1 5 1 http://books.altspu.ru/files/original/72/60/cover.png 6be6477521255c504ae62a8d2ecc8321 http://books.altspu.ru/files/original/72/60/lvova.pdf a8c2bd36a603581fe53849ce7db0a2d7 PDF Text Text �þ ý ü þü ü ü “ ü ” ºþº ÿ ý ¾¼½ Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978-5-88210-822-8 �УДК 514(075) ББК 22.151я73 Л891 Львова, Л.В. Геометрия. Преобразования и построения [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л.В. Львова. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. ISBN 978-5-88210-822-8 Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов по разделам «Преобразования плоскости» и «Геометрические построения на плоскости». Изложение теоретического материала сопровождается многочисленными примерами решения задач. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 24.03.2016 г. Деривативное издание Текстовое (символьное) электронное издание Системные требования: 1. ПК с процессором Pentium 133 или более мощным. 2. Операционная система Microsoft Windows (для работы с русским интерфейсом операционная система должна обеспечивать поддержку кириллицы). 3. Требования к оперативной памяти зависят от используемой операционной системы: для Windows – не менее 16 МБ. 4. Свободное место на жестком диске: 5-10 МБ. 5. Программа Adobe Reader 5.0 – 10.0, Adobe Acrobat 6.0, 7.0. Об издании - 1, 2, 3. © Алтайский государственный педагогический университет, 2016 �Объём издания - 1 174 КБ. Дата подписания к использованию: 23.05.2016 Федеральное г осударственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский г осударственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �ÿ ½ ｺ þ ¸ ¹ º ½º½ º ÿ f ´ ¹ ¸ X µ Y¸ x X ¹ y º Yº Yº f :X→Y − X f (X) y = f (x) x f X x∈X y ∈Yº ½º¾ º f :X →Y ´ ½µ ¹ µ¸ X Y ´ ¾µ º µ¸ f (X) = Y ¸ Y º X ¿µ ¹ ¿ �´ µ¸ ¹ º þ ¹ ¸ ¹ º ﾺ ÿ º ¾º½ º Φ Φ º ¾º½ º ´ µº G ¹ Φ ¹ º G º þ ¹ º f ¸ g◦f g g◦f ¹ f g¸ ¸ (g ◦ f )(M) = g(f (M))º M ∈Φ ¸ ¹ f¸ gº º 1 ºü ◦ ¹ h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f ¹ �f ∈ G¸ g ∈ G¸ h ∈ Gº M Φ f (M) = M ¸ g(M ) = M ¸ h(M ) = M º (h ◦ (g ◦ f ))(M) = h((g ◦ f )(M)) = h(g(f (M))) = h(g(M )) = h(M ) = M ((h ◦ g) ◦ f )(M) = (h ◦ g)(f (M)) = (h ◦ g)(M ) = h(g(M )) = h(M ) = M º ¸ M ∈ Φ (h ◦ (g ◦ f ))(M) = ((h ◦ g) ◦ f )(M) ¸ ¸ h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f º ◦ 2 º G º Φ ¸ ¹ M ∈Φ Mº ¸ ¸ º º ¹ Φº e ¹ Φº ¸ M ∈Φ e(M) = M e ∈ Gº ¹ e G ¹ ¸ e◦f = f f ◦e = f ¹ f ∈ Gº ¸ M Φ f (M) = M º (e ◦ f )(M) = e(f (M)) = e(M ) = M = f (M) (f ◦ e)(M) = f (e(M)) = f (M)º ¹ ¸ e◦f = f f ◦ e = fº 3◦ º G º f Φº f ¸ Φ f ¸ ´ f µº ¸ ¹ f −1 ¸ ¹ f¸ M ∈Φ f¸ º M f (M) = M ¸ Φµ º f ´ º f (M ) = M ¸ f ¸ ¸ ¹ −1 ¹ ´f −1 M1 = M2 −1 (Φ) = Φ �f −1 (M1 ) = f −1 (M2 )µ Φº þ f º f (M) = M ¸ G ¸ M ∈Φ¹ f ∈ G ¹ º −1 −1 (f ◦ f )(M) = f (f (M)) = −1 −1 f (M ) = M = e(M)¸ (f ◦f )(M ) = f (f −1 (M )) = f (M) = −1 M = e(M ) ¸ ¸ f ◦ f = e f ◦ f −1 = e¸ −1 º º f ¹ fº ¸ G º ¾º½ º ¹ º ¾º¾ º H H G G¸ ¹ ¹ ¸ Gº ¾º¾ º ´ µº H ¸ G ¸ ¸ 2 º 1º f ∈ H¸ f ∈ H¸ g ∈ H¸ f −1 ∈ H º ¹ g ◦ f ∈ Hº �H º º Gº 1 ¸2 ¹ ¹ º º H G¸ ¹ 1 2 Gº ¸ 1 ¸ Hº 1◦ − 3◦ º 1◦ º ü H¸ Gº 2◦ º f ¹ f H −1 f ◦ f = e¸ e ∈ Hº −1 Hº 2 1 f −1 ◦ f ∈ H º ¸ G¸ Hº ∈ H e ¸ 3◦ º ¸ 2 º ¹ ¸ H H ¹ � ¸ ¿º½ º ¹ O ij | i | | j | | i | j | ½º | Oi j ¸ ¹ ¸ M ¹ (x, y) O ij M ¹ (x, y)¸ Oi j ¸ ¹ º ½ º ¹ ¸ º ¸ º M¸ N |M N | = |MN|º M¸N º ¹ º M(x1 , y1 ) N(x2 , y2 ) (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 º |M N | = (x2 − x1 )2 O ij º |MN| = M¸N M¸ N (x1 , y1)¸ (x2 , y2 ) ¹ Oi j + (y2 − y1 )2 = |MN|º �½◦ º ¹ º f º O ij ¸ Oi j ¹ ¸ ¹ Ax + By + C = 0 ´¿º½µ ¸ O ij º M ∈ ´¿º½µº M = f (M) ¸ ¹ M¸ ¸ f( ) M ∈ Oi j ¹ ´¿º½µ¸ º ¾◦ º = ¸ f ( )º σ º ¸ σ σ Oi j O ij O ij ¸ f¸ º Ax + By + C = 0¸ σ ¸ Ax + By + C > 0 ¹ Ax + By + C < 0. σ = f (σ) ´¿º¾µ Oi j ´¿º¾µº = f ( )º ¹ ¹ ¸ σ ¹ �¿º¾ º A¸ B ¸ C ¸ ´ µ −→ AC º ¸ ¹ ¹ −−→ BC º (AB, C) A¸ B ¸ C º ¸ −→ AC (AB, C) = −−→ . BC ¿◦ º ¹ º f O ij º ¸ Oi j O ij C ¹ ¸ ¹ A(x1 , y1)¸ B(x2 , y2 )¸ C(x, y)¸ −→ AC AB λ = −−→º CB ¸ ¹ ¸ x= x1 + λx2 , 1+λ A¸B¸C y= y1 + λy2 . 1+λ A¸ B ¸ C Oi j C (x, y) AB ´¿º¿µ λº (A B , C ) = (AB, C)º ½¼ ´¿º¿µ ¹ A (x1 , y1 )¸ B (x2 , y2 )¸ C λ = −(AB, C)¸ �¿º¿ º ý C A¸ B ¸ C AB ¸ A B¸ C λ > 0º ◦ º ¹ º ◦ º ¹ ¸ º þ ◦ ¸ ½ ◦ ◦ ◦ ¸ ¿ º ◦ º º f O ij O i j m º O ij A1 x + B1 y + C1 = 0, ¸ ¸ A2 x + B2 y + C2 = 0. ¸ ¸ tg ( , m) = ¸ m ¸ A2 B1 − A1 B2 . A1 A2 + B1 B2 m Oi j tg ( , m ) = tg ( , m)º ◦ ¹ ¹ ¸ ( , m ) = ( , m)º ¸ º º ½½ ¸ �º A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0¸ m A2 B2 = . A1 B1 ´¿º µ = f ( )¸ m = f (m) ´¿º ºµº ¸ mº ¿º½ º ¹ º ¿º f ¹ a −→ A = f (A)¸ B = f (B)¸ AB = aº º þ −−→ a =AB¸ a ¸ AB º a¸ ¹ a¸ ¾ ◦ º ◦ º ¹ ¸ ¹ º ½¾ �¿º½ º f Oi j O ij ∠(i, i ) = ϕ O (x0 , y0 )Oij ¸ M(x, y)Oij ¹ ¸ M (x , y )Oij x = x cos ϕ − εy sin ϕ + x0 ¸ y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0 ¸ ´¿º µ ε = ±1º ¿º½ º M (x, y) M ¹ M Oi j O ij º ¸ þ ¹ ¸ ¹ O ij Oi j M º þ (x, y) ´¿º µº M¸ ¹ ´¿º µ M M O ij º ¿º¾ º ´ O ij µº ¹ ¹ f º ¹ M(x, y) M (x , y )¸ f ´¿º µ¸ º º ½¿ �−→ i = OA¸ O = f (O)¸ A = f (A)¸ Oi j ¸ −−→ j = OB º B = f (B)¸ º ¹ O(0, 0)¸ A(1, 0)¸ B(0, 1) ´¿º µ O (x0 , y0)¸ A (cos ϕ+x0 , sin ϕ+ y0 )¸ B (−ε sin ϕ+x0 , ε cos ϕ)+ y0 º −−→ −−→ i = OA¸ j = OB i (cos ϕ, sin ϕ)¸ j (−ε sin ϕ, ε cos ϕ)º þ i j i ⊥j ¸ i j = cos ϕ(−ε sin ϕ) + sin ϕ(ε cos ϕ) = 0¸ | i |= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1¸ | j |= (−ε sin ϕ)2 + (ε cos ϕ)2 = 1º Oi j º ¾ M º Oi j (x1 , y1 )º ¹ º −−−→ O M = x1 i + y1 j º ¹ −−−→ OM¸ i ¸ j ¸ O ij º ¹ (x cos ϕ−εy sin ϕ, x sin ϕ+εy cos ϕ) = x1 (cos ϕ, sin ϕ)+ y1 (−ε sin ϕ, ε cos ϕ)º ¸ x1 = x¸ Oi j º ¿º¾ ½ º º M (x, y)º f ¸ ¿º½ y1 = y ¸ ¹ �¿º¿ º ´¿º µº ε = +1 ¸ Oi j O ij ε = −1 ¸ º ¿º º ¹ ¸ ¹ ¹ ´¿º µ¸ ε = +1 ε = −1º ¸ ¹ ¸ ¹ º ï º º½ º ¹ ´ µ ¹ ¸ ¸ º º M¸N M¸ N M N = MN º ¸ º º ½ ¹ �º½ º º º½ º ¹ º f º a ¸b a −−→ −−→ OA¸ b = OB¸ B = f (B) ´ º ¿º a¸ b −→ −−→ O a = OA¸ b = OB º b a = A = f (A)¸ º ¹ º −→ AB = −−→ −→ −−→ −−→ −−→ OB − OA¸ A B = O B − O A º º ¿ −→ 2 −−→ 2 −−→ −→ −→ AB = OB − 2OB OA + OA 2 , −−→ 2 −−→ 2 −−→ −−→ −−→ A B = O B − 2O B O A + O A 2 . ¸ f −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ |A B | = |AB|¸ |O B | = |OB|³ |O A | = |OA|º −→ 2 −−→ 2 −−→ 2 −−→ 2 −→ 2 −−→ 2 AB = A B ¸ OB = O B ¸ OA = O A º º ¸ −−→ −→ −−→ −−→ OB OA = O B O A ¸ º ab = a b º ½ ¸ �º½ º º f º º þ −→ −−→ OA¸ j = OB º f (B) ¹ −−→ −−→ OA¸j =OB ¹ ¹ O ij i= O = f (O)¸ A = f (A)¸ B = O ¸ A¸ B ¸ i = i¸ j º ¹ ¸ ¹ i j ¸ |i | |j | |i| |j| Oi j ¹ º M(x, y) M = f (M) M ¹ º Oi j º ¹ −−−→ OM = (x1 , y1 )º x1 i + y1 j º ¹ −−−→ OM i = i¸ j º −−−→ 2 2 x1 i +y1 i j ¸ O M j = x1 i j +y1 j º i 2=j 2= 1 i j =0´ µ¸ −−−→ −−−→ O M i = x1 ¸ O M j = y1 º þ º −−−→ −−→ 2 x1 = O M i = OM i = (xi + y j) i = x i + y ij = x¸ i 2 = 1¸ i j = 0º ü ¸ y1 = yº ¸ f M(x, y)Oij M (x, y)O i j ´ µ º º ½ ½¸ �º¾ º ¹ ¸ ¹ º º ¹ º ï º º½ º ¹ M ¸ ¹ M ½µ ¾µ MM ⊥ KM = KM K = MM ∩ ¸ º S º ¹ º º½ º º º O ij j⊥i þ O∈ ¸ i ¸ M(x, y) ¹ ¸ M (x , y ) º K = MM ∩ º −−→ −−→ −−→ OM = OK + KM ¸ −−→ −−→ −−→ OK = xi¸ KM = y j º þ OM = −−→ −−−→ ¹ OK + KM ¸ ¸ ½ º �¸ −−−→ −−→ KM = −KM º ¸ −−→ OM = xi − y j x = x, y = −y º ´ º½µ ´ º½µ ε = −1¸ ϕ = 0◦ ¸ x0 = y0 = 0º ´¿º µ ¸ º º½ º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º º¾ º P ¹ f¸ º º f (P ) = P ¸ P º 1◦ º ¹ º 2◦ º ¸ ¸ ½ ¹ º �a ¿◦ º K¸ a ¹ K¸ ¸ a ◦ ´ º ¹ µº a º ¸ a ¸ a ¸ º ◦ º ´ º º µº º º º ◦ º ¸ º º¿ º Φ¸ S º ◦ º ¸ O ¸ º ¾¼ �◦ º þ ¸ ¹ º ◦ º þ ¹ ¸ º ½¼◦ º þ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º ï º º½ º º º f¸ g M¸ N º M = f (M)¸ N = f (N) M = g(M )¸ N = g(N )º f ¸ M N = MN ¸ ¸ g ¸ M N = MNº M N = MN ¸ M N M¸ N g ◦ fº ¸ g◦f º ¾½ �º¾ º ¹ ¸ ¸ º f º ¸ A¸ B ¸ C º þ ¹ M = f (M)º M M º ¹ M = M¸ ¹ M¸ f (A) = A¸ f (B) = B ¸ ¸ M = Mº f (C) = C ¸ f ¸ AM = AM ¸ BM = BM ¸ CM = CM º ¸ A¸ B ¸ C MM ¸ º º º ¹ ¹ ¸ ¸ M ¹ M = M¸ f ¸ ¹ º º¿ º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ º f º B ¹ M ∈ / AB A¸ º þ M = f (M)º A¸ B ¸ M f º¾ º º ¾¾ M = M¸ �M¸ M = Mº f ¹ AM = AM ¸ BM = BM MM º A∈ ¸ ¸ B∈ ¸ A Sº S (B) = B ¸ S (A) = A ¸ MM ¸ º M º½ µ¸ B MM ¹ ´ ¹ M ¹ S ◦ fº ¹ A¸ B ¸ M (S ◦ f )(A) = S (f (A)) = S (A) = A¸ (S ◦f )(B) = S (f (B)) = S (B) = B ¸ (S ◦f )(M) = S (f (M)) = S (M ) = M º ¸ A¸ B ¸ M ¸ ¸ ¹ S ◦f ¸ º½ º º¾ S ◦ f = e¸ e ¹ º S = S ◦ e = S ◦ (S ◦ f ) = (S ◦ S ) ◦ f = e ◦ f = fº ¸ f ¹ S¸ = AB º º º º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º f º A M¸ º þ A¸ f (M) = M º¿ M = M¸ fº º f e ¾¿ ¹ �Sm ´m = AM µº M = Mº f ¸ A ∈ ¸ ¸ º AM = AM ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ MM º S ◦f A M (S ◦ f )(A) = S (f (A)) = S (A) = A¸ (S ◦ f )(M) = S (f (M)) = S (M ) = M º ¹ ¸ A M S ◦ f¸ ´ º½ µº ¹ º¿ ¹ e Sm ´m = AM µº S ◦ f = e¸ S ◦ f = Sm º f = S ´ º º¿ µº S ◦ (S ◦ f ) = S ◦ Sm º ¹ (S ◦ S ) ◦ f = S ◦ Sm º S ◦S = e f = S ◦ Sm ¸ e ◦ f = f¸ ∩m=A º º º ´ µº þ ¹ º f º ¸ º º þ M M = M¸ f (M) = M f ¹ º ¹ ¸ ¹ ¹ º ¸ MM S ◦ f¸ M = Mº M¸ ¾ �º ¸   e , S ◦ f = Sm ,   Sm ◦ Sp . S ◦ f = e¸ ¸ S ◦ f = Sm ¸ f = S ◦ Sm ´ º º µº S ◦ f = Sm ◦ Sp ¸ f = S ◦ (Sm ◦ Sp ) ´ ½º ¾º ¿º º¿ ¸ f =S º µº ï º º½ º ¸ Ta ¸ a¸ ¸ M ¹ −−−→ MM = aº M º ½º aº ¸ a = 0¸ Ta º þ ¹ Ta ¸ a = 0º ¾ �þ º Ta º þ O ij y − y = a2 º a(a1 , a2 )º þ M(x, y) M = Ta (M)º (x , y ) ¹ −−−→ Mº MM (x − x, y − y)º ¹ ¸ x − x = a1 ¸ x = x + a1 , y = y + a2 º ´ º½µ þ ¸ ´ º½µ¸ ¹ a(a1 , a2 )º ¸ ´ º½µ Ta º º½ º ¹ º º ´ º½µ ´¿º µº ´¿º µ ε = +1¸ ϕ = 0¸ x0 = a1 ¸ y0 = a2 ¸ ´ º½µº ¸ ¹ ¸ º º½ º ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ º ¾ �½◦ º ´ µ º ¾◦ º ¸ ¸ º ¿◦ º ¸ ¸ ¹ º Ta º ¸ ¹ ¹ aº = Ta ( )º ¹ ½ º þ K ∈ ¸ K L ∈ L º ¹ ¸ ¸ ¹ −−→ −−→ KK = LL º ◦ −−→ −−→ KK = a¸ LL = aº ¹ KK L L ¸ KL||K L ¸ º º || º º ¸ ¹ º ◦ º º Tb ◦ Ta = Ta+b º ¾ �M º −−−→ −−−→ M1 = Ta (M)¸ M = Tb (M1 )¸ MM1 = a¸ M1 M = bº −−−→ (Tb ◦ Ta )(M) = Tb (Ta (M)) = Tb (M1 ) = M MM = −−−→ −−−→ MM1 + M1 M = a + b¸ º º M = Ta+b (M)º M ¸ Tb ◦ Ta = Ta+b º ◦ º Ta −1 = T−a º º M = Ta (M)¸ −−−→ MM = a Ta M −−−→ M M = −aº Ta −1 (M ) = M º º ¹ ¸ ¹ ¸ a¸ −aº ï º º½ º a b −→ −−→ OA = a¸ OB = bº OA OB ¸ º¾ º ´ a µ a b¸ a {a, b} {a, b} b¸ º ¾ ¸ − ¸ ¹ b �a b¸ ¹ 0¸ º a ↑↓ b¸ −π º ∠(a, b) (a, b) a bº ¸ −π < ∠(a, b) πº º¿ º ϕ RO ¸ ¸ O ¹ ϕ ¸ M ½µ ¾µ ¹ OM = OM ∠MOM = ϕ M ´ ¹ µº þ º O ij ¹ ¹ ϕ RO ¹ ¸ º M ϕ M = RO (M) M(x, y)¸ M (x , y )º þ þ −−→ −−→ ∠(i, OM)¸ α = ∠(i, OM )º ¹ α = º ½¼ −−→ −−→ x = |OM| cos α¸ y = |OM| sin α¸ −−→ −−→ x = |OM | cos α ¸ y = |OM | sin α º OM = OM −−→ −−→ ∠(i, OM ) = ∠(i, OM) + ∠MOM ¸ ¾ ∠MOM = ϕº α = α + ϕº �−−→ x = |OM| cos(α + ϕ) = OM(cos α cos ϕ − sin α sin ϕ) = = (OM cos α) cos ϕ − (OM sin α) sin ϕ = x cos ϕ − y sin ϕ¸ −−→ y = |OM| sin(α + ϕ) = OM(cos α sin ϕ + sin α cos ϕ) = x sin ϕ + y cos ϕ¸ º º x = x cos ϕ − y sin ϕ, y = x sin ϕ + y cos ϕ. f ¸ ´ º½µº ´ º½µ ¸ f ¹ ºþ M(x, y) M (x y )º þ OM OM 2 2 OM = x + y OM = x 2 + y 2 = = (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + (x sin ϕ + y cos ϕ)2 = ¸ OM = OM º M = f (M)¸ x2 + y 2 º MOM −−→ −−→ OM OM xx + yy −−→ −−→ cos MOM = cos (OM, OM ) = −−→ −−→ = 2 = x + y2 |OM| |OM | x(x cos ϕ − y sin ϕ) + y(x sin ϕ + y cos ϕ) (x2 + y 2) cos ϕ = = = x2 + y 2 x2 + y 2 = cos ϕ ∠MOM = ϕº ϕ M = RO (M) ϕ f = RO º ¸ M ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ´ º½µ ϕº ¿¼ �º½ º º º ´ º½µ ´¿º µº ¸ ¹ ε = +1¸ x0 = ¸ y 0 = 0¸ ¸ ¸ ¸ º º½ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ º ½◦ º º ¾◦ º º º ϕ RO ¸ º ¹ ¸ = ϕ RO ( OA ϕ A = RO (A)º A ∈ ) O º ¹ ´A ¸ ∈ µ ¹ ¹ OA = OA ¸ ¿½ º ½½ �∠AOA = ϕ ∩ OA ⊥ º OABA ¸ B = º þ A ¹ Aº 180 º (180◦ − ϕ) = ϕº ◦ ¿◦ º ¸ ∠AOA + ∠ABA = ∠( , ) = 180 − ∠ABA = 180◦ − ◦ −1 (Rϕ = R−ϕ O) O º ϕ M = RO (M) Mº OM = OM ∠MOM = ϕº ϕ −1 (RO ) M¸ OM = OM ∠M OM = −∠MOM = −ϕº ¸ −ϕ RO º º ◦ º M ¸ ¹ ϕ ϕ+ψ Rψ º O ◦ RO = RO M º þ M1 = ϕ RO (M) ψ RO (M1 )¸ ¹ M = OM = OM1 ¸ OM1 = OM ∠MOM1 = ϕ¸ ψ ϕ ψ ϕ ∠M1 OM = ψ º (RO ◦ RO )(M) = RO (RO (M)) = ψ RO (M1 ) = M ¸ ¸ ¹ ¸ OM = OM ∠MOM = ∠MOM1 + ∠M1 OM = ψ ϕ ϕ+ψ (RO ◦ RO ((M) = RO (M)º ¸ ¹ ϕ + ψ¸ O ϕ ψ ¹ O ϕ + ψº ¿¾ �ï º º½ º ZO O ¹ M ¸ M ½µ ¾µ M ∈ OM OM = OM Oº ¸ M M ◦ 180 ZO = RO ¸ ¸ ◦ ½ ¼ º º º ¹ þ º O ij ¹ Z ¹ ¸ M ¸ M = Z(M) M(x, y)¸ M (x , y )º ¸ ¹ −−→ −−→ ¸ OM = −OM º −−→ −−→ OM(x, y)¸ OM (x , y )¸ º ½¾ x = −x, y = −y. þ ´ º½µ ¹ ´ º½µ¸ ¿¿ �º ¸ ´ º½µ ¹ º S(x0 , y0)¸ ¸ x − x0 = −(x − x0 ), y − y0 = −(y − y0 ). ´ º¾µ º½ º ¹ º º ¸ ´ º½µ ´¿º µ ε = +1¸ ϕ = 180◦ ¸ x0 = y0 = 0º ¹ º º½ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º ½ º ¹ ◦ º ¿ �¾◦ º ¸ ¸ º ¿◦ º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ º ◦ º ¹ º ◦ º ¹ ¸ º ¹ ¸ º ◦ º ZO ◦ ZO = eº ◦ º −−→ º ZO2 ◦ ZO1 = T2− O1 O2 M º þ M1 = ZO1 (M) M = ZO2 (M1 )º −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ O1 M1 = −O1 M ¸ O2 M = −O2 M1 º −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ MM = MM1 + M1 M = (MO1 + O1 M1 ) + (M1 O2 + −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ ¸ O2 M ) = 2O1M1 + 2M1 O2 = 2O1 O2 ¸ Mº ¸ M = T −−−→ (M)º 2O1 O2 ¸ M = (ZO2 ◦ ZO1 )(M)º ¸ ¹ ¿ �¹ º ï½¼º ½¼º½ º S ,a Ta S a º S ,a = S ◦ Ta º a ¸ S ◦Ta = Ta ◦S ¸ ¸ ºþ ¸ ¸ ¹ ¹ º þ S ,a º º O ij þ ¸ O ∈ a(a1 , 0)º T ¸ i º þ M(x, y) S a M(x, y) −→ M1 (x1 , y1 ) −→ M (x , y ). º ½¿ Ta : x1 = x + a1 , y1 = y. S : x = x1 , y = −y1 . ´½¼º½µ ¿ ´½¼º½µ ´½¼º¾µ ´½¼º¾µ �x = x + a1 , y = −y. ´½¼º¿µ ¸ ¹ ¸ ´½¼º¿µ¸ ¹ º ½¼º½ º ¹ º º ¸ ´½¼º¿µ ¹ ε = −1¸ ϕ = 0¸ x0 = a1 ¸ y0 = 0º ´¿º µ ½¼º½ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º ½◦ º º ¾◦ º ¸ ¸ ¸ º ¿ �¿◦ º ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ◦ º ¹ ¸ ¹ ϕ¸ ¸ ϕ¸ ¹ ´ µº ½ ï½½º ¹ N ½µ ¾µ ¿µ µ N N N N fº þ = 0¸ f = 1º f =2 = 3º ¸ ï º ¸ 0 N S ◦ S = eº ¸ ¿ 3º �½½º½ º ¹ ¹ ¸ ¸ º S º Sm ¸ mº m hº þ Mº ¹ M1 = S (M)¸ M = Sm (M1 ) ¸ M = (Sm ◦ S )(M)º ¸ ¹ MK = KM1 = MM1 ∩ µ¸ MM1 ⊥ M1 L = LM ´L = M1 M ∩ mµ¸ M1 M ⊥mº ¸ º ½ MM −−−→ −−−→ −−→ M KL = hº MM MM MK+ −−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ KL KM1 · M1 L + LM 2KM1 + 2M1 L 2KLº þ ´K º ¸ − → (M)º M = T2− KL M¸ ¹ ¹ Sm ◦ S = − →º T2− KL ½½º¾ º þ º º Ta º þ K ⊥aº K þ ¿ ¹ �KL −−→ KL = ¸ m¸ ½½º½ −−→ 2KL = a¸ − →º Sm ◦ S = T2− KL 1 2 aº L º Sm ◦ S = Ta º ½½º¿ º ¹ ¸ º S º Sm ¸ ¸ ∩ m = Oº m αº þ ¹ Mº M1 = S (M)¸ M = Sm (M1 ) ¸ M = (Sm ◦S )(M)º O m¸ ¸ º ¹ ¸ º ½ OM = OM1 ¸ ∠MOK = ∠KOM1 ´K = MM1 ∩ µ OM1 = OM ¸ ∠M1 OL = ∠LOM ´L = M1 M ∩ mµº ¸ OM = OM ¸ MOM ∠KOL = α ´ M µº 2KOM1 + 2MOL MOK + KOM1 · M1 OL + LOM 2α 2KOL 2αº ¸ M = RO (M)º ¹ 2α M¸ Sm ◦ S = RO º ¼ �º þ ½½º º ϕ RO º þ º ¹ O m α ¸ ϕ º 2 µ ½½º¾ Sm ◦ S = 2α RO 2· ϕ ϕ = RO 2 = RO º N =3 ½½º º ¹ º º ¸ ¹ m¸ pº Sm ◦ S = Ta ¸ ½½º½ 1 Ta ¹ ¸ ¸ Sp ◦Sm ◦S e◦S S º º º m¸ Sp ◦(Sm ◦S ) Sp ◦Ta ½½º Ta = Sm ◦ S º þ ¸ pº Sp ◦(Sp ◦S ) (Sp ◦Sp )◦S º ¹ º º ½ �º ½½º ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º º ¸ m¸ pº Sp ◦Sm ◦S Sp ◦ Sm ◦ S = (Sp ◦ Sm ) ◦ S . A = m ∩ p ϕ = (m, p) m pº A Sp ◦ Sm m ∩ p = A (m , p ) = ϕº Sp ◦ Sm ´½½º½µ m⊥ Sp ◦ Sm ¸ Sp ◦ Sm ¸ ½½º¾ 2ϕ RA º ½½º¿ ¹ (Sp ◦ Sm ) ◦ S = (Sp ◦ Sm ) ◦ S = Sp ◦ (Sm ◦ S ). ´½½º¾µ m Bº B Sm ◦ S m ⊥ º Sm ¸ ⊥p ◦S = ◦ 2·90 RB = ZB º Sp ◦ (Sm ◦ S ) = Sp ◦ (Sm ◦ S ). ´½½º¿µ ´½½º½ ¿µ º ½ Sp ◦ Sm ◦ S = Sp ◦ (Sm ◦ S ) = (Sp ◦ Sm ) ◦ S . ¾ ´½½º µ �p m ¸º Sp ◦Sm º Sp ◦Sm = Ta ¸ ¸ ½½º½ µ ¸ ¸ Ta ◦ S = S a a⊥p ⊥m ¸ ´ ¹ º ,a º ¹ ¸ Sp ◦ Sm ◦ S = S ,a º m p¸ º Sm ◦ S m ¹ Sm1 ◦ S 1 ¸ Sm ◦S = Sm1 ◦S 1 º ½½º ⊥p 1 m1 ¸ mº ¸ º º þ ¹ º S ,a aº 1 Ta = Sp ◦ Sm ¸ º Ta ◦ S ¸ Sp ◦ Sm ◦ S º ½½º º ´ S ,a = S ,a = p mº µ ½µ ¾µ ¿µ µ ´ µ µ º ¿ ¸ ¹ �¸ ¸ ´ ¹ ¸ ¹ µ ¸ º º ¹ º ï½¾º ÿ þ ｺ ¸ ¹ ¾º½ º þ ´ e ¸ ¹ f −1 fº ¹ ¹ º ¸ ¹ ¸ ½ ¾ º ½¾º½ º ¸ ¹ º º ½ º f g ¹ º ¸ º ¸ º ¸ g◦f f �g g◦f ¸ ¸ ´ ¸ ¾ º g◦f f ¹ ¹ º½ µº º f º f −1 ¸ º ½ ¸ ¾ f −1 ½¾º½ º ý Φ º º ´ ´Φ ¹ º ∼ = Φµ¸ Φ Φ =Φ ¸ Φ µ f¸ Φº ¸ ´ µ ¸ ½µ ¾µ ¿µ º ¹ º Φ=Φ Φ =Φ⇒Φ=Φ Φ = Φ, Φ = Φ ⇒ Φ = Φ º ½¾º¾ º ¹ ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ º ¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ �¸ º ¾µ ¿µ ´ ◦ ¸ º ¿¾µº ◦ ¸ ◦ ¸ º ¾ ¸ ¾ µ ◦ ´¿ ¸ �ÿ ¾ ｿº ½¿º½ º ¹ O ij | i |=| j |= k | i |= k | j |= k ¸ (x, y) M Oi j ´ Oi j ¸ ¼µº M O ij ¹ (x, y)¸ ¹ ¸ kº ¹ ¸ º º ¹ ¸ M¸ N |M N | = k |MN|º k¸ M¸N º º ¹ �O ij º N M M(x1 , y1 )¸ N(x2 , y2)º |MN| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 º M¸N M¸ N ¹ ¹ (x1 , y1 )¸ (x2 , y2 ) |M N | = ¹ Oi j º −−−→ 2 MN = º ½ ((x2 − x1 ) i + (y2 − y1 ) j )2 (x2 − x1 )2 i 2 + (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) i j + (y2 − y1 )2 j k 2 (x2 − x1 )2 + k 2 (y2 − y1 )2 = k |MN|¸ k2 i j = 0 º i 2 2 =j 2 º ½◦ º º ¾◦ º ¹ ¹ = f ( )º ¸ ¿◦ º º ◦ º º ◦ º ¹ ¸ º = �◦ º ¹ º ◦ º ¹ ¹ º º º ◦ º ¹ ¸ ¹ º þ ¸ º ü ½¿º½ º O ij f Oi j k ¹ ¸ ∠(i, i ) = ϕ M(x, y)Oij O (x0 , y0 )Oij ¸ M (x , y )Oij x = k(x cos ϕ − εy sin ϕ) + x0 ¸ y = k(x sin ϕ + εy cos ϕ) + y0 , ε = ±1º ´½¿º½µ �º M ¹ M (x, y) ¹ Oi j M ¸ ¹ O ij º O i1 j1 ¸ º ½ 1 i1 = i , k i1 þ | i1 |=| 1 j1 = j . k ´½¿º¾µ j1 1 1 1 i |= | i |= k | i |=| i |, k k k | j1 |=| j | . O ij ¸ O i1 j1 M º (x1 , y1 ) O i1 j1 º þ ¹ ¸ O ij M O i1 j1 º þ º x = x1 cos ϕ − εy1 sin ϕ + x0 , y = x1 sin ϕ + εy1 cos ϕ + y0 , ε = ±1º (x1 , y1 ) þ ´½¿º¿µ M ¹ −−−→ OM (x, y)º {i1 , j1 } {i , j }º −−−→ 1 O M = x1 i1 +y1j1 = x1 i k ¸ +y1 ¼ 1 j k = 1 1 x1 i + y1 j , k k �−−−→ O M = xi + y j . −−−→ OM {i , j } 1 x1 , k x= y= x1 = kx, 1 y1 . k y1 = ky. ´½¿º µ ´½ º µ ´½ º¿µ¸ (x, y) ´½¿º½µº M¸ ´½ º½µ ¹ M M O ij º ½¿º¾ º ´ µº f ¹ M(x, y) M (x , y ) ¹ O ij ¸ M ¹ M f ´½¿º½µ¸ º ¹ ¾ º ½¿º½ ½¿º¾ ½¿º¿ º ¹ ´½¿º½µº ε = +1 ¸ Oi j O ij ¸ º ½ ε = −1 ¹ �½¿º¾ º ¹ ¸ ´½¿º½µ¸ ε = +1 ε = −1º ¸ ¸ ¹ º þ º þ ½¿º º º ¹ ¸ k > 0¸ kº ½¿º½ º f ¹ ¸ ¹ ¹ k > 0º a b a b = k 2 a bº ¸ ¹ a b ¹ ½¿º ¹ ¹ ´ º º½ ¸ º½ µº ¾ �½¿º ¹ ¹ º ½¿º¿ º k>0 ¹ ¸ ¹ kº ¸ ï½ º ÿ ½ º½ º ÿ O k= 0 ¸ M M −−→ −−→ OM = k OM. ´½ º½µ º ¾¼ º HOk ¹ O kº ¿ �½ º¾ º ÿ Φ Φ = HOk (Φ)º M ½µ M ¹ Oº M ¾µ ¿µ µ M k > 0¸ O¸ k < 0º OM =| k | OM º ¸ k=1 k = −1 º þ ºþ Oi j ¸ º HOk º M (x , y ) −−→ −−→ OM(x, y) OM (x , y )º ¹ M(x, y) M ¹ ´½ º½µ x = kx, y = ky. x0 , y − y0 ) −−→ SM (x − x0 , y − y0 )º ´½ º¾µ S(x0 , y0)¸ −−→ SM (x− ¹ �S x − x0 = k(x − x0 ), y − y0 = k (y − y0 ). ¸ ¸ ´ µ ´½ º¿µ ´½ º¿µ x = kx + a, y = ky + b. ý ¹ a = x0 − kx0 ¸ b = y0 − ky0 ¸ ´½ º µ ´ µ ¸ ´ k = 1µº M¸ N M¸N −−−→ −−→ M N = k MN . ´½ º µ º þ −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ MN = ON − OM ¸ M N = ON − OM ¸ −−→ −−→ −−→ −−→ OM = k OM ¸ ON = k ON −−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ M N ON − OM k (ON − OM) k MN º ½ º½ º ÿ ¹ k M N = |k| MN º | k |¸ ¹ −−−→ −−→ | M N |=| k | | MN | �½ º¾ º −−−→ −−→ M N ↑↑ M N ¸ −−−→ −−→ M N ↑↓ M N ¸ k > 0¸ k < 0º ½ º¿ º ÿ ¸ ¹ º ½◦ º ÿ ¹ º ¾◦ º ÿ ¸ ¸ ¸ º ¹ ¸ ¹ ¸ º ´k ¿◦ º ÿ = 1µ ¹ ¸ ¸ ¸ º ¸ º ¹ �◦ º ÿ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ r = | k | rº ◦ º þ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ º ω(A, r) º º ω A K1 AK ¸ A K2 K K1 K K2 O1 = AA ∩KK1 ¸ O2 = AA ∩ KK2 ¹ k1 k2 HO 1 HO 2 ¸ K K K1 K2 º ω (A , r ) AK AK ω¸ AA ¸ º ¹ ¹ º ¾½ A ¸ A¸ −−−→ −−→ A K1 ↑↑ AK ¸ k1 = þ −−−→ −−→ −−−→ −−→ A K1 = k1 AK ¸ A K2 = k2 AK −−−→ −−→ A K2 ↑↓ AK ¸ r , r r k2 = − . r ¸ k1 k2 ´½ º µ HOk11 HOk22 ¸ ¹ ´½ º µ¸ �ω ◦ º ωº 1 k −1 (HO ) = HOk º HOk (M)¸ M = −−→ −−→ OM = k OM 1 k M = HO (M ) M 1 k (HOk )−1 º 1 k º −−→ OM º ¸ M = (HOk )−1 (M )¸ ¸ (HOk )−1 (M ) = HO (M ) ◦ −−→ OM = M º ¹ 1 k = HO º k2 k1 k1 k2 HO ◦ HO = HO º HOk1 O M º M1 = HOk1 (M) M = HOk2 (M1 )º M = (HOk2 ◦ HOk1 )(M)º þ ¹ −−→ −−−→ −−→ −−→ OM = k2 OM1 k2 (k1 OM) (k2 k1 ) OM º ¸ M = HOk1 k2 (M) M HOk2 ◦ HOk1 (M) = HOk1 k2 (M)º ¹ º HOk2 º ◦ º k2 k1 HO ◦ HO = 2 1 k1 k2 HO , Ta . º ´½ º µº ¹ ¸ �¸ ¸ k1 k2 = 1µ ´ ◦ ¹ k1 k2 = 1µ¸ ´ º º ÿ ¹ º H º ´½ º¾µ ∆= k 0 = k 2 > 0. 0 k ∆ > 0 º ´ µº A¸ A O ∈ AA Mº M º ½µ ¾µ ¿µ Mº º OM = ¸ AM = m m m¸ A ∈ m M = ∩m º º H O¸ A M = ∩m¸ H( ) = ¸ A ∈ m A ∈ m H(M) = H( ∩ m) º ¾¾ Aº ¾ ◦ ◦ ¿ O∈ H( ) ∩ H(m) ¹ ´ ¸ º ï½ ºµ H(m) = m ¸ º ∩m = M º �º þ B B M ∈ OA¸ ¸ B∈ / OA ¸ B ¸ A ¸ A¸ M º ï½ º ½ º½ º þ ¹ k ¹ º Pk º O ºþ H O º H −1 ¹ k¸ H ¹ ¹ 1 º k f = P k ◦ H −1 ¹ ¸ M N −1 M1 = H (M)¸ N1 = H −1 (N) M = P k (M1 )¸ º N = P k (N1 )º ¹ M1 N1 = 1 MN, k ¸ N = f (N) º M M N = k M1 N1 . M N = MN º N f ◦H (P k ◦H −1 )◦H ¼ M = f (M)¸ ¸ f k −1 P ◦(H ◦H) �Pk ◦ e P kº ï½ º ÿ ½ º½ º ¹ ¹ ¸ º º k1 P k1 ½ º P k2 ¸ k2 ¹ P k2 ◦ P k1 k1 k2 º ¹ ¸ ´ º P k2 k1 ¹ ¾º½ µº ¹ ◦P M N k2 k1 k2 k1 M = (P ◦ P )(M)¸ N = (P ◦ P )(N) ¹ k1 M N = k2 k1 MN º M1 = P (M) N1 = P k1 (N)¸ M = P k2 (M1 )¸ N = P k2 (N1 )º ¹ M1 N1 = k1 MN ¸ M N = k2 M1 N1 º M N = k2 k1 MN P k2 ◦ P k1 º k ¾ º P º Pk k¸ ¹ k −1 (P ) 1 k −1 º ¸ (P ) ¹ k ¸ 1 º k ½ ¾ º ¸ ¸ º ½ ¸ ¸ ¹ ¹ �½ º½ º ý Φ ¸ Φ¸ Φ ∼ Φ¸ ¸ Φ ¹ Φº ½ º¾ º ¹ º º ½µ ¾µ ¿µ ¸ Φ∼Φ´ µ Φ ∼Φ ⇒ Φ∼Φ ´ Φ ∼ Φ¸ Φ ∼ Φ ⇒ Φ ∼ Φ ¹ µ ´ µº ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ½ º¾ º º ¾ �½ º¿ º ½µ ¾µ ¿µ µ º º ½µ ´ ¸ ½¾º¾ µ º ¾µ ¿µ ◦ ◦ ´ ¸ º ¾ µ¸ ´ ◦ º ´ µ¸ ½ ◦ ¸ ¾ ◦ ´ º º ¾ µ ¸ ¸ ¸ ◦ ¸ µ ◦ ´½ º µ ï½ º ¿ ´ º½µ µ �ÿ ¿ ü ï½ º ü ½ º½ º O e1 e2 O e1 e2 º ¹ M ¸ (x, y) M O e1 e2 ¸ ¹ O e1 e2 (x, y)¸ ¹ ¹ º º ¾¿ ¸ ¹ º ¹ �º ¸ ´ ¹ º ｺµ º ½◦ º ü º ¾◦ º ü ¹ ¹ = f ( )º ¸ ¿◦ º ü ¹ º ◦ ºü ¹ ¸ ◦ º ºü ¹ ¹ º ½ º½ º ü ¹ ¹ º �◦ ºü ¹ ¸ ¹ º þ ½ ◦ ¸ ◦ ◦ ¸ º º ü ¹ ¸ º ¸ º f AB ¸ CD AB¸ C D A = f (A)¸ B = f (B)¸ C = f (C)¸ D = f (D)º ◦ ¹ ¸ ◦ ½ ¸ ¸ º º AB µ CD º D C BD ¸ AB −−→ −−→ F B = CD ¸ ¹ B ¹ ¸ ¹ Fº ¹ º ¾ ¹ CF BD º ◦ F = f (F )º ¹ �−−→ −−→ F B =CDº CFBD þ ¹ ¿º¾ −−→ AB (A F , B ) = −−→ . FB −→ AB (AF, B) = −−→ , FB ¹ ´ (AF, B)º ¸ −−→ −−→ AB AB −−→ = −−→ = (A F , B ) = (AF, B) = CD FB µ A¸ B ¸ C ¸ D A¸ B¸ C ¸ D þ (A F , B ) = µ¸ −→ −→ AB AB −−→ = −−→ . FB CD º º ¹ E∈ / ¹ m m E −− → −−→ EG = CD º ¹ E = f (E)¸ G = f (G)¸ m = f (m)º E ∈ m¸ G ∈ m¸ m ¸ −−→ −−→ º ¾ ¹ EG = CDº µ ´ = mµ −−→ −→ AB AB −−→ = −−→ . EG EG −−→ −−→ −−→ EG CD ¸ E G º −−→ −−→ AB AB −−→ = −−→ . CD CD −−→ CD ¹ �½ º¾ º ü ¹ º ½ º½ º ¹ ´ A¸ B ¸ C µº A¸B¸C º A ¸ º −−→ −−→ {A , A B , A C }º ¹ A¸ B B¸C C º º −→ −→ R = {A, AB, AC} R = ¹ fº f ¹ A A¸ B B¸ C C ¸ A(0, 0)R A (0, 0)R ¸ B(1, 0)R B (1, 0)R ¸ C(0, 1)R C (0, 1)R º º ¾ º º ¹ f g¸ ¹ A A¸ B B¸ C Cº þ ¹ M −−→ M = f (M) M = g(M)º M(x, y)R º AM −→ −→ −→ −−→ −→ −−→ xAB + y AC º xAB = AM1 ¸ y AC = AM2 º ¹ AM1 MM2 º ◦ A M1 M M2 �g¸ g(M2 )¸ M1 = g(M1 )¸ M2 = ◦ ¸ −−−→ −−−→ −−→ −−→ A M1 AM1 A M2 AM2 −−→ = −→ = x, −−→ = −→ = y. AB AC AB AC −−−→ −−→ −−→ A M = xA B +y A C ¸ º º M (x, y)R º f R R¸ M (x, y)R ¸ ¹ ¸ M M f (M) = M ¹ f = gº Mº g(M)º ¸ ½ º¿ º ¹ f R R¸ ¹ R1 R1 ¸ R1 ¸ R1 = f (R1 ) º ½ º¾ º ¹ f O e1 e2 O e1 e2 ¸ e1 = a1 e1 + a2 e2 ¸ e2 = b1 e1 + b2 e2 O (x0 , y0 )Oe1 e2 ¸ M(x, y)Oe1 e2 M (x , y )Oe1 e2 ¹ x = a1 x + b1 y + x0 , y = a2 x + b2 y + y0 , ∆ a1 b2 − a2 b1 = 0º ´½ º½µ �º ¹ M (x, y) M ¹ M O e1 e2 ¸ O e1 e2 º þ ¸ O e1 e2 O e1 e2 ¹ M º þ (x, y) ´½ º½µº M¸ ¹ ´½ º½µ M M ¹ O e1 e2 º ½ º¿ º ´ µº ¹ f M(x, y) M (x , y ) ¹ O e1 e2 ¸ M M ´½ º½µ¸ f ¹ º ¸ ½ º¾ ½ º º ½ º¿ º ü ´½ º½µº ¸ ∆>0 O e1 e2 ¸ º ¼ O e1 e2 ∆<0 ¹ �½ º¾ º ü ¸ ´½º½ º½µ¸ ¹ ∆>0 ¹ ∆ < 0º º ü ¸ ¹ ¹ º ï½ º ½ º½ º ¹ ´ µ ¹ ´ µ xx¸ ´ xxµ k M ¸ M ½µ ¾µ MM −−−→ −−→ XM = k XM ¸ ¹ X = MM ∩ xxº º ¾ ½ �k > 0¸ ½µ xx¸ ¸ M M k < 0¸ M ¾µ M ¹ ´ ⊥xx k = −1µº þ º ¹ O e1 e2 xx¸ e2 e1 ¸ ¸ O ∈ xx¸ M(x, y) M (x , y ) ¹ −−→ rº OM = xe1 + y e2 = −−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ OX + XM ¸ OM = OX + XM = −−→ −−−→ OX + k XM = xe1 + kye2 º −−→ ¸ OM = x e1 + y e2 º º ¾ x = x, y = ky. ´½ º½µ þ ¹ ´½ º½µ¸ ¹ ´ µº ½ º½ º ¹ º º ¸ ´½ º½µ ¹ ¹ ´½ º½µ ¾ ¸ �´½ º½µ b2 = k ¸ a1 = 1¸ b1 = a2 = 0¸ x0 = y0 = 0 ´½ º½µº ½ º½ º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º º ½◦ º ¹ ¹ º ¾◦ º ¹ ¸ ¸ º ¿◦ º ¹ ¸ ¸ ¹ º ½ º¾ º Φ º ¿ Φ �◦ º ¸ ◦ º º ¸ ¸ º ½ º¿ º ÿ a ¸ ¹ b ¹ a a ¸ b b º º ◦ º þ ¹ º º r ¹ xx ¹ ¸M M = r(M) º p ¹ MM ω(O, OM)º þ xx X Yº a = XM ¸ b = Y M a = XM ¸ b = Y M º ¾ ¸ ¹ ¸ º �a = r(a) º º b = r(b)º ω¸ a ⊥b º a⊥b ¸ XY ∠XMY = 90◦ ¸ ∠XM Y = 90◦ ¸ p xx p xx¸ MM ⊥xxº þ a b a = MM ¸ b M xx a = a b bº xx¸ M M r ºþ Oº p þ ¸ ¹ ¹ xxº º ´ º µº xx Mº ¸ º M ¾µ ¿µ µ µ ¸ Mº º AM X = AM ∩ xx XA m AA ¸ M ∈ m M = XA ∩ mº º ¸ º ¿¼ M¸ ¸ ¸ XA¸ ¸ º A ¸ º ½µ A º mº AM xxº ¸ M ¸ º º XA ¸ ¸ M Mº ¹ ¹ ¸ AM AA ¸ xx¸ �ï½ º ÿ ½ º½ º º º f ½ º g ¸ ¹ R R ¸ R1 R1 R1 º ½ º¿ R1 R R º ¹ R = f (R) R = g(R )¸ R = (g ◦ f )(R)º ¹ ¸ M M(x, y)R º M = f (M) M = g(M )¸ ¸ f g ¸ M (x, y)R M (x, y)R º M = (g ◦ f )(M) ¸ ¹ Mº ¸ g ◦ f ¸ R R º ¾ º f ¸ ¹ R Rº ¹ f −1 R Rº þ M M = M = f (M)º f ¹ f −1 (M )º ¸ M(x, y)R M (x, y)R º ¸ ¹ −1 f ¸ f¸ f −1 º º ¸ ¹ ¹ º �½ º½ º ý Φ ¸ Φ¸ ¹ ¹ ¸ Φ ¹ Φº ½ º¾ º ü ¸ º º ¸ ¹ º ü ¹ ¸ ¸ º º ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¸ ¸ ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ½ º¿ º ¹ ½µ ¾µ ¸ ¹ �¿µ ¹ ´ µº º ï¾¼º ¹ º ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ º f Ψ ´Ψ = Φ1 ∩ Φ2 µ Φ1 ¸ Φ2 Ψ = f(Ψ)¸ Φ1 = f(Φ1 )¸ Φ2 = f(Φ2 )¸ f(Ψ) = f(Φ1 ∩ Φ2 ) = f(Φ1 ) ∩ f(Φ2 ) = Φ1 ∩ Φ2 = Ψ . º ½º AB ¸ ¸ O ¹ ¹ º º ¸ ¹ O AB º A m⊥ M =m∩ ¸ ¹ ¹ º ¿½ ¹ �B p⊥ Z ¾ ¸ P = p∩ Oº = Z( )º ◦ m º ¹ O∈ AO = OB ¸ B = Z(A) p ¹ A Bº p = Z(m)º Z(M) = Z(m ∩ ) = Z(m) ∩ Z( ) = p ∩ = P º ¸ M P O º Z(AM) = BP º ¹ ¸ AM = BP º ¾º BA BC ABC a a ¸ K = a ∩ BA¸ L = a ∩ BC ¸ L = a ∩ BC ¸ K = a ∩ BA¸ L = a ∩ BC º K K b b¸ L L ¹ ◦ ¿ c cº PP ¸ ¸ P = b∩c P = b ∩c ¸ Bº º K º ¿¾ H K = H(K)º B ¹ ◦ ¾ º b = H(b)¸ K K H(L) = H(a ∩ BA) H(a) ∩ H(BA) Lº c c L L¸ ¸ ◦ ¿ ¸ c = H(c)º ¸ H(P ) H(b ∩ c) H(b) ∩ H(c) b ∩ c P ¸ º º B ∈ PP º ¿ ◦ ¹ a = H(a) º ¹ a ∩ BA = P P �¿º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º f¸ º ABCD ABC Dº ¹ ¹ þ º ¿¿ ¹ ADE ´E = AB ∩ CD ¸ E = A B ∩ C D µº ¸ ADE ¹ ¸ S¸ ADE¸ º K BC ADº ¹ EK º AD ´ K BC AD ¸ ADº ABC Dµ ABCD º AD¸ EK¸ ¹ º S(B ) = S(A E ∩B C ) = S(A E ) ∩ B C ¹ S(B C ) = D E ∩ B C = C ¸ º º EKº ¸ L = B C ∩E K BC¸ ¸ ¸ L BC ABCD ¸ ¼ �L ∈ EK º ¹ S(B ) = C º S(D ) = A ¸ BD CA F = BD ∩CA F = BD ∩ CA¸ f EK º ¸ ¸ E = AB ∩ CD ¸ F = BD ∩ AC ¸ K BC º ½ EK º þ ¹ F ¸ ¹ AD L �ÿ ÿ ï¾½º º ü þ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ º 1◦ º 2◦ º ´ µ ¸ ¹ º 3◦ º ¸ ¹ ¸ º 4 ◦ 5 ◦ º ¸ º º ¸ ¹ ¸ º 6 ◦ º ¹ ¸ 7◦ º º ¸ º 8◦ º ¸ º ¾ ¹ �7◦ ü ¸ 8◦ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ º ¹ ¸ º ü 1◦ µ ¸ 2◦ µ ¸ 3◦ µ ¹ ¸ ¹ º º þ 1 4◦ ◦ ¸ 3◦ ü 2◦ 2◦ º º 1◦ µ ¸ ¹ ¸ ´ µ 2 ◦ µ ¹ ¸ º º ü ¹ ¸ ¿ ï¾ º �½º ¸ º ¾º ¸ ¹ º ¿º ¸ º º ¸ ¹ ¸ º º ¹ ¸ º º ¸ ¸ ¹ º º º º º º ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ º ½¼º ¸ º ï¾¾º º ¸ ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ ´ ¹ ¸ µº ¸ º ¹ �¸ ¸ ¹ ¸ ¸ º ¹ ¹ ¸ ¸ º þ ¸ ¹ º ¸ º ¹ ¸ ¹ ¹ º ¹ º ¹ ¸ º º ¹ ¸ ¸ ¹ º ¸ ½º ¸ ¾º º ¸ º ¿º ¸ º º ´ ¹ µº º ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¹ �¸ º º ¸ ¸ ¹ º º µ µ µ º º ¹ µ µ µ µ µ º ½¼º ¹ º ½½º ¸ ¸ ¹ ¹ º ½¾º ¹ º ½¿º ¹ º ﾿º º �Φ10 ω(O, r)¸ ´ aµ O ¸ ¹ ¹ r a º 2 a¸ ω(O, r)º ¸ Φ10 º º ½µ ¾µ ¿µ µ µ A∈ω ω (A, a) B ∈ (ω ∩ ω ) C ∈ AB ¸ AC = CB ω1 (O, OC) = Φ10 ¸ r2 − OC = Φ12 º ¿ a2 º 4 ´ ¸ ¹ ¸ ω¸ O r √ aµ a2 + r 2 º ¹ a¸ ω(O, r)º Φ12 º º ½µ ¾µ ¿µ µ P ∈ω P E⊥P O Q ∈ P E¸ P Q = a ω (O, r )¸ r = OQº ω = Φ12 ¸ r Φ13 ´ ω(O, r) √ r 2 + a2 º º ¿ ¸ ¹ ϕµ O r¸ r ¹ �ϕ 2 ¸ ´r = r/ sin ϕ µº 2 ω(O, r)¸ ϕº Φ13 º º ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ P ∈ω P E⊥P O ϕ ϕ ◦ µ 90 − 2 2 ∠P OF = 90◦ − ϕ 2 Q = P E ∩ OF ω (O, r )¸ r = OQº ω = Φ13 ¸ r = r º sin ϕ2 º ¿ ϕ ∠P QO = 2 Φ14 ´ AB ¸ ¹ ϕµ ´ ¹ µ r= a º 2 sin ϕ ϕ¸ AB = aº Φ14 º º ∠BAC = ϕ ¾µ AD⊥AC ¿µ S ∈ AB ¸ AS = SB ¸ SE⊥AB µ O = AD ∩ SE ½µ º ¿ ¹ �µ µ µ µ O = SAB (O) ω(O, r)¸ r = OA ω (O , r) AGB∪ AG B ´G ∈ ω ¸ G C G = SAB (G)µº AGB∪ AB ¸ AG B = Φ14 ¸ r= a º 2 sin ϕ Φ15 ´ a : cos(90◦ − ϕ) = 2 ¸ ¹ A m¸ nµ B ü º AB º m¸ nº Φ15 º º AX ¾µ C ∈ AX ¸ AC = m ¿µ {D, E} = AX∩ ω (C, n) µ p BE ¸ C ∈ p µP = p ∩ AB µ q BD ¸ C ∈ q µ Q = q ∩ AB µ S ∈ P Q¸ P S = SQ µ ω(S, SP ) = Φ15 ¸ AP AC m AQ AC m = = ¸ = = . P B CE n QB CD n ½µ Φ16 ´ ¸ ¹ A pµ ¹ ¸ º ¿ B ¹ �AB K AB ¸ p2 + a2 AK = º 2a AB ¸ pº Φ16 º º BE⊥AB X ∈ BE ¸ BX = p ¿µ AX µ Y ∈ (AB ∩ ω(A, AX)) µ Y F ⊥AY º ¿ µ G = Y F ∩ AX µ H ∈ AG¸ AH = HG µ K ∈ (AB ∩ ω (A, AH)) µ KL⊥AB º ºþ ABX º KL = Φ16 º ◦ ∠B = 90 ¸ AB = a¸ BX = pº ¸ AX = 2 2 2 2 a +p º Y ∈ ω¸ AY = a + p º ¹ BX⊥AB ¸ GY ⊥AY BX Y G AB AX AX · AY p2 + a2 = º AG = = º ¹ AY AG AB a 1 p2 + a2 AH = AG¸ ¸ AH = º K ∈ ω¸ 2 2a p2 + a2 AK = ¸ ¸ KL⊥AB º 2a ½µ ¾µ Φ17 ´ ¸ ¹ A qµ AB B ¹ S ¹ a ´r = r¸ 1 2q 2 − a2 µº 2 ¼ √ q 2 �AB = a¸ q º Φ17 º º P ∈ AB ¸ AP = q ¾µ AE⊥AB ¿µ Q ∈ AE ¸ AQ = q µ ω (B, P Q) µ C ∈ (ω ∩ AE) µ S ∈ AB ¸ AS = SB ¸ SF ⊥AB µ M = SF ∩ BC µ ω(S, r)¸ r = SM º ½µ º ω(S, r) = Φ17 º º º ¼ AP Q ¸ ¹ √ P Q = q 2 + q 2 = q 2º þ ABC ¹ √ ∠A = 90◦ ¸ AB = a¸ BC = P Q = q 2º √ AC = (q 2)2 − a2 = 2q 2 − a2 º ¸ SF AC ´ AB µ S ¹ AB ¸ ¸ M BC º 1 SM = AC ABC º ¹ 2 1 ¸ r = SM = 2q 2 − a2 º 2 ï¾ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º º ü ¸ ºþ ´ ½ ¹ �¸ ¸ µ¸ ¸ ¹ º ¹ Φ1 Φ2 Φ3 ¸ Φ1 ¸ Φ2 ¸ º º¸ ¸ ¹ º º ¹ ´ µ¸ ¹ º ¹ ¸ º ¸ ¹ º ¸ º º ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ º ¸ ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¸ º α¸ b¸ hº ¾ �ABC ∠A = α¸ ¾µ b = AD ¸ ∠BAD = ∠DAC ¿µh = AH ¸ AH⊥BC º ½µ º ü ABC º ¸ ºþ α¸ hº b AHD ¸ ¹ AH AD º ¸ ´ º º B µº C ¹ HD ¸ AB AC AD ¸ º αº B ¸ ½ ¹ C ¹ HD º ü º b hº b > h¸ AHD º º AHD ∠H = 90◦ ¸ AH = h¸ AD = b α ¾µ 2 α ¿µ ∠DAE = ¸ 2 α ∠DAF = ¸ E 2 ½µ ¹ µ µ F AD º HD B = AE ∩ HD C = AF ∩ HD ¿ ¾ �ABC º µ º ü ¸ ∠DAC = ½µ α 2 ∠BAD = ∠EAD = α º 2 ´ º ¿µº ∠A = ∠BAD + ∠DAC = α α + αº ¾µ AD = b ´ º 2 2 ¿µ AH = h¸ AH⊥BC ´ º ½µ ´ HD ´ º µµº ½µ¸ º AD ¹ B ´ º ¿µº C AHD µ ´ b>h ¹ º b = h¸ º þ º ¹ ¹ AD º D ´b ¸ H = Dº ¹ ¸ B H = hµ¸ ⊥AD ¸ ¸ º º α < 180◦ ¹ ¸ b = h¸ ¹ C AE AF º þ α < 180◦ ¸ b hº ý º ¿ ´ º ¾ ¹¾ µº ï¾ º ¸ ¹ º ¹ ´ µ¸ ¸ º ¹ �º ¸ ¹ ¹ º þ ¸ º Φ Φ º Φ Φ ¸ ¸ º Φ = Φ ∩Φ ¹ ¸ ¸ ¸ º ½º ¸ ¹ ¹ º r ¸ A¸ º º ω(O, r) A ∈ ω ¸ ω∩ = {B} ´ ü º µº ¸ ω ω º O ¸ OB º ¹ ω º ¹ OB⊥ ¸ ¸ B rº ¸ Oº ¸ O A ¸ º Oº ¸ Φ ¿ r Φ º Φ ¸ ¸ rº º ¹ º Φ6 ¸ ¹ ¸ ¹ �rº Φ ¸ º r ¹ ¸ ω1 (A, r)º O¸ O ∈ (Φ6 ∩ ω1 )º Φ6 ω1 ¹ A º ¸ º ü º º ½µ ¾µ ¿µ µ ω1 (A, r) Φ6 µ M ∈ ¸ µ m⊥ ¸ M ∈ m¸ µ{E, F } = m∩ω2 (M, r)¸ µ a ¸ E ∈ a¸ µ b ¸ F ∈ b¸ µ Φ6 = a ∪ b O ∈ (Φ6 ∩ ω1 ) ω(O, r)º º O ∈ ω1 ´ ¿µ¸ OA = r ¸ A ∈ ωº O ´ º¿µ¸ OB = r OB = r ¸ ¸ Bº ¹ ¸ ¹ º OB B ∈ ωº ω º ω1 ¸ ¸ Φ6 º º h AB OA + OB ¸ ¸ A º h AB º OA + OB = r + r = 2r ¸ h 2r º h 2r º º h = 2r ¸ ¸ ¸ O ∈ Φ6 OB⊥ º º þ h < 2r ¸ ¹ ¹ �A ¸ b r¸ a r ω1 º ¾º ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º a¸ hº ABC ½µ ¾µ ¿µ BC = a AD = h¸ AD ∠(BE, CF ) = 90◦ ¸ BE CF º º ü º ¹ ¸ O = BE ∩CF º ¸ ½µ ¾µ ∠BOC = 90◦ º Φ6 BC º ABC O BC ¸ O Φ1 º Φ6 º ¹ 1 3 ¸ h¸ ¹ ¸ BC º 1 h¸ 3 º ü Φ1 º ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ º µ º BC = a BC = a S ∈ BC ¸ BS = SC ω(S, SB) m BC O ∈ω∩m SO A ∈ SO ¸ OA = 2SO ABC º º 1 3 h �O A OK AD BC ¸ h O∈m ¸ ¸ OK = º ¹ 3 SOK SAD SO : SA = OK : AD = AD = 3OK = 3 · h3 = hº O AS 2 : 1¸ A 1 : 3º ´ º µ¸ BE CF ∠BOC = 90◦ ω ´O ∈ ω ¸ BE⊥CF ¸ ¸ ¸ º µº º º ï¾ º ¹ º ¹ ¸ ¹ ¸ º þ ¹ º º º ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ º þ º ´ ´ ¸ ¸ µ¸ ¸ ¸ ¹ �µ ¾ º½ º º ¹ º a, b, c, d, ; αº ABCD AB = a¸ BC = b¸ CD = c¸ DA = d¸ ∠(AB, DC) = αº º ü º ¹ ¸ ¹ ABCD AB E º Aº B EC = AB = a ´ ¹ −−→ BC ¸ º ¹ Cº þ ECD CD = c¸ ¹ µ ∠ECD (AB, CD) α EC AB µº ECD AED ´ º B ABCE º ¹ ü º º ECD ∠ECD = α¸ EC = a¸ CD = c ¾µ A ∈ (ω1 (E, b)∩ ω2 (D, d))¸ AE ¸ AD ¿µ p AE ¸ C ∈ p µ q EC ¸ A ∈ q µ B = p∩q µ ABCD º º º EC = a¸ AE = b¸ CD = c¸ DA = d º ABCE ´ ½µ ¹ µ¸ �AB = EC = a¸ BC = AE = b ∠(BA, CD) = ∠ECD = αº º AD + ED ¸ º ¹ ω1 ∩ ω2 A º ¸ |AD − AE| ED < |b − d| ED ECD ¹ √ < b + dº 2 2 ED = a + c − 2ac cos αº ¹ º ¸ ´ µ¸ a¸ b¸√c¸ d¸ α |b − d| a2 + c2 − 2ac cos α < b + d. þ º þ º ¹ ¸ º þ ¸ ¸ ¹ Φ1 ∩ Φ2 Φ2 ¸ Φ1 Φ2 ¸ ¹ º þ ¹ ¹ º ´ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ µ¸ ¹ ¹ ¹ ´ º µ¸ ´ ¸ µ ¾ º¾ º º º ¸ ¹ ¸ º ω(O, r)¸ P º ½¼¼ �ABCD AC ∩ BD º º ü ½µ ¾µ º ABCD ∠AP B = 90◦ ¸ A P ¿µ µ µ µ = P A = P B¸ ¸ B ¸ ◦ R90 P 90◦ º ¹ B ω ω B¸ C C ¾µ ¿µP ¸ º º þ ½µω A ∈ ω¸ B ∈ ω ¹ ω¸ D º º 90◦ = RP (ω) 90◦ µ O = RP (O)¸ µ ω (O , r) B ∈ω∩ω ◦ A = R−90 (B) P 90◦ C = RP (B) ◦ D = R90 P (C) ABCD º º ABCD P ¸ º ¼ ∠AP B = ◦ ∠BP C = ∠CP D = 90 P A = P B = P C = P Dº B ∈ ω ◦ ¾º B ∈ ω ´ º¾µ A = R−90 (B) ´ º¿µ P A ∈ ωº ¸ º º ¸ ¸ ¹ ¹ º ¸ ½¼½ ¸ ¸ ¹ �¸ ¸ º ¹ ¸ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ¾ º¿ º ABC ¸ AB : BC = m : n ´m¸ n AC º ∠A¸ µ ¹ α¸ m¸ n¸ aº ABC ∠A = α¸ ¾µ AB : BC = m : n¸ ¿µ BM = a¸ M ∈ AC ¸ AM = MC º ½µ º º ½ ü º ABC ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ º ¸ ¸ µ µ ¸ ¸ AB C ∠A = α¸ AB = m¸ B C = n M ∈AC¸ AM =M C BM E∈BM¸BE=a p AB ¸ E ∈ p ½¼¾ ¹ ¹ º º ¿µ ¸ AB C ¸ ¾µ ¹ º ¸ ½µ ¹ �µ µ µ M = p ∩ AC MB EB ¸ B ∈ AB BC B C ¸ C ∈ AC º º ½µ º ¹ ∠A = α ¹ ½ BC B C ´ º µ AB = m¸ B C = n ´ º ½µ ¸ AB : BC = m : n º ¾µ ¾ ¿µ B BME B M BM ´ º ´ º µ ¸ B C BC AB AM = , AB AM ´ º º µ¸ BM = B E = aº µ AB AC = . AB AC AM AC = AM AC AM = 1/2 AC ¸ AM = 1/2 AC ¸ AC BM º º º M ¹ ¹ º º þ ¾ º HKLM ¸ AC º ABC K ∈ AB ¸ L ∈ BC ¸ M ∈ AC ¸ H ∈ ABC º HKLM ½µ ¾µ ¿µ µ ¸ K ∈ AB ¸ L ∈ BC ¸ M ∈ AC ¸ H ∈ AC º ½¼¿ ¹ �ü º º ¿µ ¸ ¸ º º ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ µ K ∈ AB K H ⊥AC H K LM ¹ L = AL ∩ BC LK L K ¸ K ∈ AB LM L M ¸ M ∈ AC KH K H ¸ H ∈ AC KLMH º ¿ º A º L LK L K K Lº K AB ¸ ¸ º ü M ¸ º HKLM ¹ M¸ H H ¹ ¸ ¹ H KLM HKLM º º º ï¾ º ü ¸ º a¸ b¸ ¸ x = f (a, b, ..., )¸ x xº ½¼ ººº ¹ º ¹ �º º ¹ ¹ º ´ ½º ¾º ¿º º º º º º º ½¼º µ x=a+b x = a − b ´a > bµ x = ma ´m ∈ Nµ a x= ´n ∈ Nµ n ma x= ´m ∈ N, n ∈ Nµ n ab x= c a2 x= c √ x = √ab x = √a2 + b2 x = a2 − b2 ´a > bµ ¹ º ½º √ 3a b2 + c2 x= 5c º x º ¸ ¹ ¹ ½µ º ¾µ ½¼ √ b2 + c2 ay z= º µ c y= ´ º µ �¿µ x= 3z 5 ´ º µº º º ¾ º½ º ¹ ´ µ n f (a, b, . . . , ) ¸ f (ka, kb, . . . , k ) = k n f (a, b, . . . , )º k>0 ¸ ½ ½¼ ½º ¾ º½ º ½¸ x= a1 a2 . . . an , b1 b2 . . . bn−1 a1 ¸ a2 ¸ . . .¸ an ¸ b1 ¸ b2 ¸ . . .¸ bn−1 ¹ º º ¹ ¹ ½¼ �x1 = a1 a2 x1 a3 xn−2 an , x2 = ,..., x = . b‘1 b2 bn−1 ¾ º½ º ½µ x= ¾µ x= ¹ an bn−1 αk 2 a1α1 aα 2 . . . ak bn−1 ´α1 + α2 + . . . αk = nµº ¾ º¾ º ¹ x= Pn+1 Pn+1 (a1 a2 . . . ak ) Pn (b1 b2 . . . bm ) , Pn ´ ¹ ¹ µ n+1 n¸ a1 ¸ a2 ¸ ººº¸ ak ¸ b 1 ¸ b 2 ¸ ººº¸ bm º Pn+1 º ¹ n + 1¸ ¹ ´α1 + α2 + . . . αk = n + 1¸ A∈ Aaα1 1 aα2 2 . . . aαk k Rµ¸ Pn Bbβ1 1 bβ2 2 . . . bβmm ´β1 + β2 + . . . + βm = n¸ B ∈ Rµ nº þ a1 ¸ a2 ¸ . . .¸ ak ¸ b1 ¸ b2 ¸ ½¼ c ´ . . .¸ bm µ x �Pn+1 /cn x=c . Pn /cn−1 x1 = Pn+1 /cn α1 α2 a1 a2 . . . aαk k A cn þ x1 ½¸ ¾¸ ½ ¸ ¸ ¾ º½ ¸ ´ µº ü ¸ ¹ ½º ¹ ¸ x2 = Pn /cn−1¸ B x bβ1 1 bβ2 2 . . . bβmm cn−1 c¸ x1 ¸ x2 x= cx1 º x2 ¾ º¿ º ¹ ¸ x= R2 (a, b, . . . , ), R2 º º d þ a¸ b¸ º º º ¸ R2 d ºþ d ´ x= a¸ b¸ ººº¸ ¾ x= ¸ √ ½¼ µ y = R2 d ¹ d ¹ º dy º �º ¹ ¸ ¸ ¸ ½ ¿¸ ¹ ¸ ¸ º ¾º º ¹ ¸ º ¸ √ 4 x = a4 + b4 º º x= √ 4 a4 + b4 = ¹ √ a4 + b4 = a b4 2 a + 2= a a b2 a a2 + ¸ ½µ ¾µ ¿µ b2 y= ´ º µ a z = √ a2 + y 2 ´ x = az ´ º µº º ¹ µ ¸ ¹ eº y = f (a, b, . . . , ) ¹ ¸ a¸ b¸ º ººº¸ º ¹ a b x = ef , , . . . , e e e e yº e ¸ ½¸ ¸ ¸ ¹ a¸ b¸ º º º ¸ ½¼ ¸ eº 2 º �x ¸ ¹ yº eº ¿º ¸ y ½µ ¾µ ¿µ µ ¹ y = a2 y = ab b y= a √ y= a þ º ¹ ¸ ½µ y ¾µ y ¿µ y µ y a2 a2 =a =e 2= ´ º µ e e a b ab = = ab = e ´ º µ ee e b b/e eb = =e = ´ º µ a a/e a a a √ √ = a=e = e2 = ea e e 2 ´ º µº ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ º º þ ¸ ¹ ½½¼ �¸ º þ ï¾ º ´ ¾ º µ ¹ º º ABC º KLMH ½µ H ∈ AC ¸ M ∈ AC ¿µK ∈ AB µ L ∈ BC º ¾µ º ü º ¸ ABC KLMH º AC = a¸ h¸ E = BD ∩KL x BD = ¹ º KL||AC ¸ ABC ∼ AC KBL ¸ ¸ º = BD KL BE AC · BE = KL · BD º þ ¹ ¹ ¸ x= ah º a+h a(h − x) = xhº º º BD⊥AC ¸ D ∈ AC y =a+h ½µ ¾µ ½½½ º �¿µ µ µ µ µ µ ah y DE = x¸ E ∈ BD m AC ¸ E ∈ m¸ K = m ∩ AB ¸ L = m ∩ BC KH⊥AC ¸ H ∈ AC LM⊥AC ¸ M ∈ AC HKLM ¹ º x= HKLM ¹ ¹ HK = KLº ¸ KL AC ¸ KH⊥AC ¸ LM⊥AC DE = x¸ DE⊥AC ¸ BD AC KH = LM = xº ABC ∼ KBL = KL BE ah ah a h− KL = = KL · hº = a+h a+h x = KH º º º ¸ º ¸ ¹ ah x= ¸ a+h ah ah + h2 − ah h2 x < h ´h−x = h− = = > 0µº a+h a+h a+h ï¾ º ¸ º º ½½¾ �¹ ¾ º½ º ´ µº ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ´ º ¿ ¸ º ¿¼ ¹¿½¾µº ¾ º½ º ¹ ¹ ¸ e ¸ º º ¹ º ¸ º ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º þ ¹ ¸ ½½¿ �º ¸ º ¹ ¸ º º º ½º ¸ ¹ º R ¸ S S º x= √ πR2 = 2πR · º =S R º 2 º¸ 2 2πR¸ R=1 º 2π º S º x = πR2 ¸ º º º ¹ ¸ πº π ¸ ¸ º þ ½ ¾ ¹ º ¹ º ¹ º π º ¹ ¸ ´ º µº º ´ ¾º ´ º º µº ¹ µ¸ ¹ º a ¸ º ½¸ ¸ x x3 − 2a3 = 0. ¹ 3 x − 2 = 0. ¹ ¸ ¾º ¾ ½½ ¹ �±1¸ ±2¸ ¸ ¸ º x3 − 2 = 0 ¸ ¸ ¸ º º ¿º 1 3 ϕ ϕº ¸ 1 ϕ ¸ α = ϕ 3 º cos ϕ = cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α − sin 2α sin α = (cos2 α−sin2 α) cos α−2 sin α cos α sin α = cos3 α− 3 sin2 α cos α = cos3 α − (3 − 3 cos2 α) cos α = 4 cos3 α − 3 cos αº x b cos α = ¸ cos ϕ = 2 2 x b ¸ ¹ 2 2 ¸ ½¸ ¸ ¸ α ϕ º ϕ < 90 ◦ º x3 − 3x − b = 0º b = 1 x3 − 3x − 1 = 0º ±½ ´ ϕ = 60◦ µ ¹ ¸ º ´ 60◦ µ¸ º ¹ ¹ ¸ º ï¾ º ÿ º ½½ �¹ º º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ ¸ º ¹ º ¾ º½ º ´ ¹ þ µº ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ½ ¾ º ¾ ´ º ¿¾¿¹¿¾ µ º ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ º ¸ ´ ¹ ¸ ¸ ¹ µ¸ º AB º ½ ÿº ¾ º ´½ ¹ ºµº ¹ ¸ ¸ ½½ ÿ ´½ ¾ ºµº ¹ �Oº M ¸ º º ½µ ¾µ ¿µ µ µ º C∈ / CA¸ CB ¸ CO D = MB ∩ CO N = AD ∩ CB MN ¸ ¹ º ´ ¹ µ ¹ º ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ º º ½ ¿µ ´½ ÿ ¸ ¹ ´½ ¿¿µº º ¾ º¾ º ´ ¹ µº ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º º ¾ ´ º ¾ ½ ¾ ¿ º ´ ¸ ´½ µ ½½ ¿ µº ½ µ¸ �º þ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¸ º ü µ ¸ µ ¹ ¸ ¸ h¸ ¸ h ¹ ¸ ¹ A µ AB > h ¸ ¹ ¸ B¸ AB > h¸ ¹ ¸ ¹ B hº ¹ A ü ´½ ¾¾µº ½½ ¹ �µ ¸ ¹ µ ¹ ¸ AB µ Φ¸ ¹ Φ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ º º ¸ ¹ º º ¹ ¸ º º º ¹ º þ½ ¼ ºü º ü º ¾ º¿ º þ ¸ ¸ ´ ¸ ¸ µº º ¾ º ½½ ¹ �¸ ¹ º þ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º¸ ¸ ¹ ½ º ½¾¼ �» üº ü ¹ º ¾ ¸ ½ ü ¸ ýº ¸ ¿ ýº º » ýº ºýº ý ü º ¸ ýº ¸ ½ − º º ü ¸ º º ¸ ½ ü ¸ º þº º ý ¸ » þ º º ¸ þº º º º ÿ ¾ º » º ¸ ½ º » º º ¸ º Áº ¸ º » ÿ º ü ¹ º ü º ¹ º º ¸ º ü º » º ü ½ ¼º º º þº º þ º ½¾½ ¸ º ¸ ½ º º �ÿ º ¸ ½ ºýº º º » º º ü ¹ º ¸ ¼º ¸ ýºÿº ýºÿº ½½ º ü ø ¸ üº º º ÿ º » üº ¸ ½ ½¼ ¸ ½ º » º ø ¸ ºüº ¹ º º ¸ þºþº » þºþº º ¹ ¸ ¾¼¼¼º ½½ ¸ üºþº ÿ ½¾ ¸ ½ ¿º ¸ º º ÿ ¸ ½ ½¿ ¸ º º º º ½ º º ¹ º º » º º º º º ÿ º ¸ » üºþº ¾ ÿ ¸ ½ º º Áº ÿ ¸ ½ º º ÁÁº º ÿ º ¾ ½¾¾ º » º » �ÿ ½º ｺ ﾺ º º º º º º º º º º º º ¿ º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ÿ º º º º º º º º º º º º º  ¸ º º º º º º º º º º º º º ï º ï º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º ½ ï º º º º º º º º º º º º º º º º ÿ ¾½ ï º º º º º º º ¾ ï º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ï º º º º º º ¿¿ ï½¼º º º º º º ¿ ï½½º º º º º ¿ ï½¾º ÿ º º º º º º ¾º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ｿº ï½ º º º º º º ÿ º º º º º º º º º º º º º ¿ º º º º º ¼ ï½ º ½¾¿ �ï½ º ÿ ÿ º º º º º º º º º º º ½ ¿º ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ï½ º ü º º º ï½ º ï½ º º º ½ ÿ º º º º º º º º º º ï¾¼º ÿ º º º º º º º º º º º º º º º º ÿ º º º º º º º º ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ï¾½º º ü ï¾¾º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ﾿º º º º º º º º º º º ï¾ º º º º ï¾ º º º ½ ï¾ º º º º º º º º º º º º º º º ï¾ º ü º º º º º º º º º º º º º º ý ï¾ º º º º ï¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½¾ ½½ ½¾½ � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Геометрия. Преобразования и построения Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. преобразования. 4. плоскости. 5. преобразования плоскости. 6. аффинные преобразования. 7. геометрические построения. Description An account of the resource Геометрия. Преобразования и построения [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 1.18 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 124 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов по разделам «Преобразования плоскости» и «Геометрические построения на плоскости». Изложение теоретического материала сопровождается многочисленными примерами решения задач. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 23.05.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova.pdf</a> аффинные преобразования геометрические построения Геометрия Математика плоскости преобразования преобразования плоскости