Запишите акробатическое упражнение построчной записью и выполните его. Стойка на руках и кувырок вперед, силой стойка на голове и руках; упор присев, кувырок назад через стойку на руках. �Содержание Вариант 8 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ И.п. – широкая стойка ноги врозь, руки в стороны. 1 – наклон туловища вперед, расслабленные руки скрестно вниз; 2 –и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ у гимнастической стенки. �Содержание 9. Запишите ОРУ с гимнастической скамейкой 10. Запишите графической записью упражнение с использованием гимнастической скамейки. И.п. – стойка ноги врозь поперек, скамейка между ног. 1 – наклон вперед, взяться руками за края скамейки; 2 – оттолкнувшись ногами, упор присев на скамейке; 3 – соскок в упор стоя согнувшись, ноги врозь; 4 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Из упора присев два кувырка вперед в группировке – перекатом назад стойка на лопатках (держать) – перекатом вперед в группировке лечь и подняться в мост – лечь, перекат назад с опорой руками за головой – перекатом вперед упор присев и о.с. 12. Запишите построчной записью комбинацию для контрольного урока (средняя перекладина), используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Вис стоя; подъем переворотом толчком двумя; упор; перемах; поворот кругом; перемах назад; опускание вперед через вис углом (держать); вис лежа согнувшись; о.с. �Содержание Вариант 9 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите опорный прыжок. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ с предметами. И.п. – о.с, мяч вниз. 1 – шагом левой вперед, мяч дугой спереди вверх, прогнуться; 2 – приставляя левую, и.п.; 3 – бро-сить мяч вверх; 4 – поймать мяч, и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с палкой. �Содержание 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите графической записью упражнение с использованием гимнастической скамейки. И.п. – скамейка слева, левая согнута на скамейке. 1 – махом правой в сторону встать на скамейку, руки вверх, хлопок в ладони; 2 – приставляя правую, присед на скамейке, руки в стороны; 3 – встать, мах левой в сторону, руки вверх, хлопок в ладони; 4 – шагом влево, и. п., правая согнута на скамейке; 5 – 8 – то же в другую сторону. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Из упора присев два кувырка вперед в группировке – перекатом назад стойка на лопатках (держать) – перекатом вперед в группировке лечь и подняться в мост – лечь, перекат назад с опорой руками за головой – перекатом вперед упор присев и о.с. 12. Запишите непрерывной записью комбинацию на брусьях, используя ниже перечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Упор; мах; сед ноги врозь; перемах внутрь; махом назад развести ноги над жердями; соскок махом назад прогнувшись влево. �Содержание Вариант 10 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде: 4. Назовите гимнастический элемент: 5. Назовите акробатический элемент: 6. Найдите ошибки в записи ОРУ с предметами. И.п. – стойка мяч вверх. 1 – мяч вперед, мах левой ногой вперед; 2 – и.п.; 3 – наклон туловища вперед, коснуться мячом пола; 4 – и.п.; 5–8 – то же махом правой. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с мячом. �Содержание 9. Запишите ОРУ у гимнастической стенки. 10. Запишите графической записью упражнение с использованием гимнастической скамейки. И.п. – скамейка слева, левая согнута на скамейке. 1 – махом правой в сторону встать на скамейку, руки вверх, хлопок в ладони; 2 – приставляя правую, присед на скамейке, руки в стороны; 3 – встать, мах левой в сторону, руки вверх, хлопок в ладони; 4 – шагом влево, и.п., правая согнута на скамейке; 5–8 – то же в другую сторону. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах Брусья параллельные: На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев – (3,0б); мах вперед в сед ноги врозь – (1,0б); перемах правой сед на правом бедре, держась правой рукой, левую в сторону – (1,0б); хватом левой впереди правой ноги и толчком правой руки соскок с поворотом направо кругом, приземлиться левым боком к брусьям – (5,0б). 12. Запишите комбинацию на брусья р/в непрерывной записью, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Вис стоя с согнутыми руками лицом к в/ж; махом одной и толчком другой подъем переворотом; упор на н/ж; перемах; упор ноги врозь; перехват левой за в/ж поворот налево кругом; вис лежа ноги врозь; перехват; вис лежа на н/ж; поворот; сед на правом бедре, правая хватом за в/ж, левая в сторону; соскок с поворотом направо лицом к брусьям. �Содержание Вариант 11 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите опорный прыжок. 5. Назовите гимнастический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ с предметами. И.п. – стойка, палка внизу сзади. 1 – стойка с наклоном, палку опустить, вниз к пяткам; 2–3 в стойке с наклоном прижать палку к ногам и, сгибая руки, подтянуть грудь и голову к ногам; 4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с гимнастической скамейкой. �Содержание 9. Запишите ОРУ с палкой. 10. Запишите графической записью упражнение с использованием гимнастической скамейки. И.п. – скамейка слева, левая согнута на скамейке. 1 – махом правой в сторону встать на скамейку, руки вверх, хлопок в ладони; 2 – приставляя правую, присед на скамейке, руки в стороны; 3 – встать, мах левой в сторону, руки вверх, хлопок в ладони; 4 – шагом влево, и.п., правая согнута на скамейке; 5–8 – то же в другую сторону. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах Брусья разной высоты: Из виса согнув ноги на в/ж; вис присев на н/ж; толчком ног, вис лежа ноги врозь правой; перемах левой в вис лежа на н/ж; перехватом рук упор сзади; махом вперед соскок с поворотом налево. 12. Запишите комбинацию на средней перекладине непрерывной нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: записью, используя Вис стоя; подъем переворотом толчком двумя; упор; перемах; упор ноги врозь вне (верхом вне); спад назад и подъем вне (завесом вне); упор ноги врозь вне; перехват; упор ноги врозь (упор верхом); упор сзади; медленное опускание назад; вис на согнутых ногах и руках (вис завесом двумя); вис на согнутых ногах, руки в стороны; стойка на руках; упор присев; о.с. �Содержание Вариант 12 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите опорный прыжок. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ с предметами. И.п. — о.с. ноги врозь, гантели вниз. 1–2 – дугами через стороны гантели вверх; 3–4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета: 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ с использованием гимнастической скамейки. 10. Запишите графической записью упражнение с использованием гимнастической скамейки. И.п. – стоя лицом к скамейке, левую, согнутую, на скамейку, руки вперед. 1 – встать левой на скамейку, мах правой назад, руки вверх; 2 – приставить правую, дугами вперед руки назад; 3 – махом левой назад прогнуться, дугами вперед руки вверх; 4 – шагом левой назад и.п., правая, согнутая, на скамейке; 5–8 – повторить с правой ноги. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах Гимнастическое бревно: И.п.: стоя под углом к бревну левым боком. С косого разбега толчком двух вскок в упор присев, левая спереди; встать, руки в стороны; шаг польки с левой, руки на пояс; шаг правой вперед и, приставляя левую сзади, поворот налево кругом, руки вверх и в стороны; шаг правой и мах левой вперед; шаг левой и мах правой вперед; выпад на правой, руки на пояс; упор стоя на правом колене, левую назад; соскок махом левой назад в стойку правым боком к бревну. 12. Запишите комбинацию на брусьях построчной записью, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Упор на предплечьях; подъем махом назад; сед ноги врозь; кувырок вперед; перемах; мах; соскок махом назад прогнувшись вправо (влево). �Содержание Вариант 13 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите опорный прыжок. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ с предметами. И.п. – стойка гантели прижаты к затылку. 1 – наклон туловища вперед; 2 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите графической записью упражнение с использованием гимнастической скамейки. И.п. – стоя лицом к скамейке, левую, согнутую, на скамейку, руки вперед. 1 – встать левой на скамейку, мах правой назад, руки вверх; 2 – приставить правую, дугами вперед руки назад; 3 – махом левой назад прогнуться, дугами вперед руки вверх; 4 – шагом левой назад и.п., правая, согнутая, на скамейке; 5–8 – повторить с правой ноги. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах Перекладина высокая: Из виса подъем переворотом силой в упор (3,0б) – Перемах правой в упор ноги врозь (1,0б) – Спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь (3,0б) – Поворот налево кругом с перемахом левой назад в упор(1,0б) – Спад назад в вис согнувшись и соскок махом назад (2,0б). 12. Запишите комбинацию на брусья р/в непрерывной записью, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Размахивания изгибами в висе на в/ж; вис присев на н/ж; вис лежа; перехват руками; упор сзади; поворот; упор; опускание вперед; вис стоя; махом одной, толчком другой подъем переворотом; соскок махом назад. �Содержание Вариант 14 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите опорный прыжок. 5. Назовите гимнастический элемент. 6. Найдите ошибки в записи ОРУ с предметами. И.п. – стойка ноги на ширине плеч, гантели в стороны. 1 – поворот рук назад; 2 – и.п.; 3 – поворот рук вперед; 4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – о.с, палку вниз. 1 – прыжок на месте, палку на грудь; 2 – прыжок ноги врозь, палку вверх; 3 – прыжок ноги вместе, палку на грудь; 4 – прыжок ноги вместе, палку вниз; 5 – прыжок ноги врозь, палку вверх; б – прыжок ноги вместе, палку вниз; 7–8 – повторить прыжки на счет «5» и «6». 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Из упора присев два кувырка вперед в группировке – перекатом назад стойка на лопатках (держать) – перекатом вперед в группировке лечь и подняться в мост – лечь, перекат назад с опорой руками за головой – перекатом вперед упор присев и о.с. 12. Запишите непрерывной записью комбинацию на перекладине нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: высокой, используя Вис; подъем переворотом силой; упор; перемах; упор ноги врозь правой (левой); спад назад и подъем на правой (завесом); поворот кругом; перемах назад; вис согнувшись; соскок махом назад. �Содержание Вариант 15 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Запишите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений с использованием гимнастической скамейки. И.п. – стойка скамейка впереди, руки на пояс. 1 – по-ставить на скамейку правую согнутую ногу; 2 – разгибая правую, толчком левой встать на скамейку; 3 – шагом правой назад согнуть левую на скамейку; 4 – поставить левую в и.п.; 5–8 – то же, начиная с левой ноги. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ с использованием гимнастической скамейки. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – сед ноги врозь, палку вперед. 1–2 – выкрутом вперед палку назад; 3–4 – выкрутом назад и.п.; 5 – поворот туловища направо; 6 – и.п.; 7–8 – то же направо. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений. Из упора присев кувырок назад и перекатом назад в группировке стойка на лопатках; перекатом вперед лечь и «мост»; опуститься в положение лежа на спине; сесть, руки в стороны; опираясь слева поворот в упор присев; кувырок вперед; прыжок вверх прогибаясь и о.с. 12. Запишите непрерывной записью комбинацию на брусьях, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Упор; упор на предплечьях; размахивание; подъем махом вперед; сед ноги врозь; перехват руками; кувырок вперед; перемах внутрь; мах; в начале маха вперед согнуть руки и в конце маха разогнуть; соскок прогнувшись вправо (влево). �Содержание Вариант 16 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений с использованием гимнастической скамейки. И.п. – стойка на скамейке, руки на пояс. 1–3 – опуская руки вниз, пружинящие наклоны; 4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ с палкой. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – лежа на спине, палку вверх. 1–2 – перемах согнув ноги, палку за спину, руки согнуть в локтях, стойка на лопатках; 3–6 – держать; 7–8 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Кувырок вперед, правая скрестно перед левой и поворот кругом в упор присев (3,5б) – кувырок назад (3б) – перекатом назад стойка на лопатках (2,5б) – перекатом вперед упор присев и о.с. (1б) 12. Запишите непрерывной записью комбинацию на брусьях р/в, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Вис стоя на согнутых руках на н/ж; махом одной и толчком другой вис прогнувшись на н/ж с опорой ступнями о в/ж; переворот в упор на н/ж; перемах; упор ноги врозь; перехват; поворот кругом; перемах; вис лежа на н/ж; – поворот; сед на левом бедре; соскок с поворотом направо кругом. �Содержание Вариант 17 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений с использованием гимнастической скамейки. И.п. – сед ноги врозь поперек, руки в стороны. 1 – поворот направо, руки за голову; 2 – и.п.; 3–4 – то же, поворот налево. 7. Запишите ОРУ без предмета. �Содержание 8. Запишите ОРУ в парах. 9. Запишите ОРУ с палкой. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – лежа на спине, палку вверх. 1–2 – перемах согнув ноги, палку за спину, руки согнуть в локтях, стойка на лопатках; 3–6 – держать; 7–8 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Из упора присев два кувырка вперед в группировке – перекатом назад стойка на лопатках (держать) – перекатом вперед в группировке лечь и подняться в мост – лечь, перекат назад с опорой руками за головой – перекатом вперед упор присев и о.с. 12. Запишите комбинацию построчной записью перекладина высокая, используя ниже перечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Вис; подъем силой; упор; перемах; упор ноги врозь; упор сзади; перехват; поворот кругом; опускание вперед; вис согнувшись; соскок махом назад. �Содержание Вариант 18 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений с использованием гимнастической скамейки. И.п. – стойка ноги врозь поперек, скамейка между ног. 1 – наклон вперед, взяться руками за края скамейки; 2 – оттолкнувшись ногами, упор присев на скамейке; 3 – соскок в упор стоя согнувшись, ноги врозь; 4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с палкой. �Содержание 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – сед, палку вверх. 1 – сед углом, палку вперед до касания носков ног; 2 – и.п.; 3–4 повторить; 5–6 – сгибая ноги, перемах в сед, палку под ногами; 7–8 – перемах назад в и.п. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах Брусья разной высоты: Из виса согнув ноги на в/ж; вис присев на н/ж; толчком ног, вис лежа ноги врозь правой; перемах левой в вис лежа на н/ж; перехватом рук упор сзади; махом вперед соскок с поворотом налево. 12. Запишите комбинацию построчной записью для контрольного урока брусья, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Размахивания в упоре на руках; подъем махом вперед; сед ноги врозь; перемах внутрь; упор углом (держать); мах; силой согнувшись, стойка на плечах (держать); опускание; перехват; соскок махом вперед (углом) вправо (влево). �Содержание Вариант 19 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений на гимнастической стенке. И.п. – стоя на полшага от стенки, хват согнутыми ру-ками на высоте плеч. 1–2 – разогнуть руки, спина прямая; 3–4 – и.п.; 5–6 – вис присев; 7–8 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с мячом. �Содержание 9. Запишите ОРУ в парах. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – сед, палку вверх. 1 – сед углом, палку вперед до касания носков ног; 2 – и.п.; 3–4 повторить; 5–6 – сгибая ноги, перемах в сед, палку под ногами; 7–8 – перемах назад в и.п. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Из упора присев кувырок назад и перекатом назад в группировке стойка на лопатках; перекатом вперед лечь и «мост»; опуститься в положение лежа на спине; сесть, руки в стороны; опираясь слева поворот в упор присев; кувырок вперед; прыжок вверх прогибаясь и о.с. 12. Запишите комбинацию построчной записью для контрольного урока брусья р/в, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Размахивания изгибами в висе на в/ж; вис присев; толчком двух ног подъем; упор; спад; вис стоя согнувшись; толчком ног вис углом; вис лежа; перехват; упор сзади; соскок махом вперед с поворотом налево (направо). �Содержание Вариант 20 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений на гимнастической стенке. И.п. – стоя ноги врозь на первой рейке, хват согнутыми руками на высоте плеч. 1–2 – разгибая руки, мах левой рукой в сторону с поворотом налево; 3–4 – и.п.; 5–8 – то же в другую сторону. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с палкой. �Содержание 9. Запишите ОРУ в парах. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – о.с, палка сзади. 1 – наклон, палку опустить, вниз к пяткам; 2–3 прижать палку к ногам и, сгибая руки, прижать грудь и голову к ногам; 4 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах. Перекладина высокая: Из виса подъем переворотом силой в упор (3,0б) – Перемах правой в упор ноги врозь (1,0б) – Спад назад и подъем на правой (завесом) в упор ноги врозь (3,0б) – Поворот налево кругом с перемахом левой назад в упор (1,0б) – Спад назад в вис согнувшись и соскок махом назад (2,0б). 12. Запишите комбинацию непрерывной записью, используя нижеперечисленные упражнения в равновесии, и выполните его: Ходьба: на носках, руки в стороны (за голову); с носка шаг правой, левую согнуть вперед, руки на пояс; перешагивание через набивные мячи с различным положением рук; поворот переступанием; стойка на носках; соскок в глубину толчком двух. �Содержание Вариант 21 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений на гимнастической стенке. И.п. – о.с. спиной к стенке, руки хватом за рейку за головой. 1–2 – разгибая руки, прогнуться; 3–4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – о.с, палку одним концом в левую руку, вторым на пол к стопе левой ноги. 1 – опираясь на палку, присед на левой, правую вперед; 2 – и.п.; 3–4 – повторить, 5–8 – то же на правой ноге, палка справа. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Кувырок вперед, правая скрестно перед левой и поворот кругом в упор присев (3,5б) – кувырок назад (3б) – перекатом назад стойка на лопатках (2,5б) – перекатом вперед упор присев и о.с. (1б) 12. Запишите комбинацию непрерывной записью, используя нижеперечисленные упражнения в равновесии, и выполните его: Стойка на двух и одной ноге с закрытыми глазами; ходьба с мячом на голове; стойка на одной ноге, другую ногу вперед (назад, в сторону); ходьба с высоким подниманием бедра с одновременным хлопком под ногой; поворот кругом переступанием с различными положениями рук. �Содержание Вариант 22 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений в парах. И.п.: первый – лицом к стенке на верхней рейке, согнув ноги, руки выше головы; второй – хват снаружи за голени партнера. 1–2 – первый – упор; второй – разогнуть руки вверх. 3–4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ на гимнастической скамейке. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – о.с, палку свободным концом на пол, руками опираться на палку. 1–3 – пружинящие приседания; 4 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах Брусья параллельные: На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев – (3,0б); мах вперед в сед ноги врозь – (1,0б); перемах правой сед на правом бедре, держась правой рукой, левую в сторону – (1,0б); хватом левой впереди правой ноги и толчком правой руки соскок с поворотом направо кругом, приземлиться левым боком к брусьям – (5,0б). 12. Запишите комбинацию построчной записью для контрольного нижеперечисленные упражнения в равновесии, и выполните его: урока, используя Ходьба большими шагами и выпадами; ходьба на носках; поворот прыжком на 90°, 180°; опускание в упор; упор стоя на колене. �Содержание Вариант 23 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений в парах. И.п.: первый – стоя лицом к стенке руками держится на уровне груди; второй – сидя на плечах партнера руками держится на уровне пояса. 3 – первый: присед. 4 – первый: встать. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ на гимнастической стенке. �Содержание 9. Запишите ОРУ в парах. 10. Запишите графической записью упражнение с гимнастической палкой. И.п. – о.с, палку вниз. 1 – левую назад на носок, палку на грудь; 2 – палку вверх, прогнуться; 3 – палку на грудь; 4 – приставляя левую, и.п. 5–8 – то же с правой. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Из упора присев кувырок назад и перекатом назад в группировке стойка на лопатках; перекатом вперед лечь и «мост»; опуститься в положение лежа на спине; сесть, руки в стороны; опираясь слева поворот в упор присев; кувырок вперед; прыжок вверх прогибаясь и о.с. 12. Запишите комбинацию непрерывной записью, используя нижеперечисленные упражнения в равновесии, и выполните его: Стойка продольно (вдвоем, втроем), взявшись за руки на одном из концов бревна; приставные шаги; поворот; переменный шаг; полуприсед с наклоном туловища вперед, руки назад-книзу; соскок прогибаясь, руки вперед – в стороны-вверх; о.с. �Содержание Вариант 24 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите опорный прыжок. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений в парах. И.п. – стоя, хватом за руки над скамейкой. 1–2 – поворачиваясь направо, приставной шаг с правой ноги на скамейку. 3–4 – шагом вправо встать на пол, поворачиваясь направо, и.п. 5–8 – то же в обратную сторону. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ на гимнастической скамейке. �Содержание 9. Запишите ОРУ в парах. 10. Запишите графической записью упражнение с гантелями: И.п. – стойка ноги врозь, гантели вниз. 1–2 – дугами наружу гантели вверх; 3–4 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах Брусья разной высоты: Из виса согнув ноги на в/ж; вис присев на н/ж; толчком ног, вис лежа ноги врозь правой; перемах левой в вис лежа на н/ж; перехватом рук упор сзади; махом вперед соскок с поворотом налево. 12. Запишите комбинацию построчной записью для контрольного нижеперечисленные упражнения в равновесии, и выполните его: урока, используя Вскок в упор, правую в сторону на носок; поворачиваясь налево, стойка на правом колене, руки в стороны; взявшись руками спереди, поставить левую согнутую ногу впереди правого колена и, вставая, три шага на носках; полуприседая, опуская руки вниз, поворот кругом; шаг левой, мах правой и хлопок под ногой; выпад правой, руки в стороны; с поворотом налево, приставляя левую, «старт пловца»; соскок прогибаясь. �Содержание Вариант 25 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений в парах. И.п. – первый: сидя на скамейке, руки вверх; второй: стоя сзади, одну ногу на скамейку, коленом к спине партнера, хватом за локти партнера. 1–3 – первый три движения руками назад с помощью партнера 4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. �Содержание 8. Запишите ОРУ на гимнастической скамейке. 9. Запишите ОРУ в парах. 10. Запишите графической записью упражнение с гантелями: И.п. – стойка гантели прижаты к затылку. 1 – наклон вперед; 2 — и.п. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Кувырок вперед, правая скрестно перед левой и поворот кругом в упор присев (3,5б) – кувырок назад (3б) – перекатом назад стойка на лопатках (2,5б) – перекатом вперед упор присев и о.с. (1б). 12. Запишите комбинацию построчной записью для контрольного урока перекладина низкая, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Из виса стоя сзади толчком двумя ногами вис согнувшись; вис прогнувшись; вис согнувшись и перемахом согнув ноги опускание в вис присев; вис стоя и прыжком упор; перемах правой в упор ноги врозь; соскок перемахом левой с поворотом направо. �Содержание Вариант 26 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите опорный прыжок. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений в парах. И.п.: первый – стоя лицом к стенке руками держится на уровне груди; второй – сидя на плечах партнера руками держится на уровне пояса. 3 – первый: присед. 4 – первый: встать. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ с гимнастической скамейкой. �Содержание 9. Запишите ОРУ в парах. 10. Запишите графической записью упражнение с гантелями: И.п. – сед, гантели в стороны. 1 – сед в группировке, гантели вперед; 2 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах. Гимнастическое бревно: И.п.: стоя под углом к бревну левым боком. С косого разбега толчком двух вскок в упор присев, левая спереди; встать, руки в стороны; шаг польки с левой, руки на пояс; шаг правой вперед и, приставляя левую сзади, поворот налево кругом, руки вверх и в стороны; шаг правой и мах левой вперед; шаг левой и мах правой вперед; выпад на правой, руки на пояс; упор стоя на правом колене, левую назад; соскок махом левой назад в стойку правым боком к бревну 12. Запишите комбинацию построчной записью для контрольного урока брусья, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев; мах ногами вперед, сед ноги врозь; перемахом правой сед на правом бедре, держась правой рукой, левую в сторону; хватом левой впереди правой ноги толчком правой руки соскок с поворотом направо кругом, приземлиться левым боком к брусьям. �Содержание Вариант 27 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений в парах. И.п. – стоя, хватом за руки над скамейкой. 1–2 – поворачиваясь направо, приставной шаг с правой ноги на скамейку. 3–4 – шагом вправо встать на пол, поворачиваясь направо, и.п. 5–8 – то же в обратную сторону. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите графической записью упражнение с гантелями: И.п. – сед, руки вверх, предплечья вниз назад. 1 – разогнуть руки, не опуская локти вперед, гантели вверх; 2 – согнуть руки в локтях, и.п. 11. Найдите ошибки в записи акробатических упражнений: Из упора присев два кувырка вперед в группировке – перекатом назад стойка на лопатках (держать) – перекатом вперед в группировке лечь и подняться в мост – лечь, перекат назад с опорой руками за головой – перекатом вперед упор присев и о.с. 12. Запишите комбинацию построчной записью для контрольного урока брусья р/в, используя нижеперечисленные упражнения в висах и упорах, и выполните его: Вис на в/ж, вис согнув ноги; вис присев на н/ж; толчком ног вис лежа ноги врозь правой; перемах левой в вис лежа на н/ж; перехватом рук упор сзади; махом вперед соскок с поворотом налево. �Содержание Вариант 28 1. Назовите конкретные термины ОРУ: 2. Укажите направление движения. 3. Назовите положение на снаряде. 4. Назовите гимнастический элемент. 5. Назовите акробатический элемент. 6. Найдите ошибки в записи упражнений в парах. И.п. – первый: сидя на скамейке, руки вверх; второй: стоя сзади, одну ногу на скамейку, коленом к спине партнера, хватом за локти партнера. 1–3 – первый три движения руками назад с помощью партнера 4 – и.п. 7. Запишите ОРУ без предмета. 8. Запишите ОРУ в парах. �Содержание 9. Запишите ОРУ с мячом. 10. Запишите графической записью упражнение с гантелями. И.п. – стойка гантели к плечам. 1 – прыжок ноги врозь, гантели вверх; 2 – и.п. 11. Найдите ошибки в записи упражнений на снарядах. Брусья параллельные: На концах жердей прыжком упор и передвижение до середины брусьев – (3,0б); мах вперед в сед ноги врозь – (1,0б); перемах правой, сед на правом бедре, держась правой рукой, левую в сторону – (1,0б); хватом левой впереди правой ноги и толчком правой руки соскок с поворотом направо кругом, приземлиться левым боком к брусьям – (5,0б). 12. Запишите вольное упражнение, выбирая нижеперечисленные акробатические упражнения, разновидности ходьбы и бега, повороты, прыжки, танцевальные шаги, и выполните его: Акробатическое упражнение кувырком вперед в стойку на лопатках, сед с наклоном, стойка на голове и руках согнув ноги; прыжок вверх прогибаясь. Виды шагов: с носка и на носках, приставной шаг, шаг выпадами, высокий бег и др. Прыжки: перекидной прыжок. Повороты махом, скрестный, одноименный, разноименный и круговой. Танцевальные шаги: вальса (вправо, влево, вперед, назад, в сторону, с поворотом). �Содержание Краткий словарь гимнастических терминов Боком – положение гимнаста правым или левым боком к снаряду. Взмах – движение ногой в любом направлении с возвращением в и.п. Вис – положение гимнаста на снаряде, при котором его плечи ниже оси снаряда. Волнообразные движения – соединения одновременных и последовательных движений в нескольких суставах, сгибание и разгибание в суставах ног, туловища и рук, которое совершается последовательно от одного сустава, к другому. Выкрут – переход из виса сзади в вис и, наоборот, вследствие вращательного движения в плечевых суставах. Выпад – положение или движение с выставлением ноги в любом направлении с одновременным ее сгибанием (выпад вправо, выпад левой вправо, глубокий выпад, выпад с наклоном). Глубина строя – расстояние между первой и последней шеренгой или между направляющим и замыкающим в колонне. Глубокий хват – хват, при котором кисти рук согнуты и лежат на снаряде сверху. Дистанция – расстояние между занимающимися в глубину строя в колонне. Замыкающий – занимающийся, двигающийся в колонне последним. Интервал – расстояние по фронту между занимающимися. Колонна – строй, в котором занимающиеся размещены в затылок друг другу. Круг – движение по замкнутой кривой. Кувырок – вращательное движение тела с последовательным касанием опоры и переворачиванием через голову. Лежа – горизонтальное положение на полу или снаряде лицом вниз, с прямыми ногами. Различают положение, лежа на спине, на боку, лежа с различными положениями рук и ног (лежа на спине руки вперед, лежа прогнувшись). Любое положение лежа, кроме лицом вниз, требует при названии дополнительного термина. Мах – колебательное движение тела, отдельных частей тела относительно других или всего тела относительно снаряда в одном направлении. Наклон – сгибание туловища. Направляющий – занимающийся, двигающийся в колонне первым в указанном направлении. Оборот – вращательное движение вокруг оси снаряда. Обратный хват – хват, при котором руки повернуты внутрь, а большие пальцы обращены наружу Одновременные движения – движения, выполняемые конечностями в одно и то же время. Одноименные движения – движения, совпадающие со стороной конечности. Ось – линия длины, проходящая через рабочую часть снаряда (длину жерди, грифа, коня и т. д.). �Содержание Переворот – круговое движение тела через голову с промежуточной опорой. Перекат – движение вперед или назад с последовательным касанием частей тела об опору без переворачивания через голову. Перемах – перемещение одной или обеих ног через снаряд. Поворот – вращательное движение тела вокруг гимнаста. вертикальной оси независимо от положения Подъем – переход гимнаста из более низкой опоры или из виса в упор. Поочередные движения – движения, выполняемые сначала одной конечностью (рукой или ногой), а затем другой. Поперек – положение, когда плечевая ось гимнаста перпендикулярна оси снаряда. Последовательные движения – движения, выполняемые одно за другим с отставанием одной конечности на половину амплитуды. Построение – первоначальное размещение занимающихся в строю. Присед – положение занимающегося на согнутых ногах (присед, полуприсед и т. д.) Продольно – положение, когда плечевая ось гимнаста параллельна оси снаряда. Размахивание – колебательное движение отдельных частей тела или всего тела относительно снаряда. Разноименные движения – движения, не совпадающие по направлению со стороной конечности. Разный хват – хват, при котором одна рука хватом сверху, другая – снизу Раскачивание – колебательное движение тела вместе со снарядом. Сальто – переворачивание занимающегося через голову в безопорном положении. Сед – положение, сидя на полу или снаряде. При опоре руками о пол или снаряд добавляется термин «упор» (упор сидя, упор сидя углом). Сзади – положение гимнаста спиной к снаряду или полу. Скрестный хват – хват, при котором правая рука будет в хвате с левой стороны над левой рукой или под ней. Скрещение – два перемаха, исполненные навстречу друг другу. Соскок – прыжок со снаряда. Спад – переход гимнаста из упора в вис или в более низкий упор. Спереди – положение гимнаста лицом к снаряду или полу. Стойка – вертикальное положение занимающегося, когда он стоит прямо. Стойки могут быть на руках, голове, лопатках и т. п. Стойка – вертикальное положение тела (голова вверх или вниз). Строевые упражнения – совместное действие в строю. Строй – размещение занимающихся для совместных действий. �Содержание Термином в гимнастике принято называть краткое условное наименование какого-либо двигательного действия. Тыл – сторона строя, противоположная фронту. Узкий хват – хват, при котором руки размещены уже плеч. Упор – положение с опорой руками, при котором плечи находятся выше или на одном уровне с точками опоры. Фланг – правая и левая оконечности строя. Фронт – сторона строя, в которую занимающиеся обращены лицом. Хват сверху – хват, при котором большие пальцы обращены внутрь (друг другу). Хват снизу – хват, при котором большие пальцы обращены наружу. Шаг – выставление ноги в любом направлении с перенесением тяжести на выставляемую ногу (например, шаг левой назад). Шеренга – строй, в котором занимающиеся размещены один возле другого на одной линии. Ширина строя – расстояние между флангами. Широкий хват – хват, при котором руки размешены шире плеч. �Содержание Библиографический список 1. Гимнастика. Методика преподавания : учебник для студентов учреждений высшего образования [Текст] / В. М. Миронов [и др.] ; под общ. ред. В. М. Миронова. – Москва : ИНФРА-М ; Минск : Новое знание, 2015. – 334 с. 2. Гимнастика : учебник для вузов [Текст] / М. Л. Журавин [и др.] ; под ред. М. Л. Журавина. – Москва : Академия, 2001. – 448 с. 3. Гимнастика : учебник [Текст] / В. М. Баршай, В. Н. Курысь, И. Б. Павлов. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2009. – 314 с. 4. Гимнастика : учебник для студентов [Текст] / В. М. Баршай, В.Н. Курысь, И. Б. Павлов. – Изд. 2-е, доп. и перераб. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2011. – 331 с. 5. Гимнастика и методика преподавания : учебник для вузов [Текст] / В. М. Смолевский [и др.] ; под. ред. В. М. Смолевского. – Москва : Физкультура и спорт, 1987. – 336 с. 6. Гречко, А. С. Гимнастика. Профессионально-педагогические умения : учебное пособие для студентов физкультурных учебных заведений [Текст] / А. С. Гречко, Г. Я. Соколов, Н. Л. Яковлев. – Омск : СибГАФК, 1998. – 64 с. 7. Методика преподавания гимнастики в школе : учебник для студентов вузов [Текст] / П. К. Петров. – 2-е изд., испр. и доп. – Москва : ВЛАДОС, 2014. – 447 с. 8. Петров, П. К. Гимнастика в школе : учебное пособие [Текст] / П. К. Петров. – Ижевск : Изд-во Удм. ун-та, 1996. – 460 с. 9. Попова, Е. Г. Общеразвивающие упражнения в гимнастике [Текст] / Е. Г. Попова. – Москва : Терра-Спорт, 2000. – 72 с. 10. Прикладная и оздоровительная гимнастика : учебно-методическое пособие [Текст] / под ред. Ж.Е. Фирилевой, А.Н. Кислого, О.В. Загрядской. – Санкт-Петербург : Детство-пресс ; Москва : ТЦ «СФЕРА», 2012. – 608 с. 11. Теория и методика обучения базовым видам спорта. Гимнастика : учебник для образовательных учреждений высшего профессионального образования [Текст] / Е. С. Крючек [и др.] ; под ред. Е. С. Крючек, Р. Н. Терехиной. – Москва, 2012. – 283 с. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Баженова Надежда Анатольевна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Гимнастическая терминология Subject The topic of the resource 1. Физическая культура и спорт. 2. Гимнастика. 3. строевые упражнения. 4. гимнастическая терминология. 5. гимнастические снаряды. 6. акробатические упражнения. 7. общеразвивающие упражнения (ОРУ). Description An account of the resource Гимнастическая терминология [Электронный ресурс] : учебное пособие / Н. А. Баженова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 18.7 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 214 с. В данном пособии раскрывается содержание основного раздела учебного курса «Гимнастика и методика преподавания», который призван дать студентам необходимые знания, умения и навыки по гимнастической терминологии. В учебном пособии предлагается теоретический материал, контрольные вопросы, задания для самостоятельной работы, учебной практики, текущего и итогового контроля. Данное пособие ориентирует на самостоятельные занятия по овладению знаниями и умением применять правила гимнастической терминологии. Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, направление 050100.62 «Педагогическое образование», профиль подготовки «Физическая культура», а также может представлять интерес для преподавателей высших, средних и общеобразовательных учебных заведений физической культуры. Creator An entity primarily responsible for making the resource Баженова, Надежда Анатольевна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 21.03.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/bazhenova.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/bazhenova.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/bazhenova.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/bazhenova.exe</a> акробатические упражнения Гимнастика гимнастическая терминология гимнастические снаряды общеразвивающие упражнения (ОРУ) строевые упражнения Физическая культура и спорт http://books.altspu.ru/files/original/59/49/_[650].png 13d8d3d9327b210ed9af9504f32f496b http://books.altspu.ru/files/original/59/49/Osnovy_informatcionnoi_kultury[pdf].pdf f3bca32b7d06668c75984ddb76ee5a32 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» Л.М. Бронникова ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ Учебное пособие Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2016 Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–811–2 �Содержание УДК 37.031.2 ББК 70/79я73 Б885 Бронникова, Л.М. Основы информационной культуры [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л.М. Бронникова. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. – Систем. требования: ПК с Intel® x86-совместимый процессором, Pentium® 4 или новее ; 512 Мб ОЗУ ; Windows XP и более поздние ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA видеоплата и монитор (1024х768, 16 млн цв.) ; мышь. ISBN 978–5–88210–811–2 Рецензенты: Пышнограй Г.В., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГПУ); Решетникова Н.В., кандидат педагогических наук, доцент (АКИПКРО) В учебном пособии рассматриваются основные разделы дисциплины «Основы информационной культуры»: информация в современном мире, информационная культура, информационные ресурсы и услуги, виды и типы библиотек, возможности глобальной сети Интернет, аналитико-синтетическая переработка информации, описание студенческих учебно-исследовательских работ. По каждому разделу предложены теоретические сведения и задания для самоконтроля обучающихся. Учебное пособие предназначено для студентов вузов, может оказаться полезным преподавателям и обучающимся других образовательных организаций. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 28.01.2016 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: ПК с Intel® x86-совместимый процессором, Pentium® 4 или новее ; 512 Мб ОЗУ ; Windows XP и более поздние ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA видеоплата и монитор (1024х768, 16 млн цв.) ; мышь. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 7 389 КБ. Дата подписания к использованию: 28.03.2016 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Введение 1. Информация в современном мире 2. Информационная культура: понятие, сущность 3. Информационные ресурсы и услуги 4. Виды и типы библиотек 5. Глобальная сеть Интернет 6. Аналитико-синтетическая переработка информации 7. Студенческие учебно-исследовательские работы Библиографический список �Содержание Введение В современном мире в реальной и в виртуальной среде ежедневно появляется огромное количество новой информации, и вместе с ней растет объем и уровень сложности навыков ее поиска, сбора, обработки, анализа и синтеза. Поэтому сегодня жизненно необходимым становится умение ориентироваться в информационном потоке, используя при этом различные информационные ресурсы и методики поиска. Современные образовательные стандарты делают акцент на использование в учебном процессе электронного обучения, дистанционных образовательных технологий. Все больше часов (зачетных единиц) отводится на самостоятельную работу, часть материала отводится на самостоятельное изучение. Это существенно активизирует самостоятельную работу обучающихся с информационными источниками, требует от них определенного уровня информационной культуры. В целях формирования информационной культуры будущего специалиста в вузе изучается курс «Основы информационной культуры». Курс «Основы информационной культуры» направлен на воспитание информационной культуры бакалавров, обучение доступу к информации, формирование навыков работы с информацией и применение их на практике. Данное пособие дополняет серию изданий в помощь изучению названной дисциплины. Цель изучения курса: приобрести знания, умения и навыки работы с информацией, информационного самообеспечения образовательной деятельности. Достижение этой цели осуществляется в ходе решения следующих задач: 1) формирование информационного мировоззрения личности; 2) освоение рациональных приемов и способов самостоятельного поиска информации в соответствии с задачами учебного процесса; 3) отработка алгоритмов поиска по разным типам запросов, возникающим у студентов в ходе их учебной деятельности; 4) обучение методам поиска всех типов и видов документов по различным источникам и базам данных; 5) формирование навыков информационного самообслуживания как в условиях традиционной библиотеки, так и в Интернете; 6) освоение технологии подготовки и оформления результатов самостоятельной учебной и научно-исследовательской деятельности (подготовка рефератов, докладов и т. п.). В структуре общей образовательной программы вуза курс «Основы информационной культуры» строится на синтезе достижений нескольких дисциплин: информатики, библиотековедения, библиографии, документоведения, делопроизводства. Для его овладения бакалаврам необходимы среднее образование в области истории, науки, культуры и навыки компьютерной грамотности. В результате изучения курса «Основы информационной культуры» обучающийся должен знать: – основную миссию библиотек в процессе развития человеческой цивилизации – собирание, сохранение и предоставление для общественного использования всевозможных источников полезной информации, как «общей памяти человечества», необходимой для передачи знаний из поколения в поколение, для научно-технического прогресса; �Содержание – систему научных библиотек и их современное состояние России (национальных, региональных, вузовских); – основные правила пользования библиотекой; – справочно-правовые системы; – отраслевые ресурсы Интернет по избранной специальности; – систему научной литературы, типы и виды научных документов; – разные виды чтения (сплошное и выборочное, ознакомительное и изучающее); – правила библиографического описания печатных и электронных документов; – разные виды библиографических ссылок и правила их оформления; – требования к списку использованной литературы; – необходимость непрерывного образования, совершенствования профессионализма информационной компетентности, а также личной информационной культуры. и В результате изучения курса «Основы информационной культуры» обучающийся должен уметь: – вести поиск информации в различных ресурсах; – составлять список опубликованных по теме документов; искать о них информацию в электронном и карточном каталогах библиотеки; – изучать тексты научных книг и статей, находить в них главные идеи, аргументы, факты, выводы; читать тексты изучающим чтением с выписками, тезисами, конспектами; – составлять аналитический обзор литературы по теме со своими выводами; – грамотно заимствовать у других авторов цитаты, идеи, таблицы, схемы, иллюстрации; оформлять на все заимствования библиографические ссылки; выбирать и использовать разные виды ссылок; – правильно оформлять список использованной литературы; – соблюдать правовые и этические нормы при использовании найденной и сгенерированной информации для достижения желаемых результатов. В результате изучения курса «Основы информационной культуры» обучающийся должен владеть: – информационной культурой, навыками самостоятельного и грамотного поиска информации в различных источниках; – культурой чтения изучаемых научных текстов, гипертекстов, навыками их аналитико-синтетической переработки: составления библиографических описаний, аннотаций, рефератов, обзоров научной литературы; – культурой мышления и навыками анализа, осмысления, систематизации, интерпретации, обобщения изученных фактов; – культурой оформления учебно-исследовательских и научно-исследовательских работ на основе соблюдения общих требований стандартов организаций, государственных стандартов и норм авторского права. �Содержание Успешное формирование перечисленных знаний, умений и навыков происходит, в том числе, и в рамках выполнения лабораторных работ, примерное содержание которых предлагается в Приложении. Выполнение цикла лабораторных работ предполагает приобретение навыков составления поисковых запросов, проведения самостоятельного поиска по различным информационным ресурсам и др. �Содержание Библиографический список 1. Аверченков, В.И. Основы научного творчества [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.И. Аверченков, Ю.А. Малахов. – Москва : Флинта, 2011 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 2. Биктимиров, М.Р. Перспективные аналитические исследования в глобальных сетях: методология и технология [Текст] / М.Р. Биктимиров, А.Ю. Щербаков. – Казань : Казанский ун-т, 2012. – 334 с. 3. Блюменау, Д.И. Информационный анализ/синтез для формирования вторичного потока документов [Текст] : учеб.-практ. пособие / Д.И. Блюменау. – Санкт-Петербург, 2002. – 226 с. 4. Блюмин, А.М. Мировые информационные ресурсы [Текст] : учеб. пособие / А.М. Блюмин, Н.А. Феоктистов. – Москва : Дашков и К°, 2012. – 212 с. 5. Блюмин, А.М. Мировые информационные ресурсы [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.М. Блюмин, Н.А. Феоктистов. – Москва : Дашков и К°, 2010. // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 6. Бурлачков, В.К. Энергия. Время. Информация: эволюция научных представлений [Текст] / В.К. Бурлачков. – Москва : ЛИБРОКОМ, 2012. – 132 с. 7. Голубцов, С.Б. Поиск информации: в вопросах и ответах [Текст] : учеб. пособие / С.Б. Голубцов. – Санкт-Петербург : ИВЭСЭП, Знание, 2011. – 122 с. 8. Городнова, А.А. Информационная культура и информационное общество [Текст] : учеб.-метод. пособие / А.А. Городнова. – Нижний Новгород : Изд-во Волго-Вятской академии гос. службы, 2010. – 134 с. 9. Груздева, М.Л. Концепция формирования информационной культуры студентов вуза [Текст] : монография / М.Л. Груздева.– Нижний Новгород : ВГИПУ, 2011. – 242 с. 10. Костров, А.В. Основы информационного менеджмента [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.В. Костров. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Финансы и статистика, 2009 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 11. Лукашевич, Н.В. Тезаурусы в задачах информационного поиска [Электронный ресурс] / Н.В. Лукашевич. – Москва : Изд-во Московского университета, 2011 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 12. Монахова, Г.А. Инструментальная модель формирования информационной культуры: элективный курс "Современные педагогические технологии" [Текст] / Г.А. Монахова, Д.Н. Монахов, Н.В. Монахов ; МГУ им. М.В. Ломоносова. – Москва : МАКС Пресс, 2010. – 98 с. 13. Рощин, С.М. Как быстро найти нужную информацию в Интернете [Электронный ресурс] / С.М. Рощин. – Москва : Изд-во: ДМК Пресс, 2010 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 14. Сапаров, В.Е. Дипломный проект от А до Я [Электронный ресурс] / В.Е. Сапаров. – Москва : СОЛОН-ПРЕСС, 2009 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 15. Скворцов, Л.В. Информационная культура и цельное знание [Текст] / Л.В. Скворцов. – Москва : МБА, 2011. – 102 с. �Содержание 16. Соловьев, В.П. Безопасность коммуникационных сетей [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.П. Соловьев, Н.Н. Пуцко, А.Е. Шубарев. – Москва : Миит, 2007// ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 17. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования. Уровень высшего образования: бакалавриат. Направление подготовки: 44.03.01 Педагогическое образование. Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 04.12.2015 г., № 1426 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: www.fgosvo.ru (Дата обращения: 17.01.2016). 18. Хохлова, Н.М Информационные технологии. Телекоммуникации [Электронный ресурс] : конспект лекций / Н.М. Хохлова. – Москва : Приор-издат, 2010 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 19. Чеверева, С. А. Формирование информационной культуры экономиста-менеджера АПК [Текст] : монография / С.А. Чеверева. – Самара : Изд-во Самарского гос. экономического ун-та, 2010. – 202 с. 20. Шарков, Ф.И. Интерактивные электронные коммуникации (возникновение "Четвертой волны") [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Ф.И. Шарков. – Москва : Дашков и К°, 2009// ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. 21. Шкляр, М.Ф. Основы научных исследований [Электронный ресурс] : учеб. пособие для бакалавров / М.Ф. Шкляр. – Москва : Дашков и К°, 2012 // ЭБС «Книгафонд». – Режим доступа: http://www.knigafund.ru. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Бронникова, Лариса Михайловна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Основы информационной культуры Subject The topic of the resource 1. Библиотечное дело. 2. Общие вопросы библиотечного дела. 3. информационная культура. 4. информационные ресурсы. 5. информационные услуги. 6. Интернет. 7. студенческие исследования. 8. учебно-исследовательские работы. 9. студенческие работы. 10. аналитико-синтетическая переработка информации (АСПИ). 11. библиотеки Description An account of the resource Основы информационной культуры [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. М. Бронникова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 7.28 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 69 с. В учебном пособии рассматриваются основные разделы дисциплины «Основы информационной культуры»: информация в современном мире, информационная культура, информационные ресурсы и услуги, виды и типы библиотек, возможности глобальной сети Интернет, аналитико-синтетическая переработка информации, описание студенческих учебно-исследовательских работ. По каждому разделу предложены теоретические сведения и задания для самоконтроля обучающихся. Учебное пособие предназначено для студентов вузов, может оказаться полезным преподавателям и обучающимся других образовательных организаций. Creator An entity primarily responsible for making the resource Бронникова, Лариса Михайловна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 28.03.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova2.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/bronnikova2.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova2.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/bronnikova2.exe</a> аналитико-синтетическая переработка информации (АСПИ) библиотеки Библиотечное дело Интернет информационная культура информационные ресурсы информационные услуги Общие вопросы библиотечного дела студенческие исследования студенческие работы учебно-исследовательские работы http://books.altspu.ru/files/original/63/50/_[650].jpg 3bcf0c3c702dc35e6b7bd1e4cc8fe113 http://books.altspu.ru/files/original/63/50/dronova.pdf 97f8361100762ede8b5d322b31bb4a55 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» Е.Н. Дронова ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Учебное пособие Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2016 Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978–5–88210–814–3 �Содержание УДК 002(075)+510(075) ББК 32.97я73+22.1я73 Д758 Дронова, Е.Н. Основные алгоритмические модели [Электронный ресурс] : учебное пособие / Е.Н. Дронова. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. – Систем. требования: ПК с Intel® x86-совместимый процессором, Pentium® 4 или новее ; 512 Мб ОЗУ ; Windows XP и более поздние ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA видеоплата и монитор (1024х768, 16 млн цв.) ; мышь. ISBN 978–5–88210–814–3 Рецензенты: Алтухов Ю.А., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГТУ); Афонина М.В., кандидат педагогических наук, доцент (АлтГПУ) В пособии представлено описание таких алгоритмических моделей, как класс рекурсивных функций, машина Тьюринга, машина Поста, машины произвольного доступа, нормальные алгоритмы Маркова. Особое внимание уделено разработке вычислительных алгоритмов в указанных алгоритмических моделях. Пособие предназначено студентам педагогических вузов, изучающих теорию алгоритмов. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 28.01.2016 г. Деривативное электронное издание. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: ПК с Intel® x86-совместимый процессором, Pentium® 4 или новее ; 512 Мб ОЗУ ; Windows XP и более поздние ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA видеоплата и монитор (1024х768, 16 млн цв.) ; мышь. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 8 166 КБ. Дата подписания к использованию: 30.03.2016 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Предисловие Глава 1. «Алгоритм» как центральное понятие теории алгоритмов 1.1. Развитие понятия алгоритма 1.2. Возникновение и основные этапы развития теории алгоритмов как науки 1.3. Алгоритмы: интуитивное представление об алгоритмах, исполнитель алгоритма, свойства и способы записи алгоритмов 1.3.1. Интуитивное представление об алгоритмах 1.3.2. Исполнитель алгоритма 1.3.3. Свойства алгоритмов 1.3.4. Способы записи алгоритмов 1.4. Базовые алгоритмические структуры Вопросы к главе 1 Задания к главе 1 Глава 2. Класс рекурсивных функций 2.1. Введение в теорию рекурсивных функций 2.2. Примитивно рекурсивные функции 2.3. Частично рекурсивные функции 2.4. Взаимосвязь между различными классами рекурсивных функций 2.5. Тезис Черча Вопросы к главе 2 Задания к главе 2 Глава 3. Машина Тьюринга 3.1. Назначение и предпосылки создания машины Тьюринга 3.2. Устройство машины Тьюринга 3.3. Команды и порядок работы машины Тьюринга 3.4. Вычислимые по Тьюрингу функции 3.5. Основные операции над машинами Тьюринга 3.6. Тезис Тьюринга 3.7. Машины Тьюринга и современные электронно-вычислительные машины Вопросы к главе 3 �Содержание Задания к главе 3 Глава 4. Машина Поста 4.1. Назначение и устройство машины Поста 4.2. Команды и порядок работы машины Поста 4.3. Примеры типичных программ машины Поста 4.4. Тезис Поста Вопросы к главе 4 Задания к главе 4 Глава 5. Машины произвольного доступа 5.1. Устройство и порядок работы машины произвольного доступа 5.2. Вычисление функций на машине произвольного доступа 5.3. Композиция программ машин произвольного доступа Вопросы к главе 5 Задания к главе 5 Глава 6. Нормальные алгоритмы Маркова 6.1. Марковские подстановки 6.2. Нормальные алгоритмы и их применение к словам 6.3. Нормально вычислимые функции 6.4. Способы сочетания нормальных алгоритмов 6.5. Принцип нормализации Маркова Вопросы к главе 6 Задания к главе 6 Заключение Ответы, указания и решения Глава 1 Глава 2 Глава 3 Глава 4 Глава 5 Глава 6 Библиографический список �Содержание Предисловие Данное учебное пособие предназначено для тех, кто изучает теорию алгоритмов в высших учебных заведениях. Автор знакомит будущих специалистов с основными понятиями теории алгоритмов, описывает основные алгоритмические модели и правила их функционирования, показывает взаимосвязь теории алгоритмов со школьным курсом информатики. В первой главе представлен материал о сущности понятия алгоритма, о развитии и использовании его в науке, о становлении и задачах теории алгоритмов, об основных направлениях ее применения. Главы 2, 3, 4, 5, 6 посвящены различным алгоритмическим моделям; здесь описаны назначение, устройство и функционирование следующих формальных моделей алгоритма: класс частичнорекурсивных функций, машина Тьюринга, машина Поста, машины произвольного доступа, нормальные алгоритмы Маркова. Все главы в пособии завершаются списком вопросов и заданий. Вопросы, приведенные в конце каждой главы, помогут вам понять, хорошо ли вы усвоили новый материал, и ускорят процесс его повторения. Подобранные нами задачи к главам весьма разнообразны – среди них есть простые, а есть и такие, для решения которых нужно проявить смекалку. Мы надеемся, что каждый здесь найдет себе задачи по вкусу. В нашем пособии, как и в любом другом, вам встретятся новые термины. Для удобства они напечатаны курсивом. Ключевые идеи и слова в тексте также выделены курсивом. Мы не считаем важным заучивать их наизусть, но понимать их смысл и уметь применять на практике вы должны научиться. С этой целью изложенный нами в пособии материал иллюстрирован большим количеством примеров. Часть этих примеров позволит вам более глубоко усвоить сущность новых терминов, часть – освоить правила оперирования с ними и научиться применять их при решении задач. Часть ключевых задач, позволяющих усвоить новый материал на более высоком уровне, приведена не в содержании соответствующей главы, а вынесена в список заданий к ней. Решение этих задач предлагается найти самостоятельно, что потребует не только понимания изученного материала, но и проявления творчества. Однако если решение какой-либо задачи вам не удастся найти – не огорчайтесь: подробное решение ключевых задач представлено нами в конце пособия, там же вы сможете найти ответы и указания к решению большинства задач, приведенных в конце всех глав. В завершении подчеркнем, что данное пособие не является исчерпывающим руководством по изучению основных алгоритмических моделей. Оно призвано помочь студентам более тщательно разобраться с соответствующими основными понятиями, научиться решать типовые задачи и позволит в дальнейшем (при написании курсовых, дипломных работ) приступить уже со знанием дела к изучению более подробной специальной литературы. �Содержание Глава 1. «Алгоритм» как центральное понятие теории алгоритмов § 1. Развитие понятия алгоритма § 2. Возникновение и основные этапы развития теории алгоритмов как науки § 3. Алгоритмы: интуитивное представление об алгоритмах, исполнитель алгоритма, свойства и способы записи алгоритмов § 4. Базовые алгоритмические структуры Вопросы к главе 1 Задания к главе 1 �Содержание 1.1. Развитие понятия алгоритма Понятие «алгоритм» давно является привычным не только для математиков. Оно является концептуальной основой разнообразных процессов обработки информации, возможность автоматизации таких процессов обеспечивается наличием соответствующих алгоритмов. В упрощенном понимании «алгоритм» – это то, что можно запрограммировать на ЭВМ. Термин «алгоритм» происходит от algorithmi – латинской формы написания великого математика средневекового Востока Аль-Хорезми. Он жил приблизительно с 783 по 850 гг. в городе Ургенче – областном центре современной Хорезмской области Узбекистана. Его научные работы посвящены правилам выполнения арифметических действий в десятичной системе счисления. Роль их в развитии математики огромна. Связано это во многом с тем, что в XI веке еще не была разработана математическая символика (знаки операций, скобки, буквенные обозначения и т. п.). В связи с этим, Аль-Хорезми в своих работах стремился выработать такой стиль четкого, строгого словесного предписания, который бы не позволил читателям уклониться от предписанных действий или что-либо пропустить в них. Разработанные этим ученым правила выполнения арифметических действий над десятичными числами начинались (в латинском варианте) словами «Алгоризми сказал». С течением времени это выражение преобразовалось во фразу «алгоритм гласит». Таким образом, слово «алгоритм» происходит от имени ученого Аль-Хорезми и как научный термин первоначально обозначало лишь правила выполнения арифметических действий в десятичной системе счисления. С течением времени слово «алгоритм» приобрело более широкий смысл и стало обозначать не только правила цифровых вычислений десятичной позиционной арифметики, но и любые точные правила действий в произвольных процессах, следуя которым искомые величины решаемых задач можно было найти из исходных данных. Вплоть до 30-х годов XX века понятие алгоритма оставалось интуитивно понятным: под алгоритмом понимали конечную последовательность элементарных действий, направленных на решение поставленной задачи. К этому времени были известны такие яркие примеры алгоритмов, как алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, алгоритм Гаусса для решения системы линейных уравнений над полем, алгоритм нахождения рациональных корней многочленов одного переменного с рациональными коэффициентами, алгоритм разложения многочлена одного переменного над конечным полем на неприводимые множители и т. д. Указанные математические проблемы решены путем указания конкретных разрешающих процедур (алгоритмов). Иными словами, для доказательства алгоритмической разрешимости той или иной проблемы достаточно представить алгоритм ее решения. Наряду с алгоритмически разрешимыми проблемами к началу XX века были сформулированы такие проблемы, алгоритмическая разрешимость которых была маловероятна. В связи с этим, возник вопрос «Как доказать, что та или иная проблема (задача) не имеет алгоритма решения (алгоритмически неразрешима)»? Данный вопрос позволил немного прояснить сложившуюся на тот период времени ситуацию: для того, чтобы можно было строго математически доказать отсутствие алгоритма решения некоторой задачи, необходимо сначала строго математически определить само понятие алгоритма. Таким образом, в среде ученых обострился следующий вопрос: «Как формализовать понятие "алгоритм"?» �Содержание 1.2. Возникновение и основные этапы развития теории алгоритмов как науки Начальной точкой отсчета современной теории алгоритмов можно считать теорему о неполноте символических логик, доказанную немецким математиком Куртом Геделем в 1931 году. В этой работе было показано, что некоторые математические проблемы не могут быть решены алгоритмами из определенного класса. Важность результата Геделя связана с вопросом о том, совпадает ли использованный им класс алгоритмов с классом всех алгоритмов в интуитивном понимании этого термина. Эта работа дала толчок к поиску и анализу различных формализаций понятия «алгоритм». Первые фундаментальные работы по теории алгоритмов были опубликованы в середине 1930-х годов Аланом Тьюрингом, Алоизом Черчем и Эмилем Постом. Предложенные ими машина Тьюринга, машина Поста и класс частично-рекурсивных функций Черча были первыми формальными описаниями алгоритма, использующими строго определенные модели вычислений (алгоритмическими моделями). Сформулированные гипотезы Тьюринга, Поста и Черча постулировали эквивалентность предложенных ими моделей вычислений и интуитивного понятия алгоритма. Важным развитием этих работ стала формулировка и доказательство существования алгоритмически неразрешимых проблем. В 1950-е годы существенный вклад в развитие теории алгоритмов внесли работы А.Н. Колмогорова и А.А. Маркова. Формальные модели Поста, Тьюринга и Черча, равно как и модели А.Н. Колмогорова и А.А. Маркова, оказались эквивалентными в том смысле, что любой класс проблем, разрешимых в одной модели, разрешим и в другой. Появление доступных ЭВМ и существенное расширение круга решаемых на них задач привели в 1960– 70-х годах к практически значимым исследованиям алгоритмов и вычислительных задач. На этой основе в данный период оформились следующие разделы в теории алгоритмов: − классическая теория алгоритмов (формулировка задач в терминах формальных языков, понятие задачи разрешения, описание сложностных классов задач, формулировка в 1965 году Эдмондсом проблемы P  NP , открытие класса NP -полных задач и его исследование и др.); − теория асимптотического анализа алгоритмов (понятие сложности и трудоемкости алгоритма, критерии оценки алгоритмов, методы получения асимптотических оценок, в частности для рекурсивных алгоритмов, асимптотический анализ трудоемкости или времени выполнения, получение теоретически нижних оценок сложности задач); − теория практического анализа вычислительных алгоритмов (получение явных функций трудоемкости, практически значимые критерии качества алгоритмов, методики выбора рациональных алгоритмов). Обобщая исследования в различных разделах теории алгоритмов, можно выделить следующие основные задачи и направления развития, характерные для современной теории алгоритмов: − формализация понятия «алгоритм» и исследование формальных алгоритмических систем (моделей вычислений); − доказательство алгоритмической неразрешимости задач; − формальное доказательство правильности и эквивалентности алгоритмов; − классификации задач, определение и исследование сложностных классов; − доказательство теоретических нижних оценок сложности задач; �Содержание − получение методов разработки эффективных алгоритмов; − асимптотический анализ сложности итерационных алгоритмов; − исследование и анализ рекурсивных алгоритмов; − получение явных функций трудоемкости алгоритмов; − разработка классификаций алгоритмов; − исследование емкостной (по ресурсу памяти) сложности задач и алгоритмов; − разработка критериев сравнительной оценки ресурсной эффективности алгоритмов и методов их сравнительного анализа. Полученные в теории алгоритмов результаты находят сегодня достаточно широкое практическое применение, в рамках которого можно выделить два аспекта: теоретический и практический. Теоретический аспект: при исследовании некоторой задачи результаты теории алгоритмов позволяют ответить на вопрос – является ли эта задача в принципе алгоритмически разрешимой? В случае алгоритмической разрешимости задачи следующим важным теоретическим вопросом является вопрос о принадлежности этой задачи к классу NP-полных задач. При утвердительном ответе можно говорить о существенных временных затратах для получения точного решения этой задачи для больших размерностей исходных данных, иными словами – об отсутствии быстрого точного алгоритма ее решения. Практический аспект: методы и методики теории алгоритмов, в основном асимптотического и практического анализа, позволяют осуществить: − рациональный выбор из известного множества алгоритмов решения данной задачи, учитывающий особенности их применения в разрабатываемой программной системе; − получение временных оценок решения сложностных задач на основе функции трудоемкости; − получение достоверных оценок невозможности решения некоторой задачи за определенное время; − разработку и совершенствование эффективных алгоритмов решения практически значимых задач в области обработки информации. �Содержание 1.3. Алгоритмы: интуитивное представление об алгоритмах, исполнитель алгоритма, свойства и способы записи алгоритмов Понятие «алгоритм» является центральным понятием теории алгоритмов, поэтому рассмотрим его более подробно. 3.1. Интуитивное представление об алгоритмах 3.2. Исполнитель алгоритма 3.3. Свойства алгоритмов 3.4. Способы записи алгоритмов �Содержание 1.3.1. Интуитивное представление об алгоритмах Первоначально под словом «алгоритм» понимали способ выполнения арифметических действий над десятичными числами (см. 1.1). В дальнейшем это понятие стали использовать для обозначения любой последовательности действий, приводящей к решению поставленной задачи. Современный человек понимает под алгоритмом четкую систему инструкций о выполнении в определенном порядке некоторых действий для решения всех задач какого-то данного класса. Многочисленные и разнообразные алгоритмы окружают нас буквально во всех сферах жизни и деятельности. Многие наши действия доведены до бессознательного автоматизма, мы порой и не осознаем, что они регламентированы определенным алгоритмом четкой системой инструкций. Например, наши действия при входе в продуктовый магазин (сдать свою сумку, получить корзину с номером, пройти в торговый зал, заполнить корзину продуктами, оплатить покупку в кассе, предъявить чек контролеру, взять свою сумку, переложить в нее продукты, сдать корзину, покинуть магазин). Вместе с тем, есть немало таких действий, выполняя которые, мы тщательно следуем той или иной инструкции. Это непривычные действия, профессионально нам не свойственные. Например, если вы никогда раньше не пекли торт, то, получив рецепт его приготовления, вы будете стараться выполнить в указанной последовательности все его предписания. Говоря об алгоритмах, нельзя не подчеркнуть их огромную роль в математике. Каждый из вас буквально с первых классов школы при изучении математики встретился с большим количеством алгоритмов. Это, прежде всего, алгоритмы выполнения четырех арифметических действий над различными числами натуральными, целыми, дробными, комплексными; алгоритмы геометрических построений с помощью циркуля и линейки (деление пополам отрезка и угла, опускание и восстановление перпендикуляров, проведение параллельных прямых); алгоритмы вычисления площадей и объемов различных геометрических фигур и т. д. При изучении математики в вузе вами были освоены алгоритм вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел (алгоритм Евклида), алгоритм нахождения определителей различных порядков, алгоритм вычисления интегралов от рациональных функций и т. д. Иными словами, алгоритмы широко распространены как в практике, так и в науке, и требуют более внимательного к себе отношения и тщательного изучения. Следует выделить следующую особенность понятия «алгоритм»: оно не является формальным математическим понятием, так как в его определении используются такие неуточняемые понятия, как «точные правила действий», «последовательность элементарных действий» и т. д. Вместе с тем, описание понятия алгоритма раскрывает его суть; употребляя термин «алгоритм», мы можем пояснить его смысл. Поэтому принято говорить, что «алгоритм» это интуитивное понятие. Из разнообразных вариантов словесного описания сущности понятия «алгоритм» приведем, на наш взгляд, наиболее удачные [3]: алгоритм (по А.Н. Колмогорову) это всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи; алгоритм (по А.А. Маркову) это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату. �Содержание Подчеркнем, что, несмотря на существование различных определений понятия «алгоритм», в явной или неявной форме все эти определения постулируют следующий ряд требований к алгоритму: − алгоритм должен содержать конечное количество элементарно выполнимых предписаний, т. е. удовлетворять требованию конечности записи; − алгоритм должен выполнять конечное количество шагов при решении задачи, т. е. удовлетворять требованию конечности действий; − алгоритм должен быть единым для всех допустимых исходных данных, т. е. удовлетворять требованию универсальности; − алгоритм должен приводить к правильному по отношению к поставленной задаче решению, т. е. удовлетворять требованию правильности. �Содержание 1.3.2. Исполнитель алгоритма Любой алгоритм существует не сам по себе, а предназначен для определенного исполнителя действий. Так, алгоритм вычисления производной для полинома фиксированной степени вполне ясен тем, кто знаком с основами математического анализа, но для прочих он может оказаться совершенно непонятным. Исполнитель алгоритма это тот объект (или субъект), для управления которым составляется алгоритм. Иными словами, исполнитель алгоритма это некоторая абстрактная или реальная система (техническая, биологическая или биотехническая), способная выполнить действия, предписываемые алгоритмом. Исполнителем алгоритма может быть человек, группа людей, робот, станок, компьютер, язык программирования и т. д. Его характеризуют: − среда; − система команд; − элементарные действия; − отказы. Среда (или обстановка) это «место обитания» исполнителя. Система команд исполнителя (СКИ) это конечное множество команд, которые понимает исполнитель, т. е. умеет их выполнять. Для каждой такой команды должны быть заданы условия применимости (в каких состояниях среды может быть выполнена команда) и описаны результаты выполнения команды. Элементарное действие совершается исполнителем после вызова какой-либо команды. Отказы исполнителя возникают, если команда вызывается при недопустимом для нее состоянии среды. В качестве примера рассмотрим широко известного учебного исполнителя Кенгуренка. Среда исполнителя. На экране присутствуют три основных элемента среды учебного исполнителя: строка меню, поле программы и поле рисунка, на котором находится Кенгуренок. На поле рисунка неявно (т. е. ее не видно) нанесена прямоугольная сетка. Длину стороны одной квадратной ячейки этой сетки назовем шагом. Размер всего поля 15 шагов по горизонтали и 19 шагов по вертикали. Система команд исполнителя. Команды делятся на команды установки режимов (определенного состояния учебного исполнителя, в котором могут выполняться определенные действия) и команды управления Кенгуренком. Команды установки режимов следующие: − пуск (запуск на исполнение готовой программы в пошаговом автоматическом режиме); − отладка (выполнение программы в отладочном режиме с остановкой после каждой команды); − установка (очистка поля и установка положения Кенгуренка с помощью клавиш перемещения курсора); − разное (содержит подменю с дополнительными командами работы с файлами печать программы, печать рисунка, стереть программу); чтение, запись, �Содержание − результат (мгновенное получение результата работы программы исполнения). автоматический режим Команды управления Кенгуренком следующие: − шаг (перемещение Кенгуренка на один шаг вперед с рисованием линии); − поворот (поворот Кенгуренка на 900 против часовой стрелки); − прыжок (перемещение Кенгуренка на один шаг вперед без рисования линии); − пока <условие> повторять <тело цикла> конец цикла (цикл с предусловием); − если <условие> то <серия 1> иначе <серия 2> конец ветвления (полное ветвление); − если <условие> то <серия> конец ветвления (неполное ветвление); − сделай <имя процедуры> (обращение к процедуре). Отметим еще одну важнейшую характеристику исполнителя алгоритма: исполнитель не вникает в смысл того, что он делает! Он действует формально, т. е. отвлекается от содержания поставленной задачи и только строго согласно алгоритму выполняет некоторые инструкции, действия. Целесообразность же предусматриваемых алгоритмом действий обеспечивается точным анализом со стороны того, кто составляет алгоритм. Раскрытое нами понятие исполнителя алгоритма позволяет привести следующее определение термина «алгоритм»: «Алгоритм понятное и точное предписание исполнителю выполнить конечную последовательность команд, приводящих от исходных данных к искомому результату». В приведенном определении содержатся основные понятия, связанные с алгоритмом и его свойствами. Взаимосвязь этих понятий отражена нами на рис. 1. Рис. 1. Схема функционирования исполнителя алгоритмов �Содержание 1.3.3. Свойства алгоритмов Несмотря на то, что понятие алгоритма имеет интуитивный характер, его определение нестрогое, можно выделить следующие характерные черты алгоритма. 1. Дискретность. Описываемый алгоритмом процесс должен быть разбит на последовательность отдельных шагов. Возникающая в результате такого разбиения запись представляет собой упорядоченную совокупность четко разделенных друг от друга предписаний, образующих прерывную (дискретную) структуру алгоритма. 2. Понятность. Алгоритм не должен содержать предписаний, смысл которых может восприниматься исполнителем неоднозначно, т. е. запись алгоритма должна быть настолько четкой и полной, чтобы у исполнителя не возникало потребности в принятии каких-либо самостоятельных решений. 3. Детерминированность (или определенность). Запись алгоритма должна быть четкой, полной и продуманной в деталях, чтобы у исполнителя не могло возникнуть потребности в принятии решений. Кроме того, в алгоритмах недопустимы также ситуации, когда после выполнения очередной команды алгоритма исполнителю неясно, какая из команд алгоритма должна выполняться на следующем шаге. 4. Результативность (или направленность, конечность). Выполнение алгоритма обязательно должно привести к решению поставленной задачи, либо к сообщению о том, что при заданных исходных величинах задачу решить невозможно. Алгоритмический процесс не может обрываться безрезультатно. 5. Массовость. Алгоритм пригоден для решения любой задачи из некоторого класса задач, т. е. алгоритм правильно работает на некотором множестве исходных данных, которое называется областью применимости алгоритма. Вопрос: «Возможна ли ситуация, когда способ решения задачи есть, но он не является алгоритмом?» Ответ. Не каждый способ, приводящий к решению задачи, является алгоритмом. Например, опишем следующий способ (метод) проведения перпендикуляра к прямой MN, проходящего через заданную точку A: 1) отложить в обе стороны от точки A на прямой MN циркулем отрезки равной длины с концами B и C; 2) увеличить раствор циркуля до радиуса, в полтора-два раза большего длины отрезков AB и AC; 3) провести указанным раствором циркуля дуги окружностей с центрами B и C так, чтобы они охватили точку A и образовали две точки пересечения друг с другом (D и E); 4) взять линейку, приложить ее к точкам D и E и соединить их отрезком. При правильном построении отрезок пройдет через точку А и будет искомым перпендикуляром. Указанный способ рассчитан на исполнителя-человека. Применяя его, человек, разумеется, построит искомый перпендикуляр. Но, тем не менее, этот способ алгоритмом не является. Прежде всего, оно не обладает свойством детерминированности. Так, в пункте 1 требуется от исполнителя сделать выбор �Содержание отрезка произвольной длины (для построения точек B и C можно провести окружность произвольного радиуса r с центром в точке A). В пункте 2 требуется сделать выбор отрезка в полтора-два раза большего длины отрезков AB и AC. В пункте 3 надо провести дуги, которые также однозначно не определены. Человек-исполнитель, применяющий данный способ к одним и тем же исходным данным (прямой MN и точке A) повторно, получит несовпадающие промежуточные результаты. Это противоречит требованию детерминированности алгоритма. Вышесказанное позволяет дать уточненное понятие алгоритма, которое опять же не является определением в математическом смысле слова, но более формально описывает понятие алгоритма, раскрывает его сущность. Алгоритм это конечная система команд, сформулированная на языке исполнителя, которая определяет последовательность перехода от допустимых исходных данных к конечному результату и которая обладает свойствами дискретности, понятности, детерминированности, результативности и массовости. �Содержание 1.3.4. Способы записи алгоритмов Алгоритм, составленный для некоторого исполнителя, можно представить различными способами: с помощью графического или словесного описания, в виде таблицы, последовательности формул, записанных на алгоритмическом языке, и т. д. Рассмотрим следующие наиболее распространенные формы представления алгоритма: − словесная (запись на естественном языке); − графическая (изображения из графических символов); − псевдокоды (полуформализованные описания алгоритмов на условном алгоритмическом языке, включающие как элементы языка программирования, так и фразы естественного языка, общепринятые математические обозначения и др.); − программная (тексты на языках программирования). Опишем эти способы записи алгоритма более подробно. Словесный способ записи алгоритмов представляет собой описание последовательных этапов обработки данных. Алгоритм задается в произвольном изложении на естественном языке. Например, алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел может быть следующим: 1) задать два числа; 2) если числа равны, то взять любое из них в качестве ответа и остановиться, в противном случае продолжить выполнение алгоритма; 3) определить большее из чисел; 4) заменить большее из чисел разностью большего и меньшего из чисел; 5) повторить алгоритм с шага 2. Укажем недостатки использования словесной формулировки алгоритма: − описание действий строго неформализуемы; − многословность записей; − неоднозначность толкования отдельных предписаний. Графический способ представления алгоритмов является более компактным и наглядным по сравнению со словесным. Примером графического представления алгоритма может служить его представление в виде блоксхемы, когда алгоритм изображается в виде последовательности связанных между собой функциональных блоков, каждый из которых соответствует выполнению одного или нескольких действий. В блок-схеме каждому типу действий (вводу исходных данных, вычислению значений выражений, �Содержание проверки условий, управлению повторением действий и т. д.) соответствует геометрическая фигура, представленная в виде блочного символа. Блочные символы соединяются линиями переходов, определяющими очередность выполнения действий. В таблице 1 приведены наиболее часто употребляемые блочные символы. Блок «процесс» применяется для обозначения действия или последовательности действий, изменяющих значение, форму представления или размещения данных. Для улучшения наглядности схемы несколько отдельных блоков обработки можно объединять в один блок. Представление отдельных операций достаточно свободно. Таблица 1 Блочные символы Название символа Обозначение и пример заполнения Пояснение Процесс Вычислительное действие или последовательность действий Условие Проверка условий Модификация Начало цикла с заранее известным количеством повторов Предопределенный процесс Вычисления подпрограмме Ввод-вывод Ввод и вывод данных Пуск-останов Начало, конец алгоритма Печать Вывод печать результатов по на Блок «условие» используется для обозначения переходов управления по условию. В каждом таком блоке должны быть указаны вопрос, условие или сравнение, которые он определяет. Блок «модификация» используется для организации циклических конструкций. (Слово «модификация» означает видоизменение, преобразование). Внутри блока записывается параметр цикла, для которого �Содержание указываются его начальное значение, конечное значение и шаг изменения значения параметра для каждого повторения. Блок «предопределенный процесс» используется для указания обращений к вспомогательным алгоритмам, существующим автономно в виде некоторых самостоятельных модулей, и для обращений к библиотечным подпрограммам. Недостаток блок-схем в том, что при описании сложных алгоритмов они превращаются в весьма запутанную сеть. Псевдокод представляет собой систему правил, предназначенную для записи алгоритмов с помощью текстовых структур. Он занимает промежуточное место между естественными и формальными языками. С одной стороны, псевдокод близок к естественному языку, поэтому алгоритмы могут на нем записываться и читаться как обычный текст. С другой стороны, в псевдокоде используются некоторые формальные конструкции и математическая символика, что приближает запись алгоритма к общепринятой математической записи. В псевдокоде не приняты строгие синтаксические правила для записи команд, присущие формальным языкам, что облегчает запись алгоритма на стадии его проектирования и дает возможность использовать более широкий набор команд, рассчитанный на абстрактного исполнителя. Однако в псевдокоде обычно имеются некоторые конструкции, присущие формальным языкам, что облегчает переход от записи на псевдокоде к записи алгоритма на формальном языке. В частности, в псевдокоде, как и в формальных языках, есть служебные слова, смысл которых строго определен. Они выделяются в печатном тексте жирным шрифтом, а в рукописном тексте подчеркиваются. Формального определения псевдокода не существует, поэтому возможны различные псевдокоды, отличающиеся набором служебных слов и основных (базовых) конструкций. Примером псевдокода является школьный алгоритмический язык, описанный в учебнике А.Г. Кушниренко «Основы информатики и вычислительной техники». Общий вид алгоритма на этом языке можно представить следующим образом: Приведем пример записи конкретного алгоритма на школьном алгоритмическом языке. �Содержание Описание алгоритма в словесной, графической формах, на псевдокоде допускает некоторый произвол при изображении команд. Вместе с тем, эти способы позволяют человеку понять суть дела и исполнить алгоритм. Однако для компьютера алгоритм должен быть записан на «понятном» ему языке, на языке программирования. Программа это описание структуры алгоритма на языке программирования. Выбор того или иного способа записи алгоритма зависит от нескольких причин. Так, если для вас наиболее важна наглядность записи алгоритма, то разумно использовать блок-схему. Если алгоритм небольшой, то его можно записать в текстовой форме, при этом команды могут быть пронумерованы или записаны в виде сплошного текста. Если же разрабатываемый вами алгоритм предназначен для исполнения на компьютере, то нужно использовать формальный язык для его записи (язык программирования) и в качестве формы записи алгоритма применять программу. Псевдокод можно, например, использовать как промежуточное звено при переходе к представлению алгоритма в виде программы. �Содержание 1.4. Базовые алгоритмические структуры Вне зависимости от выбранной формы записи элементарные шаги алгоритма (команды) при укрупнении объединяются в алгоритмические конструкции: последовательные, ветвящиеся, циклические, рекурсивные. В 1969 году Эдсгер В. Дейкстра в статье «Структуры данных и алгоритмы» доказал, что для записи любого алгоритма достаточно трех основных алгоритмических конструкций: последовательных, ветвящихся, циклических. Иными словами, алгоритмы можно представлять как некоторые структуры, состоящие из отдельных базовых элементов, а поэтому изучение основных принципов конструирования алгоритмов необходимо начинать с раскрытия сущности этих базовых элементов. Логическая структура любого алгоритма может быть представлена комбинацией трех базовых структур: следование, ветвление, цикл. Характерной особенностью базовых структур является наличие в них одного входа и одного выхода. 1. Базовая структура следование предписывает выполнение последовательности действий, следующих одно за другим, без пропусков и повторений (таблица 2). Таблица 2 Базовая структура следование 2. Базовая структура ветвление обеспечивает в зависимости от результата проверки условия (да или нет) выбор одного из альтернативных путей работы алгоритма. Каждый из путей ведет к общему выходу, так что работа алгоритма будет продолжаться независимо от того, какой путь будет выбран. Структура ветвления существует в четырех основных вариантах (таблица 3): «если иначе», «выбор», «выбор иначе». то», «если то �Содержание Таблица 3 Базовая структура ветвление �Содержание 3. Базовая структура цикл обеспечивает многократное выполнение некоторой совокупности действий, которая называется телом цикла. Существует три основные разновидности циклов (таблица 4): − цикл типа «пока» (или цикл с предусловием) предписывает выполнять тело цикла до тех пор, пока выполняется условие, записанное после слова «пока». Чтобы цикл не повторялся бесконечно необходимо, чтобы в теле цикла осуществлялись действия, приводящие к ситуации, когда условие перестанет быть истинным; − цикл типа «до» (или цикл с постусловием) предписывает выполнять тело цикла до тех пор, пока условие не станет истинным. Чтобы не происходило зацикливания необходимо, чтобы в теле цикла осуществлялись действия, приводящие к ситуации, когда условие станет истинным; − цикл типа «для» (или цикл с параметром) предписывает выполнять тело цикла для всех значений некоторой переменной (параметра цикла) в заданном диапазоне с заданным шагом. �Содержание Таблица 4 Базовая структура цикл Описанные нами базовые алгоритмические структуры при составлении различных алгоритмов могут использоваться и в различных комбинациях. Например, в случае, когда внутри цикла необходимо повторить некоторую последовательность действий, т. е. организовать внутренний цикл, используют структуру «цикл в цикле». �Содержание Вопросы к главе 1 1. Раскройте сущность понятия «алгоритм». 2. С именем какого ученого связано происхождение термина «алгоритм»? 3. Какие алгоритмы были разработаны самыми первыми? 4. В каких науках, по вашему мнению, алгоритмы играют важную роль? Ответ обоснуйте. 5. Приведите примеры алгоритмов, которые вы узнали при обучении в школе, в вузе. 6. Приведите примеры алгоритмов, которыми вы пользуетесь в повседневной жизни. 7. Как вы думаете, существуют ли задачи, которые человек, вообще говоря, умеет решать, не зная при этом алгоритм их решения? Ответ обоснуйте. 8. Что означают слова «алгоритмически разрешимая проблема», «алгоритмически неразрешимая проблема»? 9. Какой вопрос возник перед учеными при их попытке неразрешимость некоторой проблемы? доказать алгоритмическую 10. В какой период времени возникла наука «теория алгоритмов»? 11. С именами каких ученых связано развитие теории алгоритмов? 12. Назовите и охарактеризуйте основные этапы развития теории алгоритмов. 13. Раскройте основные задачи и направления развития современной теории алгоритмов. 14. Почему принято говорить об интуитивном представлении понятия алгоритма? 15. Раскройте сущность понятия «исполнитель алгоритма». 16. Приведите примеры различных исполнителей алгоритма. 17. Что характеризует исполнителя алгоритма? Раскройте суть этих характеристик. 18. Назовите основные свойства алгоритма и раскройте их содержание. 19. Приведите пример алгоритма и покажите, что он удовлетворяет всем основным свойствам алгоритмов. 20. Почему кулинарный рецепт приготовления торта нельзя считать алгоритмом? Какими свойствами алгоритма он не обладает? 21. Какие способы записи алгоритма существуют? В чем их суть? 22. Приведите примеры различных способов записи алгоритмов. 23. Существует ли, по вашему мнению, наилучший способ записи алгоритма? Ответ обоснуйте. 24. Какие базовые алгоритмические структуры существуют? Запишите их на языке блок-схем. �Содержание Задания к главе 1 1. Составьте алгоритм сложения в столбик двух натуральных чисел. Предполагается, что операция сравнения двух натуральных чисел для человека является выполнимой. 2. Переформулируйте способ проведения перпендикуляра к прямой в заданной точке (см. 1.3.3.) так, чтобы он стал алгоритмом. 3. Является ли следующее правило нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел алгоритмом? НОД ( a , b )  ?, г де a , b  N a  bq1  r1 , г де 0  r1  b, b  r1q2  r2 , г де 0  r2  r1 , r1  r2 q3  r3 , г де 0  r3  r2 , ......................................... ri  ri 1qi  2  ri  2 , г де 0  ri  2  ri 1 , НОД (116 ,24 )  ? 116  24  4  20, 24  20  1  4, 20  4  5. НОД (116 ,24 )  4. ri 1  ri  2 qi  3 . Действительно: НОД ( a, b)  ri  2 . 116  2  2  29, 24  2  2  2  3. 4. Рассмотрите правило деления десятичных дробей. Выясните, при всех ли значениях десятичных дробей данное правило приведет к точному результату (оборвется на n -м шаге)? Можно ли это правило назвать алгоритмом? 5. Является ли алгоритмом следующая последовательность шагов? 1. исходное число умножим на 2; 2. к полученному числу прибавим 1; 3. определим остаток «у» от деления полученной в п. 2 суммы на 3; 4. разделим исходное число на у; частное будет являться искомым результатом. Здесь исходные данные все натуральные числа. 6. Есть двое песочных часов: на 3 минуты и на 8 минут. Для приготовления эликсира бессмертия его надо варить ровно 7 минут. Как это сделать? Придумайте систему команд исполнителя «Колдун» и запишите последовательность команд этого исполнителя для приготовления эликсира. 7. Составьте в виде блок-схемы алгоритм нахождения факториала числа n. 8. Рассмотрим способ выписывания всех простых чисел в интервале от 1 до некоторого N. Этот способ носит название «Решето Эратосфена», по имени древнегреческого ученого, впервые предложившего данный алгоритм. Для этого выпишем подряд все натуральные числа от 1 до N. Возьмем первое число, большее 1 (это �Содержание будет 2), и зачеркнем каждое второе число, начиная отсчет со следующего за двойкой числа. Затем возьмем первое незачеркнутое число, большее 2 (это будет 3), и зачеркнем каждое третье число, начиная отсчет с числа 3+1 (ранее зачеркнутые числа участвуют в отсчете). Далее возьмем первое незачеркнутое число, большее 3 (это будет 5), и зачеркнем каждое пятое число, начиная отсчет с числа 5 +1. Продолжая так действовать, остановимся тогда, когда первое незачеркнутое число окажется больше N . В результате применения этого алгоритма незачеркнутыми останутся все простые числа, не превосходящие N, и только они. Докажите это. 9. Постройте блок-схемы алгоритмов вычисления по известным x и n следующих выражений с использованием только арифметических действий +, , *, /. Входные параметры: x вещественное, n целое неотрицательное число. В построенных блок-схемах вложенных циклов быть не должно. 1. 1  x  x 2  x 3  x 4    ( 1) n x n ; 2. 1 x  3. 1 x 2 x3 x 4 xn      ( 1) n ; 2! 3! 4! n! n x 2 x 4 x 6 x8 xn       ( 1) 2 (n 2! 4! 6! 8! n! четное натуральное число). 10. Дана последовательность целых чисел a1 , a2 ,, an . Укажите все ошибки в предлагаемой записи алгоритма нахождения максимального и минимального элемента в заданной последовательности. Идея алгоритма такова: разбиваем последовательность на пары; числа в каждой паре упорядочиваем по возрастанию; максимальный элемент ищем среди четных (по месту расположения) элементов последовательности, а минимальный среди нечетных. 1. Разобьем исходную последовательность на пары. Последняя пара может быть неполной, если число n нечетно. n Положим m  2 , если n обработать). 2. 3. четно, и m n 1 2 в противном случае ( m число пар, которые надо Упорядочим числа в каждой паре по возрастанию. Будем элементы в паре обозначать Pk ,1 и Pk , 2 , где k номер пары. 4. Положим min  P1,1 и max  P1, 2 . 5. Положим k  1 . 6. Если Pk , 2  max , тогда max  Pk , 2 . 7. Если Pk ,1  min , тогда min  Pk ,1 . 8. Увеличим k на единицу. 9. Если k  m , конец алгоритма; иначе переход на п. 6. 11. У исполнителя КВАДР две команды, которым присвоены номера: �Содержание 1) прибавь 1, 2) возведи в квадрат. Первая из этих команд увеличивает число на экране на 1, вторая – возводит в квадрат. Программа для исполнителя КВАДР – это последовательность номеров команд. Запишите программу для исполнителя КВАДР, которая преобразует число 5 в число 2500 и содержит не более 6 команд. Если таких программ более одной, то запишите любую из них. 12. У исполнителя ДВАПЯТЬ две команды, которым присвоены номера: 1) отними 2, 2) раздели на 5. Выполняя первую из них, ДВАПЯТЬ отнимает от числа на экране 2, а выполняя вторую, делит это число на 5 (если деление нацело невозможно, ДВАПЯТЬ отключается). Запишите порядок команд в программе, которая содержит не более 5 команд и переводит число 152 в число 2. 13. У исполнителя КАЛЬКУЛЯТОР две команды, которым присвоены номера: 1) отними 2, 2) раздели на 3. Выполняя первую из них, КАЛЬКУЛЯТОР отнимает от числа на экране 2, а выполняя вторую, делит его на 3 (если деление нацело невозможно, КАЛЬКУЛЯТОР отключается). Запишите порядок команд в программе получения из числа 37 числа 3, содержащей не более 5 команд, указывая лишь номера команд. 14. Исполнитель КУЗНЕЧИК живёт на числовой оси. Начальное положение КУЗНЕЧИКА – точка 0. Система команд Кузнечика: Вперед 7: КУЗНЕЧИК прыгает вперёд на 7 единиц, Назад 5: КУЗНЕЧИК прыгает назад на 5 единиц. Какое наименьшее количество раз должна встретиться в программе команда «Назад 5», чтобы КУЗНЕЧИК оказался в точке 19? 15. Исполнитель РОБОТ ходит по клеткам бесконечной вертикальной клетчатой доски, переходя по одной из команд вверх, вниз, вправо, влево в соседнюю клетку в указанном направлении. РОБОТ выполнил следующую программу: вправо вниз вправо вверх влево вверх вверх влево Укажите наименьшее возможное число команд, которое необходимо для того, чтобы РОБОТ вернулся в �Содержание ту же клетку, из которой начал движение. 16. На экране есть два окна, в каждом из которых записано по числу. Исполнитель СУММАТОР имеет только две команды, которым присвоены номера: 1. Запиши сумму чисел в первое окно. 2. Запиши сумму чисел во второе окно. Выполняя команду номер 1, СУММАТОР складывает числа в двух окнах и записывает результат в первое окно, а выполняя команду номер 2, заменяет этой суммой число во втором окне. Напишите программу, содержащую не более 5 команд, которая из пары чисел 1 и 2 получает пару чисел 13 и 4. Укажите лишь номера команд. 17. Система команд исполнителя РОБОТ, «живущего» в прямоугольном лабиринте на клетчатой плоскости: − вверх, − вниз, − влево, − вправо. При выполнении любой из этих команд РОБОТ перемещается на одну клетку соответственно (по отношению к наблюдателю): вверх ↑, вниз ↓, влево ←, вправо →. Четыре команды проверяют истинность условия отсутствия стены у каждой стороны той клетки, где находится РОБОТ (также по отношению к наблюдателю): − сверху свободно − снизу свободно − слева свободно − справа свободно Цикл ПОКА < условие > последовательность команд КОНЕЦ ПОКА выполняется, пока условие истинно. В конструкции ЕСЛИ < условие > ТО команда1 ИНАЧЕ команда2 КОНЕЦ ЕСЛИ выполняется команда1 (если условие истинно) или команда2 (если условие ложно) �Содержание Если РОБОТ начнёт движение в сторону находящейся рядом с ним стены, то он разрушится и программа прервётся. Сколько клеток лабиринта соответствуют требованию, что, начав движение в ней и выполнив предложенную программу, РОБОТ уцелеет и остановится в закрашенной клетке (клетка F6)? НАЧАЛО ПОКА снизу свободно ИЛИ справа свободно ПОКА снизу свободно вниз КОНЕЦ ПОКА вправо КОНЕЦ ПОКА КОНЕЦ 1) 7 2) 12 3) 17 4) 21 18. Исполнитель МАШИНКА «живет» в ограниченном прямоугольном лабиринте на клетчатой плоскости, изображенном на рисунке. Серые клетки – возведенные стены, светлые – свободные клетки, по которым МАШИНКА может свободно передвигаться. По краю поля лабиринта также стоит возведенная стенка с нанесенными номерами и буквами для идентификации клеток в лабиринте. Система команд исполнителя МАШИНКА: − вверх, − вниз, − влево, − вправо. При выполнении любой из этих команд МАШИНКА перемещается на одну клетку соответственно (по отношению к наблюдателю): вверх ↑, вниз ↓, влево ←, вправо →. Четыре команды проверяют истинность условия отсутствия стены у каждой стороны той клетки, где находится МАШИНКА (также по отношению к наблюдателю): − сверху свободно, − снизу свободно, �Содержание − слева свободно, − справа свободно. Цикл ПОКА <условие> команда выполняется, пока условие истинно, иначе происходит переход на следующую строку. При попытке передвижения на любую серую клетку МАШИНКА разбивается о стенку. Сколько клеток приведенного лабиринта соответствуют требованию, что, стартовав в ней и выполнив предложенную ниже программу, МАШИНКА не разобьется? НАЧАЛО ПОКА <снизу свободно> вниз ПОКА <справа свободно> вправо вверх вправо КОНЕЦ 1) 0 2) 7 3) 1 4) 3 19. Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1. Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа. 2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей). Пример: исходное число 348; суммы: 3+4=7 и 4+8=12; результат: 127. Сколько существует чисел, в результате обработки которых автомат выдаст число 1715? 20. Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями: F(1)=1; F(2)=1; F(n)=F(n- 2)*(n-1), при n>2. Чему равно значение функции F(8)? В ответе запишите только натуральное число. 21. Алгоритм вычисления значения функции F(n) и G(n), где n–натуральное число, задан следующими соотношениями: F(1)=0 F(n)=F(n–1)+n, при n>1 G(1)=1 G(n)=G(n–1)*n, при n>1 �Содержание Чему равно значение функции F(5) + G(5)? 22. Последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением: F(1)=1 F(2)=1 F(n)= F(n–2) + F(n–1), при n>2, где n – натуральное число. Чему равно восьмое число в последовательности Фибоначчи? Дополнительные задания Составьте точный план действий, приводящий к решению следующих задач. Можно ли каждый конкретный план назвать алгоритмом? Ответ обоснуйте. 1. Волк, коза и капуста. На берегу реки стоит крестьянин с лодкой, а рядом с ним волк, коза и капуста. Крестьянин должен переправиться сам и перевезти волка, козу и капусту на другой берег. Однако в лодку, кроме крестьянина, помещается либо только волк, либо только коза, либо только капуста. Оставлять же волка с козой или козу с капустой без присмотра нельзя волк может съесть козу, а коза капусту. Как должен вести себя крестьянин? 2. Два встречных поезда, в каждом из которых паровоз и 21 вагон, встретились на дороге с одним тупиком (рис. 2). Тупик вмещает 11 вагонов или 10 вагонов и паровоз. Как поездам разъехаться (т. е. как должны маневрировать машинисты, чтобы каждый поезд продолжил движение в своем направлении)? Рис. 2 3. Ханойская башня. На подставке укреплены три стержня, на левый стержень нанизано несколько колец уменьшающегося размера внизу самое большое кольцо, на нем поменьше, сверху еще меньше и т. п. (рис. 3). Рис. 3 Надо, перемещая по одному кольцу со стержня на стержень, переместить все кольца на правый �Содержание стержень, но при этом ни в какой момент времени большее кольцо на меньшее класть нельзя. Опишите, как надо перекладывать кольца, если в начальный момент на левом стержне: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д*) 64 кольца. (По преданию перекладыванием 64 колец занимаются монахи в одном из буддийских монастырей. Согласно легенде, в момент, когда они кончат перекладывать кольца, наступит конец света. Прикиньте приблизительно, когда это произойдет, если считать, что монахи перекладывают примерно 1 кольцо в секунду.) 4. Фирма «Электронные приборы» выпустила автоматизированную ванну «Банный комплекс 10», управляемую с помощью 10 кнопок «долить 1 л», «долить 2 л», …, «долить 5 л»; «слить 1 л», «слить 2 л», …, «слить 5 л», при нажатии на которые доливается или сливается указанное количество литров воды. Однако в результате ошибки фирмы все кнопки, кроме «долить 5 л» и «слить 3 л», не работают. Как долить в ванну 3 л воды? Сколько воды при этом пропадет впустую из-за брака фирмы? 5. Два солдата подошли к реке, по которой на лодке катаются двое мальчиков. Как солдатам переправиться на другой берег, если лодка вмещает только одного солдата либо двух мальчиков, а солдата и мальчика уже не вмещает? 6. Петя и Коля играют в следующую игру: на стол кладется 15 спичек. Ребята по очереди берут их со стола, причем за один ход разрешается взять 1, 2 или 3 спички. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Первым ходит Петя. Как он должен играть, чтобы выиграть? 7. Автоматическое устройство имеет 2 кнопки и экран. При включении на экране загорается число 0. При нажатии на одну кнопку число на экране удваивается (вместо х появляется 2х). При нажатии на другую кнопку число увеличивается на 1 (вместо х появляется х+1). Как надо нажимать на кнопки, чтобы на экране появилось: 1) число 5; 2) число 99; 3) число 99, если разрешается нажимать на кнопки не более 10 раз? 8. Придумайте способ нахождения самой легкой и самой тяжелой из 100 монет различной массы, если можно сделать не более 150 взвешиваний на чашечных весах без гирь. 9. Имеется а) 3, б) 4, в) 5, г) 6 монет, среди которых одна фальшивая (легче других). Придумайте способ нахождения фальшивой монеты за минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь. 10. Имеется 1000 монет, из которых одна фальшивая (легче других). Придумайте способ нахождения фальшивой монеты за 7 взвешиваний на чашечных весах без гирь. Докажите, что нельзя придумать способ, который гарантирует нахождение фальшивой монеты за 6 взвешиваний. �Содержание Глава 2. Класс рекурсивных функций В первой главе мы говорили о том, что центральным вопросом в теории алгоритмов явился вопрос формализации интуитивного понятия «алгоритм». Попытки различных ученых дать точный математический эквивалент для общего интуитивного представления об алгоритме привели к тому, что были предложены несколько моделей алгоритма (машина Тьюринга, машина Поста, рекурсивные функции, нормальные алгоритмы Маркова и др.). В данной главе мы рассмотрим такую модель алгоритма, как частично-рекурсивные функции. § 1. Введение в теорию рекурсивных функций § 2. Примитивно рекурсивные функции § 3. Частично рекурсивные функции § 4. Взаимосвязь между различными классами рекурсивных функций § 5. Тезис Черча Вопросы к главе 2 Задания к главе 2 �Содержание 2.1. Введение в теорию рекурсивных функций Всякий алгоритм однозначно сопоставляет допустимым начальным данным результат. Это означает, что с каждым алгоритмом однозначно связана функция, которую он вычисляет. Кроме того, возникают естественные вопросы: «Для всякой ли функции существует вычисляющий ее алгоритм?», «Если нет, то для каких функций существует вычисляющий их алгоритм, как описать такие, как говорят, алгоритмически или эффективно вычислимые функции?». Исследование данных вопросов привело ученых (Геделя, Клини, Черча) к созданию в 1930-х гг. теории рекурсивных функций. При этом класс вычислимых функций (названных здесь рекурсивными) получил такое описание, которое весьма напоминает процесс построения аксиоматической теории на базе некоторой системы аксиом. Сначала были выбраны простейшие функции, вычислимость которых очевидна (своего рода аксиомы). Затем были сформулированы некоторые правила, названные операторами, на основе которых можно строить новые функции из уже имеющихся (своего рода «правила вывода»). Тогда требуемым классом функций будет совокупность всех функций, получающихся из простейших с помощью выбранных операторов. Прежде чем приступить к описанию класса рекурсивных функций, приведем ряд вспомогательных определений. Определение 1 Пусть A , B некоторые множества. Совокупность всех упорядоченных пар вида ( a, b) , где a  A , b  B называется декартовым (прямым) произведением A на B и обозначается A  B . Определение 2 Пусть X , Y некоторые множества. Если некоторым элементам множества X поставлены в соответствие однозначно определенные элементы множества Y , то говорят, что задана частичная функция из X в Y . Совокупность тех элементов множества X , у которых есть соответствующие в Y , называется областью определения функции. Совокупность тех элементов множества Y , которые соответствуют некоторым элементам множества X , называется областью значений функции. Если область определения функции из X в Y совпадает с множеством X , то функция называется всюду определенной. Определение 3 X X  X  X (n )    Частичные функции из  в Y называются частичными функциями от n n переменных или n -местными функциями из X в Y . Для записи функций и изучения их свойств пользуются особым формальным языком. Алфавит этого языка состоит из символов, разбитых на три группы: 1. предметные символы a0 , a1 , x1 , y0 ,  ; 2. функциональные символы это буквы a , b, x , y ,  или буквы с нижними индексами это буквы с верхними и, возможно, нижними индексами: �Содержание f (1) , g ( 2 ) , f 0(1) ,  ; 3. символы третьей группы это символы левой, правой скобок и запятой: «(», «)», «,». Конечные последовательности символов, записанные в этом функциональном алфавите, (слова) называются термами. Пример x терм длины 1; f (a ) g ( x, a ) терм длины 4; терм длины 6. �Содержание 2.2. Примитивно рекурсивные функции Подчеркнем, что здесь и в дальнейшем (во всей главе 2) будут рассматриваться функции, заданные на множестве натуральных чисел и принимающие натуральные значения. Функции предполагается брать частичные, т. е. определенные, вообще говоря, не для всех значений аргументов. Определение 1 Функции: 1) O ( x )  0 (нуль-функция), 2) S ( x )  x  1 (функция следования), n 3) I m ( x1 , x 2 ,..., x n )  x m (функция проекции, 1  m  n ) называются простейшими (базисными) функциями. Определение 2 Пусть 1) f – m-местная функция на множестве натуральных чисел N ; 2) g1 , g 2 ,..., g m – n-местные функции на множестве N (считаем, что все функции g1 , g 2 ,..., g m зависят от одних и тех же переменных x1 , x2 ,  xn ). Оператор G, ставящий в соответствие функциям f , g1 , g 2 ,..., g m n -местную h ( x1 ,..., xn )  f ( g1 ( x1 ,..., xn ), g 2 ( x1 ,..., xn ),..., g m ( x1 ,..., xn )) , удовлетворяющую тождеству оператором суперпозиции (подстановки). функцию Причем функция h обозначение  G ( f , g1 , g 2 ,..., g m ) h, называется является, очевидно, суперпозицией функций f и g1 , g 2 ,..., g m . Замечания 1. Если среди функций f , g1 , g 2 ,..., g m из определения 2 имеются частичные функции, то и функция h будет частичной. 2. Функция h на наборе переменных x1 , x2 ,  xn определена тогда и только тогда, когда определены все функции g1 ( x1 ,..., xn ), g 2 ( x1 ,..., xn ),..., g m ( x1 ,..., xn ) и функция f определена на наборе g1 ( x1 ,..., xn ), g 2 ( x1 ,..., xn ),..., g m ( x1 ,..., xn ) . Пример 1 2 4 4 Найдем значение термов G ( I1 , I 3 , I 2 ) и G ( I12 , I13 , I 22 ) . �Содержание Решение 1) G ( I12 , I 34 , I 24 )  I12 ( I 34 , I 24 )  <перейдем к полной форме записи функций I 34 и I 24 >  I12 ( I 34 ( x1 , x2 , x3 , x4 ), I 24 ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ))   I 12 ( x3 , x 2 )  x3 . 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2) G ( I1 , I1 , I 2 )  I1 ( I1 , I 2 )  I1 ( I1 ( x1 , x 2 , x3 ), I 2 ( x1 , x 2 )) – не определено, так как функции I13 и I 22 имеют различную местность, а не одинаковую. Определение 3 Оператор примитивной рекурсии R каждой ( n  2) -местной функции f ( x1 ,  , xn , y , z ) и n -местной функции g ( x1 ,  , x n ) на множестве N ставит в соответствие ( n  1) -местную функцию обозначение h  R ( f , g ) , удовлетворяющую следующей схеме примитивной рекурсии: h( x1 ,..., xn ,0)  g ( x1 ,..., xn ),  h( x1 ,..., xn , y  1)  f ( x1 ,..., xn , y , h( x1 ,..., xn , y )). Замечания 1. Важно отметить, что независимо от числа аргументов в h , рекурсия ведется только по одной переменной y ; остальные n переменных x1 ,  , xn на момент применения схемы примитивной рекурсии зафиксированы и играют роль параметров. 2. Очевидно, что схема примитивной рекурсии однозначно определяет функцию h . Причем, схема примитивной рекурсии выражает каждое значение функции h не только через данные функции f и g , но и через так называемые предыдущие значения определяемой функции h : прежде чем получить значение h ( x1 ,  xn , k ) , придется проделать k  1 вычисление по указанной схеме для y  0, 1, 2,  , k . 3. Про функцию h говорят, что она получена рекурсией из функций f и g . (Напомним, что рекурсией называется способ задания функции, при котором значение функции при определенных значениях аргументов выражается через уже заданные значения функции при других значениях аргументов.) 4. Если функции g и f частичные, то h ( x1 ,  xn , y  1) считается определенной в том и только том случае, когда определены h ( x1 ,  xn , y ) и f ( x1 ,  xn , y , t ) при t  h ( x1 ,  xn , y ) . Иными словами, если h( x1 ,  xn , y0 ) неопределенно, то и h ( x1 ,  xn , y ) неопределенно при y  y0 . 5. Оператор примитивной рекурсии в соответствии с определением 3 мы будем применять и при n  0 . В этом случае схема примитивной рекурсии будет иметь следующий вид: h(0)  const ,  h( y  1)  f ( y , h( y )), �Содержание где g – постоянная одноместная функция, равная числу const . Пример 2 Покажем, что функция s ( x , y )  x  y может быть получена из простейших с помощью оператора примитивной рекурсии. Решение Переобозначим: s 2 ( x, y )  h 2 ( x, y )  x  y . Будем искать: f 3 ( x, y, z ) и g 1 ( x ) . Из схемы примитивной рекурсии имеем: опр  2 1 h ( x,0)  x  0  x  I1 ( x ),  схема пр. рек . опр опр 3 h 2 ( x, y  1)  x  ( y  1)  x  y  1   f ( x , y , h ( x , y ))  опр  f 3 ( x, y ,  x  y) . z Следовательно, g 1 ( x )  I11 ( x ) , а f 3 ( x, y , z )  z  1  S ( z ) . Определение 4 Функция называется примитивно рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций O , S , I mn с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии. Пример 3 Функция сложения s ( x , y )  x  y является примитивно рекурсивной. �Содержание 2.3. Частично рекурсивные функции Определение 1 Будем говорить, что n -местная функция  ( x1 , x 2 ,  x n ) получается из ( n  1) -местных функций f1 ( x1 , x2 ,  xn , y ) и f 2 ( x1 , x2 ,  xn , y ) с помощью оператора минимизации M наименьшего числа), если: (или оператора для любых x1 , x2 ,..., xn , y равенство  ( x1 , x2 ,..., xn )  y выполнено тогда и только тогда, когда значения функций f i ( x1 , x2 ,..., xn ,0),..., f i ( x1 , x2 ,..., xn , y  1) f1 ( x1 , x2 ,..., xn ,0)  f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ,0),..., (i  1, 2) определены и попарно неравны [т. е. f1 ( x1 , x2 ,..., xn , y  1)  f 2 ( x1 , x2 ,..., xn , y  1) ], а значение f1 ( x1 , x2 ,..., xn , y )  f 2 ( x1 , x2 ,..., xn , y ) . Замечание 1 1. Функции  , f1 , f 2 заданы на множестве натуральных чисел и принимают натуральные значения. 2. Величина  ( x1 , x2 ,..., xn ) в определении 1 равна наименьшему значению аргумента y , при котором выполняется равенство f1 ( x1 , x2 ,..., xn , y )  f 2 ( x1 , x2 ,..., xn , y ) . 3. Используют следующее обозначение: обозн.  ( x1 , x2 ,..., xn )   y  f1 ( x1 , x2 ,..., xn , y )  f 2 ( x1 , x2 ,..., xn , y )  . 4. В частном случае может быть f 2 ( x1 , x2 ,..., xn , y )  0 . Тогда:  ( x1 , x 2 ,..., x n )   y  f1 ( x1 , x 2 ,..., x n , y )  0  . 5. Оператор минимизации называют также  -оператором. Пример 1 Рассмотрим функцию d ( x, y )   z  y  z  x  . Вычислим d (7,2) и d (3,4) . Решение 1). Вычислим d (7,2) . Для этого нужно положить y  2 и, придавая переменой z значения 1, 2, 3…, каждый раз вычислять сумму y  z . Как только она станет равной 7, то соответствующее значение z принять за d (7,2) . z  1: 2  1  3  7 ; z  2: 2 2  4  7 ; �Содержание z  3: 2  3  5  7 ; z  4: 2 4  6  7 ; z  5: 2  5  7 . Следовательно, d (7,2)  5 . 2). Аналогично вычислим d (3,4) . z  1: 4  1  5  3 ; z  2: 4 2  6  3 ; ……………………. Видим, что данный процесс будет продолжаться бесконечно. Следовательно, d (3,4) не определено. Заметим, что вычисления в 1) и 2) можно осуществить более рационально. Действительно: d ( x, y )   z  y  z  x  определено. замечание 1 ( 2 )  x y . Поэтому d (7, 2)  7  2  5 , а d (3,4)  3  4  N , т. е. не Замечание 2 Подчеркнем, что операция минимизации может давать частичные функции даже при применении к всюду определенным функциям. Действительно, в примере 1 функции f1 ( x , y , z )  y  z и f 2 ( x, y , z )  x всюду определены (т. е. определены на всем множестве  ( 3) ), а функция d ( x, y )   z  y  z  x   x  y определена только при x y . В отличие же от оператора минимизации операторы суперпозиции и примитивной рекурсии, примененные к всюду определенным функциям, дают также всюду определенные функции. Замечание 3 Оператор минимизации является удобным средством для построения обратных функций к одноместным функциям. Действительно, функция f 1 ( x )   y  f ( y )  x  (наименьший y , такой, что f ( y )  x ) является обратной для функции f (x ) . Поэтому в применении к одноместным функциям оператор минимизации иногда называют оператором обращения. Пример 2 Найдем функцию, обратную к функции следования S ( x )  x  1 . �Содержание Решение Переобозначим: S ( x )  f ( x )  x  1 . 1 Тогда f ( x )   y  y  1  x   x  1 . Итак, S 1 ( x )  x  1 , x  2,3,4,... . Определение 2 Функция называется частично рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций O , S , I mn с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и  -оператора. Определение 3 Если функция частично рекурсивна и всюду определена, то она называется общерекурсивной. Пример 3 Определим, является ли функция d ( x, y )   z  y  z  x  частично рекурсивной. Решение Заметим, что функция d ( x, y )   z  y  z  x  получена с помощью оператора минимизации из функций f1 ( x , y , z )  y  z и f 2 ( x , y , z )  x . В свою очередь: 1) функция f1 ( x, y, z )  y  z является примитивно рекурсивной (поясните, почему), т. е. может быть получена с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии; 2) функция f 2 ( x, y , z )  x равна I11 ( x) , т. е. может быть получена из простейших функций. Таким образом, функция d ( x, y )   z  y  z  x  может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и  оператора, поэтому данная функция является частично рекурсивной. �Содержание 2.4. Взаимосвязь между различными классами рекурсивных функций Обозначим: Ч класс частично рекурсивных функций; класс примитивно рекурсивных функций. Чо класс общерекурсивных функций, Ч пр Рассмотрим вопрос о соотношении введенных классов Ч , Ч о , Ч пр . Очевидны следующие соотношения: 1. Класс частично рекурсивных функций Ч шире класса примитивно рекурсивных функций Ч пр (т. е. Ч пр  Ч ), поскольку для построения частично рекурсивных функций из простейших используется больше средств, чем для построения примитивно рекурсивных функций. 2. Класс примитивно рекурсивных функций Ч пр включается в класс общерекурсивных функций Ч о (т. е. Ч пр  Ч о ), так как все примитивно рекурсивные функции всюду определены. 3. Класс общерекурсивных функций Ч о включается в класс частично рекурсивных функций Ч (т. е. Ч о  Ч ), поскольку среди частично рекурсивных функций встречаются функции, как всюду определенные, так и не всюду определенные (например, d ( x, y )   z  y  z  x  ), и даже нигде не определенные (например, f ( x )   y x  1  y  0  ). Из положений 1–3 можно сделать вывод, что Ч пр  Ч о  Ч (1). Замечание При выяснении соотношений между классами Ч , Ч о , Ч пр ученые долгое время не могли обосновать справедливость следующего включения: Ч пр  Ч о (1). Дело в том, что на тот момент очевидным являлось нестрогое включение ( Ч пр  Ч о ), а вот строгое включение ( Ч пр  Ч о ) оставалось спорным. Ученые не могли указать функцию, которая являлась бы общерекурсивной, но не являлась бы примитивно рекурсивной. Первый пример общерекурсивной функции, не являющейся примитивно рекурсивной, был дан Аккерманом в 1928 г. Построенная им функция в теории алгоритмов получила название функции Аккермана. Раскроем ее суть. Функция Аккермана  ( x, y ) задается соотношениями: (1)  ( x,0)  y  1,  ( 2)  ( x  1,0)   ( x,1),  ( x  1, y  1)   ( x,  ( x  1, y )). (3)  Можно доказать, что данные соотношения однозначно определяют функцию  ( x, y ) . Попробуем вычислить некоторые значения функции Аккермана в соответствии с ее определением: �Содержание 1  (0,0)  1 ; 1  (0,1)  2 ; 2  (1,0)  (0,1)  2 ; 3 1  (1,1)   (0,  (1,0))   (0,2)  3 ; 2  ( 2,0)  (1,1)  3 ; 3 1  (1,2)   (0,  (1,1))   (0,3)  4 ; 2 3 3 1  (3,0)   ( 2,1)   (1,  ( 2,0))   (1,3)   (0,  (1,2))   (0,4)  5. Результаты приведенных вычислений убеждают, что найдется алгоритм вычисления значений функции  ( x, y ) . При этом в процессе вычисления какого-либо значения функции  ( x, y ) в некоторой точке используются вычисленные ранее ее значения в неких предыдущих точках. Этим соотношения (1)–(3) похожи на схему примитивной рекурсии. Но примитивная рекурсия ведется по одному аргументу, а в соотношениях (1)–(3) рекурсия ведется сразу по двум аргументам. Причем существенно усложняется характер упорядочения точек, а, следовательно, и понятие предшествующей точки. Это упорядочение не предопределено заранее, как в схеме примитивной рекурсии, где число n всегда предшествует числу n  1 , а выясняется в ходе вычислений. Возникает вопрос, можно ли вычисление функции Аккермана свести к вычислению по схеме примитивной рекурсии, т. е. будет ли функция Аккермана примитивно рекурсивной. Оказывается, нет, в 1928 г. этот факт доказал Аккерман (идея доказательства того, что функция Аккермана не является примитивно рекурсивной, состоит в обосновании того, что функция Аккермана растет быстрее, чем любая примитивно рекурсивная функция, и поэтому не может быть примитивно рекурсивной). �Содержание 2.5. Тезис Черча Понятие частично рекурсивной функции оказалось исчерпывающей формализацией понятия вычислимой функции. При построении аксиоматической теории высказываний исходные формулы (аксиомы) и правила вывода выбирались так, чтобы полученные в теории формулы исчерпали бы все тавтологии алгебры высказываний. К чему же стремимся мы в теории рекурсивных функций, почему именно так выбрали простейшие функции и операторы для получения новых функций? Рекурсивными функциями мы стремимся исчерпать все мыслимые функции, поддающиеся вычислению с помощью какой-нибудь определенной процедуры механического характера. В теории рекурсивных функций выдвигается соответствующая естественнонаучная гипотеза, носящая название тезис Черча. Тезис Черча Числовая функция тогда и только тогда алгоритмически вычислима, когда она частично рекурсивна. Эта гипотеза не может быть доказана строго математически, она подтверждается практикой, опытом, ибо призвана увязать практику и теорию. Все рассматривавшиеся в математике конкретные функции, признаваемые вычислимыми в интуитивном смысле, оказывались частично рекурсивными. �Содержание Вопросы к главе 2 1. Когда и кем была создана теория рекурсивных функций? Какова ее роль в теории алгоритмов? 2. Раскройте идею построения всех примитивно рекурсивных (частично рекурсивных) функций. 3. Какие функции называются простейшими? Какова область определения каждой простейшей функции? 4. Дайте определение оператора суперпозиции. 5. Приведите пример функции, полученной с помощью оператора суперпозиции. 6. Как вы считаете, какие функции (частичные или всюду определенные) могут быть получены из простейших с помощью оператора суперпозиции? 7. Дайте определение оператора примитивной рекурсии. 8. Приведите пример функции, полученной с помощью оператора примитивной рекурсии. 9. Как вы считаете, какие функции (частичные или всюду определенные) могут быть получены из простейших с помощью оператора примитивной рекурсии? 10. Какие функции называются примитивно рекурсивными. Приведите пример примитивно рекурсивной функции. 11. Дайте определение оператора минимизации. 12. Приведите пример функции, полученной с помощью оператора минимизации. 13. Как вы считаете, какие функции (частичные или всюду определенные) могут быть получены из простейших с помощью оператора минимизации? 14. Проиллюстрируйте, как с помощью оператора минимизации можно построить функцию, обратную к одноместной функции. 15. Какие функции называются рекурсивной функции. частично рекурсивными? Приведите пример частично 16. Какие функции называются общерекурсивными? Приведите пример общерекурсивной функции. 17. Как связаны между собой класс частично рекурсивных функций, класс общерекурсивных функций, класс примитивно рекурсивных функций? 18. Сформулируйте тезис Черча и раскройте его роль в теории алгоритмов. �Содержание Задания к главе 2 1. Докажите, что простейшие функции вычислимы. 2. Найдите значения следующих термов: а) G ( I12 , I13 , I 23 ) ; б) G ( I12 , I13 , I 22 ) ; в) G ( S , G ( S , I11 )) ; г) G ( I11 , O ) ; д) G ( S , G ( S , G ( S , G ( S , I 22)))) ; е) G ( S , G ( S , G ( S , G ( S , G ( I 22 , S , O ))))) . 3. Определите, можно ли получить функцию f ( x )  1 из простейших функций с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции? А функции f ( x )  2 , f ( x )  3 и т. д.? 4. Найдите результат применения операции суперпозиции G ( j , f 1, f 2) , если j ( x , y )  x  y и: а) f1 (u , v, z )  u 2 vz , f 2 (u , v, z )  2 u vz ; б) f1 ( x, y , z )  xyz , f 2 ( x, y )  xy 3 ; в) f1 (u , v, z )  u 2 v 2 z , f 2 (u , v, t )  uvt 2 5. Найдите результат применения операции суперпозиции G ( , f 1, f 2 , f 3 ) , если  ( x , y , z )  xy  z и: а) f1 (u , v , z )  uvz 2 , f 2 (u , v , z )  2vz u , f 3 (u , v , z )  u  v  z ; б) f1 ( x, y , z )  xy 3 z , f 2 ( x, y )  xy , f 3 ( x, z )  x  z 2 ; в) f1 (u , v , z )  uv 2 z , f 2 (u , v , t )  u 2  vt , f 3 (v , z , t )  v 2  2 z  5t. 6. Покажите, что следующие функции могут быть получены из простейших с помощью оператора примитивной рекурсии: а) f ( x , y )  xy ; б) f ( x, y )  x y ; 0, если x  0, в) sg ( x)   1, если x  0; 1, если x  0, г) sg ( x )   0, если x  0. �Содержание д) Поскольку рассматриваются лишь функции с целыми неотрицательными аргументами и значениями, то вводиться функция «усеченного вычитания». Она определяется следующим образом: определение x  y  0, если x  y ,   x  y , если x  y. В этом контексте покажите, что функции f ( x )  x  1 и f ( x , y )  x  y могут быть получены из простейших с помощью оператора примитивной рекурсии. е) f ( x, y )  x  y . 7. Найдите арифметическую функцию f  R ( h, g ) , полученную операцией примитивной 3 3 1 1 рекурсии, если g ( x )  I ( x ) , h ( x , y , z )  I ( x , y , z )  1 . Вычислите f ( 2,5) . 8. Найдите результат применения операции примитивной рекурсии h  R ( f , g ) , если g (u )  2u , f (u , y , z )  uyz . 9. Найдите результат применения операции примитивной рекурсии h  R( f , g ) , если f (u , v, y , z )  2 u vz и g (u , v )  u 2 v . 10. Какая функция получается из функций g и h с помощью схемы примитивной рекурсии, если: а) g ( x )  x , h ( x, y , z )  z x ; б) g ( x )  x , h ( x, y , z )  x z ; в) g ( x )  1 , h ( x , y , z )  z  ( x  1) ; г) g ( x )  x , h ( x , y , z )  x  y  f ( x ,0) ? 11. Докажите, что следующие функции примитивно рекурсивны: а) f ( x )  x  6 ; з) f ( x )  x 2  3 x  2 ; б) f ( x )  2 x  1 ; ж) f ( x)  3 x  5 ; в) f ( x )  x  x 2 ; г) f ( x )  x 3  3 ; 2 и) f ( x )  6 x  2 x  8 ; к) f ( x , y )  2 x  3 y ; x д) f ( x )  2 ; л) f ( x, y )  x 2 y ; е) f ( x)  x x ; ё) f ( x)  3x 2 1 м) f ( x, y )  xy  5 ; ; н) f ( x , y )  2 x  y . 12. Верны ли следующие равенства: а)  z [ y  z  x ]  x  y ; в)  y [ y  x  0]  0 ; �Содержание б)  z [ sg z  1]  1 ; г)  y [ y ( y  ( x  1))  0]  0 ? 13. Найдите результат применения операции минимизации  ( x )   y [ f ( x , y )  0] к следующим функциям: а) f ( x, y )  x  2 y ; г) f ( x , y )  y  x  1 ; б) f ( x , y )  y  x ; д) f ( x , y )  x  y  1 ; в) f ( x, y )  8 ; е) f ( x , y )  xy . 14. Докажите, что функция q ( x, y )  x является частично рекурсивной. y 15. Докажите, что функция h( x, y )   z [ y  z  x ] является общерекурсивной. 16. Докажите, что функция f ( x )   y [ x  1  y  0] является частично рекурсивной функцией, нигде не определенной. 17. Найдите функции, обратные к следующим функциям: 0, если x  0, а) sg x   1, если x  0 : б) f ( x )  3 x ; в) f ( x )  x 2 . 18. Изобразите с помощью кругов Эйлера взаимосвязь между следующими классами рекурсивных функций: 1) частично рекурсивные функции всюду определенные (общерекурсивные функции); 2) частично рекурсивные функции не всюду определенные; 3) частично рекурсивные функции нигде не определенные; 4) примитивно рекурсивные функции. �Содержание Глава 3. Машина Тьюринга § 1. Назначение и предпосылки создания машины Тьюринга § 2. Устройство машины Тьюринга § 3. Команды и порядок работы машины Тьюринга § 4. Вычислимые по Тьюрингу функции § 5. Основные операции над машинами Тьюринга § 6. Тезис Тьюринга § 7. Машины Тьюринга и современные электронно-вычислительные машины Вопросы к главе 3 Задания к главе 3 �Содержание 3.1. Назначение и предпосылки создания машины Тьюринга Возникновение машины Тьюринга связано с поиском ученых дать точный математический эквивалент для интуитивного представления об алгоритмах. Данная машина является еще одной широко известной моделью алгоритма. Машина Тьюринга была предложена в 1936 г. (за 9 лет до появления первой ЭВМ) английским математиком Аланом Тьюрингом как абстрактная вычислительная конструкция. Целью ее создания было получение возможности доказательства существования или несуществования алгоритмов решения различных задач. Руководствуясь этой целью, Тьюринг искал как можно более простую, «бедную» алгоритмическую схему, лишь бы она была универсальной. Прежде чем мы начнем знакомиться с машиной Тьюринга, необходимо сделать два общих замечания относительно объектов, с которыми работают алгоритмы. Замечание 1 Одной из причин расплывчивости интуитивного понятия алгоритма является разнообразие объектов, с которыми работают алгоритмы. В вычислительных алгоритмах объектами являются числа. В алгоритме шахматной игры объектами являются фигуры и их позиции на шахматной доске. В алгоритме форматирования текста слова некоторого языка и правила переноса слов. Однако во всех этих и других случаях можно считать, что алгоритм имеет дело не с объектами реального мира, а с некоторыми изображениями этих объектов. Например, есть алгоритм сложения двух целых чисел. Результатом сложения числовых объектов 26 и 22 будет числовой результат 48 . Но мы можем считать, что объектом этого алгоритма является входная последовательность, состоящая из пяти символов: « 26  22 », а результатом является последовательность, состоящая из двух символов « 48 ». При этом мы исходили из того, что имеется набор из 11 различных символов {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } . Используемые символы будем называть буквами, а их набор алфавитом. В общем случае буквами могут служить любые символы, требуется только, чтобы они были различны между собой, а их число было конечным. Определение 1 Произвольная конечная совокупность символов называется алфавитом. Определение 2 Любая конечная последовательность букв (символов) из некоторого алфавита называется словом в этом алфавите. Количество букв в слове называется длиной слова. Слово, в котором нет букв, называется пустым словом. Пример �Содержание A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } 48 алфавит, слово в алфавите A , длина которого равна 2 ; 26  22 слово в алфавите A , длина которого равна 5 . Алгоритм сложения двух целых чисел перерабатывает слово « 26  22 » в слово « 48 ». Итак, объекты реального мира можно изображать словами в различных алфавитах. Это позволяет считать, что объектами работы алгоритмов могут быть только слова. Определение 3 Слово, к которому применяется алгоритм, называется входным словом; слово, получаемое в результате работы алгоритма, называется выходным. Совокупность слов, к которым применим алгоритм, называется областью применимости алгоритма. К сожалению, нельзя доказать, что все возможные объекты можно описать словами, так как само понятие объекта не было формально (т. е. строго) определено. Но можно проверить, что для любого наугад взятого алгоритма, работающего не над словами, его объекты можно выразить так, что они становятся словами, а суть алгоритма от этого не меняется. Замечание 2 Любой алфавит можно заменить другим. Такая замена называется кодированием. Например, пусть каждой букве из первого алфавита ставится в соответствие код, представляющий собой слово во втором алфавите. В качестве второго алфавита достаточно иметь алфавит из двух букв, так как любое слово из любого алфавита можно закодировать в двухбуквенном алфавите с гарантией однозначного восстановления исходного слова. Следовательно, любой алгоритм можно свести к алгоритму над словами в алфавите {0, 1} , а перед применением алгоритма входное слово следует закодировать, после применения алгоритма выходное слово надо раскодировать. Будем считать, что алгоритмы работают со словами, и мы формально описываем объекты-слова, над которыми работают алгоритмы, в некотором алфавите. В дальнейшем для уточнения понятия алгоритма следует формально описать действия над объектамисловами и порядок выполнения этих действий. В качестве такой формальной схемы мы и рассмотрим машину Тьюринга. �Содержание 3.2. Устройство машины Тьюринга Машина Тьюринга является абстрактной машиной, т.е. существует не реально, а лишь в воображении. Машина Тьюринга это строгое математическое построение, математический аппарат (аналогичный, например, аппарату дифференциальных уравнений), созданный для решения определенных задач. Этот математический аппарат был назван «машиной» по той причине, что по описанию его составляющих частей и функционированию он похож на вычислительную машину. Принципиальное отличие машины Тьюринга от вычислительных машин состоит в том, что ее запоминающее устройство представляет собой бесконечную ленту: у реальных же вычислительных машин запоминающее устройство может быть как угодно большим, но обязательно конечным. Машину Тьюринга нельзя реализовать именно из-за бесконечности ее ленты. В этом смысле она мощнее любой вычислительной машины. Машина Тьюринга представляет собой систему, работающую в дискретные моменты времени t  0, 1, 2, 3,  и состоящую из следующих частей (рис. 4): 1. Ленты, разбитой на ячейки и бесконечной в обе стороны. В каждой ячейке может быть записан один символ из конечного алфавита A  {a0 , a1 , a2 ,  , am } , называемого внешним алфавитом. 2. Управляющего устройства, которое может находиться в одном из конечного числа внутренних состояний Q  {q0 , q1 , q 2 ,  , q n } . Число элементов в Q характеризует объем внутренней памяти машины. 3. Считывающей/пишущей головки (автомата), которая может перемещаться вдоль ленты и в каждый момент времени обозревает (считывает) одну из ячеек ленты. С каждой машиной Тьюринга связаны два конечных алфавита: 1) алфавит входных символов A  {a0 , a1 , a2 ,  , am } , в котором условимся считать a0 символом пустой ячейки; 2) алфавит внутренних состояний Q  {q0 , q1 , q 2 ,  , q n } , в котором условимся считать состояние q1 начальным (в этом состоянии машина всегда начинает работать), состояние q0 – заключительным (в этом состоянии машина всегда останавливается). Входное слово размещается на ленте по одной букве в расположенных подряд ячейках. Слева и справа от входного слова находятся только пустые ячейки (в алфавит A всегда входит «пустая» буква a0 символ того, что ячейка пуста). Пример �Содержание На ленте машины Тьюринга записано слово 11*111; автомат обозревает второй символ входного слова, считая справа. �Содержание 3.3. Команды и порядок работы машины Тьюринга Опишем, как машиной Тьюринга осуществляются алгоритмы по переработке входных слов. Функционирование машины Тьюринга происходит в дискретные моменты времени t  0,1, 2, 3, и заключается в следующем. В зависимости от того, какая буква ai обозревается автоматом, а также в зависимости от своего внутреннего состояния q j , автомат машины Тьюринга может выполнять следующие действия: − записать новую букву в обозреваемую ячейку; − выполнить сдвиг по ленте на одну ячейку вправо или влево, остаться на месте; − перейти в новое внутреннее состояние. Таким образом, работа машины Тьюринга определяется системой команд вида: q j ai  q k al X (1) , где qj исходное внутреннее состояние машины; ai считываемый символ; qk новое внутреннее состояние машины; al новый записываемый символ в обозреваемую изначально ячейку ленты машины Тьюринга; X  {Л , П , С} направление движения автомата, обозначаемое одним из символов: Л (влево), П (вправо), С (стоим на месте). Предполагается, что для каждой пары q j ai , где j  1, n , i  0, m имеется точно одна команда вида (1). Как же работает машина Тьюринга? Как этот универсальный исполнитель осуществляет переработку входного слова в выходное слово в соответствии с определенным алгоритмом? Опишем эту работу. Находясь в какой-либо момент времени в незаключительном состоянии (т. е. в состоянии, отличном от q0 ), машина совершает шаг, который полностью определяется ее текущим состоянием q j и символом ai , воспринимаемым ею в данный момент на ленте. При этом содержание шага регламентировано соответствующей командой q j a i  q k a l X , где X  { Л , П , С } . Шаг заключается в том, что: 1) содержимое ai обозреваемой на ленте ячейки стирается и на его место записывается символ al ; 2) машина переходит в новое состояние qk ; 3) машина переходит к обозреванию следующей правой ячейки от той, которая обозревалась только что, если Х  П , или к обозреванию следующей левой ячейки, если Х  Л , или же продолжает обозревать ту же ячейку, если Х  С . �Содержание В следующий момент времени (если qk  q0 ) машина делает шаг, регламентированный командой q k al  q r a s X и т. д. до тех пор, пока не будет достигнуто состояние останова q0 . Как только будет достигнуто заключительное состояние q0 машина Тьюринга остановится, при этом последовательность символов, записанных в этот момент на ленте машины Тьюринга, будет являться выходным словом. Ниже приведем несколько определений основных понятий, связанных с функционированием машины Тьюринга. Определение 1 Совокупность всех команд машины Тьюринга, описывающей определенный алгоритм, называется программой (или функциональной схемой) машины Тьюринга. Замечание Программа машины Тьюринга может записываться либо «цепочкой» команд через запятую, либо в виде таблицы (см. табл. 5), в каждой клетке которой записана команда. Отметим, что таблица, определяющая порядок работы машины Тьюринга, не является в прямом смысле слова программой, так как ее предписания выполняются не последовательно, одно за другим, а описывают преобразования символов входного слова, находящегося на ленте. Кроме того, подчеркнем, что программа машины Тьюринга с внешним алфавитом A  {a0 , a1 , a2 ,  , am } и алфавитом внутренних состояний Q  {q0 , q1 , q 2 ,  , q n } содержит ровно n ( m  1) команд (поясните почему). Таблица 5 Общий вид записи программы машины Тьюринга A a0 a1  ai  am q0       q1                Q qj    Л  q k al  П С         qn       �Содержание Определение 2 Под k -й конфигурацией будем понимать изображение ленты машины с информацией, сложившейся на ней к началу k -го шага (или слово в алфавите A , записанное на ленту к началу k -го шага), с указанием того, какая ячейка обозревается в этот шаг и в каком внутреннем состоянии находится машина. Конфигурация называется заключительной, если состояние, в которой при этом находится машина, заключительное. Определение 3 Активной зоной конфигурации назовем минимальную часть ленты машины, обозреваемую ячейку, а также все ячейки, в которых записаны непустые символы. содержащую Определение 4 Будем говорить, что непустое слово  в алфавите A \ {a0 }  {a1 , a 2 ,  , am } воспринимается машиной в стандартном положении, если оно записано в последовательных ячейках ленты, все другие ячейки пусты, и машина обозревает крайнюю справа ячейку из тех, в которых записано слово  . Определение 5 Стандартное положение называется начальным, если машина, воспринимающая стандартном положении, находится в начальном состоянии q1 . слово в Определение 6 Будем говорить, что слово  перерабатывается машиной в слово  , если от слова  , воспринимаемого в начальном стандартном положении, машина после выполнения конечного числа команд приходит к слову  , воспринимаемому в положении останова (в заключительном состоянии). Определение 7 Если в программе машины Тьюринга нет команды, приводящей машину в состояние останова, или машина в процессе работы не приходит в состояние q0 , то говорят, что машина Тьюринга неприменима к данному входному слову. Машина Тьюринга применима к входному слову только в том случае, если, начав работу над этим входным словом, она рано или поздно дойдет до состояния останова. �Содержание Пример Дана машина Тьюринга с внешним алфавитом A  {a0 ,1} , алфавитом внутренних состояний Q  {q0 , q1 , q2 } и со следующей функциональной схемой: q1a0  q2 a0 П ; q2 a0  q01C ; q11  q11П ; q21  q21П . Определим, в какое слово перерабатывает эта машина слово 1 a0 1, исходя из стандартного начального положения. Решение Будем последовательно выписывать конфигурации машины при переработке ею данного слова. Конфигурация (1) является начальной. Здесь автомат обозревает крайний правый символ входного слова, а машина находится в состоянии q1 . Поэтому применяем команду q11  q11П , в результате чего будет осуществлен переход к следующей конфигурации (2). В конфигурации (2) автомат обозревает пустую ячейку (символ a0 ), а машина находится в состоянии q1 . Поэтому используем команду q1a0  q2 a0 П . После ее применения состояние машины Тьюринга будет характеризоваться конфигурацией (3). В конфигурации (3) автомат обозревает символ a0 , а машина находиться в состоянии q2 , поэтому применяем команду q2 a0  q01С . В результате мы будем иметь конфигурацию (4). В конфигурации (4) машина находится в состоянии q0 , т. е. в состоянии останова. Поэтому последовательность символов внешнего алфавита на ленте в этот момент времени образует выходное �Содержание слово. Иными словами, исходное слово 1 a0 1 переработано данной машиной Тьюринга в выходное слово 1 a0 1 a0 1. Полученную последовательность конфигураций (1)–(4) можно записать более коротким способом: 1a0 q11  1a01q1a0  1a01a0 q2 a0  1a01a0 q01 (5) Подчеркнем, что в записи (5) важно следить за тем, чтобы в каждый момент времени внутреннее состояние машины Тьюринга qi было записано перед символом обозреваемой ячейки. �Содержание 3.4. Вычислимые по Тьюрингу функции В связи с тем, что машина Тьюринга осуществляет переработку каждого входного слова в выходное слово в соответствии с определенным алгоритмом, можно сказать, что машине Тьюринга соответствует некоторая словарная функция, которая каждому элементу из области определения (входному слову) ставит в соответствие единственный элемент из области значений (выходное слово). Здесь областью определения и областью значения словарной функции являются множества конечных слов в некоторых алфавитах, причем в случае, когда будут существовать слова из области определения, к которым данная машина Тьюринга неприменима, словарная функция будет являться частичной. Вышесказанное раскрывает взаимосвязь машины Тьюринга с понятием функции. Определение 1 Функция называется вычислимой по Тьюрингу, если существует машина Тьюринга, вычисляющая ее, т. е. такая машина Тьюринга, которая вычисляет ее значения для тех наборов значений аргументов, для которых функция определена, и работающая вечно, если функция для данного набора значений аргументов не определена. Замечания 1. Подчеркнем, что в определении 1 речь идет о функциях (возможно частичных, т. е. не всюду определенных), заданных на множестве натуральных чисел и принимающих также натуральные значения. 2. Условимся, как записывать на ленте машины Тьюринга значения x1 , x2 ,  , xn аргументов функции f ( x1 , x2 ,  , xn ) , из какого положения начинать переработку исходного слова и, наконец, в каком положении получать значение функции. Это можно делать, например, следующим образом. Значения x1 , x2 ,  , xn 01 101 10  01 10 x1 x2 xn аргументов будем располагать на ленте в виде следующего слова: x 1  1 , 0  0  0 x . Таким (1). Здесь полезно ввести следующие обозначения: 1 x x1 x x2 xn образом, предыдущее слово (1) можно представить следующим образом: 01 01 0  01 0 . Далее начинать переработку данного слова будем из стандартного начального положения, т. е. из положения, при котором в состоянии q1 обозревается крайняя правая единица записанного слова. Если функция f ( x1 , x2 ,  , xn ) определена на данном наборе значений аргументов, то в результате на ленте должно быть записано подряд f ( x1 , x2 ,  , xn ) единиц, т. е. 1 f ( x , x 1 2 ,, x n ) ; в противном случае машина должна работать бесконечно, т. е. никогда не приходить в состоянии останова q0 . При выполнении всех перечисленных условий будем говорить, что машина Тьюринга вычисляет данную функцию. Таким образом, сформулированное определение 1 становится строгим. Пример 1 �Содержание Разработаем программу машины Тьюринга, вычисляющую функцию S ( x )  x  1 . Решение Запишем исходную конфигурацию машины Тьюринга. Для того чтобы входное слово 01x 0 было переработано машиной Тьюринга в слово 01 x 10 , нужно применить следующие команды: q11  q11П ; q1 0  q01С . В результате заключительная конфигурация будет иметь вид: Отметим, что приведенное решение не единственное. Замечание При составлении программы машины Тьюринга, вычисляющей некоторую функцию f , мы не очень строго относимся к тому, в каком начальном положении машина начинает работать (часто это бывает стандартное начальное положение), в каком завершает работу и как эта работа протекает. В связи с этим, рассматривают более сильное понятие вычислимости функции на машине Тьюринга понятие правильной вычислимости. Определение 2 Будем говорить, что машина Тьюринга правильно вычисляет функцию f ( x1 , x2 ,  , xn ) , если начальное слово q1 01x 01x 0  01x 0 она переводит в слово q0 01 f ( x , x 1 2 n 1 2 ,, x n ) 0  0 и при этом в процессе работы не пристраивает к начальному слову новых ячеек на ленте ни слева, ни справа. Если же функция f не определена на данном наборе значений аргументов, то, начав работать из указанного положения, она никогда в процессе работы не будет надстраивать ленту слева. Пример 2 Разработаем программу машины Тьюринга, правильно вычисляющую функцию S ( x )  x  1 . �Содержание Решение Запишем исходную конфигурацию машины Тьюринга (1). Для того чтобы входное слово 01x 0 было переработано машиной Тьюринга в слово 01x 10 (причем заключительная конфигурация должна иметь вид q0 01x 10 ), нужно применить следующие команды: q1 0  q2 0 П , q21  q21П , q2 0  q31Л , q31  q31Л , q3 0  q0 0С . В итоге получим заключительную конфигурацию (2). �Содержание 3.5. Основные операции над машинами Тьюринга Прямое построение машин Тьюринга для решения даже простых задач может оказаться затруднительным. Однако существуют приемы, которые облегчают данный процесс, если использовать способы сочетания программ нескольких машин в результирующую программу. Рассмотрим основные способы сочетания машин Тьюринга. 1. Суперпозиция машин Пусть даны две машины Тьюринга T1 и T2 , которые вычисляют соответственно словарные функции f1 ( P ) и f 2 ( P) в одном и том же алфавите. Тогда существует машина Тьюринга T , которая вычисляет функцию f ( P )  f 2 ( f1 ( P )) . При этом для любого слова P функция f (P ) определена в том и только том случае, когда f1 ( P ) определена и f 2 ( f1 ( P )) определена. Программа машины T строится так: состояния машины T2 переобозначим так, чтобы они отличались от состояний машины T1 . Начальное состояние q11 машины T1 объявим начальным q1 для машины T , заключительное состояние q02 машины T2 объявим заключительным q0 для машины T . Заключительное состояние q01 машины T1 отождествим с начальным состоянием q12 машины T2 . Полученные T2 команды для обеих машин объединяем в одну программу. Рассмотрим начальную конфигурацию q1 P (в состоянии q1 обозревается первый символ входного слова P ). Поскольку q1  q11 начальное состояние машины T1 , то вначале машина T будет работать как T1 . Если машина T1 будет применима к q11 P , то на некотором шаге получим конфигурацию q01 f1 ( P ) 1 2 . А так как q0  q1 начальное состояние для машины T2 , то теперь машина T будет действовать как T2 . Если машина T2 будет применима к q01 f1 ( P ) , то на некотором шаге будет получена конфигурация q 02 f 2 ( f1 ( P )) , которая является заключительной для машины T , так как q02  q0 . Если машина T1 1 окажется неприменимой к q11 P или машина T2 окажется неприменимой к q0 f1 ( P ) , то машина T будет неприменимой к q1 P . называется суперпозицией Машина T суперпозицию изображают так: машин T1 и T2 P  f1 ( P )  f1 ( f 2 ( P )) T1 T2 и обозначается T1T 2 . Схематически . 2. Соединение машин Пусть даны машины Тьюринга T1 и T2 , вычисляющие словарные функции f1 ( P ) и f 2 ( P) соответственно. Тогда существует машина T , которая начальную конфигурацию q1 P переводит в заключительную конфигурацию q0 f1 ( P ) * f 2 ( P ) , если f1 ( P ) и f 2 ( P) определены, и неприменима в противном случае. Здесь * новый символ, не входящий во внешний алфавит машин T1 и T2 . Машина T называется соединением машин T1 и T2 и обозначается T1 *T2 . Существование машины T вытекает из следующих неформально описываемых конструкций. �Содержание Лента машины T является двухэтажной. В качестве внешнего алфавита T берут двухэтажные буквы b    , где a и b буквы внешнего алфавита машин T1 и T2 . Каждой букве a внешнего алфавита a  a0  машин T1 , T2 ставится в соответствие двухэтажная буква   , где a0 a  символ пустой буквы. Тогда  a0  a0   . Машина T будет работать слову P  ai  ai ставится в соответствие двухэтажное слово   a  a i i k   1  a 0  a 0   ai  ai   ai  ai   f 2 ( P )    a0  a0           . Причем здесь существование так:        a i  a i   a i  a i   f1 ( P )   f1 ( P )   f1 ( P ) * f 2 ( P )  машин Тьюринга для реализации каждого шага очевидно. 1 1 k k 1 k 1 k 1 k 3. Ветвление машин Пусть даны машины Тьюринга T1 и T2 , вычисляющие словарные функции f1 ( P ) и f 2 ( P) соответственно, которые заданы в одном и том же алфавите. Тогда существует машина Тьюринга T , которая начальную конфигурацию q1 * P , где   {0,1} , переводит в заключительную конфигурацию q0 f1 ( P ) , если   0 и в q0 f 2 ( P ) , если   1 . Машина T называется разветвлением машин T1 и T2 и обозначается T1vT2 . Схематически разветвление представлено на рис. 6. Рис. 6. Схематическое представление операции разветвления машин Тьюринга Существование машины T вытекает из следующих конструкций. Пусть q11 и q12 начальные состояния машин T1 и T2 соответственно. Считаем, что множества внутренних состояний машин не пересекаются. Объединим программы машин T1 и T2 , добавив новое начальное состояние q1 и 1 2 2 2 следующие команды: q1 0  q11a0 П , q11 *  q11a0 П , q1 1  q1 a 0 П , q1 *  q1 a 0 П . Теперь заключительные состояния q01 и q02 машин T1 и T2 объединим, а полученное состояние q0 считаем заключительным для машины T . Если q1 * P начальная конфигурация, то машина T через 2 шага перейдет в конфигурацию q11 P , если   0 , и в конфигурацию q12 P , если   1 , а затем будет работать как машина T1 или T2 соответственно. �Содержание 4. Реализация цикла Важным приемом в программировании является разбиение решаемой задачи на циклы. После выполнения каждого «прохода» цикла проверяется выполнимость некоторого условия. Если условие выполнено, то выдается результат, если нет, то цикл повторяется. Точнее, процедура задается так. Пусть имеем словарные функции f1 и f 2 и некоторый предикат  на словах. (Напомним, что n местным предикатом, определенным на множествах M 1 ,  , M n , называют выражение, содержащее n переменных x1 ,  , xn , превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных конкретных элементов из множеств M 1 ,  , M n соответственно.) Условимся значения предиката  обозначать 0, 1. Для произвольного слова P проверяется верно ли, что  ( P )  1 , если да, то выдается ответ f1 ( P ) . Если  ( P )  0 , то вычисляется P  f 2 ( P) . Затем проверяется верно ли, что  ( P )  1 , если да, то выдается ответ f1 ( P) ; если же окажется, что  ( P )  0 , то вычисляется P  f 2 ( P) и т. д. Оказывается, существует машина Тьюринга T , реализующая данную процедуру. Пусть существуют машины Тьюринга для вычисления функций f1 и f 2 и предиката  . Обозначим их T1 , T2 , T соответственно. Пусть T0 машина, которая оставляет всякое слово P без изменения. Машина T строится в соответствии со схемой, представленной на рис. 7. 2 Дадим некоторые пояснения к представленному рисунку. Заключительные состояния q01 и q 0 машин T1 и T2 не объединяются, а считаются различными. Состояние q01 объявляется заключительным для T1 , а q02 отождествляется с начальным состоянием q1 для T . Заключительное состояние для машины T *T0 объявляется начальным для T1vT2 . Из изложенного следует, что если T1vT2 работает как T1 , то полученное ею значение является выходом T , если же T1vT2 работает как T2 , то полученное ею значение снова подается на вход машины T . Рис. 7. Схематическое представление реализации цикла в машине Тьюринга Описанные выше операции над машинами Тьюринга (суперпозиция машин, соединение машин, ветвление машин, реализация цикла), являются удобным инструментом для конструирования машин Тьюринга. Ниже приведем список машин Тьюринга, которые часто используются в качестве составляющих для других машин: 1. A (перенос нуля): q1 001 x 0  q0 01 x 00 . 2. Б  (сдвиг вправо): q1ai 1x 0  ai 1x q0 0 . 3. Б  (сдвиг влево): 01x q1ai  q0 01x ai . �Содержание 4. B (транспозиция): q1 01 x 01 y 0  q0 01 y 01 x 0 . x x x x 5. K (копирование): q1 01 00 0  q 0 01 01 0 . x x 6. Л (стирающая машина): q1 01 0  q 0 00 0 . x 1 x 7. R (удаление 1): q1 01 0  q 0 01 00 . x x 1 8. S (добавление 1): q1 01 0  q 0 01 0 . В качестве упражнения читателю предлагается написать программы для вышеуказанных машин Тьюринга. Мы же приведем пример, как могут быть использованы эти машины для конструирования более сложной машины Тьюринга. Пример Разработаем машину Тьюринга, правильно вычисляющую функцию I 23 ( x1 , x2 , x3 )  x2 . Решение В соответствии с определением функции, правильно вычислимой на машине Тьюринга, мы должны переработать начальное слово q1 01x 01x 01x 0 в слово q0 01x 0 . Для этого будем использовать машины Тьюринга из списка (1)–(8). 1 2 3 2 q1 01x1 01x2 01x3 0  (указано, что будем применять машину (4)); ( 4) q 01x2 01x1 01x3 0 i1 B:     (результат применения машины (4)); ( 2) Б : 01x2 qi2 01x1 01x3 0    (результат применения машины (2)); (6) 01x2 qi3 00 x1 01x3 0 Л :    (результат применения машины (6)); ( 2) Б : 01x2 00 x1 qi4 01x3 0    (результат применения машины (2)); Л : 01x2 00 x1 qi5 00 x3 0    (результат применения машины (6)); (6) ( 3) 01x2 qi6 00 x1 00 x3 0 Б :    (результат применения машины (3));  ( 3) x x x Б  : q0 01 2 00 1 00 3 0 (результат применения машины (3)). �Содержание 3 Таким образом, функция I 2 ( x1 , x 2 , x3 )  x 2 вычисляется путем последовательного применения машин B , Б  , Л , Б  , Л , Б  , Б  . Подчеркнем, что нами приведена лишь общая схема реализации машины Тьюринга, правильно вычисляющей данную функцию (для написания же полной программы нужно строго следить за внутренним состоянием машины на каждом шаге ее работы). �Содержание 3.6. Тезис Тьюринга Вернемся к интуитивному представлению об алгоритмах. Напомним, что одно из свойств алгоритма заключается в том, что он представляет собой единый способ, позволяющий для каждой задачи из некоего бесконечного множества задач за конечное число шагов найти ее решение. На понятие алгоритма можно взглянуть и с несколько иной точки зрения. Каждую задачу из бесконечного множества задач можно выразить (закодировать) некоторым словом некоторого алфавита, а решение задачи каким-то другим словом того же алфавита. В результате получим функцию, заданную на некотором подмножестве множества всех слов выбранного алфавита и принимающую значения на множестве всех слов того же алфавита. Решить какую-либо задачу значит найти значение этой функции на слове, кодирующем данную задачу. А иметь алгоритм для решения всех задач данного класса значит иметь единый способ, позволяющий за конечное число шагов «вычислить» значения построенной функции для любых значений аргументов из ее области определения. Таким образом, алгоритмическая проблема по существу, проблема о вычислении значений функции, заданной в некотором алфавите. Остается уточнить, что значит уметь вычислять значения функции. Это значит вычислять значения функции с помощью подходящей машины Тьюринга. Для каких же функций возможно их тьюрингово вычисление? Многочисленные исследования ученых, обширный опыт показали, что такой класс функций чрезвычайно широк. Каждая функция, для вычисления значений которой существует какойлибо алгоритм, оказывалась вычислимой посредством некоторой машины Тьюринга. (Это можно обосновать тем, что язык Тьюрингова программирования содержит основные операторы программирования и позволяет осуществлять последовательное выполнение программ, параллельное их соединение, использовать условные переходы, реализовать цикл). Это является основанием для предположения о том, что для всех процедур, претендующих называться алгоритмическими, существует (при подходящем кодировании) реализующая их машина Тьюринга. Данное предположение носит название тезиса Тьюринга. Тезис Тьюринга Для нахождения значений функции, заданной в некотором алфавите, тогда и только тогда существует какой-нибудь алгоритм, когда функция является вычислимой по Тьюрингу, т. е. когда она может вычисляться на подходящей машине Тьюринга. Это означает, что строго математическое понятие вычислимой (по Тьюрингу) функции является по существу идеальной моделью взятого из опыта понятия алгоритма. Данный тезис есть не что иное, как аксиома, постулат, выдвигаемый нами, о взаимосвязях нашего опыта с той математической теорией, которую мы под этот опыт хотим подвести. Конечно же, данный тезис в принципе не может быть доказан средствами математики, потому что он не имеет внутриматематического характера (одна сторона в тезисе понятие алгоритма не является точным математическим понятием). Он выдвинут исходя из опыта, и именно опыт подтверждает его состоятельность. Впрочем, не исключается принципиальная возможность того, что тезис Тьюринга будет опровергнут. Для этого должна быть указана функция, которая вычислима с помощью какого-нибудь алгоритма, но не вычислима ни на какой машине Тьюринга. Но такая возможность представляется маловероятной (в этом одно из значений тезиса): всякий алгоритм, который будет открыт, может быть реализован на �Содержание машине Тьюринга. �Содержание 3.7. Машины Тьюринга и современные электронно-вычислительные машины Изучение машин Тьюринга и практика составления программ для них закладывают фундамент алгоритмического мышления, сущность которого состоит в том, что нужно уметь разделять тот или иной процесс вычисления или какой-либо другой деятельности на простые составляющие шаги. В машине Тьюринга расчленение (анализ) вычислительного процесса на простейшие операции доведено до предельной возможности: распознавание единичного рассмотренного вхождения символа, перемещение точки наблюдения данного ряда символов в соседнюю точку и изменение имеющейся в памяти информации. Конечно, такое мелкое дробление вычислительного процесса, реализуемого в машине Тьюринга, значительно его удлиняет. Но логическая структура процесса, расчлененного, образно выражаясь, до атомарного состояния, значительно упрощается и предстает в некотором стандартном виде, весьма удобном для теоретических исследований (именно такое расчленение на простейшие составляющие вычислительного процесса на машине Тьюринга дает еще один косвенный аргумент в пользу тезиса Тьюринга: всякая функция, вычисляемая с помощью какого-либо алгоритма, может быть вычислена на машине Тьюринга, потому что каждый шаг данного алгоритма можно расчленить на еще более мелкие операции, которые реализуются в машине Тьюринга.) Таким образом, понятие машины Тьюринга есть теоретический инструмент анализа алгоритмического процесса, а значит, анализа существа алгоритмического мышления. В современных ЭВМ алгоритмический процесс расчленен не на столь мелкие составляющие, как в машинах Тьюринга. Наоборот, создатели ЭВМ стремятся к известному укрупнению выполняемых машиной процедур (на этом пути, конечно, есть свои ограничения). Так, для выполнения операции сложения на машине Тьюринга составляется целая программа, а в современной ЭВМ такая операция является простейшей. Машина Тьюринга обладает бесконечной внешней памятью (неограниченная в обе стороны лента, разбитая на ячейки). Но ни в одной реально существующей машине бесконечной памяти быть не может. Это говорит о том, что машины Тьюринга отображают потенциальную возможность неограниченного увеличения объема памяти современных ЭВМ. Можно провести более подробный сравнительный анализ работы современной ЭВМ и машина Тьюринга. В большинстве ЭВМ принята трехадресная система команд, обусловленная необходимостью выполнения бинарных операций, в которых участвует содержимое сразу трех ячеек памяти. Например, число из ячейки a умножается на число из ячейки b, и результат отправляется в ячейку c. Существуют ЭВМ двухадресные и одноадресные. Так, одноадресная ЭВМ работает следующим образом: вызывается (в сумматор) число из ячейки a; в сумматоре происходит, например, умножение этого числа на число из ячейки b; результат отправляется из сумматора в ячейку c. Машину Тьюринга можно считать одноадресной машиной, в которой система одноадресных команд упрощена еще больше: на каждом шаге работы машины команда предписывает замену лишь единственного знака, хранящегося в обозреваемой ячейке, а адрес обозреваемой ячейки при переходе к следующему такту может меняться лишь на единицу (обозрение соседней справа или слева ячейки ленты) или не меняется вовсе. Это удлиняет процесс, но в то же время резко унифицирует его, делает стандартным. Подводя итоги, можно сказать, что современные ЭВМ есть некие реальные физические модели машин Тьюринга, огрубленные с точки зрения теории, но созданные в целях реализации конкретных вычислительных процессов. В свою очередь, понятие машины Тьюринга и теория таких машин есть теоретический фундамент и обоснование современных ЭВМ. �Содержание Вопросы к главе 3 1. Кем и когда была разработана машина Тьюринга? 2. Сформулируйте цель создания машины Тьюринга. 3. Что называется алфавитом? Приведите пример какого-либо алфавита. 4. Что называется словом? Какое слово считается пустым? Приведите пример слова, длина которого равна 7. 5. Поясните, что применительно к алгоритму называют входным словом, выходным словом. 6. Поясните сущность операции кодирования. Приведите пример какой-либо кодировки. 7. Как вы считаете, машина Тьюринга 8. Опишите основные составные части машины Тьюринга. Ответ проиллюстрируйте. 9. Раскройте суть алфавитов (внешнего и внутреннего), с которыми работает машина Тьюринга. это реальная или абстрактная машина? Ответ поясните. 10. В каком внутреннем состоянии машина Тьюринга начинает работать? В каком останавливается? 11. В чем суть следующей команды машины Тьюринга: q s an  qt am X , где X  { П , Л , С } ? 12. Что представляет собой программа (функциональная схема) машины Тьюринга? 13. Сколько команд может содержать программа машины Тьюринга, если ее внешний алфавит A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , а алфавит внутренних состояний Q  {q0 , q1 , q2 , q3 } ? 14. Что представляет собой конфигурация машины Тьюринга на i -шаге ее работы? 15. Что понимают под активной зоной конфигурации машины Тьюринга? 16. Что означают слова «слово p положении»? воспринимается машиной Тьюринга в стандартном 17. Чем характеризуется стандартное начальное положение машины Тьюринга? 18. Что означают слова «слово p1 перерабатывается машиной Тьюринга в слово p2 »? 19. Когда говорят, что машина Тьюринга применима (неприменима) к входному слову? 20. Какая функция называется вычислимой по Тьюрингу? 21. Что означают слова «машина Тьюринга работает вечно»? 22. Запишите начальную и заключительную конфигурацию для машины Тьюринга, вычисляющей функцию f ( x, y , z )  x  y  z , в том числе и для вычисления ее значения в точке ( 4,1,5) . 23. Какая функция называется правильно вычислимой по Тьюрингу? Является ли правильно вычислимая по Тьюрингу функция вычислимой по Тьюрингу? 24. Перечислите, какие основные операции можно выполнять с машинами Тьюринга. 25. Раскройте суть суперпозиции машин Тьюринга. �Содержание 26. Раскройте суть соединения машин Тьюринга. 27. Раскройте суть ветвления в машине Тьюринга. 28. Раскройте суть реализации цикла в машине Тьюринга. 29. Назовите, какие машины Тьюринга часто используются в качестве составляющих для других машин Тьюринга. 30. Сформулируйте тезис Тьюринга и раскройте его роль в теории алгоритмов. 31. Выделите общее и различное между машинами Тьюринга и современными электронновычислительными машинами. �Содержание Задания к главе 3 1. Опишите, какой алгоритм выполняет данная машина Тьюринга. Известно, что в начальном состоянии автомат обозревает самый левый символ входного слова. К каким словам, составленным из символов внешнего алфавита применима эта машина Тьюринга? 2. Опишите, какой алгоритм выполняет данная машина Тьюринга. К каким словам, составленным из символов внешнего алфавита, применима машина? Какое условие надо наложить на начальное положение автомата для того, чтобы результат применения машины к произвольному слову из алфавита был одним и тем же? 3. Опишите, какой алгоритм выполняет данная машина Тьюринга. Автомат в начальном состоянии обозревает самый правый символ входного слова. К каким словам, составленным из символов внешнего алфавита применима машина? 4. Покажите, что машина Тьюринга обладает всеми свойствами алгоритма. 5. Дана машина Тьюринга с внешним алфавитом A  {a01} , алфавитом внутренних состояний Q  {q0 , q1 , q 2 , q3 , q 4 , q5 , q6 , q7 } и со следующей функциональной схемой (программой): Изображая на каждом такте работы машины получающуюся конфигурацию, определите, в какое слово перерабатывает машина каждое из следующих слов, исходя из начального стандартного положения: а) 11111; е) 1 a0 111 a0 a0 1111; �Содержание б) 111111; в) 1111; г) 1111111; д) 111; ж) 11 a0 a0 111111; з) 11 a0 111. 6. Остановится ли когда-нибудь заданная машина Тьюринга, если она начнет перерабатывать следующее слово, начав в состоянии q1 обозревать ячейку, в которой записана самая левая буква перерабатываемого слова: а) 1111 a0 1; б) 11111; в) 1 a0 1 a0 1? Если машина остановится, то какова ее заключительная конфигурация? 7. Машина Тьюринга с внешним алфавитом A  {a0 ,1} определяется следующей функциональной схемой: Остановится ли когда-нибудь эта машина, если она начнет перерабатывать следующее слово (в начальный момент в состоянии q1 машина обозревает ячейку, в которой записана самая левая буква перерабатываемого слова): а) 111 a0 a0 1; б) 11 a0 a0 11 a0 1; в) 111111? Если остановка происходит, то какое слово получается в результате, какая ячейка и в каком (перед остановкой) состоянии обозревается? 8. Остановится ли когда-нибудь машина Тьюринга с внешним алфавитом A  {a0 ,1} и функциональной схемой: при переработке следующих слов (в начальный момент головка машины обозревает ячейку ленты, в которой записана самая левая буква перерабатываемого слова): �Содержание а) 111 a0 1 a0 1; в) 1 a0 1 a0 1 a0 1? б) 1111; 9. Машина Тьюринга определяется следующей функциональной схемой. Определите, в какое слово перерабатывает машина каждое из следующих слов, исходя из начального стандартного состояния. После этого постарайтесь усмотреть общую закономерность в работе машины: а) 111*111; б) 1111*11; в) 111*1; г) 1*11; д) 11*111; е) 11111*; ж) *1111 10. Машина Тьюринга определяется следующей функциональной схемой. Определите, в какое слово перерабатывает машина каждое из следующих слов, исходя из стандартного начального состояния: а) 111*11; б) 11*11; в) 1111*1; г) 11111*111; д) 11111*1111. Постарайтесь выявить общую закономерность в работе машины. 11. На ленте записаны два числа в двоичной системе счисления, разделенные звездочкой: Определите, какую операцию проделает с ними машина Тьюринга, начиная из стандартного начального положения, если программа машины задается таблицей: q1 q2 q3 q4 q5 q6 �Содержание a0 q0 a0 С q11Л q5 a 0 П q6 a0 Л 1 q2 0 Л q21Л q4 0 Л q41Л q51П q6 0 Л 0 q2 0 Л q3 0 Л q4 0 Л q5 0 П q6 0 Л * q3 * Л q5 * П q3 * Л 12. Вопрос, аналогичный вопросу из предыдущей задачи, для ленты и для машины Тьюринга с программой: q11  q1 0 Л , q1 0  q1 0 Л , q21  q2 0 Л , q 2 0  q3 0 Л q 3 1  q 4 1Л , q1*  q2 * Л , q41  q1 0 Л , q1 a 0  q 0 a 0 С , . 13. Постройте такую машину Тьюринга, которая из n записанных подряд единиц оставляла бы на ленте ( n  2) единицы, также записанные подряд, если n  2 , и работала бы вечно, если n  0 или n 1 . ... 11 , n  1 . Постройте машину Тьюринга с внешним  14. Известно, что на ленте записано слово 11 n алфавитом A  {a0 ,1} , которая отыскивала бы левую единицу этого слова (т. е. приходила бы в состояние, при котором обозревалась бы ячейка с самой левой единицей данного слова, и в этом положении останавливалась), если в начальный момент головка машины обозревает одну из ячеек с буквой данного слова. 15. Сконструируйте машину Тьюринга с внешним алфавитом A  {a0 ,1} , которая каждое слово в алфавите A1  {1} перерабатывает в пустое слово, исходя из стандартного начального положения. 16. Сконструируйте машину Тьюринга с внешним алфавитом A  {a0 ,1} , которая каждое слово длиной n в алфавите A1  {1} перерабатывает в слово длиной n  1 в том же алфавите A1 . 17. Постройте машину Тьюринга для подсчета на ленте количества штрихов, которые располагаются �Содержание подряд и образуют входное слово, при этом требуется стереть все штрихи и записать на ленте их количество в десятичной системе. Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 18. Постройте машину Тьюринга, которая во входном слове все буквы «а» заменит на буквы «б». Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 19. Дано число в восьмеричной системе счисления. Разработайте машину Тьюринга, которая увеличивала бы заданное число на 1. Автомат в состоянии q1 обозревает некую цифру входного слова. Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 20. Дано натуральное число n  1 . Разработайте машину Тьюринга, которая уменьшала бы заданное число n на 1, при этом в выходном слове старшая цифра не должна быть 0. Например, если входным словом было «100», то выходным словом должно быть «99», а не «099». Автомат в состоянии q1 обозревает правую цифру числа. Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 21. Даны два натуральных числа m и n , представленные в унарной системе счисления. Соответствующие наборы символов (последовательности единиц) разделены пустой клеткой. Автомат в состоянии q1 обозревает самый правый символ входной последовательности. Разработайте машину Тьюринга, которая на ленте оставит сумму чисел m и n . Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 22. Даны два натуральных числа m и n , представленные в унарной системе счисления. Соответствующие наборы символов (последовательности единиц) разделены пустой клеткой. Автомат в состоянии q1 обозревает самый правый символ входной последовательности. Разработайте машину Тьюринга, которая на ленте оставит разность чисел m и n . Известно, что m  n . Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 23. На ленте машины Тьюринга записаны два набора единиц. Они разделены *. Составьте функциональную схему машины так, чтобы она выбрала больший из этих наборов, а меньший стерла, исходя из стандартного начального положения. Звездочка должна быть сохранена, чтобы было видно, какой из массивов выбран. 24. На ленте машины Тьюринга находится десятичное число. Определите, делится ли это число на 5 без остатка. Если делится, то запишите справа от числа слово «да», иначе – «нет». Автомат обозревает некую цифру входного числа. Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. �Содержание 25. Дан массив из открывающихся и закрывающихся скобок. Постройте машину Тьюринга, которая удаляла бы пары взаимных скобок, т. е. расположенных подряд «( )». Автомат в состоянии q1 обозревает крайний левый символ строки. Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 26. Дана строка из букв a и b . Разработайте машину Тьюринга, которая переместит все буквы a в левую, а буквы b в правую часть строки. Каретка находится над крайним левым символом строки. Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 27. На ленте машины Тьюринга находится число, записанное в десятичной системе счисления. Умножьте это число на 2. Автомат в состоянии q1 обозревает крайнюю левую цифру числа. Кроме самой программы-таблицы опишите словами, что выполняется машиной в каждом состоянии. 28. Алфавит {0, 1, 2, 3}. Стереть четвертую слева цифру «3». Если это удастся (т. е. если четвертая слева тройка существует), записать в этой клетке символ, который стоит непосредственно после нее. Если нет, то стереть всё слово. 29. Алфавит {0, 1, 2}. Определить, есть ли в слове два подряд вхождения символа «2». Если да, то каждую пару символов «2» заменить на пару символов «1». Если нет, то стереть все слово и записать вместо него символ «*». 30. Алфавит {0, 1}. Стереть вторую справа цифру «0». Если это удастся, то после выполнения данной операции записать в этой клетке символ, который стоит непосредственно перед ней. Если нет, стереть слово. 31. Алфавит {0, 1, 2}. Определить, есть ли в слове последовательность «012». Если есть одна или больше, то все такие последовательности заменить на последовательность «***». Если нет ни одной искомой последовательности, то приписать к концу слова символ «–». 32. Постройте следующие машины Тьюринга: а) A (перенос нуля): q1 001 x 0  q 0 01 x 00 . x x б) Б  (сдвиг вправо): q1 a i 1 0  a i 1 q 0 0 . x x в) Б  (сдвиг влево): 01 q1a i  q 0 01 a i . x y y x г) B (транспозиция): q1 01 01 0  q 0 01 01 0 . �Содержание x x x x д) K (копирование): q1 01 00 0  q 0 01 01 0 . x x е) Л (стирающая машина): q1 01 0  q 0 00 0 . x 1 x ж) R (удаление 1): q1 01 0  q 0 01 00 . x x 1 з) S (добавление 1): q1 01 0  q 0 01 0 . 33. Докажите, что следующие функции вычислимы по Тьюрингу, для чего постройте машины Тьюринга, вычисляющие их: а) f ( x , y )  x  y ; 0, если x  0, б) f ( x)  x  1    x  1, если x  0; 0, если x  0, в) sg ( x )   1, если x  0; 0, если x  0, г) sg ( x )   1, если x  0; 0, если x  y , д) f ( x, y )  x  y   1, если x  y; е) f ( x , y )  x  y ; x ж) f ( x )  ; 2 x з) f ( x )    2 целая часть числа x ; 2 и) f ( x, y )  НОД ( x, y ) ; к) f ( x )  2 x  1 ; 1 л) f ( x )    ; x м) f ( x )  1 ; x2 1, если x делится на 3, н) f ( x )   0, если x не делится на 3. �Содержание 34. Машина Тьюринга имеет следующую функциональную схему: q1 q2 q3 0 q21Л q31П q0 0С 1 q11П q21Л q01С Найдите формульное выражение функции f (x ) , вычисляемой машиной. Изначально машина находится в стандартном начальном положении. 35. По программе машины Тьюринга напишите вычисляемой этой машиной: формульное выражение q1 q2 q3 q4 q5 q6 0 q2 0 П q1 0 Л q4 0 Л q4 0 Л q6 0 П q0 0С 1 q11П q3 0 П q3 0 П q51Л q51Л q0 1С функции f ( x, y ) , Изначально машина находится в состоянии q1 и обозревает самый левый символ входного слова. 36. Какую функцию f (x ) вычисляет машина Тьюринга со следующей программой: q1 0  q2 0 П , q11  q01C , q1 0  q31C , q21  q21П , q3 0  q0 0C , q31  q31Л ? 37. Пусть машина Тьюринга имеет следующую программу: q1 0  q0 0С . Какие функции f (x ) , f ( x1 , x2 ) , …, f ( x1 ,  , xn ) вычисляет эта машина? 38. Постройте машины Тьюринга для правильного вычисления функций: а) О ( х )  0 ; б) f ( x )  x  1 ; в) f ( x )  sg ( x ) ; г) f ( x )  sg ( x ) ; д) f ( x )  x  y ; е) f ( x )  x  y . 39. Обоснуйте, что машина Тьюринга является конечным автоматом. (Конечным автоматом называется шестерка объектов: A = {S,X,Y,s0,d,v}, где �Содержание S – конечное непустое множество (состояний); X – конечное непустое множество входных сигналов (входной алфавит); Y – конечное непустое множество выходных сигналов (выходной алфавит); s0 Є S – начальное состояние; d: S×X → S – функция переходов; v: S×X → Y – функция выходов.) 40. Покажите на конкретном примере, как машину Тьюринга (по аналогии с конечным автоматом) можно задать в виде ориентированного графа. �Содержание Глава 4. Машина Поста § 1. Назначение и устройство машины Поста § 2. Команды и порядок работы машины Поста § 4. Тезис Поста Вопросы к главе 4 Задания к главе 4 �Содержание 4.1. Назначение и устройство машины Поста Почти одновременно с Тьюрингом американский математик Эмиль Пост в 1937 году предложил иную абстрактную машину (алгоритмическую модель), характеризующуюся еще большей простотой, чем машина Тьюринга. Это строгое математическое построение было также предложено в качестве уточнения понятия алгоритма. Идеи Эмиля Поста оказались настолько фундаментальны, что к ним вернулись через 30 лет. В 1967 г. профессор В.А. Успенский пересказывает их с новых позиций, именно он вводит термин машины Поста, трактуя ее как абстрактную машину, которая работает по алгоритмам, разработанным человеком. Машина Поста, как и машина Тьюринга, представляет собой универсального исполнителя, являющегося полностью детерминированным, позволяющему «вводить» начальные данные и после выполнения программ «читать» результат. Машина Поста является менее популярной, чем машина Тьюринга, хотя она устроена проще в том отношении, что ее элементарные действия проще, чем элементарные действия машины Тьюринга, и способы записи менее разнообразны. Именно по этим причинам запись и переработка информации на машине Поста требует, вообще говоря, большего объема «памяти» и большего числа шагов, чем на машине Тьюринга. В основе создания машины Поста лежат следующие идеи: − вся информация, которая должна быть обработана по существу, должна быть обработана по форме, т. е. с помощью двоичного алфавита; − вся информация должна обрабатываться побуквенно. В соответствии с указанными идеями машина Поста была разработана как абстрактная конструкция, представляющая собой бесконечную ленту, разделенные на одинаковые клетки, каждая из которых может быть либо пустой, либо заполненной меткой «V» (рис. 8). Подчеркнем, что это ограничение не влияет на универсальность машины Поста, так как любой алфавит может быть закодирован двумя знаками. Кроме ленты в машине Поста имеется каретка (головка чтения/записи), которая: − умеет перемещаться вдоль ленты на одну клетку вправо или влево; − умеет наносить в обозреваемую клетку метку, если этой метки там ранее не было; − умеет стирать метку, если она была в обозреваемой ячейке; − умеет проверять наличие в клетке метки. Рис. 8 Информация о заполненных метками клетках ленты характеризует состояние ленты, которое может меняться в процессе работы машины. В каждый момент времени каретка находится над одной из клеток ленты (обозревает ее). Информация о местоположении каретки вместе с состоянием ленты �Содержание характеризует состояние машины Поста. Замечание Состояние машины Поста отличается от состояния машины Тьюринга: − в машине Тьюринга состояние определяет, что следует записать в обозреваемую ячейку для каждого определенного символа, задает характер движения каретки и, наконец, указывает новое состояние машины; − в машине Поста состояние описывает местонахождение каретки и состояние ленты. �Содержание 4.2. Команды и порядок работы машины Поста Все команды машины Поста имеют следующую структуру: nKm , где n номер текущей команды; K действие, выполняемое кареткой; m номер следующей команды, подлежащей выполнению. Существует всего шесть действий, выполняемых кареткой машины Поста, а поэтому существует всего шесть команд машины Поста (таблица 6). �Содержание Таблица 6 Система команд машины Поста �Содержание �Содержание Подчеркнем, что ситуации, в которых каретка должна наносить метку там, где она уже есть, или, наоборот, стирать метку там, где ее нет, являются аварийными (недопустимыми). Программой для машины Поста будем называть непустой список команд, такой, что: 1) на n -ом месте команда с номером n ; 2) номер m каждой команды совпадает с номером какой-либо команды списка. Работа машины Поста состоит в том, что каретка передвигается вдоль ленты и печатает или стирает метки. Чтобы машина Поста работала, надо задать некоторую программу и некоторое состояние машины (т. е. нужно как-то расставить метки по ячейкам ленты, в частности, можно все секции оставить пустыми и поставить каретку против одной из ячеек). �Содержание Работа машины на основании заданной программы происходит следующим образом: машина приступает к выполнению первой команды программы; эта команда выполняется за один шаг, после чего машина приступает к выполнению той команды, номер которой равен отсылке первой команды. Эта команда также выполняется за один шаг, после чего начинается выполнение той команды, номер команды которой равен отсылке предыдущей команды и т. д. Вообще каждая команда выполняется за один шаг, а переход от выполнения одной команды к выполнению другой происходит по следующему правилу: пусть на k -ом шаге выполнялась команда с номером n , тогда: 1) если эта команда имеет единственную отсылку m , то на ( k  1) -ом шаге выполняется команда с номером m ; 2) если эта команда имеет две отсылки m1 и m2 , то на (k  1) -ом шаге выполняется одна из двух команд с номером m1 или с номером m2 ; 3) если же выполняющаяся на k -ом шаге команда вовсе не имеет отсылки, то на (k  1) -ом шаге и на всех последующих шагах не выполняется никакая команда – машина останавливается. Возможны следующие случаи останова машины Поста: 1) в ходе выполнения программы машина дойдет до выполнения команды остановки; программа в этом случае считается выполненной, машина останавливается происходит результативная остановка; 2) в ходе выполнения программы машина дойдет до выполнения невыполнимой команды; выполнение программы прекращается, машина останавливается происходит безрезультативная остановка. Кроме того, возможна программа, при выполнении которой машина не останавливается никогда; в этом, как и в предыдущем случае, мы имеем дело с некорректным алгоритмом (программой). �Содержание 4.3. Примеры типичных программ машины Поста Пример 1 На ленте проставлена отметка в одной-единственной ячейке. Каретка стоит на некотором расстоянии слева от этой ячейки. Необходимо подвести каретку к ячейке, стереть отметку и остановить каретку слева от нее. Решение Исходное состояние машины следующее: Сначала попробуем описать алгоритм обычным языком. Поскольку нам известно, что каретка стоит напротив пустой ячейки, но неизвестно, сколько шагов нужно совершить до непустой ячейки, мы можем сразу сделать шаг вправо, проверить, заполнена ли ячейка, после чего повторять эти действия до тех пор, пока не наткнемся на заполненную ячейку. Как только мы ее найдем, мы выполним операцию стирания, после чего нужно будет лишь сместить каретку влево и остановить выполнение программы. Программа для машины Поста: 1 2 2 ?1,3 3X 4 45 5! Проиллюстрируем состояние машины Поста на каждом шаге ее работы: �Содержание Замечание Команда передачи (условного перехода) n ? m1, m 2 является одним из основных средств организации циклических процессов, например, для нахождения первой метки справа (или слева) от каретки, расположенной над пустой ячейкой; нахождение слева (или справа) от каретки пустой клетки, если она расположена над меткой и т. д. �Содержание Остановимся на представлении чисел на ленте машины Поста и выполнении операций над ними. Число k представляется на ленте машины Поста идущими подряд k метками. Между двумя числами делается интервал, как минимум, из одной пустой ячейки на ленте. Например, запись чисел 3 и 4 на ленте машины Поста будет выглядеть так: Пример 2 Составим программу для прибавления к произвольному числу единицы. Предположим, что на ленте записано только одно число и головка находится над одной из клеток, в которой находится метка, принадлежащая этому числу: Решение Для решения задачи можно перенести каретку влево (или вправо) до первой пустой клетки, а затем нанести метку. Программа, добавляющая к числу метку слева, имеет вид: 1 2 2 ? 3,1 3V 4 4! Программа, добавляющая к числу метку справа, имеет вид: 1 2 2 ? 3,1 3V 4 4! Пример 3 Приведем программу для сложения двух натуральных чисел a и b . Между числами – несколько неотмеченных клеток. Каретка находится где-то над первым числом: �Содержание Решение Реализуем следующий алгоритм сложения двух чисел: будем двигаться к первой левой метки первого числа, затем первую левую метку сотрем, и будем двигаться к крайней правой метки первого числа, затем припишем недостающую у первого числа метку справа (теперь первое число будет придвинуто ко второму на одну ячейку); так будем действовать до тех пор, пока числа a и b не сольются на ленте машины Поста. Приведем соответствующую программу машины Поста с кратким комментарием сущности каждой используемой в ней команды: Коман да Комментарий к команде 1 2 Поиск начала первого числа: сдвигаемся влево 2 ? 3,1 до тех пор, пока не встретим неотмеченную ячейку. 34 Сдвигаемся вправо, на первую метку первого числа и 4X 5 удаляем ее. 56 Ищем конец первого числа: сдвигаемся вправо 6 ? 7,5 пока каретка не встанет на неотмеченную ячейку и 7V 8 ставим метку. 89 Проверяем, заполнился ли промежуток между числами: 9 ?1,10 если не заполнился – переход на первую команду, иначе – 10! конец. �Содержание 4.4. Тезис Поста Тезис Поста Всякий алгоритм представим в форме машины Поста. Этот тезис одновременно является формальным определением алгоритма: алгоритм (по Посту) программа для машины Поста, приводящая к решению поставленной задачи. Тезис Поста является гипотезой. Его невозможно строго доказать (так же, как и тезис Тьюринга), потому что в нем фигурирует, с одной стороны, интуитивное понятие алгоритма, а с другой точное понятие «машина Поста». Обоснование тезиса Поста сегодня происходит не путем строго математического доказательства, а путем эксперимента действительно, всякий раз, когда указывается какой-либо алгоритм, его можно перевести в форму программы машины Поста, приводящей к тому же результату. Замечание Машину Поста, как и машину Тьюринга, можно рассматривать как упрощенную модель ЭВМ. В самом деле, как ЭВМ, так и машина Поста имеют: – неделимые носители информации (клетки незаполненными; – ограниченный набор элементарных действий такт (шаг). биты), которые могут быть заполненными или команд, каждая из которых выполняется за один Обе машины работают на основе программы. Однако в машине Поста информация располагается линейно и читается подряд, а в ЭВМ можно читать информацию по адресу; набор команд ЭВМ значительно шире и выразительнее, чем команды машины Поста и т. д. �Содержание Вопросы к главе 4 1. Кем и когда была разработана машина Поста? 2. Сформулируйте идеи, которые легли в основу создания машины Поста. 3. Опишите основные составные части машины Поста. 4. Что называют состоянием машины Поста? 5. Чем состояние машины Поста отличается от состояния машины Тьюринга? 6. Сколько существует основных типов команд машины Поста? Раскройте их суть. 7. При выполнении каких команд машины Поста может произойти аварийная ситуация (остановка)? Как этого избежать? 8. Что представляет собой программа машины Поста? 9. Опишите, как происходит работа машины Поста на основе программы. 10. Какие случаи останова машины Поста возможны? Какие из них являются некорректными? 11. Сформулируйте тезис Поста. 12. Раскройте роль машины Поста в теории алгоритмов �Содержание Задания к главе 4 1. Начальное состояние: лента машины Поста пуста. Что будет находиться на ленте в результате работы следующей программы? 1V 2 23 3 1 2. Известно, что на ленте машины Поста находится метка. Напишите программу, которая находит ее. 3. На ленте имеется массив из n отмеченных ячеек. Каретка обозревает крайнюю левую отметку. Справа от данного массива на расстоянии в m ячеек находится еще одна отметка. Составьте для машины Поста программу, придвигающую данный массив к данной ячейке. 4. На ленте расположены два массива разной длины. Они разделены одной пустой ячейкой. Каретка обозревает крайний элемент одного из них. Составьте программу для машины Поста, сравнивающую длины массивов и стирающую больший из них. Отдельно продумайте случай, когда длины массивов равны. 5. Дан массив из n меток (т. е. идущих подряд отмеченных ячеек). Каретка обозревает крайнюю левую ячейку. Составьте для машины Поста программу, расставляющую эти метки на ленте так, чтобы между каждой парой было по одной пустой ячейке. 6. На ленте машины Поста расположен массив в n ячейках. Необходимо справа от данного массива через одну пустую ячейку разместить массив, вдвое больший (он должен состоять из 2n меток). При этом исходный массив может быть стерт. 7. На ленте машины Поста расположен массив из n меток (метки расположены через пробел). Нужно сжать массив так, чтобы все n меток занимали n расположенных подряд ячеек. 8. На ленте машины Поста расположено n массивов меток, отделенных друг от друга свободной ячейкой. Каретка находится над крайней левой меткой первого (левого) массива. Определите количество массивов. 9. На ленте машины Поста расположен массив из n меток. Составьте программу, действуя по которой, машина выяснит, делится ли число n на 3. Если да, то после массива через одну пустую секцию поставьте метку. �Содержание 10.На ленте задан массив. Вычислите остаток от деления длины заданного массива на 3. Каретка располагается над первой ячейкой массива. 11.На ленте машины Поста расположен массив из 2n  1 меток. Составьте программу нахождения средней метки массива и стирания ее. 12.На ленте машины Поста расположен массив из 2n отмеченных секций. Составьте программу, по которой машина Поста раздвинет на расстояние в 1 секцию две половины данного массива. 13.На ленте машины Поста находятся два массива из m и n меток. Составьте программу выяснения, одинаковы ли массивы по длине. 14.На ленте задан массив меток. Нужно увеличить длину массива в 2 раза. Каретка находится либо слева от массива, либо над одной из ячеек самого массива. 15.На ленте заданы два массива – m и n, m > n. Вычислить разность этих массивов. Каретка располагается над левой ячейкой правого массива. 16.На ленте имеется некоторое множество меток (общее количество меток не менее 1). Между метками множества могут быть пропуски, длина которых составляет одну ячейку. Заполнить все пропуски метками. 17.Дан массив меток. Каретка располагается где-то над массивом, но не над крайними метками. Стереть все метки, кроме крайних, и поставить каретку в исходное положение. 18.Дано N массивов меток. Массивы разделены тремя пустыми ячейками. Количество меток в массиве не меньше двух. Если количество меток в массиве кратно трем, то стереть метки в этом массиве через одну, в противном случае стереть весь массив. Каретка находится над крайней левой меткой первого массива. �Содержание Глава 5. Машины произвольного доступа В данной главе рассмотрим такую алгоритмическую модель (уточнение понятия алгоритма), как машины произвольного доступа. Они были предложены достаточно недавно (в 1970-х годах) с целью моделирования реальных вычислительных машин и анализа сложности вычислений. § 1. Устройство и порядок работы машины произвольного доступа § 2. Вычисление функций на машине произвольного доступа § 3. Композиция программ машин произвольного доступа Вопросы к главе 5 Задания к главе 5 �Содержание 5.1. Устройство и порядок работы машины произвольного доступа Машина произвольного доступа (МПД) состоит из бесконечного числа регистров R1, R2, R3…, в каждом из которых может быть записано натуральное число или нуль. Определение Пусть rn – число, записанное в регистре Rn, n Є N. Состоянием машины произвольного доступа или конфигурацией назовем последовательность чисел (r1, r2, r3,…). Функционирование машины произвольного доступа заключается в изменении конфигураций путем выполнения команд в порядке их написания. Машина произвольного доступа имеет следующие типы команд: 1. Команды обнуления. Для всякого n Є N имеется команда Z(n). Действие команды Z(n) заключается в замене содержимого регистра Rn на 0. Содержимое других регистров не меняется. Обозначение действия Z(n)-rn: 0. 2. Команды прибавления единицы. Для всякого n Є N имеется команда S(n). Действие команды S(n) заключается в увеличении содержимого регистра Rn на 1. Содержимое других регистров не меняется. Обозначение действия S(n)-rn: rn+1. 3. Команды переадресации. Для всех m,n Є N имеется команда T(m,n). Действие команды T(m,n) заключается в замене содержимого регистра Rn числом rm, хранящемся в регистре Rт. Содержимое других регистров не меняется (включая и регистр Rт). Обозначение действия: T(m,n)-rn: rm или rm → Rn. 4. Команды условного перехода. Для всяких m,n,q Є N имеется команда J(m,n,q). Действие этой команды заключается в следующем: «Сравнивается содержимое регистров Rm и Rn, затем: − если rn = rm то МПД переходит к выполнению команды с номером q в списке команд; − если rn ≠ rm то МПД переходит к выполнению следующей команды в списке команд». Конечная, упорядоченная последовательность команд данных типов составляет программу МПД. Рассмотрим порядок работы машины произвольного доступа. Пусть зафиксирована начальная конфигурация K0(a1 ,a2,…) чисел и программа P = I1I2…Is. Тогда однозначно определена последовательность конфигураций: K0 , K1, K2, …, Kt , Kt+1, … , (1) где K1 есть конфигурация, полученная из K0 применением команды I1. Пусть на некотором шаге выполнена команда It и получена конфигурация Kt. Тогда: �Содержание если It не есть команда условного перехода, следующая конфигурация Kt+1 есть конфигурация, полученная из Kt применением команды It+1; если It есть команда условного перехода, т. е. It = J(m,n,q), то Kt+1 получается из Kt применением команды Iq, если rn = rm в конфигурации Kt и команды It+1, если rn ≠ rm. Последовательность (1) будет обозначаться также P(a1,a2,…) или P(K0) и называться вычислением. Вычисление (работа машины) останавливается в следующих случаях: 1) выполнена последняя команда, т. е. t = s и It не есть команда условного перехода; 2) если It = J(m,n,q), rn = rm в конфигурации Kt и q > s; 3) если It = J(m,n,q), rn ≠ rm в конфигурации Kt и t = s. Если вычисление остановилось, то последовательность (r1,r2,…) содержимого регистров R1,R2,… называется заключительной конфигурацией. Если последовательность (1) конечна, то говорят, что МПД применима к начальной конфигурации K0(a1 ,a2,…) и пишут P(a1 ,a2,…)↓ или P(K0)↓. В противном случае говорят, что МПД неприменима к начальной конфигурации K0(a1 ,a2,…) и пишут P(a1 ,a2,…)↑ или P(K0)↑. Замечание В дальнейшем будем рассматривать только такие начальные конфигурации, в которых имеется конечное число элементов, отличных от нуля. Будем писать (a1 ,a2,…,an) вместо (a1 ,a2,…,an,0,…) для таких конфигураций. (Ясно, что для любого t конфигурация Kt будет содержать конечное число отличных от нуля элементов, если этим свойством обладает конфигурация K0 .) Пример Разработаем программу МПД, которая к каждому входному натуральному числу х прибавляет 2. Решение Идея разработки данной программы очевидна: к входному числу х, содержащемуся в некотором регистре, нужно дважды применить команду прибавления единицы S(n). Пусть входное число х записано в регистр R1. Тогда искомая программа будет иметь следующий вид: 1) S(1), 2) S(1). Проиллюстрируем работу машины на конкретном примере. Пусть х = 37, т. е. в регистр R1 записано число 37 (таблица 7). �Содержание Таблица 7 Вычисление МПД искомого числа х+2 Номер команды Команда Содержимое регистра R1 37 1 S(1) 38 2 S(1) 39 Остановка работы машины будет происходить после выполнения последней (т. е. второй) команды, которая не является командой условного перехода. �Содержание 5.2. Вычисление функций на машине произвольного доступа Условимся, что будем понимать под вычислением функций на МПД. Определение Пусть P = I1I2…Is – фиксированная программа. Пусть a1 ,a2,…,an,b Є N0. Будем говорить, что вычисление дает результат b, если P(a1 ,a2,…)↓ и в заключительной конфигурации r1 = b. Обозначение: P(a1 ,a2,…)↓b. Будем говорить, что программа Р вычисляет функцию f, если  a1 ,a2,…,an,b Є N0 выполнимо P(a1 ,a2,…)↓b (f определена на (a1 ,a2,…,an) и f(a1 ,a2,…,an) = b). Назовем функцию f вычислимой на МПД, если существует программа P, которая вычисляет f. Замечание 1. В определении рассматриваются частичные функции f: N 0n  N 0 . ( N 0  N  {0}) . 2. Любая программа Р для любого n ≥ 1 на начальных конфигурациях К0(a1 ,a2,…,an,0,…) определяет nn местную частичную функцию f p (x1,…,xn) такую, что  a1 ,…,an Є N0: b, если P ( a1 , a2 ,...)  и P ( a1 , a2 ,...)  b, f pn ( x1 ,..., xn )   неопределе на , если P ( a1 , a2 ,...)  . 3. Ясно, что разные программы могут вычислять одну и ту же функцию. Пример 1 Программа МПД, разработанная в примере § 1: 1) S(1), 2) S(1), вычисляет функцию f(x) = x+2, где х Є N. Пример 2 Разработаем программу МПД, которая вычисляет функцию f(x,y) = x+y. Решение Условимся, что начальной конфигурацией МПД будет выступать последовательность чисел (х,у,0,0,…), т. е. в регистре R1 будет записано число х, в регистре R2 будет записано число у, а в остальных регистрах R3, R4, … будет содержаться 0. На данном этапе ясно, что в программе будут использоваться как минимум два регистра R1 и R2; �Содержание понадобятся ли нам еще регистры и какое количество – будет выяснено в ходе разработки программы. Для того чтобы составить искомую программу МПД, нужно догадаться, как используя ее команды (команду обнуления, команду прибавления единицы, команду переадресации, команду условного перехода), можно найти сумму двух чисел х и у. Оказывается, сумму двух произвольных чисел можно найти, используя команду прибавления единицы. Действительно, для того чтобы найти сумму двух чисел х и у, нужно к числу х прибавить у раз единицу. Воспользуемся этим положением для составления искомой программы. Кроме того, опишем назначение используемых регистров: R1 – предназначено для записи числа х, кроме того именно в этом регистре будет «накапливаться» искомая сумма; R2 – предназначено для записи числа у; R3 – предназначено для подсчета количества единиц, прибавленных к числу х. Остановка программы должна происходить, когда в регистре R1 будет записана искомая сумма х+у, т. е. когда к числу х будет прибавлено у единиц, а содержимое регистра R3 будет равняться содержимому регистра R2. Составим словесный алгоритм нахождения искомой суммы: 1) сравниваем содержимое регистров R3 с содержимым регистра R2: если равно, то остановка МПД, если неравно, то переход к п. 2; 2) прибавляем к содержимому регистра R1 единицу; 3) прибавляем к содержимому регистра R3 единицу; 4) возвращаемся к п. 1. Соответствующая программа МПД может быть, например, следующей: 1) J(3,2,5), 2) S(1), 3) S(3), 4) J(1,1,1). Проиллюстрируем работу МПД на конкретном примере. Пусть х = 5, у = 3, т. е. в регистре R1 записано число 5, а в регистре R2 – число 3 (таблица 8). �Содержание Таблица 8 Вычисление МПД искомого числа х+у Номер команды Содержимое регистров Команда R1 R2 R3 5 3 0 1 J(3,2,5) 5 3 0 2 S(1) 6 3 0 3 S(3) 6 3 1 4 J(1,1,1) 6 3 1 1 J(3,2,5) 6 3 1 2 S(1) 7 3 1 3 S(3) 7 3 2 4 J(1,1,1) 7 3 2 1 J(3,2,5) 7 3 2 2 S(1) 8 3 2 3 S(3) 8 3 3 4 J(1,1,1) 8 3 3 1 J(3,2,5) 8 3 3 5 – Из таблицы видно, что как только в регистре R1 будет «накоплена» искомая сумма х+у, машина перейдет к выполнению команды 5. А так как команды с таким номером в программе МПД нет, то машина остановится. �Содержание 5.3. Композиция программ машин произвольного доступа Поскольку доказательства вычислимости конкретных функций на МПД связаны с предъявлением конкретных программ, их вычисляющих, то следует ввести некоторые соглашения о составлении и записи программ на МПД. Аналогично композиции машин Тьюринга можно ввести композицию программ МПД. Пусть программа P = I1I2…Is. Будем говорить, что программа Р имеет стандартный вид, если для всякой команды условного перехода J(m,n,q) выполнимо q ≤ s+1. Две программы Р и Р' назовем эквивалентными, если они определяют одни и те же n-местные n n функции, т. е. f P  f P ' для всех n > 0. Теорема Для всякой программы Р существует эквивалентная ей программа стандартного вида Р'. Доказательство Пусть P = I1I2…Is. Тогда определим P' = I'1I'2…I's, где  k Є {1,…,s}:  I k , если I k не есть команда условног о перехода ,  I   I k , если I k  J (m, n, q ) и q  s  1,  J (m, n, s  1), если I  J (m, n, q ) и q  s  1. k  ' k Ясно, что Р' удовлетворяет нужным требованиям, что и требовалось доказать. Пусть теперь даны две программы P и Q стандартного вида. Образуем программу PQ = I1I2…IsIs+1… Is+t, где P = I1I2…Is, Q = Is+1Is+2…Is+t с учетом нумерации, т. е. команды J(m,n,q) заменены на J(m,n,s+q). Тогда результат действия программы PQ совпадает с результатом вычисления по программе P, к которому применена программа Q. Заметим, что для всякой программы P существует минимальное натуральное число r(P), такое, что для всех m,n Є N, входящих в команды из P, т. е. Z(n), S(n), T(m,n), J(m,n,q) выполнено m,n < r(P). Это число r(P) называют шириной (или рангом) программы P. Смысл ранга r(P) состоит в том, что регистры Rt, где t > r(p), в ходе вычисления по программе P не будут менять свое содержание и не будут влиять на содержимое регистров R1, R2, …, Rr, поэтому их можно использовать для других вычислений. Заметим также, что можно организовать вычисление, используя программу P, в случае, когда входы программы находятся в регистрах Rl1, Rl2, …, Rln, а результат заносится в регистр Rl. Пусть программа P вычисляет функцию f в стандартном понимании вычислимости. Тогда следующая программа P[l1,… ,ln → l] будет вычислять f(xl1,xl2,…,xln) и результат запишет в Rl: �Содержание T(l1,1) … T(ln,n) Z(n+1) … Z(r(P)) P T(1,l) Далее, будем считать, что регистры Rl1, Rl2, …, Rln отличны от R1, R2, …, Rn. Пример Покажем, что следующая программа P вычисляет функцию f(x,y) = xy: 1) J(2,3,6), 2) S(3), 3) H[1,4 → 5], где H – программа, вычисляющая функцию f(x,y) = x+y (см. пример 2 из 5.2) 4) T(5,4), 5) J(1,1,1), 6) T(5,1). Здесь начальной конфигурацией МПД выступает последовательность чисел (х,у,0,0,…). Решение Прежде всего, отметим следующее: «рабочими» регистрами в данной программе машины являются только регистры R1,R2,R3,R4,R5; запись H[1,4 → 5] означает, что будет вычисляться сумма чисел, записанных в регистрах R1 и R4, а найденная сумма будет помещаться в регистр R5. Для того чтобы понять принцип действия программы МПД, рассмотрим ее работу на конкретном примере. Пусть х = 7, у = 3, т. е. в регистре R1 записано число 7, а в регистре R2 – число 3 (таблица 9). �Содержание Таблица 9 Вычисление МПД искомого числа ху Номер команды Содержимое регистров Команда R1 R2 R3 R4 R5 7 3 0 0 0 1 J(2,3,6) 7 3 0 0 0 2 S(3) 7 3 1 0 0 3 H[1,4 → 5] 7 3 1 0 7 4 T(5,4) 7 3 1 7 7 5 J(1,1,1) 7 3 1 7 7 1 J(2,3,6) 7 3 1 7 7 2 S(3) 7 3 2 7 7 3 H[1,4 → 5] 7 3 2 7 14 4 T(5,4) 7 3 2 14 14 5 J(1,1,1) 7 3 2 14 14 1 J(2,3,6) 7 3 2 14 14 2 S(3) 7 3 3 14 14 3 H[1,4 → 5] 7 3 3 14 21 4 T(5,4) 7 3 3 21 21 5 J(1,1,1) 7 3 3 21 21 1 J(2,3,6) 7 3 3 21 21 6 T(5,1) 21 3 3 21 21 Из таблицы становится понятен принцип работы данной программы МПД: произведение двух чисел х и у находится через операцию суммирования, а именно число х суммируется у раз. Например, в случае, когда х=7, у=3, имеем: 7·3=7+7+7=14+7=21. Опишем теперь назначение используемых в программе регистров: R1 – предназначено для записи числа х, кроме того именно в этот регистр будет помещено искомое произведение ху; �Содержание R2 – предназначено для записи числа у; R3 – предназначено для записи количества суммируемых чисел х; R4 – предназначено для записи очередного слагаемого для следующего суммирования с числом х; R5 – предназначено для записи очередного ответа суммирования. Остановка программы происходит после выполнения последней (шестой) команды, которая не является командой условного перехода. Замечание Как следует из вышеизложенного, язык программ МПД содержит основные процедуры языков программирования и позволяет устраивать композицию (соединение) программ и использовать программы в качестве подпрограмм других программ. Это является основанием для предположения о том, что введенный класс вычислимых функций в точности отвечает классу алгоритмически вычислимых функций. Данное предположение называется тезисом Черча (для МПД). Как и тезисы Тьюринга, Поста, данный тезис доказать нельзя, однако принятие его позволяет истолковывать утверждения о несуществовании алгоритмов вообще. �Содержание Вопросы к главе 5 1. Когда была разработана МПД? 2. Раскройте назначение МПД. 3. Из каких элементов состоит МПД? 4. Что называется состоянием (конфигурацией) МПД? 5. Сколько типов команд МПД существует? Раскройте их суть. 6. Что называется программой МПД? Приведите пример программы МПД. 7. Опишите порядок работы МПД. 8. Когда происходит остановка работы МПД? 9. Что называется заключительной конфигурацией МПД? 10. Что означают слова «МПД применима к начальной конфигурации (a1 ,a2,…)», «МПД неприменима к начальной конфигурации (a1 ,a2,…)»? 11. Какая функция называется вычислимой на МПД? 12. Что означают слова «программа МПД имеет стандартный вид»? 13. Какие программы МПД называются эквивалентными? Приведите пример эквивалентных программ МПД. 14. Сформулируйте теорему о существовании для любой программы МПД эквивалентной ей программы. 15. Опишите суть композиции (соединения) двух программ МПД. 16. Что называется рангом программы МПД? 17. Что означает запись P[l1,…,ln → l], где Р – программа МПД? 18. Сформулируйте тезис Черча для МПД и раскройте его роль в теории алгоритмов. �Содержание Задания к главе 5 1. Разработайте программу МПД, которая вычисляет функцию f ( x )  x , где х – четное натуральное 2 число. 2. Запишите представленную программу МПД, вычисляющую функцию f(x,y) = xy, без использования в ней операции композиции машин МПД (т. е. без H[1,4 → 5]): 1) J(2,3,6), 2) S(3), 3) H[1,4 → 5], где H – программа, вычисляющая функцию f(x,y) = x+y (см. пример 2 из 5.2) 4) T(5,4), 5) J(1,1,1), 6) T(5,1). 3. Разработайте программу МПД, которая вычисляет следующие функции: а) f ( x )  x  5 ; б) f ( x )  3 x  5 ; 0, если x  1 ; в) f ( x )  x  1    x  y , если x  1 0, если x  0 г) sg ( x)   ; 1, если x  0 1, если x  0 д) sg ( x)   ; 0, если x  0 е) f ( x, y )  I 22 ( x, y )  1 ; ё) f ( x, y , z )  I 23 ( x, y , z )  1 ;  x, если x  y ж) f ( x, y )  max( x, y )   ;  y, если x  y з) f ( x )  x! 4. Покажите, что для каждой команды переадресации существует программа без команд переадресации, которая на всякой конфигурации МПД дает тот же результат, что и T(m, n). Это означает, что команды �Содержание переадресации на самом деле избыточны в нашем определении МПД. Тем не менее, представляется естественным и удобным иметь такие команды, облегчающие построение алгоритмов. �Содержание Глава 6. Нормальные алгоритмы Маркова В данной главе рассмотрим еще один подход к уточнению понятия алгоритма, предложенный российским математиком А.А. Марковым (1903–1979) в конце 1940-х начале 1950-х годов, – нормальные алгоритмы (в авторской транскрипции – алгорифмы). Данный подход связывает понятие алгоритма с переработкой слов в некотором алфавите в соответствии с определенными правилами. В качестве элементарного преобразования используется подстановка одного слова вместо другого. Множество таких подстановок определяют схему алгоритма. Правила, определяющие порядок применения подстановок, а также правила останова являются общими для всех нормальных алгоритмов. § 1. Марковские подстановки § 2. Нормальные алгоритмы и их применение к словам § 3. Нормально вычислимые функции § 4. Способы сочетания нормальных алгоритмов § 5. Принцип нормализации Маркова Вопросы к главе 6 Задания к главе 6 �Содержание 6.1. Марковские подстановки Алфавитом будем называть произвольный конечный набор различных символов. Составляющие его символы будем называть буквами, а любую конечную последовательность букв алфавита – словом в этом алфавите. Допускаются пустые слова (не содержащие ни одной буквы): пустое слово обозначают . Одно слово может быть составной частью другого слова. Тогда первое называется подсловом второго или вхождением во второе. Пример 1 A = {а,б,в,г,д,…,э,ю,я} – алфавит. α = параграф, β = граф, γ = ра – слова в алфавите А, β – это подслово α, γ – это подслово α и β, причем в α слово γ входит дважды. Определение Марковской подстановкой называется операция над словами, задаваемая с помощью упорядоченной пары слов (P,Q), состоящая в следующем: «В заданном слове R находят первое вхождение слова P (если таковое имеется) и, не изменяя остальных частей слова R, заменяют в нем это вхождение словом Q». Полученное слово называется результатом применения марковской подстановки (P,Q) к слову R. Если же первого вхождения P в слово R нет (и, следовательно, вообще нет ни одного вхождения P в R), то считается, что марковская подстановка (P,Q) неприменима к слову R. Пример 2 Пусть (78,0) – марковская подстановка. Определим результат ее применения к словам 96747878, 100078, 78. Решение 96747878 => 9674078 => 967400, 100078 => 10000, 78 => 0. Замечание Частными случаями марковских подстановок являются подстановки с пустыми словами: ( ,Q), (P, ), ( , ). Их действие рассмотрим на конкретном примере. Пусть есть марковские подстановки ( ,д), (у, ), ( , ). Определим результат их применения к слову �Содержание «удочка»: ( ,д) удочка  дудочка, ( у,) удочка  дочка, (,) удочка  удочка. Для обозначения марковской подстановки (P,Q) используется запись P → Q. Она называется формулой подстановки (P,Q). Слово P называется левой частью, а Q – правой частью в формуле подстановки. Подстановки (P,Q), приводящие к остановке нормального алгоритма, называют заключительными. Для обозначения таких подстановок будем использовать запись P → .Q, называя ее формулой заключительной подстановки. (Здесь предполагается, что символы «→», «.» не входят в алфавит А входных слов.) �Содержание 6.2. Нормальные алгоритмы и их применение к словам Определение 1 Упорядоченный конечный список формул подстановок в алфавите А называется схемой нормального алгоритма и обозначается Sα. Схема нормального алгоритма имеет вид: P1 → (.)Q1 Sα: P2 → (.)Q2 …………. Pr → (.)Qr (Запись (.) означает, что она может стоять в этом месте, а может отсутствовать.) Данная схема Sα определяет алгоритм α, перерабатывающий слова в алфавите A. Этот алгоритм преобразования слов называют нормальным алгоритмом Маркова. Определение 2 Нормальным алгоритмом (Маркова) в алфавите А называется следующее правило построения последовательности Vi слов в алфавите А, исходя из данного слова V в этом алфавите: «В качестве начального слова V0 последовательности берется слово V. Пусть для некоторого i ≥ 0 слово Vi построено и процесс построения рассматриваемой последовательности еще не завершился. Если при этом в схеме нормального алгоритма нет формул, левые части которых входили бы в Vi, то Vi +1 полагают равным Vi, и процесс построения последовательности считается завершившимся. Если же в схеме имеются формулы с левыми частями, входящими в Vi, то в качестве Vi+1 берется результат марковской подстановки правой части первой из таких формул вместо первого вхождения ее левой части в слово Vi; процесс построения последовательности считается завершившимся, если на данном шаге была применена формула заключительной подстановки, и продолжающимся – в противном случае». Если процесс упомянутой последовательности обрывается, то говорят, что рассматриваемый нормальный алгоритм применим к слову V. Последний член W последовательности называется результатом применения нормального алгоритма к слову V. Последовательность Vi будем записывать так: V0 =>V1 =>V2 = … => Vm-1 =>Vm, где V0 = V, Vm = W. Замечание 1 Используют следующие обозначения: Sα:V (запись означает, что схема нормального алгоритма Sα неприменима к слову V); Sα:V => W (запись означает, что схема нормального алгоритма Sα применима к слову V и результатом ее �Содержание применения является слово W). Замечание 2 Мы определили понятие нормального алгоритма в алфавите А. Если же алгоритм задан в некотором расширении алфавита А, то говорят, что он есть нормальный алгоритм над А. (Алфавит В называется расширением алфавита А, если B A.) Пример 1 Пусть А = {a0,a1,a2.…,an} – алфавит. Рассмотрим схему нормального алгоритма: a0 → a1 → Sα: ………. an-1 → →. Определим результат применения данного нормального алгоритма к слову a1a2a1a3a0. Решение a1a2a1a3a0 => a1a2a1a3 => a2a1a3 = a2a3 => a3 => => . Данный нормальный алгоритм перерабатывает всякое слово (в алфавите А) в пустое слово. Пример 2 Пусть А = {a1,a2} – алфавит. Рассмотрим схему нормального алгоритма: Sα: a1 → . a2 → a2 Определим результат применения данного нормального алгоритма к словам, составленным из алфавита А. Решение Всякое слово P в алфавите А данный нормальный алгоритм переводит в слово Q, полученное из P путем вычеркивания первого вхождения буквы a1. Данный нормальный алгоритм неприменим к словам, не содержащим вхождений буквы a1. �Содержание Пример 3 Пусть А = {a1,a2,…,an} – алфавит. Рассмотрим алфавит B = A {γ,β}, γ,β  А, и соответственно схему нормального алгоритма Sα: 1. γγ → β 2. βa → aβ для любого a из алфавита А 3. βγ → β 4. β → . 5. γab → bγa для любых элементов a и b из алфавита А 6. →γ Покажем, что данный алгоритм осуществляет обращение слов в алфавите А. (Обращением слова P = ai0…aik назовем слово P* = aik…ai0.) Решение Пусть P = aj0…ajk произвольное слово в алфавите А. Тогда: 6 5 5 5 6 P => γP => aj1γaj0 …ajk => aj1aj2γaj0 aj3 …ajk => aj1aj2 … ajkγaj0 => 5 5 => γaj1aj2 … ajkγaj0 => … => aj2aj3 … ajkγaj1γaj0. Далее, повторяя этот процесс получим: 6 1 2 γajkγajk-1 … γaj1γaj0 => γγajkγajk-1 … γaj1γaj0 => βajkγajk-1 … γaj1γaj0 => 3 4 => ajkβγajk-1 … γaj1γaj0 => ajkβajk-1 … γaj1γaj0 => …=> ajkajk-1 … aj1aj0β => => .ajkajk-1 … aj1aj0, что и требовалось показать. �Содержание 6.3. Нормально вычислимые функции Определение Функция f, заданная на некотором множестве слов алфавита А, называется нормально вычислимой, если найдется такое расширение В данного алфавита (B A) и такой нормальный алгоритм в B, что каждое слово V (в алфавите А) из области определения функции f этот алгоритм перерабатывает в слово f(V). Пример 1 Пусть А = {a0,a1,a2.…,an} – алфавит, схема нормального алгоритма Sα: вычисляет функцию f(P) = P для любого P. →. . Данный алгоритм Пример 2 В алфавите A = {1} схема Sα: → .1 определяет нормальный алгоритм, который к каждому слову в алфавите А приписывает слева 1. Следовательно, алгоритм вычисляет функцию f(x) = х+1 (в унарной системе счисления). Пример 3 Составим нормальный алгоритм, вычисляющий значения положительное число) в десятичной системе счисления. функции f(x) = х+1 (х – целое Решение Определим алфавит А: А = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,+}. Условимся обозначать входное слово следующим образом: «123+1». Ясно, что на выходе нормального алгоритма в этом случае должно получиться число «124». Рассмотрим два случая: 1) разряд единиц у числа х есть цифра из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8} (иными словами, в этом случае при прибавлении 1 к х не происходит переполнение разряда единиц у числа х); 2) разряд единиц у числа х есть цифра 9 (иными словами, в этом случае при прибавлении 1 к х происходит переполнение разряда единиц у числа х, а поэтому нужно обращаться к разряду десятков). Случай 1 Очевидно, что для нахождения суммы чисел х и 1, необходимо задать следующую схему нормального алгоритма Sα: 0+1 → 1 1+1 → 2 2+1 → 3 3+1 → 4 4+1 → 5 �Содержание 5+1 → 6 6+1 → 7 7+1 → 8 8+1 → 9 →. (данная подстановка обеспечивает остановку алгоритма). Случай 2 Очевидно, что если в разряде единиц у искомой суммы будет стоять цифра «9», то разряд десятков нужно увеличить на 1. Этого можно достичь, применив к входному слову следующую подстановку: 9+1 → +10 В результате, далее, нужно будет увеличить на 1 разряд десятков у исходного числа х. Этого можно добиться, применяя марковские подстановки, указанные в первом случае. Если при этом окажется, что увеличиваемый разряд числа х равен нулю (он отсутствует), то на его месте нужно написать 1 и остановить алгоритм. Это позволяет обеспечить следующая подстановка: +1 → .1 Рассмотренные выше случаи исходного числа х позволяют записать схему искомого нормального алгоритма Sα: 1. 0+1 → 1 5. 4+1 → 5 9. 8+1 → 9 2. 1+1 → 2 6. 5+1 → 6 10.9+1 → +10 3. 2+1 → 3 7. 6+1 → 7 11.+1 → .1 4. 3+1 → 4 8. 7+1 → 8 12. → . Проиллюстрируем работу приведенного нормального алгоритма на нескольких примерах. 1) 9+1 → +10 → .10 2) 37+1 → 38 → .38 3) 123+1 → 124 → .124 4) 999+1 → 99+10 → 9+100 → +1000 → .1000 5) 7899+1 → 789+10 → 78+100 → 7900 → .7900 Пример 4 Составим нормальный алгоритм, вычисляющий значения функции f(x) = 2х (х – целое положительное число) в десятичной системе счисления. Решение Определим алфавит А: А = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,*}. Условимся обозначать входное слово следующим образом: «23*2». Ясно, что на выходе нормального �Содержание алгоритма в этом случае должно получиться число «46». Для получения искомого произведения (также как и предыдущем примере) будем двигаться справо налево, от разряда единиц в исходном числе х к более высоким разрядам, умножая при этом цифры разрядов на 2. При этом движении необходимо учесть два момента: 1) для продолжения умножения на 2 более высоких разрядов нужно смещать вправо символы «*2»; 2) в случае, когда происходит переполнение разряда при умножении необходимо запоминать «в уме» 1 (это происходит в следующих случаях: 5*2 = 10, 6*2 = 12, 7*2 = 14, 8*2 = 16, 9*2 = 18); эту «особенную» единицу мы будем фиксировать в ходе преобразований символом а. С учетом вышесказанного запишем марковские подстановки, которые необходимо применить к разряду единиц исходного числа х. 0*2 → *20 (правая часть этой подстановки означает, что в разряде единиц остается 0, а далее будет происходить умножение на 2 разряда десятков.) 1*2 → *22 (правая часть этой подстановки означает, что в разряде единиц остается 2, а далее будет происходить умножение на 2 разряда десятков.) 2*2 → *24 (правая часть этой подстановки означает, что в разряде единиц остается 4, а далее будет происходить умножение на 2 разряда десятков.) 3*2 → *26 4*2 → *28 5*2 → *2а0 (правая часть этой подстановки означает, что в разряде единиц остается 0, далее символ а означает, что была запомнена 1, которую нужно будет учесть при дальнейшем умножении на 2 разряда десятков.) 6*2 → *2а2 (правая часть этой подстановки означает, что в разряде единиц остается 2, далее символ а означает, что была запомнена 1, которую нужно будет учесть при дальнейшем умножении на 2 разряда десятков.) 7*2 → *2а4 (правая часть этой подстановки означает, что в разряде единиц остается 4, далее символ, а означает, что была запомнена 1, которую нужно будет учесть при дальнейшем умножении на 2 разряда десятков.) 8*2 → *2а6 9*2 → *2а8 Далее, запишем подстановки, которые необходимо применить к разряду десятков исходного числа х. 0*2а → *21 (здесь к результату умножения 0 на 2, т. е. к 0, была прибавлена запомненная ранее 1.) 1*2а → *23 (здесь к результату умножения 1 на 2, т. е. к 2, была прибавлена запомненная ранее 1.) 2*2а → *25 (здесь к результату умножения 2 на 2, т. е. к 4, была прибавлена запомненная ранее 1.) 3*2а → *27 4*2а → *29 5*2а → *2а1 6*2а → *2а3 �Содержание 7*2а → *2а5 8*2а → *2а7 9*2а → *2а9 Заметим, что вышеуказанные подстановки будут действовать нужным нам образом и на более высоких разрядах исходного числа (разрядах сотен, тысяч и т. д.), если таковые будут иметься. Наконец, определим марковские подстановки, которые обеспечат остановку алгоритма: *2а → . 1 *2 → . Итак, запишем схему искомого нормального алгоритма Sα. 1. 0*2а → *21 8. 7*2а → *2а5 15.4*2 → *28 2. 1*2а → *23 9. 8*2а → *2а7 16.5*2 → *2а0 3. 2*2а → *25 10.9*2а → *2а9 17.6*2 → *2а2 4. 3*2а → *27 11.0*2 → *20 18.7*2 → *2а4 5. 4*2а → *29 12.1*2 → *22 19.8*2 → *2а6 6. 5*2а → *2а1 13.2*2 → *24 20.9*2 → *2а8 7. 6*2а → *2а3 14.3*2 → *26 21.*2а → . 1 22.*2 → . Приведенный нормальный алгоритм нахождения значений функции f(x) = 2х в десятичной системе счисления станет более понятным, если рассмотреть несколько конкретных примеров: 1) 0*2 → *20 → .0 2) 1*2 → *22 → .2 3) 5*2 → *2а0 → .10 4) 10*2 → 1*20 → *220 → .20 5) 16*2 → 1*2а2 → *232 → .32 6) 99*2 → 9*2а8 → *2а98 → .198 7) 100*2 → 10*20 → 1*200 → *2200 → .200 8) 489*2 → 48*2а8 → 4*2а78 → *2978 → .978 9) 92589*2 → 9258*2а8 → 925*2а78 → 92*2а178 → 9*25178 → → *2а85178 → .185178 �Содержание 6.4. Способы сочетания нормальных алгоритмов Способы сочетания нормальных алгоритмов позволяют строить новые алгоритмы из уже известных. Перечислим способы сочетания нормальных алгоритмов. 1. Суперпозиция алгоритмов. При суперпозиции двух алгоритмов А и В выходное слово первого алгоритма рассматривается как входное слово второго алгоритма В, результат суперпозиции С может быть представлен в виде С(Р) = В(А(Р)). 2. Объединение алгоритмов. Объединение алгоритмов А и В в одном и том же алфавите называется алгоритм С в том же алфавите, преобразующий любое слово Р, содержащееся в пересечении областей определения алгоритмов А и В, в записанные рядом слова А(Р) и В(Р). 3. Разветвление алгоритмов. Разветвление алгоритмов представляет собой композицию D трех алгоритмов А, В и С, причем область определения алгоритма D является пересечением областей определения всех трех алгоритмов А, В и С, а для любого слова Р из этого пересечения D(P) = А(Р), если С(Р) = ; D(P) = В(Р), если С(Р) ≠ , где – пустая строка. 4. Итерация алгоритмов. Итерация (повторение) представляет собой такую композицию С двух алгоритмов А и В, что для любого входного слова Р соответствующее слово С(Р) получается в результате последовательного многократного применения алгоритма А до тех пор, пока не получится слово, преобразуемое алгоритмом В. Пример Составим нормальный алгоритм, вычисляющий значения положительное число) в десятичной системе счисления. функции f(x) = 2х+1 (х – целое Решение В предыдущем параграфе нами были составлены нормальные алгоритмы, вычисляющие значения функций f(x) = 2х и f(x) = х+1, (х – целое положительное число) в десятичной системе счисления. Воспользуемся ими для составления искомого нормального алгоритма. Определим алфавит А: А = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,*,+}. Условимся обозначать входное слово следующим образом: «23*2+1». Ясно, что на выходе нормального алгоритма в этом случае должно получиться число «47». Очевидно, что для получения выходного слова, нужно сначала применить к входному слову х нормальный алгоритм, вычисляющий значение 2х, далее нужно применить к слову 2х нормальный алгоритм, прибавляющий 1. Для этого необходимо, чтобы после вычисления 2х нормальный алгоритм не останавливался, поэтому заменим марковские подстановки, приводящие к остановке алгоритма (*2а → . 1 и *2 → . ) на «аналогичные», но не останавливающие алгоритм – *2а → 1 и *2 → . �Содержание Итак, запишем схему нормального алгоритма Sa, вычисляющего значения функции f(x) = 2х+1 (х – целое положительное число) в десятичной системе счисления: 1. 0*2а → *21 12.1*2 → *22 23.0+1 → 1 2. 1*2а → *23 13.2*2 → *24 24.1+1 → 2 3. 2*2а → *25 14.3*2 → *26 25.2+1 → 3 4. 3*2а → *27 15.4*2 → *28 26.3+1 → 4 5. 4*2а → *29 16.5*2 → *2а0 27.4+1 → 5 6. 5*2а → *2а1 17.6*2 → *2а2 28.5+1 → 6 7. 6*2а → *2а3 18.7*2 → *2а4 29.6+1 → 7 8. 7*2а → *2а5 19.8*2 → *2а6 30.7+1 → 8 9. 8*2а → *2а7 20.9*2 → *2а8 31.8+1 → 9 10.9*2а → *2а9 21.*2а → 1 32.9+1 → +10 11.0*2 → *20 22.*2 → 33.+1 → .1 34. → . Проиллюстрируем работу составленного нормального алгоритма на нескольких примерах. 1) 23*2+1 → 2*26+1 → *246+1 → 46+1 → 47 → .47 2) 999*2+1 → 99*2а8+1 → 9*2а98+1 → *2а998+1 → 1998+1 → 1999 → .1999 Замечание Отметим, что нормальные алгоритмы Маркова являются не только средством теоретических построений, но и основой специализированного языка программирования, применяемого как язык символьных преобразований при разработке систем искусственного интеллекта; это один из немногих языков, разработанных в России и получивший известность во всем мире. �Содержание 6.5. Принцип нормализации Маркова Создатель теории нормальных алгоритмов А.А. Марков выдвинул гипотезу, получившую название «принцип нормализации Маркова». Принцип нормализации Маркова Для нахождения значений функции, заданной в некотором алфавите, тогда и только тогда существует какой-нибудь алгоритм, когда функция нормально вычислима. Иными словами, принцип нормализации заключается в том, что все алгоритмы исчерпываются нормальными алгоритмами или, то же самое, – всякий алгоритм нормализуем. Сформулированный принцип, как и тезисы Черча, Тьюринга, Поста, носит внематематический характер (понятие произвольного алгоритма не является строго определенным) и не может быть строго доказан. Он основывается на том, что все известные в настоящее время алгоритмы являются нормализуемыми. Замечание В теории алгоритмов огромную роль играет тот факт, что все разработанные теории, уточняющие интуитивное понятие алгоритма, равносильны между собой. Другими словами, они описывают один и тот же класс алгоритмически вычислимых функций. Полезно уяснить смысл и значение этого важного результата. В разное время в разных странах ученые независимо друг от друга, изучая интуитивное понятие алгоритма и алгоритмической вычислимости, создали теории, описывающие данное понятие, которые оказались равносильными. Этот факт служит мощным косвенным подтверждением адекватности этих теорий опыту вычислений, справедливости каждого из тезисов Тьюринга, Поста, Черча и Маркова. В самом деле, ведь если бы один из классов оказался шире какого-либо другого класса, то соответствующий тезис Тьюринга, Поста, Черча или Маркова был опровергнут. Например, если бы класс нормально вычислимых функций оказался шире класса рекурсивных функций, то существовала бы нормально вычислимая, но не рекурсивная функция. В силу ее нормальной вычислимости она была бы алгоритмически вычислима в интуитивном понимании алгоритма, и предположение о ее нерекурсивности опровергало бы тезис Черча. Но классы Тьюринга, Поста, Черча и Маркова совпадают, и таких функций не существует. Это служит еще одним косвенным подтверждением тезисов Тьюринга, Поста, Черча и Маркова. �Содержание Вопросы к главе 6 1. Кем и когда были разработаны нормальные алгоритмы? 2. Определите сущность понятий «алфавит», «слово», «подслово». Приведите примеры. 3. Дайте определение марковской подстановки. Приведите пример. 4. Опишите действие частных случаев марковских подстановок: ( ,Q), (P, ), ( , ). Приведите примеры. 5. Что называют формулой подстановки? 6. В чем состоит особенность формулы заключительной подстановки? 7. Что называется схемой нормального алгоритма? Приведите пример. 8. Что называется нормальным алгоритмом Маркова? Приведите пример. 9. Раскройте смысл слов «нормальный алгоритм над алфавитом А». 10. Какая функция называется нормально вычислимой? Приведите примеры. 11. Что называется расширением алфавита А? 12. Какие способы композиции нормальных алгоритмов существуют? В чем их суть? 13. Какой способ композиции нормальных алгоритмов был использован в примере параграфа 4? 14. Сформулируйте принцип нормализации. 15. Раскройте роль эквивалентности различных формальных моделей алгоритма в теории алгоритмов. �Содержание Задания к главе 6 1. Постройте дедуктивную цепочку (последовательность слов), ведущую от слова «мука» к слову «торт», заменяя каждый раз по одной букве так, чтобы каждый раз получалось слово. 2. Пусть A = {a,b,c} и задана следующая нормальная схема: ab → c Sα: cb → a a→. Выясните, какое слово будет результатом применения этого нормального алгоритма к слову: а) abbacb; б) bc. 3. Пусть A = { a, b }. Зададим нормальный алгоритм с помощью алфавита D = { a , b,  ,  ,  } и следующей нормальной схемы: 1. aa   a a 6.  b  b b 2. ab   b a 7.   3. ba   a b 8.   4. bb   b b 9.  . 5.  a  a a 10.    Найдите результат применения данного алгоритма к словам ab, aba. Опишите, что делает данный алгоритм. 4. Пусть A = { a, b }. Зададим нормальный алгоритм с помощью алфавита D = { a , b,  ,  } и следующей нормальной схемы: 1.  a  a a 6.  bb  b b 2.  b  b b 7.   3.  aa  a a 8.  . 4.  ab  b a 9.   5.  ba  a b �Содержание Найдите результат применения данного алгоритма к словам ab, bab. 5. Постройте нормальный алгоритм побуквенного кодирования, т. е. нормальный алгоритм над алфавитом А, выполняющий замену букв m алфавита А словами Кm в этом алфавите. 6. Постройте нормальный алгоритм, преобразующий любое слово Р в алфавите А в проекцию этого слова на алфавит В. (Проекцией слова Р в алфавите А на алфавит В называется результат удаления из слова Р букв алфавита А\В.) 7. Постройте нормальный алгоритм правого присоединения слова aba в алфавите A = {a,b} над этим алфавитом. 8. Постройте нормальный алгоритм: а) преобразующий каждое слово Р в алфавите {a,b,c} в слово abcP; б) преобразующий каждое слово в алфавите {a,b,c} в слово abc. 9. Постройте нормальный алгоритм, применение которого к данному слову в алфавите {a,b,c} приведет к тому, что будет получено слово, содержащее все буквы «а», расположенные в его начале. 10. Постройте нормальный алгоритм, перерабатывающий любое слово в алфавите {a,b,c} в слово, в котором все буквы «а» (если они имеются) расположены левее остальных, а все буквы «b» левее всех букв «с». 11. Постройте нормальный алгоритм, преобразующий каждое слово в алфавите {a,b} в слово «baba». 12. Постройте нормальный алгоритм над алфавитом {1}, применение которого к слову, состоящему из четного числа «1», приводило бы к слову «*», а применение этого же алгоритма к слову, состоящему из нечетного числа «1» к слову «+». 13. Постройте нормальный алгоритм, преобразующий любое слово в алфавите {a,b}, содержащее хотя бы две буквы «a», в слово «baabab», а каждое слово, содержащее не более одной буквы «a» в слово, получающееся из исходного заменой букв «а» и «b» друг на друга. 14. Известно, что A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; нормальный алгоритм задан в его расширении B = A U {a,b} и определен следующей схемой: �Содержание 1. 0b → .1 10. 9b → b0 2. 1b → .2 11. b → .1 3. 2b → .3 12. a0 → 0a 4. 3b → .4 13. a1 → 1a 5. 4b → .5 14. a2 → 2a 6. 5b → .6 15. a3 → 3a 7. 6b → .7 16. a4 → 4a 8. 7b → .8 17. a5 → 5a 9. 8b → .9 18. a6 → 6a 19. a7 → 7a 26. 4a → 4b 20. a8 → 8a 27. 5a → 5b 21. a9 → 9a 28. 6a → 6b 22. 0a → 0b 29. 7a → 7b 23. 1a → 1b 30. 8a → 8b 24. 2a → 2b 31. 9a → 9b 25. 3a → 3b 32.  → a Примените данный алгоритм к словам 499, 328, 789. Вычисляет ли данный алгоритм какую-либо функцию? Если да, то какую? 15. Известно, что нормальный алгоритм в алфавите A = {1} со следующей схемой Sa: 111 → 11 → . Sα: 1→. → .1 вычисляет некоторую функцию f(x) (х слова в А). Определите формульное выражение функции f(x). 16. Постройте нормальный алгоритм, вычисляющий числовую функцию f(x) = x+y (аргумент х представлен в унарной записи). �Содержание 17. Пусть M, N, Q, R обозначают натуральные числа, представленные в унарной форме. Постройте нормальный алгоритм, который перерабатывает: а) всякую пару натуральных чисел N*M в абсолютную величину их разности; б) всякое натуральное число в остаток от деления числа на 5; N  в) всякое натуральное число N в   ; 5 г) всякое натуральное число N в пару Q*R, где Q деления; частное от деления N на 5, а R остаток от этого д) всякую пару натуральных чисел N*M в наибольший общий делитель этих чисел; е) всякую пару натуральных чисел N*M в произведение этих чисел. 18. Замените в десятичном числе все четные цифры на «1», а нечетные на «0». 19. Замените все буквы «а» в слове на «?», если слово начинается на «а». 20. Замените все буквы «я» в слове на «!», если слово заканчивается на «я». 21. Удалите из слова все буквы «б», если их четное число. 22. Удалите из слова все буквы «б», если их нечетное число. 23. Удвойте в слове все одиночные буквы. 24. Если в слове есть одиночные символы, то удалите их. 25. Если в слове есть одинаковые рядом стоящие символы, то удалите их, иначе продублируйте все символы. 26. Поменяйте местами вторую и предпоследнюю буквы в слове. 27. Поменяйте местами буквы в слове попарно. �Содержание 28. Если в слове четное количество букв, то замените все «а» на «!». 29. Если в слове нечетное количество букв, то после каждой буквы поставьте «!». 30. Если в слове нечетное количество букв «и», то удалите их. 31. Если в слове четное количество букв «а», то удалите первую из них. 32. Если в слове встречаются две подряд буквы «а», то замените каждую пару на «!!», иначе вместо данного слова запишите «*». 33. Удалите в слове все символы, кроме первого и последнего. 34. Если в десятичном числе встречаются последовательности «012», то замените их на «***», иначе добавьте в конце слова знак «–». 35. Добавьте в конце слова столько «+» сколько в слове встречается символ «ы». �Содержание Заключение Рассмотренные нами алгоритмические модели (класс рекурсивных функций, машина Тьюринга, машина Поста, машины произвольного доступа, нормальные алгоритмы Маркова) отождествляют с формальным понятием алгоритма. Моделируя любые другие разумные алгоритмические модели, они универсальны, а поэтому позволяют снять возможное возражение против того, что жесткая фиксация алгоритмической модели приводит к потере общности формализации алгоритма. Основные алгоритмические модели в теории алгоритмов принято разделять на три типа. Первый тип трактует алгоритм как некоторое детерминированное устройство, способное выполнять в каждый момент лишь строго фиксированное множество операций. Основной теоретической моделью такого типа является машина Тьюринга, оказавшая существенное влияние на понимание логической природы разрабатываемых ЭВМ. К этому типу относят и такие алгоритмические модели, как машина Поста, машины произвольного доступа. Второй тип связывает понятие алгоритма с традиционным представлением процедурами вычисления значений числовых функций. Основной теоретической моделью этого типа являются рекурсивные функции исторически первая формализация алгоритма. Третий тип алгоритмических моделей это преобразования слов в произвольных алфавитах, в которых операциями являются замены частей слов другим словом. Основной теоретической моделью этого типа являются нормальные алгоритмы Маркова. Все рассмотренные нами алгоритмические модели эквиваленты, и роль их огромна. Они оказали существенное влияние на развитие ЭВМ и практику программирования. Несмотря на то, что все алгоритмические модели эквивалентны, на практике они существенно различаются сложностными эффектами, возникающими при реализации алгоритмов, что способствовало появлению различных направлений в программировании. Так, микропрограммирование строится на идеях машин Тьюринга, структурное программирование заимствовало свои конструкции из теории рекурсивных функций, языки символьной обработки информации (например, ПРОЛОГ) берут начало от нормальных алгоритмов Маркова. �Содержание Ответы, указания и решения Глава 1 Глава 2 Глава 3 Глава 4 Глава 5 Глава 6 �Содержание Глава 1 Задание 1. Решение. Алгоритм сложения в столбик двух натуральных чисел (первое слагаемое содержит m цифр, второе n , считаем, что m  n ): 1) запишем исходные числа в столбик так, чтобы разряды единиц были под разрядами единиц, разряды десятков были под разрядами десятков и т. д., т. е. числа выровнены по младшему разряду; 2) положим i  1 ( i обрабатываемый разряд, разряды пронумерованы справа налево), p  0 ( p значение переноса в старший разряд); 3) сложим цифры i -го разряда обоих слагаемых (если у первого слагаемого уже в данном разряде цифр нет, то считаем, что прибавляем 0), прибавим к результату p ; 4) если получившееся число больше либо равно 10, то в i -й разряд результата запишем младшую цифру получившегося числа (остаток от его деления на 10), а p положим равным 1, иначе в i -й разряд результата запишем получившееся число, а p положим равным 0; 5) увеличим i на единицу; 6) если i  n , то переходим на шаг 3; 7) если p  0 , то конец алгоритма, иначе в ( n  1) -й разряд результата запишем 1, конец алгоритма. При анализе этого алгоритма надо обратить внимание на тот факт, что в старший разряд может переноситься только единица. Задание 2. Указание. Для того чтобы приведенный способ стал алгоритмом, надо конкретизировать шаги 1–3, указав точные значения для радиусов окружностей. Задание 3, 4, 5. Указание. Проверьте выполнимость всех основных свойств алгоритма. Задание 6. Решение. Система команд колдуна: − поставили сосуд с эликсиром на огонь; − сняли эликсир с огня; − перевернули трехминутные часы; − перевернули восьмиминутные часы; − проверили, что часы пересыпались. Алгоритм варки эликсира бессмертия: 1) перевернули трехминутные часы; перевернули восьмиминутные часы; 2) если трехминутные часы пересыпались, то переворачиваем их и ставим эликсир на огонь; 3) если трехминутные часы пересыпались, то переворачиваем их (эликсир варится уже 3 минуты); �Содержание 4) если восьмиминутные часы пересыпались, то переворачиваем часы трехминутные (эликсир варится 5 минут; после переворота трехминутных часов в верхней колбе песка осталось на 2 минуты); 5) если трехминутные часы пересыпались, то снимаем эликсир с огня. Подчеркнем, что могут быть предложены и другие решения этой задачи. Задание 7. Указание. Составьте алгоритм, который правильно вычисляет и 0! 1 . Задание 8. Решение. Докажем, что в результате работы алгоритма «Решето Эратосфена» в последовательности чисел от 1 до N не будет зачеркнуто ни одно простое число. Действительно, на каждом шаге зачеркиваются только числа, кратные каким-то другим числам. Число k  1 из этой последовательности останется незачеркнутым только в том случае, если оно не делится ни на одно из незачеркнутых чисел, не превосходящих N , среди которых содержатся все простые числа, не превосходящие N . Докажем, что любое составное число m имеет простой делитель, не превосходящий m  pq , причем p 2 m . Пусть 2 наименьший множитель ( p  q ) . Тогда p  p  p  pq  m , т. е. p  m , т. е. p  m . Следовательно, если m составное, то его наименьший делитель меньше m , что и требовалось доказать. Таким образом, в исходной последовательности остаются незачеркнутыми все простые числа и только они. Задание 9. Указание. Введите вспомогательные обозначения: I вспомогательная переменная, Slag очередное слагаемое суммы, S искомая сумма. В качестве условия в блок-схемах попробуйте ввести следующее: i  n . Задание 10. Решение. В приведенном алгоритме есть две ошибки. Первая ошибка заключается в том, что при нечетном n и для k  m будет неверно выполняться п. 6. Для любого n количество пар, n которые надо обработать, равно , и в качестве начальных значений min и max надо брать значения 2 соответствующих элементов последней m -й полной пары для четных n или элемент an в противном случае. Вторая ошибка состоит в выборе типа циклической конструкции. В предложенном варианте алгоритма при n  1 получим зацикливание, а при n  1 алгоритм не будет обрабатывать последнюю пару. Правильный алгоритм: 1. Разобьем исходную последовательность на пары. Последняя пара может быть неполной, если число n нечетно. �Содержание 2. Положим m  n (m 2 число пар, которые надо обработать). 3. Упорядочим числа в каждой паре по возрастанию. Будем элементы в паре обозначать Pk ,1 и Pk , 2 , где k номер пары. 4. Положим min  an и max  an при нечетном n . В противном случае положим: min  Pm ,1 и max  Pm , 2 . 5. Положим k  1 . 6. Если k  m , то конец алгоритма. 7. Если Pk , 2  max , тогда max  Pk , 2 . 8. Если Pk ,1  min , тогда min  Pk ,1 . 9. Увеличим k на единицу. 10. Переходим на п. 6. �Содержание Глава 2 Задание 1. Указание. Воспользуйтесь определением вычислимой функции. Задание 2. Ответ. а) x1 ; б) не определено; в) x1  2 ; г) 0; д) x2  4 ; е) 4. Задание 3. Указание. Можно, причем только из двух простейших функций: O, S . Задание 4. Ответ. а) vz(u 2  2 u ) ; б), в) не определено. Задание 5. Ответ. а) 2uv 2 z 2  u  u  v  z ; б), в) не определено. Задание 6. Решение. а) Переобозначим: f ( x , y )  h ( x , y )  xy . Будем искать функции g 1 ( x ) и f 3 ( x, y , z ) из определения примитивной рекурсии: h( x,0)  x  0  0  g ( x)  O ( x),  h( x, y  1)  x  ( y  1)  xy  x  f ( x, y, h( x, y ))  f ( x, y, xy ).   z Следовательно, g 1 ( x )  O ( x ) , f 3 ( x, y , z )  z  x . Функция же суммы в свою очередь может быть получена из простейших с помощью оператора примитивной рекурсии (доказано ранее в § 2 главы 3). А поэтому исходная функция f ( x , y )  xy может быть получена из простейших с помощью оператора примитивной рекурсии. определение д) Используйте, что f ( x )  x  1  определение 0, если x  y , 0, если x  0,  и f ( x, y )  x  y     x  1, если x  0  x  y , если x  y. е) Используйте равенство x  y  ( x  y )  ( y  x ) . Задание 7. Решение. 1. Найдем аналитическую запись функции f 2 ( x, y ) . Из схемы примитивной рекурсии:  f ( x,0)  g ( x )  I11 ( x ),   f ( x, y  1)  h( x, y , f ( x, y ))  I 33( x, y , f ( x, y ))  1  f ( x, y )  1. Тогда: �Содержание f ( x ,0 )  x ; f ( x ,1)  f ( x ,0)  1  x  1 ; f ( x ,2)  f ( x ,1)  1  ( x  1)  1  x  2 ; …………………………………………..….. Естественно предположить, что f ( x , y )  x  y ,  y    {0}. Докажем это методом математической индукции: 1) доказательство базиса очевидно, т .к. f ( x,0)  x  0 ; 2) предположим, что f ( x , y )  x  y для некоторого y . Тогда: предположение f ( x, y  1)  f ( x, y )  1  ( x  y )  1  x  ( y  1) , что и требовалось доказать. 3 Таким образом, из функций h ( x , y , z )  I 3 ( x , y , z )  1 и g ( x )  I11 ( x ) с помощью оператора примитивной рекурсии получается функция f ( x , y )  x  y. 2. Вычислим f ( 2,5) . Так как f ( x , y )  x  y , то f ( 2,5)  2  5  7 . Или из схемы примитивной рекурсии: f ( 2,5)  f ( 2, 4  1)  f ( 2, 4 )  1 ; f ( 2, 4)  f ( 2,3  1)  f ( 2,3)  1 ; f ( 2,3)  f ( 2, 2  1)  f ( 2, 2)  1 ; f ( 2, 2)  f ( 2,1  1)  f ( 2,1)  1 ; f ( 2,1)  f ( 2,0  1)  f ( 2,0)  1 ; Но т. к. f ( 2,0)  2 , то f ( 2,1)  3 , f ( 2,2)  4 , f ( 2,3)  5 , f ( 2,4)  6 , f ( 2,5)  7 . 0, если у  N Задание 8. Ответ. h(u , y )   2u , если у  0 Задание 9. Ответ. h (u , v, y )  2 u u 2 v y 1. Задание 10. Ответ. а) f ( x, y )  x xy x x x ; б) f ( x, y )  x  . y �Содержание Задание 11. Решение. б) Попытаемся найти функции h и g , такие, что: 1 f  R ( h, g ) . Ясно, что 2 g ( x )  const , h ( x, y ) . Из схемы примитивной рекурсии:  f (0)  const  g ( x)  2  0  1  1  S (O )  G ( S , O ),   f ( y  1)  h( y, f ( y ))  h( y, 2 y  1)  2( y  1)  1  (2 y  1)  2   z Итак: 1) g ( x )  1  G ( S , O ) примитивно рекурсивна; 2) h ( y , z )  z  2 или h ( x , y )  y  2  S ( S ( y ))  G ( S , S ( y )) примитивно рекурсивна. Следовательно, исходная функция f ( x )  2 x  1 является примитивно рекурсивной. наименьшее целое неотрицательное число, Задание 12. Решение. а) Нужно показать, что ( x  y ) являющееся решением уравнения y  z  x относительно z .Это действительно так. Поэтому исходное равенство верно. г) Исходное равенство неверно, потому что значение выражения  y [ y ( y  ( x  1))  0 ] не определено при y  0 (т. к. не определено значение терма 0(0  ( x  1))  ), а именно не определена разность). 1 В то же время подчеркнем, что уравнение y ( y  ( x  1))  0 имеет решение y  x  1 . Задание 13. Решение. а)  ( x )   y [ x  2 y  0] . Отметим, что функция  определена лишь на числах вида 2 k, k   (поясните почему) и для каждого из них:  ( 2 k )   y [ 2 k  2 y  0]   y [ 2 k  y  0]  k , где k  0,1,2,3,  в)  ( x )   y [8  0] не определена на всех x . Задание 15. Указание. Используйте функцию «усеченного вычитания». Задание 16. Указание. Используйте определение оператора минимизации. . �Содержание Глава 3 Задание 1. Решение. Данная машина применима к любым двоичным словам, в том числе она применима и к нулевому входному слову. Машина Тьюринга выполняет инверсию двоичных слов (заменяет все «1» на «0» и наоборот). Задание 4. Решение. Понятность. На каждом шаге в ячейку пишется символ из внешнего алфавита, автомат делает одно движение ( Л , П , С ) и машина Тьюринга переходит в одно из допустимых состояний: все эти действия входят в систему команд данного исполнителя. Дискретность. Машина Тьюринга может перейти к ( k  1) -у шагу только после выполнения k -го шага, так как именно k -й шаг определяет, каким будет ( k  1) -й шаг. Детерминированность. В каждой клетке таблицы машины Тьюринга записан лишь один вариант действия. На каждом шаге результат определен однозначно, следовательно, последовательность шагов решения задачи определена однозначно, т. е. если машине Тьюринга на вход подают одно и то же входное слово, то выходное слово каждый раз будет одним и тем же. Результативность. Содержательно результат каждого шага и всей последовательности шагов определен однозначно, следовательно, правильно написанная машина Тьюринга за конечное число шагов перейдет в состояние q0 , т. е. за конечное число шагов будет получен ответ на вопрос задачи. Массовость. Каждая машина Тьюринга определена над всеми допустимыми словами из алфавита, в этом и состоит свойство массовости. Каждая машина Тьюринга предназначена для решения одного класса задач, т. е. для каждого класса задач пишется своя (новая) машина Тьюринга. Задание 5. Решение. (д) Выпишем последовательность конфигураций машины при переработке ею слова 111 из начального стандартного положения. �Содержание �Содержание Задание 6. Указание. а) Машина останавливается, выдав слово 1 a0 1 a0 a0 1, обозревая в состоянии q3 четвертую ячейку слева. б) Машина останавливается, выдав слово 1 a0 1 a0 1, при этом она обозревает в состоянии q3 вторую левую пустую ячейку от полученного слова. в) Машина не меняет данного слова и останавливается в состоянии q3 , обозревая вторую левую пустую ячейку от этого слова. Задание 9. Решение. (д) 11111. Данная машина Тьюринга реализует операцию сложения: в результате ее работы на ленте записано подряд столько единиц, сколько их было всего записано по обе стороны от звездочки перед началом работы машины. Задание 11. Ответ. Машина Тьюринга выполняет сложение данных чисел. Задание 13. Решение. В качестве внешнего алфавита возьмем двухэлементное множество A  {a0 ,1} , где a0 символ пустой буквы. Количество необходимых внутренних состояний будет определено в процессе составления программы. Будем считать, что машина начинает работать из стандартного начального положения, т. е. когда в состоянии q1 обозревается крайняя правая единица из n записанных на ленте. Рассмотрим три случая: 1) n  2 , 2) n  1 , 3) n  0 . Случай 1. n  2 Запишем начальную конфигурацию. Начнем с того, что сотрем первую единицу, перейдем к обозрению следующей левой ячейки и сотрем там единицу. На каждом таком переходе машина должна переходить в новое внутреннее состояние, ибо в противном случае будут стерты вообще все единицы, записанные подряд. Вот команды, осуществляющие описанные действия: q11  q 2 a0 Л , q 2 1  q3 a 0 Л . Запишем конфигурации машины Тьюринга на данных этапах ее работы. �Содержание Машина Тьюринга теперь находится в состоянии q3 и обозревает третью справа ячейку из тех, в которых было записано входное слово (последовательность из n  2 единиц). Не меняя содержимого обозреваемой ячейки, машина должна остановиться, т. е. перейти в заключительное состояние q0 , независимо от содержимого ячейки. Вот эти команды: q3 a 0  q 0 a 0 С , q31  q01С Соответствующая конфигурация машины будет иметь следующий вид: Случай 2. n  1 Если на ленте записана одна единица, то начальная конфигурация будет иметь следующий вид: Следующий шаг работы машины Тьюринга будет выполнен в соответствии с командой q11  q2 a0 Л , в результате которого машина будет находиться в состоянии q2 и обозревать вторую справа ячейку, в которой записан символ пустой буквы a0 . Запишем соответствующую конфигурацию машины: �Содержание По условию задачи необходимо, чтобы в этом случае машина работала вечно, т. е. не приходила в состояние останова q0 . Это можно обеспечить, например, такой командой: q 2 a0  q 2 a0 Л Выполняя эту команду, шаг за шагом, машина будет двигаться по ленте неограниченно влево: Случай 3. n  0 Наконец, если на ленте не записано ни одной единицы, то машина, по условию, также должна работать вечно. В этом случае в начальном состоянии q1 обозревается ячейка с содержимым a0 : Вечную работу машины можно обеспечить следующей командой: q1a0  q1a0 Л Запишем составленную программу (функциональную схему) построенной машины Тьюринга в виде таблицы: Задание 17. Решение. Будем формировать исходное число на ленте слева от штрихов (без пустого символа между числом и штрихами). В начальный момент машина Тьюринга обозревает любой из штрихов и находится в состоянии q1 . Запишем алгоритм решения задачи в текстовой форме: 1) найдем правый конец слова на ленте; 2) если слово будет оканчиваться штрихом, то сотрем этот штрих, иначе остановим машину; 3) прибавим к числу единицу и перейдем к п. 1. �Содержание В соответствии с этим алгоритмом каждый раз стирается самый правый штрих и к числу прибавляется единица. Выполнение алгоритма продолжается до тех пор, пока не будет стерт самый последний штрих, после чего, согласно условию из п. 2, машина Тьюринга остановится. Заметим, что каждый из трех пунктов алгоритма может быть реализован одним состоянием машины Тьюринга: 1) состояние q1 автомат ищет правый конец слова; 2) состояние q2 автомат стирает штрих; 3) состояние q3 прибавление к числу единицы. Ниже приведена программа машины Тьюринга для решения предлагаемой задачи. Задание 27. Ответ. Задание 34. Ответ. f ( x )  x  2 . Задание 35. Ответ. f ( x , y )  x . Задание 39. Решение. Покажем, что машину Тьюринга можно представить также, как и конечный автомат в следующем виде: А = {S,X,Y,s0,d,v}, где �Содержание S – конечное непустое множество (состояний); X – конечное непустое множество входных сигналов (входной алфавит); Y – конечное непустое множество выходных сигналов (выходной алфавит); s0 Є S – начальное состояние; d: S×X → S – функция переходов; v: S×X → Y – функция выходов. Действительно, в машине Тьюринга Т = {S,X,Y,s0,d,v}: S = Q = {q0,q1,q2,…,qn} – алфавит внутренних состояний; X = А = {a0,a1,a2,…,am} – алфавит входных символов (входной алфавит); Y = {a0П,а0Л,а0С,а1П,а1Л,а1С,…,amП,amЛ,amС} – множество выходных сигналов (выходной алфавит); s0 = q1 Є Q – начальное состояние; d: S×X → S – функция переходов и v: S×X → Y – функция выходов задается в машине Тьюринга одновременно командами вида qjai → qkalX, где Х = {П,Л,С}. В соответствии с указанной командой: d(qjai) = qk, а v(qjai) = alX, где Х = {П,Л,С}. Например, пусть дана машина Тьюринга Т с внешним алфавитом A = {а0,1} (здесь а0 – это символ пустой ячейки), алфавитом внутренних состояний Q = {q0,q1,q2} и со следующей программой: q1а0 → q2а0П, q2а0 → q01С, q11 → q11П, q21 → q21П. Зададим функции переходов d и выходов v в этой машине Тьюринга Т таблично. Функция переходов машины Тьюринга Т d а0 1 q0 – – q1 q2 q1 q2 q0 q2 Функция выходов машины Тьюринга Т v а0 1 q0 – – q1 а0П 1П q2 1С 1П �Содержание Задание 40. Решение. Рассмотрим, например, машину Тьюринга Т с внешним алфавитом A = {а0,1} (здесь а0 – это символ пустой ячейки), алфавитом внутренних состояний Q = {q0,q1,q2} и со следующей программой: q1а0 → q2а0П, q2а0 → q01С, q11 → q11П, q21 → q21П. Зададим функции переходов d и выходов v в этой машине Тьюринга Т таблично. Функция переходов машины Тьюринга Т d а0 1 q0 – – q1 q2 q1 q2 q0 q2 Функция выходов машины Тьюринга Т v а0 1 q0 – – q1 а0П 1П q2 1С 1П На основе составленных таблиц представим машину Тьюринга Т в виде ориентированного графа. Опишем процесс построения ориентированного графа на основе программы машины Тьюринга. Каждая команда программы машины Тьюринга qjai → qkalX, где Х = {П,Л,С} представляется ребром ориентированного графа (направленным отрезком), соединяющим две его вершины. Причем каждой вершине приписывается соответствующее состояние машины Тьюринга (qj или qk), а дуге – символ ai/ alX. �Содержание Глава 4 Задание 1. Решение. Программа никогда не остановится, лента машины Поста будет иметь следующий вид: Задание 2. Решение. Мы знаем, что на ленте есть метка, но не знаем, в какую сторону нужно двигаться. Каким же способом можно решить эту задачу? А вот каким. Представим, что мы стоим на бесконечной в обе стороны дороге, а где-то на этой дороге лежит камень, который мы хотим найти. Мы не знаем, где он лежит, знаем только, что где-то он непременно лежит. Как нам поступить? В какую бы сторону мы ни пошли, может случиться, что волшебный камень лежит в другой стороне. Очевидно, что нам надо двигаться попеременно то в одну сторону, то в другую, постоянно увеличивая размах своих колебаний. Сначала делаем шаг в одну сторону, потом два шага в другую сторону, потом три шага снова в первую сторону, потом четыре шага во вторую сторону и так далее до тех пор, пока не наткнемся на волшебный камень. Но возникает одна трудность: как определить момент, когда надо поворачивать, т. е. менять направление? Казалось бы очень просто. Надо вести счет шагов. Но мы имеем дело с бесконечной лентой. Нам, возможно, придется запоминать очень большие числа, которые трудно хранить в памяти, а сколь угодно большие числа хранить в памяти трудно. Однако выход из положения есть. Будем отмечать пройденный путь камешками. Дойдя по камешкам в одну сторону до конца, будем класть новый камешек, и поворачивать обратно. И так до тех пор, пока не найдем искомый камень. Недостаток этого метода состоит в том, что надо иметь неограниченный запас камешков. Хотя для машины Поста это не является препятствием. Можно обойтись и всего двумя камешками. Для этого надо вначале нужно положить один камешек слева от себя, другой справа. А затем ходить между ними и передвигать их. Запишем программу для машины Поста. 1V 2 {положили левый камешек} 23 3 ? 5,4 4! {нашли метку, конец} 5V 6 {положили правый камешек} �Содержание 6  7 {ищем левый камешек} 7 ? 6,8 8X 9 {стираем левый камешек} 9  10 10 ?11,4 11V 12 {передвигаем левый камешек} 12  13 {ищем правый камешек} 13 ?12,14 14 X 2 {стираем правый камешек и повторяем действия} Задание 3. Решение. Алгоритм решения этой задачи основан на следующей идее. К отдельно стоящей метке будем постепенно передвигать метки массива, начиная с левого края. То есть крайнюю левую метку массива будем перемещать на правый край массива, уменьшая тем самым расстояние до отдельной метки. Если метка отстоит от массива на одну ячейку, то нам достаточно выполнить только одно передвижение. В общем случае независимо от длины массива n нам придется сделать всего m передвижений. Запишем программу для машины Поста. 1X 2 23 3 ? 4,2 4V 5 56 6 ? 8,7 7! 89 9 ?10,8 10  1 Задание 4. Решение. Пусть каретка стоит на левом элементе левого числа. Будем стирать по одной левой метке у каждого числа, пока одно из чисел не кончится. Тогда образовавшееся свободное пространство между числами вновь заполним метками (мы можем это сделать, так как знаем местоположение последней стертой метки), а лишние метки (большего числа) сотрем. Обозначим �Содержание левое число a, а правое b. Запишем программу для машины Поста. 1X 2 {уменьшили a на 1} 23 3 ? 4,11 {число a закончилось?} 4V 5 {восстанавливаем метки} 56 6 ? 4,7 {число b началось?} 7 X 8 {стираем лишние метки b} 89 9 ?10,7 {число b стерто?} 10! 11  12 {ищем конец a} 12 ?13,11 13  14 {ищем начало b} 14 ?13,15 15X 16 {уменьшили b на 1} 16  17 17 ?18,26 {число b закончилось?} 18  19 19  20 20V 21 {восстанавливаем метки} 21  22 22 ? 20,23 {число a началось?} 23 X 24 {стираем лишние метки a} 24  25 25 ?10,23 {число a стерто?} �Содержание 26  27 {ищем правый конец числа a} 27 ? 26,28 28  29 {ищем начало a} 29 ? 30,27 {число a прошли?} 30  1 {повторяем действия} Задание 5. Указание. Составим пошаговый алгоритм решения этой задачи. Будем считать, что в начале работы весь массив является нераздвинутым. В результате выполнения очередной итерации алгоритма в нераздвинутой части удаляются две левых метки, а к раздвинутой части справа через пустую ячейку пара меток приписывается. Алгоритм заканчивает работу, если в нераздвинутой части осталась одна или две метки. В начале работы каретка находится на левой метке исходного массива (входного слова). 1. Если в нераздвинутой части осталось не более двух меток, то конец алгоритма. 2. Удаляем в нераздвинутой части две левых метки. 3. Ищем правый конец раздвинутого массива. 4. Ставим через пустую ячейку две метки. 5. Ищем левый конец нераздвинутого массива. Признаком окончания поиска являются две подряд идущие пустых ячейки. 6. Переход на п. 1. Задание 8. Указание. Первая идея решения: оставить в каждом массиве по одной метке, а затем все метки сдвинуть в единый массив. Вторая идея решения: будем «считать» массивы слева направо, удаляя каждый «посчитанный» массив. При этом слева от последовательности оставшихся массивов будем накапливать массив меток, длина которого соответствует числу «посчитанных» массивов. Задание 11. Указание. Идея решения состоит в следующем: во вторых ячейках от каждого края массива ставим «маячки-пузырьки» (эти ячейки делаем пустыми). Далее последовательно перемещаем к центру левый и правый пузырек. Эти пузырьки встретятся ровно на центральном элементе исходного массива. При реализации программы надо отдельно учесть три случая: n  1, n  3, n  5 . Задание 12. Указание. Идея решения состоит в следующем. Сначала между двумя левыми и двумя правыми метками ставим «маячки» пустые клетки. Первым ставим левый маячок. Затем поочередно сдвигаем эти маячки к центру. Как только маячки сомкнутся, то вместо правого маячка ставим метку, идем к правому краю массива и удаляем самую правую метку. Для простоты считаем, что каретка находится над самой левой меткой. �Содержание Глава 5 Задание 1. Решение. Условимся, что начальной конфигурацией МПД будет выступать последовательность чисел (х,0,0,…), т. е. в регистре R1 будет записано число х, а в остальных регистрах R2, R3, … – 0. Идея составления искомого алгоритма состоит в следующем: будем прибавлять 1 к r3 и 2 к r2 до тех пор, пока r2 не станет равным х; тогда r3 даст результат, т. е. значение f(x). Опишем назначение используемых регистров: R1 – предназначено для записи числа х, кроме того именно в этот регистр будет помещено искомое значение f(x); R2, R3 – вспомогательные регистры, используемые в ходе работы программы. Искомая программа будет иметь следующий вид: 1) J(1,2,6), 2) S(3), 3) S(2), 4) S(2), 5) J(1,1,1), 6) T(3,1). Проиллюстрируем работу МПД по составленной программе на конкретном примере. Пусть х = 8, т. е. в регистре R1 записано число 8. Номер команды Содержимое регистров Команда R1 R2 R3 8 0 0 1 J(1,2,6) 8 0 0 2 S(3) 8 0 1 3 S(2) 8 1 1 4 S(2) 8 2 1 5 J(1,1,1) 8 2 1 1 J(1,2,6) 8 2 1 2 S(3) 8 2 2 3 S(2) 8 3 2 �Содержание 4 S(2) 8 4 2 5 J(1,1,1) 8 4 2 1 J(1,2,6) 8 4 2 2 S(3) 8 4 3 3 S(2) 8 5 3 4 S(2) 8 6 3 5 J(1,1,1) 8 6 3 1 J(1,2,6) 8 6 3 2 S(3) 8 6 4 3 S(2) 8 7 4 4 S(2) 8 8 4 5 J(1,1,1) 8 8 4 1 J(1,2,6) 8 8 4 6 T(3,1) 4 8 4 Остановка МПД будет осуществляться после выполнения последней (шестой) команды – команды переадресации. Задание 2. Ответ: искомая программа может, например, иметь следующий вид: 1) J(2,3,9), 2) S(3), 3) J(5,4,7), 4) S(1), 5) S(5), 6) J(1,1,3), 7) T(1,4), 8) J(1,1,1). �Содержание Глава 6 Задание 1. Ответ: например, а) мука – лука – лупа – купа – кипа – кира – кора – корт – торт. б) мука – рука – река – века – вера – лера – лора – пора – порт – торт. Задание 2. Ответ: а) acb; б) неприменим. Задание 3. Ответ: abab, abaaba; алгоритм удваивает слова. Задание 4. Ответ: abab, babbab; алгоритм удваивает слова. Задание 5. Решение. Поставим в соответствие каждой букве m алфавита А определенное слово Кm в этом алфавите. Теперь, заменяя в произвольном слове Р в алфавите А каждую букву m соответствующим словом Кm, получим слово в алфавите А, которое и будет являться результатом замены в слове Р букв m словами Кm. Учитывая сказанное, построим нормальный алгоритм побуквенного кодирования:  m  K m Sα:  .   Здесь буква m пробегает алфавит А. Например, пусть A = {a,b}, Ка = aa, Кb = bab. Перепишем нормальную схему: a  aa Sα: b  bab  .   Опишем процесс работы нормального алгоритма над словом bba: bba   bba  bab  ba  babbab  a  babbabaa    .babbabaa Задание 6. Решение. Соответствующий алгоритм задается следующей нормальной схемой:  x  x Sα: h    .   �Содержание Здесь буква х пробегает множество В, h множество А\В. Например, пусть A = {a,b,c,d}, B = {a,c}, P = abcddcba. Тогда А\В = {b,d} и проекцией слова Р в алфавите А на алфавит В будет являться слово «acca» в алфавите В. Соответствующий нормальный алгоритм задается следующей нормальной схемой:  a  a  c  c b   Sα: d    .   Задание 7. ca  ac cb  bc  Ответ:  c  .aba   c Задание 14. Ответ: 500, 329, 790; данный нормальный алгоритм вычисляет функцию f(x) = x+1. Задание 15. , если х не делится на 3, Ответ: f ( x )   1, если х делится на 3. �Содержание Библиографический список 1. Герасимов, А.С. Курс математической логики и теории учеб. пособие / А.С. Герасимов. – Санкт-Петербург : Изд-во «ЛЕМА», 2011. – 284 с. вычислимости : 2. Игошин, В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов : учеб. пособие / В.И. Игошин. Москва : Академия, 2007. 303 с. 3. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов : учеб. пособие / В.И. Игошин. Москва : Издательский центр «Академия», 2008. 448 с. 4. Крупский, В.Н. Теория алгоритмов : учеб. пособие / В.Н. Крупский, В.Е. Плиско. – Москва : Академия, 2009. – 206 с. 5. Макконнелл, Дж. Основы современных алгоритмов / Дж. Макконнелл ; под ред. С.К. Ландо. Москва : Техносфера, 2006. 368 с. 6. Мальцев, А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. 368 с. Москва : Наука, 1986. 7. Матрос, Д.Ш. Теория алгоритмов : учебник / Д.Ш. Матрос, Г.Б. Поднебесова. – Москва : БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008. – 202 с. 8. Могилев, А.В. Информатика : учеб. пособие / А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер ; под ред. Е.К. Хеннера. Москва : Издательский центр «Академия», 2007. – 848 с. 9. Могилев, А.В. Практикум по информатике : учеб. пособие / А.В. Могилев, Е.К. Хеннер ; под ред. Е.К. Хеннера. М. : Издательский центр «Академия», 2001. – 608 с. Н.И. Пак, 10.Носов, В.А. Основы теории алгоритмов и анализа их сложности [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://intsys.msu.ru/staff/vnosov/theoralg.htm 11.Поляков, В.И. Основы теории алгоритмов : учеб. пособие / В.И. Поляков, В.И. Скорубский. – Санкт-Петербург : НИУ ИТМО, 2012. – 51 с. 12.Рублев, В.С. Основы теории алгоритмов : учеб. пособие / Р.С. Рублев. – Ярославль : ЯрГУ, 2005. – 143 с. 13.Судоплатов, С.В. Математическая логика и теория алгоритмов : учебник / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. 256 с. 14.Чеботарев, С.В. Теория алгоритмов : учеб. пособие / С.В. Чеботарев. 146 с. Барнаул : БГПУ, 2005. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Дронова Екатерина Николаевна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Основные алгоритмические модели Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Общие вопросы математики. 3. алгоритмические модели. 4. алгоритмы. 5. машина Тьюринга. 6. машина Поста. 7. машины произвольного доступа (МПД). 8. нормальные алгоритмы Маркова. 9. рекурсивные функции. Description An account of the resource Основные алгоритмические модели [Электронный ресурс] : учебное пособие / Е. Н. Дронова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 9.63 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 158 с. В пособии представлено описание таких алгоритмических моделей, как класс рекурсивных функций, машина Тьюринга, машина Поста, машины произвольного доступа, нормальные алгоритмы Маркова. Особое внимание уделено разработке вычислительных алгоритмов в указанных алгоритмических моделях. Пособие предназначено студентам педагогических вузов, изучающих теорию алгоритмов. Creator An entity primarily responsible for making the resource Дронова, Екатерина Николаевна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 30.03.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/dronova.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/dronova.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/dronova.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/dronova.exe</a> алгоритмические модели алгоритмы Математика машина Поста машина Тьюринга машины произвольного доступа (МПД) нормальные алгоритмы Маркова Общие вопросы математики рекурсивные функции