1 5 4 http://books.altspu.ru/files/original/72/100/_.png a3651b119d3dad6546b5ffc4c770e657 http://books.altspu.ru/files/original/72/100/_7.11.pdf 5fc32747dab5d5d96917fd244cf7ff6f PDF Text Text �ü ºþº ü ü ü ü ÿ þ ¾¹ ¸ ý ¾¼½ ü þ �ýý ½ º½ ´¼ µ ¾¾º½ ½º¿¾ ¿ ½ ¸ º þº ü » º þº º ¾¹ ü ÿ ¸ ¾¼½ º ÁË Æ ¹ ¹ ¾½¼¹ ¾¹¾ º º ¸ ¹ ´ü µ º º ¸ ¹ ´ü º ¸ ¸ ü ¸ º ¹ º¸ ¹ º ý ¸ ¸ µ ¸ º º ü ÿ ¹ ¹ ¾ º¼ º¾¼½ º Текстовое (символьное) электронное издание. ½º ¾º ¿º º È ÒØ ÙÑ ½¿¿ Å ÖÓ×Ó Ø Ï Ò ÓÛ× Ï Ò ÓÛ× º ¹ ½ ýº ü ¸ ¾¼½ �Объём издания – 2 400 КБ. Дата подписания к использованию: 13.12.2017 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru �ÿ ½ ï ½º ½º½ º ¸ º ¸ A ¸ B ¸ ¹ ¹ A ¸ B º ¸ BA ¹ AAº AB º ¹ ¸ AB AB º ¹ A AB º AB º AB Bº ¹ ¹ ¹ AB º �´ ´ ½º¾ º AB µ µ CD AB º º½ AB CD ¸ M N AB ¸ GH ¸ ¹ KL º ¹ º½ ½º¿ º ¸ ¸ ¹ º º AB ∼ CD ºµ ¹ ¸ ¹ CD º ¹ ½º½ º ´ ¸ CD ¸ BC º AD º º AB CD ABDC AB CD AB AB ∼ CDº ¸ ¸ º ¹ ¹ ¹ AD BC º AB µ ¸ CD AB CD ¹ ´ º º¾ µ �µ B=C AB µ´ º¾ µ µ º ¾ µº AB CD ´ º CD ¸ º º AD BC º AB CD ABDC º AB ¸ ¸ µ µ¸ AB ¸ CD AD = BC ¸ º AB ¸ AB ∼ CDº º º ¸ ¹ CD ¸ AB CD ¹ µ¸ ºþ µ AB = AO − BO¸ AO = OD BO = OC ¸ ¸ µ ¸ CD ¹ ¸ AB ∼ CDº AD > BC º CD = DO − CO ¸ AB = CD º ü AB = CD º µ¸ ¸ �½º¾ º µ ½º AB ∼ AB ´ ¾º AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB ´ ¿º AB ∼ CD¸ CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF ´ ï ¾º µº º þ º þ µ −− → AB AB º ¾º½ º ¹ º ¹ º a¸ m¸ e1 ººº a¸ m¸ e1 ¸ −→ a = OA OAº þ ¸ ¸ º¿ ¹ AB ¸ ººº¸ ¹ ¹ a ¹ a ¹ a º ¾º¿ º þ º ¸ Oº ¾º¾ º þ ¸ ¸ º ¸ ¹ a, b, p a b ¹ º ¸ c r �º a b a bº ¸ º ¹ ¹ º¿ ¾º º þ ¸ a ¹ ¹ b ¸ º º a ↑↑ b b a ↑↓ b − −→ a = AB ¸ a a ↑↓ aº a − −→ BA ¾º º ¸ −aº 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A1 B1 = º e e aº ¸ ¸ a¸ ´ º ¹ ¸ µ º ¹ º º¾ º ´ ºµ 1◦ º 2◦ º ¹ º ¹ º º 1◦ º ´µ¸ −−→ b = BC º a −→ AC = a + b b B1 C1 = b·e ´∗µ¸ 2◦ ´ º ´½º º −−−→ A1 C1 = a·e+ b · e¸ (a + b) = a+ º ½ µº ´ º bº ¹ − −→ a = AB ¸ º½ µº a¸ ´a + bµ ¹ −−−→ → a¸ π A1 B1 = − −−−→ − −−−→ → b¸ A1 C1 = B1 C1 = − → (a + b)º = º½ ´−∗−µº−→þ A bº −−−→ −−−→ −−−→ A1 C1 = A1 B1 + B1 C1 −−−→ ½µ¸ a · e¸ A1 B1 = (a + b) · eº ¹ (a + b) · e = −− → a = AB º ¾ λa �→ − A λa = A º − − − → − → a = A B 1 1 −−→ A1 C ¸ π2 ´ º ¸ C a B º¾ ¸ ´½º¿º ½µ −−−→ −−→ −−→ ¹ A1 C = A1 B1 + B1 C º −− → −−→ λa = λAB = λA1 C = −−−→ p1 p λA1 B1 + A −−→ ¹ λB 1 C º − → (λa) = 1◦ − − → −−−→ → (λA − → (λA C) = − l 1 1 B1 + −−−→ −−→ A1 e − → (λA1 B1 ) + λB1 C) = − − → − → (λB C)º ¹ 1 A1 B1 ¹ −−−→ − → (λA ¸ 1 B1 ) = −−−→ ¸ B1 C λA1 B1 º ü −−→ − → π2 ¸ ¸ (λB1 C) = 0º −−−→ − → aº þ ´½º º½µ¸ λA1 B1 = λ a) · e ¸ ¸ (λa) = λ aº e = (λ A1 a = B1 ¸ µº p2’ p2 B C’ C .B . B’ B 1’ 1 º½ ¸ − → (λa) = (λa) · ï ½¼º ½¼º½ º π ¹ ¸ º π ½¼º¾ º AOB ¸ −→ −−→ OA = a¸ OB = bº a O º ´a, bµ a ¿¼ bº b ¹ �½¼º½ º ¸ ¸ º º ´½º½¼º ½µ a = |a| cos(e, a)º −− → a = AB º π1 a π2 ¸ A a º ½µ a ´ º ½ µº þ AB π1 −−→ A1 B 1 π2 ABB1 A1 A1 B1 ¸ AA1 ¹ ¸ Bº ¸ BB1 º ¹ ¹ ¸ º −−→ ¸ ´½º º ½µ a = ±|A1 B 1 |¸ −−→ −−→ ¹ ú·û¸ A1 B 1 ↑↑ e ú û¸ A1 B 1 ↑↓ eº −−→ ¸ ´½º½¼º ½µ ±|A1 B 1 |¸ −−→ a = A1 B 1 (e, a) 0◦ ¸ ¹ a ↑↑ e 180◦ ¸ a ↑↓ eº ¸ ´½º½¼º½µ º ¾µ a⊥ ´ º ¾¼µº þ π1 π2 ¹ A1 B1 º º ¸ −− → −−→ AB = A1 B 1 º ¿½ �¸ a a = 0º ¸ ´½º½¼º ½µ a e ¸ ¸ cos(e, a) = 0º ¸ ´½º½¼º ½µ º ¿µ (e, a) = ϕ¸ a ºþ µ ϕ < 90◦ −´−→ º ¾½ µ¸ µ ϕ > 90◦ ´−−→º ¾½ µº ¸ µ A1 B1 ↑↑ e¸ µ a A1 A1 B 1 ↑↓ eº þ −−→ a = A1 C º 90◦ ϕ¸ º ´½º º ½µ ⊥π2 ¸ ⊥B1 C A1 CB1 A1 B1 = A1 C·cos ∠CA1 B1 º þ µ ∠CA1B1 = π − ϕº þ a= −−→ +|A1 B 1 |, −−→ −|A1 B 1 |, = −−→ +|A1 C| · cos ϕ, −−→ −|A1 C| · cos(π − ϕ), = +|a| · cos ϕ, −|a| · (− cos ϕ), µ ∠CA1B1 = −−→ A1 B 1 ↑↑ e, = −−→ A1 B 1 ↑↓ e −−−→ A1 B1 ↑↑ e, = −−→ A1 C ↑↓ e −−−→ A1 B1 ↑↑ e, = |a| · cos ϕ. −−−→ A1 B1 ↑↓ e ¿¾ ¹ �ï ½½º ½½º½ º a ab º b º ¹ ¸ a ¸ b ´½º½½º ½µ ab = |a| |b| cos(a, b)º ½½º½ º ´ 1◦ º 2◦ º 3◦ º 4◦ º 5◦ º 6◦ º ºµ a b ab = 0 ⇔ a⊥bº a 2 = |a|2 ¸ a 2 = aa aº ab = |a| a b¸ ab = |b| b aº ab = baº (αa)b = α(ab) a(αb) = α(ab)º (a + b)c = ac + bcº ¸ º 1◦ º º ½½º½ ab = 0 ⇔ cos(a, b) = 0º cos(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 90◦ ¸ ab = 0 ⇔ a⊥bº ◦ 2 a 2 º a 2 = aa = |a| |a| cos(a, a) = |a| 2 cos 0◦ = |a| 2 3◦ º ´½º½¼º ½µ a b = |b| cos(a, b)º ab = |b| |a| cos(a, b) ¸ ab = |a| = |b| b aº ¿¿ b ´½º½½º ½µ a = |a| cos(b, a) (|b| cos(a, b) = |a| ab �4◦ º ba = |b| |a| ´½º½½º ½µ cos(b, a)º |a| · |b| = |b| · |a|¸ 5◦ 3◦ a b ´ bº (αa)b = |b| º α(a b)º ü α(ab)º 6◦ º (a + b)c = |c| |c| c b = ac + bcº º 5◦ º ab = baº 6◦ ¹ ¹ º¾ µº ¸ a b (α a) ¹ ¹ cos(a, b) = cos(b, a) = |b| (α c (a + b) = |c| ( 1◦ − 3◦ ¸ b a) ca+ 4◦ − = α (|b| c b) ¹ = a(αb) = b a) ca+ = |c| ¹ ¹ 6◦ ï ½¾º ½º ¹ ½¾º½ º ý ¸ º º ßi, j ¸ ßi, j, k ´ ½¾º½ ¿ º ½½º½ µ ¸ ¹ ¹ �1) i j = 0, j k = 0, i k = 0 2) i 2 = 1, j 2 = 1, k 2 = 1º ´½º½¾º ½µ ¾º þ ½¾º½ º a(a1 , a2 , a3 ) a ¸ º º ¹ b ´½º½¾º ¾µ ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º a = a1 i + a2 j + a3 k ¹ b(b1 , b2 , b3 ) ßi, j, k ¸ º b = b1 i + b2 j + b3 k º þ ¸ ´ ¹ ½½º½ µ¸ a b = (a1 i + a2 j + a3 k) (b1 i + b2 j + b3 k) = (a1 b1 ) i 2 + (a1 b2 )(i j) + (a1 b3 )(i k) + (a2 b1 )(j i) + (a2 b2 ) j 2 + (a2 b3 )(j k) + (a3 b1 )(k i) + (a3 b2 )(k j) + (a3 b3 ) k 2 º ´½º½¾º ½µ¸ ¸ a bº ¸ ¸ 1◦ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º ´½º½¾º ¾µ ¹ ¿ �a b ´½º½¾º ¿µ a⊥b ⇔ a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 = 0. ¿º ´½º½¾º ¾µ ¸ b = a¸ ¹ a ¸ a 2 = a21 + a22 + a23, ¸ a ´½º½¾º µ a21 + a22 + a23 º |a| = º ½¼º¾ µ πº ´½º½½º ½µ¸ ´½º½¾º¾µ ´½º½¾º µ¸ ab |a|¸ |b| cos(a, b) = ab ´ ¹ ºþ ¹ ¹ a b ´½º½¾º µ º |a| · |b| þ cos(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 º º α¸ β ¸ γ i¸ j ¸ k a α = (a, i), ´½º½¾º µ β = (a, j), ¿ γ = (a, k). �½¾º¾ º cos α¸ cos β ¸ cos γ a ´a = 0 µ ßi, j, k º ½¾º¾ º a ¹ º º cos α = ai ¸ |a||i| ´½º½¾º µ cos β = aj |a||j| a = a1 i + a2 j + a3 k ¸ a2 j i + a3 k iº þ ai = a1 º ü |a| = a21 + a22 + a23 cos α = cos β = cos γ = ¸ cos γ = ak º |a||k| ´½º½¾º µ ai = (a1 i + a2 j + a3 k)ia1 i 2 + ´½º½¾º½µ¸ ¹ aj = a2 ¸ ak = a3 º ai¸ aj ¸ ak ¸ |i| = |j| = |k| = 1 ´½º½¾º½µ¸ ´½º½¾º µ α¸ β ¸ γ ´½º½¾º µ a1 a21 + a22 + a23 a2 a21 + a22 + a23 a3 a21 + a22 + a23 ¸ ¸ ´½º½¾º µ º ½º ¹ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1º ¿ ´½º½¾º µ �º cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2 a2 a1 + a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 2 = 1. a21 + a22 + a23 ¸ 2 2 a3 + a21 + a22 + a23 ¾º = ¹ ¹ º º a º |a| = a21 + a22 + a23 = 1º ´½º½¾º µ a1 = a21 + a22 + a23 · cos α = cos α¸ a2 = a21 + a22 + a23 · cos β = cos β a3 = a21 + a22 + a23 · cos γ = cos γ º ï ½¿º ½¿º½ º ¸ ¸ ßa, b, c ¸ ¸ ¸ ¸ º º ¸ º º ßa, b, c ¸ ¸b ßa, b, c ¹ ¹ º ¸c º ßa , b , c a a = c11 a+c12 b+c13 c¸ b = c21 a+c22 b+c23 c¸ ¿ �c = c31 a + c32 b + c33 c. ⎛ ⎞ c11 c12 c13 T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ c31 c32 c33 ßa, b, c ßa , b , c º ½¿º¾ º ¸ ¸ |T | = 0º ¸ ¹ ¸ ¸ T ´½º½¿º ½µ |T | ¹ º |T | ¹ ¸ ¹ ¸ T ½¿º½ ¸ ¸ º ´ ¹ ¹ |T | = 0º ½¿º½ º ½µ ¸ ¹ ¾µ ¹ º ´ º º ¿ ºµ ¸ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ º ¹ �º ú ¸ º O û ú û ºþ ´ µ º Oab b ´ ´ ßb, c, a º ßa, b, c c ¸ ¹ ¸ ¸c c º ¾¾ ¹ º ¸ º ßb, c, a º ¹ c a¸ b º ¾¾ ßc, a, b µ µº a ¸b º ´ º ¾¾¸ µ¸ º ¾¾¸ µº ½º a¸ b ¹ a º ¾¾ ´ º ´½º½¿º ½µ T ¼ ¹ ¸ º º ßa, b, c ßa, b, c ¸ ßb, c, a ¸ º ßa, b, c �⎛ |T | = 1¸ ßa, b, c ßb, c, a ⎞ 0 1 0 T = ⎝0 0 1⎠º 1 0 0 ¸ ßc, a, b ßa, b, c º ¾º º ¸ T ½¿º¾ ⎛ O ºü Oab¸ ¸ ßa, b, c º c ºü ¹ ßb, a, c ¸ ßa, c, b ¸ ßc, b, a ßa, b, c º ßa, b, c ¸ ¹ ßa, b, c ßb, a, c ⎞ 0 1 0 T = ⎝1 0 0⎠ 0 0 1 |T | = −1º ßa, b, c ßb, a, c ßa, c, b ¸ ßc, b, a ßa, b, c º ßa, b, c ßa, b, c ¸ º ¿º ¹ ¹ ¹ ¸ º º ßb, a, c º ½¿º¾ c ¸ c = γ1 a + γ2 b + γ3 cº c c ½ ¹ ¹ c Oab¸ º c ¹ ¹ Oab¸ c c º ßa, b, c γ3 > 0¸ �Oab¸ ßa, b, c γ3 < 0º ßa, b, c º ⎛ ⎞ 0 1 0 T = ⎝ 0 0 1 ⎠º γ1 γ2 γ3 þ Oab¸ |T | > 0¸ ½¿º¾ c |T | = γ3 º ¸ ¹ c Oab¸ |T | < 0º ßa, b, c ¸ º T c c ßa, b, c ¹ ¹ º ¹ ¸ ¸ º º ¹ ßλa, b, c ¸ ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc λ>0 ßa, b, c λ < 0º ßλa, b, c º ¹ º ßa, b, c ⎛ ⎞ λ 0 0 T = ⎝ 0 1 0⎠¸ 0 0 1 |T | = λº ¸ ½¿º¾ ßa, b, c λ < 0º ¸ ºü ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc λ>0 ¾ λ < 0¸ λ > 0¸ ßa, b, c |T | > 0 ßλa, b, c ¸ ¹ �ï½ º þ a ½ º½ º þ b ¸ a×b ½µ | a × b | = | a || b | sin ϕ¸ ϕ = (a, b)º ¾µ þ a×b bº ¿µ a b ¸ ¸ ßa, b, a × b ßi, j, k º ½ º½ º ´ ºµ a b b(b1 , b2 , b3 ) a×b= ½º sin ϕ = ßi, j, k a×b ¹ ´ [ab]µ a¸ a×b ¸ º º ¹ ¹ ¹ ¹ a(a1 , a2 , a3 )¸ ¸ ¹ a2 a3 a a a a , − 1 3 , 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½ º ½µ a1 a2 a3 a × b = b1 b2 b3 i j k ´½º½ º ¾µ º 1 − cos ϕ º a× b = x(x1 , x2 , x3 ) |x| = |a| · |b| · sin(a, b)º √ 2 a 2 b 2 −(ab)2 ab 1− = ¸ ½ º½ 2 = ϕ = (a, b)º |a|·|b| ¿ |a|·|b| �a 2 b 2 − (ab)2 º |x| = x a b (a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 . |x| = ¹ (a1 b2 − a2 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a2 b3 − a3 b2 )2 . (∗) |x| = ¾º ½ º½ a¸ x bº x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = 0 x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 = 0. (x1 , x2 , x3 )º ¸ ¸ Δ= ¸ x1 = a1 a2 , b1 b2 Δ1 = ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ a2 a3 , b2 b3 Δ2 = a1 a3 . b1 b3 ¸ Δ = 0º −a3 x3 a2 −b3 x3 b2 a1 a2 b1 b2 a1 −a3 x3 b1 −b3 x3 x3 Δ 1 −x3 Δ2 , x2 = . = = Δ Δ a1 a2 b1 b2 x2 x3 x1 . = = Δ1 −Δ2 Δ λ¸ �x1 = λΔ1 , x2 = −λΔ2 , ´¶¶µ x3 = λΔ. x Δ21 + Δ22 + Δ2 . (λΔ1 )2 + (−λΔ2 )2 + (λΔ)2 = |λ| |x| = Δ1 = a2 b3 − a3 b2 ¸ Δ2 = a1 b3 − a3 b1 ¸ Δ = a1 b2 − a2 b1 ¸ (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 . |x| = |λ| ¿º ßa, b, x ºþ ´¶µ¸ ½ º½ |λ| = 1º ßi, j, k ½¿º¾ a ¸ b¸ x |T |¸ ßi, j, k º ¹ ¸ a1 a2 a3 a a a a a a |T | = b1 b2 b3 = x1 2 3 − x2 1 3 + x3 1 2 = b2 b3 b1 b3 b1 b2 x1 x2 x3 þ = x1 Δ 1 − x2 Δ 2 + x3 Δ º ´¶¶µ¸ |T | = λ(Δ21 + Δ22 + Δ2 ). |T | > 0 λ > 0 x =a×b x1 = Δ 1 = Δ21 +Δ22 +Δ2 > 0¸ λ = 1¸ ¸ ¸ λ > 0º |λ| = 1 a2 a3 a a a a , x2 = −Δ2 = − 1 3 , x3 = Δ = 1 2 . b2 b3 b1 b3 b1 b2 ¸ a×b= ´½º½ º ½µº a2 a3 a a a a i− 1 3 j+ 1 2 k b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½ º ¿µ �¸ ¹ ¹ ¸ a1 a2 a3 a × b = b1 b2 b3 . i j k ¸ ¸ ´½º½ º ¿µº ½ º¾ º ´ þ ºµ 1◦ º 2◦ . b¸ ¹ ¹ ¸ ´ÿ a×b ¸ a ¸ µº 0º ºµ b ´ ¹ ¹ S a ¹ 3◦ º ´∀ a, bµ a × b b × a. ◦ 4 º ´∀ a, bµ¸ ´∀ α ∈ Rµ a × (αb) = α(a × b)¸ (αa) × b = α(a × b)º 5◦ º ´∀ a, b, cµ a×(b+c) = a× b+a×c¸ (a+ b)×c = a× b+ b×cº º a × b = 0 ⇔ |a × b| = 0º ¸ 1◦ º |a × b| = 0 ¸ ¸ ½ º½ sin(a, b) = 0º ¸ ¸ sin(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 0◦ (a, b) = 180◦ ¸ |a × b| = 0 ⇔ ¸ a × b = 0 ⇔ a bº a b ¸ 2◦ ´ º º ¾¿µº −−→ ¹ −−→ a b A a = AB ¸ b = AD �ABCD º |a| = −−→ −− → |AB| = AB ¸ |b| = |AD| = AD ¸ (a, b) = ∠A ¸ AB · AD · sin ∠Aº ABCD S = AB · AD · sin ∠Aº ¸ |a × b| = S º º ¾¿ º¾ µ |a × b| = S ¹ ¹ 3◦ 5◦ º a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 ) ´ ¸ º ¸ ßi, j, k ¸ ¹ ¹ α αa (αa1 , αa2 , αa3 )¸ αb (αb1 , αb2 , αb3 )¸ (b + c) (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 )¸ (a + b) (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )º ¸ 3◦ 5◦ ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ´½º½ º ¾µ ¸ º º ´½º½ º ¾µ 4◦ º (αa) × b α(a × b) α a1 α a2 α a3 a1 a2 a3 b2 b3 ¸ α(a × b) = α b1 b2 b3 (αa) × b = b1 i j k i j k º ¸ (αa) × b = α(a × b)º ü º º �ï½ º ½ º½ º a ¸ b¸ c a × b c¸ a×b a bº ¹ abc (abc)º ¸ ´½º½ º ½µ abc = (a × b)cº ½ º½ º b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )¸ ßi, j, k a ¸ b¸ c a1 a2 a3 abc = b1 b2 b3 c1 c2 c3 º a×b= a(a1 , a2 , a3 )¸ . ´½º½ º ½µ ¹ ´½º½ º ¾µ ¹ a2 a3 a a a a , − 1 3 , 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½¾º ¾µ a×b c a a a a a a (a × b)c = 2 3 c1 − 1 3 c2 + 1 2 c3 . b2 b3 b1 b3 b1 b2 ¹ �a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ´½º½ º¾µº ¸ ´½º½ º ½µ ½ º¾ º ´ ¹ ºµ ¹ 1◦ º abc = bca = cabº 2◦ º abc = −bac¸ abc = −cba¸ abc = −acbº 3◦ º (αa)bc = α(abc)¸ a(αb)c = α(abc)¸ ab(αc) = α(abc)º 4◦ º (a + b)cd = acd + bcd¸ a(b + c)d = abd + acd¸ ab(c + d) = abc + abdº 5◦ º abc > 0¸ ßa, b, c ¸ º º ¹ ßi, j, k ¸ abc < 0¸ ßa, b, c ¸ º º ¹ ßi, j, k º 6◦ º º ¹ ¸ º º º ßi, j, k ´ ½ º¾ µº º º ¸ ¹ 1◦ 4◦ 5◦ ½¿º¾ ¹ ¹ 6◦ ´½º½ º¾µ ´ ¹ º µº �¸ º ½ º¾ º ¸ −−→ OB = b¸ a ¸ b¸ c −−→ OC = cº ¸ (OAC) (OAB)º (OBC)¸ (OAC) (OAB) ½ º¿ º ºµ V a¸ b¸ cº a ¸ b¸ c −→ c = AA º H ´½º½ º ¿µ º ABCDA B C D a ¸ b¸ c ¸ A ABC α = (c, a × b)º º ¾ µ¸ º ¿ ´ï ½¿µ c ¼ ¹ ¹ abc ¸ º ´ ¸ ½ º¿ º ´ÿ abc = ±V ¸ ¸ ¹ ú·û ¸ ±V º a ¸ b¸ c −−→ b = AD ¸ ¸ úû ¹ −→ OA = a¸ C ¹ (OBC)¸ A¸ B ¸ a¸ b¸ cº ø º O a×b ¹ − −→ a = AB ¸ ¸ ßa, b, c ¹ �ABC c ABC V º a ¸ b¸ c ´ º¾ a×b α > 90◦ ´ 180◦ µº ABCDA B C D V º=S AHA º¾ c µ¸ ´½º½ º µ · AH, AA · cos A AH º α < 90◦ ¸ AH = º¾ ´½º½ º ½µ¸ ´½º½½º ½µ a¸ b ¹ abc = (a × b)c = |a × b| |c| cos αº þ |a× b| = S ´ ½ º¾ µ¸ |c| = AA ¸ cos α = cos A AH ¸ ßa, b, c ◦ ¸ cos α = cos(180 − A AH) = − cos A AH ¸ a ¸ b¸ c º |c| cos α = ¸ AA (± cos A AH) = ±(AA cos A AH) = ±AH º abc = ±(S ´½º½ º ¿µº · AH). ´½º½ º µ ´½º½ º µ ½ ´½º½ º µ ¹ �ÿ ¾ ï½ º ü ½º ½ º½ º ü ¸ ¸ O e1 e2 e3 ¸ ¹ ße1 , e2 , e3 º O ¸ O e1 ¸ e2 ¸ e3 º ¸ ¸ ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ Ox º ¸ Ox¸ Oy ¸ Oz ´ Oy ¸ Ox Oz ¸ Oy ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º ¾ µº Oz ¸ �Oxy ¸ Oxz Oyz º ½ º¾ º M x¸ y ¸ z M ´ O e1 e2 e3 −−→ OM ¸ O µ¸ M (x, y, z) x¸ y ¸ z ´ µ ¹ ¹ ße1 , e2 , e3 º M (x, y, z)Oe1 e2 e3 O e1 e2 e3 º M −−→ M (x, y, z)Oe1 e2 e3 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 + ze3 º ´¾º½ º ½µ ¸ º¾ O e1 e2 e3 M (2, 4, 3). M (x, y, z) Oe1 e2 e3 ¹ ´¾º½ º ½µº O −−−→ OM1 = xe1 ¸ ¹ M1 ¹ −−− −→ M1 M2 = ¸ ¹ y e2 ¸ M −−−→2 M2 M = z e3 . −−→ −−−→ −−−−→ −−−→ OM = OM1 + M1 M2 + M2 M = xe1 + y e2 + z e3 º ¸M º OM1 M2 M Mº ¸ ¹ º ¿ �½º º Bº A A(x1 , y1 , z1 ) Oe1 e2 e3 º B ½ º¿ ße−1 ,→e2 , e3 ´½º¿º ¾ ¹ B(x2 , y2 , z2 ) −− → AB º −→ −−→ OA¸ OB ¹ ¸ −−→ OA(x1 , y1 , z1 )¸ OB(x2 , y2 , z2 )º − → −−→ −→ AB = OB−OA ½µ − ´ ½ º¿ º ý ¸ λ¸ AB ¹ λ= ´¾º½ º ¾µ −→ AC − − → CB º C ¹ A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 ) O e1 e2 e3 λ= Cº −→ AC − − → CB º C(x, y, z)º → −−→ ½µ−→− AC(x − x1 , y − y1, z − z1 )¸ CB(x2 − x, y2 − AC º½ y, z2 − z)º − − → = λ¸ CB −→ −−→ ¿ AC = λCB ´ º¾ µ x − x1 = λ(x2 − x)¸ y − y1 = λ(y2 − y)¸ z − z1 = λ(z2 − z)º x¸ y ¸ z C −→ AC −−→ CB ´ x= º ¹ º¾ µ −− → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) . ¾º A y1 + λy2 z1 + λz2 x1 + λx2 , y= , z= . 1+λ 1+λ 1+λ ´¾º½ º ¿µ �þ ¸ x= ´λ = 1µ AB y1 + y2 z1 + z2 x1 + x2 , y= , z= . 2 2 2 ´¾º½ º µ ¾º ü ½º ºü ¸ ¸ O e1 e2 O ¸ ü A B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸ ¹ B(x2 , y2 )¸ C B A x= ´¾º½ º µ Oe1 e2 ¹ − −→ AB − − → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ) . ´¾º½ º µ λº AB O e1 e2 C(x, y) A(x1 , y1 ) y1 + λy2 x1 + λx2 , y= . 1+λ 1+λ ´¾º½ º µ ¸ AB x= ¸ ´¾º½ º µº ¹ ße1 , e2 º M −−→ M (x, y)Oe1 e2 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 . þ ¹ º y1 + y2 x1 + x2 , y= . 2 2 ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ¸ ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ ´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º¿µ �ï½ º ï½ º º ¹ ½ º½ º ¸ ¹ º º O ij k ¸ O ij ij = ik = j k = 0º ¸ ¸ x z µ Mº i¸ j ¸ i2 = j 2 = k2 = 1¸ ¸ ´ k, º y ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ½º ½º A(x1 , y1 , z1 ) B(x2 , y2 , z2 ) O ij k º AB º º AB −− → − −→ |AB| = AB 2 º −− → AB(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )¸ AB A AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . ¾º − −→ AB ¸ ¹ B ´¾º½ º ½µ �ABC A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 ) Oij k º ABC º ABC º ¸ ¾ µ ´ ¹ − − → AB − − → −→ AB × AC −− → −→ S = |AB × AC|. ¹ −→ AC º ½ º¾ ¸ ¹ ´¾º½ º ¾µ −− → −→ AB(x2 −x1 , y2 −y1 , z2 −z1 )¸ AC(x3 −x1 , y3 −y1 , z3 −z1 )¸ − −→ −→ ´´ µµ AB × AC y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 z2 − z1 x2 − x1 y 2 − y 1 , − , . y3 − y1 z3 − z1 x3 − x1 z3 − z1 x3 − x1 y 3 − y 1 ¸ S 1 2 ABC 1 − − → −→ = AB × AC = 2 y2 − y1 z2 − z1 y3 − y1 z3 − z1 ¿ 2 x − x1 z2 − z1 + 2 x3 − x1 z3 − z1 2 x − x1 y 2 − y 1 + 2 x3 − x1 y 3 − y 1 ´¾º½ º ¿µ ABCD A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 )¸ D(x4 , y4 , z4 ) O ij k º ABCD º 1 º ABCD 6 − − → −→ −−→ ¸ AB ¸ AC AD º ¸ þ ¹ 2 . �º ¸ V º= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 1 mod x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 . 6 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 ´¾º½ º µ ¹ ´¾º½ º µ A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z4 )¸ D(x4 , y4 , z4 ) ¹ ¸ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 = 0. x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 ´¾º½ º µ ¾º ½ º½ ¹ O ij −−→ M (x, y)Oij ⇐⇒ OM = xi + y j. A B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸ AB = ¸ O ij ¹ AB (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . ´¾º½ º ¿µ ´¾º½ º µ ABC ¸ ´¾º½ º µ ¸ ¹ ¹ �A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 ) S = 1 2 mod x2 − x1 y 2 − y 1 = x3 − x1 y 3 − y 1 1 2 C(x3 , y3 )¸ x1 y 1 1 mod x2 y2 1 . x3 y 3 1 ´¾º½ º µ ï½ º ½º ½ º½ º Oe1 e2 ´ e1 (c11 , c21 )¸ e2 (c12 , c22 ) Oe1 e2 º ´ µ M µ O e1 e2 O (x0 , y0 ) (x, y) ´ µ¸ ´ µ x = c11 x + c12 y + x0 ¸ y = c21 x + c22 y + y0 . º (x , y ) ´¾º½ º ½µ ½ º½ ¹ −−→ OM = xe1 + ye2 ¸ −−−→ O M = x e1 + y e2 ¸ −−→ OO = x0 e1 + y0 e2 . e2 º ¹ −−−→ OM e1 = c11 e1 + c21 e2 e2 = c12 e1 + c22 e2 ¸ ´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º ¾µ ¸ e1 ¹ �−−−→ O M = x (c11 e1 + c21 e2 ) + y (c12 e1 + c22 e2 ) = (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 º −→ −−→ −−−→ ´´½º¿º ½µµ − ¸ OM = OO + O M º ´¾º½ º ¾µ −−−→ O M¸ e1 ¹ ¹ −−→ OM e2 −−→ OM = (x0 e1 + y0 e2 ) + (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 = (c11 x + c12 y + x0 )e1 + (c21 x + c22 y + y0 )e2 . ´¾º½ º ¿µ þ e1 e2 −−→ OM ´¾º½ º ¾µ ´¾º½ º ¿µ ´¾º½ º ½µº ¾º x = c11 x + c12 y + c13 z + x0 ¸ y = c21 x + c22 y + c23 z + y0 ¸ z = c31 x + c32 y + c33 z + z0 ¸ (x, y, z) ¸ (x , y , z ) Oe1 e2 e3 ´ µ O e1 e2 e3 ´¾º½ º µ ´ e1 (c11 , c21 , c31 )¸ e2 (c12 , c22 , c32 )¸ e2 (c13 , c23 , c33 ) O (x0 , y0 , z0 ) Oe1 e2 e3 º ´¾º½ º µ ¸ ¼ M µ ¹ ´¾º½ º ½µº �ï½ º ½ º½ º µ¸ ´ ¹ ¹ ´ µ º ½º Oij ¸ Oi j (i, i ) = ϕ ¹ O (x0 , y0 )º (x, y) (x , y ) ¹ º M ¸ ϕº (c12 , c22 ) ¸ µ ¸ ï½¾¸ cij ´i, j = 1, 2µ (c11 , c21 ) j ¾µº c11 = cos(i , i)¸ c21 = cos(i , j)¸ c12 = cos(j , i)¸ c22 = cos(j , j). ¸ i j i¸ j º ´ i ßi, j º ´ O ij ¹ ´¾º½ º ½µ ¸ ¹ ¹ Oi j º ¾ µ¸ ¸ ¹ (i , i) = ϕ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = 90◦ + ϕ¸ (j , i) = ϕº Oij O i j µ (i , i) = ϕ¸ ´ º ¾ µ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ ½ (j , i) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = �180◦ − ϕº º º¾ þ º¾ µ c11 = cos ϕ¸ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸ c12 = cos(90◦ + ϕ) = − sin ϕ¸ c22 = cos ϕº þ µ c11 = cos ϕ¸ c12 = cos(90◦ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸ − ϕ) = sin ϕ¸ c22 = cos(180◦ − ϕ) = − cos ϕº ´¾º½ º ½µ¸ x = x cos ϕ − y sin ϕ + x0 ¸ y = x sin ϕ + y cos ϕ + y0 ¸ = ±1¸ þ ½µ Ox y O ij ú·û¸ Oij ¸ ú û¸ º i = i¸ j = j ¸ ´ ¸ Oxy º ¾ ¸ µº þ ¾ ¹ ´¾º½ º ½µ Oi j Oi j ¹ º ¹ ¹ ¹ ¹ ´¾º½ º ½µ �x = x + x0 ¸ y = y + y0 º ¾µ = +1µ¸ ´ O = O ´x0 = y0 = 0 Ox y ¸ º ¾ ¸ µº ´¾º½ º ½µ ´¾º½ º ¾µ Oxy x = x cos ϕ − y sin ϕ¸ y = x sin ϕ + y cos ϕº ´¾º½ º ¿µ º¾ º¾ ¾º ¸ ” “ c11 ¸ c12 ¸ c13 ¸ c21 º Oij k ´ ú µ ¸ ¸ ººº ´ µ û M ¿ ´¾º½ º µ (x, y, z) Oi j k ¹ ¹ ¹ ¹ �ú û µ ºþ M ¸ ´ï½¾¸ k ⎛ ¸ ¼º i¸ j ¸ k i i¸ j ¸ k ¸j ¸k ¸ ¸ ÿ ±½º ¸ ¸ ¸ +1¸ −1¸ ¹ ¹ i ¸ ¸ ¼º ¸ ¸ ½º ÿ ¸ ¸ ¸ ¸j ¸k i¸ j ¸ k ¾µº ½ ½ i ⎞ c11 c12 c13 T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ . c31 c32 c33 T º ï ¾¼º ´ ¹ (x , y , z ) ¸j ¸ ¸ ¹ º ¹ ¹ ¹ º �´Oe1 e2 þ º O ij ´ ¹ ¸ µ Φ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ (x, y) ¸ ¾¼º½ º Φº µº ¹ ¸ º ¹ ´ µ ¾¼º¾ º ü 2x + 3y + 5 = 0¸ x2 + y 2 = 1 ¸ ´ µ¸ Oxy ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ Ò¹ ¸ F (x, y) Òº ¸ ¹ Φ¸ Φº F (x, y) = 0 ¸ x¸ y ¸ Φ º ¹ ¹ ¹ �Oxy º F (x, y) = 0 F (x, y) F1 (x, y) F2 (x, y)¸ ¸ y = −xº y=x ½º F1 (x, y) = 0 x2 − y 2 = 0 Φ º ¸ ¾º º ¸ ¹ ¹ F2 (x, y) = 0º ¹ º ¸ ¸ ¹ ¹ Φ º ¸ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ½µ ¹ ¸ ¾µ ¹ ¸ ¿µ ¹ M (x, y)¸ µ ´ º ¸ ´ µ Φ ¹ µ µ µ µ¸ ´ º ¹ ¹ �þ º ½º ω(C, r) rº ¹ C ωº º r¸ ¹ O ij C(a, b)º M Mº CM = (x − a)2 + (y − b)2 = r º ¹ CM = º (x, y) (x − a)2 + (y − b)2 º ¹ ¹ º ´¾º¾¼º ½µ (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 º þ º ´¾º¾¼º½µ (x, y) CM 2 = r 2 M ∈ ωº º (x, y) M ¸ ¸ CM = rº ¸ º ¸ º ´¾º¾¼º ½µ ¸ F1 (x, y) ≥ 0, F2 (x, y) ≤ 0. º M (x, y) ¸ ¸ ´¾º¾¼º½µ ¹ ¸ ´¾º¾¼º ¾µ Φ1 ´¾º¾¼º¾µº M (x, y) Φ2 ¸ ´¾º¾¼º ¾µ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ �º ´¾º¾¼º ¾µ¸ ¸ ¹ ¾º ¹ Φ2 º Φ1 ¸ ¹ ⎧ 2 2 ⎪ ⎨x + y ) ≤ 16, x ≥ −1, ⎪ ⎩ y ≤ 3. º Φ1 ¸ Φ2 Φ3 º º Φ1 ¸ ¹ x2 + y 2 ≤ 16¸ ¸ Φ2 ¹ ¹ ¾º x = −2¸ Φ3 ¸ y = 3º º ¹ º ¾ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º¾ ¾º ÿ ¸ ¹ ¸ ´Oe1 e2 e3 µº þ Oij k ¹ (x, y, z) º ¹ �¸ ¾¼º¿ º Φ Φº þ ¹ ¸ ¸ x¸ y ¸ z ¸ ¸ Φº ½º ¾º ¿º ¹ Φ¸ ¹ ¸ F (x, y, z) = 0¸ º z = f (x, y)º F (x, y, z) = 0º x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v)¸ ¸ M M (u, v)º ¹ ¹ º º ¹ x¸ y ¸ z u¸ v º ¸ º M u þ ¸ v¸ x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v) r = r(u, v)¸ r Φ ¸ ¹ ¹ º ½º F (x, y, z) = 0¸ Φ(x, y, z) = 0 �F (r) = 0¸ ¾º Φ(r) = 0º x = x(t),y = y(t),z = z(t) º º ¸ ¹ x¸ y ¸ z º M M M (t)º x = x(t)¸ y = y(t)¸ z = z(t) r = r(t)¸ ¹ r tº ¸ t¸ þ ¸ º x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v) v = v0 = const¸ x = x(u, v0 )¸ y = y(u, v0 )¸ z = z(u, v0 ), v = constº ¸ v¹ r = r(u, v0 )¸ u u = u0 = ÓÒ×ظ ¹ x = x(u0 , v)¸ y = y(u0 , v)¸ z = z(u0 , v) v¹ ¸ F (x, y, z) ¸ u = constº u = const Ú const ¸ Ò¹ ´Ò¹ ´ r = r(u0 , v)¸ ¹ º ¸ µº ¼ ¹ F (x, y, z) = 0¸ µº ¹ ¹ �F (x, y, z) ϕ(x, y, z) ¸ ψ(x, y, z) ´ ϕ(x, y, z) = 0 ¸ M O ij k C(a, b, c)º Mº º º rº C Φº º ¹ ºþ ¿º Φ x¸ y ¸ z µ¸ F (x, y, z) = 0 ψ(x, y, z) = 0º (x, y, z) CM = r ¸ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 . CM = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r º ¹ ¹ º (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r 2 º þ º ´¾¼º¿µ (x, y, z) CM 2 = r 2 (x, y, z) M ¸ Φº ¸ CM = rº º ï ¾½º ½º ½ º ¸ ´¾º¾¼º ¿µ ¸ ¹ ´¾º¾¼º¿µ M ´¾º¾¼º ¿µ �¾½º½ º ¸ i¸ ¸ OP º OP (ρ, ϕ ρ¸ ¸ O¸ O i OP ¹ º ¹ ¹ ¾½º¾ º M ¹ ϕ OM ´¾º¾½º ½µ ρ = OM (ρ ≥ 0), ϕ = P OM . A 2, π 3 º ¿¼ ¸ B 1, 3π2 ¸ C ½µ ¸ º ϕ k 3, 5π 4 º O ¹ ¾µ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ϕ ± 2πk¸ ¸ 0 ≤ ϕ < 2π ¸ º º ¿¼ º ¸ ϕ ¾º Oi (ρ, ϕ) (x, y) ¾ º ¸ O ij M �º −−→ OM M¸ Mº ¹ −−→ −−→ x = OM cos(i, OM )¸ y = OM cos(j, OM )º −−→ −−→ OM = ρ¸ (i, OM ) = ϕ (j, OM ) = 90◦ − ϕ¸ ¹ (x, y)¸ ´ º ¹ ´½º½¾º µ y = ρ sin ϕº x = ρ cos ϕ, º ´¾º¾½º ¾µ (ρ sin ϕ)2 = ρ2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = ρ2 ¸ ρ= ¸ x2 + y 2 ¸ ϕ= ´¾º¾½º ¾µ x2 +y 2 = (ρ cos ϕ)2 + y =Ø ϕº x ´¾º¾½º ¿µ Ö Ø xy º ´¾º¾½º ¿µ º x y ¹ ϕ ϕ y ≥ 0¸ x > 0¸ 0≤ϕ< x ≤ 0¸ y > 0¸ π 2 π ≤ϕ<π 2 3π π≤ϕ< 2 3π < ϕ < 2π º 2 y ≤ 0¸ x < 0¸ y < 0¸ x ≥ 0¸ ¿º ρ ϕº F (ρ, ϕ) = 0º ¿ F (ρ, ϕ)¸ ¸ Oi ¸ ¹ �¸ ρ = a¸ ÓÒ×ظ a ¸ O aº º ¹ ¹ (ρ, ϕ) º (ρ, ϕ) M (|ρ|, ϕµ (−1, 4π 3 ) ¹ ρ ≥ 0¸ ºþ A¸ ρ, ϕ M¸ º ¸ º ρ < 0¸ º ¿¼ (ρ, ϕ)¸ O¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ρ ¹ ¹ (ρ, ϕ) A (1, 4π 3 )º º ¸ º �ÿ ¿ ï ¾¾º ´ µ ½º ¾¾º½ º þ ¸ ¸ M0 ´ ´¿º¾¾º½µ M −−−→ M0 M aº −−−→ = {M ∈ R3 |M0 M Oe1 e2 a¸ M0 (x0 , y0 ) µ¸ a ¹ º ¹ ¸ ¸ a}º ¸ º a¸ M0 º ¸ ¸ ¹ º ¸ a(a1 , a2 )º ¹ �M (x, y) (x − x0 , y − y0 )º º −−−→ M0 M a¸ −−−→ M0 M x − x0 y − y 0 = º a1 a2 ¸ ¸ ´¿º¾¾º½µ¸ ´¿º¾¾º ½µ M (x, y) º M ´¿º¾¾º½µ º ºþ ¸ º ¹ y − y0 = 0º x − x0 = 0 ¾º −−−→ M0 M −−−→ M0 M = taº º ¹ ¹ a ¹ x − x0 = a1 t, y − y0 = a2 t. ¹ x = x0 + a1 t, y = y0 + a2 t. tº ¸ ´¿º¾¾º ¾µ ¹ ´¿º¾¾º¾µ �¿º ¸ M2 (x2 , y2 )¸ ¸ º º M1 (x1 , y1 ) = M1 M2 º ¹ ¹ ¹ M1 (x1 , y1 ) M1 M2 a = M1 M2 º (x2 − x1 , y2 − y1 )¸ ´½º¾¾º½µ y − y1 x − x1 = ¸ x2 − x1 y 2 − y 1 ´¿º¾¾º ¿µ º º ú Ox B(0, b)º û A(a, 0) Oy ¾¾º¾ º A º ¸ a B a ¸ A(a, 0) A B B(0, b)º bº ¹ ¹ ¹ ¸ ´¿º¾¾º ¿µ¸ y x−a = . −a b bx + ay = ab, b ¸ �ab¸ x y + = 1º a b ûº ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º µ ú ¹ º ¾¾º½ º þ º Ax + By + C = 0 M0 (x0 , y0 ) º ½µ aº ´¿º¾¾º½µº a2 (x − x0 ) − a1 (y − y0 ) = 0, a2 x − a1 y + (−a2 x0 + a1 y0 ) = 0. þ A = a2 , B = −a1 , C = −a2 x0 + a1 y0 Ax + By + C = 0¸ ¾µ º A ¸ º º ´¿º¾¾º µ ¹ B ´¿º¾¾º µ º º ´¿º¾¾º µ ¸ ´¿º¾¾º µº ¹ �º ¸ ´¿º¾¾º µ A x+ C A +By = 0. y x+ C A = º −B A ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º ½µ ´¿º¾¾º µ ¸ M0 (− C A , 0) a(−B, A)º ´¿º¾¾º µ¸ ´¿º¾¾º µ ¸ º ¿º Ax + By + C = 0¸ º (−B, A). ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º µµº þ A º º ¹ ¹ B ú û Ax + By = −C, C = 0¸ x −C A ¸ Ax + By + C = 0¸ ¹ a ´ ¹ ú a= + ¸ −C A y −C B ´¿º¾¾º µ −C ¸ = 1. ûa , b= b¸ −C B º ´¿º¾¾º µ �ï ¾¿º ´ µ ¹ O ij º ½º ¾¿º½ º þ ¸ ¸ n¸ º ¸ ¾¿º½ ¸ ¸ ¸ n¸ M0 −−−→ R3 |M0 M ⊥n}º ¸ M0 (x0 , y0 ) (x − x0 , y − y0 )º −−−→ n M0 M º −−−→ M0 M ⊥n¸ ¹ º ¹ M0 ¸n ¸ º M −−−→ M0 M ⊥nº ¹ n(A, B)º −−−→ M0 M n M (x, y)− ¹ −−−→ M0 M ¸ A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0º ¸ ´¿º¾¿º½µ¸ M (x, y) M ¼ ¹ ¹ ¹ ¹ = {M ∈ º ºþ ¹ ´¿º¾¿º ½µ º ¹ ¹ �¸ þ ´¿º¾¿º½µ º ¹ º ´¿º¾¿º ½µ C = −Ax0 − By0 º Ax + By + C = 0º ¹ þ A, B n º ¸ Ax + By + C = 0 (A, B)º n þ ¸ ¹ A B º ¾º ¾¿º¾ º ½µ C < 0º Ax + By + C = 0¸ x y ¾¿º¾ ¹ ½ ¾µ ¸ x cos ϕ + y sin ϕ − p = 0¸ p > 0¸ 0 < ϕ < π º ´¿º¾¿º ¾µ Ax+By+C = 0º ¹ ºþ λ = ±√ 1 A2 + B 2 ½ ´¿º¾¿º ¿µ �ú·û¸ C < 0¸ ú−−û¸ ¸ C > 0º Ax By C ±√ ±√ ±√ = 0¸ A2 + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2 ¾¿º¾ ±√ A 2 A + B2 2 ´¿º¾¿º µ ¸ B + ±√ 2 A + B2 2 = 1. ¿º ¾¿º¿ º Ox α a i º 0 < α < πº α ¾¿º º Oxº k ¸ k = Ø αº ½º ¸ ¾º ¸ Ox, º º ¸ ´¿º¾¿º µ ¸ ¹ º ¸ M0 (x0 , y0 ) kº a(a1 , a2 ) ¹ a1 = |a| cos α¸ a2 = |a| sin α ¸ ¾ �a ¸ k = tg α = a2º a2 = k a1 º 1 ¹ y − y0 x − x0 = . a1 k a1 y − y0 = k (x − x0 )¸ º ´¿º¾¿º µ ´¿º¾¿º µ y = kx + b¸ b = y0 − kx0 º ´¿º¾¿º µ ´¿º¾¿º µ º Ax+By+C = 0º ¹ ºþ y¸ y=− ´¿º¾¿º µ C A x− ¸ B B ´¿º¾¿º µº ´¿º¾¿º µ C A k=− , b=− º B B ï¾ º ÿ Ü· Ý· ¼ ¸ º ¿ M1 ¸ M2 �¾ º½ º ÿ ¸ ¸ ¸ M1 M2 M1 M2 , M1 M2 º ¾ º¾ º º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¾ º½ º º ¸ º Ax + By + C = 0¸ Ax + By + C < 0 Ax + By + C > 0 ºþ º ¹ ¹ ¸ δ(x, y) = Ax + By + C. ¾ ¸ δ(x, y) = 0 ⇔ M (x, y) ∈ º M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 ) ¸ ¸ δ1 = δ(x1 , y1)¸ δ2 = δ(x2 , y2) δ º M1 M2 º M1 M2 ¸ º½ M1 M2 −−−−→ ºþ M1 M2 (x2 − x1 , y2 − y1 ) a(−B, A) º ¸ y2 − y1 x2 − x1 = . −B A ¹ ¹ ¹ ¹ �A(x2 − x1 ) = −B(y2 − y1 ). Ax1 + By1 = Ax2 + By2 . ¸ C Ax1 + By1 + C = Ax2 + By2 + C, º º ´¿º¾ º ½µ º ¹ δ1 = δ2 º M1 M2 ´¾º½ º ¾µ M0 (x0 , y0 ) x0 = λ = M1 M2 ´ −−−−→ M1 M0 −−−−→ M0 M2 x1 + λx2 y1 + λy2 , y0 = ¸ 1+λ 1+λ º ½µ ¸ º ¿½ µ ¸ λ > 0º M0 ∈ A M1 ¸ λ < 0 ¾µ M1 M2 ¸ ´¿º¾ º ¾µ ´ ¹ M2 M0 ¸ M1 º ¿½ µ M0 y1 + λy2 x1 + λx2 +B + C = 0. 1+λ 1+λ (Ax1 + By1 + C) + λ(Ax2 + By2 + C) = 0 M2 �δ1 + λδ2 = 0. λ λ=− ´¿º¾ º ¿µ δ1 º δ2 º ¿½ º ¿½ ´¿º¾ º ¿µ ½µ ¸ ¸ M1 ¸ δ1 λ>0 δ1 ¸ ½µ M1 Ax + By + C > 0 ¸ M1 ¸ δ2 M1 ºþ δ2 M2 ¸ M2 δ2 ¾µ δ1 δ2 λ < 0 ¸ M2 λ > 0¸ ½µ λ < 0¸ º ¹ ¸ ¹ Ax + By + C < 0 M1 M2 ´¿º¾ º ½µ ¾µ ¸ δ1 ¸ M2 ¸ ¹ ¸ ¾µ ¹ ¸ ¹ ¹ º �¸ ¸ Ax+By+C < 0º Ax+By+C > 0 ¸ º Ax + By + C < 0 ï¾ º ¹ Ax + By + C > 0 ¹ þ 1 ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ ¾µ 1 2 1 2 1 2 1 ¸ 2 A1 x+B1 y +C1 = 0 1 2º ÿ ¸ A2 x+B2 y +C2 = 0 ¹ ¹ A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 ºþ ¸ ºþ ¹ ¸ ¸ ¿µ º 2 ´¿º¾ º ½µ ¸ º ¹ ´¿º¾ º ½µ ¸ �´¿º¾ º½µ B1 C1 B2 C2 x= A1 B1 A2 B2 ´¿º¾ º ¾µ ¾µ B C1 Δ1 = 1 B2 C2 Δ¸ Δ1 ¸ Δ2 ¸ ½µ A1 A2 = ¸ B1 B2 ¸ ¾µ , y= C1 A1 C2 A2 A1 B1 A2 B2 ¸ ¸ ´¿º¾ º ¾µ . ´¿º¾ º ½µ ½µ Δ= Δ=0 C A1 Δ2 = 1 C2 A2 º ¿µ ¸ A1 A2 1 = B1 B2 A1 B1 =0 A2 B2 Δ=0 1 = C C2 Δ1 = Δ2 = 0 º ¹ ¹ 2 A1 B1 = ¸ A2 B2 ´¿º¾ º ¿µ A1 B1 C1 = = ¸ A2 B2 C2 ´¿º¾ º µ ¸ ¿µ ¸ A1 B1 C1 = = º A2 B2 C2 ÿ a1 (−B1 , A1 ) 2 ´¿º¾ º µ º ´¿º¾ º¿µ a2 (−B2 , A2 ) º ´¿º¾ º µ ¸ ´¿º¾ º µ 1 �´¿º¾ º¿µ¸ ´¿º¾ º µ ¸ º ½µ 1 ¸ ¹ 2 1 1 1 2 = B1 B2 1 2 = B1 B2 ¸ ¸ ¹ 2 ¸ º º AA ¿µ ¹ ¸ ¸ º º AA ¾µ º º AA ´¿º¾ º µ 1 2 = ¸ B1 B2 = C1 C2 ¹ ¸ ¸ 2 = ¸ C1 C2 . ï¾ º ½º ¾ º½ º ¸ º Oe1 e2 º ¸ ¹ ¹ ¹ º ¾ º½ º S(x0 , y0 )¸ α(x − x0 ) + β(y − y0 ) = 0º ¹ ´¿º¾ º ½µ �º º ¸ a(−β, α)º (−β, α)º α¸ β º ¸ º ´¾º¾ º½µ ¸ 1 2 ¸ A1 x + B1 y + C1 = 0 ¹ S α¸ β ¸ ¹ S¸ ´¾ º½µº ¾ º¾ º ¸ º ¹ ¹ A2 x + B2 y + C2 = 0¸ α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0º º ´¿º¾ º ¾µ 1 ¸ 2 a1 (−B1 , A1 )¸ a2 (−B2 , A2 )¸ 1 ¸ 2 º By + C = 0º a1 ¸ a2 ¸ a a = αa1 + βa2 º ¸ º A = αA1 + βA2 , S(x0 , y0 ) a1 ¸ a2 a −B = α(−B1 ) + β(−B2 ), 2 Ax + a(−B, A)º A = αA1 + βA2 B = αB1 + βB2 . º S¸ A1 x0 + B1 y0 + C1 = 0, ´¿º¾ º ¿µ A2 x0 + B2 y0 + C2 = 0. ¼ 1 �−A1 x0 − B1 y0 = C1 , +C = 0º þ ´¿º¾ º¿µ¸ C −A2 x0 − B2 y0 = C2 . S¸ ¸ Ax0 + By0 + C = −Ax0 − By0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 = α(−A1 x0 − B1 y0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 ) = αC1 + βC2 º ¸ C = αC1 + βC2 . ´¿º¾ º¿µ ´¿º¾ º µ ´¿º¾ º µ (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 ) = 0, ´¿º¾ º¾µ α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0. ¸ ¸ ¸ ´¿º¾ º¾µ 2 1 2 ¸ ¸ S(x0 , y0 ) (x0 , y0 ) α(A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0. ¸ α βº λ= β α (A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + λ(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0º ´¿º¾ º µ 2 ¹ 1 ¹ ´¿º¾ º µ ¸ º ¾º ½ �¾ º¾ º º ¾ º¿ º ¸ A¸ B ºþ º a(−B, A) x¸ y ¸ Cº ¸ ¹ ¸ A¸ B ¹ º C º ¹ Ax + By + C = 0¸ ¸ ¸ A¸ B ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ C ¸ Ax + By + C = 0 ï¾ º þ ¸ ºþ ¸ º 0◦ ¸ º º º O ij 1 2 ¾ ¸ ¹ ¹ º ¹ 180◦ ¹ �y = k1 x + b1 , ´ º º º ¿¾µ α1 ¸ α2 α1 + θ º þ θ = α2 − α1 tg θ = y = k2 x + b2 º º θ 1 Oxº 2 α2 = tg α2 − tg α1 . 1 + tg α1 tg α2 tg α1 = k1 ¸ tg α2 = k2 ¸ tg θ = k2 − k1 º 1 + k1 k2 ´¿º¾ º ½µ ´¾º¾ º½µ º ¿¾ ¹ 1 ¸ 2 º º º ´¿º¾ º½µ ¹ ¹ ⇔ k1 = k2 ¸ 1 1 ⊥ 2 ⇔ k2 = − º k1 1 || 2 1 ´¿º¾ º ¾µ 2 ´¿º¾ º ¿µ k1 = − A B ¸ k2 = A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0. 2 −A B2 º ´¿º¾ º½µ tg θ = A1 B2 − A2 B1 º A1 A2 + B1 B2 ¿ 1 1 ´¿º¾ º µ �1 ´¿º¾ º¿µ¸ 2 ¸ ¹ ¸ ´¿º¾ º µ A1 A2 + B1 B2 = 0º ï¾ º ¹ O ij º º Ax + By + C = 0 M (x, y)º d º M º M1 (x1 , y1 ) −−−→ M1 M (x − x1 , y − y1 )º n(A, B) −−−→ M1 M = λnº º M M1 ¸ d = |M1 M |º ¹ ¹ M1 λ¸ nº −−−→ 2 2 nM1 M = λn = λ(A + B 2 ) −−−→ nM1 M λ= 2 º A + B2 d þ −−−→ √ |nM1 M | −−−→ d = |M1 M | = |λn| = |λ| · |n| = |λ| A2 + B 2 = √ º A2 + B 2 −−−→ nM1 M þ −−−→ nM1 M = A(x − x1 ) + B(y − y1 ) = Ax + By + (−Ax1 − By1 ). −Ax1 − By1 = C ¸ M1 ¹ �¸ ¸ ¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º −−−→ nM1 M = Ax + By + C. d d= |Ax + By + C| √ º A2 + B 2 ´¿º¾ º ½µ ï¾ º ¹ O ij º º Ax + By + C = 0¸ Ax + By + C = 0º d º M1 (x1 , y1 ) d −C º º M1 d= M1 ∈ º ¸ |Ax1 + By1 + C | √ . A2 + B 2 ¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º ¸ |C − C| d= √ º A2 + B 2 Ax1 + By1 = ´¿º¾ º ½µ �ï ¿¼ ½º ¿¼º½ º þ ¸ ¹ a α¸ −−−→ M0 A = a¸ M0 ¹ A ∈ αº ¿¼º¾ º a b º ¸ π º M0 ´ ¸ ¸ º ¸ ¿¼º¾ M −−−→ M0 M ¸ a¸ b M −−−→ 0 π = {M ∈ R3 |M0 M , a, b − µ¸ a α¸ ¹ ¹ b ¹ º π ¸ a }º bº ¹ º Oe1 e2 e3 M0 (x0 , y0 , z0 ) M (x, y, z) a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º −−−→ πº M0 M −−−→ M0 M ¸ a¸ b z0 )º π¸ ¹ a(a1 , ¹ (x−x0 , y −y0 , z − ¸ �x − x0 y − y0 z − z0 a1 a2 a3 = 0 º b1 b2 b3 ¸ ¿º¿¼º½ ¸ ¸ ´¿º¿¼º ½µ M (x, y z) πº M ´¿º¿¼º½µ πº ¹ º ¾º ¹ −−−→ M0 M ¸ a −−−→ M0 M = ua + v bº ⎧ ⎪ ⎨x − x0 = ua1 + vb1 , y − y0 = ua2 + vb2 , ⎪ ⎩ z − z0 = ua3 + vb3 . b ¹ ⎧ ⎪ ⎨x = x0 + ua1 + vb1 , y = y0 + ua2 + vb2 , ⎪ ⎩ z = z0 + ua3 + vb3 . ´¿º¿¼º ¾µ ´¿º¿¼º½µ¸ u, v º ´¿º¿¼º¾µ ¹ ¿º π M2 (x2 , y2 , z2 ) M3 (x3 , y3 , z3 )¸ º º π = M1 M2 M3º M1 (x1 , y1 , z1 )¸ ¸ π �º ¸ ¸ M1 M2 M1 ¸ M2 M1 M3 M3 πº ¸ a = M1 M2 πº ¸ M1(x1 , y1, z1 ) b = M1 M3 M1 M2 M1 M3 (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) (x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 )¸ ´¿º¿¼º½µ x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 ¸ x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 ´¿º¿¼º ¿µ º º B(0, b, 0) ú û π Ox¸ Oy Oz C(0, 0, c)º ¿¼º¿ º A¸ B º ¸ A(a, 0, 0)¸ a¸ b C π π a¸ b π B(0, b, 0) C(0, 0, c)¸ A¸ B C c ´¿¼º¿µº ´¿º¿¼º¿µ¸ x−a y z −a b 0 = 0 . −a 0 c cº A(a, 0, 0)¸ ¹ ¹ �bcx + acy + abz = abc, ¸ abc¸ ´¿º¿¼º µ x y z + + =1 a b c ûº º ´¿º¿¼º µ π ¿¼º½ º þ º Ax + By + Cz + D = 0 º ½µ M0 (x0 , y0 , z0 ) a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º ú ¹ π ´¿º¿¼º½µº ¹ ¸ a a a a a2 a3 (x − x0 ) − 1 3 (y − y0 ) + 1 2 (z − z0 ) = 0. b2 b3 b1 b3 b1 b2 þ A= a2 a3 , b2 b3 B=− a1 a3 , b1 b3 a1 a2 b1 b2 ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ ¹ C= Ax + By + Cz + D = 0¸ D = −Ax0 − By0 − Cz0 º A¸ B C þ ¸ �a ¾µ b º º º x = −B Ay− ¸ ¸ C A z− D A ´¿º¿¼º µ ¹ ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º ¾µ ¹ M0 C a(− B , 1, 0) ¸ b(− A A¸ º º ´¿º¿¼º µ ¸ ¹ ´¿º¿¼º µ ¹ π Ax+By +Cz +D = 0¸ a(−B, A, 0) b(−C, 0, A)º þ º D A, ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ¸ C v− ¸ ´¿º¿¼º µº ¹ ¸ y = u¸ z = v . C A ¹ ¸ º ´¿º¿¼º µ A = 0 (− D A ¸ 0, 0) 0, 1)º B ´¿º¿¼º µ º ⎧ B ⎪ ⎨x = − A u − y = u, ⎪ ⎩ z = v. ¸ ¸ A¸ ¹ º ú Ax + By + Cz = −D, ½¼¼ û ´¿º¿¼º µ �−D ¸ ú x −D A + y −D B ¸ Ax + By + Cz + D = 0¸ a= + û y −D C = 1. π ú D = 0¸ û a¸ b c¸ ¸ −D −D −D , b= , b= . A B C ´¿º¿¼º µ ï ¿½ ¿½º½ º ÿ º ¿½º¾ º ¹ ¹ ¹ ¸ º ¸ α¸ −− → n = AB AB ¸ ¹ ¸ ¹ º ½º π ¸n ¿½º¾ M −−−→ M0 M ⊥nº ¸ π ½¼½ M0 ¹ ¸ ¸ º ¹ ¸ �n¸ M0 −−−→ π = {M ∈ R3 |M0 M ⊥n}º º M0 (x0 , y0 , z0 ) M (x, y, z) þ n ¹ π¸ πº (x − x0 , y − y0 , z − z0 )º −−−→ n M0 M n(A, B, C)º ¹ −−−→ M0 M −−−→ M0 M ⊥n¸ º −−−→ M0 M ¸ A(x−x0 )+B(y−y0 )+C(z−z0 ) = 0º ¸ πº þ M (x, y, z) ´½º¿½º½µ¸ ¸ M ´¿º¿½º½µ þ C ´¿º¿½º ½µ πº ¹ ¹ º ´½º¿½º½µ D = −Ax0 − By0 − Cz0 º Ax + By + Cz + D = 0º A, B, C n πº ¸ π Ax + By + Cz + D = 0 ¸ n (A, B, C)º B ¹ þ ¹ ¹ A¸ ¹ º ½¼¾ �¾º ¿½º¿ º ¸ Ax + By + Cz + D = 0 ½µ A2 + B 2 + C 2 = 1¸ ¾µ D < 0º ¿½º¿ ¸ x cos α + y cos β + z cos γ − ρ = 0¸ cos α¸ cos β ¸ cos γ ¸ ρ > 0º n π Cz + D = 0º ´¿º¿½º ¾µ Ax + By + ¹ ¹ ºþ λ = ±√ 1 D < 0¸ ú·û¸ ´¿º¿½º ¿µ A2 + B 2 + C 2 ú û¸ (λA)x + (λB)y + (λC)z + λD = 0, ¸ ¸ D > 0º ´¿º¿½º µ (λA)2 + (λB)2 + (λC)2 = 1. λD < 0º ï ¿¾º ÿ Ü· Ý· Þ· π πº ½¼¿ ¸ M1 ¸ M2 ¸ �¿¾º½ º ÿ ¸ M1 π¸ π¸ ¿¾º¾ º ¸ M2 M1 M2 π¸ º M1 M2 ¹ π¸ πº ¹ º ¸ R3 ¸ º ¸ ¿¾º½ º π Ax + By + Cz + D > 0 Ax + By + Cz + D = 0¸ Ax + By + Cz + D < 0 ¸ ¹ º π ¹ ¾ º½ º ï ¿¿º þ π1 þ ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ ¹ π1 π1 π1 π2 π2 π2 π1 ¸ ¸ ¸ π2 ¸ ¾µ º ½¼ π2 º 3)− �A1 x+B1 y+C1 z+D1 = 0 π1 π2 º ÿ A2 x+B2 y+C2 z+D2 = 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ´¿º¿¿º ½µ ¸ º A1 B1 C1 A2 B2 C2 r ¸ µr=r π2 r < 3¸ r < 3º µr µ = 1¸ r = 2 π1 π2 r=r =1 ´¿º¿¿º½µ ¹ r = rº ¸ º º ¸ π1 ¸ ¹ ¸ r = 2 B1 C1 , B2 C2 º ¸ ´¿º¿¿º½µ º ´¿º¿¿º½µ ¸ ¾º þ º Δ1 = ¸ ´¿º¿¿º½µ ¸ ½º =2 ¹ A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 r ¹ Δ2 = A1 C1 , A2 C2 ¸ r = 1 ½¼ Δ3 = A1 B1 A2 B2 Δ1 ¸ �Δ2 ¸ Δ3 ¸ A1 B1 C1 = = º A2 B2 C2 ¸ ´¿º¿¿º ¾µ ´¿º¿¿º¾µ¸ ¸ r = 1º A1 B1 C1 , , A2 B2 C2 1) π1 ∩ π2 = ⇔ ¸ A1 B1 C1 D1 2) π1 π2 ⇔ = = = ¸ A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 3) π1 = π2 ⇔ = = = . A2 B2 C2 D2 ï¿ º Oe1 e2 e3 º ¿ º½ º þ π¸ p(p1 , p2 , p3 ) Ax+By +Cz +D = 0¸ ¸ Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0º ¹ pº πº º º M0 (x0 , y0 , z0 ) −−−−→ p = M0 M1 ¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) ¸ M0 M1 ½¼ ¹ ´¿º¿ º ½µ p||π º þ �þ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 ) + C(z1 − z0 ) = 0. −−−−→ M0 M1 = p¸ (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 )¸ z1 − z0 = p3 º −−−−→ M0 M1 x1 − x0 = p 1 ¸ y 1 − y 0 = p 2 ¸ ´¿º¿ º½µº º þ p 1 = x1 − x0 ¸ ´¿º¿ º½µ ´¿º¿ º ¾µ ´¿º¿ º¾µ¸ ´¿º¿ º½µº ¹ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¹ −−−−→ p p = M0 M1 º M1 (x1 , y1 , z1 )º p2 = y1 − y0 ¸ p3 = z1 − z0 º ´¿ºº¿ º¾µº (Ax1 + By1 + Cz1 ) − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0. ´¿º¿ º ¿µ π¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º Ax0 + By0 + Cz0 = −D Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) p πº ´¿º¿ º¿µº πº ¸ ¸ º ï¿ º ½º ¿ º½ º ¸ º Oe1 e2 e3 º ¹ º ½¼ �¿ º½ º ´¿º¿¿º ½µ π1 π2 ¸ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0º ´¿º¿ º ½µ º Ax+By+Cz+D = 0º π p(p1 , p2 , p3 )− π1 ¸ π2 p ⎧ ⎪ ⎨A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0, A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0, ⎪ ⎩ Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0. π¸ ´¿º¿ º ¾µ ¸ ´¿º¿ º¾µ Δ º A1 B1 C1 Δ = A2 B2 C2 = 0º A B C π1 π2 ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º ¹ ´¿º¿ º ¿µ A = αA1 + βA2 , B = αB1 + βB2 , C = αC1 + βC2 , α¸ β M0 (x0 , y0 , z0 ) π1 π2 ¹ A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 = 0, ½¼ M0 ¸ º º ¸ A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 = 0. ¹ �−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 = D1 , π +By0 + Cz0 + D = 0º ´¿º¿ º¿µ¸ −A2 x0 − B2 y0 − C2 z0 = D2 . þ D M0 ¸ ¸ Ax0 + ¹ C = −Ax0 − By0 − Cz0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 − −(αC1 + βC2 )z0 = α(−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 − −C2 z0 ) = αD1 + βD2 º ¸ ´¿º¿ º µ D = αD1 + βD2 . ´¿º¿ º¿µ ´¿º¿ º µ ¹ π (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 )z + αD1 + βD2 = 0, ´¿º¿ º¾µ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0. π2 ¸ ¸ ¸ ´¿º¿ º¾µ ¹ M0 (x0 , y0 , z0 )¸ ¸ π1 ¹ π1 π2 ¸ ¸ α(A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 ) = α · 0 + β · 0 = 0. ¸ α βº λ= β α (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0. ´¿º¿ º µ ½¼ �´¿º¿ º µ ¸ π2 ¸ ¹ ¹ º ¾º ¹ ¿ º¾ º ¸ º ¿ º¾ º π¸ 0¸ π¸ C º Ax + By + Cz + D = ¸ ¸ A¸ B ¸ D ºþ a(−B, A, 0) ¿¼º½ µº ¹ b(−C, 0, A)¸ π ´ A¸ B ¸ C D ¸ º x¸ y ¸ z ¸ º A¸ B ¸ C Ax + By + Cz + D = 0 Dº ï¿ º ¹ ¹ ¹ þ π1 ¸ π2 ¸ π3 º ¸ ¹ ½½¼ �µº ½º ¾º ¿º º ´ ´ º ¿¿¸ µº ´ ´ º ¿¿¸ º ¿¿¸ ¸ µº º ¿¿¸ ¸ ¸ ¸ µº º ¿¿ þ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0¸ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0º ¸ ⎧ ⎪ ⎨A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, ⎪ ⎩ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0. ½½½ π1 ¸ π2 ¸ π3 ´¿º¿ º ½µ �⎛ ⎞ A1 B1 C1 ⎝A2 B2 C2 ⎠¸ A3 B3 C3 ⎛ r ⎞ A1 B1 C1 D1 ⎝A2 B2 C2 D2 ⎠º A3 B3 C3 D3 r ¸ µr r ≤ 3¸ r ≤ 3º ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ¼º = r = 3 µ π1 ¸ π2 r=r =2 µ π1 π2 r = r = 1 π3 µr=r ¸ µ ´¿º¿ º½µ ¹ r = rº ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ½º ¸ ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ¾º þ π1 ¸ π2 ¸ º π3 ⇐⇒ r = r = 3 µ ⇐⇒ r = r = 2 µ ⇐⇒ r = r = 1 µ ⇐⇒ r = r º π1 ¸ π2 ¸ º ½½¾ π3 ¸ �ï¿ º ¿ º½ º S(x0 , y0 , z0 )¸ ¿ º½ º ¸ º º ¹ º α(x − x0 ) + β(y − y0 ) + γ(z − z0 ) = 0¸ α¸ β ¸ γ ¸ ´¿º¿ º ½µ ¹ ¾ º½ º ¿ º¾ º π1 ¸ π2 π23 ¸ ¹ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0¸ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z+ +D2 ) + γ(A3 x + B3 y + C3 z + D3 ) = 0. º ï¿ º ½º ½½¿ ´¿º¿ º ¾µ �¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ º ¿ º½ º º º n1 (A1 , B1 , C1 ) ´´½º½¾º µµ π1 ¹ n2 (A2 , B2 , C2 )º ϕ ¹ ϕº A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 cos ϕ = A1 x + π1 π2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 B1 y + C1 z + D1 = 0 ¹ A21 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 º ´¿º¿ º ½µ π2 ´¿º¿ º ¾µ π1 ⊥π2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 º ¾º M (x, y, z) d Ax + By + Cz + D = 0 d= |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B 2 + C 2 ´¿º¿ º¿µ ¸ ½½ º ´¿º¿ º ¿µ ´¿º¾ º ½µ º ¹ �¿º Ax + d By + Cz + D1 = 0 Ax + By + Cz + D2 = 0 d= √ |D2 − D1 | A2 + B 2 + C 2 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ º ¸ ´¿º¾ º½µ ¹ º ï¿ º ¿ º½ º þ ¸ ½º a¸ º ¸ ¸ º ¹ º ´ µ x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ ¸ ¸ a(a1 , a2, a3 ) º ½½ ´¿º¿ º ½µ ¹ �¾º ⎧ ⎪ ⎨x = x0 + a1 t, y = y0 + a2 t, ⎪ ⎩ z = z0 + a3 t, M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ a(a1 , a2, a3 ) º ¿º ´¿º¿ º ¾µ ¹ ¸ y − y1 z − z1 x − x1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 M1 (x1 , y1 , z1 ) ¸ ´¿º¿ º ¿µ º M2 (x2 , y2 , z2 ) º ¸ ´ µ π1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 π2 A2 x+B2 y +C2 z +D2 = 0¸ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. ´¿º¿ º µ ´½º¿ º µ º π1 ¸ ¹ p(p1 , p2 , p3 ) º π2 ¸ ½½ p º ¹ ¸ �A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0, A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0 ´ º ´¿º¿ º ½µµº p3 ¸ ´¿º¿ º µ p2 p3 ¸ π2 B1 C1 A C1 A B1 , Δ2 = 1 , Δ3 = 1 B2 C2 A2 C2 A2 B2 Δ1 = p1 p3 π1 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ Δ3 = 0º º ⎧ p1 p2 ⎪ ⎪ ⎨A1 + B1 = −C1 , p3 p3 p p ⎪ 1 ⎪ ⎩A2 + B2 2 = −C2 . p3 p3 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ ¸ Δ1 p1 = , p3 Δ3 ¸ p2 − Δ2 = . p3 Δ3 ´¿º¿ º µ p2 p3 p1 = = , Δ1 Δ2 Δ3 ¹ p(p1 , p2 , p3 ) a(Δ1 , − Δ2 , Δ3 )º ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ ¸ z = z0 ¸ A1 x + B1 y = −C1 z0 − D1 , A2 x + B2 y = −C2 z0 − D2 , ½½ a º ºþ ¹ ¹ �M0 (x0 , y0 , z0 )¸ ¸ º º ¸ º ¸ ¸ x − x0 B1 C1 B2 C2 y − y0 = − A1 C1 A2 C2 z − z0 = A1 B1 A2 B2 º ¸ º ´¿º¿ º µ ¸ ¸ a ¹ n1 (A1 , B1 , C1 ) π1 π2 ¸ º n2 (A2 , B2 , C2 ) a = n1 × n2 º ï ¼º ¹ º ¹ ´¿º¿ º ½¼µ þ ¸ ¹ m ½º ¾º ¿º º m m m m º º º º ¹ m x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , = = . a1 a2 a3 b1 b2 b3 ´ º ½½ º¿ µ �¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) a(a1 , a2 , a3 ) ¸ M2 (x2 , y2 , z2 ) b(b1 , b2 , b3 ) mº º¿ (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )º ¸ ¾¸ ¿ þ −−−−→ M1 M2 ½ −−−−→ M1 M2 ¸ a Δ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Δ= a1 a2 a3 . b1 b2 b3 ½ Δ = 0¸ ¾¸ ¿ ¸ Δ = 0º þ ¸ þ º b ¹ µ µ Δ = 0 Δ = 0º x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 =0 b1 b2 b3 º ¹ m ¸ m b¸ ´ ½ º¿ µ ¸ m −−−−→ M1 M2 ¸ a ´¿º ¼º ½µ m ¾ a b ¸ º º ºþ a2 a3 a1 = = . b1 b2 b3 ½½ ´ ¸ ¿ a1 b1 º¿ µ ¸ ab ¸ 2 2 a ¸ a3 b3 b ´¿º ¼º ¾µ �þ −−−−→ M1 M2 ¸ a¸ b ´¿º ¼º¾µ y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 = = . b1 b2 b3 a2 b2 ¸ þ ¸ ´¿º ¼º ¿µ µ a3 b3 ´¿º ¼º¿µ¸ ¸ ´¿º ¼º¾µ¸ µ µ º m ¸ ¸ a1 b1 ´¿º ¼º¾µ ¸ m m m x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 ⇔ a1 a2 a3 =0; b1 b2 b3 1) ´¿º ¼º µ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 =0 b1 b2 b3 a1 a2 a3 , , b1 b2 b3 2) ⇔ ´¿º ¼º µ a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 ´¿º ¼º µ a1 a2 a3 = = , b1 b2 b3 y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 = = º b1 b2 b3 ´¿º ¼º µ 3) 4) ⇔ ⇔ ½¾¼ �ï ½º m x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , = = . a1 a2 a3 b1 b2 b3 b(b1 , b2 , b3 )º a(a1 , a2 , a3 ) a ϕ m¸ a cos ϕ = ´½º½¾º µ b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 ¹ b b21 + b22 + b23 º ´¿º ½º ½µ ´¿º ½º½µ ´¿º ½º ¾µ ⊥m ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0º ï ¾º ´ º º ¿ µº M (x, y, z) x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 º º d M º a(a1 , a2 , a3 )º M0 (x0 , y0 , z0 ) −−−→ a M0 M ½¾½ �Sº ¹ ¹ ¸ S = |a|·d ¸ −−−→ ¸ S = |M0 M ×a| ´ º ½ º¾ ¸ ¾◦ µº ¹ d º¿ −−−→ |M0 M × a| . d= |a| þ −−−→ M0 M a a ¹ M (x, y, z) d y − y0 z − z0 a2 a3 ¸ 2 d= x − x0 z − z0 + a1 a3 2 + x − x0 y − y 0 a1 a2 a21 + a22 + a23 2 . ´¿º ¾º ½µ ï ¿º ´ º º ¿ µº x − x1 y − y1 z − z1 = = a1 a2 a3 ´ µ¸ x − x2 y − y2 z − z2 = = b1 b2 b3 ´Ñµ¸ mº d ½¾¾ º �º a(a1 , a2 , a3 ) M2 (x2 , y2 , z2 ) Vº ¸ m ¸ ¸ ´ º ◦ ¾ µº þ S ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ d d ·S ¸ −−−−→ V = |M1 M2 a b| b(b1 , b2 , b3 ) mº −−−−→ M1 M2 a¸ b ½ º¿ ¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) m V = ¸ ¹ = |a × b|¸ º¿ d d= −−−−→ |M1 M2 a b| |a × b| þ . −−−−→ M1 M2 ¸ a d b¸ m mod d= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a2 a3 b2 b3 2 + a1 a3 b1 b3 ½¾¿ 2 + 2 a1 a2 . b1 b2 ´¿º ¿º ½µ �ï º þ þ ½º ¾º ¿º π π Pº π ¸ ¸ º πº ¸ º π ´¿º º ½µ ´¿º º ¾µ x = a1 t + x0 , y = a2 t + y0 , z = a3 t + z0 , Ax + By + Cz + D = 0. ¹ ¸ ´¿º º½µ¸ ´¿º º¾µ πº ¸ ¹ (Aa1 + Ba2 + Ca3 )t + (Ax0 + By0 + Cz0 + D) = 0. ´¿º º ¿µ ºþ º µº Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ 0 +By0 +Cz0 +D t = − AxAa º 1 +Ba2 +Ca3 t ´¿º º½µ¸ ¸ ´¿º º½µ ¸ πº πº ´¿º º¾µ ½¾ ¸ ´¿º º¿µ º ¹ ¹ a(a1 , a2 , a3 ) n(A, B, C) π ¸ �n Ca3 ¸ µ´ D = 0¸ ¹ a º ¿ ºµ na º na = Aa1 +Ba2 + Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 + ´¿º º¿µ¸ º º ¸ π¸ ¸ ¸ ¹ º π ¸ ¹ ¸ ¹ a n ¹ π ¸ ¸ ¹ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º ¸ º º þ¹ ¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¹ π Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º µ ´ º ¿ ºµ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + ´ º¿µ¸ ¸ ¹ Cz0 + D = 0¸ º ¸ πº ¸ ¹ π¸ ¸ ¹ ¸ a n ¹ π ¸ ¸ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º þ ¹ ¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º π ¸ 1) ∩ π = P ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0; ´¿º º µ π⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; ´¿º º µ 3) ⊂ π ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; ´¿º º µ 2) ½¾ �º¿ ï º¿ º¿ º ¹ º½ º π x − x1 y − y1 z − z1 = = , a1 a2 a3 Ax + By + Cz + D = 0 a(a1 , a2 , a3 ) π ¸ ¹ º º a ¹ πº n P ´ º ½¾ n(A, B, C) π P πº º¿ ¸ º ¿ µº ¹ 1 �α a n ϕ 1 ´¿º º ½µ α = 90◦ ± ϕ. ´¿º º½µ cos α = ± sin ϕ ¸ ¸ ´¿º º ¾µ sin ϕ = ± cos α. α ≤ 90◦ ¸ − cos αº ¸ sin ϕ = cos α¸ 90◦ < α ≤ 180◦ sin ϕ ≥ 0º ¸ ´¿º º ¿µ ´½º½¾º µ sin ϕ = | cos α|. cos α cos α = sin ϕ = Aa1 + Ba2 + Ca3 na =√ . |n| · |a| A2 + B 2 + C 2 · a21 + a22 + a23 ¸ ´ º¿µ¸ ¹ ϕ π sin ϕ = a21 |Aa1 + Ba2 + Ca3 | √ + a22 + a23 A2 + B 2 + C 2 ½¾ º ´¿º º µ �ÿ ï º ½º º½ º ¸ ¸ º F1 ¸ F2 2a 2c µº ¸ þ ¸ ¸ ¸ º O F1 F2 = 2c¸ ¹ ´ º F1 ¹ ¹ F2 º ¹ ¹ O ij ¸ −−→ F1 F2 ¸ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº ¹ �F1 (c, 0) M (x, y) F2 (−c, 0) º ´ º ¿ µº F1 M F2 M F1 M = (x − c)2 + y 2 ¸ F2 M = (x + c)2 + y 2 º º º½ F1 M + F2 M = 2a, º¿ (x − c)2 + y 2 + ¸ M (x, y) (x + c)2 + y 2 = 2a. M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º (x + c)2 + y 2 = 2a − (x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a a ´ º º ½µ ´ º º ¾µ ¸ ´ º º¾µº þ ´ º º¾µ º ¹ ¹ (x − c)2 + y 2 (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 . (x − c)2 + y 2 = a2 − cx. ¹ (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ). a2 (a2 − c2 ) y2 x2 + = 1. a2 a2 − c2 ½¾ ´ º º ¿µ �F1 F2 M º F1 M + F2 M > F1 F2 º ¸ þ ¸ a > cº ¸ ¹ ¹ a2 − c2 = b2 º ´º º µ x2 y 2 + = 1º a2 b2 ´º º µ º¿ ¸ M (x, y) ¸ ´ º º¾µ ´º ºµ º ¸ ´ º º µº þ r1 = F1 M r2 = F2 M º y 2 = b2 1 − x2 a2 r1 = F1 M = x > 0º x2 a2 ´º ºµ = a2 − c2 − x2 + ¸ ¹ ¹ º ¹ ¹ c2 2 x º a2 (x − c)2 + y 2 = c2 − 2cx + 2 x2 = a x ≤ 0¸ M (x, y) = (a2 − c2 ) 1 − x2 − 2cx + c2 + a2 − c2 − x2 + a2 ´ º º µº a− c2 2 x = a2 c a− x a c x>0 a ´ ºµ ½¿¼ 2 = a− c x a º a− c c x = a − xº a a y2 x2 = 1 − a2 b2 ¸ ¸ �x2 ≤ 1º a2 |x| ≤ 1º a ¸ a− c c x ≥ a− a = a−c > 0 a a x ¸ x ≤ aº x>0 a− c c x = a − xº a a r1 = a − c xº a ´º º µ r2 = a + c xº a ´º º µ ü r1 + r2 = (a − c c x) + (a + x) = 2aº a a M (x, y) ¸ ´º º µ ¸ ¸ ´ µ º º ¸ ¹ y ¹ ¾º º ½º ´º ºµ M (x, y) º ¾º þ º ¸ º x ¸ ¸ (±x, ±y) ¸ ºþ ¸ ½¿½ M (x, y)¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ º ¹ º �x2 y 2 + 2 = 1, a2 b ¸ Ox¸ y = 0. ´º º µ A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º B2 (0, −b)º a ¸ a > b¸ B1 B2 ¸b ¸ ¿º ¸ b¸ y = −bº º Oy ¸ ¹ º ´º ºµ x2 M (x, y) ≤ 1 a2 |x| ≤ a¸ |y| ≤ b ¸ ¸ ¹ B1 (0, b)¸ A1 A2 º −b ≤ y ≤ bº ü ¸ y2 ≤ 1º b2 −a ≤ x ≤ a¸ x = a¸ x = −a¸ y = º ¸ º ¸ ¸ y = kxº ¸ ´º º µ ¹ º ¸ y ¹ x2 k 2 x2 + 2 = 1. a2 b ´º º µ ab x1,2 = ± √ . 2 b + k2 a2 ¸ ¸ C1 √ ab b2 + k2 a2 ,√ ¸ kab b2 + k2 a2 ¸ C2 ½¿¾ √ − ab b2 + k2 a2 ,√ º − kab b2 + k2 a2 ¸ �º 0º º º x2 y 2 + = 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º a2 b2 ¸ A1 B1 √ y = ab a2 − x2 ¸ x 0 a¸ y ¸ ý ¸ A1 B1 þ ¹ ¹ y ¹ [0, a]º b ¸ ¹ ¹ º A1 B1 ´ ¸ º ¼µº º ¼ ï º ÿ ½º º F1 ¸ F2 2a ¸ º½ º ÿ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ½¿¿ �¹ ´ 2c µº þ ´ ¹ Oij ¸ F1 F2 ¸ ¹ O F1 F2 = 2c¸ −−→ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº F2 (−c, 0)º º ½µº M (x, y) F1 (c, 0) ¹ ¹ º F1 M F2 M (x − c)2 + y 2 ¸ (x + c)2 + y 2 º F1 M = F2 M = º½ |F1 M − F2 M | = 2a, ´ º º ½µ | (x − c)2 + y 2 − M (x, y) M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º (x + c)2 + y 2 = ±2a + (x + c)2 + y 2 = 4a2 ± 4a ´ º º ¾µ (x + c)2 + y 2 | = 2a. ¸ ¸ º ½ ¹ ´ º º¾µº þ ¹ ´ º º¾µ º (x − c)2 + y 2 (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 . ½¿ ¹ ¹ ¹ �±a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx. a2 (x − c)2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2 (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ). a2 (c2 − a2 ) y2 x2 − = 1. a2 c2 − a2 ´ º º ¿µ F1 F2 M º ¸ |F1 M − F2 M | < F1 F2 º ¸ º¿ ¸ ´ º º¾µ þ a < cº ¸ c2 − a2 = b2 º ´º º µ x2 y 2 − = 1º a2 b2 ´º º µ M (x, y) ¸ ´º ºµ º ¸ r1 = F1 M ¹ ¹ ´ º º µº þ r2 = F2 M º ½¿ ´ º º µº M (x, y) ´º ºµ ¸ ¹ ¹ º ¹ ¹ �y 2 = b2 x2 −1 a2 r1 = F1 M = x2 − 2cx + c2 + a2 x2 −1 a2 = (c2 − a2 ) c2 2 x − x2 − c2 + a2 = a2 x < 0¸ 2 c a− x a a− ¸ c x>0 a = a− ¸ x2 ≥ 1º a2 ü ¸ c c x = a − xº a a c x. a y2 x2 = 1 + a2 b2 x > 0 x>0 c xº a r2 = |a + ¸ x>0 a− c c x ≤ a− a = a−c < 0 a a c c x = −a + xº a a r1 = −a + º |x| ≥ 1º a ¸ a− c x a r1 = a − ´º ºµ x ≥ aº a− ¸ x<0 x > 0º ¸ c2 2 x − x2 − c2 + a2 º a2 (x − c)2 + y 2 = c2 − 2cx + 2 x2 = a ¸ = ´º º µ c x| a x<0 ¸ r2 = −a − r2 = a + ½¿ c xº a c x¸ a �½µ x < 0¸ r1 = a − c x, a c x a ´º º µ r2 = a + c xº a ´º º µ x > 0¸ ¾µ r1 = −a + ½µ ¾µ r2 = −a − ´ º º ½µ x < 0¸ |r1 − r2 | = |(a − x > 0¸ c c x) − (−a − x)| = 2a a a |r1 − r2 | = |(−a + ¸ M (x, y) ¸ c x, a c c x) − (a + x)| = 2a. a a ´º º µ ¸ ´ º º µ¸ º ¸ M (x, y) ¸ º ¾º ½º º ´º ºµ º M (x, y) º x y ¸ ¸ (±x, ±y) ¹ M (x, y)¸ ¸ ¹ ¸ º º ½¿ ¹ ¹ �¾º þ ¸ ºþ ¸ ¸ Ox¸ ¸ x2 y 2 − 2 = 1, a2 b º ¸ Oy º ¿º ¸ º b |x| ≥ a¸ ¸ ¸ º º A1 A2 B1 B2 ¸ B1 B2 B1 (0, b)¸ B2 (0, −b)¸ a ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ ´º ºµ ¸ º ¹ x = a¸ x = −a, ºÿ º ¸ ´º ºµ x2 ≥ 1º a2 x ≤ −a¸ x ≥ aº M (x, y) ¸ ´º º µ y = 0. A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º x = 0¸ Oy ¸ ´º ºµ ¸ ¹ º y ¸ y = kxº ¸ ¹ º ¹ x2 k 2 x2 − 2 = 1, a2 b x2 (b2 − k2 a2 ) = a2 b2 . ½¿ ´ º º ½¼µ �½µ b2 − k2 a2 ´ º º½¼µ¸ > 0¸ º º |k| < ab º ab x1,2 = ± √ . 2 b − k2 a2 þ C1 ¹ ¸ kab ab √ ,√ 2 2 2 2 b −k a b − k 2 a2 ¸ C2 ¸ − kab − ab √ ,√ 2 2 2 2 b −k a b − k 2 a2 Ø α¸ Ox ´− π2 < α < π2 µ¸ Ø k − y = ±b º ´ º α b α< ¸ a ¹ ¹ ´ º º ½½µ ¸ x = ±a¸ b b < tgα < . a a ¸ º ¾µº º º ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ 1 2¸ ¸ Oxº OA1 = OA2 = a¸ OB1 = OB2 = b¸ Ø α1 = b b ¸ Ø α2 = − aº ¹ a ´ º º½½µ tg α2 < tg α < tg α1 º α1,2 º ¾ ¸ ¸ ´ º º ½¾µ ¹ α2 < α < α1 . 1 ½¿ ¸ 2 �¾µ Ox C1 ¸ C2 º b2 − k2 a2 = 0¸ º º |k| = ¸ ¸ k= ± ab ¸ ¸ ¸ ¸ b a ¹ º ´ º º½¼µ ¸ ¸ º 1 ¸ ¸ ½¸ k> ¸ k < − ab º b a α1 ¸ α2 1¸ ºü ¸ ¹ ¹ ¹ 2 ´ º º ½¿µ ¹ ¹ α < α2 . 1 Oy ¸ y= ´ º º½¼µ ¸ ºþ α ¸ 1 ¹ ¹ ¸ α > α1 ¸ º 2 ¸ º ¿µ b2 − k2 a2 < 0¸ º º |k| > ab º ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ 2 º º¾ º ü 2¸ ¹ ¹ ´ º º½ µ b y = − xº a b x, a ¾ º ½¼ ¸ �¸ ´ º½ º ø ¸ ¸ ¹ µº ´ º º ¿µº ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ M (x, y) ´x > 0¸ º ¹ p¸ ¹ M (x, y)¸ º y ≥ 0µ 1 º ¸ N ´ º º½ Ox N (x, y ) p º M p¸ ´º º µ º ¿ Oy ¸ ¹ M 1 N b√ 2 b y= x − a2 ¸ y = xº a a √ y > y¸ x > x2 − a2 º þ √ b√ 2 b b MN MN = x − x − a2 = (x − x2 − a2 ) = a √a a √ a2 b (x − x2 − a2 )(x + x2 − a2 ) b √ √ · = · = a a x + x2 − a2 x + x2 − a2 ab √ x + x2 − a2 ab √ = 0. x→∞ x + x2 − a2 M lim ¸ MN º M ½½ ¹ �1 1 M L¸ ´L M º º ∞º ý ¸ ¸ µº ¸ ø º º x2 y 2 − = 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ a2 b2 ¸ √ b 2 2 y = a x −a ¸ x a ∞¸ y ¸ ¸ ¸ ´ º ï ML < MN MN º ½º þ ½¾ ¹ ¸ ¹ ¹ y ¹ [a, ∞)º 0 A1 ¸ A2 º º µº ¹ �º½ º ¸ ¸ F m p ¸ ¸ ¸ ¸ º þ ´ º º µº FK m Oij O j⊥iº KF = p¸ F ( p2 , 0)¸ M (x, y) º x+ 2p = 0º (x − º½ y2 + ¹ ¸ d = |x + ¸ p 2 2 + y2 = x + M (x, y) ½¿ º p 2| º ´ º º ½µ F M = d, x− ¹ ¹ −−→ KF ¸ i ↑↑ OF ¸ ¸ d ¹ ´¿º½ º½µ ´¿º¾ º½µ ¹ p 2 2) F ¹ ¹ ¹ FM FM = º ¹ ¹ ¹ p . 2 ´ º º ¾µ ´ º º¾µº þ ¸ �M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º x− 2 p 2 + y2 = x + p 2 2 . ´ º º ¿µ y 2 = 2pxº ¸ M (x, y) ´ º º¿µº ¸ ´ º º¾µ ´ º º¿µ º r = FMº þ r = FM = x2 + px + p2 4 M (x, y) ¸ º ¸ x− = ¸ ´ º º¿µº þ p 2 2 x+ + y2 = p 2 2 ´ º º¿µ¸ x2 − px + º ´ º º½µ = x+ º º¿ ¸ p2 4 º ´ º º¿µ º ¹ ¹ + 2px = p 2 º ¸ º ¸ ¸ ½ ¸ M (x, y) ¾º ½º ¹ ¹ ¹ ´ º º¾µ ºþ y �¸ M (x, y)¸ ¸ (x, −y) M (x, y) ¾º þ ¸ Oxº Oxº ºþ ¸ ¹ ¹ ¹ º ¸ Ox¸ y 2 = 2px, y = 0. O(0, 0)º º º ¿º p 2 M (x, y) º ¸ Fº º ´ º y = kxº º ´ º º¿µ Oy º OA ´ º º¿µ ¸ x ≥ 0, Oy ¸ ¹ ¹ ¸ º µº ´º º µ ¸ ¸ ¹ ¸ y ¹ ¹ ¸ (kx)2 = 2px, x k2 x − 2p = 0. x1 = 0, x2 = ½ 2p . k2 º ´º º µ �¸ ¸ º 0 ´ L( k2p2 , O(0, 0) º º y 2 = 2px¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ ¸ √ y = 2px¸ ¸ x 0 ∞¸ y ∞º ý Oy º Ox¸ ´ º µº ¹ º 2p k ) ¸ ¹ y ¹ [0, ∞)º ¹ ¸ y m K Oy µ¸ . j O i . F x º º ºþ ¹ y 2 = −2px, ´º º µ x2 = 2py ¸ ´º º µ x2 = −2py º ´º º µ ½ �´º ºµ ¸ F x− ´º ºµ ´ ´ 0, º p 2 −−→ OF y+ º µº µº º ¸ = 0º þ º 0, p 2 0 ¸ ¹ ¹ ¹ µº ¹ y + p2 = 0 Oy F ¹ ¸ ¸ ¹ ´º ºµ º ¸ ´ F F º ï =0 ¸ ¸ j p 2 p 2 − p2 , º ¸ º½ º ¸ º c < a¸ º ´ º º µ ´ º º µ¸ ½ = ¹ c a ¸ c > a¸ ¹ ¸ ¹ ´º º µ ´º ºµ �º r2 = a + x. ´ º º ½µ r2 = −a − x ´ º º ¾µ r2 = a + xº ´ º º ¿µ r1 = a − x, ½µ r1 = a − x, ¾µ r1 = −a + x, º¾ º x− a m1 = 0, x+ ´ º º½µ Oy a a ¸ º ¸ º A1 ¸ m2 ¸ a ¸ 2a A1 a A2 , º½ º ´ ¸ ¸ ´º º µ = 0. ¸ ¹ ¹ ¹ º A2 , ¸ a ¸ ¸ ¸ ºµ ø ½ ¹ ¹ ¹ º �º ¸ º M (x, y) µº ´ º º½ º º¿µ ´ ¸ ´ï ¸ ï µ¸ º ½¸ ¸ r1 = |a − x|, ´º º µ r2 = |a + x|. M (x, y) m1 ´¿º¾ º ½µ d1 = x − a = x−a = µ | x − a| d2 = , ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ | x + a| . m2 ´º º µ ´ º º µ ´ º º µ¸ |a − x| r1 = = d1 | x − a| |a + x| r2 = . = d2 | x + a| ¸ ¸ º º½ ¸ º Φ M F < 1¸ ï ¼º º ¸ ¸ ¸ ½ ¹ m Φ = 1º ¸ >1 ¸ º ¸ ¸ �F º º ¸ Φ ´ º FK ¸ µº º º F¸ F¸ L1 F FK ºþ Φº ¹ m¸ K ¸m F F L1 ¹ m L2 ¸ L1 F m = LF2KF = −−→ KF º mº L2 F p FK = ´ ¸ ¹ F, i F K¸ i F Φ ¸ ¹ F Kº ¹ p Φº L1 L2 º½ µº ¹ F Kº ´ º ¼º ½µ p FK = . Φ¸ (ρ, ϕ) MH M º E º½ F M = M H. ½¼ m MH . ¹ ´ º ¼º ¾µ �FM = ρ −−→ ∠(i, F M ) = ´ º ¼º½µ¸ ϕº þ M H = M E + EH = M E + F K = F M cos ϕ + F K = ρ cos ϕ + p ´ º µº M H = M E − EH = M E − F K = −F M cos ϕ − F K = º µº −ρ cos ϕ − p ´ ¸ ¸ Eº H F K + F M cos ϕº µ µ¸ ´ º ¼º¾µ¸ þ ϕ> M cos ϕ < 0 M H = HE − M E = ¸ M H = ρ cos ϕ + p º ρ = (ρ cos ϕ + p ) = ρ cos ϕ + p, ρ úû ú·û ¸ º 90◦ , ρ = − ρ cos ϕ + pº ¹ ρ= p ¸ 1 − cos ϕ ´ º ¼º ¿µ ρ= ±p 1 − cos ϕ ´ º ¼º µ ¸ º M ´ º ¼º µº ½½ Φ¸ ´ º ¼º¿µ º �ï ½º ¸ ½º½ º ¸ M0 M0 M ¸ M0 ´ M º ¼µº ¸ ¸ y = M0 (x0 , y0 ) f (x0 )º ü M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º ½µ ¹ ¹ x = g(y)¸ ´ º ½º ¾µ x − x0 = g (y0 )(y − y0 ). º ¸ ¸ ¹ ¹ f (x)¸ ¹ y − y0 = f (x0 )(x − x0 ). º ¼ ¹ ¸ ¹ º x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ´ º ½º ¿µ ¸ M0 (x0 , y0 ) ⎧ ⎨y = b 1 − x22 , a ⎩y = −b 1 − x2 , a2 ½¾ y0 = 0º y0 > 0, y0 < 0. þ ¹ �y0 > 0º þ k k=− x0 b a2 1− x20 a2 ´ º ½º µ . M0 (x0 , y0 ) x20 y02 + 2 = 1. a2 b 1− ¸ ¸ ´ º ½º µ x20 y02 = 2º a2 b k=− ¸ ¸ k ´ ½º µ x0 b2 . y0 a2 ´ º ½º µ ¸ y − y0 = − x0 b2 (x − x0 ). y0 a2 º xx0 yy0 + 2 − a2 b º x20 y02 + 2 a2 b þ ¸ y02 b2 ½¿ ¹ ´ º ½º µ xx0 yy0 + 2 = 1. a2 b y0 < 0¸ ¸ = 0. ´ º ½º µ¸ ¸ y0 b2 = − yb0 ¸ kº �0¸ þ M0 (x0 , y0 )¸ x = ±a x0 < 0º ´ º ½º¾µ ü ú·û 1− ¸ x0 = y2 , b2 x0 > 0¸ ú û¸ ¹ ´ º ½º µ º x0 ¸ y0 M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º µ xx0 yy0 + 2 = 1º a2 b x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´ º ½º µ xx0 yy0 − 2 = 1º a2 b ´ º ½º µ º x= y2 . 2p ´ º ½º ½¼µ M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º¾µ x − x0 = y0 (y − y0 ) p ½ ´ º ½º ½½µ �yy0 − y02 + px0 − px = 0. M0 (x0 , y0 ) þ ¸ ¸ y02 = 2px0 º yy0 = p (x + x0 )º ï ¾º µ ¸ º ¾º½ º ´ ¸ ´ º ´ ¾º¾ º ´ ¾º½ º ¹ ¸ µº ¸ ¸ ¸ µº µ ´ ´ º ½º ½¾µ µ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ º º ´ º ½ µº ¹ x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ´ º ¾º ½µ y = kx + b, ´ º ¾º ¾µ ½ �º ¸ k ¹ ¹ b M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 ) º ¹ ´ º ¾º½µ¸ M1 ¸ M2 ´ º ¾º¾µ¸ º º x21 y12 + 2 = 1, a2 b x22 y22 + 2 = 1, a2 b y1 = kx1 + b, þ y2 = kx2 + b. ´ º ¾º µ ´ ¾º µ¸ ´ º ¾º ¿µ ´ º ¾º¿µ¸ x22 − x21 y22 − y12 + =0 a2 b2 ´ º ¾º µ¸ M (x, y) ´ º ¾º µ ¹ ´ º ¾º µ x1 + x2 k(y1 + y2 ) + a2 b2 Oy º x1 + x2 k(y1 + y2 ) + = 0. a2 b2 M1 M2 º x1 + x2 = 2x, y1 + y2 = 2y. ´ º ¾º½¼µ ky x + 2 = 0, 2 a b ½ µ µ µ µ ´ º ¾º µ y2 − y1 = k(x2 − x1 ). (x2 − x1 ) ´ º ¾º ´ º ¾º ´ º ¾º ´ º ¾º = 0. x2 − x1 = 0 ´ º ¾º µ ¹ ´ º ¾º ½¼µ ´ º ¾º µ ¹ �y=− b2 xº ka2 ´ º ¾º ½½µ ´ º ¾º½½µ ¸ ¸ º º ¸ ¹ ¹ k k k =− Ox ÿ ´ º ¸ ¸ b2 ka2 º ´ º ¾º ½¾µ Oy ¸ M1 ¸ M2 ¸ Oxº ¸ ¹ ¹ º ¸ º ½ µ x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´ º ¾º ½¿µ ¸ k ¹ k k = ´ b2 ka2 ´ º ¾º ½ µ ¹ º ½ µºº y 2 = 2px ´ º ¾º¾µº º ´ º ¾º ½ µ ¹ ¸ M1 (x1, y1)¸ M2 (x2, y2) ½ �¹ º ´ º ¾º½ µ¸ ¹ M1 ¸ M2 ´ º ¾º¾µ¸ º º ´ º ¾º ½ µ ´ º ¾º ½ µ y12 = 2px1 , y22 = 2px2 ´ º ¾º µ¸ ´ º ¾º µº þ ´ º ¾º½ µ ´ º ¾º½ µ ´ º ¾º µº k(x2 − x1 )(y1 + y2 ) = 2p(x2 − x1 ). Oy º x2 − x1 = 0 ´ º ¾º ½ µ ¹ k(y1 + y2 ) = 2p. M1 M2 º M (x, y) ´ º ¾º½¼µ ´ º ¾º½ µ ky = p, y= ´ º ¾º½ µ Ox ´ º Ox º p = k ´ º ¾º ½ µ ¸ µº ¸ ÓÒ×غ Oy ¸ ¸ ¸ ½ M1 ¸ M2 ¹ �¾º¿ º µ y = kx ´ º ¾º ½ µº k ´ µ¸ k º ¾º½ ´ y = kx ¸ ¹ ¹ ¹ ´ º ¾º½¾µ¸ ¸ ¹ ¸ º ¾º º þ ¹ º ÿ ¸ º ï ¿º ¿º½ º ¹ ¸ Oij a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0º ´ º ¿º ½µ ½ �¸ a11 ¸ a12 ¸ a22 ´ º ¿º½µ ´ º ¿º½µ º º º ¸ ¹ ½º O ij º Oi j ´¾º½ º ¿µ ´ º ¿º½µ γ ¸ O ij ϕº x = x cos ϕ − y sin ϕ, ¹ ´ º ¿º ¾µ y = x sin ϕ + y cos ϕ, ´ ¿º½µº a11 (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + 2a12 (x cos ϕ − y sin ϕ)(x sin ϕ+ y cos ϕ) + a22 (x sin ϕ + y cos ϕ)2 + 2a13 (x cos ϕ − y sin ϕ)+ 2a23 (x sin ϕ + y cos ϕ) + a33 = 0. aij ´i, j ¸ aij ´ º ¿º ¿µ = 1, 2, 3µº þ ¹ −a11 cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + a22 cos ϕ sin ϕ = 0º (a22 − a11 ) cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) = 0. ´ º ¿º µ ¸ tg 2ϕ = 2a12 . a11 − a22 ½¼ ´ º ¿º µ �¸ ´ º ¿º µ ºþ ´a12 = 0µ¸ a11 − a22 ϕ = 45◦ º 90◦ , ¸ ´ º ¿º µ¸ xy¸ 2 Oi j ϕ¸ O ij ´ º ¿º µ¸ ¸ 2ϕ = ¸ ¹ γ º º ´ º ¿º µ 2 a11 x + a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0. þ cos ϕ sin ϕ 1 cos ϕ = 1+ tg2 2ϕ tg 2ϕ sin ϕ = , ´ º ¿º µ 1 + tg2 2ϕ º ´ º ¿º¾µ¸ ¹ ¾º ¹ ´ º ¿º µº þ ½º ¾º a11 a22 a11 º a13 ¿º a11 = 0º þ a11 a13 ½ º a22 ¸ º a22 ´ º ¿º µ x yº x¸ ¸ y 2 2 (a11 x + 2a13 x ) + (a22 y + 2a23 y ) + a33 = 0º a11 a22 º a11 = 0º ¸ ¹ ¸ ¸ ½½ ¸ �x2+2 a11 a13 (a )2 a (a )2 x + 13 2 +a22 y 2 + 2 23 y + 23 2 +a33 − a11 (a11 ) a22 (a22 ) (a13 )2 (a23 )2 − =0 a11 a22 2 a x + 13 a11 a11 + a22 a y + 23 a22 2 + a33 − (a13 )2 (a23 )2 − = 0. a11 a22 ´ º ¿º µ þ x =x + a33 = a33 − ´ º ¿º µ a11 x 2 a13 , a11 y =y + (a13 )2 (a23 )2 − . a11 a22 + a22 y 2 ´ º ¿º ½¼µ + a33 = 0. ´ º ¿º½¼µ γ Oi j ¹ ¸ ´ º ¿º µº Oi j a − a13 , 11 O þ ¾ ´ º ¿º µ a23 a22 ´ º ¿º µ º ¹ a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0. ´ º ¿º ½½µ y¸ ¹ 2 þ a22 a − a23 22 y + a23 a22 2 + 2a13 x + a22 a33 − (a23 )2 2a13 a22 ½¾ = 0. ´ º ¿º ½¾µ �þ x =x + a22 a33 − (a23 )2 , 2a13 a22 y =y + a23 . a22 ´ º ¿º ½¿µ ´ º ¿º½¾µ a22 y 2 ´ º ¿º ½ µ ¹ + 2a13 x = 0. ´ º ¿º½ µ γ Oi j ¸ ´ º ¿º½¿µº ¹ Oi j O − þ a a22 a33 − (a23 )2 , − 23 2a13 a22 a22 ¿ . ´ º ¿º µ 2 a22 y + 2a23 y + a33 = 0. þ y¸ a22 y + a23 a22 2 + a33 − (a23 )2 = 0. a22 ´ º ¿º ½ µ ¹ ´ º ¿º ½ µ þ x =x, a33 = a33 − a22 y y =y + (a23 )2 º a22 2 + a33 = 0. ½¿ a23 . a22 ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º½ µ ´ º ¿º ½ µ �´ º ¿º½ µ γ Oi j ¹ ¸ ´ ¿º½ µº Oi j 0, − O ï a23 a22 º º º½ º ¹ º º ¹ ¹ ´ º ¿º ½¼µ¸ ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º ½ µ¸ Ax2 + By 2 + C = 0, 2 By + 2Cx = 0, (A = 0, B = 0); (B = 0, C = 0); 2 By + C = 0, B −C ¹ ½º = 1 b2 A −C A −C >0 (B = 0). ´ º º½µº B x2 + −C y 2 = 1º B −C > 0¸ ´ º º ½µ ´ º º ¾µ ´ º º ¿µ C = 0º A −C = 1 , a2 A −C = 1 , a2 x2 y 2 + 2 = 1. a2 b B −C ¾º = − b12 A −C >0 B −C º < 0¸ x2 y 2 − 2 = 1, a2 b ½ �− A −C ¿º 1 B , −C a2 < 0¸ A −C =− B −C º >0 B −C < 0 1 . b2 < 0¸ A −C º = x2 y 2 + 2 = −1. a2 b º ´ º º½µ Ax2 + By 2 = 0º A > O¸ B < O¸ º B = − b12 C = 0¸ º º A = 1 a2 , x2 y 2 − 2 = 0. a2 b x a ¸ º B= º º 1 b2 + ¸ ¸ y b x2 a2 x a ¸ − y2 b2 − ¹ y b. ¹ =0 A > O¸ B > O¸ A = 1 , a2 x2 y 2 + 2 = 0. a2 b ¸ ´ º º½µ¸ º ½ ¸ º ¹ �º C xº −2 B C B ´ º º¾µº < O¸ C B y2 = = −p y 2 = 2px, C B º > O¸ C = 0º ´ º º¿µº C 2 y + B = 0º C < 0 ¸ B º C B º = −b2 y 2 − b2 = 0. y+b = 0 ¸ º º º C B ¸ ¸ y − b = 0. ¸ y 2 − b2 = 0 > 0¸ C B ¹ ¹ ¹ ¹ = b2 y 2 + b2 = 0. º ´ º¿µ C By 2 = 0º ´ º º¿µ¸ = 0¸ º º º º ¸ º ½ ¹ B = 0¸ y 2 = 0¸ þ ¸ º ´ º º¾µ �º º ¾ ½ �ÿ ï º ½º º ¸ ¹ º½ º ¸ ¸ º ¹ a γ¸ ´ γ F (x, y) = 0 k¸ F (x, y) = 0 Oij ¸ ¹ ¹ º ¿µº Oxy ¹ ¹ O ij k º �γ F (x, y, z) = 0, Ax + By + Cz + D = 0 Oij k ¸ º º F (x, y, z) = 0 By + Cz + D = 0¸ Ax + a(a1 , a2 , a3 )¸ ¹ ¹ º M (x, y, z) ¸ º ¿ γ M1 (x1 , y1 , z1 )º ´¿º¿ º ¾µ x = x1 + a1 t¸ y = y1 + a2 t¸ z = z1 + a3 tº x1 = x − a1 t¸ y1 = y − a2 t¸ z1 = z − a3 tº ¸ M1 ∈ γ ¸ γ ¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x − a1 t) + B(y − a2 t) + C(z − a3 t) + D = 0º t= ¹ º ¹ ¹ ¹ ¸ Ax + By + Cz + D . Aa1 + Ba2 + Ca3 F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸ F x − a1 Ax + By + Cz + D Ax + By + Cz + D , y − a2 , Aa1 + Ba2 + Ca3 Aa1 + Ba2 + Ca3 Ax + By + Cz + D z − a3 = 0. Aa1 + Ba2 + Ca3 ½ ´ º º ½µ �º ¾º ´ º½µ ¹ º¾ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º 2 2 2 2 2 2 2 2 ¸ Oz ¸ µ ½º xa ¾º xa ¿º xa º xa º xa º ¹ ´ ¹ ¹ Oxy 2 + yb2 = 1 2 − yb2 = 1 2 + yb2 = −1 2 − yb2 = 0 + yb2 = 0 ¹ º y2 = 2px º y2 − b2 = 0 º y2 + b2 = 0 ¹ 2 2 2 º º y2 = 0 ï ¹ º ½º º ½¼ �º½ º ¸ S¸ ´ ¸ ¸ ¸ γ¸ º µº ¹ ¹ º γ F (x, y, z) = 0, Ax + By + Cz + D = 0 Oij k ¸ F (x, y, z) = 0 ´ º º Ax + By + Cz + D = 0¸ S(x0 , y0 , z0 )¸ º M (x, y, z) º µº ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ γ M1 (x1 , y1 , z1 )º x = x0 + (x1 − x0 )t¸ y = y0 + (y1 − y0 )t¸ z = z0 + (z1 − z0 )tº º x1 = x0 + 1t (x − x0 )¸ y1 = y0 + 1t (y − y0 )¸ z1 = z0 + 1t (z − z0 )º ¸ M1 ∈ γ ¸ γ¸ ½½ ¸ ¹ ¸ �Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x0 + 1t (x − x0 )) + B(y0 + 1t (y − y0 )) + C(z0 + 1t (z − z0 )) + D = 0º Ax0 + By0 + Cz0 + D 1 =− . t A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 + D (x − x0 ), A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D (y − y0 ), y0 − A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D (z − z0 ) = 0. z0 − A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) F x0 − ´ º º ½µ ¹ ´ º º½µ º ¾º º¾ º ¸ ¸ º S γ ´ 0¸ z − h = 0¸ ½º µ ¸ Oxy, F (x, y) = 0 ´ º ½ µº γ ´ º º½µ 2 (− hz y)2 (− −h z x) + = 1, a2 b2 ½¾ ¸ º ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ π¸ F (x, y) = �z2 x2 y 2 + − = 0. a2 b2 h2 h=c x2 y 2 z 2 + − = 0¸ a2 b2 c2 ¾º ´ º º ¾µ ¹ ¸ º ºü γ x2 y 2 z 2 − 2 − 2 = 0, a2 b c ¿º þ ¸ ¸ ¸ º γ x2 y 2 z 2 + + = 0¸ a2 b2 c2 º ¸ ¹ γ ¸ ´º º µ º ¸ ¹ ¹ x2 y 2 − = 0º a2 b2 º ´ º º¾µº ´ º º ¿µ ¸ º ¹ ¹ γ ½¿ ¸ ¹ �x2 y 2 + = 0¸ a2 b2 º ´º º µ ¹ º ¸ γ y2 π ´ º º½µ 2 h − y z = −2p ¸ ¹ −h x, z γ ´ º º½µ h − y z ¸ ¹ ´ º º¾µº º 2 y2 − b2 = 0º ¹ þ − b2 = 0, z2 y2 − = 0. b2 h2 º ¸ ¸ = 2pxº p y 2 = 2 xz. h ¸ ºü ¹ ¸ ¸ ¸ z2 y2 + = 0. b2 h2 ½ ¹ �ºþ ¹ ¸ y 2 = 0º ´º º µ ¸ ¸ ´ º µ¸ ´ º º µ¸ ¸ π¸ º º ¸ ¹ º ´ ´ ¹ ´ º º µº ¸ ¸ ´ º º¾µ¸ ´ º º¿µ¸ µº ¹ ¹ º µ π¸ º ½ π¸ ´ º µ º ¹ ¹ �ï º ½º º½ º ¸ ¸ ¸ ´ m¸ ¸ º µº ¹ ¸ ¸ þ m¸ º º º ¸ Oxyz Φ¸ ¸ ¸ m S º S¸ º Oz ½ ¹ ¹ ¹ ¹ m¸ º º Oxz ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ γ¸ ¹ x = ϕ(z)º �M (x, y, z) K Φº π¸ ¸ Φ (0, 0, z)¸ Oz M1 (ϕ(z), 0, z) γº KM1 ¸ π ´ º º ½µ º¾ º ½º º Φ γ ¸ x2 a2 x2 = a2 1 − z2 c2 º + z2 c2 ´ ¾º þ − z2 c2 º µº γ = 1º ¹ Oxz = 1º Oz ¸ x2 y 2 z 2 + + =1 a2 a2 c2 x2 a2 ¹ ¸ º γ ¸ Oxz ¸ x2 y 2 z 2 + − =1 a2 a2 c2 ½ ¹ KM = KM1 x2 + y 2 = (ϕ(z))2 º ¾º Oz º ´ º º ¾µ ¸ ¹ ¸ Oz ¸ ´ º º ¿µ �´ º ¿º µº ¸ γ Oxz x2 z2 − a2 + c2 = 1¸ Oz ¸ ¹ ¸ x2 y 2 z 2 + − = −1 a2 a2 c2 ´º º µ ¸ µº º ¸ x2 a2 ¸ ¹ ´ º + z2 c2 Oxz = −1º Oz ¹ x2 y 2 z 2 + + = −1º a2 a2 c2 2pz ¸ º ¸ Oxz ¸ ´ º º x2 = Oz ¸ ¹ ´º º µ º ½ ´º º µ µ x2 + y 2 = 2pz º º ¹ ¹ ¹ Φ γ º �º x2 a2 Oz ¸ γ 2 − zc2 Oxz = 0¸ ¹ x2 y 2 z 2 + − =0 a2 a2 c2 ´º º µ º º x2 a2 γ 2 + zc2 = 0 Oz ¸ ¹ Oxz ¸ x2 y 2 z 2 + + =0 a2 a2 c2 º ¸ x2 − a2 x2 +a2 = 0¸ ï ´º º µ º =0 Oxz ¸ ¸ ¹ ¹ Oz ¸ ¹ x2 + y 2 = a2 ¸ ´º º µ x2 + y 2 = −a2 º ´ º º ½¼µ º ½º ½ �º½ º ¸ ¹ ¹ x2 y 2 z 2 + + = 1º a2 b2 c2 º ´ º º ½µ Oy ¸ ´ º º¾µ ⎧ ⎪ ⎨x = x, 2 y = ab 2 y, ⎪ ⎩ z = z. ´ º º ¾µ ´ º º½µ ¸ a=b=c ½º þ a ¸ b¸ c º aº a ¸ b¸ c ¸ ´ ´ µ º µº µ´ ¹ º ¸ z O º ¾º A1 (a, 0, 0) A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0) ½¼ B2 (0, −b, 0)¸ �C1 (0, 0, c) ¹ º C2 (0, 0, −c) ¿º ´ º º½µ M (x, y, z) ¸ −a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c, º º −a¸ y = b ºþ y = −b¸ z = c ¸ x=a z = −cº t1 = º 1 m2 a2 + n2 b2 + p2 c2 ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), −1 t2 = m2 a2 + n2 b2 + p2 c2 º y2 z2 x2 z 2 x2 y 2 + = 1, + = 1, + 2 = 1. a2 b2 b2 c2 a2 c Oxy þ ´ º º½µ z h h2 x2 y 2 + = 1 − . a2 b2 c2 þ µ ´º º µ π¸ º z = hº x= ´ º º ¿µ x = mt, y = nt, z = pt, M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), ¸ π ¸ 1− h2 c2 > 0¸ º º ½½ |h| < c ¹ ¹ �µ ´ |h| = c C2 ¸µ C1 µ ü ¸ ¸ 1− ¸ º º ý h2 c2 1− < 0¸ º º ¸ ¸ ¸ º h2 c2 = 0¸ |h| > cº ¹ ¸ ´ º º ½µ M0 (x0 , y0 ¸z0 ) ¸ º ¸ ¸ º º ½¾ ¸ ´º º µ ¸ ¹ Ax + By + Cz + D = 0 ¸ x = a2 At, y = b2 Bt, z = c2 Ct. þ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) a1 x a2 y a3 z + 2 + 2 = 0. a2 b c ¸ º ´º º µ x0 x y0 y z0 z + 2 + 2 = 1. a2 b c ¸ º º ¹ ´º º µ ¹ �¾º º¾ º ¹ ¹ ¸ x2 y 2 z 2 + + = −1º a2 b2 c2 º ï º ´º º µ ´ ºµ ´ º¾µº Oy ¸ ÿ º½ º x2 y 2 z 2 + − = 1¸ a2 b2 c2 a b º º¾ º ´º ºµ bº ¹ ´ º º ½µ ¸ x2 y 2 z 2 + − = −1¸ a2 b2 c2 a ¹ ¸ ¸ Oy ´ º º¾µº ½¿ ¹ ´ º º ¾µ ´ º º¿µ¸ a = b¸ �º ½º ½º » ´ º º ½µ¸ ¸ ´ ´ µ µº ¾º A1 (a, 0, 0)¸ A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0)¸ B2 (0, −b, 0)¸ C1 (0, 0, c)¸ C2 (0, 0, −c) Ox Oy º Oy ¿º ´ º º½µ M (x, y, z) Oz º ¹ º Ox ¸ ¹ x2 y 2 + 2 ≥ 1, a2 b º º 1º 2 x2 + yb2 a2 º ¸ º ¸ º º x = mt, y = nt, z = pt ¸ ´ º¿µ ´ º½µ¸ t t2 m2 n 2 p 2 + 2 − 2 a2 b c º ½ ´ º º¿µ = 1. = ¹ ´ º º ¿µ ´ º º½µ º ¹ ¹ ¹ ´º º µ �µ m2 a2 2 + nb2 − > 0¸ p2 c2 M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), 1 t1 = µ 2 m2 + nb2 a2 m2 n2 a2 + b2 º µ − − p2 c2 p2 c2 ¸ ¹ t2 = ≤ 0¸ −1 m2 a2 + º ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), 2 2 m2 + nb2 − pc2 = 0 a2 2 2 (tm)2 + (tn) − (tp) a2 b2 c2 n2 b2 p2 c2 º t ¸ = 0, − ¹ ¸ x2 y 2 c2 + 2 − 2 = 0, a2 b c ¹ º ¸ ¸ ¹ M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), t1 = º ´º º µ 1 m2 a2 + n2 b2 − p2 c2 ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), t2 = −1 m2 a2 + n2 b2 ¸ º − p2 c2 º ¹ Oxy x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ½ ´º º µ �º Oyz x2 z 2 y2 z2 − = 1, − 2 = 1. b2 c2 a2 c º µ z = h ´ Oxy z º µº þ ´ º º½µ ¹ ´º º µ º Oz Oxz π¸ ¹ h h2 x2 y 2 + = 1 + . a2 b2 c2 h ¸ π a µ´ º 1+ h2 c2 º ≥ a b µ 1+ º h2 c2 º½µ ≥ b¸ ¹ ¹ ¹ ¹ σ¸ Oxz y = mº þ ´ º ¸ y m m2 x2 z 2 − = 1 − . a2 c2 b2 þ m2 b2 ¹ σ µ ¸ > 0¸ µ 1− Ox¸ |m| < b º º m2 b2 = 0¸ º º 1− |m| = b ½ ¸ º �µ ¸ ´ º µº ü Oz ¸ 1− m < 0¸ b2 2 ¸ |m| > b ω¸ Oyz, Oy ¸ º º ¹ ¸ ¸ ¸ Oz º ¾º ½º ´ º º ¾µ¸ ¸ ´ ¾º Oz ¸ Ox Oy ¿º º M (x, y, z) º º º º ¸ C1 (0, 0, c) Oz ´ º º¾µ ´ µ µº C2 (0, 0, −c), ¹ ¸ ¹ z 2 ≥ 1, ¸ º ´ º¿µ z=c º ¸ ¹ º ¹ z = −cº ¸ º º ¸ ´ º º¿µ ´ º º¾µ¸ ´ º¿µ ¹ ´ º¾µ º ¹ ¹ ¹ t t2 m2 n 2 p 2 + 2 − 2 a2 b c ½ = −1. ´ º º ½¼µ �¸ º ´ º º µ¸ M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), t1 = ¹ ¹ ¹ 1 2 n2 b2 −m a2 − ¸ º + p2 c2 ´ º º ½½µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), ¸ t2 = −1 2 −m a2 − n2 b2 + º ¹ º Oxy ¹ x2 y 2 + 2 = −1, a2 b º º Oyz p2 c2 º ´ º º ½¾µ ¹ Oxz − y2 z2 x2 z 2 + = 1, − + 2 = 1. b2 c2 a2 c ´ º º ½¿µ º π¸ ¹ Oz º µ z = h þ |h| = c ´ º ¼µº þ ´ º º½µ Oxy z h h2 x2 y 2 + = − 1. a2 b2 c2 ¸ ´ π h2 c2 − 1 > 0¸ º º C1 C2 ), ¸ h2 c2 ½ |h| > c h2 − 1 = 0¸ c2 − 1 < 0¸ º º º º |h| < cº �µ´ º ¼µ ¹ σ¸ y = mº Oxz þ ´ º º¾µ − y x2 z 2 m2 + = 1 + . a2 c2 b2 m σ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ Oz ¸ ü m ¸ Oxz. ¸ ω¸ º ¼ ¹ Oyz, Oz º ý º M0 (x0 , y0 , z0 ) x0 x y0 y z0 z + 2 − 2 = ±1. a2 b c ¸ ¸ ¸ º ¸ ´ º º ½µ¸ ´ º º ¾µ ´ º º½ µ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) a1 x a2 y a3 z + 2 − 2 = 0. a2 b c º ½ ´ º º½ µ ¸ ¸ �¸ ¸ ¸ º Ax + By + Cz + D = 0 ¸ x = a2 At, y = b2 Bt, z = −c2 Ct. ´ ¸ ´ µ¸ µ þ ¸ ¹ ´ º º½ µ ¹ º º ¸ ¹ º ï ¼º ¼º½ º ¸ x2 y 2 + = 2z ¸ a2 b2 a º a = b¸ bº ´º ºµ ´ º º¾µº º ½¼ ¹ ´ º ¼º ½µ ¹ Oy ¸ ¹ �¼º¾ º ÿ ¹ ¸ ¹ x2 y 2 − = 2z ¸ a2 b2 ´ º ¼º ¾µ bº a ºþ ¹ ¹ ½º º ½º ¸ µº ¾º Oxz ¸ º ¿º ´ ¹ Ox¸ Oy ¸ Oz O(0, 0, 0) º ´ º ¼º½µ M (x, y, z) º Oyz Oz ¸ z Oxy º ¸ ¸ º º º ´ º º¿µ ´´ º ¼º ½µµ º ¸ ´ º º¿µ ´ º ¼º½µ¸ 0, º º ¹ ¹ ¹ ´ º º¿µ t t t m2 n 2 + 2 a2 b ½½ − 2p = 0. ´ º ¼º ¿µ �¸ Oxy ´p = 0µ¸ 2mp P m2 a2 + n2 b2 , 2np m2 a2 + n2 b2 , ¸ ¸ O(0, 0, 0) 2p2 m2 a2 + Oº º n2 b2 ´ º ¼º µ . Oxy ´p = 0µ¸ P Oyz ¹ Oxy º Oxz ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ y 2 = 2b2 z, 2 2 x = 2a z. º ½µ π¸ z=h´ z h Oxy º ½µº þ ¹ ´ º ¼º ½µ ¹ x2 y 2 + 2 = 2h. a2 b þ µ µ µ ¾µ ¹ ¸ π h>0 O¸ ¸ h=0 h < 0º σ¸ y = mº ´ º ¼º½µ þ ¹ ¹ Oxz y ½¾ m º ½ �m2 x2 = 2z − , a2 b2 x2 = 2a2 z − þ σ A(0, m, m2 ) 2b2 m2 2b2 a2 ¸ . ´ º ¼º µº ´ º ¼º µ ´ º µº ´ º ¼º µ ¸ ´ º ¼º µ ¿µ ü º´ ¼º µ¸ ´ º ¼º µ¸ ´ º ¼º µ º ω¸ ¸ Oyz, ¹ b2 ¸ ´ º ¼º µº ¾º ÿ ½º ¾º ¿º Oxz ´ Oz O(0, 0, 0) Oyz ¸ µº º ¸ º ´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ º ¸ º º ¸ ´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ¸ ½¿ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ´ º º¿µ �t m2 n 2 − 2 a2 b t t ½µ m2 a2 − n2 b2 ºþ = 0¸ p = 0º þ ¸ 2np 2mp 2 m2 a2 − , n2 b2 m2 a2 − ¾µ ma2 − nb2 = 0¸ p = 0º ¸ º m2 n 2 ¿µ a2 − b2 = 0¸ p = 0º t = 0¸ µ pt) ´ º ¼º µ ¸ , n2 b2 2p2 m2 a2 n2 b2 º ¹ ´ º ¼º µ ¹ ¹ ¸ ºþ ¸ ¸ ¸ ¿ º ½ ¾ ½ º M (mt, nt, ´ º ¼º¾µ x2 y 2 − 2 = 0. a2 b ´ º ¼º µ¸ − ´ º ¼º µ m2 n 2 − = 0¸ p = 0º a2 b2 ¸ ´ º ¼º µ = 0. ¸ ¸ 2 − 2p ¹ ¹ ¸ ¹ ´ º ¼º µ ¸ �¾ Oxy º º ¸ ¹ Oxy º Oyz Oxz ´ º ¼º µ ´ º ¼º ½¼µ π¸ y 2 = −2b2 z, 2 2 x = 2a z. º ½µ z = h þ ´ ´ º ¼º¾µ Oxy º ¾µº z h x2 y 2 − 2 = 2h. a2 b þ π µ Ox¸ ¸ h>0 µ ¸ µ ¾µ ¹ ¹ h=0 ¹ Oy ¸ ¸ σ¸ y = mº þ ´ ¼º¾µ m2 x2 = 2z + , a2 b2 ½ º ¾ h| < 0º y Oxz m ¹ ¹ �x2 = 2a2 z + þ − σ a2 ¸ m2 ) 2b2 m2 2b2 . ¹ ´ º ¼º½¼µº ´ º ¼º µ ´ º ¾µº A(0, m, ¹ ¹ ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸ ¸ ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸ ´ º ¼º µ º ¸ º ¿µ ü ¸ ý b2 ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ´ º ¼º µº º ´ º ¼º½µ¸ ´ º ¼º¾µ ¹ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ ¸ ¹ ω¸ Oyz, ¸ ¹ x0 x y 0 y + 2 = z + z0 a2 b ´ º ¼º ½½µ x0 x y 0 y − 2 = z + z0 . a2 b ´ º ¼º ½¾µ ¹ ¸ º ½ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) ¹ ¹ �a1 x a2 y + 2 = a3 a2 b ´ º ¼º ½¿µ a1 x a2 y − 2 = a3 . a2 b ´ º ¼º ½ µ ¸ Oz ¸ ¹ Oz º ¹ x y ± = 0, a b ¹ Oz º ¸ ¸ x=− ¸ º Ax + By + Cz + D = 0 ¸ ¹ Bb2 Aa2 , y=− C C ´ º ¼º ½ µ Bb2 Aa2 , y= C C ´ º ¼º ½ µ x=− º º ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ Oz ½ ¹ �ï ½º ½º½ º ¸ º º½ ¸ º½ ¸ ¹ ¹ ºþ ¸ ¹ º ¹ ¹ º ´ º ½º x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1. a2 b c º ¿µ ´ º ½º ½µ y2 x2 z 2 − = 1 − a2 c2 b2 ¹ x z + a c x z − a c = 1+ ½ y b 1− y . b ´ º ½º ¾µ �⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α1 x z + a c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β1 1+ x z − a c = α1 y , 1− b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α2 x z + a c = β2 1− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β2 x z − a c = α2 y , 1+ b α1 ¸ β1 ý ¸ ´ º ½º µ ´ º ½º µ ¸ ¸ α1 ¸ β1 ¸ ¸ α2 ¸ ¹ ¹ º α1 ¸ β1 ¹ ¹ ´ º ½º¿µ ¹ ½ º º ´ º ½º¿µ¸ ´ º ½º µ ´ º ½º½µ º ´ º ½º¿µ ¸ α2 ¸ β2 y , b ´ º ½º¾µ ¸ β2 ¸ ´ º ½º ¿µ α2 ¸ β2 ¸ ´ º ½º µ¸ y , b = β1 º ¿ �º ´ º ½º¿µ ´ º ½º µ º ½º ¹ ¾º ¸ ¸ ¿º ¸ º º ¹ ¹ º ´ º ¾º ÿ x2 y 2 − 2 = 2z. a2 b x y + a b x y − a b ´ º ½º µ = 2z ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α1 x y + = 2z, a b ⎪ ⎪ x y ⎪ ⎩ − = α1 , a b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α2 x y − = 2z, a b ⎪ ⎪ x z ⎪ ⎩ + = α2 , a c ¾¼¼ º µ ´ º ½º µ ´ º ½º µ �º α1 ¹ α2 ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ α1 α2 ´ º ½º µ ´ º µº ½º p1 ´ º ½º µ ¹ ¹ ¹ ¹ º ´´¿º¿ º µµ p2 p1 º ´ º ½º µ ´ º ½º µ º ⎧ α α ⎪ ⎨ 1 x + 1 y − 2z = 0, a b ⎪ ⎩ 1 x − 1 y − α = 0, 1 a b ´ º ½º µ ⎧ α α ⎪ ⎨ 2 x − 2 y − 2z = 0, a b ⎪ ⎩ 2 x + 1 y − α = 0. 2 a b ´ º ½º µ 2 2α1 2 , − ,− ,− b a ab p2 2 2α2 2 ,− , b a ab ´ º ½º ½¼µ . α1 ¸ º ¾¼½ α2 �¾º x a þ − y b =0 ¸ π2 º x a + y b π1 = 0º α2 ´ º ½º µ ¿º ¿ ï ¼¸ ¸ ¸ α1 π2 ¸ p1 p2 ¹ ¹ º ¹ ¹ π1 ¸ π1 ¸ ´ º ½º µ ¹ π2 º ¹ ¹ ¸ x y ± =0 a b º º ´ µº ¸ ¹ ¹ ï ¾º ¹ a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x+ + 2a2 y + 2a3 z + a33 = 0. ´ º ¾º½µ ´ º ¾º ½µ ¹ ¹ º ¾¼¾ �¾º½ º x¸ y ¸ z µ ´ ´ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. − − y2 b2 y2 b2 =1 y2 b2 =0 13. x2 a2 + 14. x2 a2 x2 a2 x2 a2 = 2z x2 =0 15. 16. 17. ¸ º 2 2 x2 + yb2 + zc2 = 1 a2 y2 x2 z2 a2 + b2 + c2 = −1 2 2 x2 + yb2 − zc2 = 1 a2 2 2 x2 + yb2 − zc2 = −1 a2 2 2 x2 + yb2 + zc2 = 0 . a2 2 2 x2 + yb2 − zc2 = 0 a2 y2 x2 a2 + b2 = 2z 2 x2 − yb2 = 2z a2 2 x2 + yb2 = 1 a2 2 x2 + yb2 = −1 a2 x2 a2 x2 a2 ¸ º µ ¹ ¸ ¹ º º º º º º º =0 º º º º º º º =1 = −1 º ¾¼¿ º �º ¾¼ �[1] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1967. – Т. I. [2] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1970. – Т. II. [3] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1973. – Ч. I. [4] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – Москва : Просвещение, 1986. – Ч. I. [5] Бахвалов, С. В. Аналитическая геометрия / С. В. Бахвалов, Л. И. Бабушкин, В. П. Иваницкая. – Изд. 5. – Москва : Просвещение, 1965. ¾¼ �½ ¾ ï ½º ï ¾º þ ï ¿º ï º þ ï º ï º ï º ï º ï º ï ½¼º ï ½½º ï ½¾º ï ½¿º ï½ ºþ ï½ º º ºººººººººº ººº ºº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº ºººººººº ºººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº ººº ººººººººº ººººººººº ï½ ºü ï½ º ï½ º ï½ º ï ¾¼º ÿ ï ¾½º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºººººººººººººº ºººº ºººº º ºººººº ¾¼ ¿ ¿ ½½ ½¾ ½ ½ ¾¾ ¾ ¿¼ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¾ ¾ ½ ½ �¿ ï ¾¾º ï ¾¿º ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ºÿ ºþ º º º º ï ¿¼º ï ¿½º ï ¿¾º ÿ ´ µ ´ µ ºººººººººººººººººººººººººººº ¼ Ü· Ý· º ººººººººººººººººººººººº ºººººº ººººº ¾ ººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ Ü· Ý· Þ· º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¿ ï ¿¿º þ ï¿ º ï¿ º ï¿ ºþ ï¿ º ï¿ º ï¿ º ï ¼º þ ï ½º ï ¾º ï ¿º ï ºþ ï º ï ï ï ï º ºÿ º º ï ¼º ººº º ºººººººº ººº ººººººº ºººº º º º º º º º º ºº º ºº ºººººººº ºººººººººººººººººº ºººººººººººººººº ººººººººººººººººº ¸ ºººººººººººººººººººº ¸ ¸ ººººººººººº º º º º º º º º º º º º º ººººººº ººººººº ººººººº ¸ ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼ ½¼ ½½¼ ½½¿ ½½¿ ½½ ½½ ½¾½ ½¾½ ½¾¾ ½¾ ½¾ ½¾ º º ½¾ º º ½¿¿ ºº ½¾ ºº ½ ººººººººº ½ �ï ½º ï ¾º ï ¿º ¸ ¸ º º º º ºÿ ¼º ½º ï ¾º ºººº ½¾ ºººº ½ º ºººººººººººººººº ½ ºººººººº ½ ï º ï ï ï ï ï ï ï ¸ ¸ º ººººººº ºººººº ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½¼ ½ ½ ½¿ ½¼ ººººººººººººººººººººººººº ½ º º º º ¾¼¾ º º º º º º º º º º ¾¼ � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. задачи (геометрия). 5. решение задач. 6. плоскость (математика). 7. прямые (математика). 8. векторная алгебра. Description An account of the resource Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 207 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 13.12.2017 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf</a> аналитическая геометрия векторная алгебра Геометрия задачи (геометрия) Математика плоскость (математика) прямые (математика) решение задач http://books.altspu.ru/files/original/72/88/_.png 210728705699031fc9b258ea2e4695b2 http://books.altspu.ru/files/original/72/88/Lvova_.pdf 0027534d601c32c07ab8f98b2d62ab75 PDF Text Text ½ �þ ý ü þü ü ü ü ºþº þ ¾¹ ü ¸ ý ¾¼½ ÿ �УДК 514.144(075) ББК 22.151.32я73 Л891 Львова, Л.В. Проективная геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л.В. Львова. – 2-е изд., доп. – Барнаул : АлтГПУ, 2017. ISBN 978-5-88210-858-7 Рецензенты: Родионов Е.Д., доктор физико-математических наук, профессор (Алтайский государственный университет); Кизбикенов К.О., кандидат физико-математических наук, доцент (Алтайский государственный педагогический университет) Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Наряду с теоретическим материалом, изложение которого сопровождается многочисленными примерами решения задач, в пособие включен сборник задач. ____Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п., ссылки на внешние документы – приложения. Приложения можно открывать так же, как вложения, при этом происходит автоматический показ слайдов. Программа «Адобе Акробат» позволит установить необходимое время демонстрации каждого слайда. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 26.01.2017 г. Деривативное издание. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования 1. ПК с процессором Pentium 133 или более мощным. 2. Операционная система Microsoft Windows (для работы с русским интерфейсом операционная система должна обеспечивать поддержку кириллицы). 3. Требования к оперативной памяти зависят от используемой операционной системы: для Windows – не менее 16 МБ. © Алтайский государственный педагогический университет, 2017 �Объём издания – 70 250 КБ. Дата подписания к использованию: 27.04.17 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru �þ º þ ¹ ´½ ´½ ½ ½ µ ¹ µ¸ ¹ ü ÁÎ º º ¹ º¸ ´½ ¿ ½ ¾µº ¸ ¹ ´½ ¾¾µ ¹ ¸ ÿ ´½ µ ¹ º ´½ ¼ ½ µ ´½ ¼½ ½ µ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¹ º º º ½ ¸ ¹ º º ü üº º ´½ ´½ ¾½ ½ µ ¹ ½ ¾ µ ¹ ¹ º ¹ ¸ º ½ ¾ ¸ º ¿ ´ÿ ¹ �µ º º ÿ ¹ ¹ º þº º ´½ ¿ ºüº ü üº ½ ¼ µ º þ ¹ º ¸ ü ´½ ½ ¾½µ þ ´½ ¸ º ½ ¾¾µ ¹ ¸ ¸ ¹ º üº ¸ ºüº ÿ º ¸ º º ¹ º ¹ º þ üº º ¹ ¸ º º º ¹ º ´½ ¼µ ¹ ºüº ÿ º þ º �ÿ ½ ü þ þ ï ½º ½º½ º ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º Á I1 º º a¸ I2 º A B¸ A Bº A �B¸ ¸ A Bº I3 º º ¸ º I4 º A¸ B ¸ C ¸ ¸ º º I5 º A¸ B ¸ C ¸ ¸ º I6 º A α¸ I7 º B a α αº β A¸ Bº I8 º ¸ º I9 º ¸ ¸ ¹ º º ½º º ¾º ¸ ¹ ¸ º a ¿º A ¹ º º º º ¸ ´ ¹ µº º º º º º º �ÁÁ II1 . º A¸ B ¸ C D¸ a¸ a A¸ B C ¸ D¸ C ¸ Dº A¸ B A¸ B ¸ C ¸ D º II2 . A¸ B C ¸ D¸ A Bº II3 . B¸ C ¸ D C ¸ D¸ B¸ A¸ C¸ D A¸ a¸ ¹ º II4 º C¸ D E a A¸ B ¸ C ¸ D ¸ E A¸ E ¸ D¸ a A¸ B ¸ C ¸ D ¸ E A¸ B ¸ C¸ E A¸ B º II5 . C¸ D C¸ E D¸ E A¸ B º II6 . A¸ B C ¸ D A ,B C ,D aº A¸ B ¸ A¸B C ¸D a C¸ D ¹ º A a S SA A¸ ¹ a A ¹ aº º A¸ B ½º a ¸ ¸ A¸ B ¸ A¸ B º ¹ �A¸ B ¸ B A¸ º ¾º A¸ B ¸ ¸ º P ¸ A¸ B a B ¿º ´ ¸ P aº D¸ P |CD F¸ aº µ P A P |AB ¸ ½ ¿ ¸ ¸ C E E D¸ F º º ½ ºµ ÁÁÁ III1 . ¹ P |AB D P |AB ¸ C¸ E ´ ¹ º ´ü a a¸ ºµ P |AB P¸ ¹ ¹ ¸ ½µ ¹ ¾µ ¿µ º ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ´ µ º �½º¾ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¹ I1−2 ¸ I3 ¸ I9 II1 − II6 III1 º ï ¾º ½º º ¸ ¸ ¹ º º ¸ º þ ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ º �¾º½ º ´ µ ¹ ¸ ½µ ¹ ¾µ µ ¸ µ ¸ ¹ º ¾º½ º ¹ º ¸ I1−2 ¸ I3 ¸ I9 ¸ º º I1−2 º A B A B ½µ º ¸ ¹ ¹ º º ¸ A Bº ¸ A B A ¾µ ¸ ¹ º ¸ B b¸ A ½¼ �a||bº ¹ a b¸ º ¸ Bº B º A a ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º A ¿µ B ¸ ¹ ¸ ¹ º I3 º ¹ ¸ º ¸ º þ ¹ º I9 º a a ½µ bº b ¸ º a||b¸ ¸ º º º a ¾µ ¸ ¸ b ¹ aº ¾º ¹ ¸ ½½ ¹ �¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ º ¹ ¹ º ´ µº ï ¿º ½º ¹ þ ¹ Oe1 e2 ¸ ¹ M ¹ (x, y) º ¿º½ º ¹ (x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸ x3 = 0¸ M(x, y)¸ x1 x2 x= , y= . x3 x3 ½¾ ¹ �º M(x1 , x2 , x3 ) (x1 ¸ x2 ¸ x3 )º M(x1 , x2 , x3 )¸ ¸ λ = 0¸ M ¹ (λx1 , λx2 , λx3 )¸ Mº (x, y, 1) Mº ¸ ✛ ¹ ¸ M ¹ ¹ ¸ ✚ þ ¹ (x, y, 1). ✘ ✙ M(x1 : x2 : x3 )¸ º P∞ ¹ ¸ ax + ¸ by + c = 0. þ ax1 + bx2 + cx3 = 0. a b ¹ ¸ º c¸ ax1 + bx2 + cx3 = 0 (b, −a, 0)¸ ¹ ¹ P∞ º ¹ (x1 , x2 , 0) ¸ P∞ . P∞ ¹ P∞ (x1 , x2 , 0) (x1 , x2 , 0)º P∞ (x1 , x2 , 0)¸ ¸ λ = 0¸ (λx1 , λx2 , 0)¸ ¹ P∞ º ¸ ½¿ �★ ✥ P∞ (x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸ x3 = 0¸ (b, −a, 0). ✧ ✦ ¾º ÿ ¹ ´ πµ ¹ º O e1 e2 π µ M(x, y) −−→ OM = xe1 + y e2 º −→ e3 = SO¸ S ∈ πº π¸ −−→ −→ −−→ SM = SO + OM = xe1 + y e2 + e3 ¸ −−→ SM (x, y, 1) {e1 , e2 , e3 }º m¸ ¹ −−→ −−→ m = λSM SM º ´λ = 0 µ m(λx¸ λy ¸ λ)º þ ¹ λx = x1 ¸ λy = x2 , λ = x3 º ¸ m(x1 , x2 , x3 )¸ (x1 , x2 , x3 ) (x, y, 1). º ¹ º º½ (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) þ (x¸ y ¸ 1)¸ −−→ SM º m¸ ½ ¹ ¹ ¹ �¿º¾ º m þ M¸ −−→ m||SM º ¸ M¸ ¹ (x1 , x2 , x3 ) M ¸ ¸ m¸ ¹ (x, y, 1)¸ ¹ (x, y) º P∞ µ ¹ π¸ º¾ ax+by+c = 0. p p (b, −a, 0) ¹ º þ p|| ¸ p = be1 − ae2 ¸ º º ¹ {e1 ¸ e2 ¸ e3 }º m ¸ ¹ p (m||p)¸ m = λp m(λb, −λa, 0)º x1 = λb¸ x2 = −λaº m(x1 , x2 , 0)¸ (x1 , x2 , 0) (b, −a, 0)º þ ¹ (x1 ¸ x2 ¸ 0)¸ p|| . P∞ (x1 , x2 , 0)¸ (b, −a, 0)¸ (b, −a, 0)¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ (b, −a, 0). ½ �¹ (x1 , x2 , 0) P∞ m¸ m|| (b, −a, 0)¸ a ¹ ¹ b πº º O(0, 0, 1)¸ X∞ (1, 0, 0) O e1 ¸ Y∞ (0¸ 1¸ 0) ¿º½ ¹ O e2 . ✬ ¸ (x1 , x2 ¸ x3 ) µM ¸ m¸ ´ ¹ M¸ ¹ {e1 , e2 , e3 }º ✫ ¿º ✩ ✪ þ ¹ O e1 e2 e3 º ¹ M (x, y, z)º ¿º¿ º ¹ ¹ (x1 , x2 , x3 , x4 ) M ¸ x= x1 , x4 y= ½ x2 , x4 z= x3 . x4 �M ¸ ¹ (x1 ¸ x2 ¸ x3 ¸ x4 )¸ (x, y, z, 1). α ax + by + cz + d = 0¸ ¼ ¹ a¸ b¸ c º þ ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0º a¸ b¸ c º ¹ (x1 , x2 , x3 , 0) ¸ ¹ º α. ¹ ¹ º ¸ ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0, x4 = 0. ¹ a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + d1 x4 = 0, a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 + d2 x4 = 0. x4 = 0¸ º ¹ ¹ ¹ ¸ (x1 , x2 , x3 , x4 )¸ ½ x4 = 0º �¹ º (x1 , x2 )¸ (x, 1)¸ x ¹ ¹ ¸ ¹ (1, 0)º ¹ ¸ e1 (1, 0) ¸ ¹ º ï º ¹ ¸ ¹ ¹ º ý ¸ ¹ º π º¿ ¹ ¸ ¹ º þ Ó π¸ S¸ ¹ ¹ ½ �e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ Sº e1 ¸ e2 ¸ e3 A1 ¸ A2 ¸ A3 þ ¹ S πº A1 A2 A3 ¸ ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 A1 ¸ A2 ¸ A3 º ¹ ¸ E¸ e = e1 + e2 + e3 ¸ Se¸ πº º½ º ¸ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E¸ ¸ ¹ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e ¹ ¹ ¹ e = e1 + e2 + e3 , ´ µ¸ B = {e1 , e2 , e3 } {e1 ¸ e2 ¸ e3 } º½ º º ¸ B = {e1 , e2 , e3 } e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸ e3 = λe3 ¸ ´λ = 0µº B ¸ ¹ ¹ º B ½µ B e1 e1 A1 ¸ ¹ e2 = λ2 e2 ¸ e3 = λ3 e3 º º ¸ º º e1 = λ1 e1 º ü ¸ ¸ ¹ e = e1 + e2 + e3 ¸ e = e1 + e2 + e3 º ½ �λ1 λ λe = λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 e λ2 λ3 = 1, λ = 1, λ = 1º + λλ2 e2 + λλ3 e3 º B ¸ λ1 = λ2 = λ3 = λ¸ ¸ e = λ1 e λ 1 ¸ e1 = λe1 , e2 = λe2 , e3 = λe3 . ¾µ B B ¸ e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸ e3 = λe3 º e1 ||e1 ¸ e2 ||e2 ¸ e3 ||e3 º ¸ e1 e1 ¸ e2 e2 ¸ e3 e3 A1 ¸ A2 ¸ A3 º ¸ e = e1 + e2 + e3 = λe1 + λe2 + ¸ e λe3 = λ(e1 + e2 + e3 ) = λeº e Eº ¸ B B º º¾ µ º (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) ´ ¹ ¹ M R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E} −−→ m ´m||SM µ B = {e1 ¸ e2 ¸ e3 }¸ º ¸ M(x1 , x2 , x3 ) ⇐⇒ m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . ¾¼ ¹ �º¾ ¹ ¹ ¹ º º º ¹ º ¸ º¾ M M ¸ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E º m¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e m ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e ¹ ¹ ¹ ¹ º m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ¸ e = e1 + e2 + e3 ¸ e = e1 + e2 + e3 ¸ m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ¸ e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸ e3 = λe3 ¸ ´λ = 0µ¸ m = ρm¸ ´ρ = 0µº m = ρ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) = (ρx1 )e1 + (ρx2 )e2 + (ρx3 )e3 º ¸ m = x1 (λe1 ) + x2 (λe2 ) + x3 (λe3 ) = (x1 λ)e1 + (x2 λ)e2 + (x3 λ)e3 º þ m ¹ B ρx1 = λx1 ¸ ρx2 = λx2 ¸ ρx3 = λx3 º x1 = ρ ρ ρ x1 , x2 = x2 , x3 = x3 . λ λ λ ¾½ �(x1 ¸ ¸ x2 ¸ x3 ) (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) ρ λ M ´ µº º¿ º R ßA1 , A2 , A3 , E R ßA1 , A2 , A3 , E º (x1 , x2 , x3 ) M ¹ (x1 , x2 , x3 ) ρx1 = λ1 c11 x1 + λ2 c12 x2 + λ3 c13 x3 ¸ ρx2 = λ1 c21 x1 + λ2 c22 x2 + λ3 c23 x3 ¸ ρx3 = λ1 c31 x1 + λ2 c32 x2 + λ3 c33 x3 ¸ (c11 , c21 , c31 )¸ (c12 , c22 , c32 )¸ (c13 , c23 , c33 ) A1 ¸ A2 ¸ A3 R ¸ λ1 , λ2 , λ3   λ1 c11 + λ2 c12 + λ3 c13 = b1 ¸ λ1 c21 + λ2 c22 + λ3 c23 = b2 ¸  λ1 c31 + λ2 c32 + λ3 c33 = b3 (b1 , b2 , b3 ) Rº E ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º º ¹ º ú û ¾¾ �ï º ¹ ¹ º R = {A1 ¸ A2 ¸ E} º½ ¸ A1 ¸ A2 ¸ E ¸ e = e1 + e2 º ¸ ¹ B = {e1 , e2 } ý ¹ Rº º¾ µ ¹ ´ º ¹ (x1 , x2 ) M R E ßA1 ¸ ¹ m B Rº ße1 ¸ ¹ e2 ´ º¾ µ A2 ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¹ º º½ A(1, 0)¸ º ¹ R = {A1 , A2 , E}º B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ D(2, 0)¸ F (2, −1)º ¾¿ �º S ∈ SE þ SA1 ¸ SA2 ¸ SE º q SA1 r¸ SA2 º SA2 ∩ q º P ¹ K = SA1 ∩ r ¸ L = −→ −−→ −→ SP = e¸ SK = e1 ¸ SL = e2 º þ B = {e1 , e2 } R¸ e = e1 + e2 º ¸ ¹ e1 SA1 ¸ e2 SA2 ¸ e SE ¹ ºþ ¹ a ¹ A(1, 0) e1 ¸ A A1 º ü ¹ ¸ B A2 ¸ C E º D ¹ ¹ d 2e1 º ¸ D = A1 º ¸ 2e1 − e2 º ï º ¹ ¸ f ¹ −→ f = SQº SQ F f = F ¹ º º º½ R = {A1 , A2 , A3 , E}º º A(a1 , a2 , a3 ) ¸ ¾ B(b1 , b2 , b3 )º �A Bº º º x3 ) M ∈ ¸ m = αa + β b¸ M(x1 , x2 , x3 ) a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 ) m(x1 , x2 , A¸ B ¸ M º a¸ b¸ m ¸ ´ µ   x1 = αa1 + βb1 , x2 = αa2 + βb2 ,  x3 = αa3 + βb3 . ´ º½µ ¹ m¸ ´ º½µ º a¸ b x1 x2 x3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = 0º ´ º¾µ ¸ ´ º¾µ º ´ º¾µ ¹ ¹ A(a1 , a2 , a3 )¸ B(b1 , b2 , b3 )¸ C(c1 , c2 , c3 ) º a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = 0. ´ º¿µ ´ º¾µ ¾ �a2 a3 a a a a x1 − 1 3 x2 + 1 2 x3 = 0 b2 b3 b1 b3 b1 b2 u1 = a2 a3 a a , u2 = − 1 3 , u3 = b2 b3 b1 b3 a1 a2 . b1 b2 u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0. ´ º µ ´ ´ º µ º þ u1 ¸ ´ º µ¸ µ u2 ¸ u3 ¹ ¹ ¸ º ¹ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ¸ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 u1 : u2 : u3 = u1 : ¸ u2 : u3 º º½ º u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ´u1 ¸ u2 ¸ u3 µº ¹ ¸ ¹ º º (u1 , u2, u3 ) (u1 ¸ u2 ¸ u3 )º º½ º ¹ º ¸ A(2, 1, −3) ¾ B(0, 2, 1)º AB ¹ �x1 x2 x3 2 1 −3 0 2 1 = 0. 7x1 − 2x2 + 4x3 = 0 ï º º º ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E}º þ I9 µº ´ º½ º º (u1 , u2, u3 ) m(v1 , v2 ,3 )º S º º S(x1 , x2 , x3 )º m¸ S ¸ ¹ ¹ ¸ m u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0, v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 = 0. x1 ¸ x2 ¸ x3 ¸ S ¸ ´ º½µ  x2 1  u1 x x3 + u2 x3 = −u3 ,  v1 x1 + v2 x2 = −v3 . x3 x3 ¾ ´ º½µ ¸ x3 x3 = 0º ¹ ´ º¾µ �¸ x1 ∆1 x2 ∆2 = , = , x3 ∆3 x3 ∆3 ´ º¿µ ¸ ∆3 = u1 u2 , ∆1 = v1 v2 ∆2 = u1 −u3 v1 −v3 −u3 u2 −v3 v2 u2 u3 , v2 v3 = u1 u3 . v1 v3 =− ´ º µ ´ º¿µ x1 x3 x2 x3 = , = . ∆1 ∆3 ∆2 ∆3 x1 : x2 : x3 = ∆1 : ∆2 : ∆3 ¸ º º S (∆1 , ∆2 , ∆3 )º ¸ S(∆1 , ∆2 , ∆3 ) ´ º µ¸ S= u2 u3 u1 u3 u1 u2 ,− , v2 v3 v1 v3 v1 v2 ¹ ¹ ¹ º ´ º µ º º½ º S ¹ Sº ¸ ¾ �¸ º (u1 , u2 , u3) ¹ m(v1 , v2 , v3 )º º ¹ ¸ º S ∈ p¸ ´ º µ¸ p(p1 , p2 , p3 ) S = ∩m ¹ u2 u3 u u u u p − 1 3 p2 + 1 2 p3 = 0, v2 v3 1 v1 v3 v1 v2 u1 u2 u3 v1 v2 v3 = 0. p1 p2 p3 ´ º µ ´ º µ ¸ (u1, u2 , u3 ) m(v1 , v2 , v3 )º ¹ (u1 , u2 , u3)¸ m(v1 , v2 , v3 )¸ p(p1 , p2 , p3 ) S(x1 , x2 , x3 )¸ º p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 = 0. ´ º µ ´ º µ x1 ¸ x2 ¸ x3 º þ p3 m¸ x3 = 0 p1 ¸ p2 ¸ º ✗ ✖ ¸ ¸ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ¸ º º½ º º 2x1 − x2 + x3 = 0 ¾ x1 + x2 − ✔ ✕ �º 2 −1 1 1 1 −1 = 0. u1 u2 u3 þ 3u2 + 3u3 = 0, ¸ ¸ u 2 + u 3 = 0º S(0, 1, 1) mº º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ º¾ E ¹ A1 º ¸ ¹ M(1¸3¸−2) 2x1 − x2 + 5x3 = 0º a¸ º ½µ ¸ ¹ EA1 º ¹ x1 x2 x3 1 1 1 = 0. 1 0 0 þ ¸ ¹ x2 − x3 = 0. P∞ ¾µ a ´ º ´ º µ u1 u2 u3 2 −1 5 = 0. 0 1 −1 ¿¼ ¹ �¸ 2u1 − u2 − u3 = 0. ¸ P∞ (2, −1, −1). b¸ M¸ ¿µ a MP∞ ¹ ¹ x1 x2 x3 1 3 −2 = 0. 2 −1 −1 b 5x1 + 3x2 + 7x3 = 0. ï º R = {A1 , A2 , A3 , E}º º ¹ M(x1 , x2 , x3 ) −→ (x1 , x2 , x3 )¸ (u1 , u2 , u3) −→ M (u1, u2 , u3 )¸ º M º ¸ M¸ ¸ M º ¸ ½µ ¹ ¸ ¿½ ¸ ¹ �¾µ M ∈ ¸ M∈ ¸ º M ¸ º M ∈ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0. ¸ ✤ ✣ º ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ º º½ º T¸ ¸ ¹ T¸ º T ←→ ←→ ←→ ¸ ¸ ¸ ¸ ←→ º º¸ ¸ Tº ¿¾ ¹ ✜ ✢ �←→ ½º º ¾º ¹ I1−2 µ ←→ ´ ¿º I9 µº ´ ←→ ¸ ¸ º º¾ º ¹ ¸ ¸ ¹ º º º½ ¸ º ´ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ºµ T¸ ¸ Tº º ¹ ¸ ¹ º ¸ Tº ¹ Tº ¹ T T ¸ ¿¿ º �º þ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ←→ ←→ ←→ ←→ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ←→ º ý ¹ º ½µ ¾µ ¹ º ï º º½ º ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ º º½ º A ¸ A¸B ´ A B ¸ BC B C ¸ AC ABC A B C B¸C C µº AC º ¿ ¹ ¹ AB �º½ º ´ ºµ AA ¸ BB ¸ CC ¸ ABC ABC ¸ ¹ ¹ L¸ P = AB ∩ A B ¸ Q = BC ∩ B C ¸ R = AC ∩ A C ¹ º º þ ¸ ¹ ÓÓ ¹ ¹ ¹ A → a¸ B → b¸ C → c¸ A → a ¸ B → b ¸ C → c¸ L → º L ∈ AA ¸ = αa + α a º ü L ∈ BB L ∈ CC ¸ = βb + β b = γc + ¹ γ cº º º αa + α a = β b + β b ¸ β b + β b = γc + γ c ¸ γc + γ c = αa + α a ¸ αa − β b = −α a + β b ¸ β b − γc = −β b + γ c ¸ γc − αa = −γ c + α a º ¿ �αa − β b a b¸ AB º þ º ¸ −α a + β b ABºü ¸ αa − β b AB P −α a + β b ¸ AB ¹ Pº ¸ p = αa − β bº ü ¹ q = β b − γc¸ ¸ º ¹ ¸ ¸ ¸ º r = γc − αa Q¸ Rº p + q + r = (αa − β b) + (β b − γc) + (γc − αa) = (αa + β b + γc) − (αa + β b + γc) = 0º ¹ ¸ p¸ q, r ¹ ¸ ¸ P ¸ Q¸ R º º¾ º ´ ºµ ABC ABC P = AB ∩ A B ¸ Q = BC ∩ B C ¸ R = AC ∩ A C ¹ AA ¸ BB ¸ CC ¸ ¸ ¸ ¹ L. ¸ ¹ ¸ º ¿ �º¾ ABC º ABC ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ L ¸ ¸ ¹ ¸ º ½º º ¸ º ½¼ ½¼ ¸ º ¹ ¸ º þ Ü ¹ º º ¾º º ú ½û¸ ú ¾ûº º º¾ ¸ ¹ ¸ Bº ¸ º A P ¸ LB B B CQ ¹ ´ µ¸ º A A LC ¸ P ¸ L B¸ C P BQ¸ ¹ Qº ´ µº ¿ �º ¹ A, C, R ¸ ¹ º º¿ º ¸ ¹ ¸ LA º ¸ LA º A L¸ A ¹ º ¹ BB CC ¸ BP BB P CR¸ B P C R L¸ A¸ A µº CC R ´ ´ ¹ ¸ ¹ µ¸ B ¹ C¸ B BC ¸ B C ¸ P R CC R C¸P Qº Rº ¸ BB P Q º ï ½¼º ¹ º ¹ L L L ¿º L º L ½º ¸ ¾º º ¸ ¸ º ¸ ¿ º º �½º AA ∩ BB ∩ CC = L ¸ AB ∩ A B = P ¸ BC ∩ B C = Q¸ AC ∩ A C = R¸ P ∈ ¸ Q ∈ ¸ R ∈ º ¾º AA ||BB ||CC = L¸ AB ∩ A B = P ¸ BC ∩ B C = Q¸ AC ∩ A C = Rº ¿º AA ∩ BB ∩ CC = L¸ AB||A B ¸ BC||B C ¸ AC||A C º º AA ||BB ||CC = L¸ AB||A B ¸ BC||B C ¸ AC||A C º º º º º ½¼º½ ºµ º´ ¹ ¸ ¸ ÓÓ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ º ¹ ¹ ¹ ¹ �¹ ¸ ½ ¾¸ ¿ ¹ º þ ABC ¿ ABC ¹ ¸ º ¹ º þ ¹ ¸ ¹ ºþ ¸ ¹ º º þ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¹ ¸ º ½¼º½ º a||b C ¸ Cº ¹ ¸ º º ü º ¹ ¸ ´ º AA = a¸ µº BB = b¸ C ¸ CC B ∈ bº ¸ ¸ º ¹ A¸ A ∈ a B ¸ P = AB ∩ A B º ¸ Q ¾ ¹ Pº ¹ R BC ¼ �AC º BQ C A Rº ¹ ¸ º ½º ¾º ¿º º º º º º A ∈ a, A ∈ a¸ B ∈ b, B ∈ b P = AB ∩ A B ¸ P ∈ R = AC ∩ Q = BC ∩ C =B Q∩AR CC º º ½¼ º ABC A B C º þ P = AB∩A B ¸ Q = BC∩B C ¸ R = AC∩A C º ¸ ABC ABC ¹ ¹ ´ µº CC CC AA ||BB ¸ ¹ º ¸ ¸ º º ¾º þ ¸ º ú û ¹ º ï ½½º ÿ ½º ÿ º ½ ¹ �½½º½ º ´ R µ A2 ¸ A3 ¸ E R ßA1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E {A1 ¸ º ¹ M ¸ (x1 ¸ x2 ¸ (x1 , x2 , x3 ) M x3 ) R ¹ ¹ R¸ ¹ ¹ º M(x1 , x2 , x3 )R R ¾µ f : R → R R Rº M ½µ f A1 (1, 0, 0)R º º ü E E º ½½º½ R¸ R R1 M A1 (1, 0, 0)R ¸ A1 A1 A2 A2 ¸ A3 A3 ¸ ¹ º R1 º ¹ ¸ M = f (M) M(y1 , y2, y3 )R1 ¸ M (y1 , y2, y3 )R1 ´ ¹ µº f ¸ R f R¸ ¹ ¹ ¾ �R1 R1 ¸ R1 = f (R1 ) ¸ R1 º º ½½º½ ¸ º ¿¾ ¿¿º ¹ º ¹ º º 1◦ . º f : R → R g : R1 → R1 º ¸ g◦ f º þ R1 ¹ R1 R = f (R) R = g(R )¸ M M = f (M) M = g(M )º f R R¸ M (x1 , x2 , x3 )R º g R R = g(R )º ¸ R = (g ◦f )(R)º ¸ M(x1 , x2 , x3 )R º ¹ M = (g ◦ f )(M)º ¸ ¹ ü ¸ R ¸ M (x1 , x2 , x3 )R M º ¾µ M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R g◦f 2◦ . ü ¹ R º ¹ ¸ ¸ ½µ g R→R M(x1 , x2 , x3 )R g◦f ´ µº ¹ º ¸ ¹ º ¿ �3◦ . º ¹ ¸ ¸ ¹ eº e ¸ ¹ º ¸ µ e:R→R ´ ¸ º 4◦ . º ¹ º ¹ f ¸ ¸ ¹ f −1 ¹ º º M ¸ f :R→R f −1 : R → Rº þ M = f −1 (M )º f ¹ ¹ ¸ M = f (M)º M(x1 ¸ x2 ¸ x3 )R M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º f −1 ¸ R (x1 , x2 , x3 )R (x1 , x2 , x3 )R º ¹ R M M ¸ ¹ f −1 º ¹ ¹ ¹ º �º ½½º¾ ¹ Φ ý ¸ ¹ Φ¸ ¹ Φ ¸ ½½º¾ Φº ¹ º ¸ º º ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¹ ¸ º º ¹ ¸ ¹ º ¾º ¹ ½½º¿ ¸ º º A¸ B ¸ C ¸ D ¹ ¹ �½½º½ º þ ¹ º ½½º¿ º´ A¸ B¸ C¸ D º A¸ B ¸ C ¸ D C¸ Dº ¸ ºµ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ ¹ ¹ ¸ A¸ B¸ º R ¸ Rº ¹ º ¸ º ½½º º ´ ºµ þ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , |(aij )| = 0¸ (i, j = 1, 2, 3). ¹ ¹ ´½½º½µ �º f :R→R M(x1 ¸ x2 ¸ x3 )R ½µ º x3 )R º ¸ ¸ ¹ M = f (M)¸ f M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º M (x1 ¸ x2 ¸ ¹ ¹ M R ´ R ¸ µº þ ¹ ¹ ´ º¿ µ¸ M ρx1 = λ1 c11 x1 + λ2 c12 x2 + λ3 c13 x3 ¸ ρx2 = λ1 c21 x1 + λ2 c22 x2 + λ3 c23 x3 ¸ ρx3 = λ1 c31 x1 + λ2 c32 x2 + λ3 a33 x3 º λi cij = aij (i, j = 1, 2, 3)º ¹ |(aij )| = |(λi cij )| = λ1 , λ2 , λ3 þ ´½µº λ1 λ2 λ3 |cij | = 0, |(cij )| = 0. ¾µ þ ¹ f ´½½º½µ¸ ¹ ´ ½½º µº ¹ º º º f :R→R ¸ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ¹ �Rº ¸ M¸ (x1 , x2 , x3 )R ¹ º M (x1 , x2 , x3 )R M ∈ M ¸ ¸ º ï ½¾º ½¾º½ R = {A1 , A2 , E} {A1 , A2 , E } R º f R = º ¸ M ∈ (x1 , x2 ) ¹ ¹ (x1 , x2 ) M ∈ ¸ ¹ R¸ º ¸ ¹ f º ½¾º½ º f f −1 ¸ ¹ º �º ½¾º¾ f ¸ ¸ g◦f ¹ º ½¾º¿ g ¹ º ¹ º ½¾º½ ½¾º¿ ½½º½ º C A¸ B ¸ C º ½¾º º ½¾º ¸ ¸ A A¸ B¸ A¸ B º ρx1 = a11 x1 + a12 x2 ¸ ρx2 = a21 x1 + a22 x2 ¸ a11 a22 − a12 a21 = 0º ¸ B¸ C ¹ ¹ Cº ¹ ¹ �½¾º ¸ ½¾º ¸ ¹ ï ½½º ½¾º º ´Ç ¹ ºµ º f = f ( )¸ ¹ ¹ f¸ º º þ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} ¸ A1 ∈ ¸ A2 ∈ ¸ A3 ∈ ¸ E ∈ º A1 = f (A1 )¸ A2 = f (A2 )¸ A3 = f (A3 )¸ E = f (E) = f ( )º ¸ A1 ∈ ¸ A2 ∈ ¸ A3 ∈ ¸ E ∈ º ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E }¸ M(x1 , x2 , x3 )R R = {A1 ¸ M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º E3 = A3 E ∩ A1 A2 ¸ E3 = A3 E ∩ A1 A2 º ¸ E3 = f (E3 )º º ½½ R3 = {A1 , A2 , E3 }¸ R3 = {A1 , A2 , E3 }º R3 R3 º ¼ f �M∈ ¸ M (x1 , x2 , 0)R M M(x1 , x2 , 0)R (x1 , x2 )R3 º ¹ (x1 , x2 )R3 º f ¸ M(x1 , x2 , )R3 ¸ M (x1 , x2 )R3 º ½¾º½ ¹ º ï ½¿º ½º º ¸ º ý ¹ ´ µ ¹ º ¸ ¹ ¹ u1 x1 +u2 x2 +u3 x3 = 0º u1 , u2 , u3 u(u1 , u2, u3 )¸ ¹ ¹ º ½¿º½ r = {a1 , a2 , e} ¹ º ¸ a1 ¸ a2 ¸ e a1 ¸ a2 ¸ e a1 + a2 = eº ½ ¹ ¸ ¹ �½¿º¾ ¹ º m ¹ ¹ ¹ {a1 ¸ a2 }º ¸ ¹ º ¹ º ¹ ¸ ½ º ¾º º Π(L) Lº ½¿º¿ ¹ º Π(L) M∈ ¸ LM ∈ Π(L)º ½¿º½ ¹ º Π(L) º º R E ∈ ¹ þ ¹ A1 ∈ ¸ º A1 ¸ A2 ¸ E3 ¸ ¾ ¸ A2 ∈ E3 = LE ∩ A3 ∈ ¸ R3 ¸ º �R3 Π(L) r3 {LA1 ¸ LA2 ¸ LE}º M ¹ M(m1 , m2 )R3 º M(m1 , m2 , 0)R º M ¹ Π(L) ¹ LM º ¸ ¹ LM Π(L) r3 (m1 , m2 )¸ M º º ½¾ LA1 ¹ x2 = 0 Rº LA1 ¸ ¹ a1 (0, 1, 0)º LA2 x1 = 0 ¹ ¹ ¹ a2 (1, 0, 0)º LE x2 x2 x3 0 0 1 1 1 1 a1 x1 − x2 = 0º LE a2 ¸ ¸ = 0, ¹ ¹ e3 (1, −1, 0) e3 = −a1 + a2 º r3 −a1 ¸ a2 º Π(L) LM LA1 Π(L)¸ LA2 LM r3 º x2 x2 x3 0 0 1 m1 m2 0 ¿ = 0, ¹ �m2 x1 − m1 x2 = 0, m(m2 , −m1 , 0) ¹ LM º m {−a1 , a2 }º m = α(−a1 ) + βa2 , (m2 , −m1 , 0) α(0, −1, 0) + β(1, 0, 0)º m2 = β ¸ m1 = αº ¸ m = m1 (−a1 ) + m2 (a2 )º ¸ LM(m1 , m2 )r3 º ü ¹ º ½¿º (L) ¹ ¸ M =m∩ º m ⊂ Π(L) ¹ º Π(L) ½¿º¾ º ¹ ¸ ½¿º½ º ½¿º M ∈ ¸ ¹ ¹ º L M ∈ M = LM ∩ ¸ º ¹ �½¿º¿ ¹ º º º Lº f ¹ ¸ ϕ : ψ : Π(L) → ϕ º → Π(L) ψ ¹ ¹ ´ ½¿º½¸ ½¿º¾µº R = {A1 , A2 ¸ ¸ E} ¹ ¸ R {A1 ¸ A2 ¸ E } º ½¿ ¹ r = {LA1 , LA2 , LE} Π(L)¸ ¹ M¸ (x1 , x2 ) R¸ ϕ ψ LM (x1 , x2 ) LM(x1 , x2 ) M Rº f = ψ◦ϕ M (x1 , x2 )R ¸ º r¸ ¹ (x1 , x2 ) ¸ M(x1 , x2 )R ¹ ¹ ¹ ¹ �Π(L) m ∈ Π(L) m ∈ Π(L )¸ m∩ ½¿º Π(L ) ¹ ¹ ¸ ¹ º ½¿º L º ¹ ¹ º Π(L) º Π(L ) ¹ ¸ ½¿º¿ º ¹ ¸ º ½¿º Π(L )µ L ´ º ´ ºµ Π(L) ¸ Lµ ´ ¸ ¸ ¸ ¹ Π(L )µ ¹ ¹ ¹ º �º º f : L → º ½¿º¿ ¹ C= ∩ º º f: → ¸ C = ∩ º º½ AA ∩ BB A¸ Lº B B ¹ ¹ A ∈ ¸ B ∈ ¹ A = f (A)¸ B = f (B) º L= g A C º ½¿º¿ º g¸ ¸ ¹ f, A¸ B ¸ C A¸ B¸ C º ¹ ½¾º ¸ f g º f ¸ º ½¿º º ´ ºµ þ º º f : → ¹ ¹ ¹ ¹ �º ¸ ¹ º f ¹ º A¸ B¸ C A¸ B¸ C ¹ A = f (A)¸ B = ¸ f (B)¸ C = f (C)º ¹ 0 = B0 C0 ¸ B0 = AB ∩A B ¸ C0 = AC ∩ A C¸ A0 = AA ∩ 0 º ϕ: → 0 A¸ ψ : 0 → ψ ◦ ϕ = fº ¸ º½ ¹ Aº ¸ ϕ A¸ B ¸ C ¹ A0 ¸ B0 ¸ C0 ψ 0¸ C0 A0 ¸ B0 ¸ A¸ B¸ C 0 º ¹ ψ ◦ ϕ¸ A¸ B ¸ C ¸ f¸ A¸ B¸ C º ¹ ¸ ½¾º º ½¿º½ ¸ º þ ¹ ¹ º ¹ º �¿º ½¿º½ f : M∈ º → ¸ A¸ B ¸ C º M = f (M)º º º = B0 C0 B0 = AB ∩ A B ¸ C0 = AC ∩ A C ¾µ M0 = A M ∩ 0 ¿µ M = AM0 ∩ ¸ M º º M = (ψ ◦ ϕ)(M) = f (M) ½µ ¹ A¸B¸C 0 ½¿º¾ º f : Π(L) → Π(L ) b¸ c º½ Π(L )¸ m = f (m)º ¸ a¸ b¸ c Π(L) m ∈ Π(L)º ¸ º a¸ ¹ �ÿ ¾ þ þ ÿ ´ ï ½ º ½ º½ ´ ¸ C¸ D µ µ º A¸ B ¸ C ¸ D a¸ b¸ c¸ d c = λa + µb¸ d = νa + ρbº (AB, CD) (AB, CD) = A¸ B ü º µ ρ : , λ ν ¹ ¹ A¸ B ¸ ´½ º½µ C¸ D �´ µ º º A(1, 0, −1)¸ B(−2, 1, 3)¸ C(3, −1, −4)¸ D(0, −1, − 1)º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ º AB º x1 − x2 + x3 = 0º C ∈ AB º ¹ (AB, CD)º x1 x2 x3 1 0 −1 −2 1 3 = 0, ¸ C ∈ AB º C 3 − (−1) + (−4) = 0. ¸ D ∈ AB º ü (3, −1, 4) = λ(1, 0, −1) + µ(−2, 1, 3). 3 = λ − 2µ, −1 = µ µ = −1¸ λ = 1º ü ¸ (0, −1, −1) = ν(1, 0, −1) + ρ(−2, 1, 3) ´½ º½µ¸ ¹ ¸ ρ = −1¸ ν = −2º þ (AB, CD) = ¸ −1 −1 : = −2. 1 −2 ½ AB º ¸ �½ º½ ´ µ ¹ ¹ º ´ µº º (AB, CD) º a ½µ b a = αa¸ b = β b c = λa +µb, d = ν a +ρb. (AB, CD) = µ ρ : . λ ν c d a bº c = (λ α)a + (µ β)b, d = (ν α)a + (ρ β)b. c d λ α = λ, µ β = µ, ν α = ν, ρ β = ρº þ a b λ = λ , α µ µ = , β (AB, CD) = ν = ν , α ρ ρ = . β µ ρ µα ρα µ ρ : = : = : . λ ν λβ νβ λ ν ¸ ´ µ ¹ ¹ b A ¹ a B ¾ a bº �d c ¾µ ¹ c = αc¸ d = β d c d = λ a + µ b, = ν a + ρ b. λ µ a+ b, α α ν ρ d= a+ b. β β c= λ = λ, α µ = µ, α ν = ν, β ρ = ρ. β ´½ º½µ (AB, CD) = µ ρ µα ρβ µ ρ : . : = : = λ ν λα νβ λ ν ½ º¾ º ¹ (AB, CD) R = {A, B, C}¸ º º (AB, CD) = d1 ¸ d2 D d1 , d2 ´½ º¾µ ´ µ D ¹ Rº º A¸ B ¸ C ¸ ¹ c = a + bº ¿ ¹ �D(d1 , d2) ⇔ d = d1 a + d2 b. λ = 1¸ µ = 1¸ ν = d 1 ¸ ρ = d 2 º ¸ (AB, CD) = 1 d2 d1 : = . 1 d1 d2 ¸ ¹ (ab, cd) ½ º¾ º ½ º¿ º ´ ºµ ¹ ´ µº f A¸ B ¸ C ¸ D ¸ A¸ B¸ C = f ( )º ´ ¸ ¸ A¸ B B¸ C C D ¸ µº ¹ D ¸ A D ¹ ¸ R¸ R = f (R)¸ (AB, CD) = (A B , C D )º ½ º º º ¸ ¹ ¹ �º ½ º ¹ º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ B(b1 , b2 )¸ C(c1 , c2 )¸ D(d1 , d2 )º a1 c1 (AB, CD) = b1 c1 R = {A1 , A2 , E} A(a1 , a2 )¸ ¹ a2 a1 c2 d1 : b2 b1 c2 d1 a2 d2 b2 d2 º ´½ º¿µ º c = λa + µb¸ d = νa + ρbº (c1 , c2 ) = λ(a1 , a2 ) + µ(b1 , b2 )¸ (d1 , d2 ) = ν(a1 , a2 ) + ρ(b1 , b2 )º c1 = λa1 + µb1 , c2 = λa2 + µb2 d1 = νa1 + ρb1 . d2 = νa2 + ρb2 ¸ λ= c1 b1 c2 b2 ,µ = ∆ a1 c1 a2 c2 ,ν = ∆ d1 b1 d2 b2 ,ρ = ∆ a1 d1 a2 d2 , ∆ �∆= a1 b1 . a2 b2 a1 a2 c1 c2 (AB, CD) = a= (AB, CD) þ c1 c2 b1 b2 : ½ º º a1 a2 d1 d2 d1 d2 b1 b2 = ´½µ a1 c1 b1 c1 a2 c2 b2 c2 : a1 d1 b1 d1 a2 d2 . b2 d2 A¸ B ¸ C ¸ D a1 b1 c1 d1 , b= , c= , d= a2 b2 c2 d2 ¹ R = {A1 , A2 , E}º (AB, CD) = º a1 a2 = a2 c2 c1 c2 a). ü a1 a2 c1 c2 þ c−a d−a : . c−b d−b ´½ º µ ´½ º¿µº 1 a 1 = a2 c2 = a2 c2 (a−c) = −a2 c2 (c− 1 c 1 �b1 b2 = −b2 c2 (c−b), c1 c2 a1 a2 = −a2 d2 (d−a), d1 d2 b1 b2 = d1 d2 −b2 d2 (d − b). ¹ ´½ º¿µº −a2 c2 (c − a) −a2 d2 (d − a) (c − a) (d − a) : = : . −b2 c2 (c − b) −b2 d2 (d − b) (c − b) (d − b) (AB, CD) = º ¹ ¸ ´½ º µ¸ ´½ º µ º 1◦ º ¸ (CD, AB) = (AB, CD). 2◦ º ´ ¸ µ¸ (AB, DC) = ¹ 1 . (AB, CD) 3◦ º ¸ ¹ (BA, DC) = (AB, CD). 4◦ º ¸ ¹ B C A D (AC, BD) = 1 − (AB, CD); (DB, CA) = 1 − (AB, CD). �5◦ º A¸ B ¸ C ¸ D α, ¹ 1 1 1 α , 1 − α, , 1− , . α 1−α α 1−α 4◦ º þ ¹ ´½ º µº (AC, BD) = 1− b−c+c−a d−b+b−c b−a d−a : = · = b−c d−c b−c d−a c−a c−b c−b d−b c−a d−b c−b d−b − = − · − + d−a d−a d−a c−b d−a d−a c−b c−a c−a d−a c−a c−b d−b · = − + − : c−b d−a d−a d−a d−a c−b d−b 1 − (AB, CD)º 5◦ º αº (AB, DC) = ´ (AB, CD) = 1 α 2◦ µ (AC, BD) = 1 − α ´ 4◦ µº 4◦ ¸ (AB, DC) (AD, BC) = 1 − 1 α−1 = , α α (AC, BD) (AC, DB) = 1 1−α �2◦ µº ´ 2 ◦ ¸ ¸ ¹ (AD, BC)¸ ¸ (AD, CB) = 1◦ 3◦ ¸ α . α−1 º 1◦ − 3◦ ¹ º ¹ ´½ º½µ ´½ º µº º ¹ ¹ º º ½ º a, b, c, d L A, B, C, D (AB, CD) = (ab, cd). º º þ ¹ R = A1 = A¸ E ∈ LC º {A1 , A2 , A3 , E} ¸ A2 = B ¸ A3 = L¸ A¸ B ¸ L ¹ A(1, 0, 0)¸ B(0, 1, 0)¸ L(0, 0, 1)¸ ¸ a¸ b ¹ x3 = 0¸ x2 = 0¸ x1 = 0º ¹ a b ¹ ¸ a(0, 1, 0)¸ b(1, 0, 0). º½ �¹ (AB, CD) (ab, cd)¸ c¸ d º C¸ D c = A3 E ¸ º x1 x2 x3 1 1 1 0 0 1 x1 − x2 = 0. C = c∩ ¸ = 0, c(1, −1, 0)º ¸ ¸ x1 − x2 = 0, x3 = 0. C(1, 1, 0)º ¸ D ∈ A1 A2 ¸ d = A3 D D(d1 , d2 , 0)º x1 x2 x3 d1 d2 0 0 0 1 d2 x1 − d1 x2 = 0º = 0, ¸ d(d2 , −d1 , 0)º (AB, CD) ¹ ´½ º½µ¸ (1, 1, 0) = λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0), (d1 , d2, 0) = ν(1, 0, 0) + ρ(0, 1, 0). λ = 1, µ = 1, ν = d1 , ρ = d2 º ¼ �(AB, CD) = µ ρ d1 : = . λ ν d2 (ab, cd) ¹ (1, −1, 0) = λ(0, 1, 0) + µ(1, 0, 0), (d2 , −d1 , 0) = ν(0, 1, 0) + ρ(1, 0, 0). λ = −1¸ µ = 1¸ ν = −d1 ¸ ρ = d2 º (ab, cd) = 1 d2 d1 : = = (AB, CD). −1 −d1 d2 º ¹ ¹ ¸ ´½ º½µ ´½ º µº º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ b¸ c¸ d a¸ ¹ {0, e}º −→ −−→ −→ −−→ OA = ae, OB = be, OC = ce, OD = de¸ e ¹ −→ −→ −→ º AC = OC − OA = ce − ae = −−→ −−→ −−→ (c − a)e, BC = (c − b)e, AD = (d − a)e, BD = (d − b)e. −→ AC c−a −−→ = c − b , BC −−→ AD d−a −−→ = d − b , BD ½ �´½ º µ −→ AC (AB, CD) = −−→ : BC −−→ AD −−→ BD ´½ º µ º º A¸ B ¸ C ¸ ½ º¾ (AB, C) −−→ BC ¸ º −→ AC ¸ º −→ AC (AB, C) = −−→. BC þ (AB, CD) (AB, CD) = ¸ ½ º (AB, C) . (AB, D) ´½ º µ A¸ B ¸ C º ¸ D∞ (AB, C) = (AB, CD∞ ) º ¾ ¸ ¹ ´½ º µ �(AB, CD∞ ) = lim (AB, CD), D−→D∞ −−→ −→ −−→ AD AB + BD lim (AB, D) = lim −−→ = lim = −−→ D−→D∞ D−→D∞ BD D−→D∞ BD −→ AB lim −−→ + 1 = 1, D−→D∞ BD (AB, CD∞ ) = (AB, C) = (AB, C). D−→D∞ (AB, D) lim º ½ º a¸ b¸ c¸ d (ab, cd) (ab, cd) = k3 − k1 k4 − k1 : , k3 − k2 k4 − k2 ´½ º µ k1 , k2 , k3 , k4 a¸ b¸ c¸ dº º ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ O ij º y = k1 x¸ y = k2 x¸ y = k3 x¸ y = k4 x Oj ¸ S(1, 0)¸ a¸ b¸ c¸ d C(1, k3 )¸ D(1, k4 )º º x = 1º ¹ A(1, k1)¸ B(1, k2)¸ Oj ¿ �A(k1 )¸ B(k2 )¸ C(k3 )¸ D(k4 )º ´½ º µ (AB, CD) = ½ º k3 − k1 k4 − k1 : . k3 − k2 k4 − k2 (ab, cd) = (AB, CD)º ´½ º µº ½º (ab, cd) ¹ L ¹ º ¹ ´½ º µ L(x0 , y0 )º ¸ º½ ¸ ¾º a¸ b¸ c¸ d dµ Oy ¸ ´ ¹ º þ (ab, cd) = lim k−→∞ k3 − k1 k − k1 : . k3 − k2 k − k2 a¸ b¸ c¸ d (ab, cd) = sin ∠(c, a) sin ∠(d, a) : . sin ∠(c, b) sin ∠(d, b) ´½ º µ �ï ½ º ÿ ½ º½ º ÿ ¸ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ ¹ ¸ (AB, CD) = ¸ −1º ¹ D A¸ B ¸ C º ÿ ¸ C¸ D A¸ B º ÿ º ½ º½ º ¸ ¸ A¸ B ¸ C Dº º ¹ A B ¸ C ´ ¸ ¹ 1 −1 D = −1 D ¸ (1, −1)º ½ º¾ µ¸ (AB, CD) = ´ ½ º½ µ¸ D º ¸ C¸ D (d1 , d2)º (AB, CD ) ¹ ¹ º ¸ −1¸ D (AB, CD ) = d2 = −d1 ¸ º ¹ A¸ B ¸ d1 d2 º D (d1 , −d1 )º �´ ½º D (1, −1) D ¹ º¾ µ¸ ¸ Dº Dº ´ ½µº º 1º A¸ B ¸ C ¸ D C ¸ D¸ B ¸ A 2◦ º A¸ B ¸ C ¸ D A¸ B ¸ D ¸ C 3◦ º A¸ B ¸ C ¸ D B ¸ A¸ D ¸ C ◦ ¸ º ¸ º ¸ º ¸ ¹ º º �ÿ ï ½ º ½ º½ º XY ZW ¸ ¹ X¸ Y ¸ Z¸ W ¸ º X¸ Y ¸ Z¸ W ¸ XY ¸ YZ XW ¸ XZ ZW ¸ YW º A = XY ∩ ZW ¸ B = XW ∩ Y Z ¸ S = XZ ∩ Y W º AB ¸ AS ¸ BS ¸ ¸ º ½ º½ ºµ þ ´ º ´ ¹ º ½ µ ½µ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ´ D = AB ∩ XZ µ ¸ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ �¾µ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ´ ¸ ¹ X ¸ Z ¸ S ¸ Dµ ¿µ ¹ ¹ ¹ ¸ ´ ¸ SA¸ SB ¸ Y W ¸ XZ µº º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ AB º AD XD Yº A → X¸ B → Z¸ C → S ¸ D → Dº ¹ »¸ (AB, CD) (XZ, SD)º ½ º Y A¸ Y B ¸ º½ Y C ¸ Y Dº (AB, CD) = (XZ, SD). Wº XD AD X → B ¸ Z → A¸ S → C ¸ D → D ¸ (XZ, SD) = (BA, CD). ´½ º½µ ¹ ´½ º¾µ �´½ º½µ ´½ º¾µ (AB, CD) = (BA, CD). ´½ º¿µ 1 . (AB, CD) ´½ º µ (BA, CD) = (AB, CD)2 = 1 (AB, CD) = +1 (AB, CD) = −1º (AB, CD) = +1º (d1 : d2 ) D R = {A, B, C} ½ ´ º ´½ º¾µµ d1 = d2 D(1, 1)¸ º º C¸ ¸ C D ¹ º (AB, CD) = −1º ´½ º¿µ ½ ´½ º µ º (XZ, SD) = −1 (SA, SB, SC, SD) = (AB, CD)¸ (SA, SB, SC, SD) = −1 ¿º ´½ º½µ ¹ ¾º »¸ ½º ´ ½ º¾ º º ¾µº ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ x¸ y ¸ z ¸ w ¸ x∩y z ∩ w¸ y ∩ z x¸ y ¸ z ¸ w w ∩ x¸ x ∩ z y ∩ w ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ �¸ º ¹ ¹ º ¸ º ´ ¹ µ º ´þ µ ¾º º ï ½ º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ½ º½ ´ º µ ¹ M(x1 , x2 , x3 )¸ ✞ ✝ a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0, º ´½ º½µ aij xi xj = 0, i,j ¼ ¹ ☎ ✆ �i¸ j aij aji ¸ º º F (x1 , x2 , x3 ) = ½¸ ¾¸ ¿ º þ (aij ) a i,j ij xi xj ¹ º º M (x1 , x2 , x3 ) (x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸ ¸ ¹ ¸ ¹ aij ´½ º½µº º ¸ ¹ ¸ ¸ º ¸ ¹ ¹ º ½ º½ º ´ ºµ º 1)X1 2 + X2 2 + X3 2 = 0; 2)X1 2 + X2 2 − X3 2 = 0; 3)X1 2 + X2 2 = 0; 4)X1 2 − X2 2 = 0; 5)X1 2 = 0. ¸ ¸ ½ ¹ ¹ ¹ ¹ �½µ ¾µ ¿µ µ µ º ½¸ ¾ ¿¸ ¸ º º ¸ ¹ ¹ º ¹ ½ F (x1 ¸ x2 ¸ x3 )º X1 ¸ X2 ¸ X3 ¸ x1 , x2 , x3 ¹ ¸ ¸ x1 = c11 X1 + c12 X2 + c13 X3 ¸ x2 = c21 X1 + c22 X2 + c23 X3 ¸ x3 = c31 X1 + c32 X2 + c33 X3 ¸ |(cij )| = 0. ¸ ¹ (x1 , x2 , x3 ) (X1 , X2 , X3 )º ¹ ¸ ½ ´½ º½µ º ¹ ¸ º º ¸ ½µ ¾ �¸ ¹ ¾µ ¸ ¸ ï ½ º ¹ ¹ º þ ¹ γ¸ aij xi xj = 0, i, j = 1, 2, 3 ( ) ´½ º½µ i,j ¸ A(a1 ¸ a2 ¸ a3 )¸ B(b1 ¸ b2 ¸ b3 )º x1 = αa1 + βb1 , x2 = αa2 + βb2 , x3 = αa3 + βb3 , (x1 , x2 , x3 ) ´½ º¾µ M ∈ xi = αai + βbi . γ ¸ ´½ º¿µº ´½ º¿µ ´½ º½µº aij (αai + βbi )(αaj + βbj ) = 0. i,j ¿ ¹ ´½ º¿µ þ ´½ º½µ º ´½ º¾µ �α2 aij ai aj +αβ i,j i,j i,j aij bi aj º i aij bi aj +β 2 aij ai bj + aij bi bj = 0. i,j þ j aij bi aj = i,j aji bj ai = i,j aji ai bj . i,j (aij ) (aij = aji )¸ aji ai bj = i,j aij ai bj . i,j ¸ aij ai bj = i,j α2 aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ i,j aij bi aj , i,j aij bi bj = 0. ´½ º µ i,j i,j þ P = aij ai aj , Q = i,j aij ai bj , R = i,j aij bi bj . ´½ º µ i,j ´½ º µ P α2 + 2Qαβ + Rβ 2 = 0. ´½ º µ �α¸ β β 2º ´½ º µ α β P 2 + 2Q β= º 0º α + R = 0. β ´½ º µ ¹ α º β ¸ ¹ γ ¸ ¸ ´½ º µº þ ½µP ¹ = 0º ´½ º µ ¸ µ µ µ α β α β α β ¹ α β 2 1 α = β 2 1 α , 1 β 2 , þ º γ µ µ γ γº µ ¾µ P = 0º ´½ º µ 2 α Q + R = 0. β P =0 P = aij ai aj = 0 ´½ º½µ ´½ º µ aij ai aj γ¸ ´½ º µ ´½ º µ¸ A A ∈ γº ¹ ¸ �α R =− º β 2Q µ Q = 0¸ µ Q = 0¸ R = 0 ¹ γº ¸ ´½ º µ ¹ ⊂ γº º þ µ Q = 0¸ R = 0¸ ´½ º µ þ º A¸ ¸ γº ï ½ º ½ º½ º A AM M A º ½ º½ ¹ º γ i,j aij xi xj = 0, γ i,j º aij ai xj = 0. ´½ º½µ A(a1 , a2 , a3 ) ´½ º¾µ ¸ ¹ �A, B(b1 ¸ b2 ¸ b3 µ º ¹ x1 = αa1 + βb1 ¸ x2 = αa2 + βb2 ¸ x3 = αa3 + βb3 ¸ xi = αai + βbi . ´½ º¿µ ¹ γº ¹ ´½ º¿µ ¹ ´½ º½µº aij (αai + βbi )(αaj + βbj ) = 0. º ¾¼ i,j º α2 aij ai aj +αβ( aij bi aj )+β 2 aij ai bj + i,j i,j i,j aij bi aj þ i aij bi aj = i,j aji ai bj = aji bj ai = i,j aji ai bj . (aij = aji )¸ ¸ aij ai bj = aij bi aj . i,j aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ i,j j¸ i,j (aij ) aij ai bj º i,j α2 aij bi bj = 0. i,j i,j aij bi bj = 0. ´½ i,j º µ �A ∈ γ¸ β(2α aij ai aj = 0º aij ai bj + β i,j β 2 α ¹ aij bi bj ) = 0. i,j aij ai bj + i,j β α aij bi bj = 0. ´½ º µ i,j γº ¸ ( αβ )1 =0 ´½ º µº ¹ ´½ º¿µº ¹ γ x1 = αa1 , x2 = x1 : x2 : x3 = a1 : a2 : a3 ¸ Aº ¹ αa2 , x3 = αa3 º γ¸ ´½ º µ ¼ 2 β α 2 =− aij ai bj i,j aij bi bj = 0. i,j aij ai bj = 0º i,j aij ai xj = i,j aij ai (αaj +βbj ) = α i,j ¼º aij ai aj +β i,j aij ai bj i,j M aij ai xj = 0º ¸ ¸ º x21 + ½ º½ º 2 x2 − 4x1 x2 + 6x2 x3 = 0 (1, −1, 1). ¹ ¹ �º ¹ A(a1 , a2 , a3 ) a1 x1 + a2 x2 − 2a1 x2 − 2a2 x1 + 3a2 x3 + 3a3 x2 = 0º º ¹ x1 − x2 − 2x2 + 2x1 − 3x3 + 3x2 = 0 ¸ x1 − x3 = 0º ¸ ½ º¾ º ¹ A ¸ ¸ ¸ ¹ º ï ¾¼º º ½º ¹ ¾¼º½ º ¹ B A B γ¸ A ¹ M1 ¸ M2 γ Aº ¸ A Bº ¸ 1º ◦ º ¹ º �¾¼º½ º γ aij xi xj = 0 ´¾¼º½µ i,j A3 ¸ E} R = {A1 ¸ A2 ¸ A(a1 ¸ a2 ¸ a3 ) ¸ ¹ γº A(a1 , a2 , a3 ) γ ✞ ✝ ¸ i,j aij ai bj = 0. B(b1 , b2 , b3 ) ¹ ☎ ✆ ´¾¼º¾µ º AB xi = αai + βbi . ´¾¼º¿µ AB γ¸ ´¾¼º¿µ α2 i,j i,j β α β ´¾¼º½µº aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ 2 A ∈ γ¸ 2 aij ai aj + 2 i,j α1 β1 aij bi bj = 0. i,j β = 0º α β ¹ ¹ aij ai bj + i,j aij bi bj = 0. ´¾¼º µ i,j ´¾¼º µ α2 ¸ β2 ¼ ¹ M1 �M2 AB γº ¹ M1 ¸ M2 α1 ai + β1 bi α2 ai + β2 bi º M1 ¸ M2 ¸ A¸ B ¹ ´ (M1 M2 , AB) = −1º þ (M1 M2 , AB) = (AB, M1 M2 ), µ¸ ¸ ¹ ¸ β1 β2 : = −1. α1 α2 β1 α2 = −1. β2 α1 β1 α2 +α1 β2 = 0 ¸ ¸ β1 β2 ¸ α1 α2 + = 0, β1 β2 º º ´¾¼º µ ¼º þ Q= aij ai bj = 0. i,j A þ B ´¾¼º¾µ¸ ¹ ¹ γº 2 ◦ º º B γ¸ B ½ A γº A ¹ ¹ �B º ¹ Aº aij ai bj = 0. i,j (aij ) (aij = aji )¸ aij ai bj = i,j aji ai bj . ´¾¼º µ i,j i j¸ aji ai bj = i,j aij aj bi i,j aji ai bj = i,j aij bi aj . ´¾¼º µ i,j ´¾¼º¾µ¸ ´¾¼º µ ´¾¼º µ aij bi aj = 0, i,j ¸ ¸ A B γº 3◦ º º º A¸ A ∈ γ¸ ¹ γº aij ai aj = 0. i,j ¹ ´¾¼º¾µ bj = aj ¸ º º ¾ A �Bº 4 ◦ A ¸ º ¸ ¸ º º B A A ∈ γº C γ¸ A A BC ¹ ¹ γº B¸ C A (bi )¸ (ci )¸ (ai ) BC º xi = αbi + βci º º aij ai xj = i,j aij ai (αbj + βcj ) = i,j α aij ai bj + β i,j B aij ai cj . i,j C A¸ aij ai bj = 0 aij ai cj = 0 i,j i,j aij ai xj = 0, i,j º º M Aº º º ¾º ¿ ¹ M(xi ) �¾¼º¾ γ º ¹ Aº M¸ γ¸ A A ¹ aij xi xj = 0 ¹ ¹ γº ¾¼º¾ º γ i,j (a1 , a2 , a3 )¸ A A i,j aij ai xj = 0. ´¾¼º µ º γº A ¹ M(x1 , x2 , x3 ) ∈ ¸ M Aº A M ´¾¼º µ i,j aij ai xj = 0. M ¹ ¸ ´¾¼º µ º ¸ ¹ ´¾¼º µ x1 , x2 , x3 º ¸ º ¾¼º½ º γ¸ γ ¸ ¹ A Aº γ �A∈γ ´¾¼º µº ¹ Aº ´Á ºµ γ A¸ A ∈ γ º γº ¸ A º ´ ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ ½ º º ¾½µ m A {M1 , M2 } = m ∩ γ ¸ B : (M1 M2 , AB) = −1¸ p A {P1 , P2 } = p ∩ γ ¸ C : (P1 P2 , AC) = −1¸ BC = ¹ º º Aº BC BC ´ ¸ º ¾½ B C ¹ ¹ A Aº º ½ ºµ ¾¼º¿ bº ¸ A ¸ º´ A ∈ b¸ º ºµ a¸ ¹ γ B B ∈ aº aij xi xj = 0 ¹ γ A¸ B A(ai )¸ B(bi )º a a x = 0 a b x = 0 ¸ i,j ij i j i,j ij i j a bº A ∈ b¸ ø b i,j aij bi aj = 0. þ i,j �(aij ) aij bi aj = aij ai bj i,j ´ º ï ½ º i,j ï ½ ºµº ¸ aij ai bj = 0, i,j B ¾¼º AT1 T1 T2 ¸ º γ¸ AT2 A¸ γ¸ T1 A º ¹ T2 ¸ γº ¹ ¸ AT1 γ T1 ´ A ∈ AT1 T1 A´ T1 ∈ a¸ a a = T1 T2 º A γ a T1 T2 ¸ º ´ ¹ ¸ γº ¹ ¾¼º ºµ γ AT1 ¹ ¹ T2 ∈ aº ¸ ¾¼º ¹ ½µº ¸ µº ü º ¾¾ ¸ aº AT2 ¹ �º t1 T1 ¸ t2 º º ¾¼º¿ A ∈ t1 ¸ AT1 = t1 ¸ AT2 = t2 ´ÁÁ γ a º ½µ ¾µ º µº ¸ A º Aº º AT1 ¸ AT2 T1 T2 = a γ¸ ´ ¸ Y Z¸ Wº XY ZW ¸ γ T1 ∈ a¸ A ∈ t2 ¸ T2 º º ¾¼º ¹ A∈γ A ¾¼º µº γ º XW X¸ Z¸ Y ¸ γ BC ¹ B = XZ ∩ Y W ¸ C = XY ∩ ZW ¸ A γº º Q = Y Z ∩BC ´ P = XW ∩ BC ¸ º ¾¿µº XY ZW XW A ¹ ¹ ¸ ¸ P ¹ ¹ XW º ¾¿ BC ¸ 2◦ º X, W, A, P º P ¹ A ¹ �γ ¸ ¸ Aº ü a = P Q = BC º ´III γ ¸ P ∈ a¸ a Q ∈ aº µº A ∈ γº ¸ A º ½µ ¾µ ¿µ ´ º ¸ ´ º ¾¿µ XW ¸ Y Z A B = XZ ∩ Y W ¸ C = XY ∩ W Z ¸ BC = a ´ ¾¼º ºµ º ¸ ¾ ºµ ´IV ´ µº º ¿ ºµ γ ¹ ¸ A º ½µ ¾µ ¿µ γº º A ∈ γº ´ γº º ¾ µ XW ¸ Y Z ¸ ST B = XZ ∩ Y W ¸ C = Y T ∩ SZ BC = a º A º XY ZW º ¾¼º B∈a ü Aº ¹ C º¾ Aº ¸ BC = a¸ Y ST Z a º º BC ¹ Aº º A ∈ γ¸ A ¸ A º γ¸ ¹ �II µº ´ ¿º ¾¼º¿ º a A γº A aº ¾¼º½ ¸ º ºµ ´ γ a ¹ º A aº º ´ º º¾ º ¾ µ ½µ ¾µ ¿µ µ B ∈ a¸ C ∈ a b c A= b∩c B∈a ¸ aº ¸ c A= b∩c ¸ B¸ C¸ º º b ¸ aº C aº ü ¹ �¾¼º º ¸ ¹ ¹ ´ µº ¸ ¹ ¹ º 1º 2◦ º ◦ ´ µº ¹ º 3 ◦ º γ aij xi xj = 0 ¹ i,j u1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , u2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , u1 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) ¸ º ï ¾½º ½º ÿ ½¼¼ (u1 ¸ u2 ¸ u3 ) ¹ �¾½º½ º ´ ºµ Π(L) ¹ Π(L )¸ ¸ ¹ º ¸ ¹ L¸ L º ´ ¸ º µº Π(L) ½º Π(L ) ¸ ¹ LL ¸ º ¾½º¾ º º ´Ç ºµ L¸ L ¸ (L )¸ º ¹ γ M ∈ γ¸ ¹ (L) LM L M¸ º º ¾º º ½¼½ ¹ �¾½º½ º ¹ º ¾º ¾½º¾ º Ai ¸ i = 1¸ 2¸ 3¸ 4¸ 5¸ 6¸ ¸ ¹ A1 A2 ¸ A2 A3 ¸ ¸ A3 A4 ¸ A4 A5 ¸ A5 A6 ¸ A6 A1 ¸ µº ¾½º¿ ¸ ´ ¹ º ¹ ¸ º ¾½º¿ º ´ ´ A1 A2 A3 A4 A5 A6 P R γ¸ = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ = A3 A4 ∩ A6 A1 Q ¹ µ ¹ A2 A3 ∩ A5 A6 ¸ ¹ º º = ºµ þ ¹ ½¼¾ �¸ ¹ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¹ A4 º A1 (1, 0, 0)¸ A2 (0, 1, 0)¸ A3 (0¸0, 1)¸ A4 (1, 1, 1) A5 (a, b, c)¸ A6 (a , b , c )º γ º¾ a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0. ´¾½º½µ A1 ∈ γ a22 = 0¸ a33 = 0º a11 = 0º ü ´¾½º½µ a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3 = 0, A4 ∈ γ ¸ A5 ∈ γ ¸ A6 ∈ γ ¸   a12 + a13 + a23 = 0, a12 ab + a13 ac + a23 bc = 0,   a12 a b + a13 a c + a23 b c = 0. ´¾½º¾µ a12 ¸ a13 ¸ a23 ¸ ´¾½º¾µ¸ ¹ º ¸ 1 ∆ = ab ab þ 1 ac ac 1 bc = 0. bc ´¾½º¿µ ¸ aa (bc − cb ) − bb (ac − ca ) + cc (ab − ba ) = 0, ½¼¿ ´¾½º µ �A5 ¸ A6 º P ¸ R¸ Q º ¸ ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 º x3 = 0¸ x1 = 0¸ x1 x2 x3 1 1 1 = 0¸ A3 A4 x1 − x2 = 0¸ 0 0 1 x1 x2 x3 1 1 1 = 0¸ A4 A5 a b c (c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0, x1 x2 x3 a b c = 0¸ A5 A6 a b c (bc − cb )x1 − (ac − ca )x2 + (ab − ba )x3 = 0¸ x1 x2 x3 A6 A1 cx2 − b x3 = 0. a b c = 0¸ 1 0 0 P = A1 A2 ∩A4 A5 º A1 A2 A2 A3 ¸ A1 A2 A4 A5 x3 = 0, (c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0. ¸ ü P (c − a, c − b, 0)º A2 A3 ∩A5 A6 x1 = 0, (bc − cb )x1 − (ac − ca )x2 + (ab − ba )x3 = 0 ½¼ Q = �Q(0, ab −ba , ac −ca )º R = A3 A4 ∩ A6 A1 º ¸ ¸ º x1 − x2 = 0, c x2 − b x3 = 0. ¸ ¸ x2 = b ¸ x3 = c º P ¸ Q¸ R þ R(b , b , c )º º ¸ ¹ P ¸ Q¸ R ∆ = c−a c−b 0 ab − ba b b 0 ac − ca c = = (c−a)(ab −ba )c +(c−b)(ac −ca )b −(c−a)(ac −ca )b = (ab −ba )(cc −ac )+(ac −ca )(cb −bb )−(ac −ca )(cb −ab ) = (ab − ba )cc − ac (ab − ba ) + (ac − ca )(ab − bb ) = (ab −ba )cc −ac ab +ac ba +ac ab −ca ab −(ac −ca )bb = (ab − ba )cc − (ac − ca )bb + (bc − cb )aa . ´¾½º µ ¸ ¸ P ¸ Q¸ R ºµ ¾½º ∆ = 0º þ º º ´ ¹ P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩ A5 A6 ¸ R = A3 A4 ∩ A6 A1 ¹ ¸ º A1 A2 A3 A4 A5 A6 ½¼ ¹ �º ¸ ∆ =0 ¸ P ¸ Q¸ R ´ ∆=0´ µ¸ ¹ γ µº ´ µ ¹ ´ µ¸ ´ µ ´ ¹ µ¸ ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ º µ ´ º ½¼ ´ ¹ µ¸ ¹ ¹ �¾½º º ´ ¹ ºµ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ º º A1 A2 A3 A4 A5 ¸ γº A5 = A6 A1 A2 A3 A4 A5 A6 º P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩ A5 A6 = A2 A3 ∩ p ´p γ A5 µ¸ R = A3 A4 ∩ A6 A1 = A3 A4 ∩ A5 A1 º º ¾½º º ´ º¾ ¹ ºµ ¸ ¹ ¹ ¹ º º ¹ A1 A2 A3 A4 ¸ γº ½¼ �µ A1 = A5 ¸ A3 = A6 A1 A5 A2 A3 A6 A4 º º P = a1 ∩ a3 ¸ ´a1 A3 µ¸ ¹ ¸ A1 ¸ a3 ¹ Q = A1 A2 ∩ A3 A4 ¸ R = A2 A3 ∩ A4 A1 º µ A2 = A5 ¸ A4 = A6 A1 A2 A5 A3 A4 A6 º ¸ a2 ∩ a4 ¹ S = ¸ ´a2 A2 ¸ a4 A4 µ º º¾ º º¾ ¾½º º ´ ºµ ¸ ¹ ¹ º º º º γ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ A4 ¸ A5 º ¹ ½¼ �γ ´ º ¿¼µº º ½µ ¾µ ¿µ µ º P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ P ¸ A2 A3 ∩ = Q¸ A3 A4 ∩ = R¸ A6 = QA5 ∩ RA1 º º ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 º º ¿¼ ¹ P¸ Q R º A6 ¸ ¸ º γº º ý ¿º ¾½º º ¹ ¸ º ¾½º º ¸ ¹ º ¾½º º ´ ¸ ºµ ý ¸ ý ¸ a1 a2 a3 a4 a5 a6 º γº ½¼ º ¹ ¹ ¹ ¹ f �A1 A2 a1 a2 A3 q p a3 r A6 L a6 A5 f ´ai µ Ai (i 3¸ 4¸ 5¸ 6) 2¸ A4 ¸ a4 a5 γº ¹ = 1¸ ¹ º º ¿½ ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩A5 A6 ¸ R = A3 A4 ∩A6 A1 ¹ º º ¸ P ¸ Q¸ R ¹ p¸ q ¸ r ¸ ´ µ a1 ∩ a2 ¹ a4 ∩ a5 ¸ a2 ∩ a3 a5 ∩ a6 ¸ a3 ∩ a4 L a6 ∩ a1 ¸ º ´ ý µ º ´ µ ý ¸ ¹ a1 ¹ ¹ ¸ a5 ¸ p r ¹ ¹ a4 L ¹ ¸ § ¸ ¸ ý ↔ ½½¼ q a3 ¹ ¸ a2 º ¿¾ ↔ ¹ ↔ º �¾½º º ´ ý ºµ ¸ ¸ ¸ º ´ ¹ A4 ¸ ´ A1 L A3 a3 a2 A2 q r º ¿¾µº a1 p s ¹ ¹ ¸ ý a4 ¹ ý ºµ ¸ a1 ¸ ¸ º ¾½º½¼ ¹ A3 q A1 p L r a2 a3 A2 º ¿¿º º ¿ º ½½½ ¹ ¹ ¸ �¾½º½½ º ´ ý ºµ ¸ ¸ ¹ ¸ ý ´ º ¿¿µº ý º ÿ ï ¾¾º ¹ ½º ¾¾º½ ¹ º ¹ ¸ º ¾¾º½ ¹ ¹ ¹ º º ºþ ¹ ¸ ¹ f g ¹ ¸ ¸ g◦f ½½¾ ¹ �¸ ¹ º þ ¹ ¹ f ¸ ¹ ¸ ¹ f −1 ¹ ¹ ¸ ¸ f¸ ¹ º º þ ¹ º f ¹ ¹ ¹ ¸ A1 E A2 ºþ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} ¸ ¸ f º A3 ¹ ¸ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , ∆ = |(aij )| = 0, i, j = 1, 2, 3º A1 (1, 0, 0)º ¸ A2 (0, 1, 0) ¸ ´¾¾º½µ A1 A1 (x1 , x2 , 0)º A1 A1 a31 = 0º ü A2 (x1 , x2 , 0)¸ ¹ ´¾¾º½µº ¸ a32 = 0º ´¾¾º½µ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 , ½½¿ ´¾¾º¾µ �∆ = a33 (a11 a22 − a12 a21 ) = 0º þ º f ¹ ´¾¾º¾µ¸ ¹ ¹ ¸ = A1 A2 º ¸ º ¾¾º¾ ¸ ¹ ´¾¾º¾µ º ÿ ¹ º º þ x= ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ´¾¾º¾µ x1 x x2 x , y = , x = 1, y = 2. x3 x3 x3 x3 ρx1 a11 x1 a12 x2 a13 = + + , ρx3 a33 x3 a33 x3 a33 a21 x1 a22 x2 a23 ρx2 = + + ρx3 a33 x3 a33 x3 a33 a1 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 , b1 = , c1 = , a2 = , b2 = , c2 = . a33 a33 a33 a33 a33 a33 ´¾¾º¾µ x = a1 x + b1 y + c1 , y = a2 x + b2 y + c2 , ½½ ´¾¾º¿µ �∆ = a1 b2 − a2 b1 = 0º ´¾¾º¿µ¸ ¸ x¸ y º ¸ ¹ ¹ ¹ º ¹ º ¾º P2 º ¾¾º¾ P2 ¸ ºü P2 \ A2 ¸ º º º º ¸ ¹ A2 P2 ´ µ¸ ü º A2 P2 ¸ ¹ ¹ º ¹ º ¾¾º¿ º a¸ b A2 P2 ¸ a∩b º º ¸ ½½ �¸ º ¾¾º¿ º ü a¸ a¸ bº b f ¹ A2 a||b¸ a = f (a)¸ b = f (b)º P2 a¸ b ¹ º f (C ) = C º º a||b¸ C ¸ C b a º C ∈ P2 A2 ¸ ´ ¹ µº P2 ¹ A¸ B a ¸ a ¾¾º ¸ º º AB A2 AB = a¸ a P2 º A2 A¸ B a ¹ ¸ º ½½ �º (AB, C) A¸ B ¸ C (AB, CD )¸ (AB, C) = (AB, CD )º ¾¾º ¾¾º º a D = a∩ ¸ º ¹ C AB ¸ ¹ A¸ B ¸ D ¾¾º ºµ ü º º D =a∩ ¸ ¸ a = AB º ´ ¹ ¹ A2 f º A¸ B ¸ C A2 aº ü A¸ B ¸ C f (a)º a P2 D D P2 ¸ º º ¹ ¹ ¸ f A¸ B¸ C a D a ∩ fº ¹ (AB, CD ) = (A B , C D )º (AB, C) = (A B , C )º ½½ ¹ a = ¹ ¹ A2 ¹ �¾¾º º ¹ P2 ¹ A2 ¹ ¸ ¿ ´ º º ¿ µº µ ¹ ¸ ´ ¹ º ¿ µ ¸ µ ´ µ µ º ¿ º þ ¹ A2 º º ü ½º ½º ¾º ¾º ¿º º º ¿º º ½½ ÿ ¹ �º º º º º ¾¾º º ¹ A2 º ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º ¾¾º º A2 ¹ ¸ ¸ ¹ º ´¾¾º µ ¾¼º¿ ¸ ¹ ¸ º ¾¾º½¼ º ü ¹ º ¸ ´ ¾¼º¿ µº ½½ �ï ¾¿º ¹ ¸ ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ½º ü º ÿ P2 A1 ∈ ¸ ¸ A2 ∈ x21 + x22 − x23 = 0º ¹ ¾¿º½ ¸ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} A3 ∈ / ¸ E ∈ / º ¹ x3 = 0º γ¸ γ I (i, 1, 0)¸ J (−i, 1, 0)º º ¸ I¸ J¸ ¹ ¸ ¸ I¸ J ¾¿º¾ ¹ ¹ º º ¹ P2 ¸ ¹ ¹ ¸ º ¸ ¹ 1◦ . ¹ ½¾¼ �¹ º 2◦ . ¹ ¸ º 3. ◦ ½µ I ¸ I J J I ¸ J J Iº þ º 1◦ ∆ = a33 (a11 a22 − a12 a21 ) = 0º ½º I ü ¹ ¹ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 , I ¹ ¾µ J ´¾¿º½µ f º ¹ I = I ´¾¿º½µº ρi = a11 i + a12 , ρ = a21 i + a22 . J J =J −ρi = −a11 i + a12 , ρ = −a21 i + a22 . a11 = a22 , a12 = −a21 . ´¾¿º¾µ ρx1 = a11 x1 − a21 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a11 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 . ½¾½ ´¾¿º¾µ ´¾¿º½µ ´¾¿º¿µ �x= a= x x1 x2 x , y = , x = 1, y = 2 x3 x3 x3 x3 a11 a21 a13 a23 , b= , x0 = , y0 = . a33 a33 a33 a33 ´¾¿º¿µ x y = ax − by + x0 , = bx + ay + y0 , ´¾¿º µ ∆ = a2 + b2 > 0º þ cos ϕ = √ a a2 + b2 , sin ϕ = √ b a2 + b2 . x = k(x cos ϕ − y sin ϕ) + x0 , y = k(x sin ϕ + y cos ϕ) + y0 , k= √ a2 + b2 º º ¾º ü ¸ ¸ I J I¸ x = k(x cos ϕ + y sin ϕ) + x0 , y = k(x sin ϕ − y cos ϕ) + y0 , ½¾¾ J �k= a2 + b2 º ¹ º ✬ ✫ √ ✩ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ✪ º ¾º ¾¿º¿ º a b ¹ ¸ A = a∩ ¸ B = b∩ I¸ J¸ ¾¿º ¹ º º (II J , AB) = −1º º ¸ ¹ I¸ Jº ¸ ¹ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 . O(x0 , y0 ) r ¸ º ½¾¿ ¹ �¾¿º A º |AB| B A ¸ ¹ Bº ¸ A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 )¸ |AB| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . þ ¹ ´ µ ¾¿º º ¸ ¹ ¹ º k = 1 ¸ x = x cos ϕ − εy sin ϕ + x0 , y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0 , ε = +1 −1º ´ µ ½¾ �º ü ü ½¾ �½º þ ü þ ½º ¹ ¸ ½º a A ¹ º ¾º º ¿º þ º º þ ¸ º º ¸ ´ a¸ b º ¹ µº ¸ ¸ A ¹ ¸ ¹ ¸ A º a¸ bº ¸ º ½¾ �º ¸ ¹ º º ¸ ¹ º ½¼º A α β¸ α βº ½½º ½¾º ¸ ¹ aº a þ ¸ ¹ aº ½¿º ½ º ½ º º º º ¾º ¸ ½ ½ a α¸ α ºþ β º A º º ½ ½ º º A º B a a ¾¼º αº A¸ B ¸ C¸ º ½¾ �¾½º α¸ β γ¸ ¸ º ¾¾º a b A ¸ ¹ ¸ a bº ¾¿º ¹ º ¾ º þ ¸ ¸ º ¾ ¾ º þ º º ¸ ¾ º º ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ ¹ º ¾ ¾ º º º ¿º ¿¼º R = {A1 ¸A2 ¸ E}º A(2, 3)¸ B(−2, 3)¸ C(1, −1)¸ D(1, 4)¸ F (5, −3)¸ K(−4, 1)¸ L(−3, 1)¸ M(2, 5)¸ P (3, −2)¸ H(−1, 3)¸ T (2, −1)º ¿½º R = {A1 ¸A2 ¸ E}º A(1, 2)¸ B(−3, 2)¸ C(−1, 1)¸ D(2, 1)¸ ½¾ �F (2, −1)¸ K(2, −3)¸ L(5, −3)¸ M(1, 4)¸ N(3, −1)¸ P (5, 2)¸ T (3, −4)¸ µ A1 (1, 0)¸ µ A2 (0, 1)º ¿¾º ¹ þ A1 (1, 0) A2 (0, 1) E ¹ ¸ A(1, 2)¸ B(−3, 2)¸ C(−1, 1)¸ D(1, 4)¸ F (3, −4)¸ G(4, −1)¸ K(−2, 3)¸ L(−5, 2)¸ M(5, 1)¸ H(−1, 3)¸ S(4, 3)¸ T (2, 1)º ¿¿º R = {A1 ¸ A2 ¸ E} {O, a}º ¸ µ A1 ¸ A2 = O a= −−→ OE µ A2 ¸ A1 = O a= −−→ OE µ E ¸ A1 = O a= −−→ OA2 ¸ M(x1 , x2 )¸ x1 ¸ x2 º ¿ º E(1, 1) º ¹ A1 A2 ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¿ º R = {A1 , A2 , E}¸ E º ¹ M¸ A1 A2 λº ¿ º R = {A1 , A2 , E}¸ E A1 A2 º ¿ µ µ º º (2, 1)¸ (3, 4)¸ A1 ¸ A2 º E R = {A1 , A2 , E}¸ P∞ µ (−2, 1)¸ µ (1, 3)¸ µ(−1, 3)¸ µ (1, 4)¸ µ (−3, 2)¸ µ (2, 5)º ½¾ ¹ ¸ µ (−1, 2)¸ µ (3, 2)¸ �¿ A2 ¸ E º R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¹ A1 ¸ P∞ ¸ ¸ ¹ ¿ º ¿ A1 ¸ E º R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¹ A2 ¸ P∞ ¸ ¸ ¹ ¿ º ¼º E}º C(3, 1) A(1, 2) R = {A1 , A2 , B(−2, 1) ¸ R = {A, B, C}¸ ¹ M º ½º A2 , E} R = {A1 , A2 , E }¸ 1) A1 = A2 , 2) A1 = E, 3) A1 = A1 , 4) A1 (2, −1), 5) A1 (−1, 1), 6) A1 (2, 1), 7) A1 (4, −1), 8) A1 (3, 4), 9) A1 (1, −2), 10) A1 (5, −3), 11)A1 (1, 5), A2 = A1 , A2 = A1 , A2 = E, A2 (−1, 1), A2 (2, 3), A2 (−3, 1), A2 (2, −1), A2 (2, 5), A2 (3, 1), A2 (3, −4), A2 (5, 3), E = E; A1 = A2 ; E = A2 ; E (1, 0); E (1, −2); E (−1, 2); E (−3, 1); E (4, 3); E (3, 8); E (−1, 5); E (1, 3). ½¿¼ R = {A1 , �º ¾º A3 , E}º A2 E ∩ A1 A3 ¸ E3 = A3 E ∩ A1 A2 º R = {A1 , A2 , E1 = A1 E ∩ A2 A3 ¸ E2 = ¿º R = {A1 , A2 , A3 , E} P (1, 2, −1)º P1 = A1 P ∩ A2 A3 ¸ P2 = A2 P ∩ A1 A3 ¸ P3 = A3 P ∩ A1 A2 º º R = {A1 , A2 , A3 , E} M(x1 , x2 , x3 )º ¹ M1 = A1 M ∩ A2 A3 ¸ M2 = A2 M ∩ A1 A3 ¸ M3 = A3 M ∩ A1 A2 º º R = {A1 , A2 , A3 , E}º A(1, 2, 0)¸ B(−3, 0, 1)¸ C(0, 1, −1)¸ D(−1, 3, 0)¸ H(2, 0, 3)¸ K(0, −1, 2) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E}¸ E º ¹ A(0¸−2¸−1)¸ B(1, 2, 0)¸ C(−1, 0, 3)¸ D(2, 1, 0)¸ H(0, 3, 4)¸ K(0, 3, −1) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E}¸ A1 A2 º ¹ A(0, 2, 1)¸ B(3, 0, −2)¸ C(2, 0, −1)¸ D(0, −1, 2) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E} A1 A2 º ¸ ¹ x1 = x, x3 x2 = y, x3 x, y ½¿½ �−−−→ −−−→ {A3 , A3 E2 , A3 E1 }¸ E1 = A1 E ∩ A2 A3 ¸ E2 = A2 E ∩ A1 A3 º R = {A1 , A2 , º A3 , E}¸ A1 A2 º ¹ R A(1, 4, −1)¸ B(2, 1, 3)¸ C(3, 5, 1)¸ D(−2, 3, 1)¸ H(4, 3, 1)¸ K(−5, 2, 3)º R = {A1 , A2 , ¼º A3 , E}º ½µ (1, 2, −1)¸ ¾µ (2, 3, 1)¸ ¿µ (−2, 3, 1)¸ µ (2, 1, 3)¸ µ (3, 2, 1)¸ µ (−3, 2, 1)¸ µ (4, −2, 1)¸ µ (−1, 2, 3)¸ µ (−1, 3, −3)¸ ½¼µ (2, 5, −5)º R = {A1 , A2 , ½º A3 , E}¸ A1 ¸ E º ¸ ¼º ¾º A3 , E}¸ R = {A1 , A2 , A2 ¸ E ¸ º ¼º ¿º A3 , E}¸ R = {A1 , A2 , A3 ¸ E ¸ º ¼º º E A1 A2 A3 A3 , E}¸ ¸ ¼ R = {A1 , A2 , µ µ ¹ º R = {A1 , A2 , A3 , E} A¸ B ¸C ¸ D 0)¸ (0, 0, 1)¸ (1, 1, 2) º A¸ B ¸ C ¸ D ½µ ¸ ºþ ¹ (1, 0, −1)¸ (2, 1, º ¾µ R C, D}º ½¿¾ R = {A, B, �º R = {A1 , A2 , A3 , E }¸ A2 ¸ A3 ¸ E 1) A1 (1, 0, 0), A2 (0, 1, 0), 2) A1 (1, 0, −1), A2 (2, 1, 0), 3) A1 (0, 1, 0), A2 (−1, 0, 1), 4) A1 (0, 1, 0), A2 (0, 0, 1), 5) A1 (1, 1, 1), A2 (1, −2, 1), 6) A1 (−2, 3, 1), A2 (1, 0, −2), 7) A1 (1, −2, 1), A2 (0, 1, −3), 8) A1 (0, 0, 1), A2 (2, 3, 1), 9) A1 (−1, 1, 0), A2 (0, 2, 3), 10)A1 (3, −1, 5), A2 (1, 0, 4), R = {A1 , A2 , A3 , E} R A1 ¸ A3 (1, 2, −1), A3 (0, 0, 1), A3 (2, 1, 0), A3 (1, 0, 0), A3 (−2, 0, 1), A3 (1, −1, 2), A3 (1, 1, 1), A3 (−2, 1, 5), A3 (3, 5, 1), A3 (−2, 1, 1), E (0, 1, 3); E (1, 1, 2); E (1, 2, 1); E (1, 1, 1); E (0, −1, 3); E (2, 1, 1); E (2, −6, −1); E (0, 4, 1); E (−5, 3, −5); E (−2, 1, 3). º º º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ½µ A1 A2 A3 A1 E ¸ A2 E ¸ ¾µ A3 E º AB º AB ¸ µ A(3, 0, −1)¸ A(−1, 2, 0)¸ A(0, 5, 1)¸ A(1, 3, 1)¸ A(−1, 1, 0)¸ A(3, 2, 1)¸ º ¸ µ µ µ µ µ B(−1, 3, 0) B(1, 1, 3) B(−2, 1, 7) B(−2, 1, 0) B(2, 3, 5) B(−5, 0, 1)º A, B, C ½¿¿ ¹ �¸ µ µ µ µ µ µ ¼º A(1, 2, −1)¸ A(0, 1, 3)¸ A(2, 1, 0)¸ A(0, −4, 1)¸ A(1, −1, 2)¸ A(−2, 0, 3)¸ B(−3, 1, 1)¸ C(−1, 5, −1) B(−5, −1, 3)¸ C(10, 3, −3) B(−5, 13, −3)¸ C(−3, 5, −1) B(1, 2, 1)¸ C(3, −2, 5) B(0, 3, −1) C(−1, −5, 0) B(1, 5, −2)¸ C(0, 5, 3)º K(3, −2, 1), L(0, 1, −1), M(1, ¸ − 2, 5) º ½º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¹ ¸ A1 ¸ A2 A3 ¸ E º µ µ µ A2 ¸ A3 µ A1 ¸ A3 ¹ µ A1 ¸ E µ A2 ¸ E ¾º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º AB ¸ µ A(−5, 2, 1)¸ µ A(2, 1, −3)¸ µ A(7, 6, 4)¸ µ A(3, 1, −1)¸ µ A(−1, 3, 1)¸ µ A(−2, 3, 3)¸ ¹ B(1, 3, 3) B(1, −2, 1) B(3, −3, 2) B(−1, 2, 3) B(2, 2, 1) B(1, −2, 5)º ¿º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ ¹ A2 ¸ A3 º AB ¹ ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A3 º AB ¹ ¹ ¹ ¾º ½¿ �º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A2 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A3 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ M 1) M(1, −2, 3), 2) M(4, 1, 1), 3) M(−1, 1, 3), 4) M(−1, 2, 2), 5) M(2, 1, −3), 6) M(3, 3, 2), 7) M(−3, 1, 2), 8) M(1, 1, 2), 9) M(1, −1, 3), 10) M(2, −1, 1), º µ a¸ a : 2x1 + x2 − 3x3 = 0; a : x1 − 7x2 + x3 = 0; a : x1 + x2 + x3 = 0; a : 3x1 − x2 + x3 = 0; a : 2x1 + 2x2 − x3 = 0; a : x1 − 4x2 + 2x3 = 0; a : x1 + x2 − x3 = 0; a : 2x1 − 3x2 + x3 = 0; a : 3x1 + 3x2 − x3 = 0; a : 5x1 − 7x2 − x3 = 0. R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ µ A2 ¸ A3 A3 ¸ E º M ¹ ¹ µ A1 ¸ A3 µ ¸ A1 ¸ E µ A2 ¸ E ¹ a¸ ½¿ �º ¼º ¸ ½º x1 − x2 + 2x3 = 0 2x1 + 2x2 − x3 = 0 µ x1 − x2 + x3 = 0 µ x1 − 2x2 − 2x3 = 0 µ 2x1 − x2 + x3 = 0 µ 2x1 + 3x2 − x3 = 0 µ x1 − 3x2 − 3x3 = 0 µ 3x1 + x2 + 2x3 = 0 µ 3x1 − x2 + 5x3 = 0 µ x1 + 5x2 − 3x3 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 = 0 3x1 − 5x2 + 2x3 = 0 2x1 − x2 + 5x3 = 0 x1 + 3x2 − x3 = 0 x1 + x2 − x3 = 0 x1 − 2x2 + x3 = 0 2x1 + x2 + x3 = 0 x1 − x2 + 2x3 = 0 3x1 + 2x2 − 5x3 = 0 x1 + x2 + 3x3 = 0º a, b, c µ µ ¾º ¸ a(5, 1, 3)¸ ¾µ a(1, 1, 0)¸ ¿µ a(1, −1, 2)¸ µ a(0, 2, −3)¸ µ a(−3, 1, 2)¸ µ a(−1, 2, 0)¸ µ a(1, 3, 3)¸ µ a(1, 2, 5)¸ µ a(1, −2, 3)¸ ½¼µ a(2, 2, 1)¸ ½µ ¿º ¹ (1, 2, −1)¸ (3, 5, −2)º b(−2, 4, 3)¸ b(2, −1, 3)¸ b(5, 3, 0)¸ b(1, −2, 4)¸ b(2, 0, −1)¸ b(1, 1, 5)¸ b(2, −1, 2)¸ b(3, 0, 1)¸ b(1, 4, −1)¸ b(0, −2, 5)¸ c(8, 6, 9) c(5, 2, 3) c(3, 1, 1) c(1, 2, −2) c(3, −5, −4) c(2, −7, −5) c(3, 2, 5) c(−1, 1, 2) c(3, 0, 5) c(1, 0, 3)º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¸ ½µ (1, 2, 0) ¾µ (0, −3, 1) ¿µ (4, 0, −1) µ (1, 2, 2) µ (1, 2, 3) µ (−1, 2, 3) µ (3, −2, 1) µ (2, −1, 4) µ (2, 3, 1) ½¼µ (−2, 1, 1) ½½µ (3, 2, 3) ½¾µ (1, −3, 1)º º ¹ ½¿ �R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ E º ¹ ¸ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ ¾º º º ¸ ¹ µ µ ¸ µ A, B µ α¸ a AB α µ ¸ a, b µ α¸ ¹ a¸ ¸ ¹ b µ A α β¸ ¹ µ µ a α¸ ¸ ½¿ ¹ �µ ¸ µ ¸ a µ α a, b µ α¸ ¸ ¸ a A ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ A a b ABC BB ¸ CC O¸ AB ∩A B ¸ Q = BC ∩B C ¸ R = AC ∩A C ABC µ AA ¸ P = º º ¸ º α º β¸ ¹ M¸ ¸ º º α º A β ¸ α β¸ ¹ B¸ ¸ m¸ A Bº ¹ ¹ º ¼º ABC M AM ¸ BM º CM º A0 ¸ B0 C0 A0 B0 C0 ¸ º ABC º þ º ½º ´ µ ¹ ¸ ´ ¹ µ ¸ ½¿ º �º ¾º s A, B, C º ¹ m¸ Y = ∩ n¸ W = m ∩ n¸ D = s ∩ XZ º þ ¹ A C nº Z = BY ∩ m¸ X = BW ∩ º ¿º α, β, γ ¸ ¹ a, b, cº º ABC º p¸ AB, BC, AC HC, KA, MB p º H, K, M º P QRº þ º a º α b A¸ α ¹ Aº º a º Pº b c α P αº º º ¸ º º º ¹ 1◦ . ¹ ¸ ¹ ½¿ �º ◦ 2. ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ º º ¿ ¹ º º¿ ¸ A1 ¸ µ A2 ¸ µ A10 º µ µ A6 ¸ µ A7 ¸ µ A8 ¸ µ A9 ¸ µ A3 ¸ A4 ¸ µ µ A5 ¸ ¹ ¸ A1 A2 ¸ A3 A10 ¸ A2 A8 ¸ µ A4 A6 ¸ µ A1 A4 ¸ µ A1 A6 ¸ A3 A9 ¸ µ A9 A10 ¸ µ µ µ A2 A6 ¸ A7 A8 º µ µ ¼º þ µ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¹ º ½º þ ¸ ¸ º ¹ ¸ º ¾º ABCD BC AD M Pº AM ∩ BP L = DM ∩ CP ¸ ¹ þ ¹ ¸ ¿º þ KL¸ K = º ¹ ¹ ½ ¼ �º ¸ º Ai Bi Ci (i = 1, 2, 3) Ai ¸ Bi ¸ Ci º a¸ b¸ c¸ ¹ ¹ ¸ º ABC º þ S : A = AS ∩ ¸ BC, B = BS ∩ AC, C = CS ∩ AB º ¸ BC ∩ B C ¸ AC ∩ A C ¸ AB ∩ A B º p ABC º K = BC ∩p, L = CA∩p, M = AB ∩p, R = BL∩CM, S = CM ∩ AK, T = AK ∩ BLº ¸ AR¸ BS CT º ABCD p q¸ ¹ º AB p ∩ AD = M, p ∩ AC = P, q∩BD = N, q∩BC = Qº ¸ MN ∩P Q AB º º ABC DBC ¹ p q¸ AD ¸ A D p ∩ AB = M ¸ p ∩ DB = P ¸ q ∩AC = N ¸ q ∩DC = Qº ¸ MN ¸ P Q¸ BC º º ABCD º P = AB ∩ CD ¸ BC AD K Mº ¸ ¹ ¸ ¹ ABKM MKCD ¹ º ½¼¼º ABCD P = AB ∩ CD º AD BC ¸ ¹ ½ ½ �AB ¸ H Kº CD ¸ ¸ ¹ AHKD HBCK Pº ½¼½º ABCD E = AB ∩ CD ¸ H = BC ∩ AD º E BC ¸ º ¹ AD ¸ K M ¸ ¹ ABKM MKCD ¸ Hº ½¼¾º ABCDE º ¹ H = AD ∩ CE ¸ O = AC ∩ BH ¸ K = AB ∩ OD ¸ M = BC ∩ OE º µ AC ||DE P = AC ∩ DE ¸ K¸ M ¸ P µ ½¼¿º þ AC||DE ¸ KM||AC º ABCDEF º ¸ ¹ P = AB∩DE ¸ Q = BC∩EF ¹ R = AC ∩ DF ½¼ º ABCD M = AB ∩ CD ¸ H = BC ∩ AD ¸ K = AC ∩ BD º MK AD BC ¹ E Pº ¸ AP ¸ BE ¸ HK º ½¼ º þ ABCD BC AD ¹ A B a b¸ C D c dº ¸ H = AB ∩ CD ¸ K = b ∩ c¸ M = a ∩ d ½¼ º þ º ABCD º º ½ ¾ ¹ �K = AB ∩ CD ¸ H = E = AC ∩ BD HE KE ¸ AB BC P = HE ∩ AB ¸ M = KE ∩ BC º ¸ T = HK ∩ MP CAº ½¼ º þ ABCDEF º H = BC ∩ AF ¸ K = BC ∩ DE ¸ M = DE ∩ AF ¸ P = AB ∩ CD ¸ T = AB ∩ EF ¸ O = EF ∩ CD º ¸ HO ¸ P M ¸ KT º ABCD AB ½¼ º þ a b¸ ¹ Eº ¸ ¸ BC ∩ AD ¸ ½¼ Eº ABC P ¸ Q¸ R¸ ¹ aº M = CQ ∩ AB ¸ S = CR ∩ P M ¸ Y = BS ∩ AC ¸ X = RY ∩ BC º ¸ Z = P Y ∩ QX AB º ABC º ¸ ½½¼º AC ¸ AB BC H Kº H K a||BC ¸ b||AB Mº ¸ BM HC AK º º ½½½º ¹ ABC ¸ A B C ¸ A B C ¸ ¹ º ½½¾º ¸ ¹ O1 O2 O1 O2 ¸ ½ ¿ ¸ ¸ �O1 O2 º þ a ½½¿ ½½ a¸ b b¸ c c ¸ ¹ a0 = (b∩)·(b ∩c )¸ b0 = (a ∩c)·(a∩c )¸ c0 = (a∩b)·(a ∩b ) ¸ ´ ¹ µ a1 = (a ∩ b) · (c ∩ a )¸ a2 = (a ∩ b ) · (a ∩ c ) b1 = (a ∩ b) · (c ∩ b )¸ b2 = (b ∩ c) · (a ∩ b ) c1 = (b ∩ c) · (a ∩ c )¸ c2 = (b ∩ c ) · (a ∩ c) ¸ ´ µ A= a∩a, B = b∩b, C =c∩c A0 = a1 ∩ a2 , B0 = b1 ∩ b2 , C0 = c1 ∩ c2 A1 = b ∩ c , A2 = b1 ∩ c1 , A3 = b0 ∩ c0 , A4 = c ∩ b , A5 = b2 ∩ c2 º ´ · ºµ ½½¿º a0 , b0 , c0 º ½µ a ∦ a , b ∦ b , c1 ∦ c2 ¸ ¾µ a ∦ a , b ∦ b , c1 ||c2¸ a ∦ a , b||b , c1 ∦ c2 ¸ a||a , c1 ||c2 ¸ b||b a||a , b||b ¸ c1 ||c2 º ¿µ µ µ ½µ ¾µ ¿µ ½½ º ¸ A, B, C0 AB||c1 AC0 ||b ¸ ¹ a0 ¸ b0 ¸ c0 A¸ B ¸ C0 AB||c1 , c1 ||c2 b||b , AC0 ||b ¸ ½ �µ µ µ µ a a , b||b , c1 ||c2 A0 , B0 , C0 c1 ||c2 , A0 B0 ||c1 a1 ||a2 , b1 ||b2 , c1 ||c2º ½½ a0 , a, a º º ¹ ¸ ½µ b ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ a2 ¸ ¾µ b ∦ c , c ∦ b , a1 ||a2 ¸ A1 A4 ||a1 b ∦ c , a1 ∦ a2 , c||b ¸ A1 A0 ||c c ∦ b¸ A2 , A3 , A4 ¹ c b¸ A2 A3 ||c a1 ∦ a2 ¸ A0 , A2 , A5 ¹ ¿µ µ µ µ µ ½½ º a1 ||a2 ¸ A2 A5 ||a1 º a ∦ a¸ ¸ A ∈ a0 ¸ ½µ A1 , A4 , A0 a2 µ ¾µ a1 ||a2 ||A1 A4 (b ∦ c , c ∦ b ) ¿µ c||b ||A0 A1 (b ∦ c , a1 ∦ a2 ) µ A2 , A3 , A4 µ c||b ||A2 A3 µ A0 , A2 , A5 µ a1 ||a2 ||A2 A5 º ½½ ½µ ¾µ ¿µ µ A1 , A4 , A0 º b ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ a2 ¸ ´b (c ∦ b ) (a1 ∦ a2 ) a||a ||a0 º A1 , A4 , A0 b ∦ c , c ∦ b , a1 ||a2 ¸ A1 A4 ||a1 b ∦ c , a1 ∦ a2 , c||b ¸ A1 A0 ||c c∦b¸ A2 , A3 , A4 ½ ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ ¸ �c b¸ A2 A3 ||c a1 ∦ a2 ¸ µ µ µ ½½ ½µ a1 ¾µ ¿µ µ µ µ µ º a1 ||a2 ¸ A0 , A2 , A5 A2 A5 ||a1 º a||a º A1 , A4 , A0 a2 ) a1 ||a2 ||A1 A4 (b ∦ c , c ∦ b ) c||b ||A0 A1 (b ∦ c , a1 ∦ a2 ) A2 , A3 , A4 c||b ||A2 A3 A0 , A2 , A5 a1 ||a2 ||A2 A5 º ½½ º a L¸ ¸ a0 ||a¸ (b ∦ c ¸ c ∦ b ¸ (c ∦ b ) (a1 ∦ a2 ) b¸ ¹ º C¸ º ½¾¼º LC º P Q cº ½¾½º PQ c¸ P Qº A a a¸ A¸ B ¸ ½¾¾º º ¸ ¸ ¹ ¸ P ½¾¿º a Q a¸ a ¹ Pº a¸ b b¸ ¸ P º PQ cº ½ Q �½¾ º ¸ ¹ a A ½¾ ¸ ¹ B ¹ Bº A º ¸ AB º ½¾ º þ ABCD E¸ ¹ E¸ º ¸ ½¾ ¸ º A º Bº ¸ AB ¸ ¹ ½¾ º º a ½¾ ¹ a¸ P¸ Qº PQ ABCD, BC||AD º º b b¸ º M ¸ M ¸ ½¿¼º º ¸ Mº M ¸ ¹ ¸ º þ ½¿½ ½ ¸ º ½¿½º P ½¿¾º a∩a = P Q P Qº ¸ b ∩ b = Qº ¹ a||a , b||b ¸ º a¸ ¸ ½ A¸ º �½¿¿º ½¿ A º K¸ b Bº AB º a a¸ b b¸ ¹ ¹ ¸ ¹ M¸ º b ½¿ KM º ABCD º º ¹ ¹ ¸ ¹ º ½¿ ABCD º º ¹ ¸ ¹ º ½¿ ABCD (BC||AD) AB º º ¸ ½¿ M¸ M ¹ ¹ º ABCD º ý ¸ º º ½¿ ABCD ¸ º H = AB ∩ CD, K = BC ∩ AD ¹ HK º ½ ¼º ¹ ½ ½º ABCD º ABCD H = AB ∩ CD, E = AC ∩ BD ¸ HE º ¸ ¹ ¹ º ½ ¾º þ ABC ½ XY Z : �X ∈ BC, Y ∈ AC, Z ∈ AB ¸ P = XY ∩ AB, Q = Y Z ∩ BC, R = ZX ∩ CA º ½ ¿º ABC P, Q, R aº X, Y, Z ¹ BC, CA, AB ¸ Y Z, ZX, XY P, Q, Rº ABCD ¹ ¸ XY Z ¸ ½ º þ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ½ ¹ º ABCD P º AB º ½ AC º ABCD º º CD ¸ P¸ ¹ ¸ E = AB ∩ ¹ º ½ ABCD AB º AC º º ¸ P P ¹ º ½ µ µ µ º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¹ T¸ A2 = T (A1 ), A1 = T (A2 ), E = T (A3 ), A3 = T (E) A2 = T (A1 ), A3 = T (A2 ), A1 = T (A3 ), E = T (E) A1 = T (A1 ), A2 = T (A2 ), A3 = T (A3 ), E = T (E)¸ ½ �E (c1 , c2 , c3 )º ½ º ¹ x3 = 0 ¸ º ½ ¼º ¸ ¹ ¸ ¹ x3 = 0º ½ ½º (x2 = 0) A3 (0, 0, 1) A3 A2 (x1 = 0) ¸ A3 A1 º ½ ¾º ¹ ¸ A1 (1, 0, 0)¸ A2 (0, 1, 0) A3 (0, 0, 1)¸ E (a, b, c)º E ½ ¿º ρx1 = x1 + x2 − x3 ¸ ρx2 = x1 − 4x2 ¸ ρx3 = x1 + x2 º A1 ¸ A2 ¸ A3 ½ Eº º ρx1 = 2x1 − 3x2 + x3 ¸ ρx2 = 3x1 − x2 + 4x3 ¸ ρx3 = 3x1 − 2x2 + 5x3 º A(1, 2, 3)¸ B(2, −1, 4)¸ C(−1, 0, 1)¸ D(0, 2, 5)¸ E(1, −3, 4)¸ H(−2, 0, 3)¸ K(3, 1, 1)¸ M(−5, 1, 0)¸ P (2, 2, 1)¸ T (−4, 1, 3)¸ S(2, 3, 1)º ½ º ρx1 = x1 − 2x2 + x3 , ρx2 = 4x1 − 2x2 + 3x3 , ρx3 = x1 − x2 º a(1, 2, 3), b(−1, 2, 5), c(0, 4, −3), d(1, −3, 1), e(2, 3, 1), h(−2, 0, 1), k(3, 3, −2), m(−4, 1, 3), p(1, −1, 0), t(−3, 0, 1), s(1, −5, 4)º ½ ½µ ¾µ º ¹ ρx1 = x1 + x2 + x3 ¸ ρx2 = x3 ¸ ρx3 = x2 ρx1 = 2x1 − x2 ¸ ρx2 = x1 + x2 − x3 ¸ ρx3 = x2 − 2x3 ½ ¼ �ρx1 = x1 − x2 ¸ ρx2 = x2 − x3 ¸ ρx3 = x1 + x3 µ ρx1 = x1 ¸ ρx2 = x2 + x3 ¸ ρx3 = x1 + x2 µ ρx1 = x1 − 2x2 ¸ ρx2 = 3x1 + x2 − 4x3 ¸ ρx3 = x3 µ ρx1 = x3 ¸ ρx2 = x1 ¸ ρx3 = x2 µ ρx1 = x1 + 2x2 − 4x3 ¸ ρx2 = 2x1 − 3x2 + 5x3 ¸ ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3 µ ρx1 = x1 + 2x2 − x3 ¸ ρx2 = x1 − 2x2 + 4x3 ¸ ρx3 = 3x1 + x2 − 2x3 º ¿µ ρx1 = ½ º x1 + 2x2 − 4x3 , ρx2 = 2x1 − 3x2 + 5x3 , ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3 º A1 A2 A3 º ½ º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ ¹ ρx1 = x1 − 2x2 + 3x3 , ρx2 = 2x1 + x2 + 2x3 , ρx3 = 4x1 − 2x2 + 5x3 º ½ º ¸ A1 , A2 , A3 (2, 3, 8)¸ µ (2, 1, 0)¸ µ (1, 1, 0)¸ µ (1, −2, 1)¸ µ (−2, 1, 0)¸ µ (0, 2, 1)¸ µ (3, −5, 9)¸ (0, 1, 1)¸ (−2, 1, 1)¸ (0, 3, 1)¸ (0, 2, 3)¸ (3, 3, 1)¸ E (−7, 4, 1)¸ (1, −1, 1)¸ (0, 2, 1)¸ (1, 1, 4)¸ (−2, 3, 1)¸ (−2, 0, 3)¸ ½ ¼º C ¸ A¸ D¸ ¹ (1, −1, 0) (1, 3, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 3) (2, 5, 0) (0, −2, 7)º ¸ B¸ C¸ D A¸ ½ ½ B¸ �A(1, 0, 1)¸ A (−1, 0, 3)¸ µ A(0, 0, 1)¸ A (1, 2, 0)¸ µ A(2, 1, 1)¸ A (2, 1, 5)¸ µ A(1, 2, 3)¸ A (−1, 13, 8)¸ µ A(2, 1, 0)¸ A (0, 6, 1)¸ µ B(2, 1, 1)¸ B (2, 1, 3)¸ B(1, 2, 0)¸ B (1, 0, 1)¸ B(1, 2, 1)¸ B (2, −1, 3)¸ B(2, −1, 4)¸ B (1, 3, 2)¸ B(3, 1, 1)¸ B (2, 13, 2)¸ C(3, −1, 0)¸ C (2, 3, 8)¸ C(1, 0, 1)¸ C (0, 1, 0)¸ C(1, −1, 1)¸ C (−1, 2, 3)¸ C(−1, 0, 1)¸ C (−1, 1, 2)¸ C(1, 2, −1)¸ C (4, 3, 1)¸ D(2, 5, 2)¸ D (3, 0, −4) D(0, 1, 0)¸ D (0, 0, 1) D(−1, 1, 1)¸ D (1, 2, 1) D(1, 0, 3)¸ D (5, 5, 8) D(0, −3, 2)¸ D (8, 0, 3)º ½ ½º µ µ µ ¹ ρx1 = 4x1 − x2 , ρx2 = 6x1 − 3x2 , ρx3 = x1 − x2 − x3 ρx1 = x2 + x3 , ρx2 = x1 + x2 , ρx3 = x1 + x2 ρx1 = x2 − x3 , ρx2 = x1 + x3 , ρx3 = 2x1 − 2x2 + 3x3 º ½ ¾º ¸ ¹ º ½ ¿º f ¹ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E ¸ º M = f (M) ´ M ½ µº º A¸ B ¸ C ¸ D A¸B¸C¸Dº M M º ½ ¾ ¹ ¹ �º ½ º ¹ A1 (1, 0) A2 (0, 1) ½ A2 (1, 0)¸ E(1, 1) º º ¸ A, B, C A(1, 0)¸ B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ A(1, 2)¸ B(−1, 1)¸ C(2, 3)¸ ¿µ A(−2, 1)¸ B(1, 1)¸ C(1, 2)¸ µ A(3, 2)¸ B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ µ A(−1, 3)¸ B(2, 1)¸ C(1, 2)¸ µ A(4, 1)¸ B(1, 1)¸ C(5, 2)¸ µ A(−3, 2)¸ B(1, 2)¸ C(2, 3)¸ µ A(2, 5)¸ B(1, 4)¸ C(3, −1)¸ µ A(4, 3)¸ B(−1, 1)¸ C(3, 4)¸ ½¼µA(1, 1)¸ B(−2, 3)¸ C(3, 2)¸ A, B, C º ¹ A¸ ¸ B¸ C ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ µ A¸ B¸ C A(−1, 2), B(−2, 3), C(3, 1)¸ A(1, 2), B(1, −2), C(2, 1)¸ A(1, 1), B(3, −1), C(−1, 1)¸ A(0, 1), B(2, 1), C(4, −3)¸ A(3, 2)¸ B(1, 4)¸ C(0, 1)¸ A(1, 1)¸ B(2, −1)¸ C(1, 0)¸ A(5, 7)¸ B(9, −2)¸ C(4, −9)¸ A(2, −1)¸ B(1, 3)¸ C(4, 5)¸ ½ ¹ ¸ A (−1, 2)¸ B (2, 1)¸ C (−1, 3) A (0, 1)¸ B (1, 1)¸ C (1, 0) A (1, −1)¸ B (3, 5)¸ C (1, −1) A (1, 0)¸ B (3, −1)¸ C (4, −1) A (2, 1)¸ B (0, 1)¸ C (3, 4) A (3, 2)¸ B (0, 1)¸ C (2, −1) A (2, 3)¸ B (1, 1)¸ C (1, −1) A (1, 0)¸ B (2, −1)¸ C (1, 1) A (0, 1)¸ B (2, −1)¸ C (5, 3) A (−1, 2)¸ B (3, 2)¸ C (1, 2)º ½µ ¾µ ½ A1 (1, 1)¸ E (1, 3)º º ½ ¿ A (4, 1), B (1, 0), C (3, 7) A (0, 1), B (4, −7), C (1, 2) A (3, 7), B (1, 9), C (1, −1) A (−5, 1), B (1, 3), C (27, 1) A (5, 3)¸ B (15, 11)¸ C (4, 3) A (1, 2)¸ B (5, 1)¸ C (2, 1) A (7, 5)¸ B (−2, 9)¸ C (−9, 4) A (1, 3)¸ B (2, −1)¸ C (9, −1)º ¸ ¹ �A1 , A2 ¸ ¹ ¸ º ½ º ¸ ¹ = ax1 − bx2 ¸ ρx2 = bx1 + ax2 ¸ ´a2 + b2 = 0) ¾µ = x1 + kx2 , ρx2 = x2 = x1 ¸ ρx2 = kx2 ¿µ µ = ax1 ¸ ρx2 = bx2 ´a = 0, b = 0µ µ = ax1 ¸ ρx2 = bx1 + ax2 ¸ ´a = 0)º ½ ¼º f: → ¹ A, A = f (A), B, B = f (B), C, C = f (C)º X= ∩ º ½ ½º f ¹ A, B, C A = f (A), B = f (B), C = f (C) M ∈ º M = f (M)º ½ ¾º Π(L) → Π(L ) ¹ a, b, c Π(L) a = f (a)¸ b = f (b)¸ c = f (c) Π(L )º ¹ ½µ ρx1 ρx1 ρx1 ρx1 ρx1 m = f (m) µ µ m ∈ Π(L) LL º ½ ¿º f a, b, c f (b), c = f (c)º ½ (L) a = f (a), b = m º X º Y f A M A = f (A)º º ½ ¹ �½ (L) º þ x y ¹ a m aº ¹ º ½ �¾º þ þ ´ ½¼º ½ º ¸ ¸ ü ÿ µ A, B, C, D (AB, CD) A(1, 1, 2), B(3, −1, 2), (11, −1, 10), D(3, 4, 7) A(0, −2, 3), B(1, 1, −5), C(1, −3, 1), D(−2, 12, −11) µ A(−3, 5, 0), B(1, −1, 2), C(−1, 7, 16), D(3, −1, 12) µ A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 4, 1), D(0, 2, 1) µ A(3, 1, 2), B(1, 1, −2), C(5, 3, −2), D(1, −1, 6) µ A(−2, 0, 3), B(1, 4, 1), C(3, 4, −2), D(7, 4, −8) µ A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(−1, 4, 3), D(4, 2, −3) µ A(−1, 5, 3), B(3, −2, −1), C(9, 7, 5), D(12, 5, 4)º ½ º ¸ a, b, c, d ¸ (ab, cd) µ µ a(0, 0, 1), b(−2, 1, 3), c(6, −3, −7), d(2, −1, −2) µ a(3, 1, 4), b(−1, 0, 2), c(11, 2, −2), d(11, 5, 28) µ a(−2, 1, 3), b(5, −1, −7), c(3, 0, −4), d(−9, 3, 13) µ a(−4, 1, 2), b(2, 1, 3), c(0, 3, 8), d(8, 1, 4) µ �a(2, 2, 3), b(0, 2, 1), c(1, 0, 1), d(5, −2, 4) µ a(0, 1, −1), b(3, 2, 0), c(6, 7, −3), d(−3, 1, −3) µ a(5, 1, 0), b(1, −2, 1), c(7, 8, −3), d(2, 7, −3) µ a(2, 3, −1), b(1, 3, 0), c(0, 3, 1), d(−2, 3, 3)º ½ º ¸ A(1, −2, −1), B(1, 0, −2)¸ C(−3, −4, 8) ¸ D¸ ¸ 5 1 (AB, CD) ½µ − ¸ ¾µ −3¸ ¿µ −1¸ µ ¸ 6 2 1 4 2 3 µ 2¸ µ − ¸ µ ¸ µ ¸ µ ¸ ½¼µ 4º 3 3 3 4 ½ º A(1, 2, 3), B(−3, 2, 4), C(−2, 4, 7)º µ ¸ D¸ ½ ¼º ¸ (AB, CD) = −1º a(1, 2, 1), b(3, −1, 2), c(5, 3, 4)º d¸ ½ ½º ¸ −3) 3 ¸ 4 µ 1 ¸ 2 ½ ¾º µ − 43 ¸ µ 5 ¸ 2 µ (ab, cd) −1º a(2, 1, 0)¸ b(0, 1, 3)¸ c(2, 0, ¸ d¸ ¸ 1 2 (ab, cd) ½µ ¸ ¾µ ¸ ¿µ −3¸ µ 3 3 2¸ µ 14 ¸ ½¼µ − 25 º a¸ b¸ c¸ ¸ d x1 + 2x2 = 0, x1 −x3 = 0, x1 + 4x2 + x3 = 0, 2x2 + x3 = 0 ¾µ 3x1 + x2 + 2x3 = 0¸ x1 + x2 − 2x3 = 0¸ 5x1 + 3x2 − 2x3 = 0¸ x1 − x2 + 6x3 ¼ ¿µ 2x1 − 3x3 = 0¸ x1 + 4x2 + x3 = 0¸ 3x1 + 4x2 − 2x3 = 0¸ 7x1 + 4x2 − 8x3 = 0 µ x1 + 2x2 = 0, x1 − x3 = 0, x1 − 4x2 − 3x3 = 0¸ 4x1 + 2x2 − 3x3 = 0 µ x1 −5x2 −3x3 = 0¸ 3x1 −2x2 −x3 = 0¸ 9x1 +7x2 +5x3 = 0¸ 12x1 + 5x2 + 4x3 = 0 µ 4x1 − x2 − 2x3 = 0, 2x1 + x2 + 3x3 = 0¸ 3x2 + 8x3 = 0¸ 8x1 + x2 + 4x3 = 0 ½µ ½ �µ 2x1 + 2x2 + 3x3 = 0¸ 2x2 + x3 = 0¸ x1 + x3 = 0¸ 5x1 − 2x2 + 4x3 = 0 µ x2 − x3 = 0, 3x1 + 2x2 = 0, 6x1 + 7x2 − 3x3 = 0, 3x1 − x2 + 3x3 = 0 µ 5x1 + x2 = 0¸ x1 − 2x2 + x3 = 0¸ 7x1 + 8x2 − 3x3 = 0¸ 2x1 + 7x2 − 3x3 = 0 ½¼µ 2x1 + 3x2 − x3 = 0, x1 + 3x2 = 0, 3x2 + x3 = 0, 2x1 − 3x2 − 3x3 = 0º ¸ (ab, cd)º ½ ¿º x2 = 0¸ ¸ ½ º D¸ ½ º a, b, c¸ ¹ x1 −2x3 = 0, 3x1 −x2 +4x3 = 0, 5x1 − Lº d¸ (ab, cd) = −2º ¸ A(1, 4, 1)¸ B(0, 1, 1)¸ C(2, 3, −3) ¸ (AB, CD) = −4º B ¸ C ¸ Dº (AB, CD)¸ µ A(2, 1), B(−1, 3), C(1, 4), D(3, 5) µ A(3, 1), B(2, 5), C(1, 0), D(−2, 1) µ A(1, 3), B(5, −2), C(1, −1), D(2, 3) µ A(−1, 1), B(2, 3), C(7, 11), D(1, 4) µ A(5, 7), B(2, 3), C(3, 4), D(−1, 1) µ A(−4, 3), B(3, 2), C(−1, 5), D(2, 1) µ A(−2, 3), B(1, 1), C(0, 1), D(3, −5) µ A(2, 5), B(−3, 5), C(1, 15), D(1, 0) µ A(1, 0), B(7, −3), C(0, 1), D(1, −1)º ½ º A(2, 1), B(−1, 3) ¸ C(4, 5) ¸ D(−8, 3)º ½ A¸ ¹ ¹ �½ º A(1, 3)¸ B(2, 1)¸ C(−1, 4)¸ D(3, −1)º (AB, CD) R Dº ½ ¹ D {A¸ B ¸ C}º ¹ ¹ A(1, 2)¸ R º B(−1¸ 1)¸ C(3, 5) {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¸ (AB, CD) = D 1 º 2 ¹ ¹ Rº ½ º þ ¹ B(2, 1) ¹ (6, 1)¸ ¹ A(−2)¸ B(3)¸ C(−1)º D(5)¸ F (−7)¸ G(4)¸ H(2)¸ O(0)¸ E(1) R {A¸ B ¸ C}º ¹ ½ ¼º þ D C(1, 2)º A(1, −1) ½ ½º þ b¸ c¸ d º ¹ a¸ ¹ y = x, y = 2x, y = 3x, y = −x y = x − 3, y = 2x − 3, y = −x − 3¸ y = 5x − 3 µ y = 3x, y = −x, y = 0, x = 0 µ 2x − y + 7 = 0, x + y + 2 = 0, 6x + 5y + 13 = 0¸ x − 3y + 6 = 0 µ y − 3 = −(x + 2), y − 3 = x + 2, y − 3 = 3(x + 2)¸ y − 3 = 5(x + 2)º ½ ¾º A¸ B ¸ C ¸ D¸ a¸ A1 ¸ B1 ¸ C1 ¸ D1 ¹ µ µ a1 º ¸ (AB, CD) ½ (A1 B1 , C1 D1 )º �½ ¿º C ¸ Dº A¸ B ¸ þ ¹ ¸ ¸ A(2, −3), B(3, −1), C(4, 1), D(5, 3) µ A(1, −1), B(2, 1), C(0, 1), D(1, 5) µ A(5, 7), B(3, 4), C(2, 3), D(0, 1) µ A(4, −3), B(1, 5), C(−5, 9), D(13, −4) µ A(3, 1), B(4, −7), C(2, 9), D(7, −6)º µ ½ Cº A¸ B ¸ º D(x1 , x2 )¸ A(−3, 1)¸ B(2, 11)¸ C(1, 9)¸ (AB, CD) = −2 µ A(−4, 0)¸ B(0, 8)¸ C(1, 10)¸ (AB, CD) = 3 2 µ A(1, 2)¸ B(−3, 1)¸ C(5, 3)¸ (AB, CD) = 3 5 µ A(0, 5)¸ B(1, 7)¸ C(−2, 1)¸ (AB, CD) = 2 1 µ A(4, 1)¸ B(−5, 4)¸ C(−2, 3)¸ (AB, CD) = º 2 µ ½ C ¸ Dº º A¸ B ¸ þ ¹ ¸ ¸ A(3), B(8), C(7), D(13) µ A(−1), B(2), C(−3), D(4) µ A(5), B(−3), C(4), D(7) µ A(2), B(0), C(5), D(6) µ A(4), B(−2), C(9), D(8)º µ ½ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ º ¹ º þ ¸ ½ ½ º º º ¸ (AB, CD∞ ) = (AB, C)º A¸ B ¸ C ¸ D ½ ¼ ¹ �(AB, CD) + (AC, DB) + (AD, BC) = 0º ¸ ½ º a¸ b¸ c¸ dº (ab, cd) = sin ∠(a, c) sin ∠(a, d) : . sin ∠(b, c) sin ∠(b, d) ÿ ½½º º ÿ ¾¼¼º A¸ B ¸ C º ¸ ¹ Dº ¾¼½º a, b, c (L)º ¸ ¹ dº ¾¼¾º þ a¸ b¸ cº a¸ b¸ c ¸ d¸ A¸ B ¸ C ¸ ¾¼¿º D ¸ ¸ ¾¼ º D C ¸ AB º BD ABC ºþ BE D E AC º º Bº ¹ ¹ ¸ (AC, DE) = −1º ½ ½ �¾¼ a¸ b¸ º þ c º c ¸ a ¸ ¾¼ º ¸ bº ¸ ¹ ¸ ¹ º ¾¼ º ABC ¸ BC ¸ ¸ B AC A ¾¼ BC º º AB C¸ D = B C ∩ C B¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¸ º ¾¼ º ¸ ¹ º ¸ º ¾½¼º ABC º ¸ CA¸ CB AB ¸ AB º CM ¸ M CX ¸ ¾½½º ABCD m¸ ||AB ¸ m m||BC º O = AC ∩ BD ¸ AC ¸ BD ¸ º ½ ¾ ¸ �¾½¾º AB º AB ¸ º ¾½¿º AB Cº P ¹ ¸ ¹ AB º ¾½ a º c¸ bº ¸ ¾½ b a ¸ bº ABCD º º ¸ ¹ ¸ ¾½ º ABCD º º ¸ ¾½ º º AB º 3AB, 4AB, 5AB º ¸ ¾½ a||b¸ º ¸ AB ⊂ aº AB 3¸ ¸ 4¸ 5 º ¾½ º ¸ º ¸ ¸ º ¾¾¼º AB ¸ AB º X C M ¹ ¹ AB ¸ ¾¾½º MX = AB º ¸ º ¸ ¸ P ½ ¿ ¸ ¹ º �½¾º ¾¾¾º R ¹ {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¸ ¾¾¿º ¹ º ¸ 4x21 + x22 + 5x23 + 4x1 x2 − 12x1 x3 − 6x2 x3 = 0 2 2 2 µ 2x1 + x2 − x3 + 3x1 x2 − x1 x3 + 2x2 x3 = 0 2 2 2 µ x1 + 4x2 + x3 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x3 = 0 2 2 2 µ 5x1 + x2 + x3 + 2x1 x2 − 4x1 x3 = 0 µ x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0 2 2 2 µ 2x1 + 6x2 + 7x3 − 4x1 x2 + 6x1 x3 + 4x2 x3 = 0º µ ¾¾ 2x21 x23 + º x22 ¾¾ º − x23 + 3x1 x2 − x1 x3 − 2x2 x3 = 0 µ x1 − 2x2 + x3 = 0 µ x1 = 5λ − µ, x2 = −3µ, x3 = −2λ + µ µ 2x1 + x2 − x3 = 0 µ x1 = λ + µ, x2 = λ − µ, x3 = 2µº + 3x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 = 0 ¾¾ ¾¾ x22 − A(1, 2, −1)º º x1 x3 + x2 x3 = 0 º 2x21 − x22 − A(1, 1, −1)º x1 x2 + ¸ 3x21 + A(3, −2, 2) ¸ + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x3 = 0º 5x23 º ¾¾ x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = 0º ¹ A1 A2 A3 ¸ ½ ¸ �A1 A2 A3 ¸ ¹ E(1, 1, 1) A2 A3 º ½¿º ¾¾ 2x21 + x22 − 2x23 − º 6x1 x2 + 4x2 x3 = 0 µ ¹ A1 (1¸ 0¸ 0)¸ A2 (0, 1, 0)¸ A3 (0, 0, 1)¸ E(1, 1, 1)¸ M(2, −1, 5) µ 7x1 + 4x2 − 10x3 = 0 º ¾¿¼º (−4, 2, 1µ µ (6, 4, −1µ µ (2, 1, 1µ µ (1, 0, 1µ µ ¾¿½º ¹ 6x21 − 4x22 − x23 − 5x1 x2 + 3x1 x3 + 2x2 x3 = 0 2x21 + 3x22 − 6x1 x3 − 2x2 x3 = 0 4x21 − x22 + 3x1 x2 = 0 3x21 + 5x22 + 10x23 − 4x1 x3 − 6x2 x3 = 0º ¹ 3x1 − x2 + 6x3 = 0 x21 + x22 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 = 0 2x21 + x22 − 3x23 − 4x1 x2 − 2x1 x3 + µ x1 − 3x3 = 0 +6x2 x3 = 0 µ x2 = 0 4x21 + 15x22 + 2x1 x2 − 6x1 x3 + +10x2 x3 = 0 µ x1 + 3x2 + x3 = 0 3x21 + 5x22 + x23 + 7x1 x2 + 4x1 x3 + +5x2 x3 = 0º µ ¾¿¾º ¸ ½ �º ¾¿¿º P AB A B¸ ¾¿ ¾¿ Cº M (CP, KM) = −1¸ CP º P P P ¹ AB (AB, P P ) = −1º ¸ º P ¹ º ¸ P ¸ K ¹ P º P A1 , P A2 ¸ M N (P Q, MN) = −1º ¾¿ A1 A2 Qº ¸ º º ¹ ¸ ¹ A∈ ¸ Bº ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ B Aº ¸ ¾¿ ¾¿ º º ¹ AB ¸ P A O (A = O)º º P º A ¹ ¸ ¹ AO º ¸ ¾¿ ¸ AB º A º Oº A ¹ AO º ¸ ¸ ¹ ½ �AO º ¸ ¾ ¼º þ º ¸ ¸ º ¾ ½º º ¸ ¸ ¹ M∈ ¸ ¸ ¹ º ¾ ¾º Mº M¸ µ µ µ M M M º ¾ ¿º º ¾ P º ¹ ¸ ¾ º º þ ¹ P P ¾ º ¸ º º ¸ ¹ º ¸ P q P QRº ¹ º ½ �½ º þ ¾ ¾ ¸ º ¾ º º ¾ ¹ ¹ º º º ¹ º ¾ º ¸ º ¾ ¼º º ¹ º º ¾ ½º ¹ º º ¹ º ¾ ¾º ¹ º ¾ ¿º ¾ º º ¹ º ¹ º º º ½ �¾ ¾ º Aº Aº º ¸ ¸ ¾ ¹ º º º ¸ ¹ ¸ º ¾ ¾ º º º º º º ¾ ¼º ¹ ¹ º ¹ º ¹ º ¾ ½º ¹ º ¹ º ¾ ¾º º º ¾ ¿º º ¾ º º M ¾ º Mº ¸ º ¹ º M ¹ ½ �¾ º º ¸ ¹ ¸ ý ¾ º º º ¸ ¸ ¾ ý º º º ¸ ¸ ¹ º ½ º þ ¹ ¸ ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¹ º ¸ ¹ ¹ º ´ µ º ¸ ½ ¼ ¹ �º ¹ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¾ µ µ ¹ º º ¸ ¸ ¸ µ µ ¸ º ¾ ¼º µ µ µ ¸ ´ µ ´ ¹ µ ¹ º ¾ ½º M¸ ABCD º AB ¸ ¹ ABCD ¸ ´ µº ¾ ¾º ABCD º AB ¹ º ¸ ABCD ´ ¹ µº ¾ ¿º ¸ AB CD A¸ B ¸ C ¸ D ¹ º ½ ½ �´ ¾ µº AB CD A¸ B ¸ C ¸ D º ¸ ¹ º ´ µº ¾ º º º ¾ º ¹ º ¹ º ¾ º ¹ º ¹ ¹ º ¾ º ¾ º ¹ º º ¸ ¸ ¸ ¾ ¼º º º ¸ ¸ º ¹ ¹ º ¾ ½º ¸ º º ¾ ¾º ¹ º ¾ ¿º º ¹ º ¾ ¹ º º ¹ ½ ¾ �º ¾ º º ¹ º ¾ º º ¸ ¹ ¹ º ¾ º º ÿ ¹ º ¾ º º ÿ ¹ º ¾ ¹ º º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ º º ¾ ¼º ¹ º ¹ º ¾ ½º ¾ ¾º ¾ ¿º ¹ º º ¹ º º ¸ º ¾ ¹ º º ¸ ¸ º ¾ º ¸ º ½ ¿ ¹ M �Nº Nº Nº ¾ ¾ Nº M ¸ º ¹ º Nº ¸ ¸ ¹ º ¾ º ¾ º º º l¸ M º ¿¼¼º ¿¼½º ¿¼ ¿¼ ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º º ¿¼¿º ¿¼ º º ¿¼¾º ¿¼ ¹ º º º º º º º º ¸ ¹ º º ¿¼ º ¸ ¹ º ¿¼ ¹ º º ½ �º ¸ ¹ º ¿½¼º º º ¿½½º º ¹ ¿½¾º º º º ¿½¿º ¿½ ¿½ º º º º ¹ º Aº º A¸ º ¹ º ½ �ý ½ ü ¸ þº º º ÿ º ý ¾ º » º º º ü ¸ ¸ ½ º º ÁÁº ¾ ü ¸ º ÿº ýº ÿ ¿ ¸ º º ü º ¸ º º ¸ º » ¸ ½ º ÁÁº » º ü ¸ ½ º ü º ¹ º º ÿ º ¾ º » þº º ý º ¸ ½ º ÁÁº ý þº ¸ þº º ý º º » º ¸ þº º º » ¸ ½ º ü ý ¾ º ü º º ÿ º » º ¸ ½ ½ ¼º ¸ º �ý ¸ üº º þº В. ý » С.ºþº . º º º ¸ üº º » üº ½ ¸ ¸ ¸ ½ º º ¹ º º þ ¸ ½º ¸ º þº º þº ½¼ º ¸ º ½½ º º ¸ Ⱥ » ý ü ÿ ¸ ¾¼½¾º º » º ¸ ½ º ¼º » º ¸ ½ ½ ¼º �Оглавление Введение. Краткая историческая справка 3 ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 5 § 1. Определение проективного пространства и проективной плоскости § 2. Расширенная плоскость и расширенное пространство как модели проективной плоскости и проективного пространства § 3. Координаты точек на расширенной плоскости и в расширенном пространстве § 4. Проективные координаты точки на проективной плоскости § 5. Проективные координаты на проективной прямой § 6. Уравнение прямой на проективной плоскости § 7. Нахождение точки пересечения двух прямых. Уравнение пучка прямых § 8. Принцип двойственности § 9. Теорема Дезарга § 10. Частные случаи теоремы Дезарга и их применение к решению задач § 11. Группа проективных преобразований § 12. Проективные отображения и преобразования прямых § 13. Перспективные отображения прямых и пучков 5 9 12 18 23 24 27 31 34 38 41 48 51 ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 60 § 14. Двойное (сложное) отношение 60 178 �§ 15. Гармонические четверки точек и прямых § 16. Гармонические свойства четырехвершинников и четырехсторонников § 17. Проективная классификация линий второго порядка § 18. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой на проективной плоскости § 19. Касательная к линии второго порядка на проективной плоскости § 20. Полюсы и поляры линии второго порядка. Полярное соответствие § 21. Конструктивные теоремы теории линий второго порядка § 22. Геометрия на плоскости с фиксированной прямой § 23. Евклидова геометрия с проективной точки зрения Приложение. ЗАДАЧИ Раздел 1. Проективное пространство 1. Определение проективного пространства и проективной плоскости 2. Расширенная плоскость и расширенное пространство 3. Проективные координаты точки на прямой 4. Проективные координаты точки на проективной плоскости 5. Уравнение прямой на проективной плоскости. Уравнение пучка прямых 6. Принцип двойственности 7. Теорема Дезарга 8. Проективные преобразования плоскости 9. Проективные отображения и преобразования прямых и пучков Раздел 2. Основные факты проективной геометрии 10. Двойное (сложное) отношение 75 77 80 83 86 89 100 112 120 125 126 126 127 128 131 133 137 139 149 153 156 156 �11. Гармонические четверки точек и прямых. Гармонические свойства четырехвершинников и четырехсторонников 12. Проективная классификация линий второго порядка 13. Полюсы и поляры линии второго порядка 14. Конструктивные теоремы теории линий второго порядка 15. Линии второго порядка в евклидовой плоскости Библиографический список 161 164 165 168 170 176 � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Проективная геометрия Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. проективная геометрия. 4. проективное пространство. 5. задачи (геометрия). 6. решение задач. Description An account of the resource Проективная геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 180 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Наряду с теоретическим материалом, изложение которого сопровождается многочисленными примерами решения задач, в пособие включен сборник задач. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п., ссылки на внешние документы – приложения. Приложения можно открывать так же, как вложения, при этом происходит автоматический показ слайдов. Программа «Адобе Акробат» позволит установить необходимое время демонстрации каждого слайда. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 27.04.17 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova1.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova1.pdf</a> Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Геометрия задачи (геометрия) Математика проективная геометрия проективное пространство решение задач http://books.altspu.ru/files/original/81/81/_[650].png 4068efa14faf77e76ef9ab5de8f4ded1 http://books.altspu.ru/files/original/81/81/_[_].pdf 600abbe0537cca51d9a7f7aa4397f609 PDF Text Text Содержание �Содержание ОБ ИЗДАНИИ Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» А.Д. Насонов, Т.И. Новичихина, Н.Н. Денисова Физика в примерах и задачах Задачник Барнаул ФГБОУ ВО «АлтГПУ» 2017 Об издании - 1, 2, 3. �Содержание УДК 373.5.016:53 ББК 74.262.23 Н316 Насонов, А.Д. Физика в примерах и задачах [Электронный ресурс] : задачник / А.Д. Насонов, Т.И. Новичихина, Н.Н. Денисова. - Барнаул : АлтГПУ, 2017. – Систем. требования: PC не ниже класса Intel Celeron 2 ГГц ; 512 Мb RAM ; Windows XP/Vista/7/8/10 ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA монитор с разрешением 1024х768 ; мышь. Рецензенты: Грязнов А.С., кандидат физико-математических наук, доцент (Алтайский государственный педагогический университет); Гибельгауз О.С., кандидат педагогических наук, доцент (Алтайский государственный педагогический университет) В пособие включены все разделы физики, в соответствии с образовательным стандартом, в объеме требований программы для учащихся средних школ. В издании рассмотрены некоторые алгоритмы и примеры решения задач по физике, а также приводятся контрольные работы. Основное назначение настоящего пособия – помочь учащимся Школы будущего учителя лучше освоить решение задач по физике. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 26.01.2017 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: PC не ниже класса Intel Celeron 2 ГГц ; 512 Мb RAM ; Windows XP/Vista/7/8/10 ; Adobe Acrobat Reader ; SVGA монитор с разрешением 1024х768 ; мышь. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 2 700 КБ. Дата подписания к использованию: 12.04.2017 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание СОДЕРЖАНИЕ Информация для абитуриентов Общие методические указания Указания к решению задач Общая схема решения задачи Алгоритм решения задач на законы сохранения (изменения) энергии и импульса Алгоритм решения задач по кинематике Алгоритм решения задач по динамике Краткий алгоритм решения задач по теме «Электрический ток» Краткий алгоритм решения задач по электростатике Краткий алгоритм решения задач по теме «Магнитное поле тока» Краткий алгоритм решения задач по теме «Электромагнитная индукция» Отражение и преломление света, линзы, фотометрия Контрольная работа № 1 Контрольная работа № 2 Контрольная работа № 3 Контрольная работа № 4 Контрольная работа № 5 Контрольная работа № 6 Контрольная работа № 7 Контрольная работа № 8 Приложение �Содержание УВАЖАЕМЫЕ ВЫПУСКНИКИ! Центр довузовского образования ИФМО предлагает ЗАОЧНЫЕ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ КУРСЫ Цель курсов – углубленная подготовка обучающихся по физике. Обучение ведется методом выполнения восьми контрольных работ. Вы отправляете выполненные работы почтой. Преподаватели проверяют их, пишут подробную рецензию для продолжения самостоятельной работы по изучению темы. На зимних и весенних каникулах ИФМО организует групповые консультации по физике, личные встречи с преподавателями, работающими с вами на заочных подготовительных курсах. Для зачисления на курсы вам необходимо написать на имя директора ИФМО заявление в свободной форме с указанием фамилии, имени, отчества, полного домашнего адреса, избранной специальности. После этого вы получите контрольные задания, методику работы над ними и сроки выполнения. На зимних и весенних каникулах проводятся спецкурсы по авторским программам, подготовке к тестированию по физике. ВНИМАНИЕ! Данное пособие используется для самоподготовки. Если вы желаете получить оценку и рецензию преподавателя вуза за решенные контрольные работы, то вам необходимо записаться на подготовительные курсы ШБУ. По всем вопросам обращаться учебную часть ИФМО �Содержание ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ, ИЗУЧИТЬ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ КОТОРЫЙ НЕОБХОДИМО МЕХАНИКА Кинематика. Механическое движение. Относительность движения. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Скорость. Ускорение. Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение тел. Ускорение свободного падения. Уравнение прямолинейного равноускоренного движения. Криволинейное движение точки на примере движения по окружности с постоянной по модулю скоростью. Центростремительное ускорение. Основы динамики. Инерция. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Взаимодействие тел. Масса. Импульс. Сила. Второй закон Ньютона. Принцип суперпозиции сил. Принцип относительности Галилея. Силы в природе. Сила тяготения. Закон всемирного тяготения. Вес тела. Невесомость. Первая космическая скорость. Сила упругости. Закон Гука. Сила трения. Коэффициент трения. Закон трения скольжения. Третий закон Ньютона. Момент силы. Условие равновесия тел. Законы сохранения в механике. Законы сохранения импульса. Ракеты. Механическая работа. Мощность. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Законы сохранения энергии в механике. Простые механизмы. Коэффициент полезного действия механизма. Механика жидкостей и газов. Давление. Атмосферное давление. Изменение атмосферное давления с высотой. Закон Паскаля для жидкостей и газов. Барометры и манометры. Сообщающиеся сосуды. Принцип устройства гидравлического пресса. Архимедова сила для жидкостей и газов. Условия плавания тел на поверхности жидкости. Движение жидкости по трубам. Зависимость давления жидкости от скорости ее течения. Измерение расстояний, промежутков времени, силы объема, массы, атмосферного давления. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА Основы молекулярно-кинетической теории. Опытное обоснование положений молекулярнокинетической теории. Броуновское движение. Диффузия. Масса и размер молекул. Измерение скорости молекул. Опыт Штерна. Количество вещества. Моль. Постоянная Авогадро. Взаимодействие молекул. Модели газа. Модели газа, жидкости и твердого тела. Основы термодинамики. Тепловое равновесие. Температура и ее изменение. Абсолютная температурная шкала. Внутренняя энергия. Количество теплоты. Теплоемкость вещества. Работа в �Содержание термодинамике. Первый закон термодинамики. Изотермический, изохорный и изобарический процессы. Адиабатический процесс. Необратимость тепловых процессов. Второй закон термодинамики и его статистическое истолкование. Преобразование энергии в тепловых двигателях. КПД теплового двигателя. Идеальный газ. Связь между давлением и средней кинетической энергией молекул идеального газа частиц газа. Связь температуры и средней кинетической энергией молекул частиц газа. Уравнение Клапейрона-Менделеева. Универсальная газовая постоянная. Жидкости и твердые тела. Испарение и конденсация. Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха. Кипение жидкости. Кристаллические и аморфные тела. Преобразование энергии при изменениях агрегатного состояния вещества. Измерение давления газа, влажности воздуха, температуры, плотности вещества. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Электростатика. Электризация тел. Электрический заряд. Взаимодействие зарядов. Элементарный электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Электрическое поле точечного заряда. Потенциальность электрического поля. Разность потенциалов. Принцип суперпозиции полей. Проводники в электрическом поле. Электрическая емкость. Конденсатор. Емкость плоского конденсатора. Диэлектрическая проницаемость. Энергия электрического поля плоского конденсатора. Постоянный электрический ток. Электрический ток. Сила тока. Напряжение. Носители свободных электрических зарядов в металлах, жидкостях и газах. Сопротивление проводников. Закон Ома для участка цепи. Последовательное и параллельное соединение проводников. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Полупроводники. Собственная и примесная проводимость полупроводников, p-n переход. Магнитное поле, электромагнитная индукция. Взаимодействие магнитов. Взаимодействие проводников с током. Магнитное поле. Действие магнитного поля на электрические заряды. Индукция магнитного поля. Сила Ампера. Сила Лоренца. Магнитный поток. Электродвигатель. Электромагнитная индукция. Закон электромагнитной индукция Фарадея. Правило Лоренца. Вихревое электрическое поле. Самоиндукция. Индуктивность. Энергия магнитного поля. Измерение силы тока, напряжения, сопротивления проводника. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Механические колебания и волны. Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебаний. Свободные колебания. Математический маятник. Период колебаний математического маятника. �Содержание Превращение энергии при гармонических колебаниях. Вынужденные колебания. Резонанс. Понятие об автоколебаниях. Механические волны. Скорость распространения волны. Длина волны. Поперечные и продольные волны. Уравнение гармонической волны. Звук. Электромагнитные колебания и волны. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания в контуре. Превращение энергии в колебательном контуре. Собственная частота колебаний в контуре. Вынужденные электрические колебания. Переменный электрический ток. Генератор переменного тока. Действующее значение силы тока и напряжения. Активное, емкостное и индуктивное сопротивление. Резонанс в электрической цепи. Трансформатор. Производство, передача и потребление электрической энергии. Идеи теории Максвелла. Электромагнитные волны. Скорость распространения электромагнитных волн. Принцип радиосвязи. Шкала электромагнитных волн. ОПТИКА Свет – электромагнитная волна. Прямолинейное распространение, отражение и преломление света. Луч. Законы отражения и преломления света. Показатель преломления. Полное отражение. Предельный угол полного отражения. Ход лучей в призме. Построение изображений в плоском зеркале. Собирающая и рассеивающая линзы. Формула тонкой линзы. Построение изображений в линзах. Фотоаппарат. Глаз. Очки. Интерференция света. Когерентность. Дифракция света. Дифракционная решетка. Поляризация света. Поперечность световых волн. Дисперсия света. Измерение фокусного расстояния собирающей линзы, показателя преломления вещества, длины волны света. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Инвариантность скорости света. Принцип относительности Эйнштейна. Пространство и время в специальной теории относительности. Связь массы и энергии. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Тепловое излучение. Постоянная Планка. Фотоэффект. Опыты Столетова. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Гипотеза Луи де Бройля. Дифракция электронов. Корпускулярно-волновой дуализм. Радиоактивность. Альфа-, бета-, гамма-излучения. Методы наблюдения и регистрации частиц в ядерной физике. Опыт Резерфорда по рассеянию а-частиц. Планетарная модель атома. Боровская модель атома водорода. Спектры. Люминесценция. Лазеры. Закон радиоактивного распада. Нуклонная модель атома. Заряд ядра. Массовое число ядра. Энергия связи частиц в ядре. Деление ядер. Синтез ядер. Ядерные реакции. Сохранение заряда и массового числа при ядерных реакциях. Выделение энергии при делении и синтезе ядер. Использование ядерной �Содержание энергии. Дозиметрия. Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия. МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ И ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА МИРА Эксперимент и теория в процессе познания мира. Моделирование явлений и объектов природы. Научные гипотезы. Физические законы и границы их применимости. Роль математики в физике. Принцип соответствия. Принцип причинности. Физическая картина мира. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Насонов, Алексей Дмитриевич Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Физика в примерах и задачах Subject The topic of the resource 1. задачи (физика). 2. обучение физике. 3. решение задач. 4. алгоритм решения Description An account of the resource Физика в примерах и задачах [Электронный ресурс] : задачник / А. Д. Насонов, Т. И. Новичихина, Н. Н. Денисова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 38 с. В пособие включены все разделы физики, в соответствии с образовательным стандартом, в объеме требований программы для учащихся средних школ. В издании рассмотрены некоторые алгоритмы и примеры решения задач по физике, а также приводятся контрольные работы. Основное назначение настоящего пособия – помочь учащимся школы будущего учителя лучше освоить решение задач по физике. Creator An entity primarily responsible for making the resource Насонов, Алексей Дмитриевич Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 12.04.2017 Contributor An entity responsible for making contributions to the resource Новичихина, Татьяна Ивановна Денисова, Нина Николаевна Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Задачник Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/novichihina.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/novichihina.pdf<br /></a><a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/novichihina.pdf" target="_blank">http://</a><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/novichihina.exe" target="_blank">library.altspu.ru/dc/exe/novichihina.exe<br /></a> алгоритм решения задачи (физика) обучение физике решение задач http://books.altspu.ru/files/original/36/30/_[650].png 38dcfe45f8e480527a90fff792786e6a http://books.altspu.ru/files/original/36/30/_.1.pdf 58a0c03d5985ae1e5525b06de3e4da18 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» А.А. Коваленко Аналитическая геометрия Задачник Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2015 Об издании - 1, 2, 3. �Содержание УДК 514.74(075) ББК 22.151.54я73 К56 Коваленко, А.А. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : задачник / А.А. Коваленко. – Барнаул : АлтГПУ, 2015. Рецензент: Мальцев Ю.Н., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГПУ) Задачник содержит набор типовых задач по 5 ключевым темам аналитической геометрии (с элементами линейной алгебры): определители и системы линейных уравнений; векторная алгебра; прямые на плоскости; плоскости и прямые в пространстве; кривые второго порядка. Задачник представлен в 28 вариантах, может быть использован в качестве сборника индивидуальных заданий при организации самостоятельной работы студентов. Кроме того, он содержит общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий, а также образцы решения некоторых задач. Отбор содержания был продиктован целевой аудиторией (будущие преподаватели физики) и личным опытом автора в преподавании этой учебной дисциплины. Соответствует учебной программе курса «Аналитическая геометрия» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» по профилю «Физика и информатика». Кроме того, материалы задачника могут полностью или частично использоваться в педагогических и технических вузах при изучении соответствующих разделов высшей математики. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 22.10.2015 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 3 786 КБ. Размещено на сайте: 26.11.2015 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 еmail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий Тема 1. Определители и системы линейных уравнений Примеры решения задач Индивидуальное задание №1 Тема 2. Векторная алгебра Примеры решения задач Индивидуальное задание №2 Тема 3. Прямые на плоскости Примеры решения задач Индивидуальное задание №3 Тема 4. Плоскости и прямые в пространстве Примеры решения задач Индивидуальное задание №4 Тема 5. Кривые второго порядка Примеры решения задач Индивидуальное задание №5 Библиографический список �Содержание Общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий Перед выполнением индивидуального задания рекомендуется внимательно проработать соответствующий теоретический материал по учебнику либо учебному пособию. Для преодоления затруднений полезно обратиться к материалам практических занятий, примерам, рассмотренным в данном издании, а также к источникам, содержащим образцы решения типовых задач (некоторые из них перечислены в библиографическом списке). Наконец, при необходимости можно получить консультацию преподавателя. Для индивидуальных заданий необходимо иметь отдельную тонкую (не более 18 листов) тетрадь «в клеточку» для удобства выполнения рисунков. Каждое из заданий выполняется студентом в строгом соответствии с номером варианта, который указывается преподавателем. При несовпадении номера варианта сданной на проверку работы с номером, указанным преподавателем, выполненная работа не засчитывается! Перед текстом работы обязательно указывается заголовок (например, «Индивидуальное задание №3») и номер варианта. Каждая из решённых задач также должна снабжаться номером, указанным в тексте данного издания. Решение задач должно сопровождаться краткими пояснениями. Рисунки выполняются аккуратно и с обязательным соблюдением масштаба. Ответы выделяются в тексте с помощью рамок, подчёркивания, либо оформляются для каждой задачи отдельно под заголовком «Ответ». Сдача индивидуальных заданий на проверку осуществляется в сроки, указанные в технологической карте дисциплины. Информация об этих сроках доводится до студентов в начале семестра преподавателем. При этом возможно досрочное выполнение работы. Нарушение сроков сдачи индивидуальных заданий (опоздание) ведёт к тому, что выполненная работа засчитывается с понижающим коэффициентом. Индивидуальное задание считается выполненным только при условии правильного решения всех задач. Ошибки и недочёты, указанные преподавателем, должны быть исправлены в той же тетради после текста проверенной работы. Новые решения обязательно должны иметь заголовок «Работа над ошибками». Помните, что внесение исправлений в уже проверенную работу не допускается! Вариант следующего индивидуального задания может быть получен студентом только при условии полной правильности выполнения предыдущего. Его номер сообщается студенту преподавателем и, как правило, не совпадает с номером варианта предыдущего задания. �Содержание Библиографический список 1. Ильин В. А., Аналитическая геометрия : учебник для студентов физических специальностей и специальности «Прикладная математика» / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк ; МГУ им. М. В. Ломоносова. – Изд. 7-е, стер. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 223 с. 2. Привалов, И. И. Аналитическая геометрия : учебник для студентов техн. вузов /И. И. Привалов. – 32-е изд. – Санкт-Петербург : Лань, 2003. – 299 с. 3. Коваленко, А. А. Основы линейной алгебры : учебное пособие / А. А. Коваленко. –Барнаул : Изд-во БГПУ, 2010. – 118 с. 4. Данко, П. А. Высшая математика в упражнениях и задачах: с решениями : учебное пособие для студентов вузов / П. А. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – 6-е изд. – Москва : ОНИКС : Мир и образование, 2007. – Ч. 1. – 304 с. 5. Практическое руководство к решению задач по высшей математике: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и ее приложения : учебное пособие для студентов вузов /И. А. Соловьев [и др.]. – Изд. 2-е, испр. – Санкт-Петербург : Лань, 2009. – 319 с. 6. Гусак, А. А. Справочное пособие по решению задач: Аналитическая геометрия и линейная алгебра : учебное пособие / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 1998. – 288 с. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Коваленко, Андрей Андреевич Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Аналитическая геометрия Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. линейные уравнения. 5. системы линейных уравнений. 6. векторная алгебра. 7. прямые (математика). 8. плоскость (математика). 9. кривые второго порядка. 10. решение задач. Description An account of the resource Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : задачник / А. А. Коваленко ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 3.48 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2015. — 89 с. Задачник содержит набор типовых задач по 5 ключевым темам аналитической геометрии (с элементами линейной алгебры): определители и системы линейных уравнений; векторная алгебра; прямые на плоскости; плоскости и прямые в пространстве; кривые второго порядка. Задачник представлен в 28 вариантах, может быть использован в качестве сборника индивидуальных заданий при организации самостоятельной работы студентов. Кроме того, он содержит общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий, а также образцы решения некоторых задач. Отбор содержания был продиктован целевой аудиторией (будущие преподаватели физики) и личным опытом автора в преподавании этой учебной дисциплины. Соответствует учебной программе курса «Аналитическая геометрия» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» по профилю «Физика и информатика». Кроме того, материалы задачника могут полностью или частично использоваться в педагогических и технических вузах при изучении соответствующих разделов высшей математики. Creator An entity primarily responsible for making the resource Коваленко, Андрей Андреевич Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 26.11.2015 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Задачник Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/kovalenko.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/kovalenko.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/kovalenko.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/kovalenko.exe</a> аналитическая геометрия векторная алгебра Геометрия кривые второго порядка линейные уравнения Математика плоскость (математика) прямые (математика) решение задач системы линейных уравнений