1 5 2 http://books.altspu.ru/files/original/36/30/_[650].png 38dcfe45f8e480527a90fff792786e6a http://books.altspu.ru/files/original/36/30/_.1.pdf 58a0c03d5985ae1e5525b06de3e4da18 PDF Text Text Содержание �Содержание Об издании Основной титульный экран Дополнительный титульный экран непериодического издания – 1 Дополнительный титульный экран непериодического издания – 2 �Содержание Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» А.А. Коваленко Аналитическая геометрия Задачник Барнаул ФГБОУ ВО "АлтГПУ" 2015 Об издании - 1, 2, 3. �Содержание УДК 514.74(075) ББК 22.151.54я73 К56 Коваленко, А.А. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : задачник / А.А. Коваленко. – Барнаул : АлтГПУ, 2015. Рецензент: Мальцев Ю.Н., доктор физико-математических наук, профессор (АлтГПУ) Задачник содержит набор типовых задач по 5 ключевым темам аналитической геометрии (с элементами линейной алгебры): определители и системы линейных уравнений; векторная алгебра; прямые на плоскости; плоскости и прямые в пространстве; кривые второго порядка. Задачник представлен в 28 вариантах, может быть использован в качестве сборника индивидуальных заданий при организации самостоятельной работы студентов. Кроме того, он содержит общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий, а также образцы решения некоторых задач. Отбор содержания был продиктован целевой аудиторией (будущие преподаватели физики) и личным опытом автора в преподавании этой учебной дисциплины. Соответствует учебной программе курса «Аналитическая геометрия» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» по профилю «Физика и информатика». Кроме того, материалы задачника могут полностью или частично использоваться в педагогических и технических вузах при изучении соответствующих разделов высшей математики. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 22.10.2015 г. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования: Intel Celeron 2 ГГц ; ОЗУ 512 Мб ; Windows XP/Vista/7/8 ; SVGA монитор с разрешением 1024х768. Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Электронное издание создано при использовании программного обеспечения Sunrav BookOffice. Объём издания - 3 786 КБ. Размещено на сайте: 26.11.2015 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 еmail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �Содержание Содержание Общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий Тема 1. Определители и системы линейных уравнений Примеры решения задач Индивидуальное задание №1 Тема 2. Векторная алгебра Примеры решения задач Индивидуальное задание №2 Тема 3. Прямые на плоскости Примеры решения задач Индивидуальное задание №3 Тема 4. Плоскости и прямые в пространстве Примеры решения задач Индивидуальное задание №4 Тема 5. Кривые второго порядка Примеры решения задач Индивидуальное задание №5 Библиографический список �Содержание Общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий Перед выполнением индивидуального задания рекомендуется внимательно проработать соответствующий теоретический материал по учебнику либо учебному пособию. Для преодоления затруднений полезно обратиться к материалам практических занятий, примерам, рассмотренным в данном издании, а также к источникам, содержащим образцы решения типовых задач (некоторые из них перечислены в библиографическом списке). Наконец, при необходимости можно получить консультацию преподавателя. Для индивидуальных заданий необходимо иметь отдельную тонкую (не более 18 листов) тетрадь «в клеточку» для удобства выполнения рисунков. Каждое из заданий выполняется студентом в строгом соответствии с номером варианта, который указывается преподавателем. При несовпадении номера варианта сданной на проверку работы с номером, указанным преподавателем, выполненная работа не засчитывается! Перед текстом работы обязательно указывается заголовок (например, «Индивидуальное задание №3») и номер варианта. Каждая из решённых задач также должна снабжаться номером, указанным в тексте данного издания. Решение задач должно сопровождаться краткими пояснениями. Рисунки выполняются аккуратно и с обязательным соблюдением масштаба. Ответы выделяются в тексте с помощью рамок, подчёркивания, либо оформляются для каждой задачи отдельно под заголовком «Ответ». Сдача индивидуальных заданий на проверку осуществляется в сроки, указанные в технологической карте дисциплины. Информация об этих сроках доводится до студентов в начале семестра преподавателем. При этом возможно досрочное выполнение работы. Нарушение сроков сдачи индивидуальных заданий (опоздание) ведёт к тому, что выполненная работа засчитывается с понижающим коэффициентом. Индивидуальное задание считается выполненным только при условии правильного решения всех задач. Ошибки и недочёты, указанные преподавателем, должны быть исправлены в той же тетради после текста проверенной работы. Новые решения обязательно должны иметь заголовок «Работа над ошибками». Помните, что внесение исправлений в уже проверенную работу не допускается! Вариант следующего индивидуального задания может быть получен студентом только при условии полной правильности выполнения предыдущего. Его номер сообщается студенту преподавателем и, как правило, не совпадает с номером варианта предыдущего задания. �Содержание Библиографический список 1. Ильин В. А., Аналитическая геометрия : учебник для студентов физических специальностей и специальности «Прикладная математика» / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк ; МГУ им. М. В. Ломоносова. – Изд. 7-е, стер. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 223 с. 2. Привалов, И. И. Аналитическая геометрия : учебник для студентов техн. вузов /И. И. Привалов. – 32-е изд. – Санкт-Петербург : Лань, 2003. – 299 с. 3. Коваленко, А. А. Основы линейной алгебры : учебное пособие / А. А. Коваленко. –Барнаул : Изд-во БГПУ, 2010. – 118 с. 4. Данко, П. А. Высшая математика в упражнениях и задачах: с решениями : учебное пособие для студентов вузов / П. А. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – 6-е изд. – Москва : ОНИКС : Мир и образование, 2007. – Ч. 1. – 304 с. 5. Практическое руководство к решению задач по высшей математике: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и ее приложения : учебное пособие для студентов вузов /И. А. Соловьев [и др.]. – Изд. 2-е, испр. – Санкт-Петербург : Лань, 2009. – 319 с. 6. Гусак, А. А. Справочное пособие по решению задач: Аналитическая геометрия и линейная алгебра : учебное пособие / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 1998. – 288 с. � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Коваленко, Андрей Андреевич Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Аналитическая геометрия Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. линейные уравнения. 5. системы линейных уравнений. 6. векторная алгебра. 7. прямые (математика). 8. плоскость (математика). 9. кривые второго порядка. 10. решение задач. Description An account of the resource Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : задачник / А. А. Коваленко ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 3.48 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2015. — 89 с. Задачник содержит набор типовых задач по 5 ключевым темам аналитической геометрии (с элементами линейной алгебры): определители и системы линейных уравнений; векторная алгебра; прямые на плоскости; плоскости и прямые в пространстве; кривые второго порядка. Задачник представлен в 28 вариантах, может быть использован в качестве сборника индивидуальных заданий при организации самостоятельной работы студентов. Кроме того, он содержит общие требования и рекомендации по выполнению индивидуальных заданий, а также образцы решения некоторых задач. Отбор содержания был продиктован целевой аудиторией (будущие преподаватели физики) и личным опытом автора в преподавании этой учебной дисциплины. Соответствует учебной программе курса «Аналитическая геометрия» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» по профилю «Физика и информатика». Кроме того, материалы задачника могут полностью или частично использоваться в педагогических и технических вузах при изучении соответствующих разделов высшей математики. Creator An entity primarily responsible for making the resource Коваленко, Андрей Андреевич Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 26.11.2015 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2015 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf, exe Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Задачник Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/kovalenko.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/kovalenko.pdf</a><br /><a href="http://library.altspu.ru/dc/exe/kovalenko.exe">http://library.altspu.ru/dc/exe/kovalenko.exe</a> аналитическая геометрия векторная алгебра Геометрия кривые второго порядка линейные уравнения Математика плоскость (математика) прямые (математика) решение задач системы линейных уравнений http://books.altspu.ru/files/original/72/100/_.png a3651b119d3dad6546b5ffc4c770e657 http://books.altspu.ru/files/original/72/100/_7.11.pdf 5fc32747dab5d5d96917fd244cf7ff6f PDF Text Text �ü ºþº ü ü ü ü ÿ þ ¾¹ ¸ ý ¾¼½ ü þ �ýý ½ º½ ´¼ µ ¾¾º½ ½º¿¾ ¿ ½ ¸ º þº ü » º þº º ¾¹ ü ÿ ¸ ¾¼½ º ÁË Æ ¹ ¹ ¾½¼¹ ¾¹¾ º º ¸ ¹ ´ü µ º º ¸ ¹ ´ü º ¸ ¸ ü ¸ º ¹ º¸ ¹ º ý ¸ ¸ µ ¸ º º ü ÿ ¹ ¹ ¾ º¼ º¾¼½ º Текстовое (символьное) электронное издание. ½º ¾º ¿º º È ÒØ ÙÑ ½¿¿ Å ÖÓ×Ó Ø Ï Ò ÓÛ× Ï Ò ÓÛ× º ¹ ½ ýº ü ¸ ¾¼½ �Объём издания – 2 400 КБ. Дата подписания к использованию: 13.12.2017 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru �ÿ ½ ï ½º ½º½ º ¸ º ¸ A ¸ B ¸ ¹ ¹ A ¸ B º ¸ BA ¹ AAº AB º ¹ ¸ AB AB º ¹ A AB º AB º AB Bº ¹ ¹ ¹ AB º �´ ´ ½º¾ º AB µ µ CD AB º º½ AB CD ¸ M N AB ¸ GH ¸ ¹ KL º ¹ º½ ½º¿ º ¸ ¸ ¹ º º AB ∼ CD ºµ ¹ ¸ ¹ CD º ¹ ½º½ º ´ ¸ CD ¸ BC º AD º º AB CD ABDC AB CD AB AB ∼ CDº ¸ ¸ º ¹ ¹ ¹ AD BC º AB µ ¸ CD AB CD ¹ ´ º º¾ µ �µ B=C AB µ´ º¾ µ µ º ¾ µº AB CD ´ º CD ¸ º º AD BC º AB CD ABDC º AB ¸ ¸ µ µ¸ AB ¸ CD AD = BC ¸ º AB ¸ AB ∼ CDº º º ¸ ¹ CD ¸ AB CD ¹ µ¸ ºþ µ AB = AO − BO¸ AO = OD BO = OC ¸ ¸ µ ¸ CD ¹ ¸ AB ∼ CDº AD > BC º CD = DO − CO ¸ AB = CD º ü AB = CD º µ¸ ¸ �½º¾ º µ ½º AB ∼ AB ´ ¾º AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB ´ ¿º AB ∼ CD¸ CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF ´ ï ¾º µº º þ º þ µ −− → AB AB º ¾º½ º ¹ º ¹ º a¸ m¸ e1 ººº a¸ m¸ e1 ¸ −→ a = OA OAº þ ¸ ¸ º¿ ¹ AB ¸ ººº¸ ¹ ¹ a ¹ a ¹ a º ¾º¿ º þ º ¸ Oº ¾º¾ º þ ¸ ¸ º ¸ ¹ a, b, p a b ¹ º ¸ c r �º a b a bº ¸ º ¹ ¹ º¿ ¾º º þ ¸ a ¹ ¹ b ¸ º º a ↑↑ b b a ↑↓ b − −→ a = AB ¸ a a ↑↓ aº a − −→ BA ¾º º ¸ −aº 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= γc + (αa + β b) = αa + β b + γc¸ αa + β b + γc − d = 0º ½¸ d b¸ ¾½ �a ¸ b¸ c γ¸ º½ d º º a¸ b ¸ c α¸ β m m = αa + β b + γcº ¸ ï º µ µ º½ º ý ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ße1 , e2 ¸ ¸ ¸ ße ï ¸ e e1 ¸ e2 ße1 , e2 , e3 e1 ¸ e2 ¸ e3 º º¾ º ¹ ße1 , e2 , e3 º ¹ a a1 ¸ a2 ¸ a3 e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ º º a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 º º a(a1 , a2 , a3 ) (a1 ¸ a2 ¸ a3 ) º½ º a a a = (a1 , a2 , a3 ße1 , e2 , e3 º a º º ¾¾ ¹ ¹ �¸ º º ße1 , e2 , e3 º (a1 , a2 , a3 ) (a1 , a2 , a3 ) a a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3 ¸ ¿º¾ a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3 º º¾ ¸ ¹ ¹ (a1 − a1 )e1 + (a2 − a2 )e2 + (a3 − a3 )e3 = 0º e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ º½ a2 − a2 = 0¸ a3 − a3 = 0 º¾ º ´ º ¹ ¸ º º a1 − a1 = 0¸ ¸ a1 = a1 ¸ a2 = a2¸ a3 = a3º ¸ ºµ 1◦ º 2◦ º º º 3◦ º ¹ º º º º a(a1 , a2 , a3 ) b(b1 , b2 , b3 ) ´ ¹ µ a±b a= a±b = b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 º a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 )± (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) = (a1 e1 ± b1 e1 )+ (a2 e2 ± b2 e2 ) + (a3 e3 ± b3 e3 ) = (a1 ± b1 )e1 + (a2 ± b2 )e2 + (a3 ± b3 )e3 ¸ ¸ a ± b = (a1 ± b1, a2 ± b2, a3 ± b3 )º 1◦ ◦ 2 º λ aº λa = λ(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) = λ(a1 e1 ) + λ(a2 e2 ) + λ(a3 e3 ) = λa = (λa1 , λa2 , λa3 )º (λa1 )e1 +(λa2 )e2 +(λa3 )e3 º ¾¿ �º 3◦ º º b(b1 , b2 , b3 )¸ a(a1 , a2 , a3 ) º¿ º ´ ºµ ¸ º b = λaº b = (λa1 , λa2 , λa3 )º ¸ ab ¸ λ¸ º º b1 a1 b 2 2 ´ º½ µ º º½ þ ¹ a = 0º ¹ ¹ 3◦ b1 = λa1 ¸ ¸ b3 a3 ¹ a º b1 = λa1 ¸ b2 = λa2 ¸ b3 = λa3 º½ ¸ b(b1 , b2 , b3 ) b2 = λa2 ¸ b3 = λa3 º a ¸ º b b a(a1 , a2 , a3 ) ße1 , e2 , e3 ¸ ¸ º º ab = ab λº ¸ ¸ b = λaº b||aº 1 1 ¾ 2 2 ¹ = b3 a3 º º ¹ ¹ �b(b1 , b2 , b3 )¸ ße1 , e2 , e3 ¸ º º´ ºµ ¹ a(a1 , a2 , a3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )¸ ¸ a1 a2 a3 Δ = b1 b2 b3 c1 c2 c3 a ¸ b c¸ º º¾ º ¹ º º º¾ c c(αa1 +βb1 , αa2 +βb2 , αa3 +βb3 )º Δ Δ = 0º ¸ º a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 ) c = αa + β bº ¸ Δ = 0º ¸ ¹ ¹ ¸ º º c1 = αa1 + βb1¸ ¸ c = αa + β bº º c2 = αa2 + βb2 ¸ c3 = αa3 + βb3 º º¾ a ¸ b¸ c ¸ ï º a¸ º½ º º e º e ¾ a¸ ß ,e ¸ º ¹ ¹ ¹ �º¾ º ¹ º ¹ π1 π2 ¸ − −→ π ´π ∦ µº a = AB A B π¸ A1 = π1 ∩ ¸ B1 = π2 ∩ ´ º −−−→ A1 B1 º ½¾µº ¹ a −−−→ A1 B1 − → ¸ ,π a a e¸ AB º º¾ ú·û¸ +|A1 B1 |, −|A1 B1 |, º½ º ´ πº ¹ ¹ a πº º ,π a = e a π¸ ,π a µ ¹ ¹ a º ½¾ º πº ¸ ´ ¹ ¹ ú û¸ e¸ º º −−−→ A1 B1 ↑↑ e, −−−→ A1 B1 ↑↓ e. −− → a = AB µº π ¾ ´½º º ½µ ¹ �º AB ½ AB º a||π AB ´ º ½¿µº þ π¸ π1 = π1 ¸ ¾ A º ½¿ π2 ¸ ¿ ¸ a|| ´ ¸ AB πº a º −−º−a→= A1 B1 ¹ −−→ −− → AB a = A B º ¹ −−−→ a A1 B1 −−−→ −−−→ ¸ A1 B1 = A1 B1º π1 π1 ¸ A1 B1 ¸ A1 B1 ¸ A−−1−B→1 = A−−1−B→1 = 0º π2 = π2 ´ º ½ µº π1 B B A1 A1 ¸ B1 −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 B1 º º½ B1 º ½ µº þ º½ AB º AB ¾ ¸ ¹ ¹ A ¸ �AB ¸ π1 ¸ ¸ π2 AB º ´ A1 B 1 µ´ AA1 a − −→ −−→ A1 C = AB ¸ π2 ¸ π2 CC || CB1 ||C B1 , −−−→ −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 C + C B1 º ´½º¿º ½µ ¸ ¾ C º CB1 ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ C B1 º −−→ −−−→ ¸ A1 C = C B1 º −−→ −−→ −−−→ A1 B1 = A1 C + CB1 ¸ þ ¹ ¸ −−→ −−→ A1 C = A1 C ¸ CC B1 B1 ¸ ¸ π2 º A1 CC A1 CC ¹ ¹ −−−→ −−→ A1 B 1 = A1 B 1 º A1 B 1 ¸ º ½ µº = aº º½ C ºü A1 B 1 −−→ −−→ A1 A1 C = a¸ A1 C ABCA1 BC º π2 º ü A1 BB1 º AA1 ABB1 A1 A1 B 1 AB ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 B1 º ¹ �−−−→ −−−→ A1 B1 A1 B1 −−−→ −−−→ A1 B1 A1 B1 = º e e aº ¸ ¸ a¸ ´ º ¹ ¸ µ º ¹ º º¾ º ´ ºµ 1◦ º 2◦ º ¹ º ¹ º º 1◦ º ´µ¸ −−→ b = BC º a −→ AC = a + b b B1 C1 = b·e ´∗µ¸ 2◦ ´ º ´½º º −−−→ A1 C1 = a·e+ b · e¸ (a + b) = a+ º ½ µº ´ º bº ¹ − −→ a = AB ¸ º½ µº a¸ ´a + bµ ¹ −−−→ → a¸ π A1 B1 = − −−−→ − −−−→ → b¸ A1 C1 = B1 C1 = − → (a + b)º = º½ ´−∗−µº−→þ A bº −−−→ −−−→ −−−→ A1 C1 = A1 B1 + B1 C1 −−−→ ½µ¸ a · e¸ A1 B1 = (a + b) · eº ¹ (a + b) · e = −− → a = AB º ¾ λa �→ − A λa = A º − − − → − → a = A B 1 1 −−→ A1 C ¸ π2 ´ º ¸ C a B º¾ ¸ ´½º¿º ½µ −−−→ −−→ −−→ ¹ A1 C = A1 B1 + B1 C º −− → −−→ λa = λAB = λA1 C = −−−→ p1 p λA1 B1 + A −−→ ¹ λB 1 C º − → (λa) = 1◦ − − → −−−→ → (λA − → (λA C) = − l 1 1 B1 + −−−→ −−→ A1 e − → (λA1 B1 ) + λB1 C) = − − → − → (λB C)º ¹ 1 A1 B1 ¹ −−−→ − → (λA ¸ 1 B1 ) = −−−→ ¸ B1 C λA1 B1 º ü −−→ − → π2 ¸ ¸ (λB1 C) = 0º −−−→ − → aº þ ´½º º½µ¸ λA1 B1 = λ a) · e ¸ ¸ (λa) = λ aº e = (λ A1 a = B1 ¸ µº p2’ p2 B C’ C .B . B’ B 1’ 1 º½ ¸ − → (λa) = (λa) · ï ½¼º ½¼º½ º π ¹ ¸ º π ½¼º¾ º AOB ¸ −→ −−→ OA = a¸ OB = bº a O º ´a, bµ a ¿¼ bº b ¹ �½¼º½ º ¸ ¸ º º ´½º½¼º ½µ a = |a| cos(e, a)º −− → a = AB º π1 a π2 ¸ A a º ½µ a ´ º ½ µº þ AB π1 −−→ A1 B 1 π2 ABB1 A1 A1 B1 ¸ AA1 ¹ ¸ Bº ¸ BB1 º ¹ ¹ ¸ º −−→ ¸ ´½º º ½µ a = ±|A1 B 1 |¸ −−→ −−→ ¹ ú·û¸ A1 B 1 ↑↑ e ú û¸ A1 B 1 ↑↓ eº −−→ ¸ ´½º½¼º ½µ ±|A1 B 1 |¸ −−→ a = A1 B 1 (e, a) 0◦ ¸ ¹ a ↑↑ e 180◦ ¸ a ↑↓ eº ¸ ´½º½¼º½µ º ¾µ a⊥ ´ º ¾¼µº þ π1 π2 ¹ A1 B1 º º ¸ −− → −−→ AB = A1 B 1 º ¿½ �¸ a a = 0º ¸ ´½º½¼º ½µ a e ¸ ¸ cos(e, a) = 0º ¸ ´½º½¼º ½µ º ¿µ (e, a) = ϕ¸ a ºþ µ ϕ < 90◦ −´−→ º ¾½ µ¸ µ ϕ > 90◦ ´−−→º ¾½ µº ¸ µ A1 B1 ↑↑ e¸ µ a A1 A1 B 1 ↑↓ eº þ −−→ a = A1 C º 90◦ ϕ¸ º ´½º º ½µ ⊥π2 ¸ ⊥B1 C A1 CB1 A1 B1 = A1 C·cos ∠CA1 B1 º þ µ ∠CA1B1 = π − ϕº þ a= −−→ +|A1 B 1 |, −−→ −|A1 B 1 |, = −−→ +|A1 C| · cos ϕ, −−→ −|A1 C| · cos(π − ϕ), = +|a| · cos ϕ, −|a| · (− cos ϕ), µ ∠CA1B1 = −−→ A1 B 1 ↑↑ e, = −−→ A1 B 1 ↑↓ e −−−→ A1 B1 ↑↑ e, = −−→ A1 C ↑↓ e −−−→ A1 B1 ↑↑ e, = |a| · cos ϕ. −−−→ A1 B1 ↑↓ e ¿¾ ¹ �ï ½½º ½½º½ º a ab º b º ¹ ¸ a ¸ b ´½º½½º ½µ ab = |a| |b| cos(a, b)º ½½º½ º ´ 1◦ º 2◦ º 3◦ º 4◦ º 5◦ º 6◦ º ºµ a b ab = 0 ⇔ a⊥bº a 2 = |a|2 ¸ a 2 = aa aº ab = |a| a b¸ ab = |b| b aº ab = baº (αa)b = α(ab) a(αb) = α(ab)º (a + b)c = ac + bcº ¸ º 1◦ º º ½½º½ ab = 0 ⇔ cos(a, b) = 0º cos(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 90◦ ¸ ab = 0 ⇔ a⊥bº ◦ 2 a 2 º a 2 = aa = |a| |a| cos(a, a) = |a| 2 cos 0◦ = |a| 2 3◦ º ´½º½¼º ½µ a b = |b| cos(a, b)º ab = |b| |a| cos(a, b) ¸ ab = |a| = |b| b aº ¿¿ b ´½º½½º ½µ a = |a| cos(b, a) (|b| cos(a, b) = |a| ab �4◦ º ba = |b| |a| ´½º½½º ½µ cos(b, a)º |a| · |b| = |b| · |a|¸ 5◦ 3◦ a b ´ bº (αa)b = |b| º α(a b)º ü α(ab)º 6◦ º (a + b)c = |c| |c| c b = ac + bcº º 5◦ º ab = baº 6◦ ¹ ¹ º¾ µº ¸ a b (α a) ¹ ¹ cos(a, b) = cos(b, a) = |b| (α c (a + b) = |c| ( 1◦ − 3◦ ¸ b a) ca+ 4◦ − = α (|b| c b) ¹ = a(αb) = b a) ca+ = |c| ¹ ¹ 6◦ ï ½¾º ½º ¹ ½¾º½ º ý ¸ º º ßi, j ¸ ßi, j, k ´ ½¾º½ ¿ º ½½º½ µ ¸ ¹ ¹ �1) i j = 0, j k = 0, i k = 0 2) i 2 = 1, j 2 = 1, k 2 = 1º ´½º½¾º ½µ ¾º þ ½¾º½ º a(a1 , a2 , a3 ) a ¸ º º ¹ b ´½º½¾º ¾µ ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º a = a1 i + a2 j + a3 k ¹ b(b1 , b2 , b3 ) ßi, j, k ¸ º b = b1 i + b2 j + b3 k º þ ¸ ´ ¹ ½½º½ µ¸ a b = (a1 i + a2 j + a3 k) (b1 i + b2 j + b3 k) = (a1 b1 ) i 2 + (a1 b2 )(i j) + (a1 b3 )(i k) + (a2 b1 )(j i) + (a2 b2 ) j 2 + (a2 b3 )(j k) + (a3 b1 )(k i) + (a3 b2 )(k j) + (a3 b3 ) k 2 º ´½º½¾º ½µ¸ ¸ a bº ¸ ¸ 1◦ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º ´½º½¾º ¾µ ¹ ¿ �a b ´½º½¾º ¿µ a⊥b ⇔ a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 = 0. ¿º ´½º½¾º ¾µ ¸ b = a¸ ¹ a ¸ a 2 = a21 + a22 + a23, ¸ a ´½º½¾º µ a21 + a22 + a23 º |a| = º ½¼º¾ µ πº ´½º½½º ½µ¸ ´½º½¾º¾µ ´½º½¾º µ¸ ab |a|¸ |b| cos(a, b) = ab ´ ¹ ºþ ¹ ¹ a b ´½º½¾º µ º |a| · |b| þ cos(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 º º α¸ β ¸ γ i¸ j ¸ k a α = (a, i), ´½º½¾º µ β = (a, j), ¿ γ = (a, k). �½¾º¾ º cos α¸ cos β ¸ cos γ a ´a = 0 µ ßi, j, k º ½¾º¾ º a ¹ º º cos α = ai ¸ |a||i| ´½º½¾º µ cos β = aj |a||j| a = a1 i + a2 j + a3 k ¸ a2 j i + a3 k iº þ ai = a1 º ü |a| = a21 + a22 + a23 cos α = cos β = cos γ = ¸ cos γ = ak º |a||k| ´½º½¾º µ ai = (a1 i + a2 j + a3 k)ia1 i 2 + ´½º½¾º½µ¸ ¹ aj = a2 ¸ ak = a3 º ai¸ aj ¸ ak ¸ |i| = |j| = |k| = 1 ´½º½¾º½µ¸ ´½º½¾º µ α¸ β ¸ γ ´½º½¾º µ a1 a21 + a22 + a23 a2 a21 + a22 + a23 a3 a21 + a22 + a23 ¸ ¸ ´½º½¾º µ º ½º ¹ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1º ¿ ´½º½¾º µ �º cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2 a2 a1 + a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 2 = 1. a21 + a22 + a23 ¸ 2 2 a3 + a21 + a22 + a23 ¾º = ¹ ¹ º º a º |a| = a21 + a22 + a23 = 1º ´½º½¾º µ a1 = a21 + a22 + a23 · cos α = cos α¸ a2 = a21 + a22 + a23 · cos β = cos β a3 = a21 + a22 + a23 · cos γ = cos γ º ï ½¿º ½¿º½ º ¸ ¸ ßa, b, c ¸ ¸ ¸ ¸ º º ¸ º º ßa, b, c ¸ ¸b ßa, b, c ¹ ¹ º ¸c º ßa , b , c a a = c11 a+c12 b+c13 c¸ b = c21 a+c22 b+c23 c¸ ¿ �c = c31 a + c32 b + c33 c. ⎛ ⎞ c11 c12 c13 T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ c31 c32 c33 ßa, b, c ßa , b , c º ½¿º¾ º ¸ ¸ |T | = 0º ¸ ¹ ¸ ¸ T ´½º½¿º ½µ |T | ¹ º |T | ¹ ¸ ¹ ¸ T ½¿º½ ¸ ¸ º ´ ¹ ¹ |T | = 0º ½¿º½ º ½µ ¸ ¹ ¾µ ¹ º ´ º º ¿ ºµ ¸ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ º ¹ �º ú ¸ º O û ú û ºþ ´ µ º Oab b ´ ´ ßb, c, a º ßa, b, c c ¸ ¹ ¸ ¸c c º ¾¾ ¹ º ¸ º ßb, c, a º ¹ c a¸ b º ¾¾ ßc, a, b µ µº a ¸b º ´ º ¾¾¸ µ¸ º ¾¾¸ µº ½º a¸ b ¹ a º ¾¾ ´ º ´½º½¿º ½µ T ¼ ¹ ¸ º º ßa, b, c ßa, b, c ¸ ßb, c, a ¸ º ßa, b, c �⎛ |T | = 1¸ ßa, b, c ßb, c, a ⎞ 0 1 0 T = ⎝0 0 1⎠º 1 0 0 ¸ ßc, a, b ßa, b, c º ¾º º ¸ T ½¿º¾ ⎛ O ºü Oab¸ ¸ ßa, b, c º c ºü ¹ ßb, a, c ¸ ßa, c, b ¸ ßc, b, a ßa, b, c º ßa, b, c ¸ ¹ ßa, b, c ßb, a, c ⎞ 0 1 0 T = ⎝1 0 0⎠ 0 0 1 |T | = −1º ßa, b, c ßb, a, c ßa, c, b ¸ ßc, b, a ßa, b, c º ßa, b, c ßa, b, c ¸ º ¿º ¹ ¹ ¹ ¸ º º ßb, a, c º ½¿º¾ c ¸ c = γ1 a + γ2 b + γ3 cº c c ½ ¹ ¹ c Oab¸ º c ¹ ¹ Oab¸ c c º ßa, b, c γ3 > 0¸ �Oab¸ ßa, b, c γ3 < 0º ßa, b, c º ⎛ ⎞ 0 1 0 T = ⎝ 0 0 1 ⎠º γ1 γ2 γ3 þ Oab¸ |T | > 0¸ ½¿º¾ c |T | = γ3 º ¸ ¹ c Oab¸ |T | < 0º ßa, b, c ¸ º T c c ßa, b, c ¹ ¹ º ¹ ¸ ¸ º º ¹ ßλa, b, c ¸ ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc λ>0 ßa, b, c λ < 0º ßλa, b, c º ¹ º ßa, b, c ⎛ ⎞ λ 0 0 T = ⎝ 0 1 0⎠¸ 0 0 1 |T | = λº ¸ ½¿º¾ ßa, b, c λ < 0º ¸ ºü ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc λ>0 ¾ λ < 0¸ λ > 0¸ ßa, b, c |T | > 0 ßλa, b, c ¸ ¹ �ï½ º þ a ½ º½ º þ b ¸ a×b ½µ | a × b | = | a || b | sin ϕ¸ ϕ = (a, b)º ¾µ þ a×b bº ¿µ a b ¸ ¸ ßa, b, a × b ßi, j, k º ½ º½ º ´ ºµ a b b(b1 , b2 , b3 ) a×b= ½º sin ϕ = ßi, j, k a×b ¹ ´ [ab]µ a¸ a×b ¸ º º ¹ ¹ ¹ ¹ a(a1 , a2 , a3 )¸ ¸ ¹ a2 a3 a a a a , − 1 3 , 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½ º ½µ a1 a2 a3 a × b = b1 b2 b3 i j k ´½º½ º ¾µ º 1 − cos ϕ º a× b = x(x1 , x2 , x3 ) |x| = |a| · |b| · sin(a, b)º √ 2 a 2 b 2 −(ab)2 ab 1− = ¸ ½ º½ 2 = ϕ = (a, b)º |a|·|b| ¿ |a|·|b| �a 2 b 2 − (ab)2 º |x| = x a b (a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 . |x| = ¹ (a1 b2 − a2 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a2 b3 − a3 b2 )2 . (∗) |x| = ¾º ½ º½ a¸ x bº x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = 0 x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 = 0. (x1 , x2 , x3 )º ¸ ¸ Δ= ¸ x1 = a1 a2 , b1 b2 Δ1 = ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ a2 a3 , b2 b3 Δ2 = a1 a3 . b1 b3 ¸ Δ = 0º −a3 x3 a2 −b3 x3 b2 a1 a2 b1 b2 a1 −a3 x3 b1 −b3 x3 x3 Δ 1 −x3 Δ2 , x2 = . = = Δ Δ a1 a2 b1 b2 x2 x3 x1 . = = Δ1 −Δ2 Δ λ¸ �x1 = λΔ1 , x2 = −λΔ2 , ´¶¶µ x3 = λΔ. x Δ21 + Δ22 + Δ2 . (λΔ1 )2 + (−λΔ2 )2 + (λΔ)2 = |λ| |x| = Δ1 = a2 b3 − a3 b2 ¸ Δ2 = a1 b3 − a3 b1 ¸ Δ = a1 b2 − a2 b1 ¸ (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 . |x| = |λ| ¿º ßa, b, x ºþ ´¶µ¸ ½ º½ |λ| = 1º ßi, j, k ½¿º¾ a ¸ b¸ x |T |¸ ßi, j, k º ¹ ¸ a1 a2 a3 a a a a a a |T | = b1 b2 b3 = x1 2 3 − x2 1 3 + x3 1 2 = b2 b3 b1 b3 b1 b2 x1 x2 x3 þ = x1 Δ 1 − x2 Δ 2 + x3 Δ º ´¶¶µ¸ |T | = λ(Δ21 + Δ22 + Δ2 ). |T | > 0 λ > 0 x =a×b x1 = Δ 1 = Δ21 +Δ22 +Δ2 > 0¸ λ = 1¸ ¸ ¸ λ > 0º |λ| = 1 a2 a3 a a a a , x2 = −Δ2 = − 1 3 , x3 = Δ = 1 2 . b2 b3 b1 b3 b1 b2 ¸ a×b= ´½º½ º ½µº a2 a3 a a a a i− 1 3 j+ 1 2 k b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½ º ¿µ �¸ ¹ ¹ ¸ a1 a2 a3 a × b = b1 b2 b3 . i j k ¸ ¸ ´½º½ º ¿µº ½ º¾ º ´ þ ºµ 1◦ º 2◦ . b¸ ¹ ¹ ¸ ´ÿ a×b ¸ a ¸ µº 0º ºµ b ´ ¹ ¹ S a ¹ 3◦ º ´∀ a, bµ a × b b × a. ◦ 4 º ´∀ a, bµ¸ ´∀ α ∈ Rµ a × (αb) = α(a × b)¸ (αa) × b = α(a × b)º 5◦ º ´∀ a, b, cµ a×(b+c) = a× b+a×c¸ (a+ b)×c = a× b+ b×cº º a × b = 0 ⇔ |a × b| = 0º ¸ 1◦ º |a × b| = 0 ¸ ¸ ½ º½ sin(a, b) = 0º ¸ ¸ sin(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 0◦ (a, b) = 180◦ ¸ |a × b| = 0 ⇔ ¸ a × b = 0 ⇔ a bº a b ¸ 2◦ ´ º º ¾¿µº −−→ ¹ −−→ a b A a = AB ¸ b = AD �ABCD º |a| = −−→ −− → |AB| = AB ¸ |b| = |AD| = AD ¸ (a, b) = ∠A ¸ AB · AD · sin ∠Aº ABCD S = AB · AD · sin ∠Aº ¸ |a × b| = S º º ¾¿ º¾ µ |a × b| = S ¹ ¹ 3◦ 5◦ º a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 ) ´ ¸ º ¸ ßi, j, k ¸ ¹ ¹ α αa (αa1 , αa2 , αa3 )¸ αb (αb1 , αb2 , αb3 )¸ (b + c) (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 )¸ (a + b) (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )º ¸ 3◦ 5◦ ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ´½º½ º ¾µ ¸ º º ´½º½ º ¾µ 4◦ º (αa) × b α(a × b) α a1 α a2 α a3 a1 a2 a3 b2 b3 ¸ α(a × b) = α b1 b2 b3 (αa) × b = b1 i j k i j k º ¸ (αa) × b = α(a × b)º ü º º �ï½ º ½ º½ º a ¸ b¸ c a × b c¸ a×b a bº ¹ abc (abc)º ¸ ´½º½ º ½µ abc = (a × b)cº ½ º½ º b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )¸ ßi, j, k a ¸ b¸ c a1 a2 a3 abc = b1 b2 b3 c1 c2 c3 º a×b= a(a1 , a2 , a3 )¸ . ´½º½ º ½µ ¹ ´½º½ º ¾µ ¹ a2 a3 a a a a , − 1 3 , 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½¾º ¾µ a×b c a a a a a a (a × b)c = 2 3 c1 − 1 3 c2 + 1 2 c3 . b2 b3 b1 b3 b1 b2 ¹ �a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ´½º½ º¾µº ¸ ´½º½ º ½µ ½ º¾ º ´ ¹ ºµ ¹ 1◦ º abc = bca = cabº 2◦ º abc = −bac¸ abc = −cba¸ abc = −acbº 3◦ º (αa)bc = α(abc)¸ a(αb)c = α(abc)¸ ab(αc) = α(abc)º 4◦ º (a + b)cd = acd + bcd¸ a(b + c)d = abd + acd¸ ab(c + d) = abc + abdº 5◦ º abc > 0¸ ßa, b, c ¸ º º ¹ ßi, j, k ¸ abc < 0¸ ßa, b, c ¸ º º ¹ ßi, j, k º 6◦ º º ¹ ¸ º º º ßi, j, k ´ ½ º¾ µº º º ¸ ¹ 1◦ 4◦ 5◦ ½¿º¾ ¹ ¹ 6◦ ´½º½ º¾µ ´ ¹ º µº �¸ º ½ º¾ º ¸ −−→ OB = b¸ a ¸ b¸ c −−→ OC = cº ¸ (OAC) (OAB)º (OBC)¸ (OAC) (OAB) ½ º¿ º ºµ V a¸ b¸ cº a ¸ b¸ c −→ c = AA º H ´½º½ º ¿µ º ABCDA B C D a ¸ b¸ c ¸ A ABC α = (c, a × b)º º ¾ µ¸ º ¿ ´ï ½¿µ c ¼ ¹ ¹ abc ¸ º ´ ¸ ½ º¿ º ´ÿ abc = ±V ¸ ¸ ¹ ú·û ¸ ±V º a ¸ b¸ c −−→ b = AD ¸ ¸ úû ¹ −→ OA = a¸ C ¹ (OBC)¸ A¸ B ¸ a¸ b¸ cº ø º O a×b ¹ − −→ a = AB ¸ ¸ ßa, b, c ¹ �ABC c ABC V º a ¸ b¸ c ´ º¾ a×b α > 90◦ ´ 180◦ µº ABCDA B C D V º=S AHA º¾ c µ¸ ´½º½ º µ · AH, AA · cos A AH º α < 90◦ ¸ AH = º¾ ´½º½ º ½µ¸ ´½º½½º ½µ a¸ b ¹ abc = (a × b)c = |a × b| |c| cos αº þ |a× b| = S ´ ½ º¾ µ¸ |c| = AA ¸ cos α = cos A AH ¸ ßa, b, c ◦ ¸ cos α = cos(180 − A AH) = − cos A AH ¸ a ¸ b¸ c º |c| cos α = ¸ AA (± cos A AH) = ±(AA cos A AH) = ±AH º abc = ±(S ´½º½ º ¿µº · AH). ´½º½ º µ ´½º½ º µ ½ ´½º½ º µ ¹ �ÿ ¾ ï½ º ü ½º ½ º½ º ü ¸ ¸ O e1 e2 e3 ¸ ¹ ße1 , e2 , e3 º O ¸ O e1 ¸ e2 ¸ e3 º ¸ ¸ ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ Ox º ¸ Ox¸ Oy ¸ Oz ´ Oy ¸ Ox Oz ¸ Oy ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º ¾ µº Oz ¸ �Oxy ¸ Oxz Oyz º ½ º¾ º M x¸ y ¸ z M ´ O e1 e2 e3 −−→ OM ¸ O µ¸ M (x, y, z) x¸ y ¸ z ´ µ ¹ ¹ ße1 , e2 , e3 º M (x, y, z)Oe1 e2 e3 O e1 e2 e3 º M −−→ M (x, y, z)Oe1 e2 e3 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 + ze3 º ´¾º½ º ½µ ¸ º¾ O e1 e2 e3 M (2, 4, 3). M (x, y, z) Oe1 e2 e3 ¹ ´¾º½ º ½µº O −−−→ OM1 = xe1 ¸ ¹ M1 ¹ −−− −→ M1 M2 = ¸ ¹ y e2 ¸ M −−−→2 M2 M = z e3 . −−→ −−−→ −−−−→ −−−→ OM = OM1 + M1 M2 + M2 M = xe1 + y e2 + z e3 º ¸M º OM1 M2 M Mº ¸ ¹ º ¿ �½º º Bº A A(x1 , y1 , z1 ) Oe1 e2 e3 º B ½ º¿ ße−1 ,→e2 , e3 ´½º¿º ¾ ¹ B(x2 , y2 , z2 ) −− → AB º −→ −−→ OA¸ OB ¹ ¸ −−→ OA(x1 , y1 , z1 )¸ OB(x2 , y2 , z2 )º − → −−→ −→ AB = OB−OA ½µ − ´ ½ º¿ º ý ¸ λ¸ AB ¹ λ= ´¾º½ º ¾µ −→ AC − − → CB º C ¹ A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 ) O e1 e2 e3 λ= Cº −→ AC − − → CB º C(x, y, z)º → −−→ ½µ−→− AC(x − x1 , y − y1, z − z1 )¸ CB(x2 − x, y2 − AC º½ y, z2 − z)º − − → = λ¸ CB −→ −−→ ¿ AC = λCB ´ º¾ µ x − x1 = λ(x2 − x)¸ y − y1 = λ(y2 − y)¸ z − z1 = λ(z2 − z)º x¸ y ¸ z C −→ AC −−→ CB ´ x= º ¹ º¾ µ −− → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) . ¾º A y1 + λy2 z1 + λz2 x1 + λx2 , y= , z= . 1+λ 1+λ 1+λ ´¾º½ º ¿µ �þ ¸ x= ´λ = 1µ AB y1 + y2 z1 + z2 x1 + x2 , y= , z= . 2 2 2 ´¾º½ º µ ¾º ü ½º ºü ¸ ¸ O e1 e2 O ¸ ü A B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸ ¹ B(x2 , y2 )¸ C B A x= ´¾º½ º µ Oe1 e2 ¹ − −→ AB − − → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ) . ´¾º½ º µ λº AB O e1 e2 C(x, y) A(x1 , y1 ) y1 + λy2 x1 + λx2 , y= . 1+λ 1+λ ´¾º½ º µ ¸ AB x= ¸ ´¾º½ º µº ¹ ße1 , e2 º M −−→ M (x, y)Oe1 e2 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 . þ ¹ º y1 + y2 x1 + x2 , y= . 2 2 ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ¸ ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ ´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º¿µ �ï½ º ï½ º º ¹ ½ º½ º ¸ ¹ º º O ij k ¸ O ij ij = ik = j k = 0º ¸ ¸ x z µ Mº i¸ j ¸ i2 = j 2 = k2 = 1¸ ¸ ´ k, º y ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ½º ½º A(x1 , y1 , z1 ) B(x2 , y2 , z2 ) O ij k º AB º º AB −− → − −→ |AB| = AB 2 º −− → AB(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )¸ AB A AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . ¾º − −→ AB ¸ ¹ B ´¾º½ º ½µ �ABC A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 ) Oij k º ABC º ABC º ¸ ¾ µ ´ ¹ − − → AB − − → −→ AB × AC −− → −→ S = |AB × AC|. ¹ −→ AC º ½ º¾ ¸ ¹ ´¾º½ º ¾µ −− → −→ AB(x2 −x1 , y2 −y1 , z2 −z1 )¸ AC(x3 −x1 , y3 −y1 , z3 −z1 )¸ − −→ −→ ´´ µµ AB × AC y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 z2 − z1 x2 − x1 y 2 − y 1 , − , . y3 − y1 z3 − z1 x3 − x1 z3 − z1 x3 − x1 y 3 − y 1 ¸ S 1 2 ABC 1 − − → −→ = AB × AC = 2 y2 − y1 z2 − z1 y3 − y1 z3 − z1 ¿ 2 x − x1 z2 − z1 + 2 x3 − x1 z3 − z1 2 x − x1 y 2 − y 1 + 2 x3 − x1 y 3 − y 1 ´¾º½ º ¿µ ABCD A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 )¸ D(x4 , y4 , z4 ) O ij k º ABCD º 1 º ABCD 6 − − → −→ −−→ ¸ AB ¸ AC AD º ¸ þ ¹ 2 . �º ¸ V º= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 1 mod x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 . 6 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 ´¾º½ º µ ¹ ´¾º½ º µ A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z4 )¸ D(x4 , y4 , z4 ) ¹ ¸ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 = 0. x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 ´¾º½ º µ ¾º ½ º½ ¹ O ij −−→ M (x, y)Oij ⇐⇒ OM = xi + y j. A B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸ AB = ¸ O ij ¹ AB (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . ´¾º½ º ¿µ ´¾º½ º µ ABC ¸ ´¾º½ º µ ¸ ¹ ¹ �A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 ) S = 1 2 mod x2 − x1 y 2 − y 1 = x3 − x1 y 3 − y 1 1 2 C(x3 , y3 )¸ x1 y 1 1 mod x2 y2 1 . x3 y 3 1 ´¾º½ º µ ï½ º ½º ½ º½ º Oe1 e2 ´ e1 (c11 , c21 )¸ e2 (c12 , c22 ) Oe1 e2 º ´ µ M µ O e1 e2 O (x0 , y0 ) (x, y) ´ µ¸ ´ µ x = c11 x + c12 y + x0 ¸ y = c21 x + c22 y + y0 . º (x , y ) ´¾º½ º ½µ ½ º½ ¹ −−→ OM = xe1 + ye2 ¸ −−−→ O M = x e1 + y e2 ¸ −−→ OO = x0 e1 + y0 e2 . e2 º ¹ −−−→ OM e1 = c11 e1 + c21 e2 e2 = c12 e1 + c22 e2 ¸ ´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º ¾µ ¸ e1 ¹ �−−−→ O M = x (c11 e1 + c21 e2 ) + y (c12 e1 + c22 e2 ) = (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 º −→ −−→ −−−→ ´´½º¿º ½µµ − ¸ OM = OO + O M º ´¾º½ º ¾µ −−−→ O M¸ e1 ¹ ¹ −−→ OM e2 −−→ OM = (x0 e1 + y0 e2 ) + (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 = (c11 x + c12 y + x0 )e1 + (c21 x + c22 y + y0 )e2 . ´¾º½ º ¿µ þ e1 e2 −−→ OM ´¾º½ º ¾µ ´¾º½ º ¿µ ´¾º½ º ½µº ¾º x = c11 x + c12 y + c13 z + x0 ¸ y = c21 x + c22 y + c23 z + y0 ¸ z = c31 x + c32 y + c33 z + z0 ¸ (x, y, z) ¸ (x , y , z ) Oe1 e2 e3 ´ µ O e1 e2 e3 ´¾º½ º µ ´ e1 (c11 , c21 , c31 )¸ e2 (c12 , c22 , c32 )¸ e2 (c13 , c23 , c33 ) O (x0 , y0 , z0 ) Oe1 e2 e3 º ´¾º½ º µ ¸ ¼ M µ ¹ ´¾º½ º ½µº �ï½ º ½ º½ º µ¸ ´ ¹ ¹ ´ µ º ½º Oij ¸ Oi j (i, i ) = ϕ ¹ O (x0 , y0 )º (x, y) (x , y ) ¹ º M ¸ ϕº (c12 , c22 ) ¸ µ ¸ ï½¾¸ cij ´i, j = 1, 2µ (c11 , c21 ) j ¾µº c11 = cos(i , i)¸ c21 = cos(i , j)¸ c12 = cos(j , i)¸ c22 = cos(j , j). ¸ i j i¸ j º ´ i ßi, j º ´ O ij ¹ ´¾º½ º ½µ ¸ ¹ ¹ Oi j º ¾ µ¸ ¸ ¹ (i , i) = ϕ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = 90◦ + ϕ¸ (j , i) = ϕº Oij O i j µ (i , i) = ϕ¸ ´ º ¾ µ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ ½ (j , i) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = �180◦ − ϕº º º¾ þ º¾ µ c11 = cos ϕ¸ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸ c12 = cos(90◦ + ϕ) = − sin ϕ¸ c22 = cos ϕº þ µ c11 = cos ϕ¸ c12 = cos(90◦ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸ − ϕ) = sin ϕ¸ c22 = cos(180◦ − ϕ) = − cos ϕº ´¾º½ º ½µ¸ x = x cos ϕ − y sin ϕ + x0 ¸ y = x sin ϕ + y cos ϕ + y0 ¸ = ±1¸ þ ½µ Ox y O ij ú·û¸ Oij ¸ ú û¸ º i = i¸ j = j ¸ ´ ¸ Oxy º ¾ ¸ µº þ ¾ ¹ ´¾º½ º ½µ Oi j Oi j ¹ º ¹ ¹ ¹ ¹ ´¾º½ º ½µ �x = x + x0 ¸ y = y + y0 º ¾µ = +1µ¸ ´ O = O ´x0 = y0 = 0 Ox y ¸ º ¾ ¸ µº ´¾º½ º ½µ ´¾º½ º ¾µ Oxy x = x cos ϕ − y sin ϕ¸ y = x sin ϕ + y cos ϕº ´¾º½ º ¿µ º¾ º¾ ¾º ¸ ” “ c11 ¸ c12 ¸ c13 ¸ c21 º Oij k ´ ú µ ¸ ¸ ººº ´ µ û M ¿ ´¾º½ º µ (x, y, z) Oi j k ¹ ¹ ¹ ¹ �ú û µ ºþ M ¸ ´ï½¾¸ k ⎛ ¸ ¼º i¸ j ¸ k i i¸ j ¸ k ¸j ¸k ¸ ¸ ÿ ±½º ¸ ¸ ¸ +1¸ −1¸ ¹ ¹ i ¸ ¸ ¼º ¸ ¸ ½º ÿ ¸ ¸ ¸ ¸j ¸k i¸ j ¸ k ¾µº ½ ½ i ⎞ c11 c12 c13 T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ . c31 c32 c33 T º ï ¾¼º ´ ¹ (x , y , z ) ¸j ¸ ¸ ¹ º ¹ ¹ ¹ º �´Oe1 e2 þ º O ij ´ ¹ ¸ µ Φ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ (x, y) ¸ ¾¼º½ º Φº µº ¹ ¸ º ¹ ´ µ ¾¼º¾ º ü 2x + 3y + 5 = 0¸ x2 + y 2 = 1 ¸ ´ µ¸ Oxy ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ Ò¹ ¸ F (x, y) Òº ¸ ¹ Φ¸ Φº F (x, y) = 0 ¸ x¸ y ¸ Φ º ¹ ¹ ¹ �Oxy º F (x, y) = 0 F (x, y) F1 (x, y) F2 (x, y)¸ ¸ y = −xº y=x ½º F1 (x, y) = 0 x2 − y 2 = 0 Φ º ¸ ¾º º ¸ ¹ ¹ F2 (x, y) = 0º ¹ º ¸ ¸ ¹ ¹ Φ º ¸ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ½µ ¹ ¸ ¾µ ¹ ¸ ¿µ ¹ M (x, y)¸ µ ´ º ¸ ´ µ Φ ¹ µ µ µ µ¸ ´ º ¹ ¹ �þ º ½º ω(C, r) rº ¹ C ωº º r¸ ¹ O ij C(a, b)º M Mº CM = (x − a)2 + (y − b)2 = r º ¹ CM = º (x, y) (x − a)2 + (y − b)2 º ¹ ¹ º ´¾º¾¼º ½µ (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 º þ º ´¾º¾¼º½µ (x, y) CM 2 = r 2 M ∈ ωº º (x, y) M ¸ ¸ CM = rº ¸ º ¸ º ´¾º¾¼º ½µ ¸ F1 (x, y) ≥ 0, F2 (x, y) ≤ 0. º M (x, y) ¸ ¸ ´¾º¾¼º½µ ¹ ¸ ´¾º¾¼º ¾µ Φ1 ´¾º¾¼º¾µº M (x, y) Φ2 ¸ ´¾º¾¼º ¾µ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ �º ´¾º¾¼º ¾µ¸ ¸ ¹ ¾º ¹ Φ2 º Φ1 ¸ ¹ ⎧ 2 2 ⎪ ⎨x + y ) ≤ 16, x ≥ −1, ⎪ ⎩ y ≤ 3. º Φ1 ¸ Φ2 Φ3 º º Φ1 ¸ ¹ x2 + y 2 ≤ 16¸ ¸ Φ2 ¹ ¹ ¾º x = −2¸ Φ3 ¸ y = 3º º ¹ º ¾ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º¾ ¾º ÿ ¸ ¹ ¸ ´Oe1 e2 e3 µº þ Oij k ¹ (x, y, z) º ¹ �¸ ¾¼º¿ º Φ Φº þ ¹ ¸ ¸ x¸ y ¸ z ¸ ¸ Φº ½º ¾º ¿º ¹ Φ¸ ¹ ¸ F (x, y, z) = 0¸ º z = f (x, y)º F (x, y, z) = 0º x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v)¸ ¸ M M (u, v)º ¹ ¹ º º ¹ x¸ y ¸ z u¸ v º ¸ º M u þ ¸ v¸ x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v) r = r(u, v)¸ r Φ ¸ ¹ ¹ º ½º F (x, y, z) = 0¸ Φ(x, y, z) = 0 �F (r) = 0¸ ¾º Φ(r) = 0º x = x(t),y = y(t),z = z(t) º º ¸ ¹ x¸ y ¸ z º M M M (t)º x = x(t)¸ y = y(t)¸ z = z(t) r = r(t)¸ ¹ r tº ¸ t¸ þ ¸ º x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v) v = v0 = const¸ x = x(u, v0 )¸ y = y(u, v0 )¸ z = z(u, v0 ), v = constº ¸ v¹ r = r(u, v0 )¸ u u = u0 = ÓÒ×ظ ¹ x = x(u0 , v)¸ y = y(u0 , v)¸ z = z(u0 , v) v¹ ¸ F (x, y, z) ¸ u = constº u = const Ú const ¸ Ò¹ ´Ò¹ ´ r = r(u0 , v)¸ ¹ º ¸ µº ¼ ¹ F (x, y, z) = 0¸ µº ¹ ¹ �F (x, y, z) ϕ(x, y, z) ¸ ψ(x, y, z) ´ ϕ(x, y, z) = 0 ¸ M O ij k C(a, b, c)º Mº º º rº C Φº º ¹ ºþ ¿º Φ x¸ y ¸ z µ¸ F (x, y, z) = 0 ψ(x, y, z) = 0º (x, y, z) CM = r ¸ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 . CM = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r º ¹ ¹ º (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r 2 º þ º ´¾¼º¿µ (x, y, z) CM 2 = r 2 (x, y, z) M ¸ Φº ¸ CM = rº º ï ¾½º ½º ½ º ¸ ´¾º¾¼º ¿µ ¸ ¹ ´¾º¾¼º¿µ M ´¾º¾¼º ¿µ �¾½º½ º ¸ i¸ ¸ OP º OP (ρ, ϕ ρ¸ ¸ O¸ O i OP ¹ º ¹ ¹ ¾½º¾ º M ¹ ϕ OM ´¾º¾½º ½µ ρ = OM (ρ ≥ 0), ϕ = P OM . A 2, π 3 º ¿¼ ¸ B 1, 3π2 ¸ C ½µ ¸ º ϕ k 3, 5π 4 º O ¹ ¾µ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ϕ ± 2πk¸ ¸ 0 ≤ ϕ < 2π ¸ º º ¿¼ º ¸ ϕ ¾º Oi (ρ, ϕ) (x, y) ¾ º ¸ O ij M �º −−→ OM M¸ Mº ¹ −−→ −−→ x = OM cos(i, OM )¸ y = OM cos(j, OM )º −−→ −−→ OM = ρ¸ (i, OM ) = ϕ (j, OM ) = 90◦ − ϕ¸ ¹ (x, y)¸ ´ º ¹ ´½º½¾º µ y = ρ sin ϕº x = ρ cos ϕ, º ´¾º¾½º ¾µ (ρ sin ϕ)2 = ρ2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = ρ2 ¸ ρ= ¸ x2 + y 2 ¸ ϕ= ´¾º¾½º ¾µ x2 +y 2 = (ρ cos ϕ)2 + y =Ø ϕº x ´¾º¾½º ¿µ Ö Ø xy º ´¾º¾½º ¿µ º x y ¹ ϕ ϕ y ≥ 0¸ x > 0¸ 0≤ϕ< x ≤ 0¸ y > 0¸ π 2 π ≤ϕ<π 2 3π π≤ϕ< 2 3π < ϕ < 2π º 2 y ≤ 0¸ x < 0¸ y < 0¸ x ≥ 0¸ ¿º ρ ϕº F (ρ, ϕ) = 0º ¿ F (ρ, ϕ)¸ ¸ Oi ¸ ¹ �¸ ρ = a¸ ÓÒ×ظ a ¸ O aº º ¹ ¹ (ρ, ϕ) º (ρ, ϕ) M (|ρ|, ϕµ (−1, 4π 3 ) ¹ ρ ≥ 0¸ ºþ A¸ ρ, ϕ M¸ º ¸ º ρ < 0¸ º ¿¼ (ρ, ϕ)¸ O¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ρ ¹ ¹ (ρ, ϕ) A (1, 4π 3 )º º ¸ º �ÿ ¿ ï ¾¾º ´ µ ½º ¾¾º½ º þ ¸ ¸ M0 ´ ´¿º¾¾º½µ M −−−→ M0 M aº −−−→ = {M ∈ R3 |M0 M Oe1 e2 a¸ M0 (x0 , y0 ) µ¸ a ¹ º ¹ ¸ ¸ a}º ¸ º a¸ M0 º ¸ ¸ ¹ º ¸ a(a1 , a2 )º ¹ �M (x, y) (x − x0 , y − y0 )º º −−−→ M0 M a¸ −−−→ M0 M x − x0 y − y 0 = º a1 a2 ¸ ¸ ´¿º¾¾º½µ¸ ´¿º¾¾º ½µ M (x, y) º M ´¿º¾¾º½µ º ºþ ¸ º ¹ y − y0 = 0º x − x0 = 0 ¾º −−−→ M0 M −−−→ M0 M = taº º ¹ ¹ a ¹ x − x0 = a1 t, y − y0 = a2 t. ¹ x = x0 + a1 t, y = y0 + a2 t. tº ¸ ´¿º¾¾º ¾µ ¹ ´¿º¾¾º¾µ �¿º ¸ M2 (x2 , y2 )¸ ¸ º º M1 (x1 , y1 ) = M1 M2 º ¹ ¹ ¹ M1 (x1 , y1 ) M1 M2 a = M1 M2 º (x2 − x1 , y2 − y1 )¸ ´½º¾¾º½µ y − y1 x − x1 = ¸ x2 − x1 y 2 − y 1 ´¿º¾¾º ¿µ º º ú Ox B(0, b)º û A(a, 0) Oy ¾¾º¾ º A º ¸ a B a ¸ A(a, 0) A B B(0, b)º bº ¹ ¹ ¹ ¸ ´¿º¾¾º ¿µ¸ y x−a = . −a b bx + ay = ab, b ¸ �ab¸ x y + = 1º a b ûº ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º µ ú ¹ º ¾¾º½ º þ º Ax + By + C = 0 M0 (x0 , y0 ) º ½µ aº ´¿º¾¾º½µº a2 (x − x0 ) − a1 (y − y0 ) = 0, a2 x − a1 y + (−a2 x0 + a1 y0 ) = 0. þ A = a2 , B = −a1 , C = −a2 x0 + a1 y0 Ax + By + C = 0¸ ¾µ º A ¸ º º ´¿º¾¾º µ ¹ B ´¿º¾¾º µ º º ´¿º¾¾º µ ¸ ´¿º¾¾º µº ¹ �º ¸ ´¿º¾¾º µ A x+ C A +By = 0. y x+ C A = º −B A ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º ½µ ´¿º¾¾º µ ¸ M0 (− C A , 0) a(−B, A)º ´¿º¾¾º µ¸ ´¿º¾¾º µ ¸ º ¿º Ax + By + C = 0¸ º (−B, A). ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º µµº þ A º º ¹ ¹ B ú û Ax + By = −C, C = 0¸ x −C A ¸ Ax + By + C = 0¸ ¹ a ´ ¹ ú a= + ¸ −C A y −C B ´¿º¾¾º µ −C ¸ = 1. ûa , b= b¸ −C B º ´¿º¾¾º µ �ï ¾¿º ´ µ ¹ O ij º ½º ¾¿º½ º þ ¸ ¸ n¸ º ¸ ¾¿º½ ¸ ¸ ¸ n¸ M0 −−−→ R3 |M0 M ⊥n}º ¸ M0 (x0 , y0 ) (x − x0 , y − y0 )º −−−→ n M0 M º −−−→ M0 M ⊥n¸ ¹ º ¹ M0 ¸n ¸ º M −−−→ M0 M ⊥nº ¹ n(A, B)º −−−→ M0 M n M (x, y)− ¹ −−−→ M0 M ¸ A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0º ¸ ´¿º¾¿º½µ¸ M (x, y) M ¼ ¹ ¹ ¹ ¹ = {M ∈ º ºþ ¹ ´¿º¾¿º ½µ º ¹ ¹ �¸ þ ´¿º¾¿º½µ º ¹ º ´¿º¾¿º ½µ C = −Ax0 − By0 º Ax + By + C = 0º ¹ þ A, B n º ¸ Ax + By + C = 0 (A, B)º n þ ¸ ¹ A B º ¾º ¾¿º¾ º ½µ C < 0º Ax + By + C = 0¸ x y ¾¿º¾ ¹ ½ ¾µ ¸ x cos ϕ + y sin ϕ − p = 0¸ p > 0¸ 0 < ϕ < π º ´¿º¾¿º ¾µ Ax+By+C = 0º ¹ ºþ λ = ±√ 1 A2 + B 2 ½ ´¿º¾¿º ¿µ �ú·û¸ C < 0¸ ú−−û¸ ¸ C > 0º Ax By C ±√ ±√ ±√ = 0¸ A2 + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2 ¾¿º¾ ±√ A 2 A + B2 2 ´¿º¾¿º µ ¸ B + ±√ 2 A + B2 2 = 1. ¿º ¾¿º¿ º Ox α a i º 0 < α < πº α ¾¿º º Oxº k ¸ k = Ø αº ½º ¸ ¾º ¸ Ox, º º ¸ ´¿º¾¿º µ ¸ ¹ º ¸ M0 (x0 , y0 ) kº a(a1 , a2 ) ¹ a1 = |a| cos α¸ a2 = |a| sin α ¸ ¾ �a ¸ k = tg α = a2º a2 = k a1 º 1 ¹ y − y0 x − x0 = . a1 k a1 y − y0 = k (x − x0 )¸ º ´¿º¾¿º µ ´¿º¾¿º µ y = kx + b¸ b = y0 − kx0 º ´¿º¾¿º µ ´¿º¾¿º µ º Ax+By+C = 0º ¹ ºþ y¸ y=− ´¿º¾¿º µ C A x− ¸ B B ´¿º¾¿º µº ´¿º¾¿º µ C A k=− , b=− º B B ï¾ º ÿ Ü· Ý· ¼ ¸ º ¿ M1 ¸ M2 �¾ º½ º ÿ ¸ ¸ ¸ M1 M2 M1 M2 , M1 M2 º ¾ º¾ º º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¾ º½ º º ¸ º Ax + By + C = 0¸ Ax + By + C < 0 Ax + By + C > 0 ºþ º ¹ ¹ ¸ δ(x, y) = Ax + By + C. ¾ ¸ δ(x, y) = 0 ⇔ M (x, y) ∈ º M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 ) ¸ ¸ δ1 = δ(x1 , y1)¸ δ2 = δ(x2 , y2) δ º M1 M2 º M1 M2 ¸ º½ M1 M2 −−−−→ ºþ M1 M2 (x2 − x1 , y2 − y1 ) a(−B, A) º ¸ y2 − y1 x2 − x1 = . −B A ¹ ¹ ¹ ¹ �A(x2 − x1 ) = −B(y2 − y1 ). Ax1 + By1 = Ax2 + By2 . ¸ C Ax1 + By1 + C = Ax2 + By2 + C, º º ´¿º¾ º ½µ º ¹ δ1 = δ2 º M1 M2 ´¾º½ º ¾µ M0 (x0 , y0 ) x0 = λ = M1 M2 ´ −−−−→ M1 M0 −−−−→ M0 M2 x1 + λx2 y1 + λy2 , y0 = ¸ 1+λ 1+λ º ½µ ¸ º ¿½ µ ¸ λ > 0º M0 ∈ A M1 ¸ λ < 0 ¾µ M1 M2 ¸ ´¿º¾ º ¾µ ´ ¹ M2 M0 ¸ M1 º ¿½ µ M0 y1 + λy2 x1 + λx2 +B + C = 0. 1+λ 1+λ (Ax1 + By1 + C) + λ(Ax2 + By2 + C) = 0 M2 �δ1 + λδ2 = 0. λ λ=− ´¿º¾ º ¿µ δ1 º δ2 º ¿½ º ¿½ ´¿º¾ º ¿µ ½µ ¸ ¸ M1 ¸ δ1 λ>0 δ1 ¸ ½µ M1 Ax + By + C > 0 ¸ M1 ¸ δ2 M1 ºþ δ2 M2 ¸ M2 δ2 ¾µ δ1 δ2 λ < 0 ¸ M2 λ > 0¸ ½µ λ < 0¸ º ¹ ¸ ¹ Ax + By + C < 0 M1 M2 ´¿º¾ º ½µ ¾µ ¸ δ1 ¸ M2 ¸ ¹ ¸ ¾µ ¹ ¸ ¹ ¹ º �¸ ¸ Ax+By+C < 0º Ax+By+C > 0 ¸ º Ax + By + C < 0 ï¾ º ¹ Ax + By + C > 0 ¹ þ 1 ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ ¾µ 1 2 1 2 1 2 1 ¸ 2 A1 x+B1 y +C1 = 0 1 2º ÿ ¸ A2 x+B2 y +C2 = 0 ¹ ¹ A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 ºþ ¸ ºþ ¹ ¸ ¸ ¿µ º 2 ´¿º¾ º ½µ ¸ º ¹ ´¿º¾ º ½µ ¸ �´¿º¾ º½µ B1 C1 B2 C2 x= A1 B1 A2 B2 ´¿º¾ º ¾µ ¾µ B C1 Δ1 = 1 B2 C2 Δ¸ Δ1 ¸ Δ2 ¸ ½µ A1 A2 = ¸ B1 B2 ¸ ¾µ , y= C1 A1 C2 A2 A1 B1 A2 B2 ¸ ¸ ´¿º¾ º ¾µ . ´¿º¾ º ½µ ½µ Δ= Δ=0 C A1 Δ2 = 1 C2 A2 º ¿µ ¸ A1 A2 1 = B1 B2 A1 B1 =0 A2 B2 Δ=0 1 = C C2 Δ1 = Δ2 = 0 º ¹ ¹ 2 A1 B1 = ¸ A2 B2 ´¿º¾ º ¿µ A1 B1 C1 = = ¸ A2 B2 C2 ´¿º¾ º µ ¸ ¿µ ¸ A1 B1 C1 = = º A2 B2 C2 ÿ a1 (−B1 , A1 ) 2 ´¿º¾ º µ º ´¿º¾ º¿µ a2 (−B2 , A2 ) º ´¿º¾ º µ ¸ ´¿º¾ º µ 1 �´¿º¾ º¿µ¸ ´¿º¾ º µ ¸ º ½µ 1 ¸ ¹ 2 1 1 1 2 = B1 B2 1 2 = B1 B2 ¸ ¸ ¹ 2 ¸ º º AA ¿µ ¹ ¸ ¸ º º AA ¾µ º º AA ´¿º¾ º µ 1 2 = ¸ B1 B2 = C1 C2 ¹ ¸ ¸ 2 = ¸ C1 C2 . ï¾ º ½º ¾ º½ º ¸ º Oe1 e2 º ¸ ¹ ¹ ¹ º ¾ º½ º S(x0 , y0 )¸ α(x − x0 ) + β(y − y0 ) = 0º ¹ ´¿º¾ º ½µ �º º ¸ a(−β, α)º (−β, α)º α¸ β º ¸ º ´¾º¾ º½µ ¸ 1 2 ¸ A1 x + B1 y + C1 = 0 ¹ S α¸ β ¸ ¹ S¸ ´¾ º½µº ¾ º¾ º ¸ º ¹ ¹ A2 x + B2 y + C2 = 0¸ α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0º º ´¿º¾ º ¾µ 1 ¸ 2 a1 (−B1 , A1 )¸ a2 (−B2 , A2 )¸ 1 ¸ 2 º By + C = 0º a1 ¸ a2 ¸ a a = αa1 + βa2 º ¸ º A = αA1 + βA2 , S(x0 , y0 ) a1 ¸ a2 a −B = α(−B1 ) + β(−B2 ), 2 Ax + a(−B, A)º A = αA1 + βA2 B = αB1 + βB2 . º S¸ A1 x0 + B1 y0 + C1 = 0, ´¿º¾ º ¿µ A2 x0 + B2 y0 + C2 = 0. ¼ 1 �−A1 x0 − B1 y0 = C1 , +C = 0º þ ´¿º¾ º¿µ¸ C −A2 x0 − B2 y0 = C2 . S¸ ¸ Ax0 + By0 + C = −Ax0 − By0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 = α(−A1 x0 − B1 y0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 ) = αC1 + βC2 º ¸ C = αC1 + βC2 . ´¿º¾ º¿µ ´¿º¾ º µ ´¿º¾ º µ (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 ) = 0, ´¿º¾ º¾µ α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0. ¸ ¸ ¸ ´¿º¾ º¾µ 2 1 2 ¸ ¸ S(x0 , y0 ) (x0 , y0 ) α(A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0. ¸ α βº λ= β α (A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + λ(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0º ´¿º¾ º µ 2 ¹ 1 ¹ ´¿º¾ º µ ¸ º ¾º ½ �¾ º¾ º º ¾ º¿ º ¸ A¸ B ºþ º a(−B, A) x¸ y ¸ Cº ¸ ¹ ¸ A¸ B ¹ º C º ¹ Ax + By + C = 0¸ ¸ ¸ A¸ B ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ C ¸ Ax + By + C = 0 ï¾ º þ ¸ ºþ ¸ º 0◦ ¸ º º º O ij 1 2 ¾ ¸ ¹ ¹ º ¹ 180◦ ¹ �y = k1 x + b1 , ´ º º º ¿¾µ α1 ¸ α2 α1 + θ º þ θ = α2 − α1 tg θ = y = k2 x + b2 º º θ 1 Oxº 2 α2 = tg α2 − tg α1 . 1 + tg α1 tg α2 tg α1 = k1 ¸ tg α2 = k2 ¸ tg θ = k2 − k1 º 1 + k1 k2 ´¿º¾ º ½µ ´¾º¾ º½µ º ¿¾ ¹ 1 ¸ 2 º º º ´¿º¾ º½µ ¹ ¹ ⇔ k1 = k2 ¸ 1 1 ⊥ 2 ⇔ k2 = − º k1 1 || 2 1 ´¿º¾ º ¾µ 2 ´¿º¾ º ¿µ k1 = − A B ¸ k2 = A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0. 2 −A B2 º ´¿º¾ º½µ tg θ = A1 B2 − A2 B1 º A1 A2 + B1 B2 ¿ 1 1 ´¿º¾ º µ �1 ´¿º¾ º¿µ¸ 2 ¸ ¹ ¸ ´¿º¾ º µ A1 A2 + B1 B2 = 0º ï¾ º ¹ O ij º º Ax + By + C = 0 M (x, y)º d º M º M1 (x1 , y1 ) −−−→ M1 M (x − x1 , y − y1 )º n(A, B) −−−→ M1 M = λnº º M M1 ¸ d = |M1 M |º ¹ ¹ M1 λ¸ nº −−−→ 2 2 nM1 M = λn = λ(A + B 2 ) −−−→ nM1 M λ= 2 º A + B2 d þ −−−→ √ |nM1 M | −−−→ d = |M1 M | = |λn| = |λ| · |n| = |λ| A2 + B 2 = √ º A2 + B 2 −−−→ nM1 M þ −−−→ nM1 M = A(x − x1 ) + B(y − y1 ) = Ax + By + (−Ax1 − By1 ). −Ax1 − By1 = C ¸ M1 ¹ �¸ ¸ ¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º −−−→ nM1 M = Ax + By + C. d d= |Ax + By + C| √ º A2 + B 2 ´¿º¾ º ½µ ï¾ º ¹ O ij º º Ax + By + C = 0¸ Ax + By + C = 0º d º M1 (x1 , y1 ) d −C º º M1 d= M1 ∈ º ¸ |Ax1 + By1 + C | √ . A2 + B 2 ¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º ¸ |C − C| d= √ º A2 + B 2 Ax1 + By1 = ´¿º¾ º ½µ �ï ¿¼ ½º ¿¼º½ º þ ¸ ¹ a α¸ −−−→ M0 A = a¸ M0 ¹ A ∈ αº ¿¼º¾ º a b º ¸ π º M0 ´ ¸ ¸ º ¸ ¿¼º¾ M −−−→ M0 M ¸ a¸ b M −−−→ 0 π = {M ∈ R3 |M0 M , a, b − µ¸ a α¸ ¹ ¹ b ¹ º π ¸ a }º bº ¹ º Oe1 e2 e3 M0 (x0 , y0 , z0 ) M (x, y, z) a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º −−−→ πº M0 M −−−→ M0 M ¸ a¸ b z0 )º π¸ ¹ a(a1 , ¹ (x−x0 , y −y0 , z − ¸ �x − x0 y − y0 z − z0 a1 a2 a3 = 0 º b1 b2 b3 ¸ ¿º¿¼º½ ¸ ¸ ´¿º¿¼º ½µ M (x, y z) πº M ´¿º¿¼º½µ πº ¹ º ¾º ¹ −−−→ M0 M ¸ a −−−→ M0 M = ua + v bº ⎧ ⎪ ⎨x − x0 = ua1 + vb1 , y − y0 = ua2 + vb2 , ⎪ ⎩ z − z0 = ua3 + vb3 . b ¹ ⎧ ⎪ ⎨x = x0 + ua1 + vb1 , y = y0 + ua2 + vb2 , ⎪ ⎩ z = z0 + ua3 + vb3 . ´¿º¿¼º ¾µ ´¿º¿¼º½µ¸ u, v º ´¿º¿¼º¾µ ¹ ¿º π M2 (x2 , y2 , z2 ) M3 (x3 , y3 , z3 )¸ º º π = M1 M2 M3º M1 (x1 , y1 , z1 )¸ ¸ π �º ¸ ¸ M1 M2 M1 ¸ M2 M1 M3 M3 πº ¸ a = M1 M2 πº ¸ M1(x1 , y1, z1 ) b = M1 M3 M1 M2 M1 M3 (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) (x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 )¸ ´¿º¿¼º½µ x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 ¸ x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 ´¿º¿¼º ¿µ º º B(0, b, 0) ú û π Ox¸ Oy Oz C(0, 0, c)º ¿¼º¿ º A¸ B º ¸ A(a, 0, 0)¸ a¸ b C π π a¸ b π B(0, b, 0) C(0, 0, c)¸ A¸ B C c ´¿¼º¿µº ´¿º¿¼º¿µ¸ x−a y z −a b 0 = 0 . −a 0 c cº A(a, 0, 0)¸ ¹ ¹ �bcx + acy + abz = abc, ¸ abc¸ ´¿º¿¼º µ x y z + + =1 a b c ûº º ´¿º¿¼º µ π ¿¼º½ º þ º Ax + By + Cz + D = 0 º ½µ M0 (x0 , y0 , z0 ) a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º ú ¹ π ´¿º¿¼º½µº ¹ ¸ a a a a a2 a3 (x − x0 ) − 1 3 (y − y0 ) + 1 2 (z − z0 ) = 0. b2 b3 b1 b3 b1 b2 þ A= a2 a3 , b2 b3 B=− a1 a3 , b1 b3 a1 a2 b1 b2 ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ ¹ C= Ax + By + Cz + D = 0¸ D = −Ax0 − By0 − Cz0 º A¸ B C þ ¸ �a ¾µ b º º º x = −B Ay− ¸ ¸ C A z− D A ´¿º¿¼º µ ¹ ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º ¾µ ¹ M0 C a(− B , 1, 0) ¸ b(− A A¸ º º ´¿º¿¼º µ ¸ ¹ ´¿º¿¼º µ ¹ π Ax+By +Cz +D = 0¸ a(−B, A, 0) b(−C, 0, A)º þ º D A, ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ¸ C v− ¸ ´¿º¿¼º µº ¹ ¸ y = u¸ z = v . C A ¹ ¸ º ´¿º¿¼º µ A = 0 (− D A ¸ 0, 0) 0, 1)º B ´¿º¿¼º µ º ⎧ B ⎪ ⎨x = − A u − y = u, ⎪ ⎩ z = v. ¸ ¸ A¸ ¹ º ú Ax + By + Cz = −D, ½¼¼ û ´¿º¿¼º µ �−D ¸ ú x −D A + y −D B ¸ Ax + By + Cz + D = 0¸ a= + û y −D C = 1. π ú D = 0¸ û a¸ b c¸ ¸ −D −D −D , b= , b= . A B C ´¿º¿¼º µ ï ¿½ ¿½º½ º ÿ º ¿½º¾ º ¹ ¹ ¹ ¸ º ¸ α¸ −− → n = AB AB ¸ ¹ ¸ ¹ º ½º π ¸n ¿½º¾ M −−−→ M0 M ⊥nº ¸ π ½¼½ M0 ¹ ¸ ¸ º ¹ ¸ �n¸ M0 −−−→ π = {M ∈ R3 |M0 M ⊥n}º º M0 (x0 , y0 , z0 ) M (x, y, z) þ n ¹ π¸ πº (x − x0 , y − y0 , z − z0 )º −−−→ n M0 M n(A, B, C)º ¹ −−−→ M0 M −−−→ M0 M ⊥n¸ º −−−→ M0 M ¸ A(x−x0 )+B(y−y0 )+C(z−z0 ) = 0º ¸ πº þ M (x, y, z) ´½º¿½º½µ¸ ¸ M ´¿º¿½º½µ þ C ´¿º¿½º ½µ πº ¹ ¹ º ´½º¿½º½µ D = −Ax0 − By0 − Cz0 º Ax + By + Cz + D = 0º A, B, C n πº ¸ π Ax + By + Cz + D = 0 ¸ n (A, B, C)º B ¹ þ ¹ ¹ A¸ ¹ º ½¼¾ �¾º ¿½º¿ º ¸ Ax + By + Cz + D = 0 ½µ A2 + B 2 + C 2 = 1¸ ¾µ D < 0º ¿½º¿ ¸ x cos α + y cos β + z cos γ − ρ = 0¸ cos α¸ cos β ¸ cos γ ¸ ρ > 0º n π Cz + D = 0º ´¿º¿½º ¾µ Ax + By + ¹ ¹ ºþ λ = ±√ 1 D < 0¸ ú·û¸ ´¿º¿½º ¿µ A2 + B 2 + C 2 ú û¸ (λA)x + (λB)y + (λC)z + λD = 0, ¸ ¸ D > 0º ´¿º¿½º µ (λA)2 + (λB)2 + (λC)2 = 1. λD < 0º ï ¿¾º ÿ Ü· Ý· Þ· π πº ½¼¿ ¸ M1 ¸ M2 ¸ �¿¾º½ º ÿ ¸ M1 π¸ π¸ ¿¾º¾ º ¸ M2 M1 M2 π¸ º M1 M2 ¹ π¸ πº ¹ º ¸ R3 ¸ º ¸ ¿¾º½ º π Ax + By + Cz + D > 0 Ax + By + Cz + D = 0¸ Ax + By + Cz + D < 0 ¸ ¹ º π ¹ ¾ º½ º ï ¿¿º þ π1 þ ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ ¹ π1 π1 π1 π2 π2 π2 π1 ¸ ¸ ¸ π2 ¸ ¾µ º ½¼ π2 º 3)− �A1 x+B1 y+C1 z+D1 = 0 π1 π2 º ÿ A2 x+B2 y+C2 z+D2 = 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ´¿º¿¿º ½µ ¸ º A1 B1 C1 A2 B2 C2 r ¸ µr=r π2 r < 3¸ r < 3º µr µ = 1¸ r = 2 π1 π2 r=r =1 ´¿º¿¿º½µ ¹ r = rº ¸ º º ¸ π1 ¸ ¹ ¸ r = 2 B1 C1 , B2 C2 º ¸ ´¿º¿¿º½µ º ´¿º¿¿º½µ ¸ ¾º þ º Δ1 = ¸ ´¿º¿¿º½µ ¸ ½º =2 ¹ A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 r ¹ Δ2 = A1 C1 , A2 C2 ¸ r = 1 ½¼ Δ3 = A1 B1 A2 B2 Δ1 ¸ �Δ2 ¸ Δ3 ¸ A1 B1 C1 = = º A2 B2 C2 ¸ ´¿º¿¿º ¾µ ´¿º¿¿º¾µ¸ ¸ r = 1º A1 B1 C1 , , A2 B2 C2 1) π1 ∩ π2 = ⇔ ¸ A1 B1 C1 D1 2) π1 π2 ⇔ = = = ¸ A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 3) π1 = π2 ⇔ = = = . A2 B2 C2 D2 ï¿ º Oe1 e2 e3 º ¿ º½ º þ π¸ p(p1 , p2 , p3 ) Ax+By +Cz +D = 0¸ ¸ Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0º ¹ pº πº º º M0 (x0 , y0 , z0 ) −−−−→ p = M0 M1 ¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) ¸ M0 M1 ½¼ ¹ ´¿º¿ º ½µ p||π º þ �þ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 ) + C(z1 − z0 ) = 0. −−−−→ M0 M1 = p¸ (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 )¸ z1 − z0 = p3 º −−−−→ M0 M1 x1 − x0 = p 1 ¸ y 1 − y 0 = p 2 ¸ ´¿º¿ º½µº º þ p 1 = x1 − x0 ¸ ´¿º¿ º½µ ´¿º¿ º ¾µ ´¿º¿ º¾µ¸ ´¿º¿ º½µº ¹ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¹ −−−−→ p p = M0 M1 º M1 (x1 , y1 , z1 )º p2 = y1 − y0 ¸ p3 = z1 − z0 º ´¿ºº¿ º¾µº (Ax1 + By1 + Cz1 ) − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0. ´¿º¿ º ¿µ π¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º Ax0 + By0 + Cz0 = −D Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) p πº ´¿º¿ º¿µº πº ¸ ¸ º ï¿ º ½º ¿ º½ º ¸ º Oe1 e2 e3 º ¹ º ½¼ �¿ º½ º ´¿º¿¿º ½µ π1 π2 ¸ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0º ´¿º¿ º ½µ º Ax+By+Cz+D = 0º π p(p1 , p2 , p3 )− π1 ¸ π2 p ⎧ ⎪ ⎨A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0, A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0, ⎪ ⎩ Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0. π¸ ´¿º¿ º ¾µ ¸ ´¿º¿ º¾µ Δ º A1 B1 C1 Δ = A2 B2 C2 = 0º A B C π1 π2 ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º ¹ ´¿º¿ º ¿µ A = αA1 + βA2 , B = αB1 + βB2 , C = αC1 + βC2 , α¸ β M0 (x0 , y0 , z0 ) π1 π2 ¹ A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 = 0, ½¼ M0 ¸ º º ¸ A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 = 0. ¹ �−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 = D1 , π +By0 + Cz0 + D = 0º ´¿º¿ º¿µ¸ −A2 x0 − B2 y0 − C2 z0 = D2 . þ D M0 ¸ ¸ Ax0 + ¹ C = −Ax0 − By0 − Cz0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 − −(αC1 + βC2 )z0 = α(−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 − −C2 z0 ) = αD1 + βD2 º ¸ ´¿º¿ º µ D = αD1 + βD2 . ´¿º¿ º¿µ ´¿º¿ º µ ¹ π (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 )z + αD1 + βD2 = 0, ´¿º¿ º¾µ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0. π2 ¸ ¸ ¸ ´¿º¿ º¾µ ¹ M0 (x0 , y0 , z0 )¸ ¸ π1 ¹ π1 π2 ¸ ¸ α(A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 ) = α · 0 + β · 0 = 0. ¸ α βº λ= β α (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0. ´¿º¿ º µ ½¼ �´¿º¿ º µ ¸ π2 ¸ ¹ ¹ º ¾º ¹ ¿ º¾ º ¸ º ¿ º¾ º π¸ 0¸ π¸ C º Ax + By + Cz + D = ¸ ¸ A¸ B ¸ D ºþ a(−B, A, 0) ¿¼º½ µº ¹ b(−C, 0, A)¸ π ´ A¸ B ¸ C D ¸ º x¸ y ¸ z ¸ º A¸ B ¸ C Ax + By + Cz + D = 0 Dº ï¿ º ¹ ¹ ¹ þ π1 ¸ π2 ¸ π3 º ¸ ¹ ½½¼ �µº ½º ¾º ¿º º ´ ´ º ¿¿¸ µº ´ ´ º ¿¿¸ º ¿¿¸ ¸ µº º ¿¿¸ ¸ ¸ ¸ µº º ¿¿ þ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0¸ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0º ¸ ⎧ ⎪ ⎨A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, ⎪ ⎩ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0. ½½½ π1 ¸ π2 ¸ π3 ´¿º¿ º ½µ �⎛ ⎞ A1 B1 C1 ⎝A2 B2 C2 ⎠¸ A3 B3 C3 ⎛ r ⎞ A1 B1 C1 D1 ⎝A2 B2 C2 D2 ⎠º A3 B3 C3 D3 r ¸ µr r ≤ 3¸ r ≤ 3º ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ¼º = r = 3 µ π1 ¸ π2 r=r =2 µ π1 π2 r = r = 1 π3 µr=r ¸ µ ´¿º¿ º½µ ¹ r = rº ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ½º ¸ ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ¾º þ π1 ¸ π2 ¸ º π3 ⇐⇒ r = r = 3 µ ⇐⇒ r = r = 2 µ ⇐⇒ r = r = 1 µ ⇐⇒ r = r º π1 ¸ π2 ¸ º ½½¾ π3 ¸ �ï¿ º ¿ º½ º S(x0 , y0 , z0 )¸ ¿ º½ º ¸ º º ¹ º α(x − x0 ) + β(y − y0 ) + γ(z − z0 ) = 0¸ α¸ β ¸ γ ¸ ´¿º¿ º ½µ ¹ ¾ º½ º ¿ º¾ º π1 ¸ π2 π23 ¸ ¹ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0¸ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z+ +D2 ) + γ(A3 x + B3 y + C3 z + D3 ) = 0. º ï¿ º ½º ½½¿ ´¿º¿ º ¾µ �¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ º ¿ º½ º º º n1 (A1 , B1 , C1 ) ´´½º½¾º µµ π1 ¹ n2 (A2 , B2 , C2 )º ϕ ¹ ϕº A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 cos ϕ = A1 x + π1 π2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 B1 y + C1 z + D1 = 0 ¹ A21 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 º ´¿º¿ º ½µ π2 ´¿º¿ º ¾µ π1 ⊥π2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 º ¾º M (x, y, z) d Ax + By + Cz + D = 0 d= |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B 2 + C 2 ´¿º¿ º¿µ ¸ ½½ º ´¿º¿ º ¿µ ´¿º¾ º ½µ º ¹ �¿º Ax + d By + Cz + D1 = 0 Ax + By + Cz + D2 = 0 d= √ |D2 − D1 | A2 + B 2 + C 2 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ º ¸ ´¿º¾ º½µ ¹ º ï¿ º ¿ º½ º þ ¸ ½º a¸ º ¸ ¸ º ¹ º ´ µ x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ ¸ ¸ a(a1 , a2, a3 ) º ½½ ´¿º¿ º ½µ ¹ �¾º ⎧ ⎪ ⎨x = x0 + a1 t, y = y0 + a2 t, ⎪ ⎩ z = z0 + a3 t, M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ a(a1 , a2, a3 ) º ¿º ´¿º¿ º ¾µ ¹ ¸ y − y1 z − z1 x − x1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 M1 (x1 , y1 , z1 ) ¸ ´¿º¿ º ¿µ º M2 (x2 , y2 , z2 ) º ¸ ´ µ π1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 π2 A2 x+B2 y +C2 z +D2 = 0¸ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. ´¿º¿ º µ ´½º¿ º µ º π1 ¸ ¹ p(p1 , p2 , p3 ) º π2 ¸ ½½ p º ¹ ¸ �A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0, A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0 ´ º ´¿º¿ º ½µµº p3 ¸ ´¿º¿ º µ p2 p3 ¸ π2 B1 C1 A C1 A B1 , Δ2 = 1 , Δ3 = 1 B2 C2 A2 C2 A2 B2 Δ1 = p1 p3 π1 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ Δ3 = 0º º ⎧ p1 p2 ⎪ ⎪ ⎨A1 + B1 = −C1 , p3 p3 p p ⎪ 1 ⎪ ⎩A2 + B2 2 = −C2 . p3 p3 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ ¸ Δ1 p1 = , p3 Δ3 ¸ p2 − Δ2 = . p3 Δ3 ´¿º¿ º µ p2 p3 p1 = = , Δ1 Δ2 Δ3 ¹ p(p1 , p2 , p3 ) a(Δ1 , − Δ2 , Δ3 )º ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ ¸ z = z0 ¸ A1 x + B1 y = −C1 z0 − D1 , A2 x + B2 y = −C2 z0 − D2 , ½½ a º ºþ ¹ ¹ �M0 (x0 , y0 , z0 )¸ ¸ º º ¸ º ¸ ¸ x − x0 B1 C1 B2 C2 y − y0 = − A1 C1 A2 C2 z − z0 = A1 B1 A2 B2 º ¸ º ´¿º¿ º µ ¸ ¸ a ¹ n1 (A1 , B1 , C1 ) π1 π2 ¸ º n2 (A2 , B2 , C2 ) a = n1 × n2 º ï ¼º ¹ º ¹ ´¿º¿ º ½¼µ þ ¸ ¹ m ½º ¾º ¿º º m m m m º º º º ¹ m x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , = = . a1 a2 a3 b1 b2 b3 ´ º ½½ º¿ µ �¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) a(a1 , a2 , a3 ) ¸ M2 (x2 , y2 , z2 ) b(b1 , b2 , b3 ) mº º¿ (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )º ¸ ¾¸ ¿ þ −−−−→ M1 M2 ½ −−−−→ M1 M2 ¸ a Δ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Δ= a1 a2 a3 . b1 b2 b3 ½ Δ = 0¸ ¾¸ ¿ ¸ Δ = 0º þ ¸ þ º b ¹ µ µ Δ = 0 Δ = 0º x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 =0 b1 b2 b3 º ¹ m ¸ m b¸ ´ ½ º¿ µ ¸ m −−−−→ M1 M2 ¸ a ´¿º ¼º ½µ m ¾ a b ¸ º º ºþ a2 a3 a1 = = . b1 b2 b3 ½½ ´ ¸ ¿ a1 b1 º¿ µ ¸ ab ¸ 2 2 a ¸ a3 b3 b ´¿º ¼º ¾µ �þ −−−−→ M1 M2 ¸ a¸ b ´¿º ¼º¾µ y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 = = . b1 b2 b3 a2 b2 ¸ þ ¸ ´¿º ¼º ¿µ µ a3 b3 ´¿º ¼º¿µ¸ ¸ ´¿º ¼º¾µ¸ µ µ º m ¸ ¸ a1 b1 ´¿º ¼º¾µ ¸ m m m x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 ⇔ a1 a2 a3 =0; b1 b2 b3 1) ´¿º ¼º µ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 =0 b1 b2 b3 a1 a2 a3 , , b1 b2 b3 2) ⇔ ´¿º ¼º µ a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 ´¿º ¼º µ a1 a2 a3 = = , b1 b2 b3 y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 = = º b1 b2 b3 ´¿º ¼º µ 3) 4) ⇔ ⇔ ½¾¼ �ï ½º m x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , = = . a1 a2 a3 b1 b2 b3 b(b1 , b2 , b3 )º a(a1 , a2 , a3 ) a ϕ m¸ a cos ϕ = ´½º½¾º µ b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 ¹ b b21 + b22 + b23 º ´¿º ½º ½µ ´¿º ½º½µ ´¿º ½º ¾µ ⊥m ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0º ï ¾º ´ º º ¿ µº M (x, y, z) x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 º º d M º a(a1 , a2 , a3 )º M0 (x0 , y0 , z0 ) −−−→ a M0 M ½¾½ �Sº ¹ ¹ ¸ S = |a|·d ¸ −−−→ ¸ S = |M0 M ×a| ´ º ½ º¾ ¸ ¾◦ µº ¹ d º¿ −−−→ |M0 M × a| . d= |a| þ −−−→ M0 M a a ¹ M (x, y, z) d y − y0 z − z0 a2 a3 ¸ 2 d= x − x0 z − z0 + a1 a3 2 + x − x0 y − y 0 a1 a2 a21 + a22 + a23 2 . ´¿º ¾º ½µ ï ¿º ´ º º ¿ µº x − x1 y − y1 z − z1 = = a1 a2 a3 ´ µ¸ x − x2 y − y2 z − z2 = = b1 b2 b3 ´Ñµ¸ mº d ½¾¾ º �º a(a1 , a2 , a3 ) M2 (x2 , y2 , z2 ) Vº ¸ m ¸ ¸ ´ º ◦ ¾ µº þ S ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ d d ·S ¸ −−−−→ V = |M1 M2 a b| b(b1 , b2 , b3 ) mº −−−−→ M1 M2 a¸ b ½ º¿ ¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) m V = ¸ ¹ = |a × b|¸ º¿ d d= −−−−→ |M1 M2 a b| |a × b| þ . −−−−→ M1 M2 ¸ a d b¸ m mod d= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a2 a3 b2 b3 2 + a1 a3 b1 b3 ½¾¿ 2 + 2 a1 a2 . b1 b2 ´¿º ¿º ½µ �ï º þ þ ½º ¾º ¿º π π Pº π ¸ ¸ º πº ¸ º π ´¿º º ½µ ´¿º º ¾µ x = a1 t + x0 , y = a2 t + y0 , z = a3 t + z0 , Ax + By + Cz + D = 0. ¹ ¸ ´¿º º½µ¸ ´¿º º¾µ πº ¸ ¹ (Aa1 + Ba2 + Ca3 )t + (Ax0 + By0 + Cz0 + D) = 0. ´¿º º ¿µ ºþ º µº Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ 0 +By0 +Cz0 +D t = − AxAa º 1 +Ba2 +Ca3 t ´¿º º½µ¸ ¸ ´¿º º½µ ¸ πº πº ´¿º º¾µ ½¾ ¸ ´¿º º¿µ º ¹ ¹ a(a1 , a2 , a3 ) n(A, B, C) π ¸ �n Ca3 ¸ µ´ D = 0¸ ¹ a º ¿ ºµ na º na = Aa1 +Ba2 + Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 + ´¿º º¿µ¸ º º ¸ π¸ ¸ ¸ ¹ º π ¸ ¹ ¸ ¹ a n ¹ π ¸ ¸ ¹ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º ¸ º º þ¹ ¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¹ π Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º µ ´ º ¿ ºµ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + ´ º¿µ¸ ¸ ¹ Cz0 + D = 0¸ º ¸ πº ¸ ¹ π¸ ¸ ¹ ¸ a n ¹ π ¸ ¸ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º þ ¹ ¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º π ¸ 1) ∩ π = P ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0; ´¿º º µ π⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; ´¿º º µ 3) ⊂ π ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; ´¿º º µ 2) ½¾ �º¿ ï º¿ º¿ º ¹ º½ º π x − x1 y − y1 z − z1 = = , a1 a2 a3 Ax + By + Cz + D = 0 a(a1 , a2 , a3 ) π ¸ ¹ º º a ¹ πº n P ´ º ½¾ n(A, B, C) π P πº º¿ ¸ º ¿ µº ¹ 1 �α a n ϕ 1 ´¿º º ½µ α = 90◦ ± ϕ. ´¿º º½µ cos α = ± sin ϕ ¸ ¸ ´¿º º ¾µ sin ϕ = ± cos α. α ≤ 90◦ ¸ − cos αº ¸ sin ϕ = cos α¸ 90◦ < α ≤ 180◦ sin ϕ ≥ 0º ¸ ´¿º º ¿µ ´½º½¾º µ sin ϕ = | cos α|. cos α cos α = sin ϕ = Aa1 + Ba2 + Ca3 na =√ . |n| · |a| A2 + B 2 + C 2 · a21 + a22 + a23 ¸ ´ º¿µ¸ ¹ ϕ π sin ϕ = a21 |Aa1 + Ba2 + Ca3 | √ + a22 + a23 A2 + B 2 + C 2 ½¾ º ´¿º º µ �ÿ ï º ½º º½ º ¸ ¸ º F1 ¸ F2 2a 2c µº ¸ þ ¸ ¸ ¸ º O F1 F2 = 2c¸ ¹ ´ º F1 ¹ ¹ F2 º ¹ ¹ O ij ¸ −−→ F1 F2 ¸ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº ¹ �F1 (c, 0) M (x, y) F2 (−c, 0) º ´ º ¿ µº F1 M F2 M F1 M = (x − c)2 + y 2 ¸ F2 M = (x + c)2 + y 2 º º º½ F1 M + F2 M = 2a, º¿ (x − c)2 + y 2 + ¸ M (x, y) (x + c)2 + y 2 = 2a. M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º (x + c)2 + y 2 = 2a − (x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a a ´ º º ½µ ´ º º ¾µ ¸ ´ º º¾µº þ ´ º º¾µ º ¹ ¹ (x − c)2 + y 2 (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 . (x − c)2 + y 2 = a2 − cx. ¹ (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ). a2 (a2 − c2 ) y2 x2 + = 1. a2 a2 − c2 ½¾ ´ º º ¿µ �F1 F2 M º F1 M + F2 M > F1 F2 º ¸ þ ¸ a > cº ¸ ¹ ¹ a2 − c2 = b2 º ´º º µ x2 y 2 + = 1º a2 b2 ´º º µ º¿ ¸ M (x, y) ¸ ´ º º¾µ ´º ºµ º ¸ ´ º º µº þ r1 = F1 M r2 = F2 M º y 2 = b2 1 − x2 a2 r1 = F1 M = x > 0º x2 a2 ´º ºµ = a2 − c2 − x2 + ¸ ¹ ¹ º ¹ ¹ c2 2 x º a2 (x − c)2 + y 2 = c2 − 2cx + 2 x2 = a x ≤ 0¸ M (x, y) = (a2 − c2 ) 1 − x2 − 2cx + c2 + a2 − c2 − x2 + a2 ´ º º µº a− c2 2 x = a2 c a− x a c x>0 a ´ ºµ ½¿¼ 2 = a− c x a º a− c c x = a − xº a a y2 x2 = 1 − a2 b2 ¸ ¸ �x2 ≤ 1º a2 |x| ≤ 1º a ¸ a− c c x ≥ a− a = a−c > 0 a a x ¸ x ≤ aº x>0 a− c c x = a − xº a a r1 = a − c xº a ´º º µ r2 = a + c xº a ´º º µ ü r1 + r2 = (a − c c x) + (a + x) = 2aº a a M (x, y) ¸ ´º º µ ¸ ¸ ´ µ º º ¸ ¹ y ¹ ¾º º ½º ´º ºµ M (x, y) º ¾º þ º ¸ º x ¸ ¸ (±x, ±y) ¸ ºþ ¸ ½¿½ M (x, y)¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ º ¹ º �x2 y 2 + 2 = 1, a2 b ¸ Ox¸ y = 0. ´º º µ A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º B2 (0, −b)º a ¸ a > b¸ B1 B2 ¸b ¸ ¿º ¸ b¸ y = −bº º Oy ¸ ¹ º ´º ºµ x2 M (x, y) ≤ 1 a2 |x| ≤ a¸ |y| ≤ b ¸ ¸ ¹ B1 (0, b)¸ A1 A2 º −b ≤ y ≤ bº ü ¸ y2 ≤ 1º b2 −a ≤ x ≤ a¸ x = a¸ x = −a¸ y = º ¸ º ¸ ¸ y = kxº ¸ ´º º µ ¹ º ¸ y ¹ x2 k 2 x2 + 2 = 1. a2 b ´º º µ ab x1,2 = ± √ . 2 b + k2 a2 ¸ ¸ C1 √ ab b2 + k2 a2 ,√ ¸ kab b2 + k2 a2 ¸ C2 ½¿¾ √ − ab b2 + k2 a2 ,√ º − kab b2 + k2 a2 ¸ �º 0º º º x2 y 2 + = 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º a2 b2 ¸ A1 B1 √ y = ab a2 − x2 ¸ x 0 a¸ y ¸ ý ¸ A1 B1 þ ¹ ¹ y ¹ [0, a]º b ¸ ¹ ¹ º A1 B1 ´ ¸ º ¼µº º ¼ ï º ÿ ½º º F1 ¸ F2 2a ¸ º½ º ÿ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ½¿¿ �¹ ´ 2c µº þ ´ ¹ Oij ¸ F1 F2 ¸ ¹ O F1 F2 = 2c¸ −−→ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº F2 (−c, 0)º º ½µº M (x, y) F1 (c, 0) ¹ ¹ º F1 M F2 M (x − c)2 + y 2 ¸ (x + c)2 + y 2 º F1 M = F2 M = º½ |F1 M − F2 M | = 2a, ´ º º ½µ | (x − c)2 + y 2 − M (x, y) M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º (x + c)2 + y 2 = ±2a + (x + c)2 + y 2 = 4a2 ± 4a ´ º º ¾µ (x + c)2 + y 2 | = 2a. ¸ ¸ º ½ ¹ ´ º º¾µº þ ¹ ´ º º¾µ º (x − c)2 + y 2 (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 . ½¿ ¹ ¹ ¹ �±a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx. a2 (x − c)2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2 (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ). a2 (c2 − a2 ) y2 x2 − = 1. a2 c2 − a2 ´ º º ¿µ F1 F2 M º ¸ |F1 M − F2 M | < F1 F2 º ¸ º¿ ¸ ´ º º¾µ þ a < cº ¸ c2 − a2 = b2 º ´º º µ x2 y 2 − = 1º a2 b2 ´º º µ M (x, y) ¸ ´º ºµ º ¸ r1 = F1 M ¹ ¹ ´ º º µº þ r2 = F2 M º ½¿ ´ º º µº M (x, y) ´º ºµ ¸ ¹ ¹ º ¹ ¹ �y 2 = b2 x2 −1 a2 r1 = F1 M = x2 − 2cx + c2 + a2 x2 −1 a2 = (c2 − a2 ) c2 2 x − x2 − c2 + a2 = a2 x < 0¸ 2 c a− x a a− ¸ c x>0 a = a− ¸ x2 ≥ 1º a2 ü ¸ c c x = a − xº a a c x. a y2 x2 = 1 + a2 b2 x > 0 x>0 c xº a r2 = |a + ¸ x>0 a− c c x ≤ a− a = a−c < 0 a a c c x = −a + xº a a r1 = −a + º |x| ≥ 1º a ¸ a− c x a r1 = a − ´º ºµ x ≥ aº a− ¸ x<0 x > 0º ¸ c2 2 x − x2 − c2 + a2 º a2 (x − c)2 + y 2 = c2 − 2cx + 2 x2 = a ¸ = ´º º µ c x| a x<0 ¸ r2 = −a − r2 = a + ½¿ c xº a c x¸ a �½µ x < 0¸ r1 = a − c x, a c x a ´º º µ r2 = a + c xº a ´º º µ x > 0¸ ¾µ r1 = −a + ½µ ¾µ r2 = −a − ´ º º ½µ x < 0¸ |r1 − r2 | = |(a − x > 0¸ c c x) − (−a − x)| = 2a a a |r1 − r2 | = |(−a + ¸ M (x, y) ¸ c x, a c c x) − (a + x)| = 2a. a a ´º º µ ¸ ´ º º µ¸ º ¸ M (x, y) ¸ º ¾º ½º º ´º ºµ º M (x, y) º x y ¸ ¸ (±x, ±y) ¹ M (x, y)¸ ¸ ¹ ¸ º º ½¿ ¹ ¹ �¾º þ ¸ ºþ ¸ ¸ Ox¸ ¸ x2 y 2 − 2 = 1, a2 b º ¸ Oy º ¿º ¸ º b |x| ≥ a¸ ¸ ¸ º º A1 A2 B1 B2 ¸ B1 B2 B1 (0, b)¸ B2 (0, −b)¸ a ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ ´º ºµ ¸ º ¹ x = a¸ x = −a, ºÿ º ¸ ´º ºµ x2 ≥ 1º a2 x ≤ −a¸ x ≥ aº M (x, y) ¸ ´º º µ y = 0. A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º x = 0¸ Oy ¸ ´º ºµ ¸ ¹ º y ¸ y = kxº ¸ ¹ º ¹ x2 k 2 x2 − 2 = 1, a2 b x2 (b2 − k2 a2 ) = a2 b2 . ½¿ ´ º º ½¼µ �½µ b2 − k2 a2 ´ º º½¼µ¸ > 0¸ º º |k| < ab º ab x1,2 = ± √ . 2 b − k2 a2 þ C1 ¹ ¸ kab ab √ ,√ 2 2 2 2 b −k a b − k 2 a2 ¸ C2 ¸ − kab − ab √ ,√ 2 2 2 2 b −k a b − k 2 a2 Ø α¸ Ox ´− π2 < α < π2 µ¸ Ø k − y = ±b º ´ º α b α< ¸ a ¹ ¹ ´ º º ½½µ ¸ x = ±a¸ b b < tgα < . a a ¸ º ¾µº º º ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ 1 2¸ ¸ Oxº OA1 = OA2 = a¸ OB1 = OB2 = b¸ Ø α1 = b b ¸ Ø α2 = − aº ¹ a ´ º º½½µ tg α2 < tg α < tg α1 º α1,2 º ¾ ¸ ¸ ´ º º ½¾µ ¹ α2 < α < α1 . 1 ½¿ ¸ 2 �¾µ Ox C1 ¸ C2 º b2 − k2 a2 = 0¸ º º |k| = ¸ ¸ k= ± ab ¸ ¸ ¸ ¸ b a ¹ º ´ º º½¼µ ¸ ¸ º 1 ¸ ¸ ½¸ k> ¸ k < − ab º b a α1 ¸ α2 1¸ ºü ¸ ¹ ¹ ¹ 2 ´ º º ½¿µ ¹ ¹ α < α2 . 1 Oy ¸ y= ´ º º½¼µ ¸ ºþ α ¸ 1 ¹ ¹ ¸ α > α1 ¸ º 2 ¸ º ¿µ b2 − k2 a2 < 0¸ º º |k| > ab º ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ 2 º º¾ º ü 2¸ ¹ ¹ ´ º º½ µ b y = − xº a b x, a ¾ º ½¼ ¸ �¸ ´ º½ º ø ¸ ¸ ¹ µº ´ º º ¿µº ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ M (x, y) ´x > 0¸ º ¹ p¸ ¹ M (x, y)¸ º y ≥ 0µ 1 º ¸ N ´ º º½ Ox N (x, y ) p º M p¸ ´º º µ º ¿ Oy ¸ ¹ M 1 N b√ 2 b y= x − a2 ¸ y = xº a a √ y > y¸ x > x2 − a2 º þ √ b√ 2 b b MN MN = x − x − a2 = (x − x2 − a2 ) = a √a a √ a2 b (x − x2 − a2 )(x + x2 − a2 ) b √ √ · = · = a a x + x2 − a2 x + x2 − a2 ab √ x + x2 − a2 ab √ = 0. x→∞ x + x2 − a2 M lim ¸ MN º M ½½ ¹ �1 1 M L¸ ´L M º º ∞º ý ¸ ¸ µº ¸ ø º º x2 y 2 − = 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ a2 b2 ¸ √ b 2 2 y = a x −a ¸ x a ∞¸ y ¸ ¸ ¸ ´ º ï ML < MN MN º ½º þ ½¾ ¹ ¸ ¹ ¹ y ¹ [a, ∞)º 0 A1 ¸ A2 º º µº ¹ �º½ º ¸ ¸ F m p ¸ ¸ ¸ ¸ º þ ´ º º µº FK m Oij O j⊥iº KF = p¸ F ( p2 , 0)¸ M (x, y) º x+ 2p = 0º (x − º½ y2 + ¹ ¸ d = |x + ¸ p 2 2 + y2 = x + M (x, y) ½¿ º p 2| º ´ º º ½µ F M = d, x− ¹ ¹ −−→ KF ¸ i ↑↑ OF ¸ ¸ d ¹ ´¿º½ º½µ ´¿º¾ º½µ ¹ p 2 2) F ¹ ¹ ¹ FM FM = º ¹ ¹ ¹ p . 2 ´ º º ¾µ ´ º º¾µº þ ¸ �M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º x− 2 p 2 + y2 = x + p 2 2 . ´ º º ¿µ y 2 = 2pxº ¸ M (x, y) ´ º º¿µº ¸ ´ º º¾µ ´ º º¿µ º r = FMº þ r = FM = x2 + px + p2 4 M (x, y) ¸ º ¸ x− = ¸ ´ º º¿µº þ p 2 2 x+ + y2 = p 2 2 ´ º º¿µ¸ x2 − px + º ´ º º½µ = x+ º º¿ ¸ p2 4 º ´ º º¿µ º ¹ ¹ + 2px = p 2 º ¸ º ¸ ¸ ½ ¸ M (x, y) ¾º ½º ¹ ¹ ¹ ´ º º¾µ ºþ y �¸ M (x, y)¸ ¸ (x, −y) M (x, y) ¾º þ ¸ Oxº Oxº ºþ ¸ ¹ ¹ ¹ º ¸ Ox¸ y 2 = 2px, y = 0. O(0, 0)º º º ¿º p 2 M (x, y) º ¸ Fº º ´ º y = kxº º ´ º º¿µ Oy º OA ´ º º¿µ ¸ x ≥ 0, Oy ¸ ¹ ¹ ¸ º µº ´º º µ ¸ ¸ ¹ ¸ y ¹ ¹ ¸ (kx)2 = 2px, x k2 x − 2p = 0. x1 = 0, x2 = ½ 2p . k2 º ´º º µ �¸ ¸ º 0 ´ L( k2p2 , O(0, 0) º º y 2 = 2px¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ ¸ √ y = 2px¸ ¸ x 0 ∞¸ y ∞º ý Oy º Ox¸ ´ º µº ¹ º 2p k ) ¸ ¹ y ¹ [0, ∞)º ¹ ¸ y m K Oy µ¸ . j O i . F x º º ºþ ¹ y 2 = −2px, ´º º µ x2 = 2py ¸ ´º º µ x2 = −2py º ´º º µ ½ �´º ºµ ¸ F x− ´º ºµ ´ ´ 0, º p 2 −−→ OF y+ º µº µº º ¸ = 0º þ º 0, p 2 0 ¸ ¹ ¹ ¹ µº ¹ y + p2 = 0 Oy F ¹ ¸ ¸ ¹ ´º ºµ º ¸ ´ F F º ï =0 ¸ ¸ j p 2 p 2 − p2 , º ¸ º½ º ¸ º c < a¸ º ´ º º µ ´ º º µ¸ ½ = ¹ c a ¸ c > a¸ ¹ ¸ ¹ ´º º µ ´º ºµ �º r2 = a + x. ´ º º ½µ r2 = −a − x ´ º º ¾µ r2 = a + xº ´ º º ¿µ r1 = a − x, ½µ r1 = a − x, ¾µ r1 = −a + x, º¾ º x− a m1 = 0, x+ ´ º º½µ Oy a a ¸ º ¸ º A1 ¸ m2 ¸ a ¸ 2a A1 a A2 , º½ º ´ ¸ ¸ ´º º µ = 0. ¸ ¹ ¹ ¹ º A2 , ¸ a ¸ ¸ ¸ ºµ ø ½ ¹ ¹ ¹ º �º ¸ º M (x, y) µº ´ º º½ º º¿µ ´ ¸ ´ï ¸ ï µ¸ º ½¸ ¸ r1 = |a − x|, ´º º µ r2 = |a + x|. M (x, y) m1 ´¿º¾ º ½µ d1 = x − a = x−a = µ | x − a| d2 = , ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ | x + a| . m2 ´º º µ ´ º º µ ´ º º µ¸ |a − x| r1 = = d1 | x − a| |a + x| r2 = . = d2 | x + a| ¸ ¸ º º½ ¸ º Φ M F < 1¸ ï ¼º º ¸ ¸ ¸ ½ ¹ m Φ = 1º ¸ >1 ¸ º ¸ ¸ �F º º ¸ Φ ´ º FK ¸ µº º º F¸ F¸ L1 F FK ºþ Φº ¹ m¸ K ¸m F F L1 ¹ m L2 ¸ L1 F m = LF2KF = −−→ KF º mº L2 F p FK = ´ ¸ ¹ F, i F K¸ i F Φ ¸ ¹ F Kº ¹ p Φº L1 L2 º½ µº ¹ F Kº ´ º ¼º ½µ p FK = . Φ¸ (ρ, ϕ) MH M º E º½ F M = M H. ½¼ m MH . ¹ ´ º ¼º ¾µ �FM = ρ −−→ ∠(i, F M ) = ´ º ¼º½µ¸ ϕº þ M H = M E + EH = M E + F K = F M cos ϕ + F K = ρ cos ϕ + p ´ º µº M H = M E − EH = M E − F K = −F M cos ϕ − F K = º µº −ρ cos ϕ − p ´ ¸ ¸ Eº H F K + F M cos ϕº µ µ¸ ´ º ¼º¾µ¸ þ ϕ> M cos ϕ < 0 M H = HE − M E = ¸ M H = ρ cos ϕ + p º ρ = (ρ cos ϕ + p ) = ρ cos ϕ + p, ρ úû ú·û ¸ º 90◦ , ρ = − ρ cos ϕ + pº ¹ ρ= p ¸ 1 − cos ϕ ´ º ¼º ¿µ ρ= ±p 1 − cos ϕ ´ º ¼º µ ¸ º M ´ º ¼º µº ½½ Φ¸ ´ º ¼º¿µ º �ï ½º ¸ ½º½ º ¸ M0 M0 M ¸ M0 ´ M º ¼µº ¸ ¸ y = M0 (x0 , y0 ) f (x0 )º ü M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º ½µ ¹ ¹ x = g(y)¸ ´ º ½º ¾µ x − x0 = g (y0 )(y − y0 ). º ¸ ¸ ¹ ¹ f (x)¸ ¹ y − y0 = f (x0 )(x − x0 ). º ¼ ¹ ¸ ¹ º x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ´ º ½º ¿µ ¸ M0 (x0 , y0 ) ⎧ ⎨y = b 1 − x22 , a ⎩y = −b 1 − x2 , a2 ½¾ y0 = 0º y0 > 0, y0 < 0. þ ¹ �y0 > 0º þ k k=− x0 b a2 1− x20 a2 ´ º ½º µ . M0 (x0 , y0 ) x20 y02 + 2 = 1. a2 b 1− ¸ ¸ ´ º ½º µ x20 y02 = 2º a2 b k=− ¸ ¸ k ´ ½º µ x0 b2 . y0 a2 ´ º ½º µ ¸ y − y0 = − x0 b2 (x − x0 ). y0 a2 º xx0 yy0 + 2 − a2 b º x20 y02 + 2 a2 b þ ¸ y02 b2 ½¿ ¹ ´ º ½º µ xx0 yy0 + 2 = 1. a2 b y0 < 0¸ ¸ = 0. ´ º ½º µ¸ ¸ y0 b2 = − yb0 ¸ kº �0¸ þ M0 (x0 , y0 )¸ x = ±a x0 < 0º ´ º ½º¾µ ü ú·û 1− ¸ x0 = y2 , b2 x0 > 0¸ ú û¸ ¹ ´ º ½º µ º x0 ¸ y0 M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º µ xx0 yy0 + 2 = 1º a2 b x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´ º ½º µ xx0 yy0 − 2 = 1º a2 b ´ º ½º µ º x= y2 . 2p ´ º ½º ½¼µ M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º¾µ x − x0 = y0 (y − y0 ) p ½ ´ º ½º ½½µ �yy0 − y02 + px0 − px = 0. M0 (x0 , y0 ) þ ¸ ¸ y02 = 2px0 º yy0 = p (x + x0 )º ï ¾º µ ¸ º ¾º½ º ´ ¸ ´ º ´ ¾º¾ º ´ ¾º½ º ¹ ¸ µº ¸ ¸ ¸ µº µ ´ ´ º ½º ½¾µ µ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ º º ´ º ½ µº ¹ x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ´ º ¾º ½µ y = kx + b, ´ º ¾º ¾µ ½ �º ¸ k ¹ ¹ b M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 ) º ¹ ´ º ¾º½µ¸ M1 ¸ M2 ´ º ¾º¾µ¸ º º x21 y12 + 2 = 1, a2 b x22 y22 + 2 = 1, a2 b y1 = kx1 + b, þ y2 = kx2 + b. ´ º ¾º µ ´ ¾º µ¸ ´ º ¾º ¿µ ´ º ¾º¿µ¸ x22 − x21 y22 − y12 + =0 a2 b2 ´ º ¾º µ¸ M (x, y) ´ º ¾º µ ¹ ´ º ¾º µ x1 + x2 k(y1 + y2 ) + a2 b2 Oy º x1 + x2 k(y1 + y2 ) + = 0. a2 b2 M1 M2 º x1 + x2 = 2x, y1 + y2 = 2y. ´ º ¾º½¼µ ky x + 2 = 0, 2 a b ½ µ µ µ µ ´ º ¾º µ y2 − y1 = k(x2 − x1 ). (x2 − x1 ) ´ º ¾º ´ º ¾º ´ º ¾º ´ º ¾º = 0. x2 − x1 = 0 ´ º ¾º µ ¹ ´ º ¾º ½¼µ ´ º ¾º µ ¹ �y=− b2 xº ka2 ´ º ¾º ½½µ ´ º ¾º½½µ ¸ ¸ º º ¸ ¹ ¹ k k k =− Ox ÿ ´ º ¸ ¸ b2 ka2 º ´ º ¾º ½¾µ Oy ¸ M1 ¸ M2 ¸ Oxº ¸ ¹ ¹ º ¸ º ½ µ x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´ º ¾º ½¿µ ¸ k ¹ k k = ´ b2 ka2 ´ º ¾º ½ µ ¹ º ½ µºº y 2 = 2px ´ º ¾º¾µº º ´ º ¾º ½ µ ¹ ¸ M1 (x1, y1)¸ M2 (x2, y2) ½ �¹ º ´ º ¾º½ µ¸ ¹ M1 ¸ M2 ´ º ¾º¾µ¸ º º ´ º ¾º ½ µ ´ º ¾º ½ µ y12 = 2px1 , y22 = 2px2 ´ º ¾º µ¸ ´ º ¾º µº þ ´ º ¾º½ µ ´ º ¾º½ µ ´ º ¾º µº k(x2 − x1 )(y1 + y2 ) = 2p(x2 − x1 ). Oy º x2 − x1 = 0 ´ º ¾º ½ µ ¹ k(y1 + y2 ) = 2p. M1 M2 º M (x, y) ´ º ¾º½¼µ ´ º ¾º½ µ ky = p, y= ´ º ¾º½ µ Ox ´ º Ox º p = k ´ º ¾º ½ µ ¸ µº ¸ ÓÒ×غ Oy ¸ ¸ ¸ ½ M1 ¸ M2 ¹ �¾º¿ º µ y = kx ´ º ¾º ½ µº k ´ µ¸ k º ¾º½ ´ y = kx ¸ ¹ ¹ ¹ ´ º ¾º½¾µ¸ ¸ ¹ ¸ º ¾º º þ ¹ º ÿ ¸ º ï ¿º ¿º½ º ¹ ¸ Oij a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0º ´ º ¿º ½µ ½ �¸ a11 ¸ a12 ¸ a22 ´ º ¿º½µ ´ º ¿º½µ º º º ¸ ¹ ½º O ij º Oi j ´¾º½ º ¿µ ´ º ¿º½µ γ ¸ O ij ϕº x = x cos ϕ − y sin ϕ, ¹ ´ º ¿º ¾µ y = x sin ϕ + y cos ϕ, ´ ¿º½µº a11 (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + 2a12 (x cos ϕ − y sin ϕ)(x sin ϕ+ y cos ϕ) + a22 (x sin ϕ + y cos ϕ)2 + 2a13 (x cos ϕ − y sin ϕ)+ 2a23 (x sin ϕ + y cos ϕ) + a33 = 0. aij ´i, j ¸ aij ´ º ¿º ¿µ = 1, 2, 3µº þ ¹ −a11 cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + a22 cos ϕ sin ϕ = 0º (a22 − a11 ) cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) = 0. ´ º ¿º µ ¸ tg 2ϕ = 2a12 . a11 − a22 ½¼ ´ º ¿º µ �¸ ´ º ¿º µ ºþ ´a12 = 0µ¸ a11 − a22 ϕ = 45◦ º 90◦ , ¸ ´ º ¿º µ¸ xy¸ 2 Oi j ϕ¸ O ij ´ º ¿º µ¸ ¸ 2ϕ = ¸ ¹ γ º º ´ º ¿º µ 2 a11 x + a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0. þ cos ϕ sin ϕ 1 cos ϕ = 1+ tg2 2ϕ tg 2ϕ sin ϕ = , ´ º ¿º µ 1 + tg2 2ϕ º ´ º ¿º¾µ¸ ¹ ¾º ¹ ´ º ¿º µº þ ½º ¾º a11 a22 a11 º a13 ¿º a11 = 0º þ a11 a13 ½ º a22 ¸ º a22 ´ º ¿º µ x yº x¸ ¸ y 2 2 (a11 x + 2a13 x ) + (a22 y + 2a23 y ) + a33 = 0º a11 a22 º a11 = 0º ¸ ¹ ¸ ¸ ½½ ¸ �x2+2 a11 a13 (a )2 a (a )2 x + 13 2 +a22 y 2 + 2 23 y + 23 2 +a33 − a11 (a11 ) a22 (a22 ) (a13 )2 (a23 )2 − =0 a11 a22 2 a x + 13 a11 a11 + a22 a y + 23 a22 2 + a33 − (a13 )2 (a23 )2 − = 0. a11 a22 ´ º ¿º µ þ x =x + a33 = a33 − ´ º ¿º µ a11 x 2 a13 , a11 y =y + (a13 )2 (a23 )2 − . a11 a22 + a22 y 2 ´ º ¿º ½¼µ + a33 = 0. ´ º ¿º½¼µ γ Oi j ¹ ¸ ´ º ¿º µº Oi j a − a13 , 11 O þ ¾ ´ º ¿º µ a23 a22 ´ º ¿º µ º ¹ a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0. ´ º ¿º ½½µ y¸ ¹ 2 þ a22 a − a23 22 y + a23 a22 2 + 2a13 x + a22 a33 − (a23 )2 2a13 a22 ½¾ = 0. ´ º ¿º ½¾µ �þ x =x + a22 a33 − (a23 )2 , 2a13 a22 y =y + a23 . a22 ´ º ¿º ½¿µ ´ º ¿º½¾µ a22 y 2 ´ º ¿º ½ µ ¹ + 2a13 x = 0. ´ º ¿º½ µ γ Oi j ¸ ´ º ¿º½¿µº ¹ Oi j O − þ a a22 a33 − (a23 )2 , − 23 2a13 a22 a22 ¿ . ´ º ¿º µ 2 a22 y + 2a23 y + a33 = 0. þ y¸ a22 y + a23 a22 2 + a33 − (a23 )2 = 0. a22 ´ º ¿º ½ µ ¹ ´ º ¿º ½ µ þ x =x, a33 = a33 − a22 y y =y + (a23 )2 º a22 2 + a33 = 0. ½¿ a23 . a22 ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º½ µ ´ º ¿º ½ µ �´ º ¿º½ µ γ Oi j ¹ ¸ ´ ¿º½ µº Oi j 0, − O ï a23 a22 º º º½ º ¹ º º ¹ ¹ ´ º ¿º ½¼µ¸ ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º ½ µ¸ Ax2 + By 2 + C = 0, 2 By + 2Cx = 0, (A = 0, B = 0); (B = 0, C = 0); 2 By + C = 0, B −C ¹ ½º = 1 b2 A −C A −C >0 (B = 0). ´ º º½µº B x2 + −C y 2 = 1º B −C > 0¸ ´ º º ½µ ´ º º ¾µ ´ º º ¿µ C = 0º A −C = 1 , a2 A −C = 1 , a2 x2 y 2 + 2 = 1. a2 b B −C ¾º = − b12 A −C >0 B −C º < 0¸ x2 y 2 − 2 = 1, a2 b ½ �− A −C ¿º 1 B , −C a2 < 0¸ A −C =− B −C º >0 B −C < 0 1 . b2 < 0¸ A −C º = x2 y 2 + 2 = −1. a2 b º ´ º º½µ Ax2 + By 2 = 0º A > O¸ B < O¸ º B = − b12 C = 0¸ º º A = 1 a2 , x2 y 2 − 2 = 0. a2 b x a ¸ º B= º º 1 b2 + ¸ ¸ y b x2 a2 x a ¸ − y2 b2 − ¹ y b. ¹ =0 A > O¸ B > O¸ A = 1 , a2 x2 y 2 + 2 = 0. a2 b ¸ ´ º º½µ¸ º ½ ¸ º ¹ �º C xº −2 B C B ´ º º¾µº < O¸ C B y2 = = −p y 2 = 2px, C B º > O¸ C = 0º ´ º º¿µº C 2 y + B = 0º C < 0 ¸ B º C B º = −b2 y 2 − b2 = 0. y+b = 0 ¸ º º º C B ¸ ¸ y − b = 0. ¸ y 2 − b2 = 0 > 0¸ C B ¹ ¹ ¹ ¹ = b2 y 2 + b2 = 0. º ´ º¿µ C By 2 = 0º ´ º º¿µ¸ = 0¸ º º º º ¸ º ½ ¹ B = 0¸ y 2 = 0¸ þ ¸ º ´ º º¾µ �º º ¾ ½ �ÿ ï º ½º º ¸ ¹ º½ º ¸ ¸ º ¹ a γ¸ ´ γ F (x, y) = 0 k¸ F (x, y) = 0 Oij ¸ ¹ ¹ º ¿µº Oxy ¹ ¹ O ij k º �γ F (x, y, z) = 0, Ax + By + Cz + D = 0 Oij k ¸ º º F (x, y, z) = 0 By + Cz + D = 0¸ Ax + a(a1 , a2 , a3 )¸ ¹ ¹ º M (x, y, z) ¸ º ¿ γ M1 (x1 , y1 , z1 )º ´¿º¿ º ¾µ x = x1 + a1 t¸ y = y1 + a2 t¸ z = z1 + a3 tº x1 = x − a1 t¸ y1 = y − a2 t¸ z1 = z − a3 tº ¸ M1 ∈ γ ¸ γ ¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x − a1 t) + B(y − a2 t) + C(z − a3 t) + D = 0º t= ¹ º ¹ ¹ ¹ ¸ Ax + By + Cz + D . Aa1 + Ba2 + Ca3 F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸ F x − a1 Ax + By + Cz + D Ax + By + Cz + D , y − a2 , Aa1 + Ba2 + Ca3 Aa1 + Ba2 + Ca3 Ax + By + Cz + D z − a3 = 0. Aa1 + Ba2 + Ca3 ½ ´ º º ½µ �º ¾º ´ º½µ ¹ º¾ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º 2 2 2 2 2 2 2 2 ¸ Oz ¸ µ ½º xa ¾º xa ¿º xa º xa º xa º ¹ ´ ¹ ¹ Oxy 2 + yb2 = 1 2 − yb2 = 1 2 + yb2 = −1 2 − yb2 = 0 + yb2 = 0 ¹ º y2 = 2px º y2 − b2 = 0 º y2 + b2 = 0 ¹ 2 2 2 º º y2 = 0 ï ¹ º ½º º ½¼ �º½ º ¸ S¸ ´ ¸ ¸ ¸ γ¸ º µº ¹ ¹ º γ F (x, y, z) = 0, Ax + By + Cz + D = 0 Oij k ¸ F (x, y, z) = 0 ´ º º Ax + By + Cz + D = 0¸ S(x0 , y0 , z0 )¸ º M (x, y, z) º µº ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ γ M1 (x1 , y1 , z1 )º x = x0 + (x1 − x0 )t¸ y = y0 + (y1 − y0 )t¸ z = z0 + (z1 − z0 )tº º x1 = x0 + 1t (x − x0 )¸ y1 = y0 + 1t (y − y0 )¸ z1 = z0 + 1t (z − z0 )º ¸ M1 ∈ γ ¸ γ¸ ½½ ¸ ¹ ¸ �Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x0 + 1t (x − x0 )) + B(y0 + 1t (y − y0 )) + C(z0 + 1t (z − z0 )) + D = 0º Ax0 + By0 + Cz0 + D 1 =− . t A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 + D (x − x0 ), A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D (y − y0 ), y0 − A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D (z − z0 ) = 0. z0 − A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) F x0 − ´ º º ½µ ¹ ´ º º½µ º ¾º º¾ º ¸ ¸ º S γ ´ 0¸ z − h = 0¸ ½º µ ¸ Oxy, F (x, y) = 0 ´ º ½ µº γ ´ º º½µ 2 (− hz y)2 (− −h z x) + = 1, a2 b2 ½¾ ¸ º ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ π¸ F (x, y) = �z2 x2 y 2 + − = 0. a2 b2 h2 h=c x2 y 2 z 2 + − = 0¸ a2 b2 c2 ¾º ´ º º ¾µ ¹ ¸ º ºü γ x2 y 2 z 2 − 2 − 2 = 0, a2 b c ¿º þ ¸ ¸ ¸ º γ x2 y 2 z 2 + + = 0¸ a2 b2 c2 º ¸ ¹ γ ¸ ´º º µ º ¸ ¹ ¹ x2 y 2 − = 0º a2 b2 º ´ º º¾µº ´ º º ¿µ ¸ º ¹ ¹ γ ½¿ ¸ ¹ �x2 y 2 + = 0¸ a2 b2 º ´º º µ ¹ º ¸ γ y2 π ´ º º½µ 2 h − y z = −2p ¸ ¹ −h x, z γ ´ º º½µ h − y z ¸ ¹ ´ º º¾µº º 2 y2 − b2 = 0º ¹ þ − b2 = 0, z2 y2 − = 0. b2 h2 º ¸ ¸ = 2pxº p y 2 = 2 xz. h ¸ ºü ¹ ¸ ¸ ¸ z2 y2 + = 0. b2 h2 ½ ¹ �ºþ ¹ ¸ y 2 = 0º ´º º µ ¸ ¸ ´ º µ¸ ´ º º µ¸ ¸ π¸ º º ¸ ¹ º ´ ´ ¹ ´ º º µº ¸ ¸ ´ º º¾µ¸ ´ º º¿µ¸ µº ¹ ¹ º µ π¸ º ½ π¸ ´ º µ º ¹ ¹ �ï º ½º º½ º ¸ ¸ ¸ ´ m¸ ¸ º µº ¹ ¸ ¸ þ m¸ º º º ¸ Oxyz Φ¸ ¸ ¸ m S º S¸ º Oz ½ ¹ ¹ ¹ ¹ m¸ º º Oxz ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ γ¸ ¹ x = ϕ(z)º �M (x, y, z) K Φº π¸ ¸ Φ (0, 0, z)¸ Oz M1 (ϕ(z), 0, z) γº KM1 ¸ π ´ º º ½µ º¾ º ½º º Φ γ ¸ x2 a2 x2 = a2 1 − z2 c2 º + z2 c2 ´ ¾º þ − z2 c2 º µº γ = 1º ¹ Oxz = 1º Oz ¸ x2 y 2 z 2 + + =1 a2 a2 c2 x2 a2 ¹ ¸ º γ ¸ Oxz ¸ x2 y 2 z 2 + − =1 a2 a2 c2 ½ ¹ KM = KM1 x2 + y 2 = (ϕ(z))2 º ¾º Oz º ´ º º ¾µ ¸ ¹ ¸ Oz ¸ ´ º º ¿µ �´ º ¿º µº ¸ γ Oxz x2 z2 − a2 + c2 = 1¸ Oz ¸ ¹ ¸ x2 y 2 z 2 + − = −1 a2 a2 c2 ´º º µ ¸ µº º ¸ x2 a2 ¸ ¹ ´ º + z2 c2 Oxz = −1º Oz ¹ x2 y 2 z 2 + + = −1º a2 a2 c2 2pz ¸ º ¸ Oxz ¸ ´ º º x2 = Oz ¸ ¹ ´º º µ º ½ ´º º µ µ x2 + y 2 = 2pz º º ¹ ¹ ¹ Φ γ º �º x2 a2 Oz ¸ γ 2 − zc2 Oxz = 0¸ ¹ x2 y 2 z 2 + − =0 a2 a2 c2 ´º º µ º º x2 a2 γ 2 + zc2 = 0 Oz ¸ ¹ Oxz ¸ x2 y 2 z 2 + + =0 a2 a2 c2 º ¸ x2 − a2 x2 +a2 = 0¸ ï ´º º µ º =0 Oxz ¸ ¸ ¹ ¹ Oz ¸ ¹ x2 + y 2 = a2 ¸ ´º º µ x2 + y 2 = −a2 º ´ º º ½¼µ º ½º ½ �º½ º ¸ ¹ ¹ x2 y 2 z 2 + + = 1º a2 b2 c2 º ´ º º ½µ Oy ¸ ´ º º¾µ ⎧ ⎪ ⎨x = x, 2 y = ab 2 y, ⎪ ⎩ z = z. ´ º º ¾µ ´ º º½µ ¸ a=b=c ½º þ a ¸ b¸ c º aº a ¸ b¸ c ¸ ´ ´ µ º µº µ´ ¹ º ¸ z O º ¾º A1 (a, 0, 0) A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0) ½¼ B2 (0, −b, 0)¸ �C1 (0, 0, c) ¹ º C2 (0, 0, −c) ¿º ´ º º½µ M (x, y, z) ¸ −a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c, º º −a¸ y = b ºþ y = −b¸ z = c ¸ x=a z = −cº t1 = º 1 m2 a2 + n2 b2 + p2 c2 ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), −1 t2 = m2 a2 + n2 b2 + p2 c2 º y2 z2 x2 z 2 x2 y 2 + = 1, + = 1, + 2 = 1. a2 b2 b2 c2 a2 c Oxy þ ´ º º½µ z h h2 x2 y 2 + = 1 − . a2 b2 c2 þ µ ´º º µ π¸ º z = hº x= ´ º º ¿µ x = mt, y = nt, z = pt, M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), ¸ π ¸ 1− h2 c2 > 0¸ º º ½½ |h| < c ¹ ¹ �µ ´ |h| = c C2 ¸µ C1 µ ü ¸ ¸ 1− ¸ º º ý h2 c2 1− < 0¸ º º ¸ ¸ ¸ º h2 c2 = 0¸ |h| > cº ¹ ¸ ´ º º ½µ M0 (x0 , y0 ¸z0 ) ¸ º ¸ ¸ º º ½¾ ¸ ´º º µ ¸ ¹ Ax + By + Cz + D = 0 ¸ x = a2 At, y = b2 Bt, z = c2 Ct. þ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) a1 x a2 y a3 z + 2 + 2 = 0. a2 b c ¸ º ´º º µ x0 x y0 y z0 z + 2 + 2 = 1. a2 b c ¸ º º ¹ ´º º µ ¹ �¾º º¾ º ¹ ¹ ¸ x2 y 2 z 2 + + = −1º a2 b2 c2 º ï º ´º º µ ´ ºµ ´ º¾µº Oy ¸ ÿ º½ º x2 y 2 z 2 + − = 1¸ a2 b2 c2 a b º º¾ º ´º ºµ bº ¹ ´ º º ½µ ¸ x2 y 2 z 2 + − = −1¸ a2 b2 c2 a ¹ ¸ ¸ Oy ´ º º¾µº ½¿ ¹ ´ º º ¾µ ´ º º¿µ¸ a = b¸ �º ½º ½º » ´ º º ½µ¸ ¸ ´ ´ µ µº ¾º A1 (a, 0, 0)¸ A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0)¸ B2 (0, −b, 0)¸ C1 (0, 0, c)¸ C2 (0, 0, −c) Ox Oy º Oy ¿º ´ º º½µ M (x, y, z) Oz º ¹ º Ox ¸ ¹ x2 y 2 + 2 ≥ 1, a2 b º º 1º 2 x2 + yb2 a2 º ¸ º ¸ º º x = mt, y = nt, z = pt ¸ ´ º¿µ ´ º½µ¸ t t2 m2 n 2 p 2 + 2 − 2 a2 b c º ½ ´ º º¿µ = 1. = ¹ ´ º º ¿µ ´ º º½µ º ¹ ¹ ¹ ´º º µ �µ m2 a2 2 + nb2 − > 0¸ p2 c2 M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), 1 t1 = µ 2 m2 + nb2 a2 m2 n2 a2 + b2 º µ − − p2 c2 p2 c2 ¸ ¹ t2 = ≤ 0¸ −1 m2 a2 + º ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), 2 2 m2 + nb2 − pc2 = 0 a2 2 2 (tm)2 + (tn) − (tp) a2 b2 c2 n2 b2 p2 c2 º t ¸ = 0, − ¹ ¸ x2 y 2 c2 + 2 − 2 = 0, a2 b c ¹ º ¸ ¸ ¹ M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), t1 = º ´º º µ 1 m2 a2 + n2 b2 − p2 c2 ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), t2 = −1 m2 a2 + n2 b2 ¸ º − p2 c2 º ¹ Oxy x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ½ ´º º µ �º Oyz x2 z 2 y2 z2 − = 1, − 2 = 1. b2 c2 a2 c º µ z = h ´ Oxy z º µº þ ´ º º½µ ¹ ´º º µ º Oz Oxz π¸ ¹ h h2 x2 y 2 + = 1 + . a2 b2 c2 h ¸ π a µ´ º 1+ h2 c2 º ≥ a b µ 1+ º h2 c2 º½µ ≥ b¸ ¹ ¹ ¹ ¹ σ¸ Oxz y = mº þ ´ º ¸ y m m2 x2 z 2 − = 1 − . a2 c2 b2 þ m2 b2 ¹ σ µ ¸ > 0¸ µ 1− Ox¸ |m| < b º º m2 b2 = 0¸ º º 1− |m| = b ½ ¸ º �µ ¸ ´ º µº ü Oz ¸ 1− m < 0¸ b2 2 ¸ |m| > b ω¸ Oyz, Oy ¸ º º ¹ ¸ ¸ ¸ Oz º ¾º ½º ´ º º ¾µ¸ ¸ ´ ¾º Oz ¸ Ox Oy ¿º º M (x, y, z) º º º º ¸ C1 (0, 0, c) Oz ´ º º¾µ ´ µ µº C2 (0, 0, −c), ¹ ¸ ¹ z 2 ≥ 1, ¸ º ´ º¿µ z=c º ¸ ¹ º ¹ z = −cº ¸ º º ¸ ´ º º¿µ ´ º º¾µ¸ ´ º¿µ ¹ ´ º¾µ º ¹ ¹ ¹ t t2 m2 n 2 p 2 + 2 − 2 a2 b c ½ = −1. ´ º º ½¼µ �¸ º ´ º º µ¸ M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), t1 = ¹ ¹ ¹ 1 2 n2 b2 −m a2 − ¸ º + p2 c2 ´ º º ½½µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), ¸ t2 = −1 2 −m a2 − n2 b2 + º ¹ º Oxy ¹ x2 y 2 + 2 = −1, a2 b º º Oyz p2 c2 º ´ º º ½¾µ ¹ Oxz − y2 z2 x2 z 2 + = 1, − + 2 = 1. b2 c2 a2 c ´ º º ½¿µ º π¸ ¹ Oz º µ z = h þ |h| = c ´ º ¼µº þ ´ º º½µ Oxy z h h2 x2 y 2 + = − 1. a2 b2 c2 ¸ ´ π h2 c2 − 1 > 0¸ º º C1 C2 ), ¸ h2 c2 ½ |h| > c h2 − 1 = 0¸ c2 − 1 < 0¸ º º º º |h| < cº �µ´ º ¼µ ¹ σ¸ y = mº Oxz þ ´ º º¾µ − y x2 z 2 m2 + = 1 + . a2 c2 b2 m σ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ Oz ¸ ü m ¸ Oxz. ¸ ω¸ º ¼ ¹ Oyz, Oz º ý º M0 (x0 , y0 , z0 ) x0 x y0 y z0 z + 2 − 2 = ±1. a2 b c ¸ ¸ ¸ º ¸ ´ º º ½µ¸ ´ º º ¾µ ´ º º½ µ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) a1 x a2 y a3 z + 2 − 2 = 0. a2 b c º ½ ´ º º½ µ ¸ ¸ �¸ ¸ ¸ º Ax + By + Cz + D = 0 ¸ x = a2 At, y = b2 Bt, z = −c2 Ct. ´ ¸ ´ µ¸ µ þ ¸ ¹ ´ º º½ µ ¹ º º ¸ ¹ º ï ¼º ¼º½ º ¸ x2 y 2 + = 2z ¸ a2 b2 a º a = b¸ bº ´º ºµ ´ º º¾µº º ½¼ ¹ ´ º ¼º ½µ ¹ Oy ¸ ¹ �¼º¾ º ÿ ¹ ¸ ¹ x2 y 2 − = 2z ¸ a2 b2 ´ º ¼º ¾µ bº a ºþ ¹ ¹ ½º º ½º ¸ µº ¾º Oxz ¸ º ¿º ´ ¹ Ox¸ Oy ¸ Oz O(0, 0, 0) º ´ º ¼º½µ M (x, y, z) º Oyz Oz ¸ z Oxy º ¸ ¸ º º º ´ º º¿µ ´´ º ¼º ½µµ º ¸ ´ º º¿µ ´ º ¼º½µ¸ 0, º º ¹ ¹ ¹ ´ º º¿µ t t t m2 n 2 + 2 a2 b ½½ − 2p = 0. ´ º ¼º ¿µ �¸ Oxy ´p = 0µ¸ 2mp P m2 a2 + n2 b2 , 2np m2 a2 + n2 b2 , ¸ ¸ O(0, 0, 0) 2p2 m2 a2 + Oº º n2 b2 ´ º ¼º µ . Oxy ´p = 0µ¸ P Oyz ¹ Oxy º Oxz ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ y 2 = 2b2 z, 2 2 x = 2a z. º ½µ π¸ z=h´ z h Oxy º ½µº þ ¹ ´ º ¼º ½µ ¹ x2 y 2 + 2 = 2h. a2 b þ µ µ µ ¾µ ¹ ¸ π h>0 O¸ ¸ h=0 h < 0º σ¸ y = mº ´ º ¼º½µ þ ¹ ¹ Oxz y ½¾ m º ½ �m2 x2 = 2z − , a2 b2 x2 = 2a2 z − þ σ A(0, m, m2 ) 2b2 m2 2b2 a2 ¸ . ´ º ¼º µº ´ º ¼º µ ´ º µº ´ º ¼º µ ¸ ´ º ¼º µ ¿µ ü º´ ¼º µ¸ ´ º ¼º µ¸ ´ º ¼º µ º ω¸ ¸ Oyz, ¹ b2 ¸ ´ º ¼º µº ¾º ÿ ½º ¾º ¿º Oxz ´ Oz O(0, 0, 0) Oyz ¸ µº º ¸ º ´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ º ¸ º º ¸ ´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ¸ ½¿ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ´ º º¿µ �t m2 n 2 − 2 a2 b t t ½µ m2 a2 − n2 b2 ºþ = 0¸ p = 0º þ ¸ 2np 2mp 2 m2 a2 − , n2 b2 m2 a2 − ¾µ ma2 − nb2 = 0¸ p = 0º ¸ º m2 n 2 ¿µ a2 − b2 = 0¸ p = 0º t = 0¸ µ pt) ´ º ¼º µ ¸ , n2 b2 2p2 m2 a2 n2 b2 º ¹ ´ º ¼º µ ¹ ¹ ¸ ºþ ¸ ¸ ¸ ¿ º ½ ¾ ½ º M (mt, nt, ´ º ¼º¾µ x2 y 2 − 2 = 0. a2 b ´ º ¼º µ¸ − ´ º ¼º µ m2 n 2 − = 0¸ p = 0º a2 b2 ¸ ´ º ¼º µ = 0. ¸ ¸ 2 − 2p ¹ ¹ ¸ ¹ ´ º ¼º µ ¸ �¾ Oxy º º ¸ ¹ Oxy º Oyz Oxz ´ º ¼º µ ´ º ¼º ½¼µ π¸ y 2 = −2b2 z, 2 2 x = 2a z. º ½µ z = h þ ´ ´ º ¼º¾µ Oxy º ¾µº z h x2 y 2 − 2 = 2h. a2 b þ π µ Ox¸ ¸ h>0 µ ¸ µ ¾µ ¹ ¹ h=0 ¹ Oy ¸ ¸ σ¸ y = mº þ ´ ¼º¾µ m2 x2 = 2z + , a2 b2 ½ º ¾ h| < 0º y Oxz m ¹ ¹ �x2 = 2a2 z + þ − σ a2 ¸ m2 ) 2b2 m2 2b2 . ¹ ´ º ¼º½¼µº ´ º ¼º µ ´ º ¾µº A(0, m, ¹ ¹ ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸ ¸ ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸ ´ º ¼º µ º ¸ º ¿µ ü ¸ ý b2 ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ´ º ¼º µº º ´ º ¼º½µ¸ ´ º ¼º¾µ ¹ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ ¸ ¹ ω¸ Oyz, ¸ ¹ x0 x y 0 y + 2 = z + z0 a2 b ´ º ¼º ½½µ x0 x y 0 y − 2 = z + z0 . a2 b ´ º ¼º ½¾µ ¹ ¸ º ½ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) ¹ ¹ �a1 x a2 y + 2 = a3 a2 b ´ º ¼º ½¿µ a1 x a2 y − 2 = a3 . a2 b ´ º ¼º ½ µ ¸ Oz ¸ ¹ Oz º ¹ x y ± = 0, a b ¹ Oz º ¸ ¸ x=− ¸ º Ax + By + Cz + D = 0 ¸ ¹ Bb2 Aa2 , y=− C C ´ º ¼º ½ µ Bb2 Aa2 , y= C C ´ º ¼º ½ µ x=− º º ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ Oz ½ ¹ �ï ½º ½º½ º ¸ º º½ ¸ º½ ¸ ¹ ¹ ºþ ¸ ¹ º ¹ ¹ º ´ º ½º x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1. a2 b c º ¿µ ´ º ½º ½µ y2 x2 z 2 − = 1 − a2 c2 b2 ¹ x z + a c x z − a c = 1+ ½ y b 1− y . b ´ º ½º ¾µ �⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α1 x z + a c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β1 1+ x z − a c = α1 y , 1− b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α2 x z + a c = β2 1− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β2 x z − a c = α2 y , 1+ b α1 ¸ β1 ý ¸ ´ º ½º µ ´ º ½º µ ¸ ¸ α1 ¸ β1 ¸ ¸ α2 ¸ ¹ ¹ º α1 ¸ β1 ¹ ¹ ´ º ½º¿µ ¹ ½ º º ´ º ½º¿µ¸ ´ º ½º µ ´ º ½º½µ º ´ º ½º¿µ ¸ α2 ¸ β2 y , b ´ º ½º¾µ ¸ β2 ¸ ´ º ½º ¿µ α2 ¸ β2 ¸ ´ º ½º µ¸ y , b = β1 º ¿ �º ´ º ½º¿µ ´ º ½º µ º ½º ¹ ¾º ¸ ¸ ¿º ¸ º º ¹ ¹ º ´ º ¾º ÿ x2 y 2 − 2 = 2z. a2 b x y + a b x y − a b ´ º ½º µ = 2z ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α1 x y + = 2z, a b ⎪ ⎪ x y ⎪ ⎩ − = α1 , a b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α2 x y − = 2z, a b ⎪ ⎪ x z ⎪ ⎩ + = α2 , a c ¾¼¼ º µ ´ º ½º µ ´ º ½º µ �º α1 ¹ α2 ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ α1 α2 ´ º ½º µ ´ º µº ½º p1 ´ º ½º µ ¹ ¹ ¹ ¹ º ´´¿º¿ º µµ p2 p1 º ´ º ½º µ ´ º ½º µ º ⎧ α α ⎪ ⎨ 1 x + 1 y − 2z = 0, a b ⎪ ⎩ 1 x − 1 y − α = 0, 1 a b ´ º ½º µ ⎧ α α ⎪ ⎨ 2 x − 2 y − 2z = 0, a b ⎪ ⎩ 2 x + 1 y − α = 0. 2 a b ´ º ½º µ 2 2α1 2 , − ,− ,− b a ab p2 2 2α2 2 ,− , b a ab ´ º ½º ½¼µ . α1 ¸ º ¾¼½ α2 �¾º x a þ − y b =0 ¸ π2 º x a + y b π1 = 0º α2 ´ º ½º µ ¿º ¿ ï ¼¸ ¸ ¸ α1 π2 ¸ p1 p2 ¹ ¹ º ¹ ¹ π1 ¸ π1 ¸ ´ º ½º µ ¹ π2 º ¹ ¹ ¸ x y ± =0 a b º º ´ µº ¸ ¹ ¹ ï ¾º ¹ a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x+ + 2a2 y + 2a3 z + a33 = 0. ´ º ¾º½µ ´ º ¾º ½µ ¹ ¹ º ¾¼¾ �¾º½ º x¸ y ¸ z µ ´ ´ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. − − y2 b2 y2 b2 =1 y2 b2 =0 13. x2 a2 + 14. x2 a2 x2 a2 x2 a2 = 2z x2 =0 15. 16. 17. ¸ º 2 2 x2 + yb2 + zc2 = 1 a2 y2 x2 z2 a2 + b2 + c2 = −1 2 2 x2 + yb2 − zc2 = 1 a2 2 2 x2 + yb2 − zc2 = −1 a2 2 2 x2 + yb2 + zc2 = 0 . a2 2 2 x2 + yb2 − zc2 = 0 a2 y2 x2 a2 + b2 = 2z 2 x2 − yb2 = 2z a2 2 x2 + yb2 = 1 a2 2 x2 + yb2 = −1 a2 x2 a2 x2 a2 ¸ º µ ¹ ¸ ¹ º º º º º º º =0 º º º º º º º =1 = −1 º ¾¼¿ º �º ¾¼ �[1] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1967. – Т. I. [2] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1970. – Т. II. [3] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1973. – Ч. I. [4] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – Москва : Просвещение, 1986. – Ч. I. [5] Бахвалов, С. В. Аналитическая геометрия / С. В. Бахвалов, Л. И. Бабушкин, В. П. Иваницкая. – Изд. 5. – Москва : Просвещение, 1965. ¾¼ �½ ¾ ï ½º ï ¾º þ ï ¿º ï º þ ï º ï º ï º ï º ï º ï ½¼º ï ½½º ï ½¾º ï ½¿º ï½ ºþ ï½ º º ºººººººººº ººº ºº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº ºººººººº ºººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº ººº ººººººººº ººººººººº ï½ ºü ï½ º ï½ º ï½ º ï ¾¼º ÿ ï ¾½º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºººººººººººººº ºººº ºººº º ºººººº ¾¼ ¿ ¿ ½½ ½¾ ½ ½ ¾¾ ¾ ¿¼ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¾ ¾ ½ ½ �¿ ï ¾¾º ï ¾¿º ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ºÿ ºþ º º º º ï ¿¼º ï ¿½º ï ¿¾º ÿ ´ µ ´ µ ºººººººººººººººººººººººººººº ¼ Ü· Ý· º ººººººººººººººººººººººº ºººººº ººººº ¾ ººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ Ü· Ý· Þ· º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¿ ï ¿¿º þ ï¿ º ï¿ º ï¿ ºþ ï¿ º ï¿ º ï¿ º ï ¼º þ ï ½º ï ¾º ï ¿º ï ºþ ï º ï ï ï ï º ºÿ º º ï ¼º ººº º ºººººººº ººº ººººººº ºººº º º º º º º º º ºº º ºº ºººººººº ºººººººººººººººººº ºººººººººººººººº ººººººººººººººººº ¸ ºººººººººººººººººººº ¸ ¸ ººººººººººº º º º º º º º º º º º º º ººººººº ººººººº ººººººº ¸ ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼ ½¼ ½½¼ ½½¿ ½½¿ ½½ ½½ ½¾½ ½¾½ ½¾¾ ½¾ ½¾ ½¾ º º ½¾ º º ½¿¿ ºº ½¾ ºº ½ ººººººººº ½ �ï ½º ï ¾º ï ¿º ¸ ¸ º º º º ºÿ ¼º ½º ï ¾º ºººº ½¾ ºººº ½ º ºººººººººººººººº ½ ºººººººº ½ ï º ï ï ï ï ï ï ï ¸ ¸ º ººººººº ºººººº ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½¼ ½ ½ ½¿ ½¼ ººººººººººººººººººººººººº ½ º º º º ¾¼¾ º º º º º º º º º º ¾¼ � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. задачи (геометрия). 5. решение задач. 6. плоскость (математика). 7. прямые (математика). 8. векторная алгебра. Description An account of the resource Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 207 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 13.12.2017 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf</a> аналитическая геометрия векторная алгебра Геометрия задачи (геометрия) Математика плоскость (математика) прямые (математика) решение задач